คณิตศาสตร์

คณิตศาสตร์
เพิ่มเติม

คิมเบอร์ลี่ เดบบี่ ชาลิค ม3/1 เลขที่7

พหุนามและเศษส่วน
ของพหุนาม

พหุนาม คือ นิพจน์ที่อยู่ในรูปเอกนาม หรือเขียนอยู่ใน

รูปการบวกของเอกนามตั้งแต่สองเอกนามขึ้นไป เพื่อความ

สะดวก จะเรียกแต่ละเอกนามของพหุนามว่า พจน์ของพหุ

นาม ในกรณีที่พหุนามมีเอกนามที่คล้ายกัน จะเรียกเอกนาม

ที่คล้ายกันว่า พจน์ที่คล้ายกัน

เช่น

8y เป็นพหุนามที่มี 1 พจน์

7x 3 เป็นพหุนามที่มี 2 พจน์

8x2-9x 4 เป็นพหุนามที่มี 3 พจน์

-4x3 3x2-2x x2 เป็นพหุนามที่มี 4 พจน์ แต่มี

พจน์ที่คล้ายกันอยู่ 2 พจน์ คือ 3x2 กับ x2

การแนะนำชั้นเรียนของฉัน

พหุนามที่มีพจน์บางพจน์ที่คล้ายกัน สามารถรวมพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกัน เพื่อทำให้
เป็นพหุนามในรูปที่ไม่มีพจน์ที่คล้ายกันเลย และเรียกพหุนามที่ไม่มีพจน์ที่คล้ายกันว่า พหุนามในรูป
ผลสำเร็จ

การเขียนพหุนามในรูปผลสำเร็จควรจะเขียนเรียงดีกรีของพหุนามจากมากไปหาน้อย
เมื่อเขียนพหุนามในรูปผลสำเร็จแล้ว จะเรียกดีกรีสูงสุดของพจน์ในพหุนามในรูปผลสำเร็จว่า
ดีกรีของพหุนาม

การหาดีกรีของพหุนามสิ่งที่ต้องคำนึงถึงมีดังนี้
1. พหุนามนั้นต้องเป็นพหุนามในรูปผลสำเร็จเสมอ
2. แต่ละพจน์สามารถบอกดีกรีได้ว่าเท่ากับเท่าใด

3. พิจารณาจากดีกรีที่สูงที่สุดของพจน์จะเป็นดีกรีของพหุนามนั้น

การบวกและการลบพหุนาม

การบวกและการลบพหุนาม พหุนาม 2x+5 เป็นผลบวกของ 2 พจน์ 2x และ 5
การหาผลบวกของพหุนามทำได้ โดยนำพหุนามมาเขียน ในพจน์ 3x มี 3 เป็นสัมประสิทธิ์ของ x
พจน์ 4 ไม่มีตัวแปรเรียกว่า พจน์คงตัว
ในรูปการบวก ถ้ามีพจน์ที่คล้ายกันให้บวกพจน์
ที่คล้ายกันเข้าด้วยกัน เป็นการเขียนในรูปผลบวกของ 4 พจน์ คือ และ -5

การหาผลลบของพหุนามทำได้ โดยบวกพหุนามตัวตั้ง และ 5x-3 โดยใช้พหุนามตัวแรกเป็นตัวตั้ง
ด้วยพจน์ตรงข้ามของแต่ละพจน์ ของพหุนามตัวลบ
พหุนาม 2x+5 และ เป็นตัวอย่างของพหุนามที่มี x เป็น

ตัวแปร

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวกและผลลบของ

การคูณเอกนามกับพหุนาม
การหาผลคูณเอกนามกับพหุนามทำได้ โดยนำเอาเอกนามคูณแต่ละพจน์ของพหุนาม

แล้วนำผลคูณมาบวกกัน



ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลคูณของ 5x กับ

การหารพหุนามด้วยเอกนาม
การหาผลหารของพหุนามด้วยเอกนามที่ไม่ใช่ศูนย์ ทำได้โดยนำเอกนามหารแต่ละพจน์ของพหุนาม

แล้วนำผลหารมาบวกกัน

ตัวอย่างที่ 4 จงหาร

จากตัวอย่างเป็นการหารลงตัว ความสัมพันธ์ของตัวหาร ผลหาร และตัวตั้ง คือตัวหาร x ผลหาร = ตัวตั้ง

การคูณพหุนาม การหารพหุนาม
การหาผลคูณของพหุนามกับพหุนาม การหารพหุนามให้เขียนพหุนามทั้งตัวตั้งและ
ตัวหาร โดยเรียงพจน์ของพหุนามจากพจน์ที่มีดีกรี
โดยใช้ สมบัติการแจกแจง
มากไปพจน์ที่มีดีกรีน้อย
ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลคูณของ (x-7) กับ (x-8)
ตัวอย่าง จงหาผลลัพธ์ของการหาร

การหาผลคูณของพหุนามกับพหุนาม ทำได้โดยคูณ
แต่ละพจน์ของพหุนามหนึ่งกับทุกๆ พจน์ ของอีกพหุ

นาม แล้วนำผลคูณบวก

เศษส่วนของพหุนาม การคูณเศษส่วนของพหุนาม
ถ้า P และ Q เป็นพหุนาม โดยที่ A,B,C และ D เป็นพหุนาม โดยที่

เศษส่วนของพหุนาม ที่มี P เป็นตัวเศษ และ Q ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลคูณของ
เป็นตัวส่วน

ตัวอย่าง จงเขียนเศษส่วนของพหุนาม ให้เป็นเศษส่วนของพหุนามในรูปผลสำเร็จ

การบวกและการลบเศษส่วนของพหุนาม การคูณและการหารเศษส่วนของพหุนาม
การบวกและการลบเศษส่วนของพหุนาม ทำได้เช่นเดียว การคูณเศษส่วนของพหุนาม
A,B,C และ D เป็นพหุนาม โดยที่
กับการบวกและการลบเศษส่วน
A,B และ C เป็นพหุนาม โดยที่

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวกของ ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลคูณของ

การหารเศษส่วนของพหุนาม
A,B,C และ D เป็นพหุนาม โดยที่

ตัวอย่าง จงหาร

นิยมเขียนผลหารของเศษส่วนของพหุนาม
เป็นเศษส่วนของพหุนามในรูปผลสำเร็จ

เลขยกกำลัง

เลขยกกำลัง
คือ การคูณตัวเลขนั้นๆตาม
จำนวนของเลขชี้กำลัง ซึ่งตัวเลข
นั้นๆจะคูณตัวของมันเองและเมื่อ
แทน a เป็นจำนวนใด ๆ และแทน n
เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่มี a เป็น
ฐานหรือตัวเลข และ n เป็น
เลขชี้กำลัง(an) จะได้ว่า a คูณกัน n
ตัว (axaxaxaxax…xa)

สมบัติของเลขยกกำลัง

1. สมบัติการคูณเลขยกกำลังที่
มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม
บวก เมื่อ a เป็นจำนวนใด ๆ
และ m, n เป็นจำนวนเต็มบวก

2. สมบัติการหารเลขยก
กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็น
จำนวนเต็มบวก
กรณีที่ 1 เมื่อ a เป็นจำนวน
จริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, n
เป็นจำนวนเต็มบวกที่ m > n

กรณีที่ 2 เมื่อ a เป็น
จำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่
ศูนย์ และ m, nเป็น
จำนวนเต็มบวกที่
m=n

กรณีที่ 3 เมื่อ a เป็น
จำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่
ศูนย์ และ m, n เป็น
จำนวนเต็มบวกที่ m < n

สมบัติอื่นๆของเลขยกกำลัง



1.) เลขยกกำลังที่มีฐานเป็นเลขยกกำลัง

≥เมื่อ a 0 และ m, n เป็นจำนวนเต็ม

เช่น

2.) เลขยกกำลังที่มีฐานอยู่ในรูปการคูณ หรือการหาร
ของจำนวนหลาย ๆจำนวน

≠ ≠เมื่อ a 0 , b 0 และ n เป็นจำนวนเต็ม

เช่น

3.) เลขยกกำลังที่มี
เลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน

เมื่อ a > 0 และ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า

≠ ≥เมื่อ a 0 และ m เป็นจำนวนเต็มบวก ; n 2

การใช้เลขยก
กำลังแทนจำนวน

≤การเขียนจำนวนที่มีค่ามากๆนิยมเขียนแทนได้ด้วยรูป
Ax10nเมื่อ 1 A<10 และ n เป็นจำนวนเต็มบวก
≤หลักการเปลี่ยนจำนวนให้อยู่ในรูป Ax10n เมื่อ
1 A<10 และ n เป็นจำนวนเต็มอย่างง่ายๆ คือให้
พิจารณาว่าจุดทศนิยมมีการเลื่อนตำแหน่งไปทางซ้าย
หรือขวากี่ตำแหน่ง ถ้าเลื่อนไปทางซ้ายเลขชี้กำลังจะ
เป็นบวก และถ้าเลื่อนไปทางขวาเลขชี้กำลังก็จะเป็นลบ

สรุป
เลขยกกำลังเป็นการคูณตัวเลข
นั้นๆตามจำนวนของเลขชี้กำลงั ซึ่งตัว
เลขนั้นๆจะคูณตัวของมันเองและเมื่อ
แทน a เป็นจำนวนใด ๆ และแทน n เป็น
จำนวนเต็มบวก โดยที่มี a เป็นฐานหรือ
ตัวเลข และ n เป็นเลขชี้กำลัง(an) หรือ
จะได้ว่า a คูณกัน n ตัว (axaxaxaxax…
xa) อีกทั้งวิธีการคำนวณหาค่าเลขยก
กำลังจะขึ้นอยู่กับสมบัติของเลขยกกำลัง

ในแต่ละประเภทด้วย

สมการกำลังสอง
ตัวแปรเดียว

. . ก า ร แ ก้ ส ม ก า ร กำ ลั ง ส อ ง โ ด ย วิ ธี แ ย ก ตั ว ป ร ะ ก อ บ
…..ทำได้โดยการแยกตัวประกอบ (factors) แล้วใช้หลัก

ว่า เมื่ อผลคูณของตัวประกอบเป็น 0 (ขวามือขอ
เครื่ องหมายเท่ากับ) แสดงว่า ตัวประกอบบางตัวเป็น 0

หรือทุกตัวประกอบเป็น 0

ในทาง คณิตศาสตร์ สมการกำลังสอง (สม
การควอดราติก) คือ สมการ ของ พหุนาม

ตัวแปรเดียวที่มี ดีกรี เท่ากับ 2 รูปแบบทั่วไป
ของสมการกำลังสอง

สูตรกำลังสอง


สมการกำลังสองใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง (หรือจำนวนเชิงซ้อน) จะมีราก
ของสมการ 2 คำตอบเสมอ ซึ่งอาจจะเท่ากันก็ได้ โดยที่รากของสมการสามารถเป็นได้
ทั้งจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน สามารถคำนวณได้จากสูตร




ซึ่งเครื่องหมายบวกและลบเป็นการแทนความหมายของทั้งสองคำตอบ ได้แก่

ดังนั้นค่าของสมการจะเท่ากับฟิวชั่นของสมการ

ดิสคริมิแนนต์

จากสูตรด้านบน นิพจน์ที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายรากที่สอง
จะเรียกว่า ดิสคริมิแนนต์ (discriminant) ของสมการกำลังสอง
ดิสคริมิแนนต์เป็นตัวบ่งบอกว่าสมการกำลังสองจะมีคำตอบของสมการเป็นประเภทใดประเภทหนึ่ง ดังต่อไปนี้



ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นค่าบวก ดังนั้นจะมีรากของสมการ 2 ค่าที่แตกต่างกัน และเป็นจำนวนจริงทั้งคู่
สำหรับกรณีที่สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และดิสคริมิแนนต์เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ดังนั้นรากของสมการ

จะเป็นจำนวนตรรกยะ ส่วนในกรณีอื่นจะเป็นจำนวนอตรรกยะ
ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นศูนย์ ดังนั้นจะมีรากของสมการ 2 ค่าที่เท่ากัน (หรือมีเพียงค่าเดียว) และเป็น

จำนวนจริง รากของสมการนี้จะมีค่าเท่ากับ







ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นค่าลบ จะไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง แต่จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน 2 จำนวนที่ต่างกัน ซึ่ง
เป็นสังยุคของกันและกัน นั่นคือ

การแยกตัวประกอบ


พจน์ จะเรียกว่าเป็นตัวประกอบของพหุนาม
ก็ต่อเมื่อ r เป็นคำตอบของสมการกำลังสอง

ซึ่งจากสูตรกำลังสอง สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามได้เป็น

ในกรณีพิเศษ เมื่อรากของสมการกำลังสองมีเพียงค่าเดียว (คือคำตอบ
ทั้งสองเท่ากัน) พหุนามกำลังสองจะสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น

การแก้สมการกําลังสองโดยวิธีทํา
เป็นกําลังสองสมบูรณ์
หลักในการแกสมการกำลังสองโดยวิธี
ทําเป็นกำลังสองสมบูรณ์

1. จัดสมการที่อยู่ในรูป ax2 + bx + c = 0
2.กรณีที่ a ไม่เท่ากบ 1 ให้นํา a หารตลอด
3. จัดสมการทางซ้ายมือของเครี่องหมายเท่า
กบโดยวิธีทําเป็นกำลังสองสมบูรณ์
4. จัดสมการทางซ้ายมือต่อจาก ข้อ 3 โดยใช้
ผลต่างของกาลังสอง แล้วแยกตัวประกอบ
5. ให้ตัวประกอบแต่ละตัวเท่ากับ 0 แล้วหาค่า
ของตัวแปร

________

โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสอง
การแก้สมการกำลังสองมีประโยชน์ในการหาคำตอบ

ของ1.ปกัญำหห3นา.ดบแ2ตา.กัส้งวสรปแ้มัาญปงกรสาหแรมาหทซกึ่านงา
ครมจ่ีาจำวขิานธีอกวกงปนาัตญรทัี่วหตหแ้าอาคปงำรกตาอรบหดาังนี้

เมื่ อได้ค่าของตัวแปรก็ให้นำไปหาคำตอบที่โจทย์ต้องการ บางสมการหาคำ
ตอบได้ออกมา 2 คำตอบ แต่คำถามที่โจทย์ถามอาจจะ

ใช้เพียงคำตอบเดียวหรือทั้งสองค่าก็แล้วแต่กรณีของเงื่ อนไขที่โจทย์
กำหนด เช่น ถ้ากล่าวถึงจำนวนคน สัตว์ คำตอบควรใช้เฉพาะ

จำนวนเต็มบวก ถ้าหากคำตอบของสมการได้เป็นจำนวนลบ หรือ 0 หรือไม่
เป็นจำนวนเต็มก็ตัดทิ้งไป และบางครั้งได้จำนวน

เต็มบวก 2 จำนวน แต่บางจำนวนอาจจะไม่สอดคล้องกับเงื่ อนไขที่โจทย์
กำ ห น ด ก็ ใ ห้ ตั ด ทิ้ ง ไ ป

การแก้สมการกำลังสอง

.การแก้สมการกำลังสอง หมายถึง การคำนวณเพื่ อหาค่าของตัวแปร
ซึ่งจะได้ค่าตัวแปร 2 ค่า โดยค่าทั้งสองอาจเท่ากันหรือไม่เท่ากันก็ได้

ค่าของตัวแปรที่ได้บางครั้งเรียกว่า รากของสมการ หรือ คำตอบ
ของสมการ

…..วิธีแก้สมการกำลังสอง ก่อนที่จะทำการคำนวณหาค่าตัวแปรของ
สมการกำลังสอง ให้จัดขวามือของเครื่ องหมายเท่ากับให้เป็น 0 แล้ว
การคำนวณจะมีได้ 3 วิธี คือ โดยวิธีแยกตัวประกอบ โดยวิธีทำให้เป็น

กำลังสองสมบูรณ์ และโดยวิธีใช้สูตร

ขอบคุณค่ะ