แบบฝึกทักษะ ลำดับและอนุกรม เล่มที่ 6 เรื่องตะลุยโจทย์สอบเข้ามหาวิทยาลัย ปีการศึกษา 2558

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 6 เร่ือง ตะลุยโจทย์สอบเข้ามหาวทิ ยาลัย 48

สรุปความรู้ 6

คาชีแ้ จง ใหผ้ ้เู รียนเรยี บเรียงและบันทึกความรู้ของผ้เู รียนทไ่ี ดจ้ ากการศึกษาใบความรู้
และจากการทาแบบฝกึ ทักษะท่ี 6 โดยใชภ้ าษาทง่ี ่ายต่อการเขา้ ใจ

ใบสรุปความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 6 เร่ือง ตะลุยโจทยส์ อบเข้ามหาวทิ ยาลัย 49

ขนั้ ตอนท่ี



Share : S

การแลกเปลีย่ นความคดิ เหน็ เกี่ยวกบั
ข้อมลู และวธิ ีการแก้ไขปัญหา

แลกเปล่ยี นเรียนรู้ 6

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 6 เรื่อง ตะลุยโจทย์สอบเขา้ มหาวทิ ยาลัย 50

แลกเปลีย่ นเรียนรู้ 6

คาชี้แจง ให้ผ้เู รียนแต่ละคนแลกเปล่ยี นความรูข้ องตนจากการทาแบบฝึกทกั ษะ โดยครูจะ
สมุ่ ผู้เรียนออกมานาเสนอการสรปุ ความรูห้ รือแนวคดิ และวธิ ีการในการทากิจกรรม

ใบสรปุ ความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 6 เรื่อง ตะลุยโจทย์สอบเขา้ มหาวทิ ยาลยั 51

แบบทดสอบหลังเรียน

เรอื่ ง ลาดับและอนกุ รม

คาชแ้ี จง
1. แบบทดสอบหลังเรียน เรอ่ื ง ลาดบั และอนุกรม จานวน 20 ข้อ
ข้อละ 1 คะแนน ใชเ้ วลา 30 นาที

2. การตอบแบบทดสอบให้ผู้เรียนทาเครอ่ื งหมาย x ลงใน  ใตต้ ัวอักษร

ก ข ค และ ง ทีเ่ ปน็ คาตอบทถ่ี กู ทส่ี ุดเพียงขอ้ เดียว บนกระดาษคาตอบ

1. ถา้ an  2  (1)n n แล้วขอ้ ใดถูก
2n  3

ก. a1  1
5

ข. a3  1
9

ค. a5  7
13

ง. a7  11
17

2. ผลบวก 3 พจน์แรกของลาดับ an  (1)n1n เท่ากับขอ้ ใด
n 1

ก.  7

12

ข.  5

12

ค. 5

12

ง. 7

12

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 6 เรอ่ื ง ตะลุยโจทย์สอบเข้ามหาวทิ ยาลยั 52

3. ถา้ a1  2, a2 1 และ an2  an1  an เมื่อ n 1, 2, 3, ... แล้ว a11 เท่ากับข้อใด
ก. 123
ข. 113
ค. 96
ง. 76

4. ถา้ an เป็นพจน์ทว่ั ไปของลาดบั ซ่ึงมี a3  4 และ an1  an  n แลว้ a1  a7 เทา่ กับเทา่ ใด
ก. 21
ข. 23
ค. 25
ง. 27

5. ลาดับ 24, 15,  6, ..., 1776 มีกพ่ี จน์
ก. 200
ข. 201
ค. 202
ง. 203

6. พจน์ที่ 31 ของลาดบั เลขคณิต  1 ,  1 ,  1 , ... เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้

20 30 60

ก. 5

12

ข. 13

30

ค. 9

20

ง. 7

15

7. ถ้าผลบวกและผลคูณของสามพจน์แรกของลาดับเลขคณิตที่มี d เป็นผลต่างร่วมเท่ากับ 15
และ 80 ตามลาดบั แล้ว d 2 มคี า่ เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้
ก. 1
ข. 4
ค. 9
ง. 16

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 6 เร่อื ง ตะลุยโจทยส์ อบเขา้ มหาวิทยาลัย 53

8. ถ้าพจน์ที่ 5 และพจน์ที่ 10 ของลาดับเลขคณิตเป็น 14 และ 29 ตามลาดับ แล้วพจน์ท่ี 99
เทา่ กับขอ้ ใด
ก. 276
ข. 287
ค. 296
ง. 297

9. ลาดับในข้อใดต่อไปนี้ เป็นลาดับเรขาคณติ
ก. an  2n32n
ข. an  2n  4n
ค. an  3n2
ง. an  (2n)n

10. ลาดบั เรขาคณิตในข้อใดตอ่ ไปนี้ มอี ตั ราสว่ นร่วมอยู่ในช่วง (0.3, 0.5)
ก. 3, 5 , 25 , ...

4 48

ข. 2, 4 , 8 , ...

39

ค. 4, 3, 9 , ...

4

ง. 5, 4, 16 , ...

5

11. พจน์ท่ี 10 ของลาดบั เรขาคณติ 3, 6, ... ตรงกับขอ้ ใด
ก. 8 6
ข. 16 3
ค. 16 6
ง. 32 3

12. ค่าของ 1 6 1116 ...101 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก. 970
ข. 1020
ค. 1050
ง. 1071

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 6 เรื่อง ตะลุยโจทยส์ อบเขา้ มหาวิทยาลยั 54

13. ลาดับเรขาคณิตลาดับหนึ่งมีผลบวกและผลคูณของสามพจน์แรกเป็น 13 และ 27 ตามลาดับ
ถ้า r เปน็ อตั ราส่วนร่วมของลาดับนแ้ี ลว้ r  1 มคี ่าเทา่ กับข้อใด

r

ก. 10

3

ข. 7

3

ค. 4

3

ง. 1

3

14. เดก็ ชายคนหน่งึ ต้องการออมเงินเพ่ือซื้อรถจักรยานราคา 1,700 บาท โดยเก็บเงินเดือนละ 100
บาท และพ่อสัญญาว่าจะสมทบเงินให้ทุกเดือน เร่ิมเดือนแรกให้ 10 บาท เดือนท่ีสองให้ 20
บาท เดือนที่สามให้ 30 บาท และสมทบเงินใหม้ ากข้นึ ทุกเดือน ๆ ละ 10 บาท เขาต้องออมเงิน
อย่างน้อยกเี่ ดือนจึงจะมีเงินมากพอซ้ือรถจักรยาน
ก. 10
ข. 11
ค. 12
ง. 13

15. ในสวนป่าแห่งหน่ึง เจ้าของปลูกต้นยูคาลิปตัสเป็นแถวดังนี้ แถวแรก 12 ต้น แถวท่ีสอง 14 ต้น
แถวท่ีสาม 16 ต้น โดยปลูกเพิ่มเช่นน้ี ตามลาดับเลขคณิต ถ้าเจ้าของปลูกต้นยูคาลิปตัสไว้
ทัง้ หมด 15 แถว จะมตี ้นยูคาลปิ ตสั ในสวนปา่ น้ีท้ังหมดก่ตี น้
ก. 360
ข. 370
ค. 380
ง. 390

16. ถ้าพจน์ท่ี n ของอนกุ รมคือ 3n 10 แลว้ ผลบวก 23 พจน์แรกของอนกุ รมน้เี ท่ากบั ข้อใด
ก. 589
ข. 598
ค. 624
ง. 698

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 6 เรอื่ ง ตะลุยโจทยส์ อบเขา้ มหาวิทยาลยั 55

17. ผลบวกของอนุกรมเรขาคณติ 1 2  4 8... 256 มคี ่าเท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้

ก. 171
ข. 85
ค. 85
ง. 171

18. ถ้าอนุกรมเรขาคณิต a1  1 และ a10  256 แล้วผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมนี้เท่ากับ
2

ขอ้ ใด

ก. 511.0

ข. 511.5

ค. 512.0

ง. 512.5

19. ถา้ อนุกรมเรขาคณิตมผี ลบวก 10 พจน์แรกเป็น 3069 และมีอัตราส่วนร่วมเป็น 2 แล้ว พจน์ท่ี 3
ของอนกุ รมน้ีเท่ากับข้อใด
ก. 2
ข. 6
ค. 8
ง. 12

20. กาหนดให้ a1, a2, a3, ... เป็นลาดับเรขาคณิต ถ้า a2  8 และ a5  64 แล้วผลบวกของ

10 พจน์แรกของลาดับนีเ้ ท่ากบั ขอ้ ใด
ก. 2048
ข. 1512
ค. 1364
ง. 1024

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 6 เรื่อง ตะลุยโจทย์สอบเขา้ มหาวทิ ยาลยั 56

กระดาษคาตอบ

แบบทดสอบหลงั เรียน

เร่ือง ลาดับและอนุกรม

ชื่อ – นามสกลุ …………………………………………………..…….………….……………เลขท…ี่ ….……….
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6/………… วนั ท…่ี …………เดอื น......................................พ.ศ...................

คาช้ีแจง ให้ผู้เรยี นทาเครอ่ื งหมาย x ลงใน  ใต้ตวั อักษร ก ข ค และ ง

ข้อ ก ท่เี ปน็ คาตอบท่ถี ูกทสี่ ดุ เพยี งข้อเดียว
1
2 ขคง คะแนน หลงั เรียน ผลการประเมิน
3
4 เต็ม 20
5
6 ได้
7
8 เกณฑก์ ารประเมนิ
9 17 – 20 คะแนน ระดับ 4 ดเี ยยี่ ม
10 14 – 16 คะแนน ระดับ 3 ดี
11 11 – 13 คะแนน ระดับ 2 พอใช้ ผา่ นเกณฑ์
12 0 – 10 คะแนน ระดบั 1 ปรับปรงุ
13
14 ลงชอ่ื .................................................ผู้ตรวจ
15 (..........................................................)
16
17 วันท.ี่ ...........เดอื น............................พ.ศ.............
18
19 ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา
20

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 6 เรอ่ื ง ตะลุยโจทยส์ อบเข้ามหาวทิ ยาลยั 57

บรรณานกุ รม

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 6 เรื่อง ตะลุยโจทยส์ อบเข้ามหาวทิ ยาลยั 58

บรรณานุกรม

กมล เอกไทยเจริญ. (ม.ป.ป.). คณิตศาสตร์ ม.6 เล่ม 5 ค 015. กรุงเทพฯ : ไฮเอด็ พบั ลิชชิ่ง.

