แบบฝึกทักษะ เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์

รายวิชา คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 1 รหัสวิชา ค31201 เรื่อง ตรรกศาสตร์ ชื่อ………………………………………..……….ชั้น ม.4/………เลขที่……… ครูผู้สอน นายครรชิต แซ่โฮ่ ต าแหน่ง ครู วิทยฐานะ ครูช านาญการพิเศษ โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา ส านักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษายะลา กระทรวงศึกษาธิการ คณิตศาสตร์ แบบฝึกทักษะ ม.4 2 เล่มที่

ก ค ำน ำ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เรื่อง ตรรกศาสตร์จัดท าขึ้นเพื่อใช้ประกอบการจัดกิจกรรม การเรียนรู้กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 1 รหัสวิชา ค31201 ชั้น มัธยมศึกษาปีที่ 4 ซึ่งสอดคล้องกับผลการเรียนรู้และสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์(ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560)ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 เป็นแบบฝึกทักษะที่ใช้ประกอบการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ที่ส่งเสริมให้ผู้เรียนเกิดการเปลี่ยนแปลง พฤติกรรมในการเรียนรู้ตามความสามารถของแต่ละคน เพื่อมุ่งเน้นให้ผู้เรียนมีความรู้ความเข้าใจใน บทเรียนได้ดี ส่งเสริมความก้าวหน้าทางการเรียนรู้ที่มุ่งเน้นผู้เรียนเป็นส าคัญ มุ่งพัฒนาและส่งเสริมทักษะ และกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียน ซึ่งได้แก่ความสามารถในการแก้ปัญหา การสื่อสารและการ สื่อความหมายทางคณิตศาสตร์การเชื่อมโยง การให้เหตุผล และการคิดสร้างสรรค์ฝึกให้ผู้เรียนท างาน อย่างเป็นระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบ มีความรับผิดชอบ ตระหนักในคุณค่า และมีเจตคติที่ดีต่อวิชา คณิตศาสตร์รวมทั้งตอบสนองผลการเรียนรู้และสาระการเรียนรู้เพิ่มเติมในรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เพื่อให้การพัฒนาทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียนเป็นไปตามเป้าหมาย ผู้เรียนควร ปฏิบัติตามขั้นตอนในการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์อย่างครบถ้วน ผู้จัดท าหวังเป็นอย่างยิ่งว่า แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เรื่อง ตรรกศาสตร์เล่มนี้คงเป็น ประโยชน์ต่อผู้เรียนในการเรียนรู้สามารถน าผู้เรียนไปสู่จุดหมายตามศักยภาพ เป็นผู้ที่มีคุณลักษณะอัน พึงประสงค์น าความรู้ไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจ าวันได้และเป็นแนวทางส าหรับผู้ที่มีความสนใจต่อไป ขอขอบพระคุณผู้อ านวยการโรงเรียน คณะครูกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ผู้ที่มีส่วน เกี่ยวข้องทุกท่าน ที่ได้อ านวยความสะดวก เป็นก าลังใจ ให้ความช่วยเหลือ และให้การสนับสนุน และ ขอขอบใจนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ทุกคนที่ให้ความร่วมมือในกิจกรรมการเรียนรู้และท าให้แบบ ฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้ส าเร็จลุล่วงด้วยดีขอขอบคุณเป็นอย่างสูง ไว้ณ โอกาสนี้ คุณค่าและประโยชน์ของแบบฝึกทักษะนี้ ผู้จัดท าขอมอบเป็นเครื่องบูชาพระคุณแด่บิดา มารดา และบูรพาจารย์ ตลอดจนผู้มีพระคุณทุกท่าน ที่อบรมสั่งสอนประสิทธิ์ประสาทความรู้ทั้งปวง แก่ผู้จัดท า นายครรชิต แซ่โฮ่ ผู้จัดท า

ข สารบัญ เรื่อง หน้า ค าน า ก สารบัญ ข ค าอธิบายรายวิชา 1 หน่วยการเรียนรู้ 2 โครงสร้างรายวิชา 4 ตรรกศาสตร์ 5 จุดมุ่งหมาย 6 2.1 ประพจน์ 7 ประพจน์ 7 แบบฝึกทักษะที่ 2.1 8 2.2 กำรเชื่อมประพจน์ 9 2.2.1 นิเสธของประพจน์ 10 2.2.2 การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “และ” 10 2.2.3 การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “หรือ” 13 2.2.4 การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ถ้า...แล้ว...” 15 2.2.5 การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” 16 แบบฝึกทักษะที่ 2.2 19 2.3 กำรหำค่ำควำมจริงของประพจน์ 21 การหาค่าความจริงของประพจน์ 21 แบบฝึกทักษะที่ 2.3 23 2.4 กำรสร้ำงตำรำงค่ำควำมจริง 25 การสร้างตารางค่าความจริง 25 แบบฝึกทักษะที่ 2.4 27 2.5 รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน 28 รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน 28 แบบฝึกทักษะที่ 2.5 31 2.6 สัจนิรันดร์ 33 สัจนิรันดร์ 33 แบบฝึกทักษะที่ 2.6 35

สารบัญ (ต่อ) เรื่อง หน้า 2.7 กำรอ้ำงเหตุผล 36 การอ้างเหตุผล 36 แบบฝึกทักษะที่ 2.7 41 2.8 ประโยคเปิด 44 ประโยคเปิด 44 แบบฝึกทักษะที่ 2.8 46 2.9 ตัวบ่งปริมำณ 46 ตัวบ่งปริมาณ 46 แบบฝึกทักษะที่ 2.9 48 2.10 ค่ำควำมจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมำณตัวเดียว 48 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว 48 แบบฝึกทักษะที่ 2.10 51 2.11 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมำณ 52 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ 52 แบบฝึกทักษะที่ 2.11 56 แบบฝึกหัดท้ำยบท เรื่อง ตรรกศำสตร์ 58

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 1 ค าอธิบายรายวิชา รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 1 รหัสวิชา ค31201 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ภาคเรียนที่ 1 4 ชั่วโมง/สัปดาห์ 80 ชั่วโมง/ภาคเรียน 2.0 หน่วยกิต ศึกษาพร้อมทั้งฝึกทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในเนื้อหาสาระเกี่ยวกับเซต การด าเนินการระหว่าง เซต ได้แก่อินเตอร์เซกชัน ยูเนียน คอมพลีเมนต์ และผลต่างระหว่างเซต และการแก้ปัญหาโดยใช้เซต ตรรกศาสตร์ ประพจน์ การเชื่อมประพจน์การหาค่าความจริงของประพจน์ การสร้างตารางค่าความจริง รูปแบบของประพจน์ที่ สมมูลกัน สัจนิรันดร์ การอ้างเหตุผล ประโยคเปิด ตัวบ่งปริมาณ ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ จ านวนจริง ระบบจ านวนจริง พหุนามตัวแปรเดียว การแยกตัวประกอบ ของพหุนาม สมการพหุนามตัวแปรเดียว เศษส่วนของพหุนาม สมการเศษส่วนของพหุนาม การไม่เท่ากันของจ านวน จริง อสมการพหุนามตัวแปรเดียว ค่าสัมบูรณ์ สมการและอสมการค่าสัมบูรณ์ของพหุนามตัวแปรเดียว โดยจัดประสบการณ์ให้ผู้เรียนได้พัฒนาศึกษาทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์อันได้แก่การแก้ปัญหา การสื่อสารและการสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ การเชื่อมโยง การให้เหตุผล และการคิดสร้างสรรค์ การใช้สื่อ อุปกรณ์เทคโนโลยี และแหล่งข้อมูล และน าประสบการณ์ ตลอดจนทักษะและกระบวนการที่ได้ไปใช้ในการเรียนรู้ สิ่งต่าง ๆ และใช้ในชีวิตประจ าวันอย่างสร้างสรรค์ เพื่อให้เห็นคุณค่า มีเจตคติที่ดีต่อคณิตศาสตร์ สามารถท างานอย่างเป็นระบบ มีความรอบคอบ มีความ รับผิดชอบ มุ่งมั่นในการท างาน มีวิจารณญาณ มีความเชื่อมั่นในตนเอง มีคุณธรรมจริยธรรมและค่านิยมที่เหมาะสม ท างานร่วมกับผู้อื่นได้อย่างมีความสุข และมีพฤติกรรมบ่งชี้ตามสมรรถนะทางคณิตศาสตร์ ผลการเรียนรู้ 1. เข้าใจและใช้ความรู้เกี่ยวกับเซต ในการสื่อสารและสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ 2. เข้าใจและใช้ความรู้เกี่ยวกับตรรกศาสตร์เบื้องต้น ในการสื่อสาร สื่อความหมาย และอ้างเหตุผล 3. เข้าใจจ านวนจริง และใช้สมบัติของจ านวนจริงในการแก้ปัญหา 4.แก้สมการและอสมการพหุนามตัวแปรเดียวดีกรีไม่เกินสี่ และน าไปใช้ในการแก้ปัญหา 5.แก้สมการและอสมการเศษส่วนของพหุนามตัวแปรเดียว และน าไปใช้ในการแก้ปัญหา 6.แก้สมการและอสมการค่าสัมบูรณ์ของพหุนามตัวแปรเดียว และน าไปใช้ในการแก้ปัญหา รวม 6 ผลการเรียนรู้

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 2 หน่วยการเรียนรู้ รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 1 รหัสวิชา ค31201 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ภาคเรียนที่ 1 4 ชั่วโมง/สัปดาห์ 80 ชั่วโมง/ภาคเรียน 2.0 หน่วยกิต ชั้นเรียน/ภาคเรียน หน่วยการเรียนรู้/สาระการเรียนรู้ จ านวนชั่วโมง ม. 4 ภาคเรียนที่ 1 1. เซต 1.1 เซต 1.2 การด าเนินการระหว่างเซต 1.2.1 อินเตอร์เซกชัน 1.2.2 ยูเนียน 1.2.3 คอมพลีเมนต์ 1.2.4 ผลต่างระหว่างเซต 1.3 การแก้ปัญหาโดยใช้เซต 2. ตรรกศาสตร์ 2.1 ประพจน์ 2.2 การเชื่อมประพจน์ 2.2.1 นิเสธของประพจน์ 2.2.2 การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “และ” 2.2.3 การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “หรือ” 2.2.4 การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ถ้า...แล้ว...” 2.2.5 การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” 2.3 การหาค่าความจริงของประพจน์ 2.4 การสร้างตารางค่าความจริง 2.5 รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน 2.6 สัจนิรันดร์ 2.7 การอ้างเหตุผล 2.8 ประโยคเปิด 2.9 ตัวบ่งปริมาณ 2.10 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว 2.11 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ 3. จ านวนจริง 3.1 จ านวนจริง 3.2 ระบบจ านวนจริง 3.3 พหุนามตัวแปรเดียว 3.4 การแยกตัวประกอบของพหุนาม 3.5 สมการพหุนามตัวแปรเดียว 20 30 30

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 3 ชั้นเรียน/ภาคเรียน หน่วยการเรียนรู้/สาระการเรียนรู้ จ านวนชั่วโมง ม. 4 ภาคเรียนที่ 1 3. จ านวนจริง (ต่อ) 3.6 เศษส่วนของพหุนาม 3.7 สมการเศษส่วนของพหุนาม 3.8 การไม่เท่ากันของจ านวนจริง 3.9 อสมการพหุนามตัวแปรเดียว 3.10 ค่าสัมบูรณ์ 3.11 สมการและอสมการค่าสัมบูรณ์ของพหุนามตัวแปรเดียว รวม 80

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 4 โครงสร้างรายวิชา รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 1 รหัสวิชา ค31201 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ภาคเรียนที่ 1 4 ชั่วโมง/สัปดาห์ 80 ชั่วโมง/ภาคเรียน 2.0 หน่วยกิต ล าดับ ที่ ชื่อ หน่วยการเรียนรู้ ผลการเรียนรู้ สมรรถนะ หลัก สาระการเรียนรู้แกนกลาง เวลา (ชั่วโมง) น้ าหนัก คะแนน 1 เซต ข้อ 1 การคิด/แปลง ปัญหา เซต ความรู้เบื้องต้นและสัญลักษณ์ พื้นฐานเกี่ยวกับเซต การด าเนิน การระหว่างเซต ได้แก่ อินเตอร์ เซกชัน ยูเนียน คอมพลีเมนต์ และ ผลต่างระหว่างเซต การแก้ปัญหา โดยใช้เซต 20 20 2 ตรรกศาสตร์ ข้อ 2 การให้เหตุผล ทาง คณิตศาสตร์ ตรรกศาสตร์ประพจน์ การเชื่อม ประพจน์การหาค่าความจริงของ ประพจน์ การสร้างตารางค่าความ จริง รูปแบบของประพจน์ที่สมมูล กัน สัจนิรันดร์ การอ้างเหตุผล ประโยคเปิด ตัวบ่งปริมาณ ค่า ความจริงของประโยคที่มีตัวบ่ง ปริมาณตัวเดียว สมมูลและนิเสธ ของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ 30 40 3 จ านวนจริง ข้อ 3 – 6 การใช้ คณิตศาสตร์ จ านวนจริง ระบบจ านวนจริง พหุนามตัวแปรเดียว การแยกตัว ประกอบของพหุนาม สมการ พหุนามตัวแปรเดียว เศษส่วนของ พหุนาม สมการเศษส่วนของ พหุนาม การไม่เท่ากันของจ านวน จริง อสมการพหุนามตัวแปรเดียว ค่าสัมบูรณ์ สมการและอสมการค่า สัมบูรณ์ของพหุนามตัวแปรเดียว 30 40 รวมตลอดภาคเรียน 80 100

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 5 หน่วยที่ ตรรกศาสตร์ 2 2.1 ประพจน์ 2.2 การเชื่อมประพจน์ 2.2.1 นิเสธของประพจน์ 2.2.2 การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “และ” 2.2.3 การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “หรือ” 2.2.4 การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ถ้า...แล้ว...” 2.2.5 การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” 2.3 การหาค่าความจริงของประพจน์ 2.4 การสร้างตารางค่าความจริง 2.5 รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน 2.6 สัจนิรันดร์ 2.7 การอ้างเหตุผล 2.8 ประโยคเปิด 2.9 ตัวบ่งปริมาณ 2.10 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว 2.11 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ Mathematics KANARAS

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 6 จุดมุ่งหมาย 1. จ าแนกข้อความว่าเป็นประพจน์หรือไม่เป็นประพจน์ 2. หาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม 3. ตรวจสอบความสมมูลระหว่างประพจน์สองประพจน์ 4. จ าแนกประพจน์ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่เป็นสัจนิรันดร์ 5. ตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอ้างเหตุผล 6. หาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว 7. ตรวจสอบความสมมูลระหว่างประโยคสองประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว 8. หานิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว 9. ใช้ความรู้เกี่ยวกับตรรกศาสตร์ในการแก้ปัญหา ตรรกศาสตร์ (Mathematical Logic) “คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่ศึกษาสิ่งที่เป็นนามธรรมโดยมีแนวคิดที่เป็นระบบ การท าความเข้าใจ ในเรื่องใดเรื่อง หนึ่งจึงต้องท าอย่างชัดเจนรัดกุม เพื่อให้ผู้ศึกษามีความเข้าใจที่ตรงตามที่ต้องการสื่อสาร เมื่อจะก าหนดค าใหม่ขึ้น ต้องมีการบอกความหมายให้ชัดเจนและรัดกุม ซึ่งเรียกว่าการนิยาม ในกรณีที่เขียนนิยามแล้วอาจท าให้ไม่เกิด ประโยชน์อาจต้องก าหนดให้เป็นค าที่ไม่นิยาม เช่น ถ้านิยามว่า "จุดคือสิ่งที่ไม่มีขนาด" ก็จะเกิดค าถามว่าขนาดคืออะไร ถ้าอธิบายว่า "ขนาด" คือสิ่งที่บอกให้รู้ว่า ใหญ่หรือเล็กจะต้องมีค าถามอีกว่า ใหญ่คืออะไร และเล็กคืออะไร ในที่สุดอาจต้องอธิบายว่าใหญ่คือไม่เล็กและเล็กคือ ไม่ใหญ่ ท าให้เกิดความวกวนและไม่ก่อให้เกิดความเข้าใจเพิ่มขึ้น ด้วยเหตุนี้จึงมีค าบางค าที่จะไม่นิยาม เรียกว่า ค าอนิยาม เมื่อตกลงให้ค าบางค าเป็นค าอนิยามแล้วจะนิยามค าอื่น ๆได้โดยอาศัยค าอนิยาม ซึ่งเรียกว่า บทนิยาม นอกจากนี้ยังมีข้อความอีกประเภทหนึ่ง คือ สัจพจน์ซึ่งเป็นข้อความที่สมมติหรือตกลงกันว่าเป็นจริงโดยไม่ ต้องพิสูจน์อีกค าหนึ่งที่ส าคัญคือ ทฤษฎีบท ซึ่งหมายถึงข้อความที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริงโดยใช้กระบวนการอ้าง เหตุผล จากค าอนิยาม บทนิยาม สัจพจน์หรือทฤษฎีบทที่มีอยู่ก่อนแล้วด้วยหลักการทางตรรกศาสตร์นอกจากนี้ใน บางกรณีจะใช้ค าว่า สมบัติแทนบทนิยาม สัจพจน์หรือ ทฤษฎีบทก็ได้เรียกสิ่งซึ่งประกอบด้วย ค าอนิยามบทนิยาม สัจพจน์และทฤษฎีบทว่า โครงสร้างของระบบคณิตศาสตร์ดังนั้นในการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์ความรู้ทาง ตรรกศาสตร์จึงเป็นพื้นฐานที่ส าคัญในการให้เหตุผลอย่างถูกต้องมีหลักการ เพื่อให้เกิดข้อสรุปต่าง ๆ ที่สมเหตุสมผล เชื่อถือได้” Mathematics KANARAS

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 7 2.1 ประพจน์ ประพจน์ (Statement) คือ .................................................................................................................................. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ในตรรกศาสตร์เรียกการเป็น จริง หรือ เท็จ ของแต่ะประพจน์ว่า .......................... (Truth value) ของ ประพจน์เช่น เซตว่างเป็นสับเซตของเซตทุกเซต เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น.............. หรือกล่าวได้ว่า เซตว่างเป็น สับเซตของเซตทุกเซต เป็นประพจน์ที่เป็น.............. 3 = 2 + 2 เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น..............หรือกล่าวได้ว่า 3 = 2 + 2 เป็นประพจน์ที่เป็น.............. ประโยคหรือข้อความที่ไม่เป็นประพจน์คือ ประโยคหรือข้อความที่ไม่มี..........................ซึ่งพอจะแยกได้ เป็น 2 ประเภท ประเภทที่ 1 ได้แก่ ประโยคหรือข้อความที่ไม่อยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ เช่น ………………………... ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………เป็นต้น ประเภทที่ 2 ได้แก่ ประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ แต่ไม่มีค่าความจริง เนื่องมาจากสิ่งที่เราไม่ทราบว่าเป็น อะไรแน่ชัด ซึ่งเรียกว่าตัวแปร จึงบอกไม่ได้ว่า เป็นจริงหรือเท็จ ตัวอย่าง จงพิจารณาประโยคต่อไปนี้ว่าเป็นประพจน์หรือไม่ ถ้าเป็นประพจน์จงบอกค่าความจริงของ ประพจน์นั้น ประโยค เป็นประพจน์ ไม่เป็นประพจน์ ค่าความจริง 1. ช้างเป็นสัตว์สี่ขา 2. ข้าวเป็นอาหารหลักของคนไทย 3. ห้ามส่งเสียงดัง 4. เขาเป็นนักเรียนที่เก่งที่สุด 5. เดือนมกราคมมี 30 วัน 6. ช่วยด้วยครับ 7. จงหาเซตค าตอบของสมการ x + 2 = 0 8. เป็นจ านวนตรรกยะ 9. x – 2 = 10 10. ดาวพุธเป็นดาวเคราะห์ 11. 9 3 12. 17 8 25 13. เซตว่างเป็นสับเซตของเซตทุกเซต 14. ดวงอาทิตย์เป็นดาวฤกษ์ 15. ยอดเขาที่สูงที่สุดในโลกอยู่ในประเทศไทย

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 8 1. จงพิจารณาประโยคต่อไปนี้ว่าเป็นประพจน์หรือไม่ ถ้าเป็นประพจน์จงบอกค่าความจริงของประพจน์นั้น ประโยค เป็นประพจน์ ไม่เป็นประพจน์ ค่าความจริง 1) 0 เป็นจ านวนคี่ 2) A B = A เมื่อ A, B เป็นเซต 3) เธอสูง 155 เซนติเมตร 4) 1 เป็นจ านวนเฉพาะ 5) จงหาสับเซตของ 6) ขอให้เดินทางโดยสวัสดิภาพ 7) 2 + 3 < 2 × 3 8) |x + 1| < 2 9) จ านวนตรรกยะเป็นจ านวนจริง 10) {0, 1} {0, {1, 2}} 11) หมากับแมว 12) 2 เป็นจ านวนตรรกยะ 13) อย่าเห็นแก่ตัว 14) นักเรียนต้องขยันเรียน 15) 4 เป็น 15 เท่าของ 2 16) 2 ไม่เป็นจ านวนจริง 17) ประโยคค าถามไม่เป็นประพจน์ 18) ประโยค “ ผมรักคุณ ” เป็นประพจน์ 19) นักเรียนคนนั้นก าลังคุย 20) A – B = B – A เมื่อ A, B เป็นเซต 21) ในปี 2548 เกิดสึนามิในประเทศไทย 22) มี x ที่เป็นจ านวนจริง ซึ่ง x < 0 23) จ านวนเต็มบวกจ านวนเต็มได้จ านวนเต็ม 24) ห้ามลอกการบ้านมาส่งอาจารย์นะ 25) = {0} 2. จงเขียนประโยคหรือข้อความที่เป็นประพจน์มา 5 ประพจน์พร้อมทั้งบอกค่าความจริงของประพจน์นั้น ๆ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. แบบฝึกทักษะที่ 2.1

