BAB II PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT DISUSUN OLEH: DWI RANGGA HENINDA PUTRA IX-E/16 M ODUL P E M B E L A J ARAN M A T E M A T I KA KE L A S IX GURU PEMBIMBING: IBU INDRIJANI, S.PD
Persamaan Kuadrat Secara umum persamaan kuadrat satu variabel adalah suatu persamaan yang pangkat tertingginya dua dan biasanya dituliskan sebagai ax² + bx + c = 0 dengan a ≠ 0 dan a,b,c ∈ R. (bilangan a,b,c disebut sebagai koefesien). Akar - akar/penyelesaian dari ax² + bx² + c = 0 adalah nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Cara menentukan akar persamaan kuadrat ada tiga, yaitu : (1) Memfaktorkan (2) Melengkapi Kuadrat Sempurna (3) Rumus Kuadratik (Rumus abc)
⟩⟩ MMeenneennttuukkaann AAkkaarrPPeerrssaammaaaannKKuuaaddrraatt ddeennggaann MMeemmffaakkttoorrkkaann
» Tahap inti dari metode ini adalah memfaktorkan persamaan kuadrat x² + bx + c menjadi (x+p)(x+q) atau bisa dituliskan x² + bx + c = (x+p)(x+q) x² + bx + c = x² + (...+...)x + (...x...) Jadi, untuk memfaktorkan harus dicari bilangan p dan q sedemikian hingga b = ... + ... dan c = .... x ....
⟩⟩ MMeenneennttuukkaann AAkkaarr PPeerrssaammaaaann KKuuaaddrraatt ddeennggaann MMeelleennggkkaappkkaann KKuuaaddrraatt SSeemmppuurrnnaa » Metode dengan cara memfaktorkan relatif mudah untuk diterapkan, akan tetapi, tidak semua persamaan kuadrat dapat diselesaikan secara langsung menggunakan metode tersebut. Sehingga kita harus mengembangkan metode penyelesaian persamaan kuadrat yang lain. ••BBAAGGIIAANN11 ••BBAAGGIIAANN22
Pada bagian 1 dan 2 di halaman sebelumnya, dinamakan sebagai bentuk kuadrat sempurna atau secara umum dituliskan sebagai (x + p)² + q = 0. Berikut tahap inti dari metode melengkapkan kuadrat sempurna:
⟩ Rumus Kuadratik (Rumus ABC) » Rumus ABC adalah rumus yang digunakan untuk mencari akar-akar pada persamaan kuadrat. Rumus ini bisa digunakan saat pemfaktoran dan melengkapi kuadrat sempurna sudah tidak dapat dilakukan. Namun, bagi sebagian orang, rumus ini dijadikan metode utama untuk mendapatkan nilai akar-akar persamaan kuadrat. » Rumus ABC pada dasarnya diperoleh dari cara melengkapi kuadrat sempurna. Itu mengapa kita harus memahami materi sebelumnya. Berikut penurunan rumus kuadratik/rumus abc :
Keterangan : ⟩ Berdasarkan uraian di halaman sebelumnya, didapat rumus untuk mendapatkan akar-akar persamaan kuadrat atau biasanya disebut rumus kuadrat/rumus abc, yaitu :
Fungsi Kuadrat • Fungsi Kuadrat adalah fungsi polinom yang memiliki perubah/variabel dengan pangkat tertingginya adalah 2. • Berbeda dengan yang dinamakan Persamaan Kuadrat. Persamaan Kuadrat memiliki variabel dengan pangkat tertinggi 2 dan berbentuk persamaan. • Bentuk umum fungsi kuadrat : f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0 dengan f(x) adalah variabel bebas, a dan b merupakan koefisien dan c adalah konstanta.
⟩⟩ JJeenniiss --jjeenniiss FFuunnggssii KKuuaaddrraatt 1) Jika pada y = ax² + bx + c, nilai b dan c adalah 0, maka fungsi kuadrat menjadi y = ax² 2) Jika pada y = ax² + bx² + c nilai b bernilai 0, maka fungsi kuadrat akan berbentuk y = ax² + c 3) Jika titik puncak ada dititik (h,k), maka fungsi kuarat menjadi → y = a (x-h)² + k dengan hubungan a,b dan c dengan h ; k adalah ( h, k) = [ - b/2.a , - ( b² - 4ac/4a) ]
» Grafik Fungsi Kuadrat berbentuk parabola yang dapat digambarkan dengan menggunakan langkah langkah. ⟩ Grafik Fungsi Kuadrat Langkah - Langkah : 1) Menentukan sumbu simetri → x = -b/2a 2) Menentukan titik potong kurva dengan sumbu x, misalkan y = 0, maka ax² + bx + c = 0 3) Menentukan titik puncak ↓ y = -b² - 4ac/4a
• Nilai a Nilai a berfungsi untuk menentukan arah parabola yaitu terbuka ke atas atau terbuka ke bawah. ~ Jika nilai a > 0 (positif), maka parabola terbuka keatas yang mengakibatkan nilai minimum. ~ Jika nilai a < 0 (negatif), maka parabola terbuka kebawah yang mengakibatkan nilai maksimum. • Nilai b Nilai b dan a berfungsi untuk menentukan letak titik puncak. ~ ab > 0 → Titik puncak ada di kiri sumbu y ~ b = 0 → Titik puncak ada di sumbu y ~ ab < o → Titik puncak ada di kanan sumbu y ⟩ Parabola f(x) = ax² + bx + c bergantung dari nilai a, b dan c nya, berikut penjelasannya : • Nilai c Nilai c menunjukkan perpotongan grafik dengan sumbu y. ~ c > 0 → memotong sumbu y positif ~ c = 0 → memotong sumbu y di pusat (0,0) ~ c < o → memotong sumbu y negatif
Diskriminasi • Jika D > 0, maka fungsi kuadrat memiliki 2 akar yang berbeda dan memotong 2 titik. • Jika D = 0, maka fungsi kuadrat memiliki 2 akar yang sama, sehingga kurva hanya akan menyinggung. • Jika D < 0, maka kurva tidak menyentuh sumbu x sama sekali Catatan Rumus : a) Diskriminasi (D) = b² - 4ac b) Sumbu x = -b/2a c) Tinggi Optimum Maks/min = -D/4a = - b² - 4.a.c/4a d) Titik balik/puncak = [ -b/2a , -D/4a)
Contoh Soal 1) Tentukan akar-akar penyelesaian dari bentuk x² – 15x + 14 = 0. (Memfaktorkan) Penyelesaian :
Contoh Soal 2) Tentukan akar-akar penyelesaian dari bentuk 2x² + 7x + 3! (Melengkapi Kuadrat Sempurna) Penyelesaian :
Contoh Soal 3) Tentukan akar-akar penyelesaian dari bentuk 2x² + 7x + 3! (Rumus ABC) Penyelesaian :
Contoh Soal 4) Tentukan sumbu simetri dan nilai optimum dari grafik fungsi f(x) = x² -4x + 1/2! Penyelesaian : ↓↓↓
Contoh Soal 5) Tentukan apakah fungsi f(x) = -2x² - 12x - 17 mempunyai nilai maksimum atau minimum. Tentukan nilainya! Penyelesaian :
1. Nilai a, b, dan c dari persamaan kuadrat 2x - 3x² = 0 secara berturut-turut adalah… a) 2, -3, 1 b) -3, 2, 1 c) 2, -3, 0 d) -3, 2, 0 2. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat 2x² - 4x - 6 = 0 adalah… a) 2 b) ½ c) -½ d) -3
3. Dari hasil pemfaktoran berikut: (1) 14x + 7y = 7(2x² + y) (2) x² - 25 = (x - 25) (x - 1) (3) 3x² + 5x - 12 = (3x - 4) (x + 3) Pernyataan yang benar adalah… a) (1) dan (2) b) (2) dan (3) c) (1) dan (3) d) (1), (2), dan (3)
4) Tentukan sumbu simetri grafik fungsi di bawah ini. a. y = 2x² - 5x b. y = 3x² + 12x c. y = -8x² - 16x - 1 5) Tentukan nilai optimum fungsi berikut ini. a. y = -6x² + 24x - 19 b. y = ⅖x² - 3x + 15 c. y = -¾x² + 7x - 18
TERIMA KASIH