Série d'exercices - Math - Suites réelles - Bac Info

Séries d’exercices 4èmeinfo Maths au lycee *** Ali AKIR
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Suites reelles

EXERCICE N°1

(un )n∈N  u0 = 2
Soit la suite réelle définie par : u : un+1 2
= 5 un +3

Partie A

1°) Calculer u1 et u2 . u est-elle une suite géométrique ? u est-elle une suite arithmétique ?
2°)Montrer que : pour tout n de N : 2 ≤ un ≤ 5 .

3°)Montrer que (u) est croissante sur N .

4°)En déduire que (u) est convergente et calculer sa limite.

Partie B

On pose, pour tout entier naturel n : vn = un − 5 .

1°)Montrer que (v) soit une suite géométrique

2°)Exprimer vn puis un en fonction de n.

3°)Calculer lim v n et lim u n .

n→+∞ n→+∞

nn

∑ ∑4°)Soit pour tout n de N : sn = v0 + v1 + ... + vn = vk et s'n = u0 + u1 + ... + un = uk

k=0 k=0

a- Exprimer sn puis s'n en fonction de n

b- Calculer alors nl→im+∞s n et lim s' n

n→+∞

EXERCICE N° 2

Soit (un )n∈N la suite réelle définie par : u :  =1
 u0 2
 2un
un+1 =
1 + un

Partie A

1°)Montrer que : pour tout n de N : 0 < un ≤ 1 .

2°)Montrer que (u) est croissante sur N .

3°)En déduire que (u) est convergente et calculer sa limite.

Partie B

On pose, pour tout entier naturel n : vn = 1 −1.
un

1°)Montrer que (v) soit une suite géométrique

2°)Exprimer vn puis un en fonction de n.

3°)Calculer lim v n et lim u n .

n→+∞ n→+∞

EXERCICE N° 3

Soit (un )n∈N la suite réelle définie par : u :  u0 =3
 = 1 + un2

un+1 2

Partie A

1°)Montrer que : pour tout n de N : u n ≥ 1 .

2°)Montrer que pour tout n de N : un+1 − un = 1 − un2

(2 un+1 + un )

3°)En déduire le sens de variations de (u).

4°)En déduire que (u) est convergente et calculer sa limite.

Partie B

On pose, pour tout entier naturel n : vn = un2 − 1 .

1°)Montrer que (v) soit une suite géométrique

2°)Exprimer vn puis un en fonction de n.

3°)Calculer nl→im+∞vn et lim u n .

n→+∞

1

EXERCICE N°4

Soient a et b deux réels tels que 0<a ≤ b et (un ) la suite définie par :

u1 =a+b et ∀n ∈ N * : un+1 = a + b − ab .
un

1°) On suppose que a<b.

(a) Montrer que (un ) est minorée par b .
(b) Etudier la monotonie de la suite (un ) en déduire qu’elle est convergente.

2°) Soit v la suite définie par : ∀n ∈ N * : vn = un − b
un − a

(a) Montrer que v est une suite géométrique.

(b) En déduire un en fonction de n , a et b

(c) Calculer alors lim un

n→+∞

3°) On suppose que a=b .

(a) Calculer u1 ,u2 ,u3 ,u4 en fonction de a .

(b) Exprimer alors un en fonction de n et a puis lim un .

n→+∞

EXERCICE N°5

On considère la suite réelle (un ) définie par : u0 =3 et ∀n ∈ N : un+1 =3 − 2
un

1°)Montrer que (un ) est minorée par 2 .

2°)Etudier la monotonie de la suite (un )

3°)En déduire que (un ) est convergente et calculer sa limite.

4°)Montrer par récurrence que : pour tout n de N : un = 2 + 1 −1
2 n+1

5°)Calculer alors lim un

n→+∞

EXERCICE N°6

Soit la fonction f :R+ → R , x ֏ f(x)= 4 + 3x .

On considère la suite réelle u définie par u0 = 0 et ∀n ∈ N : un+1 = f (un )

1°)(a) Montrer que : ∀n ∈ N : 0 ≤ un ≤ 4

(b) Etudier la monotonie de u .

(c) En déduire que u est convergente .

2°)(a) Montrer que : ∀n ∈ N , un+1 − 4 ≤ 3 un − 4
4

(b) En déduire : ∀n ∈ N , un − 4 ≤ 4 3 n . En déduire alors lim un .
4 
n→+∞

EXERCICE N°7

Soient (un )n∈N et (vn )n∈N  u0 = 2  v0 = 3
deux suites réelles définie par : un+1 3un + vn et vn+1 3vn + un
= 4 = 4

1°) Calculer u1 et v1 , u2 et v2 .
• u est-elle une suite géométrique ? u est-elle une suite arithmétique ?

• v est-elle une suite géométrique ? v est-elle une suite arithmétique ?

2°) On pose, pour tout entier naturel n : xn = un − vn .

• Montrer que (x) soit une suite géométrique

• Exprimer xn en fonction de n.

3°)Montrer que pour tout n de N : un ≤ vn

4°)Montrer que (u) est croissante sur N et (v) est décroissante sur N

5°)En déduire que pour tout n de N : un ≤ 3 et vn ≥ 2

6°)En déduire que (u) et (v) convergent vres le même limite.

2