แบบฝึกทักษะ แคลคูลัสเบื้องต้น เล่มที่ 2 เรื่องลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ปีการศึกษา 2563

แบบฝึกทกั ษะ รายวชิ า คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 5
รหสั วิชา ค33201

คณิตศาสตร์ ม.6

แคลคลู ัสเบอ้ื งตน้

เล่มท่ี

2

เร่ือง ลมิ ติ และความตอ่ เนอื่ งของฟงั ก์ชนั

ชือ่ ………………………………………..……….ชั้น ม.6/………เลขท่ี………

ครผู ูส้ อน ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่
ตาแหน่ง ครู วิทยฐานะ ครชู านาญการ

โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
สานกั งานเขตพน้ื ทกี่ ารศกึ ษามธั ยมศกึ ษา เขต 15

กระทรวงศึกษาธกิ าร

ก

คำนำ

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น จัดทาข้ึนเพ่ือใช้ประกอบการจัดกิจกรรม
การเรียนรู้กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 รหัสวิชา ค33201 ช้ัน
มัธยมศึกษาปีท่ี 6 ซึ่งสอดคล้องกับผลการเรียนรูและสาระการเรียนรูเพ่ิมเติม กลุ่มสาระการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช
2551 เป็นแบบฝึกทักษะท่ีใช้ประกอบการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ท่ีส่งเสริมให้ผู้เรียนเ กิดการ
เปล่ียนแปลงพฤติกรรมในการเรียนรู้ตามความสามารถของแต่ละคน เพื่อมุ่งเน้นให้ผู้เรียนมีความรู้
ความเขา้ ใจในบทเรียนได้ดี ส่งเสริมความก้าวหน้าทางการเรียนรู้ที่มุ่งเน้นผู้เรียนเป็นสาคัญ มุ่งพัฒนา
และส่งเสริมทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียน ซ่ึงได้แก่ ความสามารถในการ
แก้ปัญหา การให้เหตุผลความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ ฝึกให้ผู้เรียนทางานอย่างเป็นระบบ มีระเบียบวินัย
รอบคอบ มีความรับผิดชอบ ตระหนกั ในคณุ คา่ และมเี จตคติทดี่ ีต่อวิชาคณิตศาสตร์ รวมทั้งตอบสนอง
สาระ มาตรฐานการเรยี นรู้และตวั ช้ีวัดในรายวิชาคณติ ศาสตร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง แคลคูลัสเบื้องต้น เล่มน้ีเป็นเล่มที่ 2 เรื่อง ลิมิตและความ
ต่อเน่ืองของฟังก์ชัน เพ่ือให้การพัฒนาทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียนเป็นไปตาม
เปา้ หมาย ผเู้ รียนควรปฏบิ ัตติ ามขั้นตอนในการใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์อย่างครบถว้ น

ผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง แคลคูลัสเบ้ืองต้น เล่มนี้ คงเป็น
ประโยชน์ต่อผู้เรียนในการเรียนรู้ สามารถนาผู้เรียนไปสู่จุดหมายตามศักยภาพ เป็นผู้ท่ีมีคุณลักษณะ
อันพึงประสงค์ นาความรู้ไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจาวันได้ และเป็นแนวทางสาหรับผู้ท่ีมีความสนใจ
ต่อไป

ขอขอบพระคุณผู้อานวยการโรงเรียน คณะครูกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ผู้ท่ีมีส่วน
เกยี่ วข้องทกุ ท่าน ที่ไดอ้ านวยความสะดวก เป็นกาลังใจ ให้ความช่วยเหลือ และให้การสนับสนุน และ
ขอขอบใจนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 6 ทุกคนท่ีให้ความร่วมมือในกิจกรรมการเรียนรู้และทาให้แบบ
ฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์เลม่ นีส้ าเรจ็ ลุลว่ งด้วยดี ขอขอบคุณเปน็ อย่างสงู ไว้ ณ โอกาสน้ี

คุณค่าและประโยชน์ของแบบฝึกทักษะน้ี ผู้จัดทาขอมอบเป็นเครื่องบูชาพระคุณแด่บิดา
มารดา และบูรพาจารย์ ตลอดจนผู้มีพระคุณทุกท่าน ที่อบรมสั่งสอนประสิทธ์ิประสาทความรู้ทั้งปวง
แกผ่ ู้จัดทา

ครรชิต แซโ่ ฮ่
ตาแหน่ง ครู วทิ ยฐานะ ครูชานาญการ

สารบญั ข

เร่ือง หน้า

คานา ก
สารบญั ข
คาอธบิ ายรายวิชา 1
หนว่ ยการเรียนรู้ 2
โครงสร้างรายวชิ า 3
ลมิ ติ และความต่อเนอื่ งของฟังก์ชนั 4
4
1. ลมิ ิตของฟงั ก์ชัน 4
กจิ กรรมลมิ ติ ของฟงั กช์ นั 8
แบบฝกึ หดั ที่ 1 ลิมิตของฟังกช์ ันจากกราฟ 10
ทฤษฎบี ทเกีย่ วกับลมิ ติ ของฟงั กช์ ัน 11
แบบฝกึ หัดที่ 2 ลมิ ิตของฟงั ก์ชันโดยใช้ทฤษฎบี ท 14
แบบฝกึ หดั ที่ 3 ลมิ ิตของฟงั กช์ ัน 15
15
2. ความตอ่ เนอ่ื งของฟงั กช์ นั 17
กจิ กรรมความตอ่ เน่อื งของฟังก์ชนั 20
แบบฝึกหัดความตอ่ เนอ่ื งของฟังกช์ นั 22
ความต่อเนือ่ งบนชว่ ง
แบบฝึกหัดความตอ่ เนือ่ งบนช่วงของฟังกช์ ัน

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 2 เร่ือง ลิมติ และความตอ่ เน่อื งของฟังก์ชัน 1

รายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พม่ิ เติม 5 คาอธิบายรายวิชา รหัสวิชา ค33201
ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 6 ภาคเรียนที่ 1 4 ชวั่ โมง/สัปดาห์
80 ช่วั โมง/ภาคเรียน
2.0 หน่วยกติ

ศึกษา พรอ้ มท้ังฝึกทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์อนั ได้แก่ การแก้ปัญหา การใหเ้ หตุผล
การสื่อสาร การส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ การเช่อื มโยงความรตู้ า่ ง ๆ ทางคณติ ศาสตร์ และ
เชื่อมโยงคณิตศาสตรก์ บั ศาสตรอ์ น่ื ๆ และมีความคิดรเิ ริม่ สรา้ งสรรค์ ในเน้ือหาสาระ ดังน้ี

ลาดับและอนุกรม ลาดับ ได้แก่ ความหมายของลาดับ ลาดับจากัดและลาดับอนันต์ ลาดับ
เลขคณิต ลาดับเรขาคณิตและลาดับฮาร์มอนิก ลิมิตของลาดับ อนุกรม ได้แก่ อนุกรมจากัดและอนุกรมอนันต์
อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต อนุกรมอนันต์ สัญลักษณ์แสดงการบวก และการประยุกต์ของลาดับและ
อนุกรม

แคลคูลัสเบื้องต้น ลิมิตของฟังก์ชัน ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน การหาอนุพันธ์ของ
ฟังก์ชันโดยใช้สูตร อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ เส้นสัมผัสเส้นโค้ง อนุพันธ์อันดับสูง การประยุกต์ของอนุพันธ์
ได้แก่ การเคลอ่ื นทีแ่ นวตรง คา่ สูงสุดและคา่ ตา่ สดุ และโจทยป์ ัญหาเกย่ี วกับคา่ สูงสดุ และค่าต่าสุด ปฏิยานุพันธ์และ
ปริพันธไ์ ม่จากัดเขต ปรพิ นั ธจ์ ากดั เขต พืน้ ท่ีทป่ี ิดลอ้ มดว้ ยเส้นโคง้

โดยจัดประสบการณ์หรือสร้างสถานการณ์ท่ีใกล้ตัวให้ผู้เรียนได้ศึกษาค้นคว้าโดยปฏิบัติจริง ทดลอง สรุป
รายงาน เพอ่ื ใหม้ ีความรู้ความเข้าใจในเน้อื หา มที ักษะการแก้ปญั หา การใหเ้ หตุผลและนาประสบการณ์ด้านความรู้
ความคิด การใช้ทักษะชีวิต กระบวนการ และการใช้เทคโนโลยีท่ีได้ไปใช้ในชีวิตประจาวันได้ตามหลักปรัชญาของ
เศรษฐกจิ พอเพียง รวมท้งั ให้มีความรักชาติ ศาสน์ กษัตริย์ ซื่อสัตย์สุจริต มีวินัย ใฝ่เรียนรู้ อยู่อย่างพอเพียง มุ่งม่ัน
ในการทางาน รักความเปน็ ไทยและมจี ิตสาธารณะ

การวัดและประเมินผล ใช้วิธีการท่ีหลากหลายตามสภาพเป็นจริงให้สอดคล้องกับเนื้อหาและทักษะท่ี
ตอ้ งการวัด

ผลการเรียนรู้
1. ระบุได้ว่าลาดับทกี่ าหนดให้เป็นลาดับลเู่ ขา้ หรอื ล่อู อก
2. หาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณติ ได้
3. หาผลบวกของอนุกรมอนันต์ได้
4. เข้าใจและนาความรู้เก่ยี วกับลาดับและอนุกรมไปใช้
5. ตรวจสอบความตอ่ เนือ่ งของฟังกช์ นั ท่กี าหนดให้ได้
6. หาอนุพนั ธ์ของฟงั กช์ ันพชี คณิตทีก่ าหนดให้และนาไปใช้แก้ปัญหาได้
7. หาปรพิ ันธ์ไมจ่ ากัดเขตและจากดั เขตของฟังก์ชันพีชคณิตท่ีกาหนดให้ และนาไปใชแ้ กป้ ัญหาได้

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรื่อง ลิมติ และความต่อเน่ืองของฟังกช์ นั 2

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม 5 หนว่ ยการเรยี นรู้ รหัสวชิ า ค33201
ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6 ภาคเรยี นที่ 1 4 ชั่วโมง/สัปดาห์
80 ชวั่ โมง/ภาคเรียน
2.0 หนว่ ยกิต
ชัน้ เรียน/ภาคเรยี น สาระการเรียนรู้
จานวนชว่ั โมง
ม.6 1. ลาดบั และอนุกรม 30
ภาคเรยี นที่ 1 1.1 ลาดบั
- ความหมายของลาดบั 50
- ลาดบั เลขคณติ
- ลาดับเรขาคณิต 80
- ลาดับฮาร์มอนิก
1.2 ลิมติ ของลาดบั อนนั ต์
1.3 อนกุ รม
- อนกุ รมเลขคณติ
- อนุกรมเรขาคณิต
- อนุกรมอนนั ต์
1.4 สญั ลกั ษณ์แสดงการบวก
1.5 การประยุกต์ของลาดับและอนุกรม

2. แคลคูลัสเบ้ืองตน้
2.1 ลมิ ติ ของฟงั กช์ ัน
2.2 ความต่อเนื่องของฟังกช์ ัน
2.3 อนพุ ันธ์ของฟังก์ชนั พชี คณิต
2.4 การหาอนุพนั ธข์ องฟงั กช์ ันพชี คณิตโดยใช้สูตร
2.5 อนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ประกอบ
2.6 เสน้ สมั ผสั เสน้ โค้ง
2.7 อนพุ ันธ์อนั ดบั สูง
2.8 การประยกุ ตอ์ นุพันธ์
2.9 ปฏบิ านพุ ันธแ์ ละปรพิ ันธ์ไม่จากัดเขต
2.10 ปริพันธ์จากัดเขต
2.11 พน้ื ที่ทปี่ ิดล้อมดว้ ยเส้นโคง้

รวม

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรอื่ ง ลิมติ และความต่อเนือ่ งของฟังก์ชัน 3

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพ่ิมเตมิ 5 โครงสร้างรายวิชา รหสั วชิ า ค33201
ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 6 ภาคเรยี นที่ 1 4 ชั่วโมง/สปั ดาห์
80 ช่ัวโมง/ภาคเรยี น
2.0 หน่วยกิต

ลาดับ ชื่อ ผลการเรยี นรู้ สาระการเรยี นรแู้ กนกลาง เวลา น้าหนัก
ท่ี หน่วยการเรียนรู้ (ชั่วโมง) คะแนน

1 ลาดบั และอนุกรม 1. ระบุได้ว่าลาดบั ท่ี ลาดับและอนุกรม ลาดบั ได้แก่ 30 45

อนนั ต์ กาหนดใหเ้ ปน็ ลาดบั ลู่เข้า ความหมายของลาดับ ลาดับจากดั

หรอื ลูอ่ อก และลาดับอนนั ต์ ลาดับ

2. หาผลบวก n พจน์แรก เลขคณติ ลาดับเรขาคณิตและ

ของอนกุ รมเลขคณิตและ ลาดบั ฮาร์มอนิก ลมิ ติ ของลาดบั

อนกุ รมเรขาคณิตได้ อนุกรม ได้แก่ อนุกรมจากัดและ

3. หาผลบวกของอนุกรม อนกุ รมอนันต์ อนกุ รมเลขคณิต

อนนั ต์ได้ และอนุกรมเรขาคณิต อนกุ รม

4. เข้าใจและนาความรู้ อนนั ต์ สัญลักษณแ์ สดงการบวก

เกยี่ วกบั ลาดับและ และการประยุกต์ของลาดบั และ

อนกุ รมไปใช้ อนุกรม

2 แคลคูลัสเบื้องตน้ 5. ตรวจสอบความต่อเน่อื ง แคลคูลสั เบื้องตน้ ลิมติ ของ 50 55

ของฟังกช์ ันที่กาหนดให้ ฟังกช์ ัน ความต่อเนื่องของฟังกช์ ัน

ได้ อนพุ ันธข์ องฟังก์ชนั การหา

6. หาอนพุ ันธข์ องฟงั กช์ ัน อนพุ นั ธ์ของฟงั กช์ นั โดยใช้สตู ร

พีชคณติ ที่กาหนดใหแ้ ละ อนพุ ันธ์ของฟงั กช์ นั ประกอบ เส้น

นาไปใช้แก้ปัญหาได้ สัมผสั เส้นโค้ง อนุพันธอ์ ันดับสูง

7. หาปรพิ นั ธไ์ ม่จากัดเขต และการประยุกต์ของอนุพันธ์

และจากดั เขตของ ได้แก่ การเคล่ือนทแี่ นวตรง

ฟังกช์ นั พีชคณติ ท่ี ค่าสูงสุดและค่าต่าสุด และโจทย์

กาหนดให้ และนาไปใช้ ปัญหาเกย่ี วกบั ค่าสงู สดุ และค่า

แก้ปญั หาได้ ตา่ สุด ปฏิยานพุ ันธแ์ ละปริพนั ธ์ไม่

จากัดเขต ปริพนั ธ์จากดั เขต พน้ื ท่ี

ทีป่ ดิ ลอ้ มด้วยเส้นโคง้

รวมตลอดภาคเรียน 80 100

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เร่ือง ลิมิตและความต่อเนอ่ื งของฟังก์ชัน 4

ลมิ ติ และความตอ่ เนือ่ งของฟังก์ชนั

Mathematics

KANARAS

1. ลิมิตของฟังกช์ นั

บทนาความหมายของลมิ ติ ของฟังก์ชัน
พจิ ารณาจากการทากิจกรรมตอ่ ไปนี้

กิจกรรม
ลิมติ ของฟังก์ชนั

ตวั อย่างท่ี 1 กาหนดฟงั กช์ นั f (x)  x 1 จงหาคา่ ของฟงั กช์ ัน f เม่ือกาหนดคา่ x ดงั ตาราง

x  0 f (x) x  0 f (x)

-1 1
-0.5 0.5
-0.1 0.1
-0.01 0.01
-0.001 0.001
-0.0001 0.0001
-0.00001 0.00001

จากตาราง พบว่า x  0 และมคี า่ เขา้ ใกล้ 0 มากขน้ึ เร่อื ย ๆ คา่ ของ f (x) จะเขา้ ใกล้......................
จากตาราง พบว่า x  0 และมีค่าเข้าใกล้ 0 มากข้ึนเรอ่ื ย ๆ ค่าของ f (x) จะเขา้ ใกล.้ .....................

ตัวอยา่ งท่ี 2 กาหนดฟงั กช์ นั f (x)   x 2 1, x 1 จงหาค่าของฟังก์ชัน f เมื่อกาหนดคา่ x ดังตาราง

 3  x, x  1

x 1 f (x) x 1 f (x)

02

0.5 1.8

0.8 1.5

0.9 1.1

0.99 1.01

0.999 1.001

0.9999 1.0001

จากตาราง พบวา่ x 1 และมคี า่ เข้าใกล้ 1 มากข้ึนเรอ่ื ย ๆ ค่าของ f (x) จะเข้าใกล้......................
จากตาราง พบว่า x 1 และมีค่าเข้าใกล้ 1 มากขึน้ เรอื่ ย ๆ ค่าของ f (x) จะเขา้ ใกล.้ .....................

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรอ่ื ง ลมิ ติ และความต่อเน่ืองของฟังกช์ นั 5

ตวั อยา่ งที่ 3 กาหนดฟังกช์ ัน f ( x)   x 1, x2 จงหาคา่ ของฟังก์ชัน f เมอื่ กาหนดคา่ x ดงั ตาราง
3  x, x2

x  2 f (x) x  2 f (x)

13

1.9 2.1

1.99 2.01

1.999 2.001

1.9999 2.0001

1.99999 2.00001

1.99999 2.000001

จากตาราง พบวา่ x  2 และมคี ่าเขา้ ใกล้ 2 มากขน้ึ เร่ือย ๆ ค่าของ f (x) จะเขา้ ใกล้......................
จากตาราง พบวา่ x  2 และมคี า่ เขา้ ใกล้ 2 มากขนึ้ เรอื่ ย ๆ คา่ ของ f (x) จะเขา้ ใกล้......................

ตวั อย่างที่ 4 กาหนดฟังก์ชัน f มีกราฟดงั รปู

จากรปู พบวา่
ขณะ x  6 และมคี ่าเขา้ ใกล้ 6 มากขนึ้ เร่อื ย ๆ คา่ ของ f (x) จะเขา้ ใกล.้ .....................
ขณะ x  6 และมีคา่ เขา้ ใกล้ 6 มากข้นึ เร่ือย ๆ คา่ ของ f (x) จะเข้าใกล้......................
ขณะ x  3 และมคี ่าเขา้ ใกล้ 3 มากขึ้นเรอ่ื ย ๆ คา่ ของ f (x) จะเขา้ ใกล้......................
ขณะ x  3 และมคี ่าเข้าใกล้ 3 มากขึ้นเรอื่ ย ๆ คา่ ของ f (x) จะเขา้ ใกล.้ .....................
ขณะ x  0 และมคี ่าเขา้ ใกล้ 0 มากขึ้นเรือ่ ย ๆ ค่าของ f (x) จะเข้าใกล้......................
ขณะ x  0 และมีค่าเขา้ ใกล้ 0 มากขึน้ เรอ่ื ย ๆ ค่าของ f (x) จะเข้าใกล.้ .....................
ขณะ x  5 และมคี า่ เข้าใกล้ 5 มากข้นึ เรอ่ื ย ๆ คา่ ของ f (x) จะเขา้ ใกล.้ .....................
ขณะ x  5 และมคี ่าเขา้ ใกล้ 5 มากข้ึนเรื่อย ๆ ค่าของ f (x) จะเข้าใกล้......................
ขณะ x  9 และมคี า่ เข้าใกล้ 9 มากขึ้นเรอ่ื ย ๆ ค่าของ f (x) จะเขา้ ใกล้......................
ขณะ x  9 และมีคา่ เขา้ ใกล้ 9 มากขน้ึ เรือ่ ย ๆ คา่ ของ f (x) จะเข้าใกล้......................

จากกิจกรรมข้างต้นทาใหเ้ ราเข้าใจความหมายของลมิ ิตของฟังกช์ นั ไดด้ ังน้ี

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรื่อง ลมิ ิตและความตอ่ เนือ่ งของฟังกช์ ัน 6

บทนยิ าม

กาหนดให้ฟังก์ชัน f ใด ๆ ท่ีมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจานวนจริงและ a เป็น

จานวนจรงิ

1) ถ้าค่าของ f (x) เข้าใกล้จานวนจริง L เม่ือ x เข้าใกล้ a ท้ังทางด้านซ้ายและขวาของ a

แล้วจะเรียก L ว่า ลิมิตของ f ท่ี a ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ lim f (x)  L และ
xa

กล่าววา่ lim f (x) มคี ่าเทา่ กับ L
xa

2) ถ้าค่าของ f (x) เข้าใกล้จานวนจริง L1 เม่ือ x เข้าใกล้ a ทางด้านซ้าย จะเรียก L1 ว่า ลิมิต

ซา้ ยของ f (x) เมื่อ x เขา้ ใกล้ a ทางดา้ นซ้าย ซง่ึ เขยี นแทนด้วยสัญลักษณ์ lim f (x)  L1

xa

3) ถา้ คา่ ของ f (x) เข้าใกลจ้ านวนจรงิ L2 เม่ือ x เข้าใกล้ a ทางด้านขวา จะเรียก L2 ว่า ลิมิต

ขวาของ f (x) เมือ่ x เขา้ ใกล้ a ทางดา้ นขวา ซึง่ เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ lim f (x)  L2

xa

หมายเหตุ

1) ถา้ ไมม่ จี านวนจริง L ซึ่ง f (x) เข้าใกล้ L เมื่อ x เข้าใกล้ a แล้วจะกล่าวว่า “ f ไม่มีลิมิตท่ี a ”

หรอื กล่าววา่ “ lim f (x) ไม่มคี ่า”
xa

2) สาหรบั ฟงั กช์ ัน f ใด ๆ ถ้า f (x) เขา้ ใกล้ L เมื่อ x เข้าใกล้ a แล้ว L อาจไม่เท่ากับ f (a) ก็ได้

3) อาจแทนสัญลักษณ์ lim f (x)  L ด้วย “ f (x)  L เมื่อ x  a ” ซึ่งอ่านว่า “ f (x) เข้าใกล้
xa
L เมอื่ x เขา้ ใกล้ a ”

4) สัญลกั ษณ์ x  a แสดงถึงการพจิ ารณาค่าของ x ทน่ี ้อยกวา่ a เท่านั้น

5) สญั ลกั ษณ์ x  a แสดงถงึ การพจิ ารณาค่าของ x ที่มากกวา่ a เทา่ นน้ั

6) ในกรณที ่ี lim f (x) และ lim f (x) มคี ่า
xa xa

จะได้ว่า lim f (x)  L ก็ต่อเมือ่ lim f (x)  L  lim f (x)
xa xa xa

ตวั อยา่ งที่ 5 กาหนดให้ f เป็นฟังกช์ ัน ซึ่งมีกราฟดงั รูป

y  f (x)

วธิ ที า 1) lim f (x) = …………. 2) lim f (x) = …………. 3) lim f (x) = ………….
x2 x2 x2

4) lim f (x) = …………. 5) lim f (x) = …………. 6) lim f (x) = ………….
x4 x4 x4

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรอ่ื ง ลิมติ และความต่อเน่ืองของฟังก์ชนั 7

ตวั อยา่ งที่ 6 กาหนดให้ f (x)  1, x3 จงหา lim f (x)
วธิ ที า 2, x3
x3

เขียนกราฟของ f ไดด้ ังนี้



จากกราฟพบวา่ lim f (x) = …………. และ lim f (x) = ………….
x3 x3

นั่นคือ ………………………………………………….

ดงั น้ัน ………………………………………………….

ตวั อยา่ งที่ 7 กาหนดให้ f (x)   2x, x  2 จงหา lim f (x)
วิธที า 4, x2 x2

เขียนกราฟของ f ได้ดังนี้

จากกราฟพบวา่ lim f (x) = …………. และ lim f (x) = ………….
x2 x2

นน่ั คอื ………………………………………………….

ดังน้นั ………………………………………………….

ตวั อยา่ งที่ 8 กาหนดให้ f ( x)   x2 1, x0 จงหา lim f (x)
วธิ ีทา  1 x 1, x0
 2 x0


เขียนกราฟของ f ได้ดงั น้ี

จากกราฟพบวา่ lim f (x) = …………. และ lim f (x) = ………….
x0 x0

นั่นคอื ………………………………………………….

ดงั น้ัน ………………………………………………….

