บทที่1

คณิตศาสตรอ์ ุตสาหกรรม
รหสั 30000-1407

เรื่อง เมทรกิ ซ์

ผู้สอน นางกฤตญิ ดา ยอดแกว้

คำนำ

หนงั สือเลม่ นีเ้ ป็นสว่ นหนง่ึ ของรายวิชาคณิตศาสตรอ์ ตุ สาหกรรม เร่อื งเมทรกิ ซ์ ระดบั ชนั้
ประกาศนียบตั รวชิ าชีพชนั้ สงู 1 (ปวส.1) โดยมีเนือ้ หาเรอ่ื งเมทรกิ ซ์ การบวกการลบเมทรกิ ซ์ การคณู เมทรกิ ซ์

ซง่ึ ผจู้ ดั ทาไดใ้ หค้ วามสาคญั กบั การเรยี นการสอน 3 คาบ จงึ ไดจ้ ดั ทาหนงั สอื E-Book ออนไลนน์ ี้
ขนึ้ มา ผจู้ ดั ทาหวงั วา่ หนงั สือเลม่ นีจ้ ะมีประโยชนต์ อ่ ผอู้ า่ นและผฝู้ ึกทา
หากมีขอ้ ผิดพลาดประการใด ตอ้ งขออภยั ไว้ ณ โอกาสนี้

ผจู้ ดั ทา
นางกฤตญิ ดา ยอดแกว้

15 มีนาคม 2565

ความหมายของเมทริกซ์

เมทริกซ์ (Matrix) คอื กลมุ่ ตวั เลขทน่ี ำมำเรยี งกนั อยใู่ นวงเลบ็ [ ] หรอื ( )

ขอ้ มลู ในตำรำงสำมำรถนำมำจดั เรยี งเป็นแถว และเป็นหลกั ดงั วงเลบ็ ขำ้ งล่ำงน้ี

23 32 35
30 28 32

เมทริกซ์

เป็นกล่มุ ของจานวนใด ๆ ที่เขียนเรียงกนั เป็นแถว (row) ซึ่งแต่ละแถวจะมี
จานวนเท่า ๆ กนั หรอื เรียงกนั เป็นหลกั (column) แต่ละหลกั จะมีจานวนเท่า ๆ
กนั จานวนเหล่านี้เขียนเรียงอย่ใู นวงเลบ็ ( ) หรอื [ ] เช่น











5 เมทริกซเ์ อกลกั ษณ์ (Identity Matrix) คือ เมทรกิ ซจ์ ตั ุรสั ทส่ี มำชกิ ในแนวเสน้

ทแยงมุมหลกั (Main Diagonal) เป็น 1 สว่ นสมำชกิ ทอ่ี ยเู่ หนือและใตเ้ สน้ ทแยงมมุ

หลกั เป็น 0 ทงั้ หมด
เมทริกซเ์ อกลกั ษณ์มีสญั ลกั ษณ์ใช้คือ I, In หรือ Inxn

6 เมทริกซเ์ ชิงสเกลาร์ (Scalar Matrix) คือ เมทรกิ ซจ์ ตั ุรสั ทส่ี มำชกิ ในแนวเสน้

ทแยงมมุ หลกั (Main Diagonal) เป็นตวั เลขทเ่ี หมอื นกนั สว่ นสมำชกิ ทอ่ี ยู่เหนอื และ

ใตเ้ สน้ ทแยงมมุ หลกั เป็นศนู ยท์ งั้ หมด

10 123
01 , 213

321

7 เมทริกซท์ แยงมมุ (Diagonal Matrix) คอื เมทรกิ ซจ์ ตั ุรสั ทส่ี มำชกิ ในแนวเสน้
ทแยงมมุ หลกั (Main Diagonal) เป็นตวั เลขทแ่ี ตกต่ำงกนั สว่ นสมำชกิ ทอ่ี ยเู่ หนอื
และใตเ้ สน้ ทแยงมุมหลกั เป็นศนู ยท์ งั้ หมด

2 0 , 1 00
0 3 0 30
0 05
8 เมทริกซส์ ามเหล่ียมบน Matrix) คือ เมทรกิ ซจ์ ตั ุรสั ทส่ี มำชกิ
(Upper Triangular

ใตแ้ นวเสน้ ทแยงมมุ หลกั เป็นศนู ยท์ งั้ หมด

123
013
004

9 เมทริกซส์ ามเหลี่ยมล่าง (Lower Triangular Matrix) คือ เมทรกิ ซจ์ ตั ุรสั ท่ี
สมำชกิ เหนือแนว เสน้ ทแยงมุมหลกั เป็นศนู ยท์ งั้ หมด

100
430
225

การเท่ากนั ของเมทริกซ์

บทนิ ยาม กำหนดให้ เมทรกิ ซ์ A และเมทรกิ ซ์ B เป็นเมทรกิ ซท์ ม่ี ขี นำดเทำ่ กนั โดยท่ี

A = × และ B = ×
แลว้ เมทรกิ ซ์ A เทำ่ กบั เมทรกิ ซ์ B เขยี นแทนดว้ ย A = B
กต็ อ่ เมอ่ื เมทรกิ ซท์ งั้ สองมสี มำชกิ ในตำแหน่งเดยี วกนั เทำ่ กนั

นนั ่ คอื A = และ B = แลว้ A = B กต็ ่อเมอ่ื =
สำหรบั ทุกคำ่ ของ i และ j



การดาเนิ นการของเมทริกซ์

การดาเนินการของเมทริกซ์ ได้แก่ การบวกเมทริกซ์ การลบเมทริกซ์
การคณู เมทริกซ์

การบวกของเมทริกซ์ (Addition of Matrices)

บทนิ ยาม A = aij และ B = bij เป็นเมทรกิ ซท์ ม่ี ขี นำด m × n แลว้ ผลบวก
ของ เมทรกิ ซท์ งั้ สอง เขยี นแทนดว้ ย A + B จะมขี นำดเทำ่ กบั m × n

A + B = aij + bij สำหรบั ทกุ คำ่ ของ i และ j

การลบของเมทริกซ์ (Subtraction of Matrices)

บทนิ ยาม A = aij และ B = bij เป็นเมทรกิ ซท์ ม่ี ขี นำด m × n แลว้ ผลลบของ

เมทรกิ ซ์ A และ เมทรกิ ซ์ B เขยี นแทนดว้ ย A - B จะมขี นำดเทำ่ กบั m × n
A - B = aij − bij สำหรบั ทกุ คำ่ ของ i และ j

การคณู ของเมทริกซ์ (Multiplication of Matrice)

บทนิ ยาม

กำหนดให้ k เป็นจำนวนจรงิ ใด ๆ และ A = aij เป็นเมทรกิ ซท์ ม่ี ขี นำด
m × n แลว้ kA = kaij ×

สมบตั ิการคณู เมทริกซด์ ้วยเมทริกซ์

ถำ้ A, B, C เป็นเมทรกิ ซ์ และ I เป็นเมทรกิ ซเ์ อกลกั ษณ์ทส่ี ำมำรถคณู กนั ได้

1 สมบตั กิ ำรจดั หมู่ (Associative) : (AB)C = A(BC)

2 สมบตั กิ ำรมเี อกลกั ษณ์ (Identity) : IA = AI = A

3 สมบตั กิ ำรแจกแจง (Distributive) : A(B+C) = AB + AC หรอื

(B+C)A = BA + CA

เมทริกซผ์ กผนั ของการคณู

บทนิ ยาม ถำ้ A และ B เป็นเมทรกิ ซจ์ ตุรสั และ AB = BA = I แลว้ เรำจะกลำ่ ววำ่
B เป็นเมทรกิ ซ์ ผกผนั สำหรบั กำรคณู ของ A หรอื อนิ เวอรส์ กำรคณู ของ
A และเขยี นแทน B ดว้ ย A-1 (อ่ำนวำ่ เออนิ เวอรส์ )



สมบตั ิของเมทริกซผ์ กผนั สาหรบั การคณู

ให้ A และ B เป็นเมทรกิ ซจ์ ตั ุรสั และเป็นเมทรกิ ซไ์ มเ่ อกฐำน จะได้

1 เมทรกิ ซผ์ กผนั สาหรบั การคณู ของ A จะมีเพียงเมทรกิ ซเ์ ดยี วเทา่ นนั้

2 A−1 −1 = A

3 AB −−1 =B−1A−1

4 =AT −1 A−1 T

5 An −1 = A−1 n เมอ่ื n เป็นจำนวนเตม็ บวก