Complex number

จำนวนเชิงซ้อน

Complex Number

The biggest

ออะะไไรรคคืืออจจำำนนววนนเเชชิิงงซซ้้ออนน????

เป็นการขยายระบบของจำนวนจริงพอระยะจำนวนจริงมีปัญหาคือบาง
สมุทรปราการถ้าหัวหน้าไม่สามารถหาคำตอบได้ เนื่องจากติดลบ?

จำนวนเชิงซ้อน (อังกฤษ : complex number) ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่
ต่อเติมจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่มจำนวน i ซึ่งทำให้สมการ i 2+1 = 0
เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่น ๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มี
สมบัติการปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน z ทุกตัวสามารถ

เขียนอยู่ในรูป x+yi โดยที่ x และ y เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก x และ y ว่า
ส่วนจริง(real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ z ตามลำดับ

เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ C จากนิยาม
ข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน ดัง

นั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และหาร
สมาชิกสองตัวใด ๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือ
ศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์

เราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของ
จำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติการปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าว

คือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก (พหุนาม)เป็น
จำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต

นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า “เชิงซ้อน” ถูกใช้เป็นคำ
คุณศัพท์ที่มีความหมายว่าฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของ
จำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน, พหุนามเชิงซ้อน, แม

ทริกซ์เชิงซ้อน, และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น

ตต้้นนกกำำเเนนิิดดมมาาจจาากกไไหหนน??

“ Leon Euler ” เป็นคนเเรกที่เอา x2+1 = 0 มาทำเเล้วกำหนด
สัญลักษณ์จินตภาพของเขาจากสมการด้านบน เเล้วเรียกว่า i คือ

จำนวนจินตภาพ(ของ Euler) หรือ Imaginary Numbers : Im

จาก x2+ 1 = 0
x2= -1
x = -1 —> i (imaginary number)

“ Leon Euler ” “ Carl Frienrich Gauss ”

ต่อมา “ Carl Frienrich Gauss ” พบว่ามีสมการพหุนามที่หาคำ
ตอบในรูป R+Im เลยกำหนดเป็น

C = R + Im โดยที่ c : จำนวนเชิงซ้อน

(complex number)

c = a + bi (a,b) a : จำนวนจริง
(real number)

b : จำนวนจินตภาพ
(imaginary number)

นนิิยยาามมจจำำนนววนนเเชชิิงงซซ้้ออนน????

นิยามของจำนวนเชิงซ้อน
นิยามของจำนวนเชิงซ้อน C (complex number) ประกอบด้วยเซต

ของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมดโดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริง และสามารถ
นำมาเขียนเป็นคุณสมบัติได้ 5 แบบ คือ = (การเท่ากัน) + (การบวก) -

(การลบ) • (การคูณ) /(การหาร) โดยทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้
เมื่อกำหนดให้ z1 = (a,b) และ z2 = (c,d) เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

z1 = z2 => a = c,b = d
z1+z2 => (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)
z1-z2 => (a,b) - (c,d) = (a-c,b-d)
z1 • z2 => (a,b) • (c,d) = (ac-bd,ad+bc)
/(a+bi)(c+di) -> (ac-bd)+(ad+bc)i/

z1/z2 => ac-bd-adi+bci
c2+ d2

/ (a+bi) x (c-di);conjugate/



(มาจากการเอาเเต่ละตัวมาคูณกับเเล้วใส่ i เข้าไปแทนเเล้วรวมทั้งหมด
จะได้เป็นคู่อันดับข้างต้น เเละที่เป็นลบ มาจาก i กำลัง 2)



เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ
และการคูณจำนวนจริง

เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็นนิยาม
สามารถเขียนสรุปได้เป็น

การบวกและการคูณมีสมบัติการปิด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม
และการแจกแจง
มีเอกลักษณ์การบวกคือ (0,0)
มีเอกลักษณ์การคูณคือ (1,0)
อินเวอร์สการบวกของ z = (a,b) (เขียนแทนด้วย -z ) คือ (-a, -b)
ถ้าหาก z = (a,b) ไม่เท่ากับ (0,0) อินเวอร์สการคูณของ z

( )(เขียนแทนด้วย z-1 ) คือa
a2+ b2 , -b


a2+ b2

เพิ่มเติมสมบัติของ invert

สมบัติการบวกของ invert

เมื่อกำหนดให้ z1,z2,z3 C c
สมบัติปิด : z1 + z2 C c

สมบัติการสลับที่ : z1 + z2 = z2 + z1
สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม : (z1+z2)+z3 = z1 + (z2+z3)

Invert : (a,b) + (-a,-b) = (0,0)
โดย (-a,-b) คือ inver t & (0,0) คือ เอกลักษณ์

(a,b) + (0,0) = (a,b)

สมบัติการคูณของ invert

เมื่อกำหนดให้ z1,z2,z3 C c
สมบัติปิด : z1 • z2 C c

สมบัติการสลับที่ : z1 • z2 = z2 • z1
สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม : (z1•z2)•z3 = z1 • (z2• z3)

Invert : (a,b) + = (1,0)




โดย คือ invert & (1,0) คือ เอกลักษณ์

สสัังงยยุุคค((CCoonnjjuuggaattee))

ในทางคณิตศาสตร์ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (complex conjugate) เปรียบ

ได้กับการเปลี่ยนเครื่องหมายบนส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนนั้นให้เป็นตรง

ข้าม เช่น กำหนดให้จำนวนเชิงซ้อน z = a + ib ดังนั้นสังยุคของ z คือ

z = a − ib (เมื่อ a กับ b แทนจำนวนจริง)

การบ่งบอกว่าจำนวนเชิงซ้อนใดเป็นสังยุค ให้เขียนขีดเส้นตรงไว้เหนือ

จำนวนเชิงซ้อน หรือใส่เครื่องหมายดอกจัน (*) ไว้ที่มุมขวาบน เช่น z* แต่ในที่นี้จะ

ใช้ขีดเพื่อไม่ให้สับสนกับสัญลักษณ์ของการสลับเปลี่ยนสังยุค (conjugate

transpose) ของเมทริกซ์ ตามตัวอย่างดังนี้…..

(3 − 2i) = 3 + 2i


7 = 7 (สังยุคของจำนวนจริงได้ค่าเดิมเสมอ)

5i = −5i (สังยุคของ Im ได้เครื่องหมายตรงข้าม)

แนวความคิดอีกอย่างหนึ่งคือการให้จำนวนเชิงซ้อนเป็น

พิกัดอยู่บนระนาบในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน โดยให้แกน x

เป็นส่วนจริงและแกน y เป็นสัมประสิทธิ์ของ i (ส่วน

จินตภาพ) ในแผนภาพทางขวามือ พิกัดของจำนวนเชิงซ้อน

สังยุคเปรียบเหมือนภาพสะท้อนที่อยู่บนแกน x




สมบัติของการสังยุค

เมื่อกำหนดให้ z1 = a + bi
z = (a,b) = a + bi z2 = c + di
z = (a,-b) = a-bi

z1 + z2 = (a + c) - (b + d)i สมบัติของการเท่ากัน

z1 + z2 = (a + c) - (b + d)i




สมบัติการเท่ากันของ z1 + z2 = z1 + z2

z1 • z2 = ac-bci-adi-bd

z1 • z2 = ac-bci-adi-bd

สมบัติของการคูณ


สมบัติการคูณของ z1 • z2 = z1 • z2

มมออดูดลูัลสัสขขอองงจจำำนนววนนเชเิชงิงซ้ซอ้อนน
(m(moodduululussooffccoommpplelexxnnuummbbeer)r)

Imaginary number โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนคือขนาด
(~การวาดวงกลมเเล้วหารัสมี)
modulus
b (a,b) หากคุณนึกภาพจำนวนเชิงซ้อนเป็น
จุดบนระนาบเชิงซ้อนมันคือระยะทาง
a
ของจุดนั้นจากจุดกำเนิด หาก
สมบัติของมอดูลัส จำนวนเชิงซ้อนแสดงเป็นพิกัดเชิงขั้ว
(เช่นจำนวน r(cosθ+isinθ)) จากนั้น

เป็นเพียงรัศมี (R).
หากจำนวนเชิงซ้อนแสดงเป็นพิกัด

สี่เหลี่ยมผืนผ้า
R - เช่นในแบบฟอร์ม A+IB - แล้วมัน

คือความยาวของด้านตรงข้าม
มุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี
ด้านอื่น A และ B.




เมื่อกำหนดให้ |z| = a2 + b2
z = (a,b) = a + bi |z| = a2 + b2
z = (a,-b) = a-bi

ทำให้รู้สมบัติอีก 5 ข้อ…

|z| = |z| จากสมบัติที่ได้มาจา
|z|2 = z • z กการเเทน z เป็น
|z1| • |z2| = |z1•z2|
|z1| = z1 (a,b)/a+bi ลงไปแทน
|z2| z2 เเล้วทำการกระจาย —>
แก้โจทย์จึงได้เป็นข้อสรุป

ออกมา

ทฤษฎีบทเดอร์มัวร์
( De Moivre”s Theorem)

ซึ่งทฤษฏีบทนี้นำไปใช้งานเมื่อเราต้องการยกกำลัง
จำนวนเชิงซ้อน ซึ่งต้องการยกกำลังครั้งละมากๆ เช่น ยกกำลัง

ร้อย ยกกำลังสิบ ก็จะนำทฤษฏีบทนี้มาช่วยในการยกกำลัง
เพราะถ้าเรายกกำลังแบบวิธีธรรมดาทั่วไปคงทำไม่ได้

∈ ∈ถ้า z=r(cosθ+isinθ)z=r(cosθ+isinθ) เป็นจำนวนเชิงซ้อนใน
รูปเชิงขั้ว และ n In I จะได้ว่า
zn=rn(cos(nθ)+isin(nθ))zn=rn(cos(nθ)+isin(nθ))



ตัวอย่างการนำไปใช้
z=(2–√+2–√i)5z=(2+2i)5

ขั้นตอนแรก ทำ z=(2–√+2–√i)z=(2+2i) ให้อยู่ในรูปเชิงขั้วก่อน
x=2–√,y=2–√x=2,y=2

r=2–√2+2–√2−−−−−−−−−√=2r=22+22=2
tanθ=yx=2√2√=1tanθ⁡ =yx=22=1
ดังนั้น θ=45∘

จะได้ z=(2–√+2–√i)=2(cos45∘+isin45∘)z=(2+2i)=2(cos45∘+isin45∘)
ขั้นตอนที่สอง เป็นขั้นตอนของการใช้ทฤษฏีบทของท่านเดอร์มัวร์คับ จะได้ประการนี้

z=(2–√+2–√i)5=[2(cos45∘+isin45∘)]5
z=25(cos5(45∘)+isin5(45∘))
z=32(cos(5π4)+isin(5π4)
z=32(−2√2−2√2i)
z=−162−162i

ดังนั้น z=(2–√+2–√i)5=−162–√−162–√iz=(2+2i)5=−162−162i

การหารากที่ n ของ
จำนวนเชิงซ้อน

ให้ Z เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน z จะมีอยู่
จำนวน n ราก(ยกเว้น z=0)
ในการหารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน z สามารถมาลองสรุปเป็นขั้น
ตอนวิธีการหาได้ 5 ขั้นตอนดังนี้

…
1. ถ้าโจทย์ให้จำนวนเชิงซ้อนมาในรูป z=x+yi เป็นต้องแปลง
จำนวนเชิงซ้อน z ให้อยู่ในรูปเชิงขั้วก่อน คืออยู่ในรูป

z=r(cosθ+isinθ)
2.รากตัวที่ 1จะมีค่าเป็น n(cosθ/n+isinθ/n)
3.รากตัวที่ 2 จะเหมือนรากตัวที่ 1 แตกต่างกันที่มุมโดยต้องเพิ่มมุม
ของรากตัวที่ 1 ไปอีก 360 หาร n
4. รากตัวที่ 3 ก็เพิ่มมุมในรากตัวที่ 2 ไปอีกเหมือนเดิมคือบวกเพิ่มไป
อีก 360 หาร n
5. ทำแบบนี้ไปเรื่อยๆจนครบ n ราก

เเละอีก 1 สูตรคือ

ถ้า w=r(cosθ+isinθ) แล้วรากที่ n ของ w จะมีทั้งหมด n รากที่

∈แตกต่างกัน คือ z=rn[cos(θ+2kπn)+isin(θ+2kπn)]
เมื่อ k {0,1,2,3,...,n-1}





วิดีโอเพิ่มเติมจำนวนเชิงซ้อน ตอนที่ 1-15 โดย สสวท.

Thank you!

Complex Number

By น.ส.สิริณัฏฐ์ พันเกตุศิริ ม.5/2 เลขที่ 17

The biggest