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เร่อื ง ลมิ ิตและความตอ่ เนื่องของฟังก์ชนั 8

แบบฝกึ หดั ท่ี 1
ลิมติ ของฟังกช์ ันจากกราฟ

1. จากกราฟของฟังกช์ นั f ท่ีกาหนดให้ จงหา




1) lim f (x) = ………… 2) lim f (x) = ………… 3) lim f (x) = …………
x1 x1 x1

4) lim f (x) = ………… 5) lim f (x) = ………… 6) lim f (x) = …………
x1 x1 x1

2. จากกราฟของฟงั กช์ นั g ทก่ี าหนดให้ จงหา
Y

1 X

1 3) lim g(x) = …………
x0
0
6) lim g(x) = …………
-1 x1

1) lim g(x) = ………… 2) lim g(x) = …………
x0 x0

4) lim g(x) = ………… 5) lim g(x) = …………
x1 x1

3. กาหนดกราฟของฟงั ก์ชัน y  f (x) ดงั แสดงในรปู

1) lim f (x) = ………… 2) lim f (x) = ………… 3) lim f (x) = …………
x1 x1 x1

4) lim f (x) = ………… 5) lim f (x) = ………… 6) lim f (x) = …………
x5 x5 x5

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 2 เรอื่ ง ลมิ ติ และความตอ่ เน่อื งของฟังกช์ ัน 9
4. กาหนดกราฟของฟงั ก์ชัน y  f (x) ดังแสดงในรปู

1) lim f (x) = ………… 2) lim f (x) = ………… 3) lim f (x) = …………
x0 x0 x0

4) lim f (x) = ………… 5) lim f (x) = ………… 6) lim f (x) = …………
x3 x3 x3

5. กาหนดกราฟของฟงั กช์ ัน y  g(t) ดังแสดงในรูป

1) lim g(t) = ………… 2) lim g(t) = ………… 3) lim g(t) = …………
t 0 t 0 t 0

4) lim g(t) = ………… 5) lim g(t) = ………… 6) lim g(t) = …………
t 2 t 2 t2

6. กาหนดกราฟของฟังกช์ ัน y  f (x) ดังแสดงในรปู X

Y 3) lim f (x) = …………
x2
2
–2 2 6) lim f (x) = …………
x2
–2

1) lim f (x) = ………… 2) lim f (x) = …………
x2 x2

4) lim f (x) = ………… 5) lim f (x) = …………
x2 x2

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เร่ือง ลมิ ติ และความตอ่ เนือ่ งของฟังก์ชนั 10

ทฤษฎีบทเกยี่ วกบั ลิมิตของฟังก์ชนั
การหาค่าลิมิตของฟังก์ชัน นอกจากจะหาโดยใช้บทนิยามข้างต้นแล้ว ยังมีทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตท่ีจะ

ช่วยทาให้หาคา่ ลมิ ิตของฟังก์ชันได้รวดเร็วยิง่ ข้นึ ดงั ตอ่ ไปนี้

กาหนดให้ a,c, A, B เป็นจานวนจรงิ และ n เป็นจานวนนับ ถ้า f , g เป็นฟงั ก์ชันท่ีมีโดเมน

และเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจานวนจรงิ โดยท่ี lim f (x)  A และ lim g(x)  B แลว้
xa xa

1. lim c =……………………………………………………………………………………………………………
xa

2. lim cf (x) =……………………………………………………………………………………………………
xa

3. lim  f (x)  g(x)=……………………………………………………………………………………….
xa

4. lim  f (x) g(x)=………………………………………………………………………………………….
xa

5. lim  f (x)  =…………………………………………………………………………………………………
 g(x) 
xa  

6. lim  f (x)n =…………………………………………………………………………………………………
xa

7. lim n f (x) =………………………………………………………………………………………………….
xa

การหาลมิ ิตของฟงั กช์ ันพหุนาม

8. lim x =………………………………………………………………………………………………………………..
xa

9. lim xn =………………………………………………………………………………………………………………
xa

10. xlima(cnxn  cn1xn1 ... c1x  c0) =……………………………………………………………….

หมายเหตุ ทฤษฎบี ทขา้ งตน้ ยงั คงเป็นจริงสาหรบั คา่ ของลิมติ ดา้ นเดยี ว ( lim f (x), lim f (x) )
ตวั อยา่ งที่ 9 xa xa

จงหาลิมติ ของฟังก์ชันตอ่ ไปน้ี

1) lim(5)=………………………………………….. 2) lim x =…………………………………………….
x1 x3

3) lim 5x3=…………………………………………… 4) lim x4 =………………………………………...
x2 x 2

5) lim (3x4  7x) =………………………………. 6) lim(3x2  5x  6) =………………………...
x1 x2

7) lim(x3  5)(x2  x) =………………………… 8) lim x2  2x  3 =……………………….......
x1
x2 2x 1

9) lim x(x 1)3 x  2 =………………………… 10) 3 4x  x2 =……………………….....
lim
x3 x3 x 1

11) lim x  8 =………………………………. 12) lim 3 3x2  4x 5 =……………………..
x4 x2
25  x2

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 2 เรอ่ื ง ลมิ ิตและความต่อเนือ่ งของฟังก์ชนั 11

แบบฝึกหดั ท่ี 2
ลิมิตของฟังก์ชนั
โดยใช้ทฤษฎบี ท

1. จงหาลิมติ ตอ่ ไปนี้ ถ้าลมิ ิตมีค่า

1) lim(3x4  7x) 2) lim(4x3  6x2  9x)
x2 x1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3) lim(x3  2x  5)(x2  3x) 4) lim(3x2  4x  9)(5x2  2x 1)
x2 x5

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5) 5x2  2x 1 6) lim a0  a1x  a 2 x2  . . .  a10 x10
lim x0 b0  b1x  b2 x2  . . .  b10 x10
x3 6x  7

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7) lim (3x  4)(3x4  7x) 8) lim(3x2  7x  2)3
x0
x2 5x2  2x 1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

9) lim (4x2  4x  9)3 10) lim x3  3x2  2
x 1
x1 3x2  2

2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

11) lim x  3 2x 12) x2 1
lim
x8 4  16 x3 x  3

x

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

13) lim x3 1 14) lim1023x
x2 x1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

15) lim x3 16) lim sin  2 x+  
 4 
x2 x2  9 x

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เร่ือง ลิมิตและความตอ่ เนื่องของฟังก์ชนั 12

ในการใช้ทฤษฎีบทข้างต้น เมื่อหาลิมิตแล้วจะอยู่ในรูป 0 ,  , 0,   , 00, 0 เราไม่อาจจะตอบ

0

ได้เลยว่าค่าลิมิตหาค่าได้หรือไม่มีค่า เรียกรูปแบบลิมิตน้ีว่า รูปแบบยังไม่กาหนด (Indeterminate Form : IF)
ซ่งึ มขี ั้นตอนการหาลิมติ ของฟังกช์ นั ไดด้ ังน้ี

กรณีท่ี 1 ใช้วิธีแยกตวั ประกอบ

เช่นพจิ ารณา lim x2  3x ถา้ หาลิมติ โดยใช้ทฤษฎีบท จะได้ว่า lim x2  3x  0
x2  2x 15 x2  2x 15 0
x3 x3

ในกรณีแบบนี้ยังสรุปค่าลิมิตแน่ชัดอะไรไม่ได้ ให้ใช้วิธีแยกตัวประกอบของตัวเศษหรือตัวส่วนเสียก่อน

จากนนั้ ลดทอนพจน์ที่หารกนั ได้แล้วจึงแทนหาลิมติ อกี ครั้ง

ตัวอยา่ งที่ 1 จงหา lim x2  3x
วธิ ที า
x3 x2  2x 15

lim x2  3x =……………………………………………………………..

x3 x2  2x 15

=……………………………………………………………..

=……………………………………………………………..

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหา lim 2x2 9x 5
วิธที า
x5 x2 10x  25

lim 2x2  9x  5 =……………………………………………………………..
x5 x2 10x  25

=……………………………………………………………..

=……………………………………………………………..

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงหา lim x2  4
วธิ ีทา x3  8
x2

lim x2  4 =……………………………………………………………..

x2 x3 8 =……………………………………………………………..
=……………………………………………………………..
=……………………………………………………………..

ตัวอยา่ งที่ 4 จงหา lim 9x 8 3x  9
วธิ ีทา 3x1  27
x2

lim 9x  83x  9 =……………………………………………………………..

x2 3x1  27

=……………………………………………………………..

=……………………………………………………………..

=……………………………………………………………..

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 2 เร่อื ง ลิมิตและความตอ่ เน่ืองของฟังกช์ นั 13

กรณที ่ี 2 ใช้วิธสี ังยุคหรือคอนจเู กต (conjugate)

เชน่ พจิ ารณา lim 2  4  x เมอ่ื หาค่าลมิ ิตโดยใชท้ ฤษฎีบท จะไดว้ ่า lim 2  4  x  0
x0 x x0 x 0

ซ่ึงเป็นรูปแบบยังไม่กาหนด โจทย์ลักษณะน้ีไม่สะดวกที่จะแยกตัวประกอบควรใช้วิธีทาเศษและส่วนให้มี

เทอมทีห่ ารกนั ได้ โดยการนาสงั ยุคหรอื คอนจูเกตของตัวเศษหรอื ตัวส่วนท่ีมีพจน์ที่ติดรากที่สอง(หรือรากท่ีสาม)คูณ

ท้ังเศษและสว่ น หลังจากนนั้ จะมีพจน์ที่หารกนั ได้ เมื่อหารกนั แลว้ จงึ แทนคา่ หาลิมิตอีกครั้ง

ตวั อย่างที่ 5 จงหา lim 2  4  x

x0 x

วิธที า lim 2  4  x =……………………………………………………………..
x0 x

=……………………………………………………………..

=……………………………………………………………..

ตวั อยา่ งที่ 6 จงหา lim x2  3x
วธิ ีทา
x3 4  x2  7

lim x2  3x =……………………………………………………………..
x3 4  x2  7 =……………………………………………………………..

=……………………………………………………………..

=……………………………………………………………..

=……………………………………………………………..

ตวั อย่างท่ี 7 จงหา lim 3 x 1 =……………………………………………………………..
วิธีทา
x1 x 1 =……………………………………………………………..
lim 3 x 1 =……………………………………………………………..
x1 x 1 =……………………………………………………………..
=……………………………………………………………..
=……………………………………………………………..
=……………………………………………………………..
=……………………………………………………………..

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 2 เร่อื ง ลิมติ และความต่อเนอ่ื งของฟังก์ชนั 14

แบบฝึกหัดท่ี 3
ลิมิตของฟงั กช์ ัน

1. จงหาลิมติ ต่อไปนี้ ถ้าลมิ ิตมีค่า

1) lim x2 x2 1 2 2) lim x2  4 6
 3x  x2  x 
x1 x2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3) lim x6 1 4) lim x3  6x2 12x  8

x1 x4 1 x2 x3  2x2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5) lim x  4 6) lim x2  81

x4 x  2 x9 x  3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7) lim x 16  4 8) lim x  4  2

x0 x x8 x  8

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

9) lim 2  3x  2 10) lim 2x  x2

x0 2x x0 3x  5  5

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 2 เรื่อง ลิมติ และความต่อเน่ืองของฟังก์ชัน 15

2. ความต่อเน่ืองของฟังก์ชนั

พจิ ารณาจากการทากิจกรรมตอ่ ไปน้ี

กิจกรรม
ความต่อเนือ่ งของฟงั กช์ ัน

ถ้า y  f (x) เป็นฟังก์ชันที่สามารถลากเส้นกราฟได้ต่อเนื่องทุกค่า x ในโดเมนของ f หรือสามารถ
เขียนกราฟไดต้ ่อเน่ืองตลอดเสน้ โดยไม่ต้องยกปลายปากกา แสดงวา่ y  f (x) เป็นฟังกช์ ันต่อเน่ือง ตวั อยา่ งเช่น

ฟังกช์ นั y  f (x)  x2 เมือ่ เขยี นกราฟจะได้ ดงั นี้

จะเห็นว่า สามารถลากเส้นกราฟต่อเนื่องเป็นเส้นเดียวได้ตลอด น่ันคือ y  f (x)  x2 เป็นฟังก์ชัน
ต่อเนื่องทุกคา่ x ในโดเมนของ f

ฟงั ก์ชนั f (x)  1, x  0 เม่อื เขียนกราฟจะได้ ดังน้ี
x,
x0

จะเห็นว่า ไม่สามารถลากเส้นกราฟต่อเนื่องเป็นเส้นเดียวได้ตลอด โดยเฉพาะที่จุด x  0 น่ันคือ f (x)
เปน็ ฟังกช์ ันทไี่ ม่ตอ่ เน่ืองท่จี ดุ x  0

โดยท่ัวไป จะนยิ ามฟังกช์ ันตอ่ เนือ่ งได้ดังน้ี

บทนยิ าม ให้ f เปน็ ฟังก์ชนั ซ่งึ นิยามบนช่วงเปิด (a,b) และ c(a,b)
จะกล่าววา่ f เป็น ฟงั กช์ นั ต่อเนอื่ ง (continuous function) ที่ x  c ก็ต่อเมือ่

lim f (x)  f (c)

xc

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรอื่ ง ลิมติ และความต่อเนื่องของฟังก์ชนั 16

จากบทนิยาม ถ้า f เปน็ ฟงั กช์ ันตอ่ เนอ่ื งท่ี x  c ต้องมีสมบตั คิ รบทง้ั สามขอ้ ดงั ต่อไปนี้

1. ……………………………………………………………………

2. ……………………………………………………………………

และ 3. ……………………………………………………………………

ถา้ ฟังกช์ ัน f ขาดสมบัตขิ ้อใดขอ้ หนึง่ แล้ว เราจะกลา่ วว่า f เป็นฟงั กช์ นั ไม่ตอ่ เนอื่ งท่ี x  c

ตวั อย่างท่ี 1 กาหนดให้ f ( x)   x2 4 , x2
วธิ ีทา  x 2

2, x  2

จงพจิ ารณาว่าฟงั ก์ชัน f เปน็ ฟงั ก์ชันตอ่ เนื่องที่ x  2 หรอื ไม่

จากฟงั กช์ นั f ท่ีกาหนด จะได้ f (2) =…………………………………..

และ lim f (x) =………………………………………………….
x2

เนื่องจาก ……………………………………………………………………

ดงั นั้น ฟังก์ชนั f เป็นฟังกช์ นั ………………………………………………….

ตัวอยา่ งที่ 2 กาหนดให้ f ( x)   x2  4 , x2
วธิ ที า  x2

4, x  2

จงพจิ ารณาวา่ ฟงั ก์ชนั f เปน็ ฟงั ก์ชนั ตอ่ เน่อื งท่ี x  2 หรือไม่

จากฟงั ก์ชัน f ท่ีกาหนด จะได้ f (2) =…………………………………..

และ lim f (x) =………………………………………………….
x2

เนื่องจาก ……………………………………………………………………

ดงั นนั้ ฟงั กช์ ัน f เป็นฟังกช์ ัน………………………………………………….

ตัวอยา่ งท่ี 3 กาหนดให้ f (x)  | x 1|
วธิ ที า
จงพจิ ารณาว่าฟงั ก์ชัน f เป็นฟงั กช์ นั ต่อเน่ืองที่ x  1 หรือไม่

จากฟงั กช์ ัน f ทกี่ าหนด จะได้ f (1) =…………………………………..

จาก f (x)  | x 1|

จะได้ f ( x)  ..................., x  1
..................., x  1
เนือ่ งจาก
และ lim f (x) =…………………………………..
จะไดว้ ่า
ดังนน้ั x1
เนอ่ื งจาก
lim f (x) =…………………………………..

x1

lim f (x) ………. lim f (x)
x1 x1

lim f (x) =…………………………………..
x1

……………………………………………………………………

ดงั นนั้ ฟงั กช์ ัน f เป็นฟงั กช์ นั ………………………………………………….

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 2 เรื่อง ลมิ ิตและความตอ่ เนื่องของฟังก์ชนั 17

ตวั อย่างที่ 4 กาหนดให้ g(x)  6  x , x2
วิธที า  2

k 1, x  2

จงหาคา่ k ทีท่ าให้ฟังก์ชัน g เป็นฟงั กช์ นั ตอ่ เนอื่ งที่ x  2

เน่ืองจากฟงั ก์ชนั g เป็นฟังก์ชันต่อเนอื่ งท่ี x  2 จะได้ว่า …………………………………………………

และจากฟงั ก์ชนั g ท่กี าหนด จะได้ g(2) =……………………………………

และ lim g(x) =………………………………………………………..
x2

ดังนัน้ …………………………………………………………………………..

นน่ั คือ …………………………………………………………………………..

แบบฝกึ หดั
ความตอ่ เนอ่ื งของฟังก์ชนั

1. จงพจิ ารณาว่าฟังก์ชนั ตอ่ ไปนี้เปน็ ฟังก์ชันต่อเนอื่ ง ณ จุดที่กาหนดหรือไม่
1) f (x) 3x 1 ท่ี x  0

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2) f (x)  x 1, x 1 ท่ี x 1
3  x, x 1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3)  x2  16 , x4 ที่ x  4
 x  4
f ( x)  
1
 4 , x4

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรือ่ ง ลมิ ิตและความต่อเนือ่ งของฟังกช์ นั 18

4)  x2 1 , x 1 ท่ี x 1
 x3 1
f ( x)  
2
 3 , x 1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5) f (x)  | x  1| , x  1 ที่ x  1
 x  1

1, x  1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. จงหาคา่ k ท่ีทาให้ฟังก์ชันท่กี าหนดใหต้ อ่ ไปนี้เป็นฟงั กช์ ันต่อเนื่อง ณ จดุ ท่กี าหนดให้

1) กาหนดให้ f ( x)  kx2 , x 1 ที่ x 1

7 x  2, x 1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2) กาหนดให้ f ( x)  2x  k , x  2 ที่ x2
kx2 ,
x2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 2 เรือ่ ง ลิมติ และความต่อเน่ืองของฟังก์ชัน 19

3) กาหนดให้  2  x 3 , x 1 ท่ี
 x 1
g ( x)   x 1

kx 1, x 1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

 ax  b, x  1

3. กาหนดให้ g ( x)   x2  6x 6 , 1  x  6 โดยที่ g เปน็ ฟังก์ชนั ต่อเน่ืองท่ี x 1และ x  6 จงหา9a  44b
 x2  5x 

 bx  a, x  6

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

 x3 , x3
4. กาหนดให้  2x 10  x 13 โดยที่ เปน็ จานวนจริง
f (x)   a

a, x  3

ถ้า f เปน็ ฟงั กช์ นั ตอ่ เน่อื งท่ี x  3 แล้ว a มคี ่าเทา่ กับเทา่ ใด

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรอื่ ง ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังกช์ นั 20

การพิจารณาความต่อเนื่องของฟังก์ชัน นอกจากพิจารณาโดยใช้บทนิยามท่ีผ่านมา เรายังสามารถใช้
ทฤษฎบี ทความตอ่ เนื่องของฟงั กช์ นั จะทาให้สะดวกรวดเร็วขึ้น ดังน้ี

ทฤษฎีบท 1 ถา้ f และ g เปน็ ฟังก์ชันต่อเนื่องท่ี x  a แล้ว
1. f  g เปน็ ฟังกช์ ันตอ่ เน่อื งที่ x  a
2. f  g เปน็ ฟังกช์ ันตอ่ เนอื่ งท่ี x  a
3. f  g เป็นฟงั กช์ ันตอ่ เนอื่ งท่ี x  a

4. f เปน็ ฟังกช์ นั ต่อเน่อื งท่ี x  a เมอ่ื g(a)  0

g

ทฤษฎีบท 2 1. ถา้ f เปน็ ฟงั ก์ชันพหุนาม ที่ f (x)  anxn  an1xn1 ... a1x  a0 แลว้
ฟังก์ชนั f เป็นฟงั ก์ชันต่อเนอ่ื งที่ x  a เมื่อ a เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ

2. ถ้า f เป็นฟงั กช์ ันตรรกยะ ท่ี f (x)  p(x) เม่อื p(x) และ q(x) เป็นฟงั ก์ชัน

q(x)

พหุนาม แลว้ ฟงั ก์ชัน f เป็นฟังกช์ ันต่อเนือ่ งท่ี x  a เมื่อ a เป็นจานวนจริงใด ๆ ซึง่ q(a)  0

ตัวอยา่ งท่ี 5 จากทฤษฎีบท 1, 2 จะได้ว่า

1) f (x)  3x4  3x3  5x 8 เปน็ ฟงั ก์ชนั พหนุ าม

ดังนนั้ f เป็นฟงั ก์ชันตอ่ เนื่องทีท่ กุ ค่า x

2) f (x)  x2  3x  5 เป็นฟังกช์ ันตรรกยะ

x2

ดงั น้นั f เปน็ ฟงั กช์ ันตอ่ เน่ืองที่ทกุ ค่า x {2}

3) เนื่องจาก f (x)  | x | เปน็ ฟงั กช์ ันตอ่ เน่ืองท่ี x 1 และ g(x)  2x เป็นฟังก์ชันต่อเน่ือง

ที่จุด x 1 ดังน้นั
f (x)  g(x)  | x | 2x เปน็ ฟงั ก์ชนั ต่อเนอ่ื งที่ x 1

f (x)  g(x)  | x | 2x เปน็ ฟังกช์ นั ต่อเนื่องที่ x 1

f (x) g(x)  | x | 2x เปน็ ฟังก์ชันตอ่ เนือ่ งท่ี x 1

f (x)  | x | เปน็ ฟงั กช์ นั ตอ่ เนอ่ื งท่ี x 1

g(x) 2x

ความต่อเนอ่ื งบนชว่ ง

ที่กล่าวมาแล้วเป็นการพิจารณาความต่อเนื่องของฟังก์ชันที่จุด ๆ หน่ึง โดยทั่วไปเราสามารถนิยามความ

ต่อเน่อื งของฟงั กช์ นั บนช่วงเปิดและช่วงปดิ ดงั นี้

บทนิยาม

1. ฟงั กช์ นั f เป็นฟงั ก์ชนั ตอ่ เนื่องบนช่วง (a,b) ก็ต่อเม่อื f เปน็ ฟังก์ชันตอ่ เน่อื งทีท่ ุกจุดในชว่ ง (a,b)

2. ฟงั กช์ นั f เปน็ ฟงั ก์ชนั ตอ่ เน่ืองบนช่วง [a,b] กต็ อ่ เมอื่

1) ฟงั กช์ ัน f เปน็ ฟังก์ชันตอ่ เน่อื งที่ทกุ จุดในชว่ ง (a,b) และ

2) lim f (x)  f (a) และ lim f (x)  f (b)
xa xb

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรื่อง ลมิ ิตและความต่อเน่ืองของฟังก์ชัน 21

บทนิยาม (ตอ่ )
3. ฟงั กช์ ัน f เปน็ ฟังก์ชนั ต่อเนื่องบนช่วง (a,b] กต็ ่อเมือ่

1) ฟงั กช์ นั f เปน็ ฟงั ก์ชนั ต่อเนอ่ื งที่ทุกจดุ ในชว่ ง (a,b) และ
2) lim f (x)  f (b)

xb

4. ฟังก์ชนั f เป็นฟังกช์ ันต่อเน่ืองบนช่วง [a,b) กต็ ่อเมือ่
1) ฟงั ก์ชนั f เป็นฟังกช์ ันตอ่ เนื่องท่ที ุกจุดในชว่ ง (a,b) และ
2) lim f (x)  f (a)

xa

ตัวอยา่ งท่ี 6 กาหนดให้ f (x)  1 x2 จงแสดงว่า ฟังก์ชนั f เปน็ ฟังก์ชันต่อเนื่องบนชว่ ง [1,1]
วิธีทา
จะแสดงว่า ฟงั กช์ นั f เป็นฟังก์ชันต่อเน่อื งทที่ ุกจดุ ในชว่ ง (1,1)
ตัวอย่างท่ี 7
วิธีทา ให้ c (1,1)

เนือ่ งจาก 1 c 1 จะไดว้ า่ c2 1 หรอื 1 c2  0 ดงั น้ัน 1 c2  0

จะไดว้ า่ f นยิ ามที่ c และ f (c)  1 c2

และจะได้ lim f (x)  lim 1 x2  lim(1 x2)  1 c2
xc xc xc

ดงั น้นั lim f (x)  f (c)
xc

สรปุ ไดว้ า่ f เปน็ ฟังกช์ นั ต่อเน่ืองบนช่วง (1,1)

ต่อไปจะแสดงวา่ lim f (x)  f (1) และ lim f (x)  f (1)
x1 x1

เน่อื งจาก lim f (x)  lim 1 x2  lim (1 x2)  0
x1 x1 x1

และ f (1)  0

จะได้ lim f (x)  f (1)
x1

และ lim f (x)  lim 1 x2  lim(1 x2)  0
x1 x1 x1

และ f (1)  0

จะได้ lim f (x)  f (1)
x1

ดังนน้ั ฟงั ก์ชนั f เปน็ ฟังก์ชนั ตอ่ เนือ่ งบนช่วง [1,1]

กาหนดให้ f (x)  1 จงพิจารณาว่า f เป็นฟังกช์ ันต่อเนอ่ื งบนชว่ งต่อไปน้ีหรอื ไม่
x2  4

1) (, 2) 2) (2,3]

1) ให้ c (, 2)

เน่ืองจาก c  2 จะไดว้ ่า c2  4 หรอื c2  4  0 ดงั น้นั c2  4  0

จะได้วา่ f นยิ ามท่ี c และ f (c)  1

c2  4

และจะได้ lim f (x)  lim 1  1  1
xc xc x2  4 lim(x2  4) c2  4

xc

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 2 เรื่อง ลมิ ิตและความตอ่ เนื่องของฟังก์ชัน 22

ดังน้นั lim f (x)  f (c)
xc

สรปุ ได้วา่ f เปน็ ฟังก์ชันตอ่ เนื่องบนชว่ ง (,2)

2) ……………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกึ หดั
ความต่อเนื่องบนช่วง

ของฟังก์ชนั

กาหนดให้ f (x)  2 จงพจิ ารณาวา่ f เป็นฟังกช์ ันต่อเนอ่ื งบนช่วงตอ่ ไปนหี้ รอื ไม่

x4

1) (, 4) 2) (4,6] 3) (4,)

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา