วงกลม ม.3

Circle (วงกลม)

1

คำนำ

หนงั สืออเิ ลก็ ทรอนกิ สเ์ ล่มนี้ สำหรบั นกั เรยี นชัน้ มธั ยมศึกษำปที ่ี 3
จัดทำขึน้ เพือ่ พฒั นำผูเ้ รยี นให้มคี วำมรู้ ควำมเขำ้ ใจเรอ่ื งวงกลม และเปน็
กำรเพิ่มพูนทักษะกระบวนกำรตำ่ งๆในเร่ืองวงกลม ส่งเสรมิ ใหผ้ เู้ รียน
มีกำรคดิ เชงิ วิเครำะห์ และมีเจตคตทิ ี่ดีตอ่ กำรเรยี นคณติ ศำสตร์

01 วงกลม
02 มุมในครงึ่ วงกลม
03 คอรด์
04 เสน้ สมั ผสั วงกลม

01 วงกลม

วงกลม เปน็ รปู เรขำคณติ บนระนำบซง่ึ แตล่ ะจดุ บนรปู เรขำคณติ น้ี
อย่หู ำ่ งจำกจุดทจ่ี ุดหนง่ึ บนระนำบเดยี วกนั เปน็ ระยะหำ่ งเทำ่ กนั

4

01 วงกลม จุดสัมผสั
เสน้ สมั ผสั วงกลม
เส้นรอบวง A เซกเตอร์
(circumference)
C
รศั มี (radius) O
เสน้ ผำ่ นศนู ยก์ ลำง
B
เซกเมนต์
จุดศนู ยก์ ลำง
5
คอรด์

01 วงกลม

A O กำรเรยี กช่อื วงกลมวงหนงึ่ ทมี่ จี ดุ ศนู ยก์ ลำงตำมทกี่ ำหนดให้
B เรียกช่ือของจดุ ศนู ยก์ ลำงของวงกลมนนั้ เช่น วงกลมทม่ี จี ดุ O

C เป็นศนยู ก์ ลำง อำจเรยี กวำ่ “วงกลม O”

6

01 วงกลม

D
สว่ นโคง้ สว่ นใหญ่

คอร์ด
O
B สว่ นโคง้ นอ้ ย

A

C

7

01 วงกลม คร่งึ วงกลม

C B
ครึง่ วงกลม
เส้นผำ่ นศนู ยก์ ลำง A O
D

8

01 วงกลม

AB เส้นตดั วงกลม
O

เสน้ สมั ผสั

CD E
จดุ สัมผสั

9

01 วงกลม

X มมุ ทีจ่ ดุ ศนู ยก์ ลำง คอื มมุ ทม่ี ีจดุ ศนู ยก์ ลำงของวงกลม
เปน็ จดุ ยอดมมุ และแขนท้งั สองของมุมตัดวงกลม

OC

AB OB

มมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลม คอื มุมทมี่ จี ดุ ยอดมุม A
อย่บู นวงกลมและแขนท้งั สองของมุมตัด X

10

01 วงกลม

A

BC
O

X

มมุ ในครง่ึ วงกลม คือ มุมท่มี จี ุดยอดมุมอย่บู นวงกลม และแขนทง้ั สอง
ของมุมผ่ำนจุดปลำยทั้งสองของเส้นผ่ำนศูนยก์ ลำงเส้นหน่ึง

11

02 มุมในครง่ึ วงกลม

มุมในครง่ึ วงกลม

ทฤษฎบี ท มมุ ในครงึ่ วงกลมมขี นำด 90 องศำ หรือหนง่ึ มมุ ฉำก

12

มมุ ทจี่ ุดุ
ศนู ยก์ ลางทฤษฎบี ท ในวงกลมเดยี วกัน มมุ ทจี่ ดุ ศนู ยก์ ลำงจะมขี นำดเปน็ สองเทำ่ ของ

ขนำดของมมุ ในสว่ นโค้งของวงกลมทรี่ องรบั ด้วยส่วนโคง้ เดยี วกนั

13

มมุ ในส่วนโคง้ ของวงกลม

ทฤษฎบี ท ในวงกลมเดยี วกนั มมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลมที่รองรบั ดว้ ย
สว่ นโคง้ ของวงกลมทร่ี องรบั ดว้ ยสว่ นโคง้ เดยี วกนั จะมขี นำดเทำ่ กนั

มุมและสว่ นโคง้ ทร่ี องรบั มมุ

ทฤษฎีบท ในวงกลมทเี่ ทำ่ กันทุกประกำรหรอื ในวงกลมวงเดยี วกนั
ถำ้ ส่วนโค้งยำวเทำ่ กัน แลว้ มมุ ในส่วนโค้งของวงกลมทร่ี องรบั ดว้ ยส่วนโคง้ น้นั
จะมีขนำดเทำ่ กัน

มมุ และสว่ นโคง้ ทร่ี องรบั มมุ C
4
1^ + 3^ = 180° และ 2^ + 4^ = 180°
O 3B

1 2
D A

ทฤษฎีบท ถำ้ รูปสีเ่ หลีย่ มใดๆ มีผลบวกของขนำดของมมุ ตรงขำ้ ม
เทำ่ กบั สองมมุ ฉำก แล้วรูปสีเ่ หล่ียมน้นั แนบในวงกลมได้

03 คอรด์ คอรด์ และสว่ นโคง้ ของวงกลม

C D ทฤษฎบี ท ในวงกลมทเี่ ทำ่ กันทกุ ประกำรหรอื ในวงกลมเดยี วกนั ถำ้ คอรด์ สอง
คอรด์ ยำวเทำ่ กนั แลว้ คอรด์ ทงั้ สองจะตดั วงกลมท˚ำใหส้ ว่ นโคง้ นอ้ ยยำวเทำ่ กนั และ
สว่ นโคง้ ใหญย่ ำวเทำ่ กนั

OC

AB D

ทฤษฎีบท ในวงกลมทเ่ี ทำ่ กนั ทกุ ประกำรหรอื ในวงกลมเดยี วกัน O

ถำ้ คอรด์ สองคอร์ดตดั วงกลมทำใหส้ ว่ นโคง้ นอ้ ยยำวเทำ่ กนั แลว้ A B

คอร์ดทง้ั สองนน้ั จะยำวเทำ่ กนั

03 คอรด์ คอรด์ กบั จดุ ศนู ยก์ ลำงของวงกลม

ทฤษฎีบท ส่วนของเสน้ ตรงซง่ึ ผำ่ นจดุ ศูนยก์ ลำงของวงกลมและตดั คอรด์ ทไี่ ม่ใชเ่ สน้ ผำ่ นศนู ยก์ ลำง จะมีสมบตั ดิ งั น้ี

1. ถ้ำส่วนของเสนตรงคอรด์ แบง่ ครงึ่ คอรด์ แลว้ สว่ นของเสน้ ตรงนนั้
O จะตง้ั ฉำกกบั คอรด์

A X B 2. ถ้ำสว่ นของเสนตรงตง้ั ฉำกกบั คอรด์ แล้วสว่ นของเสน้ ตรงนนั้
จะแบง่ ครงึ่ คอรด์

03 คอร์ด คอรด์ ทยี่ ำวเทำ่ กนั

ทฤษฎีบท

1. ในวงกลมเดยี วกนั ถำ้ คอรด์ สองเสน้ ยำวเทำ่ กนั แลว้ คอรด์ ทั้งสองนนั้
จะอยหู่ ำ่ งจำกจดุ ศนู ย์กลำงของวงกลมเปน็ ระยะเท่ำกนั

2. ในวงกลมเดยี วกนั ถำ้ คอรด์ สองเสน้ อยหู่ ำ่ งจำกจดุ ศนู ยก์ ลำงของ
วงกลมเปน็ ระยะเทำ่ กนั แลว้ คอรด์ ทงั้ สองนน้ั จะยำวเท่ำกนั



04 เส้นสมั ผสวงกลม เสน้ สมั ผสั วงกลมและรศั มี

O

AB

ทฤษฎบี ท เส้นสมั ผสั วงกลม จะตงั้ ฉำกกบั รศั มขี องวงกลมที่จดุ สมั ผสั

ทฤษฎีบท เส้นตรงทต่ี งั้ ฉำกกบั รศั มขี องวงกลมทีจ่ ดุ จดุ หนงึ่ บนวงกลม จะเปน็ เสน้ สมั ผัส
วงกลมทจ่ี ดุ นน้ั

04 เส้นสัมผสวงกลม เสน้ สมั ผสั วงกลมและรศั มี

B C

O
A

ทฤษฎบี ท สว่ นของเสน้ ตรงทล่ี ำกจำกจดุ ๆ หนึง่ ภำยนอกวงกลม
มำสมั ผสั วงกลมเดยี วกนั จะยำวเทำ่ กนั และมไี ดส้ องเสน้

04 เส้นสมั ผสวงกลม เส้นสมั ผสั และคอรด์

กำหนดให้จดุ O เป็นจดุ ศนู ยก์ ลำงของวงกลม สมั ผสั วงกลม O ที่จดุ A
C เปน็ คอรด์ และ መ เปน็ มมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลม

B จำกรปู เรียก መ ว่ำ มุมทเี่ กดิ จำกคอรด์ และเสน้ สมั ผัสท่ีจดุ สมั ผสั A

O เรยี ก መ ว่ำ มุมในสว่ นโคง้ ของวงกลมท่อี ยตู่ รงขำ้ มกบั คอรด์ AB

XA Y

ทฤษฎบี ท มมุ ทเ่ี กดิ จำกคอรด์ และเสน้ สมั ผสั ของวงกลมทจ่ี ดุ สมั ผสั จะมี
ขนำดเทำ่ กบั ขนำดมมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลมที่อยตู่ รงข้ำมกบั คอรด์ นนั้

แบบฝกึ หัด

คำชี้แจง ใหน้ ักเรยี นตอบคำถำมตอ่ ไปนใี้ หถ้ กู ตอ้ ง
1. คอรด์ คืออะไร

ตอบ

2. ในวงกลมวงหนึ่งมคี อร์ดได้กีเ่ ส้น
ตอบ

แบบฝกึ หดั

คำช้แี จง ให้นกั เรยี นเลอื กตอบทถี่ กู ตอ้ งทีส่ ดุ เพยี งคำตอบเดยี ว
1. O เปน็ จุดศูนย์กลำงของวงกลม และ เป็นเสน้ ผำ่ นศนู ย์กลำง A ෠ = 50°
จงหำขนำดของ O መ

ก. 25°
ข. 30°
ค. 34°
ง. 65°

แบบฝกึ หัด

คำชแ้ี จง ให้นักเรยี นเลอื กตอบทถ่ี กู ตอ้ งท่ีสดุ เพยี งคำตอบเดยี ว
2. O เป็นจดุ ศูนย์กลำงของวงกลม เปน็ เสน้ ผำ่ นศนู ยก์ ลำง ถำ้ A ෠ = 22° และ
B መ = 30° จงหำขนำดของ D ෠

ก. 60°
ข. 55°
ค. 38°
ง. 32°

แบบฝึกหัด

คำชี้แจง ใหน้ กั เรยี นเลอื กตอบทถี่ กู ตอ้ งทส่ี ดุ เพยี งคำตอบเดยี ว
3. O เป็นจดุ ศูนยก์ ลำงของวงกลม A ෠ = 45° และ E መ = 20° จงหำขนำดของ A ෠

ก. 35°
ข. 40°
ค. 45°
ง. 50°

แบบฝึกหัด

คำช้ีแจง ให้นกั เรยี นเลอื กตอบทถี่ กู ตอ้ งทส่ี ดุ เพยี งคำตอบเดยี ว
4. O เปน็ จุดศูนย์กลำงของวงกลม A ෠ = 36° และ E ෠ = 70° จงหำขนำดของ A ෠

ก. 112°
ข. 148°
ค. 153°
ง. 160°

แบบฝกึ หดั

คำช้ีแจง ใหน้ กั เรยี นเลอื กตอบทถี่ กู ตอ้ งที่สดุ เพยี งคำตอบเดยี ว
5. จำกรูปสเ่ี หล่ยี ม ABDE บรรจุอย่ใู นวงลม // , ,A ෠ = 74° จงหำ B መ

ก. 90°
ข. 96°
ค. 106°
ง. 108°

แบบฝึกหดั

คำชี้แจง ให้นกั เรยี นเลอื กตอบทถี่ กู ตอ้ งทสี่ ดุ เพยี งคำตอบเดยี ว
6. จำกรูป = จงหำ B መ = 30°

ก. 60°
ข. 55°
ค. 38°
ง. 32°

แบบฝกึ หัด

คำชแ้ี จง ให้นกั เรยี นเลอื กตอบทถ่ี กู ตอ้ งท่สี ดุ เพยี งคำตอบเดยี ว
7. จดุ O เปน็ จดุ ศนู ย์กลำงของวงกลม ถ้ำ B መ โต 30° จงหำ O ෠

ก. 35°
ข. 40°
ค. 45°
ง. 60°

แบบฝกึ หดั

คำช้ีแจง ให้นักเรยี นเลอื กตอบทถ่ี กู ตอ้ งท่สี ดุ เพยี งคำตอบเดยี ว
8. O เป็นจุดศูนย์กลำงของวงกลม O ෠ = 30° จงหำขนำดของ B ෡

ก. 105°
ข. 113°
ค. 120°
ง. 153°

แบบฝึกหดั

คำชแ้ี จง ใหน้ ักเรยี นเลอื กตอบทถี่ กู ตอ้ งที่สดุ เพยี งคำตอบเดยี ว
9. O เป็นจดุ ศูนย์กลำงของวงกลม เป็นเส้นผำ่ นศนู ยก์ ลำง ถำ้ A ෠ = 22° และ
B መ = 30° จงหำขนำดของ D ෠

ก. 60°
ข. 55°
ค. 38°
ง. 32°

แบบฝึกหดั

คำชีแ้ จง ใหน้ ักเรยี นเลอื กตอบทถ่ี กู ตอ้ งที่สดุ เพยี งคำตอบเดยี ว
10. กำหนดให้ O เปน็ จุดศนู ย์กลำงของวงกลม ถ้ำ B ෠ = 120°, D መ = 35° แลว้
B መ มขี นำดกอี่ งศำ

ก. 100°
ข. 105°
ค. 115°
ง. 120°