กมล เอกไทยเจริญ. (ม.ป.ป.). คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 1 สาระการเรียนรู้พน้ื ฐาน. กรงุ เทพฯ :
ไฮเอ็ดพบั ลิชช่งิ .

กวิยา เนาวประทีป. (2547). เทคนิคการเรียนคณิตศาสตร์ : ลาดับและอนุกรม. กรุงเทพฯ :
ฟิสกิ สเ์ ซ็นเตอร์.

จักรินทร์ วรรณโพธิ์กลาง. (ม.ป.ป.). คู่มือเตรียมสอบ O-NET กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์.
กรงุ เทพฯ : พ.ศ.พฒั นา จากดั .

ทรงวทิ ย์ สวุ รรณธาดา. (2545). 1001 TESTS IN MATHS 3. กรุงเทพฯ : แมค็ .

นพพร แหยมแสง. (2548). ชุดกิจกรรมการเรียนร้ทู เี่ น้นผเู้ รยี นเป็นสาคัญ คณิตศาสตร์ กลุ่มสาระ
การเรยี นรู้คณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 5. กรงุ เทพฯ : พัฒนาคุณภาพวชิ าการ (พว.).

ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน. (2544). หนังสือเรียนคณิตศาสตร์ ค 015
ระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย พุทธศักราช 2524 (ฉบับปรับปรุง 2523). พิมพ์คร้ังที่
11. กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พ์ ครุ ุสภาลาดพรา้ ว.

_______. (2553). คู่มือครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ เล่ม 3 ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4 – 6 กลุ่ม
สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช
2551. กรงุ เทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว.

_______. (2554). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ เล่ม 3 ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4 – 6
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน
พุทธศักราช 2551. พิมพค์ รัง้ ท่ี 3. กรุงเทพฯ : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพร้าว.

สมัย เหลา่ วานชิ ย.์ (2554). คู่มือเตรียมสอบคณิตศาสตร์ ม.4-5-6 (รายวิชาพ้ืนฐาน). กรุงเทพฯ :
ไฮเอด็ พับลิชชิง่ .

สมยั เหลา่ วานิชย์ และพวั พรรณ เหล่าวานชิ ย.์ (ม.ป.ป.). คณิตศาสตร์ พื้นฐาน + เพ่ิมเติม 6 ช่วง
ชนั้ ที่ 4 (ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4 – 6) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์. กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ด
พบั ลชิ ชิ่ง.

อเนก หริ ัญ. (ม.ป.ป.). คณิตศาสตร์ ค 015. กรุงเทพฯ : ฟิสกิ ส์เซน็ เตอร์.

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 6 เรือ่ ง ตะลุยโจทย์สอบเข้ามหาวิทยาลยั 59

ภาคผนวก

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 6 เรอ่ื ง ตะลุยโจทยส์ อบเขา้ มหาวิทยาลัย 60

เฉลย

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์

เล่มท่ี



เรอ่ื ง ตะลุยโจทยส์ อบเข้ามหาวิทยาลัย

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 6 เร่อื ง ตะลุยโจทย์สอบเขา้ มหาวิทยาลัย 61

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น

เร่อื ง ลาดบั และอนุกรม

1. ง
2. ค
3. ข
4. ก
5. ค
6. ข
7. ค
8. ค
9. ก
10. ก
11. ค
12. ง
13. ก
14. ข
15. ข
16. ง
17. ง
18. ค
19. ข
20. ง

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 6 เรื่อง ตะลุยโจทยส์ อบเขา้ มหาวิทยาลัย 62

เฉลย.... 46.1

แบบฝึกทักษะท่ี

1. ใน 40 พจนแ์ รกของลาดบั an  3 (1)n มกี พ่ี จน์ ที่มีค่าเทา่ กับพจนท์ ี่ 40 (O-NET 53)

1. 10 2. 20 * 3. 30 4. 40 5. 50

วิธที า จาก an  3 (1)n จะได้

a1  3  (1)1  2 a2  3  (1)2  4

a3  3  (1)3  2 a4  3  (1)4  4

และ a39  3  (1)39  2 a40  3  (1)40  4

ดงั นั้น 40 พจนแ์ รกของลาดับ an  3 (1)n มี 20 พจนท์ ่ีมคี ่าเทา่ กับพจนท์ ี่ 40

2. ถา้ an  2n 1 แล้วขอ้ ใด ผดิ (O-NET 57)
3n  2

1. a1  1 2. a2  3 3. a3  1 4. a4  7 * 5. a5  31
4 10 13

วิธที า จาก an  2n 1 จะได้
3n  2

a1  21 1  1 a2  22 1  3
3(1)  2 3(2)  2 4

a3  23 1 1 a4  24 1  15
3(3)  2 3(4)  2 10

และ a5  25 1  31
3(5)  2 13

ดงั น้ัน a4 7 ผดิ
10

3. ถ้า an เปน็ พจนท์ วั่ ไปของลาดับซึง่ มี a5  9 และ an1  an  2 แลว้ a11 เท่ากับเท่าใด

1. 5 2. 3 * 3. 1 4. 1 5. 3 (O-NET 58)

วิธที า จาก a5  9 และ an1  an  2 จะได้

a6  a5  2  9  2  7 a7  a6  2  7  2  5

a8  a7  2  5  2  3 a9  a8  2  3  2  1

a10  a9  2  1 2  1 a11  a10  2  1 2  3

ดังนัน้ a11  3

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 6 เรอ่ื ง ตะลุยโจทย์สอบเขา้ มหาวิทยาลัย 63

4. ถา้ a1, a2, a3, ... เปน็ ลาดบั เลขคณิตซ่ึง a30  a10  30 แลว้ ผลต่างรว่ มของลาดับเลขคณิต
นมี้ ีคา่ เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ (O-NET 50)

1. 1.25 2. 1.5* 3. 1.75 4. 2.00

วิธที า จาก an  a1  (n 1)d (1)
จะได้ a30  a1  29d

a10  a1  9d (2)
a30  a10  20d
นา (1)  (2);

30  20d

d  3  1.5
2

ดงั นนั้ ผลต่างร่วมของลาดบั เลขคณิตน้มี ีคา่ เท่ากบั 1.5

5. พจน์แรกที่เปน็ จานวนเต็มลบของลาดับเลขคณิต 200, 182, 164, 146, ... มีค่าต่างจากพจน์

ที่ 10 เทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี (ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลยั 40)

1. 54 * 2. 38 3. 22 4. 20

วิธที า จากโจทยพ์ บว่า a1  200 และ d 182  200  18

จาก an  a1  (n 1)d และพจน์แรกทเ่ี ปน็ จานวนเต็มลบของลาดบั เลขคณิต

หาได้จาก an  a1  (n 1)d  0

200  (n 1)(18)  0

18n  218

n  12.11

ฉะนัน้ พจน์แรกทเ่ี ป็นจานวนเต็มลบของลาดับเลขคณติ คือ พจน์ที่ 13

และ a13  a1 12d  200 12(18)  16
และ a10  a1  9d  200  9(18)  38
ดงั นนั้ พจนแ์ รกทเี่ ปน็ จานวนเต็มลบของลาดับเลขคณิตน้ีมคี ่าต่างจากพจนท์ ่ี 10

เทา่ กับ | 16 38 |  54

6. ลาดบั เลขคณิตในขอ้ ใดตอ่ ไปน้มี ีบางพจนเ์ ท่ากบั 40 (O-NET 52)

1. an  1 2n 2. an  1 2n 3. an  2  2n 4. an  2  2n *

วธิ ีทา 1. ให้ an  1 2n  40 แกส้ มการได้ n   39 ซง่ึ n ไม่เป็นจานวนเต็มบวก
2

2. ให้ an  1 2n  40 แก้สมการได้ n 39 ซง่ึ n ไมเ่ ปน็ จานวนเตม็ บวก
2

3. ให้ an  2  2n  40 แกส้ มการได้ n  19 ซง่ึ n ไมเ่ ป็นจานวนเตม็ บวก

4. ให้ an  2  2n  40 แกส้ มการได้ n 19 ซง่ึ n เปน็ จานวนเตม็ บวก

ดังนน้ั ลาดับเลขคณิต an  2  2n มีบางพจน์เทา่ กับ 40

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 6 เรอ่ื ง ตะลุยโจทย์สอบเขา้ มหาวทิ ยาลยั 64

7. กาหนดให้ 3 , 1, 1 , ... เปน็ ลาดับเลขคณิต ผลบวกของพจน์ท่ี 40 และพจน์ท่ี 42 เท่ากับ

22

ข้อใด (O-NET 53)

1. 18 2. 19 3. 37 * 4. 38

วิธที า จากโจทยพ์ บวา่ a1  3 และ d 1 3   1
2 22

จาก an  a1  (n 1)d

จะได้ a40  a1  39d  3  39   1   18
2  2 

a42  a1  41d  3  41  1   19
2 2 

ดังนัน้ a40  a42  (18)  (19)  37
เพราะฉะน้ัน
ผลบวกของพจน์ที่ 40 และพจน์ที่ 42 เท่ากบั 37

8. ลาดบั เลขคณติ 43, 34,  25, ... มีพจนท์ ่ีมคี ่านอ้ ยกว่า 300 อยู่กพี่ จน์ (O-NET 54) (39)
วธิ ที า จากโจทย์พบว่า a1  43 และ d  34  (43)  9
ให้ an  300 และจาก an  a1  (n 1)d
จะได้ 43 (n 1)(9)  300

 43  9n  9  300

n  352  39.11
9

ดังนั้น ลาดับเลขคณติ นม้ี พี จน์ทม่ี ีค่านอ้ ยกวา่ 300 อยู่ 39 พจน์

9. ให้ m เป็นจานวนเต็มบวกท่ีน้อยที่สุด ที่ทาให้พจน์ท่ี m ของลาดับเลขคณิต 2, 5, 8, ... มี

ค่ามากกว่า 1,000 จานวนในข้อใดต่อไปนเี้ ปน็ ตวั หารของ m (ขอ้ สอบเขา้ มหาวิทยาลัย 39)

1. 67 2. 111 3. 166 4. 167 *

วธิ ีทา จากโจทย์พบว่า a1  2 และ d  3
ให้ an  1000 และจาก an  a1  (n 1)d
จะได้ 2  (n 1)(3) 1000

2  (n 1)(3)  1000

3n  1001

n  1001  333.66
3

เน่ืองจาก m เปน็ จานวนเต็มบวกท่ีน้อยท่สี ุด ฉะนนั้ m  334 (2167)
ดงั นน้ั ตัวหารของ m คอื 167

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 6 เรื่อง ตะลุยโจทย์สอบเข้ามหาวิทยาลัย 65

10. ถ้า a1, a2, a3, ... เป็นลาดบั เลขคณติ และผลตา่ งร่วมไมเ่ ป็นศูนย์ แล้วข้อใดผดิ (O-NET 57)
1. a10  a11  a21  a20

2. a9  a14  a11  a12

3. a15  a12  1

a7  a4

4. ถ้า bn  an  5 ทุก n แลว้ b1, b2, b3, ... เปน็ ลาดับเลขคณิต
5. ถา้ cn  5n an ทุก n แล้ว c1, c2, c3, ... เปน็ ลาดับเรขาคณติ *
วธิ ที า จาก an  a1  (n 1)d และ d  0

จะได้ a10  a11  (a1  9d)  (a1 10d)  d

และ a21  a20  (a1  20d)  (a1 19d)  d
ฉะนัน้ ข้อ 1. ถกู
จะได้ a9  a14 (a1  8d)  (a1 13d)  2a1  21d
และ a11  a12  (a1 10d)  (a1 11d)  2a1  21d
ฉะนนั้ ข้อ 2. ถูก

จะได้ a15  a12  (a1 14d)  (a1 11d)  1

a7  a4 (a1  6d )  (a1  3d )

ฉะน้ันขอ้ 3. ถกู

จะได้ bn  an  5  (a1  (n 1)d)  5  (a1  5)  (n 1)d ทกุ n
ฉะนน้ั b1, b2, b3, ... เปน็ ลาดบั เลขคณิต
ฉะนน้ั ขอ้ 4. ถกู

จะได้ cn  5n an  5n (a1  (n 1)d) ทุก n
ฉะนั้น c1, c2, c3, ... เป็นลาดับเรขาคณิต
11. กาหนดให้ x เป็นจานวนจริง ถ้า 5 7x, 3x  28, 5x  27, ..., 2x3 3x 1 เป็นลาดับ

เลขคณติ แล้วลาดบั นี้มกี พ่ี จน์ (O-NET 57)

1. 10 2. 11* 3. 12 4. 13 5. 14

วธิ ีทา เนือ่ งจาก 5  7x, 3x  28, 5x  27, ..., 2x3 3x 1 เป็นลาดบั เลขคณิต

จะไดว้ า่ d  (3x  28)  (5  7x)  (5x  27)  (3x  28)

10x  23  2x 1

8x  24

x  3

แทนค่า x  3 ลงในลาดับ 5  7x, 3x  28, 5x  27, ..., 2x3 3x 1
จะได้ 26, 19, 12, ...,  44
และได้อกี วา่ a1  26, d 19  26  7

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 6 เร่อื ง ตะลุยโจทย์สอบเขา้ มหาวิทยาลยั 66

และให้ an   44

จากสูตร n  an  a1 1
d

จะได้ n  44  26 1

7

n  44  26 1
7

 70 1
7

 11

ดังน้นั ลาดับน้ีมี 11 พจน์

12. ปา้ จุ๊เรม่ิ ขายขนมครกในวนั ที่ 3 มกราคม ในวันแรกขายได้กาไร 100 บาท และวันต่อๆ ไปจะ

ขายได้กาไรเพิ่มขึน้ จากวนั แรกก่อนหน้าวนั ละ 10 บาททกุ วนั ขอ้ ใดต่อไปน้ีเป็นวันท่ีของเดือน

มกราคมที่ปา้ จขุ๊ ายได้กาไรเฉพาะในวันน้นั 340 บาท (O-NET 49)

1. วันที่ 24 2. วนั ที่ 25 3. วันที่ 26 4. วันที่ 27*

วธิ ที า จานวนเงินที่ขายได้กาไรในแตล่ ะวัน เขียนแทนดว้ ยลาดับเลขคณิต ไดด้ งั นี้

100, 110, 120, ...

โดยมี a1  100 , d 10 และ an  340

จาก n  an  a1 1

d

จะได้ n  340 100 1  24

10

ดังนัน้ ป้าจเุ๊ ริ่มขายขนมครกในวันท่ี 3 มกราคม จะไดว้ ่าวนั ทข่ี องเดอื นมกราคมที่
ปา้ จ๊ขุ ายไดก้ าไรเฉพาะในวนั นั้น 340 บาทคือวนั ที่ 27

13. พจนท์ ่ี 16 ของลาดบั เรขาคณิต 1 , 1 , 1 , ... เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี (O-NET 50)

625 125 5 125

1. 25 5 2. 125 3. 125 5 * 4. 625

วิธีทา จากโจทย์พบวา่ a1  1, r  5 และ n 16

625

จากสูตร an  a1r n1

จะได้ a16  a1r15

 1 ( 5)15
625

 125 5

ดงั นน้ั พจนท์ ่ี 16 ของลาดับน้ี คือ 125 5

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 6 เร่ือง ตะลุยโจทยส์ อบเขา้ มหาวิทยาลัย 67

14. กาหนดให้ a1, a2, a3, ... เปน็ ลาดบั เรขาคณติ พจิ ารณาลาดบั สามลาดับตอ่ ไปนี้
(ก) a1  a3, a2  a4, a3  a5, ...
(ข) a1a2, a2a3, a3a4, ...

(ค) 1 , 1 , 1 , ...

a1 a2 a3

ข้อใดตอ่ ไปน้ถี ูก (O-NET 51)

1. ทัง้ สามลาดบั เป็นลาดบั เรขาคณิต* 2. มหี น่ึงลาดับไม่เปน็ ลาดบั เรขาคณิต

3. มสี องลาดบั ไม่เป็นลาดับเรขาคณิต 4. ทั้งสามลาดบั ไมเ่ ป็นลาดบั เรขาคณิต

วิธที า จาก a1, a2, a3, ... เป็นลาดบั เรขาคณติ จะได้ an  a1rn1
(ก) a1  a3, a2  a4, a3  a5, ... เปน็ ลาดับเรขาคณิต เนอื่ งจาก

a1  a3  a1  a1r2  a1(1 r2 )

a2  a4  a1r  a1r3  a1r(1 r2 )

a3  a5  a1r2  a1r4  a1r2 (1 r2 )

ซ่งึ พบว่า a1  a3, a2  a4, a3  a5, ... เปน็ ลาดับเรขาคณิตทีม่ ีอัตราสว่ นร่วม r
(ข) a1a2, a2a3, a3a4, ... เป็นลาดบั เรขาคณติ เนอ่ื งจาก

a1a2  a1a1r  a12r

a2a3  (a1r)(a1r2 )  a12r3

a3a4  (a1r2 )(a1r3)  a12r5

ซงึ่ พบวา่ a1a2, a2a3, a3a4, ... เป็นลาดบั เรขาคณิตทมี่ ีอัตราสว่ นร่วม r2

(ค) 1 , 1 , 1 , ... เป็นลาดับเรขาคณิต เนอ่ื งจาก

a1 a2 a3

1 , 1 , 1 , ...  1 , 1 , 1 , ...
a1 a2 a3 a1 a1r a1r 2

ซึ่งพบวา่ 1 , 1 , 1 , ... เป็นลาดบั เรขาคณิตทมี่ ีอัตราสว่ นรว่ ม 1
a1 a2 a3 r

15. กาหนดให้ a1, a2, a3, ... เป็นลาดับเรขาคณิต โดยท่ี a1  2 และ a3  200 ถ้า a2 คือ

คา่ ในขอ้ ใดข้อหนึง่ ตอ่ ไปนี้แลว้ ข้อดังกลา่ วคอื ขอ้ ใด (O-NET 52)

1. 20 * 2. 50 3. 60 4. 100

วธิ ที า จาก a1, a2, a3, ... เป็นลาดบั เรขาคณติ จะได้ an  a1rn1
ฉะนนั้ a3  a1r2 นนั่ คือ 200  2r2

r 2  100

r  10

ดงั นน้ั a2 a1r  (2)(10)  20 ซึ่งตรงกับข้อ 1.

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 6 เรื่อง ตะลุยโจทยส์ อบเขา้ มหาวิทยาลยั 68

16. ให้ an เป็นลาดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเป็นจานวนเต็มที่ไม่เท่ากับ 1 ถ้า a6 เป็น
จานวนเต็ม และ a6  a9  52 แล้ว a1 มคี ่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี (สมาคมคณิตศาสตรฯ์ 48)

1. 2 * 2.  2 3. 1 4.  1

243 243 81 81

วิธีทา จาก an เป็นลาดบั เรขาคณติ จะได้ an  a1rn1 เมื่อ r  I, r 1
และ a6  a9  52 ฉะน้ัน a1r5  a1r8  52

a1r5 (1 r3)  52

a6 (1 r3)  52( 2 26  413)

เนือ่ งจาก r  I, r 1และ a6 เปน็ จานวนเตม็
พบวา่ เป็นไปได้กรณเี ดยี วคอื r  3 และ a6  2

ดังน้ัน a1  a6  2  2
r5 (3)5 243

17. ถ้าพจน์ท่ี 4 และพจน์ที่ 7 ของลาดับเรขาคณิตเป็น 54 และ 1458 ตามลาดับ แล้ว พจน์

แรกเท่ากับเทา่ ใด (O-NET 56) (2)

วิธีทา จากสูตร an  a1r n1

และ a4  54 และ a7  1458

จะได้ a4  a1r3 หรือ 54  a1r3 (1)
(2)
และ a7  a1r 6 หรือ 1458  a1r6

นา (2)  (1) จะได้ r3  27 นัน่ คือ r  3

แทน r  3 ใน (1) จะได้ a1(27)  54
ดังนน้ั a1  2
18. ให้ x, y, z, w เป็นพจน์ 4 พจน์เรียงกันในลาดับเรขาคณิต โดยที่ x เป็นพจน์แรก ถ้า

y  z  6 และ z  w  12 แล้ว ค่าสัมบูรณ์ของพจน์ท่ี 5 ของลาดับนี้เท่ากับเท่าใด

(ขอ้ สอบเข้ามหาวทิ ยาลัย 41) (48)

วิธที า เนื่องจาก x, y, z, w เปน็ พจน์ 4 พจนเ์ รียงกนั ในลาดบั เรขาคณิต

จากสตู ร an  a1rn1 จะได้ x, xr, xr2, xr3
จาก y  z  6

จะได้ xr  xr2  6 หรอื xr(1 r)  6 (1)

