Physique_CPE2SP

9 Bateau pop-pop 13 Le manège

Un jouet, appelé bateau pop-pop, est un objet métallique Une nacelle comprenant
qui a un poids de 3,1 N. Plongé dans l’eau, il ne semble deux places est accrochée à
peser plus que 2,4 N. deux gros élastiques tendus.
Calculer: Chacun des élastiques fait un
a. la valeur du volume immergé en mL. angle de 20° avec la verticale.
b. la valeur de son poids apparent lorsqu’il est plongé
Dans tout l'exercice, on étu-
dans un liquide de masse volumique 1,82 g.mL-1. diera la nacelle à l'équilibre.
c. la valeur de la masse volumique d’un liquide qui exer-
a. Etablir le bilan des forces
cerait sur ce corps une poussée de 0,56 N. appliquées à La nacelle
Donnée : masse volumique de l’eau ρeau = 1,0 g.mL-1
b. Représenter le poids de la nacelle à l'échelle 1 cm
10 Ponton en bois pour 1000N
Un ponton de forme rectan-
gulaire flottant dans l’eau a c. Soit F la résultante des forces exercées par les élas-
une surface de base S = 150 tiques sur la nacelle. Représenter la force F⃗.
m2, une hauteur h = 35 cm.
Il est construit en bois d. En réalisant une construction soignée, représenter les
(ρ=180 kg.m-3). forces F⃗⃗⃗1⃗ et F⃗⃗⃗2⃗ exercées par chacun des élastiques.
Déterminer la charge maxi-
male admise sur ce ponton, A partir du schéma et compte tenu de l'échelle, dé-
si l’on veut qu’il émerge en- terminer les valeurs F1 et F2 de ces deux forces.
core de 15 cm de l’eau!
14 Déménagement d’un meuble
Principe d’inertie – 1ère loi de Newton
11 Pendule Un déménageur pousse un meuble,
Un pendule est formé d’un fil inextensible auquel est re- de masse 120 kg, posé sur une mo-
liée une boule de masse m = 100 g. quette. La force F qu’il exerce est
On suppose que le pendule est au repos. horizontale, de valeur 600 N. Le
a. Etablir l’inventaire des forces s’exerçant sur la boule meuble ne bouge pas.
et les représenter sur un schéma.
b. En exploitant la 1ère loi de newton, calculer la valeur a. Schématiser la situation et re-
de la force exercée par le fil du pendule sur la boule. présenter, à l'échelle 1cm pour
12 Solide en équilibre 300 N, la force F et le poids P du
a. Schématiser une boule de pétanque (masse 710 g) meuble.

posée sur un plan horizontal, un parallélépipède de b. A quelles autres forces le meuble est-il soumis ?
glace (masse 5 kg) posé sur un plan horizontal et une
plaquette de beurre (250 g) posée sur un plan incliné. c. Quelle est la relation entre ces quatre forces ?
b. Représenter le poids P⃗⃗ de ces objets en précisant
l'échelle de représentation choisie. d. En déduire graphiquement les caractéristiques des
c. Lorsque l'objet est en équilibre, quelle relation vecto- forces ainsi identifiées.
rielle lie le poids P⃗⃗ de l'objet et la résultante R⃗⃗ des
forces de contact ? 15 QCM
d. Représenter, dans ces conditions, la résultante R⃗⃗.
a. Une boîte d’allumettes repose sur un plan légère-
ment incliné. La boîte est immobile.

● Le poids de la boîte a une direction normale au plan
incliné.

● La force exercée par le plan incliné est normale au
plan incliné.

● Il n’y a forcément pas de forces de frottements entre
la boîte et le plan incliné.

● Si on augmente l’angle d’inclinaison du plan, la boîte
d’allumettes peut se mettre en mouvement.

b. Soit un objet soumis à deux forces F⃗⃗⃗1⃗ et ⃗F⃗⃗2⃗. Ces deux
forces font un angle de 60° entre elles. Leurs valeurs sont
identiques et égales à 10 N. La résultante F⃗ des forces
s’exerçant sur l’objet a donc les propriétés suivantes:

● F⃗ = ⃗F⃗⃗1⃗ + F⃗⃗⃗2⃗

● La valeur de F est 20 N.

● F⃗ est dirigée suivant ⃗F⃗⃗1⃗.
● F⃗ est dirigée suivant ⃗F⃗⃗2⃗.
● L’angle entre F⃗ et ⃗F⃗⃗2⃗ est égal à 30°.

Chp.1 - Caractéristiques des ondes 51

1 Détermination de la raideur d’un ressort 4 Bulle d'air dans une piscine
On considère un ressort dont on voudrait connaître la rai-
deur k. Il présente une longueur à vide L0 = 8,0 cm et il Un plongeur à une profondeur z0 = -3,0 m, produit une
est suspendu verticalement et on lui accroche successi- petite bulle d'air à l'instant t = 0 s. La bulle sera supposée
vement des masses marquées. sphérique dans tout l'exercice.
Le tableau ci-dessous regroupe les différentes longueurs Initialement, la bulle a un rayon r(z0) = r0 = 0,50 mm.
L du ressort en fonction de la masse m suspendue. La température de l'eau et de l'air de la bulle est cons-
tante : T0 = 300K
L (cm) 8,0 9,3 10,2 11,8 12,9 13,9 La pression de l'eau de la piscine varie en fonction de la
m (g) 0 100 200 300 400 500 profondeur z selon la relation de la statique des fluides :
a. Tracer le graphe m = f(L). Montrer que cette courbe
peut être modélisée par une droite. Peau(z) = Patm – ρ.g.z
b. Cacluler la valeur et l’unité de la pente p de la droite. La pression de l'air dans la bulle est toujours égale à la
c. En déduire une relation entre la masse m, la longueur pression de l'eau à la même profondeur.
L, la longueur à vide L0 et la pente p de la droite.
d. En appliquant le principe d’inertie à la masse accro- a. En faisant l'hypothèse que l'air de la bulle se com-
chée au ressort, déterminer une relation entre k, p et porte comme un gaz parfait, déterminer l’expression
la valeur de l’accélération de pesanteur g. du rayon de la bulle r(z) en fonction de la profondeur.
e. En déduire la valeur de k.
2 Le skieur b. Calculer la quantité de matière d’air nair contenue
Un skieur de masse m = 90 kg avec son équipement est dans la bulle.
tiré par un remonte-pente.
Durant le trajet sur une pente inclinée par rapport à l'ho- c. Calculer le rayon de la bulle lorsqu'elle va finalement
rizontale, le remonte-pente tombe en panne. Le skieur atteindre la surface. On néglige la variation du rayon
est donc immobile. de la bulle, si cette variation est inférieure à 10 % (en
valeur absolue) de la valeur initiale. Peut-on la négli-
a. Faire un bilan des forces appliquées au skieur. On né- ger ?
gligera les frottements.
d. Si l'air a une masse molaire Mair = 29 g.mol-1, calculer
b. En précisant l’échelle utilisée, représenter les forces la masse m de la bulle, puis donner les caractéris-
appliquées au skieur. tiques du poids P⃗⃗ de la bulle.

c. En déduire les valeurs des autres forces appliquées au e. Donner les caractéristiques de la poussée d'Archi-
skieur. mède F⃗⃗⃗A⃗ qui s'applique sur la bulle en fonction du
rayon r0 de la bulle.
3 Bouée
Une bouée de masse négligeable est f. La bulle est également soumise à une force de frotte-
constituée d’une sphère creuse, de vo- ment fluide de la forme f= - 6.π.η.r.V, relation dans
lume extérieur V = 1,3 m3. Elle est re- laquelle η est la viscosité de l'eau (η = 1,0.10-3Pa.s), r
liée à un lest en fonte de masse M = le rayon de la bulle (en mètre) et V la vitesse de la
1,5.103 kg, par l’intermédiaire d’une bulle.
chaîne de masse m = 1,0.102 kg. L’en- Placer, sur un schéma, les forces qui s'appliquent sur
semble est lâché en pleine mer. la bulle. Aucune échelle n'est demandée.
La masse volumique de l’eau est 1,0.103 kg.m-3 et on né-
glige les volumes de la chaîne et du lest. Données :
Indiquer en le justifiant si la bouée va flotter, rester im- ● pression à la surface de l’eau : Patm = 1,0.105 Pa
mergée entre deux eaux ou couler. ● Masse volumique de l'eau : ρ = 1,0.103 kg.m-3
● Intensité de la pesanteur: g = 9,8 N.kg-1
Chp.1 - Caractéristiques des ondes ● Constante des gaz parfaits : R = 8,314 SI

