แบบฝึกทักษะ เล่มที่ 4 เรื่องตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น ภาคเรียนที่ 2 ปีการศึกษา 2563

แบบฝกึ ทกั ษะ รายวชิ า คณติ ศาสตรเ์ พิม่ เตมิ 6
รหสั วิชา ค33202

คณติ ศาสตร์ ม.6

สถติ ิศาสตรเ์ บ้อื งตน้

เล่มท่ี

4

เรื่อง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเปน็

ชอื่ ………………………………………..……….ช้นั ม.6/………เลขที่………

ครูผสู้ อน ครคู รรชติ แซ่โฮ่
ตาแหน่ง ครู วิทยฐานะ ครชู านาญการ

โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา
สานกั งานเขตพ้นื ทก่ี ารศึกษามัธยมศกึ ษา เขต 15

กระทรวงศึกษาธิการ

ก

คานา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง สถิติศาสตร์เบื้องต้น จัดทาขึ้นเพ่ือใช้ประกอบการจัด
กจิ กรรมการเรียนรู้กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาคณติ ศาสตร์เพิ่มเติม 6 รหัสวิชา ค33202
ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 6 ซึ่งสอดคล้องกับตัวชี้วัดและสาระการเรียนรู้แกนกลาง กลุ่มสาระการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช
2551 เป็นแบบฝึกทักษะที่ใช้ประกอบการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ท่ีส่งเสริมให้ผู้เรี ยนเกิดการ
เปล่ียนแปลงพฤติกรรมในการเรียนรู้ตามความสามารถของแต่ละคน เพ่ือมุ่งเน้นให้ผู้เรียนมีความรู้
ความเขา้ ใจในบทเรียนได้ดี ส่งเสริมความก้าวหน้าทางการเรียนรู้ที่มุ่งเน้นผู้เรียนเป็นสาคัญ มุ่งพัฒนา
และส่งเสริมทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียน ซ่ึงได้แก่ ความสามารถในการ
แก้ปัญหา การให้เหตุผลความคิดริเร่ิมสร้างสรรค์ ฝึกให้ผู้เรียนทางานอย่างเป็นระบบ มีระเบียบวินัย
รอบคอบ มคี วามรับผดิ ชอบ ตระหนกั ในคณุ คา่ และมีเจตคติทด่ี ีต่อวชิ าคณิตศาสตร์ รวมท้ังตอบสนอง
สาระ มาตรฐานการเรยี นรู้และตัวช้ีวัดในรายวชิ าคณิตศาสตร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง สถิติศาสตร์เบื้องต้น เล่มนี้เป็นเล่มที่ 4 เรื่อง ตัวแปรสุ่มและ
การแจกแจงความน่าจะเป็น เพ่ือให้การพัฒนาทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียน
เป็นไปตามเปา้ หมาย ผูเ้ รยี นควรปฏบิ ัตติ ามขนั้ ตอนในการใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตรอ์ ย่างครบถว้ น

ผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง สถิติศาสตร์เบ้ืองต้น เล่มน้ี คง
เป็นประโยชน์ต่อผู้เรียนในการเรียนรู้ สามารถนาผู้เรียนไปสู่จุดหมายตามศักยภาพ เป็นผู้ท่ีมี
คุณลักษณะอนั พงึ ประสงค์ นาความรู้ไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจาวันได้ และเป็นแนวทางสาหรับผู้ที่มี
ความสนใจตอ่ ไป

ขอขอบพระคุณผู้อานวยการโรงเรียน คณะครูกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ผู้ท่ีมีส่วน
เก่ียวข้องทุกทา่ น ทไี่ ด้อานวยความสะดวก เป็นกาลังใจ ให้ความช่วยเหลือ และให้การสนับสนุน และ
ขอขอบใจนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ทุกคนท่ีให้ความร่วมมือในกิจกรรมการเรียนรู้และทาให้แบบ
ฝึกทักษะคณติ ศาสตร์เลม่ น้สี าเร็จลุลว่ งด้วยดี ขอขอบคณุ เป็นอยา่ งสงู ไว้ ณ โอกาสน้ี

คุณค่าและประโยชน์ของแบบฝึกทักษะนี้ ผู้จัดทาขอมอบเป็นเครื่องบูชาพระคุณแด่บิดา
มารดา และบูรพาจารย์ ตลอดจนผู้มีพระคุณทุกท่าน ที่อบรมส่ังสอนประสิทธ์ิประสาทความรู้ท้ังปวง
แกผ่ ูจ้ ัดทา

ครรชิต แซ่โฮ่
ตาแหน่ง ครู วิทยฐานะ ครูชานาญการ

ข

สารบัญ

เรอื่ ง หน้า

คานา ก

สารบญั ข

คาอธบิ ายรายวชิ า 1

หนว่ ยการเรียนรู้ 2

โครงสร้างรายวิชา 3

ตัวแปรสุม่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็น 4

จดุ มงุ่ หมาย 4

1. ความหมายและชนดิ ของตัวแปรสุ่ม 6

กิจกรรมโยนเหรียญท่ีเทยี่ งตรง 6

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 1 ตวั แปรสมุ่ 10

2. การแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรสมุ่ ไมต่ ่อเน่อื ง 10

กจิ กรรมพี่นอ้ งของฉัน 10

แบบฝึกทกั ษะท่ี 2 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่มไมต่ ่อเน่ือง 14

คา่ คาดหมายและส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานของตวั แปรสุ่มไมต่ ่อเนื่อง 15

แบบฝกึ ทักษะที่ 3 ค่าคาดหมายและส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานของตวั แปรสุ่มไม่ต่อเน่ือง 20

2.1 การแจกแจงเอกรปู ไมต่ ่อเนือ่ ง 23

แบบฝึกทักษะท่ี 4 การแจกแจงเอกรปู ไม่ตอ่ เนอ่ื ง 25

กิจกรรมสีสนั หรรษา 27

2.2 การแจกแจงทวินาม 29

แบบฝึกทักษะที่ 5 การแจกแจงทวินาม 33

3. การแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตวั แปรสุ่มต่อเน่อื ง 38

3.1 การแจกแจงปกติ 40

3.2 การแจกแจงปกตมิ าตรฐาน 42

เปอร์เซน็ ไทลข์ องตวั แปรสุ่มต่อเน่ือง 46

การเปรยี บเทียบตาแหนง่ ของข้อมูลโดยใช้ค่าของตวั แปรสมุ่ ปกติมาตรฐาน 47

แบบฝึกทักษะที่ 6 การแจกแจงปกตมิ าตรฐาน 49

ทบทวนการแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสมุ่ ต่อเนอ่ื ง 56

กจิ กรรมตวั ต่อมหาสนุก 56

ทบทวนตัวแปรสุม่ และการแจกแจงความน่าจะเป็น 57

กิจกรรมนอนพอไหม 57

แบบฝึกหดั ทา้ ยบทตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเปน็ 59

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 4 เรอื่ ง ตัวแปรสุม่ และการแจกแจงความนา่ จะเปน็ 1

รายวชิ าคณิตศาสตร์เพิม่ เตมิ 6 คาอธิบายรายวิชา รหสั วชิ า ค33202
ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6 ภาคเรียนที่ 2 4 ชั่วโมง/สัปดาห์
80 ชัว่ โมง/ภาคเรียน
2.0 หนว่ ยกติ

ศกึ ษาและฝกึ ทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์อนั ได๎แกํ การแกป๎ ญั หา การให๎เหตผุ ล การสอื่ สาร
การสอ่ื ความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ การเชอื่ มโยงความรูต๎ าํ ง ๆ ทางคณิตศาสตร์ และเชื่อมโยง
คณติ ศาสตร์กับศาสตร์อ่นื ๆ และมีความคิดริเริ่มสร๎างสรรค์ ในสาระตํอไปน้ี

สถิติศาสตร์และข้อมูล ความหมายของสถิตศิ าสตรแ์ ละขอ๎ มูล ได๎แกํ สถิติศาสตร์ คาสาคัญในสถิติศาสตร์
ประเภทของข๎อมูล ได๎แกํ การแบํงประเภทของข๎อมูลตามแหลํงที่มาของข๎อมูล การแบํงประเภทของข๎อมูลตาม
ระยะเวลาที่จัดเก็บ และการแบํงประเภทของข๎อมูลตามลักษณะของข๎อมูล สถิติศาสตร์เชิงพรรณนาและ
สถิติศาสตรเ์ ชิงอนุมาน

การวิเคราะห์และนาเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพ การวิเคราะห์และนาเสนอข๎อมูลเชิงคุณภาพด๎วยตาราง
ความถี่ ได๎แกํ การวิเคราะหข์ ๎อมลู เชิงคณุ ภาพ การนาเสนอข๎อมูลเชิงคณุ ภาพดว๎ ยตารางความถ่ี
การวเิ คราะห์และนาเสนอข๎อมูลเชิงคุณภาพด๎วยแผนภาพ

การวิเคราะห์และนาเสนอข้อมูลเชิงปริมาณ การวิเคราะห์และนาเสนอข๎อมูลเชิงปริมาณด๎วยตาราง
ความถี่ การวิเคราะห์และนาเสนอข๎อมูลเชิงปริมาณด๎วยแผนภาพ คําวัดทางสถิติ ได๎แกํ คํากลางของข๎อมูล
ประกอบด๎วย คําเฉลยี่ เลขคณิต มธั ยฐาน และฐานนิยม คําวัดการกระจายของข๎อมูล ไดแ๎ กํ พิสยั และสํวนเบ่ียงเบน
มาตรฐาน และคาํ วดั ตาแหนํงทข่ี องขอ๎ มูล ไดแ๎ กํ ควอไทล์ เดไซล์ และเปอรเ์ ซน็ ไทล์

ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเปน็ ความหมายและชนิดของตัวแปรสุํม การแจกแจงความนําจะ
เป็นของตัวแปรสํุมไมํตํอเน่ือง ได๎แกํ การแจกแจงเอกรูปมาตํอเน่ือง และการแจกแจงทวินาม ความนําจะเป็นของ
ตัวแปรสุมํ ตํอเนื่อง ได๎แกํ การแจกแจงปกติ และการแจกแจงปกตมิ าตรฐาน

การจัดประสบการณ์หรือสร๎างสถานการณ์ที่ใกล๎ตัวให๎ผู๎เรียนได๎ศึกษาค๎นคว๎าโดยปฏิบัติจริง ทดลอง สรุป
รายงาน เพื่อให๎มคี วามร๎คู วามเขา๎ ใจในเนอื้ หา มที กั ษะการแก๎ปญั หา การให๎เหตุผลและนาประสบการณ์ด๎านความร๎ู
ความคิด การใช๎ทักษะชีวิต กระบวนการ และการใช๎เทคโนโลยีท่ีได๎ไปใช๎ในชีวิตประจาวันได๎ตามหลักปรัชญาของ
เศรษฐกิจพอเพียง รวมทั้งให๎มีความรักชาติ ศาสน์ กษัตริย์ ซ่ือสัตย์สุจริต มีวินัย ใฝ่เรียนร๎ู อยูํอยํางพอเพียง
มํงุ มั่นในการทางาน รกั ความเป็นไทยและมจี ิตสาธารณะ

การวัดและประเมนิ ผล ใชว๎ ิธีการหลากหลายตามสภาพเปน็ จริง ตามมาตรฐานและตวั ช้ีวัดที่กาหนด

ผลการเรียนรู้
1. เข๎าใจและใชค๎ วามรู๎ทางสถิติในการนาเสนอขอ๎ มลู และแปลความหมายของคําสถติ ิเพอ่ื ประกอบการ
ตัดสนิ ใจ
2. หาความนําจะเป็นของเหตุการณท์ เี่ กิดจากตวั แปรสํุมท่ีมกี ารแจกแจงเอกรปู การแจกแจงทวนิ าม และ
การแจกแจงปกติ และนาไปใช๎ในการแกป๎ ญั หา

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 4 เรือ่ ง ตัวแปรส่มุ และการแจกแจงความนา่ จะเป็น 2

หนว่ ยการเรยี นรู้

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ 6 รหสั วชิ า ค33202

ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 6 ภาคเรียนที่ 2 4 ชั่วโมง/สปั ดาห์

80 ช่ัวโมง/ภาคเรยี น 2.0 หนว่ ยกิต

ชัน้ เรยี น/ภาคเรียน หนว่ ยการเรียนรู้/สาระการเรยี นรู้ จานวนชั่วโมง
ม.6
1. สถติ ิศาสตร์และขอ้ มูล 10
ภาคเรยี นที่ 2 1.1 สถิติศาสตร์
1.2 คาสาคัญในสถิตศิ าสตร์ 10
1.3 ประเภทของขอ๎ มลู 30
- การแบงํ ประเภทของข๎อมูลตามแหลงํ ทีม่ าของข๎อมลู
- การแบํงประเภทของข๎อมลู ตามระยะเวลาท่ีจดั เก็บ 30
- การแบํงประเภทของขอ๎ มูลตามลักษณะของขอ๎ มลู 80
1.4 สถิตศิ าสตร์เชิงพรรณนาและสถิติศาสตรเ์ ชงิ อนุมาน

2. การวิเคราะห์และนาเสนอขอ้ มลู เชงิ คณุ ภาพ
2.1 การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ๎ มูลเชิงคณุ ภาพดว๎ ย
ตารางความถ่ี
- การวิเคราะห์ขอ๎ มลู เชงิ คณุ ภาพ
- การนาเสนอขอ๎ มลู เชิงคณุ ภาพด๎วยตารางความถี่
2.2 การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอขอ๎ มูลเชงิ คณุ ภาพดว๎ ยแผนภาพ

3. การวิเคราะห์และนาเสนอขอ้ มูลเชิงปริมาณ
3.1 การวิเคราะหแ์ ละนาเสนอขอ๎ มูลเชิงปรมิ าณด๎วย
ตารางความถ่ี
3.2 การวเิ คราะหแ์ ละนาเสนอขอ๎ มูลเชงิ ปรมิ าณด๎วยแผนภาพ
3.3 คาํ วดั ทางสถิติ
- คํากลางของขอ๎ มลู ไดแ๎ กํ คาํ เฉลยี่ เลขคณติ มัธยฐาน
และฐานนยิ ม
- คาํ วัดการกระจายของขอ๎ มลู ไดแ๎ กํ พสิ ยั และ
สํวนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน
- คาํ วัดตาแหนงํ ทข่ี องข๎อมลู ได๎แกํ ควอไทล์ และเปอรเ์ ซน็ ไทล์

4. ตัวแปรส่มุ และการแจกแจงความนา่ จะเป็น
4.1 ความหมายและชนดิ ของตวั แปรสุํม
4.2 การแจกแจงความนําจะเปน็ ของตวั แปรสุมํ ไมํตอํ เนอ่ื ง
- การแจกแจงเอกรปู มาตอํ เนื่อง
- การแจกแจงทวนิ าม
4.3 ความนาํ จะเปน็ ของตวั แปรสํมุ ตํอเนื่อง
- การแจกแจงปกติ
- การแจกแจงปกติมาตรฐาน
รวม

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 4 เร่ือง ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเปน็ 3

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ 6 โครงสร้างรายวิชา รหสั วิชา ค33202
ชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 6 ภาคเรยี นท่ี 2 4 ชัว่ โมง/สัปดาห์
80 ชัว่ โมง/ภาคเรยี น
2.0 หนว่ ยกิต

ลาดบั ช่ือ ผลการเรียนรู้ สาระการเรียนร้แู กนกลาง เวลา น้าหนกั
ท่ี หนว่ ยการเรยี นรู้ (ชัว่ โมง) คะแนน
1 สถิติศาสตรแ์ ละ
ข๎อมลู ข๎อ 1 สถิติศาสตรแ์ ละขอ๎ มูล ความหมายของ 10 15

2 การวิเคราะห์และ สถิตศิ าสตร์และข๎อมลู ไดแ๎ กํ สถิติศาสตร์ คา
นาเสนอข๎อมลู เชิง
คณุ ภาพ สาคัญในสถติ ิศาสตร์ ประเภทของขอ๎ มูล ไดแ๎ กํ

3 การวิเคราะห์และ การแบํงประเภทของข๎อมลู ตามแหลงํ ท่ีมาของ
นาเสนอข๎อมูลเชิง
ปริมาณ ขอ๎ มูล การแบงํ ประเภทของข๎อมูลตาม

4 ตวั แปรสุมํ และ ระยะเวลาทจ่ี ัดเก็บ และการแบํงประเภทของ
การแจกแจง
ความนําจะเป็น ขอ๎ มูลตามลักษณะของข๎อมลู สถติ ศิ าสตรเ์ ชงิ

พรรณนาและสถิติศาสตร์เชงิ อนุมาน

ข๎อ 1 การวเิ คราะห์และนาเสนอข๎อมูลเชิงคุณภาพ 10 15

การวิเคราะห์และนาเสนอข๎อมลู เชิงคุณภาพ

ดว๎ ยตารางความถี่ ได๎แกํ การวิเคราะห์ข๎อมูล

เชิงคุณภาพ การนาเสนอขอ๎ มูลเชิงคณุ ภาพด๎วย

ตารางความถ่ี การวิเคราะห์และนาเสนอข๎อมลู

เชิงคณุ ภาพดว๎ ยแผนภาพ
ขอ๎ 1 การวิเคราะห์และนาเสนอข๎อมูลเชงิ ปรมิ าณ
การวิเคราะห์และนาเสนอข๎อมลู เชงิ ปริมาณ 30 35

ด๎วยตารางความถี่ การวิเคราะห์และนาเสนอ
ข๎อมลู เชงิ ปรมิ าณด๎วยแผนภาพ คําวดั ทางสถิติ
ไดแ๎ กํ คาํ กลางของข๎อมลู ประกอบด๎วย
คาํ เฉล่ียเลขคณิต มธั ยฐาน และฐานนิยม คําวดั
การกระจายของข๎อมลู ได๎แกํ พิสยั และสํวน
เบ่ียงเบนมาตรฐาน และคําวดั ตาแหนํงทีข่ อง
ขอ๎ มูล ได๎แกํ ควอไทล์ และเปอรเ์ ซ็นไทล์
ขอ๎ 2 ตัวแปรสํุมและการแจกแจงความนําจะเป็น
30 35

ความหมายและชนิดของตวั แปรสํุม การแจก
แจงความนาํ จะเป็นของตวั แปรสุํมไมํตํอเนอื่ ง
ไดแ๎ กํ การแจกแจงเอกรูปมาตํอเนอื่ ง และการ
แจกแจงทวินาม ความนาํ จะเป็นของตวั แปรสํุม
ตอํ เนื่อง ไดแ๎ กํ การแจกแจงปกติ และการแจก
แจงปกตมิ าตรฐาน

รวมตลอดภาคเรียน 80 100

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 4 เร่ือง ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเป็น 4

Mathematics

KANARAS

หน่วยที่ ตวั แปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเปน็

4 1. ความหมายและชนิดของตัวแปรสุม่
2. การแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรสมุ่ ไมต่ ่อเน่ือง

2.1 การแจกแจงเอกรูปไม่ตอ่ เน่อื ง
2.2 การแจกแจงทวินาม
3. การแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตวั แปรส่มุ ต่อเนอ่ื ง
3.1 การแจกแจงปกติ
3.2 การแจกแจงปกติมาตรฐาน

จุดมุ่งหมาย

1. จาแนกไดว้ า่ ตัวแปรส่มุ ท่กี าหนดใหเ้ ปน็ ตวั แปรสุ่มไมต่ อ่ เนอื่ งหรอื ตัวแปรสมุ่ ต่อเนอื่ ง
2. เขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตัวแปรสมุ่ ไม่ตอ่ เนือ่ ง
3. หาค่าคาดหมายและส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง พร้อมทั้งใช้ในการ

แก้ปัญหา
4. ตรวจสอบไดว้ ่าการแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องเป็นการแจกแจงเอกรูป

ไม่ต่อเนอื่ งหรือไม่
5. ใชค้ วามร้เู ก่ียวกบั การแจกแจงทวินามในการแก้ปัญหา
6. หาความนา่ จะเปน็ ทตี่ ัวแปรสุม่ ปกตจิ ะมีค่าอย่ใู นชว่ งท่กี าหนด
7. ใชค้ วามรู้เกี่ยวกับการแจกแจงปกตแิ ละการแจกแจงปกติมาตรฐานในการแก้ปัญหา

(รูปภาพจาก http://gg.gg/nee82)

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 4 เรือ่ ง ตัวแปรส่มุ และการแจกแจงความนา่ จะเปน็ 5

ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็น

Mathematics

KANARAS

“ในการวางแผนและตัดสินใจทางธุรกิจ ผ๎ูประกอบการอาจต๎องใช๎ข๎อมูลที่เก็บรวบรวมในการสร๎าง
แบบจาลองเพื่อคาดการณ์แนวโนม๎ หรอื ความนําจะเปน็ ในสถานการณต์ ําง ๆ

(รปู ภาพจาก http://gg.gg/neee0/1)
ตัวอยํางเชํน ผู๎ประกอบการร๎านขายเคร่ืองด่ืมและของหวานอาจใช๎ข๎อมูลเกี่ยวกับระยะเวลาท่ีลู กค๎าใช๎
บริการที่ร๎านขายเคร่ืองด่ืมและของหวานแตํละร๎านที่สํุมมาในแตํละแวกน้ัน ในการพิจารณาแนวโน๎มหรือความ
นําจะเป็นที่ลูกค๎าใช๎บริการท่ีร๎านตนเอง เพื่อใช๎ในการวางแผนจัดเตรียมสถานท่ี รวมท้ังจัดเตรียมวัตถุดิบในแตํละ
ชวํ งเวลา เพอื่ ลดรายจํายท่ีไมํจาเปน็ ใหไ๎ ด๎มากทีส่ ุด”
สาหรับการศึกษาในบทที่ผํานมาเป็นการวิเคราะห์ข้อมูลโดยใช้สถิติศาสตร์เชิงพรรณนา กลําวคือเป็น
…………………………………………………………………………………………………สํวนเน้ือหาในหัวข๎อน้ีจะเป็นความร๎ูพ้ืนฐาน
สาหรับการวิเคราะห์ขอ๎ มูลโดยใช๎สถติ ศิ าสตรเ์ ชิงอนมุ าน
เนื่องจากการวิเคราะห์ข้อมูลโดยใช้สถติ ศิ าสตร์เชิงอนมุ านเป็น ………………………………………………………..
…………………………………………………………………………จึงทาใหส๎ ถติ ิศาสตรเ์ ชิงอนมุ านมีเรือ่ งของ................................
เข๎ามาเกี่ยวข๎อง เพราะเป็นไปได๎ที่ข๎อมูลของตัวอยํางจะให๎ข๎อสรุปทางสถิติศาสตร์ ที่แตกตํางจากข๎อมูลของ
ประชากร ด๎วยเหตุน้ี ความร๎ูเรื่องความน่าจะเป็นจึงมีบทบาทสาคัญในการศึกษาสถิติศาสตร์เชิงอนุมาน แตํสถิต
ศาสตรเ์ ชงิ อนุมานก็เปน็ เรื่องสาคญั และมีประโยชน์มากเนอ่ื งจากโดยทวั่ ไปแลว๎ การหาข๎อมูลของประชากรเป็นไปได๎
ยากเพราะไมมํ ที รัพยากรงบประมาณ หรือเวลาเพียงพอในการเก็บรวบรวมขอ๎ มลู ใหไ๎ ด๎ครบสมบูรณ์
นอกจากนี้การนาความนาํ จะเป็นมาใชใ๎ นการศึกษาสถิติศาสตรย์ ังชวํ ยให๎สามารถศึกษาข๎อมูลท่ีมีจานวนไมํ
แนํนอนได๎ เชํน หากต๎องการหาคําเฉลี่ยของระยะเวลาท่ีนักทํองเที่ยวชาวตํางประเทศใช๎ท่ีสนามบินสุวรรณภูมิ
เนือ่ งจากนักทํองเทย่ี วทีเ่ ดนิ ทางเขา๎ มาท่สี นามบนิ สุวรรณภมู ิมจี านวนไมํแนนํ อนจึงไมํสามารถใช๎สูตรการหาคําเฉล่ีย
เลขคณิตท่ีเคยศึกษาไปแล๎วได๎ แตํจะต๎องนาความนําจะเป็นมาใช๎ในการศึกษาผํานตัวแปรสุํมซึ่งจะอธิบาย
ความหมายในหัวขอ๎ ตํอไป

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 4 เร่ือง ตัวแปรส่มุ และการแจกแจงความน่าจะเปน็ 6

1. ความหมายและชนิดของตัวแปรส่มุ

ให๎นกั เรียนทากิจกรรมตอํ ไปนี้

กิจกรรม

โยนเหรียญทีเ่ ที่ยงตรง

ตวั อย่างท่ี 1 พจิ ารณาการทดลองสํุมซึง่ ได๎จากการโยนเหรยี ญทเ่ี ทย่ี งตรง 1 เหรยี ญ 3 ครง้ั
ให๎ S แทนปริภูมิตัวอยาํ งของการทดลองสมํุ นี้

H แทนเหรยี ญขนึ้ หัว

และ T แทนเหรียญขึน้ ก๎อย

จะได๎ S = ……………………………………………………………………………
และ n(S) = ……………………
ถา๎ ให๎ E0, E1, E2 และ E3 แทนเหตุการณ์ที่เหรียญขนึ้ หวั 0, 1, 2 และ 3 ครัง้ ตามลาดบั

โดยใช๎ความรูเ๎ รอ่ื งความนาํ จะเป็นจะไดว๎ ํา

P(E0 )  .................. P(E1)  ..................

P(E2 )  .................. P(E3 )  ..................

จากสถานการณ์ข๎างต๎น จะเห็นวําสิ่งท่ีสนใจไมํใชํหน๎าของเหรียญที่ปรากฏในการโยนเหรียญแตํละคร้ัง แตํ
สนใจจานวนคร้ังท่เี หรียญขึ้นหวั ในการทดสอบสุํมนี้ ซง่ึ มคี าํ เปน็ ไปได๎...........คํา คือ....................................โดยจะยังไมํ
ทราบวําคําที่ได๎จริง ๆ คือคําใดจนกวําจะเสร็จสิ้นการทดสอบสุํม จึงอาจกาหนดฟังก์ชัน X จากปริภูมิตัวอยําง S ไป
ยงั ...................................เพอื่ แปลงผลลัพธ์ท่อี าจเปน็ ไปได๎ท้งั หมดของการทดลองสํมุ ให๎อยูํในรปู ตวั เลขโดยกาหนดให๎

X (HHH )  .................. X (HHT )  ..................
X (HTH )  .................. X (HTT )  ..................
X (THH )  .................. X (THT )  ..................
X (TTH )  .................. X (TTT )  ..................

จะเรยี ก X วํา ตัวแปรสมุ่ ซง่ึ มีบทนิยามดงั ตอํ ไปนี้

ตัวแปรสุ่ม (random variable) คือ………………………………………………………………………………………………………

จะเรียกสมาชิกของเรนจ์ ของตัวแ ปรสํุมวํา ………………………………………………ซึ่งแตํละคําจะเกิดได๎ด๎ว ย
ความนําจะเป็นคําหนึง่

โดยท่ัวไปนิยมใช๎ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญํแทนตัวแปรสุํม เชํน X, Y, Z และใช๎ตัวอักษร
ภาษาองั กฤษตัวพมิ พเ์ ล็กแทนคําของตวั แปรสํมุ เชนํ x, y, z

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 4 เรื่อง ตัวแปรสุม่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็น 7

กาหนดให๎ S แทนปรภิ มู ิตวั อยาํ ง X

s X (s)




Measurement Space

Sample Space

ดังนั้น ตัวแปรสุมํ จงึ เป็นฟังกช์ ันทีเ่ ปลีย่ นทกุ ๆ เหตุการณใ์ นปรภิ มู ติ วั อยํางให๎เปน็ ตัวเลขน่ันเอง

เสริมสมอง
ตัวแปรส่มุ คอื ฟงั ก์ชนั จากปรภิ ูมติ วั อยา่ งของการทดลองสุ่มไปยังเซตของจานวนจรงิ
ถึงแม้ว่าตัวแปรสุ่มจะนิยามว่าเป็นฟังก์ชัน แต่โดยทั่วไปเม่ือกล่าวถึงตัวแปรสุ่มจะหมายถึง

สมาชิกของเรนจ์ของตัวแปรสุ่ม (ซ่ึงเรียกว่า ค่าของตัวแปรสุ่ม) โดยจะไม่สนใจโดเมนและความสัมพันธ์
ระหว่างโดเมนและเรนจ์ของตัวแปรสุ่ม ด้วยเหตุน้ีจึงอาจพบการนิยามตัวแปรสุ่มว่าเป็นตัวแปรเชิง
ปรมิ าณท่คี า่ แต่ละค่าท่เี ป็นไปไดข้ องตัวแปรนัน้ มโี อกาสเกิดข้นึ ดว้ ยความน่าจะเป็นค่าหนึ่ง

ตวั อยา่ งเพิ่มเติมเพ่ืออธิบายวา่ สามารถกาหนดตวั แปรสมุ่ เปน็ ฟงั กช์ ันได้อย่างไร เชน่
 ถ้าสนใจจานวนคร้งั ทเี่ หรียญขึ้นหัว ในการโยนเหรียญ 1 เหรยี ญ 1 ครั้ง

จะกาหนดให้ตวั แปรสุ่ม X คอื จานวนครั้งทเี่ หรยี ญขนึ้ หวั ในท่ีนีจ้ ะกาหนดโดเมนของ
ตวั แปรสุ่มเป็นปรภิ ูมติ ัวอยา่ งของการทดลองสุ่ม ซ่ึงคือ {H, T} กาหนดเรนจ์ของตัวแปรสุ่ม
เปน็ เซตที่มีสมาชกิ เปน็ จานวนครงั้ ท่เี ป็นไปได้ที่เหรียญข้ึนหัว ซึ่งคือ {0, 1} และจะพิจารณา
วา่ X เปน็ ฟงั กช์ ันจาก {H, T} ไปยงั {0, 1} โดยที่ X(H) = 1 และ X(T) = 0
 ถ้าสนใจจานวนลูกค้าท่ีมาใช้บริการที่ร้านอาหารแห่งหนึ่งระหว่างเวลา 11:00 – 14:00 น.
จะกาหนดให้ตัวแปรสุ่ม Y คือจานวนลูกค้าที่มาใช้บริการท่ีร้านอาหารแห่งน้ีระหว่างเวลา
11:00 – 14:00 น. ในที่น้ีจะกาหนดโดเมนและเรนจ์ของตัวแปรสุ่มเป็นเซตที่มีสมาชิกเป็น
จานวนลูกค้าท่ีเป็นไปได้ท่ีมาใช้บริการท่ีร้านอาหารแห่งน้ี ซึ่งคือ x {0} และจะ

พิจารณาว่า Y เป็นฟังก์ชันจาก {0} ไปยัง {0} โดยท่ี Y(x) = x สาหรับทุก

x  {0}

ตัวอย่างที่ 1 ตวั อยาํ งของตัวแปรสํุม
1) โยนเหรยี ญท่เี ท่ียงตรง 1 เหรยี ญ 3 ครัง้

ให๎ x แทนคําทเี่ ปน็ ไปได๎ของตวั แปรสุมํ X
ดงั น้ัน x……………………………….
2) หากโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครงั้
กาหนดให๎ X แทนจานวนเหรียญท่ขี ้ึนกอ๎ ย
ดังนั้น คําของ X ทเ่ี ปน็ ไปได๎ คือ………………………………………………
3) กลอํ งใบหนึ่งมลี ูกบอลสแี ดง 4 ลูก สีดา 3 ลูก สํุมหยิบลูกบอลมา 2 ลูก โดยหยิบทีละลูกแล๎ว
ไมํใสํคืน
กาหนดให๎ Y คือ จานวนลูกบอลสแี ดงท่หี ยิบได๎
ดงั นั้น คําของ Y ทเ่ี ป็นไปได๎ คือ………………………………………………

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 4 เรอ่ื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเปน็ 8

4) ในการช่ังน้าหนักของเด็กแรกเกดิ ท่คี ลอด ณ โรงพยาบาลแหงํ หน่งึ
กาหนดให๎ Z แทนน้าหนักของเดก็ แรกเกดิ
ดังน้ัน คําทเ่ี ป็นไปได๎ คอื ………………………………………………กรมั

จะใช๎สัญลกั ษณ์ X = x แทนเหตกุ ารณท์ ี่เหรียญขึน้ หัว x ครัง้

ดงั น้ันจะเขยี น P(X  0) แทน P(E0) หรอื ความนาํ จะเป็นที่เหรยี ญขึน้ หวั …………….ครั้ง
P(X 1) แทน P(E1) หรือความนาํ จะเปน็ ที่เหรียญขึน้ หัว…………….ครง้ั
P(X  2) แทน P(E2) หรือความนาํ จะเป็นที่เหรยี ญขึน้ หวั …………….คร้งั
P(X  3) แทน P(E3) หรอื ความนาํ จะเปน็ ที่เหรยี ญขนึ้ หวั …………….ครง้ั

โดยทวั่ ไป ตัวแปรสมุ่ แบ่งเปน็ ………….ชนิด ตามลกั ษณะของคาํ ท่ีเปน็ ไปได๎ของตัวแปรสุํม ดงั น้ี

1. ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง (Discrete random variable) คือตัวแปรสุํมที่คําท่ีเป็นไปได๎ทั้งหมดอยูํในเซตท่ีสามารถ

.............................................ได๎ หรอื คาํ ที่เปน็ ไปไดท๎ ง้ั หมดของตัวแปรสํมุ สามารถเขยี น........................................
ได๎ ท้งั นเ้ี ซตของคําท่ีเปน็ ไปไดท๎ ั้งหมดของตวั แปรสุํมไมตํ ํอเนือ่ งอาจเป็น..................................................กไ็ ด๎

ตัวอย่างเช่น
 ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร๎อมกัน 1 คร้ัง ถ๎าให๎ตัวแปรสุํมคือผลบวกของแต๎มบนหน๎าลูกเต๋าทั้งสอง จะได๎

เซตของคําทีเ่ ปน็ ไปไดท๎ ง้ั หมดของตวั แปรสมํุ คอื ...........................................................................................
 ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ 1 คร้ัง ถ๎าให๎ตัวแปรสํุมเป็น 0 เมื่อเหรียญขึ้นหัวและ 1 เมื่อเหรียญข้ึนก๎อย

จะได๎เซตของคําทเี่ ปน็ ไปไดท๎ ้ังหมดของตัวแปรสมํุ คือ...................................................................................
 ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญไปเรอ่ื ย ๆ จนกวําเหรยี ญจะขนึ้ หัวจึงจะหยุด ถ๎าให๎ตัวแปรสํุมคือจานวนคร้ังท่ี

ต๎องโยนเหรียญจนกวาํ เหรยี ญจะขนึ้ หวั จะไดเ๎ ซตของคาํ ทเ่ี ป็นไปได๎ท้งั หมดของตวั แปรสุํม คอื
...................................................................................

2. ตัวแปรส่มุ ตอ่ เนื่อง (Continuous random variable) คือตัวแปรสุมํ ทเี่ ซตของคาํ ที่เป็นไปไดท๎ งั้ หมดเปน็ …………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ตัวอย่างเชน่
 ใหต๎ วั แปรสุํมคือความสูง (เซนตเิ มตร) ของนักเรยี นช้ันมธั ยมศกึ ษาปีที่ 6 หอ๎ งหนง่ึ อาจได๎วําเซตของคําท่ี

เป็นไปได๎ท้งั หมดของตวั แปรสมุํ เปน็ ชํวง..............................
 ให๎ตวั แปรสุํมคือน้าหนกั (กิโลกรัม) ของแตงโมท่ีเก็บเกยี่ วจากสวนแหงํ หน่งึ อาจไดว๎ าํ เซตของคาํ ที่เป็นไป

ได๎ท้งั หมดของตวั แปรสมํุ เปน็ ชวํ ง..............................
 ใหต๎ วั แปรสุํมคือระยะเวลา (ช่วั โมง) นับจากปจั จุบนั จนเกดิ แผนํ ดนิ ไหวครั้งตํอไปท่ีจงั หวดั ยะลา อาจไดว๎ ํา

เซตของคําที่เป็นไปไดท๎ ัง้ หมดมดของตัวแปรสํมุ เปน็ ชวํ ง..............................

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 4 เร่อื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็น 9

เสรมิ สมอง เซตอนนั ต์นบั ไดแ้ ละเซตอนนั ต์นบั ไมไ่ ด้
เซตอนันต์สามารถแบํงได๎เป็น 2 ประเภท ได๎แกํ เซตอนันต์นับได๎ (Countably infinite set) และ

เซตอนันตน์ บั ไมํได๎ (Uncountably infinite set)
เซต A ใด ๆ จะเป็นเซตอนันต์นับได้ ก็ตํอเมื่อ มีฟังก์ชันหน่ึงตํอหนึ่งจาก ไปท่ัวถึง A หรือ

อาจพิจารณาไดว๎ าํ เซต A ใด ๆ จะเป็นเซตอนันตน์ บั ได๎ กต็ อํ เมอ่ื สามารถเขยี นแสดง A ได๎ในรูป
A = {a1, a2, a3, …, an, …} นั่นคือ สามารถเขียนแจกแจงสมาชิกทุกตัวในเซต A ในลักษณะดังกลําวได๎
จนครบถ๎วน โดยเขยี นเพยี งตัวละหนงึ่ ครง้ั เทํานนั้ ตวั อยาํ งของเซตอนนั ต์นบั ได๎ เชนํ , และ

เรียกเซตอนันต์ซง่ึ ไมํใชํเซตอนนั ตน์ ับได๎วาํ เซตอนันต์นับไม่ได้ เชํน , และ จะเห็นวําไมํ

สามารถเขยี น , และ แบบแจกแจงสมาชกิ โดยเรียงลาดบั จากน๎อยไปมากได๎

ตัวอยา่ งที่ 2 จงพจิ ารณาวําตวั แปรสํมุ ตํอไปนี้เป็นตัวแปรสํมุ ไมตํ ํอเนื่องหรือตวั แปรสํมุ ตํอเน่ือง
1. ปริมาณนา้ ฝนทตี่ กในจงั หวัดยะลาในชํวงเดือนมิถุนายน – กนั ยายน 2563
............................................................................................ .............................................................
2. จานวนผ๎ตู ดิ เช้อื ไวรัส COVID-19 ของไทย
...................................................................................................................... ...................................
3. จานวนนักเรยี นท่ีขาดเรยี น
...................................................................................................................... ...................................
4. เวลาที่นักเรยี นใช๎ในการสอบ
.........................................................................................................................................................
5. อุณหภมู ิในแตลํ ะวัน
...................................................................................................................... ...................................
6. จานวนวนั ทีม่ ีอณุ หภมู ิตา่ กวํา 30 องศาเซลเซียส
...................................................................................................................... ...................................
7. ความสงู ของตกึ ที่สรา๎ งขน้ึ ในเขตอาเภอเมืองยะลา
...................................................................................................................... ...................................
8. ความหนาของชนั้ หิน
.........................................................................................................................................................
9. ปริมาณน้าในเขื่อนของประเทศไทย
...................................................................................................................... ...................................
10. จานวนผเู๎ ข๎าชมคอนเสิรต์
...................................................................................................................... ...................................

