L'incontournable en devoirs

Premier trimestre

Devoirs de contrôle

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Modèle 1

Exercice 1

1°) Résoudre dans IR : a) 3x² - 15x = - x² + 25 b) 3x² - 15x ≤ - x² + 25

2°) Un terrain rectangulaire de longueur 80m est partagé parallèlement à sa largeur

en deux lots dont l’un est carré et l’autre est rectangulaire non carré.

Déterminer la mesure de sa largeur sachant que la mesure de l’aire de la parcelle

carrée est le tiers de celle de la parcelle rectangulaire ?

Exercice 2

A) 1) Utiliser la figure 1 pour déterminer:

( )a) l’abscisse de A selon le repère O,i .
( )b) l’abscisse de B selon le repère O, j .

c) les coordonnées de G selon le repère

(O,i , j).
( )2°) a) Justifier pourquoi OA ,OB est – elle

une base de √ ?
b) Déterminer les coordonnées du vecteur

OG selon cette base.

B) Dans la figure 2 :
I est le milieu de [BC].
les droites (IJ) et (AC) se
coupent en J.
les droites (IJ) et (AB) sont
parallèles
(KL) et (BC) sont parallèles
(CL) et (AB) sont parallèles.

Pour chacune des égalités ci –
dessous, dire si elle est vraie ou
fausse en fournissant la
justification :

a) KJ = IC
b) CL + IC = BJ
c) J = K * L
d) AL = KC
e) IK + IL = 2.BK
f) J est le centre de gravité du triangle ALI.

3

Modèle 2
Exercice 1

I) Enoncer la définition du barycentre de deux points pondérés.

II) Pour chacune des questions ci – dessous, une seule parmi les réponses proposées
est correcte. Indiquez sur votre copie ses références.

1°)

D’après la figure ci – contre, G est le barycentre des points pondérés:

a) (A,3) et (B,2) b) (A,-3) et (B,2) c) (A,2) et (B,3)

2°) L’inéquation 3x + 8 < x a pour ensemble de solutions:

a) ]-2, +∞[ b) ]-2, -4[ c) φ

3°) Soit I le barycentre des points pondérés (A,2) et (B,3) où A et B sont deux points

fixes et tels que AB= 5. L’ensemble de points M du plan qui vérifient:

2.MA + 3.MB = MA − MB est:

a) le cercle de centre I et de rayon 5
b) l’ensemble vide car le barycentre des points pondérés (A,1) et (B,-1) n’existe pas.
c) le cercle de centre I et de rayon 1

Exercice 2

A, B et C étant trois points donnés du plan, à tout point M, on associe le vecteur:
uM = 2.MA + 3.MB − 5MC

1°) Montrer que pour tout point M, on a: uM = 3.AB − 5AC

2°) B et C étant fixés, déduire :

a) une condition sur A pour que l’égalité : uM = 0 soit vérifiée pour tout point M.

Construire le point A vérifiant cette condition.

b) s’il est possible de trouver un point M tel que uM = 0 sachant que A n’est pas aligné

avec B et C.

Exercice 3

Un commerçant fait chaque année une recette dont le montant s’élève à 1 de son
3

capital de base et des dépenses dont le montant s’élève à 1 de son capital de base.
4

Au bout de deux ans, il a gagné 169000D. Quel est son capital de base ?

4

Modèle 3

Exercice 1

I) Soit A = 2+ x où x ∈ IR. Pour quelles valeurs de x, le rérl A existe ?
1− 1− 3x

II) Au cours d’un voyage de Baghdad vers Damas, une déligence faisait 96 km par
jour. Cinq jours plus tard, une 2ème déligence a pris le même chemin à une vitesse

constante de 144 km par jour.
Après combien de jours de son départ, la 2ème déligence rejoindrait – elle la

première ?

Exercice 2
ABC est un triangle.

1°) Construire les points A’, B’ et C’ définis par :

BA ' = AC , AB' = BC et AC ' = CB .

2°) Montrer que (AA’) est une médiane du triangle A’B’C’.

3°) Prouver que les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes. On désignera par

I leur point de concours.

4°) Soit I1 = I * A.
a) I1 peut – il être le barycentre des points A et A’ affectés de certains coefficients α
et β ?
b) Si oui, déterminer deux valeurs possibles pour α et β.
5°) a) Construire le point I2 barycentre des points pondérés (B, 5) et (B’, 1).

b) Exprimer I1I2 en fonction de A ' B' .

N.B: Le verso de cette feuille contient le texte original de la question II de Exercice 1
(Il est cité par Dr. Ahmed Jabbar dans l’un de ses ouvrages consacrés à l’étude de

l’algèbre arabe et les travaux d’Al-Khawarezmi particulièrement).

5

6

Modèle 4

Algèbre

1°) Soient a et b deux réels tels que 2 ≤ a ≤ 5 et – 3 ≤ a - 2b ≤ 4
Montrer que : - 1 ≤ b ≤ 4
Encadrer b² , 1 – 2a et 1− 2a .

2+b

2°) Le prix TTC (prix final) d’un appareil est de 826 dinars. Le taux de TVA est de

18 % .

Quel est son prix hors taxe ( prix initial) (?

3°)a) Calculer 1 - 1 , 1 − 1 , 1 − 1 et 1 − 1 .
2 23 34 45

b) Donner une fraction égale à la somme

S= 1+1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 .
2 6 12 20 30 42 56 72 90

4°)a- Développer puis simplifier (x – 1)(x + 2)

b- Soit α un réel de ]0 , 1[. Montrer que : si α alors x² + x − 2 < α
x −1 <
4

Géométrie

I°) Soit ABC un triangle et J le milieu de [AC].
1°) Construire les points I et L définis par : AI = 1 AC etBL = 1 AB

42
2°) La parallèle à (AB) passant par I coupe (BC) en K.
Montrer que LK = −3 AB + 1 AC

44
Exprimer JK en fonction de AB et AC
En déduire que K est le milieu de [LK]
II°) Soit ABCD un parallélogramme.
Les points E et F sont définis par : AE = 3 AB

4
et CF = 1 CB .

3
Les droites (CB) et (DE) se coupent en K. La
parallèle à (DE) passant par F coupe la droite
(CD) en G.

1°) Exprimer KB en fonction de KC puis CF en fonction de CK

2°) Montrer que CG = 1 CD
4

3°) Montrer que AEGD est un parallélogramme.

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Modèle 5

Algèbre

1°) Résoudre dans IR, chacune des équations suivantes :

a) x² = 2x + 1 b) x x − 2 = 1

2°) Déterminer l’ensemble des réels c pour que l’équation : 3x² -12x + c = 0
admette :

a) Deux racines différentes b) Une racine nulle

c) Deux racines strictement positives d) Deux racines inverses

3°) Résoudre dans IR, chacune des inéquations suivantes :

a) x(7 − 4x) > −2 b) 1≤ 1
x

c) x² ≥ 4 d) 2 ≤ x² − 2x− 1
x−2 x−2 x− 2

4°) Un automobiliste parcourt 525 km en un temps t à une vitesse moyenne v.

S’il avait diminué sa vitesse de 15 km/h, il aurait mis 1 h 45 mn de plus.

Calculez sa vitesse v.

Géométrie
Les parties I°) et II°) sont indépendantes.

I°) Soit EFG un triangle, M et N les milieux respectifs des segments [EF] et [MG].
Soit K le barycentre des points pondérés (E ,1) et (G , 2).
Montrer que F , N et K sont alignés.

II°) Soient ABC un triangle, I le milieu de [BC] et P le point défini
par :PA − 2.PB − 2.PC = 0

1°) Montrer que P appartient à la droite (AI).
2°) Soit H le symétrique de A par rapport à B. Montrer que C, P et H sont alignés.
3°) Déduire une méthode de construction de P.

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Modèle 6

Exercice 1

A) 1) Justifier – sans les calculer – l’existence de deux réels x et y

tels que :  x + y = 1
 − 10
x.y = 9

2) Sans calculer x et y, déterminer la valeur numérique de l’expression :
A = x² + 81x5y3 + 81x3y5 + y2

3) Déterminer les valeurs numériques de x et y.

B) A l’aide d’une tige en acier de 24 m de long, un forgeron a fabriqué deux cadres:
l’un est rectangulaire et l’autre est carré comme l’indique la figure 1 ci – dessous. Le
forgeron a superposé les centres de ces cadres comme l’indique la figure 2 ci –
dessous.
1) Soit x et L(x) les mesures respectives de la largeur et de la longueur du rectangle.
Montrer que L(x) = 12 – 3x
2) Soit S(x) la mesure de l’aire de la partie grise dans la figure 2. Montrer que S(x)
= 12x – 4x²
3) Déterminer la valeur de x pour laquelle S(x) atteint sa valeur maximale.

Exercice 2

Dans les parties A) et B) ci – dessous, cocher chaque case correspondant à

une proposition juste.

A) 1) Le barycentre G de points pondérés (A , 2) et (B , -3) est situé sur :

[AB)\ [AB] [BA)\ [AB] [AB]

2) On a: BA = 4BC alors

A est le barycentre de (C , 4) et (B , -3)
B est le barycentre de (A , 1) et (C , -4)
C est le barycentre de (A , -2) et (B , -6)

3) Soit un triangle ABC. A’, B’ et C’ sont les milieux respectifs des côtés [BC], [AC]

et [AB]. G est le barycentre de (A , 2), (B , 1) et (C , 1).

On en déduit que G est le milieu de :

[BB’] [B’C’] [CC’]

B) Dans les questions suivantes, les trois points A, B et C sont non alignés et G est le
barycentre de : (A , 1) et (B , 2).

1) L’ensemble des points M du plan tels que : MA + 2MB = 3MC est :

{C} la droite (GC) l’ensemble vide

9

2) L’ensemble des points M du plan tels que : MA + 2MB = 3AC est :

{C} le cercle de centre G et de rayon AC

la parallèle à (AC) passant par G

3) L’ensemble des points M du plan tels que : MA + 2MB = 3.MC est :

La médiatrice de [GC] {C} le cercle de centre G et de rayon MC

II)
Dans la figure ci – contre, G est le barycentre des

points pondérés (A, a), (B, b) et (C, c).

Utiliser cette figure pour déterminer une valeur

pour chacun des réels: a, b et c

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Modèle 7

Exercice 1

1°) Soit l’équation (E): 3x² + bx + c = 0. Déterminer - de deux manières

différentes - les réels b et c sachant que (E) a pour solutions 2 et -3 dans IR.

2°) Déterminer les valeurs du réel x pour les quelles l’expression ( )1- 2 .x² + 2.x -1

-2.x² + 2.x + 4

est calculable :

Exercice 2

ABC est un triangle. G est le barycentre de (A, - 2) et (B, 3).

1°) Déterminer puis construire la droite ∆ image de (AC) par t.
AG

2°) Montrer que ∆ et (BC) sont sécantes.

Exercice 3 ii) J = tAI (B)

On considère trois points non alignés O, A et I. iv) K = t ( A)
OJ
1°) Construire les points

( )i) B de la droite (OA) d’abscisse 3 selon le repère O , OA

iii) P = I * J

2°) a) Montrer que: AB = 2.OA
b) Montrer que: AB = IJ .

c) Déduire que tOI (A) = P

3°) a) Montrer que: OI + IA = JB + BK

b) Déduire que tOI (B) = K

4°) a) Montrer que les points: I, P et K sont alignés
b) Déduire l’alignement des points I, J et K.

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Modèle 8

Exercice 1

I) Résoudre dans IR, l’équation: (x² - 3x + 1)² + 5(x² - 3x + 1) + 4 = 0.
II) Soit l’équation : (E): t² + 3t – 3 = 0
Justifier –sans calculer son discriminant- pourquoi l’équation (E) admet – elle deux
solutions distinctes t’ et t’’ ?
2°) Sans calculer t’ ni t’’, déterminer le réel T = t’² + 5t’²t’’ + 5t’t’’² + t’’².
III) 1°) Peut – on trouver un rectangle de périmètre 26cm et d’aire 36cm² ?
2°) Si oui, déterminer ses dimensions.

Exercice 2

ABC est un triangle.
1°) Construire les points I, G et H définis par:

t (A) = I, IG = 3 IC et {H} = (AG) ∩ (BC).
BA 4

2°) a) Montrer que I est le barycentre des points pondérés (A, 2) et (B, -1) et G est

le barycentre des points pondérés (I, 1) et (C, 3).

b) En déduire que G est le barycentre des points pondérés (A, 2), (B, -1) et (C, 3).

3°) Soit K le barycentre des points pondérés (B, -1) et (C, 3). Montrer que H = K.

12

Modèle 9

Exercice 1

2

1°)a- Calculer A= 3 + 2
2 3

2

 a− b 2 = (a − b)2
b- Soient a et b deux réels strictement positifs. Montrer que:  
 b a  ab

100 100  50 200
  
( )2°) Comparer, en justifiant,  −10
( ) ( )B =
les réels 10000 et C = 0,1

3°)a- Montrer que pour tout réel x, on a : x2 − (x + 1)2 − (x + 2)2 + (x + 3)2 = 4

b- En déduire la valeur de :

( ) ( ) ( )12 − 22 − 32 + 42 + 52 − 62 − 72 + 82 + ......... + 2OOO2 − 20012 − 20032 + 20042

4°)a- Déterminer les valeurs de x pour lesquelles 4 + x x existe.

b- Résoudre, dans IR, l’équation : 4 + x x = 3

Exercice 2

Soit ABC un triangle tel que AB = 8 , AC = 10 et BC = 6

1°) Construire les points I , J et K définis par :

AI = 1 AB + 3 AC , AJ = 6 AC et AK = 2 AB
4 4 5 3

2°) Montrer que CI = 1 CB . Que peut-on en conclure ?
4

3°) Montrer que les points I , J et K sont alignés.

13

Modèle 10

Algèbre
I°)1°) Résoudre dans IR chacune des équations suivantes :

a) x² + 600 = 70 x

( )b) 2x2 − 2 + 6 x + 6 = 0

2°) Résoudre dans IR, l’inéquation :

x² 1 ≤ x 1 4
− 2x +

II°) Soit un rectangle de 40 mètres sur 30, séparé
en quatre parties par deux bandes de largeur
inconnue x mais identique.

On désigne par A(x) l’aire de la partie hachurée.

a- Montrer que A(x) = 70x - x²

b- Déterminer x pour que l'aire de la surface hachurée soit égale à l'aire de la surface
non hachurée.

c- Déterminer x pour que l'aire de la surface hachurée soit inférieure ou égale à la
moitié de la surface non hachurée.

Géométrie

Soit ABCD un rectangle tel que AB = 4 et AD = 3.

Soient Q le barycentre des points pondérés (A , 3 ) et (C , 1) et R celui des points (A ,
3 ) et (B , 1).

1°) Construire les points Q et R.

2°) Soit G le barycentre des points (A , 3), (B , 1) et (C , 1).

a- Démontrer que les droites (BQ) et (CR) passent par G.

b- Soit I le milieu de [BC], montrer que les points A, I et G sont alignés.

3°) Déterminer le réel a tel que D soit le barycentre des points A, B et C affectés
respectivement des coefficients a , -1 et a.

4°) A tout point M du plan, on associe les vecteurs : U = MA − MB + MC et
V = 2.MD − MA − MC

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Montrer que V = BD
Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que U et V :

i) soient colinéaires.
ii) aient même norme.

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Devoirs de synthèse

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Modèle 1

Exercice 1

Les parties I) et II) de cet exercice sont indépendantes.
I) Pour tout réel x, on pose A(x) = x² + bx + c où b et c sont deux réels.

1°) Déterminer b et c sachant que l’ensemble de solutions de l’équation : A(x) = 0
est {-3 , 2}
2°) On pose B(x) = a.A(x) où a est un réel non nul. Déterminer le signe de a sachant
que l’ensemble de solutions de l’inéquation : B(x) > 0 est ]-3 , 2[
3°) Déterminer la valeur de a sachant que B(0) = 18.

II) Soit l’expression : C(x) = 3x² - (1 - 5 )x – 1 - 5 .
Sans calculer le discriminant ( ∆ ) de C(x):
1°) Montrer que l’équation ( E ): C(x) = 0 possède deux racines distinctes.
2°) En désignant par x’ celle - parmi ces deux solutions – qui a la plus petite valeur
absolue et par x’’ celle qui a la plus grande valeur absolue; déterminer le signe de x’
et celui de x’’. (La justification est exigée)
3°) Dresser le tableau de signes de C(x).
4°) Calculer C(1). Déduire un classement dans l’ordre croissant de x’, x’’ et 1.

Exercice 2
L’élève Salim est en 2ème Sciences. Son poids (en N) au cours d’un mois x est:
P(x) = - 10 x2 + 160 x + 2300 où x est le rang du mois
49 49 49

Exemple: son poids en N, au cours du mois de Janvier est:
P(1) = - 10 x12 + 160 x1+ 2300 = 2450 = 50
49 49 49 49

1°) Calculer son poids au cours du mois de Mars.
2°) Quelle est la valeur maximale que peut atteindre le poids de Salim? Au cours de
quel mois de l’année ça arrive?

Commentaire: il semble que les études ont leur effet sur le poids des élèves !

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Exercice 3
Dans un plan P, on considère deux points distincts et fixes A et B et l’application f

définie par :

f(M) = M’ signifie MM' = 2.MO - 2.MA + 3.OA (O étant le milieu de [AB])

1°) Déterminer – en justifiant - les images de B et O par f.

2°) Montrer que f est la translation de vecteur OA .

3°) ζ1 est le cercle de centre B et passant par O et ζ2 est le cercle de centre O et
passant par B.

Montrer que ζ2 = f(ζ1).

4°) ζ1 et ζ2 se coupent en I et J. La droite ∆ parallèle à (AB) et passant par I recoupe
ζ1 en I1 et ζ2 en I2

Déterminer l’image de I par f puis l’antécédent de I par f.

Exercice 4
Soit un segment [AB] de milieu O.

1°) Construire le point I barycentre des points pondérés (A,3) et (B,1).

2°) C est un point tel que le triangle ABC soit rectangle en C. Sur quelle ligne fixe (Γ)
se déplace le point C ?

3°) Dans toute la suite, on considèrera en plus que: BÂC > 60°.

a) Construire le point K barycentre des points pondérés (A,-2) et (C,1) et (I,2)

b) Montrer que AO = CK

c) En déduire l’ensemble ( Γ’) décrit par le point K lorsque C varie.

4°) Construire un point P sur la demi – droite [BC) et un point Q sur ( Γ ) tel que

AO = PQ

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Modèle 2

ALGEBRE x - ∞ -3 2 +∞
T(x) – 0 + 0 –
I) Le tableau ci- contre est le tableau de
signes d'un trinôme de 2nd degré:
T(x) = ax² +bx + c.

Déduire de ce tableau:

1°) Un classement dans l'ordre croissant de T(5), T(-3) et T(-1).

2°) Le signe de chacun des réels: a, b et c.

II) La hauteur (en mètres) atteinte par un ballon lancé en l'air à un instant donné t
(en secondes) est : h(t) = -t² + 6t + 2.
1°) a) A quels instants, le ballon atteint-il la hauteur h(t) = 7m?

b) Déterminer en secondes, la période pendant laquelle la hauteur atteinte par
le ballon est - elle supérieure à 7m?

2°) Déterminer la hauteur maximale atteinte par ce ballon ainsi que l'instant t au
bout du quel il l'atteint.

III) Soit N(x) = 3x3 − 6x2 − 3x + 6 et D(x) = −2x3 + 12x2 − 22x +12 .

( ) ( )1°) Vérifier que N(x) = (x −1) 3x2 − 3x − 6 et que D(x) = (x −3) − 2x2 + 6x − 4 .

2°) Déterminer l'ensemble C des réels x pour les quels P(x) = N (x) est calculable.
D(x)

3°) Montrer que pour tout élément x de C, on a: P(x) = 3x + 3 .
− 2x+6

4°) Résoudre dans C: a) P(x) = x + 1 b) P(x) < x + 1

GEOMETRIE

B et C sont deux points fixes dans le plan.

1°) a) Construire les deux points I et J définis par :
I est le barycentre des points pondérés (B,3) et (C,1)
J est le barycentre des points pondérés (B,1) et (C,3)

b) Montrer que IJ = 1 BC .
2

2°) Soit l'application f : P → P

19

M ֏ M' tel que 2 MM' = MC− MB
Montrer que f est une translation de vecteur IJ .
3°) A est un point variable dans le plan tel que le triangle ABC soit isocèle de
sommet principal A.
a) Soit A' le barycentre des points pondérés (A,2), (B, -1) et (C,1).

Montrer que A' est l'image de A par f.
b) Déterminer l'ensemble des points A' lorsque A varie.
4°) Soit O le barycentre des points pondérés (A,1), (A', -1) et (C,1).
a) Montrer que O est l'antécédent de C par f.
b) Montrer que BA = OA'

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Modèle 3

Exercice 1
Les parties I), II), III) et IV) de cet exercice sont indépendantes.
I) B est un point d’un segment [AG] distinct de A et de G. Est – il possible de trouver
deux réels strictement positifs a et b tels que G soit le barycentre de points pondérés
(A , a) et (B , b) ? Justifier.

II) Ecrire l’équation du second degré d’inconnue t ayant :
i) -3 pour coefficient du monôme du second degré
ii) -5 et 2 pour solutions.

3

III) 1) Montrer que l’équation (E) : -3x² + 3x + 18 = 0 possède deux solutions
distinctes (sans calculer son discriminant).
2) En désignant par x’ la plus petite parmi ces deux solutions et par x‘’ la plus
grande, montrer que :

x’ < 1 < x’’.

IV) 1) Résoudre dans IR a) 3x² - (1 - 5 )x - 2 - 5 = 0 b) –x² + x + 6 <

0 2) Pour quelles valeurs de x, l’expression A(x) = -2x² + 2x + 12 est – elle

3x² - (1- 5)x - 2 - 5

calculable ?

Exercice 2
Les parties I) et II) de cet exercice sont indépendantes.
I) Dans cette partie, on se propose de présenter une méthode – autre que celle qui
était vue en classe – de construction du barycentre de deux points pondérés.
Soient A et B deux points distincts et C un point n’appartenant pas à la droite (AB).

1) Construire les points A’, B’ et S tels que : CA' = 3CA , CB' = 2CB et

CS = CA' + CB'

2) a) Construire le point G barycentre de points pondérés (A , 3) et (B , 2).
b) Tracer la droite (CS). Que remarquez-vous concernant le point G d’après votre

figure?

3) Exprimer CS en fonction de CG . Justifier alors l’appartenance de G à (CS) et (AB).
4) En vous inspirant des questions précédentes, donner les étapes d’une construction
– différente de celle qui était vue en classe – du point K barycentre de points
pondérés (A , 1) et (B , 2).

II) On désigne par A’, B’ et C’ les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB] d’un
triangle quelconque ABC donné.
1) a) Construire le point : Q = t (C) .

BC'

b) Montrer que B’ = C’ * Q.
2) a) Construire le point : P = t (C) .

BB'

b) Montrer que les points C’, B’, Q et P sont alignés.
3) Montrer que Q = t (P) .

A'B

21

4) Soit (Γ) le cercle de centre A et passant par C. Atout point M de ce cercle, on
associe le point M’ tel que C'M = A'M' . Déterminer l’ensemble au quel appartiendra M’
lorsque M variera sur (Γ).

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Modèle 4

Exercice 1
Répondre par vrai ou faux

1°) x + 2 x − 3 = 0 est une équation du second degré.

2°) On considère le trinôme f(x) = ax² + bx + c , a, b, c étant trois réels, a ≠0 et on
note ∆= b² - 4ac.

a) Si c = 0, alors l’équation f (x) = 0 admet 0 pour solution.

b) Si pour tout réel x, f (x) ≥ 0 alors ∆ ≥ 0 .

c) Si a et c sont de même signe alors l’équation f (x) = 0 n’admet pas de solution.

d) Si a > 0 et ∆ > 0, alors l’inéquation f (x) < 0 admet des solutions.

e) Si a < 0 et ∆ < 0, alors l’inéquation f (x) ≥ 0 admet des solutions.

3°) Si AG = −2 AB alors G est le barycentre des points pondérés ( A, -5) et (B , 2).
3

4°) Si K est le barycentre de (A , α) , (B, β) et (C ,γ) et si A, B et C sont alignés

alors K, A et B sont alignés.

Exercice 2
Soit A(x) = −3x3 + 10x2 − 9x + 2 , x∈IR.

1°)a- Vérifier que 2 est une racine de A(x).
Factoriser A(x).
Résoudre dans IR, l’équation : A(x) = 0.

( )Déduire les solutions dans IR, de l’équation : 10x2 + 2 = 3 x x2 + 3

2°)a- Dresser le tableau de signe de B(x) = (1 − 3x) (x² − 3x + 2) .

b- En déduire un classement des réels B(1), B(- 39) et B(59).
3°) Résoudre dans IR chacune des inéquations suivantes :

a) x −1 + 3 ≥ 0 b) 2B(x) ≤ 2
B(x)

23

Exercice 3
Soit ABCD un rectangle tel que AB = 12 et BC = 4. Soit M un point variable de [BC]
et N le point de [CD] tels que CN = 2.BM. On pose BM = x
1°) Pour quelles valeurs de x, le triangle AMN est isocèle en A.
2°) Montrer que l’aire du triangle AMN est S(x) = x² - 6x + 24.

3°) a- Vérifier que S(x) = (x − 3)2 + 15

b- En déduire la valeur de x pour laquelle l’aire du triangle AMN est minimale.

Exercice 4
Soit ABCD un parallélogramme. On désigne par I le milieu du segment [AB] et par G
le point d’intersection des droites (AC) et (DI).
1°) Montrer que G est le barycentre des points (D , 1) et (I , 2).
2°) Soient E le barycentre de (A , 3) et (B , 1) et F le barycentre des points (C , 4) et
(B , - 1).
Construire les points E et F.
Montrer que les droites (CE) et (AF) sont parallèles.

3°) Soit K le point défini par : KC + 2KE − 2KA = 0 .

Montrer que CK = 1 AB
2

Construire K.

4°) Soit H le barycentre de (C , 4) et (A , 3).

Montrer que H est le barycentre de (E , 4) et (F , 3).

En déduire une constriction de H.

24

Modèle 5

Exercice 1
Indiquer pour chacune des affirmations suivantes si elle est vraie ou fausse.
1°) Si un polynôme est de degré 3, alors son carré est de degré 9.
2°) Un polynôme admet toujours une racine réelle.
3°) Le polynôme P défini par : P(x) = x3 + 2x² + x + 1 n'a pas de racines positives
4°) Deux fonctions polynômes qui ont les mêmes racines sont égales.
5°) Si a est un zéro de deux polynômes P et Q, alors P(x) – Q(x) est factorisable
par : (x – a).

Exercice 2
Soit P le polynôme défini par : P(x) = (x + 1) x3 – (m + 4)x² – 13x – 2m. où m est
un réel.
1°) Quel est le degré de P ?
2°) Déterminer m pour que – 1 soit un zéro de P(x).
3°) Dans cette question on prend m = 3

a- Résoudre dans IR l’équation x² - x – 6 = 0
b- Montrer que P est factorisable par : x² - x – 6.
c- Résoudre dans IR, l’équation : P(x) = 0.
d- Résoudre dans IR, l’inéquation : P(x) ≥ 0.
4°) Soit le polyôme f(x) = x4 + 2x3 + x2.
Factoriser f(x) et vérifier que f(x+1) = (x+1)2(x + 2)2
Montrer que pour tout réel x, f(x+1) – f(x) = 4(x + 1)3.
Déduire la somme S = 13 + 23 + 33 + 43 + .............. + 303

Exercice 3
Soit ABC un triangle isocèle tel que AB = AC = 3 et BC = 4.
1°) Construire le barycentre E des points pondérés (A , 1) et (B , -4)

25

2°) Soit F le point définie par : BF = 3BC .
Exprimer F comme barycentre des points B et C.

3°) Soit G le barycentre des points pondérés (A , 1) , (B , -4) et (C , 6).
Montrer que les points C , E et G sont alignés.
Montrer que G appartient à la droite (AF).
Construire le G.
4°)a- Déterminer l’ensemble ∆ des points M du plan tel que
MA − 4MB + 6MC = MA − 4MB

b- Déterminer l’ensemble des points M du plan tel que
MA − 4MB + 6MC = AB − AC

5°) Soient m un réel et Gm le point défini par : GmA − 2m.GmB + 3m.GmC = 0 .

a- Déterminer m pour que Gm soit le barycentre de (A , 1) , (B , -2m) et (C , 3m)

b- Lorsque Gm existe, montrer que AGm = m AF
m+1

c- Déterminer l’ensemble des réels m pour que Gm soit sur le segment [AF].

26

Corrigés des devoirs de contrôle

27

Modèle 1

Premier trimestre - devoirs de contrôle - Modèle 1 - Corrigé Barème

Exercice 1
a) 1ère méthode

3x² - 15x = - x² + 25

signifie 3x(x – 5) = -(x – 5)(x + 5)

signifie (x – 5)( 3x + x + 5) = 0

signifie (x – 5)( 4x + 5) = 0 2

 x=5
 ou
signifie x donc SIR = {5, − 5 }
4
= − 5
4

2ème méthode

3x² - 15x = - x² + 25

Signifie 4x² - 15x – 25 = 0

∆ = (- 15)² - 4 x 4 x (-25) = 625 > 0

X’ = 15 − 25 = − 10 = − 5 et x’’= 15 + 25 = 40 = 5 donc SIR = {5, − 5 }
8 84 88 4

b) b) 1ère méthode
3x² - 15x ≤ - x² + 25

signifie (x – 5)( 4x + 5) ≤ 0

X -∞ −5 5 +∞
4

x–5 - - 0 +

4x + 5 - 0+ +

(x – 5)( 4x + 5) + 0 -0 +

D’après ce tableau SIR =[ − 5 , 5] 3
4 1

2ème méthode

D’après a)

X -∞ −5 5 +∞
4 0 +

4x² - 15x – 25 + 0-

D’après ce tableau SIR =[ − 5 , 5]
4

2°) Soit x la largeur de ce terrain, d’où:
• x > 0 et 80 – x ≠ x (signifie x ≠ 40)

28

• • x(80 – x) = 3x² signifie 4x² - 80x = 0 4
Signifie 4x(x – 20) = 0 signifie x = 0 ou x = 20 or on a x > 0
Donc x = 20m

Exercice 2 3x0.5
0.5
A) 1°) a) xA = 2, b) xB = 3 c) G(3, 2)
1
( )2°) a) O, A et B n’étant pas lignés alors OA ,OB est une base de √ ?

b) On a: OA = 2.i signifie i = 1 OA et OB = 3.i signifie j = 1 OB
2 3
d’autre part G (3, )2 (O, i, j)
signifie

3
 
OG = 3.i + 2.j =  1  + 2  1  = 3 OA + 2 OB ainsi OG  2 
3 2 OA   3 OB  2 3
 2 (OA,
3 OB)

B) a)

ABC triangle 

I=B*C  alors J= A*C
(IJ) / / (AB) 

(IJ) coupe (AC) en J

ABC triangle  1

J= A *C  alors K = A*B
(KL) / / (BC) 

(LL) coupe (AB) en K

Résumé :

ABC triangle
 1
K=A*B  alors KJ = 2 .BC (1)
J = A*C 

D’autre part, on a I = B * C signifie IC = 1 .BC (2)
2

De (1) et (2), on déduit que KJ = IC

b)

(CL) / / (AB) alors (CL) / / (IJ) (3)

(AB) / / (IJ)  1

et on a (KL) = (JL) // (BC) = (IC) donc (JL) // (IC) (4)

De (3) et (4), on déduit que ICLJ est un parallélogramme

29

Signifie IC = JL Signifie IJ = CL et on a IC = BI
Ainsi CL + IC = IJ + BI = BJ

c) On a IJ = CL (Voir b)) signifie IC = JL et on a IC = KJ 1.5
alors KJ = JL signifie J = K * L

d) On a IJ = CL et CL + IC = BJ (Voir b)) et KJ = IC (Voir a))

alors CL + KJ = BJ signifie CL = BJ + JK = BK (a)

et on a K = A * B signifie BK = KA (b) 1

De (a) et (b), on déduit que CL = KA alors CL = KA

e) On a J = K * L alors IK + IL = 2.IJ or on a IJ = BK
donc IK + IL = 2.BK
1
( )f) JA + JL + JI = JA + JL + JI = JA + JC (JLCI est un parallélogramme) 1.5

= 0 (J = A * C)
Ainsi J est le centre de gravité du triangle ALI.

30

Modèle 2

Premier trimestre - devoirs de contrôle - Modèle 2 - Corrigé Barème

Exercice 1

I) Etant donnés deux points distincts A et B et deux réels a et b tels que 2
3x1
a + b ≠ 0, on appelle barycentre des points pondérés (A, a) et (B, b) le
3
point G tel que a.AG + b.BG = 0 2

II) 1°) b) 2°) c) 3°) c)

Exercice 2

1°) 3.AB − 5AC = 3.AM + 3.MB − 5AM − 5MC = − 2AM + 3.MB − 5MC

= 2MA + 3.MB − 5MC = uM

2°) uM = 0 signifie 3.AB − 5AC = 0 signifie A est le barycentre

des points pondérés (B, 3) et (C, -5) signifie abs(A) = −5 = 5
3−5 2
( )selon le repère B, BC .

Pour la construction du point A, on peut: 1
i) construire le milieu des points d’abscisses respectives 2 et 3 selon le

( )repère B, BC .

ii) Appliquer Thalès

b) C’est impossible car uM = 0 signifie A est le barycentre de (B, 3) et 1
(C, -5) donc A ∈ (BC) 3

3

Exercice 3

• Soit c le capital de base donc c ∈ IR+*

• 2  1 c − 1 c  = 169000D
 3 4 

Signifie 2x 1 c = 169000D Signifie c = 6 x 169000D = 1014000D
12

31

Modèle 3

Premier trimestre - devoirs de contrôle - Modèle 3 - Corrigé Barème

Exercice 1

I) Le réel A = 2 + x existe sssi le quotient 2 + x existe et il
1− 1− 3x 1− 1− 3x

est positif.

Vu que 2 + x est positif pour tout réel x, il suffit alors que 1− 1− 3x soit

strictement positif 1− 3x <1 signifie -1 < 1 – 3x < 1 4

1− 1− 3x > 0 signifie

signifie -2 < – 3x < 0 signifie 0 < x < 2
3

donc x ∈ ]0, 2 [.
3

II) Soit n le nombre de jours après lequel la 2ème déligence rejoint la 4
première

Alors (n + 5).96 = n.144 signifie 96.n + 480 = 144.n
Signifie 48.n = 480 signifie n = 10 jours
N.B: Le texte arabe de l’exercice contient la solution présentée de deux
manières!

Exercice 2 3x0.5
1°) • BA ' = AC signifie
BA’CA est un parallélogramme 2
signifie B*C = A’*A 2
• AB' = BC signifie AB’CB est 2
un parallélogramme
signifie A*C = B’*B
• AC ' = CB signifie AC’BC
est un parallélogramme
signifie A*B = C’*C
2°) On a AB ' + AC ' = BC + CB = 0 signifie A = B’ * C’

Et on a A’ l’un des sommets du triangle A’B’C’ alors (AA’) est une
médiane du triangle A’B’C’.
3°) • On a CA ' + CB ' = AB + BA = 0 signifie C = A’ * B’

Et on a C’ l’un des sommets du triangle A’B’C’ alors (CC’) est une
médiane du triangle A’B’C’.

32

• On a BA ' + BC ' = AC + CA = 0 signifie B = A’ * C’ 0.5
Et on a B’ l’un des sommets du triangle A’B’C’ alors (BB’) est une 2
1
médiane du triangle A’B’C’.
• (AA’) est une médiane du triangle A’B’C’. (d’après 2°))
Ainsi les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont les trois médianes du triangle
A’B’C’ donc elles sont concourantes.
4°) les trois médianes du triangle A’B’C’ sont concourantes en I
alors I ∈ (AA’) donc (IA) = (AA’)
a) I1 = I * A alors I1 ∈ (IA’) donc I1 ∈ (AA’)
par suite I1 est barycentre des points A et A’ affectés de certains
coefficients α et β.
b)• I est le point de concours de trois médianes alors il est le centre de

gravité du triangle A’B’C’ donc 2.IA + IA ' = 0

• I1 = I * A donc IA = 2.I1A et I1I = − I1A

( )• I1A ' = I1I + IA ' = − I1A − 2.IA = − I1A − 2 2.I1A = − I1A − 4I1A = − 5.I1A

Signifie I1A ' + 5.I1A = 0 donc I1 est le barycentre de (A, 5) et (A’, 1).
5°) a) I2 est le barycentre des
points pondérés (B, 5)
et (B’, 1)
On peut utiliser Thalès ou la
méthode des parallèles pour
la construction de I2

b) On a 5.I1A + I1A ' = 0 (1)

et 5.I2B + I2B ' = 0 (2)

(1) - (2) signifie

( ) ( )5 I1A − I2B + I1A ' − I2B ' = 0 1

( ) ( )5 I1A − I2I1 − I1B + I1A ' − I2I1 − I1B ' = 0

Signifie 5.BA + 5.I1I2 + B ' A ' + I1I2 = 0

Signifie − 5 .B ' A ' + 6.I1I2 + B'A' = 0
2

(A’B’C’ triangle, A = B’ * C’ et B = A’ * C’ alors BA = − 1B'A')
2

− 3 .B ' A ' + 6.I1I2 = 0 signifie I1I2 = − 3 .A ' B ' = − 1 .A 'B'
2 12 4

33

Modèle 4

Premier trimestre - devoirs de contrôle - Modèle 4 - Corrigé Barème

Algèbre

1°)a) Soient a et b deux réels tels que 2 ≤ a ≤ 5 et – 3 ≤ a - 2b ≤ 4 1
1
2 ≤ a ≤ 5 ⇔ −5 ≤ −a ≤ −2 1
2
−5 ≤ −a ≤ −2  ⇒ −8 ≤ −2b ≤ 2 ⇔ −1 ≤ b ≤ 4

−3 ≤ a − 2b ≤ 4

b) 0 ≤ b² ≤ 16, -9 ≤ 1-2a ≤ -3 et −9 ≤ 1− 2a ≤ −1 .
2 2+b 6

2°) Le prix TTC (prix final) d’un appareil est de 826 dinars. Le taux de
TVA est de 18 % .

Pr ix final = (Pr ix initial) + (Pr ix initial) x18%

Pr ix initial (Pr ix final) 100 826 x100 700 2
118 118
= = =

3°)a) 1 - 1 = 1 , 1 − 1 = 1 , 1 − 1 = 1 et 1 − 1 = 1 . 4x0.25
2 2 2 3 6 3 4 12 4 5 20 1

b) S = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1− 1 = 9 . 0.5
2 6 12 20 30 42 56 72 90 10 10
1.5
4°)a) (x – 1)(x + 2)= x² + x - 2

b) Soit α un réel de ]0 , 1[. Montrer que : si α alors
x −1 <
4

x² + x − 2 < α

x −1 < α ⇔ 1 − α < x < 1 − α ⇔ −3 < 11 < 3 − α < x + 2 < 3 − α <3⇒ x+2 ≤3
4 4 4 4 4 4

α
x − 1 < 4  ⇒ x² − x + 2 < α
α
x −1 < 4 

34

Géométrie A 1
I
I°) Soit ABC un triangle et J le milieu J
de [AC].
B C
1°) Les points I et L sont définis par : K
I = A * J et BL = 1 AB 1.5
L
2

2°)a) La parallèle à (AB) passant par I
coupe (BC) en K.

CI = 3 CA 
4  ⇒ IKD’ après le théorème de THALES forme vectorielle 3 AB
( ) ( ) ( )Ona:  = 4

K ∈ BC et IK // AB

D’où LK = LB + BA + AI + IK = −1AB − AB + 1 AC + 3 AB = −3 AB + 1 AC 1.5
2 44 4 4

b) JK = JI + IK = −1AC + 3 AB 1
44

LK = −3 AB + 1 
c) 4 4 AC
⇒ LK = −JK ⇔ LK = KJ ⇔ K = L * J
−1 AC 3 
4 4 
JK = + AB 

II°) ABCD est un parallélogramme.

Les points E et F sont définis
par : AE = 3 AB et CF = 1 CB .

43

Les droites (CB) et (DE) se
coupent en K. La parallèle à
(DE) passant par F coupe la
droite (CD) en G.

1°) 1
1
*

1 BA 1 
4 4
( ) ( ) ( ) ( )BE== CD  ⇒D’après le théorème de THALES forme vectorielle KB = 1 KC
CD  4
E ∈ KD ,B ∈ KC et BE //

* CF = 1 CB = 1 CK + 1 KB = 1 CK + 1 x 1 KC = 1 CK
3 3 3 3 3 4 4

35

CF = 1 CK  D’ après le théorème de THALES forme vectorielle
4  1 CD
( ) ( ) ( ) ( )2°) ⇒ CG = 4

F ∈ CK , G ∈ CD et GF / / DK 

AE = 3 AB  1
3°) 4 
1 3  ⇒ AE = DG ⇔ AEGD est un parallélogramme
4 4
CG = CD ⇔ DG = DC

1

36

Modèle 5

Premier trimestre - devoirs de contrôle - Modèle 5 - Corrigé Barème

Algèbre 2 ou x – 1 = − 2
1)a) x² = 2x + 1
1
⇔ x² - 2x +1 =2 sign (x – 1)²= 2 sign x – 1 =

sign x = 1 + 2 ou x = 1 - 2

{ }SIR= 1 + 2;1 − 2

b) x x − 2 = 1 . On remarque que toute solution, si elle existe, de 1

cette équation est positive.
* Sur l’intervalle ]2 , +∞[
x x − 2 = 1 signifie x ( x – 2) = 1 signifie x² = 2x +1 = 0 signifie

x=1+ 2
* Sur l’intervalle [0 , 2]

x x − 2 = 1 signifie x ( x – 2 ) = -1 signifie x² - 2x + 1 = 0

signifie x = 1

{ }SIR = 1 + 2,1 .

2°)a) 3x² - 12x + c = 0. Soit ∆’ le discriminant de cette équation.

∆’ = (-6)² - 3xc = 36 – 3c

L’équation admet deux racines différentes si et seulement si ∆’>0

si et seulement si 36 – 3c >0 signifie 3c < 36 signifie c < 12

b) L’équation admet une racine nulle signifie c = 0

c) Pour que l’équation admette deux solutions il faut que c ≤ 12.

Soient x’ et x’’ les deux solutions de l’équation 3x² - 12x + c = 0. 4x0.75

x '+ x '' = 4 > 0

Les solutions sont strictement positives ssi x '.x '' = c > 0 ssi c > 0.
3

D’où c ∈]0 , 12]

d)L’équation admet deux racines inverses ssi c ≤ 12 ssi c = 3
c =1
3

3°)a) x (7 – 4x ) > -2 ssi 7x – 4x² + 2 >0 ssi 4x² - 7x - 2 < 0

∆= 49 + 32 = 81 = 9². x’ = −7 − 9 = 2, x’’ = −7 + 9 = −1 .
−8 −8 4

SIR=  −1 , 2 .
 4

1≤ 1. Sℝ = −∞, 0 ∪ 1, +∞ . 4x1.5
x

37

x² ≥ 4 ⇔ x² − 4 ≥ 0 ⇔ x +2 ≥ 0 et x ≠ 2. SIR = −2, +∞ \ {2}
x−2 x−2 x−2

x 2 2 ≤ x² − 2x −1
−

⇔ 2 − x² + 2x + 1 ≤ 0 ⇔ 2 − x3 + 2x² + 2x² − 4x + x − 2 ≤0
− x−2
x 2

⇔ −x3 + 4x² − 3x ≤0⇔ −x(x² − 4x + 3) ≤0⇔ x(x² − 4x + 3) ≥ 0
x−2 (x − 2) (x − 2)

x -∞ 01 23 +∞
x - + +
x² - 4x + 3 + 0+ + +
x-2 - -0 +
x(x² − 4x + 3) + + 0- 0+ +

(x − 2) -- -0

0- 0+

SIR= −∞, 0 ∪ 1,2 ∪ 3, +∞ .

4°) v.t = 525.

(v − 15)  t + 7  = 525 sign 525 + 7 v − 7875 − 105 = 525
 4  4 v 4

sign 7 v² − 7875 − 105 v = 0 sign 7v² − 105v − 31500 = 0. V = 150 km /h
4 4

∆ = 105² + 4x7x31500 = 945².

Géométrie : 2
2
I°) N = M * G ⇒ 2FN = FM + FG (1)
K bary de (E , 1) et (G , 2) ⇒ 3FK = FE + 2FG (2)
(1) et (2) ⇒ 4FN = 3FK ⇒ F, N et K sont alignés

II°)

( )1°) On a : PA − 2PB − 2PC = 0 ⇒ PA = 2 PB + PC or I = B ∗ C Alors
( )PA = 2 2.PI ⇔ PA = 4PI ⇒ PA et PI sont colinéaire ⇒ P ∈ (AI)

2°) on a PA − 2PB − 2PC = 0 donc PH + HA − 2PH − 2HB − 2PC = 0

Or on a SB(A) = H donc B = A*H d’où on a : 2HB = HA 1.5
et PH + HA − 2PH − HA − 2PC = 0
Ainsi on peut écrire

D’où PH − 2PH − 2PC = 0 donc − PH − 2PC = 0 donc − PH = 2PC

Donc PHet PC sont colinéaire d’où les trois points C,P et H sont alignés.

38

3°) d’après 1°) P ∈ (AI) et d’après 2°) C, P et H sont alignés donc P ∈ 1.5
(CH). Ainsi 1

P ∈ (AI) ∩ (CH) or (AI) et (CH) ne sont ni parallèle ni confondues alors
leur intersection est un point qui est P.

Ainsi pour construire P il suffit de tracer les deux droites (AI) et (CH). P
sera leur intersection.

39

Modèle 6

Premier trimestre - devoirs de contrôle - Modèle 6 - Corrigé Barème

Exercice 1

I) 1°) Soit S = x + y = 1 et P = x.y = − 10
9

alors S² - 4.P = 1² - 4x ( − 10 ) = 49 >0 par suite x et y existent 1.5
9 9

2°) A = x² + 81x5y3 + 81x3y5 + y2
= x² + y2 + 81x3y3(x² + y2) = (x² + y2)[1 +81(xy)3]

= [(x + y)² - 2xy][1 +81(xy)3] = (S² - 2P)(1 + 81.P3)

20 )[1 103 - 11  991  10901 1.5
9 93 9  9  9
= (1 - – 81 x ] = x − =

3°) x et y sont les solutions de l’équation (E): t² - S.t + P = 0

(E) Signifie 9.t² - 9t – 10 = 0 0.5

donc ∆ = 81 – 4x9x(-10) = 441 = 21² 0.5
1
donc t’ = 9 − 21 = − 12 = − 2 et t’’ = 9 + 21 = 30 = 5
18 18 3 18 18 3 1.5

alors x = − 2 et y = 5 ou x= 5 et y= − 2
3 3 3 3

II) 1°) On a: 2.L(x) + 2.x + 4.x = 24 signifie 2.L(x) = 24 - 6.x

donc L(x) = 12 – 3.x

2°) S(x) = x(12 – 3.x) – x² = 12.x – 4.x² 1.5
1.5
3°) S(x) = – 4.x² + 12.x = -4(x² - 3.x) = -4[(x - 3 )² - 9 ] 0.5
24
1
= -4(x - 3 )² + 9
2