52

6 CMaoruavcetméerniststiqdaunessle
chadmepsdoenpdeseasnteur

Accompagnement numérique

Pour préparer le cours (classe inversée)
● Capsule vidéo : mouvement dans un champ

de pesanteur uniforme
● Capsule vidéo : Les équations horaires
Pour illustrer le cours
● Animation : Mouvement parabolique
● Animation : Chute libre verticale
● Animation : mouvement d’un projectile
● Vidéo : Tir parabolique

La chute libre est un exemple de
mouvement où seule la gravitation
joue un rôle…

Marion Montaigne – Tu mourras moins bête – Ankama Editeur

53

● Décrire un système mécanique et son référentiel d’étude.
● Enoncé et écrire la 2ème loi de Newton sous forme vectorielle.
● Etudier les caractéristiques du mouvement d’un objet en chute libre dans le champ de pesanteur.
● Etudier les caractéristiques du mouvement d’un objet en chute libre parabolique.

Ce qu’il faut retenir

1. Vecteur champ de pesanteur Bilan des forces : Poids de l’objet tel que
P⃗⃗ = m × g⃗⃗ = m × g × u⃗⃗⃗⃗z
En tout point M situé à la surface de la Terre, on peut dé-
finir un vecteur g⃗⃗(M) appelé vecteur champ de pesan- Conditions initiales : à t = 0s, l’altitude de l’objet est z0 et
teur. Il modélise l’action gravitationnelle de tout objet qui la valeur de sa vitesse est v0.
se trouve à sa surface.
Ce vecteur est toujours vertical dirigé vers le bas. 2.2. Expression de l’accélération
La valeur du vecteur champ de pesanteur dépend en
toute rigueur de l’altitude du point. Toutefois pour les ob- On applique la deuxième loi de Newton au système :
jets au voisinage de la Terre, on considère que cette va-
leur est égale en tous points. m . ⃗a⃗ = ∑ ⃗F⃗⃗E⃗⃗x⃗⃗t ⟺ m . ⃗a⃗ = P⃗⃗
On a ainsi g = 9,81 N.kg-1 = 9,81 m.s-2.
Dans ce cas, on dit que le champ de pesanteur est uni- On en déduit les relations suivantes sur les coordonnées
forme. des vecteurs :
Si on place en ce point M, un objet de masse m, alors l’ob-
jet subira la force, appelée « poids » : ax 0
m . (ay) = ( 0 ) ⟹ m . az= m . g ⟺ az = g
P⃗⃗ = m × g⃗⃗ = ± m × g × u⃗⃗⃗⃗z
Le signe dépend de l’orientation de l’axe vertical. az m . g

Exercice d’application 1 Un objet en chute libre a une accélération constante et
Coordonnées de vecteurs indépendante de la masse de l’objet. On dit que le mou-
vement est uniformément accéléré.
Donner les coordonnées des 6 vecteurs en fonction de
leur norme et, si nécessaire, de l’angle qu’ils forment avec 2.3. Expression de la vitesse
l’horizontale ou la verticale.
On utilise la relation entre vitesse et accélération pour ob-
2. Chutes libres verticales
tenir l’équation différentielle vérifiée par la vitesse :
2.1. Caractéristiques du mouvement
Système : Objet de centre de gra- az = g ⟺ dvz = g
vité G en chute libre (uniquement dt
soumis à son poids)
Référentiel : On se place dans le ré- On intègre cette relation pour obtenir l’expression de la
férentiel terrestre supposé gali-
léen. vitesse en fonction du temps :
On choisit arbitrairement un axe
vertical (Oz) orienté vers le bas. dvz = g on primitive selon t vz = g . t + K
dt
→

où K est une constante à déterminer en utilisant les con-

ditions initiales :

si t = 0, alors vZ = K et v = v0 donc K = v0

On en déduit : vZ = g . t + v0 (fonction affine).

L’expression de la vitesse de G est donc

vx 0
(vy) = ( 0 ) ⟺ v⃗ = vz u⃗⃗⃗⃗z

vz g . t + v0

2.4. Expression de la position (équation horaire)

On utilise la relation entre vitesse et position pour obtenir
l’équation vérifiée par la position :

dz
vz = g . t + v0 ⟺ dt = g . t + v0

On intègre cette relation pour obtenir l’expression de la

position en fonction du temps :

dz on primitive selon t 1 . g . t2 + v0.t + K'
dt = g . t + v0 2
→ z=

54

où K’ est une constante à déterminer en utilisant les con- Bilan des forces : Poids de l’objet tel que
ditions initiales :
P mg mgk

si t = 0, alors z = K’ et z = z0 donc K’ = z0 Conditions initiales : à t = 0s, le système a une vitesse ini-
tiale v0 contenue dans le plan (O, ⃗i, ⃗j, k⃗) et faisant un
On en déduit :z= 1 . g . t2 + v0.t + z0 angle α avec l’horizontale.

2 Ses coordonnées s’écrivent donc :

L’expression de la position de G est donc :

x = (1 0 ) ⟺ ⃗O⃗⃗⃗G⃗⃗ = z u⃗⃗⃗⃗z v  v0.cos()
(y) 2 0 z0 v  0
. g . t2 v0.t + 0x
z + 0y

Exercice d’application 2 v0z  v0.sin()

Vitesse de la grêle 3.2. Expression de l’accélération
La grêle se forme dans les nuages situés à haute altitude, On applique la deuxième loi de Newton au système :
où la température est très basse. Au sol, sa vitesse peut
atteindre 160 km.h-1.

m . ⃗a⃗ = ∑ F⃗⃗⃗E⃗⃗x⃗⃗t ⟺ m . a⃗⃗ = ⃗P⃗

On étudie un gros grêlon de masse 13 g qui tombe d'un On en déduit les relations suivantes sur les coordonnées
point O d'altitude 1 500 m sans vitesse initiale. Il peut être des vecteurs :
assimilé à une sphère.
Le point O sera pris comme origine d'un axe (Oz) orienté ax 0
positivement vers le bas. m . (ay) = ( 0 ) ⟹ m . az= - m . g ⟺ az = - g
On admettra que le grêlon tombe en chute libre.
1. En appliquant la deuxième loi de Newton, déterminer az - m . g

les équations horaires donnant la vitesse et la position Le signe – est dû à l’orientation de l’axe Oz dirigée vers le
du centre d'inertie G du grêlon en fonction de la durée haut.
τ de la chute.
2. Calculer la valeur de la vitesse lorsqu'il atteint le sol. 3.3. Expression de la vitesse
Ce résultat est-il vraisemblable ? Justifier.
On utilise la relation entre vitesse et accélération pour ob-
tenir l’équation différentielle vérifiée par la vitesse :

dvx

ax 0 dt 0
dvy = (0)
(ay) = ( 0 ) ⟹
az - g dt -g
dvz

( dt )

3. Chutes libres paraboliques On intègre cette relation pour obtenir l’expression de la
vitesse en fonction du temps :
3.1. Etude du mouvement
Système : Objet de centre de gravité G. dvx
Référentiel : On se place dans le référentiel terrestre sup-
posé galiléen. dt = ( 0 ) on primitive selon t vx = ( K1 )
On choisit un repère orthonormé (O, ⃗i, ⃗j, k⃗) tel que O dvy 0 (vy) K2
coïncide avec la position initiale de G, ⃗i est horizontal, k⃗ →
est vertical. dt
dvz - g vz - g . t + K3
k
i ( dt )

où les Ki sont des constantes à déterminer en utilisant
les conditions initiales :

vx K1 vx v0 . cos(α)
si t = 0, alors (vy) = (K2) et (vy) = ( 0 )

vz K3 vz v0 . sin(α)

On en déduit l’expression de la vitesse de G :

vx v0 . cos(α)
(vy) = ( 0 )

vz - g . t + v0 . sin(α)

Ce résultat conduit aux propriétés suivantes :

• La composante vy est nulle à chaque instant, le mou-
vement est donc contenu dans un plan.

