NOTA
3. NOMBOR KOMPLEKS
NAMA KURSUS MATEMATIK TEKNOLOGI
KOD KURSUS UMT1112
SEMESTER 1
NO. DAN TAJUK 3.0 NOMBOR KOMPLEKS
3.1 Mengenalpasti nombor nombor kompleks, Z a bi
3.1.1 Mengenalpasti nombor kompleks ialah gabungan nombor nyata
dan nombor khayalan, a bi a , dan b ialah nombor nyata, dan i
ialah unit khayalan.
3.2 Melakukan operasi penambahan, penolakan dan pendaraban bagi
STANDARD dua nombor kompleks.
PEMBELAJARAN
3.2.1 Menjalankan operasi:
(a) Tambah
(b) Tolak
(c) darab
(d) bahagi yang melibatkan nombor kompleks.
NAMA PELAJAR
PROGRAM
NO. KAD PENGENALAN
TARIKH Muka : 1 drp 15
UMT1112 MATEMATIK TEKNOLOGI TOPIK 3 NOMBOR KOMPLEKS | KERTAS PENERANGAN 2 / 15
NOTA 3.1
MENGENALPASTI NOMBOR KOMPLEKS, Z a bi
Katalah diberi nombor-nombor seperti berikut:
3
3
0.01, , 1, 999, 37, 45.3, 5 , 0, 23, 4, , 7, e, 9, 2 1
4 3
Berdasarkan nilai, kita dapat susun nombor-nombor tersebut mengikut tertib menaik seperti berikut:
3
45.3, 7, 2 , 0, 0.01, , 4, e, , 37, 23, 5 , 999
3
1
3 4
menaik
Nombor 1 dan 9 tidak dapat diletakkan pada garis di atas kerana tiada nilai yang nyata
Nombor Nyata
Nombor yang boleh diwakili sebagai suatu titik pada garis nombor adalah Nombor Nyata.
0
Bagi sebarang nombor nyata x , maka x , ini bermakna nilai kuasa dua nombor nyata sentiasa
2
positif, contoh : ( 7) 2 49 .
Nombor Khayalan
9
nombor negatif seperti 1 , adalah Nombor Khayalan.
9
2
Bagi x nombor negatif , x nombor negatif , contoh x 9 x .
2
2
4
Jika diberi x 4 x 4 1 2 1
Adalah mustahil mencari nilai 1 dalam bentuk nombor nyata. Jadi kita perkenalkan 1 sebagai satu
2
1
unit Khayalan , i, di mana i 1 atau i . Contoh : 2 boleh ditulis sebagai 2i
1
Nombor Kompleks
Nombor Kompleks adalah hasil gabungan Nombor Nyata dan Nombor Khayalan.
4
i
Nombor-nombor seperti 3 4 , 2 7 , i i 8 , 3 2i adalah Nombor Kompleks.
5
Nombor Kompleks, Z a bi
di mana a dan b adalah nombor nyata, dan i adalah unit khayalan
terdiri daripada bahagian nyata a dan bahagian khayalan b , nombor khayalan bi
UMT1112 MATEMATIK TEKNOLOGI TOPIK 3 NOMBOR KOMPLEKS | KERTAS PENERANGAN 3 / 15
Nombor Kompleks Bahagian Nyata Bahagian Khayalan Nombor Khayalan
3 4i 3 -4 -4i
2 7i 2 7 7i
4 4
8i 8 8i
5 5
3 2i 3 2 2i
PRAKTIS KENDIRI 3.1
MENGENALPASTI NOMBOR KOMPLEKS, Z a bi
1. Selesaikan persamaan kuadratik yang berikut.
Cth x = 9 x 9 (a) x = 144 x = 144
2
2
2
2
x = 9 x 9 x = 144 x = 144
x = 3 3 1 x = x =
3i
(b) x = 4 x = 4 (c) x = 25 x = 25
2
2
2
2
x = 4 x = 4 x = 25 x = 25
x = x = x = x =
2. Lengkapkan jadual berikut.
i 2i 3i 4i 6i 8i
1 2 1 5 1 7 1
i i 2 i 3 i 4 i 5 i 6 i 7 i 8
i -1 -i 1 1
UMT1112 MATEMATIK TEKNOLOGI TOPIK 3 NOMBOR KOMPLEKS | KERTAS PENERANGAN 4 / 15
NOTA:
i
i
Didapati bahawa i ganjil akan sentiasa terhasil sebutan sama ada atau i
i genap akan sentiasa terhasil 1 atau 1, i genap gandaan 4 1 dan i genap bukan gandaan 4 1
i ganjil i genap ganjil contoh: i i 16 1 i i
16
17
Contoh:
54
54
i 1 (54 bukan gandaan 4) i i i (1)( 1) 1
52 2
i 100 1 (100 adalah gandaan 4)
24 2
26
i i i ( 1)i i i i i (1)( 1)i i
27
17
16
i i i (1)i i
3. Tuliskan nombor khayalan berikut kepada bentuk bi
Cth 256 16 1 (a) 0.36
16i
(b) 4 (c) 1
9
121 4
4. Tuliskan nombor kompleks berikut dalam bentuk a + bi
cth 4 7 (a) 3 49
2 1 7
2i 7
7 2i
(b) 9 10 (c) 25 7
(d) 1 1 (e) 36 18
UMT1112 MATEMATIK TEKNOLOGI TOPIK 3 NOMBOR KOMPLEKS | KERTAS PENERANGAN 5 / 15
(f) 1 (g) x 4y 2
10
4
(h) b b 3b 2 (i) a k 2 ,k 0
2
NOTA 3.2
MELAKUKAN OPERASI PENAMBAHAN, PENOLAKAN DAN PENDARABAN BAGI DUA NOMBOR
KOMPLEKS
1. Operasi penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian bagi nombor nyata boleh dilanjutkan
kepada nombor kompleks.
2. Jika x a bi dan y c di ialah dua nombor kompleks：
(a) Penambahan
x y (a bi ) (c di )
a ( c) b ( d i )
(b) Penolakan
x y (a bi ) (c di )
a ( c) b ( d i )
(c) Pendaraban
xy (a bi )(c di )
a (c di ) bi (c di )
ac adi bci bdi 2
(d) Pembahagian
Pembahagian nombor kompleks boleh dilakukan apabila penyebut ditukar kepada nombor
nyata dengan mendarab kedua-dua pengangka dan penyebut dengan konjugat.
UMT1112 MATEMATIK TEKNOLOGI TOPIK 3 NOMBOR KOMPLEKS | KERTAS PENERANGAN 6 / 15
Konjugat, z*bagi nombor kompleks,z =a bi ialah z* = a bi .
c c a bi
a bi a bi a bi
ac bci
2
a b 2
c di c di a bi
a bi a bi a bi
ac bd bci adi
a b 2
2
PRAKTIS KENDIRI 3.2
MELAKUKAN OPERASI PENAMBAHAN, PENOLAKAN DAN PENDARABAN BAGI DUA NOMBOR
KOMPLEKS
5. Ringkaskan yang berikut.
Cth 2i + 7i = 9i Cth 10i 6i = 4i
(a)15i + 2i = (b) 14i 8i =
(c)i + 5i = (d) 20i 2i =
(e)3i + 16i = (f) i 10i =
UMT1112 MATEMATIK TEKNOLOGI TOPIK 3 NOMBOR KOMPLEKS | KERTAS PENERANGAN 7 / 15
6. Ringkaskan nombor khayalan berikut
(a) i 18 (b) i 20
(c) i 81 (d) i 63
(e) i i 25 (f) i i i 7
i
5
7
6
20
(g) i 5 i 4 (h) i 15 i
(i) 3 i 6i (j) 10 i 3 i
2 4
(k) 24i 4 (l) 10i 5
2i
UMT1112 MATEMATIK TEKNOLOGI TOPIK 3 NOMBOR KOMPLEKS | KERTAS PENERANGAN 8 / 15
Ringkaskan yang berikut.
Cth 3 ( 4 i) 5 ( 6 i) Cth 5 ( 2 3 i) 8 ( 2 i)
3 4 i 5 i 6 10 6 i 8 i 2
8 10 i 2 i 4
(a) 4 ( 3i ) 7 ( 2i ) (b) 6 ( 2i ) 8 ( 5i )
(c) ( 10 2i ) 6 ( ) i (d) ( 20 5i ) 3 ( 19i )
(e) ( 3 4 5i ) 1 ( 3i ) (f) ( 2 18 ) i 5 ( 3i )
(g) ( 10 3i ) 2 ( 4 ) i (h) 6 ( 2 3i ) 5 ( 3 ) i
UMT1112 MATEMATIK TEKNOLOGI TOPIK 3 NOMBOR KOMPLEKS | KERTAS PENERANGAN 9 / 15
7. Ringkaskan yang berikut.
)
(
)
(
Cth 4 ( i 3 2 i) Cth 3 ( 4 i 1 6 i)
(
(
3 ( 4 2 i) i 3 2 i) 1 ( 3 6 i) 4 i 1 6 i)
12 i 8 i 3 i 2 2 3 18 i 4 i 24 i 2
12 11 i 2 ( ) 1 3 14 i 24 ( ) 1
10 11 i 27 14 i
(a) 5 ( )( i 3 2i )
3 2i
5 15 10i
i
(b) 4 ( 3i )( 1 8i )
1 8i
4
3i
(c) 1 ( 2i )( 7 6i )
7 6i
1
2i
(d) 4 ( 3i ) 2
UMT1112 MATEMATIK TEKNOLOGI TOPIK 3 NOMBOR KOMPLEKS | KERTAS PENERANGAN 10 / 15
(e) 2 ( 3i )( 2 3i ) 2 3i
2
3i
(f) 7 ( )( i 7 ) i
(g) 8 ( 3i )( 8 3i )
(h) ( 1 4i )( 1 4i )
UMT1112 MATEMATIK TEKNOLOGI TOPIK 3 NOMBOR KOMPLEKS | KERTAS PENERANGAN 11 / 15
Lengkapkan jadual berikut.
2
2
(a b )(a ) b a b 2 (a bi )(a bi ) a b 2
Nombor Konjugat, z* Hasil Darab, zz*
Kompleks, z
(2 + 3i)(2 3i)
Cth 2 + 3i 2 3i
2
2
= 2 + 3 = 13
(8 3i)(8 + 3i)
Cth 8 3i 8 + 3i
= 8 + 3 = 73
2
2
(1 4i)(1+ 4i)
Cth 1 4i 1+ 4i
2
2
= 1 + 4 = 25
(a) 3 + 4i
(b) 9 2i
(c) 10 + i
(d) 5 6i
(e) 12 + 7i
UMT1112 MATEMATIK TEKNOLOGI TOPIK 3 NOMBOR KOMPLEKS | KERTAS PENERANGAN 12 / 15
8. Tuliskan yang berikut dalam bentuk a bi.
Cth 3 Cth 2 i
2 i 3 3 i 4
3 2 i 3 2 i 3 i 4
2 i 3 2 i 3 3 4 i 3 i 4
2 ( 3 3 i) 3 ( 2 4 i) i 3 4 i)
(
2
2 3 2 3 4 2
2
6 i 9 6 i 8 i 3 i 4 2
13 25
6 9 2 11 i
i
13 13 25
2 11
i
25 25
(a) 4
2 i 5
(b) 3
4 i
(c) i 6
4 i 3
UMT1112 MATEMATIK TEKNOLOGI TOPIK 3 NOMBOR KOMPLEKS | KERTAS PENERANGAN 13 / 15
(d) 4 i
2 i 9
(e) 5 i 2
3 i 2
9. Ringkaskan yang berikut:
(a) i 18 i 8
(b) i i 20
15
UMT1112 MATEMATIK TEKNOLOGI TOPIK 3 NOMBOR KOMPLEKS | KERTAS PENERANGAN 14 / 15
(c) 5i i 16
4
10. Diberi h = 2 + 3i dan k = 5 + 7i, ringkaskan yang berikut dalam bentuk a + bi.
(a) h + k
(b) 3kh
UMT1112 MATEMATIK TEKNOLOGI TOPIK 3 NOMBOR KOMPLEKS | KERTAS PENERANGAN 15 / 15
11. iberi p = a + 2i, dengan a ialah pemalar.Tentukan nilai a jika
(a) 2p = 6 + 4i
(b) p = 5 + 12i
2
12. Diberi w = 3 + 4i dan z = 3 4i, ringkaskan yang berikut dalam bentuk a + bi.
(a) wz
(b) w 2
w
(c)
z