บทที่1

คณิตศาสตรอ์ ุตสาหกรรม
รหสั 20000-1402

เรื่อง เมทริกซ์

ผู้สอน นางกฤตญิ ดา ยอดแก้ว

คาํ นํา

หนงั สือเลม่ นีเ้ ป็นสว่ นหน่งึ ของรายวชิ าคณิตศาสตรอ์ ตุ สาหกรรม เรอ่ื งเมทรกิ ซ์ ระดบั ชนั้
ประกาศนียบตั รวิชาชีพชนั้ สงู 1 (ปวส.1) โดยมีเนือ้ หาเร่อื งเมทรกิ ซ์ การบวกการลบเมทรกิ ซ์ การคณู เมทรกิ ซ์

ซง่ึ ผจู้ ดั ทาํ ไดใ้ หค้ วามสาํ คญั กบั การเรยี นการสอน 3 คาบ จงึ ไดจ้ ดั ทาํ หนงั สอื E-Book ออนไลนน์ ี้
ขนึ้ มา ผจู้ ดั ทาํ หวงั วา่ หนงั สือเลม่ นีจ้ ะมีประโยชนต์ อ่ ผอู้ า่ นและผฝู้ ึกทาํ
หากมีขอ้ ผดิ พลาดประการใด ตอ้ งขออภยั ไว้ ณ โอกาสนี้

ผจู้ ดั ทาํ
นางกฤติญดา ยอดแกว้

15 มีนาคม 2565

ความหมายของเมทริกซ์

เมทริกซ์ (Matrix) คอื กลมุ่ ตวั เลขทน่ี ํามาํ เรยี งกนั อยใู่ นวงเลบ็ [ ] หรอื ( )

ขอ้ มลู ในตารางสามารถนํามาจดั เรยี งเป็นแถว และเป็นหลกั ดงั วงเลบ็ ขา้ งล่างน้ี

23 32 35
30 28 32

เมทริกซ์

เป็นกล่มุ ของจาํ นวนใด ๆ ท่ีเขียนเรียงกนั เป็นแถว (row) ซึ่งแต่ละแถวจะมี
จาํ นวนเท่า ๆ กนั หรือเรียงกนั เป็นหลกั (column) แต่ละหลกั จะมีจาํ นวนเท่า ๆ
กนั จาํ นวนเหล่านี้เขียนเรียงอย่ใู นวงเลบ็ ( ) หรือ [ ] เช่น











5 เมทริกซเ์ อกลกั ษณ์ (Identity Matrix) คือ เมทรกิ ซจ์ ตั ุรสั ทส่ี มาชกิ ในแนวเสน้
ทแยงมมุ หลกั (Main Diagonal) เป็น 1 สว่ นสมาชกิ ทอ่ี ยเู่ หนือและใตเ้ สน้ ทแยงมมุ
หลกั เป็น 0 ทงั้ หมด
เมทริกซเ์ อกลกั ษณ์มีสญั ลกั ษณ์ใช้คือ I, In หรือ Inxn

6 เมทริกซเ์ ชิงสเกลาร์ (Scalar Matrix) คือ เมทรกิ ซจ์ ตั ุรสั ทส่ี มาชกิ ในแนวเสน้
ทแยงมมุ หลกั (Main Diagonal) เป็นตวั เลขทเ่ี หมอื นกนั สว่ นสมาชกิ ทอ่ี ยเู่ หนอื และ
ใตเ้ สน้ ทแยงมมุ หลกั เป็นศนู ยท์ งั้ หมด

10 123
01 , 213

321

7 เมทริกซท์ แยงมมุ (Diagonal Matrix) คอื เมทรกิ ซจ์ ตั ุรสั ทส่ี มาชกิ ในแนวเสน้
ทแยงมมุ หลกั (Main Diagonal) เป็นตวั เลขทแ่ี ตกต่างกนั สว่ นสมาชกิ ทอ่ี ยเู่ หนอื
และใตเ้ สน้ ทแยงมมุ หลกั เป็นศนู ยท์ งั้ หมด

2 0 , 1 00
0 3 0 30
0 05
8 เมทริกซส์ ามเหล่ียมบน Matrix) คือ เมทรกิ ซจ์ ตั ุรสั ทส่ี มาชกิ
(Upper Triangular
ใตแ้ นวเสน้ ทแยงมมุ หลกั เป็นศนู ยท์ งั้ หมด

123
013
004

9 เมทริกซส์ ามเหลี่ยมล่าง (Lower Triangular Matrix) คือ เมทรกิ ซจ์ ตั ุรสั ท่ี
สมาชกิ เหนือแนว เสน้ ทแยงมมุ หลกั เป็นศนู ยท์ งั้ หมด

100
430
225

การเท่ากนั ของเมทริกซ์

บทนิ ยาม กาํ หนดให้ เมทรกิ ซ์ A และเมทรกิ ซ์ B เป็นเมทรกิ ซท์ ม่ี ขี นาดเทา่ กนั โดยท่ี
A = × และ B = ×

แลว้ เมทรกิ ซ์ A เทา่ กบั เมทรกิ ซ์ B เขยี นแทนดว้ ย A = B
กต็ อ่ เมอ่ื เมทรกิ ซท์ งั้ สองมสี มาชกิ ในตาํ แหน่งเดยี วกนั เทา่ กนั

นนั ่ คอื A = และ B = แลว้ A = B กต็ ่อเมอ่ื =
สาํ หรบั ทกุ คา่ ของ i และ j



การดาํ เนินการของเมทริกซ์

การดาํ เนินการของเมทริกซ์ ได้แก่ การบวกเมทริกซ์ การลบเมทริกซ์
การคณู เมทริกซ์

การบวกของเมทริกซ์ (Addition of Matrices)

บทนิ ยาม A = aij และ B = bij เป็นเมทรกิ ซท์ ม่ี ขี นาด m × n แลว้ ผลบวก
ของ เมทรกิ ซท์ งั้ สอง เขยี นแทนดว้ ย A + B จะมขี นาดเทา่ กบั m × n

A + B = aij + bij สาํ หรบั ทกุ คา่ ของ i และ j

การลบของเมทริกซ์ (Subtraction of Matrices)

บทนิ ยาม A = aij และ B = bij เป็นเมทรกิ ซท์ ม่ี ขี นาด m × n แลว้ ผลลบของ
เมทรกิ ซ์ A และ เมทรกิ ซ์ B เขยี นแทนดว้ ย A - B จะมขี นาดเทา่ กบั m × n

A - B = aij − bij สาํ หรบั ทุกคา่ ของ i และ j

การคณู ของเมทริกซ์ (Multiplication of Matrice)

บทนิ ยาม เป็นเมทรกิ ซท์ ม่ี ขี นาด

กาํ หนดให้ k เป็นจาํ นวนจรงิ ใด ๆ และ A = aij
m × n แลว้ kA = kaij ×

สมบตั ิการคณู เมทริกซด์ ้วยเมทริกซ์

ถา้ A, B, C เป็นเมทรกิ ซ์ และ I เป็นเมทรกิ ซเ์ อกลกั ษณ์ทส่ี ามารถคณู กนั ได้

1 สมบตั กิ ารจดั หมู่ (Associative) : (AB)C = A(BC)
2 สมบตั กิ ารมเี อกลกั ษณ์ (Identity) : IA = AI = A

3 สมบตั กิ ารแจกแจง (Distributive) : A(B+C) = AB + AC หรอื

(B+C)A = BA + CA

เมทริกซผ์ กผนั ของการคณู

บทนิ ยาม ถา้ A และ B เป็นเมทรกิ ซจ์ ตุรสั และ AB = BA = I แลว้ เราจะกลา่ ววา่
B เป็นเมทรกิ ซ์ ผกผนั สาํ หรบั การคณู ของ A หรอื อนิ เวอรส์ การคณู ของ
A และเขยี นแทน B ดว้ ย A-1 (อา่ นวา่ เออนิ เวอรส์ )



สมบตั ิของเมทริกซผ์ กผนั สาํ หรบั การคณู

ให้ A และ B เป็นเมทรกิ ซจ์ ตั ุรสั และเป็นเมทรกิ ซไ์ มเ่ อกฐาน จะได้

1 เมทรกิ ซผ์ กผนั สาํ หรบั การคณู ของ A จะมีเพียงเมทรกิ ซเ์ ดยี วเทา่ นนั้

2 A−1 −1 = A

3 AB −−1 =B−1A−1

4 =AT −1 A−1 T

5 An −1 = A−1 n เมอ่ื n เป็นจาํ นวนเตม็ บวก