เฉลยแบบฝึกทักษะ แคลคูลัสเบื้องต้น เล่มที่ 2 เรื่องลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

รายวิชา คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เติม 5

เฉลยแบบฝกึ ทักษะ รหสั วิชา ค33201

คณิตศาสตร์ ม.6

แคลคูลสั เบอื้ งต้น

เล่มท่ี

2

เรื่อง ลิมติ และความตอ่ เน่อื งของฟังก์ชัน

ครผู สู้ อน ครคู รรชิต แซ่โฮ่
ตาแหน่ง ครู วิทยฐานะ ครูชานาญการ

โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
สานักงานเขตพ้นื ทีก่ ารศกึ ษามัธยมศึกษา เขต 15

กระทรวงศึกษาธิการ

ก

คำนำ

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง แคลคูลัสเบื้องต้น จัดทาขึ้นเพ่ือใช้ประกอบการจัดกิจกรรม
การเรียนรู้กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม 5 รหัสวิชา ค33201 ชั้น
มัธยมศึกษาปีท่ี 6 ซึ่งสอดคล้องกับผลการเรียนรูและสาระการเรียนรูเพิ่มเติม กลุ่มสาระการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน พุทธศักราช
2551 เป็นแบบฝึกทักษะท่ีใช้ประกอบการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ที่ส่งเสริมให้ผู้เรียนเกิดการ
เปลี่ยนแปลงพฤติกรรมในการเรียนรู้ตามความสามารถของแต่ละคน เพื่อมุ่งเน้นให้ผู้เรียนมีความรู้
ความเขา้ ใจในบทเรียนได้ดี ส่งเสริมความก้าวหน้าทางการเรียนรู้ที่มุ่งเน้นผู้เรียนเป็นสาคัญ มุ่งพัฒนา
และส่งเสริมทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียน ซ่ึงได้แก่ ความสามารถในการ
แก้ปัญหา การให้เหตุผลความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ ฝึกให้ผู้เรียนทางานอย่างเป็นระบบ มีระเบียบวินัย
รอบคอบ มีความรบั ผิดชอบ ตระหนกั ในคุณคา่ และมีเจตคติทด่ี ตี อ่ วชิ าคณิตศาสตร์ รวมท้ังตอบสนอง
สาระ มาตรฐานการเรยี นรู้และตวั ช้ีวดั ในรายวิชาคณิตศาสตร์

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง แคลคูลัสเบื้องต้น เล่มนี้เป็นเฉลยเล่มที่ 2 เรื่อง ลิมิต
และความต่อเน่ืองของฟังก์ชัน เพื่อให้การพัฒนาทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียน
เปน็ ไปตามเปา้ หมาย ผเู้ รยี นควรปฏิบตั ติ ามข้ันตอนในการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตรอ์ ย่างครบถว้ น

ผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น เล่มนี้ คงเป็น
ประโยชน์ต่อผู้เรียนในการเรียนรู้ สามารถนาผู้เรียนไปสู่จุดหมายตามศักยภาพ เป็นผู้ท่ีมีคุณลักษณะ
อันพึงประสงค์ นาความรู้ไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจาวันได้ และเป็นแนวทางสาหรับผู้ที่มีความสนใจ
ต่อไป

ขอขอบพระคุณผู้อานวยการโรงเรียน คณะครูกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ผู้ที่มีส่วน
เกยี่ วขอ้ งทุกทา่ น ทไี่ ดอ้ านวยความสะดวก เป็นกาลังใจ ให้ความช่วยเหลือ และให้การสนับสนุน และ
ขอขอบใจนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6 ทุกคนท่ีให้ความร่วมมือในกิจกรรมการเรียนรู้และทาให้แบบ
ฝึกทักษะคณติ ศาสตรเ์ ล่มน้สี าเร็จลลุ ว่ งดว้ ยดี ขอขอบคุณเป็นอย่างสงู ไว้ ณ โอกาสนี้

คุณค่าและประโยชน์ของแบบฝึกทักษะน้ี ผู้จัดทาขอมอบเป็นเคร่ืองบูชาพระคุณแด่บิดา
มารดา และบูรพาจารย์ ตลอดจนผู้มีพระคุณทุกท่าน ที่อบรมส่ังสอนประสิทธิ์ประสาทความรู้ทั้งปวง
แกผ่ ู้จัดทา

ครรชติ แซโ่ ฮ่
ตาแหน่ง ครู วทิ ยฐานะ ครชู านาญการ

สารบญั ข

เร่ือง หน้า

คานา ก
สารบญั ข
คาอธบิ ายรายวิชา 1
หนว่ ยการเรียนรู้ 2
โครงสร้างรายวชิ า 3
ลมิ ติ และความต่อเน่อื งของฟงั ก์ชนั 4
4
1. ลมิ ิตของฟงั ก์ชัน 4
กจิ กรรมลิมติ ของฟังก์ชัน 8
แบบฝกึ หดั ที่ 1 ลิมติ ของฟังกช์ ันจากกราฟ 10
ทฤษฎบี ทเก่ยี วกับลิมติ ของฟงั กช์ ัน 11
แบบฝกึ หัดที่ 2 ลมิ ติ ของฟงั ก์ชันโดยใช้ทฤษฎบี ท 14
แบบฝกึ หดั ที่ 3 ลมิ ิตของฟงั กช์ ัน 15
15
2. ความตอ่ เนอ่ื งของฟงั กช์ ัน 17
กจิ กรรมความตอ่ เนื่องของฟังก์ชนั 20
แบบฝึกหัดความต่อเนอื่ งของฟังกช์ นั 22
ความต่อเน่อื งบนช่วง
แบบฝึกหัดความต่อเนอ่ื งบนช่วงของฟังกช์ ัน

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรื่อง ลิมิตและความตอ่ เนื่องของฟังกช์ นั 1

รายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เติม 5 คาอธิบายรายวชิ า รหัสวชิ า ค33201
ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 6 ภาคเรียนที่ 1 4 ชว่ั โมง/สปั ดาห์
80 ช่วั โมง/ภาคเรียน
2.0 หนว่ ยกิต

ศึกษา พรอ้ มทั้งฝกึ ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์อันได้แก่ การแก้ปญั หา การให้เหตุผล
การสื่อสาร การส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ การเชอื่ มโยงความรตู้ า่ ง ๆ ทางคณิตศาสตร์ และ
เช่อื มโยงคณิตศาสตร์กบั ศาสตร์อืน่ ๆ และมีความคิดรเิ ริ่มสร้างสรรค์ ในเน้อื หาสาระ ดังนี้

ลาดับและอนุกรม ลาดับ ได้แก่ ความหมายของลาดับ ลาดับจากัดและลาดับอนันต์ ลาดับ
เลขคณิต ลาดับเรขาคณิตและลาดับฮาร์มอนิก ลิมิตของลาดับ อนุกรม ได้แก่ อนุกรมจากัดและอนุกรมอนันต์
อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต อนุกรมอนันต์ สัญลักษณ์แสดงการบวก และการประยุกต์ของลาดับและ
อนุกรม

แคลคูลัสเบ้ืองต้น ลิมิตของฟังก์ชัน ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน การหาอนุพันธ์ของ
ฟังก์ชันโดยใช้สูตร อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ เส้นสัมผัสเส้นโค้ง อนุพันธ์อันดับสูง การประยุกต์ของอนุพันธ์
ได้แก่ การเคลื่อนทแี่ นวตรง คา่ สงู สุดและค่าตา่ สดุ และโจทยป์ ัญหาเกย่ี วกับคา่ สงู สดุ และค่าต่าสุด ปฏิยานุพันธ์และ
ปริพนั ธไ์ มจ่ ากัดเขต ปรพิ นั ธจ์ ากดั เขต พ้นื ทีท่ ปี่ ดิ ล้อมดว้ ยเส้นโคง้

โดยจัดประสบการณ์หรือสร้างสถานการณ์ที่ใกล้ตัวให้ผู้เรียนได้ศึกษาค้นคว้าโดยปฏิบัติจริง ทดลอง สรุป
รายงาน เพื่อให้มคี วามรคู้ วามเขา้ ใจในเน้ือหา มที กั ษะการแกป้ ญั หา การใหเ้ หตุผลและนาประสบการณ์ด้านความรู้
ความคิด การใช้ทักษะชีวิต กระบวนการ และการใช้เทคโนโลยีที่ได้ไปใช้ในชีวิตประจาวันได้ตามหลักปรัชญาของ
เศรษฐกิจพอเพยี ง รวมท้งั ให้มีความรักชาติ ศาสน์ กษัตริย์ ซ่ือสัตย์สุจริต มีวินัย ใฝ่เรียนรู้ อยู่อย่างพอเพียง มุ่งม่ัน
ในการทางาน รกั ความเปน็ ไทยและมจี ติ สาธารณะ

การวัดและประเมินผล ใช้วิธีการที่หลากหลายตามสภาพเป็นจริงให้สอดคล้องกับเนื้อหาและทักษะท่ี
ต้องการวัด

ผลการเรยี นรู้
1. ระบุได้วา่ ลาดบั ท่ีกาหนดใหเ้ ป็นลาดับล่เู ข้าหรอื ลอู่ อก
2. หาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ และอนุกรมเรขาคณติ ได้
3. หาผลบวกของอนุกรมอนนั ต์ได้
4. เข้าใจและนาความรเู้ กย่ี วกับลาดับและอนกุ รมไปใช้
5. ตรวจสอบความต่อเนือ่ งของฟังก์ชนั ท่ีกาหนดให้ได้
6. หาอนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชนั พีชคณิตทีก่ าหนดให้และนาไปใช้แก้ปัญหาได้
7. หาปรพิ นั ธ์ไมจ่ ากัดเขตและจากดั เขตของฟังกช์ นั พีชคณิตท่ีกาหนดให้ และนาไปใช้แก้ปัญหาได้

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรอื่ ง ลมิ ิตและความต่อเนอ่ื งของฟังก์ชนั 2

รายวิชาคณิตศาสตร์เพม่ิ เติม 5 หนว่ ยการเรียนรู้ รหัสวิชา ค33201
ชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 6 ภาคเรียนท่ี 1 4 ชว่ั โมง/สัปดาห์
80 ชั่วโมง/ภาคเรียน
2.0 หนว่ ยกติ

ชั้นเรยี น/ภาคเรยี น สาระการเรยี นรู้ จานวนชัว่ โมง
30
ม.6 1. ลาดบั และอนุกรม
ภาคเรียนที่ 1 1.1 ลาดับ 50
- ความหมายของลาดบั
- ลาดับเลขคณิต 80
- ลาดบั เรขาคณิต
- ลาดับฮารม์ อนิก
1.2 ลมิ ิตของลาดับอนันต์
1.3 อนกุ รม
- อนกุ รมเลขคณติ
- อนกุ รมเรขาคณิต
- อนกุ รมอนนั ต์
1.4 สญั ลักษณ์แสดงการบวก
1.5 การประยกุ ตข์ องลาดับและอนกุ รม

2. แคลคลู ัสเบื้องตน้
2.1 ลิมติ ของฟงั ก์ชัน
2.2 ความตอ่ เนื่องของฟังกช์ ัน
2.3 อนุพนั ธ์ของฟังก์ชนั พีชคณิต
2.4 การหาอนุพนั ธข์ องฟงั กช์ นั พีชคณติ โดยใช้สูตร
2.5 อนพุ นั ธ์ของฟังกช์ ันประกอบ
2.6 เสน้ สมั ผัสเส้นโค้ง
2.7 อนพุ นั ธอ์ ันดบั สงู
2.8 การประยุกต์อนุพนั ธ์
2.9 ปฏิบานพุ ันธแ์ ละปรพิ ันธ์ไมจ่ ากัดเขต
2.10 ปริพนั ธจ์ ากัดเขต
2.11 พน้ื ทีท่ ่ีปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง

รวม

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 2 เร่ือง ลมิ ิตและความต่อเน่ืองของฟังกช์ ัน 3

รายวชิ าคณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ 5 โครงสร้างรายวชิ า รหัสวชิ า ค33201
ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 6 ภาคเรยี นท่ี 1 4 ช่วั โมง/สปั ดาห์
80 ชัว่ โมง/ภาคเรยี น
2.0 หน่วยกิต

ลาดับ ช่อื ผลการเรยี นรู้ สาระการเรยี นรู้แกนกลาง เวลา นา้ หนัก
ที่ หน่วยการเรยี นรู้ (ชั่วโมง) คะแนน

1 ลาดับและอนุกรม 1. ระบไุ ดว้ ่าลาดับที่ ลาดบั และอนุกรม ลาดับ ได้แก่ 30 45

อนนั ต์ กาหนดให้เปน็ ลาดับลู่เข้า ความหมายของลาดบั ลาดบั จากดั

หรือลู่ออก และลาดับอนันต์ ลาดบั

2. หาผลบวก n พจนแ์ รก เลขคณติ ลาดบั เรขาคณิตและ

ของอนกุ รมเลขคณิตและ ลาดบั ฮารม์ อนิก ลมิ ติ ของลาดบั

อนุกรมเรขาคณติ ได้ อนุกรม ได้แก่ อนุกรมจากดั และ

3. หาผลบวกของอนุกรม อนกุ รมอนนั ต์ อนุกรมเลขคณิต

อนันตไ์ ด้ และอนุกรมเรขาคณิต อนุกรม

4. เข้าใจและนาความรู้ อนันต์ สัญลักษณ์แสดงการบวก

เก่ยี วกับลาดับและ และการประยุกต์ของลาดับและ

อนุกรมไปใช้ อนุกรม

2 แคลคลู สั เบ้ืองตน้ 5. ตรวจสอบความตอ่ เนอื่ ง แคลคูลสั เบ้อื งตน้ ลมิ ิตของ 50 55

ของฟังกช์ นั ท่ีกาหนดให้ ฟังก์ชนั ความต่อเน่ืองของฟังก์ชัน

ได้ อนพุ นั ธข์ องฟงั กช์ นั การหา

6. หาอนุพนั ธ์ของฟังก์ชัน อนพุ นั ธ์ของฟังกช์ นั โดยใช้สูตร

พีชคณิตท่ีกาหนดใหแ้ ละ อนพุ นั ธข์ องฟงั ก์ชันประกอบ เสน้

นาไปใชแ้ ก้ปัญหาได้ สัมผัสเส้นโคง้ อนุพนั ธอ์ ันดบั สูง

7. หาปริพนั ธ์ไมจ่ ากัดเขต และการประยุกต์ของอนุพนั ธ์

และจากัดเขตของ ไดแ้ ก่ การเคล่ือนที่แนวตรง

ฟังก์ชนั พีชคณติ ที่ คา่ สงู สุดและค่าต่าสดุ และโจทย์

กาหนดให้ และนาไปใช้ ปัญหาเกี่ยวกบั ค่าสงู สดุ และค่า

แกป้ ญั หาได้ ต่าสดุ ปฏิยานพุ ันธ์และปริพนั ธไ์ ม่

จากัดเขต ปริพนั ธจ์ ากัดเขต พ้ืนที่

ที่ปิดลอ้ มด้วยเสน้ โค้ง

รวมตลอดภาคเรียน 80 100

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 2 เรอ่ื ง ลิมติ และความตอ่ เน่ืองของฟังก์ชนั 4

ลมิ ิตและความตอ่ เน่อื งของฟงั ก์ชนั

Mathematics

KANARAS

1. ลมิ ติ ของฟงั ก์ชัน

บทนาความหมายของลิมติ ของฟังก์ชนั
พิจารณาจากการทากจิ กรรมตอ่ ไปน้ี

กิจกรรม
ลมิ ติ ของฟังกช์ ัน

ตวั อยา่ งที่ 1 กาหนดฟังก์ชนั f (x)  x 1 จงหาค่าของฟงั ก์ชัน f เมอื่ กาหนดคา่ x ดงั ตาราง

x  0 f (x) x  0 f (x)

-1 0 1 2
-0.5 0.5 0.5 1.5
-0.1 0.9 0.1 1.1
-0.01 0.99 0.01 1.01
-0.001 0.999 0.001 1.001
-0.0001 0.9999 0.0001 1.0001
-0.00001 0.99999 0.00001 1.00001

จากตาราง พบว่า x  0 และมคี า่ เข้าใกล้ 0 มากข้ึนเร่ือย ๆ คา่ ของ f (x) จะเขา้ ใกล้.......1...............
จากตาราง พบว่า x  0 และมคี า่ เข้าใกล้ 0 มากขน้ึ เร่อื ย ๆ คา่ ของ f (x) จะเขา้ ใกล.้ ......1...............

ตัวอยา่ งท่ี 2 กาหนดฟงั ก์ชัน f (x)   x 2 1, x 1 จงหาคา่ ของฟังก์ชนั f เม่อื กาหนดคา่ x ดงั ตาราง

 3  x, x  1

x 1 f (x) x 1 f (x)

0121

0.5 1.25 1.8 1.2

0.8 1.64 1.5 1.5

0.9 1.81 1.1 1.9

0.99 1.9801 1.01 1.99

0.999 1.998001 1.001 1.999

0.9999 1.99980001 1.0001 1.9999

จากตาราง พบว่า x 1 และมีคา่ เข้าใกล้ 1 มากขน้ึ เร่อื ย ๆ คา่ ของ f (x) จะเข้าใกล้.......2...............
จากตาราง พบว่า x 1 และมีค่าเข้าใกล้ 1 มากขน้ึ เรอ่ื ย ๆ คา่ ของ f (x) จะเข้าใกล.้ ......2...............

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 2 เรือ่ ง ลิมติ และความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 5

ตวั อย่างที่ 3 กาหนดฟังกช์ ัน f ( x)   x 1, x2 จงหาคา่ ของฟงั ก์ชนั f เมอื่ กาหนดคา่ x ดงั ตาราง
3  x, x2

x  2 f (x) x  2 f (x)

1230

1.9 2.9 2.1 0.9

1.99 2.99 2.01 0.99

1.999 2.999 2.001 0.999

1.9999 2.9999 2.0001 0.9999

1.99999 2.99999 2.00001 0.99999

1.99999 2.99999 2.000001 0.999999

จากตาราง พบว่า x  2 และมคี า่ เขา้ ใกล้ 2 มากข้ึนเรอ่ื ย ๆ คา่ ของ f (x) จะเข้าใกล้.......3...............
จากตาราง พบวา่ x  2 และมีค่าเข้าใกล้ 2 มากข้ึนเรอ่ื ย ๆ คา่ ของ f (x) จะเขา้ ใกล้.......1...............

ตวั อยา่ งที่ 4 กาหนดฟังก์ชัน f มีกราฟดงั รูป

จากรปู พบว่า
ขณะ x  6 และมคี ่าเข้าใกล้ 6 มากขนึ้ เรื่อย ๆ ค่าของ f (x) จะเขา้ ใกล้.........-5.............
ขณะ x  6 และมีค่าเข้าใกล้ 6 มากขึ้นเร่อื ย ๆ ค่าของ f (x) จะเขา้ ใกล.้ ........-3.............
ขณะ x  3 และมคี ่าเขา้ ใกล้ 3 มากขึ้นเร่อื ย ๆ ค่าของ f (x) จะเขา้ ใกล.้ ........4.............
ขณะ x  3 และมคี ่าเข้าใกล้ 3 มากขึ้นเรื่อย ๆ คา่ ของ f (x) จะเข้าใกล.้ ........4.............
ขณะ x  0 และมคี ่าเข้าใกล้ 0 มากข้ึนเรอ่ื ย ๆ ค่าของ f (x) จะเข้าใกล.้ ........-2.5.............
ขณะ x  0 และมคี ่าเขา้ ใกล้ 0 มากข้ึนเรอื่ ย ๆ คา่ ของ f (x) จะเข้าใกล้.........-2.5.............
ขณะ x  5 และมีคา่ เขา้ ใกล้ 5 มากข้นึ เรอื่ ย ๆ ค่าของ f (x) จะเข้าใกล.้ ........7.............
ขณะ x  5 และมคี ่าเข้าใกล้ 5 มากข้ึนเรอ่ื ย ๆ คา่ ของ f (x) จะเขา้ ใกล้.........7.............
ขณะ x  9 และมคี ่าเข้าใกล้ 9 มากข้นึ เร่ือย ๆ ค่าของ f (x) จะเข้าใกล้.........-4.............
ขณะ x  9 และมีคา่ เข้าใกล้ 9 มากขน้ึ เรอ่ื ย ๆ ค่าของ f (x) จะเข้าใกล้.........2.............

จากกิจกรรมข้างต้นทาให้เราเข้าใจความหมายของลิมติ ของฟังกช์ ันไดด้ ังน้ี

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรือ่ ง ลมิ ติ และความตอ่ เนือ่ งของฟังก์ชนั 6

บทนยิ าม

กาหนดให้ฟังก์ชัน f ใด ๆ ท่ีมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจานวนจริงและ a เป็น

จานวนจรงิ

1) ถ้าค่าของ f (x) เข้าใกล้จานวนจริง L เม่ือ x เข้าใกล้ a ท้ังทางด้านซ้ายและขวาของ a

แล้วจะเรียก L ว่า ลิมิตของ f ท่ี a ซ่ึงเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ lim f (x)  L และ
xa

กล่าวว่า lim f (x) มคี า่ เทา่ กับ L
xa

2) ถ้าค่าของ f (x) เข้าใกล้จานวนจริง L1 เม่ือ x เข้าใกล้ a ทางด้านซ้าย จะเรียก L1 ว่า ลิมิต

ซา้ ยของ f (x) เมอื่ x เข้าใกล้ a ทางด้านซา้ ย ซง่ึ เขยี นแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ lim f (x)  L1

xa

3) ถ้าคา่ ของ f (x) เขา้ ใกลจ้ านวนจรงิ L2 เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางด้านขวา จะเรียก L2 ว่า ลิมิต

ขวาของ f (x) เมื่อ x เขา้ ใกล้ a ทางด้านขวา ซึ่งเขยี นแทนด้วยสัญลักษณ์ lim f (x)  L2

xa

หมายเหตุ

1) ถา้ ไมม่ ีจานวนจริง L ซึ่ง f (x) เข้าใกล้ L เม่ือ x เข้าใกล้ a แล้วจะกล่าวว่า “ f ไม่มีลิมิตท่ี a ”

หรอื กลา่ วว่า “ lim f (x) ไมม่ ีค่า”
xa

2) สาหรบั ฟงั กช์ ัน f ใด ๆ ถา้ f (x) เข้าใกล้ L เมอ่ื x เขา้ ใกล้ a แลว้ L อาจไมเ่ ทา่ กบั f (a) กไ็ ด้

3) อาจแทนสัญลักษณ์ lim f (x)  L ด้วย “ f (x)  L เมื่อ x  a ” ซ่ึงอ่านว่า “ f (x) เข้าใกล้
xa
L เมือ่ x เข้าใกล้ a ”

4) สัญลักษณ์ x  a แสดงถึงการพจิ ารณาค่าของ x ทนี่ ้อยกว่า a เท่านั้น

5) สญั ลกั ษณ์ x  a แสดงถงึ การพิจารณาคา่ ของ x ทมี่ ากกว่า a เท่านั้น

6) ในกรณที ี่ lim f (x) และ lim f (x) มคี ่า
xa xa

จะไดว้ า่ lim f (x)  L กต็ ่อเมื่อ lim f (x)  L  lim f (x)
xa xa xa

ตัวอยา่ งท่ี 5 กาหนดให้ f เป็นฟงั ก์ชนั ซงึ่ มีกราฟดังรูป

y  f (x)

วิธที า 1) lim f (x) = ……0……. 2) lim f (x) = ……0……. 3) lim f (x) = ……0…….
x2 x2 x2

4) lim f (x) = ……2……. 5) lim f (x) = ……2……. 6) lim f (x) = ……2…….
x4 x4 x4

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรอื่ ง ลิมติ และความต่อเนือ่ งของฟังกช์ นั 7

ตัวอยา่ งท่ี 6 กาหนดให้ f (x)  1, x3 จงหา lim f (x)
วิธที า 2, x3
x3

เขียนกราฟของ f ได้ดังนี้



จากกราฟพบวา่ lim f (x) = ……1……. และ lim f (x) = ……2…….
x3 x3

นั่นคือ …… lim f (x)  lim f (x) ………
x3 x3

ดงั นั้น …… lim f (x) …ไม่มคี ่า……………….
x3

ตวั อย่างท่ี 7 กาหนดให้ f (x)   2x, x  2 จงหา lim f (x)
วิธที า 4, x2 x2

เขียนกราฟของ f ได้ดังน้ี

จากกราฟพบวา่ lim f (x) = ……4……. และ lim f (x) = ……4…….
x2 x2

นั่นคือ …… lim f (x)  lim f (x) ………
x2 x2

ดงั นั้น …… lim f (x)  2 ……………………..
x2

ตวั อยา่ งท่ี 8 กาหนดให้ f ( x)   x2 1, x0 จงหา lim f (x)
วธิ ที า  1 x 1, x0
 2 x0


เขียนกราฟของ f ได้ดงั น้ี

จากกราฟพบวา่ lim f (x) = ……1……. และ lim f (x) = ……1…….
x0 x0

นั่นคือ …… lim f (x)  lim f (x) ………
x0 x0

ดังน้ัน …… lim f (x) 1……………………..
x0

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 2 เรื่อง ลิมิตและความตอ่ เนอื่ งของฟังกช์ ัน 8

แบบฝกึ หัดที่ 1
ลมิ ิตของฟังก์ชนั

1. จากกราฟของฟงั ก์ชัน f ทกี่ าหนดให้ จงหา




1) lim f (x) = ……-0.5…… 2) lim f (x) = ……-1…… 3) lim f (x) = ……ไม่มคี ่า……
x1 x1 x1

4) lim f (x) = ……-1…… 5) lim f (x) = ……-1.5…… 6) lim f (x) = ……ไมม่ คี ่า……
x1 x1 x1

2. จากกราฟของฟังกช์ ัน g ทก่ี าหนดให้ จงหา
Y

1 X

1 3) lim g(x) = ……ไม่มีค่า……
x0
0
6) lim g(x) = ……-1……
-1 x1

1) lim g(x) = ……1…… 2) lim g(x) = ……-1……
x0 x0

4) lim g(x) = ……-1…… 5) lim g(x) = ……-1……
x1 x1

3. กาหนดกราฟของฟงั กช์ ัน y  f (x) ดังแสดงในรูป

1) lim f (x) = ……2…… 2) lim f (x) = ……3…… 3) lim f (x) = ……ไมม่ คี ่า……
x1 x1 x1

4) lim f (x) = ……4…… 5) lim f (x) = ……4…… 6) lim f (x) = ……4……
x5 x5 x5

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 2 เรอื่ ง ลิมติ และความต่อเนอื่ งของฟังกช์ นั 9
4. กาหนดกราฟของฟงั ก์ชนั y  f (x) ดงั แสดงในรูป

1) lim f (x) = ……3…… 2) lim f (x) = ……3…… 3) lim f (x) = ……3……
x0 x0 x0

4) lim f (x) = ……4…… 5) lim f (x) = ……2…… 6) lim f (x) = ……ไมม่ คี า่ ……
x3 x3 x3

5. กาหนดกราฟของฟงั กช์ ัน y  g(t) ดังแสดงในรูป

1) lim g(t) = ……-1…… 2) lim g(t) = ……-2…… 3) lim g(t) = ……ไม่มีค่า……
t 0 t 0 t 0

4) lim g(t) = ……2…… 5) lim g(t) = ……0…… 6) lim g(t) = ……ไม่มคี า่ ……
t 2 t 2 t2

6. กาหนดกราฟของฟงั กช์ ัน y  f (x) ดงั แสดงในรูป

Y

2 X
–2 2

–2

1) lim f (x) = ……2…… 2) lim f (x) = ……-2…… 3) lim f (x) = ……ไมม่ ีค่า……
x2 x2 x2

4) lim f (x) = ……0…… 5) lim f (x) = ……0…… 6) lim f (x) = ……0……
x2 x2 x2

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรอ่ื ง ลิมติ และความตอ่ เนอื่ งของฟังกช์ นั 10

ทฤษฎบี ทเกี่ยวกบั ลมิ ิตของฟงั ก์ชนั
การหาค่าลิมิตของฟังก์ชัน นอกจากจะหาโดยใช้บทนิยามข้างต้นแล้ว ยังมีทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตที่จะ

ชว่ ยทาให้หาค่าลมิ ิตของฟังกช์ ันได้รวดเร็วยงิ่ ขนึ้ ดงั ตอ่ ไปนี้

กาหนดให้ a,c, A, B เป็นจานวนจรงิ และ n เป็นจานวนนบั ถ้า f , g เป็นฟงั กช์ ันที่มโี ดเมน

และเรนจเ์ ปน็ สับเซตของเซตของจานวนจรงิ โดยที่ lim f (x)  A และ lim g(x)  B แลว้
xa xa

1. lim c =… c ………………………………………………………………………………………………………...
xa

2. lim cf (x) =… c lim f (x)  cA ………………………………………………………………………….
xa xa

3. lim  f (x)  g(x)=… lim f (x)  lim g(x)  A  B …………………………………………
xa xa xa

4. lim  f (x)  g(x)=… lim f (x) lim g(x)  A B …………………………………………….
xa xa xa

5. lim  f (x)  =… lim f (x)  A, B  0 ……………………………………………………………
 g(x)  g(x) B
xa   xa

lim
xa

6. lim  f ( x)n =…  lim f (x)n  An …………………………………………………………………..

xa xa

7. lim n f (x) =… n lim f (x)  n A …………………………………………………………………….
xa xa

การหาลิมิตของฟงั กช์ ันพหนุ าม

8. lim x =… a ………………………………………………………………………………………………………
xa

9. lim xn =… an .………………………………………………………………………………………………….
xa

10. xlima(cnxn  cn1xn1  ...  c1x  c0 ) =… cnan  cn1an1  ...  c1a  c0 ……….

หมายเหตุ ทฤษฎีบทขา้ งตน้ ยังคงเปน็ จริงสาหรับค่าของลิมิตดา้ นเดียว ( lim f (x), lim f (x) )
ตัวอย่างที่ 9 xa xa

จงหาลมิ ติ ของฟงั ก์ชันตอ่ ไปนี้

1) lim(5)=……-5…………………………………….. 2) lim x =……-3……………………………………
x1 x3

3) lim 5x3=……5(23) = 40………………………… 4) lim x4 =…… ( 2)4  4 …………………
x2 x 2

5) lim (3x4  7x) =……-4………………………... 6) lim(3x2  5x  6) =……16……………...
x1 x2

7) lim(x3  5)(x2  x) =……0…………………… 8) lim x2  2x  3 =……-1……………….....

x1 x2 2x 1

9) lim x(x 1)3 x  2 =……24………………… 10) lim 3  4x  x2 =……0………………….

x3 x3 x 1

11) lim x  8 =…… 2 ……………………… 12) lim 3 3x2  4x  5 =…… 3 15 ………
x4 25  x2 3 x2

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 2 เร่ือง ลมิ ติ และความต่อเนื่องของฟังกช์ นั 11

แบบฝึกหัดที่ 2
ลิมติ ของฟงั ก์ชนั

1. จงหาลมิ ติ ต่อไปน้ี ถา้ ลิมติ มีค่า 2) lim(4x3  6x2  9x)
1) lim(3x4  7x) x1
= 4(-1)3 – 6(-1) – 9 (-1) = -11
x2
4) lim(3x2  4x  9)(5x2  2x 1)
= 3(-2)3 + 7(-2) = -24 – 14 = -38 x5
= (75 – 20 + 9)(125 – 10 +1) = 6844
3) lim(x3  2x  5)(x2  3x)
x2
= (8 + 4 – 5)(4 – 6) = -14

5) 5x2  2x 1 6) lim a0  a1x  a 2 x2  . . .  a10 x10
lim x0 b0  b1x  b2 x2  . . .  b10 x10
x3 6x  7

= 45  6 1  40 = a0
18  7 11 b0

7) lim (3x  4)(3x4 7 x) 8) lim(3x2  7x  2)3
5x2  2x 1 x0
x2 = (-2)3 = -8

= (6  4)(48 14)   68
20  4 1 25

9) lim (4x2  4x  9)3 10) lim x3  3x2  2
x 1
2 x1 3x2  2
= (1 2  9)3  83  29  16 2
= 13 2  0
32

11) lim x  3 2x 12) lim x2 1

x8 4  16 x3 x  3
x
= 8 ไม่มีค่า
= 8 12   4  2
42 2 0

13) lim x3 1 14) lim1023x
x2 x1
= 81  3 = 1023  101  1  0.1
10
15) lim x  3
16) lim sin  2 x+  
x2 x2  9  4 
= |23|  1 x

49 5 = sin  3   2
 4  2

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 2 เรือ่ ง ลิมติ และความตอ่ เน่ืองของฟังก์ชนั 12

ในการใช้ทฤษฎบี ทข้างต้น เมื่อหาลิมิตแล้วจะอยู่ในรูป 0 ,  , 0,   , 00, 0 เราไม่อาจจะตอบ

0

ได้เลยว่าค่าลิมิตหาค่าได้หรือไม่มีค่า เรียกรูปแบบลิมิตน้ีว่า รูปแบบยังไม่กาหนด (Indeterminate Form : IF)
ซ่งึ มขี ้นั ตอนการหาลมิ ติ ของฟังก์ชัน ไดด้ งั นี้

กรณีท่ี 1 ใช้วธิ ีแยกตัวประกอบ

เช่นพิจารณา lim x2  3x ถ้าหาลมิ ิตโดยใชท้ ฤษฎีบท จะไดว้ ่า lim x2  3x  0
x2  2x 15 x2  2x 15 0
x3 x3

ในกรณีแบบนี้ยังสรุปค่าลิมิตแน่ชัดอะไรไม่ได้ ให้ใช้วิธีแยกตัวประกอบของตัวเศษหรือตัวส่วนเสียก่อน

จากนน้ั ลดทอนพจน์ทหี่ ารกันไดแ้ ล้วจึงแทนหาลมิ ิตอกี คร้ัง

ตัวอยา่ งที่ 1 จงหา lim x2  3x
วธิ ที า
x3 x2  2x 15

lim x2  3x = x(x  3)
lim
x3 x2  2x 15 x3 (x  3)(x  5)

= lim x
x3 x  5
= 3   3
35 8
ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหา lim 2x2 9x 5
วิธีทา x2 10x  25 (2x+1)(x  5)
x5 lim
x3 (x  5)(x  5)
lim 2x2  9x  5 =
x5 x2 10x  25

2 x +1
= lim

x5 x  5

= 11 ไม่มีคา่

0

ตวั อย่างท่ี 3 จงหา lim x2  4
x3  8
x2

วิธที า lim x2  4 = lim (x  2)(x  2)

x2 x3 8 x2 (x  2)( x 2  2x  4)

= lim x2 x 2 4
 2x 
x2

= 4 1
12 3

ตัวอยา่ งที่ 4 จงหา lim 9x  83x  9
วิธีทา
x2 3x1  27

lim 9x 8 3x  9 = lim (3x  9)(3x 1)
3x1  27
x2 x2 3(3x  9)

= lim 3x 1
x2 3

=8
3

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 2 เรอื่ ง ลิมติ และความต่อเน่ืองของฟังกช์ ัน 13

กรณที ่ี 2 ใชว้ ิธีสังยุคหรอื คอนจเู กต (conjugate)

เชน่ พจิ ารณา lim 2  4  x เม่อื หาคา่ ลิมติ โดยใช้ทฤษฎบี ท จะได้ว่า lim 2  4  x  0
x0 x x0 x 0

ซ่ึงเป็นรูปแบบยังไม่กาหนด โจทย์ลักษณะน้ีไม่สะดวกท่ีจะแยกตัวประกอบควรใช้วิธีทาเศษและส่วนให้มี

เทอมที่หารกนั ได้ โดยการนาสงั ยคุ หรอื คอนจูเกตของตวั เศษหรอื ตัวส่วนที่มีพจน์ที่ติดรากที่สอง(หรือรากที่สาม)คูณ

ทั้งเศษและสว่ น หลงั จากนนั้ จะมีพจน์ท่ีหารกนั ได้ เมอ่ื หารกนั แลว้ จงึ แทนคา่ หาลิมติ อีกคร้ัง

ตัวอย่างท่ี 5 จงหา lim 2  4  x

x0 x

วิธที า lim 2  4  x = lim 2  4  x  2  4  x  lim 4  (4  x)
x0 x x0 x 2  4  x x0 x(2  4  x)

= lim x  lim 1
x0 x(2  4  x ) x0 2  4  x

= 1 1
2 4 4

ตวั อยา่ งท่ี 6 จงหา lim x2  3x
วธิ ีทา
x3 4  x2  7

lim x2  3x = lim x2  3x  4  x2 7  lim (x2  3x)(4  x2 7)
x3 4  x2  7 x3 4  x2  7 4  x2 7 x3 16  (x2  7)

= lim x(x  3)(4  x2 7)  lim x(x  3)(4  x2  7)
9  x2 x3 (3  x)(3  x)
x3

= lim -x(4  x2  7)  -3(4  16)
x3 3  x 6

= -3(8)  4
6

ตัวอยา่ งท่ี 7 จงหา 3 x 1
วธิ ที า lim
x1 x 1

lim 3 x 1 = lim 3 x 1  ( 3 x )2  3 x 1  lim ( 3 x )3 13
x1 x 1
x1 x 1 ( 3 x )2  3 x 1 x1 (x 1)(( 3 x )2  3 x 1)

x 1
= lim

x1 (x 1)(( 3 x )2  3 x 1)

1
= lim

x1 ( 3 x )2  3 x 1

=1
3

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 2 เรอ่ื ง ลมิ ติ และความตอ่ เนอ่ื งของฟังกช์ ัน 14

แบบฝกึ หดั ท่ี 3
ลิมติ ของฟงั ก์ชัน

1. จงหาลิมิตต่อไปน้ี ถ้าลิมติ มีค่า

1) lim x2 x2 1 2 2) lim x2  4 6
 3x  x2  x 
x1 x2

= lim (x 1)(x 1)  lim x 1 = lim (x  2)(x  2)  lim x  2

x1 (x 1)(x  2) x1 x  2 x2 (x  2)(x  3) x2 x  3

= 2 = 4

5

3) lim x6 1 4) lim x3  6x2 12x  8

x1 x4 1 x2 x3  2x2

= lim (x3 1)(x3 1)  lim (x 1)(x2  x 1)(x3 1) = lim (x  2)3  lim (x  2)2
x1 (x2 1)(x2 1) x1 (x 1)(x 1)(x2 1) x2 x2 (x  2) x2 x2

= lim (x2  x 1)(x3 1)  (3)(2)  3 =0
(2)(2) 2 6) lim x2  81
x1 (x 1)(x2 1)
x9 x  3
5) lim x  4

x4 x  2

= lim x  4  x  2  lim (x  4)( x  2) = lim x2  81  x  3
x4 x  2 x  2 x4 x4
x9 x  3 x  3

= lim( x  2)  4 = lim (x  9) (x  9)( x  3)
x4 x9 x  9  108

7) lim x 16  4 8) lim x  4  2

x0 x x8 x  8

= lim x 16  4  x 16  4 = lim x  4  2  x  4  2
x0 x x 16  4
x8 x  8 x  4  2
= lim x  1
= lim x  8  0
x0 x( x 16  4) 8
x8 ( x  8)( x  4  2)

9) lim 2  3x  2 10) lim 2x  x2

x0 2x x0 3x  5  5

= lim 2  3x  2  2  3x  2 = lim 2x  x2  3x  5  5
x0 2x 2  3x  2
x0 3x  5  5 3x  5  5

= lim 3x = lim x(2  x)( 3x  5  5)

x0 2x( 2  3x  2) x0 3x

= 3  3 = lim (2  x)( 3x  5  5)  4 5
x0 3 3
2(2 2) 4 2

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 2 เรื่อง ลมิ ิตและความตอ่ เนื่องของฟังก์ชนั 15

2. ความตอ่ เน่อื งของฟังก์ชัน

พจิ ารณาจากการทากิจกรรมต่อไปนี้

กิจกรรม
ความตอ่ เน่ืองของฟังกช์ นั

ถ้า y  f (x) เป็นฟังก์ชันท่ีสามารถลากเส้นกราฟได้ต่อเนื่องทุกค่า x ในโดเมนของ f หรือสามารถ
เขียนกราฟไดต้ อ่ เนือ่ งตลอดเส้นโดยไมต่ ้องยกปลายปากกา แสดงว่า y  f (x) เป็นฟงั กช์ นั ต่อเนอื่ ง ตวั อย่างเชน่

ฟงั ก์ชนั y  f (x)  x2 เม่อื เขยี นกราฟจะได้ ดังนี้

จะเห็นว่า สามารถลากเส้นกราฟต่อเน่ืองเป็นเส้นเดียวได้ตลอด นั่นคือ y  f (x)  x2 เป็นฟังก์ชัน
ตอ่ เนื่องทกุ คา่ x ในโดเมนของ f

ฟงั ก์ชัน f (x)  1, x  0 เมอื่ เขยี นกราฟจะได้ ดังน้ี
x,
x0

จะเห็นว่า ไม่สามารถลากเส้นกราฟต่อเนื่องเป็นเส้นเดียวได้ตลอด โดยเฉพาะที่จุด x  0 นั่นคือ f (x)
เปน็ ฟงั ก์ชันที่ไมต่ ่อเนือ่ งทจี่ ดุ x  0

โดยทั่วไป จะนยิ ามฟังกช์ นั ต่อเน่ืองไดด้ ังน้ี

บทนิยาม ให้ f เปน็ ฟงั ก์ชันซงึ่ นยิ ามบนช่วงเปดิ (a,b) และ c(a,b)
จะกลา่ วว่า f เป็น ฟงั กช์ ันต่อเนอื่ ง (continuous function) ที่ x  c กต็ ่อเมอื่

lim f (x)  f (c)

xc

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 2 เรื่อง ลิมติ และความตอ่ เนื่องของฟังกช์ ัน 16

จากบทนยิ าม ถ้า f เปน็ ฟังกช์ นั ต่อเน่อื งท่ี x  c ต้องมสี มบัตคิ รบทง้ั สามขอ้ ดังต่อไปนี้

1. …… f (c) ……หาคา่ ได้………………………………………………………….

2. …… lim f (x) ……มคี ่า…………………………………………………………
xc

และ 3. …… lim f (x)  f (c) …………………………………………………………
xc

ถา้ ฟงั กช์ นั f ขาดสมบัตขิ ้อใดข้อหน่ึงแลว้ เราจะกลา่ วว่า f เปน็ ฟงั กช์ นั ไม่ต่อเนือ่ งท่ี x  c

ตวั อยา่ งท่ี 1 กาหนดให้ f ( x)   x2 4 , x2
วิธีทา  x 2

2, x  2

จงพจิ ารณาว่าฟงั ก์ชัน f เปน็ ฟังก์ชนั ต่อเน่ืองท่ี x  2 หรือไม่

จากฟงั กช์ นั f ท่ีกาหนด จะได้ f (2) =… 2 ……………………………………….

และ lim f (x) =… lim x2  4  lim (x  2) (x  2)  4
x2 x2 x  2 x2 x2

เน่อื งจาก …… lim f (x)  f (2)……………………………………………..
x2

ดงั นน้ั ฟังกช์ นั f เป็นฟังก์ชัน……ไมต่ อ่ เนอ่ื งท่ี x  2 ………………………….

ตวั อย่างท่ี 2 กาหนดให้ f ( x)   x2 4 , x2
วธิ ีทา  x 2

ตวั อย่างที่ 3 4, x  2
วธิ ีทา
จงพจิ ารณาว่าฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชนั ตอ่ เนอ่ื งที่ x  2 หรือไม่

จากฟงั ก์ชัน f ที่กาหนด จะได้ f (2) =… 4 ………………………………………

และ lim f (x) =… lim x2  4  lim (x  2) (x  2)  4
x2 x2 x  2 x2 x2

เน่อื งจาก …… lim f (x)  f (2) ……………………………………………
x2

ดังนน้ั ฟังก์ชัน f เปน็ ฟงั กช์ ัน……ตอ่ เนอ่ื งท่ี x  2 ……………………………

กาหนดให้ f (x)  | x 1|

จงพจิ ารณาวา่ ฟังกช์ นั f เปน็ ฟังก์ชันตอ่ เน่อื งท่ี x  1 หรอื ไม่

จากฟงั ก์ชนั f ที่กาหนด จะได้ f (1) =… | 11|  0 …………………

จาก f (x)  | x 1|

จะได้ f ( x)  ...x 1................, x  1
...  (x 1).........., x  1

เนอ่ื งจาก lim f (x) =… (11)  0 …………………………

x1

และ lim f (x) =… 11 0 ………………………………
x1

จะไดว้ ่า lim f (x) …=……. lim f (x)
x1 x1

ดังน้นั lim f (x) =… 0 ………………………………..
x1

เนือ่ งจาก …… lim f (x)  f (1) ………………………
x1

ดังน้นั ฟงั ก์ชนั f เป็นฟังกช์ นั ……ต่อเน่อื งที่ x  1………

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เรือ่ ง ลมิ ติ และความต่อเน่อื งของฟังก์ชนั 17

ตัวอย่างที่ 4 กาหนดให้ g(x)  6  x , x2
วิธีทา  2

k 1, x  2

จงหาคา่ k ทท่ี าให้ฟังก์ชนั g เป็นฟังกช์ ันตอ่ เนือ่ งที่ x  2

เนอ่ื งจากฟงั กช์ นั g เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เนอื่ งที่ x  2 จะได้วา่ …… lim g(x)  g(2)………
x2

และจากฟงั ก์ชนั g ท่กี าหนด จะได้ g(2) =… k 1…………………………

และ lim g(x) =… lim  6  x   6  2  5………………
 2  2
x2 x2

ดังน้นั … k 1 5…………………………………………………………

นั่นคอื … k  4………………………………………………………………

แบบฝกึ หดั 1
ความตอ่ เนอื่ งของฟังก์ชัน

1. จงพจิ ารณาว่าฟงั ก์ชนั ตอ่ ไปนี้เปน็ ฟังก์ชนั ตอ่ เนื่อง ณ จุดท่ีกาหนดหรอื ไม่

1) f (x) 3x 1 ที่ x  0

วิธที า จากฟังก์ชนั f ทก่ี าหนด จะได้ f (0)  3(0) 11

และ lim f (x)  lim(3x 1) 1
x0 x0

เนือ่ งจาก lim f (x)  f (0)

x0

ดังนนั้ ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันตอ่ เน่ืองที่ x  0

2) f (x)  x 1, x 1 ท่ี x 1
3  x, x 1

วิธที า จากฟังกช์ ัน f ท่กี าหนด จะได้ f (1) 11 2

และ lim f (x)  lim(x 1)  2 และ lim f (x)  lim(3  x)  2
ฉะนัน้ x1 x1 x1 x1

lim f (x)  2 เน่อื งจาก lim f (x)  f (1)
x1 x1

ดังนน้ั ฟงั ก์ชนั f เป็นฟังก์ชนั ต่อเนื่องที่ x 1

3)  x2  16 , x4 ท่ี x  4
 x  4
f ( x)  
1
 4 , x4

วิธที า จากฟงั ก์ชัน f ทีก่ าหนด จะได้ f (4)   1

4

และ lim f (x)  lim x2 16  lim (x  4) (x  4)  8
x4 x4 x  4 x4 x4

เน่ืองจาก lim f (x)  f (4)

x4

ดังนั้น ฟังกช์ นั f เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เนื่องท่ี x  4

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 2 เรื่อง ลมิ ติ และความต่อเน่ืองของฟังก์ชนั 18

4)  x2 1 , x 1 ที่ x 1
 x3 1
f ( x)  
2
 3 , x 1

วิธที า จากฟงั กช์ ัน f ท่ีกาหนด จะได้ f (1)   2

3

และ lim f (x)  lim x2 1  lim (x 1) (x 1)  2
x3 1 (x 1) (x2  x 1) 3
x1 x1 x1

เนือ่ งจาก lim f (x)  f (1)
x1

ดังนน้ั ฟังกช์ นั f เป็นฟังกช์ ันไมต่ อ่ เนื่องท่ี x 1

5) f ( x)  | x  1| , x  1 ท่ี x  1
 x  1

1, x  1

วธิ ที า จากฟงั ก์ชัน f ท่กี าหนด จะได้ f (1)  1

และ lim f (x)  lim (x 1)  1 และ lim f (x)  lim x 1  1
x1 x1 x 1 x1 x1 x 1

ฉะนนั้ lim f (x) ไม่มคี ่า
x1

ดังนัน้ ฟงั กช์ ัน f เปน็ ฟงั กช์ นั ไมต่ อ่ เน่ืองท่ี x  1

2. จงหาค่า k ที่ทาใหฟ้ งั ก์ชนั ทก่ี าหนดใหต้ ่อไปนเี้ ปน็ ฟังกช์ ันตอ่ เน่ือง ณ จดุ ทีก่ าหนดให้

1) กาหนดให้ kx 2 , x  1 ที่ x 1

f ( x)  7x  2, x  1

วิธีทา เนอื่ งจากฟงั ก์ชนั f เป็นฟงั ก์ชันต่อเนอ่ื งที่ x 1 จะได้วา่ lim f (x)  f (1)
x1

และจากฟงั กช์ ัน f ที่กาหนด จะได้ f (1)  7(1)  2  5

และ lim kx2  k
x1

ดังนัน้ k  5

2) กาหนดให้ f ( x)  2x  k , x  2 ที่ x2
kx2 ,
x2

วธิ ีทา เน่ืองจากฟังกช์ ัน f เป็นฟังก์ชันตอ่ เนือ่ งที่ x  2 จะได้ว่า lim f (x)  f (2)
x2

และจากฟงั ก์ชนั f ท่ีกาหนด จะได้ f (2)  k(2)2  4k

และ lim(2x  k)  4  k
x2

ดงั นัน้ 4  k  4k

นัน่ คอื k  4

3

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 2 เร่อื ง ลิมติ และความตอ่ เน่อื งของฟังก์ชัน 19

3) กาหนดให้  2  x 3 , x 1 ท่ี
 x 1
g ( x)   x 1

kx 1, x 1

วธิ ีทา เนือ่ งจากฟังก์ชัน g เป็นฟังก์ชันต่อเน่ืองที่ x 1 จะได้วา่ lim g(x)  g(1)
x1

และจากฟังก์ชนั g ท่ีกาหนด จะได้ g(1)  k(1) 1 k 1

และ lim 2  x  3  lim 2  x  3  2  x  3  lim 4  (x  3)
x1 x 1 x1 x 1 2  x  3 x1 (x 1)(2  x  3)

 lim 1 x  lim 1   1

x1 (x 1)(2  x  3) x1 2  x  3 4

ดังน้นั k 1   1 น่นั คอื k   5

44

 ax  b, x  1

3. กาหนดให้ g(x)   x2  6x 6 , 1  x  6 โดยท่ี g เป็นฟงั ก์ชันต่อเน่ืองท่ี x 1และ x  6 จงหา9a  44b
 x2  5x 

 bx  a, x  6

วิธีทา เนือ่ งจากฟังก์ชัน g เป็นฟงั กช์ ันต่อเนอ่ื งท่ี x 1 จะได้วา่ lim g(x)  g(1)
x1

และจากฟงั กช์ ัน g ที่กาหนด จะได้ g(1)  a(1)  b  a  b

และ lim g(x)  lim x2  6x 6  lim (x x (x  6) 1 ดงั นัน้ ab 1 (1)
x2  5x  1) (x  6) 2 2
x1 x1 x1

เนอื่ งจากฟงั ก์ชนั g เป็นฟงั ก์ชันตอ่ เนื่องท่ี x  6 จะได้ว่า lim g(x)  g(6)
x6

และจากฟังกช์ นั g ทกี่ าหนด จะได้ g(6)  b(6)  a  a  6b

และ lim g(x)  lim x2  6x 6  lim (x x (x  6) 6 ดังนัน้ a  6b  6 (2)
x2  5x  1) (x  6) 7 7
x6 x6 x6

แกส้ มการได้ a 6 และ b 1 ดงั นนั้ 9a  44b  9  6   44  1   54  44  98  7
14 14  14   14  14 14 14

 x3 , x3
4. กาหนดให้  2x 10  x 13 โดยท่ี เป็นจานวนจรงิ
f (x)   a

a, x  3

ถ้า f เป็นฟงั กช์ ันต่อเน่อื งที่ x  3 แล้ว a มีคา่ เทา่ กับเทา่ ใด

วิธที า เนือ่ งจากฟงั กช์ ัน f เป็นฟงั กช์ นั ตอ่ เนอ่ื งที่ x  3 จะได้ว่า lim f (x)  f (3)
x3
และจากฟงั กช์ ัน f ที่กาหนด จะได้ f (3)  a

และ lim g(x)  lim x  3  2x 10  x 13

x3 x3 2x 10  x 13 2x 10  x 13

 lim (x  3)( 2x 10  x 13)  lim (x  3) ( 2x 10  x 13)
x3 (2x 10)  (x 13) x3 x3

 44 8

ดังนั้น a  8

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 2 เร่ือง ลิมติ และความตอ่ เนือ่ งของฟังก์ชัน 20

การพิจารณาความต่อเน่ืองของฟังก์ชัน นอกจากพิจารณาโดยใช้บทนิยามท่ีผ่านมา เรายังสามารถใช้
ทฤษฎบี ทความตอ่ เน่ืองของฟังก์ชัน จะทาให้สะดวกรวดเรว็ ขนึ้ ดงั นี้

ทฤษฎบี ท 1 ถา้ f และ g เปน็ ฟังก์ชนั ต่อเนื่องท่ี x  a แลว้
1. f  g เป็นฟงั ก์ชันตอ่ เนือ่ งที่ x  a
2. f  g เป็นฟงั กช์ นั ตอ่ เนือ่ งท่ี x  a
3. f  g เป็นฟงั กช์ นั ต่อเนื่องท่ี x  a

4. f เปน็ ฟังกช์ นั ตอ่ เน่ืองท่ี x  a เมอื่ g(a)  0

g

ทฤษฎีบท 2 1. ถา้ f เปน็ ฟังก์ชนั พหุนาม ท่ี f (x)  anxn  an1xn1 ... a1x  a0 แลว้
ฟังกช์ นั f เปน็ ฟังก์ชนั ตอ่ เนื่องที่ x  a เมอ่ื a เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ

2. ถ้า f เปน็ ฟงั กช์ ันตรรกยะ ท่ี f (x)  p(x) เม่ือ p(x) และ q(x) เป็นฟังก์ชนั

q(x)

พหนุ าม แล้ว ฟงั ก์ชนั f เป็นฟังก์ชันตอ่ เนือ่ งท่ี x  a เมื่อ a เป็นจานวนจริงใด ๆ ซงึ่ q(a)  0

ตวั อย่างท่ี 5 จากทฤษฎีบท 1, 2 จะไดว้ า่

1) f (x)  3x4  3x3  5x 8 เป็นฟงั ก์ชนั พหุนาม

ดงั นนั้ f เปน็ ฟังก์ชนั ตอ่ เนื่องทที่ กุ คา่ x

2) f (x)  x2  3x  5 เป็นฟงั กช์ นั ตรรกยะ

x2

ดงั นัน้ f เป็นฟงั กช์ นั ต่อเนื่องทที่ ุกค่า x {2}

3) เนื่องจาก f (x)  | x | เป็นฟงั กช์ นั ต่อเนื่องท่ี x 1 และ g(x)  2x เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง

ท่ีจดุ x 1 ดงั น้นั
f (x)  g(x)  | x | 2x เปน็ ฟังก์ชนั ตอ่ เนอื่ งที่ x 1

f (x)  g(x)  | x | 2x เปน็ ฟงั กช์ นั ต่อเน่อื งท่ี x 1

f (x) g(x)  | x | 2x เป็นฟงั กช์ นั ตอ่ เนอื่ งที่ x 1

f (x)  | x | เป็นฟังกช์ ันตอ่ เนอ่ื งท่ี x 1

g(x) 2x

ความตอ่ เน่อื งบนช่วง

ท่ีกล่าวมาแล้วเป็นการพิจารณาความต่อเน่ืองของฟังก์ชันที่จุด ๆ หน่ึง โดยทั่วไปเราสามารถนิยามความ

ตอ่ เน่ืองของฟงั กช์ ันบนชว่ งเปิดและชว่ งปดิ ดังนี้

บทนยิ าม

1. ฟงั กช์ ัน f เป็นฟังกช์ นั ต่อเนือ่ งบนชว่ ง (a,b) กต็ อ่ เม่ือ f เป็นฟงั กช์ นั ต่อเนื่องทท่ี ุกจดุ ในช่วง (a,b)

2. ฟงั ก์ชนั f เป็นฟงั กช์ นั ตอ่ เน่ืองบนช่วง [a,b] ก็ตอ่ เมอื่

1) ฟงั ก์ชนั f เปน็ ฟังกช์ ันต่อเน่ืองทที่ กุ จุดในชว่ ง (a,b) และ

2) lim f (x)  f (a) และ lim f (x)  f (b)
xa xb

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 2 เรอ่ื ง ลมิ ิตและความตอ่ เน่ืองของฟังก์ชัน 21

บทนยิ าม (ต่อ)
3. ฟงั ก์ชนั f เป็นฟังกช์ ันต่อเนื่องบนช่วง (a,b] ก็ตอ่ เมอื่

1) ฟังกช์ ัน f เป็นฟงั ก์ชันต่อเนอ่ื งทท่ี กุ จดุ ในช่วง (a,b) และ
2) lim f (x)  f (b)

xb

4. ฟงั ก์ชัน f เป็นฟังกช์ ันตอ่ เน่อื งบนชว่ ง [a,b) ก็ต่อเมือ่
1) ฟงั ก์ชนั f เปน็ ฟังก์ชันต่อเน่ืองทที่ กุ จุดในชว่ ง (a,b) และ
2) lim f (x)  f (a)

xa

ตัวอยา่ งที่ 6 กาหนดให้ f (x)  1 x2 จงแสดงว่า ฟังกช์ นั f เป็นฟงั ก์ชนั ต่อเนอ่ื งบนช่วง [1,1]
วิธีทา
จะแสดงว่า ฟังก์ชนั f เปน็ ฟงั ก์ชนั ต่อเนอื่ งทท่ี กุ จดุ ในช่วง (1,1)
ตัวอยา่ งที่ 7
วธิ ีทา ให้ c (1,1)

เนื่องจาก 1 c 1 จะไดว้ า่ c2 1 หรือ 1 c2  0 ดงั นั้น 1 c2  0

จะได้ว่า f นิยามท่ี c และ f (c)  1 c2

และจะได้ lim f (x)  lim 1 x2  lim(1 x2)  1 c2
xc xc xc

ดังนน้ั lim f (x)  f (c)
xc

สรุปได้ว่า f เปน็ ฟงั กช์ นั ตอ่ เน่อื งบนชว่ ง (1,1)

ต่อไปจะแสดงว่า lim f (x)  f (1) และ lim f (x)  f (1)
x1 x1

เนอ่ื งจาก lim f (x)  lim 1 x2  lim (1 x2)  0
x1 x1 x1

และ f (1)  0

จะได้ lim f (x)  f (1)
x1

และ lim f (x)  lim 1 x2  lim(1 x2)  0
x1 x1 x1

และ f (1)  0

จะได้ lim f (x)  f (1)
x1

ดงั นัน้ ฟังกช์ ัน f เปน็ ฟงั กช์ นั ตอ่ เน่อื งบนช่วง [1,1]

กาหนดให้ f (x)  1 จงพิจารณาวา่ f เปน็ ฟังก์ชนั ต่อเน่อื งบนชว่ งต่อไปนหี้ รอื ไม่
x2  4

1) (, 2) 2) (2,3]

1) ให้ c (, 2)

เนือ่ งจาก c  2 จะได้วา่ c2  4 หรอื c2  4  0 ดงั นน้ั c2  4  0

จะไดว้ ่า f นิยามท่ี c และ f (c)  1

c2  4

และจะได้ lim f (x)  lim 1  1  1
xc xc x2  4 lim(x2  4) c2  4

xc

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 2 เรื่อง ลิมิตและความตอ่ เน่ืองของฟังกช์ นั 22

ดังน้ัน lim f (x)  f (c)
xc

สรุปไดว้ า่ f เป็นฟังก์ชนั ตอ่ เน่อื งบนช่วง (,2)
2) ให้ c (2,3)

เน่ืองจาก c  2 จะได้ว่า c2  4 หรือ c2  4  0 ดงั น้ัน c2  4  0
จะไดว้ า่ f นยิ ามท่ี c และ f (c)  1

c2  4

และจะได้ lim f (x)  lim 1  1  1  f (c)
xc xc x2  4 lim(x2  4) c2  4

xc

พิจารณา กรณี x  3 จะได้ lim f (x)  lim 1  1  f (3)

x3 x3 x2  4 5

ดงั นนั้ f เปน็ ฟังก์ชันตอ่ เนือ่ งท่ี x  3

สรุปได้วา่ f เปน็ ฟังกช์ นั ตอ่ เนื่องบนช่วง (2,3]

แบบฝึกหดั
ความตอ่ เน่อื งบนช่วง

ของฟังกช์ นั

กาหนดให้ f (x)  2 จงพิจารณาวา่ f เปน็ ฟงั กช์ นั ต่อเน่อื งบนช่วงตอ่ ไปนหี้ รือไม่
x4

1) (, 4) 2) (4,6] 3) (4,)

วธิ ีทา 1) ให้ c (, 4) จะไดว้ ่า lim f (x)  lim 2  2  f (c)

xc xc x  4 c  4

นน่ั คือ ฟังกช์ นั f เปน็ ฟังกช์ นั ตอ่ เน่ืองทที่ ุกจุดวนช่วง (,4)

ดงั นนั้ ฟงั กช์ นั f เป็นฟงั ก์ชันต่อเน่อื งบนชว่ ง (,4)

2) ให้ c(4,6) จะได้ว่า lim f (x)  lim 2  2  f (c)
xc xc x  4 c  4

นัน่ คอื ฟังก์ชนั f เป็นฟังก์ชันตอ่ เน่ืองทท่ี กุ จดุ บนช่วง (4,6)

พิจารณา กรณี x  3 จะได้ f (6)  2 1 และ lim f (x)  lim 2 1
64 x6 x6 x  4

น่นั คือ lim f (x)  f (6)
x6

ดังนนั้ f เป็นฟังกช์ ันต่อเน่ืองท่ี x  6

จะไดว้ ่า ฟังกช์ ัน f เปน็ ฟงั กช์ นั ต่อเนือ่ งที่ทุกจดุ ในชว่ ง (4,6]

ดังน้ัน ฟงั กช์ ัน f เป็นฟังกช์ นั ต่อเนอื่ งบนชว่ ง (4,6]

3) ให้ c (4,) จะได้ว่า lim f (x)  lim 2  2  f (c)

xc xc x  4 c  4

นน่ั คอื ฟงั ก์ชัน f เปน็ ฟังกช์ ันตอ่ เนื่องทท่ี ุกจุดในช่วง (4,)

ดงั น้ัน ฟงั ก์ชนั f เปน็ ฟังกช์ นั ตอ่ เนอ่ื งบนชว่ ง (4,)

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา