190 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII 1 Tebak Kotak Berhadiah Penggunaan Praktis Bab 6 Soal Ringkasan Heru sedang menonton acara “Tebak di manakah hadiahnya?” di TV. Permainan ini dibawakan pembawa acara dan kontestan seperti berikut. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. Jika kita putuskan untuk “tidak mengubah kotak” sejak mula-mula, prosedur 1 di atas menentukan apakah kita akan menang atau tidak. Bila 1 kotak dipilih dari 3 kotak, tentukan peluang bahwa kotak yang dipilih adalah berhadiah. 1 Ada tiga kotak di depan kontestan. Satu di antaranya adalah kotak berhadiah. Pembawa acara mengetahui kotak mana yang merupakan kotak berhadiah. [Prosedur] Pertama, kontestan memilih 1 kotak. Saya pilih ini. Dibuka, 1 kotak tak berhadiah. Haruskah saya ubah? Atau tidak? Pembawa acara membuka 1 kotak tak berhadiah dari 2 kotak yang belum dipilih. Kontestan harus memutuskan apakah akan “mengubah” atau “tidak mengubah” kotak yang ia pilih. 1 2 3 190 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII Kunci Jawaban Penerapan 1 (1) 1 3 Soal Sejenis Ada empat kotak di depan penantang. Salah satunya adalah kotak kemenangan. Moderator tahu kotak mana yang menang. Penantang pertama-tama memilih satu kotak. Moderator akan memberi tahu Anda dua dari tiga kotak yang tersisa. Penantang memilih untuk "mengubah" atau "tidak mengubah" kotak pertama yang dipilih. Pada saat ini, temukan peluang mengenai kotak yang dipilih pertama tanpa mengubahnya dan peluang dengan mengubahnya. Peluang mengubah kemudian tertebak: 1 4 Peluang tidak mengubah kemudian tertebak: 3 4 Penjelasan dan Hal yang Perlu Diperhatikan 2. Pengerjaan 1 (1), dan 1 (2) Permainan ini disebut Masalah Monty Hall. Sebaiknya kontestan mengganti kotak setelah pembawa acara membuka salah satu kotak yang meleset. Ini adalah teka-teki apakah lebih baik atau tidak mengganti kotak. Masalahnya adalah setelah pembawa acara membuka salah satu kotak yang meleset, salah satu dari dua kotak akan menang, jadi jika dilihat sekilas, mengubah atau tidak mengubah kotak di awal, peluang tertebak akan dianggap tidak berubah, yaitu 1 2 . Sebenarnya, jika Anda berpikir tentang "peluang tertebak saat tidak mengubah kotak pertama yang dipilih" dan "peluang tertebak saat mengubah kotak yang dipilih di awal" dalam langkah-langkah seperti ⑴ dan ⑵, setiap peluang ternyata dapat diperoleh. Namun, meskipun dijelaskan secara logis, mungkin ada beberapa peserta didik yang tidak dapat memahaminya dengan mudah karena intuisinya perlu diaktifkan. Di sini, peserta didik menyadari kegunaan peluang dengan berdiskusi dan bereksperimen sambil memanfaatkan apa yang telah peserta didik pelajari selama ini.
