หน่วยที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว (ม.3) โดยครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน หน้า 1
หน่วยที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว (ม.3) โดยครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน หน้า 1 แบบฝึกทักษะที่ 3.1 ชื่อ .................................................................... แนะนำสมการกำลังสองตัวแปรเดียว ชั้น ม. 3 / ........ เลขที่ .......... สมการกำลังสองตัวแปรเดียว มีรูปทั่วไปคือ สมการ 2 ax bx c + + = 0 เมื่อ x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็นค่าคง ตัว โดยที่ a 0 ตัวอย่างสมการกำลังสองตัวแปรเดียว 4 ข้อ ต่อไปนี้ 1) 2 x x + =5 2 ( ) ( ) 2 x x + = 5 + − + − 2x x 2 2 ( ) 2 x x + − + = 2 5 0 เทียบสมการ 2 ax bx c + + = 0 จะได้ a = 1 b = -2 c = 5 2) − + = − y y (4 7 8 ) 2 − − = − 4 8 y y7 + 8 + 8 ( ) ( ) 2 − + − + = 4 7 8 0 y y เทียบสมการ 2 ax bx c + + = 0 จะได้ a = -4 b = -7 c = 8 3) 2 2 2 10 3 4 m m − = − + 2 2 2 10 3 4 0 m m − + − = ( ) 2 5 14 0 m − = ( ) ( ) 2 5 0 14 0 m m + + − = เทียบสมการ 2 ax bx c + + = 0 จะได้ a = 5 b = 0 c = -14 หรือ 2 2 − + = − 3 4 2 10 m m 2 2 − + − + = 3 4 2 10 0 m m 2 − + + = 5 0 14 0 m m เทียบสมการ 2 ax bx c + + = 0 จะได้ a = -5 b = 0 c = 14 4) 2 10 3 = − k 2 10 3 0 + = k 2 3 0 10 0 k k + + = เทียบสมการ 2 ax bx c + + = 0 จะได้ a = 3 b = 0 c = 10 หรือ 2 10 3 = − k 2 − = 3 10 k ( ) 2 − + + − = 3 0 10 0 k k เทียบสมการ 2 ax bx c + + = 0 จะได้ a = -3 b = 0 c = -10 จากตัวอย่างสมการที่ 1 – 4 เราสามารถจัดรูปทั่วไปของสมการกำลังสองตัวแปรเดียว คือ 2 x x + =5 2 จัดสมการได้เป็น ( ) 2 x x + − + = 2 5 0 − + = − y y (4 7 8 ) จัดสมการได้เป็น ( ) ( ) 2 − + − + = 4 7 8 0 y y 2 2 2 10 3 4 m m − = − + จัดสมการได้เป็น ( ) ( ) 2 5 0 14 0 m m + + − = หรือ 2 − + + = 5 0 14 0 m m 2 10 3 = − k จัดสมการได้เป็น 2 3 0 10 0 k k + + = หรือ ( ) 2 − + + − = 3 0 10 0 k k
หน่วยที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว (ม.3) โดยครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน หน้า 2 1. สมการที่กำหนดต่อไปนี้ เป็นสมการกำลังสองตัวแปรเดียวหรือไม่ จงเขียน✓ลงในช่องที่เป็นคำตอบที่ถูกต้อง ข้อ ที่ สมการ จัดสมการเป็นรูปทั่วไป 2 ax bx c + + = 0 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว เป็น ไม่เป็น 1 2 − + − = z z 15 4 0 ( ) ( ) 2 − + − + = 1 4 15 0 z z ✓ 2 2 0 6 5 = − t ( ) 2 6 0 5 0 t t + + − = ✓ 3 4 – 3x = 0 ขาดพจน์ 2 ax ✓ 4 2 1 3 7 0 2 4 u u + − = 2 3 1 7 0 4 2 − + + = u u ✓ 5 0 = s(s - 9) ( ) 2 s s + − + = 9 0 0 ✓ 6 2 m n + − = 2 1 0 มี 2 ตัวแปร ✓ 7 0 = x + 2x ขาดพจน์ 2 ax ✓ 8 2 12 0 y = 2 12 0 0 0 y y + + = ✓ 9 2 2 3 8 5 3 0 w w w + − − = 2 0 8 5 0 w w + − = ✓ 10 2 0 11 12 13 = − + v v 2 − + + = 12 11 13 0 v v ✓ 2. จงเขียนสมการกำลังสองตัวแปรเดียวต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปทั่วไป 2 ax bx c + + = 0 เมื่อ x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็นค่าคงตัว โดยที่ a 0 พร้อมทั้งบอกค่า a, b และ c ในแต่ละสมการ 1) 2 x x − = 3 8 ( ) ( ) ( ) 2 x x + − + − = + − 3 8 8 8 ( ) ( ) 2 x x + − + − = 3 8 0 เทียบสมการ 2 ax bx c + + = 0 จะได้ a = 1 b = -3 c = -8 2) 2 2 7 m m − = ( ) ( ) ( ) 2 2 7 m m m m + − + − = + − ( ) ( ) 2 2 1 7 0 m m + − + − = เทียบสมการ 2 ax bx c + + = 0 จะได้ a = 2 b = -1 c = -7 3) 2 z = −4 2 z + = − + 4 4 4 2 z z + + = 0 4 0 เทียบสมการ 2 ax bx c + + = 0 จะได้ a = 1 b = 0 c = 4 4) 2 0.8 1 1.5 x x − = 2 1.5 0.8 1 x x = − ( ) 2 1.5 0.8 1 0 x x + − + = เทียบสมการ 2 ax bx c + + = 0 จะได้ a = 1.5 b = -0.8 c = 1 5) ( ) 2 k − = 1 0 ( )( ) ( ) 2 2 k k − + = 2 1 1 0 2 k k − + = 2 1 0 เทียบสมการ 2 ax bx c + + = 0 จะได้ a = 1 b = -2 c = 1 6) 3z(1.2 - z) = 2.4 2 3.6 3 2.4 z z − = ( ) 2 − + + − = 3 3.6 2.4 0 z z เทียบสมการ 2 ax bx c + + = 0 จะได้ a = -3 b = 3.6 c = -2.4
หน่วยที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว (ม.3) โดยครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน หน้า 3 7) 2 2 y y y + = − 6 2 3 ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... 8) ( ) 2 n n + = + 4 1 8 ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... 9) (m - 9)(m + 9) = 2 9 − m ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... 10) 2 2 5 3 k − =k ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... ...................................................................................
หน่วยที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว (ม.3) โดยครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน หน้า 4 แบบฝึกทักษะที่ 3.2 ชื่อ .................................................................... การแทนค่าเพื่อหาคำตอบของสมการกำลังสอง ชั้น ม. 3 / ........ เลขที่ .......... 1. จงตรวจสอบว่า จำนวนที่กำหนดให้เป็นคำตอบของสมการในแต่ละข้อหรือไม่ 1) 2 x x − − = 5 14 0 วิธีทำ เมื่อแทน x = 7 ในสมการ 2 x x − − 5 14 = 0 จะได้ 2 ( ) 5( 1 7 7 − −) 4 = 0 49 – 35 - 14 = 0 0 = 0 เป็นจริง ดังนั้น 7 เป็นคำตอบของสมการนี้ เมื่อแทน x = -2 ในสมการ 2 x x − − 5 14 = 0 จะได้ 2 ( ) 5( 4 -2 -2 − −) 1 = 0 4 + 10 - 14 = 0 0 = 0 เป็นจริง ดังนั้น -2 เป็นคำตอบของสมการนี้ 2) 2 n n − + = 6 9 0 วิธีทำ เมื่อแทน n = 3 ในสมการ 2 n n − + 6 9 = 0 จะได้ 2 ( ) 6 9 3 − + (3) = 0 9 – 18 + 9 = 0 0 = 0 เป็นจริง ดังนั้น 3 เป็นคำตอบของสมการนี้ เมื่อแทน n = 0 ในสมการ 2 n n − + 6 9 = 0 จะได้ 2 ( ) 6 9 0 − + (0) = 0 0 – 0 + 9 = 0 9 = 0 เป็นเท็จ ดังนั้น 0 ไม่เป็นคำตอบของสมการนี้
หน่วยที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว (ม.3) โดยครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน หน้า 5 3) 2 2 7 0 x x − = วิธีทำ เมื่อแทน x = 7 ในสมการ 2 2 7 x x − = 0 จะได้ 2 2( ) 7( ) 7 7 − = 0 2(49) – 49 = 0 49 = 0 เป็นเท็จ ดังนั้น 7 ไม่เป็นคำตอบของสมการนี้ เมื่อแทน x = 0 ในสมการ 2 2 7 x x − = 0 จะได้ 2 2( ) 7( ) 0 0 − = 0 0 – 0 = 0 0 = 0 เป็นจริง ดังนั้น 0 เป็นคำตอบของสมการนี้ 4) 2 2 15 7 y y = + วิธีทำ เมื่อแทน y = 5 ในสมการ 2 2y = 15 + 7y จะได้ 2 2(5) = 15 + 7(5) 2(25) = 15 + 35 50 = 50 เป็นจริง ดังนั้น 0 เป็นคำตอบของสมการนี้ เมื่อแทน y = 3 2 −ในสมการ 2 2y = 15 + 7y จะได้ 2 2 3 2 − = 15 + 7(−1 5. ) 2 9 4 = 15 + 10.5 4.5 = 4.5 เป็นจริง ดังนั้น 3 2 −เป็นคำตอบของสมการนี้
หน่วยที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว (ม.3) โดยครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน หน้า 6 5) 2 0 25 = + x วิธีทำ เมื่อแทน x = 5 ในสมการ 2 x + 25 = 0 จะได้ 2 (5) 25 + = 0 25 + 25 = 0 50 = 0 เป็นเท็จ ดังนั้น 5 ไม่เป็นคำตอบของสมการนี้ เมื่อแทน x = -5 ในสมการ 2 x + 25 = 0 จะได้ 2 ( 2 −5) 5 + = 0 25 + 25 = 0 50 = 0 เป็นเท็จ ดังนั้น 5 ไม่เป็นคำตอบของสมการนี้ 6) 2 4 4 1 z z + = − วิธีทำ เมื่อแทน z = 1 2 −ในสมการ 2 4 4 z z + = -1 จะได้ 2 4 4 1 1 2 2 − − + = -1 ( ) 4 2 1 1 4 − + = -1 -2 + 1 = -1 -1 = -1 เป็นจริง ดังนั้น 1 2 −เป็นคำตอบของสมการนี้ เมื่อแทน z = -1 ในสมการ 2 4 4 z z + = -1 จะได้ ( ) ( ) 2 4 −1 1 + 4 − = -1 -4 + 4(1) = -1 -4 + 4 = -1 0 = -1 เป็นเท็จ ดังนั้น -1 ไม่เป็นคำตอบของสมการนี้
หน่วยที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว (ม.3) โดยครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน หน้า 7 7) 2 m m − =6 วิธีทำ เมื่อแทน m = -2 ในสมการ 2 m − 6 = m จะได้ ( ) 2 −2 − 6 = -2 4 - 6 = -2 -2 = -2 เป็นจริง ดังนั้น -2 เป็นคำตอบของสมการนี้ เมื่อแทน m = -3 ในสมการ 2 m − 6 = m จะได้ ( ) 2 −3 − 6 = -2 9 - 6 = -2 3 = -2 เป็นจริง ดังนั้น -3 ไม่เป็นคำตอบของสมการนี้ 8) 2 y y = − 10 25 วิธีทำ เมื่อแทน y = 5 ในสมการ 2 y = 10y - 25 จะได้ ( ) 2 5 = 10(5) - 25 25 = 50 - 25 25 = 25 เป็นจริง ดังนั้น 5 เป็นคำตอบของสมการนี้ เมื่อแทน y = 2 ในสมการ 2 y = 10y - 25 จะได้ ( ) 2 2 = 10(2) - 25 4 = 20 - 25 4 = -5 เป็นเท็จ ดังนั้น 2 ไม่เป็นคำตอบของสมการนี้
หน่วยที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว (ม.3) โดยครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน หน้า 8 แบบฝึกทักษะที่ 3.3 ชื่อ .................................................................... ทบทวนก่อนการแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว ชั้น ม. 3 / ........ เลขที่ .......... สมบัติการแจกแจง ca + cb = c(a + b) 1) 2 x x + 2 = xx + 2x = x(x + 2) 2) 2 3 6 x x − = 3xx – 2(3)(x) = 3x(x - 2) 3) 2 2 10 y y − = 2yy – 2(5)y = 2y(y – 5) 4) 2 5 15 k k + = 5kk + 3(5)k = 5k(k + 3) 5) 2 10 6 x x − = 2(5)x – 2(3)xx = 2x(5 – 3x) ผลต่างกำลังสอง 2 2 น − ล = (น + ล)(น - ล) 1) 2 x − 4 = ( ) ( ) 2 2 x − 2 = (x + 2)(x - 2) 2) 2 y − 9 = ( ) ( ) 2 2 y − 3 = (y + 3)(y - 3) 3) 2 m − 25 = ( ) ( ) 2 2 m − 5 = (m + 5)(m - 5) 4) 2 a −100 = ( ) ( ) 2 2 a − 10 = (a + 10)(a - 10) 5) 2 4 49 x − = ( ) ( ) 2 2 2 7 x − = (2x + 7)(2x - 7) 6) 2 9 81 y − = ( ) ( ) 2 2 3 9 y − = (3y + 9)(3y - 9) กำลังสองสองสมบูรณ์ 2 2 น + + 2นล ล = ( ) 2 น + ล 2 2 น − + 2นล ล = ( ) 2 น − ล 1) 2 x x + + 2 1 = ( ) ( )( ) ( ) 2 2 x x + + 2 1 1 = ( ) 2 x +1 2) 2 4 12 9 x x − + = ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 x x − + = ( ) 2 2 3 x − 3) 2 x x − + 10 25 = ( ) ( )( ) ( ) 2 2 x x − + 2 5 5 = ( ) 2 x − 5 4) 2 x x + + 14 49 = ( ) ( )( ) ( ) 2 2 x x + + 2 7 7 = ( ) 2 x + 7 5) 2 x x − + 24 144 = ( ) ( )( ) ( ) 2 2 x x − + 2 12 12 = ( ) 2 x −12 6) 2 9 3 4 x x − + = ( ) ( ) 2 2 3 2 3 2 2 − + x x = 2 3 2 x − 7) 2 4 20 25 x x + + = ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 5 x x + + 2 2 5 = ( ) 2 2 5 x + 8) 2 9 24 16 x x − + = ( ) ( )( ) ( ) 2 2 3 4 x x − + 2 3 4 = ( ) 2 3 4 x −
หน่วยที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว (ม.3) โดยครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน หน้า 9 การแยกตัวประกอบของพหุนามในรูป 2 วงเล็บ ข้อ พหุนาม แยกพหุนาม เฉลยจากครู 1 2 x x − − 6 (x - 3)(x + 2) 2 2 x x + + 5 6 (x + 3)(x + 2) 3 2 x x − − 7 8 (x - 8)(x + 1) 4 2 x x − + 11 24 (x - 8)(x - 3) 5 2 x x + + 11 30 (x + 5)(x + 6) 6 2 x x + − 2 24 (x - 4)(x + 6) 7 2 x x − − 2 35 (x - 7)(x + 5) 8 2 x x − + 9 20 (x - 4)(x - 5) 9 2 x x + + 14 49 (x + 7)(x + 7) 10 2 x x + − 9 22 (x - 2)(x + 11) 11 2 x x − − 4 21 (x - 7)(x + 3) 12 2 x x − + 14 24 (x - 12)(x - 2) 13 2 x x − − 8 48 (x - 12)(x + 4) 14 2 x x − + 14 48 (x - 6)(x - 8) 15 2 x x + − 22 48 (x - 2)(x + 24) 16 2 x x − − 13 48 (x + 3)(x - 16) 17 2 x x + − 4 32 (x - 4)(x + 8) 18 2 x x − − 4 12 (x - 6)(x + 2) 19 2 x x − − 4 96 (x - 12)(x + 8) 20 2 x x + − 4 60 (x - 6)(x + 10) 21 2 2 5 2 x x + + (2x + 1)(x + 2) 22 2 3 2 x x − − (3x + 2)(x - 1) 23 2 2 10 x x + − (2x + 5)(x - 2) 24 2 4 8 3 x x + + (2x + 1)(2x + 3) 25 2 6 7 3 x x − − (2x - 3)(3x + 1) 26 2 2 5 12 x x − − (2x + 3)(x - 4) 27 2 6 13 6 x x + + (2x + 3)(3x + 2) 28 2 5 6 8 x x + − (5x - 4)(x + 2) 29 2 9 30 9 x x − + ( ) 2 3 3 10 3 x x − + = 3(3x - 1)(x - 3) 30 2 14 20 6 x x − + ( ) 2 2 7 10 3 x x − + = 2(7x - 3)(x - 1)
หน่วยที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว (ม.3) โดยครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน หน้า 10 แบบฝึกทักษะที่ 3.4 ชื่อ .................................................................... การแก้สมการกำลังสอง โดยการแยกตัวประกอบของพหุนาม ชั้น ม. 3 / ........ เลขที่ .......... 1. จงแก้สมการต่อไปนี้โดยใช้สมบัติการแจกแจง 1) 2 y y − = 5 0 วิธีทำ จาก 2 y y − 5 = 0 จะได้ y(y - 5) = 0 ดังนั้น y = 0 หรือ y – 5 = 0 นั่นคือ y = 0 หรือ y = 5 คำตอบของสมการนี้คือ 0 และ 5 2) 2 w w = −6 วิธีทำ จาก 2 w = - 6w 2 w w + 6 = 0 จะได้ w(w + 6) = 0 ดังนั้น w = 0 หรือ w + 6 = 0 นั่นคือ w = 0 หรือ w = -6 คำตอบของสมการนี้คือ 0 และ -6 3) 2 3 12 m m = − วิธีทำ จาก 2 3 12 m m + = 0 จะได้ 3m(m + 4) = 0 ดังนั้น 3m = 0 หรือ m + 4 = 0 นั่นคือ m = 0 หรือ m = -4 คำตอบของสมการนี้คือ 0 และ -4 4) 2 z z − = 0 วิธีทำ จาก 2 z z − = 0 จะได้ z(1 - z) = 0 ดังนั้น z = 0 หรือ 1 - z = 0 นั่นคือ z = 0 หรือ 1 = z คำตอบของสมการนี้คือ 0 และ 1
หน่วยที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว (ม.3) โดยครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน หน้า 11 1. จงแก้สมการต่อไปนี้โดยใช้ผลต่างกำลังสอง 1.1) 2 y − =1 0 วิธีทำ จาก ( ) ( ) 2 2 y − 1 = 0 จะได้ (y + 1) (y - 1) = 0 ดังนั้น y + 1 = 0 หรือ y - 1 = 0 นั่นคือ y = -1 หรือ y = 1 คำตอบของสมการนี้คือ -1 และ 1 1.2) 2 x − = 64 0 วิธีทำ จาก ( ) ( ) 2 2 x − 8 = 0 จะได้ (x + 8) (x - 8) = 0 ดังนั้น x + 8 = 0 หรือ x - 8 = 0 นั่นคือ x = -8 หรือ x = 8 คำตอบของสมการนี้คือ -8 และ 8 1.3) 2 x − = 225 0 วิธีทำ จาก ( ) ( ) 2 2 x − 15 = 0 จะได้ (x + 15) (x - 15) = 0 ดังนั้น x + 15 = 0 หรือ x - 15 = 0 นั่นคือ x = -15 หรือ x = 15 คำตอบของสมการนี้คือ -15 และ 15 1.4) 2 4 121 0 x − = วิธีทำ จาก ( ) ( ) 2 2 2 11 x − = 0 จะได้ (2x + 11) (2x - 11) = 0 ดังนั้น 2x + 11 = 0 หรือ 2x - 11 = 0 นั่นคือ x = 11 2 −หรือ x = 11 2 คำตอบของสมการนี้คือ 11 2 −และ 11 2
หน่วยที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว (ม.3) โดยครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน หน้า 12 2. จงแก้สมการต่อไปนี้ 2.1) 2 n = −4 วิธีทำ จาก 2 n = -4 เนื่องจาก จำนวนจริงใดๆยกกำลังสองแล้วจะต้องเป็นจำนวนจริงบวกหรือศูนย์ ดังนั้น ไม่มีจำนวนจริงใดยกกำลังสองแล้ว ได้ผลลัพธ์เป็น -4 นั่นคือ สมการนี้ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบ 2.2) 2 z + = 16 0 วิธีทำ จาก 2 z = −16 เนื่องจาก จำนวนจริงใดๆยกกำลังสองแล้วจะต้องเป็นจำนวนจริงบวกหรือศูนย์ ดังนั้น ไม่มีจำนวนจริงใดยกกำลังสองแล้ว ได้ผลลัพธ์เป็น -16 นั่นคือ สมการนี้ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบ 3. จงแก้สมการต่อไปนี้โดยใช้กำลังสองสองสมบูรณ์ 3.1) 2 x x − + = 12 36 0 วิธีทำ จาก 2 x x − + 12 36 = 0 ( )( ) ( ) 2 2 x x − + 2 6 6 = 0 จะได้ ( ) 2 x − 6 = 0 ดังนั้น x - 6 = 0 นั่นคือ x = 6 คำตอบของสมการนี้คือ 6 3.2) 2 x x + + 24 144 = 0 วิธีทำ จาก 2 x x + + 24 144 = 0 ( )( ) ( ) 2 2 x x + + 2 12 12 = 0 จะได้ ( ) 2 x +12 = 0 ดังนั้น x + 12 = 0 นั่นคือ x = -12 คำตอบของสมการนี้คือ -12 3.3) 2 4 28 49 x x + + = 0 วิธีทำ จาก 2 4 28 49 x x + + = 0 ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 7 7 x x + + = 0 จะได้ ( ) 2 2 7 x + = 0 ดังนั้น 2x + 7 = 0 นั่นคือ x = 7 2 − คำตอบของสมการนี้คือ 7 2 −
หน่วยที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว (ม.3) โดยครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน หน้า 13 3.4) 2 2 12 18 x x + + = 0 วิธีทำ จาก ( ) 2 2 6 9 x x + + = 0 พิจารณา ( ) ( )( ) ( ) 2 2 x x + + 2 3 3 = 0 จะได้ ( ) 2 x + 3 = 0 ดังนั้น x + 3 = 0 นั่นคือ x = -3 คำตอบของสมการนี้คือ -3 4. จงแก้สมการต่อไปนี้โดยใช้วิธีการแยกตัวประกอบ 2 วงเล็บ 4.1) 2 x +12 = 8x วิธีทำ จาก 2 x x − + 8 12 = 0 จะได้ (x - 2) (x - 6) = 0 ดังนั้น x - 2 = 0 หรือ x - 6 = 0 นั่นคือ x = 2 หรือ x = 6 คำตอบของสมการนี้คือ 2 และ 6 4.2) 2 2 7 4 x x + − = 0 วิธีทำ จาก 2 2 7 4 x x + − = 0 จะได้ (2x - 1) (x + 4) = 0 ดังนั้น 2x - 1 = 0 หรือ x + 4 = 0 นั่นคือ x = 1 2 หรือ x = -4 คำตอบของสมการนี้คือ 1 2 และ -4 4.3) 2 2 10 12 x x − + = 0 วิธีทำ จาก ( ) 2 2 x x − + 5 6 = 0 พิจารณา 2 x x − + 5 6 = 0 จะได้ (x - 2) (x - 3) = 0 ดังนั้น x - 2 = 0 หรือ x - 3 = 0 นั่นคือ x = 2 หรือ x = 3 คำตอบของสมการนี้คือ 2 และ 3
หน่วยที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว (ม.3) โดยครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน หน้า 14 4.4) 2 2 9 18 x x − − = 0 วิธีทำ จาก 2 2 7 4 x x + − = 0 จะได้ (2x - 1) (x + 4) = 0 ดังนั้น 2x - 1 = 0 หรือ x + 4 = 0 นั่นคือ x = 1 2 หรือ x = -4 คำตอบของสมการนี้คือ 1 2 และ -4 4.5) x(x - 2) = 120 วิธีทำ จาก 2 x x − − 2 120 = 0 จะได้ (x - 12) (x + 10) = 0 ดังนั้น x - 12 = 0 หรือ x + 10 = 0 นั่นคือ x = 12 หรือ x = -10 คำตอบของสมการนี้คือ 12 และ -10 4.6) 2 − + − x x8 15 = 0 วิธีทำ นำ -1 คูณทั้งสองข้างของสมการ จะได้ 2 x x − + 8 15 = 0 (x - 3) (x - 5) = 0 ดังนั้น x - 3 = 0 หรือ x - 5 = 0 นั่นคือ x = 3 หรือ x = 5 คำตอบของสมการนี้คือ 3 และ 5 4.7) 2 6x = 5x + 6 วิธีทำ จาก 2 6 5 6 x x − − = 0 จะได้ (2x - 3) (3x + 2) = 0 ดังนั้น 2x - 3 = 0 หรือ 3x + 2 = 0 นั่นคือ x = 3 2 หรือ x = 2 3 − คำตอบของสมการนี้คือ 3 2 และ 2 3 −
หน่วยที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว (ม.3) โดยครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน หน้า 15 4.8) ( ) 2 x −1 = 25 วิธีทำ จาก 2 x x − + 2 1 = 25 2 x x − + 2 1 - 25 = 0 2 x x − − 2 24 = 1 จะได้ (x - 6) (x + 6) = 0 ดังนั้น x - 6 = 0 หรือ x + 6 = 0 นั่นคือ x = 6 หรือ x = -6 คำตอบของสมการนี้คือ 6 และ -6 4.9) 2 3 5 2 x x − + = 0 วิธีทำ จาก 2 3 5 2 x x − + = 0 จะได้ (3x - 1) (x - 2) = 0 ดังนั้น 3x - 1 = 0 หรือ x - 2 = 0 นั่นคือ x = 1 3 หรือ x = 2 คำตอบของสมการนี้คือ 12 และ 2 4.10) 2 2 y = 7y - 12 วิธีทำ จาก 2 7 12 2 − + y y = 0 นำ 2 คูณทั้งสองข้างของสมการ จะได้ 2 y x − + 14 24 = 0 (x - 2) (x - 12) = 0 ดังนั้น x - 2 = 0 หรือ x - 12 = 0 นั่นคือ x = 2 หรือ x = 12 คำตอบของสมการนี้คือ 2 และ 12
หน่วยที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว (ม.3) โดยครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน หน้า 16 แบบฝึกทักษะที่ 3.5 ชื่อ .................................................................... การแก้สมการกำลังสอง โดยใช้สูตร ชั้น ม. 3 / ........ เลขที่ .......... 1. จงแก้สมการต่อไปนี้โดยใช้สูตร ตัวอย่างที่ 1. 2 2 9 5 x x − = วิธีทำ จาก 2 2 9 5 x x − − = 0 จะได้ว่า a = 2 b = -9 c = -5 พิจารณา 2 b ac − 4 = ( ) ( )( ) 2 −9 2 5 − 4 − = 81 + 40 = 121 มีค่ามากกว่า 0 จะมี 2 คำตอบ จากสูตร x = 2 4 2 b b ac a − − x = ( ) (2) 9 1 1 2 − − 2 x = 9 11 4 จะได้ x = 9 11 4 + หรือ x = 9 11 4 − x = 20 4 หรือ x = 2 4 − ดังนั้น x = 5 หรือ x = 1 2 − นั่นคือ คำตอบของสมการนี้มี 2 คำตอบคือ 5 และ 1 2 −
หน่วยที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว (ม.3) โดยครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน หน้า 17 ตัวอย่างที่ 2. 2 4 20 25 x x − + = 0 วิธีทำ จาก 2 4 20 25 x x − + จะได้ว่า a = 4 b = -20 c = 25 พิจารณา 2 b ac − 4 = ( ) ( )( ) 2 −20 25 − 4 4 = 400 - 400 = 0 มีค่าเท่ากับ 0 จะมี 1 คำตอบ จากสูตร x = 2 4 2 b b ac a − − x = ( ) ( ) 0 2 20 4 − − จะได้ x = 20 8 ดังนั้น x = 5 2 นั่นคือ คำตอบของสมการนี้มี 1 คำตอบคือ 5 2 ตัวอย่างที่ 3. 2 2 3 x x − + = 0 วิธีทำ จาก 2 2 3 x x − + = 0 จะได้ว่า a = 2 b = -1 c = 3 พิจารณา 2 b ac − 4 = ( ) ( )( ) 2 −1 2 3 − 4 = 1 - 24 = -23 มีค่าน้อยกว่า 0 จะไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบ นั่นคือ สมการนี้ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบ
หน่วยที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว (ม.3) โดยครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน หน้า 18 1) 2 x x − + = 12 11 0 วิธีทำ จาก 2 2 9 5 x x − − = 0 จะได้ว่า a = 2 b = -9 c = -5 พิจารณา 2 b ac − 4 = ( ) ( )( ) 2 −9 2 5 − 4 − = 81 + 40 = 121 มีค่ามากกว่า 0 จะมี 2 คำตอบ จากสูตร x = 2 4 2 b b ac a − − x = ( ) (2) 9 1 1 2 − − 2 x = 9 11 4 จะได้ x = 9 11 4 + หรือ x = 9 11 4 − x = 20 4 หรือ x = 2 4 − ดังนั้น x = 5 หรือ x = 1 2 − นั่นคือ คำตอบของสมการนี้มี 2 คำตอบคือ 5 และ 1 2 −
หน่วยที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว (ม.3) โดยครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน หน้า 19 2) 2 y y − − = 3 10 0 วิธีทำ จาก 2 y y − − = 3 10 0 = 0 จะได้ว่า a = 1 b = -3 c = -10 พิจารณา 2 b ac − 4 = ( ) ( )( ) 2 − − 3 1 1 − 4 0 = 9 + 40 = 49 มีค่ามากกว่า 0 จะมี 2 คำตอบ จากสูตร y = 2 4 2 b b ac a − − y = ( ) ( ) 9 2 3 1 − − 4 y = 3 7 2 จะได้ y = 3 7 2 + หรือ y = 3 7 2 − y = 10 2 หรือ y = 4 2 − ดังนั้น y = 5 หรือ y = -2 นั่นคือ คำตอบของสมการนี้มี 2 คำตอบคือ 5 และ -2
หน่วยที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว (ม.3) โดยครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน หน้า 20 3) 2 z z + + = 4 1 0 วิธีทำ จาก 2 z z + + = 4 1 0 จะได้ว่า a = 1 b = 4 c = 1 พิจารณา 2 b ac − 4 = ( ) ( )( ) 2 4 1 − 4 1 = 16 - 4 = 12 มีค่ามากกว่า 0 จะมี 2 คำตอบ จากสูตร z = 2 4 2 b b ac a − − z = ( ) 2( ) 4 1 − 12 z = 4 2 3 2 − จะได้ z = 4 2 3 2 − + หรือ z = 4 2 3 2 − − ดังนั้น z = − +2 3 หรือ z = − −2 3 นั่นคือ คำตอบของสมการนี้มี 2 คำตอบคือ − +2 3 และ − −2 3 4) 2 3 2 2 x x − = − วิธีทำ จาก 2 3 2 2 x x − + = 0 จะได้ว่า a = 3 b = -2 c = 2 พิจารณา 2 b ac − 4 = ( ) ( )( ) 2 −2 3 2 − 4 = 4 - 24 = -20 มีค่าน้อยกว่า 0 จะไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบ นั่นคือ สมการนี้ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบ วิธีคิด 12 3 = 2 2 = 2 3
หน่วยที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว (ม.3) โดยครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน หน้า 21 5) 2 14 1 49 y y = + วิธีทำ จาก 2 49 14 1 y y − + = 0 จะได้ว่า a = 49 b = -14 c =1 พิจารณา 2 b ac − 4 = ( ) ( )( ) 2 −14 9 1 − 4 4 = 169 - 169 = 0 มีค่าเท่ากับ 0 จะมี 1 คำตอบ จากสูตร y = 2 4 2 b b ac a − − y = ( ) ( ) 14 2 49 − − 0 จะได้ y = ( )( ) 14 2 7 7 ดังนั้น y = 1 7 นั่นคือ คำตอบของสมการนี้มี 1 คำตอบคือ 1 7
หน่วยที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว (ม.3) โดยครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน หน้า 22 6) 2 10 17 3 z z = − วิธีทำ จาก 2 10 17 3 0 z z − + = จะได้ว่า a = 10 b = -17 c = 3 พิจารณา 2 b ac − 4 = ( ) ( )( ) 2 −17 0 3 − 4 1 = 289 - 120 = 169 มีค่ามากกว่า 0 จะมี 2 คำตอบ จากสูตร z = 2 4 2 b b ac a − − z = ( ) ( 0) 1 16 2 7 1 − − 9 z = 17 13 20 จะได้ z = 17 13 20 + หรือ z = 17 13 20 − z = 30 20 หรือ z = 4 20 ดังนั้น z = 3 2 หรือ z = 1 5 นั่นคือ คำตอบของสมการนี้มี 2 คำตอบคือ 3 2 และ 1 5
