Manuel scolaire de Math´ematiques
2 `eme sciences
Tome 1
Document d’accompagnement
´elabor´e par : ALI RAHMOUNI
Octobre 2018
Table des mati`eres
1 Calcul dans R 9
1.1 N.B : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Activit´e 3 : Fractions ´egyptiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Aperc¸u historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Prolongement possible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Activit´e 4 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Activit´e 5 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Indication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 Peut-on se fier `a la calculatrice ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Activit´e 6 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.1 R´esultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Activit´e 11 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6.1 Version papier crayon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6.2 Versions smartphone ou PC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6.3 D´emonstration g´eom´etrique anim´ee d’un produit remarquable . . . . . . 12
1.7 Activit´e 12 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7.1 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7.2 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8 Activit´e 13 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8.1 Indication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2
TABLE DES MATIE`RES
1.9 Activit´e 14 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.9.1 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.9.2 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.10 Activit´e 16 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.10.1 Commentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.11 Activit´e 21 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.11.1 Commentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.11.2 Prolongement possible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.12 Autres activit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.12.1 activit´e 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.12.2 activit´e 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.13 Activit´e 23 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.14 Activit´e 24 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.14.1 Solution 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.14.2 Prolongement possible (pour l’enseignant) . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.15 Activit´e 25 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.15.1 Quelques indications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.16 Activit´e 26 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.16.1 Quelques indications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.17 Activit´e 30 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.17.1 Indication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.18 Activit´e 32 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.18.1 Indication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.19 Activit´e 34 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Probl`emes du 1er degr´e
Probl`emes du 2`eme degr´e 19
2.1 Les abc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
A. Rahmouni page 3 Octobre 2018
TABLE DES MATIE`RES
2.1.1 Version papier crayon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2 Version ´ecran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 D´evelopper ses comp´etences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1 1. Le diamantaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.3 3. Le nombre d’or . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.4 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Exercices et probl`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1 8. Quelle heure est-il ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Autres activit´es sur les ´equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.1 Activit´e : une histoire de chameaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.2 Activit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.3 Activit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.4 Activit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.5 Activit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.6 Activit´e 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Notion de polynoˆme 23
3.1 Explorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.1 Activit´e 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Exercices et probl`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.1 Exercice 16 : Probl`eme de BHASKARA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.2 Exercice 17 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Arithm´etique 25
4.1 Activit´e 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Activit´e 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 Activit´e 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
A. Rahmouni page 4 Octobre 2018
TABLE DES MATIE`RES
4.4 Activit´e 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.5 Activit´e 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.6 Activit´e 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.7 Activit´e 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.8 Activit´e 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.9 Activit´e 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.10 Activit´e 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.11 Activit´e 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.12 Activit´e 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.13 Autres crit`eres de divisibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.13.1 crit`eres de divisibilit´e par 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.13.2 Activit´e crit`eres de divisibilit´e par 19, par 23 . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.13.3 Un crit`ere de divisibilit´e par 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.14 Autres activit´es. Polynoˆmes et arithm´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.15 Exercices et probl`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 Calcul vectoriel 35
5.1 Activit´e 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.1 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Activit´e 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2.1 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.3 Assimiler : Exercice 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3.1 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6 Barycentre 38
6.1 Explorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.1.1 Activit´e 5 : solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.1.2 Activit´e 10 : solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.2 Autres activit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
A. Rahmouni page 5 Octobre 2018
TABLE DES MATIE`RES
6.2.1 Activit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2.2 Activit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2.3 Activit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.3 Activit´e 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.4 Activit´e 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.5 Activit´e 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.6 Activit´e 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.7 Activit´e 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.7.1 1`ere m´ethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.7.2 2`eme m´ethode (par ajustement des coefficients) . . . . . . . . . . . . . . 43
6.8 Barycentre partiel. Associativit´e. Ajustement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.9 Activit´e 21 : Probl`eme de concours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.10 Autres probl`emes de concours (Ajustement des coefficients ) . . . . . . . . . . . 44
6.10.1 1 er probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.10.2 2 `eme probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.11 Activit´e 22 : probl`emes d’alignement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.11.1 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.12 Activit´e 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.12.1 Phase exp´erimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.12.2 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.13 Activit´e 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.13.1 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.14 D´evelopper ses comp´etences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.14.1 1. Probl`eme d’alignement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.14.2 2. Probl`eme de concours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.14.3 3. Probl`eme d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.15 Exercices et probl`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.15.1 Exercice 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
A. Rahmouni page 6 Octobre 2018
TABLE DES MATIE`RES
6.15.2 Exercice 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.15.3 Exercice 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7 Exercice 19 page 90 tome II 56
7.1 Exercice 19 page 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.1.1 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8 Errata 58
8.1 Tome 1 Exercice 14 page 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.2 Tome 2 Exercice 19 page 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
A. Rahmouni page 7 Octobre 2018
Introduction
Ce document concerne les six premiers chapitres du Tome 1 et la correction de l’exercice 19
page 100 du Tome 2 du manuel scolaire de la 2 `eme ann´ee Sciences.
On y trouve particuli`erement :
• Les solutions de plusieurs activit´es
• Des commentaires .
• Des prolongements (possibles ) pour l’´el`eve
• Des prolongements pour l’enseignant.
Outre ce qui pr´ec`ede, ce document contient plusieurs activit´es interactives propos´ees par mon
coll`egue Mr H´edi Abderrahim que je remercie vivement pour l’enrichissement de ce document
par ces activit´es et pour sa relecture.
8
Chapitre 1
Calcul dans R
1.1 N.B :
les activit´es de ce chapitre peuvent ˆetre trait´ees tout le long du premier trimestre selon le
besoin et le rapport de chacune de ces activit´es avec la lec¸on du jour.
1.2 Activit´e 3 : Fractions ´egyptiennes
1.2.1 Solution
111 11 1 1
1. On a : + + = 1 alors + + =
236 4 6 12 2
11 1 1 111 1
2. D’apr`es 1., + + = alors + + + = 1
4 6 12 2 2 4 6 12
111 1
3. D’apr`es 2., + + + = 1
2 4 6 12
11 1 1 1 111 1 1
alors + + + = alors + + + + = 1
4 8 12 24 2 2 4 8 12 24
1.2.2 Aper¸cu historique
D’apr`es cette activit´e, on retient que :
1=1+1=1+1+ 1 =1+1+ 1 + 1
2 3 6 4 6 12 4 8 12 24
1
ainsi la fraction peut ˆetre ´ecrite, de plusieurs mani`eres, comme somme des fractions unitaires
2
(ayant pour num´erateur 1) et dont les d´enominateurs sont des entiers distincts 2 a` 2 et stricte-
9
CHAPITRE 1. CALCUL DANS R
1
ment positifs : on dit que est une fraction ´egyptienne.
2
Une fraction ´egyptienne est une somme de fractions unitaires, c’est-`a-dire de fractions
dont les num´erateurs sont tous ´egaux `a un et les d´enominateurs sont des entiers positifs tous
diff´erents les uns des autres.
On peut montrer que tous les nombres rationnels positifs peuvent ˆetre ´ecrits sous cette forme
et ce, de plusieurs m´ethodes.
