แคลคูลัสเบื้องต้น (Calculus) เล่มที่ 1 เรื่อง ลิมิตของฟังก์ชันและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

แคลคลู สั เบื้องตน้ ( Calculus )
เลม่ ที่ 1

เรื่อง ลิมติ ของฟงั ก์ชนั
และ

ความต่อเนอ่ื งของฟงั ก์ชนั

ตวั ชวี้ ัด

คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ 6 กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
ช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 4-6 จานวน 2.5 หน่วยกติ

ผลการเรียนรู้
•หาลมิ ติ ของฟังก์ชันทก่ี าหนดให้ได้
•บอกได้ว่าฟังก์ชันที่กาหนดให้เป็ นฟังก์ชันต่อเน่ือง
หรือไม่

แบบทดสอบก่อนเรียน

1.ฟังกช์ นั ทกี่ ำหนดให้ ค่ำของ l→im − , lim ( ) และ lim
→ −
→

(ถำ้ ลิมิตมีคำ่ ) ฟังกช์ นั ต่อเน่ืองท่จี ดุ a หรือไม่

f(x) =‫׬‬32− , , ≤ 0, = 1
> 1
ก.มีควำมตอ่ เน่ืองที่ x=2 ข. มีควำมต่อเน่ืองที่ x=1

ค.ฟังกช์ นั ไม่ต่อเนื่องท่ี x=1 ง. หำค่ำไม่ได้

2.กำหนดของกรำฟฟังกช์ นั f ดงั แสดงในรูป จงหำ lim

→7

ก. หาคา่ ไมไ่ ด้ ข. ∞
ค. 2 ง. ไมม่ ลี มิ ติ

3.จงคำนวณหำคำ่ ของลิมิตฟังกช์ นั lim 2 + 7 − 3

→2

ก. 12 ข.13 ค.14 ง.15
ง. 130
4.จงคำนวณหำค่ำของลิมิตฟังกช์ นั ( 2+2)( 3+ 4 2-1)

ก. 145 ข. 138 ค. 152

5.จงหาค่าของ lim 2+ −6
2−4
→2 ค. 4 ง. 7
ก.5 ข. 2
43 33

6. จงหำค่ำของlim +1−1

x>0

ก. ½ ข. 1 ค. 2 ง. 4

7. จงหาค่าของlim +4−2

x>0

ก. 1 ข. 1 ค. 2 ง. -2
ง. -2
24 ง. -2
ง. -2
8. จงหาค่าของlim 3 −8
−2
x>8

ก. 4 ข. 1 ค.12

22

9. จงหาคา่ ของlim 2−√

x>4 4−

ก. 1 ข. 1 ค.12

42

10. จงหาคา่ ของlim 3 +1−1

x>0

ก. 1 ข. 1 ค.12

43

เฉลยทดสอบก่อนเรียน

1. ตอบ ข.
2. ตอบ ก.
3. ตอบ ง.
4. ตอบ ข.
5. ตอบ ก.
6. ตอบ ก.
7. ตอบ ข.
8. ตอบ ค.
9. ตอบ ก.

10. ตอบ ข.

ลมิ ติ ของฟังกช์ ัน

กำรหำค่ำของฟังกช์ ันมีควำมสำคญั อยำ่ งมำก กำรหำฟังก์ชนั โดยท่ีค่ำของโดเมนมีค่ำเขำ้
ใกลจ้ ำนวนจริงคำ่ หน่ึงน้ัน ถือวำ่ มีควำมสำคญั อยำ่ งยง่ิ เช่น

→ =

ซ่ึงกำรหำค่ำของฟังกช์ นั น้ีจะเป็นพ้ืนฐำนในกำรทำควำมเขำ้ ใจแคลคูลสั ข้นั สูงตอ่ ไป

• ให้ เป็นฟังกช์ นั ใดๆและ เป็นจำนวนจริง
และเป็นสมำชิกของโดนเมนของฟังกช์ นั ( )

• x เขำ้ ใกล้ a โดยท่ี x < a สำมำรถเขียนแทนดว้ ย x→ − และ

• x เขำ้ ใกล้ a โดยที่ x > a สำมำรถเขยี นแทนดว้ ย x → +

• ถำ้ x → − แลว้ ทำให้ มีค่ำเขำ้ ใกล้ 1 เรำเรียก 1 วำ่ ลิมิตดำ้ นซำ้ ยของ ท่ี
a และเขยี นแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์

lim = 1

→ −

การหาลมิ ติ ของฟังก์ชัน

กำรหำค่ำลิมิตของฟังกช์ นั สำมำรถทำได้ 3 วธิ ีดว้ ยกนั คือ กำรแทนคำ่ โดยตรง
กำรพิจำรณำจำกรำฟ และกำรใชท้ ฤษฎีบทของลิมิต

1.การหาลมิ ติ ของฟังก์ชันโดยการแทนค่าโดยตรง

ยกตวั อย่างโดยการพจิ ารณาฟังก์ชัน
= 2−1 ในกรณี → −เม่อื แทนค่าโดยตรงจะไดจ้ ำกกำรแทนค่ำ จะ
เห็นไดว้ ำ่ เมื่อ −→1 1−ฟังกช์ นั จะมีค่ำเขำ้ ใกล้ 2 ดงั น้นั เรำสำมำรถสรุปไดว้ ำ่

l→im − = 2

การหาลมิ ติ ของฟังก์ชันโดยการพจิ ารณาจากกราฟ

ทฤษฎีบท

และเรนจเ์ ปเม็น่ือสaับ, เcซ,ตLขอแลงจะำMนวเนป็จนรจิงำนโดวยนทจ่ีริงใด ๆ ถำ้ f และ g เป็นฟังกช์ นั ทม่ี ีโดเมน

lim = L และ lim = M แลว้
→ →
1. lim = c
→

2. lim = a
→

3. lim = , n∈ +
→
4. lim ( ) = c lim ( ) = cL
→ →
( ) + lim ( ) = L + M
5. lim [ ( ) + ( )] = lim
→
→ →
6. lim [ − ( )] = lim − lim = L − M
→ → →

7. lim [ ( ) ∙ ( )] = lim ( ) ∙ lim ( ) = L ∙ M
→ → →

8. lim [ ( )] = lim = , M ≠ 0

→

→ ( ) lim
→
9. lim [ ] ] = , n∈ I+
→ = [lim

→
10. lim ( )= lim ( )= , n∈ I+-{1} และ ∈
→ →

หลกั การหาค่าลมิ ติ ฟังก์ชัน

1.แทนค่ำ x ดว้ ย a ในฟังกช์ นั f แลว้ หำค่ำ f(a) ถำ้ f(a) หำคำ่ ได้ และมีคำ่ เดียว เรำจะ
ไดว้ ำ่

= f(a)

→

ในฟังกช์ นั f แลว้ หำคำ่ f(a) แลว้ f(a) อยใู่ นรูปที่กำหนดคำ่ ไม่ได้ อยำ่ งเช่น
00แล,ว้ ∞∞ใช,ท้ 0ฤษ0ฎ, ีบ1ท∞หำเคป็ำ่นลติมน้ ิตฟเรังำกจช์ะตนั อ้ เงพจอื่ ดั ใรหูป้เสกิดมคกวำรำมใหเขมำ้ ่ใหจรยือง่ิ ขเ้ึปนลเี่ยรนำลรอูปงตพวั ิจแำปรรณใำหม่
โจทยต์ วั อยำ่ งดงั ต่อไปน้ี

ตัวอยา่ ง

กำหนดให้ f(x) = 2−1 จงหำคำ่ ของลิมิต lim

+2 →1

วธิ ที า f(x) = 2 −1 = 0 เพรำะฉะน้นั เรำจะได้

+2

lim = f(x)= 0

→1

ตวั อย่าง

กำหนดให้ f(x) = 2−1 จงหำคำ่ ของลิมิต lim

−1 →1

วธิ ีทา f(1) = 1 2−1 = 0 จะเห็นไดว้ ำ่ ฟังกช์ นั อยใู่ นรูปกำหนดค่ำ
ไมไ่ ดเ้ พรำะฉะน้นั1เร−ำจ1ะตอ้ งจ0ดั รูป f(x) ใหม่ ดงั น้ี

= 2−1 = −1 +1 = x+1 ; x ≠ 1

−1 −1

เพรำะฉะน้นั เรำจะได้

lim = lim + 1 = lim + lim1 =
1+1=2 →1 →1 →1 →1

2.1 ลมิ ติ เข้าสู่อนันต์ของฟังก์ชัน

นอกจากลิมิตของฟังกช์ นั ท่ี x → a เม่ือ a คือ จานวนบนโดนเมนของฟังกช์ ัน

แลว้ ลมิ ติ ของฟังกช์ นั x → ∞ ก็เป็นสงิ่ สาคญั และพบบอ่ ยเม่อื นาความรูท้ งั้ ทาง
แคลคลู สั ไปประยกุ ตใ์ ชใ้ นวิทยาศาสตร์ ดงั นนั้ ในหวั ขอ้ ที่เราจะมาศึกษาลมิ ิตเขา้ สู่

อนนั ตข์ องฟังกช์ นั

โดยท่วั ไปเราสามารถเขยี นสญั ลกั ษณข์ อง เขา้ สอู่ นนั ของฟังกช์ นั f(x)ไดด้ งั นี้

ซง่ึ ในกรณีที่ หาค่าได้ นนั้ เราเรยี กลิมติ นีว้ า่ ลิมิตของ
→∞ →∞
ฟังกช์ นั ลเู่ ขา้ (Converge) และในกรณณีที่ หาค่าไมไ่ ด้ นนั้ เราเรยี ก
ลมิ ติ นีว้ า่ ลมิ ติ ของฟังกช์ นั ลอู่ อก (Diverge) →∞

ทฤษฎีบทเก่ียวกบั ลมิ ิตเขา้ สอู่ นนั ตข์ องฟังกช์ นั

1. 1 =
→∞
1
2. = 0 ; > 1

→∞
3. 1 = 0
→∞

ตัวอย่าง

กำหนดให้ f(x) = 2 −1 จงหำคำ่ ของ lim
2 +1
→∞

วธิ ีทา จดั รูปใหม่ของฟังกช์ นั ไดเ้ ป็น f(x) = −1 = 2−1 =(11+− 1122)
2+1 2(1+ 12)

เม่ือใชท้ ฤษฎีบทจะได้ lim 1− 12 = lim 1− 12 =
→∞ 1+ 12 → ∞ 1+ 12

lim 1− lim 1
→∞ →∞ 2
l→im∞1− l i→m∞ 12 = 1−0 =1
1+0

ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

บทนิยาม

เม่ือให้ A เป็นจำนวนจริงใดๆ ฟังกช์ นั y = f(x) เป็นฟังกช์ นั ที่ต่อเน่ืองที่ x= a ก็ต่อเม่ือ
ฟังกช์ นั y=f(x) มีคุณสมบตั ดิ งั ตอ่ ไปน้ี
f(a) หำคำ่ ไม่ได้
lim หำคำ่ ไม่ได้

→

ค l i→วmา ม ต่อ เน่ื=องข อง ฟังก์ชันโดยพจิ ารณาจากกราฟ

เพ่อื ให้เกิดควำมเขำ้ ใจและเห็นภำพเพ่มิ มำกข้นึ พิจำรณำตวั อยำ่ งของกรำฟ
ฟังกช์ นั ดงั ตอ่ ไปน้ี

หจะำเคหำ่ ็นไมได่ไวด้ ำ่้ แfล(2ะ)มหีคำำ่ คเท่ำำ่ไกมบั่ได3้ แนตน่ั ่ ค → ือ 2ฟ ัง ก ช์ นั
f(x) ไม่ตอ่ เน่ือง ซ่ึงจำกกำรดูกรำฟแลว้ เรำจะ
เห็นไดว้ ำ่ เสน้ กรำฟที่ f(x) ไม่ตอ่ เน่ืองที่ x = 2

จะเห็นไดว้ ำ่ เส้นกรำฟฟังกช์ นั น้นั มีควำมตอ่ เนื่องไม่ขำดตอน และเมื่อพจิ ำรณำจำกนิยำม
จะเห็นไดว้ ำ่ f(2) หำค่ำไดแ้ ละมีค่ำเทำ่ กบั 3 และลิมิตของlim หำคำ่ ไดแ้ ละมีค่ำ

→2

เท่ำกบั 3 น้นั คอื ฟังกช์ นั f(x) จะไดว้ ำ่ lim = 2 นน่ั คอื f(x) เป็น
ฟังกช์ นั ตอ่ เ น→ื่อ2งท่ี x=2

ความต่อเน่ืองของฟังก์ชันโดยพจิ ารณาจากนิยามและลมิ ติ ของฟังก์ชัน

เพื่อให้เกิดควำมเขำ้ ใจและสำมำรถหำไดว้ ำ่ ฟังกช์ นั ใด ๆ ทกี่ ำหนดให้มีควำมตอ่ เน่ือง
หรือไม่ พิจำรณำจำกโจทยต์ วั อยำ่ งดงั น้ี

ตัวอย่าง กำหนดให้ f(x) 2−3 −2 เม่อื ≥ 1 จงหำวำ่ f(x) มีควำมต่อเน่ืองท่ี x=1
เม่อื ≤ 1
หรือไม่ =‫׬‬3 − 5−1

2

วธิ ีทา จำกโจทยเ์ ม่ือพจิ ำรณำท่ี x=1 จะไดว้ ำ่ f(x) = 2−3 −2 = ( −2)( −1) = x-2 ดงั น้นั
f(1) = x-2 = -1 −1 −1

พิจำรณำ lim จะไดว้ ำ่ lim + 2 = −1
→1+ →1+

พจิ ำรณำ l→im1− จะไดว้ ำ่ l→im1− 3 −5 = 3−5 = -1
2 2

ดงั น้นั lim = -1 = f(1)
→1

แบบทดสอบหลงั เรียน

1.ฟังกช์ นั ทีก่ ำหนดให้ คำ่ ของ l→im − , lim ( ) และ lim
→ −
→

(ถำ้ ลิมิตมีคำ่ ) ฟังกช์ นั ตอ่ เนื่องทจ่ี ุด a หรือไม่

f(x) =‫׬‬32− , , ≤ 0, = 1
> 1
ก.มีความต่อเนื่องที่ x=1 ข. มีความต่อเน่ืองท่ี x=2

ค.หาคา่ ไมไ่ ด้ ง.ฟังกช์ นั ไมต่ อ่ เน่ืองท่ี x=1

2.กำหนดของกรำฟฟังกช์ นั f ดงั แสดงในรูป จงหำ lim

→7

ก. 2 ข. หำค่ำไม่ได้
ค. ∞ ง. ไม่มีลิมิต

3.จงคำนวณหำคำ่ ของลิมิตฟังกช์ นั lim 2 + 7 − 3

→2

ก. 14 ข.12 ค.13 ง.15

ก. 130 ข. 145 ค. 152 ง. 138

ก.4 ข. 7 ค. 2 ง. 5

3 3 34

6. จงหำค่ำของlim +1−1 ง. 4

x>0 ง. -2
ง. 12
ก. 2 ข. 1 ค. ½ ง. 12
ง. 12
7. จงหาคา่ ของlim +4−2

x>0

ก. 1 ข. 1 ค. 2

24

8. จงหาคา่ ของlim 3 −8
−2
x>8

ก. 4 ข. 1 ค.-2

22

9. จงหาคา่ ของlim 2−√
4−
x>4

ก. 4 ข. 1 ค.-2

24

10. จงหาค่าของlim 3 +1−1

x>0

ก. 4 ข. 1 ค.-2

23

เฉลยทดสอบหลงั เรียน

1. ตอบ ก.
2. ตอบ ข.
3. ตอบ ค.
4. ตอบ ง.
5. ตอบ ง.
6. ตอบ ค.
7. ตอบ ข.
8. ตอบ ง.
9. ตอบ ข.
10. ตอบ ข.

คณะผู้จดั ทา

นางสาวพมิ พกานต์ อนิ ทสุ เลขที่ 16
นางสาวรักดวงชม เกษร เลขท่ี 18
นางสาวอาภาพร วงษ์สีษา เลขท่ี 29
นางสาวสิรินดา หอมช่ืน เลขที่ 31

เสนอ

คุณครูนฤดี โอบอ้อม

ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 6/1
โรงเรียนมธั ยมบ้านบางกะปิ สานกั งานเขตบางกะปิ

กรุงเทพมหานคร