1.เอกสารประกอบการบรรยาย เรขาคณิต ประจำปี พ.ศ. 2555

เอกสารประกอบการบรรยาย

โครงการส่งเสรมิ โอลิมปิกวิชาการฯ สอวน.

ศนู ย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. สาขาคณิตศาสตร์
โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

ระหว่างวนั ที่ 1 – 19 ตุลาคม พ.ศ.2555

[ คา่ ย 1 ]

เรขาคณิต (Geometry)

ช่อื -สกลุ ...........................................................โรงเรยี น........................................................

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่
กล่มุ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปิกวชิ าการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 1

1. บทนาและความรูพ้ ้นื ฐาน

1.1 ประวตั คิ วามเป็นมาโดยสงั เขป

เรขาคณิต (Geometry) มาจากรากศัพท์ภาษากรีกว่า Geometrein (geo หมายถึง earth และ
metrein หมายถึง to measure) แต่ความหมายของเรขาคณิตในปัจจุบันมีความแตกต่างออกไปมาก
เพราะว่าวิชาเรขาคณิตได้รับการพัฒนามาอย่างต่อเน่ืองและแตกสาขาออกไปหลายสาขา และเรขาคณิตที่
ศกึ ษาในระดบั มัธยมกเ็ ปน็ เพียงเรขาคณติ ของยคู ลิด (Euclidean Geometry) ซง่ึ ถอื วา่ เป็นพ้ืนฐานที่ทาให้มี
วิวัฒนาการไปสู่เรขาคณิตแบบอื่น ๆ จนเปน็ ทย่ี อมรบั กนั วา่ ยุคลิดเปน็ บดิ าแห่งวิชาเรขาคณิต

เรขาคณิตสมัยก่อนเป็นการศึกษาแบบลองผิดลองถูก อาศัยการสังเกตจากประสบการณ์ เราไม่
ทราบประวตั ทิ ส่ี มบูรณ์ แตก่ พ็ อทราบจากแผ่นศิลาจารึกว่า ชาวบาบิโลน (4000 B.C.) สามารถหาพ้ืนที่ของ
ส่ีเหลียมผืนผ้าโดยใช้กว้างคูณยาว ชาวอียิปต์ (2900 B.C.) สามารถสร้างปิรามิดได้ซึ่งถือได้ว่าเป็นความสา
เร็จทางเรขาณติ จนกลายเปน็ สิง่ มหศั จรรยข์ องโลก

การศึกษาเรขาคณิตเร่ิมชัดเจนข้ึนโดยชาวบาบิโลน (2000 B.C.) ตามด้วยชาวอียิปต์ (1650 B.C.)
ต่อมาได้พัฒนาไปสู่กรีก โดยทาลีส (Thales, 640 B.C.) ผ่านไปทางตอนใต้ของอิตาลีโดยพีทาโกรัส
(Pythagorus, 584 B.C.) แล้วไปสู่กรุงเอเธนส์ โดยพลาโต (Plato, 400 B.C.) และก็มาถึงนักคณิตศาสตร์ผู้
ย่ิงใหญ่ ยุคลิด (Euclid, 300 B.C.) ซึ่งเขียนหนังสือ 13 เล่มในชื่อว่า Elements จนเป็นท่ียอมรับว่าเป็น
ตาราเรียนเล่มแรกของโลกท่ีใช้กันอย่างแพร่หลาย และถือได้ว่าเป็นแบบฉบับในการเขียนตาราอ่ืน ๆ ใน
สมัยน้ัน และนิวตัน (Isaac Newton) ก็ได้เขียนหนังสือที่ย่ิงใหญ่อีกเล่มหน่ึงคือ Principia ตามแบบ
Elements นี้

หลังจากส้ินสุดยุคของยูคลิด โรมันเริ่มเรืองอานาจแต่ไม่ได้พัฒนาทางคณิตศาสตร์เท่าที่ควร จน
กล่าวกันว่าเป็นยุคมืด (Dark ages) ของเรขาคณิต คณิตศาสตร์อยู่ในสภาพเกือบคงท่ีไม่เปลี่ยนแปลง เพ่ิง
จะมาเจริญรุ่งเรืองอีกคร้ังในศตวรรษท่ี 14 ซ่ึงเน้นไปทางดาราศาสตร์ และตรีโกณมิติ อย่างไรก็ตาม
เรขาคณิตในแถบเอเชีย เช่นจีน และ อินเดีย ก็มีความเจริญรุ่งเรืองเช่นกัน แต่การจารึกหลักฐานไม่มั่นคง
ถาวรเหมอื นทางยุโรปจึงยากทที่ ราบประวัติทชี่ ดั เจน

ในศตวรรษท่ี 17-18 ได้มีการนาวิชาพีชคณิต (Algebra) เข้ามาบูรณาการร่วมกัน จนได้ก่อกาเนิด
วิชาแคลคูลัส และเรขาคณิตวิเคราะห์ (Calculus and Analytic Geometry) ขึ้น โดยนักคณิตศาสตร์ท่ี
สาคญั ในยคุ นีไ้ ดแ้ ก่ Descartes, Pascal, Desargues, Newton and Leibniz

ในศตวรรษที่ 19 นกั คณติ ศาสตร์ได้ทาการศึกษาเรขาคณติ อย่างจริงจังอีกครั้ง จนเกิดมีเรขาคณิตท่ี
แตกต่างจากเรขาคณิตของยุคลิด (Non-Euclidean Geometry) เช่น Hyperbolic Geometry, Elliptic
Geometry และ Spherical Geometryเป็นต้น แล้วพัฒนาไปสู่วิชา Topology ซึ่งครอบคลุมเรขาคณิต
ทุกชนิดในปัจจุบัน โดยนักคณิตศาสตร์ที่สมควรกล่าวถึงคือ Saccheri, Bolyai, Lobachevsky, Gauss
และ Riemann

อย่างไรก็ตาม Euclidean Geometry ก็ยังถือว่าเป็นต้นแบบของเรขาคณิตอ่ืน ๆ และมีความ
สาคญั ต่อชีวิตประจาวันเป็นอยา่ งมาก และเน่ืองจาก Elements เป็นตาราเล่มแรกจึงอาจมีจุดบกพร่องเป็น
ธรรมดา จนทาให้นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เห็นว่าควรจะมีการเสริมสร้างให้มีความสมบูรณ์ยิ่งข้ึน และนัก
คณิตศาสตร์ที่ได้รับการยกย่องว่าทาให้ระบบสัจพจน์ของเรขาคณิตยุคลิดมีความสมบูรณ์ข้ึนมาก็คือ David
Hilbert (1862-1943)

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปกิ วชิ าการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 2

1.2 สัจพจนข์ ้อที่ 5 ของยูคลดิ

ระบบสัจพจน์ของเรขาคณิตของยุคลิด ประกอบด้วย นิยาม และสัจพจน์ คานิยามที่ได้รับการ
วิจารณ์มากเป็นพิเศษคือ นิยามของคาว่า จุด ซ่ึงเขานิยามว่า หมายถึง ส่ิงท่ีไม่มีความกว้าง ความยาวและ
ความหนา จนในท่ีสุดในปัจจุบันก็ให้ถือเป็นคาอนิยาม ส่วนสัจพจน์ที่ได้รับการวิพากษ์วิจารณ์มากที่สุด จน
เกิดเป็นเรขาคณิตชนดิ อืน่ ๆ ข้ึนมาก็คอื สจั พจนข์ ้อท่ี 5 ในสัจพจนต์ อ่ ไปน้ี

1. ลากเสน้ ตรงจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหน่ึงได้ (A straight line can be drawn from any point
to any point)

2. ต่อเส้นตรงที่มีความยาวจากัดออกไปเรื่อย ๆ (A finite straight line can be produced
continuously in a straight line)

3. เขียนวงกลมได้เมื่อกาหนดจุดศูนย์กลางและระยะทางใด ๆ (A circle may be described
with any point as center and any distance as radius)

4. มมุ ฉากทกุ มมุ ย่อมเท่ากนั (All right angles are equal to one another)

5. ถ้าเสน้ ตรงเส้นหนง่ึ ผ่านเส้นตรง 2 เสน้ ทาใหม้ มุ ภายในทีอ่ ยดู่ า้ นเดยี วกันรวมกันน้อยกว่า 2 มุม
ฉาก แลว้ เสน้ ตรงสองเส้นจะตดั กันทางด้านที่มีมุมรวมกันน้อยกว่า 2 มุมฉาก ถ้าลากเส้นนั้นต่อไปเร่ือยๆ (If
a transversal falls on two lines in such a way that the interior angle on one side of the
transversal are less than two right angles, then the lines meet on that side on which the
angles are less than two right angles)

โดยใช้สจั พจน์ดังกล่าวประกอบกับนิยามและทฤษฎีบทอื่น ๆ ในเรขาคณิตของยุคลิด ที่ไม่ได้นามา
กล่าวไว้ในท่ีน้ี เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมย่อมรวมกันได้สองมุมฉาก แต่ถ้ามีการ
เปลี่ยนแปลงสัจพจน์ข้อท่ี 5 เป็นอย่างอ่ืน เช่น Spherical Geometry กาหนดให้เส้นขนานตัดกันได้ ก็จะ
ทาให้ผลบวกของมมุ ภายในรวมกันได้มากกว่าสองมุมฉาก ซึ่ง Spherical Geometry มีประโยชน์เป็นอย่าง
มากในการคานวณระยะทางเก่ียวกับการเดินเรือรอบโลก โดยท่ีเรขาคณิตของยูคลิดสามารถคานวณได้
แม่นยาในระยะทางใกล้ ๆ เท่าน้ันเอง เรายกตัวอย่างนี้ข้ึนมาเพียงเล็กน้อยเพื่อให้เห็นว่ายังมีเรขาคณิตชนิด
อ่ืนท่นี อกเหนอื จากเรขาคณิตของยุคลิดที่เรียนในระดับมัธยมศึกษา ผู้ที่สนใจสามารถเลือกเรียนได้ในระดับ
ทีส่ ูงขนึ้

และต่อไปน้ีเราจะกล่าวถึงเฉพาะเรขาคณิตของยุคลิดเท่านั้น ส่วนเน้ือหาและกิจกรรมในเอกสาร
ประกอบการอบรมคร้ังน้ีโดยส่วนใหญ่จะยึดตามแนวหนังสือ เรขาคณิต ในโครงการตาราวิทยาศาสตร์และ
คณิตศาสตร์ มูลนิธิ สอวน. และเอกสารเสริมความรู้วิชาคณิตศาสตร์ (เรขาคณิต) ของสถาบันส่งเสริมการ
สอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี จึงขอขอบคณุ ไว้ ณ โอกาสน้ี

อย่างไรก็ตามผู้เขียนได้พยายามเพ่ิมเติม ความรู้และประสบการณ์อื่น ๆ ท่ีได้รับมาจากการเรียน
การสอนเรขาคณิตในระดับมัธยมศึกษา ตลอดจน การสอนคณิตศาสตร์ในระดับอุดมศึกษา ในส่วนที่คิดว่า
จะส่งเสริมความรู้ ทักษะ และประสบการณ์ให้กับนักเรียนในค่ายโอลิมปิกวิชาการ ศูนย์โรงเรียนขยายผล
สอวน. ค่าย 1 ตลอดจนผู้สนใจ ได้ตามสมควร

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปิกวิชาการ ศูนยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วิชา เรขาคณิต 3

1.3 ลกั ษณะการศึกษาวิชาเรขาคณิต

การศึกษาวิชาเรขาคณิต มีลักษณะเด่นในเร่ืองการพิสูจน์ มากว่าการคิดคานวณ ดังนั้นจึงนับว่า
เป็นวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตรท์ ่ีสาคัญ โดยทัว่ ไปแล้วขอ้ ความที่จะพิสจู น์ในทางเรขาคณิตจะเป็นข้อความที่จัด
ให้อยู่ในรูป “ถ้า ……..แล้ว………..” หรืออาจจะเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ทาง ตรรกศาสตร์ได้เป็น
“p q” และการพิสูจน์ข้อความดังกล่าวในทางตรรกศาสตร์สามารถพิสูจน์ ได้ทั้งในทางตรงและโดย
ทางออ้ ม แต่ในทางเรขาคณติ ส่วนใหญ่เราจะพิสูจน์ในแบบทางตรง โดยถือว่า p เป็นเหตุ หรือส่ิงกาหนดให้
และ q เป็นผล หรือสิ่งท่ีต้องพิสูจน์ ส่ิงท่ีนามาอ้างอิงในการพิสูจน์ก็คือ อนิยาม นิยาม สัจพจน์ และ
ทฤษฎีบท ท่ีทราบมาก่อน โดยนามาวิเคราะห์ร่วมกับสิ่งท่ีกาหนดให้เพื่อนาไปสู่การประมวลผลว่า ผลหรือ
สิ่งท่ีต้องพิสูจน์ น้ันเป็นจริง ซ่ึงถือว่าเป็นทักษะทางความคิดที่สาคัญ และแน่นอนท่ีสุด ทักษะดังกล่าวจะ
ได้รับการส่งเสรมิ และพัฒนาได้ต้องอาศัยการฝกึ ฝนอยเู่ ป็นประจา ด้วยใจรัก

เชอื่ หรือไม่ว่า ในตอนเป็นเด็กของเลน่ ที่ ไอน์สไตน์ ประทบั ใจท่ีสดุ สงิ่ แรก คอื ......
......เข็มทศิ ............และ ลาดับตอ่ มา ก็คือ .............เรขาคณิต......... นีเ่ อง

1.4 ความรู้พืน้ ฐาน

ความรู้พื้นฐานทางเรขาคณิตท่ีเรียนในระดับมัธยมศึกษา สรุปไว้เป็นหมวดหมู่ ในลักษณะของ
สัจพจน์ นยิ าม และทฤษฎบี ท โดยนักเรยี นควรฝึกพสิ จู น์ด้วยตวั เองใหไ้ ด้ทกุ ทฤษฎบี ท

