จำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน(complex number)

ความหมาย
จำนวนเชิงซ้อน (อังกฤษ : complex number) ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่

ต่อเติมจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่มจำนวน i ซึ่งทำให้สมการ i 2+1=0 เป็นจริง

และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่นๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติการปิด

ภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน z ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป x+iy

โดยที่ x และ y เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก x และ y ว่าส่วนจริง(real part)

และส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ z ตามลำดับ

complex number

เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ C จากนิยาม
ข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน

ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และ

หารสมาชิกสองตัวใด ๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่

ตัวหารคือศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทาง
คณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซต

ของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติการปิดทางพีชคณิต (algebraically

closed) กล่าวคือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก

(พหุนาม)เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบท

มูลฐานของพีชคณิต

นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า “เชิงซ้อน” ถูกใช้เป็นคำ

คุณศัพท์ที่มีความหมายว่าฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของ

จำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน, พหุนามเชิงซ้อน,
แมทริกซ์เชิงซ้อน, และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น

ระบบจำนวนที่เรารู้จักกันและได้เรียนรู้ในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 คือ

ระบบจำนวนจริง(Real Number) แต่ระบบจำนวนจริงยังไม่สามารถตอบ

คำถามบางข้อได้เช่นถ้าเราต้องการแก้สมการพหุนาม
x2+1=0x2+1=0
x2=−1x2=−1

ซึ่งเราจะเห็นว่าไม่มีจำนวนจริงใดเลยที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบหนึ่ง
ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงแก้ปัญหานี้โดยสร้างระบบจำนวนขึ้นอีกระบบคือ

ระบบจำนวนเชิงซ้อน

นิยามของจำนวนเชิงซ้อน

นิยาม จำนวนเชิงซ้อน คือ คู่อันดับ (a,b) เมื่อ a และ b นั้นเป็นสมาชิกของ

จำนวนจริงซึ่งการบวก การคูณและการเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อนนั้นกำหนดดังนี้
กำหนดให้ a,b,c,d เป็นจำนวนจริงใดๆ
1)(a,b)=(c,d)(a,b)=(c,d) ก็ต่อเมื่อ a=ca=c และ b=d b=d
2)(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
3)(a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc) (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)

ตัวอย่าง กำหนดจำนวนเชิงซ้อน z1=(4,3) และ z2=(2,5)z1=(4,3) และ z2=

(2,5) จงหา z1+z2,z1⋅z2z1+z2,z1⋅z2
วิธีทำ การทำข้อนี้ก็ทำตามข้อกำหนดในนิยาม
z1+z2=(4,3)+(2,5)=(4+2,3+5)=(6,8)z1+z2=(4,3)+(2,5)=(4+2,3+5)=(6,8)
z1⋅z2z1⋅z2
z1⋅z2===(4,3)⋅(2,5)((4)(2)−(3)(5),(4)(5)+(3)(2))(−7,26)z1⋅z2=
(4,3)⋅(2,5)=((4)(2)−(3)(5),(4)(5)+(3)(2))=(−7,26)
นี่คือการบวกและการคูณกันของจำนวนเชิงซ้อน

นิยามของจำนวนเชิงซ้อน

นิยาม กำหนดจำนวนเชิงซ้อน z=(a,b) เมื่อ a,b เป็นจำนวนจริง
เรียน a ว่าส่วนจริง(real part) เขียนแทนด้วย Re(z)
เรียก b ว่าส่วนจินตภาพ (imaginary part) เขียนแทนด้วย Im(z)

ตัวอย่าง กำหนดจำนวนเชิงซ้อน z1=(2,−4) จงหาz1=(2,−4) จงหา

Re(z1)Re(z1) และ Im(z1)Im(z1)
วิธีทำ ง่ายๆเลยคับตามนิยามข้างบนน่ะ
Re(z1)=2Re(z1)=2
Im(z1)=−4Im(z1)=−4
เนื่องจาก จำนวนเชิงซ้อนใดๆที่อยู่ในรูปคู่อันดับ (a,b)(a,b) สามารถเขียนให้อยู่

ในรูปของ a+bia+bi ได้ ดังนั้นเขาจึงนิยมเขียนจำนวนเชิงซ้อนให้อยู่ในรูปของ

a+bi เพราะสะดวกในการนำไปใช้มากกว่าครับ ตัวอย่างเช่น
(2,4)(2,4) มันก็คือ 2+4i2+4i
(−3,9)(−3,9) มันก็คือ −3+9i−3+9i
(−8,−2)(−8,−2) มันก็คือ −8−2i−8−2i นั่นเองครับ
ต่ออีกนิดหนึ่งจำนวนเชิงซ้อนเขียนให้อยู่ในรูป a+bia+bi
จะเรียก aa ว่าส่วนจริง (Real part)
จะเรียก bb ว่าส่วนจินตภาพ(Imaginary part)
ตัวอย่าง กำหนดจำนวนเชิงซ้อน z=7+9iz=7+9i จงหา
1. Re(z)Re(z) [หมายถึงส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน z]
2. Im(z)Im(z) [หมายถึงส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน z]
วิธีทำ ข้อนี้ง่ายๆเลยครับ
จาก z=7+9iz=7+9i จะได้
Re(z)=7Re(z)=7
Im(z)=9Im(z)=9

ส่วนการบวก การลบการคูณของจำนวนเชิงซ้อนที่อยู่ในรูปของ a+bia+bi ก็ทำ

เหมือนกับการบวก ลบ คูณหารพหุนามทั่วไป เช่น

ตัวอย่าง กำหนด z1=2−4i,z2=4+6iz1=2−4i,z2=4+6i
จงหา
1.1)
z1+z2=2−4i+4+6i2+4−4i+6i6+2iz1+z2=2−4i+4+6i=2+4−4i+6i=6+2i

1.2)
z1⋅z2=(2−4i)(4+6i)(2)(4)+(6i)

(−4i)+4(−4i)+2(6i)8−24i2−16i+12i8+24−2i32−2iz1⋅z2=(2−4i)(4+6i)=

(2)(4)+(6i)(−4i)+4(−4i)+2(6i)=8−24i2−16i+12i=8+24−2i=32−2i
อย่าลืมนะ i2=−1i2=−1

1.3)
z1−z2=(2−4i)−(4+6i)2−4i−4−6i2−4−4i−6i−2−10iz1−z2=(2−4i)

−(4+6i)=2−4i−4−6i=2−4−4i−6i=−2−10i
รากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน

สุชัญญา เกิดฤทธิ์
ม.5/1 เลขที่ 17