1.2.3 Prolongement possible
D’apr`es ce qui pr´ec`ede, on peut conjecturer que pour tout entier n ≥ 3, on a :
1 11 11 1 1 =1
+ 22 + 23 + ... + 2n−1 + 2n + 3 × 2n−1 + 3 × 2n
2
Cette conjecture peut ˆetre d´emontr´ee apr`es avoir trait´e les suites g´eom´etriques
Remarque (Pour l’enseignant) : Ind´ependamment de la m´ethode propos´ee dans cette
activit´e, on peut d´emontrer, par r´ecurrence, que pour tout n ≥ 3, il existe n entiers naturels
x1, x2, ..., xn−1, xn tous distincts tels que :
11 11
+ + ... + + = 1
x1 x2 xn−1 xn
Il suffit de constater que si
11 11 =⇒ 11 1 1 1
+ + ... + + = 1 + + + ... + + =1
x1 x2 xn−1 xn 2 2x1 2x2 2xn−1 2xn
1
Pour augmenter le nombre de termes, une autre id´ee consiste a` remplacer un terme ou plus
xk
1 1
par la somme : + pour tout 1 ≤ k ≤ n,
xk + 1 xk(xk + 1)
11 1 a ∈ R∗ − {−1}).
(ceci d’apr`es la r`egle qu’on pourra d´emontrer facilement : = +
a a + 1 a(a + 1)
1.3 Activit´e 4 :
• Il est inutile de traiter cette activit´e si on a trait´e l’activit´e 3.
A. Rahmouni page 10 Octobre 2018
CHAPITRE 1. CALCUL DANS R
• On peut traiter cette activit´e et ne traiter la pr´ec´edente (avec la conjecture) qu’apr`es le
Chapitre ”Suites g´eom´etriques”
1.4 Activit´e 5 :
1.4.1 Indication
Il suffit de remarquer que le chiffre des unit´es du produit des moyens est diff´erent du chiffre
des unit´es du produit des extrˆemes
1.4.2 Peut-on se fier `a la calculatrice ?
Situation 1
√
Soient a = 999 51 et b = 7134.287
• Qu’affiche la calculatrice pour la valeur de a ? Peut-on dire que a = b ?
• Qu’affiche la calculatrice pour les valeur de a2 et b2 ? Peut-on dire que a2 = b2 ?
• V´erifier que a2 est un entier et montrer que b2 ne l’est pas. En d´eduire que a = b
• En ´ecrivant b = 7134 + 0.287 calculer la valeur exacte de b2
• Comparer alors a et b
Situation 2
10
Soit a = et b = 0.0000000001 Qu’affiche la calculatrice pour la valeur de a ?
1011
Peut-on dire que a = b ?
1.5 Activit´e 6 :
1.5.1 R´esultat page 11 Octobre 2018
102 ans
A. Rahmouni
CHAPITRE 1. CALCUL DANS R
1.6 Activit´e 11 :
1.6.1 Version papier crayon
Dans le tableau ci-dessous, associe chaque ´ecriture factoris´ee a` sa forme d´evelopp´ee :
1.6.2 Versions smartphone ou PC
https://learningapps.org/watch?v=pbhg6r1fk18
1.6.3 D´emonstration g´eom´etrique anim´ee d’un produit remarquable
https://www.geogebra.org/m/RnmPWG5N
Pour lancer l’animation, d´eplacer le point P sur le trait noir sur lequel il se trouve.
A. Rahmouni page 12 Octobre 2018
CHAPITRE 1. CALCUL DANS R
1.7 Activit´e 12 :
1.7.1 Solution
b)
• Pour n = 1, 1 × 2 × 3 × 4 + 1 = 25 = 52 = (1 × 4 + 1)2 = (2 × 3 − 1)2
• Pour n = 2, 2 × 3 × 4 × 5 + 1 = 121 = 112 = (2 × 5 + 1)2 = (3 × 4 − 1)2
• Pour n = 3, 3 × 4 × 5 × 6 + 1 = 361 = 192 = (3 × 6 + 1)2 = (4 × 5 − 1)2
• Pour n = 4, 4 × 5 × 6 × 7 + 1 = 841 = 292 = (4 × 7 + 1)2 = (5 × 6 − 1)2
c) On peut conjecturer puis d´emontrer que pour tout entier naturel n on a :
n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 = [n (n + 3) + 1]2 = [(n + 1) (n + 2) − 1]2
1.7.2 Remarques
• l’´egalit´e pr´ec´edente est valable si n est un nombre r´eel
• Apr`es avoir trait´e le chapitre ”Notion de polynˆomes”, on peut r´epondre `a la question
c) en cherchant deux r´eels a et b tels que pour tout r´eel x on a :
x (x + 1) (x + 2) (x + 3) + 1 = (x2 + ax + b)2 (on trouve a = 3 et b = 1)
1.8 Activit´e 13 :
1.8.1 Indication
a) x2 − (x − 1)(x + 1) = 1
A. Rahmouni page 13 Octobre 2018
CHAPITRE 1. CALCUL DANS R
1.9 Activit´e 14 :
1.9.1 Solution
1. B − 9A = 6
2. D’apr`es 1., AB+1 = A(9A+6)+1 = (3A + 1)2 = (333...34)2 ((n − 1) fois le chiffre 3)
1.9.2 Remarque
Cette activit´e peut ˆetre propos´ee dans le chapitre ”Suites g´eom´etriques” de la mani`ere
suivante :
On consid`ere la suite (un) d´efinie par : u1 = 16, u2 = 1156, u3 = 111556, ...
Chaque terme est obtenu a` partir du pr´ec´edent en ins´erant 1 et 5 au milieu de celui-ci.
√√ √
1. D´eterminer u1, u2 et u3
2. Soit a = 333...34 ((n − 1) fois le chiffre 3 suivis d’un chiffre 4 avec n ≥ 1)
(a) Montrer que a= 10n − 1 et que a2 = 102n − 1 10n − 1
+1 + 4( ) + 1
3 93
(b) En d´eduire que pour tout entier naturel non nul n, un est un carr´e parfait.
1.10 Activit´e 16 :
1.10.1 Commentaire
√
0 < x < 1 donc x > x et par suite le 100 `eme chiffre de x ne peut pas ˆetre inf´erieur `a 9
c’est donc 9.
A. Rahmouni page 14 Octobre 2018
CHAPITRE 1. CALCUL DANS R
1.11 Activit´e 21 :
1.11.1 Commentaire
1. l’aire du carr´e ”bleu” (x2 + y2) est sup´erieure a` la somme des aires des quatre triangles
(2xy)
2. -d) 1 + 1 1a + ba + cc + b) ≥ 3+2+2+2 = 9
(a + b + c)( + ) = 1+1+1+( )+( )+(
abc bc ca bc
G´en´eralisation : Soit x1, x2, ..., xn , n r´eels strictement positifs, on a :
(x1 + x2 + ... + 1 + 1 + ... + 1 ≥ n2 (voir activit´e 24)
xn)( x1 x2 )
xn
1.11.2 Prolongement possible
De la question 2-b) on peut d´eduire d’autres in´egalit´es telles que :
b + c + a + c a+b ≥ 6 et a + b + c ≥3
)+
ab c b+c a+c a+b 2
1.12 Autres activit´es
1.12.1 activit´e 1
11 1
Soient Soit a, b et c trois r´eels tels que abc = 1 et a + b + c = + ) +
ab c
Montrer que l’un au moins de ces trois r´eels est ´egal `a 1.(Indication : d´evelopper le produit
(a − 1)(b − 1(c − 1))
1.12.2 activit´e 2
ab c
Soient Soit a, b et c trois r´eels tels que + + =1
b+c a+c a+b
a2 b2 c2
Montrer que : + + =0
b+c a+c a+b
A. Rahmouni page 15 Octobre 2018
CHAPITRE 1. CALCUL DANS R
ab c
(Indication : d´evelopper le produit (a + b + c)( + + ))
b+c a+c a+b
1.13 Activit´e 23 :
On peut ´elever les deux membres au carr´e et remarquer que 2003×2005 = (2004−1)(2004+1)
1.14 Activit´e 24 :
1.14.1 Solution 2)
√ √√
(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 2 ab.2 bc.2 ac = 8abc
1.14.2 Prolongement possible (pour l’enseignant)
In´egalit´es des moyennes : D´efinition
Soit x1, x2, ..., xn , n r´eels strictement positifs, les r´eels :
x1 + x2 + ... + xn , √ et n
n x1 × x2 × ... × xn,
11 1
+ + ... +
x1 x2 xn
sont respectivement appel´es moyenne arithm´etique ma , moyenne g´eom´etrique mg , moyenne
harmonique mh , et moyenne quadratique mq de x1, x2, ..., xn.
Montrer que mh ≤ mg ≤ ma ≤ mq. En d´eduire que (x1 + x2 + ... 1 + 1 + ... + 1 ) ≥ n2
+ xn)( x1 x2 xn
Indications
• la d´emonstration de mg ≤ ma se d´eduit de la convexit´e de la fonction Exponentielle
• la d´emonstration de ma ≤ mq se d´eduit de la convexit´e de la fonction x → x2
• la d´emonstration de mh ≤ mg se d´eduit de la premi`ere in´egalit´e mg ≤ ma
A. Rahmouni page 16 Octobre 2018
CHAPITRE 1. CALCUL DANS R
Et encore les moyennes
a` voir de la page 20 `a la page 25 du document ci-dessous :
http://online.anyflip.com/drxv/twbr/
1.15 Activit´e 25 :
1.15.1 Quelques indications
1. (a) On applique l’in´egalit´e triangulaire dans les triangles ABI et M CI
(b) On ajoute membre `a membre les in´egalit´es pr´ec´edentes et on remplace AI + IC par
AC
1.16 Activit´e 26 :
1.16.1 Quelques indications
c)
• En ajoutant membre a` membre les in´egalit´es pr´ec´edentes on aura 2(AC + BD) ≥ 2p
• En appliquant l’in´egalit´e triangulaire dans les triangles ABC et ADC on aura :
AC ≤ AB + BC et AC ≤ AD + DC par addition on aura : 2AC ≥ 2p
de la mˆeme fa¸con on a : 2BD ≥ 2p et par suite AC + BD ≥ 2p.
1.17 Activit´e 30 :
1.17.1 Indication
Il est peut ˆetre plus simple pour les ´el`eves de r´epondre a` la question : ”Montrer que c’est
√√
un entier” 97 − 56 3 = (7 − 4 3)2
A. Rahmouni page 17 Octobre 2018
CHAPITRE 1. CALCUL DANS R
1.18 Activit´e 32 :
1.18.1 Indication
2 . 13 = 32 + 22 74 = 52 + 72 85 = 92 + 22
En s’inspirant de la question pr´ec´edente on peut donc inscrire ce triangle dans un rectangle
de cˆot´es 7 et 5 comme le pr´ecise la figure jointe aux ´enonc´es.
1.19 Activit´e 34 :
(18, 24, 30) est un triplet pythagoricien.
A. Rahmouni page 18 Octobre 2018
Chapitre 2
Probl`emes du 1er degr´e
Probl`emes du 2`eme degr´e
2.1 Les abc
2.1.1 Version papier crayon
Placer chacune des ´equations suivantes dans la colonne ad´equate.
2.1.2 Version ´ecran
https://learningapps.org/watch?v=pyr56qeu518
19
CHAPITRE 2. PROBLE`MES DU 1ER DEGRE´
PROBLE`MES DU 2E`ME DEGRE´
2.2 D´evelopper ses comp´etences
2.2.1 1. Le diamantaire
D´esignons par x le nombre de diamants
la part du 1er est : x−1 x+6 x − x + 6 = 6x − 6
1 + = . Il reste alors
77 77
6x − 6
7 − 2
6x + 78
la part du 2 `eme est : 2 + = .
7 49
En ´egalisant les deux parts on obtient x = 36 Le diamantaire a donc 6 enfants et la part de
chacun est 6 diamants.
2.2.2 2.
En d´esignant par y l’ordonn´ee du point N et par application du th´eor`eme de Thal`es on
aura : y−2 2 2x
= d’ou` y= x−2
y x
2.2.3 3. Le nombre d’or
1. (a) En ´egalisant les aires des trois triangles on aura : a(d + c) = b.d = c(a + b)
En ´eliminant a on obtient : d2 − cd − c2 = 0
db
(b) De l’´egalit´e a(d + c) = c(a + b) , on obtient ad = bc d’ou` =
ca
2. P AQ est isoc`ele en P , donc b2 + d2 = a2 + (d + c)2
or a = b.φ b = c.φ φ2 − 1 = φ et 1 + 2φ = φ2
En rempla¸cant dans l’´egalit´e b2 + d2 = a2 + (d + c)2 on obtient a = c.φ
2.2.4 4.
dA = 3vA, dB = 3vB dA + dB = 132 donc vA + vB = 44
11
33 66 66 − 20 vA
66 = 60 vA + t.vA = t.vB
alors t = =
vB vA
En simplifiant par 11 et en remplac¸ant vB par 44 − vA , on aura :
A. Rahmouni page 20 Octobre 2018
CHAPITRE 2. PROBLE`MES DU 1ER DEGRE´
PROBLE`MES DU 2E`ME DEGRE´
6 = 120 − vA d’ou` (vA)2 − 44vA + 480 = 0
44 − vA 20.vA
et par suite vA = 20km/h et vB = 24km/h
2.3 Exercices et probl`emes
2.3.1 8. Quelle heure est-il ?
L’heure qu’il est c’est justement le quart du temps depuis minuit. Donc si on d´esigne par
x l’heure cherch´ee on aura : et par suite x = 9h36mn
x 24 − x
+ = x d’ou` 48x = 5
42
2.4 Autres activit´es sur les ´equations
2.4.1 Activit´e : une histoire de chameaux
Un chamelier a trois fils. Ne pouvant plus s’occuper de son troupeau, il le partage entre ses
trois fils. Pour cela il emprunte un chameau a` son cousin : il donne la moiti´e du troupeau a`
l’ain´e, le tiers a` son cadet et le huiti`eme au plus jeune, puis il rend le chameau restant a` son
cousin .Combien avait–il de chameaux ?
2.4.2 Activit´e
Trois enfants se partagent un sac de billes. Le premier prend le tiers du tas plus deux billes,
le deuxi`eme prend la moiti´e de ce qui reste plus une bille et le troisi`eme prend les quatre billes
restantes.
Combien y avait-il de billes ?
A. Rahmouni page 21 Octobre 2018
CHAPITRE 2. PROBLE`MES DU 1ER DEGRE´
PROBLE`MES DU 2E`ME DEGRE´
2.4.3 Activit´e
L’herbe d’un pr´e pousse partout avec la mˆeme vitesse et la mˆeme densit´e. On sait que 70
vaches la mangeraient en 24 jours et que 30 vaches la mangeraient en 60 jours.
Combien de vaches mangeraient l’herbe du pr´e en 96 jours. ?
2.4.4 Activit´e
Un ´ecolier court deux fois plus vite qu’il ne marche . Un jour en allant a` l’´ecole il a march´e
deux fois plus longtemps qu’il n’a couru et il a mis 20 minutes. Le lendemain il a couru deux
fois plus longtemps qu’il n’a march´e.
Combien de minutes a-t-il mis pour aller a` l’´ecole ce jour la` ?
(Crit´erium math´ematique d’AQUITAINE –1985)
2.4.5 Activit´e
La distance s´eparant deux villes A et B est de 300Km . Un train part de la ville A et roule
vers la ville B `a la vitesse de 120Km/h .
Au mˆeme instant une mouche part de B vers A et vole a` la vitesse de 150Km/h vers le train.
D`es qu’elle le rencontre, elle fait demi-tour instantan´ement et repart vers la ville B. Arriv´ee en
B, elle repart a` la rencontre du train et ainsi de suite jusqu’a` ce que le train arrive en B.
Quelle est la distance parcourue par la mouche ?
2.4.6 Activit´e 11
Dans un village de 5000 habitants (jeunes et vieux) 20% des jeunes se croient vieux et
10% des vieux se croient jeunes , les autres se prennent pour ce qu’ils sont. Dans un sondage
d’opinion 34% des habitants de ce village se croient vieux.
Combien y a-t-il de jeunes et de vieux dans ce village ?
A. Rahmouni page 22 Octobre 2018
Chapitre 3
Notion de polynˆome
3.1 Explorer
3.1.1 Activit´e 21
Solution
2 . α + β + γ = −b , α × β + γ × α + β × γ = c , α × β × γ = −d
a aa
3 . Si ces r´eels existent, ils sont racines du polynoˆme P d´efini par P (x) = x3 + bx2 + cx + d
avec − b = 5; c −d = −1 donc ils sont racines du polynoˆme P d´efini par
= 3; 1
11
√√
P (x) = x3 − 5x2 + 3x + 1 = (x − 1(x2 − 4x − 1) .Ils sont donc 1; 2 + 5 et 2 − 5
Prolongement possible (Pour l’enseignant)
G´en´eralisation : Fonctions sym´etriques ´el´ementaires des racines
Soit P le polynˆome d´efini par P (x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0. On suppose que P admet
n racines x1, x2, . . . , xn et on d´esigne par :
n
S1 = xi
i=0
n
S2 = xixj (somme des produits deux `a deux des racines)
(somme des produits trois `a trois des racines)
i=0
n
S3 = xi xj xk
i=0
.................................
n
Sn = xi
i=0
S1, S2, . . . , Sn sont appel´ees fonctions sym´etriques ´el´ementaires des racines du polynˆome P .
23
CHAPITRE 3. NOTION DE POLYNOˆ ME
Montrer que pour tout entier p, 1 ≤ p ≤ n , on a : Sp = (−1)p an−p
an
Exemple
Soit P le polynˆome d´efini par P (x) = 5x3 + 2x2 + 3x + 4. Si ce polynˆome admet trois racines
x1, x2 et x3 alors S1 = x1 + x2 + x3 = −2; 3
5 S2 = x1x2 + x1x3 + x2x3 = 5
4
S3 = x1x2x3 = −
5
3.2 Exercices et probl`emes
3.2.1 Exercice 16 : Probl`eme de BHASKARA
x3 − 6x2 + 12x − 35 = (x − 5)(x2 − 7x + 7) (une racine enti`ere doit ˆetre un diviseur de 35)
3.2.2 Exercice 17 :
1. f (a) = f (b) = f (c) = 0
2. Quel est le coefficient de x3 ? Que peut-on dire du degr´e de P ? Conclure.
A. Rahmouni page 24 Octobre 2018
Chapitre 4
Arithm´etique
4.1 Activit´e 1
Le reste de la division euclidienne de 77 (respectivement 155 ; 234) par 7 d´etermine le jour
de la semaine.
4.2 Activit´e 2
On peut penser `a la division euclidienne de 527 par 6
4.3 Activit´e 3
* On peut ajouter la question suivante :
(d) En d´eduire que ”Si n divise x et y ,alors il divise tout nombre de la forme px + qy ou`
p et q sont des entiers naturels”
Ce r´esultat peut ˆetre retenu et ajout´e a` la rubrique synth`ese.
4.3.1 Applications
Application 1
Soit n un entier naturel et soit a = 2n − 1 et b = 9n + 4. Montrer que tout diviseur commun
a` a et b divise 17
25
CHAPITRE 4. ARITHME´TIQUE
En d´eduire les valeurs possibles du P GCD de a et b
Application 2
1. R´eduire et ordonner (x − 1)(x − 2) + 4
2. soit n un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2 et soit A = n − 1 et B = n2 − 3n + 6
• Montrer que P GCD(A, B) = P GCD(A, 4. En d´eduire les valeurs possibles de
P GCD(A, B)
• Pour quelles valeurs de n le nombre n2 − 3n + 6 est–il un entier naturel ?
n−1
Application 3
Montrer que pour tout entier naturel n, les nombres 8n + 3 et 5n + 2 sont premiers entre
eux.
Application 4
soit a et b deux
1. On pose A = 5a + 4 et B = 11a + 9b. Montrer que P GCD(A, B) = P GCD(a, b)
2. Soit M = pa + qb et B = ra + sb avec ps − qr = 1. Montrer que :
P GCD(M, N ) = P GCD(a, b) (voir aussi Assimiler(3) et d´evelopper ses comp´etences (3)
)
4.4 Activit´e 4 page 26 Octobre 2018
Solution
2 . b . Soit n = 10q + u
A. Rahmouni
CHAPITRE 4. ARITHME´TIQUE
• Si u < 5 alors n = 5(2q)+u et par suite n et u ont le mˆeme reste dans la division
euclidienne par 5 qui est u
• Si 5 ≤ u ≤ 9 alors u = 5 + r et n = 5(2q + 1) + r et par suite n et u ont le mˆeme
reste dans la division euclidienne par 5 qui est r
c . On peut proc´eder comme au 2-b)
4.5 Activit´e 5
Indications
2 . On peut proc´eder comme a` l’activit´e 4 (2`eme question)
4.6 Activit´e 6
Indications
2 . On peut proc´eder comme a` l’activit´e 4 (2`eme question)
4.7 Activit´e 7
Solution
2 . b . n − S est un multiple de 9 donc il existe un entier k tel que n − S = 9k, d’autre part
la division euclidienne de n par 9 permet d’´ecrire n = 9k + r avec 0 ≤ r < 9 d’ou`
n = 9k + r = 9k + S
• Si S < 9 alors n et S ont le mˆeme reste dans la division euclidienne par 9 qui
est r = S
• Si S ≥ 9 alors s ≥ r et S − r = 9(k − k) avec k − k ≥ 0 d’ou` S = 9(k − k) + r
et par suite n et S ont le mˆeme reste dans la division euclidienne par 9 qui est r
A. Rahmouni page 27 Octobre 2018
CHAPITRE 4. ARITHME´TIQUE
4.8 Activit´e 8
Solution
La contenance totale des neuf r´ecipients est 140 litres . Si on d´esigne par l, h et p respective-
ment le nombre de litres de lait, d’huile et de p´etrole achet´es on a h + l + p = h + 2h + 6h = 9h
Chercher le r´ecipient vide revient donc `a d´eterminer le nombre(parmi ceux qu’on a) qu’il faut
retrancher de 140 pour obtenir un multiple de 9, c’est donc le r´ecipient de contenance 23 litres
qui est vide, d’ou` :
h = 13 (3 + 10); l = 26 (11 + 15); p = 78 (6 + 17 + 25 + 30)
4.9 Activit´e 9
Solution
1. On peut conjecturer ”pour tout entier naturel non nul n, 102n − 1 est divisible par 11”
2. On peut conjecturer ”pour tout entier naturel non nul n, 102n+1 + 1 est divisible par 11”
Remarque : ces deux conjectures ne sont pas `a d´emontrer mais on peut le faire apr`es le
chapitre ”Suites g´eom´etriques” .Il suffit de remarquer que :
1+102 +104 +...+102n−2 = 102n − 1 et que 1−10+102 −103 +104 +...+102n = 102n+1 + 1
99 11
4.10 Activit´e 10
Indication
L’objectif de cette activit´e est de conjecturer que : ”si d est positif, n est divisible par 11 si
et seulement si d est divisible par 11”
A. Rahmouni page 28 Octobre 2018
CHAPITRE 4. ARITHME´TIQUE
4.11 Activit´e 12
Indication
L’objectif de cette activit´e est de conjecturer que : ”si d est positif, n et d ont le mˆeme reste
dans la division euclidienne par 11”
4.12 Activit´e 13
Indication
L’objet de cette activit´e est l’´etude sur des exemples du cas ou d est n´egatif. On cherche le
plus petit multiple m de 11 tel que d + m soit positif et on arrive `a conjecturer que : ”Si d est
n´egatif, le reste de la division euclidienne de n par 11 est d + m”
4.13 Autres crit`eres de divisibilit´e
4.13.1 crit`eres de divisibilit´e par 13
Soit n un entier naturel et soit q et r respectivement le quotient et le reste de sa division
euclidienne par 10.
( n est divisible par 13 ) si et seulement si ( q + 4r est divisible par 13 )
En effet on a n = 10q + r
• si n est divisible par 13 alors il existe un entier k tel que n = 13k = 10q + r, en multipliant
par 4 on a 52k = 40q + 4r d’ou` q + 4r = 52k − 39q = 13(4k − 3q) et par suite q + 4r est
un multiple de 13
• Si q + 4r est un multiple de 13 alors il existe un entier k tel que q + 4r = 13k
d’ou` n = 10q + r = 10(13k − 4r) + r = 13(10k − 3r) par suite n est un multiple de 13
A. Rahmouni page 29 Octobre 2018
CHAPITRE 4. ARITHME´TIQUE
4.13.2 Activit´e crit`eres de divisibilit´e par 19, par 23
Soit n un entier naturel et soit q et r respectivement le quotient et le reste de sa division
euclidienne par 10. Montrer que :
( n est divisible par 19 ) si et seulement si ( q + 2r est divisible par 19 )
( n est divisible par 23 ) si et seulement si ( q + 7r est divisible par 23 )
4.13.3 Un crit`ere de divisibilit´e par 8
E´nonc´e du crit`ere
Un nombre est divisible par 8 si et seulement si la somme
- du nombre form´e par ses chiffres des dizaines et des centaines
- et de la moiti´e de son chiffre des unit´es
est divisible par 4
Commentaire
Nous rappelons que si un nombre est divisible par 8 alors il est pair et par suite son chiffre
des unit´es est divisible par 2 et par cons´equent, sa moiti´e est un entier.
Autrement dit, un nombre dont le chiffre des unit´es est impair ne peut pas ˆetre divisible par 8,
donc il ne fait pas partie des nombres qui nous int´eressent.
Exemples
1. N1 = 457836944 On a 94 + 2 = 96 = 8 × 12 alors N1 est divisible par 8
2. N2 = 67028912358 On a 35 + 4 = 39 = 8 × 4 + 7 alors N2 n’est pas divisible par 8
3. N3 = 547328921 Le chiffre des unit´es de N3 est impair alors N3 n’est pas divisible par 8
D´emonstration page 30 Octobre 2018
Dans toute la suite, on d´esignera par :
A. Rahmouni
CHAPITRE 4. ARITHME´TIQUE
• N , le nombre `a savoir s’il est divisible par 8 (on consid`ere qu’il est form´e de plus de 3
chiffres)
• u, le chiffre des unit´es de N (rappelons que u est pair, on notera u sa moiti´e)
• d, le chiffre des dizaines de N
• c, le chiffre des centaines de N
• cd, l’´ecriture dans la base 10 du nombre form´e par les chiffres des dizaines et des centaines
de N
• A, le nombre form´e par tous les chiffres de N situ´es a` gauche de son chiffre des centaines
Ainsi,
N = 1000 × A + 10 × cd + 2 × u
= 8(125 × A) + 2(5 × cd + u )
= 8(125 × A) + 2(4 × cd + cd + u )
1er sens
Prenons comme hypoth`ese : cd + u est divisible par 4 et montrons que N est divisible par 8
=⇒ cd + u = 4.k (k ∈ N)
=⇒ 4 × cd + cd + u = 4 × cd + 4.k
=⇒ 5 × cd + u = 4(cd + k)
=⇒ 2(5 × cd + u ) = 2 × 4.k (k = cd + k ∈ N)
=⇒ 10 × cd + 2 × u = 8.k
=⇒ 1000 × A + 10 × cd + 2 × u = 1000 × A + 8.k
=⇒ 1000 × A + 10 × cd + u = 8(125 × A + k )
=⇒ N = 8.q (q = 125 × A + k ∈ N)
Par suite, N est divisible par 8.
A. Rahmouni page 31 Octobre 2018
CHAPITRE 4. ARITHME´TIQUE
2`eme sens
Prenons comme hypoth`ese : N est divisible par 8 et montrons que cd + u est divisible par 4
=⇒ N = 8.q (q ∈ N)
=⇒ 1000 × A + 10 × cd + u = 8q (8q ≥ 1000A)
=⇒ 10 × cd + u = 8q − 1000 × A
=⇒ 2 × cd + u = 8q − 1000 × A − 8 × cd
=⇒ 2 × cd + 2 × u = 8(q − 125 × A − cd)
=⇒ 2(cd + u ) = 8.k1 (k1 ∈ N)
=⇒ cd + u = 4.k1
Par suite, cd + u est divisible par 4
4.14 Autres activit´es. Polynˆomes et arithm´etique
Activit´e 1
Soit P le polynoˆme d´efini par P (x) = xn + an−1xn−1 + . . . .a1x + a0 tels que les coefficients
a0, a1...an−1 soient des entiers relatifs.
1. Montrer que si α est une racine de P alors α divise a0 (divisibilit´e dans Z )
2. En d´eduire que :
(a) les racines r´eelles de P sont soit des entiers soit des irrationnels.
√√ √ √
(b) 2, 3 et 2 + 3 sont des nombres irrationnels.
Activit´e 2
Soit P le polynoˆme d´efini par P (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . .a1x + a0 tels que les coefficients
a0, a1...an−1, an soient des entiers relatifs.
A. Rahmouni page 32 Octobre 2018
CHAPITRE 4. ARITHME´TIQUE
p
1. Montrer que si q ( ou` p et q sont premiers entre eux) est un z´ero de P alors p divise a0
et q divise an.
2. Applications
(a) Montrer que le polynoˆme P tel que P (x) = x3 −3x+1 n’a pas de racines rationnelles
et qu’il en est de mˆeme pour le polynˆome Q tel que Q(x) = 5x4 + 15x2 − 30x − 3
(b) Trouver les racines rationnelles du polynˆome R tel que
R(x) = 5x4 + 3x3–25x2 + 20x − 3
4.15 Exercices et probl`emes
Exercice 15
Indication
2005−10 = 1995 = n.q1, 5002−32 = 4970 = n.q2 d’ou` n > 32 et n est un diviseur commun
de 1995 et de 4970
Exercice 16
Indication
Si on d´esigne par q le quotient on a q2 < 29
Exercice 18
Indication
12345679 × 9n = (111111111).n = nnnnnnnnn, n ´etant un chiffre.
A. Rahmouni page 33 Octobre 2018
CHAPITRE 4. ARITHME´TIQUE
Exercice 20
Indication
p + 11 12
p−1 =1+ p−1
Exercice 22
Indication
Si on ´ecrit a = (a − b)q + r avec r < a − b et b = (a − b)q + r avec r < a − b on aura
b = a − (a − b) = (a − b)(q − 1) + r d’ou` r = r et q = q − 1
Remarque : comme b < a donc q ≥ 1 et par suite q ≥ 0
Exercice 27
Indication
les restes respectifs de la division euclidienne par 7 de 366 et 365 sont 2 et 1 donc en passant
d’une ann´ee `a l’autre le jour de la semaine du 1er janvier ”avance” de 2 jours ou d’un seul
suivant que l’ann´ee est bissextile ou non.
....................... Le 1er janvier 2005 → Samedi
Le 1er janvier 2006 → Dimanche
Le 1er janvier 2007 → Lundi
Le 1er janvier 2008 → Mardi (ann´ee bissextile)
Le 1er janvier 2009 → Jeudi
Le 1er janvier 2010 → Vendredi
A. Rahmouni page 34 Octobre 2018
Chapitre 5
Calcul vectoriel
5.1 Activit´e 41
5.1.1 Solution
−→ −→ −−→ −→ −−→ −→ −→ →−
OI + OJ + OK = AB + BC + CA = AA = 0
5.2 Activit´e 45
5.2.1 Solution
35
CHAPITRE 5. CALCUL VECTORIEL
3 . b . On a (CF ) (ID) et (ID) ⊥ (AB) donc (CF ) ⊥ (AB) (1)
c . On a d´ej`a montr´e en 3. b. que la droite (CF ) est orthogonale a` la droite (AB), il
reste a` d´emontrer que la droite (BF ) est orthogonale `a la droite (AC) ou que la
droite (AF ) est orthogonale a` la droite (BC)
DF IC est un parall´elogramme donc :(DF ) (IC) et DF = IC
(I C ) (BE)
=⇒ DF EB est un parall´elogramme
IC = BE
D’autre part : IADB et IBEC sont des losanges
=⇒ BE = BI = BD
=⇒ DF EB est aussi un losange =⇒ (BF ) ⊥ (DE) (a)
−→ −→ −→
DI = AI + BI −−→ −→
−→ −→ −→ DE = AC
IE = IB + IC
=⇒ (DE) (AC) (b)
A. Rahmouni page 36 Octobre 2018
CHAPITRE 5. CALCUL VECTORIEL
R´esum´e D’apr`es (a) et (b) :
(BF ) ⊥ (DE)
=⇒ (BF ) ⊥ (AC) (2)
(DE) (AC )
D’apr`es (1) et (2), F est donc l’orthocentre du triangle ABC
5.3 Assimiler : Exercice 17
5.3.1 Solution
Soit G le centre de gravit´e du triangle IJK
⇐⇒ −→ −→ −−→ →−
GI + GJ + GK = 0
⇐⇒ −→ −→ −−→ −→ −→ −−→ →−
GA + AI + GB + BJ + GC + CK+ = 0
⇐⇒ −→ −−→ −→ −→ −→ −−→ →−
GA + GB + GC + AI + BJ + CK+ = 0
⇐⇒ −→ −−→ −→ −→ −−→ −→ →−
GA + GB + GC + 2(AB + BC + CA) = 0
⇐⇒ −→ −−→ −→ →− →−
GA + GB + GC + 0 = 0
⇐⇒ −→ −−→ −→ →−
GA + GB + GC = 0
Ainsi G le centre de gravit´e du triangle ABC.
A. Rahmouni page 37 Octobre 2018
Chapitre 6
Barycentre
6.1 Explorer
6.1.1 Activit´e 5 : solution
1. Soient M et N deux points quelconques du plan :
−−→ + −−→ − −−→ = −−→ −−→ −−→ −−→ − −−→ −−→ = −−→ + −−→ − −−→
MA 2M B 3M C (M N + N A) + 2(M N + NB) 3(M N + N C) NA 2N B 3N C
Le vecteur →− = −−→ + −−→ − −−→ est donc un vecteur constant
V MA 2M B 3M C
2. On a −−→ −−→ = →− or →− = −−→ −−→ −−→ donc →− = −−→ donc →− est un
2A B − 3A C 0 V A A + 2A B − 3A C V AA V
vecteur directeur de la droite (AA )
On d´emontre de mˆeme que :
→−
• V est un vecteur directeur de la droite (BB )
• →− est un vecteur directeur de la droite (C C )
V
6.1.2 Activit´e 10 : solution
−−→ + −−→ − −−→ + −−→ = →−
3K A 6K B KC 2K D 0
−→ + −→ + −→ + −→ − −→ + −→ + −→ + −→ = →−0
3(K I I A) 6(K I IB) (K J JC) 2(K J JD)
−→ −→ →−
9KI + KJ = 0
38
CHAPITRE 6. BARYCENTRE
par suite I, J et K sont align´es
6.2 Autres activit´es
6.2.1 Activit´e
Montrer que [G barycentre de {(A, α) ; (B, β)}] ´equivaut a` [A barycentre de {(G, α +
β) ; (B, β)}]
6.2.2 Activit´e
E´ nonc´es
1. Soient A et B deux points distincts, I le milieu de [AB] et a et b deux r´eels tels que
a + b = 0. On d´esigne par G le barycentre de (A, a) et (B, b) et par G le barycentre de
(A, b) et (B, a)
Montrer que G et G sont sym´etriques par rapport a` I
2. Soit ABC un triangle et M un point de [AB] distinct de A et de B
(a) On d´esigne par : M1 le projet´e de M sur (AC) parall`element a` (BC)
M2 le projet´e de M1 sur (BC) parall`element a` (AB)
M3 le projet´e de M2 sur (AB) parall`element a` (AC)
Montrer que M et M3 sont sym´etriques par rapport au milieu I de [AB]
(b) Soit M4 le projet´e de M3 sur (AC) parall`element a` (BC)
M5 et M6 sont d´efinis de la mˆeme fa¸con que M2 et M3.
M7, M8 et M9 sont d´efinis de la mˆeme fa¸con que M1, M2 et M3.
....................... .et ainsi de suite
Que peut-on dire de M 6 ?
3. Que peut-on dire de la suite des points Mn ?
A. Rahmouni page 39 Octobre 2018
CHAPITRE 6. BARYCENTRE
Solution
1. Pour tout point M du plan on a :
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→
aM A + bM B = (a + b)M G et bM A + aM B = (a + b)M G
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→
En ajoutant membre `a membre on aura : M G + M G = M A + M B = 2M I donc I est le
milieu de [GG ]
2. (a) M le barycentre de (A, a) et (B, b). Comme la projection conserve le barycentre
(Forme vectorielle de Thal`es) alors :
M1 le barycentre de (A, a) et (C, b)
M2 le barycentre de (B, a) et (C, b)
M3 le barycentre de (B, a) et (A, b)
D’apr`es la premi`ere question M et M3 sont donc sym´etriques par rapport au milieu
I de [AB]
(b) De la mˆeme fa¸con M et M3 sont donc sym´etriques par rapport au milieu I par suite
M = M6
3.
M6k = M, M6k+1 = M1, M6k+2 = M2, M6k+3 = M3, M6k+4 = M4, et M6k+5 = M5
A. Rahmouni page 40 Octobre 2018
CHAPITRE 6. BARYCENTRE
6.2.3 Activit´e
E´ nonc´es
Soit G le centre de gravit´e d’un triangle ABC.
Montrer que les triangles GAB, GBC et GAC ont mˆeme aire.
Solution
Il suffit de montrer que aire(AB C ) =3
aire(GB C )
Si on d´esigne par : I le milieu de [BC], H le projet´e orthogonal de A sur (BC) et H le projet´e
orthogonal de G sur (BC), on aura :
aire(ABC) BC.AH AH IA
= = = =3
aire(GBC) BC.GH GH IG
6.3 Activit´e 13
2)
−→ −−→ −→ −→ −−→ −−→ −−→ −−→
2GA + 2GB + GC = 2GA + 2(GM + 2M B) + (GM + M C)
−−→ −→ −−→ −−→
= (3GM + 2GA) + (2M B + M C)
→−
=0
6.4 Activit´e 16
(a)
−−→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ −−→
MA + MB + MC = MI + IA + MJ + JB + MK + KC
−−→ −→ −−→ −−→ −−→ −→ −→ −−→
= (3GM + 2GA) + M I + M J + M K + (IA + JB + KC)
−→ −→ −−→ −→ −−→ −→ →−
or IA + JB + KC = IA + AK + KI = 0
A. Rahmouni page 41 Octobre 2018
CHAPITRE 6. BARYCENTRE
D´efinition : On dit que deux triangles sont compl´ementaires si les sommets de l’un
sont les milieux des coˆt´es de l’autre
−→ −−→ −→ −→ −→ −−→ →−
(b) GA + GB + GC = GI + GJ + GK = 0 : deux triangles compl´ementaires ont le mˆeme
centre de gravit´e.
6.5 Activit´e 17
−−→ −−→ −−→ →−
1. ABC et A B C ont mˆeme centre de gravit´e si et seulement si AA + BB + CC = 0
−−→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ −→ →−
2. AA + BB + CC = AB + BA + BC + CB + CA + AC = (1 + k)(AB + BC + CA) = 0
ainsi les deux triangles ABC et A B C ont mˆeme centre de gravit´e.
6.6 Activit´e 19
2 . (a) Si α + β = 0, β + γ = 0 et α + γ = 0 alors par addition on obtient α + β + γ = 0
Donc l’un au moins de ces trois r´eels est non nul.
(b)
−→ −−→ −→ →−
α.GA + β.GB + γ.GC = 0 −→ −→ →−
−→ −→ = →−0 =⇒ (α+β)GA + γ.GC = 0 (D’apr`es Chasles)
α.IA + β.IB
6.7 Activit´e 20
6.7.1 1`ere m´ethode
G est le barycentre de {(A, 1) ; (M, 2)} donc −→ + −−→ = →−0 (1)
GA 2GM
M est le barycentre de {(B, 3) ; (C, 1)} donc −−→ + −−→ = →−0 (2)
3M B MC
En appliquant la relation de Chasles dans la relation (2) on a : −−→ + −−→ + −→ = →−0 (3)
4M G 3GB GC
−−→ −→
Or d’apr`es la relation (1), 4M G = 2GA donc la relation (3) devient :
−→ −−→ −→ →−
2GA + 3GB + GC = 0
et par suite G est le barycentre de {(A, 2) ; (B, 3) ; (C, 1)}
A. Rahmouni page 42 Octobre 2018
CHAPITRE 6. BARYCENTRE
6.7.2 2`eme m´ethode (par ajustement des coefficients)
G est le barycentre de {(A, 1) ; (M, 2)} et M est le barycentre de {(B, 3) ; (C, 1)}
Apr`es ajustement on peut ´ecrire :
G est le barycentre de {(A, 2) ; (M, 4)} = barycentre de {(A, 2) ; (B, 3) ; (C, 1)}
6.8 Barycentre partiel. Associativit´e. Ajustement
1. (a) Version ”papier - crayon”
Pour chacune des figures suivantes d´eterminer trois r´eels a, b et c pour que G soit le
barycentre de (A, a); (B, b); (C, c). (sur chaque segment les divisions sont r´eguli`eres)
(b) Version ”´ecran”
https://learningapps.org/watch?v=px4ammmik18
2. D´eterminer des r´eels b et c pour que G soit le barycentre de (B, b); (C, c).
A. Rahmouni page 43 Octobre 2018
CHAPITRE 6. BARYCENTRE
3. Dans la figure ci-contre les droites (AI), (BJ) et (CK) sont-elles concourantes ?
6.9 Activit´e 21 : Probl`eme de concours
1. (a) E = barycentre {(A, 2) ; (B, 1) ; (C, 1)} = barycentre {(A, 2); (A , 2)} = A ∗ A
donc E appartient a` (AA ) (1)
−−→ −→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ →−
(b) On a : 3AD = AB donc 3AD = AD + DB d’ou` 2DA + DB = 0
et par suite D = barycentre {(A, 2) ; (B, 1)}
E = barycentre {(A, 2) ; (B, 1) ; (C, 1)} = barycentre {(D, 3); (C, 1)}
donc E appartient a` (CD) (2)
2. La droite (B C ) passe par E (3) (Droite des milieux )
D’apr`es (1), (2) et (3), E appartient aux trois droites (AA ), (B C ) et (CD)
6.10 Autres probl`emes de concours (Ajustement des co-
efficients )
6.10.1 1 er probl`eme
E´ nonc´es
Soit un triangle ABC. On d´efinit les points I, J et K par :
−→ 4−−→ ; −→ 1−→ ; −−→ 3−→
BI = BC CJ = CA AK = AB
7 3 5
. Les droites (AI), (BJ) et (CK) sont-elles concourantes ?
A. Rahmouni page 44 Octobre 2018
CHAPITRE 6. BARYCENTRE
Phase exp´erimentale : vers une conjecture
Dans notre cas, on a mobilis´e le logiciel GeoGebra pour ´enoncer une conjecture.
Les commandes sont a` ´ecrire dans la barre de saisie puis valid´ees en cliquant sur ”Entr´ee”
Commande `a saisir Figure
3∗B+4×C
I=
7
1∗A+2×C
J=
3
2∗A+3×B
K=
5
Relation(G,(CK)
A. Rahmouni page 45 Octobre 2018
CHAPITRE 6. BARYCENTRE
Conjecture ´enonc´ee par le logiciel :
Vid´eo illustrative https://youtu.be/PlSCSFH9Zng
Solution
−→ 4 −−→ ⇐⇒ −→ + −→ = →−0 (1) ⇐⇒ I = barycentre {(B, 3) ; (C, 4)}
BI = BC 3I B 4I C
7
−→ 1−→ ⇐⇒ −→ −→ →− ⇐⇒ J = barycentre {(A, 1) ; (C, 2)}
CJ = CA JA + 2JC = 0 (2)
3
−−→ 3 −→ ⇐⇒ −−→ −−→ →− ⇐⇒ K = barycentre {(A, 2) ; (B, 3)}
AK = AB 2KA + 3KB = 0 (3)
5
En multipliant l’´egalit´e par 2, on aura :J est le barycentre de {(A, 2) ; (C, 4)} : on dit qu’on a
ajust´e les coefficients
Par suite dans les trois relations A est affect´e de 2, B est affect´e de 3 et C est affect´e de 4.
Consid´erons le point G = barycentre {(A, 2) ; (B, 3) ; (C, 4)} et montrons qu’il appartient aux
trois droites (AI), (BJ) et (CK).
G = barycentre {(A, 2) ; (B, 3) ; (C, 4)} ⇐⇒ G = barycentre {(A, 2) ; (I, 7)}
=⇒ G ∈ (AI) (a)
G = barycentre {(A, 2) ; (B, 3) ; (C, 4)} ⇐⇒ G = barycentre {(B, 3) ; (J, 6)}
=⇒ G ∈ (BJ) (b)
A. Rahmouni page 46 Octobre 2018
CHAPITRE 6. BARYCENTRE
G = barycentre {(A, 2) ; (B, 3) ; (C, 4)} ⇐⇒ G = barycentre {(C, 4) ; (K, 5)}
=⇒ G ∈ (CK) (c)
Conclusion : D’apr`es les r´esultats (a), (b) et (c), on d´eduit que les droites (AI), (BJ) et
(CK) sont-elles concourantes.
6.10.2 2 `eme probl`eme
E´ nonc´es
1. Reprendre le probl`eme pr´ec´edent avec
−→ 1−−→ −→ 3−→ −−→ 2 −→
(a) BI = BC; CJ = CA; AK = AB
34 5
−→ 3−−→ −→ 1−→ −−→ −→
(b) BI = BC; CJ = AC; AK = 2AB
52
(c) −→ = − 1 −→ −→ = − 2 −→ −−→ = − 3 −−→
IB IC; AJ CJ; KB KA
23 4
2. Dans chacun des cas pr´ec´edent v´erifier que KB JA IC = −1
: ..
KA JC IB
3. G´en´eralisation : Th´eor`eme de CEVA
Sur les coˆt´es[BC], [CA] et [AB] d’un triangle ABC on consid`ere les points I, J et K
−→ −→ −→ −→ −−→ −−→
d´efinis par : IC = αIB; JA = βJC; KB = γKA
α, β, γ sont trois r´eels tels que : α.β.γ = −1
Montrer que les trois droites (AI), (BJ) et (CK) sont concourantes.
Solution
Remarquons tout d’abord les r´eels α, β et γ sont strictement n´egatifs.
I = barycentre {(B, α) ; (C, −1)}
J = barycentre {(A, 1) ; (C, −β)}
K = barycentre {(A, γ) ; (B, −1)}
On va proc´eder comme dans le 1er probl`eme, par ajustement des coefficients de
fa¸con qu’un mˆeme point soit toujours affect´e du mˆeme coefficient.
A. Rahmouni page 47 Octobre 2018
CHAPITRE 6. BARYCENTRE
Le point A par exemple est une fois affect´e de 1 et une autre fois affect´e de γ.
On peut ajuster en divisant par γ. On aura alors :
J = barycentre {((A, 1) ; (C, −β)}
K = barycentre {((A, 1) ; (B, − 1 )} et comme α.β.γ = −1 =⇒ − 1 = α.β
γγ
On a donc :
J = barycentre {((A, 1) ; (C, −β)}
K = barycentre {((A, 1) ; (B, α.β)}
I = barycentre {((B, α) ; (C, −1)}
Pour le barycentre I, un ajustement donne : I = barycentre {((B, α.β) ; (C, −β)}
On a ainsi ajust´e le coefficients d’une fac¸on qui nous permet de consid´erer le point G barycentre
de {((A, 1) ; (B, α.β) ; (C, −β)}.
Donc G est le barycentre de {((A, 1) ; (I, α.β − β)}. Par suite G appartient `a la droite (AI) .
On d´emontre de la mˆeme fa¸con que G appartient `a (BJ) et `a (CK) et par suite les trois droites
sont concourantes en G .
6.11 Activit´e 22 : probl`emes d’alignement
6.11.1 Solution
(a) −→ − −−→ = →− −→ −→ →−
PA 3P B 0 QA + 3QC = 0
−−→ −−→ →− −−→ −−→ −−→
(b) A P + 2A Q = 0 (A P = B B = −2A Q)
6.12 Activit´e 23
6.12.1 Phase exp´erimentale
Conjecture `a partir le l’usage d’un logiciel de G.D
Dans notre cas, on a mobilis´e le logiciel GeoGebra pour ´enoncer une conjecture.
Les commandes sont a` ´ecrire dans la barre de saisie puis valid´ees en cliquant sur ”Entr´ee”
A. Rahmouni page 48 Octobre 2018
CHAPITRE 6. BARYCENTRE
http://mongeogebra.com/ggbg/2018/10/23/commanequatlieu/
a)
b)
6.12.2 Solution
(a) L’ensemble cherch´e est le cercle circonscrit au triangle ABC
(b) L’ensemble cherch´e est le cercle inscrit au triangle ABC
A. Rahmouni page 49 Octobre 2018
CHAPITRE 6. BARYCENTRE
Commentaires
• Le triangle ABC ´etant ´equilat´eral alors les trois sommets jouent des rˆoles sym´etriques
et par suite,dans notre proposition, au lieu de calculer CG on a pu calculer AG ou BG
(c’est la disposition des points dans la figure qui nous a inspir´e ce choix et ce n’est en
aucun cas une obligation)
• Il est possible d’envisager l’ajout d’une sous-question `a a) et a` b)
Pour a) : V´erifier que le point C (ou A ou B) appartient a` cet ensemble (et ce avant la
recherche de l’ensemble lui-mˆeme)
Pour b) : V´erifier que le point C = A ∗ B (ou A = B ∗ C ou B = A ∗ C) appartient `a
cet ensemble (et ce avant la recherche de l’ensemble lui-mˆeme)
6.13 Activit´e 24
6.13.1 Solution
1. M est le barycentre de {((B, b) ; (C, c)}. De la mˆeme fa¸con, si on d´esigne par N le point
d’intersection de la bissectrice int´erieure de l’angle ABC avec [AC] et par P le point
d’intersection de la bissectrice int´erieure de l’angle ACB avec [AB] on a :
N = barycentre {((A, a) ; (C, c)}
P = barycentre {((A, a) ; (B, b)}
2. G est le barycentre de {((A, a) ; (B, b) ; (C, c)} donc G est le barycentre de
{((A, a) ; (M, b + c) ; (C, c)} et par suite le point G appartient a` la droite (AM ).
On d´emontre de mˆeme que G appartient `a (BN ) et a` (CP ) donc il est le centre du cercle
inscrit dans le triangle ABC.
Conclusion : le centre du cercle inscrit dans un triangle ABC est le barycentre des
sommets A, B et C affect´es respectivement des coefficients a = BC, b = AC et c = AB
Remarque : Ce mˆeme probl`eme est trait´e d’une autre fa¸con dans l’exercice no 9 p 107.
A. Rahmouni page 50 Octobre 2018