1.4.1 สัจพจน์

สัจพจน์ (Postulates) คือสิ่งท่ียอมรับในวิชาเรขาคณิตว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ สัจพจน์ท่ีจะ
กล่าวต่อไปน้ี ข้ึนอยู่กับการสร้างทางเรขาคณิต เมื่อเกิดการค้นพบด้วยการสร้างทางเรขาคณิต เรามักจะ
ประจกั ษใ์ นเร่อื งเหล่านน้ั วา่ เปน็ จริง พจิ ารณาสัจพจนต์ ่อไปนี้

1. มเี สน้ ตรงเพยี งเสน้ เดยี วเท่าน้นั ที่ลากผ่านจุดสองจุดท่ีกาหนดให้
2. ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ เดยี วตดั กัน แลว้ จะมีจุดตัดเพียงจุดเดียวเทา่ นน้ั
3. ปลายทั้งสองของสว่ นของเส้นตรง อาจถกู ตอ่ ไปได้โดยไม่จากดั ความยาว
4. บรรดาเสน้ ทัง้ หลายทล่ี ากเช่ือมจดุ สองจุด สว่ นของเส้นตรงเปน็ เสน้ ทส่ี ้ันท่สี ุด
5. สว่ นของเสน้ ตรงทลี่ ากจากจดุ ภายนอกมาตัง้ ฉากกับเสน้ ตรงเส้นหนึ่งยอ่ มมีเส้นเดียว และเป็น

สว่ นของเส้นตรงที่สั้นที่สุดในบรรดาส่วนของเสน้ ตรงท้ังหลายทีล่ ากจากจดุ เดยี วกนั มายัง
เส้นตรงเดยี วกนั
6. ส่วนของเสน้ ตรงเสน้ หนึ่ง มีจุดกึง่ กลางไดเ้ พียงจุดเดียวเท่านนั้
7. รูปเรขาคณิตตา่ ง ๆ อาจทาให้เคลอ่ื นท่ีไปไดโ้ ดยรูปลักษณะและขนาดคงเดิม
8. ลากเสน้ ขนานผา่ นจุดจุดหน่ึงและขนานกบั เสน้ ที่กาหนดให้ไดเ้ พียงเสน้ เดียวเท่านัน้
9. ลากเสน้ แบง่ ครง่ึ มุมได้เพยี งเสน้ เดียวเทา่ น้ัน
10. ถ้ามุมสองมมุ อย่ใู นแนวเสน้ ตรงเดียวกัน แล้วมุมทงั้ สองนน้ั เป็นมมุ ประกอบสองมมุ ฉาก
11. มมุ ทเ่ี ทา่ กันย่อมทับกนั สนทิ
12. มุมฉากทุกมุม มมุ ตรงทุกมมุ ย่อมเทา่ กนั

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปกิ วิชาการ ศนู ย์โรงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 4

13. มุมรอบจดุ จดุ หนง่ึ รวมกันยอ่ มเป็นสองเท่าของมมุ ตรง หรอื เปน็ สี่เท่าของมมุ ฉาก
14. รัศมขี องวงกลมท่เี ท่ากัน ยอ่ มเทา่ กัน
15. เม่ือมีจุดหนึ่งซ่ึงถือเป็นจุดศูนย์กลาง และส่วนของเส้นตรงที่กาหนดให้เป็นรัศมี ย่อมสร้าง

วงกลมได้เพียงวงเดียวเท่าน้นั

1.4.2 เส้นขนาน

บทนิยาม เส้นตรงสองเส้นขนานกัน ก็ต่อเม่ือ เส้นตรงสองเส้นอยู่บนระนาบเดียวกัน และไม่ตัดกันไม่ว่าจะ
ตอ่ ออกไปให้ยาวเท่าไรก็ตาม
ทฤษฎบี ท 1 ถา้ เส้นตรงสองเสน้ ตดั กัน แล้วขนาดของมุมตรงข้ามยอ่ มเท่ากนั
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
สัจพจน์ เส้นตรงเส้นหน่ึงตัดเส้นตรงคู่หน่ึง เส้นตรงคู่น้ันจะขนานกัน ก็ต่อเม่ือ ขนาดของมุมภายในบนข้าง
เดียวกนั ของเส้นตัดรวมกันเทา่ กับ 180 องศา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 2 เมื่อเส้นตรงเสน้ หนึง่ ตัดเส้นตรงคหู่ นึง่ เส้นตรงค่นู ้นั ขนานกัน ก็ต่อเม่ือ มมุ แย้งมีขนาดเท่ากนั
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎบี ท 3 เมอ่ื เสน้ ตรงเส้นหนึ่งตดั เส้นตรงคหู่ นง่ึ เสน้ ตรงคนู่ ้นั เสน้ ขนานกัน กต็ ่อเมื่อ มมุ ภายนอกและ
ภายในทอี่ ยู่ตรงข้ามบนขา้ งเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.4.3 รปู สามเหล่ียม

ทฤษฎีบท 4 ขนาดของมุมภายในทง้ั สามมุมของรปู สามเหล่ียมใด ๆ รวมกันเทา่ กับ 180 องศา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎบี ท 5 ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหล่ียมใด ๆ จะเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยู่
ตรงข้ามกบั มุมภายนอก
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
สจั พจน์ รูปเรขาคณิตสามารถเคล่อื นที่ได้
บทนิยาม การเคลื่อนท่ีของรูปเรขาคณิต คือ การเปลี่ยนตาแหน่งของรูปเรขาคณิตบนระนาบ โดยท่ี
ระยะห่างระหวา่ จดุ สองจุดใด ๆ ของรปู นั้นไม่เปลยี่ นแปลง
บทนิยาม รูปเรขาคณิตสองรปู เทา่ กันทุกประการ ก็ต่อเมอ่ื เคลอ่ื นทรี่ ปู หน่ึงไปทับอกี รูปหนงึ่ ได้สนทิ
บทนิยาม รูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการ ก็ต่อเมื่อ ด้านคู่ที่สมนัยกันและมุมที่สมนัยกันของรูป
สามเหลย่ี มทั้งสองรปู มีขนาดเท่ากนั เปน็ คู่ ๆ
ทฤษฎีบท 6 ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีด้านยาวเท่ากันสองคู่ และมุมในระหว่างด้านคู่ท่ียาวเท่ากันมีขนาด
เทา่ กนั แลว้ รูปสามเหลย่ี มสองรปู น้นั จะเท่ากนั ทกุ ประการ (ด.ม.ด.)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 7 ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่ และด้านซึ่งเป็นแขนร่วมของมุมท้ังสอง
ยาวเท่ากัน แล้วรปู สามเหลย่ี มสองรปู น้ันจะเท่ากันทกุ ประการ (ม.ด.ม.)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วชิ าการ ศูนย์โรงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณิต 5

ทฤษฎีบท 8 ถ้ารูปสามเหล่ียมสองรูปมีมุมท่ีมีขนาดเท่ากันสองคู่ และด้านคู่ที่อยู่ตรงข้ามกับมุมคู่ที่มีขนาด
เทา่ กัน ยาวเทา่ กันหนง่ึ คู่ แล้วรูปสามเหลย่ี มสองรปู นน้ั จะเท่ากนั ทกุ ประการ (ม.ม.ด.)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 9 ถ้ารูปสามเหล่ียมสองรูปมีด้านยาวเท่ากันสามคู่ แล้วรูปสามเหล่ียมสองรูปนั้นจะเท่ากันทุก
ประการ (ด.ด.ด.)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 10 ถ้ารูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่ากัน และด้านประกอบมุมฉาก
ยาวเท่ากนั หนึง่ ด้าน แล้วรปู สามเหลี่ยมสองรูปนัน้ จะเท่ากันทุกประการ (ฉ.ด.ด.)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
บทนิยาม รูปสามเหล่ียมใด ๆ เป็นรูปสามเหล่ียมหน้าจ่ัว ก็ต่อเม่ือ รูปสามเหลี่ยมนั้นมีด้านสองด้านยาว
เทา่ กัน
ทฤษฎีบท 11 ในรปู สามเหล่ียมหน้าจั่วมุมทีอ่ ยู่ตรงขา้ มกับด้านทีย่ าวเท่ากันย่อมกางเท่ากัน นั่นคือมุมท่ีฐาน
ของรปู สามเหลย่ี มหนา้ จั่วมีขนาดเท่ากัน
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 12 ในรปู สามเหลี่ยมหน้าจ่วั เสน้ แบง่ คร่ึงมมุ ยอด จะแบง่ ครึ่งฐานและต้ังฉากกับฐาน
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 13 ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เส้นที่ลากจากมุมยอดมาแบ่งคร่ึงฐาน จะแบ่งคร่ึงมุมยอดและต้ัง
ฉากกับฐาน
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 14 ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจ่ัว เส้นแบ่งคร่ึงมุมยอด จะแบ่งรูปสามเหล่ียมหน้าจ่ัวออกเป็นรูป
สามเหลย่ี มสองรปู ทีเ่ ทา่ กนั ทุกประการ
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
สจั พจน์ ในรปู สามเหลย่ี มใดๆ ผลบวกของด้านสองดา้ น ยอ่ มยาวกว่าดา้ นท่ีสาม
ทฤษฎีบท 15 ในรูปสามเหล่ียมใด ๆ ด้านท่ีอยู่ตรงข้ามกับมุมท่ีมีขนาดใหญ่กว่า ย่อมยาวกว่าด้านท่ีอยู่ตรง
ขา้ มกบั มุมทมี่ ขี นาดเล็กกว่า
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎบี ท 16 ในรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากใด ๆ ด้านตรงข้ามมุมฉากยอ่ มยาวทส่ี ุด
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 17 ในรูปสามเหลยี่ มใด ๆ ส่วนสงู ของสามเหลี่ยมทง้ั สามย่อมพบกันท่ีจุด ๆ หน่งึ
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 18 ในรูปสามเหล่ียมใด ๆ เส้นตรงที่ต่อจุดก่ึงกลางของด้านสองด้านย่อมขนาน และยาวเป็น
คร่งึ หน่ึงของดา้ นท่สี ามของรปู สามเหล่ยี มนัน้
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
บทนิยาม รูปสามเหล่ียมสองรูปคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อ รูปสามเหล่ียมสองรูปน้ันมีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ ๆ
สามคู่
ทฤษฎีบท 19 ถ้ารูปสามเหล่ียมสองรูปมีอัตราส่วนของความยาวด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่เป็นอัตราส่วนท่ี
เทา่ กนั แลว้ รปู สามเหล่ยี มสองรูปน้ันเปน็ รูปสามเหลี่ยมทค่ี ลา้ ยกนั
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปิกวชิ าการ ศนู ย์โรงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 6

ทฤษฎบี ท 20 ถ้ารูปสามเหลยี่ มสองรูปมีมุมเท่ากันหน่ึงคู่ และอัตราส่วนของความยาวของด้านประกอบมุม
นัน้ เปน็ อตั ราสว่ นทเี่ ท่ากนั แลว้ รปู สามเหล่ยี มสองรปู น้ันเปน็ รูปสามเหล่ียมทค่ี ล้ายกนั
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.4.4 รปู สีเ่ หลย่ี มดา้ นขนาน

บทนิยาม รปู สี่เหลยี่ มใด ๆ เป็นรปู สี่เหลยี่ มดา้ นขนาน กต็ ่อเมอ่ื รปู ส่เี หลี่ยมนน้ั มีดา้ นขนานกนั สองคู่
ทฤษฎบี ท 21 ถ้ารปู สเี่ หลย่ี มรูปหนึง่ มดี ้านตรงขา้ มยาวเทา่ กนั ท้ังสองคู่ แล้วรูปสเี่ หลย่ี มนั้นย่อมเป็นสี่เหล่ียม
ด้านขนาน
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎบี ท 22 ดา้ นและมมุ ท่ีอยู่ตรงข้ามของรปู สเี่ หลย่ี มด้านขนานย่อมมีขนาดเท่ากนั
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎบี ท 23 เสน้ ทแยงมมุ ของรูปส่เี หลีย่ มด้านขนานย่อมแบง่ ครงึ่ ซ่งึ กันและกนั
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 24 ผลบวกของมุมภายในของรูปสเี่ หล่ียมใด ๆ ยอ่ มเท่ากบั 360 องศา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎบี ท 25 เสน้ ทแยงมุมของรูปส่ีเหล่ยี มดา้ นเทา่ ยอ่ มตั้งฉากกัน
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎบี ท 26 เสน้ ขนานตง้ั แตส่ ามเสน้ ข้ึนไป ตัดเสน้ ขวางสองเส้น อตั ราส่วนของส่วนตดั ย่อมเท่ากัน
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
บทนิยาม พื้นท่ี 1 หน่วย หมายถึงพนื้ ทีส่ เ่ี หลย่ี มจตั ุรสั ที่ยาวดา้ นละ 1 หนว่ ย
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 27 พน้ื ทข่ี องรปู สี่เหลย่ี มผนื ผา้ เท่ากบั กวา้ ง คูณ ยาว
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 28 พ้ืนทขี่ องรปู สีเ่ หลยี่ มดา้ นขนาน เท่ากับ สูง คูณ ฐาน
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎบี ท 29 พื้นทข่ี องรปู สามเหล่ียมเท่ากบั ครงึ่ หนึ่งของ ผลคณู ของสูง กับ ฐาน
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 30 (Pythagoras Theorem) ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ พ้ืนที่สี่เหล่ียมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก
ยอ่ มเทา่ กบั ผลบวกของพน้ื ท่สี ี่เหลีย่ มจตั ุรสั บนดา้ นประกอบมมุ ฉาก
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.4.5 วงกลม

บทนยิ าม วงกลม หมายถึง ทางเดินของจดุ ทุกจดุ บนระนาบซึ่งอยหู่ า่ งจากจุดคงทจ่ี ุดหนึง่ เป็นระยะทางคงตัว
ทฤษฎีบท 31 ถ้าลากส่วนของเส้นตรงจากจุดศูนย์กลางของวงกลมไปต้ังฉากกับคอร์ดใด ๆ แล้วส่วนของ
เส้นตรงนั้นยอ่ มแบ่งครึง่ คอร์ด
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 32 ถ้าลากส่วนของเส้นตรงผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมไปแบ่งครึ่งคอร์ดใด ๆ แล้วส่วนของ
เส้นตรงน้นั ยอ่ มตัง้ ฉากกบั คอร์ด

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลิมปกิ วชิ าการ ศูนย์โรงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 7

ทฤษฎีบท 33 ในวงกลมวงหน่ึง คอร์ดท่ียาวเทา่ กันยอ่ มอยูห่ ่างจากจดุ ศูนย์กลางเปน็ ระยะทางเทา่ กัน
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎบี ท 34 ในวงกลมวงหน่ึง คอร์ดทอ่ี ย่หู า่ งจากจดุ ศูนย์กลางเปน็ ระยะทางเทา่ กัน ยอ่ มยาวเท่ากัน
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 35 มมุ ในครึ่งวงกลมเปน็ มุมฉาก
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 36 มุมท่ีจดุ ศูนย์กลางของวงกลม จะมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของมุมในส่วนโค้งของวงกลม
ทร่ี องรับดว้ ยสว่ นโคง้ เดียวกัน
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎบี ท 37 ในวงกลมที่เท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน ถ้ามุมท่ีจุดศูนย์กลางมีขนาดเท่ากัน แล้วส่วนโค้งของ
วงกลมทรี่ องรบั มมุ ทีจ่ ุดศนู ย์กลางนน้ั จะยาวเท่ากัน
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 38 ในวงกลมที่เท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน ถ้ามุมในส่วนโค้งของวงกลมขนาดเท่ากัน แล้วส่วน
โค้งของวงกลมทร่ี องรบั มมุ ทั้งสองนนั้ จะยาวเทา่ กัน
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 39 ในวงกลมที่เท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน ถ้าส่วนโค้งของวงกลมยาวเท่ากัน แล้วมุมที่จุด
ศนู ยก์ ลางทร่ี องรับด้วยส่วนโค้งนน้ั จะมีขนาดเทา่ กนั
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 40 ในวงกลมที่เท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน ถ้าส่วนโค้งของวงกลมยาวเท่ากัน แล้วมุมในส่วนโค้ง
ของวงกลมทรี่ องรับดว้ ยส่วนโคง้ น้ัน จะมีขนาดเทา่ กัน
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 41 ในวงกลมเดียวกัน มมุ ในส่วนโคง้ ของวงกลมทร่ี องรับดว้ ยสว่ นโคง้ เดียวกนั จะมขี นาดเทา่ กัน
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
บทนยิ าม รปู สีเ่ หล่ยี มแนบในวงกลม หมายถงึ รปู ส่ีเหล่ียมทม่ี ีจุดยอดอยบู่ นเสน้ รอบวงของวงกลมเดียวกนั
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎบี ท 42 ผลบวกของขนาดของมุมตรงขา้ มของรูปส่เี หลี่ยมทแี่ นบในวงกลมเท่ากับ 180 องศา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 43 ถ้ารูปสี่เหลี่ยมใด ๆ มีผลบวกของขนาดของมุมตรงข้ามเท่ากับสองมุมฉาก แล้วรูปส่ีเหลี่ยม
น้ันแนบในวงกลม
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎบี ท 44 เส้นสมั ผสั ของวงกลม จะตัง้ ฉากกบั รัศมีของวงกลมทจ่ี ุดสมั ผัส
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎีบท 45 ถ้าลากส่วนของเส้นตรงจากจุดภายนอกของวงกลมมาสัมผัสวงกลมเดียวกัน จะลากได้เพียง
สองเสน้ เส้นสมั ผัสสองเสน้ นน้ั จะยาวเทา่ กนั และรองรบั มมุ ทจี่ ุดศูนยก์ ลางท่มี ีขนาดเทา่ กัน
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ทฤษฎบี ท 46 มุมที่เกิดข้ึนจากคอร์ดและเสน้ สมั ผสั ของวงกลมที่จุดสัมผัส จะมีขนาดเท่ากับขนาดของมุมใน
สว่ นโคง้ ของวงกลมทีอ่ ยู่ตรงข้ามกบั คอร์ดน้ัน
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

▲ ค่ายโอลิมปกิ วิชาการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณิต 8

2. การสรา้ ง (Construction)

การสร้างในวิชาเรขาคณิตเป็นการสร้างรูปเรขาคณิตตามเง่ือนไขท่ีโจทย์กาหนดมาให้ ซึ่งจะแยก
รายละเอียดของการสรา้ ง ดงั นี้
1. การสรา้ งเกี่ยวกับเส้นและมมุ
บทสร้าง 1.1 การสรา้ งสว่ นของเสน้ ตรงใหเ้ ทา่ กับส่วนของเส้นตรงท่กี าหนดให้

บทสร้าง 1.2 การสรา้ งมมุ ใCห้เทา่ กบั มุมท่กี าหนดให้ P
Y

A XB Q E R

กาหนดให้ CAˆB จะต้องสร้าง PQˆR ให้เทา่ กบั CAˆB

วธิ ีสรา้ ง 1. ลาก QR

2. ใช้ A เปน็ จุดศูนยก์ ลางรัศมพี อสมควร เขียนสว่ นโค้งตัด AB และ AC ที่ X และ Y

3. ใช้ Q เป็นจดุ ศนู ย์กลางรัศมีเทา่ เดิมเขียนส่วนโคง้ ตัด QR ทจ่ี ดุ E

4. ใช้ E เปน็ จดุ ศูนย์กลางรัศมี XY เขยี นสว่ นโคง้ ตัดสว่ นโค้งในขอ้ 3 ทีจ่ ดุ P ลาก QP

เพราะฉะนั้น จะได้ PQˆR เท่ากับ CAˆB ตามต้องการ

การพสิ จู น์ ลาก XY และ EP

จะได้ AXY  QEP (ด.ด.ด)

ดังน้ัน PQˆR = CAˆB

บทสรา้ ง 1.3 การแบง่ คร่ึงส่วนของเสน้ ตรง
P กาหนดให้ AB เป็นเสน้ ตรง

จะต้อง แบง่ ครึ่งสว่ นของเส้นตรง AB

A O วิธีสรา้ ง 1. ใช้ A และ B เป็นจดุ ศูนยก์ ลาง รัศมียาวเทา่ กัน
B เขยี นส่วนโค้งตัดกนั ทั้งสองข้างของ AB ทีจ่ ดุ P และ Q

2. ลาก PQ ตดั AB ท่ี O

การพสิ ูจน์ ดังน้ัน O เปน็ จุดแบง่ คร่งึ เส้นตรงตามต้องการ
Q
ลาก PA, PB และ QA, QB

จะได้ APQ  BPQ เพราะ AP = BP , AQ = BQ , PQ = PQ (ด.ด.ด)

ฉะนั้น APˆO = BPˆQ

ดังน้ัน AO = BO แสดงวา่ จุด O แบง่ ครึ่งส่วนของเสน้ ตรง AB

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

▲ ค่ายโอลิมปกิ วิชาการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วิชา เรขาคณิต 9

บทสรา้ ง 1.4 การแบ่งครง่ึ มมุ ทก่ี าหนดให้ กาหนดให้ BAˆC
B จะตอ้ ง แบง่ ครง่ึ BAˆC

PO

A QC

วธิ สี ร้าง 1. ใช้ A เปน็ จดุ ศูนยก์ ลาง รัศมพี อสมควรเขยี นส่วนโคง้ ตัด AB ท่ี P ตดั AC ที่ Q

2. ใช้ P และ Q ผลดั กนั เป็นจดุ ศูนย์กลางเขยี นสว่ นโคง้ ตัดกันทจ่ี ุด O

3. ลาก AO
ดังน้ัน AO เปน็ เสน้ แบ่งครึ่ง BAˆ C ตามต้องการ

การพิสจู น์ ลาก OP, OQ ใน AOP และ  AOQ

จะได้ AP = AQ รัศมขี องวงกลมเดียวกัน

OP = OQ รัศมขี องวงกลมเดียวกนั

AO = AO ด้านรว่ ม

เพราะฉะนั้น AOP  AOQ (ด.ด.ด)
OAˆP = OAˆQ รปู สามเหลีย่ มสองรูปเท่ากันทุกประการ

บทสร้าง 1.5 การสร้างเส้นตั้งฉากจากจุดภายในเส้นตรง

O กาหนดให้ เสน้ ตรง AB และ P เปน็ จุดใน AB
จะต้อง ลากเส้นตรงจาก P ให้ตัง้ ฉากกบั AB

วิธีสรา้ ง 1. ใช้ P เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมีพอสมควร

เขียนส่วนโค้งตัด AB ท่ี Q และ R

AQP R B 2. ใช้ Q และ R ผลัดกันเป็นจุดศนู ย์กลาง รัศมี
เท่ากัน เขียนส่วนโคง้ ตดั กันที่จดุ O

3. ลาก PO ดงั น้นั PO ตัง้ ฉากกับ AB

การพิสจู น์ ลาก OQ และ OR จะได้ POQ  POR (ด.ด.ด)

ฉะนนั้ OPˆQ = OPˆR ดงั น้ัน PO ตงั้ ฉากกับ AB

บทสรา้ ง 1.6 การสรา้ งเสน้ ตง้ั ฉากจากจดุ ภายนอกเส้นตรง
P กาหนดให้ เส้นตรง AB และ จดุ P เป็นจุดนอก AB

จะต้อง ลากเส้นตรงจาก P ไปต้ังฉากกับเส้นตรง AB

วธิ ีสร้าง 1. ใช้ P เปน็ จุดศนู ยก์ ลาง รัศมยี าวพอทจ่ี ะเขยี น

A O RB สว่ นโค้งตัด AB ที่ Q และ R
Q 2. ใช้ Q และ R ผลดั กันเปน็ จุดศูนยก์ ลางรัศมี

เทา่ กัน เขยี นสว่ นโคง้ ตัดกันท่ีจุด S ซึ่งเปน็

S อกี ขา้ งหนึ่งของ AB ตรงข้ามกับ P
3. ลาก PS ตดั AB ที่ O ดังน้ัน PO ตง้ั ฉาก AB

การพสิ จู น์ แบบฝึกหัด

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วชิ าการ ศนู ยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วิชา เรขาคณิต 10
บทสร้าง 1.7 การสร้างเสน้ ตรงให้ขนานกับเส้นตรงที่กาหนดให้และผา่ นจดุ ที่กาหนดให้

Q P

A B
กาหนดให้
จะต้อง P เปน็ จดุ นอกเสน้ ตรง AB
วิธีสรา้ ง ลากเส้นผ่านจดุ P ให้ขนานกบั AB
1. ลาก AP
การพสิ จู น์ 2. ท่ี P สรา้ ง APˆQ ให้เทา่ กบั PAˆB
ดังน้ัน เสน้ ตรง PQ ผ่านจดุ P และขนานกบั AB ตามต้องการ
เน่ืองจาก APˆQ = PAˆB โดยการสรา้ ง
เพราะฉะน้นั PQ // AB มมุ แย้งท่ีเกดิ จากเส้นตดั เส้นตรงค่หู นึง่ มขี นาดเทา่ กัน

เสน้ ตรงคู่น้นั ยอ่ มขนานกนั

บทสรา้ ง 1.8 การแบง่ ส่วนของเสน้ ตรงออกเป็นส่วน ๆ เท่ากัน B
A

กาหนดให้ AB เปน็ เส้นตรง
จะต้อง แบง่ AB ออกเป็น ….. ส่วนเทา่ ๆ กัน
วธิ ีสร้าง

การพิสูจน์

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปิกวิชาการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วิชา เรขาคณิต 11

2. การสรา้ งเกี่ยวกบั รูปสามเหล่ยี ม
บทสร้าง 2.1 การสร้างรปู สามเหลย่ี ม เมื่อกาหนดดา้ นมาให้สามดา้ น

a
b
c

บทสร้าง 2.2 การสรา้ งรูปสามเหลยี่ ม เมอื่ กาหนดมุมหนึ่งมุม และดา้ นสองด้าน
a
b

k

บทสรา้ ง 2.3 การสรา้ งรปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก เม่ือกาหนดด้านตรงข้ามมมุ ฉาก และด้านประกอบมุมฉาก
หน่งึ ดา้ น

a
b

บทสร้าง 2.4 การสรา้ งรูปสามเหล่ยี มหนา้ จว่ั ใหม้ ีมุมทีฐ่ านมขี นาดเป็นสองเท่าของมุมยอด

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปกิ วิชาการ ศนู ย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณิต 12

3. การสรา้ งเกี่ยวกบั รูปส่เี หล่ียม
บทสรา้ ง 3.1 การสร้างรปู สเ่ี หลยี่ ม เม่อื กาหนดด้านสี่ด้าน และมุมหนง่ึ มมุ

บทสรา้ ง 3.2 การสรา้ งรปู สเี่ หล่ียมดา้ นขนาน เมื่อกาหนดด้านประชดิ และมมุ ระหว่างด้านทัง้ สอง

บทสรา้ ง 3.3 การสรา้ งรูปส่ีเหลี่ยมจตั รุ ัสบนด้านทีก่ าหนดให้

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วชิ าการ ศนู ยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วิชา เรขาคณิต 13

4. การสร้างเกี่ยวกบั พน้ื ท่ี

บทสร้าง 4.1 การสร้างรูปสี่เหล่ียมด้านขนานให้มีพ้ืนท่ีเท่ากับพื้นท่ีของรูปสามเหล่ียม โดยกาหนดมุม
ประชิดมาให้

บทสร้าง 4.2 การสร้างรปู สามเหล่ยี มให้มพี น้ื ทเี่ ท่ากับพื้นทขี่ องรปู ส่เี หลี่ยมทก่ี าหนดให้

บทสร้าง 4.3 การสร้างรปู ส่เี หล่ียมด้านขนานให้มีพนื้ ที่เท่ากับพนื้ ท่ีของรปู ส่เี หล่ียมที่กาหนดให้ และมีมุมมุม
หน่ึงเทา่ กบั มุมท่กี าหนดให้

บทสร้าง 4.4 การสรา้ งรปู ส่เี หล่ียมจัตรุ สั ใหม้ พี น้ื ทเ่ี ป็น n เท่า ของพ้นื ที่รูปสีเ่ หล่ยี มจตั รุ ัสทก่ี าหนดให้

บทสรา้ ง 4.5 การสร้างรปู ส่ีเหลย่ี มจัตุรสั ให้มพี นื้ เท่ากับพ้นื ทีร่ ูปสเ่ี หลยี่ มผืนผา้ ทกี่ าหนดให้

บทสร้าง 4.6 การแบ่งส่วนของเส้นตรงที่กาหนดให้ โดยพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ประกอบด้วยส่วนท้ังหมด
และส่วนแบง่ สว่ นหนึ่ง เทา่ กับพน้ื ทรี่ ูปสเ่ี หลย่ี มจัตรุ สั บนสว่ นแบง่ อีกส่วนหนึ่ง

5. การสรา้ งเก่ียวกบั วงกลม
บทสรา้ ง 5.1 การหาจดุ ศูนย์กลางของวงกลม เมื่อกาหนดวงกลมวงหน่ึง หรือส่วนโค้งของวงกลม
บทสร้าง 5.2 การแบ่งครึ่งสว่ นโคง้ ท่ีกาหนดให้
บทสร้าง 5.3 การลากเสน้ สัมผัสวงกลมจากจุดภายนอกวงกลม
บทสร้าง 5.4 การลากเส้นสมั ผสั ร่วม ให้สัมผัสวงกลมสองวง
บทสร้าง 5.5 การสรา้ งสว่ นของวงกลมบนเสน้ ตรงที่กาหนดให้ และมีมุมมุมหนงึ่ เท่ากับมุมท่ีกาหนดให้
บทสร้าง 5.6 การสร้างวงกลมแนบนอกรูปสามเหลยี่ มที่กาหนดให้
บทสรา้ ง 5.7 การสร้างวงกลมแนบในรปู สามเหลยี่ มทก่ี าหนดให้
บทสร้าง 5.8 การสร้างวงกลมแนบนอกรูปสามเหล่ียมทีก่ าหนดให้
บทสรา้ ง 5.9 การสรา้ งรปู สามเหลี่ยมแนบในวงกลม ใหม้ มี ุมเท่ากับมมุ ของรปู สามเหล่ียมท่กี าหนดให้
บทสร้าง 5.10 การสรา้ งรูปสามเหล่ียมแนบนอกวงกลม ใหม้ ีมมุ เท่ากับมมุ ของรูปสามเหลีย่ มที่กาหนดให้
บทสรา้ ง 5.11 การสรา้ งรูปหลายเหล่ยี มปกติ (Regular polygon) แนบในและแนบนอกวงกลมท่ีกาหนดให้
บทสรา้ ง 5.12 การสรา้ งรูปวงกลมแนบในและแนบนอกรปู หลายเหลีย่ มปกตทิ ี่กาหนดให้

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

▲ ค่ายโอลิมปิกวชิ าการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 14

แบบฝึกหัด เรอื่ ง การสรา้ ง 2
3
1. กาหนด AB เป็นส่วนของเส้นตรงใด ๆ จงแบ่ง AB เป็นสองส่วนที่จุด P โดยให้ AP = AB และเขียน

วิธสี รา้ ง
2. จงใช้วงเวยี นและสนั ตรงสรา้ งสามเหล่ยี ม ABC ให้ AB = a, BAˆC = 52.5 และ ABˆC = 45 และเขียน
วธิ ีสรา้ ง

3. จงใช้วงเวียนและสนั ตรงสรา้ งรปู สีเ่ หล่ียมด้านขนานให้ฐานยาว a เซนติเมตร สูง b เซนติเมตร และมุมที่

ฐานมุมหนึ่งมขี นาดเท่ากับ 75

4. กาหนด ส่วนของเส้นตรง a, b และมุม k จงสร้างรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม มุมหน่ึงมีขนาดเท่ากับคร่ึงหน่ึง

ของขนาดมุม k ด้านที่ประชิดมุมทส่ี รา้ งยาวเทา่ กบั a หน่วย และ b หน่วยตามลาดับ
5. กาหนดขนาดของมุม k จงสร้างสามเหล่ียม ABC ท่ี ABˆC = k จุด E อยู่บน AC โดย BE แบ่งคร่ึง
ABˆC BE = a หน่วย และ AB = b หนว่ ย
6. กาหนดรูปสามเหลยี่ ม ABC จงสรา้ ง XYZ ให้ XY = AB+BC, XYˆZ = 2(ABˆC) และ YZ = BC

7. กาหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก PQR จงสร้างรูปสามเหล่ียมหน้าจั่วที่มีด้านประกอบมุมยอดเท่ากับ PR

และฐานยาวเป็นสองเทา่ ของ QR
8. จงสร้างรูปสามเหล่ียมมุมแหลม ABC ท่ีมี AB เป็นฐาน BAˆC = k มัธยฐานที่ลากจากจุด C มายัง AB
ยาว a หนว่ ย และมีความสงู b หนว่ ย
9. กาหนดใหเ้ ส้นตรง a, b และมมุ k จงสรา้ งสเี่ หล่ียมด้านขนาน ABCD ใหม้ ี AB = a, BC = b และ Aˆ =Kˆ

10. จงสร้างสเี่ หล่ยี มด้านขนาน ABCD ให้ AB = a, ใหเ้ ส้นทแยงมมุ AC = b เสน้ ทแยงมุม BD = c

11. จงสรา้ งสีเ่ หลี่ยมขนมเปยี กปนู ABCD ให้เส้นทแยงมุม AC = p เสน้ ทแยงมมุ BD =
12. จงสรา้ งสี่เหลย่ี มคางหมู ABCD ให้ AB // CD, Bˆ =Kˆ , AB = a, BC = b, CD = c

13. จงสรา้ งรปู ห้าเหลี่ยมใหเ้ ทา่ กบั รูปหกเหล่ยี ม ABCDEF ทกี่ าหนดให้

14. จงสร้างรปู สามเหลี่ยมใหเ้ ทา่ กับรปู หา้ เหลี่ยม ABCDE ทกี่ าหนดให้

15. จงสรา้ งรูปสีเ่ หลี่ยมผืนผ้าให้เทา่ กับรปู ส่เี หลยี่ ม ABCD ที่กาหนดให้

16. จงสร้างรปู สามเหล่ียมให้เท่ากบั รปู หกเหลี่ยม ABCDEF ทกี่ าหนดให้

17. จงสร้างรปู ส่เี หลีย่ มผืนผา้ ใหเ้ ท่ากับรปู หกเหลี่ยม ABCDEF ทกี่ าหนดให้
2
18. จงสรา้ งรปู สเี่ หล่ยี มดา้ นขนานใหม้ ีพน้ื ท่ีเปน็ 3 ของรูปสามเหลย่ี ม ABC

19. จงสร้างรูปสี่เหล่ียมด้านขนานซ่ึงมีด้านหน่ึงเท่ากับเส้นตรงที่กาหนดให้มีมุมมุมหน่ึงเท่ากับมุมที่

กาหนดให้และมีพนื้ ทเ่ี ท่ากับพืน้ ทข่ี องสามเหล่ยี มทกี่ าหนดให้

20. จงสร้างรูปส่ีเหล่ียมด้านขนานให้มีพื้นที่เท่ากับรูปห้าเหลี่ยมที่กาหนดให้และมีมุมมุมหนึ่งเท่ากับมุมที่

กาหนดให้

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปกิ วิชาการ ศูนย์โรงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 15

3. รูปสามเหล่ยี มและความคลา้ ย

รูปสามเหลี่ยมถือว่าเป็นพื้นฐานในการศึกษารูปหลายเหล่ียมอ่ืน ๆ เช่นการหาผลบวกของมุม
ภายใน และพื้นท่ีของรูปหลายเหลี่ยม เราสามารถหาได้โดยการลากเส้นทแยงมุมที่ไม่ตัดกันเพ่ือแบ่งย่อย
เป็นรูปสามเหล่ียม แล้วก็สามารถแก้ปัญหาได้ นอกจากน้ันปัญหาต่าง ๆ ในทางธรรมชาติก็เกี่ยวของกับรูป
สามเหล่ียมมากมาย อย่างเช่น ทฤษฎีบทของพีทาโกรัส การหาจุดรวมมวลและอื่น ๆ ในหัวข้อนี้เราจะเน้น
ศกึ ษาสมบัตพิ ืน้ ฐานของรปู สามเหลย่ี ม ส่วนปัญหาต่าง ๆ ท่ีกาลังเป็นท่ีสนใจ ในปัจจุบันจะศึกษาในค่ายท่ี 2
ต่อไป

สมบตั แิ ละทฤษฎบี ทท่ีสาคัญเกี่ยวกบั รูปสามเหล่ยี ม
ทฤษฎีบท 3.1 ในรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉากใดๆ พนื้ ทีร่ ปู สเ่ี หล่ียมจัตรุ สั บนด้านตรงข้ามมมุ ฉากเท่ากบั ผลบวก
ของพ้ืนทร่ี ูปสเ่ี หล่ยี มจัตุรสั บนด้านประกอบมุมฉาก (ทฤษฎบี ทของพีทาโกรสั )

ทฤษฎบี ทของพีทาโกรัส ถือได้ว่าเป็นทฤษฎีบทท่ีมีชื่อเสียงท่ีสุดทฤษฎีหน่ึงในวิชาเรขาคณิต และมี
ผู้เสนอวิธกี ารพสิ จู น์มากมาย แต่ในทน่ี ้ีเราจะนามากล่าวพอสงั เขป
การพสิ จู น์ (1)

การพิสูจน์ (2)
ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

▲ ค่ายโอลิมปิกวชิ าการ ศนู ยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วิชา เรขาคณิต 16

ทฤษฎีบท 3.2 ในรูปสามเหล่ียมใดๆ ถ้าพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลบวกของ
พื้นท่ีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉากแล้ว รูปสามเหล่ียมรูปน้ันเป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก (บท
กลบั ทฤษฎบี ทของพที าโกรัส)

ทฤษฎบี ท 3.3 ในรูปสามเหลย่ี มมุมปา้ น พ้ืนท่ีรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมป้าน เท่ากับผลบวกของ
พื้นทีร่ ูปสี่เหลี่ยมจตั รุ ัสบนด้านที่ประกอบมมุ ป้าน กับสองเท่าของพื้นท่ีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ประกอบด้วยด้าน
หน่งึ ด้านใดในสองด้านนี้กบั ภาพฉาย (projection) ของอกี ด้านหนง่ึ

ทฤษฎีบท 3.4 ในรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม พื้นท่ีรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมแหลม เท่ากับผลบวก
ของพ้ืนที่รูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสบนด้านท่ีประกอบมุมแหลม ลบด้วยสองเท่าของพ้ืนท่ีรูปส่ีเหลี่ยมผืนผ้า ท่ี
ประกอบด้วยดา้ นหน่ึงดา้ นใดในสองดา้ นนี้ กบั ภาพฉายของอกี ดา้ นหนงึ่
การพิสูจน์ แบบฝึกหัด

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

▲ ค่ายโอลิมปิกวชิ าการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วิชา เรขาคณิต 17

ทฤษฎีบท 3.5 ในรูปสามเหลยี่ มใด ๆ ผลบวกของพนื้ ทร่ี ูปสีเ่ หล่ยี มจัตุรัสบนด้านสองด้านเทา่ กับสองเท่าของ
พื้นทีร่ ปู สเ่ี หลยี่ มจัตุรสั บนครึ่งหนึง่ ของด้านท่ีสามรวมกบั สองเทา่ ของพืน้ ทร่ี ูปสีเ่ หลี่ยมจัตรุ สั บนเสน้ มัธยฐาน

ทฤษฎบี ทเก่ียวกับสดั ส่วน
ทฤษฎีบท 3.5 ส่วนของเส้นตรงซ่ึงลากขนานกับด้านด้านหน่ึงของรูปสามเหล่ียม จะแบ่งด้านท่ีเหลือ
ออกเป็นสดั สว่ นกนั

ทฤษฎีบท 3.6 ถ้าส่วนของเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดด้านสองด้านของรูปสามเหล่ียมรูปหน่ึงออกเป็นสัดส่วนกัน
แล้ว ส่วนของเสน้ ตรงนนั้ จะขนานกับดา้ นที่สาม (บทกลบั ทฤษฎบี ท 3.5)

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วิชาการ ศนู ย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 18

ทฤษฎีบท 3.7 ส่วนของเส้นตรงซึ่งลากแบ่งครึ่งมุมภายในหรือมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมที่ลากมาพบ
ฐานภายในหรือฐานภายนอก จะแบ่งฐานออกเปน็ อัตราสว่ นทเี่ ทา่ กับอัตราสว่ นของด้านทเี่ หลืออีกสองด้าน

ทฤษฎบี ท 3.8 สาหรบั รูปสามเหลีย่ ม ABC ถ้าแบง่ ดา้ น BC ภายในหรอื ภายนอกที่จดุ X โดยทาให้
BX : XC = BA : AC แลว้ BAˆX = XAˆC (บทกลบั ทฤษฎีบท 3.7)

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปิกวิชาการ ศนู ย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณิต 19

ความคลา้ ย
บทนยิ าม รปู สามเหล่ียมสองรปู คล้ายกัน กต็ ่อเม่ือ รูปสามเหลี่ยมสองรปู นัน้ มขี นาดของมุมเท่ากนั เปน็ คู่ ๆ
สามคู่
ทฤษฎีบท 3.9 ถา้ รปู สามเหล่ียมสองรูปมีมมุ สามมุมเท่ากนั มุมต่อมมุ แลว้ ดา้ นทส่ี มนัยกนั เปน็ สัดสว่ นกนั

ทฤษฎีบท 3.10 ถ้ารูปสามเหลย่ี มสองรปู มดี า้ นทสี่ มนัยกนั เปน็ สดั สว่ นกนั แลว้ รปู สามเหลย่ี มคูน่ ้ันจะมีมมุ ท่ี
อยู่ตรงข้ามด้านท่ีสมนยั กนั เท่ากันมุมต่อมุม

ทฤษฎีบท 3.11 ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมมุมหนึ่งเท่ากันและด้านประกอบมุมเท่าเป็นสัดส่วนกัน แล้ว
รูปสามเหลี่ยมสองรปู นคี้ ลา้ ยกนั

ทฤษฎีบท 3.12 ถ้ารูปสามเหล่ียมสองรูปมีมุมเท่ากันมุมหนึ่ง และด้านประกอบมุมอีกมุมหนึ่งที่สมนัยกัน
เปน็ สดั ส่วนกนั แล้วมุมที่สามจะเทา่ กันหรือเป็นมมุ ประกอบมุมฉาก (ในกรณีแรกรปู สามเหลย่ี มจะคล้ายกัน)

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปิกวชิ าการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วิชา เรขาคณิต 20

ทฤษฎีบท 3.13 ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ถ้าลากส่วนของเส้นตรงจากจุดยอดไปต้ังฉากกับด้านตรงข้าม
มุมฉาก แล้วรปู สามเหลยี่ มทเ่ี กดิ ขนึ้ ท้ังสองรปู คลา้ ยกันและคล้ายกบั รูปเดิมด้วย

ทฤษฎีบท 3.14 ถ้ารูปสามเหล่ียมสองรูปมีมุมหน่ึงเท่ากัน แล้วพ้ืนที่รูปสามเหลี่ยมคู่นี้จะเป็นสัดส่วนกับ
พื้นทีร่ ูปสีเ่ หลี่ยมผนื ผา้ ท่ปี ระกอบดว้ ยด้านสองดา้ นที่ประกอบมมุ ทเี่ ทา่ น้ัน

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปิกวชิ าการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 21

ทฤษฎีบท 3.15 พื้นทร่ี ูปสามเหล่ียมคลา้ ยเป็นสดั ส่วนกับพื้นทีร่ ปู ส่ีเหลี่ยมจัตุรสั บนด้านที่สมนัยกัน

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

▲ ค่ายโอลิมปกิ วิชาการ ศูนย์โรงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 22

แบบฝกึ หดั เรอ่ื ง รปู สามเหลี่ยมและความคล้าย
1. จากรูปทก่ี าหนดให้ ADˆB = ACˆD และ AD = DC

C ดา้ นทเี่ ท่ากันอีกคู่คอื .................................
#
AC ABD AD 2
B AD ADC
A #D  AB และ 

2. จากรปู ที่กาหนดให้ NM ขนาน BC และ NL ขนานกับ AC จงพิสจู นว์ ่า ANM  NBL
AN 2
กาหนดให้ NB = 3 จงหาค่าของ A

ก. อัตราสว่ นพ้ืนทข่ี อง ANM : NBL
NM
ข. BC N M
X
ค. อตั ราสว่ นพ้นื ทีข่ อง BNMC :  ABC
NX C
ง. MC BL

3. จากรปู ท่ีกาหนดให้ DAˆB= CBˆA =90° ตอ่ CB ไปถึงจุด F โดยที่ BC = BF ลาก DF ตดั AB ที่จดุ E
D
ถ้า EC = 5 เซนติเมตร และ ED = 10 เซนติเมตร จงหา

ก. ความยาวของ DF

ข. ถา้ กาหนดให้ CED = 12.5 ตารางเซนตเิ มตร จงแสดงวา่ DEˆC = 30 C

ค. จงหาความยาวของ CD

ง. จงพสิ ูจนว์ ่า DAE CBE A EB
จ. จงหาอัตราสว่ นพ้นื ทีข่ อง CBE : DAE และ CDE : CDF

4. จากรปู BX : XC = 3 : 5 และ BY : YA = 1 : 2 จงหาหาคา่ อตั ราส่วน CK : KY F
A

YK

BX C

5. จากรปู QR // ST และอัตราสว่ นพนื้ ทข่ี อง PQR : PST = 9: 64 จงหา P
PQ
ก. PS

ข. ถ้ากาหนดให้พืน้ ท่ี PQR = 36 ตารางเซนตเิ มตร Q R

จงหาพ้ืนท่ี QRTS S T

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปิกวชิ าการ ศูนยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณิต 23

6. จากรูป AXB, WYB, XYZD และ AWZC ตา่ งก็เป็นจุดที่อยบู่ นเส้นตรงเดยี วกนั AB // DC และ

XD // BC, XY = 6 เซนติเมตร YZ = 8 เซนตเิ มตร ZD = 10 เซนติเมตรและ ZC = 9 เซนติเมตร
จงหา A

ก. รปู สามเหลี่ยมทค่ี ลา้ ยกบั ADC W
ข. จงหาคา่ ของ AZ X ZD

ค. รปู สามเหลยี่ มทค่ี ลา้ ยกบั WYZ

ง. จงหาค่าของ WZ BC

7. จากรูป AH = BD, HK = HB และ HK // BD
A ก. จงหาสามเหลย่ี มที่กนั ทุกประการกับสามเหลี่ยม AHK

ข. จงพสิ จู น์วา่ AHL DCL

ค. ถ้ากาหนดให้ AH = 9 เซนติเมตร HL = 3 เซนตเิ มตร

และ CD = 5 เซนตเิ มตร

HK 1) จงหาค่าของ CL
L 2) ให้ HK = x เซนตเิ มตร จงหาสมการกาลังสองทีท่ า
ใหไ้ ดค้ ่า x

BC D

8. จากรปู P เปน็ จุดบนด้าน AC โดยที่ AP = 2PC และ R เป็นจดุ บนด้าน BP โดยท่ี BR = 3RP และ
QR // AC กาหนดให้พืน้ ท่ี BPA = 32 ตารางเซนตเิ มตร จงหา C

ก. พืน้ ท่ี BPC RP
ข. พืน้ ท่ี BRQ

9. จากรูป LPM อย่บู นเส้นตรงเดยี วกนั และ LPˆN = LNˆM B N Q A

ก. จงหามมุ ที่เทา่ กบั LNˆP M
ข. กาหนดให้ LP = 6 เซนตเิ มตร PN = 4 เซนตเิ มตร

และ NM = 5 เซนติเมตร จงหาความยาวของ LN

LP

10. จากรปู ABˆC=BDˆC=90° กาหนดให้ AC = 10 เซนติเมตร และ BC = 7 เซนติเมตร

จงหาความยาวของด้าน CD B

A DC
ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปิกวิชาการ ศนู ยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 24

11. จากรปู DF // AG, DE // AB DC = 8, CG = 6, DE = 10 และ AB = 15 จงหา AD และ FG
C
FG

DE

AB
12. รปู สามเหลย่ี ม ABC มี C เปน็ มุมฉาก AC ยาว 15 เซนตเิ มตร CD ต้ังฉากกบั AB ท่ีจุด D และ BD ยาว

16 เซนตเิ มตร จงหาพ้นื ทรี่ ปู สามเหลี่ยม ABC

13. ABC เปน็ รปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก มี A เป็นมมุ ฉาก ด้าน BC ยาว 20 น้ิว AC ยาว 16 น้วิ AD ตั้งฉาก
กับ BC จงหา DC : AD

14. ABC เป็นรปู สามเหล่ยี มมุมฉาก มี A เป็นมุมฉาก ถ้าต่อ AB และ AC ออกไปทาง B และ C ถึง X และ
Y ตามลาดับ แลว้ ลาก BY และ CX จงพิสจู น์วา่ XY2 + BC2 = CX2 + BY2

15. ABC เป็นรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก มี A เป็นมุมฉาก D เปน็ จดุ ใด ๆ บน AC ลาก BD จงพสิ จู น์ว่า
BC2 + AD2 = AC2 + BD2

16. ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มใด ๆ AD เปน็ เสน้ ตัง้ ฉากจาก A มายงั BC จงพสิ จู นว์ ่า AB2–AC2 = BD2–DC2
17. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มี A เป็นมุมฉาก BD และ CE เป็นเส้นมัธยฐาน จงพิสูจน์ว่า BC2 =

4(AD2+AE2) และ BD2 + CE2 = 5(AD2+AE2)

18. ABC เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก มี A เปน็ มุมฉาก BD และ CE เป็นเสน้ มธั ยฐานท่ีลากจากจุด B และ C
มายังฐาน จงพสิ ูจน์ว่า 5BC2 = 4(BD2 + CE2)

19. จงแสดงวา่ สามเท่าของจัตุรัสบนด้านหน่ึงของสามเหล่ียมด้านเท่าเท่ากับส่ีเท่าของจัตุรัสบนเส้นต้ังฉาก
เสน้ หนงึ่ ทล่ี ากจากมมุ ยอดมายังฐาน

20. ในรูปสามเหล่ียมมุมฉาก จงพิสูจน์ว่า ผลบวกของจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉากเท่ากับสองเท่าของ
จตั รุ สั บนเส้นตั้งฉากทล่ี ากจากมุมฉากไปยงั ดา้ นตรงข้าม รวมกับผลบวกของจัตุรัสบนส่วนแบ่งของด้าน
ตรงขา้ มมุมฉาก

21. จงพิสูจน์ว่า ผลบวกของจัตุรัสบนเส้นทแยงมุมของรูปส่ีเหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับผลบวกของจัตุรัส
บนด้านทั้งสขี่ องรูปสี่เหล่ียมนนั้

22. รูปสามเหล่ียม ABC มี AL, BM, CN เป็นเส้นตั้งฉาก ตัดกันที่จุด P จงพิสูจน์ว่า AN2 + BL2 + CM2 =
AM2 + CL2 + BN2

23. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า มี ADBC, E เป็นจุดก่ึงกลางของ CD ลาก AE จงพิสูจน์ว่า AE2 =
13CE2

24. PMN เป็นรูปสามเหลย่ี มหนา้ จ่วั มี PM = PN, MSPN จงพสิ ูจน์ว่า MN2 = (PN)(NS) + (PM)(NS)
25. ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มใด ๆ มี AM เป็นเสน้ มัธยฐาน จงพสิ ูจนว์ ่า AB2 + AC2 = 2BM2 + 2AM2

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปกิ วชิ าการ ศูนย์โรงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วิชา เรขาคณิต 25

4. วงกลม คอร์ด และเสน้ สมั ผสั

ในหัวข้อน้ีจะศึกษาพื้นฐานของวงกลม คอร์ดและเส้นสัมผัส รวมถึงสมบัติและทฤษฎีบทท่ีสาคัญ
เกีย่ วกับวงกลมคอร์ดและเสน้ สมั ผสั

สมบตั ิและทฤษฎบี ทที่สาคัญเกย่ี วกับวงกลม

ทฤษฎีบท 4.1 ถ้าลากสว่ นของเสน้ ตรงจากจุดศนู ยก์ ลางของวงกลมไปแบ่งครึ่งคอร์ดซ่ึงไม่ผ่านจุดศูนย์กลาง
แล้วส่วนของเส้นตรงนั้นจะต้องตั้งฉากกับคอร์ด

บทกลับ ถ้าลากส่วนของเส้นตรงจากจดุ ศนู ย์กลางของวงกลมไปต้ังฉากกบั คอร์ดซง่ึ ไมผ่ า่ นจดุ ศูนย์กลาง แล้ว
สว่ นของเส้นตรงนั้นจะแบ่งครึง่ คอรด์
บทแทรก สว่ นของเสน้ ตรงซึง่ ลากแบง่ ครึ่งคอรด์ และต้งั ฉากกับคอร์ด จะผ่านจุดศูนยก์ ลางของวงกลม
บทแทรก เส้นตรงเส้นหนึ่งไมส่ ามารถตัดวงกลมหนึ่งไดม้ ากกวา่ สองจุด
ทฤษฎีบท 4.2 จากจุดภายในวงกลม ถ้าลากส่วนของเส้นตรงไปยังเส้นรอบวงให้ยาวเท่ากันได้มากกว่าสอง
เส้น แล้วจุดจดุ นน้ั จะเปน็ จุดศูนย์กลางของวงกลม

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปิกวิชาการ ศูนย์โรงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณิต 26
ทฤษฎีบท 4.3 คอรด์ ท่ยี าวเท่ากัน ย่อมอยหู่ ่างจากจดุ ศูนยก์ ลางเปน็ ระยะทางท่ีเท่ากนั

บทกลับ คอรด์ ที่อยูห่ า่ งจากจุดศนู ยก์ ลางเป็นระยะทางที่เท่ากัน ย่อมยาวเทา่ กัน
ทฤษฎีบท 4.4 มุมในคร่งึ วงกลมเปน็ มุมฉาก

ทฤษฎีบท 4.5 ถ้ามุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมและมุมในส่วนโค้งของวงกลมรองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน
แลว้ มมุ ท่จี ดุ ศนู ย์กลางของวงกลมจะมขี นาดเป็นสองเทา่ ของมุมในส่วนโค้งของวงกลม

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปกิ วิชาการ ศนู ยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 27
ทฤษฎีบท 4.6 มุมในสว่ นโคง้ ของวงกลมส่วนเดียวกนั ยอ่ มเท่ากัน

ทฤษฎบี ท 4.7 เส้นสัมผสั ที่ลากมาสัมผสั วงกลม จะตง้ั ฉากกบั รัศมขี องวงกลมซง่ึ ลากมาที่จุดสัมผสั

ทฤษฎีบท 4.8 เสน้ สัมผัสสองเส้นท่ีลากจากจุดภายนอกมายังวงกลมวงหนึ่งจะยาวเท่ากัน และรองรับมุมที่
จดุ ศนู ย์กลางเท่ากัน

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปิกวิชาการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วิชา เรขาคณิต 28

ทฤษฎีบท 4.9 มมุ ท่ีเกิดขึน้ จากเส้นสัมผัสจดกบั ขอบยอ่ มเท่ากับมุมทอี่ ยู่ในส่วนของวงกลมตรงกันข้าม

ทฤษฎีบท 4.10 คอร์ดสองคอร์ดตัดกันภายในวงกลม พื้นที่รูปสี่เหล่ียมผืนผ้าที่ประกอบด้วยส่วนตัดของ
คอรด์ ย่อมเทา่ กนั

ทฤษฎีบท 4.11 คอร์ดสองคอร์ดตัดกันภายนอกวงกลม พ้ืนที่รูปส่ีเหลี่ยมท่ีประกอบด้วยส่วนตัดของคอร์ด
ยอ่ มเทา่ กัน และเทา่ กับพ้นื ท่ีรูปสเี่ หลี่ยมจัตุรสั บนเส้นสมั ผสั

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วชิ าการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 29

แบบฝึกหัด เร่ือง วงกลม
1. ถ้า AB และ CD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมท่ีต้ังฉากซึ่งกันและกันแล้ว จงพิสูจน์ว่ารูปส่ีเหล่ียม

ABCD เป็นรปู ส่เี หล่ยี มจัตุรสั

2. AB เป็นคอร์ดของวงกลม O จุด C อย่บู นเสน้ รอบวงทาให้ AC = CB จงพสิ จู น์ว่า CO ต้ังฉากกับ AB

3. กาหนดให้ AB และ CD เป็นคอร์ดท่ียาวเท่ากันของวงกลม O ต่อ AB และ CD ไปพบกันที่จุด E จง
พิสจู นว์ ่า BE = DE

4. กาหนดให้ AB และ CD เป็นคอร์ดที่ยาวเท่ากันของวงกลม O และคอร์ดท้ังสองตัดกันที่จุด E จงพิสูจน์
ว่า AE = DE

5. คอร์ดสองเส้นของวงกลมวงกลมวงหนง่ึ ตัดกนั ท่ีจดุ ๆ หน่ึง ลากเส้นตรงจากจุดตัดไปยังจุดศูนย์กลาง ถ้า
เส้นตรงนที้ ามมุ กับคอร์ดทง้ั สองเท่ากันแลว้ จงพิสจู น์วา่ คอร์ดท้ังสองน้นั ยาวเทา่ กนั

6. วงกลม A และวงกลม B ตัดกันท่ีจุด X และ Y ลาก AB และจากจุด O ซึ่งเป็นจุดก่ึงกลางของ AB ลาก
OX แล้วลากเสน้ ตรงให้ตง้ั ฉากกบั OX ไปจดเสน้ รอบวงทั้งสองที่ P และ Q จงพิสูจนว์ ่า PX = XQ

7. วงกลม P และวงกลม Q ตัดกันที่ A และ B ต่อ PQ ไปทาง Q ถึง R ลาก RA และ RB เลยไปพบเส้น
รอบวงของวงกลม P ที่จุด C และ D ตามลาดับ จงพิสูจนว์ ่า AC = BD

8. วงกลมสองวงตัดกันและมีเส้นขนานคู่หนึ่ง แต่ละเส้นผ่านจุดตัดไปสุดท่ีเส้นรอบวงท้ังสอง จงพิสูจน์ว่า
เสน้ ตรงทั้งสองนีย้ าวเทา่ กนั

9. AB และ BC เปน็ คอร์ดของวงกลม O ซงึ่ ทาให้ ABˆC เปน็ มุมแหลม จงพสิ จู นว์ า่ ABˆC + OAˆC = 90o

10. จากรูป จงพิสจู นว์ ่า BX = XC

B

X O
A

C

11. วงกลม O ตัดกับวงกลม ABC ท่ี B และ C และ AO เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ABC จงพิสูจน์
วา่ BAˆC = 2OBˆC

12. วงกลมสองวงตัดกันท่ี A และ B ให้ P เป็นจุดใด ๆ บนวงกลมวงหนึ่ง ลาก PAC, PBD และลาก XY
สมั ผสั วงกลมท่ี P จงพสิ ูจน์ว่า XY ขนานกับ CD

13. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมบรรจุในวงกลม AD และ BE เป็นเส้นตั้งฉากท่ีลากไปยังด้านตรงข้าม ถ้า PQ
เป็นเส้นสมั ผัสวงกลมทจ่ี ุด C จงพิสูจนว์ า่ PQ ขนานกบั DE

15. ABCD เป็นรูปส่ีเหล่ียมบรรจุในวงกลม ลาก AC และ BD ตัดกันท่ี E ถ้า AD = AB จงพิสูจน์ว่า AD
เปน็ เสน้ สมั ผัสวงกลมซง่ึ ล้อมรอบรปู สามเหล่ยี ม CDE

16. ให้ D เป็นจุดใด ๆ บนฐาน BC ของรูปสามเหลี่ยม ABC ถ้า EB และ EC เป็นเส้นสัมผัสวงกลมท่ี
ลอ้ มรอบรปู สามเหล่ียม ABD และรปู สามเหล่ียม ACD ทีจ่ ดุ B และจุด C จงพิสูจน์วา่

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลิมปิกวชิ าการ ศนู ยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 30

ก. วงกลมผา่ นจุด A, B, E และ C ได้
ข. รูปสามเหล่ียม ABD และรูปสามเหล่ยี ม AEC มมี ุมเทา่ กันมุมต่อมมุ

17. ให้ AB และ CD เป็นคอร์ดของวงกลมซ่ึงต่อออกไปพบกันภายนอกที่จุด X ถ้า BD ขนานกับ AC จง
พสิ ูจนว์ า่ XB = XD และ XA = XC

18. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจ่ัวมีด้าน BC เป็นฐาน ถ้า XY เป็นเส้นเชื่อมด้านสองด้านและขนานกับ
ฐาน จงพิสูจนว์ า่ B, C, X, Y อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมเดยี วกัน (concyclic)

19. จากรปู จงพิสูจนว์ ่า A, B, C, D อยูบ่ นเส้นรอบวงของวงกลมเดยี วกนั
D xC

A 2 1 2x B
20. ABC เป็นรปู สามเหลี่ยมหน้าจว่ั มีดา้ น BC เป็นฐาน เส้นต้ังฉากจากจุด B และ C ไปยังด้านตรงข้ามตัด

กนั ท่ี O จงพสิ ูจนว์ า่ AO แบง่ คร่ึง BAˆC
21. วงกลม O เปน็ จดุ ศูนยก์ ลาง AC เป็นเสน้ สัมผัสวงกลมท่ีจุด B และ CD เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด D

ถา้ DBˆC = 70 องศา DAˆC เทา่ กบั ก่ีองศา A
B

O

DC
22. คอร์ด CD และคอร์ด AB ตัดกันท่ีจุด E ถ้า CE = 6 เซนติเมตร CD = 24 เซนติเมตร และ AE = 4

แลว้ EB และ AB เท่ากับกเี่ ซนติเมตร CB

E

AD

23. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมซึ่งมีรัศมียาว 4 เซนติเมตร ถ้า COˆA เท่ากับ 120 องศา CA ยาวก่ี
เซนติเมตร

24. A, B, C, D และ E เป็นจุดบนวงกลม AD // BE , AD  CE ท่ี F ถ้า CF = EF, AF = 8 เซนติเมตร
FD = 2 เซนติเมตร BC = 6 เซนตเิ มตร จงหาพื้นทขี่ องรูปห้าเหลย่ี ม ABCDE
D
CF E

B
A

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปิกวิชาการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณิต 31

25. จากรูป วงกลม O มีรัศมี 10 เซนติเมตร คอร์ด AB ต้ังฉากกับคอร์ด CD ท่ี X ถ้า AB =16 เซนติเมตร
CD = 14 เซนติเมตรดงั นั้น OX เท่ากบั ก่ีเซนติเมตร

A

O
CX D

B
26. จากรปู วงกลม O แนบในรูปสามเหลี่ยม ABC มี AB = 7 เซนติเมตร BC = 8 เซนติเมตร และ AC = 6
A
เซนตเิ มตร จงหาวา่ x ยาวเทา่ ใด

x

O

BC

27. จากรปู วงกลม A และ B มีรัศมี 8 และ 3 น้วิ ตามลาดับ ถ้ารูปวงกลม 2 วงน้ีห่างกัน 2 น้ิว เส้นสัมผัส
P
ร่วม PQ ยาวเทา่ ใด

Q

AB

28. จากรูป O เป็นจุดศูนย์กลางของรูปวงกลมเล็ก OA เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางรูปวงกลมใหญ่ AD ตัดรูป
วงกลมเลก็ ท่ี C และ D พรอ้ มกับตดั รูปวงกลมใหญ่ที่ E ถ้า AC = 5 เซนติเมตร CE = 3 เซนติเมตร จง
หาว่า DE ยาวเทา่ กับกเ่ี ซนตเิ มตร

O

DEC A

29. จากรูป AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และ BD เป็นคอร์ดตัด AC ท่ีจุด X ถ้าให้ BCˆA = 26° และ
CAˆD=47° จงหาค่า BAˆC และ AXˆD B

AX C

D

30. จากรปู O เปน็ จดุ ศนู ย์กลางของวงกลม TB สมั ผัสวงกลมท่ีจุด B และ AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางตัดกับ
คอร์ด DB ทจ่ี ุด X ถ้าให้ ABˆT = 40° และ DCˆA =32° จงหา OAˆB,AEˆD และ CXˆD

D O C
AX

TB
ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปิกวิชาการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณิต 32

5. รปู ส่เี หลย่ี มผืนผา้ กบั วงกลม

ในหัวขอ้ น้จี ะกล่าวถงึ ทฤษฎีบทและโจทยป์ ัญหาต่าง ๆ ท่ีแสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างรูปสี่เหลี่ยม
รูปสามเหลี่ยม และวงกลม

ทฤษฎีบท 5.1 ถ้าลากเส้นแบ่งคร่ึงมุมยอดของรูปสามเหล่ียมมาตัดท่ีฐาน พ้ืนที่ของรูปสี่เหล่ียมผืนผ้าซึ่ง
ประกอบด้วยด้านประกอบมุมยอด จะเท่ากับพ้ืนท่ีรูปส่ีเหล่ียมผืนผ้าที่ประกอบด้วยส่วนตัดรวมกับพ้ืนที่รูป
สเ่ี หล่ียมจัตรุ ัสบนเส้นทล่ี ากจากจุดยอดมายงั ฐาน

ทฤษฎีบท 5.2 ถ้าลากเส้นจากมุมยอดของรูปสามเหล่ียมมาตั้งฉากกับฐาน พ้ืนที่รูปส่ีเหลี่ยมผืนผ้าท่ี
ประกอบด้วยด้านประกอบมุมยอด จะเท่ากับพื้นที่รูปส่ีเหลี่ยมผืนผ้าท่ีประกอบด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของ
วงกลม ซ่งึ ลอ้ มรอบรปู สามเหล่ยี มนน้ั กบั เส้นตงั้ ฉากท่ีลากมายงั ฐาน

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปกิ วชิ าการ ศูนยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 33

ทฤษฎีบท 5.3 พื้นที่ของรูปส่ีเหล่ียมผืนผ้า ซึ่งประกอบขึ้นด้วยเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ
(quadrilateral) ซง่ึ แนบในวงกลม จะเทา่ กบั ผลบวกของพื้นท่ีรูปสี่เหล่ียมผืนผ้าที่ประกอบด้วยด้านตรงข้าม
ของรปู ส่ีเหลีย่ มนน้ั (Ptolemy Theorem)

ทฤษฎีบท 5.4 ถ้ารปู ส่เี หลีย่ มใดๆ แนบในวงกลม แลว้ มุมอยู่ตรงข้ามของรปู ส่เี หล่ียม รวมกันได้สองมมุ ฉาก
ทฤษฎบี ท 5.5 รูปสเ่ี หลีย่ มคางหมูหนา้ จั่ว เปน็ รูปส่ีเหลย่ี มท่ีมวี งกลมล้อมรอบได้

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วิชาการ ศูนย์โรงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณิต 34

ทฤษฎีบท 5.6 รูปส่ีเหล่ียมท่ีมีด้านขนานกันคู่หนึ่ง จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมท่ีมีวงกลมล้อมรอบได้ ก็ต่อเมื่อ รูป
สเ่ี หลย่ี มนั้นเป็นรูปสเ่ี หล่ยี มมุมฉาก หรือรปู สี่เหลีย่ มคางหมหู นา้ จั่ว

ทฤษฎีบท 5.7 รูปสี่เหล่ียมจะมีวงกลมแนบในได้ ก็ต่อเมื่อ ผลบวกของความยาวของด้านตรงข้ามของรูป
สเ่ี หลี่ยมน้ันมคี า่ เท่ากัน

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปิกวชิ าการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณิต 35

ทฤษฎีบท 5.8 สว่ นของเส้นตรงทแ่ี บง่ คร่ึงและตั้งฉากกบั ด้านทั้งสามของรปู สามเหล่ยี ม จะพบกนั ที่จุดจุด
หนึ่ง ซงึ่ เปน็ จุดศนู ย์กลางของวงกลมลอ้ มรอบรปู สามเหล่ียมนนั้

ทฤษฎีบท 5.9 เส้นแบ่งคร่ึงมุมยอดของรูปสามเหลี่ยม จะพบกันท่ีจุดจุดหน่ึง จุดนั้นเป็นจุดศูนย์กลางของ
วงกลมแนบในรปู สามเหลี่ยมนน้ั

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

▲ ค่ายโอลิมปิกวชิ าการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 36

ทฤษฎบี ท 5.10 รัศมีของวงกลมแนบในรปู สามเหลย่ี มที่มีด้านทงั้ สามยาว a, b และ c หน่วยคอื
2
r = a+b+c เมอ่ื คอื พืน้ ท่ขี องรูปสามเหลี่ยมน้ี

ทฤษฎีบท 5.11 เส้นมัธยฐานของรูปสามเหล่ียมจะจวบกัน (concurrence) และจะแบ่งซึ่งกันและกัน
ออกเป็นอตั ราสว่ น 2 : 1

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปิกวิชาการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 37

แบบฝกึ หดั เรื่อง รูปส่ีเหลี่ยมผนื ผา้ กับวงกลม
1. จดุ P เปน็ จดุ ภายในสีเ่ หลย่ี ม ABCD ใด ๆ ลาก PL, PM, PN และ PK ตง้ั ฉากกับ BC, CD, DA และ AB

ตามลาดับ จงพิสจู น์วา่ AN2 + BK2 + CL2 + DM2 = AK2 + BL2 + CM2 + DN2

2. รปู ส่เี หลยี่ มผืนผา้ ABCD มี AM, CNBD ท่ี M, N จงพิสูจน์วา่ BM2 + BN2 = DM2 + DN2

3. ABCD เป็นรูปส่ีเหลย่ี มใด ๆ มี BM, DNAC จงพิสจู น์ว่า (AB2 + CD2)(AD2 + BC2) = 2(AC)(MN)

4. ABC เป็นรูปสามเหล่ียมบรรจุในวงกลม O และ D เป็นจุดก่ึงกลาง BC ลาก DO ไปพบ AC ท่ี E จง
พสิ ูจน์ว่า A, B, O, E เปน็ จุดในวงกลมเดียวกัน

5. ABCD เป็นรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสบรรจุในวงกลม และ P เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนโค้ง CD จงพิสูจน์ว่า PAB
เป็นรูปสามเหลี่ยมหนา้ จ่ัว

6. ABC เป็นรูปสามเหล่ียมด้านเท่าบรรจุในวงกลม ให้ P เป็นจุดใด ๆ บนส่วนโค้ง AC ลาก AP เลยไปพบ
สว่ นตอ่ ของ BC ท่ี Q และลาก BP ตัด AC ท่ี R จงพสิ ูจน์วา่ ABQ และ ABR มมี มุ เท่ากัน มมุ ตอ่ มมุ

7. เส้นมธั ยฐานจะแบ่งรปู สามเหล่ยี มเปน็ รูปสามเหลย่ี มเลก็ ๆ 6 รปู ท่มี ีพืน้ ทเ่ี ท่ากนั

8. ABCD เป็นรูปส่ีเหล่ียมด้านขนาน O เป็นจุดใด ๆ ในรูปส่ีเหล่ียม จงพิสูจน์ว่า ผลรวมของพ้ืนที่รูป
สามเหลย่ี ม OAB กบั พนื้ ทร่ี ูปสามเหลี่ยม OCD เป็นครึ่งหนึง่ ของพื้นท่ีรปู สเี่ หลยี่ มดา้ นขนาน ABCD

9. ABCD เป็นรูปสี่เหล่ียมด้านขนาน E เป็นจุดบน D และ F เป็นจุดบนส่วนต่อของ AB ที่ทาให้ AB = BF
จงพิสูจน์ว่า พน้ื ทรี่ ปู สามเหลย่ี ม AEF เท่ากับพืน้ ที่รปู สีเ่ หลี่ยม ABCD

10. ABC เป็นรูปสามเหล่ียมใด ๆ จุด P และ Q เป็นจุดบน AB และ AC ตามลาดับ ซึ่งทาให้ PQ // BC จง
พสิ จู น์ว่า พน้ื ทรี่ ูปสามเหลีย่ ม ABQ เท่ากบั พ้ืนทรี่ ูปสามเหลี่ยม ACP

11. ABCD เป็นรปู ส่ีเหลี่ยมด้านขนาน AC เป็นเส้นทแยงมุมและ E เป็นจุดใด ๆ บน AC จงพิสูจน์ว่า พ้ืนท่ี
K
รูปสามเหล่ยี ม CDE เทา่ กับพนื้ ทรี่ ปู สามเหล่ยี ม CBE

12. ABCD เป็นรปู ส่ีเหลยี่ มด้านขนาน จากจดุ C มเี สน้ ตรงลากไปตดั ด้าน AB ท่ี E F B
และตัดด้าน DA ท่ตี อ่ ออกไปที่ F ทจี่ ุด B ลากเสน้ ให้ขนานกับ FC ตัดด้านทีต่ อ่ จาก E
DAF ที่ K ที่จุด D ลากเสน้ ให้ขนานกับ FC ตดั ดา้ น BA ทตี่ ่อออกไปที่ H
จงพิสูจน์ว่า พนื้ ทร่ี ูปสี่เหลีย่ ม BCFK มพี นื้ ที่เทา่ กับพนื้ ที่ส่เี หล่ยี ม DCEH H A

DC
13. ABCD เป็นรูปสี่เหล่ียมด้านขนาน ด้าน BC ถูกแบ่งคร่ึงที่ E ลากเส้น AE แล้วต่อ AE และ DC ไปพบ

กันที่ F จากจุด D ลากเส้น DG ขนานกับ FA พบส่วนต่อของเส้น AB ท่ี G จงพิสูจน์ว่า พ้ืนท่ีส่ีเหลี่ยม
AFDG เป็นสองเท่าของส่เี หลยี่ มด้านขนาน ABCD

G AB

E

DC F

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

▲ ค่ายโอลิมปิกวิชาการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วิชา เรขาคณิต 38

14. ABCD เป็นรูปส่ีเหลี่ยมด้านขนาน ต่อ AB ไปถึง E ให้ BE = AB ลาก ED ให้ตัด BC ที่ F ลาก AF, EC
จงพิสูจน์วา่ พ้ืนทร่ี ูปสามเหล่ยี ม AEF เท่ากับพน้ื ทร่ี ูปสามเหลย่ี ม BEC

15. ABCD เป็นรูปส่ีเหล่ียมด้านขนาน E เป็นจุดบน DC ต่อ AE และ BC ไปพบกันที่จุด F จงพิสูจน์ว่า
พน้ื ทรี่ ปู สามเหลย่ี ม ADF เท่ากับ พน้ื ทรี่ ูปสามเหลีย่ ม ABC และ พ้ืนที่รูปสามเหลี่ยม DEF เท่ากับพื้นท่ี
รปู สามเหลยี่ ม BEC

16. ABC เป็นรูปสามเหล่ียมใด ๆ ท่ีมี P เป็นจุดบนด้าน CA ทาให้ CP = 1 CA ต่อ BP ไปถึง Q ให้ AQ
3
ขนานกบั BC จงหาว่าพนื้ ท่ีรูปสามเหลี่ยม CPQ เปน็ เศษสว่ นเทา่ ไรของพน้ื ที่รูปสามเหลี่ยม ABC
AQ

P

BC

17. จากรูป ABCD และ DPQR เป็นรูปส่ีเหล่ียมด้านขนานสองรูป จงพิสูจน์ว่ารูปส่ีเหล่ียมท้ังสองมีพื้นท่ี
AP
เทา่ กัน B

Q

DC

R
18. ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานท่ีมีจุด P, Q, R และ S เป็นจุดกึ่งกลางของด้านทั้งส่ี จงพิสูจน์ว่า รูป

ส่เี หลี่ยม PQRS มพี น้ื ทเ่ี ปน็ ครึ่งหนึง่ ของรูป ABCD
19. ABCD เป็นรูปสี่เหล่ียมด้านขนานท่ีมีจุด P อยู่ในด้าน AB จุด Q อยู่บนด้าน BC จงพิสูจน์ว่า พื้นที่รูป

สามเหลย่ี ม PCD เท่ากบั พน้ื ทร่ี ปู สามเหล่ยี ม AQD
20. รูปส่ีเหลี่ยมด้านขนาน ABCD ทม่ี จี ดุ P อยใู่ นด้าน AB ทีต่ อ่ ไป จุด Q อยู่บนด้าน BC จงพิสูจน์ว่า พื้นที่

รูปสามเหล่ียม PCD เท่ากับ พื้นทรี่ ูปสามเหลี่ยม AQD
21. PQRS เป็นรูปส่ีเหลี่ยมคางหมูที่มี X และ Y เป็นจุดก่ึงกลางของด้านท่ีขนานกัน จงพิสูจน์ว่า XY แบ่ง

พ้นื ท่ีของ PQRS เป็นสองสว่ นเท่า ๆ กัน
22. ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่ารูปหน่ึง ซึ่งมี X เป็นจุดก่ึงกลางของ BD จงพิสูจน์ว่า รูป AXCD มี

พ้ืนทีเ่ ป็นครงึ่ หน่ึงของรูป ABCD
23. รูปสามเหลย่ี ม ABC ทม่ี ี M เปน็ จดุ กึง่ กลางของด้าน BC และ P เป็นจุดบนด้าน AM จงพิสูจน์ว่า พื้นท่ี

รูปสามเหลยี่ ม ABP เทา่ กับ พ้นื ทร่ี ูปสามเหลย่ี ม ACP
24. ถ้าต่อด้าน BC ของรูปสามเหลี่ยม ABC ออกไปถึง D ทาให้ CD = BC ถ้า E เป็นจุดก่ึงกลางด้าน AB

จงพิสจู น์วา่ พน้ื ทรี่ ูปสามเหลี่ยม ABC เท่ากับ พื้นทร่ี ูปสามเหลี่ยม EBD

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปกิ วชิ าการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 39

แบบฝกึ หดั เสรมิ เพิม่ เติมความเข้าใจ

1. วงกลมสองวงสัมผัสกันภายในที่จุด O จุด A อยู่ภายนอกวงกลมท้ังสอง โดยที่ AO และ AP สัมผัส
วงกลมวงเลก็ ทีจ่ ดุ O และ P ตามลาดบั ถา้ AP ตัดวงกลมวงใหญท่ จ่ี ุด T และต่อ AP ไปตัดเส้นรอบวงท่ี
จุด S จงพสิ จู น์ว่า TOˆP = SOˆP

2. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ AD แบ่งพ้ืนท่ีของรูปสามเหล่ียม ABC ออกเป็นสองส่วน โดยที่พื้นที่ของ
รูปสามเหล่ียม ABD โตเป็นสองเท่าของรูปสามเหล่ียม ADC จากจุด D ลาก DE // BA ถ้า

ADˆB=2ACˆD และ DAˆC = 30๐ จงแสดงวธิ หี าขนาดของ AEˆD พร้อมทั้งให้เหตุผลทุกขน้ั ตอน

3. D และ E เป็นจดุ กงึ่ กลางดา้ น AB และ AC ของรูปสามเหลี่ยม ABC ตามลาดับ BE และ CD ตัดกันที่จุด
P โดยท่ีรูปสามเหล่ียม EDP มีพื้นท่ี 4 ตารางน้ิว รูปสามเหล่ียม PBC มีพื้นท่ี 9 ตารางน้ิว จงหาพื้นที่
ของรูปสามเหลย่ี ม ABC

4. ABC เปน็ สามเหลยี่ มแนบในวงกลมท่ีมี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง AP และ BQ เป็นเส้นแบ่งคร่ึง BAˆC
และ ABˆC ตามลาดบั PM และ QN ตงั้ ฉากกับ AB ทีจ่ ุด M และ N ตามลาดบั จงแสดงวิธีหาขนาดของ
MCˆN พรอ้ มท้ังให้เหตผุ ลทุกข้ันตอน

5. ให้ F เป็นจดุ บนด้าน AB ของรปู สามเหล่ียม ABC ให้ D เปน็ จุดตัดของ BC กบั เสน้ ตรงที่ลากจากจุด A

และขนานกบั FC ในทานองเดยี วกันให้ E เป็นจุดตดั ของ CA กบั เส้นตรงท่ีลากจากจดุ B และขนานกบั
1 1 1
FC จงพิสูจน์ว่า CF = AD + BE

6. ให้ ABCD เป็นรูปสเ่ี หลย่ี มด้านขนาน ตอ่ ดา้ น DA ไปทาง A ไปยงั จดุ P และให้ PC ตดั AB ทจี่ ดุ Q และ

DB ท่ี R ถ้า PQ = 525 และ QR = 80 จงหาความยาวของ RC

7. ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากโดยมี A เป็นมุมฉาก ให้ D และ F เป็นจุดอยู่บน AC และ BC ตามลาดับ

โดยที่ AFBC และ BD = DC = FC = 3 จงหาความยาวของ AC m
n
8. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมที่มี Aˆ -Bˆ = 90๐ และ BC + CA = 2AB ถ้า cos C = เม่ือ

ห.ร.ม. (m, n) = 1 จงหา m + n

9. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม มีพ้ืนท่ี 28ตารางน้ิว จุด D, E และ F เป็นจุดบนด้าน AB, BC และ CA

ตามลาดับ และ AD = 3 น้ิว DB = 4 นิ้ว ถ้ารูปสามเหล่ียม ABE และรูปส่ีเหลี่ยม DBEF มีพ้ืนที่เท่ากัน

แลว้ รปู สามเหล่ยี ม ABE มีพืน้ ทเี่ ทา่ ไร

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปิกวิชาการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วิชา เรขาคณิต 40

10. สามเหล่ียมรูปหน่ึงมเี ส้นมัธยฐานยาว 3, 4 และ 5 หน่วย จงหาความยาวของด้านทส่ี น้ั ท่ีสดุ
11. ให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหลี่ยม โดยมีจุด O เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุม AC และ BD ถ้ารูปสามเหล่ียม

AOB, BOC และ COD มีพ้ืนท่ีเท่ากับ 3, 6 และ 2 ตารางหน่วย ตามลาดับ จงหาพื้นที่ของรูป
สามเหล่ยี ม DOA

12. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ ABˆC = 90๐ โดยมี AB = BC = 4 จุด D และ E เป็นจุดบนด้าน
AB และ BC ตามลาดับ โดยที่ BD = BE = 3 ลาก AC และ CD ตัดกันท่ีจุด F จงหาพื้นท่ีของรูป
สามเหล่ียม AFC

13. ในรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก ถา้ ลากเส้นตรงจากจุดยอดไปตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก รูปสามเหล่ียมที่
เกิดขั้นทงั้ สองรูปจะคลา้ ยกนั และคลา้ ยกบั รปู เดิมดว้ ย

14. จุด P แบ่งด้าน BC ของรูปสามเหล่ียม ABC ด้วยอัตราส่วน BP : PC = 1 : 2 ถ้า ABˆC = 45๐ และ

APˆC = 60๐ จงหาขนาดของ ACˆP
15. D และ E เป็นจุดที่อยู่บนด้าน AB และ AC ของรูปสามเหลี่ยม ABC ตามลาดับ BE และ CD ตัดกันที่

จดุ P ทาให้รปู สามเหล่ียม BPD มพี ื้นท่ี 2 ตารางน้ิว รูปสามเหลี่ยม CPE มีพื้นที่ 3 ตารางน้ิว และ รูป
สามเหล่ยี ม BCP มีพ้ืนท่ี 4 ตารางนิ้ว จงหาพน้ื ทีข่ องรปู ส่ีเหล่ียม ADPE
16. จากรปู จงหาความยาวของ x

17. ให้แสดงวิธีหาพนื้ ทบ่ี ริเวณที่อยรู่ ะหว่างเสน้ ผ่านศนู ยก์ ลางกบั คอร์ดทยี่ าวเทา่ กับรัศมีของวงกลม

18. วงกลม C1 และวงกลม C2 ตัดกันที่จุด P และ Q ซึ่งแตกต่างกัน ให้เส้นตรงท่ีผ่านจุด P ตัดวงกลม C1
และวงกลม C2 ท่จี ุด A และ B ตามลา ดับ ให้ Y เป็นจุดก่ึงกลางด้าน AB และ QY ตัดวงกลม C1 และ
วงกลม C2 ที่จดุ X และ Z ตามลาดบั จงพิสจู น์วา่ Y เปน็ จุดกง่ึ กลางดา้ น XZ

19. ให้ X, Y เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมสองวงซึ่งตัดกันท่ี A เส้นสัมผัสที่จุด A กับวงกลมทั้งสองพบ
วงกลมอีกครั้งหนึ่งท่ี B, C ตามลาดับให้ P เป็นจุดท่ีทา ให้ PXAY เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จงแสดง
วา่ P เปน็ จดุ ศนู ย์กลางของวงกลมท่ลี ้อมรอบรปู สามเหล่ยี ม ABC

20. รูปสามเหล่ียม ABC มี I เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่แนบใน โดยวงกลมน้ีสัมผัสด้าน BC, CA ที่จุด
D, E ตามลาดบั ถา้ BI ตดั DE ท่ี G แลว้ AGBG

21. ให้ ABCD เปน็ รูปสเ่ี หลี่ยมแนบในวงกลมรัศมี 5 หน่วย และ AB = BC = 2CD = 2DA จงหาพ้ืนท่ีของ
รูปส่ีเหล่ยี ม ABCD

22. วงกลมสองวงมีจุดศูนย์กลางห่างกัน 13 หน่วย ถ้าวงกลมวงเล็ก และวงใหญ่ มีรัศมี 3 และ 8 หน่วย
ตามลาดบั จงหาความยาวของเสน้ สัมผสั ของวงกลมทัง้ สอง

23. ให้ O เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม AB และ AC เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด B และ C จงพิสูจน์ว่า AO
แบ่งคร่งึ และตง้ั ฉากกับ BC

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

▲ ค่ายโอลิมปิกวิชาการ ศูนย์โรงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 41

24. ให้ O เปน็ จุดศนู ย์กลางของวงกลม E เปน็ จุดภายนองวงกลม ลากเส้นตรงสองเส้นจากจุด E ตัดเส้นรอ

บวงจุดแรกที่จุด B และ D และตัดเส้นรอบวงจุดที่สองที่ A และ C ตามลาดับ ถ้า BEˆD = 30๐ และ

BOˆD = 50๐ จงหาขนาดของมุม AOˆC

25. สรา้ งครึง่ วงกลมรปู หน่ึงบนด้าน AB ให้ X เป็นจุดใด ๆ บนด้าน AB ลากเส้นตั้งฉากกับ AB ท่ีจุด X ไป
ตัดกบั เส้นรอบวงท่ีจดุ M จงพิสจู น์วา่ (AX)(XB) = MX2

26. จุด A เป็นจุดอยู่ภายนอกวงกลม ลากเส้นตรงตัดเส้นรอบจุดแรกที่ B และจุดท่ีสองที่ C ถ้า AB = 5

และ BC = 8 ลาก AP สมั ผัสวงกลมที่ P จงหาขนาดของ AP

27. ABC เป็นรปู สามเหล่ียมท่แี นบในวงกลมท่มี รี ศั มี 5 นิ้ว โดยมี AC เป็นเสน้ ผ่านศนู ย์กลาง AB เป็นคอร์ด
ท่ียาว 6นิ้ว และ AD เปน็ คอรด์ ท่ีแบ่งครึ่ง BAˆC จงหาความยาวของ AD
28. ให้ a, b, c เป็นความยาวด้านท้ังสามของรูปสามเหล่ียมท่ีมี r เป็นรัศมีของวงกลมแนบใน ra เป็นรัศมี
ของวงกลมแนบนอกท่ีอยูต่ รงขา้ มมุม A ดงั น้ัน rra = (s – a)(s – b)
29. ให้ r เป็นรศั มขี องวงกลมทแ่ี นบในรปู สามเหลี่ยม ABC ที่มี a, b, c เป็นความยาวของด้านทั้งสาม และ
2K
มพี นื้ ท่ี K จงพิสูจน์วา่ r = a +b+ c

30. ให้ ABC เป็นรปู สามเหล่ียมท่ีมี AB = 2, AC = 3 และ BC = 4 จงหาความยาวของรัศมีของวงกลมท่ีมี

จุดศูนยก์ ลางอยทู่ ี่ดา้ น BC และสมั ผัสดา้ น AB และ AC

31. ให้ ABC แนบในวงกลมโดยมี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง P และ Q อยู่บนด้าน BC และ AC ที่ทาให้

AP และ BQ เป็นเส้นแบ่งครง่ึ มมุ A และมุม B ตามลาดบั ลากเส้นตรงจาก P และ Q ตั้งฉากกับ AB ที่
จุด M และ N ตามลาดบั จงหาขนาดของ MCˆN

32. ให้รูปสามเหล่ียม ABC แนบในวงกลมท่ีมี O เป็นจุดศูนย์กลาง และ BC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ถ้า

AB = 3, AC = 4 จงหา (BO)(OC)

33. รูปสามเหล่ียมรูปหนึ่ง รัศมีของวงกลมล้อมรอบรูปสามเหล่ียมยาวเป็น 3.5 เท่าของรัศมีของวงกลม

แนบในรูปสามเหล่ียม ถ้าด้านสองด้านยาว 3 หน่วย และ 7 หน่วย และอีกด้านยาวเป็นจานวนเต็ม

หนว่ ย จงหาความยาวของดา้ นที่เหลอื น้ัน

34. ให้รูปสี่เหล่ียม ABCD มีวงกลมล้อมรอบได้ เส้นแบ่งคร่ึงมุม A, B, C, D ตัดกันเกิดเป็นรูปส่ีเหล่ียมรูป

ใหม่ภายในรูปสี่เหลี่ยม ABCD โดยจุดยอดเป็นจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งมุมแต่ละรูป จงพิสูจน์ว่า รูป

สี่เหล่ยี มรปู ใหมน่ ม้ี วี งกลมลอ้ มรอบได้
35. ให้ A เปน็ พ้นื ทขี่ องรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ ทมี่ เี สน้ ทแยงมมุ ยาว a และ b หน่วย จงพิสูจน์วา่ a2 + b2  4A

36. วงกลมแนบในรปู ส่เี หล่ยี ม ABCD สัมผัสด้าน AB, BC, CD, DA ที่จุด P, Q, R, S ตามลาดับ ถ้า AB=3,

DS = 4, PB = 6 และ BC = 10 จงหา DC และ RC

37. รูปส่ีเหลี่ยม ABCD มีวงกลมล้อมรอบได้ ลาก CX ขนานกับด้าน AB ตัดเส้นทแยงมุม BD ที่จุด X จง

พิสูจนว์ า่ AC เป็นเสน้ สัมผัสวงกลมทีล่ อ้ มรอบสามเหลีย่ ม CXD

38. ถา้ รูปส่เี หลี่ยมท่ีแนบในวงกลมมีเส้นทแยงมุมต้ังฉากซึ่งกันและกันที่จุด P แล้วเส้นตรงที่ลากผ่านจุด P

ไปต้ังฉากกบั ด้านใดดา้ นหน่งึ ย่อมแบง่ ครง่ึ ด้านตรงข้าม

39. ABCD เป็นรูปส่ีเหลี่ยมแนบในวงกลม ถ้าส่วนต่อของด้าน AB และ DC ตัดกันภายนอกวงกลมท่ีจุด P

จงพสิ จู นว์ า่ (AP)(PB) = (CP)(PD)

40. ABCD เป็นรปู สเ่ี หลย่ี มทีม่ วี งกลมแนบใน และสมั ผสั ดา้ นท้งั สีท่ ีจ่ ดุ P, Q, R และ S ตามลาดบั จงพิสูจน์

วา่ PR และ QS ตัง้ ฉากซ่งึ กนั และกัน

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลิมปิกวิชาการ ศูนย์โรงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 42

บรรณานุกรม

กมล เอกไทยเจิรญ. (มปป). คู่มือเตรียมสอบ คณิตศาสตร์ ม.2 เล่มรวม ค 203–ค 204. กรุงเทพมหานคร
: เทพเนรมติ การพมิ พ.์

กมล เอกไทยเจิรญ. (มปป). คู่มือเตรียมสอบ คณิตศาสตร์ ม.3 เล่มรวม ค 011–ค 012. กรุงเทพมหานคร
: เทพเนรมิตการพิมพ์.

ดารง ทิพย์โยธา. (2551). คณิตศาสตร์ปรนัย เล่มท่ี 32 : โลกเรขาคณิต (เสริมความรู้มุ่งสู่โอลิมปิก
คณิตศาสตร)์ . กรงุ เทพมหานคร : เทพเนรมิตการพิมพ์.

ยุพิน พพิ ิธกลุ และอุษณยี ์ ลรี วฒั น์. (2548). เรขาคณติ โครงการตาราวทิ ยาศาสตร์และคณติ ศาสตร์มลู นิธิ
สอวน. พมิ พค์ รงั้ ท่ี 2. กรุงเทพมหานคร : บริษทั ดา่ นสุทธาการพิมพ์ จากดั .

วัฒนา เถาว์ทิพย์. เอกสารประกอบการบรรยาย โครงการส่งเสริมโอลิมปิกวิชาการฯ ศูนย์ สอวน.
มหาวิทยาลยั ขอนแก่น คา่ ย 1. (อัดสาเนา).

สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย,ี สถาบนั . (2552). หนงั สือเรยี นรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์
เลม่ 1 ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 1 กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ขั้นพืน้ ฐาน พทุ ธศักราช 2551. กรงุ เทพมหานคร : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, สถาบัน. (2553). หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐาน คณิตศาสตร์
เล่ม 1 ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ขน้ั พืน้ ฐาน พุทธศักราช 2551. พิมพค์ รง้ั ท่ี 2. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว.

สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย,ี สถาบนั . (2553). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์
เลม่ 2 ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 2 กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ขั้นพื้นฐาน พทุ ธศกั ราช 2551. กรุงเทพมหานคร : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพร้าว.

สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบนั . (2553). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์
เล่ม 2 ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ขั้นพื้นฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรงุ เทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว.

สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, สถาบัน. (2554). หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐาน คณิตศาสตร์
เล่ม 1 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2 กลุม่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ขน้ั พ้นื ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551. พมิ พค์ รั้งที่ 2. กรงุ เทพมหานคร : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพร้าว.

ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน. (2554). หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐาน คณิตศาสตร์
เลม่ 1 ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 3 กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ข้ันพื้นฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรงุ เทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว.

สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย,ี สถาบัน. (2554). หนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์
เล่ม 2 ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 3 กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ขน้ั พน้ื ฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรงุ เทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว.

อานวย เลศิ ชยันตี. (2525). เทคนิคการคิดโจทย์คณิตศาสตร์หลักสูตรใหม่ ช้ันมัธยมศึกษาตอนต้น ฉบับ
พฒั นามนษุ ย์ เล่ม 2. กรุงเทพมหานคร : สานกั พมิ พ์อานวยการพมิ พ.์

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา