คณิตศาสตร์เพิ่มเติม

คณิ ตศาสตร์
เรื่อง การแยก
ตัวประกอบ

จัดทำโดย
ด.ชพงศธร เสนานุช

เลขที่9 ม.1/2

การแยกตัวประกอบ คือ การเขียนพหุนามใน

รูปการคูณของพหุนาม ซึ่งตัวประกอบแต่ละวงเล็บ

ต้องมีดีกรีน้อยกว่าพหุนามเดิม โดยที่แต่ละวงเล็บ

ที่ได้ไม่สามารถเขียนได้ไม่สามารถเขียนเป็นรูปการ

คูณต่อไปได้อีกมีวิธีการแยกตัวประกอบ 8 วิธีคือ

1.ดึงตัวร่วมโดยใช้สมบัติการแจกแจง

จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้




7x + 14x2 2. 7x2y3 + 14x4 y2 3. 7(x+y)2 +

14(x+y)5

วิธีที่ 1 7x + 14x2 = 7x(1+2x)




วิธีที่ 2 7x + 14x2 = (7x)(1) + (7x)(2x)




= 7x(1+2x)




(2) 7x2y3 + 14x4 y2 = 7x2 y2 (y+2x)2




(3) 7(x+y)2 + 14(x+y)5 = 7(x+y)2 (1+2(x+y)3)

2.สามพจน์แยกเป็น 2 วงเล็บ

จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้




x2 + 8x + 15 2. x2 -8x +15

3. x2 + 2x – 15 4. x2 – 2x – 15




วิธีทำ

(1) x2 + 8x + 15 = (x+3)(x+5)




(2) x2 -8x +15 = (x-3)(x-5)




(3) x2 + 2x – 15 = (x-3)(x+5)




(4) x2 – 2x – 15 = (x – 5)(x+3)

ข้อสังเกต




จากข้อ 1

x2 + 8x + 15 = (x+ ) (x+ ) ( ดูจาก 15 และ 8 x)




คิดต่อไปว่าจำนวนนับอะไรคูณกันได้ 15 และ และรวมกันได้ 8 จะได้ 3 และ 5




ดังนั้น x2 + 8x + 15 เท่ากับ (x+3)(x+5)




จากข้อ 2




x2 -8x +15 = (x- )(x- )




( ดูจาก 15 และ – 8x ต่อไปว่าจำนวนนับอะไรคูณกันได้ 15 และรวมกันได้ 8 จะได้ 3 และ 5)




ดังนั้น x2 -8x +15 = (x-3)(x-5)




จากข้อ 3




x2 + 2x – 15 = (x- )(x+ ) ( ดูจาก – 15) คิดต่อไปว่าจำนวนนับอะไรคูณกันได้ -15 และต่างกัน 2 จะได้ 3

และ 5 เนื่องจากผลกลางคือ 2x จึงใส่ 5 ไว้ที่บวกและใส่ 3 ไว้ที่ลบ




ดังนั้น x2 + 2x – 15 = (x-3)(x+5)




จากข้อ 4




x2 – 2x – 15 = (x – )(x+ ) ( ดูจาก – 15)

คิดต่อไปว่าจำนวนนับอะไรคูณกันได้ 15 และ 3 ชั้น 2 จะได้ 3 และ 5 เนื่องจากผลกลางคือ – 2x จึงใส่ 5 ไว้ที่ลบ

และใส่ 3 ไว้ที่บวก




ดังนั้น x2 – 2x – 15 = (x – 5)(x+3)

3.ผลต่างกำลังสอง ผลต่างกำลังสาม และผลบวกกำลังสาม
1. ผลต่างกำลังสอง



(น-ล)(น+ล) = น2 – ล2



ตัวอย่างเช่น
4x2 – 9y2 = (2x)2 – (3y)2 = (2x – 3y)(2x + 3y)



2x2 – 3z = 2 (x2 – 16)



= 2(x2 – 42)



= 2(x-4)(x+4)



2. ผลต่างกำลังสาม



(น-ล)( น2 + 2นล + ล2) = น3 – ล3



ตัวอย่างเช่น



8x3 – 27y3 = (2x)3 – (3y)2



= (2x-3y)(4x2 + 6xy + 9y2)



3. ผลบวกกำลังสาม



(น+ล)( น2 – 2นล + ล2) = น3 + ล3



ตัวอย่างเช่น



8x2 + 27y2 = (2x)3 + (3y)3

4.การแยกตัวประกอบโดยอาศัยกำลังสองสมบูรณ์
รูปกำลังสองสมบูรณ์มี 2 รูป



1.x2 + 2ax + a2 = (x+a) 2



2.x2 – 2ax + a2 = (x – a)2

5.เพิ่มลดพจน์กลางแล้วแยกผลต่างกำลังสอง
มักพบกับพหุนามดีกรี 4 และมี 3 พจน์


จงแยกตัวประกอบ



x4 + x2y2 + y4 = (x2 + y2)2 – x2 y 2
= (x2 + y2)2 – (xy)2



= (x2 + y2 – xy)(x2 + y2 + xy)

6. 4 พจน์จับคู่ให้เกิดวงเล็บร่วม
หากน้อง ๆ เจอพหุนามดีกรีที่มากกว่าสอง สามารถใช้วิธีนี้ใน

การแยกตัวประกอบได้ เช่น
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสาม



จงแยกตัวประกอบ



x 3 + 2 x2 -9x – 18 = (x3 + 2x2)-(9x+18)



= x2 (x+2)-9(x+2)



= (x+2)(x2 – 9)



= (x+2)(x-3)(x+3)



7.สี่พจน์จัดรูปผลต่างกำลังสอง

จงแยกตัวประกอบ



x 2 + 2 x y + Y2 – 36 = (x2 + 2xy + y2) -36



= (x+y)2 – 62



= (x+y-6)(x+y+6)



8.ทฤษฎีบทตัวประกอบ
ทฤษฎีบทเศษเหลือ x – c หาร p(x) เศษคือ p(c)



ตัวอย่าง
ให้ P(x) = x2 – x -2



P(3) = 32 – 3 -2 = 4