หน่วยที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว (ม.3) โดยครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน หน้า 23 แบบฝึกทักษะที่ 3.6 ชื่อ .................................................................... โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับการแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว ชั้น ม. 3 / ........ เลขที่ .......... 1. ให้ผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนที่อยู่ติดกันเท่ากับ 210 จงหาจำนวนเต็มทั้งสองนั้น วิธีทำ ให้จำนวนเต็มจำนวนแรกคือ x และจำนวนเต็มที่อยู่ติดกันคือ x + 1 ผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนที่อยู่ติดกันเท่ากับ 210 เขียนประโยคสัญลักษณ์ได้ เป็น x(x + 1) = 210 2 x x + = 210 2 x x 210 + − = 0 (x + 15)(x - 14) = 0 จะได้ x + 15 = 0 หรือ x - 14 = 0 x = -15 หรือ x = 14 ถ้าจำนวนเต็มจำนวนแรกคือ -15 จำนวนที่อยู่ติดกันคือ -15 + 1 = -14 ซึ่งผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนที่อยู่ติดกันคือ (-15)(-14) = 210 ซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขโจทย์ ถ้าจำนวนเต็มจำนวนแรกคือ 14 จำนวนที่อยู่ติดกันคือ 14 + 1 = 15 ซึ่งผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนที่อยู่ติดกันคือ (14)(15) = 210 ซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขโจทย์ ตอบ จำนวนเต็มทั้งสองคือ -15 และ -14 หรือ 14 และ 15 2. ถ้าจำนวนจำนวนหนึ่งกับอีกจำนวนหนึ่งซึ่งน้อยกว่าจำนวนแรกอยู่ 13 คูณกัน แล้วผลคูณเท่ากับ -40 จงหา จำนวนทั้งสองนั้น วิธีทำ ให้จำนวนแรก คือ x และจำนวนอีกจำนวนหนึ่งซึ่งน้อยกว่าจำนวนแรกอยู่ 13 คือ x – 13 ผลคูณของจำนวนทั้งสอง คือ -40 เขียนประโยคสัญลักษณ์ได้ เป็น x(x - 13) = -40 2 x 13x − = -40 2 x 13x 40 − + = 0 (x - 5)(x - 8) = 0 จะได้ x - 5 = 0 หรือ x - 8 = 0 x = 5 หรือ x = 8 ถ้าจำนวนเต็มจำนวนแรก คือ 5 จำนวนอีกจำนวนหนึ่ง คือ 5 - 13 = -8 ซึ่งผลคูณของจำนวนเต็มสอง คือ (5)(-8) = -40 ซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขโจทย์ ถ้าจำนวนเต็มจำนวนแรก คือ 8 จำนวนอีกจำนวนหนึ่ง คือ 8 - 13 = -5 ซึ่งผลคูณของจำนวนเต็มสอง คือ (8)(-5) = -40 ซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขโจทย์ ตอบ จำนวนเต็มทั้งสองคือ 5 และ -8 หรือ 8 และ -5
หน่วยที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว (ม.3) โดยครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน หน้า 24 3. กำนันต้นปลูกต้นทุเรียนเรียงเป็นแถวไว้ในสวน 2,000 ต้น โดยที่แต่ละแถวมีจำนวนต้นทุเรียนเท่ากัน ถ้าจำนวนต้นทุเรียนในแต่ละแถวน้อยกว่าจำนวนแถวอยู่ 10 จงหาว่า กำนันต้นปลูกต้นทุเรียนไว้กี่แถว และแถวละกี่ต้น วิธีทำ ให้กำนันต้นปลูกต้นทุเรียนทั้งหมด x แถว ถ้าจำนวนต้นทุเรียนในแต่ละแถวน้อยกว่าจำนวนแถวอยู่ 10 คือ x – 10 ต้น เนื่องจาก กำนันต้นปลูกต้นทุเรียนเรียงเป็นแถวไว้ในสวน 2,000 ต้น เขียนประโยคสัญลักษณ์ได้ เป็น x(x - 10) = 2,000 2 x 10x − = 2,000 2 x 10x 2,000 − − = 0 (x - 50)(x + 40) = 0 จะได้ x - 50 = 0 หรือ x + 40 = 0 x = 50 หรือ x = -40 เนื่องจาก x เป็นจำนวนแถวซึ่งต้องเป็นจำนวนบวกเท่านั้น ดังนั้น จึงพิจารณาเฉพาะ x = 50 ถ้ากำนันต้นปลูกต้นทุเรียนทั้งหมด 50 แถว จะได้ จำนวนต้นทุเรียนในแต่ละแถวน้อยกว่าจำนวนแถว คือ 50 – 10 = 40 ต้น ซึ่งรวมจำนวนต้นทุเรียนทั้งหมด คือ 50 40 = 2,000 ซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขโจทย์ ตอบ สวนกำนันต้นปลูกต้นทุเรียนจำนวน 50 แถว แถวละ 40 ต้น
หน่วยที่ 3 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว (ม.3) โดยครูจิรัฏฐิกานต์ จันทร์แทน หน้า 25