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 4 เรอื่ ง ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น 10

แบบฝึกทักษะท่ี 1
ตัวแปรสุ่ม

จงพจิ ารณาวาํ ตวั แปรสมุํ ตํอไปนเ้ี ปน็ ตวั แปรสํมุ ไมํตํอเนอ่ื งหรือตัวแปรสํุมตํอเนื่อง
1. ตัวแปรสุํม X1 คือจานวนข๎อสอบ (ข๎อ) ท่ีตอบถูก จากจานวนข๎อสอบแบบปรนัยท้ังหมด 50 ข๎อ ในการสอบวิชา

คณิตศาสตรข์ องนักเรียนคนหนึ่ง
...............................................................................................................................................................................
2. ตวั แปรสุํม X2 คือจานวนวัยรนุํ (คน) ที่ชื่นชอบการด่มื ชาเขียวจากการสอบถามวยั รุนํ จานวน 100 คน
...............................................................................................................................................................................
3. ตวั แปรสมํุ X3 คอื อุณหภมู ริ าํ งกาย (องศาเซลเซยี ส) ของผูป๎ ว่ ยโรคไข๎หวัดใหญํในโรงพยาบาลแหงํ หน่ึง
..................................................................................................................................... ..........................................
4. ตัวแปรสุํม X4 คอื นา้ หนัก (กโิ ลกรมั ) ของทารกแรกเกิดในโรงพยาบาลแหงํ หน่ึง
..................................................................................................................................... ..........................................
5. ตัวแปรสุม X5 คือจานวนลูกคา๎ (คน) ทมี่ าใชบ๎ ริการที่ธนาคารแหํงหนงึ่ ระหวาํ งเวลา 09:00 – 12:00 น.
..................................................................................................................................... ..........................................
6. ตวั แปรสมุ X5 คือเวลา (นาที) ที่ใชใ๎ นการเดนิ ทางจากสนามหลวงถึงอนสุ าวรีย์ชยั สมรภูมิโดยรถโดยสารสาธารณะ
.................................................................................................................................... ...........................................

2. การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสมุ่ ไมต่ ่อเน่ือง

ในการหาความนําจะเป็นของตวั แปรสุํมทส่ี นใจ นอกจากจะใชค๎ วามรูเ๎ รือ่ งของความนําจะเป็นท่ีนักเรียนได๎
ศกึ ษามาแล๎วในชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 ยังสามารถหาความนําจะเป้นของตวั แปรสมํุ โดยใช๎..........................................
...............................................................

ให๎นักเรียนทากิจกรรมตํอไปนี้

กิจกรรม

พนี่ อ้ งของฉัน

ตวั อยา่ งที่ 3 ใหน๎ ักเรียนแตํละคนสารวจข๎อมลู จานวนพ่ีนอ๎ งในครอบครวั ของตนเอง
แล๎วเขยี นตารางความถี่ของขอ๎ มลู ชุดนี้

จานวนพนี่ ้อง (คน) ความถี่ ความถี่สัมพัทธ์

0
1
2
3
4

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 4 เรือ่ ง ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเป็น 11

ถ๎าสมํุ นกั เรียน 1 คน จากหอ๎ งนี้ และใหต๎ วั แปรสุมํ X คอื จานวนพี่น๎องของนกั เรียนที่สุํมได๎
จงหาความนําจะเปน็ ทน่ี ักเรียนทส่ี ํุมได๎จะมพี ่ีน๎อง x คนเมือ่ x{0,1,2,3,4}

วิธที า สาหรับ x{0,1,2,3,4} จะไดว๎ ํา P(X = x) คอื ความนาํ จะเป็นทีน่ ักเรยี นทีส่ ํุมไดจ๎ ะมพี ี่นอ๎ ง x คน

ดังนัน้ P(X = 0) = .................................................

P(X = 1) = .................................................

P(X = 2) = .................................................

P(X = 3) = .................................................

P(X = 4) = .................................................

จากกิจกรรมขา๎ งตน๎ จะเหน็ วํา
1) ความนาํ จะเปน็ ของการเกดิ คําแตํละคําทีเ่ ป็นไปได๎ของตวั แปรสมํุ คือ............................................................
2) โดยทัว่ ไปสาหรับตวั แปรสมุํ X ใด ๆ จะได๎....................................................................................................
3) ผลรวมของความนําจะเปน็ ของการเกดิ คําแตลํ ะคําที่เปน็ ไปได๎ท้ังหมดของตวั แปรสุํมเทาํ กับ........................

เมื่อนาความนําจะเป็นของการเกิดคําแตํละคําท่ีเป็นไปได๎ท้ังหมดของตัวแปรสํุมมาเขียนแสดงเพ่ืออธิบาย
ลักษณะของตัวแปรสํุม จะเรียกวํา.........................................................................(Probability distribution) โดย
อาจเขียนแสดงในรูปตารางหรือกราฟ เชนํ จากกิจกรรมข๎างต๎น สามารถเขียนตารางแสดงการแจกแจงความนําจะ
เปน็ ของตวั แปรสุํม X ไดด๎ งั นี้

x01234
P(X = x)

ตัวอยา่ งที่ 4 ให๎ตวั แปรสมํุ X คอื จานวนครั้งที่เหรยี ญขน้ึ หัวจากการโยนเหรยี ญที่เทยี่ งตรง 1 เหรียญ 3 ครงั้
วธิ ีทา จงเขยี นแสดงการแจกแจงความนาํ จะเป็นกองตัวแปร X ในรูปตารางและกราฟ
ให๎ S แทนปรภิ มู ิตัวอยํางของการโยนเหรยี ญทีเ่ ทีย่ งตรง 1 เหรยี ญ 3 ครัง้

H แทนเหรยี ญขนึ้ หัว
และ T แทนเหรียญขนึ้ ก๎อย
จะได๎ S = ....................................................................................................
คาํ ที่เป็นไปได๎ของตวั แปรสมุํ X คอื ...................................................................
เหตกุ ารณท์ ่ี X = 0 คอื .....................................................................................
เหตุการณ์ท่ี X = 1 คือ .....................................................................................
เหตกุ ารณท์ ่ี X = 2 คือ .....................................................................................
เหตกุ ารณ์ที่ X = 3 คอื .....................................................................................
ดังนน้ั P(X = 0) = .................................................

P(X = 1) = .................................................

P(X = 2) = .................................................

P(X = 3) = .................................................

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 4 เรื่อง ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น 12
จะไดต๎ ารางแสดงการแจกแจงความนาํ จะเปน็ ของตัวแปรสํุม X ดังนี้

x0123
P(X = x)

และจะไดก๎ ราฟแสดงการแจกแจงความนําเปน็ ของตวั แปรสุมํ X ดังน้ี

ตัวอยา่ งท่ี 5 ใหต๎ ัวแปรสมํุ Y คือผลบวกของแตม๎ บนหน๎าลูกเตา๋ จากการทอดลูกเต๋าที่เท่ียงตรง 2 ลูกพร๎อมกัน
วิธีทา 1 ครั้ง จงเขียนแสดงการแจกแจงความนาํ จะเปน็ ของตวั แปรสุํม Y ในรปู ตารางและกราฟ
ให๎ S แทนปรภิ ูมติ วั อยาํ งของการทอดลูกเตา๋ ที่เทย่ี งตรง 2 ลูกพรอ๎ มกนั 1 ครง้ั
จะได๎ S = ...............................................................................................................

.................................................................................. ....................................
.............................................................................................................. ........
.................................................................................................... ..................
.............................................................................................................. ........
.............................................................................................................. ........
คาํ ที่เปน็ ไปได๎ของตวั แปรสํมุ Y คือ ............................................................................

เหตุการณท์ ่ี Y = ........... คอื .......................................................................................
เหตกุ ารณท์ ี่ Y = ........... คือ .......................................................................................
เหตกุ ารณท์ ่ี Y = ........... คอื .......................................................................................
เหตกุ ารณท์ ี่ Y = ........... คอื .......................................................................................
เหตุการณท์ ี่ Y = ........... คอื .......................................................................................
เหตกุ ารณท์ ่ี Y = ........... คือ .......................................................................................
เหตกุ ารณท์ ี่ Y = ........... คือ .......................................................................................
เหตกุ ารณ์ท่ี Y = ........... คือ .......................................................................................
เหตุการณ์ที่ Y = ........... คอื .......................................................................................
เหตกุ ารณ์ท่ี Y = ........... คอื .......................................................................................
เหตกุ ารณ์ที่ Y = ........... คือ .......................................................................................

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 4 เรื่อง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเปน็ 13

ดงั นน้ั P(Y = ...........) = ................... P(Y = ...........) = ...................

P(Y = ...........) = ................... P(Y = ...........) = ...................

P(Y = ...........) = ................... P(Y = ...........) = ...................

P(Y = ...........) = ................... P(Y = ...........) = ...................

P(Y = ...........) = ................... P(Y = ...........) = ...................

P(Y = ...........) = ...................

จะไดต๎ ารางแสดงการแจกแจงความนาํ จะเป็นของตวั แปรสํุม Y ดงั น้ี

y

P(Y = y)

และจะได๎กราฟแสดงการแจกแจงความนําจะเปน็ ของตัวแปรสุํม Y ดังนี้

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 4 เรื่อง ตัวแปรส่มุ และการแจกแจงความนา่ จะเป็น 14

แบบฝึกทักษะที่ 2

การแจกแจงความน่าจะเปน็
ของตัวแปรสมุ่ ไมต่ อ่ เน่อื ง

1. ข๎อสอบยํอยวิชาคณิตศาสตร์ชุดหน่ึงมีท้ังหมด 10 ข๎อจานวนข๎อสอบท่ีตอบถูกในการสอบยํอยวิชาคณิตศาสตร์
ครั้งน้ขี องนกั เรียนช้นั มธั ยมศึกษาปที ่ี 6 หอ๎ งหน่ึงจานวน 40 คนแสดงด๎วยตารางความถีไ่ ด๎ ดังน้ี
จานวนข้อทีต่ อบถูก 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
จานวนนักเรยี น (คน) 0 1 2 5 6 3 8 7 3 3 2
ถ๎าสุมํ นักเรียน 1 คนจากหอ๎ งน้ี และให๎ตัวแปรสํุม X คือจานวนขอ๎ สอบท่นี ักเรยี นคนนี้ตอบถูก
จงเขียนแสดงการแจกแจงความนาํ จะเป็นของตวั แปรสมุํ X ในรูปตาราง

x

P(X = x)

2. ในการตรวจสอบคุณภาพของสินค๎าชนิดหน่ึงซ่ึงมีทั้งหมด 80 กลํอง แตํละกลํองมีสินค๎าจานวน 500 ชิ้น

ผ๎ูตรวจสอบจะสํุมสินค๎าจากแตํละกลํองมาตรวจสอบกลํองละ 100 ช้ิน โดยแสดงผลการตรวจสอบด๎วยตาราง

ความถไ่ี ดด๎ ังน้ี

จานวนสินค้าที่ไม่ผา่ นมาตรฐานจากสินค้า 100 0123456

ชิ้นทส่ี ุ่มมาตรวจสอบจากแต่ละกลอ่ ง (ชนิ้ )

จานวนกล่อง 41 17 14 4 3 0 1

ถ๎าสุํมกลํองสินค๎ามา 1 กลํองจากกลํองสินค๎าทั้งหมด 80 กลํอง และให๎ตัวแปรสุํม Y คือจานวนสินค๎าท่ีไมํผําน
มาตรฐานจากสินค๎า 100 ช้ิน ท่ีสุํมมาตรวจสอบจากกลํองนี้ จงเขียนแสดงการแจกแจงความนําจะเป็นของ
ตวั แปรสมุํ Y ในรูปตาราง

y

P(Y = y)

3. ใหต๎ ัวแปรสมํุ Z คอื ผลตํางของแตม๎ บนหนา๎ ลูกเต๋า จากการทอดลกู เตา๋ ท่เี ทย่ี งตรง 2 ลกู พร๎อมกัน 1 ครั้ง
จงเขียนแสดงการแจกแจงความนาํ จะเป็นของตวั แปรสํุม Z ในรปู ตารางและกราฟ
วธิ ีทา ให๎ S แทนปรภิ มู ิตัวอยํางของการทอดลกู เตา๋ ทเี่ ที่ยงตรง 2 ลูกพรอ๎ มกัน 1 คร้งั
จะได๎ S = ..................................................................................................................................................
.............................................................................................................. ...........................................
.............................................................................................................. ...........................................
....................................................................................................... ..................................................
คาํ ท่ีเป็นไปได๎ของตัวแปรสํุม Z คือ ........................................................................................................................

เหตกุ ารณ์ที่ Z = ........... คือ ..................................................................................................................................
เหตกุ ารณท์ ี่ Z = ........... คอื ..................................................................................................................................
เหตุการณท์ ี่ Z = ........... คือ ..................................................................................................................................

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 4 เรอ่ื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเป็น 15

เหตกุ ารณท์ ่ี Z = ........... คอื ..................................................................................................................................
เหตกุ ารณ์ท่ี Z = ........... คอื ..................................................................................................................................
เหตกุ ารณ์ท่ี Z = ........... คือ ..................................................................................................................................
จะได๎ตารางแสดงการแจกแจงความนาํ จะเปน็ ของตัวแปรสมํุ Z ดงั นี้

z

P(Z = z)

และจะได๎กราฟแสดงการแจกแจงความนําจะเปน็ ของตวั แปรสุมํ Z ดงั น้ี

ค่าคาดหมายและส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของตัวแปรส่มุ ไม่ต่อเนือ่ ง

ตํอไปจะนิยามคําคาดหมายของตัวแปรสุํมไมํตํอเนื่องดังน้ี

บทนิยาม 1
คา่ คาดหมาย (Expected value) ของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเน่ือง X เขียนแทนด๎วย X นยิ ามโดย

....................................................................................
เมื่อ n แทนจานวนคําที่เป็นไปได๎ทั้งหมดของตัวแปรสุํม X และ x1, x2, x3, ..., xn แทนคําท่ีเป็นไปได๎
ทง้ั หมดของตวั แปรสุมํ X

หมายเหตุ ในกรณที ่เี ซตของคําท่ีเป็นไปไดท๎ ัง้ หมดของตัวแปรสุํม X เปน็ เซตอนันต์ จะนิยามให๎

....................................................................................
แตํในที่นี้จะพิจารณาเฉพาะกรณที เี่ ซตของคําที่เป็นไปได๎ท้งั หมดของตัวแปรสมํุ เป็นเซตจากดั

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 4 เร่อื ง ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเปน็ 16

ตวั อยา่ งที่ 6 จานวนพี่นอ๎ งของนักเรียนช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 6 ห๎องหน่งึ จานวน 50 คนแสดงด๎วยตารางความถี่
ได๎ดังน้ี

จานวนพี่น้อง (คน) ความถี่ ความถ่ีสัมพทั ธ์

06

1 22

2 17

34

41

ถา๎ สํมุ นักเรยี น 1 คน จากหอ๎ งนี้ และให๎ตัวแปรสํมุ X คอื จานวนพนี่ ๎องของนักเรียนทีส่ ํุมได๎
จงหาคาํ คาดหมายของตัวแปรสํุม X
วธิ ีทา คาํ ที่เปน็ ไปได๎ของตัวแปรสํุม X คือ………………………………………………………….........................

เนื่องจาก X n  xi ) จะได๎

  xiP(X
i 1

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

ดงั น้ัน คําคาดหมายของตัวแปรสุํม X คือ…………………………………………………………...............

นักเรยี นทราบแล๎ววาํ คาํ เฉลี่ยเลขคณิตเป็นคาํ กลางของข๎อมูลที่หาได๎จากการหารผลรวมของข๎อมูลท้ังหมด
ด๎วยจานวนข๎อมูลท่มี ี จากตวั อยํางขา๎ งต๎น จะไดว๎ าํ คําเฉล่ียเลขคณติ ของจานวนพ่นี อ๎ งของนักเรียน 50 คนคอื

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

สังเกตวํา……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

และจากตวั อยาํ งที่ 6 จะเห็นวาํ X  ………………………………………………………………………………………………………..

ดังนั้น คาํ เฉล่ยี เลขคณติ ของจานวนพ่นี ๎องของนกั เรยี น 50 คน เทํากับคําคาดหมายของตัวแปรสุมํ X
เมอื่ ตวั แปรสุํม X คอื จานวนพน่ี อ๎ งของนกั เรียนท่ีสมุํ ได๎

จงึ อาจเรียกคาํ คาดหมายของตัวแปรสุมํ วาํ ................................. (mean) ของตัวแปรสุ่ม

นอกจากจะสามารถพิจารณาคําคาดหมายเป็นคําเฉล่ียของตัวแปรสุํมแล๎ว คําคาดหมายของตัวแปรสุํมยังสามารถ
ใชช๎ วํ ยในการตดั สินใจเกยี่ วกับสถานการณต์ าํ ง ๆ ไดด๎ ังตวั อยาํ งตํอไปนี้

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 4 เรอ่ื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเปน็ 17

ตัวอยา่ งที่ 7 ในงานประจาปีของจังหวัดหนึ่งมีเกมวงล๎อเส่ียงโชค โดยมีกติกาวํา ผ๎ูเลํนจะต๎องหมุนวงล๎อที่มี
หมายเลข 1 – 7 กากบั ไวด๎ งั รปู ถ๎าลกู ศรชี้ที่ชํองที่มีหมายเลขที่กากับเป็นจานวนค่ี ผ๎ูเลํนจะได๎เงิน
รางวัล 20 บาท สมมตใิ นการหมุนวงล๎อแตํละครงั้ โอกาสท่ีลูกศรจะชที้ ่ีชํองใดชอํ งหนึ่งเทํากัน และ
ในการเลํนเกมวงล๎อเสีย่ งโชคแตลํ ะคร้ังผูเ๎ ลนํ จะต๎องจาํ ยเงนิ ซื้อตั๋วราคา 10 บาท
จงหาคําคาดหมายของจานวนเงนิ ที่ผูเ๎ ลนํ จะได๎รบั หรือเสยี ไป พร๎อมทั้งอธิบายความหมาย

วธิ ีทา ให๎ตวั แปรสุมํ X คือกาไร (ขาดทนุ ) ของผู๎เลํนจากการหมุนวงล๎อ 1 ครงั้
เน่ืองจากในการหมนุ วงล๎อ 1 ครั้ง มเี หตกุ ารณท์ เี่ ป็นไปได๎................เหตกุ ารณ์ คือ
........................................................................................................................................................
แตใํ นการเลํนเกมวงลอ๎ เสี่ยงโชคแตํละครง้ั ผ๎ูเลํนจะตอ๎ งจาํ ยเงินซ้อื ตั๋วราคา 10 บาท
จะได๎ คาํ ท่ีเป็นไปไดข๎ องตัวแปรสมุํ X คือ........................................................................................
เนื่องจาก ผ๎เู ลนํ จะไดเ๎ งินรางวลั 20 บาท ก็ตอํ เมือ่ ลูกศรชี้ที่ชํองทม่ี ีหมายเลขทก่ี ากับเป็นจานวนค่ี
ซึง่ ม.ี ...........ชํอง จากจานวนชํองทั้งหมด............ชํอง
ดงั น้นั P(X = ............) =……………………… และ P(X = ............) =………………………
จะได๎ X  …………………………………………………………………………………………………………………

นั่นคือ คําคาดหมายของกาไร (ขาดทนุ ) จากการหมุนวงลอ๎ คือ................................................บาท
ซงึ่ หมายความวํา โดยเฉลีย่ แลว๎ ในการเลํมเกมวงลอ๎ เส่ียงโชคแตลํ ะครั้ง ผูเ๎ ลนํ จะ............................
แสดงวํา ถา๎ เลํนเกมวงลอ๎ เส่ียงโชคหลาย ๆ ครัง้ โดยเฉล่ียแล๎วผ๎เู ลนํ จะ...........................................

นอกจากน้ีจะสามารถนิยามสํวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของตัวแปรสํุมเพื่อใช๎ในการวัดการกระจายของคําที่เป็นไปได๎
ของตัวแปรสมุํ วํามคี วามแตกตํางจากคําคาดหมายมากหรือน๎อยเพียงใด ดังบทนิยามตอํ ไปนี้

บทนิยาม 2
ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานของตัวแปรสมุ่ ไมต่ ่อเนอ่ื ง X เขียนแทนด๎วย  X นยิ ามโดย

......................................................................................

และเรยี ก  2 วํา ความแปรปรวนของตัวแปรสุม่ ไมต่ ่อเนอ่ื ง X
X

เมอื่ n แทนจานวนคาํ ทเ่ี ป็นไปไดท๎ ง้ั หมดของตวั แปรสํุม X และ x1, x2, x3, ..., xn แทนคําทเ่ี ป็นไปได๎

ทั้งหมดของตัวแปรสุํม X

หมายเหตุ ในกรณที ่เี ซตของคําทเ่ี ป็นไปได๎ทง้ั หมดของตัวแปรสํุม X เปน็ เซตอนนั ต์ จะนยิ ามให๎

......................................................................................
แตใํ นท่ีนจ้ี ะพจิ ารณาเฉพาะกรณที ่ีเซตของคําทีเ่ ป็นไปไดท๎ งั้ หมดของตัวแปรสมํุ เปน็ เซตจากัด

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 4 เรอ่ื ง ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเป็น 18

ตวั อยา่ งท่ี 8 ใหต๎ ัวแปรสํมุ X คือจานวนครัง้ ที่เหรยี ญขึน้ หัว จากการโยนเหรียญท่ีเทย่ี งตรง 1 เหรียญ 3 ครง้ั
จงหาคําคาดหมาย ความแปรปรวน และสวํ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของตวั แปรสุมํ X

วิธีทา จากตัวอยาํ งท่ี 4 จะได๎ตารางแสดงการแจกแจงความนาํ จะเปน็ ของตวั แปรสมํุ X ดังนี้

x0123

P(X = x)

เนอื่ งจาก X n  xi ) จะได๎

  xiP(X
i 1

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

ดงั น้นั คาํ คาดหมายของตัวแปรสุํม X คอื …………………………………………………………...............

เนื่องจาก  2 n  X 2 P( X  xi )
X
  xi
i 1

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

ดังนั้น ความแปรปรวนของตวั แปรสํุม X คือ…………………………………………………………...........

เนื่องจาก  X  ………………………………………
ดงั น้นั สวํ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสํุม X มีคําประมาณ…………………………………………

ตัวอย่างท่ี 9 ให๎ตัวแปรสุํม Y คอื ผลบวกของแต๎มบนหน๎าลกู เต๋า จากการทอดลูกเต๋าทเี่ ทีย่ งตรง 2 ลกู พร๎อมกนั
1 ครงั้ จงหาคาํ คาดหมาย ความแปรปรวน และสํวนเบย่ี งเบนมาตรฐานของตัวแปรสุํม Y

วิธที า จากตัวอยาํ งท่ี 4 จะไดต๎ ารางแสดงการแจกแจงความนําจะเป็นของตวั แปรสํมุ Y ดังนี้

y

P(Y = y)

เนื่องจาก Y n  yi ) จะได๎

  yiP(Y
i 1

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

ดงั นั้น คาํ คาดหมายของตัวแปรสุํม Y คอื …………………………………………………………...............

เนือ่ งจาก  2  n  Y 2 P(Y  yi ) จะได๎
Y
 yi
i 1

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

ดงั นั้น ความแปรปรวนของตวั แปรสุํม Y มคี าํ ประมาณ……………………………………………………

เนื่องจาก Y ………………………………………
ดงั นน้ั สํวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสํุม Y มีคาํ ประมาณ…………………………………………

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 4 เรอ่ื ง ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น 19

ตํอไปเป็นตัวอยํางเกี่ยวกับการนาคําคาดหมายและสํวนเบ่ียงเบนมาตรฐานไปใช๎ในการตัดสินใจเกี่ยวกับ

การลงทนุ เพื่อให๎นกั เรยี นเห็นตวั อยาํ งการนาไปใช๎ในชีวติ จรงิ ดงั นี้

ตัวอยา่ งท่ี 10 นกั ลงทนุ คนหนง่ึ มีทางเลือกในการลงทุนกับบริษัท A และบรษิ ทั B โดยมีขอ้ มูลดงั นี้

ผลตอบแทน (บาท) ความนา่ จะเป็น ผลตอบแทน (บาท) ความนา่ จะเป็น

20,000 0.6 20,000 0.7

-10,000 0.4 -20,000 0.3

บรษิ ัท A บรษิ ัท B

นกั เรยี นคิดวา่ นักลงทุนควรเลือกลงทุนกับบริษทั ใด

วธิ ที า ให๎ตัวแปรสุํม X และ Y คอื ผลตอบแทนจากการลงทนุ กบั บริษัท A และบริษทั B ตามลาดับ

เนอ่ื งจาก X  ……………………………………………………………………………………………………………….

และ Y  ………………………………………………………………………………………………………………..

ดังนนั้ คําคาดหมายของผลตอบแทนจากการลงทนุ กบั บรษิ ัท A คอื …………………………………………

และ คาํ คาดหมายของผลตอบแทนจากการลงทุนกับบรษิ ทั B คอื …………………………………………

ซง่ึ หมายความวา่ ในการลงทนุ กับแต่ละบริษทั โดยเฉลีย่ แล้วจะได้รบั ผลตอบแทน………………บาท

เน่ืองจาก  2  ……………………………………………………………………………………………………………….
X

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

และ  2  …………………………………………………………………………………………………………………
Y

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

ดงั นั้น ความแปรปรวนของผลตอบแทนจากการลงทุนกับบรษิ ัท A คือ……………………………………

และ ความแปรปรวนของผลตอบแทนจากการลงทุนกับบรษิ ัท B คือ……………………………………

และจะได้ว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัท A และบริษัท B มี

ค่าประมาณ………………………………………………………………………………………………………ตามลาดับ

ซ่ึงอธิบายคร่าว ๆ ได้ว่า โดยเฉลี่ยแล้วผลตอบแทนจากการลงทุนกับบริษัท A และบริษัท B จะ

ตา่ งจากคา่ คาดหมายประมาณ……………………………………………………………………………..ตามลาดบั

ดงั น้ัน นกั ลงทุนควรเลือกลงทุนกับบริษัท…………เนื่องจากถึงแม้ว่าค่าคาดหมายของผลตอบแทน

จากการลงทุนกับบริษัททั้งสองจะเท่ากัน แต่โดยเฉลี่ยแล้วผลตอบแทนจากการลงทุนกับ

บริษัท…………ต่างจากค่าคาดหมายน้อยกว่าบริษัท…………ซ่ึงอาจกล่าวได้ว่าการลงทุนกับ

บริษัท…………มีความเสีย่ งน้อยกว่าการลงทนุ กับบรษิ ทั …………

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 4 เรือ่ ง ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเปน็ 20

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 3

คา่ คาดหมายและส่วนเบ่ียงเบน
มาตรฐานของตัวแปรสุ่มไมต่ ่อเนื่อง

1. ข๎อสอบยํอยวิชาคณิตศาสตร์ชุดหนึ่งมีทั้งหมด 10 ข๎อจานวนข๎อสอบท่ีตอบถูกในการสอบยํอยวิชาคณิตศาสตร์
ครงั้ นขี้ องนกั เรยี นชนั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 6 ห๎องหนงึ่ จานวน 40 คนแสดงดว๎ ยตารางความถไ่ี ด๎ ดังน้ี
จานวนขอ้ ท่ีตอบถกู 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
จานวนนักเรียน (คน) 0 1 2 5 6 3 8 7 3 3 2
ถ๎าสุํมนักเรยี น 1 คนจากหอ๎ งน้ี และให๎ตัวแปรสมํุ X คอื จานวนข๎อสอบทีน่ ักเรียนคนนีต้ อบถกู
จงหาคําคาดหมาย ความแปรปรวน และสํวนเบย่ี งเบนมาตรฐานของตวั แปรสุํม X

วิธีทา จากแบบฝกึ ทักษะที่ 2 ข๎อ 1. เขียนแสดงการแจกแจงความนําจะเปน็ ของตัวแปรสํุม X ในรปู ตาราง ดังนี้

x

P(X = x)

และไดว๎ ํา X  ……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

ดงั นน้ั คําคาดหมายของตวั แปรสุํม X คือ…………………………………………

และ  2  ……………………………………………………………………………………………………………….
X

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

ดงั น้นั ความแปรปรวนของตวั แปรสุํม X คอื …………………………………………

และจะได๎  X  ……………………………………………………………………………………………………………….

ดังนัน้ ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของตวั แปรสมุ่ X มคี ่าประมาณ………………………………………………..

2. ในการตรวจสอบคุณภาพของสินค๎าชนิดหน่ึงซึ่งมีท้ังหมด 80 กลํอง แตํละกลํองมีสินค๎าจานวน 500 ชิ้น

ผ๎ูตรวจสอบจะสํุมสินค๎าจากแตํละกลํองมาตรวจสอบกลํองละ 100 ชิ้น โดยแสดงผลการตรวจสอบด๎วยตาราง

ความถ่ีได๎ดงั นี้

จานวนสินคา้ ทไ่ี ม่ผ่านมาตรฐานจากสินค้า 100 0123456

ชิ้นท่สี มุ่ มาตรวจสอบจากแต่ละกลอ่ ง (ช้นิ )

จานวนกลอ่ ง 41 17 14 4 3 0 1

ถ๎าสุํมกลํองสินค๎ามา 1 กลํองจากกลํองสินค๎าทั้งหมด 80 กลํอง และให๎ตัวแปรสํุม Y คือจานวนสินค๎าที่ไมํผําน
มาตรฐานจากสนิ คา๎ 100 ชน้ิ ทสี่ ํุมมาตรวจสอบจากกลํองน้ี
จงหาคาํ คาดหมาย ความแปรปรวน และสวํ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของตวั แปรสํมุ X

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 4 เร่ือง ตัวแปรสุม่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็น 21

วิธที า จากแบบฝกึ ทักษะท่ี 2 ข๎อ 2. เขยี นแสดงการแจกแจงความนาํ จะเป็นของตวั แปรสุํม Y ในรูปตาราง ดังน้ี

y

P(Y = y)

และได๎วํา Y  ……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

ดังนั้น คาํ คาดหมายของตัวแปรสํุม Y มีคาํ ประมาณ…………………………………………

และ  2  ……………………………………………………………………………………………………………….
X

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

ดงั นั้น ความแปรปรวนของตวั แปรสุํม Y มคี ําประมาณ…………………………………………

และจะได๎ Y  ……………………………………………………………………………………………………………….

ดงั นัน้ ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของตวั แปรส่มุ Y มคี ่าประมาณ………………………………………………..

3. ใหต๎ ัวแปรสุมํ Z คอื ผลตาํ งของแต๎มบนหนา๎ ลูกเต๋า จากการทอดลูกเตา๋ ท่เี ท่ยี งตรง 2 ลกู พรอ๎ มกนั 1 คร้งั
จงหาคาํ คาดหมาย ความแปรปรวน และสวํ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของตวั แปรสมํุ Z

วธิ ที า จากแบบฝกึ ทกั ษะท่ี 2 ข๎อ 3. เขียนตารางแสดงการแจกแจงความนาํ จะเป็นของตัวแปรสมํุ Z ดงั นี้

z

P(Z = z)

และไดว๎ ํา Z  ……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

ดงั นนั้ คําคาดหมายของตวั แปรสุํม Z มีคาํ ประมาณ…………………………………………

และ  2  ……………………………………………………………………………………………………………….
Z

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

ดงั น้ัน ความแปรปรวนของตัวแปรสมํุ Z มีคําประมาณ…………………………………………

และจะได๎ Z  ……………………………………………………………………………………………………………….

ดงั นั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุม่ Z มคี า่ ประมาณ………………………………………………..

4. กลํองใบหน่ึงบรรจุเบี้ย 6 อัน โดยมีหมายเลข 3, 5, 6, 7, 8 และ 11 กากับไว๎ ถ๎าสํุมหยิบเบี้ย 2 อัน โดยหยิบเบี้ยที
ละอันและไมํใสํคนื กํอนหยบิ เบ้ียอนั ท่สี อง และใหต๎ วั แปรสมํุ X คอื ผลบวกของหมายเลขบนเบ้ียท้งั สองอนั ท่ีสุํมได๎
1) จงหาคําคาดหมายของตวั แปรสมํุ X พร๎อมทงั้ อธิบายความหมาย
2) จงหาความแปรปรวน และสวํ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสมุํ X

วธิ ีทา 1) จานวนสมาชกิ ของปริภมู ติ ัวอยา่ งของการสุ่มหยบิ เบี้ย 2 อัน โดยหยิบเบย้ี ทลี ะอัน
และไม่ใสค่ ืนก่อนหยบิ เบ้ียอันทสี่ องคือ…………………………………………
เขยี นตารางแสดงผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทงั้ หมดของการทดลองสุ่มไดด้ ังนี้

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 4 เร่อื ง ตัวแปรส่มุ และการแจกแจงความน่าจะเปน็ 22

เบยี้ อันที่ 2 3 5 6 7 8 11

เบี้ยอันท่ี 1

3

5

6

7

8

11

จากตาราง จะไดค้ ่าท่เี ปน็ ไปไดข้ องตวั แปรสุ่ม X คอื ……………………………………………………………………….
เขียนตารางแสดงการแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตัวแปรสมุ่ X ไดด้ ังนี้

x

P(X = x)

เนือ่ งจาก X  ………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………….

ดังน้ัน ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม X หรือค่าคาดหมายของผลบวกของหมายเลขบนเบี้ยทั้งสองอันที่

สมุ่ ไดม้ ีค่าประมาณ……………แต้ม หมายความว่า โดยเฉลี่ยแล้วในการสุ่มหยิบเบี้ยทีละอันและไม่ใส่คืน

ก่อนหยิบเบีย้ อันท่สี อง จะไดผ้ ลบวกของหมายเลขบนเบี้ยท้งั สองอันทสี่ ุ่มได้มีค่าประมาณ……………แตม้

2) เนือ่ งจาก  2  ……………………………………………………………………………………………………………………….
X

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

ดงั นน้ั ความแปรปรวนของตวั แปรสมํุ X มคี าํ ประมาณ…………………………………………

และจะได๎  X  ……………………………………………………………………………………………………………….

ดังน้นั สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของตวั แปรสมุ่ X มคี า่ ประมาณ………………………………………………..

5. ลูกค๎ารายหนึ่งต๎องการทาประกันชีวิตกับบริษัทม่ันใจประกันชีวิต โดยกาหนดทุนประกัน 2,000,000 บาท (น่ัน
คือ ในกรณีที่ลูกค๎าเสียชีวิต บริษัทจะต๎องจํายเงินให๎ผ๎ูรับประโยชน์ท่ีลูกค๎าระบุไว๎เป็นจานวนเงิน 2,000,000
บาท) และลูกค๎าจะต๎องจํายคําเบี้ยประกันปีละ 50,000 บาท ถ๎าลูกค๎ารายน้ีมีภาวะหยุดหายใจขณะหลับ
(obstructive sleep apnea) โดยโอกาสทเี่ ขาจะเสยี ชีวิตในแตลํ ะปคี ิดเปน็ รอ๎ ยละ 1 จงพจิ ารณาวาํ ถ๎าบริษัทม่ันใจ
ประกนั ชวี ติ รับทาประกันชีวิตใหก๎ บั ลกู ค๎ารายน้ี บรษิ ทั จะได๎กาไรหรือขาดทุนโดยเฉล่ยี ปีละกบี่ าท

วิธที า ใหต้ วั แปรสมุ่ X คอื กาไร (ขาดทุน) ทบี่ ริษัทมน่ั ใจประกันชีวติ ไดร้ บั จากลกู คา้ รายนี้ในแต่ละปี
เนื่องจากมีเหตุการณท์ ีเ่ ปน็ ไปได้ 2 เหตกุ ารณ์ คือ ……………………………………………………………………………..
จะได้ ค่าที่เป็นไปได้ของตวั แปรส่มุ X คอื …………………………………………………………………………………………..
เนื่องจากโอกาสที่ลกู ค๎ารายนี้จะเสียชีวิตในแตํละปเี ทํากับ…………………………………………………………………..
ดังนนั้ P(X = ………………………) = ……………………… และ P(X = ………………………) = ………………………

เนอ่ื งจาก X  ……………………………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 4 เรื่อง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็น 23

นั่นคือ คา่ คาดหมายของกาไร (ขาดทุน) ท่บี ริษัทมน่ั ใจประกนั ชีวิตไดร้ บั จากลกู ค้ารายน้ใี นแต่ละปีคือ
………………………………บาท
ดงั นั้น ถ๎าบรษิ ทั ม่ันใจประกนั ชวี ติ รบั ทาประกันชีวติ ให๎กับลูกคา๎ รายนี้ บริษทั จะไดก๎ าไร โดยเฉลีย่ ปลี ะ
………………………………บาท

6. จากการตรวจสอบคุณภาพของสินค๎าชนิดหน่ึงจานวน 60 ชิ้น ได๎ข๎อมูลจานวนรอยตาหนิบนสินค๎าแตํละชิ้น ดัง

ตารางตอํ ไปนี้

จานวนรอยตาหนบิ นสนิ ค้า (แหง่ ) 0 1 2 3

จานวนสินค้า (ชิน้ ) 47 4 6 3

ถ๎าผ๎ูขายได๎กาไรจากการขายสินค๎าท่ีไมํมีรอยตาหนิช้ินละ 20 บาท แตํถ๎าสินค๎ามีรอยตาหนิจะเสียคําซํอมแซม

แหํงละ 11 บาท จงหาคาํ คาดหมายของรายได๎จากการขายสินคา๎ 1 ช้ิน

วธิ ีทา ให้ตัวแปรสมุ่ X คือรายไดจ้ ากการขายสินค้า 1 ชิ้น

เนื่องจากมีเหตกุ ารณ์ทเ่ี ปน็ ไปได้ 4 เหตุการณ์ คือ………………..…………………………………………………………….

จะได้ คา่ ท่ีเป็นไปได้ของตวั แปรสุ่ม X คอื …………………………………………..………………………………………………

จากข้อมูลจานวนรอยตาหนบิ นสินคา้ แต่ละชิ้น จะได้

P(X = ………………………) = ……………………… และ P(X = ………………………) = ………………………

P(X = ………………………) = ……………………… และ P(X = ………………………) = ………………………
เนอ่ื งจาก X  ……………………………………………………………………………………………………………………………

ดงั นัน้ คา่ คาดหมายของรายไดจ้ ากการขายสนิ ค้า 1 ชิ้น มคี ่าประมาณ……………………………บาท

2.1 การแจกแจงเอกรปู ไม่ตอ่ เนอื่ ง

บทนิยาม 3
ให๎ X เป็นตวั แปรสุมํ ไมตํ อํ เนือ่ ง ถ๎าคาํ ที่เปน็ ไปไดท๎ ัง้ หมดของ X คอื x1, x2, x3,..., xn

แล๎วการแจกแจงความนําจะเป็นของตวั แปรสํุม X เป็น………………………………………………………… (Discrete

uniform distribution) เม่ือ P(X  xi )  …………………… สาหรับทกุ i {1, 2, 3, ..., n}

จากบทนิยาม จะเห็นวําการแจกแจงความนําจะเป็นของตัวแปรสํุมจะเป็นการแจกแจงเอกรูปไมํตํอเน่ือง
เม่อื การเกดิ คาํ แตลํ ะคาํ ท่ีเปน็ ไปไดข๎ องตวั แปรสมํุ มีความนําจะเป็นเทํากนั

ตัวอย่างที่ 11 ในการทอดลกู เตา๋ ที่เทีย่ งตรง 1 ลูก 1 ครั้ง ให๎ตัวแปรสํุม X คือแต๎มบนหน๎าลูกเต๋า จงพิจารณาวํา
วธิ ที า การแจกแจงความนําจะเปน็ ของตัวแปรสมุํ X เป็นการแจกแจงเอกรูปไมํตํอเนื่องหรือไมํ พร๎อมทั้ง
เขยี นแสดงการแจกแจงความนาํ จะเป็นของตัวแปรสุํม X ในรูปตารางและกราฟ
คําท่ีเปน็ ไปไดข๎ องตัวแปรสมํุ X คือ………………………………………………………………………………………
สาหรับ x……………………………………………………………………………………………………………………..
จะได๎ P(X  x) คือ………………………………………………………………………………………………………..

เนอื่ งจากลกู เต๋าเทีย่ งตรง จะได๎ P(X  x) =………………………………………………………………………

ดังนน้ั การแจกแจงความนําจะเป็นของตวั แปรสํุม X ................การแจกแจงเอกรูปไมตํ ํอเนอื่ ง
จะได๎ตารางแสดงการแจกแจงความนาํ จะเปน็ ของตัวแปรสํมุ X ดงั น้ี

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 4 เรื่อง ตัวแปรส่มุ และการแจกแจงความน่าจะเป็น 24

x
P(X = x)

และจะได๎กราฟแสดงการแจกแจงความนาํ จะเป็นของตัวแปรสุํม X ดงั นี้

ตัวอยา่ งท่ี 12 ลูกคิดสํุมหยิบสลาก 1 ใบจากกลํองทบี่ รรจุสลาก 4 ใบ แตํละใบระบุจานวนเงินรางวลั แตกตาํ งกนั
วิธที า คือ 20, 50, 100 และ 500 บาทให๎ตวั แปรสํมุ X คอื จานวนเงนิ รางวลั ท่ีลกู คดิ จะไดร๎ บั
1) จงพิจารณาวาํ การแจกแจงความนําจะเป็นของตวั แปรสุมํ X เปน็ การแจกแจงเอกรูป

ไมํตํอเนอื่ งหรือไมํ
2) คาํ คาดหมายของตวั แปรสํุม X
3) ถา๎ ลูกคิดต๎องจาํ ยเงนิ ซื้อต๋วั ราคา 150 บาท เพ่ือหยิบสลาก 1 ใบ จงพจิ ารณาวําถา๎ ลูกคดิ สํุม

หยิบสลากหลาย ๆ ครง้ั โดยเฉลีย่ แล๎วลกู คดิ ไดเ๎ ปรียบหรือเสยี เปรียบ
1) เนื่องจากตวั แปรสํุม X คือ……………………………………………………………………………………………..

จะได๎ คาํ ทีเ่ ป็นไปได๎ของตัวแปรสุํม X คอื ………………………………………………………………………..
สาหรบั x……………………………………………………………………………………………………………….
จะได๎ P(X  x) คอื ………………………………………………………………………………………………….

นน่ั คือ P(X  x) =…………………………………………………………………………………………………….

ดงั น้นั การแจกแจงความนําจะเปน็ ของตัวแปรสํมุ X ................การแจกแจงเอกรูปไมํตอํ เน่อื ง
2) เนื่องจาก X  ………………………………………………………………………………………………………….

ดงั น้ัน คาํ คาดหมายของตัวแปรสุํม X คือ.................................บาท
3) ในแตํละคร้ังท่ีลูกคิดต๎องจํายเงินซ้ือตั๋วราคา 150 บาท เพื่อสุํมหยิบสลาก มีคําคาดหมายที่

ลกู คิดจะไดร๎ างวลั ..........บาท ซ่ึง............................................อย.ูํ ......................................บาท
แสดงวาํ ถ๎าลูกคิดสุํมหยบิ สลากหลาย ๆ ครง้ั โดยเฉลย่ี แล๎วลูกคิดจะ.......................................

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 4 เรือ่ ง ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเป็น 25

แบบฝกึ ทักษะท่ี 4
การแจกแจงเอกรูปไมต่ อ่ เนอื่ ง

1. จงพิจารณาวําการแจกแจงความนําจะเป็นของตัวแปรสํุมตํอไปนี้เป็นการแจกแจงเอกรูปไมํตํอเน่ืองหรือไมํ

พร๎อมทัง้ ให๎เหตุผลประกอบ

1) ตัวแปรสมํุ X1 คือจานวนครง้ั ทเี่ หรยี ญขน้ึ หวั จากการโยนเหรยี ญท่ีเที่ยงตรง 1 เหรยี ญ 1 ครงั้
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2) ตัวแปรสุมํ X2 คอื จานวนคร้ังท่เี หรยี ญข้นึ ก๎อยจากการโยนเหรียญที่เทีย่ งตรง 1 เหรยี ญ 10 คร้ัง
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3) ตวั แปรสมํุ X3 คือผลรวมของเงินรางวัลที่ได๎รับ จากการสํุมหยิบสลาก 2 ใบพร๎อมกันจากกลํองที่บรรจุสลาก
4 ใบ โดยแตํละใบระบจุ านวนเงินรางวลั แตกตาํ งกนั คอื 10, 30, 60 และ 80 บาท

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4) ตัวแปรสมุํ X4 คอื จานวนสนิ ค๎าท่ไี มผํ าํ นมาตรฐาน เม่ือสุํมกลํองสินค๎ามา 1 กลํองจากกลํองสินค๎าทั้งหมด 80
กลํอง โดยข๎อมูลจานวนสินคา๎ ที่ไมํผํานมาตรฐานในแตกํ ลํองแสดงด๎วยตารางความถไี่ ด๎ดังน้ี

จานวนสินค้าทีไ่ ม่ผา่ นมาตรฐานในแต่ละกล่อง (ช้นิ ) 01234

จานวนกล่อง 16 16 16 16 16

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ถา๎ การแจกแจงความนําจะเป็นของตัวแปรสุํม X เป็นการแจกแจงเอกรูปไมํตํอเนื่องและคําท่ีเป็นไปได๎ของตัวแปร

สํมุ X คอื 5, 6, 7, 8, 9 และ 10 จงหาคาํ คาดหมาย ความแปรปรวน และสวํ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของตวั แปรสมํุ X

วธิ ที า เน่ืองจากการแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรสมุ่ X เป็นการแจกแจงเอกรปู ไมต่ อ่ เนื่อง

และค่าทีเ่ ปน็ ไปไดท้ งั้ หมดของ X ม.ี ...............คา่

จะได้………………………………………………………………………………………………………………………………..

ดงั น้ัน X  …………………………………………………………………………………………………………………….

จะไดว้ ่าคา่ คาดหมายของตัวแปรสมุ่ X คอื …………………………………………………………………………….

เน่ืองจาก  2  ……………………………………………………………………………………………………………….
X

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

ดังน้ัน ความแปรปรวนของตวั แปรสมุ่ X มคี ่าประมาณ…………………………………………………………..

และจะได้  X  ……………………………………………………………………………………………………………….

ดงั นั้น ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม X มีค่าประมาณ……………………………………………….

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 4 เรอื่ ง ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเปน็ 26

3. ครูประจาช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 6 ห๎องหน่ึงได๎นาของขวัญมารํวมจับสลากในวันข้ึนปีใหมํโดยมูลคําของของขวัญที่
น๎อยที่สุดคือ 100 บาท และเมื่อนามูลคําของของขวัญทั้งหมดมาเรียงลาดับจากน๎อยไปมาก พบวํา มูลคําของ
ของขวัญที่อยํูติดกันจะตํางกัน 100 บาท ถ๎าความนําจะเป็นท่ีนักเรียนจะได๎ของขวัญแตํละชิ้นมีคําเทํากันคือ
0.125 จงหาวาํ ของขวัญท้ังหมดทค่ี รูนามาจับสลากมมี ลู คําเทาํ ใด
วธิ ีทา สมมติวา่ ครนู าของขวัญมาจับสลากทง้ั หมด…………ชน้ิ
ให้ตวั แปรสุ่ม X คือ……………………………………………………………………………………………………………
เน่ืองจากความนา่ จะเป็นทน่ี ักเรียนจะได้ของขวัญแตล่ ะชิ้นมีคา่ เทา่ กนั คือ………………………………..
ดงั นัน้ การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรส่มุ X …………การแจกแจงเอกรูปไมต่ อ่ เนื่อง
โดยท่ี………………………………………………………………………………………………………………………………..
จะได้ n = ………………
ดังนั้น ของขวญั ทัง้ หมดทค่ี รนู ามาจบั สลากมีมลู คาํ ..................................................................บาท

4. ในงานประจาปีของโรงเรียนแหํงหน่ึงมีเกมลูกเตเส่ียงโชค โดยมีกติกาวํา ผู๎เลํนจะต๎องทอดลูกเตําท่ีเที่ยงตรง 1
ลูก ถ๎าลกู เต๋าข้ึนแต๎ม 1, 2, 3, 4, 5 หรอื 6 ผ๎เู ลํนจะไดเ๎ งินรางวัล 30, 18, 12, 10 , 5 หรือ a บาทตามลาดับโดยท่ี
0  a  5 ให๎ตัวแปรสมํุ Z คอื เงินรางวลั ทผ่ี ูเ๎ ลํนจะได๎รบั จากการเลนํ เกมลกู เต๋าเส่ียงโชค
1) ถา๎ a  5 จงพิจารณาวาํ ตวั แปรสมํุ Z เป็นการแจกแจงเอกรปู ไมํตํอเน่ืองหรอื ไมํ พร๎อมทง้ั ให๎เหตผุ ลประกอบ
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) จงยกตวั อยํางคาํ ของ a ทท่ี าใหต๎ วั แปรสํมุ Z เปน็ การแจกแจงเอกรูปไมตํ ํอเน่อื ง
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) ถา๎ a 1 ผู๎จัดเกมน้ีควรตั้งราคาต๋ัวสาหรับเลํนเกมอยํางน๎อยเทําใด (ตอบเป็นจานวนเต็ม) โดยเฉลี่ยแล๎วจึง
จะไมํขาดทนุ เมอ่ื มีการเลํนเกมลูกเตา๋ เส่ยี งโชคหลาย ๆ ครงั้
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. เกมวงล๎อเส่ียงโชคมีกติกาการเลํนคือ ผ๎ูเลํนจะต๎องหมุนวงล๎อรูปวงกลมที่แบํงเป็น 10 ของเทํา ๆ กันโดยแตํละ
ชํองระบุจานวนเงินรางวัลแตกตํางกันคือ 50, 100, 150, 200, ..., 500 บาท ถ๎าลูกศรชี้ท่ีชํองใด ผู๎เลํนจะได๎เงิน
รางวัลตามทีร่ ะบใุ นชํองน้ัน สมมติวําในการหมนุ วงลอ๎ แตํละครงั้ โอกาสที่ลกู ศรจะชี้ท่ีชํองใดชํองหนึ่งเทํากัน และ
ในการเลํนเกมวงล๎อเส่ียงโชคแตํละครั้ง ผู๎เลํนจะต๎องจํายเงินซื้อต๋ัวราคา 300 บาท นักเรียนจะเลํนเกมนี้หรือไมํ
เพราะเหตใุ ด
วิธีทา ใหต้ ัวแปรสุ่ม X คอื ……………………………………………………………………………………………………………..
จะได้ ค่าท่ีเปน็ ไปได้ของตวั แปรส่มุ X คือ………………………………………………………………………………
เนื่องจากวงล้อมี 10 ช่อง และโอกาสท่ีลกู ศรจะชีท้ ชี่ ่องใดชอ่ งหน่งึ เทา่ กัน
จะไดว้ า่ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสมุ่ X เป็น……………………………………………………..
โดยที่……………………………………………………………………………………………………………………………….
เนือ่ งจาก X  ……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….
แสดงว่าโดยเฉล่ียแล้วผูเ้ ล่นจะได้เงินรางวัลจากการเล่นเกมวงลอ้ เส่ยี งโชคแตล่ ะครัง้ ……………บาท
แต่เน่อื งจากผู้เล่นตอ้ งจา่ ยเงนิ ซอื้ ต๋ัวราคา 300 บาท นกั เรียนจึง…………….…………….เลน่ เกมนี้

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 4 เรอื่ ง ตัวแปรส่มุ และการแจกแจงความน่าจะเป็น 27

ทบทวนความรเ๎ู รื่องการแจกแจงความนาํ จะเป็นของตัวแปรสํมุ ไมตํ ํอเน่อื ง โดยใหน๎ กั เรียนทากิจกรรม
ตํอไปน้ี

กิจกรรม
สสี นั หรรษา

ขนั้ ตอนการดาเนนิ กจิ กรรม
1. ครูแบํงนกั เรยี นออกเปน็ กลุํม กลุํมละ 4 – 5 คน แบบคละความสามารถ จากน้ันแจกใบกิจกรรม “สีสัน

หรรษา” กลมุํ ละ 1 ใบ
2. ครูใหน๎ กั เรยี นแตํละกลมุํ ปฏบิ ตั ิตามคาชแ้ี จงในใบกิจกรรม ในระหวํางที่นักเรียนทากิจกรรม ครูควรเดิน

ดนู ักเรยี นใหท๎ ่ัวถงึ ทกุ กลมุํ เพอื่ สงั เกตการทางานและฟังบทสนทนาของนักเรยี น
3. ครขู ออาสาสมคั รนักเรียน 1 กลุํม ออกมานาเสนอคาตอบ พร๎อมท้ังให๎เหตุผลประกอบคาตอบแตํละข๎อ

และให๎นักเรียนทั้งห๎องรํวมกันอภิปราย เพ่ือนาไปสํูข๎อสรุปวําคาตอบใดถูกต๎อง โดยมีเหตุผลประกอบคาตอบที่
สอดคล๎องกับเนอื้ หาในบทเรียน

คาชแี้ จง

ตอนที่ 1 ให้นักเรียนเลือกคาตอบท่ถี ูกต้องท่สี ุดเพยี งคาตอบเดียว
1. ให้ตวั แปรสุม่ X มีการแจกแจงเอกรปู ไมต่ ่อเน่ือง และคา่ ท่ีเป็นไปไดข้ องตวั แปรสมุ่ X คือ 1, 2, 3, 4 และ 5

จงหา X

ก. 2 ระบายสีเขียวในช่องหมายเลข 1
ข. 3 ระบายสเี หลืองในช่องหมายเลข 1
2. ใหต้ วั แปรสุ่ม Y คือผลต่างของแตม้ บนหน้าลกู เตา๋ จากการทอดลกู เต๋าท่เี ทีย่ งตรง 2 ลูกพร้อมกัน 1 คร้งั
จงหา P(Y  3)

ก. 1 ระบายสีมว่ งในชอ่ งหมายเลข 2
3

ข. 1 ระบายสดี าในชอ่ งหมายเลข 2

6

3. เกมวงลอ้ เส่ยี งโชคมกี ติกาการเล่นคือ ผู้เล่นจะต้องหมุนวงล้อรูปวงกลมท่ีแบ่งเป็น 5 ช่องเท่า ๆ กัน โดยแต่ละช่อง

ระบุจานวนเงินรางวัลแตกต่างกันคือ 70, 150, 200, 300 และ 500 บาท ถ้าลูกศรชี้ท่ีช่องใด ผู้เล่นจะได้เงินรางวัล

ตามท่ีระบุในช่องนั้น สมมติว่าในการหมุนวงล้อแต่ละคร้ังโอกาสท่ีลูกศรจะชี้ท่ีช่องใดช่องหน่ึงเท่ากัน และในการ

เล่นเกมวงล้อเส่ยี งโชคแต่ละครั้งผู้เล่นจะต้องจ่ายเงินซื้อต๋ัวราคา 220 บาท ถ้าเล่นเกมวงล้อเส่ียงโชคหลาย ๆ คร้ัง
โดยเฉลีย่ แลว้ ผเู้ ล่นจะได้เปรียบหรอื เสยี เปรียบ

ก. ไดเ้ ปรยี บ ระบายสแี ดงในช่องหมายเลข 3

ข. เสียเปรยี บ ระบายสฟี ้าในชอ่ งหมายเลข 3

4. ใหต้ วั แปรสุม่ Z คอื จานวนครัง้ ได้แตม้ เปน็ จานวนเฉพาะ จากการทอดลกู เต๋าท่ีเที่ยงตรง 1 ลกู 3 คร้ัง จงพิจารณา

วา่ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่ม Z เปน็ การแจกแจงแบบใด

ก. การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนอื่ ง ระบายสีเหลืองในช่องหมายเลข 4

ข. การแจกแจงทวินาม ระบายสเี ขียวในช่องหมายเลข 4

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 4 เรอ่ื ง ตัวแปรส่มุ และการแจกแจงความน่าจะเป็น 28

5. ในการรักษาโรคมะเรง็ ดว้ ยสมนุ ไพรทคี่ ิดคน้ ข้นึ มาใหม่ พบว่า เมอ่ื ผู้ป่วยรบั ประทานสมุนไพรชนิดนี้ต่อเน่ืองกันไป
ตามแพทย์สงั่ ในชว่ งระยะเวลาหนง่ึ ความน่าจะเป็นที่ผปู้ ว่ ยแตล่ ะคนจะหายจากโรคมะเรง็ เปน็ 0.1 ถา้ นักวิจัยสุ่ม
ผู้ป่วยโรคมะเร็งท่ีมารับการรักษาด้วยสมุนไพรนี้จานวน 3 คน จงหาความน่าจะเป็นท่ีจะมีผู้ป่วยหายจาก
โรคมะเรง็ ไมม่ ากกว่า 2 คน

ก.  3  (0.1)(0.9)2   3  (0.1)2 (0.9) ระบายสสี ้มในชอ่ งหมายเลข 5
 1   2 
   

ข. 1   3  (0.9)3 ระบายสีชมพูในช่องหมายเลข 5
 3 
 

6. ในการโยนเหรยี ญท่ไี ม่เท่ียงตรงเหรยี ญหนึ่ง พบว่า ความน่าจะเป็นทเ่ี หรียญขึน้ ก้อย ในการโยนเหรยี ญแต่ละคร้ัง

เทา่ กับ 0.6 จงหาว่าโดยเฉลยี่ แล้วเหรียญจะข้ึนหวั กี่ครงั้ จากการโยนเหรียญน้ี 8 ครั้ง

ก. 3.2 ครั้ง ระบายสฟี ้าในช่องหมายเลข 6

ข. 4.8 ครั้ง ระบายสแี ดงในชอ่ งหมายเลข 6

ตอนท่ี 2 ให้นกั เรียนนาข้อมูลท่ีไดจ้ ากการตอบคาถามในตอนที่ 1 มาระบายสใี นรูปต่อไปน้ี

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 4 เรื่อง ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเปน็ 29

2.2 การแจกแจงทวนิ าม

นกั เรียนไดศ๎ ึกษาเกี่ยวกับการแจกแจงเอกรูปไมํตอํ เนอื่ ง ซงึ่ เป็นการแจกแจงความนําจะเป็นของตัวแปรสุํม
อยํางงาํ ย เนอ่ื งจากการเกิดคาํ แตํละคาํ ท่เี ปน็ ไปได๎ของตัวแปรสุํมมีความนาํ จะเป็นเทํากัน ซ่ึงอาจพบได๎ไมํมากนักใน
ชีวิตจริง สาหรับหัวข๎อน้ีจะศึกษาเกี่ยวกับการแจกแจงความนําจะเป็นของตัวแปรสํุมที่มีลักษณะเฉพาะประเภท
หนงึ่ ซ่งึ ความนาํ จะเป็นของการเกิดคําแตํละคาํ ท่เี ป็นไปได๎ของตัวแปรสํมุ ไมจํ าเปน็ ต๎องเทํากัน เชนํ

เม่อื กาหนดใหต๎ วั แปรสุม X คือจานวนครงั้ ที่เหรียญขน้ึ หวั จากการโยนเหรียญทีเ่ ทยี่ งตรง 1 เหรียญ 3 ครั้ง
จะไดว๎ าํ X เปน็ ตวั แปรสุมํ ไมํตอํ เนอ่ื ง สังเกตวําในแตํละครัง้ ที่โยนเหรยี ญจะมผี ลลัพธ์ท่ีเปน็ ไปได๎ 2 แบบ คือ เหรียญ
ข้ึนหัวหรือก๎อย แตํจากการกาหนดตัวแปรสุํม X จะเห็นวําสนใจจานวนคร้ังท่ีเหรียญข้ึนหัว จึงอาจพิจารณาวําใน
การโยนเหรยี ญแตลํ ะครงั้ ถ๎าเหรยี ญขนึ้ หวั คอื สาเร็จ แตํถา๎ เหรยี ญขน้ึ กอ๎ ยคือ ไมส่ าเร็จ ดงั น้ัน สามารถพิจารณาวํา
ตวั เปรสุํม X คือ จานวนคร้งั ของการเกิดผลสาเร็จจากการโยนเหรียญท่ีเท่ียงตรง 1 เหรียญเป็นจานวน 3 คร้ัง เชํน
เหตุการณท์ ่ี X = 1 ซึ่งคือ………………………………….หมายความวาํ แตลํ ะสมาชกิ ในเหตกุ ารณ์น้ีตเิ กดิ ผลสาเร็จ 1 ครั้ง
(เหรียญขึ้นหัว 1 ครัง้ ) และไมํเกิดผลสาเรจ็ 2 คร้ัง (เหรียญขึ้นก๎อย 2 ครงั้ ) นอกจากนี้จะเห็นวําผลที่ได๎จากการโยน
เหรียญในครั้งกํอนหนา๎ ไมํสงํ ผลตอํ การโยนเหรียญครง้ั ตํอไปและความนําจะเป็นท่ีจะเกิดผลสาเร็จในการโยนเหรียญ
แตํละครัง้ เทาํ กนั คอื ……………

การแจกแจงความนําจะเป็นของตัวแปรสมุํ ในตัวอยํางขา๎ งตน๎ เรียกวาํ การแจกแจงทวนิ าม ซ่ึงมบี ทนิยามดงั น้ี

บทนยิ าม 4
การแจกแจงทวินาม (Binomial distribution) คือการแจกแจงความนําจะเป็นของตัวแปรสุํม X

ซึ่งคือจานวนคร้ังของการเกิดผลสาเร็จจากการทดลองสํุม n ครั้งที่เป็นอิสระกัน โดยในแตํละครั้งมีโอกาส
เกดิ ผลสาเรจ็ ดว๎ ยความนําจะเปน็ เทํากบั …………และไมเํ กิดผลสาเรจ็ ด๎วยความนาํ จะเปน็ เทาํ กับ…………

หมายเหตุ 1. เรียก n และ p วํา………………………………….………………………………….และเขยี นสัญลกั ษณ์
………………………………….เพื่อแสดงวําการแจกแจงความนําจะเป็นของตัวแปรสุํม X เป็นการ
แจกแจงทวนิ ามทีม่ ี n และ p เปน็ พารามเิ ตอร์

2. การทดลองสํมุ 1 คร้งั ทม่ี ผี ลลัพธท์ เี่ ป็นไปได๎ 2 แบบ คอื สาเร็จหรอื ไมสํ าเร็จ เรียกวาํ ……………
………………………………….(Bernoulli trial) เชํน การโยนเหรียญ 1 เหรียญ 1 คร้ัง

จากบทนิยามข๎างต๎นสรุปได๎วํา การแจกแจงทวินามคือการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่
ต่อเนอ่ื งท่ีมีลักษณะดังต่อไปน้ี

1. เกิดจากการทดลองสุํมจานวน n คร้ังท่ีเป็น…………………กลําวคือ ผลที่ได๎จากการทดลองสํุมใน
ครงั้ กอํ นหน๎าไมสํ ํงผลตํอการทดลองสํุมในครงั้ ตํอ ๆ ไป

2. การทดลองสุมํ แตลํ ะคร้ังมีผลลัพธท์ ี่เป็นไปไดเ๎ พียง 2 แบบ คือ……………………………………………..
3. ความนําจะเป็นท่ีจะเกิดผลสาเร็จในการทดลองสุํมแตํละคร้ังเทํากัน ให๎เป็น p เมื่อ 0 < p < 1
และจะไดว๎ ําความนําจะเป็นที่จะไมเํ กิดผลสาเร็จในการทดลองสมุํ แตํละครั้งเป็น……………………………………..

ทฤษฎบี ทตอํ ไปนใ้ี ช๎ในการหาความนําจะเป็น คําคาดหมาย และสํวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของตัวแปรสํุมท่ีมี
การแจกแจงความนําจะเปน็ เปน็ การแจกแจงทวินาม โดยในทีน่ จี้ ะขอละการพสิ ูจน์

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 4 เร่ือง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเปน็ 30

ทฤษฎีบท 1
ถา๎ การแจกแจงความนําจะเป็นของตัวแปรสมํุ X เป็น…………………………………................จะไดว๎ าํ

1. P(X = x)  …………………………………. สาหรับทุก x{0,1,2,3,..., n}
2. x ……………………………………………..
3.  x  …………………………………………….
เม่ือ n แทนจานวนคร้งั ของการทดลองสุํม และ p แทนความนําจะเป็นทีจ่ ะเกิดผลสาเรจ็ ในการ
ทดลองสุมํ แตลํ ะครั้ง

ขอ้ สังเกต จากทฤษฎีบท 1 ขอ๎ 1 และทฤษฎีบททวินามจะไดว๎ าํ
ตวั อยา่ งที่ 13
วธิ ีทา n P( X = x)  n  n x  px (1 p)nx  ……………………………………………
 
ตวั อย่างท่ี 14  x0
วิธีทา
x0

กาหนดให๎ X B(5,0.2) จงหา

1) P(X = 3) 2) P(X  3)

3) P(X  3) 4) P(3  X  5)

1) P(X = 3) =………………………………………………………………………………………………………………

2) P(X  3) =………………………………………………………………………………………………………………

=………………………………………………………………………………………………………………

=………………………………………………………………………………………………………………

3) P(X  3) =………………………………………………………………………………………………………………

=………………………………………………………………………………………………………………

=………………………………………………………………………………………………………………

4) P(3  X  5) =…………………………………………………………………………………………………………

=…………………………………………………………………………………………………………

=…………………………………………………………………………………………………………

ใหต๎ ัวแปรสุม X คอื จานวนคร้ังทลี่ ูกเต๋าข้ึนแต๎ม 5 จากการทอดลกู เต๋าทีเ่ ทย่ี งตรง 1 ลูก 7 คร้ัง
1) จงพจิ ารณาวําการแจกแจงความนําจะเป็นของตัวแปรสมุํ X เปน็ การแจกแจงทวนิ ามหรือไมํ
2) จงหาความนําจะเปน็ ทล่ี กู เต๋าขนึ้ แตม๎ 5 เป็นจานวน 5 ครั้ง
3) จงเขยี นแสดงการแจกแจงความนาํ จะเป็นของตัวแปรสํมุ X ในรปู ตารางและกราฟ
4) จงหาคําคาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสมุํ X
1) เนอื่ งจาก ตัวแปรสํมุ X มลี กั ษณะดงั ตอํ ไปนี้

1. เกดิ จากการทดลองสมุํ (ทอดลูกเตา๋ ทีเ่ ทีย่ งตรง 1 ลูก) จานวน........คร้งั ท่เี ป็นอิสระกัน
2. การทดลองสมุํ แตํละครัง้ มผี ลลัพธ์ทเ่ี ป็นไปได๎เพยี ง 2 แบบ คือ

สาเร็จ (...............................................) หรอื ไมํสาเรจ็ (...............................................)
3. ความนําจะเป็นที่ลูกเต๋าข้ึนแต๎ม 5 ในการทอดลูกเต๋าที่เที่ยงตรงแตํละคร้ังเทํากัน โดย

เทํากับ...................และจะได๎วําความนําจะเป็นที่ลูกเต๋าไมํข้ึนแต๎ม 5 ในการทอดลูกเต๋าที่
เท่ยี งตรงแตํละคร้งั เปน็ ................................................
ดงั นนั้ การแจกแจงความนําจะเปน็ ของตัวแปรสุํม X ........................การแจกแจงทวนิ าม

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 4 เร่ือง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเปน็ 31

2) ความนําจะเปน็ ที่ลูกเต๋าขน้ึ แตม๎ 5 เป็นจานวน 5 ครงั้ คือ
P(X = .....) ………………………………………………………………………………………………………………

3) คําทเ่ี ป็นไปได๎ของตัวแปรสุํม X คอื …………………………………………………………………………………
โดยท่ี………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
จะได๎ตารางแสดงการแจกแจงความนาํ จะเป็นของตวั แปรสํมุ X ดังนี้

x

P(X = x)

และเขียนกราฟแสดงการแจกแจงความนําจะเป็นของตวั แปรสํมุ X ได๎ดังนี้

4) เนือ่ งจาก X  …………………………………………………………………………………………………………..

ดงั นั้น คาํ คาดหมายของตัวแปรสุมํ X มีคําประมาณ……………………………………ครัง้

เน่อื งจาก  2  …………………………………………………………………………………………………………..
X

และ ความแปรปรวนของตวั แปรสํมุ X มีคาํ ประมาณ……………………………………ครง้ั 2

ตัวอยา่ งที่ 15 ในการรกั ษาโรคมะเร็งดว๎ ยสมนุ ไพรท่คี ดิ ค๎นข้ึนมาใหมํ พบวํา เมื่อผ๎ูป่วยรับประทานสมุนไพรชนิด
วธิ ที า น้ีตํอเน่ืองกันไปตามแพทย์สั่งในชํวงระยะเวลาหนึ่ง ความนําจะเป็นที่ผู๎ป่วยแตํละคนจะหายจาก
โรคมะเร็งเปน็ 0.5 ถา๎ นักวจิ ัยสุํมผ๎ูป่วยโรคมะเร็งที่มารับการรกั ษาดว๎ ยสมนุ ไพรนจี้ านวน 6 คน
1) จงหาความนําจะเปน็ ทจี่ ะมผี ูป๎ ว่ ยหายจากโรคมะเร็งอยํางนอ๎ ย 3 คน
2) จงหาคําคาดหมายและสํวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของจานวนผ๎ูปว่ ยทหี่ ายจากโรคมะเร็ง พร๎อมท้ัง

อธบิ ายความหมาย
ให๎ตัวแปรสมุํ X คอื ……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
จะได๎คาํ ท่ีเป็นไปไดข๎ องตวั แปรสุํม X คือ………………………………………………………………………………
เน่อื งจาก ตัวแปรสุมํ X มีลกั ษณะดังตอํ ไปนี้

1. เกดิ จาก……………………………………………………………………………………………………………………
2. การทดลองสุํมแตํละคร้ังมีผลลพั ธท์ ีเ่ ป็นไปได๎เพียง 2 แบบ คอื

สาเร็จ (..................................................) หรอื ไมํสาเร็จ (.....................................................)

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 4 เร่ือง ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น 32

3. ความนาํ จะเป็นที่ผ๎ูป่วยแตํละคนจะหายจากโรคมะเร็งเทํากนั โดยเทาํ กับ...................และ

ความนําจะเปน็ ท่ีผป๎ู ่วยแตํละคนจะไมหํ ายจากโรคมะเร็งเป็น............................................

ดังนน้ั การแจกแจงความนาํ จะเปน็ ของตัวแปรสํมุ X ........................การแจกแจงทวินาม

1) ความนาํ จะเป็นทีจ่ ะมีผ๎ปู ว่ ยหายจากโรคมะเร็งอยาํ งนอ๎ ย 3 คน คอื

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

2) เน่อื งจาก X  …………………………………………………………………………………………………………

ดงั น้ัน คาํ คาดหมายของจานวนผ๎ปู ่วยที่หายจากโรคมะเร็ง คือ…………………………คน

ซงึ่ หมายความวาํ ในการสุํมผู๎ป่วยโรคมะเรง็ ทีม่ ารับการรักษาด๎วยสมุนไพรนีจ้ านวน 6 คน

โดยเฉล่ยี แล๎วจะมีผ๎ูป่วยทหี่ ายจากโรคมะเรง็ …………………………คน

เน่ืองจาก  2  …………………………………………………………………………………………………………
X

ดงั น้ัน สวํ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของจานวนผ๎ปู ่วยที่หายจากโรคมะเร็งมคี ําประมาณ…………..คน

ซ่ึงหมายความวํา ในการสํุมผ๎ูป่วยโรคมะเร็งท่ีมารับการรักษาด๎วยสมุนไพรนี้จานวน 6 คน

จานวนผูป๎ ว่ ยที่หายจากโรคมะเรง็ จะตํางจากคาํ คาดหมายประมาณ……………คน

ตัวอย่างที่ 16 จากข๎อมูลเกี่ยวกับคุณภาพของสินค๎าซึ่งเก็บรวบรวมมาในอดีตทาให๎ทราบวํา ความนําจะเป็นท่ี
วธิ ที า สินค๎าแตํละชิ้นจะชารุดเป็น 0.05 และในกระบวนการตรวจสอบคุณภาพสินค๎าของโรงงานมี
หลักการคือพนักงานจะสงํ สินค๎าจานวน 5 ช้นิ จากแตลํ ะกลอํ งเพ่อื ตรวจสอบคุณภาพ
ถ๎าตรวจพบสนิ ค๎าชารุดไมเํ กนิ 1 ชน้ิ สนิ คา๎ กลอํ งนัน้ จะผํานการตรวจสอบคณุ ภาพ
1) จงหาความนาํ จะเป็นทีส่ ินค๎าแตํละกลอํ งท่สี งํ มาตรวจสอบจะผํานการตรวจสอบคณุ ภาพ
2) ในการผลิตสินค๎าคร้ังหน่ึง ฝ่ายผลิตของโรงงานสํงสินค๎ามาให๎พนักงานตรวจสอบคุณภาพ

จานวน 100 กลอํ ง จะมีสินคา๎ ทผ่ี ํานการตรวจสอบคณุ ภาพกกี่ ลอํ ง
ให๎ตัวแปรสุํม X คือ……………………………………………………………………………………………………………
จะได๎คาํ ทเี่ ปน็ ไปได๎ของตวั แปรสุมํ X คือ………………………………………………………………………………
เน่อื งจาก ตัวแปรสมุํ X มลี กั ษณะดงั ตํอไปนี้

1. เกดิ จาก……………………………………………………………………………………………………………………
2. การทดลองสมํุ แตํละครั้งมีผลลัพธ์ทีเ่ ปน็ ไปไดเ๎ พยี ง 2 แบบ คือ

สาเร็จ (..................................................) หรือไมสํ าเรจ็ (.....................................................)
3. ความนาํ จะเป็นที่สนิ ค๎าชารุดเม่ือสํมุ สินค๎าแตํละครั้งเทํากัน โดยเทาํ กบั ...................และ

ความนําจะเป็นที่สนิ ค๎าไมชํ ารุดเมอ่ื สมุํ สินค๎าแตลํ ะครัง้ เป็น...................................................
ดังนนั้ การแจกแจงความนาํ จะเป็นของตัวแปรสุมํ X ........................การแจกแจงทวินาม
1) ความนาํ จะเป็นที่สนิ ค๎าแตลํ ะกลอํ งที่สํงมาตรวจสอบจะผาํ นการตรวจสอบคุณภาพ คอื
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
2) จากข๎อ 1) ความนาํ จะเปน็ ทสี่ นิ ค๎าแตํละกลํองท่ีสํงมาตรวจสอบจะผํานการตรวจสอบคุณภาพ
มีคําประมาณ…………………………
ดงั น้ัน ถ๎าพนกั งานตรวจสอบคุณภาพสนิ ค๎าทงั้ หมด 100 กลอํ ง จะมีสนิ ค๎าท่ผี าํ นการตรวจสอบ
คณุ ภาพประมาณ.............................................................................................................กลอํ ง

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 4 เรอ่ื ง ตัวแปรสุม่ และการแจกแจงความน่าจะเป็น 33

แบบฝึกทักษะที่ 5
การแจกแจงทวนิ าม

1. กาหนดให๎ X B(6,0.3) จงหา

1) P(X = 2) =…………………………………………………………………………………………………………………………………….

2) P(X  2)=…………………………………………………………………………………………………………………………………….

=…………………………………………………………………………………………………………………………………….
3) P(X  2) =……………………………………………………………………………………………………………………………………

=……………………………………………………………………………………………………………………………………
=……………………………………………………………………………………………………………………………………
4) P(2  X  5) =……………………………………………………………………………………………………………………………..

=……………………………………………………………………………………………………………………………..
=……………………………………………………………………………………………………………………………..

2. ในการโยนเหรยี ญทไ่ี มเํ ทย่ี งตรงเหรียญหนึ่ง พบวํา ความนําจะเป็นที่เหรียญข้ึนก๎อยในการโยนเหรียญแตํละครั้ง
เทํากับ 0.6 ใหต๎ ัวแปรสมุํ X คอื จานวนครั้งทเ่ี หรยี ญข้ึนหวั จากการโยนเหรียญน้ี 6 ครง้ั
1) จงหาคําทเ่ี ป็นไปได๎ของตัวแปรสมํุ X
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) จงพิจารณาวําการแจกแจงความนําจะเป็นของตัวแปรสํุม X เป็นการแจกแจงทวินามหรือไมํ พร๎อมท้ังให๎
เหตุผลประกอบ
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) จงหาความนําจะเป็นทเี่ หรียญขน้ึ หัวน๎อยกวํา 3 ครั้ง
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4) โดยเฉลยี่ แล๎วเหรยี ญจะข้ึนหัวกีค่ ร้งั
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5) จงหาความแปรปรวนและสํวนเบยี่ งเบนมาตรฐานของตวั แปรสํมุ X
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 4 เร่ือง ตัวแปรสุม่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็น 34

3. ให๎ตวั แปรสุํม Y คือจานวนคร้ังที่ได๎แต๎มเป็นจานวนคูํ จากการทอดลกู เตา๋ ท่เี ท่ียงตรง 1 ลูก 8 ครงั้
1) จงพิจารณาวําการแจกแจงความนําจะเป็นของตัวแปรสุํม Y เป็นการแจกแจงทวินามหรือไมํ พร๎อมทั้งให๎
เหตุผลประกอบ
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) จงหาความนําจะเปน็ ทีไ่ ดแ๎ ตม๎ เปน็ จานวนคํู 5 ครัง้
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) จงหาความนาํ จะเปน็ ท่ีแต๎มเปน็ จานวนน๎อยกวาํ 8 ครั้ง
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4) จงหาคําคาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสมํุ Y
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. ความนําจะเป็นท่ีโสภิตาจะซ้ือชานมไขํมุกในแตํละวันเทํากับ 9 จงหาความนําจะเป็นท่ีโสภิตาจะซื้อชานม
10

ไขํมุกไมํเกนิ 2 วันในหนงึ่ สปั ดาห์

วิธีทา ใหต้ วั แปรสุ่ม X คือ…………………………………………………………………………………………………………….

