ลำดับ และ อนุกรม

ลำดับ
และ
อนุกรม

ลำดับ
และ
อนุกรม

ผู้จัดทำ
นายภานุวัฒน์ คลังคง

เลขที่4 ม.6/1
โรงเรีนศรีสำโรงชนูปถัมภ์

ครูที่ปรึกษา
คุรครู พรวนทอง ลาดปะละ

เรื่องง่ายๆที่ใครๆก็ทำได้

ลำดับและอนุกรม : เป็นหนังสือที่จะทำให้ผู้อ่านได้รับชม คลิป
สั้นที่มีเนื้อหาสนุกสนานแฝงไปด้วยความรู้ที่สามารถนำมาปรับ
ใช้ในห้องเรียนได้เป็นอย่างดี และเข้าใจง่าย

ข้ำพเจ้า หวังไว้เป็นอย่างยิ่งว่าหนังสือเล่มนี้ จะทำให้ผู้ชม
ได้รับความสนุกสนาน เพลิดเพลินจากคลิปสั้นพร้องนำความรู้
และแบบฝึกหัดที่มีอยู่ในตำราเรียนไปใช้ให้เกิดประโยชน์ซึ่งสิ่ง
เหล่นี้จะช่วยให้นักเรียนเข้าใจและสนุกกับบทเรียน และจะเกิด
ประโยชน์กับการนา
ความรู้ไปใช้ต่อในอนาคต

ภานุวัฒน์ คลังคง

คำชี้แจงการแสกน QR Code

ระบบปฏิบัติการแอนดรอยด์(Android)

1.เปิดหน้าจอโทรศัพท์เคลื่อนที่ (Mobie phone)
หรือ (Tablet)(tablet computer)เพื่อเข้าสู่โหมด

การ ใช้งานหลัก ดังภาพ

2.เลือกการทำงาน“scanQR Code”และเมื่อกดปุ่ม“scan
QR Code”จะปรากฏกรอบสี่เหลี่ยมสี ขาวบนหน้าจอ

3.นำอุปกรณ์สื่อสารที่ท่านเลือกใช้
ส่องไปยัง QR Codeของหนังสั้นหรือ
คลิปที่ต้องการจะรับชมให้อยู่ภายใน
กรอบสี่เหลี่ยมบนหน้าจอ

ระบบปฏิบัติการไอโอเอส (IOS)

1.เปิดแท็บบนจอหรือกล้องถ่ายรูปบน อุปกรณ์ของท่าน

2.นำอุปกรณ์ของท่านส่องไปยังQR Code
จนกระทั่งปรากฏแถบลิงก์เชื่อมโยงสีเหลือง

3.แตะแถบสีเหลืองเพื่อรับชมสิ่งที่ท่านเลือก

สารบัญ หน้า
บทที่ เนื้อหา
1
บทที่ 1 ลำดับและอนุกรม 2
1.1 ลำดับ 4
5
1.1.1ความหมายของลำดับ 6
7
1.1.2 ลำดับเลขคณิต 11
12
ลำดับและอนุกรม 1.1.3 ลำดับเรขาคณิต 13
1.1.4 ลำดับฮาร์มอนิก 14
17
1.2 ลิมิตของลำดับอนันต์ 21

1.3อนุกรม
1.3.1 อนุกรมเลขคณิต
1.3.2 อนุกรมเรขาคณิต
1.3.3 อนุกรมอนันต์

1.4 สัญลักษณ์แสดงการบวก

1.5 การประยุกต์ของลำดับและอนุกรม

1

1.1 ลำดับ

1.1.1 ความหมายของลำดับ 2

ลำดับ(sequence) คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต {1,2,3,...,n} หรือมีโดเมน
เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก

ในการเขียนแสดงลำดับ จะเขียนเฉพาะสมาชิของเรนจ์เรียงกัน กล่าวคือ
ถ้า a เป็นลำดับ ซึ่ง a(1) = a1 ,a(2) = a2 ,a(3) = a3,...,a(n) = an

เรียก a1 ว่า พจน์ที่ 1 ของลำดับ
เรียก a2 ว่า พจน์ที่ 2 ของลำดับ

...เรียก a3ว่า พจน์ที่ 3 ของลำดับ

และเรียก anว่า พจน์ที่ n ของลำดับ หรือพจน์ทั่วไปของลำดับ

แบ่งออกเป็น 2 ชนิด คือ
1. ลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก { 1, 2, 3, …, n } เรียกว่า
ลำดับจำกัด (Finite Sequence)
2. ลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก { 1, 2, 3, … } เรียกว่า
ลำดับอนันต์ (Infinite Sequence)

1.1.1 ความหมายของลำดับ 3

การเขียนแสดงลำดับ

การเขียนแสดงลำดับโดยเขียนแจกแจงพจน์ของลำดับ

ถ้าลำดับที่พิจารณาเป็นลำดับจำกัดและมีจำนวนพจน์ไม่มากนัก วิธีการกำหนด
หรือเขียนแสดงลำดับจะใช้วิธีการเขียนพจน์ทั้งหมดของลำดับ ตัวอย่างเช่น

หยอดเงินลงในกระปุกออมสินวันละ 5 บาท จำนวนเงินในระปุก 7 วันแรก
สามารถเขียนเป็นลำดับได้ดังนี้ 5,10,15,20,25,30,35

การเขียนแสดงลำดับโดยเขียนพจน์ทั่วไปของลำดับ

วิธีการนี้จะเขียนลำดับในรูปสูตรของพจน์ทั่วไปของลำดับ ตัวอย่างเช่น

หยอดเงินลงในกระปุกออมสินวันละ 5 บาท จำนวนเงินในระปุก 7 วัน

จำนวนเงินในระปุกในวันที่ n เขียนเป็นลำดับได้ดังนี้ a = 5n

เมื่อ n เป็นสมาชิกของ {1,2,3,4,5,6,7} n

1..1.2 ลำดับเลขคณิต 4

ลำดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence) คือ ลำดับของตัวเลขที่ผลต่าง
ซึ่งได้จากพจน์สองพจน์ที่อยู่ติดกัน มีค่าคงตัวเป็นค่าเดียวกัน โดยเราเรียก
ค่าคงตัวนั้นว่า ผลต่างร่วม (Common Difference) เขียนแทนด้วย d

d หาจาก a2 - a1= a4- a3

ตัวอย่าง ลำดับเลขคณิต 14, 7, 0, …,-210 ซึ่งมี d = -7

สแกนมันสิเว้ยยยย

1..1.3 ลำดับเรขาคณิต 5
ลำดับเรขาคณิต(geometric sequence) คือ ลำดับซึ่งมีอัตราส่วน
ของพจน์ที่ n+1 ต่อพจน์ที่ n เป็นค่าคงตัวที่เท่ากัน สำหรับทุก
จำนวนเต็มบวก n และเรียกค่าคงตัวที่เป็นอัตราส่วนนี้ว่า อัตราส่วน
ร่วม (common ratio) เขียนแทนด้วยตัว r

ตัวอย่าง ลำดับเรขาคณิต 2,4,8,16,...,128 ซึ่งมี r = 2

r หาจาก a2 = a4
a1 a3

นี้..ฉันต้องสแกนสินะ

1..1.4 ลำดับฮาร์มอนิก 6
ลำดับฮาร์มอนิก (harmonic seqence) คือ ลำดับ a ซึ่งมีสมบัติว่า
ลำดับของส่วนกลับ bn= 1 เป็นลำดับเลคณิต

an

นายต้องสแกนมันนะ

7

1.2 ลิมิตของ
ลำดับอนันต์

ลิมิตของลำดับอนันต์ 8

ลิมิตของลำดับอนันต์ 9

ลิมิตของลำดับอนันต์ 10

สแกนซะ yare yare daze

11

1.3 อนุกรม

1.3.1 อนุกรมเลขคณิต 12

สแกนได้เลยพวกนาย

1.3.2 อนุกรมเรขาคณิต 13

พวกเจ้าจงสแกนซะ

1.3.3 อนุกรมอนันต์ 14

1.3.3 อนุกรมอนันต์ 15

1.3.3 อนุกรมอนันต์ 16

เอ๊ะ เจ้านี้คืออะไรเนี่ยสแกนได้ไหม

17

1.4 สัญลักษณ์
แสดงการบวก

1.4 สัญลัษณ์แสดงการบวก 18

1.4 สัญลัษณ์แสดงการบวก 19

1.4 สัญลัษณ์แสดงการบวก 20
สแกน

21

1.5 การประยุกต์
ของลำดับและอนุกรม

1.5 การประยุกต์ของลำดับและอนุกรม 22

1.5 การประยุกต์ของลำดับและอนุกรม 23

1.5 การประยุกต์ของลำดับและอนุกรม 24