Ainsi S(x) est la somme d’un positif et d’un négatif, elle atteindra sa

valeur maximale lorsque le négatif est nul donc lorsque x = 3
2

Exercice 2

I) A) 1°) G est le barycentre de points pondérés (A , 2) et (B , -3)

( )donc −3
xG = −1 =3 selon A, AB alors G ∈ [AB)\ [AB]

2°) • BA = 4BC signifie BA − 4BC = 0

signifie B est le barycentre de (A, 1) et (C, -4)

• BA − 4BC = 0 signifie BA − 4.BA − 4.AC = 0 signifie − 3.BA − 4.AC = 0

Signifie − 3.BA + 4.CA = 0 signifie A est le barycentre de (C, 4) et (B, -3) 1
• − 3.BA − 4.AC = 0 signifie − 3.BC − 3.CA − 4.AC = 0

signifie − 3.BC − .AC = 0 signifie − 6.BC − 2.AC = 0

40

signifie C est le barycentre de (A , -2) et (B , -6) 1
3°) •G est le barycentre de (A , 2), (B , 1) et (C , 1)

signifie 2.GA + GB + GC = 0 (1)

• A’ = B * C donc GB + GC = 2.GA ' (2)

de (1) et (2), on déduit 2.GA + 2.GA ' = 0 donc G est l’isobarycentre
de A et A’ signifie G = A * A’

B) 1°) • G est le barycentre de (A, 1) et (B, 2)

signifie MA + 2MB = 3MG

donc MA + 2MB = 3MC signifie 3MG = 3MC signifie G = C: impossible.

donc {M} est vide 1
1
2°) MA + 2MB = 3AC signifie 3MG = 3AC signifie GM = CA 1
0.5
Signifie t (G)) = M donc les trois propositions sont fausses. 0.5
CA 1
1
3°) MA + 2MB = 3.MC signifie 3.MG = 3.MC signifie MG = MC 1

donc {M} est la médiatrice de [CG].

II) • D’après la figure proposée, on a AA ' = 4.AG (1)

et BA ' = 2 .BC (2)
3

(1) signifie AG + GA ' − 4.AG = 0 signifie 3.GA + GA ' = 0 (a)

(2) signifie 3.BA ' = 2.BC signifie 3.BG + 3.GA ' = 2.BG + 2.GC

signifie 3.GA ' = GB + 2.GC signifie GA ' = 1 .GB + 2 .GC
3 3

(a) signifie 3.GA + 1 .GB + 2 .GC = 0
3 3

signifie 9.GA + GB + 2.GC = 0 signifie G est le barycentre de (A,9),
(B,1) et (C, 2)

41

Modèle 7

Premier trimestre - devoirs de contrôle - Modèle 7 - Corrigé Barème

Exercice 1
1°) 1ère méthode

l’équation (E): 3x² + bx + c = 0 a pour solutions 2 et -3 dans IR 1.5
1.5
alors 3x² + bx + c = 3(x – 2)(x + 3)= 3(x² + x – 6) = 3x² - + 3x – 18

par identification, on déduit que b = 3 et c = - 18.

2ème méthode

On a 2 + (-3) = − b et 2 x (-3) = c
3 3

donc – 1 = − b et - 6 = c
3 3

donc b = 3 et c = - 18

2°) Cette expression est calculable si: 0.5
0.5
( )i) 1- 2 .x² + 2.x -1 ≥ 0 (C1) 1.5

ii) -2.x² + 2.x + 4 ≠ 0 (C2) 2
1.5
( )• Concernant (C1), on remarque que 1- 2 + 2 -1 = 0 1

( )alors 1- 2 .x² + 2.x -1 admet 1 et 1= 2 + 1 pour zéros 2
2 −1
donc

x -∞ 1 2 +1 +∞

( )1- 2 .x² + 2.x -1 -0 + 0 -

• Concernant (C2), on remarque que: - 2 – 2 + 4 = 0 alors

-2.x² + 2.x + 4 s’annule pour -1 et − 4 =2
−2

Conclusion: l’expression proposée est calculable si x∈ [1 , 2 + 1 ]\{2}

Exercice 2

( )1°) • t
AG
(AC) est la parallèle

à (AC) alors ∆ // (AC)

• A ∈ (AC) alors

( )t(A)
AG
=G ∈ t (AC) =∆
AG

( )En conclusion:
t (AC) =∆
AG

est la parallèle à (AC) qui passe par G

42

■ Pour la construction: on a G est 0.5
le barycentre de (A, - 2) et (B, 3) 1.5

( )alors abs(G) = 3 selon A , AB 1

2°) On a ABC triangle alors (BC)
coupe (AC) et on a ∆ parallèle à
(AC)
alors (BC) coupe ∆.

Exercice 3
1°)

( )2°) a) On a abs(B) = 3 selon O, OA signifie OB = 3.OA 0.75
0.75
donc OA + AB = 3.OA ainsi AB = 2.OA
AB = 2.OA
b) On a J = tAI (B) signifie AI = BJ signifie AB = IJ

c) On a P = I * J d’où IJ = 2.IP et on a déjà AB = IJ et

alors 2.OA = 2.IP signifie OA = IP 0.75

signifie OI = AP signifie t (A) =P 0.75
OI
0.75
3°) a) On a K = tOJ (A) signifie OJ = AK signifie OA = JK 0.75
0.5
signifie OI + IA = JB + BK

b) d’après 2°) b), on a AI = BJ signifie IA = JB

et d’après 3°) a), on a OI + IA = JB + BK

alors OI = BK signifie t (B) =K
OI

4°) a) on a: O, A et B alignés alors t (O) = I, t (A) = P
OI OI

et t (B) = K sont alignés.
OI

b) On a P = I * J donc J ∈ (IP) et d’après 4°) a), K ∈ (IP)

ainsi J, K, I et P sont alignés.

43

Modèle 8

Premier trimestre - devoirs de contrôle - Modèle 8 - Corrigé Barème

Exercice 1

I) Pour tout x ∈ IR, on pose y = x² - 3x + 1

alors l’équation: (x² - 3x + 1)² + 5(x² - 3x + 1) + 4 = 0

est équivalente à y² + 5y + 4 = 0 (I) 0.5
2
on a 1 – 5 + 4 = 0 alors l’équation (I) a pour solutions -1 et -4
1
donc x² - 3x + 1 = -1 ou x² - 3x + 1 = -4
0.5
• x² - 3x + 1 = -1

signifie x² - 3x + 2 = 0

et on a 1 – 3 + 2 = 0

alors x’ = 1 et x’’ = 2

• x² - 3x + 1 = -4

Signifie x² - 3x + 5 = 0

∆ = (-3)² - 4x1x5 = 9 – 20 = - 11 < 0 donc cette équation n’a pas de

solution.

Ainsi SIR ={1,2}

II) 1°) Dans l’équation: (E): t² + 3t – 3 = 0

on a: a = 1 > 0 et c = -3 < 0 donc ils ont des signes différents 1
1
alors le discriminant ∆ sera strictement positif et par suite (E) aura deux 1

solutions distinctes.

2°) T = t’² + 5t’²t’’ + 5t’t’’² + t’’² = t’² + t’’² + 5t’²t’’ + 5t’t’’²

= (t’ + t’’)² - 2t’t’’ + 5t’t’’(t’ + t’’) = S² - 2.P + 5.P.S

Où S = t’ + t’’ = − b = −3 et P = t’xt’’ = c = − 3
a a

Donc T = (-3)² - 2x(-3) + 5x (-3)x(-3) = 9 + 6 + 45 = 60

III) 1°) Désignons respectivement par L et l la longueur et la largeur de

ce rectangle (L > l)

alors L + l =13 = S et on a S² - 4P = 13² - 4 x 36 = 25 > 0 1
 L.l = 36 = P 1
 1

alors ce rectangle existe 1

2°) L et l sont les solutions de: y² - 13y + 36 = 0

∆ = (-13)² - 4x1x36 = 169 – 144 = 25

alors l = 13 − 5 = 4 et L = 13 + 5 = 9
22

Exercice 2

2 x 0.5
44

1°) • t (A) = I signifie BA = AI
BA

signifie A = B * I

• IG = 3 IC : on utilisera Thalès
4

2°) a)• t (A) = I signifie BA = AI signifie BI + IA + IA = 0 1.5
BA 1.5
2
Signifie - IB + 2.IA = 0 signifie I est le barycentre de (A, 2) et (B, -1)
• IG = 3 IC signifie 4.IG − 3.IC = 0 signifie 4.IG − 3.IG − 3.GC = 0 1

4 2
signifie IG + 3.CG = 0 signifie G est le barycentre (I, 1) et (C, 3).
b) On a I est le barycentre de (A, 2) et (B, -1) (d’après 2°) a))
donc pour tout point G, − GB + 2.GA = GI

ainsi 2.GA − GB + 3.GC = GI + 3.GC = 0 (G est le barycentre (I,1) et (C,3))
signifie G est le barycentre des points pondérés (A, 2), (B, -1) et (C, 3).
3°) On a K le barycentre des points pondérés (B, -1) et (C, 3)
alors pour tout point G, − GB + 3.GC = 2.GK et K ∈ (BC) (a)

d’autre part, on a: 2.GA − GB + 3.GC = 0

( ) ( )signifie 2.GA + − GB + 3.GC = 0 donc 2.GA + − GB + 3.GC = 0

signifie 2.GA + 2.GK = 0 signifie G = A * K alors K ∈ (AG) (b)
de plus (BC) et (AG) sont deux droites distinctes. (c)
(a), (b) et (c) entraînent que {K} = (BC) ∩ (AG)
or on a {H} = (AG) ∩ (BC) ainsi H = K.

45

Modèle 9

Premier trimestre - devoirs de contrôle - Modèle 9 - Corrigé Barème

Exercice 1

2

1°)a- Calculer A= 3 + 2 = 2x 1 + 2 x2 = 5 1.5
2 3 3 2 1 3 3 2
2x075+0.
2 5
1
b- Soient a et b deux réels strictement positifs. :
2
 a − b 2 = a −2 ax b + b = a − 2 + b = b² − 2ab + a² = (a − b)2
 b a  b b a a b a ab
ab

 100 100 104 10000 = 1040000 et
 
( ) ( )2°) Soit les réels
B = 10000 =

 50 200   1 −10 50 200 50 200
   10    
(( ) ) ( )C  
= 0,1 −10 =  =  1010 = 10100000 alors C > B

3°)a- Pour tout réel x, on a :

x2 − (x + 1)2 − (x + 2)2 + (x + 3)2
= x2 − (x² + 2x + 1) − (x² + 4x + 4) + (x² + 6x + 9) = 4

b) On : 12 − 22 − 32 + 42 = 12 − (1 + 1)2 − (1 + 2)2 + (1 + 3)2 = 4

52 − 62 − 72 + 82 = 52 − (5 + 1)2 − (5 + 2)2 + (5 + 3)2 = 4

.
.
.

2OO12 − (2001 + 1)2 − (2001 + 2)2 + (2001 + 3)2 = 4

D’où

( ) ( ) ( )12 − 22 − 32 + 42 + 52 − 62 − 72 + 82 + ... + 2OO52 − 20062 − 20072 + 20082

= 502x4 = 2008

4°)a) 4 + x x existe si et seulement si 4 + x x ≥ 0 .

Si x≥ 0 alors 4 + x x ≥ 0

46

Si x ≤ 0 alors 4 + x x ≥ 0 ⇔ 4 − x² ≥ 0 ⇔ x² ≤ 4 ⇔ −x ≤ 2 ⇔ −2 ≤ x ≤ 0 1.5

Conclusion : 4 + x x existe si et seulement si x∈[- 2, + ∞[

b) 4 + x x = 3 signifie x∈[- 2, + ∞[ et 4 + x x = 9 2

signifie x∈[- 2, + ∞[ et x x = 5
signifie x∈[0, + ∞[ et x² = 5
signifie x = 5
Exercice 2
Soit ABC un triangle tel que AB = 8 , AC = 10 et BC = 6
1°)

2

2°) AI = 1 AB + 3 AC ⇔ AC + CI = 1 AB + 3 AC ⇔ CI = 1 AB − 1 AC = 1 CB .
4 4 4 4 4 4 4
3
I est un point du segment [BC] 3

3°) IK = AK − AI = 2 AB − 1 AB − 3 AC = 5 AB − 3 AC
3 4 4 12 4

JI = AI − AJ = 1 AB + 3 AC − 6 AC = 1 AB − 9 AC =3 5 AB − 3 AC  = 3 IK .
4 4 5 4 20 5  12 4  5

D’où les points I, J et K sont alignés.

47

Modèle 10

Premier trimestre - devoirs de contrôle - Modèle 10 - Corrigé Barème

Algèbre :

I°)1°)a) x² + 600 =70x sign x² - 70x + 600 = 0. Soit ∆’ le 1.5
discriminant réduit de
x² - 70x + 600 = 0 . 2.5
∆’ = 35² - 600 = 1225 – 600 = 625 = 25². 3.5
Les solutions de cette équation sont : x’ = 35 – 25 = 10 et x’’= 35 +
25 = 60.

( )b) Soit ∆ le discriminant de 2x² − 2 + 6 x + 6 = 0 .

( ) ( )2 2

∆ = 2 + 6 − 8 6 = 2 − 6 . Les solutions de cette équation sont :

x’ = 2 + 6 −2+ 6= 6 et x’’ = 2 + 6 +2− 6 =1 . SIR=  6 ,1
4 2 4  2 

2°) 1 ≤ 1 sign
x² − 2x x+4

x² 1 − x 1 4 ≤ 0 sign −x² + 3x + 4 ≤ 0 sign − (x + 1) (x − 4) ≤ 0
− 2x + (x² − 2x) (x + 4)
(x² − 2x) (x + 4) .

sign (x + 1) (x − 4) ≥ 0
(x² − 2x) (x + 4)

x -∞ -4 -1 0 2 4 +∞

( x + 1 )( x - 4 ) + +0 - - -0 +

x² - 2x + + +0 -0 + +

X+4 - 0+ + ++ +

(x + 1) (x − 4) - +0 - + -0 +
(x² − 2x) (x + 4)

SR = ]-4 , -1]∪]0 , 2[∪[4 , +∞[. 0.5
II) a) A(x) = 40x + 30x – x² = 70x – x². 1

b) A(x) = (0.5)*40*30 sign A(x) = 600 sign x² + 600 = 70x 1
sign que x = 10 car x ϵ ]0 , 30[.
c) A(x) ≤ 600 sign 70x – x² - 600 ≤ 0 sign x² - 70x + 600 ≥ 0
sign que x ϵ ] 0 , 10].

Géométrie :
1°) Q est le barycentre des points (A , 3) et

48

(C , 1) sign AQ = 1 AC . 2

4 2
1.5
R est le barycentre des points (A , 3) et (B , 1) sign AR = 1 AB . 1.5
1.5
4 1.5

2°)a) G le barycentre des points pondérés

(A , 3), (B , 1) et (C , 1) sign
3GA + GB + GC = 0 sign 4GQ + GB = 0 ⇒ G ∈ (BQ).

3GA + GB + GC = 0 sign 4GR + GC = 0 ⇒ G ∈ (CR).

Donc les droites (BQ) et (CR) passent par G.

b) I = B* C.
3GA + GB + GC = 0 sign 3GA + 2GI = 0 ⇒ G, A et I sont alignés.

3°) ABCD est un rectangle alors
AD = BC sign AD = BD + DC sign DA − DB + DC = 0. d’où a = 1.

4°)a) V = 2MD − MA − MC = AM + MD + CM + MD = AD + CD = BC + CD = BD .

b)i) u = MA − MB + MC = MD .

u et v sont colinéaires ssi M est un point de la droite (BD), d’où
l’ensemble des points M tels que u et v soient colinéaires est la droite
(BD).

ii) l’ensemble des points M tels que u = v est le cercle de centre D et
passant par B.

49