จาก z  w  12

จะได้ xr2  xr3  12 หรอื xr2(1 r)  12 (2)

นา (2) (1) จะได้ r  2 แทน r  2 ใน (1) จะได้ x  3

ดังน้นั | a5 |  | a1r4 |  | 3(2)4 |  48

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 6 เร่อื ง ตะลุยโจทย์สอบเขา้ มหาวิทยาลยั 69

19. กาหนดให้ a, b, c เป็น 3 พจน์เรียงติดกันในลาดับเรขาคณิต และมีผลคูณเป็น 27 ถ้า

a, b  3, c  2 เป็น 3 พจน์เรียงติดกันในลาดับเลขคณิต แล้ว a  b c มีค่าเท่ากับ
เท่าใด (ขอ้ สอบเข้ามหาวทิ ยาลัย 44) (13)
วธิ ที า เนื่องจาก a, b, cเป็น 3 พจน์เรยี งกนั ในลาดับเรขาคณิต

เม่ือมี r เป็นอตั ราส่วนรว่ ม จะได้ b , b, br
r

และมผี ลคณู เปน็ 27 จะได้ b3  27

หรอื b  3

เนื่องจาก a, b  3, c  2 เป็น 3 พจนเ์ รยี งติดกนั ในลาดบั เลขคณติ

จะได้ b  3 a  c  2 b  3

33a  c233

a  c  10

ดังน้นั a  b c 10  3 13

20. ถ้าพจน์ที่ 5 และพจนท์ ี่ 8 ของลาดับเรขาคณิตเป็น 1 และ  1 ตามลาดับแล้วพจน์ท่ี 4

2 16

เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ (O-NET 57)

1. 1* 2.  1 3.  1 4. 1 5. 2
24

วิธที า จากสตู ร an  a1r n1

จาก a5  1
2

จะได้ a5  a1r 4 หรอื 1  a1r 4 (1)
2 (2)

จาก a8  1
16

และ a8  a1r 7 หรือ 1  a1r 7
16

นา (2)  (1) จะได้ r3   1

8

น่ันคือ r   1

2

แทน r   1 ใน (1) จะได้ a1  8

2

ดงั นั้น a4  a1r 3  8   1 3  1
 2 

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 6 เร่อื ง ตะลุยโจทย์สอบเขา้ มหาวทิ ยาลยั 70

21. ถา้ a1, a2, a3, ... เป็นลาดับเรขาคณิต แล้ว ข้อใดผดิ (O-NET 58)
1. 5a1, 5a2, 5a3, ... เป็นลาดบั เรขาคณติ
2. a12, a22, a32, ... เปน็ ลาดบั เรขาคณิต
3. a1, a22, a33, ... เป็นลาดับเรขาคณิต*
4. a1a2, a2a3, a3a4, ... เป็นลาดบั เรขาคณิต

5. a1 , a2 , a3 , ... เปน็ ลาดบั เรขาคณติ

a2 a3 a4

วิธีทา จาก a1, a2, a3, ... เปน็ ลาดบั เรขาคณิต จะได้ an  a1rn1
1. 5a1, 5a2, 5a3, ... เป็นลาดบั เรขาคณติ เนอื่ งจาก

5a1, 5a2, 5a3, ...  5a1, 5a1r, 5a1r2, ...

ซง่ึ พบวา่ 5a1, 5a2, 5a3, ... เปน็ ลาดบั เรขาคณิตทมี่ อี ตั ราสว่ นรว่ ม r
2. a12, a22, a32, ... เป็นลาดบั เรขาคณิต เนื่องจาก

a12, a22, a32, ...  a12, (a1r)2, (a1r2 )2, ...  a12, a12r2, a12r4, ...

ซึง่ พบวา่ a12, a22, a32, ... เปน็ ลาดบั เรขาคณติ ทีม่ อี ัตราสว่ นร่วม r2
3. a1, a22, a33, ... ไมเ่ ปน็ ลาดับเรขาคณติ เนอ่ื งจาก

a1, a22, a33, ...  a1, (a1r)2, (a1r2 )3, ...  a1, a12r2, a13r6, ...

ซึ่งพบวา่ a1, a22, a33, ... ไม่มอี ัตราสว่ นร่วม
4. a1a2, a2a3, a3a4, ... เป็นลาดับเรขาคณติ เนือ่ งจาก

a1a2 , a2a3, a3a4 , ...  a1(a1r), (a1r)(a1r 2 ), (a1r 2 )(a1r3), ...

 a12r, a12r3, a12r5, ...

ซง่ึ พบวา่ a1a2, a2a3, a3a4, ... เปน็ ลาดบั เรขาคณติ ที่มอี ตั ราส่วนรว่ ม r2

5. a1 , a2 , a3 , ... เปน็ ลาดับเรขาคณติ เนื่องจาก

a2 a3 a4

a1 , a2 , a3 , ...  a1 , a1r , a1r 2 , ...
a2 a3 a4 a1r a1r 2 a1r 3

 1 , 1 , 1 , ...
rrr

ซงึ่ พบวา่ a1 , a2 , a3 , ... เปน็ ลาดับเรขาคณิตที่มีอตั ราส่วนร่วม r 1

a2 a3 a4

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 6 เรือ่ ง ตะลุยโจทยส์ อบเข้ามหาวทิ ยาลัย 71
22. พิจารณาลาดับของรปู สเ่ี หล่ียมจัตุรสั ทม่ี ีดา้ นยาวด้านละ 1 หน่วยตอ่ ไปนี้

พน้ื ทีข่ องบรเิ วณแรเงาในรูปที่ 10 มีคา่ เท่ากบั ก่ีตารางหนว่ ย (O-NET 58)

1. 1 2. 1 3. 1 * 4. 1 5. 1

100 256 512 1000 1024

วิธที า จากรูปพบวา่ a1  1, a2  1, a3  1, a4  1
2 4 8

และได้ r  1

2

ดังนั้น a10  a1r 9  (1)( 1 )9  1
2 512

23. ให้ a1, a2, a3, ... เป็นลาดับเลขคณิต และ b1, b2, b3, ... เป็นลาดับเรขาคณิต โดยท่ี

a1  0 และ bn  an  2 สาหรับทุกจานวนนับ n แล้ว b10  3a20  b30 มีค่าเท่ากับข้อ
a1

ใดต่อไปนี้ (สมาคมคณิตศาสตร์ ฯ 46)

1. 1 2. 2 3. 3 * 4. 4

วิธีทา จาก b1, b2, b3, ... เป็นลาดบั เรขาคณติ โดยที่ a1  0 และ bn  an  2
จะได้ a1  2, a2  2, a3  2, ...

ฉะนัน้ a2  2  a3  2 หรอื (a2  2)2  (a3  2)(a1  2)
a1  2 a2  2

(a2  2)2  (a2  d  2)(a2  d  2)

(a2  2)2  (a2  2)2  d 2

d 0

ฉะนนั้ a1, a2, a3, ... เปน็ ลาดับเลขคณิตท่มี ีคา่ กันทุกพจน์
และได้อีกว่า b1, b2, b3, ...  a1  2, a1  2, a1  2, ...

เพราะฉะนนั้ b10  3a20  b30  a1  2  3a1  (a1  2)  3a1  3
a1 a1 a1

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 6 เรือ่ ง ตะลุยโจทย์สอบเข้ามหาวทิ ยาลยั 72

24. ถ้าผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมหนึ่ง คือ Sn  3n2  2 แล้วพจน์ท่ี 10 ของอนุกรมน้ี
มคี า่ เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี (O-NET 49)

1. 57 * 2. 82 3. 117 4. 302

วธิ ีทา เน่ืองจาก an  Sn  Sn1 สาหรบั ทุกจานวนนบั n

ฉะนัน้ a10  S10  S9  (3(10)2  2)  (3(9)2  2)

 302  245  57

ดงั น้นั a10  57

25. กาหนดพจน์ที่ n ของลาดับในรูป an  np  q เมื่อ p, q เป็นจานวนจริง ถ้าผลบวกของ
n 1

10 พจน์แรกมากกว่าผลบวกของ 8 พจน์แรก เป็นจานวนเท่ากับค่าของพจน์ที่ 109 และ

a1  7 แลว้ ค่าของ 3( p  q) มคี ่าเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ (ข้อสอบเขา้ มหาวทิ ยาลัย 20)
6

1. 11* 2. 10 3. 9 4. 8

วธิ ีทา เน่อื งจาก a1  7 จะได้ p  q  7 หรือ p  q  7 (1)
6 26 3

เนอื่ งจาก S10  S8  a109 จะได้ หรือS10  S8  a109 a9  a10  a109

ฉะน้นั 9 p  q  10 p  q  109 p  q
10 11 110

จะได้ 9 p  2q  0 (2)

แกร้ ะบบสมการได้ p   2 และ q  3

3

ดงั นน้ั 3( p  q)  3( 2  3)  11

3

26. กาหนดให้ S {101, 102, 103, ..., 999} ถ้า a เท่ากับผลบวกของจานวนคี่ทั้งหมดใน S

และ b เท่ากบั ผลบวกของจานวนคทู่ ั้งหมดใน S แล้ว b  a มีคา่ เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี

1. 550 * 2. 500 3. 450 4. 450 (O-NET 50)

วิธที า เนื่องจาก a เท่ากับผลบวกของจานวนคท่ี ั้งหมดใน S {101, 102, 103, ..., 999}

จะได้ a 101103105 ...999 ซงึ่ มี 450 พจน์

ฉะนน้ั a  450 [101 999]  450550

2

เน่ืองจาก b เท่ากบั ผลบวกของจานวนคู่ทัง้ หมดใน S {101, 102, 103, ..., 999}

จะได้ b 102 104 106  ...998 ซึง่ มี 449 พจน์

ฉะนัน้ b  449 [102  998]  449550

2

ดงั นน้ั b  a  (449550)  (450550)  550

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 6 เรื่อง ตะลุยโจทย์สอบเขา้ มหาวทิ ยาลยั 73

27. กาหนดให้ a1, a2, a3, ... เป็นลาดบั เลขคณิต ถา้ a1  a5  a9  a13  220

แลว้ a1  a7  a13 มคี ่าเทา่ กับข้อใด (โควตา มช. 45)

1. 55 2. 110 3. 135 4. 165*

วิธีทา เนอื่ งจาก a1, a2, a3, ... เปน็ ลาดับเลขคณติ และ an  a1  (n 1)d
จาก a1  a5  a9  a13  220
จะได้ a1  (a1  4d)  (a1  8d)  (a1 12d)  220

4a1  24d  220

a1  6d  55 (1)

ฉะนั้น a1  a7  a13  a1  (a1  6d)  (a1 12d)

 3a1 18d

 3(a1  6d )

 3(55)  165

28. กาหนดให้ a1, a2, a3, ..., a97 เปน็ ลาดับเลขคณิต ซึง่ มี d เปน็ ผลตา่ งรว่ ม และ

a1  a3  a5 ... a97  a2  a4  a6 ... a96 แลว้ a51 มคี า่ เท่ากบั ขอ้ ใด

1. d 2. d 3. 2d 4. 2d * (สมาคมคณติ ศาสตรฯ์ 48)

วธิ ที า เนือ่ งจาก a1, a2, a3, ..., a97 เปน็ ลาดับเลขคณติ ซึง่ มี d เป็นผลตา่ งร่วม

จาก a1  a3  a5  ...  a97  a2  a4  a6  ... a96

จะได้ a97  (a2  a1)  (a4  a3)  (a6  a5) ... (a96  a95) ซง่ึ มี 48 พจน์

ฉะนั้น a97  48d นนั่ คือ a1  96d  48d หรอื a1  48d

เพราะฉะน้ัน a51  a1  50d  48d  50d  2d

29. ถ้า a1, a2, a3, ... เปน็ ลาดบั เลขคณติ ซ่งึ a2  a3 ... a9 100

แล้ว S10  a1  a2  a3 ... a10 มคี ่าเท่ากบั ข้อใด (O-NET 51)

1. 120 2. 125* 3. 130 4. 135

วธิ ีทา เนือ่ งจาก a1, a2, a3, ... เปน็ ลาดับเลขคณติ และ a2  a3  a4  ... a9 100
จะได้ (a1  d)  (a1  2d)  (a1  3d)  ... (a1  8d) 100

8a1  36d  100

2a1  9d  25 (*)

ฉะนน้ั S10  a1  a2  a3  ... a10  a1  (a2  a3  a4  ... a9)  a10

 a1  a10  (a2  a3  a4  ...  a9 )

 a1  (a1  9d ) 100

 (2a1  9d) 100  25 100  125

ดงั นัน้ S10 125

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 6 เรอ่ื ง ตะลุยโจทยส์ อบเขา้ มหาวทิ ยาลัย 74

30. ถ้า a1, a2, a3, ... เป็นลาดับเลขคณิต ซึ่ง 5a51  a53 16 แล้ว a1  a2  a3 ... a100
มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใด (สมาคมคณติ ศาสตร์ 46)

1. 200 2. 400 * 3. 600 4. 800

วิธีทา เนอ่ื งจาก a1, a2, a3, ... เปน็ ลาดับเลขคณิต และ 5a51  a53 16

จะได้ 5(a1  50d)  (a1  52d) 16 หรอื 4a1 198d 16

ฉะนนั้ 2a1  99d  8

ดงั นั้น a1  a2  a3  ... a100  100  99d ]  100 (8)  400
2 [2a1 2

31. กาหนดให้ Sn เป็นผลบวก n พจน์แรกของลาดับเลขคณิต a1, a2, a3, ... ถ้า S5  90

และ S10  5 แล้ว a11 มีค่าเท่ากับขอ้ ใดต่อไปน้ี (O-NET 54)

1. 39 2. 38 * 3. 37 4. 36

วิธีทา เนอ่ื งจาก a1, a2, a3, ... เปน็ ลาดับเลขคณิต S5  90 และ S10  5

จาก Sn  n 2a1  n 1 d 
2

จะได้ S5  5 2a1  4d   5a1 10d  90 หรอื a1  2d 18 (1)
2

และ S10  10 2a1  9d   10a1  45d 5 หรอื 2a1  9d 1 (2)
2

นา (2)  2(1); 5d  35 หรอื d  7

แทน d  7 ใน (1) ได้ a1  32

ดังนนั้ a11  a1 10d  32 10(7)  38

32. ลาดบั เลขคณติ ชดุ หนึ่งมีทกุ พจน์เป็นจานวนเต็มบวก ถ้าผลบวก 9 พจน์แรกมีค่าเท่ากับพจน์

ท่ี 43 ของลาดับ และพจน์ที่ 5 มีค่าน้อยกว่า 20 แล้วพจน์ท่ี 15 มีค่าเท่ากับข้อใด

(สมาคมคณิตศาสตรฯ์ 49) (59)

วธิ ีทา เน่ืองจากผลบวก 9 พจน์แรกมคี า่ เทา่ กับพจน์ที่ 43 ของลาดบั ลาดับเลขคณิต

จะได้ 9 2a1  8d   a1  42d นน่ั คือ 4a1  3d
2

เนอื่ งจากลาดบั เลขคณิตนี้มที กุ พจน์เปน็ จานวนเตม็ บวก

ฉะนน้ั d  4 a1 แสดงวา่ a1 ตอ้ งหารดว้ ย 3 ลงตวั
3

ถ้า a1  3 จะได้ d  4 และลาดบั เลขคณติ เป็น 3, 7, 11, 15, 19, 23, ...

ซึ่งพบว่าตรงตามเง่ือนไข “พจน์ที่ 5 มีค่าน้อยกว่า 20 ” แต่ถ้า a1  6 หรือ

มากกวา่ น้ัน จะทาให้ d มากดว้ ย และพจน์ที่ 5 มคี ่ามากกวา่ 20

สรุปลาดบั เลขคณิตนส้ี ามารถเป็น 3, 7, 11, 15, 19, 23, ... เพยี งแบบเดียวเท่านน้ั

ดังนนั้ a15  a1 14d  314(4)  59

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 6 เร่ือง ตะลุยโจทย์สอบเขา้ มหาวทิ ยาลัย 75

33. ถ้าผลบวกของส่ีพจนแ์ รกของลาดับเลขคณิตลาดบั หนึ่งเท่ากับ 44 และอัตราส่วนระหว่างผล

คูณของพจน์ท่ีหนึ่งกับพจน์ท่ีสี่ และผลคูณของพจน์ที่สองกับพจน์ที่สามเท่ากับ 5 แล้ว ผล

14

คูณของสพ่ี จน์น้ันเท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี (สมาคมคณิตศาสตรฯ์ 43)
1. 4580 2. 4480 * 3. 4380 4. 4280
วิธที า ให้ 4 พจนแ์ รกของลาดบั เลขคณิต เขียนแทนดว้ ย a 3d, a  d, a  d, a  3d

จากผลบวกของส่พี จน์แรกของลาดับเลขคณิตนีเ้ ท่ากบั 44
จะได้ 4a  44 นั่นคือ a 11
และจากอัตราส่วนระหว่างผลคูณของพจน์ที่หน่ึงกับพจน์ท่ีส่ี และผลคูณของพจน์ท่ี

สองกับพจนท์ ่ีสามเท่ากบั 5 จะได้ (a  3d)(a  3d)  5
(a  d)(a  d) 14
14

14(a2  9d 2 )  5(a2  d 2 )

9a2  121d 2

แทนคา่ a 11 จะได้ d 2  9
ดงั นน้ั (a  3d)(a  d)(a  d)(a  3d)  (a2  9d 2)(a2  d 2)

 (121 81)(121 9)

 4480

34. ในลาดับเลขคณิตท่ีมีผลต่างร่วมเป็นบวก ถ้าผลบวกของพจน์ท่ี 1 กับพจน์ท่ี 7 มีค่าเท่ากับ

26 และผลคูณของพจน์ท่ี 2 กับพจน์ที่ 6 มีค่าเท่ากับ 69 แล้วผลบวก 6 พจน์แรกของ

ลาดับนี้มคี ่าเท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (สมาคมคณิตศาสตร์ฯ 47)

1. 69 2. 67 3. 65 4. 63*

วธิ ที า เนือ่ งจากลาดับเลขคณติ ท่ีมผี ลตา่ งร่วมเปน็ บวก

และผลบวกของพจน์ที่ 1 กับพจนท์ ี่ 7 มคี ่าเทา่ กับ 26 จะได้ a1  a7  26

ฉะนนั้ 2a1  6d  26 นน่ั คือ a1  3d 13 (1)

และจากผลคณู ของพจน์ท่ี 2 กับพจน์ท่ี 6 มคี ่าเท่ากับ 69 จะได้ a2a6  69

ฉะนนั้ (a1  d)(a1  5d)  69

นน่ั คือ (a1  3d  2d)(a1  3d  2d)  69

(13  2d )(13  2d )  69

169  4d 2  69

d2 5

d 5

แทน d 5 ใน (1) ได้ a1  2 และจาก Sn  n 2a1  (n 1)d 
2

ดังนน้ั ผลบวก 6 พจน์แรกของลาดบั นี้เทา่ กับ 6 2(2)  5(5)  63

2

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 6 เร่อื ง ตะลุยโจทยส์ อบเข้ามหาวทิ ยาลัย 76

35. ให้ 5, x, 20, ... เป็นลาดับเลขคณิตท่ีมีผลบวก 12 พจน์แรกเป็น a และ 5, y, 20, ...

เป็นลาดับเรขาคณิตท่ีมีพจน์ท่ี 6 เป็น b โดยที่ y  0 แล้ว a  b มีค่าเท่ากับข้อใด

ตอ่ ไปนี้ (ข้อสอบเขา้ มหาวทิ ยาลยั ต.ค.43)

1. 205 2. 395 * 3. 435 4. 845

วธิ ีทา เน่อื งจาก 5, x, 20, ... เปน็ ลาดบั เลขคณติ

จะได้ d  x 5  20  x

ฉะนั้น x 12.5

และได้วา่ d 12.5  5  7.5

และได้ว่า a  S12  12 2(5) 11(7.5)  555

2

เน่ืองจาก 5, y, 20, ... เปน็ ลาดับเรขาคณิต

จะได้ r  y  20

5y

และ y  0 ฉะน้ัน y  10

และได้ว่า r  2

และได้ว่า b  a6  a1r5  5(2)5  160

ดังนั้น a  b  555 160  395

36. ผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตอนุกรมหน่ึงเท่ากับ 430 ถ้าพจน์ท่ี 10 ของ

อนุกรมน้คี ือ 79 แล้วผลบวก 3 พจน์แรกมคี ่าเทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (ข้อสอบเขา้ มหาวทิ ยาลยั ต.ค.34)

1. 44 2. 45 * 3. 46 4. 47

วิธที า เน่ืองจาก ผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตอนุกรมหนง่ึ เท่ากบั 430

จะได้ S10  10 a1  a10   430
2

นน่ั คือ a1  a10  86 (1)

จากโจทย์ a10  79

แทนใน (1) ได้ a1  7

ฉะนั้น 79  a10  a1  9d  7  9d

น่ันคอื d  8

ดังนั้น ผลบวก 3 พจนแ์ รก เท่ากับ 7 15 23  45

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 6 เรอื่ ง ตะลุยโจทยส์ อบเขา้ มหาวทิ ยาลยั 77

37. กาหนดให้ n เปน็ จานวนเต็มท่ีทาให้ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ

7 15 23... มคี า่ เทา่ กบั 217 แลว้ 2n  2n1  ...  22n มคี า่ เท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้
28

1. 127 2. 127.5* 3. 128 4. 128.5 (ขอ้ สอบเขา้ มหาวิทยาลยั มี.ค.44)

วธิ ีทา จากสตู รผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณติ เทา่ กับ Sn  n  2a1  (n 1)d 
2

จะได้ 217  n 2(7)  (n 1)(8)  n 8n  6  n4n  3

22

4n2  3n  217  0

(4n  31)(n  7)  0

n  7,  31
4

แต่ n เปน็ จานวนเต็ม ฉะนน้ั n  7
ดงั น้นั 2n  2n1  ...  22n  27  28  29  ...  214

28 28
 1 1 2  22  ...  26
2
1 (28 1)
 2  127.5
2 1

38. ให้ a เป็นจานวนจริง กาหนดพจน์ท่ี n ของอนุกรม คือ 1 (n  2) a ถ้าพจน์ที่ m คือ

1 a

1 38 a แล้ว ผลบวก m พจน์แรกของอนุกรมนี้มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปน้ี (ข้อสอบเข้า

1 a

มหาวทิ ยาลัย ต.ค.42)

1. 40  740 a * 2. 40  790 a 3. 20  720 a 4. 20  760 a

1a 1a 1a 1a

วิธที า เน่ืองจาก an  1 (n  2) a และ am  1 38 a
1 a 1 a

ฉะน้ัน m  2  38

น่นั คอื m  40

และเม่อื สังเกตรปู แบบของรูปท่ัวไป an  1 (n  2) a
1 a

พบว่าอนกุ รมน้ีเปน็ อนกุ รมเลขคณิตท่ีมี a1  1 a และ d a
1 a 1 a

และจาก Sn  n  a1  an  จะได้
2

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 6 เร่อื ง ตะลุยโจทยส์ อบเข้ามหาวทิ ยาลัย 78

จะได้ S40  40 a1  a40  40 1 a  1 38 a 
2 2  1 a 1 a 

  2  37 a  40  740 a
20  1 a   1 a

ดังนั้น ผลบวก m พจนแ์ รกของอนกุ รมน้มี ีค่าเทา่ กบั 40  740 a

1 a

39. นายแดงนาเงินไปฝากธนาคารออมสิน โดยฝากเดือนแรก 100 บาท เดือนต่อไปฝากเพ่ิมขึ้น

เดือนละ 5 บาท ทุกเดือน เม่ือครบ 2 ปี นายแดงนาเงินไปฝากทั้งหมดเท่าใด (ข้อสอบเข้า

มหาวิทยาลยั 48) (3,780)

วิธที า จากโจทย์เขยี นแทนดว้ ยอนกุ รมเลขคณติ ได้ดังนี้ 100105110...

โดยท่ี a1 100 และ d  5

ตอ้ งการหา S24 จาก Sn  n  2a1  (n 1)d 
2

จะได้ S24  24 2(100)  23(5)  12315  3, 780
2

ดงั นั้น เม่ือครบ 2 ปี นายแดงนาเงนิ ไปฝากทั้งหมด 3,780 บาท

40. เกษตรกรคนหนึ่งซ้ือรถกระบะโดยผ่อนชาระเป็นเวลา 4 ปี ทางผู้ขายกาหนดให้ผ่อนชาระ

เดือนแรก 5,500 บาท และเดือนถัด ๆ ไปให้ผ่อนชาระเพิ่มขึ้นทุกเดือน ๆ ละ 400 บาท

จนครบกาหนด ถ้า x คือจานวนเงนิ ที่เขาต้องชาระในเดือนสุดท้าย และ y คือจานวนเงินที่

เขาชาระไปใน 2 ปีแรก (หนว่ ย : บาท) แล้วข้อใดถกู (O-NET 56)

1. x  24,300 และ y  242,300 2. x  24,300 และ y  242, 400 *

3. x  24, 400 และ y  242, 400 4. x  24, 400 และ y  243,900

5. x  24,900 และ y  243,900

วิธีทา เน่ืองจากจานวนเงินผา่ นชาระสามารถเขียนเปน็ อนกุ รมเลขคณิต ดงั นี้

5500  5900  6300 ...

และได้ว่า a1  5500 และ d  400
เนอ่ื งจาก x คอื จานวนเงนิ ที่เขาตอ้ งชาระในเดือนสดุ ทา้ ย จะหา x  an เมอ่ื n  48

จากสตู ร an  a1  (n 1)d

จะได้ x  a48  a1  47d  5500  47(400)  24,300

เน่ืองจาก y คอื จานวนเงินท่ีเขาชาระไปใน 2 ปีแรก จะหา y  Sn เมอื่ n  24

และจาก Sn  n 2a1 n 1 d 
2

จะได้ y  S24  24 2  5500  23(400)  242, 400
2

ดังนัน้ x  24,300 และ y  242, 400

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 6 เรื่อง ตะลุยโจทย์สอบเข้ามหาวทิ ยาลยั 79

41. ซุงกองหนึ่งวางเรียงซ้อนกันเป็นช้ัน ๆ โดยชั้นบนจะมีจานวนน้อยกว่าชั้นล่างท่ีอยู่ติดกัน 3

ต้นเสมอ ถา้ ชัน้ บนสดุ มี 49 ตน้ และชนั้ ล่างสุดมี 211 ตน้ แลว้ พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้

ก. ซงุ กองนม้ี ี 56 ชนั้

ข. ช้ันท่ี 8 (นบั จากบนลงลา่ ง) มีซุง 70 ตน้

ค. ซงุ กองน้มี ที ้งั หมด 7,150 ตน้

ข้อใดต่อไปนี้ถูกตอ้ ง (O-NET 57)

1. ก., ข. และ ค. ถกู 2. ข. ถกู แต่ ก. และ ค. ผดิ

3. ค. ถกู แต่ ก. และ ข. ผิด 4. ก. และ ค. ถกู แต่ ข. ผิด

5. ข. และ ค. ถกู แต่ ก. ผิด*

วธิ ที า เนอ่ื งจากจานวนซงุ สามารถเขียนเปน็ อนกุ รมเลขคณิต ดงั น้ี

49  52  55 ... 211

และได้วา่ a1  49, d  3 และ an  211

หาจานวนชั้น จากสูตร n  an  a1 1

d

จะได้ n  211 49 1  55 ฉะนน้ั ซงุ กองนม้ี ี 55 ชัน้ นั่นคอื ก. ผดิ

3

หา a8 จากสูตร an  a1  (n 1)d

จะได้ a8  a1  7d  49  7(3)  70
ฉะนน้ั ชนั้ ท่ี 8 (นบั จากบนลงลา่ ง) มีซงุ 70 ตน้ นัน่ คอื ข. ถูก

หา Sn เม่อื n  55 จากสูตร Sn  n a1  an 
2

จะได้ S55  55 49  211  55130  7,150

2

ฉะนนั้ ซุงกองน้ีมที ัง้ หมด 7,150 ตน้ นน่ั คอื ค. ถูก

เพระฉะนั้น ข. และ ค. ถูก แต่ ก. ผิด*

42. ถ้าผลบวกของ 50 พจน์แรกของลาดับเลขคณิตเท่ากับ 200 และผลบวกของ 50 พจน์

ถัดไปเท่ากบั 2700 แลว้ พจน์แรกมคี า่ เท่ากบั เท่าใด (ทนุ เลา่ เรยี นหลวง (กพ.) 39)

1. 45 2. 45 3. 20.5 * 4. 20.5 5. 21.5

วธิ ที า จากสตู ร Sn  n  a1  an 
2

จากโจทย์ ผลบวกของ 50 พจนแ์ รกของลาดับเลขคณติ เท่ากบั 200

จะได้ S50  50 a1  a50   200
2

นนั่ คอื a1  a50  8 หรือ 2a1  49d  8 (1)

จากโจทย์ ผลบวกของ 50 พจน์ถดั ไปของลาดบั เลขคณติ เท่ากับ 2700

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 6 เร่อื ง ตะลุยโจทย์สอบเขา้ มหาวิทยาลยั 80

จะได้  S50 50  2700
 2 a51  a100

น่ันคือ a51  a100 108 หรอื 2a1 149d 108 (2)
นา (2)  (1); 100d 100 หรือ d 1

แทน d 1 ใน (1) ได้ a1  20.5
ดังนน้ั พจน์แรกมคี า่ เท่ากับ 20.5

43. ถ้าอนุกรมเลขคณิตมีพจน์แรกเป็น 8 และมีผลบวกของ 50 พจน์แรกเป็น 3275 แล้ว

ผลต่างรว่ มมคี ่าเทา่ กับเท่าใด (O-NET 57) (3)

วิธที า โจทย์กาหนด a1  8 และ S50  3275 ต้องการหา d

จากสตู ร Sn  n  2a1  (n 1)d 
2

จะได้ S50  50 2(8)  49d   3275
2

2(8)  49d  131

d 3

ดงั น้นั ผลต่างร่วมมคี า่ เท่ากบั 3

44. ถ้าอนุกรมเลขคณิตมีผลบวก 9 พจน์แรกเป็น 261 และพจน์ที่ 9 ของอนุกรมน้ีคือ 61

แลว้ ผลบวก 4 พจน์แรกของอนกุ รมน้ีมีค่าเทา่ ใด (O-NET 58)

1. 21 2. 27 3. 32 4. 36 * 5. 39

วธิ ีทา โจทยก์ าหนด S9  261 และ a9  61 ต้องการหา S4

จากสูตร Sn  n a1  an  จะได้ S9  9 a1  a9   261
2 2

9  a1  61  261
2

และจากสตู ร an  a1  (n 1)d a1  3

จะได้ a9  a1  8d

61  3  8d

d 8

จากสูตร Sn  n  2a1  (n 1)d  จะได้ S4  4 2(3)  3(8)  36
2 2

ดงั นน้ั ผลบวก 4 พจนแ์ รกของอนกุ รมนม้ี ีค่าเท่ากับ 36

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 6 เรื่อง ตะลุยโจทย์สอบเข้ามหาวทิ ยาลยั 81

45. ถา้ x  2  x  4  x  6 ... 2  6 แลว้ x มีคา่ เทา่ กบั เท่าใด (โควตา มช. 43) (26)
xxx x

วิธที า จากโจทย์กาหนด x  2  x  4  x  6 ... 2  6 เขียนใหม่ไดด้ งั น้ี
xxx x

2  4  6  ... x  6  x  4  x  2  6
xxx xxx

2  4  6  ... (x  6)  (x  4)  (x  2)  6x

x2 พจน์
2

ซ่งึ พจน์ทางซา้ ยมือเปน็ อนกุ รมเลขคณิตทมี่ ี a1  2, d 2 และ n2 พจน์
2

จากสตู ร Sn  n  a1  an  จะได้ x  2 (2  (x  2))  6x
นัน่ คือ 2
4

x  26

46. กาหนดให้ log x, log(x  2), log(x 16) เป็นสามพจน์ท่ีเรียงกันของลาดับเลขคณิต ถ้า

a10 เป็นพจน์ที่ 10 และ S10 เป็นผลบวก 10 พจน์แรกของลาดับนี้ แล้วข้อใดถูก (ข้อสอบ
เข้ามหาวทิ ยาลยั ต.ค.45)

1. a10  9log 5 8log 3, S10  5[9log 5  7 log 3]
2. a10  9log 5 8log 3, S10  5[9log 7  2log 3]
3. a10  9log 7  log 3, S10  5[9log 5  7 log 3]
4. a10  9log 7  log 3, S10  5[9log 7  2log 3] *
วิธที า เนื่องจาก log x, log(x  2), log(x 16) เป็นของลาดบั เลขคณิต จะได้

log(x  2)  log x log(x 16) log(x  2)

หรอื log( x  2)  log( x 16) หรอื x  2  x 16
x x2
นั่นคอื x x2

และ x  1 และไดว้ ่า a1  log(1)   log 3
ดังน้นั 3
และ 3

d  log(7)  log(1)  log 7
33

a10   log 3  9log 7  9log 7  log 3

S10  10 [2log 3  9log 7]  5(9log 7  2log 3)
2

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 6 เร่อื ง ตะลุยโจทยส์ อบเข้ามหาวิทยาลัย 82

47. ถา้ a เป็นจานวนจริงลบ และ a20  2a 3  0 แลว้ 1 a  a2 ... a19 มีค่าเท่ากับข้อ
ใดต่อไปน้ี (O-NET 49)

1. 2 * 2. 3 3. 4 4. 5

วธิ ที า เน่อื งจาก 1 a  a2 ... a19 เป็นอนุกรมเรขาคณิต

ท่ีมี a1 1, r  a และ n  20 และจาก Sn  a1(1 rn )
1 r

จะได้ S20  a1(1 r20 )  1(1 a20 ) (*)
1 r 1 a (**)
และจาก
จะได้ a20  2a  3  0

a20  3  2a

จาก (**) และ (*) จะได้ S20  1 (3  2a)  2  2a
1 a 1 a

 2(1 a)  2
1 a

ดงั น้ัน 1 a  a2 ... a19  2
48. กาหนดให้ Sn เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต ซึ่งมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 2

ถา้ S10  S8  32 แลว้ พจนท์ ่ี 9 ของอนกุ รมนเ้ี ทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ (O-NET 51)

1. 16 2. 20 3. 26 4. 32 *

3 3 3 3

วธิ ที า จากโจทย์ r 2 และ S10  S8  32 และจาก Sn  a1(rn 1)
r 1

จะได้วา่ a1(210 1)  a1(28 1)  32 หรือ 1023a1  255a1  32
21 21

768a1  32

a1  32  1
768 24

จาก an  a1rn1 จะได้ a9  a1r 8  1 (28 )  256  32
24 24 3

ดังน้นั พจน์ที่ 9 ของอนุกรมนีเ้ ทา่ กับ 32

3

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 6 เรอื่ ง ตะลุยโจทย์สอบเขา้ มหาวิทยาลยั 83

49. ข้อใดต่อไปนีเ้ ปน็ อนกุ รมเรขาคณติ ทม่ี ี 100 พจน์ (O-NET 52)

1. 1 3 5  ... 2n 1 ...199 2. 1 1  1  ... 1  ... 1
35 2n 1 199

3. 1 2  4  ...  2n1  ...  2199 4. 1 1  ...  1  ...  1 *
5 125 52n1 5199

วิธีทา 1. 1 3 5 ... 2n 1 ...199 เป็นอนกุ รมเลขคณติ ทม่ี ี d  2

และมีจานวนพจน์ 199 1 1 100 พจน์

2

2. 1 1  1  ... 1  ... 1 เปน็ ไมอ่ นุกรมเลขคณิตและอนกุ รมเรขาคณิต

3 5 2n1 199

3. 1 2  4  ... 2n1  ...  2199 เป็นอนกุ รมเรขาคณิตมี r  2

และหาจานวนพจน์ไดจ้ าก an  a1rn1 น่นั คือ 2199  2n1หรือ n  200 พจน์

4. 1 1  ...  1  ...  1 เปน็ อนุกรมเรขาคณติ มี r  1 และหาจานวน
5 125 52n1 5199
25

พจน์ได้จาก an  a1rn1 นน่ั คือ 1  1 1 n1  1 หรอื n 100 พจน์
5199 5  25  52n1

50. ผลบวกของอนกุ รมเรขาคณติ 1 2  4  8 ... 256 มคี ่าเทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี

(O-NET 54) (171)

วธิ ีทา อนกุ รมที่กาหนดให้มี a1 1, r  2 และ an  256 จะหาจานวนพจน(์ n )ไดด้ ังนี้

จาก an  a1rn1 จะได้ 256  (1) 2 n1

(2)8  (2)n1

n9

จาก n9 หาผลบวก 1 2  4  8  ... 256 ไดจ้ าก Sn  a1(1 rn )
1 r

จะได้ S9  (1) 1 (2)9   513  171
1 (2) 3

ดงั น้ัน ผลบวกของอนกุ รมเรขาคณติ 1 2  4  8 ... 256 คือ 171

51. ถ้า n เป็นจานวนเต็มบวก ซ่ึงทาให้ ถ้า 1 log 2 2  log3 2 2  ... logn 2 2  n2  21
แลว้ 1 2  22 ... 2n เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี (ขอ้ สอบเข้ามหาวทิ ยาลยั 36)

1. 63 2. 127 3. 255 * 4. 511

วิธที า จาก 1 log 2 2  log3 2 2  ...  logn 2 2  n2  21
จะได้
1 2  3  ...  n  n2  21 (logn k k  log 1 k  n logk k  n)
kn

น่ันคอื n(n 1)  n2  21

2

หรือ n2  n  42  0

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 6 เรอื่ ง ตะลุยโจทย์สอบเข้ามหาวทิ ยาลยั 84

(n  7)(n  6)  0

n  7, 6

แต่ n เปน็ จานวนเต็มบวก ฉะนน้ั n  7

ดงั นั้น 1 2  22  ...  2n  1 2  22  ...  27  (1)(28 1)  255

2 1

52. ให้ an เป็นลาดบั เรขาคณิตของจานวนจรงิ บวก ซง่ึ มี a2  a3  a4  a5  5 และ
8

a4  a5  a6  a7 5 แล้ว a1  a2  a3  ...  a9 มีคา่ เท่ากับข้อใดตอ่ ไปนี้
32

1. 511 * 2. 511 3. 513 4. 513 (สมาคมคณติ ศาสตรฯ์ 49)

128 384 128 384

วิธที า จาก a2  a3  a4  a5  5 จะได้ a1r  a1r2  a1r3  a1r4  5
8 8

a1r (1  r  r 2  r 3 )  5 (1)
8

จาก a4  a5  a6  a7  5 จะได้ a1r 3  a1r 4  a1r 5  a1r 6  5
32 32

a1r 3 (1  r  r2  r3)  5 (2)
32

นา (2)  (1); r2  1 ฉะนน้ั จากโจทย์ได้ r1
2
4

แทน r1 ใน (1) จะได้ a1  1  (1 1  1  1)  5 หรือ a1  2
2  2  2 4 4 8 3

2    1 9 
3 1  2  
ดงั น้นั a1  a2  a3  ...  a9     4 1 1  511
3 512  384
1 1
2

53. ถ้า a1, a2, a3, ... เป็นลาดับเรขาคณิตซ่ึงมี n พจน์ โดยที่ a3  3 และผลบวกของ 3
พจน์สุดท้ายเป็น 3 เท่าของผลบวกของ 3 พจน์แรก แล้ว an เท่ากับเท่าใด (ทุนเล่าเรียน
หลวง (กพ.) 43) (9)

วธิ ีทา เนือ่ งจากผลบวกของ 3 พจนส์ ดุ ท้ายเป็น 3 เทา่ ของผลบวกของ 3 พจน์แรก

จะได้ an2  an1  an  3(a1  a2  a3)

a1rn3  a1rn2  a1rn1  3(a1  a1r  a1r2 )

a1rn3 (1 r  r2 )  3a1(1 r  r2 )

rn3  3

และจากโจทย์ a3  3 จะได้ a1r2  3
ดงั นั้น an  a1rn1  (a1r2 )rn3  33  9

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 6 เร่อื ง ตะลุยโจทย์สอบเขา้ มหาวิทยาลยั 85

54. ถ้า a1, a2 , a3 , ... เป็นลาดบั เรขาคณิตซง่ึ มี a1 2 และ a4  1
4

แล้ว 1  1  1  ... 1 เทา่ กบั เทา่ ใด (O-NET 58) (511.5)
a1 a2 a3 a10

วธิ ีทา โจทย์กาหนด a1 2 และ a4  1 จาก an  a1r n1
4

จะได้ a4  a1r3 หรือ 1  2r3 น่ันคือ r  1

4 2

ฉะนน้ั 1  1  1  ... 1  1  1  1  ... 1
a1 a2 a3 a10 a1 a1r a1r 2 a1r 9

 1 1  1  1  ...  1    1  1  1 10 
a1 r r2 r9   a1  r  1



1 1
r

  1   210 1  1023  511.5
 2  2 1 2

55. ให้ an เป็นพจนท์ ี่ n ของลาดบั เรขาคณิต โดยมี r เป็นอตั ราสว่ นรว่ ม

ถา้ a1  a2  a3  ... an  2n แล้ว r เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้
a1  a2 a2  a3 a3  a4 an  an1

1.  1 * 2. 1 3. 2 4. 2 (ข้อสอบเขา้ มหาวทิ ยาลัย 38)
22

วิธที า จาก an เป็นพจนท์ ่ี n ของลาดบั เรขาคณติ โดยมี r เป็นอตั ราสว่ นร่วม

จะได้ an  a1r n1 และจาก a1  a2  a3  ...  an  2n
 a2  a3 a3  a4 an  an1
a1 a2

จะได้ a1  a1r  a1r 2  ...  a1r n1  2n
a1  a1r a1r  a1r 2 a1r 2  a1r3 a1r n1  a1r n

a1  a1r  a1r 2  ...  a1r n1  2n
a1  a1r a1r  a1r 2 a1r 2  a1r 3 a1r n1  a1r n

1  1  1  ...  1  2n
1 r 1 r 1 r 1 r

n term

n  2n
1 r

1 2
1 r

ดงั นนั้ r   1

2

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 6 เรือ่ ง ตะลุยโจทย์สอบเขา้ มหาวิทยาลยั 86

56. ให้ an n สาหรับ n เป็นจานวนค่ี และ an n สาหรับ n เป็นจานวนคู่ แล้ว

 22

a1  a2  a3 ... a100 มคี า่ เทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี เมอื่ กาหนดให้ 225  x (พืน้ ฐานวศิ วะฯ 39)

1. 2500  2(x2 1) * 2. 2500  2(x4 1)

3. 5050  2(x2 1) 4. 5050  2(x4 1)

วธิ ีทา จาก an  n สาหรบั n เป็นจานวนค่ี

และ n สาหรับ n เปน็ จานวนคู่

an  22

ฉะนน้ั a1  a2  a3  ... a100  1 21  3  22  ... 99  250

 (1 3  5  99)  (21  22  23  ...  250 )

 50 (1 99)  2(250 1)
2 21

 2,500  2(250 1)

 2,500  2(x2 1)

57. ให้ an เป็นลาดับของจานวนจริงบวกที่สอดคล้องสมการ (an )logan  (a ) ,logan1 n 1
n1

โดย a1  8 และ a2 16 แลว้ log2 a2558 มีคา่ เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ (สมาคมคณติ ศาสตรฯ์ 44)

1. 4  3 2558 * 2. 4  3 2557 3. 3  4 2557 * 4. 3  4 2558
 4   4   3   3 

วธิ ีทา จาก (an )logan  (an1)logan1 , n 1 ใส่ log ทัง้ สองข้าง จะได้

(log an )(log an )  (log an1)(log an1)

จะได้ log an1  log an สาหรับทกุ n 1

log an log an1

นัน่ คอื อัตราส่วนของ log ของพจนต์ ดิ กันมคี า่ เทา่ กนั แสดงวา่ ลาดับ log an เป็น
ลาดบั เรขาคณติ

จากโจทย์ a1  8 และ a2 16
จะได้ log a1  log8  3log 2 และ log a2  log16  4log 2

และได้ว่าอัตราส่วนเปน็ log a2  log16  4log 2  4

log a1 log 8 3log 2 3

และได้วา่ log a2558  (log 8)  4 2557
 3 

ดังนั้น (log 8)  4 2557  4 2557
 3   3 
log2 a2558   3
log 2

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 6 เรือ่ ง ตะลุยโจทยส์ อบเขา้ มหาวทิ ยาลัย 87

58. ให้ S  (1 1 )  (1 1  1 )  ...  (1 1  1  ...  1 ) ถ้าเขียน S  AB เมื่อ
2 2 22 2 22 2100

A เป็นจานวนเตม็ และ 0  B 1 แลว้ A มีคา่ เทา่ กับเท่าใด (สมาคมคณติ ศาสตร์ฯ 44) (199)

วิธีทา พจิ ารณา S1  1 1  3  2  1
2 2 2

S2 1 1 1  7  2 1  2 1
2 22 4 4 22

S100 1 1  1  ...  1 2 1
2 22 2100 2100

ดงั นัน้ S  (1 1)  (1 1  1 )  ... (1 1  1  ... 1 )
2 2 22 2 22 2100

 (2  1 )  (2  1 )  ...  (2  1 )
2 22 2100

 200  (1  1  ...  1 )
2 22 2100

 200  1   1 100 
2 1   2  
 

1 1
2

 200     1 100 
1  2  
 

 199   1 100 , 0   1 100  1
 2   2 

เพราะฉะนั้น A 199

59. ให้ A เป็นลาดับเลขคณิตท่ีมีพจน์แรกเท่ากับ 5 และ B เป็นลาดับเลขคณิตท่ีมีพจน์ที่สาม

เท่ากับ 6 ถ้าผลบวกระหว่างพจน์ท่ี 5 ของท้ังสองลาดับเท่ากับ 35 และผลบวกระหว่าง

พจน์ท่ี 7 ของทั้งสองลาดบั เทา่ กบั 49 แล้วผลบวกระหว่างพจน์ที่ n ของทั้งสองลาดับมีค่า

เทา่ กบั เท่าใด ( 7n )

วธิ ีทา ให้ A เป็นลาดับเลขคณติ a1, a2, a3, ... ที่มผี ลต่างรว่ มเปน็ d1

และ B เป็นลาดบั เลขคณิต b1, b2, b3, ... ทมี่ ผี ลตา่ งร่วมเปน็ d2

จากโจทยจ์ ะได้ a1  5, b3  6, a5  b5  35 และ a7  b7  49

จาก a5  b5  35 จะได้ a1  4d1  b1  4d2  35 (1)

จาก a7  b7  49 จะได้ a1  6d1  b1  6d2  49 (2)

นา (2)  (1) จะได้ 2d1  2d2  14

หรอื d1  d2  7 (3)

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 6 เร่ือง ตะลุยโจทย์สอบเขา้ มหาวทิ ยาลยั 88

แทน (3) ใน (1) จะได้ a1  b1  4(7)  35

หรือ a1  b1  7 (4)

ดังนนั้ an  bn  a1  (n 1)d1  b1  (n 1)d2

 a1  b1  (n 1)(d1  d2 )

 7  (n 1)(7)

 7n

60. ให้ผลบวกของจานวนสามจานวนในลาดับเรขาคณิตเท่ากับ 14 ถ้าบวกแต่ละพจน์ในสอง

พจน์แรกด้วย 1 และพจน์ท่สี ามถูกลบด้วย 1 จะทาให้จานวนท่ีได้ใหม่ทั้งสามน้ันอยู่ในลาดับ

เลขคณิต แล้วผลคูณของสามพจนน์ น้ั ในลาดับเรขาคณติ มีค่าเท่ากบั เท่าใด (64 )

วธิ ีทา ให้จานวนสามจานวนในลาดบั เรขาคณิตเป็น k, kr, kr2 ท่ีมอี ัตราส่วนร่วมเปน็ r

จากโจทย์จะได้ k  kr  kr2 14 และ k 1, kr 1, kr2 1 เปน็ ลาดับเลขคณิต

จาก k  kr  kr2 14 จะได้ k  kr2 14  kr (1)

จาก k 1, kr 1, kr2 1 เป็นลาดับเลขคณติ จะได้

(kr 1)  (k 1)  (kr2 1)  (kr 1)

2(kr 1)  (kr2 1)  (k 1)

2(kr 1)  kr2  k (2)

จาก (1) และ (2) จะได้

14  kr  2(kr 1)

14  kr  2kr  2

12  3kr

kr  4 (3)

ดังนัน้ ผลคูณของสามพจนน์ ้นั ในลาดบั เรขาคณิตมคี ่าเท่ากับ

(k)(kr)(kr2 )  (kr)3  43  64

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 6 เร่ือง ตะลุยโจทย์สอบเขา้ มหาวิทยาลัย 89

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น

เรื่อง ลาดบั และอนุกรม

1. ค
2. ง
3. ก
4. ข
5. ข
6. ค
7. ค
8. ค
9. ก
10. ก
11. ค
12. ง
13. ก
14. ข
15. ง
16. ข
17. ง
18. ข
19. ง
20. ค

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 6 เรอ่ื ง ตะลุยโจทยส์ อบเขา้ มหาวิทยาลยั 90

แบบบนั ทึกคะแนนแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์
เลม่ ที่ 6 เรอ่ื ง ตะลยุ โจทย์สอบเขา้ มหาวิทยาลยั

ชอ่ื ……………………………………………………………………………ชั้น ม.6/................เลขท่ี.............

ที่ รายการ คะแนนเต็ม คะแนนทไ่ี ด้
1 แบบทดสอบก่อนเรียน 15 **
2 แบบฝกึ ทกั ษะที่ 4.1.1 10
3 แบบฝกึ ทักษะท่ี 4.1.2 20
4 แบบฝึกทักษะที่ 4.1.3 10
5 แบบฝกึ ทักษะท่ี 4.2.1 20
6 แบบฝึกทักษะที่ 4.2.2 20
7 แบบฝึกทักษะท่ี 4.3 40
8 แบบทดสอบหลงั เรียน 15
135
คะแนนรวมท้ังหมด

** ไมน่ าคะแนนมารวม บนั ทึกเพอ่ื เปรียบเทยี บผลสัมฤทธทิ์ างการเรยี นเทา่ น้ัน (ดูพัฒนาการ)

เกณฑ์การประเมนิ
ร้อยละ 80 ข้ึนไป ผา่ นเกณฑ์ (108 คะแนน)

ผลการประเมิน  ผา่ น  ไม่ผ่าน 2 1
ระดบั คะแนน 4 3  พอใช้  ปรับปรงุ
ระดับคุณภาพ  ดีมาก  ดี

ชว่ งคะแนน ระดบั คณุ ภาพ ระดับคณุ ภาพ
108 – 135 ระดบั คะแนน ดีมาก
94 – 107 ดี
81 – 93 4 พอใช้
0 – 80 3 ปรับปรุง
2
1

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา