Matematika Peminatan Kelas 10 Semester 1 Dan 2

OSMART’DA
RANGKUMAN MATEMATIKA PEMINATAN KELAS X SEMESTER 2

BAB 1
KONSEP VEKTOR
1.1 Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar (nilai) dan arah. Vektor
digambarkan dengan anak panah. Besar Vektor dinyatakan dengan panjang anak
panah sedang arah vector dinyatakan dengan arah anak panah.
Pada vector ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ , titik A sebagai pangkal vector dan titik B sebagai ujung vector.
Selain penulisan menggunakan 2 titik ujungnya, vector juga dapat dituliskan dengan
huruf kecil yang diberi tanda panah / diunderline / dibold, ( ⃑ , , u)
1.2 Vektor di R2
Vektor di R2 dinyatakan sebagai pasangan bilangan yang dituliskan secara
vertical (tegak) dan horizontal (datar). Bilangan pertamanya menyatakan arah pada
sumbu x (kanan / kiri), dan bilangan keduanya menyatakan arah pada sumbu y (atas /
bawah), ( ).

memiliki titik A pada pangkal dan B pada ujung, dari titik A ke kanan 5 satuan,
dank ke atas 3 satuan sampai titik B, maka = (35) atau = (5 3). Begitu pula dengan
vector ⃑ dan , caranya dihitung mulai pangkal ke ujung seperti
1.3 Vektor di R3

Vektor di R2 dinyatakan sebagai pasangan bilangan yang dituliskan secara
vertical (tegak) dan horizontal (datar). Bilangan pertamanya arah sumbu x (depan /
belakang), bilangan kedua menyatakan arah sumbu y (kanan / kiri), dan bilangan


ketiganya menyatakan arah sumbu z (atas / bawah), ( ).



⃑⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ 2 satuan ke depan, 3 satuan ke

kanan, dan 3 satuan ke atas, sehingga dapat
2

dituliskan ⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ = (3) atau ⃑⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ = (2 3 3)
3

2 Vektor Posisi

Vektor posisi adalah vector yang menyatakan posisi suatu titik terhadap

pangkal koordinat. Vector posisi titik Y berpangkal pada titik O yaitu pusat koordinat

dan berujung pada titik Y sehingga dapat dituliskan ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ atau .

Vektor posisi dipisahkan menjadi dua, yakni Vektor posisi R2 dan Vektor posisi

R3.

1.4 Kesamaan Vektor

Dua atau lebih Vektor dapat dikatakan sama apabila ia memiliki besar dan arah

yang sama. ( 11) = ( 22) atau 1 = 1
( 1) ( 1)

1 1

BAB 2

OPERASI VEKTOR

2.1 Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^2
Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan dan hasilnya disebut resultan. Penjumlahan vektor
secara aljabar dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen yang seletak.

Jika dan maka:
Penjumlahan secara grafis:

Dalam pengurangan vektor, berlaku sama dengan penjumlahan yaitu:

Sifat-sifat dalam penjumlahan vektor:

2.2 Perkalian vektor di R^2 dengan skalar
Suatu vektor dapat dikalikan dengan suatu skalar (bilangan real) dan akan menghasilkan

suatu vektor baru. Jika adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:

Dengan ketentuan: searah dengan vektor
Jika k > 0, maka vektor berlawanan arah dengan vektor
Jika k < 0, maka vektor

Jika k = 0, maka vektor adalah vektor identitas

Secara grafis perkalian ini dapat merubah panjang vektor dan dapat dilihat pada tabel
dibawah:

Secara aljabar perkalian vektor dengan skalar k dapat dirumuskan:

2.3 Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^3 yaitu:
Penjumlahan dan pengurangan vektor di sama dengan vektor di

dan

2.4 Perkalian vektor di R^3 dengan skalar
Jika adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:

2.5 Hasil kali skalar dua vektor
Selain rumus di , ada rumus lain dalam hasil kali skalar dua vektor.

Jika dan maka adalah:

BAB 3
PANJANG VEKTOR

# MENYATAKAN VEKTOR MENGGUNAKAN VEKTOR SATUAN PADA SUMBU KOORDINAT
a. Pada bidang Koordinat di R2
Vektor satuan searah sumbu x adalah i = (1,0)
Vektor satuan searah sumbu y adalah j = (0,1)
Setiap vektor di R2 dinyatakan sebagai hasil operasi vektor i dan j dengan rumus :
V = (x,y) = xi + yj
b. Pada bidang Koordinat di R3
Vektor satuan searah sumbu x adalah i = (1,0,0)
Vektor satuan searah sumbu y adalah j = (0,1,0)

Vektor satuan searah sumbu z adalah k = (0,0,1)
Setiap vektor di R3 dinyatakan sebagai hasil operasi vektor i dan j dengan rumus :
V = (x,y,z) = xi + yj + zk

BAB 4
PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR
4.1 Hasil kali skalar 2 vektor
a. Hasil kali skalar vektor ⃗ dan ⃑⃗ adalah suatu skalar yang besarnya sama dengan
jumlah hasil kali komponen-komponen ⃗ dan ⃑⃗ yang bersesuaian.
Vektor-vektor ⃗ dan ⃑⃗ dinyatakan dengan komponen-komponen:
Hasil kali skalar dua vektor tersebut adalah
⃗ ∙ ⃑⃗ = 1 1 + 2 2 + 3 3
b. Jika adalah besar sudut antara dua vektor

4.2 Besar Sudut Antara Dua Vektor

4.3 Dua Vektor yang Saling Tegak Lurus

4.4 Sifat Perkalian Skalar Dua Vektor

BAB 5
PROYEKSI VEKTOR

Proyeksi Skalar
*Missal proyeksi a pada b (gambar 1)

Proyeksi skalar ortogonal pada
Proyeksi skalar ortogonal pada .

Proyeksi Vektor Ortogonal

Proyeksi vektor ortogonal pada .

Proyeksi vektor ortogonal pada .

vektor pada Contoh soal

1. Panjang proyeksi ortogonal
adalah 4. Nilai p adalah ….

Pembahasan:
Mencari panjang vektor b:

Beradasrkan rumus proyeksi skalar (proyeksi panjang) ortogonal vektor dapat diperoleh
persamaan berikut.

2. Proyeksi vektor u=6i+4j-5k pada v=-2i+j+2k adalah...
Pembahasan: