คณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม2 หน่วย3_ความคล้าย_ภาค2ปี64

3หนว่ ยการเรยี นร้ทู ่ี

ความคล้าย

ตัวช้ีวัด
เขา้ ใจและใชส้ มบตั ขิ องรปู สามเหลยี่ มทค่ี ล้ายกนั ในการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์และปญั หาในชวี ิตจรงิ (ค 2.2 ม.3/1)

?

นิดหน่อยไดถ้ า่ ยรูปท่ีสวนสาธารณะแหง่ หน่งึ เมอ่ื วัดความสูงของตนเองในภาพถ่าย พบว่า นิดหนอ่ ย
มีความสงู 3 เซนติเมตร ซ่ึงในความเปน็ จรงิ นดิ หนอ่ ยสูง 150 เซนติเมตร และนดิ หนอ่ ยวดั ความสูง
ของต้นไมใ้ นภาพถ่ายได้ 9 เซนติเมตร นดิ หน่อยจะสามารถหาความสงู ทีแ่ ทจ้ ริงของตน้ ไม้ได้อย่างไร

ควรรูก้ อ่ นเรียน

สมบตั ิของเส้นขนาน

Y
F

C D

A E B
X

จากรปู XY ตดั AB และ CD ทจ่ี ุด E และจดุ F ตามลาดบั จะได้วา่ AB // CD กต็ ่อเม่อื

1) มุมแยง้ มีขนาดเท่ากนั เชน่ BE෡F = CF෠E

หรอื 2) มมุ ภายนอกและมุมภายในที่อยูต่ รงขา้ มบนขา้ งเดียวกนั ของเสน้ ตัดจะมีขนาดเท่ากนั เช่น
DF෠Y = BE෡F

หรือ 3) มุมภายในทอี่ ยบู่ นด้านเดียวกันของเสน้ ตัดมขี นาดรวมกันเทา่ กับ 180 องศา เช่น
AE෡F + CF෠E = 180°

ควรรกู้ ่อนเรียน

ความเทา่ กนั ทุกประการของรูปสามเหลยี่ ม

รูปสามเหล่ยี ม 2 รูป เท่ากนั ทุกประการ กต็ อ่ เมือ่ ดา้ นคทู่ ีส่ มนยั กนั และมุมคทู่ ีส่ มนัยกนั ของรปู สามเหล่ยี มทั้ง 2 รปู
มขี นาดเทา่ กันเปน็ คู่ ๆ

CF

A BD E

∆ABC ≅ ∆DEF

ในชีวิตประจาวันจะมีสง่ิ ของที่มีรูปร่างเหมอื นกนั มากมาย
เรามาช่วยกันหาว่า ส่งิ ของในชวี ติ ประจาวันใดบา้ ง
ทม่ี ีรปู รา่ งเหมือนกัน

จะเห็นว่า รอบ ๆ ตัวเรามีสง่ิ ของมากมายทมี่ ีรูปร่างเหมอื นกัน แต่มีขนาดแตกตา่ งกนั จะเรยี กสิ่งของที่มลี ักษณะเชน่ นี้วา่ รปู ที่คลา้ ยกนั

รปู ท่คี ลา้ ยกนั

รปู เรขาคณติ 2 รปู เป็นรปู ทคี่ ล้ายกัน ก็ต่อเม่อื รปู เรขาคณิตท้งั สองมีรูปร่างเหมือนกัน

A
B

เมอื่ รูปเรขาคณติ A คลา้ ยกับรูปเรขาคณิต B จะเขยี นแทนด้วยสญั ลักษณ์
รปู เรขาคณติ A ~ รปู เรขาคณิต B

อ่านว่า รูปเรขาคณติ A คลา้ ยกับรปู เรขาคณติ B

รปู ที่คล้ายกนั

รปู เรขาคณิต 2 รปู เปน็ รปู ที่คล้ายกัน ก็ตอ่ เมื่อ รปู เรขาคณติ ทัง้ สองมีรปู ร่างเหมอื นกนั แล้วนกั เรยี นคิดวา่
1. รูปเรขาคณติ รูปหน่ึง ๆ จะคล้ายกับรูปเรขาคณติ รปู น้นั หรือไม่

เฉลย
รูปเรขาคณติ รูปหนง่ึ ๆ จะคลา้ ยกบั รูปเรขาคณติ รปู น้นั ดว้ ย เช่น

AA

จะเหน็ วา่ รปู เรขาคณติ A ~ รูปเรขาคณติ A

รปู ท่คี ล้ายกนั

รปู เรขาคณติ 2 รูป เปน็ รูปท่คี ล้ายกนั กต็ อ่ เมอ่ื รูปเรขาคณิตท้งั สองมีรปู รา่ งเหมือนกนั แล้วนักเรยี นคิดวา่
2. ถา้ รูปเรขาคณติ A คลา้ ยกับรปู เรขาคณิต B แล้วรูปเรขาคณิต B จะคล้ายกบั รูปเรขาคณิต A หรอื ไม่

เฉลย
ถา้ รูปเรขาคณติ A คล้ายกับรปู เรขาคณติ B แลว้ รูปเรขาคณิต B จะคลา้ ยกับ
รูปเรขาคณิต A ด้วย เชน่

AB

จะเหน็ วา่ รูปเรขาคณิต A ~ รูปเรขาคณติ B
และ รปู เรขาคณิต B ~ รปู เรขาคณติ A

รปู ท่คี ลา้ ยกนั

รูปเรขาคณิต 2 รปู เป็นรูปทีค่ ล้ายกนั กต็ อ่ เมอื่ รูปเรขาคณิตทั้งสองมรี ปู ร่างเหมือนกัน แล้วนักเรียนคิดวา่
3. ถา้ รูปเรขาคณติ A คลา้ ยกบั รูปเรขาคณิต B และรปู เรขาคณติ B คล้ายกับรูปเรขาคณิต C

แล้วรูปเรขาคณติ A คลา้ ยกบั รูปเรขาคณติ C หรอื ไม่

เฉลย
ถ้ารปู เรขาคณิต A คลา้ ยกับรูปเรขาคณติ B และรูปเรขาคณิต B คลา้ ยกบั รปู เรขาคณิต C
แลว้ รูปเรขาคณิต A คล้ายกับรปู เรขาคณิต C ด้วย เช่น

A B รูปเรขาคณติ A ~ รูปเรขาคณติ B

B c รูปเรขาคณติ B ~ รูปเรขาคณติ C
จะไดว้ ่า

A c รูปเรขาคณิต A ~ รูปเรขาคณติ C

รปู ที่คล้ายกัน

จากคาถามข้างตน้ เป็นไปตามสมบตั ขิ องความคล้ายของรูปเรขาคณิต ดงั น้ี
กาหนดให้ A, B และ C เปน็ รูปเรขาคณิตใด ๆ

สมบัติสะท้อน : รูปเรขาคณติ A ~ รปู เรขาคณติ A
สมบตั ิสมมาตร
: ถ้ารูปเรขาคณติ A ~ รปู เรขาคณติ B แล้ว
สมบัตถิ า่ ยทอด รปู เรขาคณิต B ~ รูปเรขาคณติ A

: ถ้ารูปเรขาคณิต A ~ รูปเรขาคณิต B และ
รูปเรขาคณิต B ~ รปู เรขาคณติ C แล้ว
รูปเรขาคณิต A ~ รปู เรขาคณิต C

รปู ที่คลา้ ยกัน

รูปหลายเหลยี่ ม 2 รปู เป็นรปู ทคี่ ล้ายกนั ก็ตอ่ เมื่อ รปู หลายเหลี่ยม 2 รูปน้ัน

1) มขี นาดของมุมคู่ที่สมนัยกันเทา่ กนั เปน็ คู่ ๆ ทุกคู่
และ 2) มีอตั ราสว่ นของความยาวของดา้ นคทู่ ่สี มนยั กันเทา่ กันทกุ อตั ราสว่ น

5.5 ซม. C 8.25 ซม. R
4 ซม.
3 ซม. S 4.5 ซม.

D B 3 Q

2 ซม. ซม.

A P

6 ซม.

จากรูป จะเห็นวา่ A෡ = P෡, B෡ = Q෡, C෠ = R෡ และ D෡ = S෠

และ AB BC CD DA 2
PQ = QR = RS = SP = 3

รปู ที่คลา้ ยกัน

การใชส้ ญั ลักษณ์ ~ แสดงความคล้ายของรูปหลายเหลย่ี ม จะเขยี นจุดยอดของรปู หลายเหลย่ี มที่
สมนัยกันให้อยใู่ นลาดบั เดียวกนั เชน่

D 5.5 ซม. C ∆ABCD ~ ∆PQRS
4 ซม.
2 ซม. 3 ซม. ซง่ึ หมายความวา่
1. A෡ = P෡, B෡ = Q෡, C෠ = R෡ และ D෡ = S෠
A B 2. AB = BC = CD = DA
R
8.25 ซม. PQ QR RS SP
4.5 ซม.
S
Q
3 ซม.

P

6 ซม.

รปู ทคี่ ล้ายกนั

ตัวอยา่ งท่ี 1

จงพิจารณาว่า รูปสเี่ หลยี่ มดา้ นขนาน ABCD และรูปส่ีเหลี่ยมดา้ นขนาน HIJK ทีก่ าหนดให้
เปน็ รูปส่เี หลยี่ มทคี่ ลา้ ยกนั หรอื ไม่

K J

D C 4 ซม.

2 ซม. 80° 100°

A B I
H
6 ซม. 12 ซม.

รปู ท่คี ลา้ ยกนั C

เนือ่ งจาก ABCD เป็นรปู ส่เี หลย่ี มด้านขนาน 80°

D

2 ซม.

A B

จะไดว้ ่า A෡ = C෠ = 80° 6 ซม.
AB = CD = 6 เซนตเิ มตร
มุมท่ีอยู่ตรงขา้ มกันของรูปสี่เหลย่ี มด้านขนาน มีขนาดเทา่ กัน
และ BC = DA = 2 เซนตเิ มตร
ดงั นัน้ B෡ = 180°− 80°= 100° ดา้ นทอี่ ยู่ตรงข้ามกันของรปู สเ่ี หล่ียมด้านขนาน
มีความยาวเท่ากัน
และ D෡ = B෡ = 100° มุมภายในท่อี ยบู่ นดา้ นเดียวกนั ของเสน้ ตดั เสน้ ขนาน
มีขนาดรวมกนั เทา่ กับ 180°
มมุ ทีอ่ ยู่ตรงขา้ มกันของรูปสเี่ หลี่ยมด้านขนาน มขี นาดเทา่ กนั

รปู ที่คลา้ ยกนั J

ในทานองเดียวกัน เนอ่ื งจาก HIJK เปน็ รปู ส่เี หลี่ยมดา้ นขนาน

K

4 ซม.

H 100°

12 ซม. I

จะไดว้ า่ Iመ = K෡ = 100° และ H෡ = Jመ = 80°
และ HI = JK = 12 เซนตเิ มตร และ IJ = HK = 4 เซนตเิ มตร

รปู ที่คล้ายกนั K J

D C 4 ซม.

2 ซม. 80°

AB 12 ซม. 100°

6 ซม. H I

พจิ ารณา ABCD และ HIJK จะไดว้ า่

1. มีขนาดของมุมคทู่ ่ีสมนัยกนั เทา่ กนั เปน็ คู่ ๆ ทกุ คู่ คอื A෡ = H෡, B෡ = Iመ, C෠ = Jመ และ D෡ = K෡

2. มีอตั ราสว่ นของความยาวของด้านคูท่ ี่สมนยั กนั เท่ากนั ทุกอตั ราส่วน คอื

AB 6 1 BC 2 1 น่นั คอื AB BC CD DA 1
HI = 12 = 2 IJ = 4 = 2 HI = IJ = JK = KH = 2
CD 6 1 DA 2 1
JK = 12 = 2 KH = 4 = 2 ดังน้นั ABCD ~ HIJK

รปู สามเหลย่ี มทค่ี ลา้ ยกัน

สมบตั ิของรูปสามเหลยี่ ม 2 รูปทคี่ ลา้ ยกนั มดี งั น้ี

1. ขนาดของมมุ ภายในของรปู สามเหลี่ยมทง้ั สองเท่ากนั เปน็ คู่ ๆ 3 คู่

C
R

A BP Q

รปู สามเหลย่ี มทค่ี ล้ายกนั

2. อตั ราส่วนของความยาวของดา้ นคู่ที่สมนยั กนั ของรปู สามเหล่ยี มทั้งสอง
เทา่ กัน 3 คู่

C 8 ซม. R 4 ซม.
6 ซม. 3 ซม.

A 10 ซม. BP 5 ซม. Q

รปู สามเหลีย่ มที่คลา้ ยกัน

3. อตั ราสว่ นของความยาวของด้านของรปู สามเหลยี่ มทง้ั สองเท่ากัน 2 คู่
และมีมุมระหวา่ งด้านทม่ี อี ัตราส่วนของความยาวดา้ นเท่ากัน มขี นาดเท่ากัน

C

R

8 ซม.
4 ซม.

55° 6 ซม. B P 55° Q
A 3 ซม.

รปู สามเหลย่ี มทค่ี ล้ายกัน

ตวั อย่างที่ 2
จงพิจารณาวา่ รูปสามเหลยี่ มทก่ี าหนดให้เป็นรูปสามเหลย่ี มทคี่ ล้ายกันหรอื ไม่

B V U

80° 30° 80°

30° C

70°

A

วธิ ีทา เนอ่ื งจาก ∆ABC และ ∆TUV มมี มุ เทา่ กัน 3 คู่ ดงั น้ี T

BA෡C = UT෡V = 70° ดังน้นั ∆ABC ~ ∆TUV
AB෡C = TU෡V = 80°
AC෠B = TV෡U = 30°

รปู สามเหลี่ยมที่คลา้ ยกนั

D

C

E

A BF

ถ้ารูปสามเหลีย่ ม 2 รูป ทมี่ ขี นาดของมมุ เทา่ กัน 2 คู่ นกั เรยี นคิดว่า
รูปสามเหล่ยี ม 2 รปู น้ัน จะเปน็ รูปสามเหล่ียมที่คลา้ ยกันหรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด

รปู สามเหลี่ยม 2 รปู ทีม่ ีขนาดของมมุ เท่ากนั 2 คู่ เป็นรปู สามเหลยี่ มที่
คล้ายกัน เพราะมมุ คู่ที่เหลอื จะมขี นาดเทา่ กนั ด้วย

รปู สามเหลยี่ มที่คลา้ ยกนั

ตัวอย่างท่ี 3

กาหนดให้ ∆DEF และ ∆STU มี FD෡E = US෠T, FD = 4 เซนติเมตร, DE = 6 เซนติเมตร,
US = 6 เซนตเิ มตร และ ST = 9 เซนติเมตร ดงั รูป จงพิจารณาว่า ∆DEF และ ∆STU
เป็นรปู สามเหลยี่ มท่คี ล้ายกันหรอื ไม่

F 9 ซม.

4 ซม. TS

D E 6 ซม.

6 ซม.

U

รปู สามเหล่ยี มท่ีคลา้ ยกนั T 9 ซม.

F S

4 ซม.

D E 6 ซม.

6 ซม.

วิธที า เน่อื งจาก FD = 4 = 2 และ DE = 6 = 2 U
US 6 3 ST 9 3

ดังนัน้ FD DE
US = ST

และ FD෡E = US෠T (กาหนดให้)

นนั่ คอื ∆DEF ~ ∆STU เพราะเปน็ รูปสามเหล่ยี มซงึ่ มอี ัตราสว่ นของความยาวของ
ดา้ นเท่ากนั 2 คู่ และมมุ ระหว่างด้านทม่ี อี ัตราส่วนของความยาวด้านเท่ากัน มขี นาดเท่ากนั

รปู สามเหลี่ยมทคี่ ลา้ ยกัน

ตวั อย่างท่ี 4
กาหนดให้ ∆ABC และ ∆DEF ดงั รปู จงหาขนาดของ CA෡B และ DE෡F

F

C 6 ซม. 8 ซม.

3 ซม. 4 ซม.

A 5 ซม. 35° B D 55° 10 ซม. E

วิธีทา เน่ืองจาก AB BC CA 1
DE = EF = FD = 2

นัน่ คือ อตั ราส่วนของความยาวของด้านของรูปสามเหลีย่ ม 2 รปู เท่ากัน 3 คู่

จะได้วา่ ∆ABC ~ ∆DEF ซ่ึงมีมุมทีส่ มนัยกนั

ทาให้ CA෡B = FD෡E และ AB෡C = DE෡F

ดงั นั้น ෡ เทา่ กบั 55 องศา และ ෠ เทา่ กับ 35 องศา

การนารปู สามเหล่ยี มคลา้ ยไปใช้ในทางคณติ ศาสตร์

นกั เรยี นสามารถนาความรู้ เรอื่ ง อตั ราส่วนของความยาว
ของด้านท่ีสมนัยกนั ของรูปสามเหล่ยี มคลา้ ย

ไปใชใ้ นการคานวณความยาวของด้านของรปู สามเหลยี่ ม
ที่คล้ายกัน เมือ่ กาหนดเงื่อนไขทเี่ หมาะสม

การนารปู สามเหล่ยี มคล้ายไปใช้ในทางคณติ ศาสตร์

ตวั อยา่ งท่ี 5

กาหนดให้ AB෡C = BD෡C, AB = 12 เซนติเมตร, DC = 6 เซนตเิ มตร และ BC = 8 เซนตเิ มตร

ดงั รูป จงหาวา่ BD ยาวกเ่ี ซนตเิ มตร B

วธิ ีทา พิจารณา ∆BDC และ ∆ABC ดงั นี้ 12 ซม. 8 ซม.
1. BD෡C = AB෡C (กาหนดให้)

2. DC෠B = BC෠A (เปน็ มมุ รว่ ม) A C

3. CB෡D = CA෡B D 6 ซม.

(รูปสามเหล่ียม 2 รูป ทีม่ ีขนาดของมุมภายในเท่ากนั 2 คู่ มมุ คู่ที่สามจะมขี นาดเท่ากันดว้ ย)

ดังนั้น ∆BDC ~ ∆ABC เพราะมมี มุ เทา่ กัน 3 คู่

การนารปู สามเหล่ียมคลา้ ยไปใชใ้ นทางคณิตศาสตร์

B

12 ซม. 8 ซม.

A C

จะได้วา่ BD DC D 6 ซม.
AB = BC
น่ันคือ ยาว 9 เซนติเมตร
BD 6
12 = 8

6 × 12
BD = 8

BD = 9

การนารูปสามเหลยี่ มคลา้ ยไปใช้ในชีวิตประจาวนั

นกั เรยี นสามารถนาความรู้ เร่ือง รปู สามเหลยี่ มคลา้ ย ไปใชใ้ นการแกป้ ญั หา
เกยี่ วกับระยะทางและความสูงในชีวติ ประจาวนั ได้ โดยเฉพาะอย่างย่งิ
การหาระยะทางและความสงู ซงึ่ ไม่สามารถใชเ้ คร่ืองมอื วัดได้โดยตรง
หรือมีความยงุ่ ยากในการวดั

ความสงู ของตึก ความกว้างของแมน่ ้า

การนารปู สามเหล่ยี มคลา้ ยไปใช้ในชีวิตประจาวัน

ตวั อยา่ งที่ 6
สุธีมคี วามสูง 1.7 เมตร ยนื อยูห่ ่างจากตน้ ไม้ 6 เมตร เขาสังเกตเหน็ เงาของตวั เองทอดยาวออกไป
ซ่งึ วดั ความยาวได้ 3 เมตร ดังรูป จงหาว่าต้นไมส้ ูงกีเ่ มตร

ให้ BC แทนความสงู ของสธุ ี
DE แทนความสงู ของตน้ ไม้
AC แทนความยาวของเงาของสธุ ี
CE แทนระยะทางที่สธุ ียืนหา่ งจากตน้ ไม้

การนารูปสามเหล่ียมคล้ายไปใช้ในชวี ิตประจาวัน D

พิจารณา ∆ADE และ ∆ABC ดังนี้

1. DA෡E = BA෡C (เปน็ มมุ ร่วม) B
2. AE෡D = AC෠B (เป็นมมุ ฉาก)
1.7 ม.

A 3 ม. 6 ม. E

C

3. AD෡E = AB෡C

(รปู สามเหล่ียม 2 รปู ที่มขี นาดของมุมภายในเทา่ กัน 2 คู่

มุมคทู่ ่ีสามจะมขี นาดเทา่ กันดว้ ย)

ดังน้ัน ∆ADE ~ ∆ABC เพราะมมี มุ เทา่ กนั 3 คู่

จะไดว้ า่ DE AE
BC = AC

DE 9 ดังนนั้ ต้นไม้สูง 5.1 เมตร
1.7 = 3

9 × 1.7
DE = 3

= 5.1

การนารปู สามเหลย่ี มคลา้ ยไปใชใ้ นชวี ิตประจาวัน

นกั เรียนจาไดไ้ หมว่า จากปัญหาทน่ี ดิ หนอ่ ยต้องการทราบความสงู ของต้นไม้
โดยนิดหนอ่ ยมีภาพถ่ายที่ถ่ายกับตน้ ไมต้ ้นนน้ั ซ่ึงนิดหน่อยวัดความสงู ของตนเอง
และต้นไม้ในภาพถ่ายได้ 3 เซนติเมตร และ 9 เซนตเิ มตร ตามลาดับ
และนดิ หนอ่ ยสงู 150 เซนติเมตร

ในปญั หาน้ีเราสามารถใช้ความรู้ เร่อื ง ความคล้าย มาช่วยในการแกป้ ญั หาได้
เนอื่ งจากภาพถา่ ยท่เี กิดจากกล้องถ่ายรปู จะมีลักษณะเหมือนกับวตั ถขุ องจริง โดยท่ี

อตั ราส่วนของวตั ถุในภาพถ่ายจะมอี ัตราส่วนทเี่ ท่ากันกบั อัตราสว่ นของวัตถจุ รงิ
ดังนนั้ นิดหนอ่ ยสามารถหาความสงู ของต้นไมไ้ ด้ ดังนี้

การนารปู สามเหลีย่ มคล้ายไปใช้ในชีวิตประจาวัน

?

เน่ืองจากอัตราสว่ นของวตั ถใุ นภาพถ่ายจะมีอัตราสว่ นท่เี ท่ากนั กบั อัตราสว่ นของวัตถจุ ริง

จะไดว้ ่า ความสูงของนดิ หนอ่ ยในภาพถา่ ย ความสงู ของตน้ ไมใ้ นภาพถา่ ย
ความสูงจรงิ ของนดิ หน่อย = ความสูงจริงของต้นไม้

3 = 9
150
ความสูงจริงของต้นไม้

ความสูงจรงิ ของต้นไม้ = 450 เซนตเิ มตร

ดังนน้ั ตน้ ไม้มีความสูง 450 เซนติเมตร หรือ 4.5 เมตร

การนารปู สามเหลี่ยมคล้ายไปใชใ้ นชีวติ ประจาวัน

นักเรยี นได้รบั ความรูเ้ กย่ี วกับ “ความคล้าย” มาแลว้
หวังว่านักเรียนจะนาความรูไ้ ปใช้ในชีวิตจริงได้นะคะ