Modul polinomial

MODUL PEMBELAJARAN

MATEMATIKA

Untuk

SMA

Kelas XI
Semester 2

Disusun Oleh:
MGMP MATEMATIKA
SMA Negeri 1 Karanganom
Klaten, Jawa Tengah

MGMP Matematika [i]

MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA
Untuk SMA Kelas XI Semester 2

Berdasar kurikulum 2013

Disusun Oleh : MGMP Matematika SMA Negeri 1 Karanganom
Klaten, Jawa Tengah

Editor : Siti Nur Baiti S.Pd.
Dra. Sri Winarni
Bambang Yulianto, S.Pd.
Sudarto, S.Pd
Atiel Sandrawati, S.Pd.Gr

Video Pembelajaran : Siti Nur Baiti, S.Pd.
Dhika Asri Fitriani, M.Pd
Dita Royyani, S.Pd. M.Sc.
Dwi Inayah Trisnawati, S.Pd.Gr

Design Sampul : Drs. Gandung Sihono

MGMP Matematika [ii]

Sekapur Sirih

Suatu kebahagian yang selayaknya disyukuri bahwa kami memperoleh kesempatan untuk ikut
mencerdaskan kehidupan bangsa melalui penyusunan Modul Pembelajaran
Matematika.sesuai standar isi kurikulum 2013.

Materi dalam modul ini dirancang sedemikian sehingga megarah ke model pendekatan ilmiah.
untuk mendukung pendekatan pembelajaran tersebut dalam modul ini disajikan fakta untuk
merangsang imajinasi siswa, Lembar Kerja Siswa ( LKS ) untuk memberikan arah agar siswa
memenukan konsep dan latihan untuk meningkatkan keterampilan siswa dalam memecahkan
masalah dalam kehidupan sehari-hari.

Dengan perkembangan IPTEK yang semakin pesat, dan khususnya perkembangan Ilmu
Matematika, maka bukan suatu hal yang mustahil jika di masa mendatang harus dilakukan
perbaikan pada Modul Pempelajaran Matematika ini, agar tetap aktual sesuai perkembangan
jaman. Oleh karena itu kami membuka pintu selebar-lebarnya kepada berbagai pihak dan para
pemakai Modul Pembelajaran Matematika ini, untuk menelaah dan memberikan masukan
guna melengkapi Modul Pembelajaran Matematika ini.

Dengan tersusunnya Modul Pembelajaran matematika ini, kami haturkan terika kasih kepada:

1. Bapak Pengawas SMA di Kabupaten Klaten yang telah memberikan arahan dan motivasi
kepada kami

2. Bapak Kepala SMA Negeri ! Karanganom, Jawa Tengah yang telah memberikan ijin,
fasilitas dan dorongan kepada kami

3. Bapak/Ibu Guru dan Karyawan SMA Negeri 1 Karanganom yang telah memberikan
masukan dan dorongan kepada kami

4. Semua pihak yang telah memberikan koreksi dan masukan kepada kami

Akhirnya penyusun berharap, akan lahir Modul Pembelajaran Matematika yang bermutu
dengan gaya yang elegan untuk para siswa. Selamat belajar para siswaku, pahami konsep
dan teruslah berlatih dengan tekun agar kalian terampil menggunakan Matematika untuk
memecahkan masalah yang kalian temui di sekitar kita.

Klaten, Januari 2022

MGMP Matematika
SMA Negeri 1 Karanganom

MGMP Matematika [iii]

DAFTAR ISI iii
iv
SEKAPUR SIRIH…………………………………………………………………… v
DAFTAR ISI ………………………………………………………………………... 1
PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL …………………………………………... 1
BAB 1 POLINOMIAL ( SUKU BANYAK ) ………………………………….. 1
PRASYARAT………………………………………………………………………... 1
KOMPETENSI DASAR …………………………………………………............... 2
INDIKATOR HASIL BELAJAR .. .………………………………………………… 3
6
A PENGERTIAN POLINOM 8
B NILAI POLINOM 14
C OPERASI PADA POLINOM 19
D PEMBAGIAN POLINOM 22
E TEOREMA SISA 24
F TEOREMA FAKTOR
G PERSAMAAN PANGKAT TINGGI
SOAL-SOAL POLINOMIAL

MGMP Matematika [iv]

PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL

A. Penjelasan Bagi Peserta Didik
1. Bacalah modul ini dengan seksama, kemudian pahami benar seluruh informasi yang
termuat di dalamnya.
2. Laksanakan semua tugas-tugas yang terdapat di dalam modul ini agar kompetensi
kalian berkembang dengan baik.
3. Setiap mempelajari satu sub kompetensi, kalian harus mulai dari menguasai
pengertian-pengertian dalam uraian materi, melaksanakan tugas-tugas dan
mengerjakan lembar latihan.

B. Peranan Guru
1. Membantu siswa dalam membuat kelompok belajar, yang terdiri 4 – 6 siswa dalam
satu kelompok.
2. Menegaskan kembali tentang tujuan akhir yang harus dicapai setelah mempelajari
modul ini.
3. Mendampingi siswa dalam melaksanakan tugas.
4. Membantu peserta didik dalam menentukan dan mengakses sumber tambahan
belajar lain yang diperlukan untuk belajar.
5. Melaksanakan penilaian serta mencatat pencapaian kemajuan peserta didik.
6. Menjelaskan kepada peserta didik mengenai bagian yang perlu untuk dibenahi dan
merundingkan rencana pembelajaran selanjutnya.

MGMP Matematika [v]

Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Nadiem Makarim
mematahkan mitos NEM, IPK, dan Ranking yang bagus sebagai
faktor utama yang mempengaruhi untuk kesuksesan seseorang.
Pernyataan tersebut didukung hasil riset yang dilakukan oleh
Thomas J. Stanly yang memetakan 100 faktor yang berpengaruh
terhadap tingkat kesuksesan. Hasilnya menunjukan bahwa IQ yang
tinggi/superior menduduki urutan ke-21. Urutan ke-1 sampai dengan
ke-10 yang menentukan kesuksesan seseorang adalah: Kejujuran,
Disiplin, Mudah Bergaul, Dukungan Pendamping, Kerja Keras,
Kecintaan pada apa yang dikerjakan, Kepemimpinan, Kepribadian
Kompetitif, Hidup Teratur, dan Kemampuan Menjual Ide.

( BNSP )

MGMP Matematika [vi]

1BAB POLINOMIAL

PRASYARAT
Kemampuan dasar yang harus dimiliki untuk mempelajari modul ini adalah
1. Siswa memahami dan terampil dalam operasi aljabar
2. Siswa memahami dan terampil dalam substitusi suatu fungsi
3. Siswa memahami dan terampil dalam pemfaktoran
4. Siswa memahami dan terampil pembagian bersusun
5. Siswa memahami dan terampil dalam identitas
6. Terdapat buku sumber / perpustakaan
7. Jaringan internet

KOMPETENSI DASAR
1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya

diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan
strategi menyelesaikan masalah.
2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berpilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan
disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika.
2.3 Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan.
3.4 Menjelaskan polinom dan melakukan operasi pada polinomial (penjumlahan dan perkalian)
4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan operasi hitung pada polinomial
3.5 Menganalisis keterbagian dan faktorisasi polinomial
4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan faktorisasi polinomial

TUJUAN AKHIR (INDIKATOR HASIL BELAJAR)
Setelah mempelajari modul ini diharapkan:
 Sikap.

1. Siswa memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin,
rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih
dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.

2. Siswa mampu mentransformasi diri dalam berpilaku jujur, tangguh mengadapi masalah,
kritis dan disiplin.

3. Siswa memiliki sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, dan perilaku peduli
lingkungan.

 Pengetahuan
1. Siswa memahami konsep polinomial.
2. Siswa memahami skema Horner
3. Siswa dapat menyebutkan derajat polinomial.
4. Siswa dapat menyebutkan koefisien derajat tertentu pada fungsi polinom.
5. Siswa dapat menentukan hasil bagi dan sisa pembagian polinomial.
6. Siswa dapat menentukan faktor dari fungsi polinom
7. Siswa dapat menentukan akar-akar dari persamaan polinom

MGMP Matematika [1]

 Ketrampilan
1. Siswa terampil memecahkan masalah kontekstual yang berkaitan dengan nilai suatu
fungsi polinomial
2. Siswa terampil memecahkan masalah kontekstual yang berkaitan dengan faktorisasi
suatu fungsi polinomial
3. Siswa terampil memecahkan masalah yang berkaitan akar-akar dari fungsi polinom

A. PENGERTIAN POLINOM (SUKU BANYAK)

Polinom (suku banyak) dengan derajat n dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi yang dapat
dinyatakan sebagai bentuk umum seperti berikut

bentuk di atas disebut polinom dalam x berderajat n, di mana n ϵ bilangan cacah dan n ≠ 0
Keterangan:
 n adalah bilangan cacah yang menyatakan derajat suku banyak. Derajat suku banyak dalam x

adalah pangkat tertinggi dari x dalam polinom itu.
 an disebut koefisien dari xn , an-1 disebut koefisien dari xn-1 , ... , dan a1 disebut koefisien dari x.
 suku yang tidak memuat peubah x yaitu a0 disebut suku tetap / konstan.
Peubah polinom dapat ditulis dengan peubah selain x , seperti a , b , c ,d , e,, ... , x , y , atau z.

Cermati dan diskusikan contoh berikut:
1. 5x3 – 2x2 + 10x + 4

 Suku banyak dengan peubah x , berderajat 3
 Koefisien dari x3 adalah 5
 Koefisien dari x2 adalah -2
 Koefisien dari x adalah 10
 Suku konstan 4
2. 2y4 + 4y3 + y – 2
 Suku banyak dengan peubah y , berderajat 4
 Koefisien dari y4 adalah 2
 Koefisien dari y3 adalah 4
 Koefisien dari y2 adalah 0
 Koefisien dari y adalah 1
 Suku tetapnya -2

Tugas Kelompok
1. Uraikan perkalian berikut kemudian tentukan peubah, derajat, koefisien dan suku konstan

dari suku banyak berikut!
a. (x2-1) (x2+2x-6)
b. (mx2 – 3x +2)(3x3 + nx2 -5) ; m dan n konstan
2. Uraikan polinom berikut, kemudian tentukan koefisien pada derajat yang ditentukan
a. (3x – 2)4, tentukan koefisien dari x3
b. (ax2 + 3x)3, tentukan koefisien dari x5.

MGMP Matematika [2]

Tugas Mandiri
1. Tentukan peubah, derajat, koefisien dan suku tetap dari polinom berikut!

a. x4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 3
b. 1 – p + 10p2 – 3p4 + 6p7
c. a3 – a
d. (2x+7)2
e. k2 + 3
f. (3x+1)(6-x2)
g. 4 + 3m2 – 4m3 + 5m4 – m5
h. (x+3)(3x-1)(2x -1)
i. 2w6 – 3w5 + w4 – 5w + 6
j. (5x+2)3

2. Tentukanlah koefisien dari :
a. x2 dalam (x+6)(7-2x).
b. x dalam (x-2)(x2-x -4)
c. x dalam (x+2)2(3x-5)
d. x3 dalam (x2-x)(x2+2x-6)
e. x3 dalam (3x2- 1)(x2+3x-7).
f. x2 dalam (7-x2)(x3+x2-x+3

3. Diketahui F(x) dan G(x) adalah polinom dalam x masing-masing berderajat m dan n. Jika m= 4
dan n= 7, tentukanlah derajat dari suku banyak berikut :
a. F(x) + G(x)
b. F(x) – G(x)
b. F(x).G(X)
c. (F(x))2
d. (F(x))2.G(x)
e. ( F(x) + G(x))3

Pengayaan
Dengan literasi ( buku atau jaringan internet ), carilah dan pahami konsep binomial, kemudian
tentukan jawaban dari persoalan berikut.
1. Tentukan koefisien dari x6 pada polinom ( 2x – 5)10
2. Tentukan koefisien dari x10 pada polinom ( x2 + 2)8
3. Tentulan koefisien t11 pada polinom ( 3t2 – 2t)6

B. NILAI POLINOM

Untuk menentukan nilai suku banyak dapat dilakukan dengan dua cara berikut.

1. Cara Substitusi
Mencari nilai polinom dengan menggunakan cara substitusi adalah dengan menggantikan nilai
variabel ( peubah ) yang diberikan ke dalam polinom.

Cermati dan diskusikan contoh berikut.
Hitunglah nilai f(x) = 3 4 + 2 2 - 5x + 6 untuk x = 2.
Penyelesaian:

MGMP Matematika [3]

Nilai f(x) = 3 4 + 2 2 - 5x + 6 untuk x = 2 adalah f(2)= 3.24 + 2. 22 – 5.2 + 6 = 52
Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = 2 adalah 52

2. Cara Horner
Menentukan nilai suku banyak dengan menggunakan cara Horner lebih mudah dibandingkan
dengan cara substitusi.
Misal terdapat suku banyak f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.
Untuk x = h , diperoleh f(h) = ah4 + bh3 + ch2 + dh + e

⟺ f(h) = [ah3 + bh2 + ch + d]h+ e
⟺ f(h) = [{ah2 + bh + c}h + d]h + e
⟺ f(h) = [{(ah + b)h +c}h + d]h + e
Dari persamaan yang terakhir, nilai suku banyak untuk x = k dapat ditentukan secara bertahap
sesuai langkah berikut:
Langkah 1 : kalikan a dengan h, hasilnya ditambah b.
Langkah 2 : kalikan hasil dari langkah 1 dengan h, kemudian tambahkan hasilnya dengan c.
Langkah 3 : kalikan hasil dari langkah 2 dengan h, kemudian tambahkan hasilnya dengan d.
Langkah 4 : kalikan hasil dari langkah 3 dengan h, kemudian tambahkan hasilnya dengan e.
Hasil terakhir dari langkah-langkah tersebut adalah :
f(x) = ah4 + bh3 + ch2 + dh + e.
Secara skema langkah tersebut dapat ditunjukkan sebagai berikut:

ha bc d e
a ah4 + bh3 + ch2 + dh
ah ah2 + bh ah3 + bh2 + ch
+
ah+b ah2+bh+c ah3+bh2+ch+d ah4 + bh3 + ch2 + dh+e

Tanda “ “ artinya dikalikan dengan h.

Tanda panah ini hanya untuk memudahkan penjelasan saja. Apabila sudah mahir menggunakan
cara ini, maka tidak perlu lagi menuliskan tanda panah.

Nilai suku banyak yang diperoleh dengan cara seperti di atas disebut cara Skematis metode
Horner.
Untuk lebih memahami, perhatikan uraian berikut.

Misalkan , f(x) = 3 4 + 2 2 - 5x + 6 maka dapat dijabarkan sebagai berikut
f(x) = 3 4 + 2 2 - 5x + 6

= 3 4 + 0x3 + 2 2 - 5x + 6 ( catatan: a=3 , b=0 , c=2 , d= -5 , e=6 )
= (3 3 + 0x2+ 2 – 5)x + 6
= ((3 2+ 0x+ 2) – 5)x + 6

= (((3 + 0)x+ 2) – 5)x + 6 ……………………………….. ( 1 )

Jika nilai x = 2 disubstitusikan pada persamaan (1) maka f(2) secara bertahap

diperoleh sebagai berikut.

f(2) = (((3.2 + 0).2+ 2). 2 – 5).2 + 6

MGMP Matematika [4]

= ((12 + 2). 2 – 5).2 + 6
= (28– 5).2 + 6
= 46 + 6
= 52
Dari urutan pengerjaan di atas dapat disajikan secara skematis metode Horner sebagai berikut

x= 2 3 0 2 -5 6 Bila diperlukan mintalah
3 3(2) 6(2) 14(2) 23(2) ( + ) bantuan guru untuk
6 14 23 52 mengetahui alur skema
disamping

Jadi nilai suku banyak f(x) = 3 4 + 2 2 - 5x + 6 unutk x = 2 adalah 52.

Tugas Kelompok
Dengan cara skematis metode horner tentukan nilai polinom berikut.

f(x) = 4 - 2 3+ 3 2 - 4x + 1 , untuk x = 2

x=2 1 -2 3 -4 1

2 ….. ….. …. (+)

1 0 ….. ….. …..

f(x) = - 2 3+ 7 2 + 5 , untuk x = 3

x = … ….. ….. …… …..
….. ….. ….. ( + )

-2 ….. ….. …..

f(x) = 3 4 + 8 3- 4 2 - 2 , untuk x = 1 (+)
x = …. ….. ….. ….. ….. ….. (+)

….. ….. ….. ….
…… ….. ….. ….. …..
f(x) = 4 − 16, untuk x = -1
x = …. ….. ….. ….. ….. …..

….. ….. ….. ….
…… ….. ….. ….. …..

MGMP Matematika [5]

Tugas Mandiri
1. Dengan cara skematis tentukan nilai suku banyak berikut kemudian cocokkan hasilnya

menggunakan cara substitusi :
a. f(1) jika f(x) = 3x4 – x3 – 2x2 – 10x + 6
b. f(2) jika f(x) = 5x3 +2x2 – 3x + 5
c. f(3) jika f(x) = x4 +2x - 7
d. f(4) jika f(x) = x3 - 1

2. Hitunglah nilai setiap suku banyak berikut untuk setiap nilai x yang diketahui :
a. f(x) = x3 – x2 – x + 4 untuk x = -1
b. f(x) = 2x3 +x2 – 4x + 6 untuk x = 2
c. f(x) = 2x4 +3x2 - x – 3 untuk x = 0, 5
d. f(x) = 3x4 +2x2 – x untuk x = 0,1

3. Diketahui suku banyak f(x) = 2x3 – 3x2 + kx – 6. Hitunglah nilai k , jika f(3) = 39.
4. Diketahui f(x) = x3 + ax2 + bx – 2. Jika f(1) = f(-1) = 0 tentukan nilai 2a + b

C. OPERASI PADA POLINOM

1. Penjumlahan dan Pengurangan
Agar dua suku banyak atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan, suku-suku tersebut harus
sejenis atau senama, artinya peubahnya sama dan pangkat peubahnya sama.

Misalkan: 5x6 dengan 3x6 , p4 dengan 7p4



Cermati dan diskusikan contoh berikut.
Tentukan hasil penjumlahan atau pengurangan suku banyak berikut:
a. (3x4 + 3x3 - 10x2 - 2x + 3) + ( 2x3 + 6x2 - 4x + 7)

Alternatif jawaban:

(3x4 + 3x3 - 10x2 - 2x + 3) + ( 2x3 + 6x2 - 4x + 7)
= 3x4 + (3x3 + 2x3) + (-10x2 + 6x2) + (-2x - 4x) + (3 + 7)
= 3x4 + 5x3 - 4x2 ─ 6x + 10

b. 4y3 + 2y2 - 5y + 4) - (2y2 + 4y - 5)

Alternatif jawaban:

(4y3 + 2y2 - 5y + 4) - (2y2 + 4y - 5) = 4y3 + ( 2y2 - 2y2) + ( - 5y - 4y ) + (4 - 5)

= 4y3 - y - 1

2. Perkalian

Untuk mengalikan dua suku banyak atau lebih dapat digunakan sifat distributif perkalian

terhadap penjumlahan atau pengurangan.
Cermati dan diskusikan contoh berikut.

Hitunglah:

(x + 4) (x2 + 2x - 2)
Alternatif jawaban:

(x + 4) (x2 + 2x - 2) = x(x2 + 2x - 2) + 4(x2 + 2x - 2)

= x3 + 2x2 - 2x + 4x2 + 8x - 8

= x3 + 6x2 + 6x - 8

MGMP Matematika [6]

3. Kesamaan polinom
Misalkan diketahui suku banyak f(x) dan g(x) dengan derajat n :
f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
g(x) = bnxn + bn-1xn-1 + ... + b1x + b0
f(x) = g(x) jika dan hanya jika dipenuhi :
an = bn , an-1 = bn-1 , an-2 = bn-2 , ... , a1 = b1 , a0 = b0

Cermati dan diskusikan contoh berikut.
Diketahui fungsi f(x)= x2 + 4x - 1 dan g(x)= (x + 1) (x + 3) - 2k
Hitunglah nilai konstan k , jika f(x) = g(x)
Alternatif jawaban:
f(x) = g(x)
⟺ x2 + 4x - 1 = (x + 1) (x + 3) - 2k
⟺ x2 + 4x - 1 = x2 + 4x + (3 - 2k)
Berdasarkan sifat kesamaan suku banyak , diperoleh:
-1 = 3 - 2k
⟺ 2k = 3 + 1
⟺ 2k = 4
⟺ k=2
Jadi nilai k pada kesamaan di atas adalah 2.

Tugas Mandiri

1. Diketahui suku banyak f(x) = x3 - x2 + 1 dan g(x) = x2 - 4.

Tentukan hasil operasi dan derajat dari:

a. f(x) + g(x)

b. f(x) - g(x)

c. f(x) • g(x)

d. ( f(x) + g(x) ) - 2f(x)

e. ( f(x) + g(x) ) • ( f(x) - g(x) )

2. Hitunglah nilai konstanta k , jika diketahui:

a. (x + 1) (x + 3) - 2k = x2 + 4x - 1.

b. (x2 + 2) (x2 + 2x - 1) + k = x4 + 2x3 + x2 + 4x - 3.

c. x3 - 5x2 + x + 6 = (x2 + 1) (x - 5) + 3k

3. Hitunglah nilai konstanta a dan b , jika diketahui :

a. + = 3 +3
3− 3+ 9− 2

b. + = 5
+3 −2 2+ −6

MGMP Matematika [7]

D. PEMBAGIAN POLINOM

1. Pengertian pembagi , yang dibagi, hasil bagi dan sisa pembagian
Perhatikan pembagian pada bilangan berikut.

No. Yang Pembagi Hasil Sisa Hubungan
pembagian
Dibagi Bagi 25 = 6 x 4 + 1
1 20 = 4 x 5 + 0
1 25 6 4 0 12 = 5 x 2 + 2
2 30 = 3 x 10 + 0
2 20 4 5 0

3 12 5 2

4 30 3 10

Yang dibagi = Pembagi x Hasil bagi + Sisa

Sebagaimana operasi pembagian pada bilangan , dalam operasi pembagian pada suku banyak,
hubungan antara yang Dibagi, Pembagi, Hasil Bagi dan Sisa Pembagian adalah sebagai berikut:

Yang Dibagi = Pembagi x Hasil Bagi + Sisa

Cermati dan disusikan contoh berikut.
Tentukan derajat dari hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak berikut.
( 2 3 + 3 2 + 5 ) dibagi (x + 1)
Penyelesaian:
Dengan cara bersusun diperoleh sebagai berikut.

x+1 2x2 + x – 1 Bila diperlukan mintalah
2 3 + 3 2 + 5 bantuan guru untuk mengetahui
(-) alur pembagian disamping
2 3 + 2x2 (-) +5
x2 +5 -1 (-)
x2 +x 6
-x
-x

Nampak bahwa yang dibagi 2 3 + 3 2 + 5 berderajat 3, dibagi x + 1 berderajat 1, hasil baginya
adalah 2x2 + x – 1 berderajat 2 dan sisa pembagiannya adalah 6
Dengan memperhatikan pernyataan di atas, maka pada fungsi polinom didapat
hubungan sebagai berikut

f(x) = p(x).h(x) + s(x)

dimana : f(x) adalah yang dibagi

p(x) adalah pembagi

h(x) adalah hasil bagi

s(x) adalah sisa

MGMP Matematika [8]

Tugas Kelompok
Dengan cara bersusun tentukan hasil bagi dan sisanya pada pembagian berikut.

1. (4x3 + 6x2 - 2x + 5) : (x + 1) (-) Nampak bahwa yang dibagi 4x3 + 6x2 - 2x + 5
(-) berderajat ….. , dibagi x + 1 berderajat ……,
4x2 + ….. - …… (-) hasilbaginya adalah ……………….. berderajat ….
x + 1 4x3 + 6x2 - 2x + 5 dan sisa pembagiannya adalah ………….

4x3 + ……
…… …… ……
…… …… ……
…… ……
…… ……
……

2. (2x3 - 4x2 - x + 1) : (x2- x + 1) Nampak bahwa yang dibagi
……………………..……….. berderajat …... , dibagi
x2- x +1 …… ….. ………………..… berderajat ….…, hasilbaginya
….. ….. ….. …… adalah ……………………….. berderajat ….. dan
….. ….. ….. (-) sisa pembagiannya adalah ………...…….
(-) Berderajat …………
…… …… ……
…… …… ……

…… ……

2. (x4 + 4x2 + 8) : (x2 - 1) Nampak bahwa yang dibagi x4 + 4x2 + 8
berderajat ….. , dibagi x - 2 berderajat ……,
hasilbaginya berderajat …. dan sisa
pembagiannya berderajat…….

Dari kegiatan di atas dapat disimpulkan:

Kesimpulan
Jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi oleh fungsi berderajat m akan
menghasilkan hasil bagi berderajat ( n – m) dan sisa pembagian paling tinggi berderajat (m – 1) .

MGMP Matematika [9]

2. Pembagian Polinom oleh ( x – h )
Untuk memahami konsep pembagian suku banyak oleh ( x – h) cermati dan diskusikan contoh
berikut.

Contoh:
Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak 2 3 + 2 + 3 dibagi x + 1
Penyelesaian:
Untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari suku banyak dapat dilakukan
dengan beberapa cara diantaranya dengan:
1. Cara Susun

x+1 2x2 - x + 1 +3
2 3 + 2
(-) (-)
2 3 + 2x2 +3 +3
-x2 -x +1
-x2 x 2
x
(-)

Jadi hasil bagi suku banyak ( 2 3 + 2 + 3 ) oleh (x + 1) adalah 2x2 - x + 1 dan sisa
pembagiannya adalah 2

2. Cara skema Horner

Langkah-langkah untuk menentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak oleh (x – h)
dengan cara Horner adalah sama dengan langkah-langkah dalam menentukan nilai suku banyak
yang telah diberikan seperti contoh di atas, yaitu dengan memasukkan nilai h ke dalam operasi
skema Horner.
Dengan mengambil contoh di atas, perhatikan langkah-langkah berikut ini.

x = -1 2 1 0 3 Bila diperlukan mintalah
-2 1 -1 ( + ) bantuan guru untuk mengetahui
2 alur skema disamping
2 -1 1 sisa
koef. hasil bagi

Dari penyelesaian tersebut diperoleh 2x2 - x + 1 sebagai hasil bagi dan sisa pembagiannya adalah
2.

Tugas Kelompok
Dengan metode horner, tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak berikut

(2 3+ 5 2 - 2x - 5 ) : (x – 3) Jadi (2 3+ 5 2 - 2x - 5 ) : (x – 3)
x =3 2 5 -2 -5 diperoleh 2 2 +11x + 31 sebagi
hasil bagi dan sisanya 88

6 33 93 ( + )

2 11 31 88

MGMP Matematika [10]

(3 4 + 6 3- 2 2 + 2) : (x – 1) Jadi (3 4 + 6 3- 2 2 + 2) : (x-1)
x= …. ….. ….. ….. ….. ….. diperoleh ……………………………..
sebagi hasil bagi dan sisanya …….
….. ….. ….. …. ( + )
…… ….. ….. ….. …..

( 4 − 16): ( + 2) Jadi ( 4 − 16): ( + 2)
x = …. ….. ….. ….. ….. ….. diperoleh …………………………….. sebagi
hasil bagi dan sisanya …….
….. ….. ….. …. ( + )
…… ….. ….. ….. …..

Hal itu menunjukkan bahwa jika f(x) dibagi oleh (x –h) maka sisanya f( ℎ )

3. Pembagian Polinom oleh (ax – b)
Perhatikan pembagian suku banyak oleh ( x – k) di atas, dan pandang pembagian f(x) dengan ( x
- ), maka menurut teorema sisa dapat ditulis




( ) = ( – ). ℎ( ) +


( ) = ( – ). ℎ( ) + ( )


( ) = ( – ). ℎ( ) + ( )

ℎ( )
( ) = ( – ). + ( )

ℎ( )
( ) = ( – ). + ( )

Cermati dan diskusikan contoh berikut.

Tentukan hasil bagi dan sisanya bila 4x3 + 6x2 - 2x + 5 dibagi oleh (2x - 1)

Dengan cara susun

(4x3 + 6x2 - 2x + 5) : (2x - 1) Jadi (4x3 + 6x2 - 2x + 5) : (2x - 1)

2x2 + 4x + 1 diperoleh 2x2 + 4x + 1 sebagai hasil
2x - 1 4x3 + 6x2 - 2x + 5 bagi dan sisanya 6

4x3 - 2x2 (-)

8x2 - 2x + 5

8x2 - 4x (-)

2x + 5

2x - 1 (-)

MGMP Matematika 6 [11]

Dengan metode Horner pembagian di atas dapat dilakukan sebagai berikut.

(4x3 + 6x2 - 2x + 5) : (2x - 1) 5 Jadi (4x3 + 6x2 - 2x + 5) : (2x - 1)
X = ½ 4 6 -2 1 Diperoleh 4x2 + 8x + 2 = 2x2 + 4x + 1
6
24 2
482
sebagai hasil bagi dan sisanya 6

(+)

Kesimpulan

Hal itu menunjukkan bahwa jika f(x) dibagi oleh (ax –b) maka hasil baginya ℎ( )


dan sisanya f( )

Tugas Kelompok
Dengan metode Horner tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian berikut.

(2 3+ 6 2 - 2x - 5 ): (2x – 3) Jadi (2 3+ 6 2 - 2x - 5 ) : (2x – 3)

x =23 2 6 -2 -5 diperoleh 2x2 + 9x +(23/2) sebagi
2

hasil bagi dan sisanya 49/4

3 27/2 69/4 ( + )

2 9 23/2 49/4

2. (2 4 + 4 3- 2 2 + 2) : (2x + 1) Jadi (2 4 + 4 3- 2 2 + 2) : (2x-1)
x = …. ….. ….. ….. ….. ….. diperoleh ……………………………..
sebagi hasil bagi dan sisanya …….
….. ….. ….. …. ( + )
…… ….. ….. ….. …..

3. (3 4 + 6 − 15): (3 + 1) Jadi (3 4 + 6 − 15): (3 + 1)
x = …. ….. ….. ….. ….. ….. diperoleh ……………………………..
sebagi hasil bagi dan sisanya …….
….. ….. ….. …. ( + )
…… ….. ….. ….. …..

MGMP Matematika [12]

Tugas Mandiri

1. Dengan cara pembagian bersusun, tentukan hasil bagi dan sisa pembagian berikut!
a. (x2 + 5x – 4) : (x + 1)
b. (2x2 – 3x + 5) : ( x – 3)
c. (3x3 – 7x2 + 6) : (3x –5)
d. (x4 + x3 + x2 + x+ 3) : (2x - 3x2)
e. (x5 + 3x4 + 5x3 – 6x2 – x + 7) : (x2 + 2x –1)
f. (– 8x6 + 5x2 + 6x – 4) : (x3 + 6x2 – 5x + 1)

2. Tentukan sisa pada pembagian (2x2 – 6x + 8) : ( x – 3) kemudian bandingkan sisanya dengan
f(3) bila f(x)= 2x2 – 6x + 8.

3. Tentukan sisa pada pembagian (2x4 + x2 + 6x -2) : ( x +2) kemudian bandingkan sisanya
dengan f(–2) bila f(x)= 2x4 + x2 + 6x -2.

4. Dengan skema Horner, tentukan hasil bagi dan sisanya pada pembagian berikut :
a. 3x3 + 5x – 6 dibagi x – 1
b. 4x3 + 5x – 8 dibagi x + 2
c. 4x4 – 9x2 + 5 dibagi x – 3

5. Dengan skema Horner, tentukan hasil bagi dan sisanya pada pembagian berikut :
a. x4 + 3x2 – 4 dibagi 2x + 1
b. 2x3 + 4x2 +x – 8 dibagi 2x + 3
c. 3x4 + 6x2 – 3x + 10 dibagi 3x 1

4. Pembagian Polinom oleh (x – a)(x – b)
Menentukan hasil bagi
Hasil suku banyak f(x) oleh (x – a)(x – b) dapat dicari dengan metode Horner.

Cermati dan diskusikan contoh berikut.
Tentukan hasil bagi dan sisanya bila x3 + 3x2 – 4x + 1 oleh (x – 1)(x – 2)

(x3 + 3x2 – 4x + 1) : (x – 1)(x – 2)

X = 1 1 3 -4 1

1 4 0 (+)

X =2 1 4 0 1 S1

2 12 (+)

1 6 12 S2

Menentukan sisa pembagian. Jadi x3 + 3x2 – 4x + 1 : (x – 1)(x – 2)
Misal f(x) = x3 + 3x2 – 4x + 1 diperoleh (x + 6) sebagi hasil bagi
f(x) = (x – 1)(x2 + 4x) + 1(S1) dan (12x – 11) sebagai sisa

= (x – 1)[(x – 2)(x +6) + 12(S2)) + 1 S = (x-a).S2 + S1
= (x – 1)(x – 2)(x +6) + (x -1)12 + 1
= (x – 1)(x – 2)(x +6) + 12x -12 + 1 [13]
= (x – 1)(x – 2)(x +6) + 12x -11

Hasil bagi sisa

MGMP Matematika

5. Pembagian Polinom oleh ax2 + bx + c yang tidak dapat difaktorkan
Pembagian suku banyak oleh ax2 + bx + c yang tidak dapat difaktorkan berdasarkan prinsip dasar
pembagian: yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa. Perlu diingat, jika suku banyak f(x)
berderajat n dibagi oleh fungsi berderajat m akanmenghasilkan hasil bagi berderajat ( n – m) dan
sisa pembagian berderajat (m – 1) .

Cermati dan diiskusikan contoh berikut.
Tentukan hasil bagi dan sisanya bila suku banyak f(x) = x3 + 3x2 + 2x – 4 dibagi x2 + x + 2
Alternatif jawaban:
Karena yang dibagi f(x) = x3 + 3x2 + 2x – 4 berderajat 3 dan pembaginya x2 + x + 2 berderajat 2
maka hasil baginya berderajat 1, misal h(x) = ax + b
Karena pembaginya x2 + x + 2 berderajat 2 maka sisanya maksimum berderajat 1, misal
S(x)=px+q
Sehingga persamaan pembagian tersebut adalah,
x3 + 3x2 + 2x – 4 = (x2 + x + 2). h(x) + S(x)
⟺ x3 + 3x2 + 2x – 4 = (x2 + x + 2). ( ax + b) + (px + q)
⟺ x3 + 3x2 + 2x – 4 = (x2 + x + 2)ax + (x2 + x + 2)b + (px + q)
⟺ x3 + 3x2 + 2x – 4 = ax3 + ax2 + 2ax + bx2 + bx + 2b + px + q
⟺ x3 + 3x2 + 2x – 4 = ax3 + (a + b)x2 + (2a + b + p)x + (2b + q)
Koefisien suku-suku yang berpangkat sama pada ruas kiri dan ruas kanan adalah sama, sehingga
diperoleh persamaan:

1 = a……………………….(1)
3 = a + b…………………(2)
2 = 2a + b + p…………(3)
-4 = 2b + q……………..(4)
Dari persamaan (1), (2), (3), dan (4) diperoleh a = 1, b = 2, p = -2 dan q = -8
Jadi bila suku banyak f(x) = x3 + 3x2 + 2x – 4 dibagi x2 + x + 2 diperoleh hasil bagi x + 2 dan sisa
pebagian -2x – 8.

Tugas Mandiri
1. 2x4 + 3x2 – 1 dibagi (x + 1)(x – 2)
2. x3 + 6x2 +2x – 3 dibagi ( x – 2)(x – 3)
3. 2x3 + 4x2 +6x – 2 dibagi x2 - 4
4. 2x3 + 4x2 +x – 8 dibagi x2 - x + 2
5. x4 – 9x2 + 5x - 2 dibagi x2 - 2x + 1
6. 2x4 + 3x2 – 1 dibagi (x + 1) (x2 + 2x + 3)
7. Hitunglah nilai a dan b bila x3 – ax2 + x + b habis dibagi x2 – 3x – 2
8. Hitunglah nilai a + b bila x3 + 2ax2 – x + b dibagi x2 + 2x + 2 sisanya 2x + 1

E. TEOREMA SISA [14]

1. Pembagi berbentuk (x – h)

MGMP Matematika

Jika f(x) dibagi oleh (x – h), hasil baginya h(x) dan sisanya S, maka persamaan dasar
pembagiannya adalah:

f(x) = ( x – h ).h(x) + S
substitusi x = h → f(h) = (h – h). h(x) + S

f(h) = 0 + S
f(h) = S

Teorema sisa 1
Jika f(x) dibagi oleh (x – h), maka sisanya adalah f(h).

Cermati dan diskusikan contoh berikut.
1. Tentukan sisa pembagian berikut.

a. f(x)= 2x3 - 4x2 +x – 1 dibagi x – 2
b. f(x) = x4 - 4x2 +x + 2 dibagi x +1
Alternatif jawaban:
a. Sisa = f(2) = 2.23 – 4.22 +2 – 1 = 1
b. Sisa = f(-1) = (-1)4 – 4.(-1)2 - 1 + 2 = -2

2. Bila 3 − 3 2 + px - 4 dibagi x -1 sisia 9 tentukan nilai p.
Alternatif jawaban:
Sisa = 13 − 3. 12 + p.1 - 4 = 9
⟺p–6=9
⟺ p = 15

3. Bila f(x) dibagi (x – 2) sisanya 5 dan bila dibagi ( x + 1 ) sisanya -16 tentukan sisanya bila f(x)

dibagi x2 – x – 2.

Alternatif penyelesaian:

f(x) = (x2 – x -2).h(x) + sisa

⟺ f(x) = (x2 – x -2).h(x) + (ax + b) Karena pembaginya berpangkat
⟺ f(x) = (x -2)( x + 1).h(x) + (ax + b) 2 , maka sisanya berpangkat 1
= 2 → f(2) = 2a + b = 5 ………………………... ( 1 ) misalkan sisanya adalah ax + b
= −1 → f(-1) = -a + b = -16 ………………….. ( 2 )

dari (1) dan (2) diperoleh a = 7 dan b = 9

Jadi bila f(x) dibagi dengan x2 – x -2, maka sisanya adalah 7x - 9.

4. f(x) apabila dibagi x2 – 1 sisanya 2x + 1, dan apabila dibagi x2 – x – 6 sisanya x – 4. Tentukan
sisanya apabila f(x) dibagi dengan x2 – 4x + 3
Alternatif penyelesaian:
f(x) = (x2 – 1).h(x) + 2x + 1
⟺ f(x) = (x -1)( x + 1).h(x) + 2x + 1
= 1 → f(1) = 3
= −1 → f(-1) = -1

f(x) = (x2 – x – 6)p(x) + x – 4 [15]
⟺ f(x) = (x - 3)(x + 2)p(x) + x – 4

MGMP Matematika

= 3 → f(3) = -1
= −2 → f(-2) = -6
f(x) = (x2 – 4x + 3)q(x) + ax + b
⟺ f(x) = (x - 3)(x - 1)q(x) + ax + b
= 3 → f(3) = 3a + b = -1 ………………………………. (1)
= 1 → f(1) = a + b = 3 ………………………………….. (2)
dari (1) dan (2) diperoleh a = -2 dan b = 5
Jadi bila f(x) dibagi dengan x2 – 4x + 3 sisanya adalah -2x + 5.

2. Pembagi berbentuk ( ax – b)
Perhatikan pembagian suku banyak oleh ( x – h) di atas, dan pandang pembagian f(x) dengan
( x - ), maka menurut teorema sisa dapat ditulis



f(x) = ( x – ).h(x) + sisa



f(x) = ( x – ).h(x) + f( )



f(x) = ( x – ).h(x) + f( )


f(x) = ( x – ). ℎ( ) + f( )


f(x) = ( ax – ). ℎ( ) + f( )


Hal itu menunjukkan bahwa jika f(x) dibagi oleh (ax –b)maka hasil baginya ℎ( )



dan sisanya f( )



Teorema sisa 2
jika f(x) dibagi oleh (ax –b)maka sisanya f( )



Cermati dan diskusikan contoh berikut
1. Tentukan sisa pembagian dari:

a. (6x3 – 2x2 – x + 7) : (3x + 2)
b. (4x3 + 2x2 + x + 3) : (2x – 1)
Alternatif jawaban:

a. Sisa = f   2   6  2 3  2  2 2   2   7
 3  3  3 3 

 6  8   2 4   2  7
 27   9  3

  16  8  6  63
9 99 9

5

b. Sisa = f (1)  4 1 3  2 1 2  1  3
2 2 2 2

MGMP Matematika [16]

 4 2 1 3
842

9
2

2. Apabila fungsi f(x) habis dibagi oleh (3x + 1) dan jika dibagi (x – 2) bersisa 7.
Tentukan sisanya jika f(x) dibagi 3x2 – 5x - 2
f(x) habis dibagi (3x + 1) → f(- 1) = 0

3

f(x) jika dibagi (x – 2) bersisa 7 → f(2) = 7
Misalkan f(x) dibagi 3x2 – 5x - 2 sisanya ax + b, maka
f(x) = (3x2 – 5x - 2).h(x) + sisa
⟺ f(x) = (3x2 – 5x - 2).h(x) + (ax + b)
⟺ f(x) = (x -2)( 3x + 1).h(x) + (ax + b)
= 2 → f(2) = 2a + b = 7 ……………………….... ( 1 )
= − 1 → f(- 1) = - 1a + b = 0 ………………….. ( 2 )

3 33

dari (1) dan (2) diperoleh a = 3 dan b = 1
Jadi jika f(x) dibagi 3x2 – 5x - 2, maka sisanya adalah 3x + 1

3. Pembagi berbentuk (x – a)(x – b)

Dalam penbagian suku banyak f(x) dengan (x – a)(x – b), pembaginya berderajat 2, maka

sisanya paling tinggi berderajat 1. Misalkan hasil baginya adalah H(x), dan sisanya S = px + q,

maka persamaan pembagiannya adalah f(x) = (x –a)(x – b).H(x) + (px + q)

Untuk x = a , maka f(a) = 0.H(a) + (pa + q) ⟹ f(a) = pa + q …………………. (1)

Untuk x = b , maka f(a) = 0.H(b) + (pa + q) ⟹ f(b) = pb + q …………………. (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh:

pa + q = f(a)

pb + q = f(b) -

p(a –b) = f(a) – f(b) ⟹ p =f(a(a) – f(b)
–b)

pa + q = f(a) | | ⟹ bpa + bq = b.f(a)

pb + q = f(b) | | ⟹ bpa + aq = a.f(b) –

(b – a).q = b.f(a) - a.f(b) ⟹ q = b.f(a) − a.f(b)

b–a

Sehingga sisa pembagian S = f(a) – f(b) x + b.f(a) − a.f(b)

a –b b – a

= f(a) – f(b) x + a.f(b) − b.f(a)
(a –b) a−b

= f(a)x – f(b)x+a.f(b) − b.f(a)

(a –b)

= f(a)(x−b) - f(b)(x−a)

a –b a−b

atau S = x−b f(a) + x−a f(b)
a –b b−a

MGMP Matematika [17]

Kesimpulan:

Jika f(x) dibagi dengan (x – a)(x – b), maka sisanya adalah S = x−b f(a) + x−a f(b)
a –b b−a

Cermati dan diskusikan contoh berikut:

1. Tentuka sisanya jika suku banyak f(x) = x3 + x2 - 7x + 20 dibagi (x – 1)(x - 3).

Alternatif jawaban:

f(1) = 13 + 12 - 7.1 + 20 = 15

f(-3) = (-3)3 +.(-3)2 - 7(-3) + 20 = 35
S = x−3(15) + x−1 (35)

1−3 3−1

−15x+45+35x−35

=

2

= 20x+10

2

= 10x + 5

2. Suku banyak f(x) dibagi (x – 4) sisanya 2, dan jika dibagi (x +3) sisanya 9. Tentukan sisanya

apabila f(x) dibagi x2 - x – 12

Alternatif jawaban:

f(x) dibagi (x – 4) sisanya 2, maka f(4) = 2

f(x) dibagi (x + 3) sisanya 9, maka f(-3) = 9

f(x) dibagi x2 + x – 6 = (x – 2)(x +3) sisanya adalah

S = x+3 (2) + −x3−−44(9)
4+3

2x+6−9x+36

=

7

= −7x+42

7

= -x + 6

Tugas Mandiri
1. Dengan teorema sisa, tentukan sisa pembagian berikut ini!

a. (3x3 + 5x – 6) : (x – 1)
b. (4x3 + 5x2 – 8) : (x + 2)
c. (4x4– 9x2 + 5) : (x – 1)
d. (x4 + 3x2 – 4) : (x + 1)
2. Tentukan sisa pembagian berikut dengan teorema sisa!
a. (6x3 + 8x + 10) : (2x + 1)
b. (6x3 + 4x – 10) : (3x 1)
c. (2x3 + 7x2 +x – 8) : ( 2x + 3)
d. (5x4 + 4x2 – 3x + 10) : (2x 1)
3. Dengan teorema sisa, tentukan sisa pembagian berikut ini!
a. (x3 + 3x2 - 5x – 6) : (x – 1)(x – 2)
b. (2x3 + 5x2 – 8) : (x + 2)(x – 3)
c. (x3 - 2x2 +2x – 1) : x2 – 4x + 3
d. (4x4– 9x2 + 5) : x2 – 1
4. x2 – x + 10 dan x2 + kx + 4, jika dibagi x – 3 sisanya sama. Tentukan nilai k

MGMP Matematika [18]

5. Jika suku banyak f(x) = 4x5 – 11x4 + 6x3 + 4x + p dibagi dengan 3x – 4 sisanya 20, tentukan
sisanya apabila f(x) dibagi dengan x -2

6. Diketahui f(x) berderajat 3, jika f(x) dibagi x – 2 sisanya 7, jika f(x) dibagi x + 1 sisanya -8 dan
f(x) habis dibagi x – 1. Tentukan sisanya bila f(x) dibagi dengan 2x – 1.

7. Suatu suku banyak f(x) jika dibagi oleh (x + 1) sisanya –3 dan jika dibagi oleh (x – 1) sisanya
5. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh (x2 – 1).

8. Suatu suku banyak f(x) jika dibagi oleh (x  1) sisanya 3 dan jika dibagi oleh (x – 2) sisanya
1. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh (x2 – 3x + 2).

9. Suatu suku banyak f(x) jika dibagi oleh (x2  4) sisanya x+2 dan jika dibagi oleh (x – 3) sisanya
7. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh x2 – 5x + 6.

10. Suatu suku banyak f(x) jika dibagi oleh (x2  1) sisanya 3x+1 dan jika dibagi oleh(x +4)
sisanya –11. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh x2 + 5x + 4

11. Suatu suku banyak f(x) habis dibagi oleh (x2  3x + 2) dan jika dibagi oleh (x +3) sisanya 10.
Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh x2 + x  6.

12. Suatu suku banyak f(x) jika dibagi oleh (x 1) sisanya 3, jika dibagi oleh (x 2) sisanya 4, dan
jika dibagi oleh (x+1) sisanya 1. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh x3 – 2x2 – x + 2.

13. Suatu suku banyak f(x) jika dibagi oleh (x2  1) sisanya 3x+1 dan jika dibagi oleh(x2  4)
sisanya 2x + 1 . Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh x2 - 3x + 2

14. Suku banyak f(x) dibagi (x + 1) sisanya = –2 dan dibagi (x – 3) sisa 7, suku banyak g(x) dibagi
(x + 1) sisa 3 dan dibagi (x – 3) sisa 2. Diketahui h(x) = f(x) . g(x), jika h(x) dibagi (x2 – 2x –
3), sisanya adalah …

15. Suatu fungsi berderajat 3 dalam x habis dibagi (x – 1), dengan hasil bagi yang mempunyai nilai
ekstrem 3 untuk x = 2. Jika fungsi tersebut dibagi (x +1) sisanya 12. Tertukan sisanya bila
fungsi terbut dibagi (x – 2).

F. TEOREMA FAKTOR

Perhatikan pebagian bilangan berikut.
 5 merupakan faktor dari 20, karena 20 habis dibagi oleh 5 atau 20 = 5 x 4 + 0

nampak bahwa sisa pembagian 20 oleh 5 adalah 0.
 7 merupakan faktor dari 42, karena 42 habis dibagi oleh 6 atau 42 = 7 x 6 + 0

nampak bahwa sisa pembagian 42 oleh 7 adalah 0.

Dari pengertian diatas dapat diperoleh kesimpulan.

Jika f(x) suatu suku banyak, maka (x – h) adalah faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(h) = 0.
Dari pernyataan tersebut dapat :
1. Jika (x – h) merupakan faktor dari f(x) , maka f(h) = 0.
2. Jika f(h) = 0 , maka (x – h) merupakan faktor dari f(x).

Bukti:

1. Misalkan (x – h) merupakan faktor dari f(x) , maka:

MGMP Matematika [19]

f(x) = (x – h) . H(x) dengan H(x) suku banyak tertentu.

Untuk x = h, maka f(h) = (h– h) . H(h) = 0 . f(h) = 0

Jadi terbukti, jika (x – h) merupakan faktor dari f(x) , maka f(h) = 0

2. Dari teorema sisa, f(x) dibagi (x – h) memberikan hasil bagi H(x) dan sisa f(h) .
f(x) = (x – h) . H(x) + f(h).
Untuk f(h) = 0 , maka f(x) = (x – h) . H(x)
Hasil ini menunjukkan bahwa (x – h) merupakan faktor dari f(x).
Jadi terbukti , jika f(h) = 0, maka (x – h) merupakan faktor dari f(x).

Cermati dan diskusikan contoh berikut.
1. Tunjukkan bahwa x – 1 adalah faktor dari x3 – 2x2 –2x +3.

Alternatif jawaban:
(x – 1) faktor f(x), jika f(1) = 0.
Cara I : Metode Substitusi
Misal f(x)= x3– 2x2 –2x +3 maka f(1)= (1)3– 2(1)2 –2(1) +3 = 1– 2 –2 + 3 = 0
Ternyata f(1)= 0 sehingga x – 1 adalah faktor dari x3– 2x2 – 2x + 3.

Cara II : Metode
Horner
Misal f(x)= x3– 2x2 –2x +3 . Akan dicari nilai f(1).

1 1 –2 –2 3
1 –1 –3

1 –1 –3 0

Ternyata f(1)= 0 sehingga x – 1 adalah faktor dari x3– 2x2 –2x +3.
Kita dapat menyatakan bahwa :
x3– 2x2 –2x +3 = (x–1)( x2 –x –3).
2. Tentukan nilai a agar (x – 3 )merupakan faktor dari polinom 3 − a 2 + 9
Alternatif penyelesaian:
Apabila f(x) = 3 − a 2 + 9 dan (x – 3 ) merupakan faktor dari f(x) = 3 − a 2 + 9 , maka
(3) = 33 − a. 32 + 9 = 0 → a = 4
3. Ditentukan p(x) = x3 + px2 + qx + 6. Tentukan nilai p + q apabila x2 – x –2 faktor dari p(x)
x2 – x –2 faktor dari p(x), maka p(x) = (x2 – x –2 ).h(x)

⟺ p(x) = (x - 2)(x + 1).h(x)
= 2 ⟹ p(2) = (2 - 2)(2 + 1).h(2) = 0
⟺ p(2) = 23 + p.22 + q.2 + 6 = 0 ⟹ 4p + 2q = -14 …… (1)
= −1 ⟹ p(-1) = (-1 - 2)(-1 + 1).h(-1) = 0
⟺ p(-1) = (-1)3 + p.(-1)2 + q.(-1) + 6 = 0 ⟹ p - q = -5 ..(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh p = -4 dan q = 1, sehingga p + q = -4 + 1 = -3.
4. Tentukanlah faktor-faktor dari dari x3– 2x2 –5x +6.
Alternatif jawaban:

Misalkan f(x)= x3 – 2x2 –5x +6. [20]

MGMP Matematika

Bila (x – 1) faktor dari suku banyak f(x)= x3 – 2x2 –5x + 6 maka h merupakan pembagi dari 6
yaitu 1, 2, 3, 6 . Selanjutnya kita cari f(h) untuk nilai-nilai itu.
Untuk h = –1 diperoleh f(–1)= (–1) 3– 2(–1) 2 –5(–1) +6 = –1–2+5+6 = 8  0.
Jadi x+1 bukan faktor dari f(x).
Untuk h = 1 diperoleh f(1)= (1) 3– 2(1) 2 –5(1) +6 = 1–2–5+6 = 0.
Jadi x –1 merupakan faktor dari f(x).
Selanjutnya dicari faktor lain dengan metode Horner :

x=1 1 –2 –5 6
1 –1 –6 +

1 –1 –6 0

Nampak bahwa x3 – 2x2 – 5x + 6 = (x – 1)(x2 – x – 6)
= (x –1)(x – 3)(x + 2)

Jadi faktor-faktor dari x3 – 2x2 – 5x + 6 adalah (x – 1), (x – 3), dan (x + 2)

Tugas Mandiri

1. Dengan menggunakan teorema faktor buktikan bahwa :

a. x + 2 adalah faktor dari 2x3 + 4x2  3x  6.

b. x  4 adalah faktor dari 2x4  9x3 + 5x2  3x  4.

c. 2x  5 adalah faktor dari 2x2  3x  5.

d. 2x  1 adalah faktor dari 2x3 + x2 + 5x  3.

e. x  1 adalah faktor dari x3  (2a+1)x2 + (a2+2a)x  a2.

2. Faktorkanlah suku banyak berikut :

a. x3 7x + 6

b. x3 8x2 + 19x  12

c. 2x3 + 7x2 + 2x  3

d. 3x3  4x2  3x + 4

e. 2x3 5x2 + 4x  21

3. Tentukanlah k sehingga x3  3x2 + kx + 6 mempunyai faktor x + 3.

4. Jika x + 2 merupakan faktor x3+ kx2  x  2 tentukanlah k dan faktor yang lain untuk nilai k

tersebut.

5. (2x – 1) dan (x + 1) adalah faktor dari 2x3 + px2 + qx + 2. Tentukan nilai (p + q)

6. Diketahui x2 + 2x  3 merupakan faktor dari suku banyak f(x)= x4 + 2x3  7x2 + ax + b.

Tentukanlah a dan b kemudian faktorkanlah f(x).

7. x – y + 1 adalah faktor dari ax2 + bxy + cy2 + 5x – 2y + 3. Tentukan niali a, b, dan c

8. Untuk nilai k yang mana pecahan berikut ini biasa disederhanakan

a. 2+ −12
2− − 6

b. 2 2− 3 +
2− 4

c. 2− 3 +2
2− −10

9. (x2 – 1) merupakan fakor dari f(x) = x4 + 5x3 + px2 + qx –(q + 5). Tentukan nilai p dan q.

MGMP Matematika [21]

10. Bila x2 + x + 3 merupakan faktor dari f(x) = x3 + ax2 + bx – 3. Tentukan nilai a – b.
11. Buktikan bahwa (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 habis dibagi ( x + y)( y + z)(z + x)
12. Jika (x – y + 1) adalah salah satu faktor dari ax2 + (by + 3)x + (cy2 – y + 2). Berapa nilai a+b+c

13. Buktikan bahwa xn - yn habis dibagi (x – y)
14. Buktikan bahwa x4 + y4 adalah faktor dari x20 + y20
15. Buktikan bahwa 2 +1 + 2 +1 , habis dibagi a + b

G. PERSAMAAN PANGKAT TINGGI

1. Menentukan akar-akar persamaan dengan teorema faktor.

Pada materi terdahulu telah dibahas bahwa (x - h) merupakan faktor dari suku banyak

f(x)  f(h)= 0

f(h)= 0 berarti h merupakan akar persamaan f(x)= 0. Jadi pada suku banyak f(x), (x - h)

merupakan faktor dari f(x)

 f(h)= 0

 h merupakan akar persamaan f(x)= 0

Amati dan diskusikan contoh berikut.

1. Buktikanlah bahwa 2 merupakan akar persamaan x3 – 2x2 – x + 2 = 0 dan tentukan akar-akar

yang lain.
Alternatif penyelesaian:

Misalkan f(x)= x3 – 2x2 – x + 2, f(x) di bagi x  2 :

f(2)= 0  2 merupakan akar persamaan

2 1 –2 –1 2 f(x)= 0 sehingga :
x3 – 2x2 – x + 2 = 0
2 0 –2
 (x–2)(x2 –1) = 0
10 –1 0 = f(2)  (x–2)(x –1)(x+1) = 0

x =2 atau x =1 atau x = –1

Jadi akar-akar persamaan x3 – 2x2 – x + 2 = 0 adalah – 1 ; 1; dan 2.

2. Tentukan akar-akar rasional dari x3 + 3x – 4 = 0

Alternatif penyelesaian:

Misal f(x) = x3 + 3x – 4

Kemungkinan akar rasional persamaan tersebut adalah ∓1, ∓ 4, ∓ 2

f(1)= 0  1 merupakan akar

x=1 1 0 3 -4 persamaan f(x)= 0 sehingga :

114 x3 + 3x – 4 = 0

1 1 4 0 = f(2)  (x–1)(x2 + x + 4)= 0

x2 + x + 4 = 0, mempunyai akar khayal

/ imaginer / irasional ( Mengapa ? )

Jadi akar rasional dari persamaan x3 + 3x – 4 = 0, adalah x = 1.

2. Hubungan akar-akar dan koefisien persamaan pangkat tinggi .

Untuk n = 4

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 dibagi dengan a

4 + 3+ 2 + x + = 0


MGMP Matematika [22]

misal akar − akar persaman tersebut 1 , 2, 3, dan 4 sehingga diperoleh

4 + 3+ 2 + x + = ( x - 1). ( x - 2). ( x - 3). ( x - 4).


⟺ 4 + 3+ 2 + x + = 4 - ( 1 + 2 + 3 + 4) 3


+ ( 1. 2 + 1. 3 + 1. 4 + 2. 3 + 2. 4 + 3. 4 ) 2

- ( 1. 2. 3 + 1. 2. 4 + 1. 3. 4 + 2. 3. 4 )x

+ ( 1. 2. 3. 4)

Menurut sifat identik didapat hubungan:

 1 + 2 + 3 + 4 = - ( jumlah akar ) (-)


 1. 2 + 1. 3 + 1. 4 + 2. 3 + 2. 4 + 3. 4 = (+)


 1. 2. 3 + 1. 2. 4 + 1. 3. 4 + 2. 3. 4 = - (-)


 1. 2. 3. 4 = ( hasil kali akar ) (+)


Cermati dan diskusikan contoh soal berikut.

1. x3 – 12x2 + 44x + a = 0. Hitunglah nilai a dan akar-akarnya bila 1 = 2 + 3

1 + 2 + 3 = - = 12


⟺ 1 + ( 2 + 3) = 12

⟺ 1 + 1 = 12

⟺ 1 = 6

(6 ) = 0

⟺ 63 – 12.62 + 44.6 + a = 0 ⟹ a = -48

jadi x3 – 12x2 + 44x – 48 = 0

dengan skema horner didapat

x=6 1 -12 44 -48 x3 – 12x2 + 44x – 48 =
1 ⟺ (x -6)(x2 -6x + 8) = 0
6 -36 48 ⟺ (x -6)(x – 4)(x – 2) = 0
Jadi x1 = 6, x2 = 4 dan x3 = 2
-6 8 0

Tugas Mandiri

1. Buktikanlah bahwa 1 merupakan akar persamaan x3 – 9x2 + 20x – 12 = 0 dan tentukan akar-
akar yang lain

2. Buktikanlah bahwa 4 merupakan akar persamaan 6x3 + 25x2 + 2x – 8 = 0 dan tentukan akar-
akar yang lain

3. Jika 3 merupakan akar persamaan x3  37x + k = 0 , tentukan k dan akar-akar yang lain.
4. Tentukanlah akar-akar bulat dari persamaan suku banyak berikut :

a. x3 + 2x2  5x –6 = 0
b. x3  3x + 2 = 0
c. x3 + 4x2 + x  6 = 0
d. x4  1 = 0
e. x4 15x2  10x +24 = 0

MGMP Matematika [23]

5. Tentukanlah akar-akar rasional dari persamaan 10x3 19x2 +9 = 0
6. Diketahui x2 merupakan faktor dari f(x)= 2x3 +kx2 +7x +6. Tentukanlah nilai k, kemudian

selesaikanlah persamaan f(x)= 0 dengan nilai k tersebut.
7. Tentukanlah himpunan penyelesaian persamaan x3 6x2 +11x –6 = 0 jika x bilangan nyata
8. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan x3 +x2 x –1 = 0. Kemudian tentukan

himpunan penyelesaian pertidaksamaan x3 +x2 x –1 < 0
9. Jika x = 2 merupakan akar dari x3 - 7x2 + ax - 12 = 0, tentukan nilai a dan akar yang lain.
10. x3 + 5x2 + 7x + a = 0, mempunyai dua akar kembar yang bulat. Hitunglah a dan akar-akar

persamaan tersebut.
11. x3 - 3x2 + px + q = 0, mempunyai dua akar kembar, sedang akar yang lain berlawanan dengan

akar kembar tersebut. Tentukan nilai p, q dan akar-akar tersebut.
12. x4 + ax3 + 21x2 – 4ax + 10a = 0, mempunyai dua akar kembar, sedang akar yang sepasang lagi

berlawanan. Tentukan nilai a dan akar-akar tersebut.
13. Tentukan nilai p akar-akar dari persamaan x3 - 12x2 + 28x – p = 0 , bila 1 = 2 + 3.
14. Tentukan nilai p akar-akar dari persamaan x3 - 6x2 + px – 6 = 0 , bila 1 , 2 , 3 membentuk

Deret Aritmatika
15. Tentukan nilai p akar-akar dari persamaan x3 - 6x2 + 11x + p = 0, bila 1 = 2 2.

SOAL-SOAL POLINOMIAL

1. Jika x3 – 3x2 + 5x – 9 dibagi (x – 2), maka sisanya adalah …
A. 5 D. –3
B. 3 E. –5
C. 2
EBT-SMA-86-27

2. Diketahui (x – 2) adalah faktor dari f(x) = 2x3 + ax2 + 7x + 6, Salah satu faktor lainnya adalah

…

A. (x + 3) D. (2x – 3)

B. (x – 3) E. (2x + 3)

C. (x – 1)

EBT-SMA-91-31

3. Suku banyak (2x3 + ax2 – bx + 3) dibagi (x2 – 4) bersisa (x + 23). Nilai a + b = …

A. –1 D. 9

B. –2 E. 12

C. 2

EBT-SMA-02-29

4. Diketahui g(x) = 2x3 + ax2 + bx + 6 dan h(x) = x2 + x – 6 adalah faktor dari g(x). Nilai a yang

memenuhi adalah …

A. –3 B. –1

MGMP Matematika [24]

C. 1 E. 5
D. 2
EBT-SMA-94-11

5. Suatu suku banyak F(x) dibagi oleh (x – 2) sisanya 8, dan jika dibagi (x + 3) sisanya –7. Sisa

pembagian suku banyak F(x) oleh x2 + x – 6 adalah …

A. 9x – 7 D. x – 4

B. x + 6 E. 3x + 2

C. 2x + 3

EBT-SMA-98-12

6. Suku banyak f(x) dibagi (x + 1) sisanya = –2 dan dibagi (x – 3) sisa 7, suku banyak g(x) dibagi

(x + 1) sisa 3 dan dibagi (x – 3) sisa 2. Diketahui h(x) = f(x) . g(x), jika h(x) dibagi (x2 – 2x –

3), sisanya adalah …

A. S(x) = 3x – 1 D. S(x) = 6x – 1

B. S(x) = 4x – 1 E. S(x) = 7x + 2

C. S(x) = 5x – 1

EBT-SMA-01-11

7. Jika f (x) dibagi dengan (x – 2) sisanya 24, sedangkan jika f (x) dibagi dengan (2x – 3) sisanya

20. Jika f (x) dibagi dengan (x – 2) (2x – 3) sisanya adalah …

A. 8x + 8 D. –8x – 8.

B. 8x – 8 E. –8x + 6

C. –8x + 8

UN-SMA-07-08

8. Suku banyak P(x) dibagi oleh (x2 – 9) sisanya (5x – 13), dan jika dibagi oleh (x + 1) sisanya –

10. Sisa pembagian suku banyak oleh (x2 – 2x – 3) adalah …

A. 3x – 7 D. –4x – 6

B. –3x + 11 E. 19x – 29

C. 4 1x −141

22

EBT-SMA-99-15

9. Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (x – 1) sisanya 6 dan dibagi (x + 3) sisanya –2. Bila f(x)

dibagi(x2 + 2x – 3) sisanya adalah …

A. 4x + 2 D. 1 x + 5 1
B. 2x + 4
C. –2x + 8 22

E. – 1 x – 6 1

22

EBT-SMA-96-08

10. Suatu suku banyak f(x) dibagi (x + 2) sisanya – 1, dan jika dibagi (x – 1) sisanya 2. Sisanya

jika dibagi (x2 + x – 2) adalah ……

A. x – 4 D. x – 2

B. x + 3 E. x + 1

C. x + 2

MGMP Matematika [25]

EBT-SMA-93-12

11. Suku banyak F(x) dibagi oleh (x2 – x) memberikan sisa (3x + 1), sedangkan dibagi oleh (x2 +

x) sisanya (1 – x). Sisa pembagian F(x) oleh (x2 – 1) adalah …

A. (x + 3) D. (3x + 1)

B. (3 – x) E. 2

C. (x – 3)

EBT-SMA-91-32

12. Suku banyak f(x) jika dibagi (x – 2) sisanya 24, dan f(x) dibagi (x + 5) sisanya 10. Apabila f

(x) tersebut dibagi x2 + 3x – 10 sisanya adalah …

A. x + 34 D. 2x + 20

B. x – 34 E. 2x – 20

C. x + 10

EBT-SMA-90-12

13. Diketahui f(x) dibagi dengan (x – 2) sisanya 5. F(x) dibagi dengan (x – 3) sisanya 7. Bila f(x)

dibagi dengan (x2 – 5x+6) sisanya adalah …

A. x – 2 D. 2x + 1

B. 2x – 4 E. 2x+3

C. x + 2

EBT-SMA-89-17

14. Suku banyak f(x) dibagi dengan (x + 2) mempunyai sisa 14, dibagi (x – 4) mempunyai sisa –

4. F(x) dibagi dengan (x2 – 2x – 8) mempunyai sisa ……

A. –3x – 8 D. 3x + 20

B. –3x + 8 E. 3x – 8

C. –3x – 20

EBT-SMA-88-24

15. Suku banyak P(x) = x3 – 2x + 3 dibagi oleh x2 – 2x – 3, sisanya adalah …

A. 4 1 x – 21 C. 5x + 3
D. 11x – 9
22 E. 5x + 9

B. 9x – 5

UN-SMA-05-22

16. Suku banyak (2x3 + 7x2 + ax – 3) mempunyai faktor (2x – 1). Faktor-faktor linier yang lain

adalah …

A. (x – 3) dan (x + 1) D. (x – 3) dan (x – 1)

B. (x + 3) dan (x + 1) E. (x + 2) dan (x – 6)

C. (x + 3) dan (x – 1)

EBT-SMA-01-12

17. Banyaknya akar-akar yang rasional bulat dari persamaan 4x4 – 15x2+ 5x + 6 = 0 adalah …

A. 0 C. 2

B. 1 D. 3

MGMP Matematika [26]

E. 4
EBT-SMA-90-13

18. Suku banyak P(x) = 3x3 – 4x2 – 6x + k habis dibagi (x – 2). Sisa pembagian P(x) oleh x2 + 2x

+ 2 adalah …

A. 20x + 4 D. 8x + 24

B. 20x – 6 E. –32x – 16

C. 32x + 24

EBT-SMA-00-12

19. Diketahui x2 – 3x – 4 merupakan faktor dari suku banyak x4 – 4x3 – 7x2 + ax + b. Nilai a + b

=…

A. –46 D. 2

B. –42 E. 46

C. –2

EBT-SMA-03-28

20. Suku banyak (x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6) dibagi oleh (x2 – x – 2), sisanya sama dengan …

A. 16x + 8 D. –8x – 16

B. 16x – 8 E. –8x – 24

C. –8x + 16

UAN-SMA-04-29

21. Diketahui suku banyak ( ) = 4 + 2 3 − 9 2 − 2 + habis dibagi x – 2 . Jika P(x) dibagi x

– 1 sisanya adalah …

A. 8 D. -1

B. 4 E. -2

C. 0

SNMPTN MAT-IPA 2010

22. Diketahui :

( ) = 3 − 5 + 20;

( ) = 2 3 + 5 2 + 11

Dan ℎ( ) = + 3.

Jika a dan b masing – masing merupakan sisa hasil pembagian f(x) dan g(x) oleh h (x), maka

a+b=…

A. -20 D. 118

B. 10 E. 142

C. 34

SPMB MAT-IPA 2005

23. Salah satu faktor suku banyak 3 + 2 + − 3 adalah x – 1. Faktor yang lain adalah …

A. 2 + 3 + 3 C. 2 + 3 + 3

B. 2 + − 3 D. 2 + 2 + 3

MGMP Matematika [27]

E. 2 − 7 + 3
SNMPTN MAT-IPA 2009

24. Diketahui suku banyak ( ) = 3 + 2 + + dengan a, b, dan c konstan. Jika terdapat
tepat satu nilai y yang memenuhi p(y)=y, maka 9c = …
A. ab
B. a+b
C. ab-a
D. a-b
E. ab+2

SNMPTN MAT-IPA 2008

MGMP Matematika [28]