Bab 6 Peluang 191 BAB 6 | Peluang Penjelasan Heru Heru berpikir tentang situasi di mana seseorang harus memutuskan apakah akan “mengubah kotak” dari awal atau tidak seperti berikut. Isilah dan berilah penjelasan. 2 3 Heru menduga bahwa jika keputusannya adalah “mengubah kotak” dari awal, maka kita akan memiliki kesempatan menang lebih besar. Jika kita ingin memeriksa apakah dugaan ini benar atau tidak dengan percobaan, pilihlah cara paling tepat untuk mengerjakan percobaan dari a ~ d berikut. Mainkan “ubah kotak” 3 kali dan periksa apakah akhirnya kita akan dapat memilih kotak berhadiah. Mainkan “ubah kotak” dan “tidak mengubah kotak” secara bergantian dan periksa dengan cara mana kita akan menang. Mainkan keduanya “ubah kotak” dan “tidak mengubah kotak” 3 kali, lalu bandingkan hasilnya. Mainkan keduanya ‘ubah kotak” dan “tidak mengubah kotak” 100 kali, lalu bandingkan hasilnya. Bila pertama kali kita memilih kotak berhadiah, tidak masalah kotak mana pun yang dibuka oleh pembawa acara, maka kotak yang belum terbuka pastilah kotak tidak berhadiah karena keduanya memang kotak tidak berhadiah. Jika pertama kali kita memilih kotak tidak berhadiah, Oleh karena itu, jika kita mengubah kotak, kita akan pasti memenangi permainan. a b c d Bab 6 Peluang 191 Kunci Jawaban 2 (2) Contoh Dua kotak yang tersisa masing-masing adalah kotak tertebak dan kotak meleset. Karena pembawa acara membuka kotak yang meleset, kotak yang tersisa selalu tertebak. (3) d 3. Pengerjaan 1 (3) Jika masih ada waktu, penting untuk melakukan eksperimen dan menegaskan kembali pemahaman tentang arti peluang. Meskipun di buku ajar pengerjaannya hanya sampai sini, Anda mungkin mendapati kemungkinan tertebak ketika kotak diubah di bagian akhir. Seperti yang Anda lihat dari ⑵, jika kotak yang Anda pilih pertama kali meleset, Anda pasti akan menang jika Anda mengganti kotak tersebut. Oleh karena itu, karena ini sama dengan kemungkinan memilih kotak yang awalnya meleset, maka peluangnya menjadi 2 3 . Referensi Soal Monty Hall Soal Monty Hall berasal dari perselisihan permainan dalam acara kuis Amerika yang diselenggarakan oleh Monty Hall. Isi soal penerapan ini sama dengan ini. Sekalipun dijelaskan hasil yang diperoleh dari teori peluang, masih banyak orang yang tidak yakin, sehingga disebut juga dilema atau paradoks Monty Hall. Bahkan, ketika kontroversi ini muncul, beberapa matematikawan tidak dapat memahaminya, dan itu menjadi kontroversi. Soal ini adalah semacam trik psikologis, dan ini adalah contoh yang baik dari soal di mana jawaban yang benar secara intuitif dan jawaban yang benar secara logis, berbeda. Ada soal yang disebut Soal Tiga Tahanan, yang secara substansial sama dengan Soal Monty Hall, dan telah dipelajari secara aktif di bidang psikologi (psikologi kognitif) di Jepang. "Ada tiga narapidana A, B, dan C. Para narapidana itu tahu bahwa salah satu dari mereka akan mendapat amnesti. Narapidana A diberi tahu nama narapidana lain yang akan dieksekusi setelah ia memohon kepada sipir penjara untuk memberitahukannya. Sipir itu menjawab bahwa narapidana B akan dieksekusi. Berapa peluang amnesti napi A yang mengajukan pertanyaan dan sisa narapidana C yang kepadanya sipir penjara tidak membocorkan nama?
192 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII Peluang Adanya Orang-Orang yang Memiliki Hari Ulang Tahun yang Sama 1 2 3 * 0,883; 0,117; 0,411.. adalah nilai-nilai pendekatan yang ditulis dalam tiga angka desimal. Banyaknya kasus berbeda dari 10 ulang tahun peserta didik adalah sebagai berikut. 365 × 364 × 363 × … × 356 = 365 10 1 Tingkatkan! Cermati Mari kita pikirkan “peluang terjadi adanya orangorang yang memiliki hari ulang tahun yang sama” di kelas. Sekarang misalkan ada 10 peserta didik di kelas dan misalkan 1 tahun 365 hari, serta lahir di tiap hari memiliki peluang yang sama. Pertama, mari pikirkan tentang “peluang bahwa kesepuluh peserta didik lahir di hari berbeda” berdasarkan prosedur berikut. Sumber: Dokumen Puskurbuk Kita dapat berpikir tentang kasus-kasus berbeda bahwa 10 peserta didik dilahirkan pada hari yang berbeda seperti berikut. Peserta didik memiliki 365 kasus berbeda dalam hal ulang tahun. Untuk setiap kasus, buang hari ulang tahun peserta didik 1, sehingga peserta didik 2 memiliki 364 kasus berbeda dalam hal ulang tahun. Selain itu, untuk setiap kasus, dengan membuang hari ulang tahun peserta didik 1 dan peserta didik 2, akibatnya peserta didik 3 memiliki 363 kasus berbeda terkait ulang tahun. Dengan berpikir seperti ini, banyaknya kasus berbeda bahwa 10 peserta didik dilahirkan pada hari yang berbeda adalah seperti berikut. 365 × 364 × 363 × … × 356 2 Apakah di kelasmu ada orang-orang yang memiliki ulang tahun yang sama? Buatlah dugaanmu berdasarkan gagasan peluang dan selidikilah! Jika kita misalkan “peluang bahwa 10 peserta didik dilahirkan pada hari yang berbeda” adalah p, maka menurut 1 dan 2 , diperoleh Oleh karena itu, “peluang bahwa akan ada peserta didik (dari 10 peserta didik) akan memiliki hari ulang tahun yang sama” adalah… 1 – p = 1 – 0,883 = 0,117 Jika kita hitung dengan cara yang sama untuk kasus 20 orang, maka peluang bahwa ada orang-orang yang memiliki ulang tahun yang sama adalah 0,411; sedangkan 0,706 untuk 30 orang, dan untuk 40 orang yang relatif tinggi, yaitu 0,891. p = (365 × 364 × 363… × 356) 365 10 = 0,8830… 192 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VIII Kunci Jawaban LEBIH DEKAT Contoh operasi hitung ① Jika 20 orang 1 – 365 × 364 × 363 × … × 346 36520 = 0,411 ② Jika 30 orang 1 – 365 × 364 × 363 × … × 346 36530 = 0,706 ③ Jika 40 orang 1 – 365 × 364 × 363 × … × 346 36540 = 0,891 Selain itu, jika 35 orang, maka menjadi 0,814, jika 57 orang menjadi 0,990. 〈Referensi〉 Misalkan jika terhadap 1. 365 × 364 × 363 × … × 346 36520 dilakukan operasi hitung, pembilang dan penyebut harus dihitung secara bergantian. Dengan kata lain, 365 : 365 × 364 : 365 × 363 : 365 × … × 346 : 365 Jika dimasukkan secara berurutan, maka dapat dihitung dalam cakupan jumlah digit kalkulator. Penjelasan dan Hal yang Perlu Diperhatikan 1. Peluang Orang dengan Ulang Tahun Sama Karena ada 365 cara hari ulang tahun, jika menggunakan perasaan, maka untuk sampai pada kisaran jumlah orang sekitar 10 atau 20 orang yang "memiliki peluang ulang tahun sama" di kelas, tampaknya sangat rendah. Namun, jika peluang benar-benar dihitung, masing-masing jumlahnya adalah 0,117 dan 0,411. Dapat dilihat pula bahwa meskipun ada orang dengan tanggal lahir sama, peluangnya tidak cukup rendah untuk disebut "kebetulan". Melalui kegiatan untuk menyelidiki bagaimana peluang berubah seiring dengan peningkatan jumlah peserta didik di kelas, guru dapat menyadari melesetnya perkiraan yang tak disangka-sangka, serta kegunaan matematika dalam kehidupan sehari-hari. 2. Cara Mencari Peluang Kita gunakan peluang kemunculan peristiwa pelengkap yang dipelajari di halaman 180. "Ada orang dengan ulang tahun yang sama" merupakan pelengkap dari "setiap orang memiliki ulang tahun yang berbeda". Perhatikan bahwa jumlah kasus dihitung di sini tanpa menggunakan diagram pohon, dll., sehingga dianggap sebagai "pengembangan". 3. Pengerjaan Dapat dipikirkan apakah peluang melebihi 0,5 dianggap sebagai kriteria. Faktanya, bahkan dalam kelas yang terdiri dari 40 orang (peluang 0,891), ada kasus di mana "setiap orang memiliki ulang tahun yang berbeda". Dalam hal ini, terdapat peluang untuk menegaskan kembali arti peluang, yaitu "sebuah angka yang menampilkan tingkat kemungkinan kejadian".
Pendalaman Materi Bab 6 Peluang 193 BAB 6 | Peluang 1 Contoh jumlah mata dadu 9 Contoh jumlah mata dadu 10 Manakah yang Memiliki Keuntungan? Pada abad ke-17 di Eropa, masalah tentang jumlah pelemparan dadu merupakan hal yang menarik. Masalahnya adalah bila ada 3 dadu dilempar bersamaan, untuk kasus bahwa jumlah ketiga mata dadu adalah 9 dan jumlah mata dadu 10, manakah yang lebih menguntungkan? Mari kita pikirkan masalah ini. Banyak orang berpikir bahwa akan ada 6 kasus berbeda sehingga jumlah mata dadu 9, dan 6 kasus berbeda agar jumlah mata dadu 10. Tidak masalah pilihan mana yang dipilih, itu akan memiliki kesempatan yang sama untuk menang. Tuliskan semua kasus untuk jumlah mata dadu 9 dan 10. 1 2 Di sisi lain, penjudi merasa bahwa jumlah mata dadu 10 muncul sedikit lebih sering daripada yang berjumlah 9 berdasar pengalaman. Orang yang menjawab masalah ini adalah ilmuwan Italia bernama Galileo Galilei. Galileo menunjukkan bahwa jumlah mata dadu 10 memiliki peluang lebih besar menggunakan teori peluang. Berpikirlah seperti Galileo dan jelaskan soal ini. Galileo Galilei (1564-1642) Sumber: biography.com Sebagai contoh, berapa banyak kasus yang terjadi ? Bab 6 Peluang 193 Manakah yang Memiliki Keuntungan? Tujuan Mampu memahami dan menjelaskan pertanyaan bagaimana dadu muncul menggunakan peluang. Kunci Jawaban 1 (1) Kombinasi jumlah angka dadu 9 {1, 2, 6}, {1, 3, 5}, {1, 4, 4}, {2, 2, 5}, {2, 3, 4}, {3, 3, 3} Kombinasi jumlah angka dadu 10 {1, 3, 6}, {1, 4, 5}, {2, 2, 6}, {2, 3, 5}, {2, 2, 4}, {3, 3, 4} Penjelasan dan Hal yang Perlu Diperhatikan 1. Pengerjaan 1 Saat melempar undi tiga dadu a, b, dan c secara bersamaan, misalnya, ada 6 cara {1, 2, 6} yang jumlah angkanya 9 pada tabel di bawah. a b c 1 2 6 1 6 2 2 1 6 2 6 1 6 1 2 6 2 1 Hasil berikut diperoleh dengan cara yang sama untuk kombinasi lain. 〈jika jumlah angka mata dadu adalah 9〉 {1, 2, 6} ... 6 cara, {1, 3, 5} ... 6 cara {1, 4, 4} ... 3 cara, {2, 2, 5} ... 3 cara {2, 3, 4} ... 6 cara, {3, 3, 3} ... 1 cara Berdasarkan ini, angka kejadian di mana jumlah mata dadunya 9 ada 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25 (cara) 〈jika jumlah angka mata dadu adalah 10〉 {1, 3, 6} ... 6 cara, {1, 4, 5} ... 6 cara {2, 2, 6} ... 3 cara, {2, 3, 5} ... 6 cara {2, 4, 4} ... 3 cara, {3, 3, 4} ... 3 cara Dari sini, angka kejadian di mana jumlah mata dadunya 10 ada 6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 27 (cara) Selain itu, jika melempar undi 3 dadu, maka keseluruhan angka kejadiannya menjadi 6 × 6 × 6 = 216 cara. Peluang jumlah angka mata dadu 9 adalah 25 216 . Peluang jumlah angka mata dadu 10 adalah 27 216 . Saat melempar undi tiga dadu, peluang (tingkat kemunculan) jumlah mata dadu n adalah sebagai berikut. Atas: Jumlah angka mata dadu n, Bawah: Kemunculan 3 4 5 6 7 8 9 10 1 216 3 216 6 216 10 216 15 216 21 216 25 216 27 216 11 12 13 14 15 16 17 18 27 216 25 216 21 216 15 216 10 216 6 216 3 216 1 216