55

• La composante horizontale vx a une valeur constante, Exercice d’application 4
le mouvement horizontal est uniforme.
A quelle date un projectile retombe-t-il au sol ?
• La composante verticale de la vitesse vz est une fonc-
tion affine. La situation est la même que celle décrite précédemment.

Exercice d’application 3 En utilisant les résultats du cours, déterminer la durée né-
Vitesse et instant d’arrivée
Un projectile est lancé avec une vitesse v0 = 20 m.s-1 et un cessaire au projectile pour atteindre le sol.
angle α = 30°.
3.5. Equation de la trajectoire

() v0.cosα.t t= x

= (- 1 . g.t2 + v0.sinα.t) → v0.cosα
2

On en déduit :

1 x2 x
z = - 2 . g. (v0.cosα)2 + v0.sinα. v0.cosα

1 g x2 + tanα . x
z=-2 (v0.cosα)2

En utilisant les résultats du cours, calculer : Cette équation dans le plan (O,x,y) est l’équation d’une
1. la valeur de l’instant tS où le projectile atteint le som- parabole. Dans le référentiel terrestre, le mouvement du
met de la trajectoire. centre d’inertie G d’un projectile est un mouvement pa-
2. la valeur de la vitesse du projectile en ce point. rabolique.

Caractéristiques du mouvement
Une trajectoire parabolique est caractérisée par :

3.4. Expression de la position

On utilise la relation entre vitesse et position pour obtenir
l’équation vérifiée par la position :

dx

vx v0 . cosα dt v0.cos )
dy = ( 0
(vy) = ( 0 ) ⟹ dt
vz - g.t + v0.sinα dz - g.t + v0.sinα

(dt)

On intègre cette relation pour obtenir l’expression de la

position en fonction du temps :

dx

dt v0.cosα ) on primitive selon t
dy = ( 0
dt →
dz
- g.t + v0.sinα • sa flèche, généralement notée H, qui est la hauteur
maximale qu’atteint le projectile par rapport à l’origine du
(dt ) tir ;

x v0.cosα.t+K1 • sa portée, généralement notée D, qui est la distance
(y) horizontale maximale D atteinte par le projectile lorsqu’il
= ( 1 K2 ) touche le sol.
z - 2 v0.sinα.t + K3
. g.t2 +

On peut montrer que ses deux grandeurs s’écrivent :

où les Ki sont des constantes à déterminer en utilisant les H  v0 sin2 D  v0 2 .sin2
conditions initiales : 2.g et g

x K1 x 0 Exercice d’application 3
si t = 0, alors (y) = (K2) et (y) = (0)
Flèche et portée
z K3 z 0 La situation est la même que celle décrite précédemment.
En utilisant les résultats du cours, déterminer les valeurs
On en déduit l’expression de la position de G : de la portée et de la flèche du tir réalisé.

x = (1 v0.cosα.t
(y) -2.
0)
z g.t2 + v0.sinα.t

56

Pour maitriser les mots-clés Mouvement plan

Force de pesanteur Le mouvement d’un projectile dans le champ de pe-
Le vecteur poids s’écrit P⃗⃗ = m . g⃗⃗ santeur est plan. Plus précisément, le plan du mouve-
ment sera celui défini par le vecteur vitesse initiale ⃗⃗⃗⃗0⃗
Il ne faut pas confondre le poids et la masse d’un objet et le vecteur champ de pesanteur g⃗⃗. Il s’agit donc d’un
qui sont deux grandeurs différentes plan vertical

Chute libre verticale Équation de la trajectoire

Cas théorique, elle correspond à une chute sous le seul L’équation de la trajectoire s’obtient à partir des équa-
effet de la pesanteur. Vous devez savoir qu’elle cor- tions horaires paramétriques, en éliminant le temps.
respond à un mouvement rectiligne uniformément ac- Vous devez être capable de retrouver cette équation.
céléré : a⃗⃗ = g⃗⃗ Cette équation correspond à celle d’une parabole,
dans le cas d’un mouvement sans frottement.
La résolution analytique de conduisant aux équations
horaires du mouvement repose sur une double inté-
gration et l’exploitation des conditions initiales.

Pour faire le bilan

57

Pour se tester sur le cours

1 Mots manquants : ● Dans le modèle de la chute libre, le vecteur accéléra-
● La direction du vecteur champ de pesanteur est la …… tion du centre d’inertie d’une boule d’acier de 700g
est la même que pour une bille en verre de masse
du lieu. 15g.
● Lors d’une chute ……, le vecteur accélération est égal
● Dans le cas d’une chute livre d’une bille de fer sans
au vecteur champ de pesanteur. vitesse initiale dans l’air, l’accélération initiale de la
● La trajectoire du centre d’inertie d’un objet en chute bille est nulle.

libre avec une vitesse initiale v⃗⃗⃗0⃗ est une portion de …… ● Une balle est lancée verticalement vers le haut. La vi-
dans le plan vertical contenant…… . tesse initiale a pour valeur v0. Dans le modèle de
Suivant l’axe horizontal, le mouvement est …… . chute libre, la coordonnée sur l’axe vertical dirigé vers
Suivant l’axe vertical, le mouvement est …… …… . le haut a pour expression vz = g.t+v0.

2 Vrai ou faux ● A la date t = 0s, une boule de pétanque G est lâchée
sans vitesse initiale du point M0 de coordonnée z0 sur
● La valeur du champ de pesanteur varie avec le lieu. l’axe vertical (Oz) dirigé vers le bas.
● Le mouvement du centre d’inertie d’un objet en Dans le modèle de la chute libre, la coordonnée de G
a pour expression : z = g.t + z0.
chute libre dans le champ de pesanteur uniforme est
uniforme. 5 On considère un axe vertical ascendant (Oz). Un objet
● La durée d’une chute libre dépend de la masse de est lancé vers le haut. Soit vz la coordonnée du vec-
l’objet. teur vitesse de son centre d’inertie G et z sa coordon-
● La trajectoire d’un solide en chute libre est toujours née. On donne les quatre courbes suivantes :
la verticale.
● vz est représentée par la courbe : a, b, c ou d ?
2 Vrai ou faux ● z est représentée par la courbe : a, b, c ou d ?

Un projectile est lancé dans le champ de pesanteur uni- 2 Vrai ou faux
forme avec une vitesse initiale orientée à 45° au-dessus Un objet est en chute libre sans vitesse initiale. Au bout
de l'horizontale. de sa chute, sa vitesse est :
● proportionnelle à la durée de la chute.
Le vecteur accélération : ● proportionnelle à la racine carrée de la hauteur de
● dépend des conditions initiales.
● dépend de la masse m du projectile. chute.
● est constant et vertical. ● proportionnelle au carré de la durée de la chute.
● est minimal au sommet de la trajectoire. ● plus grande qu’au bout d’une durée plus faible.
La hauteur de chute est :
Le mouvement vertical du projectile précédent : ● proportionnelle à la durée de chute.
● est uniforme. ● proportionnelle à la vitesse acquise.
● est uniformément accéléré. ● croissante avec la vitesse acquise.
● est constant. ● identique quelle que soit la masse de l’objet.
● est uniformément varié.

3 QCM

On étudie la chute libre verticale d’un objet dans un re-
père orienté par un axe Oz dirigé vers le haut.

Pour un objet tombant en chute libre sans vitesse ini-
tiale :

 vz(t) = - g . t  vz(t) = ½ . g . t
Pour un objet ayant une vitesse initiale v⃗⃗⃗0⃗ situé dans le
plan (xOz) et formant un angle α avec l’horizontale :

 vx(t) = g.t+v0.sin(α)  vx(t) = - g.t+v0.sin(α)

4 Vrai ou faux

58

Pour s’entrainer

Chutes libres verticales 4 Apollo 15

1 Galilée à Pise Une expérience devenue très célèbre a été réalisée le 2
aout 1971 par l’astronaute David Scott sur la Lune lors
Une bille est lâchée sans vitesse ini- d’une mission Apollo. Elle consiste à laisser tomber sans
tiale du sommet de la tour de Pise vitesse initiale un marteau vers la surface lunaire.
(hauteur h = 54 m), reproduisant ainsi
des expériences qu'aurait faites Gali- a. En utilisant la deuxième loi de Newton, déterminer la
lée. On modélise la bille par un point valeur de l’accélération du marteau.
matériel de masse m.
b. Etablir les expressions des équations horaires de la vi-
a. En supposant la chute libre, établir l'équation horaire tesse et de la position.
de son mouvement en choisissant l'axe vertical
orienté vers le bas et l'origine O au point de départ de c. Déterminer la valeur de la durée de sa chute.
la bille.
d. Comparer ce résultat à la vidéo de l’expérience en sui-
b. Quelle est la durée de la chute jusqu'au sol ? vant le lien.

c. Quelle est la valeur de la vitesse juste avant l'arrivée Données :
sur le sol ? intensité du champ de pesanteur lunaire : gL = 1,7m.s-2

2 Lancer vertical hauteur du lancé : H = 1,6 m

Une petite bille, modélisée par un point matériel, est lan- Chutes libres paraboliques
cée verticalement à l’instant de date t0 = 0 s.
5 Balle de golf
Sur un axe (Oz) orienté vers le haut, la position de la bille
Un golfeur souhaite envoyer sa balle au-dessus d’un
est donnée à chaque instant parla relation: arbre de hauteur h = 5,0m. Cet arbre ce trouve à une dis-
tance d = 15m du golfeur.
z = 1 t2 + v0.t + z0
2. g .

avec v0 = 5,0 m.s-1 et z0 = 1,2 m.

a. Quelle est la position de la bille à l'instant t0 ?

b. Établir l'expression, en fonction du temps, de la coor-
donnée vZ(t) du vecteur vitesse. Quelle est sa valeur à
l’instant t0 ?

c. La bille est-elle lancée vers le haut ou vers le bas ?
Justifier.

d. À quel instant de date t1 la vitesse de la bille s'annule- La balle de golf se trouve au point O lorsqu’elle est frap-
t-elle ? Quelle est alors sa position ? pée par le club. Elle part avec un angle α de 40° par rap-
port au sol supposé horizontal avec une vitesse initiale v0
e. Établir l'expression en fonction du temps de la coor- = 20 m.s-1.
donnée aZ(t) du vecteur accélération. Préciser les ca-
ractéristiques du vecteur accélération. a. Calculer la valeur de l’accélération de cette balle.

Comment qualifie-t-on un tel mouvement? b. Etablir les équations horaires du mouvement de cette
balle.
3 Chute d’un grimpeur encordé
c. En déduire l’équation de la trajectoire de la balle.
Un grimpeur tombe
d. Le golfeur réussira-t-il à faire passer sa balle au-des-
sans vitesse initiale sus de l’arbre ?

d’une hauteur

h = 4,0 m au bout de la-

quelle son partenaire 3 Grenouille

bloque la corde.

Au cours de cette Une grenouille s’élance d’un nénu-
chute, la corde n’agit pas sur le grimpeur. phar pour atteindre un autre nénu-
phar situé à 50 cm du précédent.
a. Appliquer la deuxième loi de Newton afin de détermi-
ner l’accélération du grimpeur lors de sa chute. Sa vitesse initiale est de 2 m.s-1 et sin
vecteur vitesse vaut un angle α = 55°
b. Déterminer la durée de la chute. avec l’horizontale.

c. En déduire la vitesse atteinte par le grimpeur au bout Parvient-elle à son objectif ?
de sa chute.

59

6 Service au tennis

Au service, un joueur de tennis lance la balle verticale-
ment et la frappe avec sa raquette quand elle est à une
hauteur H = 2,50 m du sol. Le joueur lui communique
alors une vitesse horizontale de valeur v0 = 20,0 m.s-1. La
balle passera-t-elle au-dessus du filet ?

a. En appliquant la deuxième loi de Newton, établir l'ex- En vous appuyant sur les lois de la mécanique, détermi-
pression du vecteur accélération de la balle et en dé- ner :
duire les coordonnées ax(t) et aZ(t) de la balle modéli-
sée par un point matériel A. a. la hauteur h de chute du galet.

b. Établir que les coordonnées du vecteur position de la b. si la rive opposée est at-
balle sont les suivantes: teinte.

x(t) = v0.t et z = - 1 . g . t2 + H c. la valeur de la vitesse vA
du galet arrivant au sol.
2
1 Un singe et un enfant
En déduire l'équation de la trajectoire de la balle.
Un singe et un enfant jouent à
c. La balle passera-t-elle au-dessus du filet situé à la balle. Le singe assis sur une
D = 12,0 m de la position de lancement? La hauteur branche d'un arbre voit que
du filet a cet endroit est h = 90,0 cm. l'enfant lance la balle dans sa direction. Joueur et intuitif,
il se laisse tomber à l'instant précis du lancer afin de rat-
1 Au-delà de la rivière traper la balle.

Un enfant lance un galet horizontalement du haut d’une On modélise la balle et le singe par des points matériels
B et S. La balle est lancée à la date t = 0s du point O selon
paroi verticale à l’aplomb d’une rivière large de 30m, la direction OS0, le point S0 étant la position du singe a la
d’un point B avec une vitesse v0 = 20 m.s-1. date t = 0 s. On notera V0 la vitesse initiale de la balle.

Le singe va-t-il rattraper la balle avant qu'elle tombe ?

Le but du lancer est d’atteindre la rive opposée avec le
galet. Le galet atteint le niveau du sol au point A à l’ins-
tant tA = 3,0s.

Pour aller plus loin

1. Le saut de Félix Baumgartner (d’après BAC) Dans la première phase du saut, on admet que l’accélé-
ration de la pesanteur g est égale à 9,71 m.s-2.
Le dimanche 14 oc-
tobre 2012, Félix Dans un référentiel terrestre supposé galiléen, le repère
Baumgartner est en- choisi possède un axe Oy vertical.
tré dans l’histoire en
s’élançant de la stra- a. Établir l’expression de l’accélération ay de Félix Baum-
tosphère à plus de gartner. De quel type de mouvement s’agit-il ?
39 000 m d’altitude.
Le saut s’est fait de- b. Établir l’équation horaire de son mouvement y = f(t).
puis la nacelle d’un
ballon avec une vi- c. En déduire la date t1 correspondant au record de vi-
tesse initiale nulle. Au tesse de Félix Baumgartner.
cours de la première phase de sa chute qui a duré quatre
minutes et vingt secondes, il a atteint une vitesse de d. Quelle distance Félix Baumgartner a-t-il parcouru
pointe de 1342 km.h-1 ! Dans une seconde phase, il a ou- lorsqu’il atteint cette vitesse maximale ?
vert son parachute.
Quelle est alors son altitude H1 ?

d. Proposer un argument qui justifie l’utilisation précé-
dente du modèle de chute libre dans la stratosphère.

2 Tennis (d’après Concours Polytech)

60

Un terrain de tennis est un rectangle de longueur l = 23,8 j. Montrer alors que le service est déclaré en calculant
m et de largeur L = 8,23 m, séparé en deux dans le sens l’abscisse xB de la balle lors de son impact avec le sol en
de la largeur par un filet dont la hauteur sera supposée B.
constante et égale à h = 1 m.
Le lancer de balle au service doit s’effectuer de telle fa- 3 Télescopage (d’après Concours Advance)
çon que la balle passe au-dessus du filet pour rebondir
dans une zone comprise entre le filet et une ligne située Le point O, origine du repère (O;x;y) est situé au niveau
à une distance d = 6,4 m du filet. du sol.

Le joueur, dont les pieds posés au sol sont situés au point À un instant de date t = 0, on lance un projectile A d’un
O, frappe la balle avec sa raquette en un point A placé à point M de coordonnées (0;hM) avec une vitesse initiale
la verticale de O tel que OA = H = 2 m, et souhaite l’en- v0, dans une direction qui fait un angle α avec l’horizon-
voyer en un point B situé dans l’angle opposé du rec- tale.
tangle de service.
Le mouvement de la balle est étudié dans le référentiel Au même instant (t = 0), on laisse tomber, sans vitesse
terrestre, galiléen, de repère (O,x,y,z). initiale, un projectile B d’un point N de coordonnées
Données : ● v0 = 25 m.s-1 (xN;hN).
● OF = 12,2 m où F est le point à la base du filet
Premier service : En A à l’instant t0 =0, la position initiale On admet que les projectiles A et B sont en chute libre,
de la balle est donnée par : x(0)=0, y(0)= H et z(0)=0. Son le champ de pesanteur étant supposé uniforme.
vecteur vitesse est horizontal et vaut v0.
a. Déterminer les composantes du vecteur vitesse v⃗ . Les projectiles A et B se rencontrent avant de toucher le
b. Déterminer les équations horaires x(t), y(t), et z(t). sol au point P à la date tP.
c. Expliquer pourquoi le mouvement de la balle a lieu
Les équations horaires sont :
dans le plan (Oxy).
d. Etablir l’équation littérale de la trajectoire de la balle Projectile A : Projectile B :
e. Calculer la hauteur yF de la balle quand elle atteint le
xA(t) = v0.cosα.t xB(t) = xN
filet (xF = OF) et montrer ainsi que le service est dé-
claré faute, c'est-à-dire yF < h. yA(t) = - 1 .g.t2 + v0.sinα.t + hM yA(t) = - 1 .g.t2 + hN
Second service : En A à l’instant t0 =0, la position initiale 2 2
de la balle est identique à celle du premier service, mais
son vecteur vitesse initiale est désormais incliné d’un Données : v0 = 5,0m.s-1 ; α = 45° ; hM = 5,0m ; xN = 1,0m
angle α avec l’horizontale.
f. Déterminer les nouvelles coordonnées du vecteur vi- Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
tesse.
g. Déterminer les nouvelles équations horaires. a. Pour que les deux projectiles se rencontrent avant de
h. Etablir l’équation littérale de la trajectoire de la balle toucher le sol, il faut que :
dans le plan (Oxy).
i. Montrer que la balle passe au-dessus du filet en cal- xP <√2.hP et sin(α) = hP-hM
culant la hauteur yF de la balle quand elle atteint le filet v0.cosα g v0.tP
(xF = OF).
b. La durée t 1 est de 0,28 s.

c. Les deux projectiles se rencontrent à l’ordonnée
yP = 5,4 m.

d. Les coordonnées du point N sont :

xN = 1,0 m et hN = 6,0 m.

1 Un singe et un enfant (d’après BAC)
Un singe et un enfant
jouent à la balle. Le singe
assis sur une branche
d'un arbre voit que l'en-
fant lance la balle dans
sa direction. Joueur et
intuitif, il se laisse tom-
ber à l'instant précis du
lancer afin de rattraper
la balle.

On modélise la balle et le singe par des points matériels
B et S.

La balle est lancée à la date t = 0s du point O selon la di-
rection OS0, le point S0 étant la position du singe a la date
t = 0 s. On notera V0 la vitesse initiale de la balle.

Le singe va-t-il rattraper la balle avant qu'elle tombe ?

61

Chp.1 - Caractéristiques des ondes 62

7 CaMraoucvteémriesnttiqs udeess
satellidteesseotnddesesplanètes

Vue depuis la station spatiale internationale,
les mouvements du Soleil, de la Terre et de la
station apparaissent clairement …

Accompagnement numérique

Pour préparer le cours (classe inversée)
● Capsule vidéo : Les lois de Kepler
● Capsule vidéo : Trajectoire circulaire des astres

Pour illustrer le cours
● Animation : Lois de Kepler
● Animation : Orbites
● Vidéo : Pourquoi la lune ne tombe pas ?
● Capsule Vidéo : Satellite géostationnaire

Chp.1 - Caractéristiques des ondes 63

Mes objectifs

● Enoncer les lois de Kepler et les appliquer à une trajectoire circulaire ou elliptique
● Définir un mouvement circulaire uniforme et donner les caractéristiques de son vecteur accélération
● Enoncer la loi de gravitation universelle sous sa forme vectorielle.
● Appliquer la deuxième loi de Newton à un satellite ou à une planète.
● Démontrer que le mouvement circulaire est une solution des équations obtenues en appliquant la deuxième

loi de Newton aux satellites ou aux planètes.
● Définir la période de révolution et la distinguer de la période de rotation propre
● Exploiter les relations liant la vitesse, la période de révolution et le rayon de la trajectoire
● Retrouver la troisième loi de Kepler pour un satellite ou une planète en mouvement circulaire uniforme
● Exploiter des informations concernant le mouvement de satellites ou de planètes.

Ce qu’il faut retenir

1. Les lois de Kepler Pour un cercle a est égal au rayon R.

1.1. Première loi de Képler 2. Cas du mvt circulaire uniforme
Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre
de chaque planète est une ellipse dont le centre du Soleil 2.1. Cinématique du mouvement circulaire uniforme
S est l’un des foyers (le soleil est donc soit en F, soit en F’).
1.2. Deuxième loi de Képler (loi des aires) On considère un objet dont le centre d’inertie G est
Le segment de droite reliant le Soleil S et le centre d’une animé d’un mouvement circulaire uniforme de centre O
planète P balaie des aires égales pendant des intervalles et de rayon r.
de temps égaux.
Dans ces conditions, on peut démontrer les propriétés
La vitesse du centre de la planète varie donc au cours de suivantes :
son mouvement : plus la planète est proche du soleil, plus
elle se déplace rapidement. ● La valeur de la vitesse de G est constante mais le vec-
Si l’on assimile l’orbite de la planète à un cercle de centre
O, les aires balayées sont égales : la vitesse de la planète teur vitesse ⃗v⃗⃗G⃗ ne l’est pas (la direction varie au cours
est constante. Dans ce cas, le mouvement est circulaire du mouvement).
uniforme.
1.3. Troisième loi de Képler ● Le vecteur accélération a⃗⃗⃗⃗G⃗ est contenu dans le plan
Quelle que soit la planète considérée, le rapport entre la de la trajectoire circulaire.
période de révolution T (durée nécessaire pour que le sa-
tellite fasse une révolution complète autour de l’astre « ● Le vecteur accélération a⃗⃗⃗⃗G⃗ est colinéaire au rayon du
attracteur ») et le cube du demi-grand axe a de l’ellipse cercle et orienté vers le centre O : l’accélération est
est constant :
radiale et centripète.
T2
a3 =cste ● Le vecteur accélération a⃗⃗⃗⃗G⃗ est perpendiculaire au
La constante ne dépend que des propriétés de l’astre at- vecteur vitesse : l’accélération est normale.
tracteur, elle est donc la même pour toutes les planètes
du système solaire par exemple. ● Les valeurs de la vitesse et de l’accélération vérifient
la relation :

aG  vG2 vG: vitesse du point G (m.s-1)
r aG: accélération du point G (m.s-2)
r : rayon de la trajectoire (m)

Chp.1 - Caractéristiques des ondes 64

2.2. Dynamique du mouvement circulaire uniforme Ce vecteur est toujours vertical dirigé vers le bas.
La valeur du vecteur champ de pesanteur dépend en
Analyse physique toute rigueur de l’altitude du point. Toutefois pour les ob-
jets au voisinage de la Terre, on considère que cette va-
Système : Objet de centre de gravité B, de masse mB, en leur est égale en tous points.
rotation autour d’un astre A de masse mA. On a ainsi g = 9,81 N.kg-1 = 9,81 m.s-2.
Dans ce cas, on dit que le champ de pesanteur est uni-
Référentiel : On se place dans le référentiel supposé gali- forme.
léen lié au centre de l’astre A. On choisit un repère ortho- Si on place en ce point M, un objet de masse m, alors l’ob-
jet subira la force, appelée « poids » :
normé B,ut ,un  tel que ut est colinéaire au vecteur vi-
P⃗⃗ = m × g⃗⃗ = ± m × g × u⃗⃗⃗⃗z
tesse et un est orienté vers le centre de la trajectoire. Le signe dépend de l’orientation de l’axe vertical.

Bilan des forces : Force d’interaction gravitationnelle Exercice d’application 1
exercée par A sur B telle que : Coordonnées de vecteurs

FA /B  G  mA mB n Donner les coordonnées des 6 vecteurs en fonction de
r2 leur norme et, si nécessaire, de l’angle qu’ils forment avec
l’horizontale ou la verticale.
F⃗⃗⃗A⃗⃗⃗/⃗B⃗ : Force exercée par A sur B (N)
2. Chutes libres verticales
G : Constante universelle de gravitation
2.1. Caractéristiques du mouvement
mA et mB : masses des astres A et B (kg) Système : Objet de centre de gra-
vité G en chute libre (uniquement
r : rayon de la trajectoire (m) soumis à son poids)
Référentiel : On se place dans le ré-
La constante universelle de gravitation a pour valeur : férentiel terrestre supposé gali-
léen.
G = 6,67.10-11 N.kg-2.m2 On choisit arbitrairement un axe
vertical (Oz) orienté vers le bas.
Expression de l’accélération et de la vitesse: Bilan des forces : Poids de l’objet
tel que
• on applique la deuxième loi de Newton au système :
P⃗⃗ = m × g⃗⃗ = m × g × u⃗⃗⃗⃗z
m.a  Fext  mB.a  FA /B  a  G  mA n Conditions initiales : à t = 0s, l’altitude de l’objet est z0 et
r2 la valeur de sa vitesse est v0.
2.2. Expression de l’accélération
L’accélération est centripète et indépendante de la On applique la deuxième loi de Newton au système :

masse de B. m . a⃗⃗ = ∑ ⃗F⃗⃗E⃗⃗x⃗⃗t ⟺ m . ⃗a⃗ = P⃗⃗

• on projette cette relation et on utilise le résultat de

cinématique :

a  G mA   v  G mA
a  r2  r
v2 
r 


La vitesse est constante pour un mouvement circu-

laire (2ème loi de Kepler) et indépendant de la masse

de B.

Expression de la période de révolution :

La période de révolution de B autour de A correspond à
la durée nécessaire pour effectuer un tour :

Chp.1 - Caractéristiques des ondes 65

Pour maitriser les mots-clés Gravitation universelle

Lois de Képler Deux corps dont la répartition des masses est à symé-

● Les planètes ou satellites décrivent des orbites ellip- trie sphérique, de centres A et B, et dont la distance
tiques, l’astre attracteur étant l’un des foyers de l’el-
lipse ; AB est grande devant leur taille, exercent l’un sur

● Les aires balayées par le segment reliant le satellite l’autre une force attractive :
à l’astre attracteur pendant des durées égales sont
égales ; F⃗B/A=-F⃗A/B =G× mA×mB u⃗⃗AB
AB2
● Le rapport entre le carré de la période de révolution
T et le cube du demi-grand axe a de l’orbite elliptique où u⃗⃗AB est un vecteur unitaire, porté par la droite (AB),
est constant. dirigé de A vers B.

Circulaire uniforme Géostationnaire

La trajectoire d’un tel mouvement est un cercle, décrit Un satellite est géostationnaire s’il parcourt son orbite
à vitesse constante (le vecteur vitesse change cons- dans le plan équatorial de la Terre, dans le même sens
tamment de direction, tout en restant tangent à la tra- et avec la même période que la rotation propre de la
jectoire et de valeur constante). Terre.

Ce mouvement a lieu sous l’effet d’une force radiale, Ces conditions impliquent une immobilité par rapport
(dirigée selon le rayon de la trajectoire circulaire), et à un point du sol, et une altitude de 36 000 km environ
la vitesse initiale est non nulle. à la verticale de l’équateur.

Le vecteur accélération est alors centripète (dirigé
vers le centre du cercle). Sa valeur est : a = v²/r

Pour faire le bilan

Chp.1 - Caractéristiques des ondes 66

Pour se tester sur le cours

1 Mots manquants :  k dépend de la masse de l’astre autour duquel le
satellite tourne.
Compléter avec un ou plusieurs mots.
 k est une constante universelle.
● Un mouvement est circulaire et .......... si la trajectoire
est un .......... et si la .......... de sa vitesse est cons- 3 Vrai ou faux
tante.
Lois de Kepler
● Le vecteur .......... d'un point mobile en mouvement
circulaire uniforme de rayon r est .......... au vecteur ● Les orbites des planètes sont des ellipses dont le
vitesse et sa valeur est égale à v²/r. centre S du soleil est l'un des foyers.

● La trajectoire de la Terre est pratiquement un cercle ● Pendant une durée Δt, l'aire balayée ΔA par le rayon
par rapport au référentiel ........ joignant le centre du soleil au centre de la planète dé-
pend de la position de la planète sur son ellipse dé-
● La loi de gravitation universelle s'applique aux corps pend des conditions initiales.
.......... mais aussi aux corps à ........ de masse.
● Lorsque la planète est au périhélie, sa vitesse orbitale
● Dans l'approximation des trajectoires circulaires, le est maximale.
mouvement d'un satellite est nécessairement ........
● Le carré de la période de révolution d'une planète est
● D'après la première loi de Kepler ou loi ........ dans le inversement proportionnel au carré de la demi-lon-
référentiel héliocentrique, la trajectoire d'une pla- gueur du grand axe de l'ellipse.
nète est une ........ dont le Soleil occupe un des ........
● Aucune des propositions ci-dessus.
● D'après la deuxième loi de Kepler ou loi .........., le seg-
ment qui relie le centre du .......... à celui d'une pla- La Terre
nète balaie des ......... pendant des durées égales.
● La période de révolution de la terre est d'environ 24h.
● D'après la troisième loi de Kepler ou loi ........ le .........
de la période de révolution d'une planète est propor- ● Dans le référentiel géocentrique, un satellite géosta-
tionnel au ......... de la longueur du demi-grand axe .de tionnaire est en orbite dans le plan équatorial.
sa trajectoire.
● Dans le référentiel géocentrique, le centre de la terre
2 QCM est immobile.

Cocher la réponse exacte. ● Le rayon de la trajectoire d'un satellite géostation-
naire est environ 12 103 km.
● La valeur de l'accélération d'un point mobile en mou-
vement circulaire uniforme: ● Aucune des propositions ci-dessus.
 est nulle
 quadruple si la valeur de la vitesse double Ariane III
 augmente si le rayon de la trajectoire augmente
Le 25 janvier 2018, le lanceur Ariane V a mis en orbite
● Le mouvement de Jupiter est circulaire dans le réfé- géostationnaire, supposée circulaire dans le référentiel
rentiel : géocentrique, le satellite SES14.
 géocentrique
 héliocentrique ● La valeur de la vitesse angulaire de ce satellite est
 jovicentrique ω = 7,27.10-5 rad/s.

● Dans l'approximation d'une trajectoire circulaire de ● La vitesse angulaire de ce satellite est ω = 0,26 rad/s.
rayon r autour d'un astre de masse M, la valeur de la
vitesse d’un satellite vérifie la relation: ● L'altitude de ce satellite est h = 12 800 km.

● L'altitude de ce satellite est h = 35 900 km.

● Aucune des propositions ci-dessus.
Données : Masse de la terre M = 6 1024 kg ; rayon de la
terre R = 6400 km ; constante de gravitation universelle
G = 6,67 10-11 m3 kg-1 s-2

 v=√G×M  v= r  v= G×M Mouvement circulaire uniforme.

r G×M r On considère un satellite terrestre en mouvement circu-
laire uniforme dans le référentiel géocentrique. On note
● Dans l'approximation des trajectoires circulaires au- r le rayon de la trajectoire, v sa vitesse, ω sa vitesse an-
tour d'un astre, la période de révolution T et le rayon gulaire et T sa période orbitale.
r de la trajectoire d'un satellite vérifient la relation :

 T2  T3  T3  T = 2.π.ω  T = 2.π.r / v
r3 r2 r3
=k =k =k v=ω/r  T = r.ω²

● Dans la relation correcte précédente :  Aucune des propositions ci-dessus

 k dépend de la masse du satellite.

Chp.1 - Caractéristiques des ondes 67

Pour s’entrainer

Les lois de Kepler Dans le tableau ci-dessous, T désigne leur période de ré-
1 Connaître la loi des orbites volution et r leur distance moyenne au centre de Jupiter.
Pour représenter sur un schéma l'orbite de Mercure, Paul
utilise la méthode dite du « jardinier » qui veut obtenir Satellite T(jour) r(km)
de jolis massifs ovales. Il plante deux punaises en deux
points P1 et P2, tend une ficelle inextensible entre les Io 1,77 4,22.105
deux et tourne autour des deux punaises la ficelle ten-
due. Europe 3,55 6,71.105

a. Comment s'appelle la courbe ainsi obtenue? Ganymède 7,16 1,071.106
b. Où doit-il représenter Mercure? Où doit-il représen-
Callisto 16,7 1,884.106
ter le Soleil? Justifier en citant la première loi de Ke-
pler. La troisième loi de Kepler est-elle vérifiée pour ces satel-
2 Connaître la loi des aires lites ?
La figure ci-dessous reproduit la trajectoire d'une planète
P autour du centre S du Soleil. 4 La Terre et Jupiter

Les parcours P1P2 et P3P4, s'effectuent sur des durées Les orbites de la Terre et de Jupiter sont pratiquement
identiques. circulaires. La distance moyenne Terre - Soleil est
a. En précisant la loi utilisée, quelle relation existe-t-il dTS = 1,5.108 km et la distance moyenne Jupiter - Soleil
est dJS = 7,8.108 km.
entre les aires A et A' colorées sur le schéma ?
b. La vitesse de la planète est-elle la même sur P1P2 et a. Quelle est la période de révolution de la Terre?

P3P4 ? Si non, sur quel parcours P est-elle plus rapide? b. En appliquant une loi de Kepler, déterminer la pé-
3 Connaître la loi des périodes riode de révolution de Jupiter.
En 1610, GaIiIée découvre quatre satellites de Jupiter.
c. La distance Terre-Lune est de 384 000 km. Peut-on
déterminer la période de révolution de la Lune à partir
de celle de la Terre?

Orbites circulaires

5 Mise en orbite d'un satellite artificiel

Un satellite terrestre S,
de masse m, se déplace
à vitesse constante vs
sur une orbite circulaire
à l'altitude h. Il est sou-
mis à la seule force de
gravitation exercée par
la Terre.

On choisit ⃗⃗⃗⃗⃗ un vecteur unitaire normal à la trajectoire
et orienté vers le centre de la Terre, et on note MT et RT
la masse et le rayon de la Terre.

a. Donner l'expression vectorielle de la force de gravita-
tion F⃗⃗⃗T⃗⃗/⃗S⃗ exercée par la Terre sur le satellite S, considéré
comme ponctuel, en fonction des données.

b. Sans souci d'échelle, représenter sur un schéma la
Terre, S, ⃗⃗⃗⃗⃗ et F⃗⃗⃗T⃗⃗/⃗⃗S .

c. En appliquant une loi de Newton, exprimer le vecteur
accélération a⃗⃗⃗⃗S de S en fonction des données.
d. Déterminer l'expression de la vitesse vs du satellite en
fonction des données.

e. On note T la durée mise par le satellite pour faire un
tour autour de la Terre. Comment appelle-t-on cette
grandeur ?

f. Déterminer son expression en fonction de G, MT, h et
RT.

Chp.1 - Caractéristiques des ondes 68

6 Deux satellites de Neptune b. Donner l'expression vectorielle de la force de gravita-
Neptune possède plusieurs satellites tels que Triton dont tion exercée par la Terre sur Hubble F⃗⃗⃗T⃗⃗/⃗⃗H⃗.
l'orbite est circulaire et Néréide, dont l'orbite est ellip-
tique. c. Justifier que le mouvement circulaire du satellite est
uniforme dans le référentiel géocentrique.
Les rayons ou les demi-grands-axes des orbites sont sup-
posés grands devant les dimensions de Neptune ou de d. Déterminer l'expression de la valeur v de la vitesse et
ses satellites. calculer sa valeur.
a. Dans quel référentiel (géocentrique, héliocentrique,
e. Retrouver la valeur de la période TH de révolution
neptunocentrique, néréïdocentrique) le mouvement donnée en introduction.
de Triton est-il circulaire?
b. Triton n'est soumis qu’à l'action de Neptune. Donner 8 Satellite géostationnaire
l'expression vectorielle de la force gravitationnelle Les satellites géostationnaires sont immobiles dans le ré-
⃗F⃗⃗N⃗⃗⃗/⃗T⃗ exercée par Neptune sur Triton et justifier que le férentiel terrestre. C'est le cas de satellites météorolo-
mouvement circulaire de Triton est uniforme. giques qui peuvent ainsi observer en permanence une
c. Déterminer l'expression de la vitesse vT de Triton et même région de la surface de la Terre.
celle de sa période de révolution TT. Plan de la trajectoire
d. En déduire l'expression et la valeur du rayon rT de l'or- On propose trois trajectoires hypothétiques de satellite
bite de Triton. en mouvement circulaire uniforme autour de la Terre.
e. La troisième loi de Kepler étant applicable aux satel-
lites de Neptune, déterminer la valeur de la période a. Montrer que l'une de ces trajectoires est incompa-
de révolution TN de Néréïde. tible avec les lois de la mécanique.
Données: masse de Neptune MN = 1,0.1026 kg; masse de
Triton mT = 2,1.1022 kg, période de révolution de Triton b. Quelle est la seule trajectoire qui peut correspondre
TT = 5,9 jours solaires, longueur du demi-grand-axe de la au satellite géostationnaire? Justifier la réponse.
trajectoire de Néréïde r2 = 5,5.106 km.
Altitude du satellite
7 Hubble c. Pour un satellite en orbite circulaire, la troisième loi
Le télescope spatial
Hubble est le fruit d'un de Kepler peut s'écrire:
long travail de recherche T2 4.π
de la NASA et de l'Agence r3 = G.M
Spatiale Européenne.
Destiné à donner des Donner la signification de chacun des termes de cette re-
images du ciel en évitant lation.
les perturbations dues à d. Quelle est la relation entre la période TT de rotation
l'atmosphère terrestre, il
a été placé en orbite prati- de la Terre et la période TS de révolution du satellite
quement circulaire à envi- autour de la Terre pour que celui-ci soit géostation-
ron h = 600 km d'altitude. naire?
e. L'un des deux satellites ci-dessous est géostation-
Il effectue ainsi un tour complet de la Terre en presque naire :
100 minutes.
Hubble est considéré ponctuel et la Terre à répartition La station orbitale ISS à l’altitude 400 km
sphérique de masse. Anik1 à l’altitude 35,8.103 km.
a. Schématiser la situation étudiée dans le référentiel
Lequel ? Justifier la réponse.
géocentrique considéré comme galiléen.
9 Connaître le mouvement d'un satellite
Les satellites géostationnaires sont immobiles dans le ré-
férentiel terrestre. C'est le cas de satellites météorolo-
giques qui peuvent ainsi observer en permanence une
même région de la surface de la Terre.
Montrer qu’un satellite ne peut être géostationnaire que
si les deux conditions suivantes sont satisfaites :
● le satellite gravite dans un plan équatorial (plan qui
contient l’équateur de la planète)
● son altitude est voisine de 36 000 km.

Chp.1 - Caractéristiques des ondes 69

Pour aller plus loin

1 ISS (d’après BAC) a. On a la relation :
La station spatiale internationale ISS (International Space
Station) est à ce jour le plus grand des objets artificiels  g0= G.mL  g0= G.mL
placé en orbite terrestre à une altitude de 400 km. RL ()2
La station spatiale internationale, supposée ponctuelle et
notée S, évolue sur une orbite qu’on admettra circulaire.  g0= G  g0= G
()2 RL
a. Représenter sur un schéma : la Terre et la station S,
supposée ponctuelle ; un vecteur unitaire ⃗⃗ orienté b. En première approximation, on considère que
de la station S vers la Terre ; la force d’interaction gra- RT/RL=4 et que mT/mL= 100.
vitationnelle exercée par la Terre sur la station S.
On souhaite comparer la valeur du champ de pesan-
b. En considérant la seule action de la Terre, établir l’ex- teur gTerre à la valeur g0 du champ de pesanteur à la
pression vectorielle de l’accélération a⃗⃗⃗⃗S de la station surface de la lune.
dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen, en
fonction de G, M, h, R et du vecteur unitaire ⃗⃗. On a la relation :

c. Montrer que, dans le cas d’un mouvement circulaire,  g0= 16 ×gTerre
la valeur de la vitesse du satellite de la station a pour 100
expression :
 g0= 1 ×gTerre
v=√GR+.Mh 6
d. Calculer la valeur de la vitesse de la station en m.s–1.
e. Combien de révolutions autour de la Terre un astro-  g0= 32 ×gTerre
100
naute présent à bord de la station spatiale internatio-
nale fait-il en 24h ?  aucune des trois réponses précédentes
Données :
 rayon de la Terre : R = 6380 km c. Si on note g la valeur du champ de pesanteur lunaire
 masse de la station : m = 435 tonnes à l’altitude h du satellite, on a :
 masse de la Terre : M = 5,98 ×1024 kg
 constante de gravitation: G = 6,67×10-11 m3.kg–1.s–2  g = g0 × ( RL 2  g = g0× RL
 altitude de la station ISS : h RL+h
RL+h )
2. Alphasat (d’après Concours Advance)
On considère un satellite en orbite autour de la lune, à  g = g0 × RL  g = g0× (RL)2
une altitude h. On donne le rayon de la lune RL = 1700 km. h h
On considèrera dans toute la suite de l’exercice que l’al-
titude h est suffisamment petite pour que l’attraction d. On suppose que le mouvement du satellite est circu-
terrestre soit négligeable devant celle de la lune. On note laire uniforme. On peut dire à propos du satellite que:
g0 la valeur du champ de pesanteur à la surface de la
lune.  son accélération est nulle

Chp.1 - Caractéristiques des ondes  son accélération est tangentielle à la trajectoire

 son accélération est normale vers l’extérieur

 son accélération est normale vers l’intérieur

e. v désigne la vitesse du satellite, ω sa vitesse angulaire

et a la valeur de son accélération. On a la relation :

 a = v2  a =ω2×(RL+h)  a = ω2

h RL+h

 aucune des trois réponses précédentes.

f. On a la relation :

 v = √RL2×g0

RL+h

 v = √RL×h×g0

RL+h

 v = h×√RgL+0h
 aucune des trois réponses précédentes.

g. La vitesse angulaire du satellite est de :

 ω = RL2×g0
(RL+h)3

 ω = √(RRLL2+×hg)03

 ω = √RgL+0h
 aucune des trois réponses précédentes.

70

h. La période de révolution du satellite est de :

 T = +ℎ × √+0 ℎ


 T = 2.. × √+0 ℎ
+ℎ

 T =2. × √+0ℎ g. Sachant que la période de révolution T2 du satellite
 aucune des trois réponses précédentes. sur son orbite définitive est de 23h56min4s, calculer la
valeur de l’altitude h2 du satellite sur son orbite circulaire
3 Alphasat (d’après Concours Polytech) définitive.

Le satellite de télécommunication Alphasat, le plus grand h. Donner l’expression de la longueur du segment S1S2
satellite géostationnaire jamais réalisé en Europe, a été en fonction de h1, h2 et des données de l’énoncé.
lancé avec succès le 25 juillet 2013 par Arianespace, de- Faire l’application numérique.
puis la base de lancement de Kourou à bord du lanceur
Ariane 5. Soit L’, le demi grand axe de l’ellipse de transfert tel que
S1S2 = 2L'.
On se propose d’étudier le mouvement d’un tel satellite
représenté par le point S autour de la Terre de centre T i. En déduire la durée Δt du transfert de S1 vers S2. Don-
(Fig. 1). ner son expression littérale et faire l’application nu-
mérique.
a. Dans quel référentiel doit-on se placer pour faire
l’étude du mouvement du satellite ? j. Justifier que la vitesse du satellite diminue au cours
du transfert.
On considère que le satellite évolue sur une première or-
bite circulaire d’altitude basse. Son ltitude est notée h1. k. En fin de transfert en S2, la vitesse vaut 1602 m.s-1.
Afin que le satellite se stabilise sur son orbite circu-
b. Représenter la force F⃗⃗⃗T⃗⃗/⃗S⃗ qui modélise l’action méca- laire définitive, que faut-il faire en S2 ?
nique exercée par la Terre sur le satellite S.
Données :
c. Donner l’expression vectorielle de F⃗⃗⃗T⃗⃗/⃗S⃗ en utilisant le
vecteur unitaire ⃗u⃗⃗n⃗.  Masse de la Terre : MT = 6,0.10 24 kg
 Rayon de la Terre : RT = 6,4.10 3 km
d. En appliquant la 2ème loi de Newton, donner l’expres-  Constante de gravitation: G = 6,67.10-11 SI
sion vectorielle de l’accélération de S, en fonction des  Masse du satellite : m = 700 kg
données du problème.  L’altitude est notée h de façon générale

e. Justifier que le mouvement du satellite est uniforme. 4 Saturne et ses satellites

f. En déduire l’expression de la vitesse v1 du satellite en La planète Saturne
fonction des données de l’énoncé et de h1. est entourée de
Faire l’application numérique pour h1 = 200 km. nombreux satel-
lites parmi les-
Dans le cas d’une trajectoire quels : Janus, Mi-
elliptique autour de la Terre, mas, Encelade,
la période de révolution T Thétis et Dione.
d’un satellite est lié à la lon-
gueur L du demi-grand axe de On se place dans le référentiel saturnocentrique supposé
son orbite par la relation : galiléen. Le mouvement de chacun des satellites étudiés
est considéré comme circulaire.
T2 = 9,86 10-14 × L3
Le tableau ci-dessous, partiellement rempli, regroupe les
Si l’orbite est circulaire, on prend L égal au rayon dans la valeurs des périodes de révolution autour de Saturne et
relation donnée précédemment. les rayons des orbites de deux de ses satellites.

Afin de mettre le satellite en orbite géostationnaire, on Satellite Période Rayon
lui communique un surplus d’énergie en S1. Il va alors dé- de révolution de l’orbite
crire une demi-ellipse le long du chemin fléché de S1 vers
S2 (cf figure 3) avant d’être stabilisé sur l’orbite circulaire Janus T1 = 17h58min r1 = ?
définitive. Encelade
T2 = ? r2 = 238.103km

a. Déterminer la valeur du rayon r1 de l'orbite de Janus.

b. La troisième loi de Kepler étant applicable aux satel-
lites de Saturne, déterminer la valeur de la période de
révolution T2 d'Encelade.

Donnée : masse de Saturne MS = 5,7.1026 kg.

Chp.1 - Caractéristiques des ondes 71

Chp.1 - Caractéristiques des ondes 72