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 9 2.2 การเชื่อมประพจน์ ชายคนหนึ่งเข้าพักที่โรงแรมแห่งหนึ่ง และต้องการสั่งอาหารเช้ามารับประทานที่ห้องพัก ในรายการอาหาร ของโรงแรม มีข้อความต่อไปนี้ปรากฏอยู่ หากชายผู้นี้สั่งอาหารเช้าชุดนี้ในราคา 199 บาท เป็นไปได้หรือไม่ที่เขาจะได้รับ ไข่ดาว ไข่ลวก ไส้กรอก รมควัน แฮมทอด ขนมปังปิ้ง 2 ชิ้น และน้ าส้มคั้น 1 แก้ว จากข้อความข้างต้นมีการใช้ค าว่า “หรือ” และใช้เครื่องหมาย “” แทนค าว่า “และ” ซึ่งส่งผลต่อ ความหมายประโยค หากไม่เข้าใจรูปแบบการใช้ค าทั้งสองจะท าให้ตีความผิดได้ จะเห็นว่าตัวเชื่อมในประโยคมี บทบาทส าคัญมากในชีวิตประจ าวัน ในวิชาคณิตศาสตร์หรือในชีวิตประจ าวัน จะพบประโยคที่ได้จากการเชื่อมประโยคมากกว่าหนึ่งประโยค ด้วยค าว่า “หรือ” “และ” “ถ้า...แล้ว...” และ “ก็ต่อเมื่อ” หรือพบประโยคซึ่งเปลี่ยนแปลงมาจากประโยคเดิมโดย เติมค าว่า “ไม่” ค าเหล่านี้เรียกว่า ………………………… (Connective) เช่น 1) 1 เป็นจ านวนคี่ และ 4 เป็นจ านวนคู่ 2) ถ้า 3 เป็นจ านวนคี่ แล้ว 3 2 เป็นจ านวนคี่ 3) รูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ก็ต่อเมื่อ รูปสามเหลี่ยม ABC มีความยาวของด้าน เท่ากันทุกด้าน ประพจน์ที่ได้ศึกษามาแล้วในหัวข้อ 2.1 เป็นประพจน์ที่เรียกว่า ................................. (Simple statement) หรือ ................................. (Atomic statement) ซึ่งสามารถน ามาสร้างประพจน์ที่ซับซ้อนขึ้น .................................... (Compound statement) โดยอาศัยตัวเชื่อมที่กล่าวถึงข้างต้น เช่น 2 เป็นจ านวนคู่ และ 2 หาร 4 ลงตัว ประกอบด้วยประพจน์เชิงเดียว 2 ประพจน์ คือ “2 เป็นจ านวนคู่” และ “2 หาร 4 ลงตัว” เชื่อมกันด้วย ตัวเชื่อม “และ” นิยมใช้อักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็ก เช่น p, q, r, s แทนประพจน์ที่น ามาเชื่อม ถ้า p เป็นประพจน์ใด ๆ แล้วค่าความจริงของ p เป็นได้ 2 กรณี คือ .......... (True) ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ T หรือ .......... (False) ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ F แสดงได้ดังตาราง p ชุดอาหารเช้าพิเศษส าหรับท่าน เพียง 199 บาท ท่านจะได้รับ ไข่ดาวหรือไข่ลวก ไส้กรอกรมควันหรือแฮมทอด ขนมปังปิ้ง 2 ชิ้น เครื่องดื่ม 1 แก้ว

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 10 เรียกตารางซึ่งแสดงกรณีเกี่ยวกับค่าความจริงที่จะเกิดขึ้นทั้งหมดของประพจน์ p ว่า .................................. (Truth table) ของ p ถ้ามีสองประพจน์คือ p และ q แล้วจะมีกรณีเกี่ยวกับค่าความจริงที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมด.........กรณี ซึ่ง T และ F ของ p ต่างก็จับคู่กรณีT และ F ของ q ได้ดังนี้ p q p q T T F T F F 2.2.1 นิเสธของประพจน์ ถ้า p เป็นประพจน์ใด ๆ แล้ว นิเสธ (Negation) ของ p เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ............... การพิจารณาค่าความจริงของประพจน์ที่เป็นนิเสธของประพจน์เดิม ท าได้โดยง่าย เพราะค่าความจริงของ นิเสธจะตรงข้ามกับค่าความจริงของประพจน์เดิมเสมอ เขียนตารางค่าความจริงของ ~ p ได้ดังนี้ p ~ p T F ตัวอย่างนิเสธของประพจน์ p ~ p ฮายชอบวิชาคณิตศาสตร์ 2 4 6 3 4 2 เป็นจ านวนตรรกยะ หมายเหตุ 3 4 อ่านว่า 3 ไม่น้อยกว่า 4 หมายความว่า 3 อาจเท่ากับ 4 หรือมากกว่า 4 ซึ่งเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า ................................. ตัวอย่างที่ 1 จงหานิเสธของประพจน์ต่อไปนี้ 1) 5 มากกว่า 0 2) โลกเป็นดาวฤกษ์ ……………………………………………………… ……………………………………………………… 3) 4 หาร 30 ลงตัว 4) 2 × 5 = 0 ……………………………………………………… ……………………………………………………… 5) 6) 6 เป็นตัวประกอบของ 20 ……………………………………………………… ………………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 11 ตัวอย่างที่ 2 จงหานิเสธของประพจน์ต่อไปนี้และบอกค่าความจริงของประพจน์ที่เป็นนิเสธของประพจน์ที่ ก าหนดให้ 1) 1 ไม่เป็นจ านวนจริง 2) พ่อมีอายุมากกว่าลูก ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… 3) รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า 4) 5 {1, 3, 5, 7, 9} ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… 5) { } 6) 5 หาร 24 ไม่ลงตัว ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… 7) | 5 1| | 5| | 2 | 8) รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีทุกด้านเท่ากัน ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ค่าความจริงของประพจน์ที่เป็นนิเสธของประพจน์เดิม อาจพิจารณาจากสถานการณ์ในชีวิตจริงได้ เช่น ให้ p แทนข้อความ “หนูดีอ่านหนังสือ” จะได้ ~ p แทนข้อความ “............................................................” จะได้ตารางค่าความจริง ดังนี้ สิ่งที่หนูดีก าลังท า หนูดีอ่านหนังสือ( p ) หนูดีไม่ได้อ่านหนังสือ(~ p ) 2.2.2 การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “และ” ถ้า p และ q เป็นประพจน์ใด ๆ แล้ว การเชื่อมประพจน์ p และประพจน์ q ด้วยตัวเชื่อม “และ” (And) ได้ประพจน์ใหม่เป็น “ p และ q ” ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ............... ในการเชื่อมประพจน์ด้วย “และ” มีข้อตกลงว่า ประพจน์ใหม่จะเป็นจริงในกรณีที่ประพจน์ที่น ามาเชื่อม กันนั้นเป็นจริงทั้งคู่กรณีอื่น ๆ เป็นเท็จทุกกรณี เขียนตารางค่าความจริงของ p q ได้ดังนี้

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 12 p q p q T T T F F T F F ตัวอย่างการเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “และ” p q p q ฮายชอบวิชาคณิตศาสตร์ เซนชอบวิชาภาษาอังกฤษ 2 4 6 2 เป็นจ านวนตรรกยะ ปิ่นได้รับเงินเดือน ปิ่นได้รับโบนัส จากตารางค่าความจริงข้างต้น เมื่อต้องการหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม “และ” ให้พิจารณา ค่าความจริงของประพจน์ที่น ามาเชื่อมว่าตรงกับกรณีใด เช่น 9 เป็นจ านวนคี่ และ 3 หาร 9 ลงตัว จะต้องพิจารณาค่าความจริงของประพจน์ “9 เป็นจ านวนคี่” และ “3 หาร 9 ลงตัว” ซึ่งมีค่าความจริง เป็น...............ทั้งคู่ ดังนั้น ค่าความจริงของ “9 เป็นจ านวนคี่ และ 3 หาร 9 ลงตัว” เป็น............... ในท านองเดียวกัน ค่าความจริงของ 3 เป็นจ านวนจริง และ 3 เป็นจ านวนตรรกยะ คือ ............... เพราะประพจน์ “ 3 เป็นจ านวนตรรกยะ” มีค่าความจริงเป็น............... ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม “และ” อาจพิจารณาจากสถานการณ์ในชีวิตจริงได้ เช่น ให้ p แทนข้อความ “ลูกปัดใส่เสื้อสีเหลือง” และ q แทนข้อความ “ลูกปัดใส่กางเกงสีฟ้า” จะได้ว่า p q แทนข้อความ “.........................................................................................................” หรือเขียนโดยย่อเป็น “.........................................................................................................” จะได้ตารางค่าความจริง ดังนี้

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 13 การแต่งตัว ของลูกปัด ลูกปัดใส่เสื้อสีเหลือง ( ) p ลูกปัดใส่กางเกงสีฟ้า ( ) q ลูกปัดใส่เสื้อสีเหลือง และกางเกงสีฟ้า ( ) p q ส าหรับภาษาที่ใช้ในชีวิตประจ าวัน อาจแทนตัวเชื่อม “และ” ด้วยค าอื่นซึ่งให้ความหมายอย่างเดียวกัน เช่น “แต่” “นอกจากนั้นแล้ว” “ถึงแม้ว่า” “ในขณะที่” ตัวอย่างประโยคที่พบได้ในชีวิตประจ าวัน เช่น ลิซ่าชอบวิชาคณิตศาสตร์แต่เจนนี่ชอบวิชาภาษาเกาหลี โรเซเป็นหัวหน้าห้องนอกจากนั้นแล้วเขายังเป็นประธานนักเรียนด้วย จีซูท างานหนักถึงแม้ว่าเขาป่วย เจบีอ่านหนังสือในขณะที่แบมแบมดูโทรทัศน์ 2.2.3 การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “หรือ” ถ้า p และ q เป็นประพจน์ใด ๆ แล้ว การเชื่อมประพจน์ p และประพจน์ q ด้วยตัวเชื่อม “หรือ” (Or) ได้ประพจน์ใหม่เป็น “ p หรือ q ” ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ............... ในการเชื่อมประพจน์ดด้วย “หรือ” มีข้อตกลงว่า ประพจน์ใหม่จะเป็นเท็จในกรณีที่ประพจน์ที่น ามา เชื่อมกันนั้นเป็นเท็จทั้งคู่กรณีอื่น ๆ เป็นจริงทุกกรณี เขียนตารางค่าความจริงของ p q ได้ดังนี้ p q p q T T T F F T F F

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 14 ตัวอย่างการเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “หรือ” p q p q ฮายท าการบ้าน ฮายอ่านหนังสือ 2 0 3 เป็นจ านวนคู่ อากาศร้อน เครื่องปรับอากาศเสีย 1 5 5 1 4(2 5) (4 2) (4 5) จากตารางจะหาค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมด้วยตัวเชื่อม “หรือ” ได้ดังตัวอย่าง 1) “ 3 เป็นจ านวนเต็ม หรือ 3 เป็นจ านวนตรรกยะ” มีค่าความจริงเป็น............... เพราะ “ 3 เป็น จ านวนเต็ม” และ “ 3 เป็นจ านวนตรรกยะ” มีค่าความจริงเป็น...............ทั้งคู่ 2) “2 เป็นจ านวนคู่ หรือ 2 3 เป็นจ านวนคี่” มีค่าความจริงเป็น............... เพราะ “2 เป็นจ านวนคู่” มีค่า ความจริงเป็น............... หมายเหตุ ความหมายของค าว่า “หรือ” ที่ใช้โดยทั่วไปมีสองกรณี กรณีที่ 1 หมายถึง อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น เช่น การโยนเหรียญครั้งละ 1 เหรียญ แต่ละครั้ง เหรียญจะขึ้นหัวหรือก้อยเพียงอย่างเดียว กรณีที่2 หมายถึง อย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้งสองอย่าง เช่น ครูให้รางวัลแก่นักเรียนที่เรียนดีหรือ นักเรียนที่ช่วยกิจกรรมของโรงเรียน นักเรียนที่ได้รับรางวัลบางคนอาจเรียนดีเพียง อย่างเดียว บางคนอาจช่วยกิจกรรมของโรงเรียนเพียงอย่างเดียว แต่บางคนอาจทั้ง เรียนดีและช่วยกิจกรรมของโรเรียน ในตรรกศาสตร์มีข้อตกลงว่า ตัวเชื่อม “หรือ” หมายถึงกรณีที่ 2 ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม “หรือ” อาจพิจารณาจากสถานการณ์ในชีวิตจริงได้ เช่น ให้ p แทนข้อความ “ลิซ่าใส่หมวก” และ q แทนข้อความ “ลิซ่าสะพายกระเป๋า” จะได้ว่า p q แทนข้อความ “..........................................................................................” หรือเขียนโดยย่อเป็น “.........................................................................................................” จะได้ตารางค่าความจริง ดังนี้

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 15 สถานการณ์ ลิซ่าใส่หมวก ( ) p ลิซ่าสะพายกระเป๋า ( ) q ลิซ่าใส่หมวกหรือ สะพายกระเป๋า p q 2.2.4 การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ถ้า...แล้ว...” ถ้า p และ q เป็นประพจน์ใด ๆ แล้ว การเชื่อมประพจน์ p และประพจน์ q ด้วยตัวเชื่อม “ถ้า...แล้ว...” (If…then…) ได้ประพจน์ใหม่เป็น “ถ้า p แล้ว q ” ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ............... ............... แทน ถ้า p แล้ว q เรียก p ว่า ............... และเรียก q ว่า ............... ในการเชื่อมประพจน์ดด้วย “ถ้า...แล้ว...” มีข้อตกลงว่า ประพจน์ใหม่จะเป็นเท็จในกรณีที่เหตุเป็นจริง และผลเป็นเท็จเท่านั้น กรณีอื่น ๆ เป็นจริงทุกกรณี เขียนตารางค่าความจริงของ p q ได้ดังนี้ p q p q T T T F F T F F

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 16 ตัวอย่างการเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ถ้า...แล้ว...” p q p q เจนนี่ตั้งใจเรียน เจนนี่จะสอบผ่าน มาริโอสอบได้ที่หนึ่ง แม่จะให้รางวัล วันนี้ฝนตก หลังคาบ้านเปียก 1 5 5 1 4(1 5) 4(5 1) จากตารางจะหาค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมด้วยตัวเชื่อม “ถ้า...แล้ว...” ได้ดังตัวอย่าง 1) “ถ้า 5 เป็นจ านวนคี่แล้ว 5 4 เป็นจ านวนคี่” มีค่าความจริงเป็น............... เพราะ “5 เป็นจ านวนคี่” และ “5 4 เป็นจ านวนคี่” มีค่าความจริงเป็น...............ทั้งคู่ 2) “ถ้า 0 เป็นจ านวนเต็ม แล้ว 0 เป็นจ านวนลบ” มีค่าความจริงเป็น............... เพราะ “0 เป็นจ านวน เต็ม” และ “0 เป็นจ านวนลบ” มีค่าความจริงเป็น...............และ............... ตามล าดับ ประพจน์ที่ใช้ตัวเชื่อม “ถ้า...แล้ว...” มีบทบาทส าคัญยิ่งในวิชาคณิตศาสตร์ เนื่องจากทฤษฎีบทในวิชา คณิตศาสตร์ส่วนมากจะอยู่ในรูป p q เช่น 1) ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้ว มุมตรงข้ามจะมีขนาดเท่ากัน 2) ถ้ารูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว แล้ว รูปสามเหลี่ยม ABC จะมีมุมที่มีขนาดเท่ากัน สองมุม ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม “ถ้า...แล้ว...” อาจพิจารณาจากสถานการณ์ในชีวิตจริงได้ เช่น ให้ p แทนข้อความ “ณเดชกวาดบ้านเสร็จ” และ q แทนข้อความ “แม่จะซื้อขนมให้” จะได้ว่า p q แทนข้อความ “.........................................................................................................” การรักษาสัญญาของแม่จะเทียบกับค่าความจริงของ p q ซึ่ง ในกรณีที่ p q เป็นจริง หมายถึง .............................................................................................. ในกรณีที่ p q เป็นเท็จ หมายถึง .............................................................................................. จะได้ตารางค่าความจริง ดังนี้ ณเดชกวาดบ้านเสร็จ ( ) p แม่จะซื้อขนมให้ ( ) q แม่รักษาสัญญา p q T T T F F T F F 2.2.5 การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” ถ้า p และ q เป็นประพจน์ใด ๆ แล้ว การเชื่อมประพจน์ p และประพจน์ q ด้วยตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” (If and only if) ได้ประพจน์ใหม่เป็น “ p ก็ต่อเมื่อ q ” ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ...............

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 17 ในการเชื่อมประพจน์ดด้วย “ก็ต่อเมื่อ” มีข้อตกลงว่า ประพจน์ใหม่จะเป็นจริงในกรณีที่ประพจน์ที่น ามา เชื่อมกันนั้นเป็นจริงทั้งคู่หรือเป็นเท็จทั้งคู่เท่านั้น กรณีอื่น ๆ เป็นเท็จเสมอ เขียนตารางค่าความจริงของ p q ได้ดังนี้ p q p q T T T F F T F F ตัวอย่างการเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” p q p q พายเรียนจบ พายสอบผ่านทุกวิชา รูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว รูปสามเหลี่ยม ABC มีด้านยาวเท่ากันสองด้าน 1 5 5 1 4(1 5) 4(5 1) จากตารางจะหาค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมด้วยตัวเชื่อม “ถ้า...แล้ว...” ได้ดังตัวอย่าง 1) “ 2 3 ก็ต่อเมื่อ 1 1 2 3 ” มีค่าความจริงเป็น............... เพราะ “ 2 3 ” และ “ 1 1 2 3 ” มีค่าความ จริงเป็น...............ทั้งคู่ 2) “ 2 2 2 ( 2) ก็ต่อเมื่อ 2 2 ” มีค่าความจริงเป็น............... เพราะ “ 2 2 2 ( 2) ” และ “ 2 2 ” มีค่าความจริงเป็น...............และ............... ตามล าดับ 3) “7 หารด้วย 2 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ 7 เป็นจ านวนคู่” มีค่าความจริงเป็น............... เพราะ “7 หารด้วย 2 ลงตัว” และ “7 เป็นจ านวนคู่” มีค่าความจริงเป็น...............ทั้งคู่ หมายเหตุ ข้อความทางคณิตศาสตร์ที่เป็นบทนิยามต่าง ๆ ถ้าน ามาเขียนเป็นประโยคที่มีตัวเชื่อมจะมี ความหมายเดียวกับการใช้ตัวเชื่อม "ก็ต่อเมื่อ" เช่น "รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว คือ รูปสามเหลี่ยมที่มี ด้านยาวเท่ากันสองด้าน" หมายความว่า "รูปสามเหลี่ยมใดจะเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วก็ต่อเมื่อ รูปสามเหลี่ยมนั้นมีด้านยาวเท่ากันสองด้าน" ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” อาจพิจารณาจากสถานการณ์ในชีวิตจริงได้ เช่น โรงเรียนแห่งหนึ่งก าหนดว่า “นักเรียนได้เกรด 4 วิชาคณิตศาสตร์ก็ต่อเมื่อนักเรียนได้คะแนนตั้งแต่ 80% ของ คะแนนทั้งหมด” สมมติว่าพราวเป็นนักเรียนของโรงเรียนแห่งนี้ ให้ p แทนข้อความ “พราวได้เกรด 4 วิชาคณิตศาสตร์” และ q แทนข้อความ “พราวได้คะแนนตั้งแต่ 80% ของคะแนนทั้งหมด” จะได้ว่า p q แทนข้อความ “.......................................................................................................................................................” การเกิดขึ้นได้ของสถานการณ์นี้จะเทียบได้เท่ากับค่าความจริงของ p q ซึ่งในกรณีที่สถานการณ์นี้เกิดขึ้น ได้จริง จะได้ว่า p q เป็นจริง ส่วนในกรณีที่สถานการณ์นี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ จะได้ว่า p q เป็นเท็จ

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 18 จะได้ตารางค่าความจริง ดังนี้ พราวได้เกรด 4 วิชาคณิตศาสตร์ ( ) p พราวได้คะแนนตั้งแต่ 80% ของคะแนนทั้งหมด ( ) q การเกิดขึ้นได้ของสถานการณ์นี้ p q T T T F F T F F ประพจน์ p q มีความหมายว่า ( ) ( ) p q q p พิจารณาประพจน์ต่อไปนี้ p แทน 2(3 4) 2 7 q แทน 3 4 7 เมื่อเชื่อมประพจน์ทั้งสองด้วย “ก็ต่อเมื่อ” ประพจน์ p q ที่ได้ใหม่คือ ................................................................................................................................................................................................... ซึ่งมีความหมายเป็น ................................................................................................................................................................................................... ตารางค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมแบบต่าง ๆ p q p q p q p q p q T T T F F T F F จากตารางค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมแบบต่าง ๆ ที่กล่าวมาแล้ว มีไว้เพื่อช่วยในการหาค่าความ จริงของประพจน์เชิงประกอบ เมื่อทราบค่าความจริงของประพจน์เชิงเดียว ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 3 จงเขียนข้อความต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์และหาค่าความจริง 1) 6 เป็นจ านวนคู่ และ 3 เป็นจ านวนคี่ 2) 2 เท่ากับ 4 หรือ 5 เท่ากับ 0 ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… 3) ถ้าปลาบินได้แล้วนกจะเป็นสัตว์น้ า 4) –2 < 0 ก็ต่อเมื่อ 2 > 0 ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… 5) 6 กับ 10 เป็นจ านวนคี่ 6) แต่ 22 7 ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ………………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 19 1. จงหานิเสธของประพจน์ต่อไปนี้และบอกค่าความจริงของประพจน์ที่เป็นนิเสธของประพจน์ที่ก าหนดให้ 1) 4 9 10 3 ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 2) | 7 | | 6 | ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 3) เซตของจ านวนนับที่เป็นค าตอบของสมการ 2 x 1 0 เป็นเซตว่าง ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 4) {3, 4} {1, 3, 5} {1, 3, 4, 5} ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 5) {{2}} {2} ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 6) | 3 6 | | 3| | 6 | ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 7) 15 ไม่ใช่จ านวนจริง ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 8) วาฬเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยน้ านม ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 2. ก าหนดให้p และ q เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง และเท็จ ตามล าดับ จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้ 1) ~ p 2) ~ q ……………………………………………………… ……………………………………………………… 3) p q 4) p q ……………………………………………………… ……………………………………………………… 5) p q 6) p q ……………………………………………………… ……………………………………………………… 7) p q ~ 8) ~ p q ……………………………………………………… ……………………………………………………… 9) ~ ~ p q 10) ~ ( ~ ) p q ……………………………………………………… ……………………………………………………… 11) p q p ( ) 12) (~ ) ( ~ ) p q p q ……………………………………………………… ……………………………………………………… แบบฝึกทักษะที่ 2.2

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 20 3. จงเขียนข้อความต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์และหาค่าความจริง 1) 0 เป็นจ านวนนับ และ 6 เป็นจ านวนเต็ม ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 2) 9 ไม่เท่ากับ 10 หรือ 10 ไม่น้อยกว่า 9 ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 3) 2 และ 1 เป็นจ านวนจริง ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 4) ถ้า 1 {1, 2} แล้ว 1 {1, 2} ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 5) 3 เป็นจ านวนตรรกยะ และไม่ใช่จ านวนจริง ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 6) 2 เป็น ห.ร.ม. ของ 4 และ 6 ก็ต่อเมื่อ 2 หาร 4+6 ไม่ลงตัว ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 7) ถ้า 3 เป็นจ านวนคี่แล้ว 3 2 เป็นจ านวนคี่ ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 8) 2 เป็นจ านวนจริงหรือจ านวนอตรรกยะ ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 9) 13 เป็นจ านวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ 13 มีตัวประกอบคือ 1 กับ 13 เท่านั้น ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 10) ถ้า {3} {3, 4} แล้ว 3 {3, 4} ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 11) (2 + 6) + 4 = 12 หรือ 12 = 2(5) + 2 ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 12) ถ้าแมงมุมเป็นแมลง แล้วแมงมุมต้องมี6 ขา ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 13) งูเห่าและงูจงอางเป็นสัตว์มีพิษ ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 14) โลมาหรือคนเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยน้ านม ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 4. ก าหนดให้ p แทนข้อความ “ฉันตื่นนอนแต่เช้า” และ q แทนข้อความ “ฉันมาเรียนทันเวลา” จงเขียนประพจน์ต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปข้อความ 1) ~ p ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 2) p q ~ ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 3) p q …………………………………………………………………………………………………………………………………..

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 21 4) p q ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 5) ~ ~ p q ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 6) ~ ( ) p p q ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 5. ก าหนดให้ p แทนข้อความ “12 หารด้วย 3 ลงตัว” และ q แทนข้อความ “4 – 3 < 2” จงเขียนข้อความต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์และหาค่าความจริง 1) 12 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว และ 4 – 3 < 2 ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 2) 12 หารด้วย 3 ลงตัว หรือ 4 – 3 < 2 ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 3) ถ้า 4 – 3 2 แล้ว 12 หารด้วย 3 ลงตัว ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 4) 12 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว ก็ต่อเมื่อ 4 – 3 < 2 ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 2.3 การหาค่าความจริงของประพจน์ ตารางค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมแบบต่าง ๆ ที่กล่าวมาแล้วมีไว้เพื่อช่วยในการตรวจสอบค่า ความจริงของประพจน์ที่ใด้จากการเชื่อมประพจน์ย่อย เมื่อทราบค่าความจริงของประพจน์ย่อยตังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 4 ก าหนดให้ p แทนข้อความ “2 เป็นจ านวนคู่” q แทนข้อความ “2 เป็นจ านวนเฉพาะ” r แทนข้อความ “2 เป็นจ านวนอตรรกยะ” จงหาค่าความจริงของประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) p q 2) p r ……………………………………………………… ……………………………………………………… 3) ~ q r 4) p q ……………………………………………………… ……………………………………………………… 5) p r 6) q r ~ ……………………………………………………… ……………………………………………………… 7) p q ~ 8) p r ……………………………………………………… ……………………………………………………… 9) q r 10) ~ r p ……………………………………………………… ……………………………………………………… 11) p q 12) ~ q r ……………………………………………………… ………………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 22 ในการหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมนั้น อาจท าได้รวดเร็วขึ้นโดยใช้แผนภาพ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 5 ก าหนดประพจน์ให้ต่อไปนี้ p แทนข้อความ “ เป็นเซตจ ากัด” q แทนข้อความ “ เป็นสับเซตของทุกเซต” r แทนข้อความ “ P( ) { } ” s แทนข้อความ “ A ” จงหาค่าความจริงของประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) ( ) p q r 2) ( ) ( ) p r q r ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… 3) ~ ( ~ ) s r q 4) ( ~ ) (~ ) p r s q ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… 5) ~ ( (~ )) p q r s 6) ( ~ ) ( ~ ) q p r s ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ตัวอย่างที่ 6 ก าหนดให้p, q และ r เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ จริง และจริง ตามล าดับ จงหาค่าความจริงของประพจน์ ( ) p q r ………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….. ตัวอย่างที่ 7 จงหาค่าความจริงของประพจน์ ( ~ ) ( ~ ) s p q r เมื่อ p, q, r และ s เป็นประพจน์ที่มี ค่าความจริงเป็นเท็จ จริง จริง และจริง ตามล าดับ ………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….. ตัวอย่างที่ 8 ก าหนดให้p และ q เป็นประพจน์ 1) ถ้า p q มีค่าความจริงเป็นจริง จงหาค่าความจริงของประพจน์ p q ………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 2) ถ้า p q มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของประพจน์ p q ………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………..

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 23 3) ถ้า p q มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของประพจน์ p q ………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 4) ถ้า p q มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของประพจน์ p q ………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….. การหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมตั้งแต่สองตัวขึ้นไป ท าได้โดยหาค่าความจริงของประพจน์เชิง ประกอบในวงเล็บก่อน แต่ถ้าประพจน์เชิงประกอบนั้นไม่ได้ใส่วงเส็บ ให้หาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม “ ~ ” ก่อน แล้วจึงหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม “”, “ ” จากนั้นจึงหาค่าความจริงของประพจน์ที่มี ตัวเชื่อม “” และล าดับสุดท้ายเป็นการหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม “” ล าดับความส าคัญของตัวเชื่อม ตัวเชื่อมแต่ละตัวมีความส าคัญ (ครอบคลุม) ไม่เท่ากัน ดังนี้ 1. “…………………” มีความส าคัญน้อยที่สุด 2. “…………………” มีความส าคัญมากกว่า “…………………” 3. “…………………” มีความส าคัญมากกว่า “…………………” 4. “…………………” มีความส าคัญมากที่สุด 1. ก าหนดให้ p, q, r, s และ t เป็นประพจน์มีค่าความจริงเป็นจริง เท็จ จริง เท็จ และเท็จ ตามล าดับ จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้ 1) ( ) p q r 2) ( ) ( ) p r t s ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… 3) ( ~ ) ( ) p s q r 4) ( ~ ) p q t ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… 5) ~ [~ ( ~ ) ] r s p 6) ( ~ ) ( ) p q r t ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… แบบฝึกทักษะที่ 2.3

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 24 7) (~ ) ~ ( ~ ) r q s t 8) ( ) ( ) p q r s ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… 9) ( ~ ) ( ~ )] s p q r 10) ( ) ( ~ ) q r q s ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… 11) [( ) ( )] p q t r s 12) [( ) ( )] [( ) ~ ] p q t r q r s ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… 2. ก าหนดให้p, q, r และ s เป็นประพจน์ 1) ถ้า p q มีค่าความจริงเป็นจริง จงหาค่าความจริงของประพจน์ p และ q ………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 2) ถ้า p q มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของประพจน์ p และ q ………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 3) ถ้า p q มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของประพจน์ ( ~ ) p q r ………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 4) ถ้า p r มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของประพจน์ ( ) p q r ………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 5) ถ้า ( ) (~ ) p q r s มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของประพจน์ (~ ) ( ) p r q s ………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………..

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 25 2.4 การสร้างตารางค่าความจริง พิจารณาประพจน์ที่มีตัวเชื่อม เช่น ~ , , , , p p q p q p q p q และ ( ) p q r จะเห็นว่า ประพจน์เหล่านี้มีp, q และ r เป็นประพจน์ย่อย ซึ่งยังไม่ก าหนดค่าความจริง จะเรียก p, q และ r ว่าเป็นตัวแปร แทนประพจน์ใด ๆ และเรียกประพจน์ที่มีตัวเชื่อมเช่น ~ , , , , p p q p q p q p q ว่า รูปแบบของ ประพจน์เนื่องจาก p, q และ r เป็นตัวแปรแทนประพจน์ใด ๆ ดังนั้น ในการพิจารณาค่าความจริงของรูปแบบ ของประพจน์จึงต้องก าหนดค่าความจริงของประพจน์ย่อยทุกกรณีที่เป็นไปได้เช่น ถ้ามีประพจน์เดียวคือ p แล้วจะมีกรณีเกี่ยวกับค่าความจริงที่พิจารณา………………กรณี p ถ้ามีสองประพจน์คือ p และ q แล้วจะมีกรณีเกี่ยวกับค่าความจริงที่พิจารณา………………กรณี p q p q T T F T F F ในท านองเดียวกัน ถ้ามีสามประพจน์คือ p, q และ r แล้วจะมีกรณีเกี่ยวกับค่ความจริงที่พิจารณาทั้งหมด ………………กรณีดังนี้ p q r p q r T T F T T F F T T F F F F F ถ้ามีจ านวนประพจน์มากกว่านี้การหากรณีทั้งหมดที่จะพิจารณาสามารถท าได้ในท านองเดียวกัน

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 26 ตัวอย่างที่ 9 ก าหนดให้p และ q เป็นประพจน์จงสร้างตารางค่าความจริงของ [ ( )] p p q q รูปแบบประพจน์ [ ( )] p p q q ประกอบด้วยประพจน์ย่อยสองประพจน์ คือ p และ q จึงมีกรณีเกี่ยวกับค่าความจริงที่อาจเกิดขึ้นได้ทั้งหมด 4 กรณี จะได้ตารางค่ความจริงของ [ ( )] p p q q ดังนี้ p q p q ppq ( ) [ ( )] p p q q T T T F F T F F ตัวอย่างที่ 10 ก าหนดให้p และ q เป็นประพจน์จงสร้างตารางค่าความจริงของ ( ~ ) (~ ) p q p q รูปแบบประพจน์ ( ~ ) (~ ) p q p q ประกอบด้วยประพจน์ย่อยสองประพจน์ คือ p และ q จึงมีกรณีเกี่ยวกับค่าความจริงที่อาจเกิดขึ้นได้ทั้งหมด 4 กรณี จะได้ตารางค่ความจริงของ ( ~ ) (~ ) p q p q ดังนี้ p q ~ p ~ q p q ~ ~ p q ( ~ ) (~ ) p q p q T T T F F T F F ตัวอย่างที่ 11 ก าหนดให้p, q และ r เป็นประพจน์จงสร้างตารางค่าความจริงของ ( ~ ) p r q รูปแบบประพจน์ ( ~ ) p r q ประกอบด้วยประพจน์ย่อยสามประพจน์ คือ p, q และ r จึงมีกรณีเกี่ยวกับค่าความจริงที่อาจเกิดขึ้นได้ทั้งหมด 8 กรณี จะได้ตารางค่ความจริงของ ( ~ ) p r q ดังนี้ p q r ~ r p r ~ ( ~ ) p r q T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 27 1. ก าหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์จงสร้างตารางแสดงค่าความจริงของรูปแบบของประพจน์ต่อไปนี้ 1) p q p ( ) p q T T T F F T F F 2) ( ) ( ~ ) p q p q p q T T T F F T F F 3) p p q (~ ) p q T T T F F T F F 4) q q r ~ p q T T T F F T F F แบบฝึกทักษะที่ 2.4

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 28 5) ~ [ ( ~ )] q p q p p q T T T F F T F F 6) ( ) ( ) q r r p p q r T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F 2.5 รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน ในตรรกศาสตร์ถ้ารูปแบบชองประพจน์สองรูปแบบใดมีค่าความจริงตรงกันกรณีต่อกรณีแล้วจะสามารถ น าไปใช้แทนกันได้เรียกรูปแบบของประพจน์ทั้งสองว่าเป็น รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน เช่น p q กับ ~ p q เป็นรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน ซึ่งแสตงการตรวจสอบความสมมูลได้ดังนี้ p q p q ~ p ~ p q T T T F F T F F จะเห็นว่า ค่าความจริงของ p q กับ ~ p q ตรงกันกรณีต่อกรณี ดังนั้น p q สมมูลกับ ~ p q ซึ่งเขียนแทนด้วย ………………………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 29 ตัวอย่างที่ 12 ก าหนดให้p เป็นประพจน์จงตรวจสอบว่า p สมมูลกับ ~ (~ ) p หรือไม่ วิธีท า สร้างตารางค่าความจริงของ p กับ ~ (~ ) p ได้ดังนี้ p ~ p ~ (~ ) p T F จะเห็นว่า ค่าความจริงของ p กับ ~ (~ ) p ตรงกันกรณีต่อกรณี ดังนั้น p ……………………… ~ (~ ) p ตัวอย่างที่ 13 ก าหนดให้p และ q เป็นประพจน์จงตรวจสอบว่า p q สมมูลกับ q p หรือไม่ วิธีท า สร้างตารางค่าความจริงของ p q กับ q p ได้ดังนี้ p q p q q p T T T F F T F F จะเห็นว่า ค่าความจริงของ p q กับ q p ตรงกันกรณีต่อกรณี ดังนั้น p q ……………………… q p นอกจากการใช้ตารางค่าความจริงตรวจสอบการสมมูลกันของรูปแบบของประพจน์สองรูปแบบแล้วยัง สามารถใช้รูปแบบของประพจน์ที่ทราบมาแล้วว่าสมมูลกับรูปแบบของประพจน์ที่ต้องการตรวจสอบมาช่วยในการ พิจารณา ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 14 ก าหนดให้p และ q เป็นประพจน์จงตรวจสอบว่า p q สมมูลกับ ~ ~ q p หรือไม่ วิธีท า เนื่องจาก p q p q ~ ……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………… ดังนั้น p q ……………………… ~ ~ q p รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบมีดังนี้ 1. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 2. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 3. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 4. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 5. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 6. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 7. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 8. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 9. ……………………………………………………………………………………………………………………………… 10. ………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 30 ตัวอย่างที่ 15 ก าหนดให้p และ q เป็นประพจน์จงตรวจสอบว่า p q สมมูลกับ ~ (~ ) q p หรือไม่ วิธีท า เนื่องจาก p q p q ~ ……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………… ดังนั้น p q ……………………… ~ (~ ) q p ตัวอย่างที่ 16 ก าหนดให้p และ q เป็นประพจน์จงตรวจสอบว่า p q สมมูลกับ ~ p q หรือไม่ วิธีท า สร้างตารางค่าความจริงของ p q กับ ~ p q ได้ดังนี้ p q p q ~ p ~ p q T T T F F T F F จะเห็นว่า ค่าความจริงของ p q กับ ~ p q มีบางกรณีที่ต่างกัน ดังนั้น p q …………………..………… ~ p q การตรวจสอบว่าประพจน์สองประพจน์ที่อยู่ในรูปข้อความสมมูลกันหรือไม่ สามารถท าได้โดยเปลี่ยน ประพจน์ที่อยู่ในรูปข้อความให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์แล้วพิจารณาว่ารูปแบบของประพจน์ทั้งสองสมมูลกันหรือไม่ ดัง ตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 17 จงตรวจสอบว่าประพจน์สองประพจน์ต่อไปนี้สมมูลกันหรือไม่ “ถ้า 8 2 เป็นจ านวนคู่แล้ว 8 เป็นจ านวนคู่” “ถ้า 8 ไม่เป็นจ านวนคู่แล้ว 8 2 ไม่เป็นจ านวนคู่” วิธีท า ให้ p แทน “ถ้า 8 2 เป็นจ านวนคู่” และ q แทน “8 เป็นจ านวนคู่” ดังนั้น p q แทน “……………………………………………………………………………………” และ ~ ~ q p แทน “……………………………………………………………………………………” เนื่องจาก p q ……………………… ~ ~ q p ดังนั้น ประพจน์ทั้งสองประพจน์จึง………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 31 1. จงเขียนข้อความที่สมมูลกับข้อความต่อไปนี้ 1) 2 เป็นจ านวนตรรกยะ ก็ต่อเมื่อ 2 เป็นจ านวนจริง ...................................................................................................................... .................................... ...................................................................................................................... .................................... 2) ภพหรือภูมิเป็นนักเรียน และ ภพหรือภัทรเป็นนักเรียน .......................................................................................................................................................... ...................................................................................................................... .................................... ...................................................................................................................... .................................... 2. จงพิจารณาว่ารูปแบบของประพจน์ต่อไปนี้สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ในข้อใด 1) p q (ก) p q q p ~ (ข) ~ ~ ~ q p q p ........................................................................................................ .................................................. ...................................................................................................................... .................................... .......................................................................................................................................................... 2) p q r (ก) ~p r q r (ข) p r q r ...................................................................................................................... .................................... .......................................................................................................................................................... ...................................................................................................................... .................................... ...................................................................................................................... .................................... 3) p r q r (ก) ~ p q r (ข) ~ p q r ...................................................................................................................... .................................... .......................................................................................................................................................... ...................................................................................................................... .................................... 4) p q p ~ (ก) ~ ~ p p q (ข) ~ p p q ...................................................................................................................... .................................... .......................................................................................................................................................... ...................................................................................................................... .................................... ...................................................................................................................... .................................... .......................................................................................................................................................... 5) ~p q r p (ก) p q r ~ (ข) p q r ~ ........................................................................................................... ............................................... ...................................................................................................................... .................................... .......................................................................................................................................................... ...................................................................................................................... .................................... ...................................................................................................................... .................................... แบบฝึกทักษะที่ 2.5

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 32 6) ~ ~ p q q r (ก) p q q ~ r (ข) p q r ~ ...................................................................................................................... .................................... .................................................................................................................... ...................................... ...................................................................................................................... .................................... .......................................................................................................................................................... ...................................................................................................................... .................................... ...................................................................................................................... .................................... ............................................................................................................. ............................................. ...................................................................................................................... .................................... 3. “รูปแบบของประพจน์ (ก) เป็นนิเสธของรูปแบบประพจน์ (ข) เมื่อค่าความจริงของรูปแบบของประพจน์ (ก) ตรงข้ามกับค่าความจริงของรูปแบบของประพจน์ (ข) ทุกกรณี” จงตรวจสอบแต่ละข้อต่อไปนี้ว่า (ก) กับ (ข) เป็นนิเสธกันหรือไม่ 1) (ก) p q (ข) ~ ~ p q .......................................................................................................................................................... ...................................................................................................................... .................................... ...................................................................................................................... .................................... 2) (ก) p q (ข) ~ ~ p q ...................................................................................................................... .................................... .......................................................................................................................................................... ...................................................................................................................... .................................... 3) (ก) p q (ข) p q ~ ...................................................................................................................... .................................... .......................................................................................................................................................... ...................................................................................................................... .................................... 4) (ก) p q (ข) ~ ~ p q ...................................................................................................................... .................................... .......................................................................................................................................................... ...................................................................................................................... .................................... 5) (ก) p q (ข) p q q p ~ ~ ...................................................................................................................... .................................... .......................................................................................................................................................... ...................................................................................................................... .................................... ...................................................................................................................... .................................... .......................................................................................................................................................... 6) (ก) 2 หรือ 3 เป็นจ านวนตรรกยะ (ข) 2 หรือ 3 เป็นจ านวนอตรรกยะ .......................................................................................................................................................... ...................................................................................................................... .................................... ...................................................................................................................... ....................................

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 33 7) (ก) ถ้า 2 + 1 = 3 แล้ว 3 เป็นจ านวนนับ (ข) 3 ไม่ใช่จ านวนนับ แต่ 2 + 1 = 3 ...................................................................................................................... .................................... .......................................................................................................................................................... ...................................................................................................................... .................................... ...................................................................................................................... .................................... .......................................................................................................................................................... 8) (ก) 4 เป็นจ านวนคู่และเป็นจ านวนเต็ม (ข) 4 เป็นจ านวนคี่หรือไม่ใช่จ านวนเต็ม .......................................................................................................................................................... ...................................................................................................................... .................................... .......................................................................................................................................................... ...................................................................................................................... .................................... ...................................................................................................................... .................................... 2.6 สัจนิรันดร์ พิจารณาค่าความจริงของรูปแบบของประพจน์ [( ) ] p q p q p q p q ( ) p q p [( ) ] p q p q T T T F F T F F จะเห็นว่า รูปแบบของประพจน์ [( ) ] p q p q มีค่าความจริงของเป็นจริงทุกกรณี จะกล่าวว่า รูปแบบของประพจน์ [( ) ] p q p q เป็น ……………………………………………… (Tautology) ตัวอย่างที่ 18 ก าหนดให้p และ q เป็นประพจน์จงแสดงว่า ( ) (~ ~ ) p q q p เป็นสัจนิรันดร์ วิธีท า สร้างตารางค่าความจริงของ ( ) (~ ~ ) p q q p ได้ดังนี้ p q ~ q ~ p p q ~ ~ q p ( ) (~ ~ ) p q q p T T T F F T F F จะเห็นว่า รูปแบบของประพจน์ ( ) (~ ~ ) p q q p มีค่าความจริงของเป็นจริงทุกกรณี ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ ( ) (~ ~ ) p q q p เป็น......................................... บทนิยาม 1 รูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงของเป็นจริงทุกกรณีเรียกว่า ..........................

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 34 ตัวอย่างที่ 19 ก าหนดให้p และ q เป็นประพจน์จงแสดงว่า [( ) ~ ] ~ p q p q เป็นสัจนิรันดร์ วิธีท า สร้างตารางค่าความจริงของ [( ) ~ ] ~ p q p q ได้ดังนี้ p q ~ p ~ q p q ( ) ~ p q p [( ) ~ ] ~ p q p q T T T F F T F F จะเห็นว่า กรณที่ p เป็นเท็จ และ q เป็นจริง ท าให้รูปแบบของประพจน์ [( ) ~ ] ~ p q p q เป็นเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ [( ) ~ ] ~ p q p q ......................................... นอกจากนี้ยังสามารถตรวจสอบความเป็นสัจนิรันดร์ของประพจน์เมื่อรูปแบบของประพจน์เชื่อมด้วย “ถ้า...แล้ว...” โดย วิธีการหาข้อขัดแย้ง ซึ่งวิธีนี้จะสมมติให้รูปแบบของประพจน์ที่ก าหนดให้เป็นเท็จ ซึ่งสามารถ เกิดขึ้นได้เพียงกรณีเดียวคือ เมื่อเหตุเป็นจริง และผลเป็นเท็จ แล้วจึงหาค่าความจริงของประพจน์ย่อย หากมีข้อขัดแย้ง แสดงว่า รูปแบบของประพจน์นั้น..................................................... แต่ถ้าไม่มีข้อขัดแย้ง แสดงว่า รูปแบบของประพจน์นั้น............................................... ตัวอย่างที่ 20 ก าหนดให้p และ q เป็นประพจน์จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ [( ) ] ~ p q p q เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ วิธีท า สมมติ [( ) ] ~ p q p q มีค่าความจริงเป็นเท็จ ......................................................................................................................................................... ..................................................................................................................... .................................... ..................................................................................................................... .................................... ......................................................................................................................................................... ..................................................................................................................... .................................... จากแผนภาพ จะเห็นว่า เมื่อสมมติให้ [( ) ] ~ p q p q เป็นเท็จ จะพบว่าค่าความจริงของประพจน์ย่อยไม่ขัดแย้งกัน นั่นคือ มีกรณีที่ p เป็นจริง และ q เป็นจริง ที่ท าให้รูปแบบของประพจน์ [( ) ] ~ p q p q เป็นเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ [( ) ] ~ p q p q ไม่เป็นสัจนิรันดร์ ตัวอย่างที่ 21 ก าหนดให้p และ q เป็นประพจน์จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ ( ) ( ) p q q p เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ วิธีท า สมมติ ( ) ( ) p q q p มีค่าความจริงเป็นเท็จ ......................................................................................................................................................... ..................................................................................................................... .................................... ..................................................................................................................... .................................... ............................................................................................................ ............................................. ..................................................................................................................... ....................................

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 35 จากแผนภาพ จะเห็นว่า ค่าความจริงของ p และ q เป็นได้ทั้งจริงและเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ ( ) ( ) p q q p ............................................... ตัวอย่างที่ 22 ก าหนดให้p และ q เป็นประพจน์จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ (~ ) ( ~ ) q p q p เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ วิธีท า สมมติ (~ ) ( ~ ) q p q p มีค่าความจริงเป็นเท็จ ..................................................................................................................... .................................... ......................................................................................................................................................... ..................................................................................................................... .................................... ..................................................................................................................... .................................... .......................................................................................................... ............................................... จากแผนภาพ การหาค่าความจริงของ p และ q จะพิจารณาจาก q p ~ ซึ่งมีค่าความจริง เป็น...................... ท าให้ค่าความจริงของ p และ q มีได้เพียงกรณีเดียว คือ p เป็น...................... และ q เป็น...................... และท าให้ได้ว่า q p ~ เป็น...................... จะเห็นว่า มีกรณีที่ p เป็นจริง และ q เป็นจริง ที่ท าให้รูปแบบของประพจน์ (~ ) ( ~ ) q p q p เป็น...................... ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ (~ ) ( ~ ) q p q p ............................................... ก าหนดให้p, q และ r เป็นประพจน์จงตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่ก าหนดให้ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ 1. p q p p ......................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................... ................................................... ......................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................... ................................................... ......................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................... 2. ~ ~ p q q ...................................................................................................................... ................................................... ......................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................... ................................................... ......................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................... ................................................... ......................................................................................................................................................................... แบบฝึกทักษะที่ 2.6

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 36 3. ~ ~ p q p q .................................................................................................. ....................................................................... ...................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................... ................................................... ......................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................... ................................................... ......................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................... 4. ~ ~ p q p q ...................................................................................................................... ................................................... ......................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................... ................................................... ......................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................... ................................................... ......................................................................................................................................................................... 5. p q q r p r ...................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................... ................................................... ......................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................... ................................................... ......................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................... ................................................... 2.7 การอ้างเหตุผล การอ้างเหตุผลคือ การอ้างว่า เมื่อมีประพจน์ 1 2 3 , , , ..., n p p p p ชุดหนึ่ง แล้วสามารถสรุปประพจน์ C ประพจน์หนึ่งได้การอ้างเหตุผลประกอบด้วยส่วนส าคัญสองส่วนคือ ....................................................... ได้แก่ ประพจน์ 1 2 3 , , , ..., n p p p p และ ....................................................... คือ ประพจน์ C โดยใช้ตัวเชื่อม เชื่อมเหตุทั้งหมดเข้าด้วยกัน และใช้ตัวเชื่อม เชื่อมส่วนที่เป็นเหตุกับผลตังนี้ ..................................................................................................................................... จะกล่าวว่า การอ้างเหตุผลนี้.............................(Valid) ถ้ารูปแบบของประพจน์ 1 2 3 ( ... ) n p p p p C เป็นสัจนิรันดร์และจะกล่าวว่า การอ้างเหตุผลนี้...............................................(invalid) ถ้ารูปแบบของประพจน์ 1 2 3 ( ... ) n p p p p C ไม่เป็นสัจนิรันดร์ดังนั้น ในการตรวจสอบความสมเหตุสมผลจึงใช้วิธีเดียวกับ การตรวจสอบสัจนิรันดร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 37 ตัวอย่างที่ 23 ก าหนดให้p และ q เป็นประพจน์จงพิจารณาว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. p q 2. p ผล q วิธีท า ขั้นที่ 1 ใช้ เชื่อมเหตุเข้าด้วยกัน และใช้ เชื่อมส่วนที่เป็นเหตุกับผล จะได้รูปแบบของประพจน์คือ [( ) ] p q p q ขั้นที่ 2 ตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่ได้ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ สมมติให้ [( ) ] p q p q เป็นเท็จ ......................................................................................................................................................... ..................................................................................................................... .................................... ..................................................................................................................... .................................... ........................................................................................................ ................................................. ..................................................................................................................... .................................... ......................................................................................................................................................... ..................................................................................................................... .................................... ..................................................................................................................... .................................... ...................................................................................................... ................................................... จากแผนภาพ แสดงว่า รูปแบบของประพจน์ [( ) ] p q p q ............................................ ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้....................................................... ตัวอย่างที่ 24 ก าหนดให้p และ q เป็นประพจน์จงพิจารณาว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. p q 2. ~p ผล ~q วิธีท า ขั้นที่ 1 ใช้ เชื่อมเหตุเข้าด้วยกัน และใช้ เชื่อมส่วนที่เป็นเหตุกับผล จะได้รูปแบบของประพจน์คือ [( ) ~ ] ~ p q p q ขั้นที่ 2 ตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่ได้ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ สมมติให้ [( ) ~ ] ~ p q p q เป็นเท็จ ......................................................................................................................................................... ..................................................................................................................... .................................... ......................................................................................................................................................... ..................................................................................................................... .................................... ..................................................................................................................... .................................... ......................................................................................................................................................... ..................................................................................................................... .................................... ......................................................................................................................................................... ..................................................................................................................... .................................... จากแผนภาพ มีกรณีที่ p เป็นเท็จ และ q เป็นจริง ที่ท าให้ [( ) ~ ] ~ p q p q เป็นเท็จ แสดงว่า รูปแบบของประพจน์ [( ) ~ ] ~ p q p q ............................................ ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้.......................................................

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 38 ตัวอย่างที่ 25 จงพิจารณาว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. ถ้าฝนตกที่บ้านของสุชาดา แล้วหลังคาบ้านของสุชาดาเปียก 2. หลังคาบ้านของสุชาดาไม่เปียก ผล ฝนไม่ตกที่บ้านของสุชาดา วิธีท า ให้ p แทนประพจน์“ฝนตกที่บ้านของสุชาดา” q แทนประพจน์“หลังคาบ้านของสุชาดาเปียก” เขียนแทนข้อความข้างต้นในรูปสัญลักษณ์ได้ดังนี้ เหตุ 1. p q 2. ~q ผล ~p ดังนั้น รูปแบบของประพจนในการอ้างเหตุผลนี้คือ [( ) ~ ] ~ p q q p ตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่ได้ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ สมมติให้ [( ) ~ ] ~ p q q p เป็นเท็จ ..................................................................................................................... .................................... ..................................................................................................................... .................................... ........................................................................................................ ................................................. ..................................................................................................................... .................................... ......................................................................................................................................................... ..................................................................................................................... .................................... ..................................................................................................................... .................................... ...................................................................................................... ................................................... จากแผนภาพ แสดงว่า รูปแบบของประพจน์ [( ) ~ ] ~ p q q p ......................................... ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้....................................................... ตัวอย่างที่ 26 จงพิจารณาว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. ถ้าแป้งได้โบนัส แล้วแป้งจะฝากเงินกับธนาศาร 10,000 บาท 2. แป้งฝากเงินกับธนาศาร 10,000 บาท ผล แป้งได้โบนัส วิธีท า ให้ p แทนประพจน์“แป้งได้โบนัส” q แทนประพจน์“แป้งจะฝากเงินกับธนาศาร 10,000 บาท” เขียนแทนข้อความข้างต้นในรูปสัญลักษณ์ได้ดังนี้ เหตุ 1. p q 2. q ผล p ดังนั้น รูปแบบของประพจนในการอ้างเหตุผลนี้คือ [( ) ] p q q p ตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่ได้ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 39 สมมติให้ [( ) ] p q q p เป็นเท็จ ..................................................................................................................... .................................... ......................................................................................................................................................... ..................................................................................................................... .................................... ..................................................................................................................... .................................... ......................................................................................................................................................... ..................................................................................................................... .................................... ......................................................................................................................................................... ..................................................................................................................... .................................... จากแผนภาพ มีกรณีที่ p เป็นเท็จ และ g เป็นจริง ที่ท าให้ [( ) ] p q q p เป็นเท็จ แสดงว่า รูปแบบของประพจน์ [( ) ] p q q p ......................................... ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้....................................................... ตัวอย่างที่ 27 จงพิจารณาว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. นุ่นซื้อรถคันใหม่ หรือ นุ่นลงทุนในตลาดหุ้น 2. นุ่นไม่ซื้อรถคันใหม่ ผล นุ่นลงทุนในตลาดหุ้น วิธีท า ให้ p แทนประพจน์“นุ่นซื้อรถคันใหม่” q แทนประพจน์“นุ่นลงทุนในตลาดหุ้น” เขียนแทนข้อความข้างต้นในรูปสัญลักษณ์ได้ดังนี้ เหตุ 1. p q 2. ~p ผล q ดังนั้น รูปแบบของประพจนในการอ้างเหตุผลนี้คือ [( ) ~ ] p q p q ตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่ได้ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ สมมติให้ [( ) ~ ] p q p q เป็นเท็จ ..................................................................................................................... .................................... ......................................................................................................................................................... .................................................................................................................... ..................................... ..................................................................................................................... .................................... ......................................................................................................................................................... ..................................................................................................................... .................................... ..................................................................................................................... .................................... .................................................................................................................. ....................................... จากแผนภาพ แสดงว่า รูปแบบของประพจน์ [( ) ~ ] p q p q .............................................. ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้.......................................................

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 40 ตัวอย่างที่ 28 จงพิจารณาว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. ถ้าไฟฟ้าดับ แล้วโรงแรมต้องใช้เครื่องปั่นไฟ 2. ถ้าโรงแรมต้องใช้เครื่องปั่นไฟ แล้วลิฟต์จะท างานไม่ได้ ผล ถ้าไฟฟ้าดับ แล้วลิฟต์จะท างานไม่ได้ วิธีท า ให้ p แทนประพจน์“ไฟฟ้าดับ” q แทนประพจน์“โรงแรมต้องใช้เครื่องปั่นไฟ” r แทนประพจน์“ลิฟต์จะท างานไม่ได้” เขียนแทนข้อความข้างต้นในรูปสัญลักษณ์ได้ดังนี้ เหตุ 1. p q 2. q r ผล p r ดังนั้น รูปแบบของประพจนในการอ้างเหตุผลนี้คือ [( ) ( )] ( ) p q q r q r ตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่ได้ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ สมมติให้ [( ) ( )] ( ) p q q r q r เป็นเท็จ ..................................................................................................................... .................................... ..................................................................................................................... .................................... ......................................................................................................................................................... ..................................................................................................................... .................................... ......................................................................................................................................................... ..................................................................................................................... .................................... ..................................................................................................................... .................................... ......................................................................................................................................................... จากแผนภาพ แสดงว่า รูปแบบของประพจน์ [( ) ( )] ( ) p q q r q r ....................... ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้....................................................... ตัวอย่างที่ 29 จงพิจารณาว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. ถ้าเก่งไปท างาน แล้วก้องอยู่บ้าน 2. ถ้าก้องไม่อยู่บ้าน แล้วกล้าเป็นคนดูแลบ้าน 3. กล้าไม่ได้เป็นคนดูแลบ้าน ผล เก่งไม่ได้ไปท างาน วิธีท า ให้ p แทนประพจน์“เก่งไปท างาน” q แทนประพจน์“ก้องอยู่บ้าน” r แทนประพจน์“กล้าเป็นคนดูแลบ้าน” เขียนแทนข้อความข้างต้นในรูปสัญลักษณ์ได้ดังนี้ เหตุ 1. p q 2. ~q r 3. ~r ผล ~p ดังนั้น รูปแบบของประพจนในการอ้างเหตุผลนี้คือ [( ) (~ ) ~ ] ~ p q q r r p ตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่ได้ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 41 สมมติให้ [( ) (~ ) ~ ] ~ p q q r r p เป็นเท็จ ..................................................................................................................... .................................... ..................................................................................................................... .................................... ......................................................................................................................................................... ..................................................................................................................... .................................... ......................................................................................................................................................... ..................................................................................................................... .................................... ..................................................................................................................... .................................... ......................................................................................................................................................... จากแผนภาพ แสดงว่า รูปแบบของประพจน์ [( ) (~ ) ~ ] ~ p q q r r p ...................................................... ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้....................................................... 1. ก าหนดให้p, q, r และ s เป็นประพจน์จงตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ 1) เหตุ 1. p q 2. p q r ผล r ...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................... ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................... ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................... 2) เหตุ 1. p q r 2. ~ ~ q r ผล ~p ................................................................................................................... ................................................... ................................................................................................................... ................................................... ............................................................................................... ....................................................................... ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... .......................................................................................................... ............................................................ ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... แบบฝึกทักษะที่ 2.7

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 42 3) เหตุ 1. p q 2. ~p r 3. ~r ผล p ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................... ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... ............................................................................................................... ....................................................... ................................................................................................................... ................................................... 4) เหตุ 1. ~p q 2. p 3. r ผล ~q ................................................................................................................... ................................................... ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................... ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................... ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... 5) เหตุ 1. p q ~ 2. r p 3. q 4. r s ผล s ............................................................................................................... ....................................................... ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................... ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................... ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 43 2. จงตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลในแต่ละข้อต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ 1) เหตุ 1. พัฒนาชอบสีฟ้า หรือ พัฒนีชอบสีชมพู 2. พัฒนาไม่ชอบสีฟ้า ผล พัฒนีไม่ชอบสีชมพู ...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................... ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... ......................................................................................................... ............................................................. ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................... 2) เหตุ 1. ถ้าโชคสร้างบ้านหลังใหม่เสร็จ แล้วครอบครัวของโชคจะย้ายมาอยู่ด้วย 2. ถ้าครอบครัวของโชคย้ายมาอยู่ด้วย แล้วโชคจะได้ดูแลพ่อแม่ที่ชราแล้ว ผล ถ้าโชคสร้างบ้านหลังใหม่เสร็จ โชคจะได้ดูแลพ่อแม่ที่ชราแล้ว ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... ..................................................................................................... ................................................................. ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................ ...................................................... ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... 3) เหตุ 1. ถ้าชัยท ายอดขายตามเป้าหมายที่ผู้จัดการตั้งไว้ แล้วเขาจะได้รับโบนัส 2. ชัยท ายอดขายตามเป้าหมายที่ผู้จัดการตั้งไว้ ผล ชัยได้รับโบนัส ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................... ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................... ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 44 4) เหตุ 1. ถ้าอิงฟ้าซื้อกระเป๋าถือสีด า แล้วอิงฟ้าจะซื้อรองเท้าสีด าด้วย 2. อิงฟ้าซื้อรองเท้าสีด า ผล อิงฟ้าซื้อกระเป๋าถือสีด า ................................................................................................................... ................................................... ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................... ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................... ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... 5) เหตุ 1. ถ้ามะนาวพบคนพิการที่ขายสลากกินแบ่งรัฐบาล แล้วมะนาวจะซื้อสลาก กินแบ่งรัฐบาล 2. มะนาวไม่ได้ซื้อสลากกินแบ่งรัฐบาล ผล มะนาวไม่พบคนพิการที่ขายสลากกินแบ่งรัฐบาล ...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... ..................................................................................................... ................................................................. ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................ ...................................................... ................................................................................................................... ................................................... ...................................................................................................................................................................... 2.8 ประโยคเปิด พิจารณาประโยค “เขาเป็นนักคณิตศาสตร์” ประโยคนี้ยังไม่ทราบว่าเป็นจริงหรือเท็จ จนกว่าจะทราบว่า เขา ในที่นี้เป็นใคร ถ้าแทน เขา ด้วย ยุคลิด ก็จะได้ประโยคที่เป็นจริงคือ ยุคลิดเป็นนักคณิตศาสตร์ ในท านองเดียวกัน ประโยค “x > 2” ถ้าแทน x ด้วย 3 จะได้ประโยค 3 > 2 ซึ่งเป็นจริง แต่ถ้าแทน x ด้วย 2 จะได้ประโยค 2 > 2 ซึ่งเป็นเท็จ ค าว่า เขา และ x ในประโยคข้างต้น เรียกว่า ..................... และประโยคดังกล่าวเรียกว่า............................ ตัวแปรที่ใช้ในประโยคเปิดจะแทนที่ด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์เช่น ในประโยคที่กล่าวมา ค าว่า เขา ให้ แทนที่ด้วยชื่อคน จะถือว่าเซตของคนเป็นเอกภพสัมพัทธ์ ในประโยค x > 2 ให้แทน x ด้วยจ านวน ซึ่งอาจก าหนดให้เซตของจ านวนเซตใดเซตหนึ่งเป็นเอกภพสัมพัทธ์ บทนิยาม 2 ประโยคเปิด คือ …………………………………………………………………………………………..

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 45 ประโยคเปิดจะไม่สามารถระบุค่าความจริงได้ว่าจริงหรือเท็จ แต่เมื่อแทนตัวแปรในประโยคเปิดด้วย สมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์จะได้ประพจน์ซึ่งมีค่าความจริง ก าหนดให้เอกภพสัมพัทธ์คิอ เซตของจ านวนจริง พิจารณาข้อความ 2x +1 = 3 จะเห็นว่าข้อความนี้เป็นประโยคเปิด เพราะมีตัวแปร x และเมื่อแทน x ด้วย จ านวนจริงใด ๆ แล้วได้ประพจน์เช่น แทน x ด้วย 0 ได้0 + 1 = 3 เป็น……………… แทน x ด้วย 1 ได้2 + 1 = 3 เป็น……………… แทน x ด้วย 2 ได้4 + 1 = 3 เป็น……………… ถ้าพิจารณาเฉพาะนิพจน์2x + 1 จะเห็นว่า……………………………………………… เพราะเมื่อแทน x ด้วย จ านวนจริงใด ๆ แล้ว……………………………………………… สัญลักษณ์แทนประโยคเปิดใด ๆ ที่มีx เป็นตัวแปร เขียนแทนด้วย ……………… การเชื่อมประโยคเปิดตัวยตัวเชื่อม , , และ ตลอดจนการเติม ~ ท าได้เช่นเดียวกับการเชื่อม ประพจน์ ตัวอย่าง ประโยคต่อไปนี้เป็นประพจน์หรือประโยคเปิด หรือไม่ใช่ทั้งประพจน์และประโยคเปิด ประโยค ประพจน์ ประโยคเปิด ไม่ใช่ทั้งประพจน์ และประโยคเปิด 1. เธอก าลังเรียนอยู่ในมหาวิทยาลัย 2. เขาเป็นนักเรียนที่ตั้งใจเรียนมากใช่หรือไม่ 3. ถ้า 2 เป็นจ านวนเฉพาะแล้ว 2 เป็นจ านวนคี่ 4. x 0 และ x เป็นจ านวนนับ 5. x เป็นจ านวนเต็ม หรือ x เป็นจ านวนอตรรกยะ 6. ถ้า x เป็นจ านวนเต็มแล้ว x เป็นจ านวนจริง 7. 2 x 9 8. 2 x x x 9 ( 3)( 3) 9. {2} {1, {1, 2}} 10. 2 ( 1)( 5) 4 5 x x x x

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่มที่ 2 เรื่อง ตรรกศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนคณะราษฎรบ ารุง จังหวัดยะลา 46 ประโยคต่อไปนี้เป็นประพจน์หรือประโยคเปิด หรือไม่ใช่ทั้งประพจน์และประโยคเปิด ประโยค ประพจน์ ประโยคเปิด ไม่ใช่ทั้งประพจน์ และประโยคเปิด 1. เขาก าลังเรียนอยู่ชั้น ม. 4 ใช่หรือไม่ 2. ถ้า {3} {0, 1} แล้ว 3 {0, 1} 3. 2 x x 6 0 4. เธอเป็นนักร้องเพลงไทยสากลของโรงเรียน 5. 1 2 x 6. กรุณาทิ้งขยะให้เป็นที่ 7. 6 2 1 2 x x 8. 2 2 1 1 2 4 และ 4 2 9. {1} {1, {1, 2}} 10. ถ้า x เป็นจ านวนเต็ม แล้ว x ไม่ใช่จ านวนจริง 2.9 ตัวบ่งปริมาณ ในวิชาคณิตศาสตร์จะพบว่ามีการใช้ข้อความ ส าหรับ x ทุกตัว และ ส าหรับ x บางตัว เสมอ เช่น ส าหรับ x ทุกตัว x + 0 = x เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเชตของจ านวนจริง ส าหรับ x บางตัว x + x = x 2 เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจ านวนจริง เรียก “ส าหรับ...ทุกตัว”" และ “ส าหรับ...บางตัว” ว่า ตัวบ่งปริมาณ (Quantifier) แทนด้วยสัญลักษณ์ ………………และ………………ตามล าดับ โดยใช้สัญลักษณ์ ………………แทน ส าหรับ x ทุกตัว ………………แทน ส าหรับ x บางตัว U แทน เอกภพสัมพัทธ์ แทน เซตของจ านวนจริง แทน เขตของจ านวนตรรกยะ แทน เชตของจ านวนเต็ม แทน เซตของจ านวนนับ พิจารณาข้อความ “ส าหรับ x ทุกตัว x + 0 = x เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจ านวนจริง” และ “ส าหรับ x บางตัว x + x = x 2 เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจ านวนจริง” จะเห็นว่าข้อความดังกล่าวประกอบด้วยส่วนที่เป็นตัว บ่งปริมาณและส่วนที่เป็นประโยดเปิดข้อความในลักษณะนี้เรียกว่า ……………………………………………… (Quantified statement) และข้อความข้างต้นอาจเขียนในรูปสัญลักษณ์ได้เป็น แบบฝึกทักษะที่ 2.8