BAB 3 |TRANSFORMASI| _____________ By : Neysha Auffa P.P/9F/25
01|TRANSLASI (pergeseran) 02|DILATASI(diperbesar/diperkecil) 04|REFLEKSI (mencerminkan) 03|ROTASI (memutar) Apa aja materi bab 3?
TRANSLASI (pergeseran) Translasi atau pergeseran adalah terjadinya perpindahan/pergeseran dari suatu titik ke arah tertentu di dalam sebuah garis lurus bidang datar. Akibatnya, setiap bidang yang ada di garis lurus tersebut juga akan digeser dengan arah dan jarak tertentu. Translasi juga bisa dikatakan sebagai pemetaan satu-satu dari titik asal ke titik akhir dengan arah dan besar yang sama. Oleh karena termasuk perpindahan/pergeseran, maka objek yang mengalami translasi tidak mengalami perubahan bentuk maupun ukuran. Berikut ini adalah rumus translasi : ~ Apabila pergeserannya menuju ke sumbu-x negatif, maka a bertanda negatif (ke kiri) ~ Apabila pergeserannya menuju ke sumbu-x positif, maka a bertanda positif (ke kanan) ~ Apabila pergeserannya menuju ke sumbu-y negatif, maka b bertanda negatif (ke bawah) ~ Apabila pergeserannya menuju ke sumbu-y positif, maka b bertanda positif (ke atas) Untuk mencari koordinat titik asal dapat menggunakan rumus di samping >>>>>>>> >>>> untuk mencari koordinat translasi dapat menggunakan rumus di samping ini.
1)Tentukan nilai bayangan titik A (-3,4) oleh translasi T(3,6)! 3) Titik P’(2,-4) adalah bayangan titik P(3,5) oleh translasi T. Tentukan nilai T! 2)Tentukan bayangan segitiga J(-1,3), K(-1,1), L(-4,1) sejauh 3 satuan ke kanan dan 4 satuan kebawah! Contoh Soal Translasi 4) Tentukan nilai titik asal yang ditranslasi oleh T(1, 5) menjadi B'(-10, -2)!
DILATASI (diperbesar/diperkecil) Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran setiap titik pada suatu bidang (atau bangun geometri) akibat perkian dengan suatu faktor skala terhadap suatu titik acuan. faktor skala ini yang berperan dalam memperbesar atau memperkecil suatu objek. Faktor skala ini juga ditentukan oleh titik pusat dilatasi, yang merupakan penentu dari perubahan yang terjadi. faktor skala dalam dilatasi dapat bersifat positif atau negatif. Faktor positif akan membuat objek terlihat lebih besar setelah dilatasi, sementara faktor negatif akan membuat objek tampak lebih kecil. >> Jika faktor skala lebih besar dari satu (k > 1) akan mengakibatkan pembesaran ukuran objek dan searah dengan sudut dilatasi objek awalnya. >> Jika faktor skala sama dengan satu (k = 1) tidak mengakibatkan perubahan ukuran atau posisi objek. >> Jika faktor skala antara 0 dan 1 (0 < k < 1) mengakibatkan pengecilan ukuran objek dan searah dengan sudut dilatasi awalnya. >> Faktor pengali antara -1 dan 0 (-1 < k < 0) mengakibatkan pengecilan ukuran objek dan memiliki arah yang berlawanan dengan sudut dilatasi awalnya. Faktor Penentu letak dan ukuran suatu objek hasil dilatasi adalah sebagai berikut :
Jenis Jenis Dilatasi Berdasarkan titik pusatnya, dilatasi dibagi menjadi dua, yaitu dilatasi terhadap titik pusat (0, 0) dan dilatasi terhadap titik pusat (a,b) Apa perbedaan antara keduanya? 1. Dilatasi Terhadap Titik Pusat (0, 0) Bentuk umum dilatasi titik A terhadap titik pusat (0, 0) dengan faktor skala K, bisa dinyatakan sebagai berikut >>>>>> Perhatikan contoh soalnya! Diketahui sebuah persegi Panjang dengan titik koordiinat P(1,3), Q(4,3), R(1,2) dan S(4,2) didilatasi dengan faktor skala 2 dari pusat dilatasi (0,0). Gambarlah bayangan persegi Panjang tersebut! Penyelesaian: Pusat dilatasi (0,0) dengan faktor skala 2 titk sudut PQRS P(1,3) --> P’ (1 x 2, 3 x 2) = (2,6) Q(4,3) --> Q’ (4 x 2, 3 x 2) = (8,6) R(1,2) --> R’ (1 x 2, 2 x 2) = (2,4) S(4,2) --> S’ (4 x 2, 2 x 2) = (8,4) Dapat disimpulkan bahwa bayangan persegi Panjang PGRS’ mengalami pembesaran. 2. Dilatasi Terhadap Titik Pusat (a, b) Bentuk umum dilatasi titik A terhadap titik pusat (a,b) dengan faktor skala K, bisa dinyatakan sebagai berikut >>>>>> Pehatikan soal berikut! Suatu segitiga ABC memiliki titik koordinat A (4, 6), B (2, 2) dan C (6, 2). Jika segitiga tersebut didilatasi terhadap titik pusat (2, -2) dengan faktor skala -1/2, tentukan gambar objek beserta hasil dilatasinya!
Contoh Soal Dilatasi*Soal ada pada halaman sebelumnya Contoh Soal 3 Titik A yang berkoordinat (3, 9) mengalami dilatasi terhadap titik pusat (a, b) dengan faktor pengali 2, sehingga diperoleh koordinat akhir A’ (5, 16). Tentukan koordinat titik pusat dilatasinya! Pembahasan: Diketahui: x = 3, y = 9, k = 2, x’ = 5, y’ = 16 Ditanya: (a, b) =…? Dari persamaan tersebut, diperoleh: 5 = 6 – 2a + a 16 = 18 – 2b + b a = 1 b = 2 Dengan demikian, diperoleh a = 1 dan b = 2. Jadi, koordinat titik pusat (a, b) adalah (1, 2).
Rotasi atau juga dikenal dengan perputaran berarti perpindahan suatu titik yang ditentukan oleh titik pusat rotasi, arah rotasi, dan juga besardari sudut rotasi. Prinsipnya adalah memutar terhadap dan titik pusat yang memiliki jarak yang sama dengan titik yang diputar. Karena hanya berputar, maka rotasi ini tidak mengubah bentuk atau ukuran dari sebuah bidang. ROTASI (memutar) 1. Titik Pusat Rotasi Titik pusat rotasi adalah suatu titik yang menjadi acuan pergerakan putaran dari titik awal ke titik akhir. Titik pusat rotasi dibagi menjadi dua, yaitu titik pusat (0, 0) dan titik pusat (a, b). 2. Besar Sudut Rotasi 3. Arah Rotasi Arah rotasi menunjukkan arah putaran titik atau bangun. Arah rotasi berpengaruh pada tanda sudut rotasinya seperti pada pembahasan diatas, Contoh: •|Arah/sudut rotasi positif (+) artinya berlawanan dengan arah putaran jarum jam •|Arah/sudut rotasi negatif (-) artinya searah dengan arah putaran jarum jam. Faktor yang Mempengaruhi Rotasi Matematika Jenis-Jenis Rotasi Matematika Berdasarkan titik pusatnya, rotasi Matematika dibagi menjadi dua, yaitu rotasi terhadap titik pusat (0, 0) dan rotasi terhadap titik pusat (a, b). Lantas,apa perbedaan antara keduanya?
Berdasarkan titik pusatnya, rotasi Matematika dibagi menjadi dua, yaitu rotasi terhadap titik pusat (0, 0) dan rotasi terhadap titik pusat (a, b). Lantas, apa perbedaan antara keduanya? Jenis-Jenis Rotasi Matematika Rotasi terhadap Titik Pusat (0, 0) 1. Rotasi 90° Contoh soal : gambarlah bayangan sebuah segitiga dengan koordinat A(3,1), B(4,5), C(1,3) akan dirotasi 90° titik pusat (0,0)! >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> -Karena sudut rotasi bernilai positif, maka perputarannya berlawanan arah jarum jam. Perhatikan gambar diatas! -Dapat disimpulkan bahwa jika koordinat A(x,y) dirotasi 90° dengan titik pusat (0,0) --> A’(-y,x). -Serta, Rotasi 90° juga menghasilkan bayangan yang sama dengan Rotasi -270° namun searah dengan jarum jam. 2. Rotasi 180° Contoh soal : gambarlah bayangan sebuah segitiga dengan koordinat A(3,1), B(4,5), C(1,3) akan dirotasi 180° titik pusat (0,0)! >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> -Karena sudut rotasi bernilai positif, maka perputarannya berlawanan arah jarum jam. Perhatikan gambar disamping! -Dapat disimpulkan bahwa jika koordinat A(x,y) dirotasi 180° dengan titik pusat (0,0)--> A’(-x, -y). -Serta, Rotasi 180° juga menghasilkan bayangan yang sama dengan Rotasi -180° namun searah dengan jarum jam.
3. Rotasi 270° Contoh soal : gambarlah bayangan sebuah segitiga dengan koordinat A(3,1), B(4,5), C(1,3) akan dirotasi 270° titik pusat (0,0)! >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> -Karena sudut rotasi bernilai positif, maka perputarannya Bberlawanan arah jarum jam. Perhatikan gambar diatas! -Dapat disimpulkan bahwa jika koordinat A(x,y) dirotasi 270° dengan titik pusat (0,0)--> A’(y, -x). -Serta, Rotasi 270° juga menghasilkan bayangan yang sama dengan Rotasi -90° namun searah dengan jarum jam. Rotasi terhadap Titik Pusat (a,b)
Suatu transformasi atau perpindahan dikatakan refleksi jika memenuhi sifat-sifat tertentu, yakni sebagai berikut : 1.Jarak titik awal ke cermin akan sama dengan jarak bayangan ke cermin. 2. Garis penghubung antara titik asal ke titik bayangan akan tegak lurus cermin. 3. Semua garis penghubung antara titik asal dan titik bayangan akan saling sejajar. Artinya, tidak akan pernah berpotongan di suatu titik manapun. 4. Pusat refleksi merupakan dianalogikan sebagai cermin. REFLEKSI (mencerminkan) Refleksi adalah perpindahan setiap titik atau objek ke titik lain atau objek lain seperti halnya pembentukan bayangan pada cermin datar. Refleksi tidak mengubah bentuk dan ukuran objek. Hanya saja, posisi titik awal terhadap titik bayangannya akan saling berlawanan. Sifat Sifat Refleksi Matematika : Jenis Jenis Refleksi 1) Refleksi Terhadap Sumbu -x Pada refleksi jenis ini, sumbu-x berperan sebagai cermin atau pusat refleksinya. Jika titik P(x, y) direfleksikan terhadap sumbu -x, akan dihasilkan bayangan P’(x, -y) Contoh soal : Tentukan bayangan titik A (5,-3) jika di refleksikan terhadap sumbu -x!
A (5,-3) refleksikan terhadap sumbu x --> A’(5,3) Pada refleksi jenis ini, sumbu -y berperan sebagai cermin. Jika, titik P (x, y) direfleksikan terhadap sumbu -y, maka akan dihasilkan titik P’(-x, y) Contoh soal : Tentukan bayangan titik A (3, 4) jika di refleksikan terhadap sumbu -y! A (3,4) refleksikan terhadap sumbu y --> A’(-3,4) 2) Refleksi Terhadap Sumbu -y 3) Refleksi Terhadap Titik Pusat (0, 0) Pada refleksi ini, titik pusat (0, 0) berperan sebagai cermin. Artinya, jarak antara titik pusat ke titik awalnya akan sama dengan jarak titik bayangan ke titik pusat. Apabila titik P (x, y) direfleksikan terhadap titik (0, 0) akan dihasilkan bayangan P’(-x,-y) Contoh soal : Tentukan bayangan titik A (-4, 3) jika di refleksikan terhadap titik asal! A (-4,3) refleksikan terhadap titik asal --> A’(4,-3)
4) Refleksi Terhadap Garis y = x Pada refleksi ini, garis y = x berperan sebagai pusat rotasi atau cermin. Itu artinya, jarak antara titik ke garis y = x sama jarak antara bayangan ke garis y = x. Misalnya, titik P yang berkoordinat (x, y) direfleksikan terhadap garis y = x. Refleksi itu akan menghasilkan bayangan P’(y, x) Contoh soal Tentukan bayangan titik A (4,2) jika di refleksikan terhadap garis y = x! A (4,2) refleksikan terhadap sumbu y = x --> A’(4,2) 5) Refleksi Terhadap Garis y = –x Pada refleksi ini, garis y = –x berperan sebagai cermin atau pusat refleksi. Bentuk pencerminan terhadap garis y = -x hampir sama dengan pencerminan terhadap garis y = x. Hanya saja, posisi garisnya berlawanan. Misalnya, titik P yang berkoordinat (x, y) direfleksikan terhadap garis y = -x. Refleksi itu akan menghasilkan bayangan P’(-y, -x) Contoh soal Tentukan bayangan titik A (2,4) jika di refleksikan terhadap garis y = -x! A (2,4) refleksikan terhadap sumbu y = -x --> A’(-4, -2) 6) Refleksi Terhadap Garis x = h Garis x = h merupakan garis yang sejajar dengan sumbu-y. Jika titik P direfleksikan terhadap garis x = h, artinya titik P dicerminkan terhadap garis x = h yang sejajar dengan sumbu-y. Misalnya, titik P yang berkoordinat (x, y) direfleksikan terhadap garis x = h, Refleksi itu akan menghasilkan bayangan P’(2.h – x, y)
Contoh soal Tentukan bayangan titik A (1,3) jika di refleksikan terhadap garis x = 3! A (1,3) refleksikan terhadap sumbu x = 3 --> A’(2.3 – 1, 3) --> A’ (5,3) 7) Refleksi Terhadap Garis y = h Garis y = h merupakan garis yang sejajar sumbu-x. Jika titik P direfleksikan terhadap garis x = k, artinya titik P dicerminkan terhadap garis x = k yang sejajar dengan sumbu-x. Misalnya, titik P yang berkoordinat (x, y) direfleksikan terhadap garis y = h, Refleksi itu akan menghasilkan bayangan P’(x, 2.h – y) Contoh soal Tentukan bayangan titik A (5,1) jika di refleksikan terhadap garis y = 3! A (5,1) refleksikan terhadap sumbu y = 3 --> A’(5, 2.3 – 1) --> A’ (5,5) Sekian materinya, terimakasih ^~^ latihan soalnya dikerjakan yaa <3
LATIHAN SOAL