เอกสารประกอบการสอน เรื่องเส้นขนาน

เอกสารประกอบการเรียน

วิชาคณิตศาสตร์พ้ืนฐาน 4

ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 2
ภาคเรียนที่ 2 ปีการศึกษา .................

เสน้ ขนาน

ครผู ู้สอน

คุณครู............................................................................

ชอื่ ....................................................................ชื่อเล่น........................ช้นั ......................เลขท่ี................

กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
โรงเรียน...............................................................
สำนักงานเขตพื้นที.่ ..............................................

จดั ทำโดย นางสาวสิรนิ รดา เกตรุ กั ษ์

บทท่ี 3 เสน้ ขนาน

บทที่ 3
เสน้ ขนาน

3.1 เสน้ ขนานและมุมภายใน

บทนิยาม เส้นตรงสองเสน้ ทอี่ ยบู่ นระนาบเดยี วกัน ขนานกนั
กต็ อ่ เม่อื เส้นตรงท้งั สองเสน้ น้นั ไม่ตดั กัน

สําหรับเสน้ ขนานคหู่ นงึ่ ระยะระหวา่ งเส้นขนานจะเทา่ กันเสมอ (ระยะหา่ งระหว่างเส้น ทีข่ นานกัน จะต้องวดั ทาํ มุมฉากกัน
กับเสน้ คขู่ นาน) โดยใช้สญั ลกั ษณ์ // แสดงการขนานกนั

เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ AB / /CD หรอื CD / / AB

………………… ………………… ………………… …………………

3.1.1 ระยะห่างระหวา่ งเส้นขนาน

ถ้าเสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกัน แล้วระยะห่างระหวา่ งเส้นตรงคู่นั้นจะเท่ากนั เสมอ และในทางกลับกนั ถ้าเสน้ ตรงสอง
เสน้ มีระยะห่างระหว่างเส้นตรงเท่ากนั เสมอ แลว้ เสน้ ตรงคู่น้ันจะขนานกนั

ไม่ขนานกัน ขนานกัน

1

บทท่ี 3 เสน้ ขนาน

3.1.2 มมุ ภายในท่ีอย่บู นขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตัด

จากรปู กําหนดให้ AB //CD มี XY ลากตัดกบั เส้นตรง AB และ CD เรียก เส้นตรง XY วา่ “เส้นตดั ขวาง
(Transversal Line)” เรยี ก 1ˆ, 2ˆ, 3ˆ และ 4ˆ ว่า “มุมภายใน (Interior Angles)”

เรียก 1ˆ และ 3ˆ ว่า มุมภายในทอี่ ยู่ขา้ งเดียวกนั ของเส้นตัด XY
เรียก 2ˆ และ 4ˆ ว่า มุมภายในทอี่ ยขู่ ้างเดียวกันของเสน้ ตดั XY

สมบตั ิของเสน้ ขนาน

1. ถ้าเส้นตรงสองเสน้ ขนานกนั และมีเส้นตรงเสน้ หนงึ่ มาตัดขวางแลว้
ขนาดของมุมภายในท่ีอยู่บนข้างเดียวกนั ของเสน้ ตรงรวมกนั เท่ากบั 180 องศา
2. ถา้ เส้นตรงเส้นหนง่ึ ตัดเส้นตรงค่หู นงึ่ ทาํ ให้เกิดของมมุ ภายในที่อยูข่ ้างเดียวกนั
ของเส้นตดั รวมกนั เท่ากบั 180 องศาแล้ว เส้นตรงคู่นจ้ี ะขนานกนั

หรือ
เมอื่ เส้นตรงเสน้ หนง่ึ ตดั เส้นตรงค่หู น่ึง เส้นตรงคนู่ นั้ ขนานกัน ก็ตอ่ เมอ่ื

ขนาดของมมุ ภายในท่อี ยบู่ นข้างเดียวกนั ของเส้นตัดรวมกนั เทา่ กบั 180 องศา

ตัวอยา่ งที่ 1 ขอ้ ใดมเี สน้ ตรงขนานกัน 2)
1)

วธิ ีทำ …………………………………………. วธิ ีทำ ………………………………………….
……………………………………………….…… ……………………………………………….……

2

ตวั อย่างท่ี 2 จากรูป จงหาคา่ x บทท่ี 3 เสน้ ขนาน

……………………………………………………………………………..……
…………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………..……
…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..

ตวั อยา่ งที่ 3 กำหนดให้ AB / /CD จงหาคา่ ของ x

……………………………………………………………………………..……
…………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………..……
…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..

ตวั อยา่ งท่ี 4 จากรูป กำหนดให้ PQ / /PS และมี PR เป็นเสน้ ตดั จงพสิ จู น์ 1ˆ = 3ˆ

กำหนดให้ PQ / /PS และมี PR เป็นเส้นตดั
ตอ้ งการพสิ จู นว์ ่า 1ˆ = 3ˆ
พิสจู น์ PQ / /PS และมี PR เปน็ เส้นตัด (กำหนดให)้
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

3

บทท่ี 3 เส้นขนาน

แบบฝกึ หัดท่ี 1
1. เสน้ ตรงแต่ละคตู่ ่อไปน้ี ขนานกบั หรอื ไม่ เพราะเหตุใด

1) 2)

แนวคดิ ………………………..…………...… แนวคิด ………………………..…………...…
……………………………………………..……. ……………………………………………..…….

3) 4)

แนวคดิ ………………………..…………...… แนวคิด ………………………..…………...…
……………………………………………..……. ……………………………………………..…….
……………………………………………..…….

2. จงหาคา่ ของ x ในแต่ละข้อตอ่ ไปนี้ เม่อื กำหนดให้ PQ / /RS 2)
1)

ตอบ ………………………..…………...… ตอบ ………………………..…………...…

4

บทที่ 3 เส้นขนาน

3) 4)

ตอบ ………………………..…………...… ตอบ ………………………..…………...…
5) 6)

ตอบ ………………………..…………...… ตอบ ………………………..…………...…
3.
จากรูป กำหนดให้ AB / /CD
จงหาคา่ ของ 2x − y

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

5

บทที่ 3 เสน้ ขนาน

4. จากรปู กำหนดให้  ABCD เป็นรูปสีเ่ หลี่ยมคางหมู
มีด้าน AB ขนานกบั ดา้ น CD ดังน้นั จงหาขนาดของ
ADˆ C และ DCˆB

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

5. จากรูป กำหนดให้ PL / /MN
จงพิสูจน์ว่า BMˆN = AKˆP

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

6

3.2 เส้นขนานและมุมแยง้ บทที่ 3 เส้นขนาน

จากรปู เรียก 1ˆ และ 4ˆ วา่ เป็นมมุ แย้งกัน
และ เรียก 2ˆ และ 3ˆ วา่ เป็นมุมแยง้ กนั

ทฤษฎบี ท ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกันและมเี สน้ ตดั แลว้ มุมแย้งมีขนาดเทา่ กนั

สรปุ ไดด้ งั น้ี
1. มุมทสี่ มนัยกัน จะมีขนาดเท่ากัน
2. มมุ ท่ีแยง้ ซงึ่ กันและกนั จะมขี นาดเท่ากนั
3. มมุ ภายในขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตดั รวมกันได้ 180
4. มุมภายนอกและมุมภายในข้างเดยี วกนั ของเสน้ ตดั จะเทา่ กนั

ตวั อย่างที่ 5 กำหนดให้ AB / /CD และมี XY เปน็ เส้นตดั ดงั รูป
จงอธบิ ายว่ามุมคู่ใดมีขนาดเท่ากนั บ้าง

วธิ ที ำ เนื่องจาก AB / /CD มี XY เป็นเส้นตัด
จะได้มมุ แยง้ มีขนาดเทา่ กนั คือ 3ˆ = 6ˆ และ 4ˆ = 5ˆ
เน่ืองจาก XY ตดั กบั AB และ CD
จะไดม้ มุ ตรงข้ามมีขนาดเท่ากนั คอื …………………………………………………………………………………………………
โดยสมบัติของการเทา่ กนั สรุปได้ว่ามีมมุ ทมี่ ีขนาดเทา่ กันอยู่ 2 ชุด ดงั น้ี

