Clase12

Clase 12

20 de marzo de 2012

Los vectores T (s) y N (s) determinan un plano llamado plano osculador de f en s, un
vector ortogonal al plano osculador de f en s es el vector B(s) = T (s) × N (s), B(s) es por
definicio´n unitario, B(s) = 1 pues:

u × v = u 2 v 2 − (u · v)2 como u y v son unitarios y ortogonales ⇒

Ru × v = (1)(1) − 0 = 1 ⇒ el punto q = (x, y, z) ∈ 3 est´a en el plano osculador ⇔

q − f (s)⊥B(s), as´ı se tiene que la ecuaci´on del plano osculador de f en s es:

(q − f (s)) · B(s) = 0

El plano normal de f en s es el plano que pasa por f (s) y tiene por vector normal a
T (s), su ecuacio´n es: (q − f (s)) · T (s) = 0

El plano rectificante de f en s es el plano que pasa por p y tiene por vector normal a
N (s), su ecuaci´on es:(q − f (s)) · N (s) = 0

El plano rectificante es ortogonal al plano osculador y al plano normal.

R REjercicio. Consideremos el camino f : → 3 dado por f (s) = cos √s , sen √s , √s
2 22
Obtener las e√cuaciones de los planos osculador, normal y rectificante de esta curva en el
punto p = f ( 2π) = (−1, 0, π)

f (s) = − √1 sen √s , √1 cos √s , √1
2 22 22

f (s) = − 1 cos √s , − 1 sen √s , 0
2 22 2

Calculamos la curvatura:

κ(s) = f (s) = − 1 cos √s 2 − 1 sen √s 2
22 22
+ =

1

= 1 cos2 √s + 1 sen2 √s = 11
=
4 24 2 4 2

N (s) = T (s) = − 1 cos √s , − 1 sen √s , 0 = −cos √s , −sen √s , 0
2 22 2 22
T (s) 1

2

Ahora calculamos el vector binormal:

i j k

B(s) = T (s) × N (s) = √1 sen √s √1 cos √s √1 =
2 2 2 2 2
−cos √s −sen √s
2 2 0

√1 sen √s − √1 cos √s i + √1 sen2 √s j + √1 cos2 √s k =
22 22 2 22 2

= √1 sen √s , − √1 cos √s , √1
2 2 2 22

Evaluando en el punto p tenemos que:

√ − √1 senπ, √1 cosπ, √1 = 0, − √1 , √1
T ( 2π) = 2 22 22

√
N ( 2π) = (−cosπ, −senπ, 0) = (1, 0, 0)

√ √1 senπ, − √1 cosπ, √1 = 0, √1 , √1
B( 2π) = 2 22 22

De manera que ya podemos obtener las ecuaciones de los planos:

PLANO OSCULADOR: (q − f (s)) · B(s) = 0 sustituyendo:

[(x, y, z) − (−1, 0, π)] · 0, √1 , √1 = 0
22

(x + 1, y, z − π) · 0, √1 , √1 = 0
22

√y + z√− π = 0
22

Finalmente, se tiene que la ecuaci´on del plano osculador es:

2

√y + √z = √π
22 2

PLANO NORMAL: (q − f (s)) · T (s) = 0 sustituyendo:

[(x, y, z) − (−1, 0, π)] · 0, − √1 , √1 = 0
22

(x + 1, y, z − π) · 0, − √1 , √1 = 0
22

− √y + z√− π = 0
22

Finalmente, se tiene que la ecuaci´on del plano osculador es:

√y − √z = − √π
22 2

PLANO RECTIFICANTE: (q − f (s)) · N (s) = 0 sustituyendo:

[(x, y, z) − (−1, 0, π)] · (1, 0, 0) = 0
(x + 1, y, z − π) · (1, 0, 0) = 0

Finalmente, se tiene que la ecuaci´on del plano osculador es:

x+1=0

Si la curva no esta´ reparametrizada por longitud de arco, entonces procedemos de la
siguiente manera:

R RSea f¯ : J ⊂ → 3 tal que f¯ = f ◦ ϕ la reparametrizacio´n por longitud de arco de f .

El vector velocidad de f (t) esta´ en la misma direcci´on del vector T (s) = f¯ (s) en el punto
p = f (t) = f¯(s) donde t = ϕ(s), as´ı que con ´el podemos obtener la ecuaci´on del plano
normal de f en t.

f (t) pertenece al plano osculador de f en t, pues es una combinacio´n lineal de los vec-
tores T (s) y N (s) los cuales determinan dicho plano, entonces el vector v = f (t) × f (t) se
encuentra en la direcci´on del vector binormal B(s), con este vector v podemos determinar
el plano osculador.

Tenemos determinados los vectores u = f (t) y v = f (t)×f (t) los cuales son ortogonales
a los planos normal y osculador respectivamente, entonces el vector w = (f (t)×f (t))×f (t)
es un vector ortogonal a u y v por lo tanto debe estar en la direcci´on del vector N (s), con

3

este vector ya se determina el plano rectificante.
Ejemplo. Considere el camino f (t) = (t, t2, t3) determinar las ecuaciones de los planos

osculador, normal y rectificante a la curva descrita por f en el punto p = f (2) = (2, 4, 8, )

u = f (t) = (1, 2t, 3t2) f (t) = (0, 2, 6t)
ij k

v = f (t) × f (t) = 1 2t 3t2 = (6t2, −6t, 2)
0 2 6t

ijk
w = v × u = 6t2 −6t 2 = (−18t3 − 4t, −18t4 + 2, 12t3 + 6t)

1 2t 3t2
En t = 2 se tiene que: u = (1, 4, 12) y f (2) = (0, 2, 12) v = (24, −12, 2) w = (−152, −286, 108)
PLANO OSCULADOR: (q − f (t)) · B = 0 sustituyendo:

[(x, y, z) − (2, 4, 8)] · (24, −12, 2) = 0
(x − 2, y − 4, z − 8) · (24, −12, 2) = 0
24(x − 2) − 12(y − 4) + 2(z − 8) = 0
Finalmente, se tiene que la ecuaci´on del plano osculador es:

12x − 6y + z = 8
PLANO NORMAL: (q − f (t)) · T = 0 sustituyendo:

[(x, y, z) − (2, 4, 8)] · (1, 4, 12) = 0
(x − 2, y − 4, z − 8) · (1, 4, 12) = 0
(x − 2) + 4(y − 4) + 12(z − 8) = 0
Finalmente, se tiene que la ecuacio´n del plano normal es:

x + 4y + 12z = 114
PLANO RECTIFICANTE: (q − f (t)) · N = 0 sustituyendo:

4

[(x, y, z) − (2, 4, 8)] · (−152, −286, 108) = 0
(x − 2, y − 4, z − 8) · (−152, −286, 108) = 0
−152(x − 2) − 286(y − 4) + 108(z − 8) = 0
Finalmente, se tiene que la ecuacio´n del plano rectificante es:

76x + 143y − 54z = 292

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