คณิตศาสตร์

ศคาณสิตตร์

ตรรกศาสตร์

ตรรกศาสตร์ คืออะไร

ตรรกศาสตร์ คือ วิชาที่ว่าด้วยกฎเกณฑ์และเหตุผล การได้มาของ
ผลภายใต้กฎเกณฑ์ที่กำหนดถือเป็นสาระสำคัญ ข้อความหรือการให้

เหตุผลในชีวิตประจำวันสามารถสร้างเป็นรูปแบบที่ชัดเจนจน ใช้

ประโยชน์ในการสรุปความ ความสมเหตุสมผลเป็นที่ยอมรับกันอย่าง

กว้างขวาง ตรรกศาสตร์เป็นแม่บทของคณิตศาสตร์แขนงต่าง ๆ และ

การประยุกต์

ประพจน์ คืออะไร

ประพจน์ คือ ประโยคที่มีค่าความจริง เป็นจริงหรือเท็จ อย่างใดอย่างหนึ่ง โดย
ประโยคที่เป็นประพจน์ จะมีลักษณะเป็นประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ
ประโยคที่ไม่เป็นประพจน์ จะมีลักษณะเป็นประโยคคำถาม คำสัง ขอร้อง

และประโยคอุทาน
ประโยคที่มีค่าความจริงไม่แน่นอน หรือไม่อาจระบุได้ว่ามีค่าความจริงว่า
เป็นจริงหรือเท็จได้ จะไม่เป็นประพจน์

ตัวเชื่อมประพจน์

ถ้าให้ p และ q เป็นประพจน์ เมื่อนำประพจน์มาเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อมแล้ว
เราเรียกประพจน์ใหม่ว่า ประพจน์เชิงประกอบ ซึ่งตัวเชื่อมที่ใช้จะมี 5 ตัว คือ

∧“และ” ใช้สัญลักษณ์
∨“หรือ” ใช้สัญลักษณ์
↔“ถ้า…แล้ว…” ใช้สัญลักษณ์ →

“ก็ต่อเมื่อ” ใช้สัญลักษณ์
“นิเสธ” ใช้สัญลักษณ์ ~

อ่านต่อ

ตรรกศาสตร์

ตารางค่าความจริงของตัวเชื่อม



เป็นจริง ใช้สัญลักษณ์ T
เป็นเท็จ ใช้สัญลักษณ์ F

ประพจน์ที่สมมูลกัน



≡คือ รูปแบบของประพจน์สองรูปแบบที่มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี


เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

คุณสมบัติของการสมมูลของรูปแบบประพจน์

กำหนดให้ A, B และ C เป็นรูปแบบของประพจน์ C

≡1. การสะท้อน: A A
≡ ≡2. การสมมาตร: ถ้า A B แล้ว B A
≡ ≡ ≡3. การถ่ายทอด: ถ้า A B แล้ว B C แล้ว A

ตัวอย่างประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรรู้
∧ ∧p q สมมูลกับ q p ∧ ∨ ∧ ∨ ∧p (q r) สมมูลกับ (p q) (p r)
∨ ∨p q สมมูลกับ q p ∨ ∧ ∨ ∧ ∨p (q r) สมมูลกับ (p q) (p r)
∧ ∧ ∧ ∧(p q) r สมมูลกับ p (q r) ∨p → q สมมูลกับ ~p q
∨ ∨ ∨ ∨(p q) r สมมูลกับ p (q r) ⇔ ∧p → q สมมูลกับ ~q → ~p

p q สมมูลกับ (p → q) (q → p)

อ่านต่อ

ตรรกศาสตร์

ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน

คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามทุกกรณี ใช้สัญลักษณ์ ~ แทนนิเสธ
จากนิยาม รูปแบบประพจน์ A เป็นนิเสธของ รูปแบบประพจน์ B ก็ต่อเมื่อ

ค่าความจริงของ A และ B ต่างกันทุกกรณี

≡ค่าความจริงของ A และ ~B เหมือนกันทุกกรณี

A ~B
ดังนั้น A เป็นนิเสธของ B ก็ต่อเมื่อ A สมมูลกับ ~B

ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นนิเสธกันที่ควรรู้

∧ ∨~(p q) สมมูลกับ ~p ~q
∨ ∧~(p q) สมมูลกับ ~p ~q
∧~(p → q) สมมูลกับ p ~q
⇔ ⇔ ∨ ⇔~(p q) สมมูลกับ (p ~q) (q ~p)
⇔ ∧ ∨ ∧~(p q) สมมูลกับ (p ~q) (q ~p)

สัจนิรันดร์

คือ รูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี

ประโยคเปิด

คือ ข้อความที่อยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ ที่มีตัวแปรและสื่อแทนค่า
ของตัวแปรนั้น จะได้ค่าความจริงแน่นอน หรือเป็นประพจน์

นิยมใช้สัญลักษณ์ P(x), P(x , y), Q(x , y)
แทนประโยคเปิดที่มีตัวแปรระบุในวงเล็บ

อ่านต่อ

ตรรกศาสตร์

∀ ∃ตัวบ่งปริมาณ ( , )

คือ ตัวระบุจำนวนสมาชิกในเอกภพสัมพั ทธ์ที่ทำให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์

ตัวบ่งปริมาณมี 2 ชนิด คือ

∀ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึงสมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพั ทธ์ ซึ่งเขียนแทนได้ด้วย


สัญลักษณ์ อ่านว่า “สำหรับสมาชิก x ทุกตัว”

∃ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึงสมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพั ทธ์ ซึ่งเขียนแทนได้ด้วย


สัญลักษณ์ อ่านว่า “สำหรับสมาชิก x บางตัว”

ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ x ทุกตัวในเอกภพสัมพั ทธ์ทำให้ P(x)


เป็นจริง

∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อมี x อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นเท็จ
∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมี x อย่าน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นจริง
∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อไม่มี x ใดๆ ในเอกภพสัมพั ทธ์ที่ทำให้ P(x)


เป็นจริง

นิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

∀ ∃~ x[P(x)] สมมูลกับ x[~P(x)]
∃ ∀~ x[P(x)] สมมูลกับ x[~P(x)]
∀ ∃~ x[~P(x)] สมมูลกับ x[P(x)]
∃ ∀~ x[~P(x)] สมมูลกับ x[P(x)]

การอ้างเหตุผล

คือ การอ้างว่า สำหรับเหตุการณ์ P1, P2,…, Pn ชุดหนึ่ง สามารถสรุปผลที่ตามมา

-> C ได้ โดยการอ้างเหตุผลประกอบด้วย 2 ส่วน คือ เหตุ (สิ่งที่กำหนดให้) และ
ผล (สิ่งที่ตามมา)

∧ ∧สำหรับการพิ จารณาว่า การอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผลหรือไม่ สามารถพิ จารณา


ได้จากประพจน์ ( P1 P2 … Pn) → C ถ้าประพจน์ดังกล่าวมีค่าความจริงเป็น

จริงเสมอ (เป็นสัจนิรันดร์) เราสามารถสรุปได้ว่าการอ้างเหตุผลดังกล่าวเป็นการอ้าง

ที่สมเหตุสมผล


Stop