Mon club de math 3ème année secondaire

CHAPITRE 20. TANGENTE DE LA SOMME DE 2 ANGLES

20.2 Solution

• Dans le triangle rectangle ADF , on a :
DAF = 90◦ − (α + β)

=⇒ DF A = (α + β)
AD

=⇒ tan (α + β) =
DF

• Le triangle ABE est rectangle en B, alors :

– tan (α) = BE = BE

AB

– AE2 = AB2 + BE2 = 1 + tan2 (α)

=⇒ AE2 = 1
cos2 (α)

=⇒ AE = 1 (AE > 0)

cos (α)

• BEC = BEA + AEF + F EC
=⇒ 180◦ = BEA + 90◦ + F EC
=⇒ BEA + F EC = 90◦
d’autre part, dans le triangle rectangle ABE, on a : BEA + α = 90◦
=⇒ F EC = α

alors son compl´ementaire BEA dans le triangle rectangle ABE est ´egal `a son

compl´ementaire CF E dans le triangle rectangle ECF

R´esum´e :

 AD
tan (α + β) = (1)



 DF



 BE = tan (α) (2)





 AE = 1 (3)
=⇒

 cos (α)




 F EC = α (4)





 BEA = CF E = 90◦ − α (5)



H. Abderrahim page 100 E´t´e 2017

CHAPITRE 20. TANGENTE DE LA SOMME DE 2 ANGLES

• Le triangle AEF est rectangle en E, alors :

F E tan (β)
tan (β) = =⇒ F E = AE. tan (β) =
AE cos (α)

• Le triangle CEF est rectangle en C, alors :

CE tan (β)
– cos (α) = =⇒ CE = F E cos (α) = . cos (α) = tan (β)
F E cos (α)

F C tan (β)
– sin (α) = =⇒ F C = F E sin (α) = . sin (α) = tan (β) . tan (α)
F E cos (α)

• – DF = 1 − CF = 1 − tan (β) . tan (α) (6)

– AD = BC = BE + EC = tan (α) + tan (β) (7)

Conclusion : D’apr`es les r´esultats (1), (6) et (7) ci-dessus, on d´eduit que :

tan (α + β) = AD tan (α) + tan (β)
=
DF 1 − tan (β) . tan (α)

H. Abderrahim page 101 E´t´e 2017

Chapitre 21
Segments d´ecoup´es par des angles
´egaux

21.1 E´nonc´es

Dans la figure ci-dessus :
• ABE est un triangle rectangle en B
• BAC = CAD = DAE
• BC = 3, CD = 4 et DE = x
1. Calculer la distance DE.
2. Proposer une m´ethode pour faire une figure ou` les donn´ees seront respect´ees.

21.2 Phase exp´erimentale

http://mongeogebra.com/ggbg/2018/07/21/phaseexperi/

102

CHAPITRE 21. SEGMENTS DE´COUPE´S PAR DES ANGLES
E´ GAUX

21.3 Solution

21.3.1 Question 1

M´ethode 1 (Th´eor`emes de la bissectrice et de Pythagore)

• Dans le triangle rectangle ABD, [AC) est la bissectrice de BAD

 AD2 = 72 + AB2


=⇒ AD CD
=
AB CB

 AD2 = 72 + AB2


=⇒ AD 4
=
AB 3

 16 AB2 = 72 + AB2



=⇒ 9
4
AD = .AB



3

√
=⇒ AB = 3.√7

AD = 4. 7

• Le triangle ABC est rectangle en B

=⇒ AC2 = BC2 + BA2 = 9 × 7 + 9 = 72
√

=⇒ AC = 6. 2

• Dans le triangle ACE, [AD) est la bissectrice de CAE
AE DE

=⇒ =
AC D√C
3x 2

=⇒ AE =
2

• Le triangle ABE est rectangle en B

=⇒ AE2 = BE2 + BA2 = 63 + (7 + x)2

=⇒ 9x2 = x2 + 14x + 112
2

=⇒ x2 − 4x − 32 = 0 (x > 0)

=⇒ (x−2)2−36 = 0 (M´ethode qui ne fait pas appel aux ´equations du 2nd degr´e)

 x−2 = 6



=⇒ ou

 x−2 = −6


x = 8



=⇒ ou

 x = −4 < 0 : a` rejeter


=⇒ x = 8

H. Abderrahim page 103 E´t´e 2017

CHAPITRE 21. SEGMENTS DE´COUPE´S PAR DES ANGLES
E´ GAUX

M´ethode 2 (Trigonom´etrie : rapports dans un triangle rectangle et for-
mules d’addition)

Dans toute la suite, α d´esignera l’un quelconque des angles non nuls et non droits
BAC, CAD, DAE

• – ABC est un triangle rectangle en B
3

=⇒ tan(α) =
AB

– ABD est un triangle rectangle en B

2× 3
1−
=⇒ tan(2α) = 7 = AB 2. tan(α)
AB 9 tan(2α) =

1 − tan(α)2

AB2

7 6.AB
=⇒ =

AB AB2 − 9

=⇒ AB2 = 63
√

=⇒ AB = 3. 7

• – ABE est un triangle rectangle en B

=⇒ sin(3α) = 7+x = sin(2α) × cos(α) + cos(2α) × sin(α)

AE √

– D’autre part, AE = (7 + x)2 + 63 = x2 + 14x + 112

=⇒ √ 7+x = sin(2α) × cos(α) + cos(2α) × sin(α) (1)

x2 + 14x + 112

• – ABC est un triangle rectangle en B

 √√
AC = AB2 +√BC2 =√6 2



 AB 3 7 14



=⇒  cos(α) = =√= (2)
AC 6 2 √4
 BC 3 2
=√= 4

AC 6 2
 sin(α) = (3)




– ABD est un triangle rectangle en B

 √√
AD = AB2 +√BD2 = 4 7



 AB 3 7 3



=⇒  cos(2α) = =√= (4)
AD 4 7 4√
 BD 7 7
=√= 4

AD 4 7
 sin(2α) = (5)





– D’apr`es les r´esultats : (2) , (3) , (4) et (5), l’´equation(1) est ´equivalente `a :

√√ √
7+x 7 14 3 2
√ =× +×
x2 + 14x + 112 4 4 44

H. Abderrahim page 104 E´t´e 2017

CHAPITRE 21. SEGMENTS DE´COUPE´S PAR DES ANGLES
E´ GAUX

√
7+x 52
√=
x2 + 14x + 112 8

(7 + x)2 = 25

x2 + 14x + 112 32

x2 + 14x − 176 = 0

∆ = 49 + 176 = 225 = 152

 x = −7 + 15 = 8




=⇒ ou

 x = −7 − 8 = 15 < 0 : a` rejeter


=⇒ x = 8

21.3.2 Question 2

L’id´ee consiste a` partir d’une figure d’´etude qui nous permettra de d´eterminer la
distance √AB : chose qui ´etait d´eja` faite `a la question 1 et qui nous a conduit a` avoir
AB = 3 7
Pour l’ex´ecution, on adoptera l’algorithme ci-dessous :

1. E´tape 1 :
on construit un triangle EF G rectangle en E et tel que :

• F G = 5.5, H ∈ [F G] , F H = 2

• une demi-droite [Hy) perpendiculaire a` [F G] en H

• Le cercle de diam`etre [F G] coupe ∆ en E √
√√
=⇒ EH = F H × GH = 2 × 3.5 = 7

• on pose a = EH

2. E´tape 2 : On construit successivement :
√

• un triangle ABC rectangle en B et tel que BC = 3 AB = 3a = 3 7

• La sym´etrique g de [AB) par rapport a` (AC)coupe [BC) en D
(vous pouvez v´erifier que CD = 4)

• La sym´etrique g de g par rapport a` (AD)coupe [BC) en E
(vous pouvez v´erifier que DE = 8)

3. Ex´ecution : page 105 E´t´e 2017

H. Abderrahim

CHAPITRE 21. SEGMENTS DE´COUPE´S PAR DES ANGLES
E´ GAUX

H. Abderrahim page 106 E´t´e 2017

Chapitre 22
Rapport des rayons de deux
cercles inscrits

22.1 E´nonc´es

Dans la figure ci-dessus :
• ABCD est un carr´e de cˆot´e 1
• ABE et CF G sont deux triangles ´equilat´eraux
• C1 est le le cercle inscrit dans le triangle AGJ . On d´esignera par R1 son rayon et

par O1 son centre
• C2 est le le cercle inscrit dans le triangle BGI. On d´esignera par R2 son rayon et

par O2 son centre
D´eterminer le rapport R1

R2

107

CHAPITRE 22. RAPPORT DES RAYONS DE DEUX
CERCLES INSCRITS

22.2 Phase exp´erimentale

http://mongeogebra.com/ggbg/2018/07/22/rapportrayons/

22.3 Solution

22.3.1 Rappel

• R1 = S1 ou` S1 et p1 sont respectivement l’aire et le demi-p´erim`etre du triangle
p1
AGJ

• R2 = S2 ou` S2 et p2 sont respectivement l’aire et le demi-p´erim`etre du triangle
p2
BGI

22.3.2 Solution

E´tape 1

• Dans les triangles AGJ et F J E on a :
J AG = J F E =⇒ les triangles AGJ et F J E sont semblables (1)
AJ G = F J E

• Dans les triangles BIG et CIE on a :
IBG = ICE =⇒ les triangles BIG et CIE sont semblables (2)
BIG = CIE

H. Abderrahim page 108 E´t´e 2017

CHAPITRE 22. RAPPORT DES RAYONS DE DEUX
CERCLES INSCRITS

• On a :

– F EC = F EJ + J EI + IEC = 180◦
=⇒ F EJ + 60◦ + IEC = 180◦
=⇒ F EJ + IEC = 120◦ (a)

– Dans le triangle EIC :
IEC + CIE + ICE = 180◦
=⇒ IEC + CIE + 60◦ = 180◦
=⇒ IEC + CIE = 120◦ (b)

– D’apr`es les r´esultats (a) et (b), on d´eduit : F EJ + IEC = IEC + CIE
=⇒ F EJ = CIE

Ainsi, dans les triangles F J E et CEI on a :

EF J = ICE =⇒ les triangles F J E et CEI sont semblables (3)
F JE = CEI

Conclusion :D’apr`es les r´esultats (1), (2) et (3), on d´eduit que les deux triangles

F J E et BGI sont semblables.A et B sont homologues, J et G sont homologues,

G et I sont homologues.

AJ AJ AJ
=⇒ = = = k k ´etant le rapport de la similitude

BG BG BG
Il en d´ecoule que :

S1

R1 = p1 = S1 × p2 = k2S2 × p2 k2 =k
R2 S2 S2 × p1 S2 × k.p2 =

k

p2

On retient alors qu’il suffit de d´eterminer la valeur de l’un des quotients :

R1 = AJ = AJ = AJ = k
R2 BG BG BG

et c’est l’objet de la suite de notre d´emonstration

E´tape 2

• Dans les deux triangles rectangles CBG et CDF on a :

CB = CD  (b)
CG = CF



=⇒ GCB = DCF

BG = DF (D’apr`es Pythagore) 


• on a : DCB = 90◦ = DCF + F CG + GCB = 2.DCF + 60◦
=⇒ GCB = DCF = 15◦
=⇒ IGB = CGB = 75◦
=⇒ GIB = 180◦ − (CGB + GBI = 180◦ − (75◦ + 60◦) = 45◦

H. Abderrahim page 109 E´t´e 2017

CHAPITRE 22. RAPPORT DES RAYONS DE DEUX
CERCLES INSCRITS

E´tape 3

• Dans le triangle rectangle BCG, on a : C = 15◦

et tan(15) = BG =⇒ BG = BC. tan(15) = tan(15) (BC = 1)

BC 1

=⇒ BG = sin(30) = 2√ √ sin(2x)
= 2− 3 tan(x) =
1 + cos(30) 2 + 3
1 + cos(2x)

2√ √√
=⇒ AG = BC − BG = 1 − (2 − 3) = 1 − 2 + 3 = 3 − 1

• Dans le triangle AGJ et d’apr`es la loi des sinus, on a : AG AJ
=
√ sin(75) sin(45)
2√
22
=⇒ AJ = AG× √ 2 √ = AG× √ √ (sin(75) = sin(30 + 45))
6+ 2 6+ 2

√4 √ √
2 2 6− 2
√ √2
=⇒ AJ = AG × = AG × 3 − 1 = 3 − 1 =
√4
4−2 3
√ √
AJ 4 − 2 3 2 − 3
=⇒ = √ = 2 √ = 2
BG 2 − 3 2− 3

Conclusion : R1 = AJ = 2
R2 BG

H. Abderrahim page 110 E´t´e 2017