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

7

ตัวอย่างที่ 6 บทท่ี 3 เสน้ ขนาน

จากรปู กำหนดให้ FN / /SB, FB ตดั กับ SN
จดุ U จดุ FU = BU จงพิสจู น์ว่า FN = BS

กำหนดให้ FN / /SB, FB ตดั กับ SN ท่ีจุด U และ FU = BU

ตอ้ งการพสิ จู นว์ ่า FN = BS

พิสูจน์ พจิ ารณา FUN และ BUS

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ตวั อยา่ งที่ 7 จากรปู กำหนดให้ AB / /CD / /EF ถ้า APˆQ = 37o และ QRˆE = 52o จงหาขนาดของ PQˆR

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

8

บทท่ี 3 เส้นขนาน

แบบฝึกหดั ท่ี 2

1. จากรูป กำหนดให้ BN / /MF จงหาว่า MAˆB มขี นาดเท่ากบั ขนาดของมุมใด เพราะเหตุใด

แนวคดิ ………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..

2. จากรูป กำหนดให้ EM / /KY จงหาว่า MEˆA มีขนาดเทากับขนาดของมมุ ใด เพราะเหตุใด
แนวคดิ ………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..

3. จากรูป กำหนดให้ CD / /BE และ AOˆC = 54o จงหาขนาดของ OBˆE

แนวคดิ ………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..

4.จากรปู กำหนดให้ BA / /CD ถา้ ABˆE = 55o และ BAˆC = 76o จงหาขนาดของ ACˆE

แนวคิด ………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………….. 9

บทท่ี 3 เส้นขนาน

5. จากรูป กำหนดให้ BA / /DE ถา้ ABˆC =115o และ
BCˆD =105o จงหาขนาดของ CDˆ E

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
6. กำหนดให้ AB / /CD และ BC / /DE จงพสิ ูจน์วา่ ABˆC = CDˆE

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

10

บทที่ 3 เสน้ ขนาน

7. จากรปู กำหนดให้ PQ / /RS จงพสิ จู น์ว่า PAˆC = RBˆC

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
8. จากรูป กำหนดให้  ABCD เปน็ รูปส่เี หลย่ี มด้านขนาน E เปน็ จุดกงึ่ กลางของ AB ส่วนต่อของทงั้ DE และ CB
ตัดกันท่จี ุด F จงพิสจู นว์ ่า DE = FE

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

11

บทที่ 3 เสน้ ขนาน

ทฤษฎบี ท ถา้ เสน้ ตรงเส้นหนึ่งตัดเสน้ คู่หนงึ่ ทำใหม้ ุมแย้งมขี นาดเท่ากนั
แล้วเสน้ ตรงคู่นั้นขนานกนั

ทฤษฎีบท เมอื่ เสน้ ตรงเส้นหน่งึ ตัดเสน้ ตรงคู่หนึ่ง เสน้ ตรงคู่นน้ั ขนานกนั
กต็ อ่ เมือ่ มมุ แย้งมีขนาดเท่ากนั

ตัวอยา่ งท่ี 8 กำหนดให้  ABCD มี AB = CD และ AD = CB จงพิสูจน์วา่ AB / /CD

กำหนดให้  ABCD มี AB = CD และ AD = CB

ตอ้ งการพสิ จู นว์ ่า AB / /CD

พิสูจน์ ลาก BD

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

12

บทท่ี 3 เสน้ ขนาน

แบบฝกึ หดั ที่ 3

1. จากรปู ทีก่ ำหนดให้ จงหาว่าเส้นตรง รงั สี หรือสว่ นของเส้นตรงค่ใู ดขนานกัน พรอ้ มท้งั ให้เหตุผล
1) แนวคิด ………………………………………………………………………………………….……

…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..

2) แนวคดิ ………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..

3)
แนวคดิ ………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..

4)

แนวคดิ ………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..

13

บทท่ี 3 เสน้ ขนาน

2. จากรูป จงหาคา่ ของ x และ y

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
3.จากรูป กำหนดให้ AB และ CD แบง่ ครง่ึ ซ่ึงกนั และกนั ท่จี ุด O จงพสิ จู น์ว่า AB = BC และ AD / /BC

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

14

บทที่ 3 เส้นขนาน

3.3 เสน้ ขนานและมมุ ภายนอกกับมุมภายใน

จากรูป เรียก 1ˆ, 2ˆ,7ˆ และ 8ˆ วา่ มมุ ภายนอก
เรียก 3ˆ, 4ˆ,5ˆ และ 6ˆ ว่า มมุ ภายใน
เรยี ก 1ˆ และ 5ˆ ว่าเปน็ มุมภายนอกและมมุ ภายในท่ีอยู่ตรงข้ามบนขา้ งเดยี วกนั ของเส้นตดั

ในทำนองเดยี วกนั จะเรียก 2ˆ และ 6ˆ,7ˆ และ 3ˆ,8ˆ และ 4ˆ แต่ละคูว่ า่ เปน็ มุมภายนอกและมุมภายในทีอ่ ยูต่ รงข้ามบน
ขา้ งเดียวกันของเสน้ ตดั ด้วย

ทฤษฎบี ท ถ้าเส้นตรงสองเสน้ ขนานกนั และมีเส้นตดั แล้วมุมภายนอก
และมมุ ภายในที่อย่ตู รงขา้ มบนข้างเดียวกันของเส้นตดั
มีขนานเท่ากนั

ตวั อย่างที่ 9 กำหนดให้ CD / /EF และมี AB เปน็ เส้นตดั จงอธิบายว่า ACˆD มขี นาดเทา่ กบั ขนาดของมมุ ใด

แนวคดิ ………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..

ตัวอยา่ งท่ี 10 กำหนดให้ PQ / /RS และ AB เป็นเสน้ ตดั ดงั รูป จงหาค่าของ x
แนวคิด ………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..

15

บทที่ 3 เสน้ ขนาน

แบบฝกึ หัดที่ 4
1. กำหนดให้ PQ / /RS และมี AB เป็นเส้นตดั จงหามุมคู่ทม่ี ีขนาดเทา่ กัน พร้อมทง้ั บอกเหตุผล

แนวคดิ ………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..

2. จากรูป กำหนดให้ MN / /KL และ PQ เปน็ เสน้ ตัด NSˆT มขี นาดเท่ากบั ขนาดของมุมใดบ้าง เพราะเหตุใด

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
3. จากรูป กำหนดให้ CD / /EF และมี AB เปน็ เสน้ ตัด ถ้า AXˆD =118o และ DYˆF = 66o จงหาขนาดของ XYˆD
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

16

บทท่ี 3 เสน้ ขนาน

4.จากรปู กำหนดให้ AB / /CD ถ้า BAˆF = 52o และ AEˆC =104o จงหาขนาดของ ECˆD

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
5. จากรูป  ABCD กำหนดให้ เปน็ รูปส่ีเหลย่ี มด้านขนานถ้ามมุ ภายนอก EAˆD =133o จงหาขนาดของมุม
แต่ละมมุ ของ  ABCD

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

17

บทที่ 3 เส้นขนาน

ทฤษฎบี ท ถ้าเสน้ ตรงสองเส้นตดั เสน้ ตรงคหู่ น่งึ ทำให้มุมภายนอกและ
มมุ ภายในท่ีอยู่ตรงขา้ มบนข้างเดียวกันของเสน้ ตัด
มขี นาดเท่ากนั แลว้ เส้นตรงคู่นัน้ ขนานกนั

ทฤษฎีบท เม่อื เสน้ ตรงเส้นหน่ึงตัดเส้นตรงค่หู นงึ่ เส้นตรงคนู่ ้นั ขนานกนั
กต็ ่อเมื่อ มุมภายนอกและมมุ ภายในท่อี ยู่ตรงข้ามบนขา้ ง
เดียวกนั ของเส้นตัดมีขนาดเทา่ กัน

ตัวอย่างที่ 11 จากรปู กำหนดให้ AB / /CD, AB = CD และ C จุด เป็นจุดกึ่งกลางของ AE จงแสดงว่า BC / /DE

วิธที ำ พจิ ารณา ABC และ CDE ……………………………………………………………………………………………………………..
เน่ืองจาก AB / /CD …………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………..
จะได้ BAˆC = DCˆE ……………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………..
AB = CD ……………………………………………………………………………………………………………..
AC = CE ……………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………..
ดงั น้นั ABC  CDE
จะได้ ACˆB = CEˆD
น่ันคือ BC / /DE

18

บทท่ี 3 เสน้ ขนาน

แบบฝกึ หดั ท่ี 5
1.จากรปู ตอ่ ไปนี้ จงหาว่าส่วนของเส้นตรง รังสี หรอื เส้นตรงคู่ใดขนานกัน เพราะเหตุใด

1)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

3)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

19

บทที่ 3 เส้นขนาน

4)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
2. จากรปู กำหนดให้ YM / /QR และ XYˆM = PQˆR จงแสดงวา่ YX / /QP

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

20

บทท่ี 3 เสน้ ขนาน

3.4 เส้นขนานและรูปสามเหล่ียม

ทฤษฎีบท ขนาดของมุมภายในทั้งสามมมุ ของรูปสามเหลี่ยมรวมกัน
เท่ากับ 180 องศา

ทฤษฎบี ท ถา้ รูปสามเหล่ยี มสองรูปมคี วามสัมพนั ธก์ ันแบบ มมุ – มุม - ด้าน (ม.ม.ด.)
กลา่ วคือ มมี มุ ท่ีมีขนาดเท่ากนั สองคู่ และด้านคู่ทอ่ี ยู่ตรงข้ามกับมุมคทู่ ม่ี ีขนาด
เท่ากัน ยาวเท่ากันหนึ่งคู่ แลว้ รูปสามเหลีย่ มสองรูปนัน้ เท่ากนั ทุกประการ

ตัวอยา่ งที่ 12 จากรปู กำหนดให้ ABE และ DCF
เป็นรูปสามเหลี่ยมท่มี ี AEˆB = DFˆC, AB / /CD
และ AB = CD จงพิสูจน์ว่า AE = DF

กำหนดให้ ABE และ DCF เปน็ รูปสามเหลย่ี มท่ีมี AEˆB = DFˆC, AB / /CD และ AB = CD

ต้องการพิสจู น์ว่า AE = DF

พสิ ูจน์ เนื่องจาก AB / /CD (กำหนดให)้

จะได้ ABˆE = DCˆF ………………………………………………………………………………………………………….

AEˆB = DFˆC ………………………………………………………………………………………………………….

AB = CD ………………………………………………………………………………………………………….

ดงั นัน้ ABE  DCF ………………………………………………………………………………………………………….

น่นั คอื AE = DF ………………………………………………………………………………………………………….

ตัวอย่างที่ 13 จากรูป กำหนดให้ AB / /CD มี AC ตัด BD
ท่ีจุด O, AOˆD = 120o และ DCˆO = 36o จงหาคา่ ของ x

วธิ ีทำ เนอื่ งจาก AOˆD เปน็ มุมภายนอกของ COD
ดงั นั้น AOˆD = DCˆO + CDˆO ……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….
จะได้ 120 = 36 + CDˆO

CDˆ O = 84o

เนอ่ื งจาก x + CDˆO =180 ……………………………………………………………………………………………………………….
จะได้ x + 84 =180

x = 96

ตอบ 96

21

บทที่ 3 เส้นขนาน

แบบฝึกหดั ที่ 6

1. จากรูป กำหนดให้ BA / /CE จงหาคา่ ของ x

แนวคดิ ………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
2. จากรปู กำหนดให้ BCˆF =128o และ CEˆF = 81o จงหาขนาดของ CFˆE

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
3. จากรปู กำหนดให้ AB / /CD มี ACˆE และ CEˆB เป็นมมุ ฉาก จงหาขนาดของ x + y
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

22

บทที่ 3 เส้นขนาน

4.จากรูป จงหาค่าของ x และ y

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
5. จากรูป กำหนดให้ DG / / AC จงหาค่าของ (x − y)2

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

23

บทที่ 3 เส้นขนาน

6.จากรปู EAB เป็นรูปสามเหลยี่ มหนา้ จ่ัว มี AE = BE, AEˆB = 44o และ XY / / AB
1) จงบอกช่อื มมุ ทกุ มมุ ท่มี ีขนาดเท่ากบั ขนาดของ EAˆB

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
2) EAˆB มีขนาดเทา่ ไร
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

7. จากรปู จงหาว่า PQ / /BD หรือไม่ เพราะเหตุใด

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

24

บทท่ี 3 เสน้ ขนาน

8. จากรปู ABC เปน็ รปู สามเหลย่ี มหนา้ จ่วั มีด้าน BC เป็นฐาน ให้ EF / /BC จงแสดงวา่ BAˆE = CAˆF

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
9.จากรปู กำหนดให้ CG / /DH, AB = EF และ BC = FD จงพสิ จู นว์ า่ AC / /DE

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

25

บทที่ 3 เสน้ ขนาน

แบบทดสอบท้ายบท

จงเลอื กคำตอบทถ่ี ูกทีส่ ดุ

1. กำหนดให้ AB / /CD และ CD / /EF โดยมรี ะยะห่าง 4. จากรปู กำหนดให้ AB / /QE, PQˆR = 27o และ

ระหวา่ ง AB / /EF เท่ากับ 20 เซนติเมตร และมีระยะห่าง PRˆQ = 58o จงหาคา่ a
ระหวา่ ง CD และ EF เท่ากบั 15 เซนตเิ มตร จงหา
ก. 55
ระยะห่างระหวา่ ง AB และ CD ข. 65
ก. 5 เซนติเมตร, 35เซนติเมตร ค. 75
ข. 10เซนติเมตร, 40 เซนตเิ มตร ง. 85
ค. 15เซนติเมตร, 45 เซนติเมตร

ง. 20 เซนติเมตร, 50เซนตเิ มตร 5. จากรปู กำหนดให้ AC = BC และ BC / /DE
2. ใหน้ กั เรยี นพิจารณารปู และขอ้ ความตอ่ ไปน้ี ถา้ x = 65 แล้ว y เท่ากับเท่าไร
ให้ AB / / XZ และ AE / /CD
ก. 30

(1) BCˆY = EXˆY ข. 40
(2) CAˆX = XYˆC
ค. 50
(3) CBˆZ = YZˆD ง. 60

(4) BCˆD = CDˆ E 6. จากรูป กำหนดให้ DE / /BC, BAˆD = 74o และ

จากข้อความข้างตน้ ขอ้ ความใดเปน็ จรงิ ABˆC = 41o จงหาค่า x
ก. 100
ก. (1) (2) และ (4) ข. (1) (3) และ (4) ข. 115

ค. (1) (2) และ (3) ง. (2) (3) และ (4)

3. ใหน้ ักเรียนพจิ ารณารปู และขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ค. 120
ให้ AD / /GB และ DC / /EF ง. 135

(1) 2ˆ = 7ˆ 7. จากรูป กำหนดให้ AB / /EF จงหาค่าของ a + b

(2) 5ˆ = 8ˆ ก. 177
(3) 3ˆ = 8ˆ ข. 188
ค. 199
(4) 3ˆ = 5ˆ ง. 222
(5) 1ˆ = 4ˆ
8. จากรปู กำหนดให้ PQ / /RS, RS / /MN และ
จากข้อความข้างตน้ ขอ้ ความใดเปน็ จรงิ TR / /MQ จงหาค่าของ x + y + z
ก. 250
ก. (1) และ (2) ข. (3) และ (4) ข. 270
ค. 350
ค. (3) และ (5) ง. (4) และ (5) ง. 370

26

บทที่ 3 เส้นขนาน

9. จากรูป กำหนดให้ XYZ มี XY = XZ และ W 13.กำหนดให้ AB // CD ถา้ BFˆG = 150o และ

เป็นจดุ อยู่บนดา้ น XZ โดยที่ WZ = ZY ถ้า YWˆZ = 52o CGˆE = 80o จงหาค่าของ x − y
แล้วค่าของ b − a เทา่ กับเท่าไร
ก. 3 ก. 30o

ข. 4 ข. 40o
ค. 5 ค. 50o
ง. 6 ง. 70o

10. จากรูป กำหนดให้ PA / /QB และ QC / /RD 14.กำหนดให้ QR ขนานกับ ST ถ้า PSˆT = 48o และ

จงหาค่าของ a + b SOˆQ = 120o จงหาขนาดของมมุ x

ก. 20 ก. 72o
ข. 30 ข. 88o
ค. 40 ค. 92o
ง. 50 ง. 108o

11. จากรูป  ABCD เป็นรปู สเ่ี หลย่ี มด้านขนาน
จงหาขนาดของ EHˆB

ก. 95o
ข. 110o
ค. 115o

ง. 117o

12. จากรูป กำหนดให้ AB / /DF และ AC / /DE
จงหาคา่ ของ a และ b

ก. a = 130, b = 150
ข. a = 135, b = 155
ค. a = 140, b = 160
ง. a = 135, b = 165

217