BUKU TEKS MATEMATIK TINGKATAN 3

Bab 4 Lukisan Berskala

Hasil daripada Cetusan Minda 1, didapati bahawa;

Jika n < 1 , maka saiz lukisan berskala lebih besar daripada saiz objek.
Jika n > 1 , maka saiz lukisan berskala lebih kecil daripada saiz objek.
Jika n = 1 , maka saiz lukisan berskala sama dengan saiz objek.

Bagaimanakah anda menentukan skala, ukuran objek STANDARD
atau ukuran lukisan berskala? PEMBELAJARAN

S k al a = —Uk—ur—aUnk—luur—kains—aonb—jbee—kr s—ka—la = —n1 Menentukan skala, ukuran
objek atau ukuran lukisan
berskala.

Contoh 2

Rajah di bawah menunjukkan objek PQRS dan lukisan berskala P'Q'R'S' yang dilukis pada grid
segi empat sama. Nyatakan skala yang digunakan dalam bentuk 1 : n.

PQ

P' Q' BAB 4

S R S' R'

Penyelesaian:

S kala = —PP'—QQ ' = —42 = —21 a tau S kala = —PP'—SS ' = —63 = —21 Maka, skala = 1 : 2
Contoh 3

Rajah di bawah menunjukkan objek KLM dan lukisan berskala K'L'M' yang dilukis pada grid segi
empat sama. Nyatakan skala yang digunakan dalam bentuk 1 : n.

K'

K

LM

Penyelesaian: L' M'

S kala = —KK'—LL ' = —39 = —13 ata u Skala = —LL'MM— ' = 1—42 = —13 Maka, skala = 3 : 1
3 dibaha gi dengan 3 = —3 : —1
untuk m endapatka n 3 3
nilai 1. = 1 : —31 Saiz sebenar

91

Contoh 4

Rajah di bawah menunjukkan objek PQR dan lukisan berskala P'Q'R' yang dilukis pada grid segi
empat sama yang berlainan saiz. Tentukan skala yang digunakan dalam bentuk 1 : n.

Objek }1 cm Lukisan berskala }2 cm

P P'

QR

BAB 4 Q' R'

Penyelesaian: Kaedah 2 Saiz grid digunakan kerana bilangan unit
sisi objek dan sisi lukisan berskala sama.
Kaedah 1
S kala = —Sa—iz g—Srai—dizl—gurki—idsao—nbjb—eekr– s–k–a—la = —12 cc–mm– = —12
S kala = —QQ'—RR ' = —36 cc–mm– = —21
Skala = 2 : 1
Skala = 2 : 1 = 1 : —21
= 1 : —21

Contoh 5

Rajah di bawah menunjukkan objek KLMN dan lukisan berskala K'L'M'N' yang dilukis pada grid
segi empat sama yang berlainan saiz. Tentukan skala yang digunakan.

Objek }1 cm Lukisan berskala
K' }0.5 cm
K

L' N'
M'

L N IMBAS KEMBALI
M
Saiz sebenar K'N' = √1.52 + 22 = 2.5
KN = √32 + 42 = 5
92

Bab 4 Lukisan Berskala

Penyelesaian: Kaedah 2

Kaedah 1 S kala = —Sa—iz g—ri—d l—uk—isa—n b—er–s–k–a—la = —0.5––c–m– = —–21
Saiz grid objek 1 cm 1
S kala = —KK'—NN ' = —25.5–c–cm–m – = —01.5– ­=­­—1–12
S kal a = –21 : 1 S ka l a = –112 :: 1
1–2 × 2 : 1 × 2 2
1 : 2

–21 didarab dengan 2 untuk mendapatkan nilai 1.

Contoh 6

Sebuah peta dilukis dengan skala 1 : 300 000. Hitung jarak sebenar, dalam km, sebatang sungai yang BAB 4
panjangnya 3 cm pada peta tersebut.

Penyelesaian:

Kaedah 1 Kaedah 2

—300—10—0c0m–—c m– = —Jar—ak3—scem—be—na–r Lukisan Berskala : Objek IMBAS KEMBALI
J arak sebe nar = —3 ×—3—010—c0m0—0–c–m–
1 : 300 000 1 km = 1 000 m
1 m = 100 cm
1 cm : 300 000 cm 1 km = 100 000 cm

×3 1 cm : 3 km ×3
3 cm : 9 km

= 900 000 cm Maka, jarak sebenar sungai
= 9 km ialah 9 km.

Contoh 7

Peta negeri Johor dilukis dengan skala 1cm kepada 10km. Hitung jarak sebenar di antara Kluang
dengan Ayer Hitam jika jarak di atas peta ialah 2 cm.

Penyelesaian: Kaedah 2

Kaedah 1 Lukisan berskala : Objek
1 cm : 10 km
Ska la = —Ja—rak—p—ada—lu—ki—sa–n × 2 2 cm : 20 km × 2
Jarak sebenar Maka, jarak sebenar ialah 20 km.

11—0c—mkm – = —Jar—ak2—scem—be—na–r Saiz sebenar

Jara k sebenar = —2 c—m1—(c1—m0 k—m–)
Jarak sebenar = 20 km

93

Contoh 8

tK ehrsaeibruu lt miaelaluhk6iscmse,gbi eermappaaktashampaandjaennggasnisis,kdaalala1m:c—m31 ,. Jika panjang sebenar sisi segi empat sama
lukisan berskala?

Penyelesaian:

Kaedah 1 Kaedah 2

S k ala = —SiS—siiso—ibluj—ekki—syaa—nnbg—esre—spkaa–dl—aan– Lukisan berskala : Objek
1 : —1
——131 = —Sis—i l—uk—i6sac—nmb—er—sk—ala– × 18 3 ×18
18 cm : 6 cm
Sisi lukisan berskala = 3 × 6 cm
Panjang sisi lukisan berskala = 18 cm Maka, panjang sisi dalam lukisan berskala
ialah 18 cm.

BAB 4 UJI MINDA 4.1b

1. Tentukan skala yang digunakan untuk setiap lukisan berskala di bawah dalam bentuk 1 : n.

Objek Lukisan berskala
(a)

(b) 6 cm 2 cm
1 cm
3 cm
}1 cm
(c) }0.5 cm

(d) 3 cm 4.5 cm
6 cm 9 cm
Saiz sebenar

94

Bab 4 Lukisan Berskala

2. Sekeping poster berukuran 24 cm panjang dan 8 cm lebar. Hitung panjang dan lebar lukisan
berskala poster itu, dalam cm, yang dilukis mengikut skala 1 : 4.

3. Sebuah peta dilukis dengan skala 1 : 400 000. Berapakah jarak sebenar, dalam km, yang diwakili
oleh sebatang sungai yang panjangnya 2.5 cm pada peta tersebut?

4 . Siew Li n melukis s egi tiga be r sudut tegak dengan skala 1 : —13 . Jika panjang hipotenus
lukisan berskala ialah 18 cm, hitung panjang hipotenus segi tiga asal.

Bagaimanakah anda melukis lukisan berskala bagi STANDARD
suatu objek dan sebaliknya? PEMBELAJARAN

Melukis lukisan berskala bagi suatu objek. Melukis lukisan berskala bagi
suatu objek dan sebaliknya.

Lukisan berskala suatu objek boleh dilukis dengan tiga cara. BAB 4
(a) Menggunakan kertas grid yang sama saiz bagi skala yang berlainan atau;
(b) Menggunakan kertas grid yang berlainan saiz atau;
(c) Melukis di atas kertas kosong mengikut skala yang diberi.

Contoh 9

Lukiskan lukisan berskala bagi bentuk PQRS di sebelah pada grid segi empat R
sama dengan skala 1 : —12 .
Penyelesaian: S

Skala yang diberi ialah 1 : —12 . Maka, setiap PQ
sisi lukisan berskala ialah dua kali lebih R'
panjang berbanding panjang sisi objek
KUI Z

PQRS. Jika anda perlu melukis
S' lukisan berskala bagi

padang sekolah anda,
apakah skala yang
P' Q' sesuai dipilih? Kenapa?

Contoh 10 } 1 cm

(a) Rajah ∆PQR di sebelah dilukis pada grid Q }1 cm
1 cm × 1 cm. Lukiskan semula ∆PQR
di atas kertas grid berukuran P R Saiz sebenar

(i) 1.5 cm × 1.5 cm
(ii) 0.5 cm × 0.5 cm
(b) Hitung skala yang digunakan dalam

soalan (a)(i) dan (a)(ii) dalam bentuk
1 : n.

95

Penyelesaian: 1.5 cm
(a)(i)
BAB 4 }1.5 cm
Q'
} (a)(ii)
0.5 cm
} Q'
}0.5 cm

P' R'

P' R'

(b) (i) (b) (ii)

Sk ala = —Sa—iz —gri—d l—uk—isa—n —be—rsk—ala– =1—.5—cm– Skala = —Sa—iz—gr—id —luk—isa—n—be—rsk—al–a = —0.—5 c—m
Saiz grid objek 1 cm Saiz grid objek 1 cm

Skala = 1.5 : 1 Skala = 0.5 : 1
= 1 : —23 =1:2

Contoh 11 R
4 cm
Bina lukisan berskala bagi segi tiga PQR dengan skala 1 : 2.
Penyelesaian:

R'

2 cm 30° 6 cm Q
Q' P

30°
P' 3 cm

Bagi objek yang diberi nilai sudut tertentu, sudut lukisan berskala Imbas QR Code atau layari
perlu dibina dengan tepat dan panjang sisi dilukis mengikut skala. http://yakin-pelajar.com/
Kertas%20Grid%20
Melukis objek bagi suatu lukisan berskala. Bab%204/ untuk
memuat turun kertas grid
pelbagai saiz.

Contoh 12 R'

Rajah di sebelah menunjukkan lukisan berskala yang dilukis pada T' S'
P' Q'
Saiz sebgbraigedinsPae'gQri'Rem'S'pTa't. sama mengikut skala 1 : 2. Lukiskan objek sebenar

96

Penyelesaian: Bab 4 Lukisan Berskala

TS R
P
Skala yang digunakan ialah 1 : 2 iaitu saiz lukisan
berskala dua kali lebih kecil daripada objek. Maka,
setiap sisi objek sebenar ialah dua kali lebih panjang
daripada sisi lukisan berskala.

Q

Contoh 13 1 cm

Rajah di sebelah menunjukkan lukisan berskala }1 cm
sekuntum bunga yang dilukis pada grid berukuran
1 cm × 1 cm. Lukiskan objek sebenar bunga tersebut
pada grid berukuran

(a) 0.5 cm × 0.5 cm

(b) 1.5 cm × 1.5 cm
} BAB 4

(b) } } 1.5 cm

Penyelesaian: }1.5 cm
Objek perlu dilukis pada grid berlainan
saiz. Maka, bilangan unit bagi sisi objek
adalah sama dengan bilangan unit sisi
lukisan berskala.

(a)

0.5 cm

}0.5 cm

Saiz sebenar

97

UJI MINDA 4.1c

1 . Lukisk an lukisan berskala u ntuk setia p objek be rikut deng an skala 1: —12 dan 1 : 3.

(a) (b)

2. (a) O bjek pada rajah di sebelah dilukis } }1 cm
pada kertas grid 1 cm × 1 cm. Lukiskan 1 cm
semula bentuk objek itu pada kertas grid =
BAB 4 berukuran

(i) 2 cm × 2 cm

(ii) 0.5 cm × 0.5 cm

(b) H itung skala yang digunakan dalam
2 (a)(i) dan (ii).

3. Lukiskan lukisan berskala bagi bentuk-bentuk berikut dengan menggunakan skala yang diberi.

(a) S kala 1 : 3 ( b) Skala 1 : 200 (c) Skala 1 : —12

4m

3 cm = = 4 cm
9 cm
8m

=

10 m 2 cm

4. Rajah di sebelah menunjukkan lukisan berskala bagi suatu
gabungan bentuk yang dilukis pada grid segi empat sama dengan
skala 1 : —21 .

Lukiskan objek sebenar bagi bentuk tersebut.

Saiz sebenar

98

Bab 4 Lukisan Berskala

B agaimanakah anda menyelesaikan masalah yang STANDARD
melibatkan lukisan berskala? PEMBELAJARAN

Contoh 14 Menyelesaikan masalah yang
melibatkan lukisan berskala.

Jarak di antara Bintulu dengan Miri di atas suatu peta ialah 4 cm.

(a) Jika skala yang digunakan untuk melukis peta itu ialah 1 cm : 50 km, hitung jarak sebenar,
dalam km, di antara Bintulu dengan Miri.

(b) Jika peta dilukis semula dengan skala 1 : 2 000 000, hitung jarak di antara Bintulu dengan

Miri di atas peta baru. TIP

(c) Encik Dominic Lajawa bersama keluarganya ingin melawat bandar Jika skala lukisan
berskala dan kehendak
Miri. Jika beliau bercadang untuk memandu ke Miri dengan soalan dalam unit yang
kelajuan 80 km j–1, hitung masa yang diperlukan untuk perjalanan sama, misalnya km
maka, skala tidak perlu
dari Bintulu ke Miri dalam jam dan minit.

Penyelesaian: ditukar kepada unit cm.

Memahami masalah Melaksanakan strategi BAB 4

• J arak sebenar bagi jarak 4 cm yang ( a) S kala = —Jar—Jaakr—apka—dsea—bleu—nkai–sra–n–
dilukis dengan skala 1 cm : 50 km. 5—0—k1m– – = —Jar—ak4—scem—be—na–r

• Jarak pada lukisan berskala yang Jarak sebenar = —4 c—m1—(c5m—0 k—m–)
dilukis dengan skala 1: 2 000 000. Jarak sebenar = 200 km

• Tempoh masa dalam jam dan minit ( b) Skala = —Jar—Jaakr—apka—dsea—bleu—nkai–sra–n–
bagi perjalanan dari Bintulu ke Miri — 2 —00—10 0—00– = J—ar—ak—2p0a—0dak—mlu—kis–a–n–
dengan kelajuan 80 km j–1. J arak pad a lu kisan = —(20(—20 —0×01—0000—000—0)0c–)m–c–m–
Jarak pada lukisan berskala = 10 cm
Merancang strategi
( c) M asa = —JLaa—rajuk– IMBAS KEMBALI
S kal a = —Jar—Jaakr—apka—dsea—bleu—nkai–sr–an– = —8200—k0m–k–mj––1–
Mas a = —JLaa—rajuk– = 2.5 jam L aju = —Ja—ra—k

Membuat kesimpulan Tempoh masa Masa Saiz sebenar
= 2 jam 30 minit
• Jarak sebenar di antara Bintulu dengan
Miri ialah 200 km.

• Jarak di antara Bintulu dengan Miri
pada peta dengan skala 1 : 2 000 000
ialah 10 cm.

• Tempoh masa yang diperlukan oleh
Encik Dominic Lajawa untuk memandu
dari Bintulu ke Miri dengan kelajuan
80 km j–1 ialah 2 jam dan 30 minit.

99

UJI MINDA 4.1d 18 cm

1. Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak.
Suatu lukisan berskala bagi segi tiga tersebut dilukis
mengikut skala 1 : —13 . Hitung luas, dalam cm2, bagi
lukisan berskala itu.

24 cm

2. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah bilik berbentuk 3.5 m
segi empat tepat. Hitung perimeter, dalam cm, bagi
lukisan berskala bilik tersebut yang dilukis dengan skala
1 : 50.

BAB 4 5.2 m

3. Ukuran sebuah bilik berbentuk segi empat tepat pada lukisan berskala ialah 7 cm × 5 cm.
Jika skala yang digunakan ialah 1 : 400, hitung luas sebenar bilik tersebut dalam m2.

4. Suatu poligon sekata dengan sudut peluaran 36° dilukis semula dengan menggunakan skala
1 : 5. Jika panjang sebenar sisi poligon sekata itu ialah 10 cm, hitung perimeter lukisan berskala
poligon sekata itu.

5.

3 cm

6 cm

Rajah di atas menunjukkan lukisan berskala bagi sebuah padang yang berbentuk segi empat tepat.

(a) Jika skala yang digunakan ialah 1 : 2 000, hitung luas sebenar padang itu dalam meter
persegi.

(b) Encik Dany memotong rumput di padang tersebut dengan kadar 400 meter persegi dalam
masa 8 minit. Hitung tempoh masa, dalam jam dan minit, yang diperlukan oleh Encik Dany
untuk memotong rumput keseluruhan padang tersebut.

Saiz sebenar

100

Bab 4 Lukisan Berskala

Cabaran Dinamis

UUjjii DDiirrii

1. Rajah di bawah menunjukkan segi tiga P yang merupakan lukisan berskala bagi segi tiga Q
dengan skala 1 : n. Hitung nilai n.

Luas P = 112.5 cm2 Luas Q = 4.5 cm2

P Q

2. Rajah di bawah menunjukkan lima segi empat tepat.

S 3 cm 4.5 cm IV BAB 4

2 cm II 5 cm III 6 cm

3 cm 2.5 cm

I 1.5 cm 4 cm

1 cm

(a) Antara segi empat tepat I, II, III, dan IV, yang manakah merupakan lukisan berskala bagi
segi empat tepat S di bawah skala tertentu?

(b) Bagi setiap jawapan anda di (a), tentukan skala yang digunakan.
(c) i. Hitung luas setiap segi empat tepat, dalam cm2, bagi jawapan anda di (a).

ii. Tentukan nisbah luas S kepada luas setiap jawapan anda di (c) i.

Apakah kesimpulan anda berkaitan nisbah yang diperoleh?

3. Rajah di sebelah menunjukkan suatu lukisan berskala bagi bulatan R
berpusat di O dan segi tiga PQR. Diberi bahawa diameter bulatan O
ialah 6 cm dan skala lukisan ialah 1 : 3.
P Saiz sebenar
(a) Hitung panjang sebenar PR dalam cm. Nyatakan jawapan anda
betul kepada 3 angka bererti.

(b) Dengan menggunakan jawapan anda di (a), hitung luas kawasan Q

berlorek yang sebenar dalam cm². Nyatakan jawapan betul

kepada 4 angka bererti. 2 cm

101

Mahir Diri
1.



Jarak laluan penerbangan dari Kuching ke Kota Kinabalu di atas suatu peta ialah 5.4 cm.
Diberi bahawa skala peta tersebut ialah 1 cm : 150 km. Jika sebuah pesawat tempatan berlepas
dari Lapangan Terbang Antarabangsa Kuching pada jam 1240 dan tiba di Lapangan Terbang
Antarabangsa Kota Kinabalu pada jam 1410, hitung laju purata pesawat tersebut dalam kmj–1.
BAB 4
2. Rajah di sebelah menunjukkan lukisan berskala 15 cm=
=ruang tamu Puan Farah. Skala lukisan itu ialah20 cm
1 : 50. Puan Farah ingin memasang jubin pada
keseluruhan ruang tamu tersebut. Beliau ingin 8 cm
menggunakan jubin dengan ukuran 30 cm × 30 cm =
yang berharga RM2.80 sekeping. Suami Puan
Farah telah mencadangkan jubin 50 cm × 50 cm =
yang berharga RM6 sekeping. Jubin manakah yang
harus dipilih oleh Puan Farah jika beliau ingin
berjimat? Nyatakan alasan untuk jawapan anda.

3. Rajah di sebelah menunjukkan lukisan berskala

bagi kebun milik Pak Hassan yang berbentuk 10 cm

segi empat tepat. Diberi bahawa skala lukisan

tersebut ialah 1 : 2 000. 4 cm
(a) Hitung luas sebenar kolam ikan air tawar
[ ]dalam meter persegi terdekat. π = 2—72 .
8 cm

(b) N isbah luas kawasan penanaman pokok lapang
Kolam ikan
durian kepada luas kawasan penanaman Pokok Kawasan air tawar 3 cm
pokok pisang. Pokok DurianPisang

(c) Hitung luas, dalam m2, kawasan lapang.

(d) Pak Hassan ingin memagar kebun beliau.
Jika kos semeter pagar ialah RM5.50, hitung
jumlah kos pembelian pagar, dalam RM.

Saiz sebenar

102

Bab 4 Lukisan Berskala

Masteri Kendiri

1. Rajah di sebelah menunjukkan lukisan berskala tapak sebuah 1.5 cm
rumah kedai yang dilukis dengan skala 1 : 400. Stor 2 cm

(a) Hitung luas sebenar bilik stor, dalam m2.

(b) Nyatakan nisbah luas rumah kedai kepada luas bilik stor.

(c) Jika ketinggian sebenar rumah kedai ialah 3.75 m, hitung 6 cm
isi padu, dalam m3, bentuk tiga dimensi rumah kedai tersebut.

2. 12 cm 4 cm BAB 4
Tapak kanopi

7 cm

Rajah 1 Tapak kanopi
Rajah 2

Rajah 1 menunjukkan lukisan berskala sebuah padang bola sepak yang berbentuk
segi empat tepat.

(a) Jika lukisan berskala ini dilukis dengan skala 1 : 1 000, hitung luas sebenar dalam m²
padang bola sepak tersebut.

(b) Sharon ingin melukis semula lukisan berskala pada Rajah 1 dengan menggunakan
sehelai kertas bersaiz A4. Apakah skala maksimum yang boleh dipilih oleh Sharon?
Nyatakan alasan untuk jawapan anda.

(c) B eberapa kanopi akan didirikan di atas padang bola sepak tersebut seperti pada
Rajah 2 untuk suatu karnival.

i. Jika dimensi tapak sebuah khemah ialah 5 m × 4 m, hitung bilangan maksimum
khemah yang boleh didirikan.

ii. S ewa sebuah khemah ialah RM100 sehari. Diskaun 25% akan diberikan jika
khemah-khemah itu disewa untuk lima hari atau lebih. Hitung jumlah sewa, dalam RM,
jika majlis itu berlangsung selama seminggu.

Saiz sebenar

103

P ROJ E K

Lukiskan peta daerah yang anda tinggal dengan
menggunakan skala yang sesuai. Anda boleh
nyatakan kedudukan rumah anda, sekolah dan
kawasan-kawasan menarik yang terdapat di daerah
anda dengan menggunakan simbol atau ilustrasi
yang sesuai. Pamerkan hasil projek anda di kelas.

BAB 4 PETA KONSEP
Lukisan Berskala
Lukisan Berskala ialah lukisan yang dilukis semula seperti objek asal mengikut skala tertentu

S kala = —Uk—ur—Uank—ulur—kanis—aonb—jbe—ekrs–k–a­—la S kala 1 : n, atau 1 :­ —1n
dengan keadaan n = 1, 2, 3,...

n<1 n=1 n>1
Lukisan berskala lebih Lukisan berskala sama Lukisan berskala lebih
besar daripada objek kecil daripada objek
saiz dengan objek
1 : —21 1:1 1:2
Objek Lukisan
Objek Lukisan Objek Lukisan
4 cm
2 cm 3 cm 3 cm 3.6 cm
0 0
1 cm
2 cm 1.8 cm

1.4 cm 0.7 cm

Saiz sebenar

104

Bab 4 Lukisan Berskala

IMBAS KENDIRI

Pada akhir bab ini, saya dapat:

Mengkaji dan menerangkan hubungan antara ukuran sebenar objek dan
1. lukisan pelbagai saiz objek tersebut, dan seterusnya menerangkan maksud

lukisan berskala.

2. Mentafsirkan skala suatu lukisan berskala.

3. Menentukan skala, ukuran objek atau ukuran lukisan berskala.

4. Melukis lukisan berskala bagi suatu objek dan sebaliknya.

5. Menyelesaikan masalah yang melibatkan lukisan berskala. BAB 4

JELAJAH MATEMATIK

1. Muat turun kertas grid pelbagai saiz. Imbas QR Code atau layari
http://yakin-pelajar.com/
2. Lukiskan satu gambar kegemaran anda seperti yang ditunjukkan Kertas%20Grid%20
dalam Rajah 1 atau Rajah 2 pada salah satu kertas grid yang Bab%204/ untuk
dipilih. memuat turun kertas grid
pelbagai saiz.

Rajah 1 Rajah 2

3. Lukiskan semula gambar tersebut di semua kertas grid yang berlainan saiz.

4. Adakah anda boleh melukis gambar kegemaran anda dengan mudah pada grid yang
berlainan saiz? Bincangkan.

5. Pamerkan hasil anda di sudut matematik kelas anda.

Saiz sebenar

105

BAB Nisbah

5 Trigonometri

Apakah yang akan anda pelajari?

5.1 S inus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut
Tirus dalam Segi Tiga Bersudut Tegak

Kenapa Belajar Bab Ini?

• Nisbah trigonometri membolehkan masalah
berkaitan panjang, tinggi dan sudut dapat
ditentukan dengan menggunakan segi tiga
bersudut tegak.
• Konsep trigonometri digunakan dalam bidang
pelayaran, penerbangan, kejuruteraan, astronomi,
pembinaan dan sebagainya.

Sungai merupakan sumber utama air untuk
kegunaan domestik kepada manusia.
Kelebaran sungai di kawasan tertentu dapat
dihitung dengan menggunakan konsep trigonometri.
Sudut dari kedudukan juru ukur ke pokok yang
menjadi tanda rujukan pada titik R seperti pada rajah
di bawah boleh diketahui dengan menggunakan
tiodolit, alat mengukur sudut jarak jauh. Jika
panjang PQ dan sudut PQR diketahui, maka
kelebaran sungai, PR boleh dihitung dengan mudah
melalui kaedah trigonometri.

R
Qθ P

Saiz sebenar

106

Eksplorasi Zaman

Al-Battani atau Muhammad Ibn Jabir Ibn SinanAbu
Abdullah ialah bapa trigonometri. Beliau dilahirkan
di Battan, Damsyik. Beliau merupakan putera Arab
dan juga pemerintah Syria. Al-Battani diiktiraf
sebagai ahli astronomi dan matematik Islam yang
tersohor. Al-Battani mendapat pendidikan awal
daripada bapanya sendiri Jabir Ibn San’an yang
juga merupakan seorang saintis yang terkenal pada
zamannya. Beliau berjaya meletakkan trigonometri
pada tahap yang tinggi dan merupakan orang
pertama yang menghasilkan jadual cotangents.

http://yakin-pelajar.com/Eksplorasi%20Zaman/Bab%205/

GERBANG K A T A

• darjah • degree
• hipotenus • hypotenuse
• kosinus • cosine
• sinus • sine
• tangen • tangent
• teorem Pythagoras • Pythagoras theorem

Saiz sebenar

107

5.1 S inus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut Tirus
dalam Segi Tiga Bersudut Tegak

B agaimanakah anda mengenal pasti sisi bertentangan, STANDARD
sisi bersebelahan dan hipotenus? PEMBELAJARAN

Tahukah anda bagaimana ketinggian suatu Mengenal pasti sisi
objek yang sukar diukur seperti bangunan bertentangan dan sisi
dan gunung dihitung? bersebelahan berdasarkan
suatu sudut tirus dalam
segi tiga bersudut tegak.

Misalnya dalam rajah di sebelah, jika t
jarak, s dan sudut dongak diketahui maka,

ketinggian, t bangunan tersebut boleh Sudut dongak
dihitung dengan menggunakan konsep
trigonometri.

Jarak, s

BAB 5 Rajah di sebelah menunjukkan suatu segi tiga bersudut tegak PQR. P R
Sebagaimana yang telah anda pelajari dalam bab Teorem Phytagoras di Q
Tingkatan 1, sisi PR dikenali sebagai hipotenus, iaitu sisi terpanjang
dalam segi tiga bersudut tegak PQR. Adakah dua sisi lain iaitu sisi PQ
dan sisi QR juga mempunyai nama khas seperti sisi terpanjang, PR?

Teliti Rajah 1 dan Rajah 2 di bawah.

P hipotenus P hipotenus TIP
sisi y
bertentangan Sudut tirus
sisi 0° ˂ θ ˂ 90°
bersebelahan

x R Q sisi bertentangan R TIP
Q sisi bersebelahan Rajah 2
y
Rajah 1

Berdasarkan ∠PRQ dalam Rajah 1, sisi QR dikenali sebagai sisi x
bersebelahan manakala sisi PQ dikenali sebagai sisi bertentangan.
x + y = 90°
Berdasarkan ∠QPR dalam Rajah 2, sisi PQ ialah sisi bersebelahan ∠ x dan ∠ y ialah
dan sisi QR ialah sisi bertentangan. sudut tirus

Perhatikan juga dalam kedua-dua Rajah 1 dan Rajah 2 hipotenus PR adalah tetap kedudukannya
iaitu bertentangan dengan sudut 90°.

Bagi suatu segi tiga bersudut tegak;

(a) hipotenus ialah sisi terpanjang yang bertentangan dengan sudut 90°.

Saiz se be(bn)a r sisi bersebelahan dan sisi bertentangan berubah mengikut kedudukan sudut tirus yang

dirujuk.

108

Bab 5 Nisbah Trigonometri

Contoh 1

Kenal pasti sisi bertentangan, sisi bersebelahan dan hipotenus berdasarkan sudut yang diberi

dalam jadual di bawah untuk semua segi tiga bersudut tegak berikut. S
(a) B C (b) M (c)

K
T

A L

Penyelesaian: PQ R
Segi tiga
∆ABC Sudut Hipotenus Sisi bertentangan Sisi bersebelahan
∠BAC AC BC AB
∆KLM ∠BCA AC AB BC
∆PQT ∠LKM KM LM KL
∆RQS ∠LMK KM KL LM
∠TPQ PT QT PQ
∠QRS RS QS QR

UJI MINDA 5.1a BAB 5

1. Berdasarkan segi tiga bersudut tegak di bawah, salin dan lengkapkan jadual yang diberi.

E
PD

KN

FE

Q RM GA B C

Segi tiga Sudut Hipotenus Sisi bertentangan Sisi bersebelahan
∆PQR ∠QPR
∆KMN ∠PRQ Saiz sebenar
∆EFG ∠MNK
∆ABE ∠MKN 109
∆CBD ∠FEG
∠EGF
∠BAE
∠AEB
∠BCD
∠BDC

Apakah hubungan antara sudut tirus dengan nisbah sisi STANDARD
segi tiga bersudut tegak? PEMBELAJARAN

Cetusan Minda 1 Membuat dan
Berkumpulan menentusahkan konjektur
Tujuan: Mengenal pasti hubungan antara sudut tirus dengan nisbah tentang hubungan antara
sisi segi tiga bersudut tegak. sudut tirus dan nisbah
sisi segi tiga bersudut
Bahan: Kertas grid segi empat sama, pembaris dan pensel. tegak, dan seterusnya
mentakrifkan sinus,
Langkah: kosinus dan tangen.

1. Lukis segi tiga bersudut tegak PQR, dengan panjang PQ
ialah 16 unit dan panjang QR ialah 12 unit.

2. Lukiskan beberapa garis lurus yang selari dengan RQ. Labelkan sebagai R1 Q1, R2 Q2
dan R3 Q3 seperti pada rajah di bawah.

R

R3 TIP
R2
R1 Guna Teorem Phytagoras

untuk menentukan PR3
PR1, PR2,
panjang
dan PR.

BAB 5 P Q1 Q2 Q3 Q

3. Lengkapkan jadual di bawah dengan ukuran yang dikehendaki.

Sudut Tirus —Sis—iHb—eipr—otetn—enta—unsg—an– —Sis—iHb—iepr—osete—bneu—lash—an– —SSiiss—ii bb—eerr—tseen—btea—lanhg—aann–
∠QPR
— RP1RQ—11 = —35 —PPQR—11 = —45 R—P1QQ—11 = —43
R —P2RQ—22 = R —P2QQ—22 =
R— P3RQ—33 = — PPQR—22 = —R P3QQ—33 =
— RPQR– = — PRQQ– =
— PP QR—33 =

— PPQR– =



Perbincangan:

1. Apakah pola jawapan anda untuk nisbah panjang sisi bertentangan kepada hipotenus,
nisbah panjang sisi bersebelahan kepada hipotenus dan nisbah panjang sisi bertentangan
kepada panjang sisi bersebelahan?

2. Apakah yang berlaku sekiranya saiz sudut diubah? Berikan justifikasi anda.

Saiz sebenar

110

Bab 5 Nisbah Trigonometri

Hasil daripada Cetusan Minda 1, didapati bahawa;

Bagi suatu sudut tirus yang ditetapkan dalam pelbagai saiz segi tiga bersudut tegak;
(a) Nisbah panjang sisi bertentangan kepada hipotenus ialah suatu nilai pemalar.
(b) Nisbah panjang sisi bersebelahan kepada hipotenus ialah suatu nilai pemalar.
(c) Nisbah panjang sisi bertentangan kepada panjang sisi bersebelahan ialah suatu nilai pemalar.

Hubungan nisbah yang didapati daripada Cetusan minda 1 ialah PERINGATAN
nisbah trigonometri yang dikenali sebagai sinus, kosinus dan
tangen iaitu: ♦ sin = sinus
♦ kos = kosinus
s inus = —pa—nja—ng—hsii—psoi—tbeen—rutes—nta—ng—an– ♦ tan = tangen

kosin us = —pa—nja—ng—hsii—psoi —tbeen—russe—be—lah—an– BULETIN

tangen = —pa—nja—ng—si—si—be—rte—nta—ng—an– Trigonometri berasal
panjang sisi bersebelahan dari bahasa Yunani iaitu,
Trigonon = tiga sudut
Metron = mengukur

Contoh 2

Lengkapkan jadual berdasarkan rajah di sebelah. R BAB 5

sin x kos x tan x sin y kos y tan y y

Penyelesaian: Q x

sin x kos x tan x sin y kos y P

—QPRR– —PPQR– —QPQR– —PPQR– —QPRR– tan y
—QPQR–
UJI MINDA 5.1b
Q
1. Lengkapkan jadual berdasarkan segi tiga bersudut tegak di bawah.
yy
Dx E K SR
L y
tan y
Segi tiga y kos x x x
∆DEF F M P Saiz sebenar
∆KLM
∆PQR sin x tan x sin y kos y 111

Apakah kesan perubahan saiz sudut terhadap nilai sinus, STANDARD
kosinus dan tangen? PEMBELAJARAN

Cetusan Minda 2 Berpasangan Membuat dan
menentusahkan konjektur
Tujuan: Mengenal pasti kesan perubahan saiz sudut terhadap nilai tentang kesan perubahan
sinus, kosinus dan tangen. saiz sudut terhadap nilai
sinus, kosinus dan tangen.

Bahan: Kertas grid, pembaris, protraktor dan pensel.

Langkah:

1. Lukis empat segi tiga bersudut tegak seperti di bawah dengan panjang tapak ialah 10 cm.

2. Pastikan ukuran sudut dan panjang semua segi tiga bersudut tegak adalah tepat seperti

yang diberi. R3

R1 R2 50°
60°
R 70°

80°

P 10° Q P1 20° Q1 P2 30° Q2 P3 40° Q3
10 cm 10 cm 10 cm 10 cm

BAB 5 3. Lengkapkan jadual di bawah.

sin 10° sin 20° sin 30° sin 40° sin 50° sin 60° sin 70° sin 80°

—RPQR– —PPQR–
= —110.—8.2 = —1100—.2
= 0.1765 = 0.9804

kos 10° kos 20° kos 30° kos 40° kos 50° kos 60° kos 70° kos 80°

—PPRQ– —PRQR–
= 1—100.–2 = 1—10..8–2
= 0.9804 = 0.1765

tan 10° tan 20° tan 30° tan 40° tan 50° tan 60° tan 70° tan 80°

—RPQQ– —RPQQ–
= —11.08– = —11.08–
= 5.5556
Saiz sebena=r 0.1800

112

Bab 5 Nisbah Trigonometri

Perbincangan:
1. Berdasarkan jadual nilai bagi nisbah trigonometri yang telah anda lengkapkan, apakah

kesimpulan yang anda boleh buat?

2. Apakah konjektur anda bagi
(a) nilai nisbah sinus yang menghampiri 0° dan 90°?
(b) nilai nisbah kosinus yang menghampiri 0° dan 90°?
(c) nilai nisbah tangen yang menghampiri 0° dan 90°?

Hasil daripada Cetusan Minda 2, didapati bahawa; TIP

Semakin besar saiz sudut tirus sin 0° = 0 sin 90° = 1
(a) semakin besar nilai sinus dan nilainya menghampiri 1. kos 0° = 1 kos 90° = 0
(b) semakin kecil nilai kosinus dan nilainya menghampiri tan 0° = 0 tan 90° = ∞

sifar.
(c) semakin besar nilai tangen.

Contoh 3 BAB 5

Rajah di sebelah menunjukkan dua segi tiga bersudut tegak. 3 cm 5 cm 1.5 cm 2.5 cm
Tentukan sama ada semua nisbah trigonometri bagi sudut x
dan sudut y bernilai sama atau tidak. Nyatakan alasan untuk x y
jawapan anda. 4 cm 2 cm

Penyelesaian:

s in x = —35 k os x = —54 tan x = —43
sin y = —21..55– = —35 k os y = —22.5– = —45 tan y = 1—2.5 – = —34

Nisbah trigonometri bagi sudut x dan sudut y adalah sama kerana panjang setiap sisi untuk
kedua-dua rajah adalah berkadaran.

UJI MINDA 5.1c

1. Rajah di sebelah menunjukkan dua segi tiga bersudut tegak. 9 cm 15 cm 3 cm 5 cm
x y
Tentukan sama ada semua nisbah trigonometri bagi sudut x
dan sudut y bernilai sama atau tidak. Nyatakan alasan untuk 12 cm 4 cm
jawapan anda.
Saiz sebenar

113

2. Rajah di sebelah menunjukkan suatu segi tiga bersudut tegak. S

(a) Tentukan nisbah trigonometri bagi 2.1 cm
R
i. sin 15° ii. kos 15° iii. tan 15° 1.9 cm
iv. sin 30° v. kos 30° vi. tan 30° Q

(b) Adakah pertambahan nilai nisbah trigonometri bagi sudut 151°5°

15° dan sudut 30° berkadaran dengan pertambahan nilai 7 cm

sudutnya? P

Bagaimanakah anda menentukan nilai sinus, kosinus STANDARD
dan tangen suatu sudut tirus? PEMBELAJARAN

Contoh 4 Menentukan nilai sinus,
kosinus dan tangen suatu
sudut tirus.

Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak PQR. Hitung nilai Q 15 cm P
(a) panjang PR (b) sin ∠PRQ (c) kos ∠PRQ (d) tan ∠QPR 8 cm

Penyelesaian:

(a) panjang PR (b) sin ∠PRQ (c) kos ∠PRQ (d) tan ∠QPR R
= 1—87 = 1—85
BAB 5 PR = √152 + 82 = 11—75 IMBAS KEMBALI
= √289
Teorem Pythagoras
= 17 cm
bc c2 = a2 + b2
a2 = c2 – b2

Contoh 5 a b2 = c2 – a2

Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak PQT dan S
RQS. PQR ialah garis lurus. Diberi bahawa panjang SQ ialah 6 cm. T 10 cm
Hitung nilai

(a) panjang QR (b) panjang PT (c) sin ∠QRS

(d) kos ∠TPQ (e) tan ∠PTQ (f) tan ∠QSR

Penyelesaian:

(a) panjang QR (b) panjang PT (c) sin ∠QRS P 4 cm Q R

QR = √102 – 62 PT = √42 + 32 = —6
= √64 = √25 10
= —35
= 8 cm = 5 cm

(d) kos ∠TPQ (e) tan ∠PTQ (f) tan ∠QSR PERINGATAN
= —43 = —68
Saiz se be n =a—54r = —34 Nilai nisbah harus diberi
dalam sebutan terendah.

114

Bab 5 Nisbah Trigonometri

Apakah hubungan antara sinus, kosinus dan tangen?

Bagi suatu segi tiga bersudut tegak, anda ketahui bahawa;

sinus = —sis—ihb—iepr—oteten—ntau–ns—g a–n– , kosinus = —sis—i hb—iepr—osteeb—neul–as— ha–n– da n tangen = —ssii—ssii b—beerr—stee—nbtea–lna—ghaa–nn–

Tahukah anda ketiga-tiga nisbah trigonometri di atas berkaitan antara satu sama lain? Tangen
ialah nisbah sinus kepada kosinus.

Teliti rajah di bawah.

Diketahui, —1y (c) tan θ =
xR 1 ( a) sxin= θsi=n θ—1x ( b) kyo=s kθo=s θ —xy

θ Maka, SUDUT DISKUSI

P y Q t an θ = —sin—θ– Jika θ ialah ∠QRP, adakah
n isbah tan θ –ks–oi–ns–θθ–?
kos θ Bincangkan. masih

Contoh 6

Jika nilai sin θ = 0.6 dan kos θ = 0.8, hitung nilai tan θ. KUI Z BAB 5

Penyelesaian: tan θ = —12 ,
Jika
tan θ = —ksoin—s θθ–

nyatakan nilai sin θ dan
kos θ yang mungkin.

= —00..—68

= —43
BIJAK MINDA
= 0.75 Diberi sin θ = x.
Tentukan kos θ dan
Contoh 7 tan θ yang mungkin.

Jika nilai sin θ = —38 dan nilai tan θ = —√35—5 , hitung nilai kos θ.
P eny elesaian:

t an θ = —ksion—s θθ–
—√ 53—5 = —ko—–83s θ–
SUDUT DISKUSI
k os θ = —–83— Jika tan θ = 1, apakah
—3–
jenis segi tiga yang
√ 55 diwakili oleh sudut θ
tersebut?
kos θ = —√85—5
Saiz sebenar

115

Contoh 8

Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak PQR. Q
Diberi bahawa PR = 20 cm dan sin QPR = —35 . Hitung
(a) panjang QR R

(b) kos ∠QPR

Penyelesaian: P 20 cm

(a) sin ∠QPR = —35 (b) PQ = √ 202 – 122
—QPRR– = —53 = √ 256
BIJAK MINDA
PQ = 16 cm
D iberi sin θ = —35
—Q20R– = —35 Maka, kos ∠QPR = –PP—QR dan panjang hipotenus
ialah 20 cm. Tentukan
Q R = 3—(2—0) = 21—06 kos θ dan tan θ.
5 = —54
QR = 12 cm

Contoh 9

BAB 5 Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak PQT dan S 26 cm
RQS. Diberi bahawa PQR dan STQ ialah garis lurus. Hitung nilai
kos x. = x
R
Penyelesaian: 13 cm T

k os x = —RSQR– Tentukan nilai RQ P 12 cm =
terlebih dahulu
Q

TQ = √132 – 122 ; SQ = 2TQ ; RQ = √262 – 102

= √25 = 2(5) = √576 SUDUT DISKUSI

TQ = 5 cm SQ = 10 cm = 24 cm Diberi hipotenus suatu
segi tiga bersudut tegak
M aka, kos x = —RQ– ialah √8 cm. Tentukan
SR tan θ jika kos θ = —√12– .
= —24
26
= —1132

Contoh 10 S

Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak PRS. Diberi =
bahawa PQR ialah garis lurus dan kos 60° = 0.5. Hitung panjang PS.
Nyatakan jawapan betul kepada dua tempat perpuluhan.

Saiz sebenar P 30° = Q R
10 cm

116

Bab 5 Nisbah Trigonometri

Memahami masalah Melaksanakan strategi
Menghitung panjang PS iaitu
hipotenus bagi ∆PRS. • ∠QSP = ∠QPS = 30°

Merancang strategi maka, ∠PQS = 180 – 30° – 30° = 120°
• PS = √PR2 + SR2
• SR dan QR boleh dihitung jika • ∠SQR = 180° – ∠PQS

∠SQR atau ∠QSR diketahui. ∠SQR = 180° – 120° = 60°
• Mengenal pasti kedudukan kos
• Diberi bahawa kos 60° = 0.5
60°.
Kos 60° = —21 SR = √102 – 52 = √75 cm
Membuat kesimpulan
PS = 17.32 cm (2 t.p.) —Q10R– = —12 Maka,
QR = 1—02–(–1–) PS = √SR2 + PR2
PS = √(√75)2 + 152

= 5 cm PS = 17.32 cm

UJI MINDA 5.1d IMBAS KEMBALI

1. Hitung nilai sin θ, kos θ dan tan θ bagi setiap segi tiga bersudut Trirangkap Pythagoras BAB 5
tegak berikut. ABC
345
(a) (b) 7 m (c) 5 12 13
6 8 10
15 cm q 8 15 17
7 24 25
39 cm 25 m 24 m 15 m 17 m 9 40 41

q q
36 cm 8m

(d) (e) (f)

q 1.6 cm 3 cm q
26 mm q 0.8 m

10 mm 0.6 m

2. Hitung nilai x tanpa melukis sebarang segi tiga bersudut tegak atau menggunakan teorem
Pythagoras atau dengan menggunakan kalkulator.

(a) sin θ = —12 , kos θ = —√23– , tan θ = x (b) sin θ = √—12, kos θ = x, tan θ = 1


(c) sin θ = x, kos θ = —58 , tan θ = —√53–9– (d) sin θ = —97 , kos θ = x, tan θ = 4—√7– 2 Saiz sebenar


117

3. Tentukan panjang sisi q untuk setiap segi tiga bersudut tegak berikut.

(a) sin ∠QRP = —1 (b) sin ∠LKM = —7 (c ) sin ∠ACB = —2
3 8 5
P Lq
9m M Aq C
F
q
S
24 m 10 mm x

QR I

KB

4. Tentukan panjang sisi z untuk setiap segi tiga bersudut tegak berikut.

(a) kos ∠SRT = —57 (b) kos ∠HJI = —38 (c) kos ∠DFE = 0.4

S H D
z 40 cm z
R

14 cm J E 12 mm
T z
I

5. Hitung nilai x bagi setiap segi tiga bersudut tegak berikut.

(a) tan ∠BAC = 0.9 (b) tan ∠PRQ = —43 (c) tan ∠LKM = 1—30

BAB 5 A 20 cm B P K

x

x 12 cm L
x
30 mm
Q
C

RM

6. Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak P
PQR dan PRS. Diberi bahawa tan θ = —34 dan PS = —35 PR.
Hitung panjang, dalam cm, θq

(a) PR

(b) RS

Q 9 cm R

7. Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak DFE x E
F
dan EHI. Jika tan x = —75 , panjang DF = 21 cm dan nisbah
panjang E F : EH = 1 : 2, tentukan panjang EI dalam cm.

D

Saiz sebenar H

118

Bab 5 Nisbah Trigonometri

B agaimanakah anda menentukan nilai sinus, kosinus dan STANDARD
tangen sudut 30°, 45° dan 60° tanpa menggunakan kalkulator? PEMBELAJARAN

S SK Menentukan nilai sinus,
kosinus dan tangen sudut
2 unit 2 unit 30º° 2 1 √2 30°, 45° dan 60° tanpa
– √3 menggunakan kalkulator.

TIP

QS = √22 – 12
QS = √3
KM = √12 + 12
KM = √2
60º 6600°º– 60° 45°
P 1 unit Q 1 unit R Q 1R L 1M
BAB 5
Rajah 1(a) Rajah 1(b) Rajah 2

Rajah 1(b) di atas merupakan separuh daripada segi tiga sama sisi PRS dengan panjang sisi PQR
ialah 2 unit. Rajah 2 menunjukkan segi tiga sama kaki KLM.

Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi nisbah trigonometri bagi sudut 30°, 45° dan 60°
yang boleh dihitung tanpa menggunakan kalkulator, berdasarkan Rajah 1(b) dan Rajah 2.

Sudut 30° 60° 45° BULETIN
Nisbah
sin θ 2–1 √—23 √—12 S urd ialah nombor tak
12– —1 nisbah dalam bentuk
kos θ √—23 √2 punca kuasa seperti √2,
tan θ √—13 √3 1 √3 dan √17. √3 dibaca
sebagai surd tiga.

Contoh 11

Hitung nilai berikut tanpa menggunakan kalkulator.

(a) sin 45° + kos 45° (b) 3 kos 30° – 2 sin 60° (c) 2 tan 45° – 2 kos 60°

(d) (2 sin 60°)(4kos 30°) – 4 tan 60° (e) (3 tan 30°)(4 sin 60°) + 4 sin 45°

Penyelesaian:

(a) sin 45° + kos 45° (b) 3 kos 30° – 2 sin 60° (c) 2 tan 45° – 2 kos 60°

= —1 + —1 —2 × √—2 ( ) ( ) = 3 √—23 – 2 √—23 ( ) = 2(1) – 2 —21
√2 √2 √2 √2
= —2 = 2—√2–2 = —3√2– 3 – 2–√2–3– =2–1
√2 = √2
= √2 = —√23– =1

(d) (2 sin 60°)(4kos 30°) – 4 tan 60° (e) (3 tan 30°)(4 sin 60°) + 4 sin 45°

( )( )( ) = 2 √—23 4 √—23 – 4√3 ( )( )( ) ( ) = 3 √—13 4 √—23 + 4 √—12

= (√3)(2)(√3) – 4√3 = —6 + —4 = —4 × √—2 TIP
= 2(3) – 4√3 1 √2 √2 √2
= 6 – 4√3 = 6 + 2√2 √2 × √2 = √2 × 2
= 4—√2–2 = √4
= 2√2 =2

Saiz sebenar

119

UJI MINDA 5.1e

1. Tentukan nilai-nilai berikut tanpa menggunakan kalkulator.

(a) 2 kos 60° + tan 45° (b) 3 kos 60° + 2 tan 45° (c) 2 tan 45° + kos 60°

(d) 3 sin 30° – 2 kos 60° (e) 2 sin 30° – 3 kos 60° (f) 4 tan 45° – 2 kos 60°

(g) (2 sin 60°)(3 kos 60°) + 3 tan 30° (h) (3 tan 45°)(4 sin 60°) – (2 kos 30°)(3 sin 30°)

(i) 4 tan 45° + (2 sin 45°)(6 kos 45°) (j) (5 tan 60°)(2 sin 60°) – (3 sin 45°)(4 kos 45°)

Apakah unit ukuran bagi sudut?

Sudut diukur dalam unit darjah ( ° ). Sudut juga boleh dinyatakan dalam unit darjah ( ° ),
minit ( ' ) dan saat ( '' ) iaitu,

1° = 60'
1' = 60''

Contoh 12

(a) Tukarkan 30.2° kepada unit darjah dan minit. (b) Tukarkan nilai sudut 43° 30' kepada

Penyelesaian: darjah.

(a) 30.2° = 30° + 0.2° (b) 43° 30' = 43° + 30'



( )


BAB 5 = 30° 1++21('02.'2 × 60)' == 4433°° ++ 0—.63500°– °
= 30°
= 30°

= 43.5°

UJI MINDA 5.1f

1. Tukarkan setiap sudut berikut dalam unit darjah dan minit.

(a) 37.80° (b) 74.6° (c) 58.1° (d) 60.2°
(h) 72.3°
(e) 41.5° (f) 16.9° (g) 5.4°
(d) 69° 24'
2. Nyatakan setiap nilai sudut berikut dalam unit darjah. (h) 20° 18'

(a) 65° 54' (b) 47° 42' (c) 18° 12'

(e) 70° 6' (f) 36° 36' (g) 35° 30'

Bagaimanakah anda menentukan nilai sinus, kosinus STANDARD
dan tangen? PEMBELAJARAN

Tahukah anda kalkulator saintifik boleh digunakan untuk menentukan Melakukan pengiraan
nilai suatu sudut bagi nisbah trigonometri? yang melibatkan sinus,
kosinus dan tangen.

Contoh 13

Saiz seGbuennakaarn kalkulator saintifik untuk menentukan nilai-nilai berikut kepada empat tempat perpuluhan.
(a) sin 45° 6' (b) kos 20.7° (c) tan 64° 12'

120

Penyelesaian: Bab 5 Nisbah Trigonometri

(a) sin 45° 6' = 0.7083 BULETIN

PINTAR JARI 1,234567.89 sin 4 5 °' '' 6 °' '' = 0.7083398377 Butang °' '' hanya perlu
7 8 9÷ ditekan apabila soalan
4 5 6x diberikan dalam unit
1 2 3- darjah dan minit.
AC 0 . +

(b) kos 20.7° = 0.9354

kos 2 0 7 = 0.9354440308
PINTAR JARI 1,234567.89 ∙
7 8 9÷
4 5 6x
1 2 3-
AC 0 . +

(c) tan 64° 12' = 2.0686

PINTAR JARI 1,234567.89 tan 6 4 °' '' 12 °' '' = 2.068599355
7 8 9÷
4 5 6x
1 2 3-
AC 0 . +

UJI MINDA 5.1g BAB 5

1. Gunakan kalkulator saintifik untuk menentukan nilai setiap berikut kepada empat tempat
perpuluhan.

(a) sin 44° (b) kos 73.5° (c) tan 69.5° (d) sin 51° 24' (e) kos 30° 21' (f) tan 56° 24'

Bagaimanakah anda mengira saiz sudut dengan menggunakan nisbah trigonometri sinus,
kosinus dan tangen?

Jika nilai nisbah trigonometri diberi, anda boleh menggunakan kalkulator saintifik untuk
menentukan saiz sudut yang berkaitan.

Contoh 14

Gunakan kalkulator saintifik untuk mengira nilai-nilai x berikut.

(a) sin x = 0.8377 (b) kos x = 0.7021 (c) tan x = 2.4876 PERINGATAN

Penyelesaian: Jawapan dalam unit darjah. Jika unit saat bernilai 30"
(a) sin x = 0.8377 Jawapan dalam unit darjah dan minit. atau lebih, unit minit akan
x = sin–1 0.8377 ditambah 1'.
x = 56. 9°
x = 56° 54'

1,234567.89
7 8 9÷

PINTAR JARI °' '' ° ' ''4 5 6 x
1 2 3- shift sin 0 . 8 3 7 7 = 56.89803635 56 53 52.93
AC 0 . +

52.93'' menunjukkan nilai dalam unit saat. Ikuti langkah-langkah }
berikut untuk membundarkan jawapan kepada unit minit terdekat.

56° 53' 52.93''
+1 > 30

= 56° 54'

Saiz sebenar

121

(b) kos x = 0.7021
x = kos–1 0.7021

x = 45.4°

x = 45° 24'

PINTAR JARI °' '' ° ' ''1,234567.89
7 8 9÷
4 5 6x
1 2 3- shift kos 0 . 7 0 2 1 = 45.40426895 45 24 15.37
AC 0 . +

(c) tan x = 2.4876
x = tan–1 2.4876

x = 68.1°

x = 68° 6'

PINTAR JARI °' '' ° ' ''1,234567.89
7 8 9÷
4 5 6x
1 2 3- shift tan 2 . 4 8 7 6 = 68.10017426 68 6 0.63
AC 0 . +

UJI MINDA 5.1h

1. Dengan menggunakan kalkulator saintifik, hitung nilai x berikut. (d) sin x = 0.9121
(a) tan x = 0.2162 (b) kos x = 0.5878 (c) sin x = 0.4062 (h) sin x = 0.1521
(e) kos x = 0.9686 (f) tan x = 3.8027 (g) kos x = 0.5604 (l) kos x = 0.099
(i) tan x = 0.7199 (j) sin x = 0.9792 (k) tan x = 1.0088

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah yang STANDARD
melibatkan sinus, kosinus dan tangen? PEMBELAJARAN

Contoh 15 Menyelesaikan masalah
BAB 5 yang melibatkan sinus,
kosinus dan tangen.
Dinding
Gambar rajah di sebelah menunjukkan satu tangga yang disandarkan

pada dinding. Ia membentuk suatu segi tiga bersudut tegak PQR. Jika R
Q
tinggi QR ialah 2.5 m, hitungkan panjang tangga, PR dalam meter.

(Nyatakan jawapan betul kepada dua tempat perpuluhan).

Penyelesaian: R 50°
2.5 m P
R
50˚ Q
sin 5 0° = —QR– P
Tang ga PR

s in 5 05°0 ˚= —2P.R5–
P PR = —sinQ2–.–55—0°

PR = 3.26 m (2 t.p.)

Contoh 16 F E
A
Rajah di sebelah menunjukkan kuboid ABCDEFGH. Diberi bahawa D 4 cm
BC = 8 cm, CH = 5 cm dan tinggi HE = 4 cm. Jika segi tiga bersudut G H

Saiz setbegeankaFrGC dibentuk dalam kuboid, hitung nilai ∠FCG. B 8 cm 5 cm
C
122

Bab 5 Nisbah Trigonometri

Memahami masalah Merancang strategi

∠FCG boleh dihitung jika • FG = EH
dua daripada mana-mana sisi • Panjang CG lebih mudah dihitung berbanding panjang CF.
CG, CF atau FG diketahui. • tan ∠FCG = —CFGG–

Melaksanakan strategi Membuat kesimpulan

• FG = EH G F ∠FCG = 22.98°
Maka, atau
FG = 4 cm 5 cm 4 cm ∠FCG = 22° 59'

B 8 cm C G √89 cm C

CG = √BC 2 + BG2 tan ∠FCG = —4– √—48–9
= √82 + 52 ∠FCG = √89
CG = √89 tan–1

∠FCG = 22.98°

UJI MINDA 5.1i Q BAB 5
38º
1. Sebuah tangga lipat yang diletakkan di atas lantai membentuk
segi tiga sama kaki PQR seperti dalam rajah di sebelah. Diberi PR
bahawa T ialah titik tengah PR, ∠PQR = 38° dan panjang PR = 1.4 m. T
Hitungkan panjang PQ, betul kepada dua tempat perpuluhan. 1.4 m

2. Rajah di sebelah menunjukkan Aisyah yang sedang memerhatikan 145 m
sebatang tiang lampu. Diberi bahawa sudut dongak hujung tiang 55°
lampu dari penglihatan Aisyah ialah 55° dan jarak di antara
mata Aisyah dengan hujung tiang lampu ialah 145 meter. Hitung d
jarak mengufuk, d dalam meter. Nyatakan jawapan betul kepada
tiga angka bererti.

3. Rajah di sebelah menunjukkan kedudukan sebuah kapal dan rumah 41° h
api. Diberi bahawa sudut tunduk kapal dari rumah api ialah 41° 200 m
dan jarak mengufuk di antara rumah api dengan kapal ialah
200 m. Hitung tinggi rumah api, h dalam meter. Nyatakan jawapan
betul kepada empat angka bererti.

4. Sebuah piramid tegak PQRST mempunyai tapak segi empat P
tepat QRST. Diberi bahawa W ialah titik tengah QS dan RT. RR
Panjang QT = 8 cm, TS = 6 cm dan titik P terletak tegak di atas
titik W. Hitung

(a) panjang PT, dalam cm, jika PW = 12 cm Q ● S
(b) nilai ∠PTR
WW S6acmiz sebenar

8 cm 123

T

Cabaran Dinamis

Uji Diri L 8 cm
M
1. Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak KLM. Hitung 15 cm
(a) θ dalam darjah dan minit. (b) sin (90°– θ) (c) kos (90°– θ) C
qq q
2. Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak ABC. Diberi K
bahawa tan θ = 1—52. Hitung
A
(a) panjang AC, dalam cm
(b) nilai tan (90°– θ) 15 cm
(c) θ dalam darjah betul kepada tiga angka bererti
B

3. Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak ABC. Diberi Cq A
bahawa AB = 21 cm dan sin θ = —97 . Hitung B 21 cm

(a) panjang AC dalam cm

(b) nilai ∠BAC. Nyatakan jawapan anda dalam darjah terdekat

4. Dalam rajah di sebelah, DEF ialah segi tiga bersudut tegak dan E

BAB 5 DPF ialah garis lurus. Diberi PE = 5 cm. Hitung nilai 13 cm
(a) x dalam cm

(b) θ dalam darjah dan minit q 2x F
Mahir Diri D xP

1. Hitung nilai operasi berikut tanpa menggunakan kalkulator.

(a) 8 sin 60° – 3 tan 60° (b) (tan 30°)(2 kos 30°) + 6 sin 30°

(c) (8 kos 45°)(sin 60°) + (8 sin 45°)(kos 30°)

2. Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak PRS. q S
P y
PQR ialah garis lurus. Diberi bahawa QR = RS = 18 cm dan
tan θ = —35 . Hitung 5m 18 cm
(a) panjang PQ, dalam cm
(b) panjang PS, dalam cm, betul kepada integer terdekat Q 18 cm R
(c) nilai y
xm
3. Sebuah pintu gerbang mempunyai dua tiang mercu yang QR
dihubungkan dengan satu jambatan mengufuk dengan
jarak x meter. Jika tinggi tegak jambatan dari permukaan 60º
tanah ialah 5 m dan sudut di antara tiang PQ dengan garis P
condong PR ialah 60°, tentukan nilai x, dalam meter.

Saiz sebenar

124

Bab 5 Nisbah Trigonometri

Masteri Kendiri

1. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah kuboid PQRSTUVW. QRWV T W

dan PSTU ialah segi empat sama. Diberi bahawa PQ = 12 cm dan U S V
QR = 7 cm. Hitung 12 cm R

(a) tan ∠PQS 7 cm
Q
(b) panjang TQ, dalam cm, betul kepada empat angka bererti P

(c) nilai ∠SQT, dalam darjah dan minit

2. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah heksagon sekata PQRSTU TS
bersisi 6 cm. Hitung UR

(a) ∠PTS P 6 cm Q

(b) ∠TPS

(c) panjang TP, dalam cm, betul kepada tiga angka bererti

(d) nisbah luas ∆PTU kepada luas ∆PTS

3. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah segi empat tepat ABCD. Diberi D C BAB 5
bahawa AB = 8 cm, BC = 2 AB dan N ialah titik tengah BC. M θ

(a) Jika MD = —­ 41 AD, hitungkan panjang MN, dalam cm. Nyatakan A N
jawapan anda dalam bentuk surd B
8 cm
(b) Hitung nilai θ, dalam darjah dan minit
(c) S hahril menyatakan bahawa nisbah luas trapezium CDMN

kepada luas trapezium ABNM ialah 1 : 2. Adakah pernyataan
Shahril benar? Nyatakan alasan untuk jawapan anda.

P ROJ E K

Bahan: Kertas grid 0.5 cm × 0.5 cm, pensel, pembaris dan pensel warna.

Langkah:
1. Mulakan dengan melukis suatu

bentuk gabungan segi tiga bersudut
tegak (warna merah jambu).
2. Sambungkan setiap bucu gabungan
asal dengan segi tiga bersudut tegak
(warna hijau).
3. Teruskan corak yang didapati
pada langkah 2 sebanyak yang
mungkin.
4. Warnakan hasil kerja anda dan
pamerkan di kelas.
5. Kumpulan lain digalakkan untuk
menggunakan segi tiga bersudut
tegak yang berlainan saiz sebagai
permulaan corak.

Saiz sebenar

125

PETA KONSEP

hipotenus sisi

q bertentangan

sisi bersebelahan

Nisbah trigonometri

Nisbah sinus Nisbah kosinus Nisbah tangen

sin q = —sis—ihb—iepro—teten—ntaun—sga—n kos q = —sis—i hb—iepr—osteeb—neul—ash—an– tan q = —ssiiss—ii bb—eerr—steenb—tealn—agha—ann


Apabila saiz bagi satu sudut tirus, q bertambah
• nilai bagi tan q dan sin q bertambah
• nilai bagi kos q berkurang

BAB 5 Menentukan q Sudut khas A θ° 0° 90°
nilai sudut bagi 30° 45° 60° 30° sin q 0 1
sinus, kosinus kos q 1 0
dan tangen tan q —√13– 1 √ 3 E 2 2 tan q 0 ∞
√3

sin q —12 1 —√23– 45° √2 O 60°
√2 1 1C1 B

kos q —√23– 1 —12 G 45°
√2 1F

IMBAS KENDIRI

Pada akhir bab ini, saya dapat:

1. Mengenal pasti sisi bertentangan dan sisi bersebelahan berdasarkan suatu sudut tirus
dalam segi tiga bersudut tegak.

2. Membuat dan menentusahkan konjektur tentang hubungan antara sudut tirus dan nisbah
sisi segi tiga bersudut tegak, dan seterusnya mentakrifkan sinus, kosinus dan tangen.

3. Membuat dan menentusahkan konjektur tentang kesan perubahan saiz sudut terhadap
nilai sinus, kosinus dan tangen.

4. Menentukan nilai sinus, kosinus dan tangen suatu sudut tirus.
5. Menentukan nilai sinus, kosinus dan tangen sudut 30°, 45° dan 60° tanpa menggunakan

kalkulator.

6. Melakukan pengiraan yang melibatkan sinus, kosinus dan tangen.

Saiz seb7.enMaernyelesaikan masalah yang melibatkan sinus, kosinus dan tangen.

126

Bab 5 Nisbah Trigonometri

JELAJAH MATEMATIK

Bagi mengukur ketinggian suatu tiang, kaedah seperti berikut boleh digunakan.

Langkah 1 C

Ambil suatu kadbod dan lukis segi tiga 45°
bersudut tegak ABC seperti rajah di sebelah 30 cm
dengan AB = AC = 30 cm.

45° A
B 30 cm

Langkah 2 Tiang

∠ABC = ∠BCA = 45°. Potong segi tiga dan Kadbod C
aturkan dengan sebatang rod kayu relatif ABC A Kayu
kepada tiang yang akan diukur.

Mata B
pemerhati

BAB 5

Langkah 3 Tiang
y
Pastikan aras mata dari sisi sudut ABC selaras
dengan puncak tiang seperti di sebelah. Kayu
Gunakan kayu tersebut untuk memastikan
kedudukan segi tiga ABC adalah tegak.

Mata
pemerhati x Kadbod

ABC

z

Langkah 4

Jika x mewakili ketinggian aras mata dari permukaan tanah, y mewakili ketinggian tiang
serta z mewakili jarak di antara pemerhati dengan tiang maka,

tan 45° = —y –z—x
y = z tan 45° + x

Tinggi tiang boleh diperoleh dengan mudah tanpa sebarang keperluan untuk mengukur Stiaanizg sebenar
itu sendiri.

127

BAB Sudut dan Tangen
bagi Bulatan
6

Apakah yang akan anda pelajari?

6.1 S udut pada Lilitan dan Sudut Pusat
yang Dicangkum oleh Suatu Lengkok

6.2 Sisi Empat Kitaran

6.3 Tangen kepada Bulatan

6.4 Sudut dan Tangen bagi Bulatan

Kenapa Belajar Bab Ini?
• B ulatan merupakan suatu bentuk yang unik dan

mempunyai ciri-ciri yang istimewa. Keunikan
bentuk bulat membolehkan bulatan digunakan
dalam pelbagai bidang.
• Konsep sudut dan tangen bagi bulatan digunakan
dalam bidang perindustrian, pembinaan jalan
raya, lukisan, astronomi, sukan dan sebagainya.

Acara lontar peluru merupakan satu acara olahraga.
Kawasan melontar berbentuk bulatan dengan
diameter 2.135 m. Bulatan tersebut dibahagi kepada
dua bahagian atau dua semi bulatan dengan garisan
putih setebal 50 mm. Dua garis lurus dilukis dari pusat
bulatan yang bersudut 40° di antara satu sama lain
untuk menentukan kawasan lontaran.
Muhammad Ziyad Zolkefli ialah seorang atlet
paralimpik negara. Beliau meraih pingat emas
acara lontar peluru T20 pada Kejohanan Olahraga
Antarabangsa Fazza ke-10, Grand Prix (GP) olahraga

Saiz sePbaeranDaurnia di Dubai, Emiriah Arab Bersatu.

Pernahkah anda menyertai acara melontar peluru?

128

Eksplorasi Zaman

Thales dan Phythagoras merupakan antara ahli
matematik Greek yang terkenal. Teorem Thales
menyatakan bahawa apabila ketiga-tiga bucu suatu
segi tiga menyentuh lilitan bulatan dan satu daripada
sisi segi tiga itu ialah diameter, maka sudut pada lilitan
yang dicangkumi oleh diameter ialah 90˚. Teori ini
berasas daripada pengaruh Mesir Purba, India dan
Mesopotamia. Bulatan telah dikaji oleh ahli matematik
purba kerana bentuk ini dianggap sebagai suatu bentuk
yang lengkap.

http://yakin-pelajar.com/Eksplorasi%20Zaman/Bab%206/

GERBANG K A T A

25 m 34.92° • diameter • diameter
50 mm 2.135 m • lengkok • arc
• lilitan • circumference
75 cm • paksi simetri • axis of symmetry
• perentas • chord
• semi bulatan • semicircle
• simetri • symmetry
• tangen • tangent
• tembereng • alternate segments

selang-seli • point of tangenScay iz sebenar
• titik ketangenan

129

6.1 Sudut Pada Lilitan Dan Sudut Pusat Yang
Dicangkum Oleh Suatu Lengkok

Apakah sudut-sudut pada lilitan suatu bulatan? STANDARD
PEMBELAJARAN
Bulatan merupakan suatu bentuk dua dimensi yang unik. Hal ini
kerana bilangan sisi bulatan adalah tidak terhingga. Keistimewaan Membuat dan
dan keunikan bentuk bulatan ini membolehkan objek yang menentusahkan konjektur
berbentuk bulat seperti roda bergerak dengan mudah. Adakah tentang hubungan antara
anda pernah lihat roda kenderaan dalam bentuk lain? sudut-sudut pada lilitan
dengan sudut pusat
yang dicangkum oleh
lengkok tertentu, dan
seterusnya menggunakan
hubungan tersebut untuk
menentukan nilai sudut
dalam bulatan.

Sudut-sudut yang terbentuk dalam bulatan juga mempunyai SUDUT DISKUSI
ciri-ciri tersendiri.
Cuba bandingkan roda
di bawah. Bincang
dalam kelas, roda
basikal yang manakah
akan membolehkan
anda sampai ke
destinasi anda dengan
lebih cepat?

BAB 6 Q
JejariR Perentas
Rajah 1 menunjukkan dua perentas, PQ Perentas IMBAS KEMBALI
dan QR yang bertemu di titik Q pada
lilitan bulatan.

∠PQR ialah sudut pada lilitan bulatan P PeDrieanmteatser
yang dicangkum oleh lengkok PR.

Lengkok PR Pusat
Rajah 1 Bulatan
Lilitan

Dalam Rajah 2, Q Lengkok major
R Sektor
(a) ∠PQS dan ∠PRS ialah sudut-sudut S
pada lilitan bulatan yang dicangkum O major
oleh lengkok major PS. Sektor
minor
(b) ∠QPR dan ∠QSR ialah sudut-sudut P
Lengkok minor
Saiz sebenoplaaedhra lelinligtaknokbumlaintaonr yang dicangkum
RQ.
Rajah 2

130

Bab 6 Sudut dan Tangen bagi Bulatan

Adakah sudut-sudut pada lilitan bulatan yang dicangkum oleh lengkok yang sama adalah
sama besar?

Cetusan Minda 1 Berkumpulan

Tujuan: Menentusahkan sudut-sudut pada lilitan yang dicangkum oleh lengkok yang sama
adalah sama besar.

Bahan: Kertas A4, jangka lukis, protraktor, pembaris, pensel

Langkah:

1. Lukis satu bulatan yang berjejari 5 cm. Lukis satu perentas PQ (Rajah 1).

2. Lukis perentas QR yang membentuk 30° pada titik Q (Rajah 2). Kumpulan lain digalakkan
untuk membentuk sudut tirus di antara 20° hingga 40°.

3. Tandakan titik S pada lilitan dan lukis perentas PS dan perentas RS (Rajah 3).

4. Ukur ∠PSR dan catatkan pada jadual.

5. Ulangi langkah 3 dengan titik T dan perentas PT dan perentas RT (Rajah 4).

6. Ukur ∠PTR dan catatkan pada jadual. Q 30° S QS
T
QQ

O 5 cm 30°

P P P P BAB 6
R R
Rajah 1 R
Rajah 2 Rajah 3 Rajah 4
∠PQR
30° ∠PSR ∠PTR

7. Anda boleh ulangi langkah 3 dengan titik-titik lain pada lengkok major PR. Ukur sudut
yang terbentuk dan catatkan pada jadual.

8. Tampal hasil dapatan kumpulan anda di sudut matematik. Nyatakan pendapat anda
berkaitan hasil dapatan kumpulan lain.

Perbincangan:
Apakah yang boleh anda nyatakan tentang sudut-sudut pada lilitan bulatan yang dicangkum
oleh lengkok PR?

Hasil daripada Cetusan Minda 1, didapati bahawa;
Sudut-sudut yang dicangkum oleh lengkok PR, iaitu ∠PQR, ∠PSR dan ∠PTR adalah sama.

Saiz sebenar

131

Secara generalisasi, Sudut-sudut pada suatu lilitan bulatan yang dicangkum
oleh lengkok yang sama adalah sama besar.
S ∠PRQ = ∠PSQ = ∠PTQ
R

T

PQ

Anda juga boleh menggunakan perisian dinamik untuk menentusahkan ciri-ciri sudut pada lilitan
bulatan yang dicangkum oleh lengkok yang sama.

Cetusan Minda 2 Berpasangan

Tujuan: Menentusahkan sudut-sudut pada lilitan yang dicangkum oleh lengkok yang sama
Cetusa n Minda 2ad(Balearhpasasamnagabne)sar.

TujuanB:aMhaenn:ePnteursisaihaknadninsuamduitk-sudut pada lilitan yang dicangkum oleh lengkok yang sama adalah
sama besar.

Langkah:
Alatan : Sebuah komputer dengan perisian Geometer’s Sketchpad (GSP)

1. Mulakan dengan New Sketch dan klik pada Compass Tool untuk melukis satu bulatan
Langkah : (Rajah 1).

1. 2.(M RKualjlaaikkhap1na).ddeanPgoainntNTeowolSdkeatnchtadnadnakkalniktipgaadtaitCiko(mRpaajassh T2o).ol untuk melukis satu bulatan

BAB 6 2. 3. KKllKiikklippkaapddaaadTPaeoTxientxtTtToToooololdl dadnaannlatlbaanebldekalakknaanntitgtiiaggaatitttiiitktiikkyya(naRnggadjadithiatna2nd)d.aappaaddaalalannggkkaahh22s(eRpaerjatih(3R)a. jah 3).
3.

B

A

C

RajaRh a1j ah 1 RaRjahaj2a h 2 RRajahja3h 3

Rajah 1 Rajah 1 Rajah 1

4. 4.K lKiklipkadpaadSatarSitgrhatiegdhgtedTgoeolTodoanl lduaknislduukaisgadruias lguarurissylaunrgusmyananygammbuenygakmanbutintigkkaAndtaintiktitAik

B sdearntatittiitkikBBsedrtaanttiittiikkBCd(aRnatjiathik4C). (Rajah 4).

5. Klik pada Selection Arrow Tool dan klik pada titik – titik A, B dan C (Rajah 5).

6. 5.K lKikliMk epaasduarSeedleacntipoinlihArArnogwleT.oKolikdadnanklnikilapiasduadtuittikA-BtitCikaAk,anB ddiapnapCar(kRaanja(hR5aj)a. h 6).

Saiz seb6e. naKrlik Measure dan pilih Angle. Klik dan nilai ∠ABC akan dipaparkan (Rajah 6).

132

44.. KKBKKKBKKBKllllllsllsiiisiiiiiekkkeekkkkkrrrppMtppMtpptaaaaaaaaaeddetddddttiaiiaaataaaattsisiikSSukkSSSuSterteteraaealBelBlBereerrdicdicdicdgdggtatataiahaiinhhonnooRnntttRneRRnpneepatattdaaididjijAiijjAtAlagttalaaggiihiiirhhkhrherkkheer1rr11oTCA1ooTCTCAwowwnoon((o(gooRgTRRTTllllloaeoaeoadddj.oj.jooaaaaaaKlKnllhnnhhddldll4illa44iuaakuuk)n))nnk.kk..ddikiikksassalllnindiiddkkkunuunpapipaailalaaagaggdddiaiaaaaarsrsriuitiuRtstsisRidiRRdtttalialuliaiauukjjuukkjjataaatrhrrhh–uhA––uuA111ssst2BttBiiyiytyttCiCaiiaakkknnnaagAgAgAkk,a,m,ammBnBBnaaaBdnddndndaiyaiyayapbpnannaaaam6mmpCpCC ababbS(ru(r(uuRkuRkRnnnadaagaaggnunjjjkakktaa(a(haadhhRRnnnaR5a55anRtRRt)tj)a)ijaii.aaaTt.a.jtjtjjiahaiiaaahkhkkhhnh61611gA)3AA)e..ndddbaaaannngttitiiiBtttiiiukkklatan

554...
665...

6. Klik Measure dan pilih Angle. Klik dan nilai sudut ABC akan dipaparkan (Rajah 6).

BB
B

A A A
C C C

RRRaajaajjhaah4h 44 RaRRjaaahjja5ah h 55 RRaajjaaRhha6j6ah 6

77.. UU7lla.a nnggUAl,llaaaDnnngggdkkiaaanlRhhaRRRCna2a2aajjgjjaaaah(hhkhhhRi1ia11nna4hggjagg2haah744i)nu.ugnngttuaukk4ttaaunnnddtauakttiitttiiakknRDdDRRRaaaaadjjdjjataaaahaihhhntn1i11k5llaaDnnggkdkaaahnh langkah 5 uRRnRaatajjujaaahkhh11m6 emilih titik-titik
55 uunnttuukk mmeemmRiilalijiahhh t1tiittiikk--ttiittiikk AA,, DD ddaann

887... CUdnAdUCnAUUCdAai98aialnllnllnl(na(a(..nnaaaadR ddRRninnnisassaaagsaaguggsAU∠uujbujjbubdalddaalllodnlaodAouhaaaauhuhnludnlunnltnDette7egta77gtggAhgAAhh)Ckp))kkkpi...DbcaaDDcacaaalauhoduhuhhdaCCCdbalbnba6e626aaagaala.hall..idkaihdddNlddNNlihaaieiaaceetntilhinaillunalnasllaagangaanbhggh6hgiiaimaab.abssnssssnnuauaNuaauu4dtlm.dtlmtmddiaieiaituulttutuanitaaaiiantkat.tkkg.i.ntnAAAaul.∠ll.aanaDkDDiiiAnnnCtCCtaDiyyyntaaaaiCaadkkknknnaaagaaggnlnntkaidddtadiddiiniinliklliiepeepptdDatytaaaaaipappkpkkdanaakakkragrrapkaakknnannaaadrlnnnpapkpilan(aaa((eRdgRRnddtaakaaaaa(kjaljjRllakeaaheehnahhann5jngg8ga88kuk)kh)).op.no.oPk8aPtkPkud)eeem.mmkarrrhPhhaamaalajeajjeotototreiniihrkmrrkkgaaAaaAAiktnnnliCoCiCk,,,hkannnuuuntiiinilnnlmltaaatnittuikuiuiaikls-kjkssautouuiimmmdrtddi∠ueukueeAtnttnnAACAeAeAeBn,nnBBBtDCttuuuuCCCnkkkddtaaauaannnnkn
998...
9.

nilai smuednuetnptaudkaanlilnitialani bsudlauttanp.ada lilitan bulatan.

B B
D D

A A BAB 6

Perbincangan: RRaajjaCahh 77 RRaajjaahhC 88
RaRjRRaaahajjjaaa7hhh 117 RajRaRRhaaajj8jaaahhh118

Rajah 1 Rajah 1

11

Apakah yang boleh dirumuskan daripada 1pemerhatian anda dalam aktiviti di atas?

Hasil daripada Cetusan Minda 2, didapati bahawa;
Sudut-sudut pada lilitan bulatan yang dicangkum oleh lengkok yang sama adalah sama besar.

Contoh 1 A BULETIN
Berdasarkan rajah di sebelah, hitung nilai y.
40º B y = ∠ABE = 40°.
yC
Penyelesaian: ∠ADE ≠ 40° kerana
y = ∠ABE = 40° 30º D
E ∠ADE bukan sudut

pada lilitan bulatan yang

dicangkum oleh leSnagkiozksebenar
AE.

133

UJI MINDA 6.1a (b) SUDUT DISKUSI

1. Hitung nilai z. z Adakah

(a) ∠ADB = ∠ACB?

35º z Bincangkan.
C
(d) 25º
(c) ●D
70º
50º 80º z A●
z Q ●

2. Dalam rajah di sebelah perentas QW = RW. P 40º B
Diberi bahawa ∠QWR = 40° dan ∠WRT = 35°. W C
Tentukan nilai
●DD
(a) ∠QSR (b) ∠WQT ●

(c) ∠WRQ (d) ∠QRT A

●

B

R

35º

S
T

BAB 6 D
C
3. Dalam rajah di sebelah, ∠BAF = 110°, ∠ACF = 40°, B 40º E
∠CFD = 10° dan ∠BFC = 20°. Tentukan nilai
110º 10º
(a) ∠ABF (b) ∠BFA A F
(c) ∠CAD (d) ∠DAF
20º

4. Dalam rajah di sebelah, ∠QRP = 38°, ∠QUR = 118° 38º T
dan ∠SPT = 13°. Tentukan nilai R

(a) ∠RPS (b) ∠PTQ Q 118º
US

P
Saiz sebenar 13º

134

Bab 6 Sudut dan Tangen bagi Bulatan

Adakah sudut-sudut pada lilitan bulatan yang dicangkum oleh lengkok yang sama panjang
adalah sama besar dan adakah sudut-sudut pada lilitan bulatan berkadaran dengan
panjang lengkok yang dicangkum?

Cetusan Minda 3 Berkumpulan

Tujuan: 1. Menentusahkan sudut-sudut pada lilitan bulatan yang dicangkum oleh lengkok
sama panjang adalah sama besar.

2. Sudut-sudut pada lilitan bulatan adalah berkadaran dengan panjang lengkok
yang dicangkum.

Bahan: Jangka lukis, protraktor, pensel, pembaris dan kertas A4.

Langkah:

1. Lukis satu bulatan dengan jejari 5 cm. Tanpa mengubah bukaan jangka lukis, bahagikan
lilitan bulatan kepada enam bahagian (Rajah 1 – Rajah 3).

2. Lukiskan dua sudut pada lilitan yang dicangkum oleh dua bahagian berlainan yang sama
panjang dan labelkan (Rajah 4).

BP

Rajah 1 Rajah 2 Rajah 3 AQ
C

RT
Rajah 4

3. Ukur ∠BCA dan ∠PRQ. Catatkan dalam jadual. B P BAB 6
R Q
4. Ulangi langkah 1. Lukiskan perentas dengan panjang A
lengkok yang berlainan (Rajah 5). Ukur ∠RPT dan T
∠BQR. Catatkan dalam jadual.

Lengkok Lengkok
BA PQ RT BR = 2RT
∠BCA ∠PRQ ∠RPT ∠BQR

Rajah 5

Perbincangan:

1. Apakah kesimpulan anda berkaitan sudut-sudut pada lilitan bulatan yang dicangkum oleh
lengkok yang sama panjang?

2. Apakah kesimpulan anda berkaitan kesan perubahan panjang lengkok kepada sudut-sudut

yang dicangkum pada lilitan bulatan? Saiz sebenar

135

Daripada Cetusan Minda 3, didapati bahawa;

(a) ∠BCA = ∠PRQ [Panjang lengkok AB = Panjang lengkok PQ].
(b) ∠BQR = 2 × ∠RPT [Panjang lengkok BR = 2 × Panjang lengkok RT].

Secara generalisasi,

PQ
T

RS U Sudut-sudut pada lilitan bulatan yang dicangkum oleh
lengkok yang sama panjang adalah sama saiz. Jika panjang
P 3y cm lengkok PQ = panjang lengkok SU maka, ∠PRQ = ∠STU.
3xo3x
R Saiz sudut pada lilitan bulatan yang dicangkum oleh suatu
T lengkok adalah berkadaran dengan panjang lengkok
xxo tersebut.

Q

S U
y cm

BAB 6 Contoh 2 P
Rajah di sebelah menunjukkan bulatan dengan panjang lengkok Q
PR = QS. Tentukan nilai x. Berikan alasan untuk jawapan anda.
40o R
Penyelesaian:
x = 40° kerana ∠ x dan ∠40° berada pada lilitan bulatan dan x
panjang lengkok PR = QS. S

Contoh 3 25o x
Berdasarkan rajah di sebelah, tentukan nilai x.
Penyelesaian: R
—25x–° = –62––ccmm––
P 6 cm
Saiz sebxx en==a 37r5(2°5°) 2 cm Q

136

Bab 6 Sudut dan Tangen bagi Bulatan

Contoh 4 PQ

Diberi panjang lengkok minor PS ialah dua kali panjang lengkok R
QR. Tentukan nilai x. 48° S

Penyelesaian: Jumlah sudut pedalaman suatu x
∠PTS = 180° – 2 (48°) segi tiga ialah 180°. T

∠PTS = 84° KUI Z

Mak a, x = –8–24–° Q R = –P2–S– P
x = 42° Q x 77°
R

S

Jika panjang lengkok

RS = —7 QR, tentukan
2
UJI MINDA 6.1b n ilai x.

1. Berdasarkan rajah-rajah di bawah, hitung nilai x.

(a) (b) (c) (d)

4 cm 4 cm 3.6 cm 28° x
60° 25°

x x 25° 5.2 cm 56°
40° 8 cm
4 cm x

2. Rajah di sebelah menunjukkan suatu bulatan. Diberi Q BAB 6
bahawa panjang lengkok RS = 2QR, ∠QPR = 35° dan R
∠PSQ = 45°. Tentukan nilai P 35°

(a) ∠SPR 45°
S
(b) ∠SRP

3. Dalam rajah di sebelah lengkok QPT = 3RS. Diberi Q
bahawa ∠QRT = 66°, ∠QST = 26° dan ∠PTS = 100°.
Tentukan nilai P 66° R
26°
(a) ∠RQS
U
(b) ∠TUS 100° S
T
(c) ∠TPS
Saiz sebenar

137

Apakah hubungan antara sudut pada pusat bulatan dengan sudut pada lilitan yang
dicangkum oleh suatu lengkok?

Cetusan Minda 4 Berpasangan

Tujuan: Menentukan hubungan antara sudut pada pusat bulatan dengan sudut pada lilitan
bulatan yang dicangkum oleh suatu lengkok.

Bahan: Perisian dinamik

Langkah:
1. Mulakan dengan New Sketch dan klik pada Compass Tool untuk melukis suatu bulatan.

2. Gunakan Point Tool untuk meletakkan tiga titik di sekitar lilitannya (Rajah 1).

3. Gunakan Text Tool untuk melabelkan semua titik pada bulatan tersebut dengan A, B, C
dan di pusat sebagai D (Rajah 2).

4. Gunakan Straightedge Tool untuk membina garis dari satu titik ke titik lain (Rajah 3).

Rajah 1 Rajah 2 Rajah 3
Rajah 5
BAB 6 5. Gunakan Selection Arrow Tool
untuk memilih titik A, B, dan C.

6. Klik pada menu Measure dan
pilih Angle. Nilai ∠ABC akan
dipaparkan.

7. Ulangi langkah 5 dan 6 untuk Rajah 4
mendapatkan ∠ADC. Nilai ∠ADC
akan dipaparkan (Rajah 4).

8. Apakah hubungan antara ∠ABC dengan ∠ADC?

9. Klik pada titik B dan gerakkannya di sepanjang lilitan bulatan itu seperti pada Rajah 5.
Adakah nilai ∠ABC masih sama seperti yang diperoleh pada langkah 6?

Perbincangan:
Apakah kesimpulan anda berkaitan hubungan antara sudut pada pusat bulatan dengan sudut

Saiz sebpeandaalrilitan bulatan yang dicangkum oleh lengkok yang sama?

138

Bab 6 Sudut dan Tangen bagi Bulatan

Daripada Cetusan Minda 4, didapati bahawa;

(a) ∠ADC = 2 × ∠ ABC
(b) Nilai ∠ABC tetap walaupun titik B digerakkan sepanjang lilitan bulatan.

Secara generalisasi,

Q Q O QP Q
x x x xR
O O 2x O
2x 2x 2x
PR
P R PR

Saiz sudut pada pusat bulatan yang dicangkum oleh suatu lengkok yang sama ialah dua
kali ganda saiz sudut pada lilitan bulatan.

Contoh 5

Tentukan nilai x dan nilai y bagi setiap yang berikut.
(a) (b) (c)

x 35° x x
O O O●
● y ● 140° BAB 6
80°
y y

Penyelesaian:

( a) x = —21 (80°) (b) yx == 235(3° 5°) (c) xx == 232600°° – 140°
x = 40° y = 70°
y = 40° y = —1 (220°)
2
y = 110°

UJI MINDA 6.1c x

1. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O. yO
Tentukan nilai z

(a) x 40º Saiz sebenar
(b) y
(c) z

139

2. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O. P

Diberi bahawa panjang lengkok PQ = QR dan sudut major y

POQ = 310°. Hitung nilai Qx 310º
(a) x O
(b) y
(c) z z

RS

3. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O. y
Hitung nilai O 250º
x
(a) x
z
(b) y

(c) z

Q

4. Rajah di sebelah menunjukkan bulatan berpusat di O. Diberi R
bahawa ∠POR = 112° dan ∠PUT = 88°. Tentukan nilai
P 112º
(a) ∠PQR 88º O
(b) ∠UST
(c) ∠RTS U

T
S

BAB 6 Adakah sudut-sudut pada pusat bulatan berkadaran dengan panjang lengkok yang
dicangkum?

Anda telah pelajari bahawa;

1. Sudut-sudut pada lilitan bulatan yang dicangkum oleh lengkok yang sama panjang adalah
sama saiz.

2. Saiz sudut pada lilitan bulatan yang dicangkum oleh suatu lengkok adalah berkadaran
dengan panjang lengkok tersebut.

Kedua-dua konsep di atas juga boleh diaplikasi untuk sudut pada pusat bulatan. Secara generalisasi,

S 2y cm

2x Bagi sudut-sudut pada pusat bulatan yang dicangkum oleh suatu
lengkok;
O x R
x (a) saiz sudut adalah sama jika panjang lengkok sama.

Saiz sebenaPr Q (b) perubahan saiz sudut adalah berkadaran dengan perubahan
panjang lengkok.

y cm

140