จะได้ คา่ ที่เปน็ ไปได้ของตัวแปรสุม่ X คือ………………………………………………………………………………

เนอ่ื งจากตวั แปรส่มุ X มลี กั ษณะดังต่อไปน้ี

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

ดังน้ัน ความนา่ จะเป็นทโ่ี สภติ าจะซอ้ื ชานมไข่มกุ ไม่เกิน 2 วัน ในหนึง่ สัปดาห์ คอื

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 4 เรื่อง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเปน็ 35

5. ในการแขํงขันตอบโจทย์ปัญหาทางวิชาการของโรงเรียนแหํงหนึ่งมีผู๎เข๎ารํวมการแขํงขันจานวน 6 คน ทาการ
แขํงขนั ทงั้ หมด 5 ครัง้ ถา๎ ภัคนินทรเ์ ปน็ หน่ึงในผ๎ูเข๎าแขํงขันและความนําจะเป็นท่ีภัคนินทร์จะชนะการแขํงขันใน
แตลํ ะครัง้ เทํากนั โดยเทาํ กับ 0.3 จงหาความนาํ จะเปน็ ทภี่ ัคนนิ ทร์จะชนะการแขํงขนั อยํางน๎อย 1 คร้งั
วธิ ีทา ใหต้ วั แปรสุ่ม X คือ…………………………………………………………………………………………………………….
จะได้ คา่ ท่เี ป็นไปได้ของตวั แปรสุ่ม X คอื ………………………………………………………………………………
เนอ่ื งจากตัวแปรสมุ่ X มลี กั ษณะดังต่อไปน้ี
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
ดังน้นั ความน่าจะเปน็ ทภี่ คั นินทร์จะชนะการแข่งขันอย่างน้อย 1 คร้ัง คอื
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….

6. จากขอ๎ มลู เกี่ยวกบั ปญั หาทเ่ี กดิ ข้ึนในกระบวนการผลิตแผงวงจรไฟฟ้าของโรงงานผลิตอปุ กรณ์อิเล็กทรอนิกส์แหํง

หน่ึง พบวาํ แผงวงจรไฟฟ้าท่ีชารุดแตลํ ะแผนํ เกดิ จากสาเหตใุ ดสาเหตุหน่งึ ดว๎ ยความนาํ จะเปน็ ดงั ตํอไปน้ี

สาเหตุ ความนา่ จะเป็น

โลหะบดั กรเี ป็นรู 0.4

อปุ กรณเ์ ชอื่ มไมตํ ดิ 0.3

อุปกรณ์แตกร๎าว 0.2

อื่น ๆ 0.1

ถา๎ พนักงานสํมุ แผงวงจรไฟฟา้ ท่ีชารดุ จานวน 3 แผํน จงหา

1) ความนาํ จะเป็นทแ่ี ผงวงจรไฟฟ้าทัง้ สามแผนํ ชารดุ เนื่องจากโลหะบดั กรเี ปน็ รู

วธิ ีทา ใหต้ ัวแปรส่มุ X คือ…………………………………………………………………………………………………………….

จะได้ ค่าที่เป็นไปไดข้ องตวั แปรส่มุ X คอื ………………………………………………………………………………

เน่อื งจากตัวแปรสุ่ม X มีลักษณะดงั ตอ่ ไปนี้

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

ดงั นน้ั ความน่าจะเปน็ ทแี่ ผงวงจรไฟฟา้ ทัง้ สามชารุดเนือ่ งจากโลหะบดั กรเี ปน็ รู คือ

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 4 เร่ือง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็น 36

2) ความนําจะเปน็ ทมี่ ีแผงวงจรไฟฟา้ 2 แผํนชารดุ เน่ืองจากอุปกรณเ์ ชื่อมไมํติด

วธิ ีทา ใหต้ ัวแปรสมุ่ Y คอื …………………………………………………………………………………………………………….

จะได้ ค่าทเ่ี ป็นไปไดข้ องตัวแปรสมุ่ Y คอื ………………………………………………………………………………

เนือ่ งจากตัวแปรสมุ่ Y มลี กั ษณะดงั ตอ่ ไปน้ี

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

ดงั นัน้ ความน่าจะเปน็ ทแ่ี ผงวงจรไฟฟา้ 2 แผน่ ชารุดเนือ่ งจากอุปกรณเ์ ชอ่ื มไม่ติด คอื

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

3) คาํ คาดหมายและสํวนเบย่ี งเบนมาตรฐานของจานวนแผงวงจรไฟฟา้ ท่ีชารุดเนื่องจากอปุ กรณ์แตกร๎าว

วธิ ีทา ให้ตัวแปรส่มุ Z คือ…………………………………………………………………………………………………………….

จะได้ คา่ ทเ่ี ปน็ ไปไดข้ องตัวแปรสมุ่ Z คือ………………………………………………………………………………

เนื่องจากตวั แปรสมุ่ Z มลี กั ษณะดังตอ่ ไปน้ี

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

เนื่องจาก Z  ……………………………………………………………………………………………………………….

ดังนนั้ ค่าคาดหมายของจานวนแผงวงจรไฟฟา้ ที่ชารุดเนือ่ งจากอปุ กรณ์แตกร้าวคือ…………….แผนํ

เนอื่ งจาก  2  ……………………………………………………………………………………………………………….
Z

ดังนน้ั สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของจานวนแผงวงจรไฟฟา้ ที่ชารุดเนอื่ งจากอุปกรณแ์ ตกร้าวมี

คา่ ประมาณ…………….แผนํ

7. จากข๎อมลู ของศูนยค์ วบคมุ และส่ังการจราจร พบวํา ความนําจะเป็นที่รถยนต์แตํละคันจะเปลี่ยนชํองทางเดินรถ
ในพ้ืนที่ห๎าม (เส๎นทึบ) บริเวณสี่แยกไฟแดงแหํงหนึ่งเป็น 0.75 ถ๎าสํุมรถยนต์ที่วิ่งผํานป้อมควบคุมสัญญาณไฟ
จราจรบรเิ วณสแี่ ยกนมี้ า 9 คันจงหา
1) ความนาํ จะเปน็ ทจ่ี ะพบรถยนตเ์ ปลย่ี นชํองทางเดนิ รถในพ้ืนทหี่ ๎าม (เสน๎ ทึบ) 4 คนั
วธิ ีทา ให้ตวั แปรสมุ่ X คอื …………………………………………………………………………………………………………….
จะได้ คา่ ที่เปน็ ไปไดข้ องตวั แปรสุ่ม X คือ………………………………………………………………………………
เนอ่ื งจากตัวแปรสมุ่ X มีลกั ษณะดังต่อไปนี้
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 4 เร่อื ง ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเปน็ 37

……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
ดงั น้ัน ความนาํ จะเปน็ ท่ีจะพบรถยนต์เปล่ยี นชอํ งทางเดนิ รถในพน้ื ทห่ี ๎าม (เสน๎ ทบึ ) 4 คัน คือ
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
2) ความนาํ จะเป็นทีจ่ ะพบรถยนต์เปล่ยี นชํองทางเดนิ ในพน้ื ที่ห๎าม (เสน๎ ทึบ) ไมเํ กิน 3 คนั
วิธีทา ความนําจะเปน็ ท่จี ะพบรถยนตเ์ ปล่ียนชํองทางเดินในพื้นที่ห๎าม (เสน๎ ทึบ) ไมเํ กนิ 3 คัน คอื
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
3) ความนาํ จะเปน็ ท่จี ะพบรถยนตเ์ ปลี่ยนชํองทางเดินรถในพื้นที่ห๎าม (เสน๎ ทึบ) มากกวาํ 6 คนั
วธิ ีทา ความนําจะเป็นทีจ่ ะพบรถยนต์เปลยี่ นชํองทางเดนิ รถในพืน้ ท่ีห๎าม (เสน๎ ทึบ) มากกวาํ 6 คนั คอื
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
4) คาํ คาดหมายและสํวนเบีย่ งเบนมาตรฐานของจานวนรถยนต์ที่เปล่ียนชอํ งทางเดนิ รถในพื้นท่ีห๎าม (เส๎นทับ)
วธิ ที า ……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….

8. สาเหตุหน่ึงของภาวะคอเลสเตอรอลสูงเกิดจากมิวเทชันของยีน LDLR (low-density lipoprotein receptor) ที่

เก่ียวข๎องกับการสร๎างตัวรับ LDL ท่ีบริเวณเยื่อห๎ุมเซลล์ ซึ่งสํงผลตํอระดับคอเลสเตอรอลในเลือด ดัง

รายละเอียดตอํ ไปนี้
 บคุ คลทมี่ จี ีโนไทป์ LHLH สามารถสรา๎ งตัวรับ LDL ได๎
 บุคคลท่ีมีจีโนไทป์ LHLh สามารถสร๎างตัวรับ LDL ได๎ในปริมาณน๎อย สํงผลให๎มีโอกาสมีระดับ

คอเลสเตอรอลในเลอื ดคอํ นขา๎ งสงู ในเลือดสูง
 บุคคลที่มีจีโนไทป์ LhLh ไม่สามารถสร๎างตัวรับ LDL ได๎ สํงผลให๎มีระดับคอเลสเตอรอลในเลือดสูงมาก

และมโี อกาสเปน็ โรคหวั ใจตงั้ แตอํ ายยุ ังน๎อยได๎

สาหรับพํอและแมํท่ีมีจีโนไทป์ LHLh ความนําจะเป็นท่ีลูกแตํละคนจะมีจีโนไทป์ LHLH และ LHLh คือ 1 และ

4

1 ตามลาดับ ถา๎ สามีภรรยาคํหู น่ึงท่ีมีจีโนไทป์ LHLh ท้ังคํู ต๎องการมบี ตุ ร 3 คน จงหา
2

1) ความนาํ จะเป็นท่ีบตุ รทัง้ 3 คน ไมํมจี โี นไทป์ LhLh

2) ความนาํ จะเป็นทีม่ บี ตุ รอยาํ งนอ๎ ย 1 คน มจี โี นไทป์ LhLh

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 4 เร่อื ง ตัวแปรส่มุ และการแจกแจงความนา่ จะเปน็ 38

วธิ ที า ให้ตัวแปรสุ่ม X คอื …………………………………………………………………………………………………………….
จะได้ คา่ ทีเ่ ป็นไปได้ของตวั แปรสุม่ X คือ………………………………………………………………………………
เนือ่ งจากตวั แปรสุ่ม X มีลกั ษณะดงั ตอ่ ไปนี้
……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….

1) ความนาํ จะเป็นที่บุตรทั้ง 3 คน ไมมํ จี โี นไทป์ LhLh คือ
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
2) ความนาํ จะเปน็ ท่ีมีบุตรอยํางนอ๎ ย 1 คน มีจีโนไทป์ LhLh
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสมุ่ ตอ่ เนอ่ื ง

ในกรณที ต่ี ัวแปรสมุํ ท่สี นใจเป็นตวั แปรสุํมตํอเนื่อง เชํน ………………………………………………………………………
………………………………………………………………..…เน่ืองจากตัวแปรสุํมตํอเน่ืองมีเซตของคําที่เป็นไปได๎ท้ังหมดเป็น
ชํวงซึ่งเป็นสับเซตของจานวนจริง ( ) ซึ่งมีสมาชิกเป็นจานวนอนันต์ จึงไมํเหมาะกับการเขียนแสดงการแจกแจง
ความนําจะเป็นในรูปตาราง แตํจะใช๎…………………………………………………..(Density curve) ในการเขียนแสดงการ
แจกแจงความนําจะเป็น โดยความนําจะเป็นท่ีตัวแปรสํุมจะมีคําอยํูในชํวงใดชํวงหน่ึงจะเทํากับพื้นที่ท่ีปิดล๎อมด๎วย
เส๎นโค๎งความหนาแนํนกบั แกน X ในชวํ งน้นั จะเรยี กพน้ื ท่ีบริเวณดังกลําววํา…………………………………………………..…

เส๎นโคง๎ ความหนาแนํนเปน็ กราฟของฟงั กช์ ัน y  f (x) โดยท่ี x แทนคําท่ีเป็นไปได๎ของตัวแปรสุํมเรียก
ฟงั ก์ชันน้วี ํา………………………………………………………………..………………………..(Probability density function)

หมายเหตุ f (x) เป็นฟังก์ชันความหนาแนํนความนาํ จะเป็นของตวั แปรสมํุ X กต็ อํ เม่ือ

1. ………………………………สาหรบั ทุก x ทเ่ี ป็นคําท่ีเปน็ ไปไดข๎ องตัวแปรสมํุ X
2. พืน้ ที่ใต๎เส๎นเคง๎ ความหนาแนนํ ทั้งหมดจะเทํากับ………………………………

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 4 เรื่อง ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเปน็ 39
พจิ ารณาเส๎นโคง๎ ความหนาแนํนของตวั แปรสุํม X ดงั รปู

f (x)

P(1  X  3)

y  f (x)

01 23 4 5 6 7 x

รูปท่ี 1

จากรูป สามารถหาความนําจะเป็นที่ตัวแปรสํุมจะมีคําอยํูในชํวงท่ีสนใจได๎จากการหาพ้ืนที่ใต๎เส๎นโค๎ง
y  f (x) ในชํวงดงั กลําว เชํน ความนําจะเป็นท่ีตัวแปรสุํม X มีคํามากกวํา 1 แตํน๎อยกวํา 3 จะเทํากับพื้นที่สํวน

ท่ีแรเงา น่ันคอื

ดงั นน้ั ถา๎ ทราบฟังกช์ ันความหนาแนนํ ความนําจะเป็น แลว๎ จะสามารถหาความนําจะเปน็ ทีต่ ัวแปรสมุํ มีคํา
อยูํในชวํ งใดชํวงหนงึ่ ได๎โดยการหาปรพิ นั ธ์จากัดเซตของฟังก์ชนั ในชวํ งดังกลําว

ถ๎าให๎ X เปน็ ตัวแปรสุํมตํอเน่อื ง และ a เป็นคาํ ทเี่ ป็นไปได๎ของ X จะได๎วาํ ………………………………………….…
หรอื .........................................................เนื่องจากพ้ืนทีใ่ ตเ๎ สน๎ โคง๎ ความหนาแนนํ จาก a ถึง a เทาํ กบั ศนู ย์

ดงั นนั้ สาหรบั ตวั แปรสํุมตอํ เนอ่ื ง จะไมํพิจารณาความนาํ จะเป็นของการเกิดคําของตัวแปรสุํมคําใดคําหน่ึง
แตํจะสนใจเฉพาะความนําจะเป็นที่ตัวแปรสํุมจะมีคําอยูํในชํวงใดชํวงหน่ึง โดยความนําจะเป็นที่ตัวแปรสํุมจะมีคํา
อยํใู นชวํ งปิด [a, b] จะเทาํ กับความนาํ จะเป็นทีต่ ัวแปรสํุมจะมคี าํ อยํูในชํวงเปดิ (a, b) นั่นคอื เมอื่ a และ b เป็น

คําที่เปน็ ไปได๎ของตัวแปรสมํุ X จะได๎วาํ

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 4 เรอ่ื ง ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเป็น 40

3.1 การแจกแจงปกติ

เสน๎ โคง๎ ความหนาแนนํ ที่พบบํอยมักมีลักษณะสมมาตรคล๎ายรูประฆัง เชํน ถ๎าให๎ตัวแปรสุํมคือระยะเวลาที่
นักเรยี นใช๎ในห๎องสมุดในแตํละวัน ซ่ึงอาจมีคําเป็นคําใดก็ได๎ในชํวง 0 ถึง 8 ช่ัวโมง จะได๎วําตัวแปรสุํมน้ีเป็นตัวแปร
สุํมตํอเนื่อง นอกจากนี้มักพบวําจานวนนักเรียนที่ใช๎เวลาในห๎องสมุดน๎อยกวํา 1 ช่ัวโมง มีน๎อยมาก และจานวน
นกั เรยี นที่ใช๎เวลาในห๎องสมุดมากกวาํ 7 ช่ัวโมงก็ มีน๎อยมาก สํวนใหญํแล๎วนักเรียนจะใช๎เวลาในห๎องสมุดประมาณ
3 – 5 ชัว่ โมง ดงั น้ันเมอื่ เขยี นแสดงการแจกแจงความนําจะเปน็ ของตวั แปรสํุมด๎วยเส๎นโค๎งความหนาแนํน จะได๎เส๎น
โค๎งทโี่ ดํงกลางแลว๎ ลาดลงทัง้ สองดา๎ น ดังรปู

0 345 8

การแจกแจงความนําจะเปน็ ของตัวแปรสมํุ ท่ีมลี ักษณะเชํนน้ีเรยี กวาํ การแจกแจงปกติ ซงึ่ มบี ทนิยามดังนี้

บทนิยาม 5

การแจกแจงปกติ (Normal distribution) คือ การแจกแจงความนําจะเป็นของตัวแปรสุํม

ตํอเนื่อง X ท่ีมฟี ังกช์ นั ความหนาแนนํ ความนําจะเปน็ คอื

1 e 1  x  2
เมอ่ืf (x)  2   
  x  
 2

โดยที่  แทนคาํ เฉลีย่

และ  แทนสวํ ยเบยี่ งเบนมาตรฐาน

การแจกแจงปกติเป็นการแจกแจงความนําจะเป็นของตัวแปรสุํมตํอเน่ืองที่มีความสาคัญและใช๎มากใน
สถิติศาสตร์ เน่ืองจากเป็นการแจกแจงที่มีความใกล๎เคียงกับข๎อมูลที่เกิดตามธรรมชาติหรือที่มนุษย์สร๎างข้ึน เชํน
ความสูงของประชากรไทย คะแนนสอบ O-NET วิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 6 ปีการศึกษา
2562 อายุการใชง๎ านของสนิ ค๎าทผี่ ลติ จากโรงงานแหงํ หน่งึ

ถ๎าการแจกแจงความนําจะเป็นของตัวแปรสุํม X เป็นการแจกแจงปกติ แล๎วเม่ือเขียนกราฟของฟังก์ชัน
ความหนาแนํนความนําจะเป็นสาหรับตัวแปรสุํม X จะได๎…………………………………(Normal curve) ซ่ึงเป็นเส๎นโค๎ง
รูประฆงั ท่มี สี มบตั ดิ งั ตํอไปน้ี

1. เส๎นโคง๎ มเี สน๎ ตั้งฉากกบั แกน X ท่ลี ากผําน…………………เป็นแกนสมมาตร ทาให๎พื้นท่ีใต๎เส๎นโค๎งทางด๎าน
ซ๎ายของ…………………เทํากบั พ้ืนที่ใตเ๎ สน๎ โคง๎ ทางด๎านขวาของ…………………

2. ปลายเสน๎ โค๎งท้ังสองด๎านเขา๎ ใกลแ๎ กน………แตจํ ะไมตํ ัดแกน………หรอื กลําวได๎วําแกน………เป็นเส๎น
กากบั แนวนอน

3. ……………………………………………………………………………………จะเป็นตวั กาหนดลกั ษณะเฉพาะของเส๎นโค๎ง
วาํ มแี กนสมมาตรอยทํู ่ีใด และมีการกระจายจากคําเฉลี่ยมากน๎อยเพียงใด

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 4 เร่ือง ตัวแปรส่มุ และการแจกแจงความน่าจะเป็น 41
ตวั อยาํ งเชนํ เสน๎ โคง๎ ปกตทิ ี่มคี ําเฉล่ยี  และสํวนเบย่ี งเบนมาตรฐาน  สามารถเขียนไดด๎ งั รูป

  x

รปู ท่ี 2

ถ๎าคําเฉลี่ยหรือสํวนเบี่ยงเบนมาตรฐานคําใดคําหนึ่งหรือท้ังสองคําเปลี่ยนแปลงไป เส๎นโค๎งปกติจะ
เปล่ียนแปลงตามไปด๎วย แตํยังคงเปน็ เสน๎ โค๎งรปู ระฆงั ดังตัวอยํางตํอไปน้ี

เมือ่ คําเฉลี่ย……………………… แตสํ วํ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน………………………

 1 1  0 2  2 3  5

x

02 5

เมอ่ื สวํ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน………………………แตคํ ําเฉลีย่ ………………………

 0 1  0.5

2 1

3  2

x

0

ถ๎าตัวแปรสุํม X มีการแจกแจงปกติ โดยท่ี  แทนคําเฉล่ีย และ  2 แทนความแปรปรวน จะเรียก

ตัวแปรสุมํ X วาํ ………………………………… เรยี ก  และ  2 วาํ ……………………………………………………. และเขยี น

สัญลักษณ…์ ………………………………เพ่อื แสดงวําการแจกแจงความนําจะเป็นของตวั แปรสุํม X เป็นการแจกแจงปกติ
ท่ีม…ี ………และ…………เป็นพารามิเตอร์

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 4 เรอื่ ง ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเป็น 42

จากท่ีกลําวมาแล๎ววําสามารถหาความนําจะเป็นที่ตัวแปรสุํมจะมีคําอยูํในชํวงท่ีสนใจได๎จากการหาพื้นท่ีใต๎เส๎นโค๎ง
ความหนาแนนํ ในชวํ งนัน้ ซ่ึงเทาํ กับปรพิ นั ธจ์ ากดั เซตของฟังกช์ ันความหนาแนํนความนาํ จะเป็นในชํวงดังกลําว โดย
จะตอ๎ งใช๎วิธีการของแคลคูลัสซ่ึงคํอนข๎างยํุงยาก ในทางปฏิบัติจึงหาพ้ืนท่ีใต๎เส๎นโค๎งปกติโดยใช๎ตารางแสดงพื้นท่ีใต๎
เสน๎ โค๎งปกติ แตเํ น่ืองจากเป็นไปไมไํ ดท๎ จ่ี ะสรา๎ งตารางหลาย ๆ ตารางมาแสดงพื้นท่ีใต๎เส๎นโค๎งปกติซึ่งมีคําเฉลี่ยและ
สํวนเบ่ียงเบนมาตรฐานตํางกัน ดังนั้นจะใช๎วิธีการแปลงการแจกแจงปกติของตัวแปรสํุมให๎เป็นการแจกแจงปกติ
มาตรฐาน ซึ่งจะกลําวถึงในหัวขอ๎ ตํอไป

3.2 การแจกแจงปกติมาตรฐาน

บทนยิ าม 6
การแจกแจงปกติมาตรฐาน (Standard normal distribution) คือการแจกแจงปกติที่มีคําเฉลี่ย

เทาํ กบั ………………………………….และสวํ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานเทาํ กบั ………………………………….

จะไดว๎ ําฟงั ก์ชันความหนาแนํนความนําจะเป็นของตวั แปรสํมุ Z ที่มกี ารแจกแจงปกติมาตรฐาน คอื

f (z)  1  z2 เม่ือ   z  

2 e2

เรียกเสน๎ โค๎งปกติซ่ึงได๎จากตัวแปรสมํุ ปกตทิ ีม่ ีคาํ เฉลีย่ เปน็ …………และสํวนเบ่ยี งเบนมาตรฐานเป็น…………วํา

………………………………….………………………………….(Standard normal curve) ดงั รูป

 1

z

 0

เรยี กตวั แปรสมํุ ทมี่ ีการแจกแจงปกตมิ าตรฐานวํา………………………………………(Standard normal random variable)

สาหรับการหาความนาํ จะเปน็ ท่ีตัวแปรสุํมปกติมาตรฐานจะมีคําอยํูในชํวงท่ีสนใจ จะใช๎ตารางแสดงพ้ืนท่ี
ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน (ตารางที่ 1) แทนการหาปริพันธ์จากัดเซตของฟังก์ชันความหนาแนํนความนําจะเป็น
โดยคําทป่ี รากฏในตารางท่ี 1 คือคําประมาณของพืน้ ทีใ่ ตเ๎ สน๎ โคง๎ ปกตมิ าตรฐานจาก  ถึง z หรือความนําจะเป็น
ท่ีตัวแปรสุํมปกติมาตรฐาน Z มีคําน๎อยกวาํ หรอื เทํากบั z เขยี นแทนด๎วยสญั ลักษณ์……………………………………….......

P(Z  z)

0z

การอํานตารางท่ี 1 ให๎พิจารณาจากแถวที่แสดงคํา z จาก 0.0 ถึง –3.0 หรือจาก 0.0 ถึง 3.0 คําของ z มีคําลดลง
หรือเพ่ิมข้ึนแถวละ 0.1 จากนั้นจึงพิจารณาหลักซึ่งแสดงทศนิยมตาแหนํงที่ 2 ของคํา z เชํน ถ๎าต๎องการหา
……………………….......จะเรม่ิ พิจารณาจากแถวท่ีแสดงคาํ ………………………..จากนนั้ พจิ ารณาหลกั ที่แสดงคํา……………
จะไดว๎ าํ พน้ื ที่ใตเ๎ ส๎นโคง๎ ปกติมาตรฐานจาก  ถงึ ……………หรือ……………………….....มีคาํ ประมาณ………………………

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 4 เรอื่ ง ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น 43

ตัวอย่างที่ 17 ให๎ Z เปน็ ตวั แปรสมุํ ปกติมาตรฐาน จงหา

1) P(Z  2) 2) P(Z 1.29)

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….

3) P(Z  2.47) 4) P(Z  1.25)

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

5) P(2  Z  1) 6) P(1.27  Z  0.45)

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

7) P(2  Z  2.5) 8) P(1  Z  2.4)

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

ในกรณที ่ีตัวแปรสุํมมีการแจกแจงปกติแตํไมํใชํการแจกแจงปกติมาตรฐาน จะไมํสามารถใช๎ตารางที่ 1 ใน

การหาความนําจะเป็นได๎ ดังน้ันจะต๎องแปลงตัวแปรสํุมปกติให๎เป็นตัวแปรสุํมปกติมาตรฐาน โดยใช๎ทฤษฎีบท

ตํอไปนี้

ทฤษฎีบท 2
ใหต๎ วั แปรสมํุ X มกี ารแจกแจงปกติ โดยมคี าํ เฉลี่ย  และสวํ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน 

ถา๎ ตวั แปรสํมุ Z นยิ ามโดย..............................................แล๎วตัวแปรสุํม Z จะมีการแจกแจงปกติ
มาตรฐาน นั่นคอื .....................และ.....................
นอกจากนี้ P(a  X  b)  ..............................................

เมื่อ a, b เปน็ คําท่เี ป็นไปไดข๎ องตวั แปรสมํุ X และ a  b

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 4 เรอื่ ง ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเป็น 44

ตวั อยา่ งท่ี 18 กาหนดให๎ X N(3.5,4) จงหา

1) P(X  5) 2) P(X  2)

3) P(2.4  X  5.2) 4) P(4  X  5)

5) P(1.5  X  3)

วิธีทา เน่อื งจาก X N(3.5,4) จะได๎วาํ ตัวแปรสมุํ X มีการแจกแจงปกติ โดยที่   ..................และ
 2 .................. นน่ั คือ  ..................

ให๎ Z X  จะได๎


1) P(X  5) 2) P(X  2)

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

3) P(2.4  X  5.2) 4) P(4  X  5)

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………….

5) P(1.5  X  3)

……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
สาหรบั ตวั แปรสุํมปกติ X ทีม่ ีคาํ เฉลย่ี  และสํวนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน  และตัวแปรสมํุ Z

นยิ ามโดย Z  X  จะได๎วํา


1. P(   X    )  P(1 Z 1)

 P(Z  1)  P(Z  1)

 .............................................

 .............................................

   xz

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 4 เร่อื ง ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเปน็ 45

นัน่ คือความนําจะเปน็ ทตี่ วั แปรสุมํ X จะมคี าํ อยูํในชํวง [ ,   ] มีคําประมาณ..............................หรือ
พน้ื ที่ใตเ๎ สน๎ โคง๎ ปกตจิ าก   ถึง   มีคําประมาณ..............................ของพ้ืนทีใ่ ต๎เสน๎ โคง๎ ปกตทิ ง้ั หมด

2. P(  2  X    2 )  P(2  Z  2)
 P(Z  2)  P(Z  2)
 .............................................
 .............................................

  2    2 x z

น่ันคอื ความนําจะเป็นที่ตวั แปรสมํุ X จะมีคําอยูใํ นชวํ ง [  2,   2] มคี าํ ประมาณ..........................หรือ
พ้ืนทใี่ ต๎เส๎นโคง๎ ปกตจิ าก   2 ถึง   2 มีคําประมาณ..........................ของพน้ื ที่ใตเ๎ ส๎นโค๎งปกตทิ งั้ หมด

3. P(  3  X    3 )  P(3  Z  3)
 P(Z  3)  P(Z  3)
 .............................................
 .............................................

  3    3 x z

นั่นคอื ความนําจะเป็นที่ตัวแปรสํุม X จะมีคาํ อยํูในชวํ ง [ 3,  3 ] มีคําประมาณ..........................หรือ
พ้นื ท่ใี ต๎เส๎นโค๎งปกติจาก  3 ถงึ   3 มคี ําประมาณ..........................ของพืน้ ที่ใต๎เส๎นโค๎งปกตทิ ้งั หมด

ตัวอยา่ งที่ 19 ความสูงของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ของโรงเรียนแหํงหน่ึงมีการแจกแจงปกติ โดยมีคําเฉลี่ย
วิธีทา
และสํวนเบ่ยี งเบนมาตรฐานเทาํ กบั 160 และ 5 เซนตเิ มตร ตามลาดับ ถ๎าสุํมนักเรียนชั้นมัธยมศึกษา

ปีที่ 6 จานวน 1 คนจากโรงเรยี นนี้ จงหาความนาํ จะเป็นทนี่ ักเรยี นที่สํุมไดจ๎ ะมีความสูง

1) ระหวาํ ง 150 และ 170 เซนตเิ มตร

2) มากกวาํ 162 เซนติเมตร

ให๎ตัวแปรสมํุ X คือ..........................................................................................................................

จะได๎วําตัวแปรสํุม X มกี ารแจกแจงปกติ โดยที่   ..................และ  ..................

ให๎ Z X  จะได๎


1) เนอื่ งจาก P(150  X 170) =...............................................................................................

=...............................................................................................

=...............................................................................................

=...............................................................................................

ดังน้นั ความนาํ จะเป็นที่นักเรียนท่ีสํุมได๎จะมีความสงู ระหวําง 150 และ 170 เซนตเิ มตรคือ............

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 4 เรือ่ ง ตัวแปรส่มุ และการแจกแจงความน่าจะเปน็ 46

2) เน่อื งจาก P(X 162) =..........................................................................................................
=..........................................................................................................

=............................................................................................... ...........
=..........................................................................................................
ดังน้นั ความนําจะเป็นทนี่ ักเรียนท่ีสุมํ ได๎จะมีความสูงมากกวาํ 162 เซนตเิ มตรคอื ............................

เปอร์เซ็นไทล์ของตัวแปรส่มุ ตอ่ เน่อื ง

จากการศึกษาทผ่ี ํานมา นกั เรยี นทราบแล๎ววาํ เปอร์เซ็นไทล์เป็นคําวัดตาแหนํงที่ของข๎อมูลเชิงปริมาณ โดย
แบํงขอ๎ มลู ท่ีเรียงจากน๎อยไปมากออกเป็น 100 สํวน เทํา ๆ กัน สาหรับตัวแปรสุํมตํอเนื่อง X เน่ืองจากพ้ืนที่ใต๎เส๎น
โค๎งความหนาแนนํ ท้งั หมดเทาํ กับ 1 หรือคิดเป็น 100% ดังนน้ั

ถา๎ x เป็นคําทเ่ี ป็นไปได๎ของตัวแปรสุํม X จะไดว๎ าํ ขอ๎ มูลที่มีคํานอ๎ ยกวาํ x มจี านวน P(X  x)100%นั่นคือ
ถ๎า P(X  x)100 เปน็ จานวนเตม็ ท่อี ยูํระหวําง 0 และ 100 จะไดว๎ าํ เปอร์เซน็ ไทลท์ ่ี P(X  x)100 เทาํ กับ x

ตัวอยํางเชํน ถ๎า Z เป็นตัวแปรสุํมปกติมาตรฐาน เนื่องจาก P(Z < 1) = ...................ดังน้ัน 1 คือเปอร์เซ็นไทล์ท่ี
P(Z < 1) 100 = .........................................................หรอื กลําวไดว๎ าํ ขอ๎ มลู ทม่ี คี ํานอ๎ ยกวาํ 0 มีจานวน...................
ของข๎อมูลท้ังหมด โดยเม่ือพิจารณาจากรูปตํอไปน้ีจะเห็นวําบริเวณที่แรเงามีพื้นท่ีเป็นครึ่งหน่ึงของพื้นท่ีใต๎เส๎นโค๎ง
ปกติมาตรฐานทง้ั หมด

01 z

ตัวอยา่ งท่ี 20 อายุการใชง๎ านของถํานไฟฉายชนิดหนึง่ มกี ารแจกแจงปกติ โดยคําเฉลีย่ และสวํ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน
วธิ ีทา
เทํากับ 756 และ 35 นาทตี ามลาดับ จงหาวํา

1) ถาํ นไฟฉายทีม่ ีอายุการใช๎งานน๎อยกวาํ 791 นาที มกี เี่ ปอร์เซน็ ต์ของถาํ นไฟฉายทง้ั หมด

2) ถาํ นไฟฉายที่มีอายุการใช๎งานมากกวาํ หรอื เทํากับเปอร์เซ็นไทล์ที่ 95 สามารถใชง๎ านได๎อยาํ ง

น๎อยกนี่ าที เม่อื กาหนดให๎ P(Z < 1.645) = 0.95

ให๎ตัวแปรสํมุ X คอื ..........................................................................................................................

จะได๎วําตัวแปรสุมํ X มกี ารแจกแจงปกติ โดยท่ี   ..................และ  ..................

ให๎ Z  X  จะได๎


1) เนอื่ งจาก P(X  791) =..........................................................................................................

=............................................................................................... ...........

=..........................................................................................................

ดังน้นั ถาํ นไฟฉายท่มี อี ายกุ ารใชง๎ านนอ๎ ยกวาํ 791 นาที มปี ระมาณ..........................................

เปอรเ์ ซน็ ตข์ องถาํ นไฟฉายท้ังหมด

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 4 เรอ่ื ง ตัวแปรส่มุ และการแจกแจงความน่าจะเปน็ 47

2) เนอื่ งจากอายุการใชง๎ านถํานไฟฉายทนี่ ๎อยทส่ี ดุ ที่มากกวําหรือเทาํ กับเปอร์เซ็นไทล์ท่ี 95 ก็คือ
เปอร์เซ็นไทล์ท่ี 95 ดังนั้นต๎องการหา x ท่ีทาให๎ P(X < x)100 = 95
นั่นคือ ………………………………………………………………………………………………………………
จะได๎ ………………………………………………………………………………………………………………
เนือ่ งจาก ………………………………………………………………………………………………………………
ดงั นัน้ ………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

นนั่ คอื ถาํ นไฟฉายที่มีอายุการใชง๎ านมากกวาํ หรอื เทํากบั เปอร์เซน็ ไทลท์ ี่ 95 สามารถใชง๎ านได๎
อยาํ งน๎อย...............................................นาที

การเปรียบเทียบตาแหนง่ ของข้อมลู โดยใชค้ ่าของตัวแปรสมุ่ ปกตมิ าตรฐาน

การแปลงตัวแปรสํุมปกตใิ หเ๎ ป็นตัวแปรสุํมปกตมิ าตรฐาน นอกจากจะมีประโยชน์ในการหาความนําจะเป็น
โดยใช๎ตารางแลว๎ ยงั สามารถนาคาํ ของตัวแปรสุํมปกติมาตรฐานท่ีแปลงได๎ไปใช๎ในการเปรียบเทียบข๎อมูลตั้งแตํสอง
ชุดขึ้นไปวํามีความแตกตํางกันหรือไมํเพียงใด เนื่องจากคําเฉลี่ยและสํวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของข๎อมูลแตํละชุด
มักจะไมํเทาํ กัน บางครง้ั จึงไมํสามารถนาขอ๎ มูลแตลํ ะชุดมาเปรียบเทยี บโดยตรงได๎ เชนํ

ในการเปรียบเทียบผลการเรียนวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนคนหนึ่งวําเรียนวิชาใด
ได๎ดีกวํากัน โดยสมมติวําคะแนนสอบทั้งสองวิชาของนักเรียนในชั้นเร่ืองน้ีมีการแจกแจงปกติ ถ๎าพิจารณาจาก
คะแนนสอบทั้งสองวิชาโดยปรับให๎มีคะแนนเต็มเทํากัน ก็ไมํอาจสรุปได๎วํานักเรียนคนนี้เรียนวิชาใดได๎ดีกวํา
เน่ืองจากคะแนนสอบแตํละวิชาไมํได๎ข้ึนอยูํกับความรู๎ความสามารถในวิชาน้ัน ๆ ของนักเรียนเพียงอยํางเดียว แตํ
ยังข้ึนอยูํกับความยากงํายของข๎อสอบหรือวิธีการให๎คะแนนของผ๎ูสอนแตํละวิชา ทาให๎คําเฉล่ียหรือสํวนเบ่ียงเบน
มาตรฐานของคะแนนสอบท้ังสองวิชาของนักเรียนท้ังหมดในชั้นอาจไมํเทํากัน ดังนั้น เมื่อต๎องการเปรียบเทียบผล
การเรียนทั้งสองวิชา จึงจาเป็นต๎องแปลงคะแนนสอบท้ังสองวิชาให๎เป็นตัวแปรสํุมปกติมาตรฐาน ซึ่งจะทาให๎
คําเฉลี่ยและสํวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบท้ังสองวิชาเทํากัน แล๎วจึงเปรียบเทียบจากคําของตัวแปรสํุม
ปกตมิ าตรฐานของทง้ั สองวชิ าดงั ตวั อยาํ งตอํ ไปนี้

ตวั อย่างท่ี 21 พิมพส์ อบวิชาคณติ ศาสตรแ์ ละวิชาภาษาอังกฤษซ่ึงมีคะแนนเต็ม 100 คะแนนเทํากัน ได๎ 75 และ
วิธีทา
72 คะแนน ตามลาดับ ถ๎าคะแนนสอบท้ังสองวิชาของนักเรียนห๎องน้ีมีการแจกแจงปกติ โดย

คําเฉล่ียและสํวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห๎องน้ีเทํากับ

73 และ 16 คะแนน ตามลาดับ และคําเฉล่ียและสํวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชา

ภาษาอังกฤษของนกั เรยี นห๎องนี้เทํากับ 70 และ 10 คะแนน ตามลาดับ จงพิจารณาวําพิมพ์เรียน

วิชาใดได๎ดีกวํากนั

ให๎ตวั แปรสุํม X และ Y คือ..............................................................................................................

จะได๎วําตัวแปรสุํม X และ Y มีการแจกแจงปกติ โดยท่ี X  ..................,  X  ..................

และ Y  .................., Y ..................

ให๎ x และ y คอื ...............................................................................................................................

นั่นคอื x = .................. และ y = ..................

จะไดค๎ ําของตัวแปรสํมุ ปกติมาตรฐานของ X คอื x  X  ..........................................................
X

และได๎คําของตวั แปรสํมุ ปกตมิ าตรฐานของ Y คือ x  Y  ........................................................
Y

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา