5.เอกสารประกอบการบรรยาย เรขาคณิต ประจำปี พ.ศ. 2557

เอกสารประกอบการบรรยาย

โครงการส่งเสริมโอลมิ ปิกวิชาการฯ สอวน.

ศนู ย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. สาขาคณติ ศาสตร์
โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

ระหว่างวนั ท่ี 6 – 24 ตุลาคม พ.ศ.2557

[ ค่าย 1 ]

เรขาคณิต (Geometry)

ช่อื -สกุล...........................................................โรงเรยี น........................................................

ครูครรชติ แซ่โฮ่ และ ครนู ิโรบล เจริญสุข
กล่มุ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วชิ าการ ศนู ย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วิชา เรขาคณติ 1

1. บทนาและความรู้พืน้ ฐาน

1.1 ประวตั ิความเปน็ มาโดยสงั เขป

เรขาคณิต (Geometry) มาจากรากศัพท์ภาษากรีกว่า Geometrein (geo หมายถึง earth และ
metrein หมายถึง to measure) แต่ความหมายของเรขาคณิตในปัจจุบันมีความแตกต่างออกไปมาก
เพราะว่าวิชาเรขาคณิตได้รับการพัฒนามาอย่างต่อเนื่องและแตกสาขาออกไปหลายสาขา และเรขาคณิตที่
ศึกษาในระดับมัธยมศึกษาก็เป็นเพียงเรขาคณิตของยุคลิด (Euclidean Geometry) ซึ่งถือว่าเป็นพ้ืนฐานท่ี
ทาใหม้ วี วิ ัฒนาการไปสู่เรขาคณติ แบบอน่ื ๆ จนเป็นทย่ี อมรบั กนั วา่ ยุคลดิ เปน็ บดิ าแห่งวชิ าเรขาคณติ

เรขาคณิตสมยั กอ่ นเปน็ การศึกษาแบบลองผิดลองถูก อาศัยการสงั เกตจากประสบการณ์ เราไม่ทราบ
ประวัติท่ีสมบูรณ์ แต่ก็พอทราบจากแผ่นศิลาจารึกว่า ชาวบาบิโลน (4000 B.C.) สามารถหาพ้ืนท่ีของรูป
ส่ีเหล่ียมผนื ผ้าโดยใช้ความกวา้ งคณู ความยาว ชาวอียิปต์ (2900 B.C.) สามารถสร้างพีรามิดได้ซึ่งถือได้ว่าเป็น
ความสาเรจ็ ทางเรขาคณติ จนกลายเป็นสงิ่ มหัศจรรย์ของโลก

การศึกษาเรขาคณิตเริ่มชัดเจนข้ึนโดยชาวบาบิโลน (2000 B.C.) ตามด้วยชาวอียิปต์ (1650 B.C.)
ต่อมาได้พัฒนาไปสู่กรีกโดยทาลีส (Thales, 640 B.C.) ผ่านไปทางตอนใต้ของอิตาลีโดยพีทาโกรัส (Pytha-
gorus, 584 B.C.) แล้วไปสู่กรุงเอเธนส์โดยพลาโต (Plato, 400 B.C.) และก็มาถึงนักคณิตศาสตร์ผู้ย่ิงใหญ่
ยุคลิด (Euclid, 300 B.C.) ซึ่งเขียนหนังสือ 13 เล่มในช่ือว่า Elements จนเป็นท่ียอมรับว่าเป็นตาราเรียน
เล่มแรกของโลกท่ีใช้กันอย่างแพร่หลาย และถือได้ว่าเป็นแบบฉบับในการเขียนตาราอื่น ๆ ในสมัยนั้น และ
นวิ ตัน (Isaac Newton) ก็ไดเ้ ขยี นหนังสอื ทยี่ ิง่ ใหญอ่ ีกเล่มหนึ่งคือ Principia ตามแบบ Elements น้ี

หลงั จากสนิ้ สดุ ยุคของยุคลดิ โรมนั เรม่ิ เรอื งอานาจแต่ไมไ่ ด้พัฒนาทางคณิตศาสตร์เท่าท่ีควร จนกล่าว
กันว่าเป็นยุคมืด (Dark ages) ของเรขาคณิต คณิตศาสตร์อยู่ในสภาพเกือบคงท่ีไม่เปล่ียนแปลง เพ่ิงจะมา
เจริญรุ่งเรืองอีกคร้ังในศตวรรษท่ี 14 ซึ่งเน้นไปทางดาราศาสตร์ และตรีโกณมิติ อย่างไรก็ตามเรขาคณิตใน
แถบเอเชีย เช่น จีนและอินเดีย ก็มีความเจริญรุ่งเรืองเช่นกัน แต่การจารึกหลักฐานไม่ม่ันคงถาวรเหมือนทาง
ยุโรปจงึ ยากทท่ี ราบประวัตทิ ช่ี ัดเจน

ในศตวรรษท่ี 17 – 18 ได้มีการนาวิชาพีชคณิต (Algebra) เข้ามาบูรณาการร่วมกัน จนได้ก่อกาเนิด
วิชาแคลคูลัส และเรขาคณิตวิเคราะห์ (Calculus and Analytic Geometry) ขึ้น โดยนักคณิตศาสตร์ท่ี
สาคัญในยุคนี้ไดแ้ ก่ Descartes, Pascal, Desargues, Newton and Leibniz

ในศตวรรษท่ี 19 นักคณิตศาสตร์ได้ทาการศึกษาเรขาคณิตอย่างจริงจังอีกคร้ัง จนเกิดมีเรขาคณิตท่ี
แตกต่างจากเรขาคณิตของยุคลิด (Non-Euclidean Geometry) เช่น Hyperbolic Geometry, Elliptic
Geometry และ Spherical Geometry เป็นต้น แล้วพัฒนาไปสู่วิชา Topology ซึ่งครอบคลุมเรขาคณิตทุก
ชนิดในปัจจุบัน โดยนักคณิตศาสตร์ที่สมควรกล่าวถึงคือ Saccheri, Bolyai, Lobachevsky, Gauss และ
Riemann

อย่างไรก็ตาม Euclidean Geometry ก็ยังถือว่าเป็นต้นแบบของเรขาคณิตอื่น ๆ และมีความ
สาคัญต่อชีวิตประจาวันเป็นอย่างมาก และเนื่องจาก Elements เป็นตาราเล่มแรกจึงอาจมีจุดบกพร่องเป็น
ธรรมดา จนทาให้นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เห็นว่าควรจะมีการเสริมสร้างให้มีความสมบูรณ์ย่ิงข้ึน และนัก
คณิตศาสตร์ท่ีได้รับการยกย่องว่าทาให้ระบบสัจพจน์ของเรขาคณิตยุคลิดมีความสมบูรณ์ขึ้นมาก็คือ David
Hilbert (1862-1943)

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วิชาการ ศนู ยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณติ 2

1.2 สัจพจน์ข้อท่ี 5 ของยูคลิด

ระบบสัจพจน์ของเรขาคณิตของยุคลิด ประกอบด้วย นิยาม และสัจพจน์ คานิยามท่ีได้รับการ
วิจารณ์มากเป็นพิเศษคือ นิยามของคาว่า จุด ซึ่งเขานิยามว่า หมายถึง สิ่งท่ีไม่มีความกว้าง ความยาวและ
ความหนา จนในท่ีสุดในปัจจุบันก็ให้ถือเป็นคาอนิยาม ส่วนสัจพจน์ท่ีได้รับการวิพากษ์วิจารณ์มากท่ีสุด จน
เกดิ เป็นเรขาคณติ ชนดิ อน่ื ๆ ขนึ้ มาก็คอื สจั พจน์ข้อที่ 5 ในสัจพจนต์ ่อไปนี้

1. ลากเส้นตรงจากจุดหน่ึงไปยังอีกจุดหนึ่งได้ (A straight line can be drawn from any point
to any point)

2. ต่อเส้นตรงท่ีมีความยาวจากัดออกไปเร่ือย ๆ (A finite straight line can be produced
continuously in a straight line)

3. เขียนวงกลมได้เมื่อกาหนดจุดศูนย์กลางและระยะทางใด ๆ (A circle may be described with
any point as center and any distance as radius)

4. มมุ ฉากทุกมุมย่อมเทา่ กนั (All right angles are equal to one another)

5. ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่ง ผ่านเส้นตรง 2 เส้น ทาให้มุมภายในท่ีอยู่ด้านเดียวกันรวมกันน้อยกว่า 2 มุม
ฉาก แล้วเสน้ ตรงสองเส้นจะตดั กนั ทางดา้ นทีม่ มี มุ รวมกันน้อยกว่า 2 มุมฉาก ถ้าลากเส้นนั้นต่อไปเรื่อยๆ (If a
transversal falls on two lines in such a way that the interior angle on one side of the
transversal are less than two right angles, then the lines meet on that side on which the
angles are less than two right angles)

โดยใช้สัจพจน์ดังกล่าวประกอบกับนิยามและทฤษฎีบทอื่น ๆ ในเรขาคณิตของยุคลิด ที่ไม่ได้นามา
กล่าวไว้ในท่ีน้ี เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมย่อมรวมกันได้สองมุมฉาก แต่ถ้ามีการ
เปลยี่ นแปลงสัจพจน์ข้อท่ี 5 เป็นอย่างอื่น เช่น Spherical Geometry กาหนดให้เส้นขนานตัดกันได้ ก็จะทา
ให้ผลบวกของมุมภายในรวมกันได้มากกว่าสองมุมฉาก ซึ่ง Spherical Geometry มีประโยชน์เป็นอย่างมาก
ในการคานวณระยะทางเกี่ยวกับการเดินเรือรอบโลก โดยที่เรขาคณิตของยุคลิดสามารถคานวณได้แม่นยาใน
ระยะทางใกล้ ๆ เท่าน้ันเอง เรายกตัวอย่างนี้ข้ึนมาเพียงเล็กน้อยเพื่อให้เห็นว่ายังมีเรขาคณิตชนิดอื่นท่ี
นอกเหนือจากเรขาคณิตของยุคลิดท่ีเรียนในระดับมธั ยมศึกษา ผทู้ ่สี นใจสามารถเลอื กเรียนได้ในระดับท่ีสูงขนึ้

และต่อไปน้ีเราจะกล่าวถึงเฉพาะเรขาคณิตของยุคลิดเท่านั้น ส่วนเน้ือหาและกิจกรรมในเอกสาร
ประกอบการอบรมคร้ังนี้โดยส่วนใหญ่จะยึดตามแนวหนังสือ เรขาคณิต ในโครงการตาราวิทยาศาสตร์และ
คณิตศาสตร์ มูลนิธิ สอวน. และเอกสารเสริมความรู้วิชาคณิตศาสตร์ (เรขาคณิต) ของสถาบันส่งเสริมการ
สอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.) จงึ ขอขอบคุณไว้ ณ โอกาสนี้

อย่างไรก็ตามผู้เขียนได้พยายามเพิ่มเติม ความรู้และประสบการณ์อ่ืน ๆ ท่ีได้รับมาจากการเรียน
การสอนเรขาคณิตในระดับมัธยมศึกษา และการอบรมเพิ่มเติมจากสถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์
และเทคโนโลยี (สสวท.) และมูลนิธิ สอวน. ในส่วนที่คิดว่าจะส่งเสริมความรู้ ความเข้าใจ ทักษะและ
กระบวนการทางคณติ ศาสตร์ และประสบการณใ์ หก้ ับนักเรียนในค่ายโอลิมปิกวิชาการ ค่าย 1 ศูนย์โรงเรียน
ขยายผล สอวน. สาขาคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา ตลอดจนผ้สู นใจ ได้ตามสมควร

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปิกวชิ าการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 3

1.3 ลกั ษณะการศึกษาวชิ าเรขาคณิต

การศึกษาวิชาเรขาคณิต มีลักษณะเด่นในเร่ืองการพิสูจน์มากกว่าการคิดคานวณ ดังน้ันจึงนับว่า
เปน็ วชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตรท์ ่ีสาคญั โดยทั่วไปแลว้ ข้อความทจี่ ะพสิ ูจน์ในทางเรขาคณิตจะเป็นข้อความที่จัด
ให้อยู่ในรูป “ถ้า……..แล้ว………..” หรืออาจจะเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ทางตรรกศาสตร์ได้เป็น
“pq” และการพิสูจน์ข้อความดังกล่าวในทางตรรกศาสตร์สามารถพิสูจน์ได้ท้ังในทางตรงและโดย
ทางออ้ ม แต่ในทางเรขาคณติ ส่วนใหญ่เราจะพิสูจน์ในแบบทางตรง โดยถือว่า p เป็นเหตุ หรือส่ิงกาหนดให้
และ q เป็นผล หรือสิ่งท่ีต้องพิสูจน์ ส่ิงที่นามาอ้างอิงในการพิสูจน์ก็คือ อนิยาม นิยาม สัจพจน์ และ
ทฤษฎีบท ที่ทราบมาก่อน โดยนามาวิเคราะห์ร่วมกับส่ิงที่กาหนดให้เพ่ือนาไปสู่การประมวลผลว่า ผลหรือ
ส่ิงท่ีต้องพิสูจน์ น้ันเป็นจริง ซ่ึงถือว่าเป็นทักษะทางความคิดที่สาคัญ และแน่นอนท่ีสุด ทักษะดังกล่าวจะ
ได้รับการสง่ เสริมและพฒั นาไดต้ ้องอาศัยการฝกึ ฝนอยเู่ ป็นประจาดว้ ยใจรัก

เช่ือหรือไมว่ า่ ในตอนเป็นเดก็ ของเลน่ ที่ ไอน์สไตน์ ประทับใจทส่ี ุด สิ่งแรก คือ
......เข็มทิศ............และ ลาดับต่อมา กค็ ือ............เรขาคณติ .........น่ีเอง

1.4 ความรพู้ นื้ ฐาน

ความรู้พื้นฐานทางเรขาคณิตที่เรียนในระดับมัธยมศึกษา สรุปไว้เป็นหมวดหมู่ ในลักษณะของ
สจั พจน์ นยิ าม และทฤษฎบี ท โดยนักเรียนควรฝึกพสิ ูจน์ด้วยตวั เองให้ไดท้ ุกทฤษฎบี ท

1.4.1 สัจพจน์

สัจพจน์ (Postulates) คือส่ิงท่ียอมรับในวิชาเรขาคณิตว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ สัจพจน์ที่จะ
กล่าวต่อไปนี้ ขึ้นอยู่กับการสร้างทางเรขาคณิต เม่ือเกิดการค้นพบด้วยการสร้างทางเรขาคณิต เรามักจะ
ประจักษใ์ นเร่ืองเหลา่ นัน้ วา่ เปน็ จรงิ พิจารณาสจั พจน์ตอ่ ไปน้ี

1. มเี ส้นตรงเพยี งเส้นเดียวเท่าน้นั ที่ลากผา่ นจุดสองจุดทก่ี าหนดให้
2. ถา้ เส้นตรงสองเสน้ เดยี วตดั กัน แลว้ จะมีจุดตดั เพียงจุดเดียวเท่าน้นั
3. ปลายทัง้ สองของส่วนของเส้นตรง อาจถูกตอ่ ไปได้โดยไม่จากดั ความยาว
4. บรรดาเสน้ ทั้งหลายทีล่ ากเช่อื มจดุ สองจดุ สว่ นของเสน้ ตรงเปน็ เส้นทีส่ ัน้ ที่สดุ
5. สว่ นของเสน้ ตรงท่ีลากจากจดุ ภายนอกมาตงั้ ฉากกบั เส้นตรงเส้นหน่ึงยอ่ มมเี สน้ เดยี ว และเปน็

สว่ นของเสน้ ตรงท่ีส้นั ทสี่ ดุ ในบรรดาส่วนของเส้นตรงทั้งหลายที่ลากจากจดุ เดยี วกันมายัง
เส้นตรงเดียวกัน
6. ส่วนของเสน้ ตรงเส้นหนง่ึ มจี ุดกึ่งกลางได้เพยี งจุดเดยี วเท่านนั้
7. รูปเรขาคณติ ต่าง ๆ อาจทาให้เคล่ือนทไ่ี ปได้โดยรูปลักษณะและขนาดคงเดิม
8. ลากเสน้ ขนานผ่านจดุ จดุ หน่งึ และขนานกับเสน้ ที่กาหนดให้ไดเ้ พยี งเส้นเดยี วเท่านน้ั
9. ลากเสน้ แบ่งคร่ึงมุมไดเ้ พียงเส้นเดียวเทา่ น้นั
10. ถา้ มมุ สองมุมอยู่ในแนวเสน้ ตรงเดยี วกัน แลว้ มมุ ท้งั สองนน้ั เป็นมุมประกอบสองมมุ ฉาก
11. มมุ ทเ่ี ทา่ กนั ยอ่ มทับกันสนทิ
12. มุมฉากทกุ มมุ มุมตรงทกุ มุม ยอ่ มเทา่ กนั

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปิกวิชาการ ศนู ยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณิต 4

13. มมุ รอบจุดจุดหนึ่งรวมกนั ย่อมเป็นสองเทา่ ของมุมตรง หรือเปน็ สี่เทา่ ของมมุ ฉาก
14. รัศมีของวงกลมทเี่ ทา่ กัน ยอ่ มเทา่ กัน
15. เม่อื มจี ดุ หนึ่งซ่ึงถือเป็นจดุ ศนู ยก์ ลาง และส่วนของเสน้ ตรงท่ีกาหนดใหเ้ ป็นรศั มี ย่อมสร้าง

วงกลมไดเ้ พียงวงเดียวเทา่ นนั้

1.4.2 เส้นขนาน
บทนยิ าม เสน้ ตรงสองเส้นขนานกัน ก็ต่อเม่ือ เส้นตรงสองเสน้ อยบู่ นระนาบเดียวกัน และไม่ตัดกัน (ไม่ว่าจะ
ตอ่ ออกไปให้ยาวเท่าไรก็ตาม)
ทฤษฎีบท 1 ถ้าเสน้ ตรงสองเสน้ ตัดกัน แล้วขนาดของมุมตรงข้ามยอ่ มเท่ากนั

สจั พจน์ (สัจพจน์ขอ้ ท่ี 5 ของยูคลดิ ) เสน้ ตรงเสน้ หนง่ึ ตัดเส้นตรงคู่หน่ึง เส้นตรงคู่น้ันจะขนานกัน ก็ต่อเม่ือ
ขนาดของมมุ ภายในบนขา้ งเดยี วกันของเส้นตดั รวมกนั เท่ากบั 180 องศา

ทฤษฎบี ท 2 เม่ือเส้นตรงเสน้ หนึ่งตัดเสน้ ตรงคหู่ นง่ึ เส้นตรงคูน่ น้ั ขนานกนั ก็ต่อเมื่อ มมุ แย้งมีขนาดเทา่ กัน

ทฤษฎีบท 3 เมือ่ เส้นตรงเส้นหนง่ึ ตัดเสน้ ตรงค่หู นง่ึ เสน้ ตรงคู่น้นั เสน้ ขนานกนั ก็ต่อเมื่อ มมุ ภายนอกและ
ภายในท่ีอยตู่ รงข้ามบนข้างเดียวกนั ของเสน้ ตัดมีขนาดเท่ากัน

1.4.3 รูปสามเหลี่ยม
ทฤษฎบี ท 4 ขนาดของมมุ ภายในทัง้ สามมุมของรูปสามเหลย่ี มใด ๆ รวมกันเทา่ กับ 180 องศา

ทฤษฎีบท 5 ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหล่ียมใด ๆ จะเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในท่ีอยู่
ตรงขา้ มกับมุมภายนอก

สัจพจน์ รปู เรขาคณติ สามารถเคลอื่ นทไ่ี ด้

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปกิ วชิ าการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วิชา เรขาคณิต 5

บทนิยาม การเคล่ือนท่ีของรูปเรขาคณิต คือ การเปล่ียนตาแหน่งของรูปเรขาคณิตบนระนาบ โดยท่ี
ระยะหา่ งระหวา่ จุดสองจดุ ใด ๆ ของรูปน้นั ไม่เปล่ยี นแปลง
บทนิยาม รปู เรขาคณิตสองรูปเท่ากันทุกประการ ก็ต่อเมื่อ เคล่ือนท่ีรปู หน่ึงไปทบั อีกรูปหนง่ึ ไดส้ นิท
บทนิยาม รูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการ ก็ต่อเมื่อ ด้านคู่ท่ีสมนัยกันและมุมท่ีสมนัยกันของรูป
สามเหลย่ี มทง้ั สองรปู มขี นาดเท่ากันเป็นคู่ ๆ

ทฤษฎีบท 6 ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีด้านยาวเท่ากันสองคู่ และมุมในระหว่างด้านคู่ที่ยาวเท่ากันมีขนาด
เทา่ กนั แล้วรปู สามเหลีย่ มสองรูปนนั้ จะเท่ากันทุกประการ (ด.ม.ด.)

ทฤษฎีบท 7 ถ้ารูปสามเหล่ียมสองรูปมีมุมท่ีมีขนาดเท่ากันสองคู่ และด้านซ่ึงเป็นแขนร่วมของมุมทั้งสอง
ยาวเท่ากนั แลว้ รูปสามเหลย่ี มสองรูปน้นั จะเทา่ กนั ทกุ ประการ (ม.ด.ม.)

ทฤษฎีบท 8 ถ้ารูปสามเหล่ียมสองรูปมีมุมท่ีมีขนาดเท่ากันสองคู่ และมีด้านในลาดับเดียวกันเท่ากันด้าน
หน่ึง แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนัน้ จะเท่ากนั ทกุ ประการ (ม.ม.ด.)

ทฤษฎีบท 9 ถ้ารูปสามเหล่ียมสองรูปมีด้านยาวเท่ากันสามคู่ ด้านต่อด้าน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปน้ันจะ
เท่ากันทุกประการ (ด.ด.ด.)

ทฤษฎีบท 10 ถ้ารูปสามเหล่ียมมุมฉากสองรูปมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่ากัน และด้านประกอบมุมฉาก
ยาวเทา่ กนั หนงึ่ ดา้ น แล้วรปู สามเหลี่ยมสองรูปนนั้ จะเท่ากันทกุ ประการ (ฉ.ด.ด.)

บทนิยาม รูปสามเหลี่ยมใด ๆ เป็นรูปสามเหล่ียมหน้าจ่ัว ก็ต่อเมื่อ รูปสามเหลี่ยมนั้นมีด้านสองด้านยาว
เทา่ กนั

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วิชาการ ศูนย์โรงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 6

ทฤษฎีบท 11 ในรูปสามเหลยี่ มหน้าจว่ั มุมที่อยตู่ รงข้ามกบั ดา้ นท่ียาวเท่ากันย่อมกางเท่ากัน นั่นคือมุมที่ฐาน
ของรูปสามเหลี่ยมหน้าจ่ัวมขี นาดเท่ากนั

ทฤษฎบี ท 12 ในรูปสามเหลีย่ มหน้าจว่ั เสน้ แบง่ ครง่ึ มมุ ยอด จะแบ่งคร่ึงฐานและต้งั ฉากกับฐาน

ทฤษฎีบท 13 ในรูปสามเหล่ียมหน้าจั่ว เส้นที่ลากจากมุมยอดมาแบ่งคร่ึงฐาน จะแบ่งครึ่งมุมยอดและตั้ง
ฉากกับฐาน

ทฤษฎีบท 14 ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจ่ัว เส้นแบ่งครึ่งมุมยอด จะแบ่งรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วออกเป็นรูป
สามเหลยี่ มสองรูปที่เทา่ กันทกุ ประการ

สจั พจน์ ในรูปสามเหลย่ี มใดๆ ผลบวกของดา้ นสองดา้ น ย่อมยาวกวา่ ด้านทีส่ าม

ทฤษฎีบท 15 ในรูปสามเหล่ียมใด ๆ ด้านท่ีอยู่ตรงข้ามกับมุมท่ีมีขนาดใหญ่กว่า ย่อมยาวกว่าด้านที่อยู่ตรง
ขา้ มกบั มมุ ที่มีขนาดเล็กกวา่

ทฤษฎบี ท 16 ในรูปสามเหลย่ี มมุมฉากใด ๆ ดา้ นตรงขา้ มมุมฉากยอ่ มยาวท่สี ดุ

ทฤษฎีบท 17 ในรปู สามเหลยี่ มใด ๆ ส่วนสูงของรปู สามเหลีย่ มท้ังสามยอ่ มพบกันทีจ่ ุด ๆ หนงึ่

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปิกวชิ าการ ศูนยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 7

ทฤษฎีบท 18 ในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ เส้นตรงที่ต่อจุดกึ่งกลางของด้านสองด้านย่อมขนาน และยาวเป็น
ครง่ึ หนึ่งของดา้ นที่สามของรูปสามเหลยี่ มนั้น

บทนิยาม รูปสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน ก็ต่อเม่ือ รูปสามเหลี่ยมสองรูปน้ันมีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ ๆ
สามคู่

ทฤษฎีบท 19 ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีอัตราส่วนของความยาวด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่เป็นอัตราส่วนที่
เท่ากัน แลว้ รปู สามเหลยี่ มสองรปู น้นั เป็นรูปสามเหลยี่ มทค่ี ล้ายกัน

ทฤษฎบี ท 20 ถา้ รูปสามเหลี่ยมสองรปู มีมุมเท่ากันหน่ึงคู่ และอัตราส่วนของความยาวของด้านประกอบมุม
นนั้ เป็นอตั ราสว่ นทเ่ี ท่ากนั แล้วรปู สามเหล่ียมสองรูปนั้นเปน็ รูปสามเหล่ียมทค่ี ล้ายกัน

1.4.4 รปู ส่ีเหลยี่ มด้านขนาน
บทนยิ าม รปู สี่เหลีย่ มใด ๆ เป็นรปู สเี่ หลี่ยมดา้ นขนาน กต็ อ่ เมอ่ื รูปสเี่ หลีย่ มน้นั มีดา้ นขนานกันสองคู่

ทฤษฎบี ท 21 ถา้ รูปสีเ่ หลยี่ มรูปหน่ึงมดี า้ นตรงข้ามยาวเทา่ กันทง้ั สองคู่ แลว้ รูปสเ่ี หลี่ยมน้ันย่อมเป็นส่ีเหล่ียม
ดา้ นขนาน

ทฤษฎบี ท 22 ดา้ นและมมุ ท่อี ยู่ตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานย่อมมีขนาดเทา่ กัน

ทฤษฎบี ท 23 เสน้ ทแยงมมุ ของรูปสเี่ หลีย่ มดา้ นขนานย่อมแบง่ ครง่ึ ซึง่ กนั และกัน

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปิกวชิ าการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณติ 8
ทฤษฎีบท 24 ผลบวกของมมุ ภายในของรปู ส่เี หลีย่ มใด ๆ ยอ่ มเทา่ กับ 360 องศา

ทฤษฎบี ท 25 เส้นทแยงมมุ ของรูปสี่เหลีย่ มด้านเท่ายอ่ มต้ังฉากกัน

ทฤษฎบี ท 26 ถ้าเสน้ ขนานสามเสน้ แบง่ ส่วนของเสน้ ตดั ขวางเส้นหน่ึงเป็นระยะทางเท่ากัน แล้วเส้นขนานต
สามเส้นน้ัน จะแบง่ เส้นตดั ขวางทุกเสน้ เป็นระยะทางที่เท่ากนั

ทฤษฎบี ท 27 พื้นทข่ี องรปู สเี่ หลี่ยมผนื ผ้า เท่ากับ ความกวา้ งคณู ความยาว

ทฤษฎบี ท 28 พ้นื ทขี่ องรปู สเี่ หล่ยี มด้านขนาน เทา่ กบั ความสูงคูณความยาวฐาน

ทฤษฎีบท 29 พื้นทขี่ องรูปสามเหลย่ี ม เท่ากบั คร่ึงหนึง่ ของผลคณู ของความสงู กบั ความยาวฐาน

ทฤษฎบี ท 30 (Pythagoras Theorem) ในรปู สามเหลย่ี มมุมฉากใด ๆ พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้าม
มมุ ฉากยอ่ มเทา่ กับผลบวกของพ้นื ท่สี เี่ หลย่ี มจตั ุรสั บนดา้ นประกอบมุมฉาก

1.4.5 วงกลม
บทนิยาม วงกลม หมายถึง ทางเดินของจดุ ทกุ จุดบนระนาบซึ่งอยหู่ า่ งจากจดุ คงที่จดุ หน่งึ เป็นระยะทางคงตัว

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปิกวิชาการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 9

ทฤษฎีบท 31 ถ้าลากส่วนของเส้นตรงจากจุดศูนย์กลางของวงกลมไปตั้งฉากกับคอร์ดใด ๆ แล้วส่วนของ
เสน้ ตรงนัน้ ยอ่ มแบง่ ครึ่งคอรด์

ทฤษฎีบท 32 ถ้าลากส่วนของเส้นตรงผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมไปแบ่งครึ่งคอร์ดใด ๆ แล้วส่วนของ
เสน้ ตรงน้ันยอ่ มตัง้ ฉากกับคอรด์

ทฤษฎบี ท 33 ในวงกลมวงหนงึ่ คอร์ดท่ยี าวเทา่ กันยอ่ มอยู่หา่ งจากจดุ ศูนยก์ ลางเปน็ ระยะทางเทา่ กนั

ทฤษฎบี ท 34 ในวงกลมวงหนึ่ง คอร์ดทอ่ี ยหู่ า่ งจากจุดศูนย์กลางเปน็ ระยะทางเท่ากัน ย่อมยาวเทา่ กัน

ทฤษฎีบท 35 มมุ ในครึง่ วงกลมเป็นมุมฉาก

ทฤษฎบี ท 36 มุมที่จดุ ศนู ย์กลางของวงกลม จะมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของมุมในส่วนโค้งของวงกลม
ทรี่ องรับด้วยสว่ นโคง้ เดียวกัน

ทฤษฎีบท 37 ในวงกลมที่เท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน ถ้ามุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาดเท่ากัน แล้วส่วนโค้งของ
วงกลมทร่ี องรบั มมุ ทจี่ ดุ ศูนยก์ ลางนั้น จะยาวเทา่ กัน

ทฤษฎีบท 38 ในวงกลมที่เท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน ถ้ามุมในส่วนโค้งของวงกลมขนาดเท่ากัน แล้วส่วน
โคง้ ของวงกลมทร่ี องรับมมุ ท้ังสองนน้ั จะยาวเทา่ กัน

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปิกวิชาการ ศนู ยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณิต 10

ทฤษฎีบท 39 ในวงกลมท่ีเท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน ถ้าส่วนโค้งของวงกลมยาวเท่ากัน แล้วมุมที่จุด
ศูนยก์ ลางที่รองรบั ด้วยส่วนโคง้ นัน้ จะมีขนาดเทา่ กัน

ทฤษฎีบท 40 ในวงกลมที่เท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน ถ้าส่วนโค้งของวงกลมยาวเท่ากัน แล้วมุมในส่วนโค้ง
ของวงกลมทรี่ องรับดว้ ยสว่ นโค้งนั้น จะมขี นาดเท่ากัน

ทฤษฎีบท 41 ในวงกลมเดียวกัน มมุ ในส่วนโคง้ ของวงกลมทร่ี องรับด้วยสว่ นโคง้ เดียวกนั จะมขี นาดเท่ากัน

บทนยิ าม รูปสี่เหลย่ี มแนบในวงกลม หมายถงึ รูปสี่เหลย่ี มที่มีจดุ ยอดอยูบ่ นเส้นรอบวงของวงกลมเดยี วกัน

ทฤษฎีบท 42 ผลบวกของขนาดของมุมตรงข้ามของรูปสเ่ี หลี่ยมทแี่ นบในวงกลมเทา่ กับ 180 องศา

ทฤษฎีบท 43 ถ้ารูปส่ีเหลี่ยมใด ๆ มีผลบวกของขนาดของมุมตรงข้ามเท่ากับสองมุมฉาก แล้วรูปส่ีเหล่ียม
นนั้ แนบในวงกลม

ทฤษฎีบท 44 เส้นสัมผสั ของวงกลม จะตงั้ ฉากกับรัศมขี องวงกลมทจ่ี ุดสัมผัส

ทฤษฎีบท 45 ถ้าลากส่วนของเส้นตรงจากจุดภายนอกของวงกลมมาสัมผัสวงกลมเดียวกัน จะลากได้เพียง
สองเสน้ เส้นสมั ผัสสองเสน้ นนั้ จะยาวเท่ากัน และรองรบั มมุ ท่ีจุดศูนยก์ ลางท่มี ขี นาดเท่ากัน

ทฤษฎบี ท 46 มุมทีเ่ กดิ ขึ้นจากคอร์ดและเสน้ สมั ผัสของวงกลมที่จุดสัมผัส จะมีขนาดเท่ากับขนาดของมุมใน
ส่วนโคง้ ของวงกลมท่อี ยู่ตรงข้ามกับคอร์ดน้ัน

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปิกวิชาการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณติ 11

2. การสร้าง (Construction)

การสร้างในวิชาเรขาคณิตเป็นการสร้างรูปเรขาคณิตตามเง่ือนไขที่โจทย์กาหนดมาให้ ซึ่งจะแยก
รายละเอียดของการสร้าง ดังน้ี
1. การสร้างเกี่ยวกับเสน้ และมุม
บทสร้าง 1.1 การสรา้ งสว่ นของเส้นตรงให้เท่ากบั สว่ นของเสน้ ตรงทก่ี าหนดให้

บทสร้าง 1.2 การสรา้ งมุมใCห้เท่ากับมุมท่กี าหนดให้ P
Y

A XB Q E R

กาหนดให้ CAˆB จะตอ้ งสรา้ ง PQˆR ให้เทา่ กับ CAˆB

วธิ ีสร้าง 1. ลาก QR

2. ใช้ A เปน็ จุดศูนย์กลางรัศมพี อสมควร เขยี นส่วนโคง้ ตัด AB และ AC ที่ X และ Y

3. ใช้ Q เปน็ จุดศูนยก์ ลางรัศมเี ท่าเดิมเขียนส่วนโค้งตดั QR ทจ่ี ดุ E

4. ใช้ E เป็นจดุ ศูนยก์ ลางรศั มี XY เขียนสว่ นโค้งตัดสว่ นโคง้ ในข้อ 3 ท่จี ุด P ลาก QP

เพราะฉะนน้ั จะได้ PQˆR เทา่ กับ CAˆB ตามต้องการ

การพสิ ูจน์ ลาก XY และ EP

จะได้ AXY  QEP (ด.ด.ด)

ดงั นั้น PQˆR = CAˆB

บทสรา้ ง 1.3 การแบง่ ครึ่งสว่ นของเสน้ ตรง AB เป็นส่วนของเส้นตรง
P กาหนดให้

จะตอ้ ง แบ่งครง่ึ สว่ นของเส้นตรง AB

A O วธิ ีสรา้ ง 1. ใช้ A และ B เปน็ จดุ ศนู ย์กลาง รศั มยี าวเทา่ กนั
B เขียนสว่ นโค้งตัดกนั ท้ังสองข้างของ AB ที่จุด P และ Q

2. ลาก PQ ตัด AB ที่ O

การพสิ ูจน์ ดังน้นั O เปน็ จุดแบง่ ครงึ่ เส้นตรงตามต้องการ
Q
ลาก PA , PB และ QA , QB

จะได้ APQ  BPQ เพราะ AP = BP , AQ = BQ , PQ = PQ (ด.ด.ด)

ฉะนัน้ APˆO = BPˆQ

ดงั นนั้ AO = BO แสดงว่า จุด O แบ่งครึง่ ส่วนของเส้นตรง AB

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปิกวชิ าการ ศนู ยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 12

บทสรา้ ง 1.4 การแบ่งครึ่งมมุ ท่กี าหนดให้ กาหนดให้ BAˆC
B จะต้อง แบง่ คร่งึ BAˆC

PO

A QC

วธิ สี ร้าง 1. ใช้ A เป็นจุดศนู ยก์ ลาง รัศมพี อสมควรเขยี นส่วนโคง้ ตดั AB ท่ี P และตดั AC ท่ี Q

2. ใช้ P และ Q ผลดั กันเปน็ จุดศนู ยก์ ลางเขยี นส่วนโค้งตดั กนั ท่จี ดุ O

3. ลาก AO

ดังนั้น AO เป็นเส้นแบง่ ครงึ่ BAˆC ตามต้องการ

การพิสจู น์ ลาก OP, OQ ใน AOP และ  AOQ

จะได้ AP = AQ รัศมขี องวงกลมเดยี วกัน

OP = OQ รศั มีของวงกลมเดยี วกนั

AO = AO ด้านรว่ ม

เพราะฉะน้นั AOP  AOQ (ด.ด.ด)
จะได้ OAˆP = OAˆQ

บทสร้าง 1.5 การสร้างเสน้ ต้ังฉากจากจุดภายในเส้นตรง

O กาหนดให้ เสน้ ตรง AB และ P เป็นจุดในเส้นตรง AB
จะตอ้ ง ลากเส้นตรงจาก P ใหต้ ง้ั ฉากกับเส้นตรง AB

วิธีสร้าง 1. ใช้ P เปน็ จุดศนู ยก์ ลาง รัศมพี อสมควร

เขยี นส่วนโคง้ ตัดเสน้ ตรง AB ท่ี Q และ R

AQP R B 2. ใช้ Q และ R ผลดั กันเปน็ จุดศนู ยก์ ลาง รัศมี
เท่ากนั เขียนสว่ นโคง้ ตัดกันท่ีจดุ O

3. ลาก OP ดังน้ัน OP ต้งั ฉากกับเส้นตรง AB

การพิสูจน์ ลาก OQ และ OR จะได้ POQ  POR (ด.ด.ด)

ฉะน้นั OPˆQ = OPˆR ดังน้นั OP ตั้งฉากกบั เสน้ ตรง AB

บทสรา้ ง 1.6 การสร้างเส้นตงั้ ฉากจากจดุ ภายนอกเสน้ ตรง
P กาหนดให้ เสน้ ตรง AB และจดุ P เป็นจุดนอกเสน้ ตรง AB

จะต้อง ลากเสน้ ตรงจาก P ไปต้ังฉากกับเสน้ ตรง AB

วธิ ีสร้าง 1. ใช้ P เปน็ จุดศนู ย์กลาง รศั มียาวพอทจี่ ะเขียน

A O RB สว่ นโค้งตัดเส้นตรง AB ท่ี Q และ R
Q 2. ใช้ Q และ R ผลัดกันเปน็ จดุ ศูนยก์ ลางรัศมี

เทา่ กนั เขยี นสว่ นโค้งตัดกนั ท่ีจดุ S ซ่ึงเปน็

S อกี ข้างหนงึ่ ของเส้นตรง AB ตรงข้ามกับ P
3. ลาก PS ตดั AB ท่ี O ดงั น้ัน PO ตัง้ ฉาก AB

การพสิ จู น์ แบบฝกึ หัด

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลิมปกิ วิชาการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วิชา เรขาคณติ 13
บทสร้าง 1.7 การสรา้ งเส้นตรงให้ขนานกบั เส้นตรงท่ีกาหนดให้และผ่านจดุ ท่ีกาหนดให้

Q P

A B
กาหนดให้
จะต้อง P เปน็ จดุ นอกเส้นตรง AB
วธิ ีสรา้ ง ลากเสน้ ผา่ นจุด P ให้ขนานกับเสน้ ตรง AB
1. ลาก AP
การพิสูจน์ 2. ท่ี P สรา้ ง APˆQ ให้เท่ากบั PAˆB
ดังนั้น เสน้ ตรง PQ ผา่ นจุด P และขนานกบั เส้นตรง AB ตามต้องการ
เนอ่ื งจาก APˆQ = PAˆB โดยการสรา้ ง
เพราะฉะนนั้ PQ // AB มมุ แยง้ ท่ีเกดิ จากเส้นตัดเสน้ ตรงคู่หน่งึ มีขนาดเท่ากัน

เสน้ ตรงคูน่ ้นั ย่อมขนานกนั

บทสร้าง 1.8 การแบง่ สว่ นของเส้นตรงออกเปน็ สว่ น ๆ เทา่ กัน B
A

กาหนดให้ AB เป็นส่วนของเส้นตรง
จะต้อง แบ่งสว่ นของเสน้ ตรง AB ออกเปน็ ….. สว่ นเทา่ ๆ กัน
วิธีสรา้ ง

การพสิ จู น์

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปกิ วิชาการ ศนู ยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณติ 14

2. การสรา้ งเกีย่ วกบั รปู สามเหล่ียม
บทสรา้ ง 2.1 การสร้างรูปสามเหลี่ยม เม่อื กาหนดด้านมาให้สามด้าน

a
b
c

บทสร้าง 2.2 การสรา้ งรปู สามเหล่ยี ม เมือ่ กาหนดมุมหน่ึงมุม และด้านสองด้าน
a
b

k

บทสรา้ ง 2.3 การสร้างรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก เมื่อกาหนดด้านตรงข้ามมมุ ฉาก และด้านประกอบมุมฉาก
หน่งึ ดา้ น

a
b

บทสรา้ ง 2.4 การสรา้ งรูปสามเหลี่ยมหนา้ จ่วั ใหม้ มี ุมทฐี่ านมีขนาดเปน็ สองเทา่ ของมุมยอด

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปกิ วชิ าการ ศูนย์โรงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณติ 15

3. การสรา้ งเกยี่ วกับรูปส่ีเหลี่ยม
บทสร้าaง 3.1 การสร้างรูปสเ่ี หลยี่ ม เมือ่ กาหนดดา้ นส่ดี ้าน และมมุ หนึง่ มุม

b
c
d

k

บทสรา้ ง 3.2 การสร้างรูปสีเ่ หล่ียมดา้ นขนาน เม่ือกาหนดดา้ นประชดิ และมมุ ระหว่างดา้ นท้งั สอง
a
b

k

บทสร้าง 3.3 การสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรสั บนด้านทีก่ าหนดให้

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปิกวชิ าการ ศนู ยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณติ 16

4. การสร้างเกยี่ วกบั พ้ืนที่
บทสร้าง 4.1 การสร้างรปู สี่เหล่ยี มดา้ นขนานใหม้ ีพ้ืนทเ่ี ทา่ กบั พืน้ ทีข่ องรูปสามเหล่ยี ม โดยกาหนดมมุ มาให้

บทสร้าง 4.2 การสรา้ งรปู สามเหลี่ยมให้มีพ้ืนที่เทา่ กับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมที่กาหนดให้

บทสร้าง 4.3 การสรา้ งรูปสเี่ หล่ยี มด้านขนานใหม้ พี นื้ ทเี่ ทา่ กบั พื้นทขี่ องรูปสเี่ หล่ียมท่ีกาหนดให้ และมีมุมมุม
หนึ่งเทา่ กบั มุมทีก่ าหนดให้

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปกิ วชิ าการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 17

บทสร้าง 4.4 การสรา้ งรูปส่ีเหลี่ยมจตั รุ ัสใหม้ พี น้ื ท่เี ป็น n เท่า ของพืน้ ทร่ี ูปสเ่ี หลย่ี มจัตุรสั ที่กาหนดให้

บทสรา้ ง 4.5 การสร้างรูปสเ่ี หล่ยี มจัตุรัสใหม้ พี ้ืนเท่ากับพนื้ ทร่ี ูปส่ีเหลย่ี มผนื ผา้ ที่กาหนดให้

บทสร้าง 4.6 การแบ่งส่วนของเส้นตรงท่ีกาหนดให้ โดยพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าท่ีประกอบด้วยส่วนทั้งหมด
และส่วนแบง่ สว่ นหนง่ึ เทา่ กบั พ้นื ที่รปู ส่เี หลี่ยมจัตุรสั บนส่วนแบ่งอีกส่วนหนง่ึ

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วิชาการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณติ 18

5. การสร้างเกี่ยวกับวงกลม

บทสร้าง 5.1 การหาจดุ ศนู ย์กลางของวงกลม เม่อื กาหนดวงกลมวงหน่ึง หรือส่วนโค้งของวงกลม
บทสร้าง 5.2 การแบ่งคร่ึงส่วนโคง้ ที่กาหนดให้
บทสรา้ ง 5.3 การลากเสน้ สัมผสั วงกลมจากจุดภายนอกวงกลม
บทสร้าง 5.4 การลากเสน้ สัมผสั ร่วม ใหส้ ัมผัสวงกลมสองวง
บทสรา้ ง 5.5 การสร้างสว่ นของวงกลมบนเส้นตรงที่กาหนดให้ และมมี ุมมุมหนง่ึ เท่ากับมมุ ทก่ี าหนดให้
บทสร้าง 5.6 การสร้างวงกลมแนบนอกรปู สามเหลี่ยมทก่ี าหนดให้
บทสร้าง 5.7 การสร้างวงกลมแนบในรูปสามเหลีย่ มท่กี าหนดให้
บทสร้าง 5.8 การสรา้ งวงกลมแนบนอกรูปสามเหลี่ยมทีก่ าหนดให้
บทสรา้ ง 5.9 การสรา้ งรปู สามเหลี่ยมแนบในวงกลม ใหม้ ีมุมเท่ากับมุมของรปู สามเหล่ยี มที่กาหนดให้
บทสรา้ ง 5.10 การสรา้ งรปู สามเหลีย่ มแนบนอกวงกลม ใหม้ มี ุมเท่ากับมุมของรูปสามเหลยี่ มที่กาหนดให้
บทสรา้ ง 5.11 การสรา้ งรปู หลายเหลยี่ มปกติ (Regular polygon) แนบในและแนบนอกวงกลมท่ีกาหนดให้
บทสร้าง 5.12 การสรา้ งรูปวงกลมแนบในและแนบนอกรูปหลายเหลย่ี มปกตทิ ่ีกาหนดให้

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปิกวิชาการ ศนู ยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 19

แบบฝึกหดั เร่ือง การสรา้ ง

1. กาหนด AB เป็นส่วนของเส้นตรงใด ๆ จงแบ่ง AB เป็นสองส่วนที่จุด P โดยให้ AP = (2/3)AB และ
เขียนวธิ สี รา้ ง

2. จงใช้วงเวียนและสันตรงสร้างรูปสามเหลี่ยม ABC ให้ AB = a, BAˆC = 52.5 และ ABˆC = 45 และ
เขยี นวธิ ีสรา้ ง

3. จงใชว้ งเวียนและสนั ตรงสรา้ งรูปส่เี หลี่ยมด้านขนานให้ฐานยาว a เซนติเมตร สูง b เซนติเมตร และมุมที่
ฐานมุมหน่ึงมีขนาดเท่ากับ 75

4. กาหนด สว่ นของเส้นตรง a, b และมมุ k จงสรา้ งรปู สามเหล่ยี มทม่ี มี มุ มมุ หน่งึ มขี นาดเทา่ กับครึ่งหน่ึงของ
ขนาดมมุ k ดา้ นที่ประชดิ มุมท่ีสรา้ งยาวเท่ากบั a หนว่ ย และ b หน่วยตามลาดบั

5. กาหนดขนาดของมุม k จงสร้างรูปสามเหลี่ยม ABC ท่ี ABˆC = k จุด E อยู่บน AC โดย BE แบ่งครึ่ง
ABˆC , BE = a หน่วย และ AB = b หน่วย

6. กาหนดรูปสามเหล่ยี ม ABC จงสร้างรปู สามเหลี่ยม XYZ ให้มี XY=AB+BC, XYˆZ=2(ABˆC) และ YZ=BC
7. กาหนดรูปสามเหล่ียมมุมฉาก PQR จงสร้างรูปสามเหล่ียมหน้าจ่ัวท่ีมีด้านประกอบมุมยอดเท่ากับ PR

และฐานยาวเปน็ สองเท่าของ QR
8. จงสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC ท่ีมี AB เป็นฐาน BAˆC = k มัธยฐานท่ีลากจากจุด C มายัง AB

ยาว a หน่วย และมีความสูง b หน่วย
9. กาหนดใหเ้ ส้นตรง a, b และมมุ k จงสรา้ งรปู ส่เี หลีย่ มดา้ นขนาน ABCD ใหม้ ี AB = a, BC = b และ Aˆ =Kˆ
10. จงสร้างรูปสี่เหล่ยี มด้านขนาน ABCD ให้ AB = a เส้นทแยงมมุ AC = b เสน้ ทแยงมุม BD = c
11. จงสรา้ งรูปสเี่ หลย่ี มขนมเปียกปนู ABCD ให้เสน้ ทแยงมุม AC = p เส้นทแยงมุม BD = q
12. จงสร้างรปู ส่เี หลย่ี มคางหมู ABCD ให้ AB // CD, Bˆ =Kˆ , AB = a, BC = b, CD = c
13. จงสรา้ งรปู หา้ เหลีย่ มให้มีพน้ื ที่เท่ากับพนื้ ทขี่ องรปู หกเหล่ียม ABCDEF ที่กาหนดให้

14. จงสรา้ งรปู สามเหล่ียมให้มีพนื้ ทเี่ ทา่ กบั พ้ืนทีข่ องรูปห้าเหลี่ยม ABCDE ท่กี าหนดให้
15. จงสร้างรปู สี่เหลี่ยมผนื ผ้าให้มีพื้นทเี่ ทา่ กับพืน้ ท่ีของรูปส่ีเหลยี่ ม ABCD ทีก่ าหนดให้
16. จงสรา้ งรปู สามเหล่ยี มให้มพี น้ื ทเี่ ทา่ กบั พน้ื ท่ขี องรปู หกเหล่ยี ม ABCDEF ทกี่ าหนดให้
17. จงสร้างรปู สีเ่ หล่ียมผืนผา้ ให้มีพื้นทเ่ี ท่ากบั พ้นื ท่ีของรูปหกเหลี่ยม ABCDEF ที่กาหนดให้
18. จงสร้างรูปส่เี หลย่ี มด้านขนานให้มพี นื้ ท่เี ป็นสองในสามของพื้นท่ขี องรปู สามเหลีย่ ม ABC ที่กาหนดให้
19. จงสรา้ งรูปสเ่ี หลี่ยมด้านขนานซ่ึงมีดา้ นหน่ึงเท่ากับส่วนของเส้นตรงทก่ี าหนดให้ มมี ุมมมุ หนงึ่ เทา่ กบั มุมที่

กาหนดให้และมีพ้ืนท่ีเท่ากบั พื้นท่ีของรูปสามเหลี่ยมที่กาหนดให้
20. จงสรา้ งรปู สเ่ี หลย่ี มดา้ นขนานใหม้ พี ้นื ท่ีเท่ากับรูปหา้ เหล่ียมทกี่ าหนดให้และมีมุมมุมหนงึ่ เทา่ กบั มุมท่ี

กาหนดให้
21. จงสร้างรปู สามเหลยี่ มที่บรรจุภายในวงกลมให้มีมมุ เท่ากับรปู สามเหล่ยี มท่กี าหนดให้
22. จงสรา้ งรปู สามเหล่ยี มลอ้ มรอบวงกลมใหม้ มี ุมเทา่ กบั รปู สามเหล่ยี มที่กาหนดให้

23. จงสรา้ งรูปสามเหลีย่ มหน้าจว่ั ใหม้ พี ้ืนทเี่ ทา่ กับรปู สามเหลี่ยมทกี่ าหนดให้ ฐานอยูใ่ นแนวเส้นตรงเดียวกัน
กบั ฐานของรปู สามเหลย่ี มทก่ี าหนดให้และจดุ ยอดอยู่ท่ีจุดจุดหนึ่ง

24. จงสร้างรูปสีเ่ หล่ียมดา้ นขนานซ่ึงมดี า้ นหน่งึ เท่ากับส่วนของเสน้ ตรงท่ีกาหนดให้ และมพี นื้ ท่ีเทา่ กบั พ้ืนที่
ของรปู สามเหล่ียมที่กาหนดให้

25. จงสรา้ งรูปส่ีเหลีย่ มดา้ นขนานให้มีพน้ื ท่ีเทา่ กบั พ้ืนท่ีของรูปห้าเหล่ยี มทีก่ าหนดให้ และมมี ุมมมุ หนง่ึ เท่ากับ
มมุ ที่กาหนดให้

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลิมปกิ วชิ าการ ศูนย์โรงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณติ 20

3. รปู สามเหลย่ี มและความคล้าย

รูปสามเหลี่ยมถือว่าเป็นพ้ืนฐานในการศึกษารูปหลายเหลี่ยมอื่น ๆ เช่นการหาผลบวกของมุม
ภายใน และพื้นท่ีของรูปหลายเหลี่ยม เราสามารถหาได้โดยการลากเส้นทแยงมุมที่ไม่ตัดกันเพ่ือแบ่งย่อย
เป็นรูปสามเหล่ียม แล้วก็สามารถแก้ปัญหาได้ นอกจากนั้นปัญหาต่าง ๆ ในทางธรรมชาติก็เกี่ยวข้องกับรูป
สามเหล่ยี มมากมาย เช่น ทฤษฎีบทของพีทาโกรัส การหาจุดรวมมวลและอ่ืน ๆ ในหัวข้อน้ีเราจะเน้นศึกษา
สมบัตพิ ้นื ฐานของรปู สามเหลย่ี ม ส่วนปญั หาตา่ ง ๆ ท่กี าลังเป็นทีส่ นใจในปจั จบุ ันจะศกึ ษาในค่าย 2 ต่อไป

สมบัติและทฤษฎบี ททีส่ าคญั เก่ยี วกบั รูปสามเหลี่ยม
ทฤษฎีบท 3.1 ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลบวก
ของพน้ื ทีร่ ปู ส่เี หลี่ยมจตั รุ ัสบนด้านประกอบมุมฉาก (ทฤษฎีบทของพที าโกรัส)

ทฤษฎบี ทของพีทาโกรัส ถือได้ว่าเป็นทฤษฎีบทท่ีมีชื่อเสียงท่ีสุดทฤษฎีหน่ึงในวิชาเรขาคณิต และมี
ผูเ้ สนอวธิ กี ารพสิ ูจน์มากมาย แต่ในทนี่ ี้เราจะนามากล่าวพอสงั เขป
การพสิ จู น์ (1)

การพสิ จู น์ (2)
ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปิกวชิ าการ ศนู ยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วิชา เรขาคณติ 21

ทฤษฎีบท 3.2 ในรูปสามเหล่ียมใด ๆ ถ้าพ้ืนที่รูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลบวกของ
พนื้ ท่ีรปู สีเ่ หล่ยี มจัตุรัสบนดา้ นประกอบมุมฉากแล้ว รูปสามเหล่ียมรูปนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (บทกลับ
ทฤษฎบี ทของพีทาโกรัส)

ทฤษฎบี ท 3.3 ในรปู สามเหล่ียมมมุ ป้าน พ้ืนที่รูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมป้าน เท่ากับผลบวกของ
พืน้ ท่ีรปู สเ่ี หลย่ี มจตั ุรัสบนด้านทีป่ ระกอบมมุ ป้าน กับสองเท่าของพ้ืนท่ีรูปส่ีเหลี่ยมผืนผ้าที่ประกอบด้วยด้าน
หน่งึ ด้านใดในสองดา้ นน้ีกบั ภาพฉาย (projection) ของอีกด้านหนงึ่

ทฤษฎีบท 3.4 ในรูปสามเหล่ียมมุมแหลม พื้นท่ีรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมแหลม เท่ากับผลบวก
ของพื้นท่ีรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสบนด้านท่ีประกอบมุมแหลม ลบด้วยสองเท่าของพื้นที่รูปส่ีเหลี่ยมผืนผ้า ท่ี
ประกอบดว้ ยดา้ นหนึง่ ด้านใดในสองด้านน้ี กบั ภาพฉายของอกี ด้านหนงึ่

ทฤษฎบี ท 3.5 ในรปู สามเหล่ียมใด ๆ ผลบวกของพื้นท่ีรูปสีเ่ หลย่ี มจตั ุรสั บนดา้ นสองดา้ นเทา่ กับสองเท่าของ
พน้ื ที่รปู สี่เหล่ยี มจัตรุ สั บนคร่งึ หน่งึ ของด้านที่สามรวมกับสองเทา่ ของพืน้ ท่ีรูปสีเ่ หลย่ี มจัตรุ สั บนเสน้ มัธยฐาน

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลิมปิกวชิ าการ ศูนย์โรงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 22

ทฤษฎบี ทเกี่ยวกับสดั ส่วน
ทฤษฎีบท 3.5 ส่วนของเส้นตรงซึ่งลากขนานกับด้านด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม จะแบ่งด้านที่เหลือ
ออกเปน็ สดั ส่วนกัน

ทฤษฎีบท 3.6 ถ้าส่วนของเส้นตรงเส้นหน่ึงตัดด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งออกเป็นสัดส่วนกัน
แล้ว สว่ นของเสน้ ตรงน้ันจะขนานกับดา้ นที่สาม (บทกลบั ทฤษฎบี ท 3.5)

ทฤษฎีบท 3.7 ส่วนของเส้นตรงซ่ึงลากแบ่งคร่ึงมุมภายในหรือมุมภายนอกของรูปสามเหล่ียมที่ลากมาพบ
ฐานภายในหรอื ฐานภายนอก จะแบ่งฐานออกเปน็ อตั ราสว่ นทเี่ ทา่ กับอัตราสว่ นของด้านท่เี หลืออีกสองดา้ น

ทฤษฎีบท 3.8 สาหรับรปู สามเหลีย่ ม ABC ถา้ แบ่งด้าน BC ภายในหรือภายนอกทจ่ี ุด X โดยทาให้
BX : XC = BA : AC แล้ว BAˆX = XAˆC (บทกลับทฤษฎีบท 3.7)

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วชิ าการ ศูนยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณติ 23

ความคล้าย
บทนิยาม รูปสามเหลี่ยมสองรูปคลา้ ยกนั ก็ต่อเมื่อ รปู สามเหลย่ี มสองรปู นน้ั มีขนาดของมุมเทา่ กนั เปน็ คู่ ๆ
สามคู่
ทฤษฎบี ท 3.9 ถ้ารปู สามเหลี่ยมสองรปู มีมุมสามมมุ เท่ากนั มุมต่อมมุ แลว้ ด้านที่สมนัยกนั เป็นสดั ส่วนกนั

ทฤษฎีบท 3.10 ถ้ารูปสามเหลย่ี มสองรูปมดี า้ นที่สมนัยกันเปน็ สัดสว่ นกัน แลว้ รูปสามเหลยี่ มค่นู ้นั จะมีมมุ ท่ี
อยตู่ รงข้ามด้านทส่ี มนยั กนั เท่ากนั มุมต่อมุม

ทฤษฎีบท 3.11 ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมมุมหนึ่งเท่ากันและด้านประกอบมุมเท่าเป็นสัดส่วนกัน แล้ว
รปู สามเหลย่ี มสองรูปนคี้ ล้ายกัน

ทฤษฎีบท 3.12 ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมเท่ากันมุมหนึ่ง และด้านประกอบมุมอีกมุมหนึ่งท่ีสมนัยกัน
เปน็ สัดส่วนกัน แล้วมมุ ท่ีสามจะเท่ากนั หรือเปน็ มุมประกอบมมุ ฉาก (ในกรณแี รกรูปสามเหลย่ี มจะคล้ายกนั )

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปกิ วิชาการ ศนู ยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณติ 24

ทฤษฎีบท 3.13 ในรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ถ้าลากส่วนของเส้นตรงจากจุดยอดไปต้ังฉากกับด้านตรงข้าม
มมุ ฉาก แลว้ รปู สามเหล่ียมทเ่ี กดิ ข้นึ ทัง้ สองรูปคล้ายกันและคลา้ ยกับรปู เดิมดว้ ย

ทฤษฎีบท 3.14 ถ้ารูปสามเหล่ียมสองรูปมีมุมหนึ่งเท่ากัน แล้วพื้นท่ีรูปสามเหลี่ยมคู่นี้จะเป็นสัดส่วนกับ
พน้ื ท่รี ปู สเี่ หล่ียมผืนผ้าท่ีประกอบด้วยด้านสองดา้ นท่ีประกอบมุมเท่านั้น

ทฤษฎบี ท 3.15 พ้นื ท่รี ปู สามเหล่ียมคลา้ ยเปน็ สัดสว่ นกบั พน้ื ท่รี ูปสีเ่ หลี่ยมจัตรุ ัสบนด้านทสี่ มนัยกนั

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปิกวชิ าการ ศูนย์โรงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณติ 25

แบบฝกึ หัด เรอ่ื ง รปู สามเหลยี่ มและความคล้าย

1. จากรปู ท่ีกาหนดให้ ADˆB = ACˆD และ AD = DC

C ดา้ นท่เี ทา่ กนั อีกคู่คือ.................................
#
AC = AB และ ABD = AD2
B AD ADC
A #D

2. จากรูปทีก่ าหนดให้ NM ขนาน BC และ NL ขนานกับ AC จงพสิ จู น์ว่า ANM  NBL
AN 2
กาหนดให้ NB = 3 จงหา A

ก. อัตราสว่ นพ้ืนท่ขี อง ANM : NBL N
NM X M
ข. BC

ค. อตั ราสว่ นพน้ื ท่ีของ BNMC :  ABC B LC
NX
ง. MC

3. จากรปู ที่กาหนดให้ DAˆB= CBˆA =90° ตอ่ CB ไปถงึ จดุ F โดยที่ BC = BF ลาก DF ตดั AB ทจี่ ดุ E
D
ถา้ EC = 5 เซนตเิ มตร และ ED = 10 เซนติเมตร

ก. จงหาความยาวของ DF

ข. ถ้ากาหนดให้ CED = 12.5 ตารางเซนติเมตร จงแสดงว่า DEˆC = 30 C
ค. จาก ข. จงหาความยาวของ CD

ง. จงพสิ ูจน์วา่ DAE CBE A EB
จ. จงหาอตั ราสว่ นพนื้ ท่ีของ CBE : DAE และ CDE : CDF

F
4. กาหนดให้ AX เป็นเส้นมัธยฐานของรูปสามเหล่ียม ABC และ D, E เป็นจุดบนด้าน AB, AC ตามลาดับ

และ DE ขนานกับด้าน BC และ AX ตัดกับ DE ที่จุด Y จงแสดงว่า DY = YE

5. จากรูป QR //ST และอัตราสว่ นพน้ื ทีข่ อง PQR : PST = 9 : 64 จงหา P
PQ
ก. PS

ข. ถา้ กาหนดให้พนื้ ท่ี PQR = 36 ตารางเซนติเมตร Q R

จงหาพ้นื ที่ QRTS S T

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปกิ วิชาการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 26

6. จากรูป AXB, WYB, XYZD และ AWZC ตา่ งก็เป็นจดุ ทอ่ี ยู่บนเสน้ ตรงเดียวกัน AB//DC และ
XD//BC , XY = 6 เซนติเมตร YZ = 8 เซนติเมตร ZD = 10 เซนติเมตรและ ZC = 9 เซนติเมตร จงหา
A
ก. รปู สามเหลยี่ มท่ีคลา้ ยกับ ABC

ข. ค่าของ AZ XY W D
Z
ค. รปู สามเหลย่ี มที่คล้ายกับ WYZ
ง. คา่ ของ WZ

7. จากรปู AH = BD, HK = HB และ HK //BD B C

A ก. จงหารปู สามเหล่ียมท่ีเท่ากนั ทกุ ประการกับรปู สามเหลี่ยม AHK

ข. จงพิสูจนว์ า่ AHL DCL

ค. ถา้ กาหนดให้ AH = 9 เซนติเมตร HL = 3 เซนตเิ มตร และ

CD = 5 เซนติเมตร

HK 1) จงหาค่าของ CL
L 2) ให้ HK = x เซนติเมตร จงหาสมการกาลงั สองทีท่ าใหไ้ ด้คา่ x

BC D

8. จากรูป P เปน็ จดุ บนดา้ น AC โดยที่ AP = 2PC และ R เป็นจดุ บนดา้ น BP โดยท่ี BR = 3RP และ
QR // AC กาหนดใหพ้ ืน้ ที่ BPA = 32 ตารางเซนติเมตร จงหา C

ก. พืน้ ท่ี BPC RP
ข. พ้นื ที่ BRQ

B Q A

9. จากรปู LPM อยบู่ นเสน้ ตรงเดยี วกนั และ LPˆN = LNˆM N
ก. จงหามุมทเ่ี ทา่ กบั LNˆP
ข. กาหนดให้ LP = 6 เซนติเมตร PN = 4 เซนตเิ มตร PM
และ NM = 5 เซนตเิ มตร จงหาความยาวของ LN

L

10. จากรูป ABˆC=BDˆC=90° กาหนดให้ AC = 10 เซนตเิ มตร และ BC = 7 เซนตเิ มตร

จงหาความยาวของดา้ น CD B

A DC
ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลิมปิกวชิ าการ ศูนย์โรงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณติ 27

11. จากรูป DF // AG, DE // AB, DC = 8, CG = 6, DE = 10 และ AB = 15 จงหา AD และ FG
C

FG
DE

AB
12. รูปสามเหลีย่ ม ABC มี C เป็นมมุ ฉาก ด้าน AC ยาว 15 เซนตเิ มตร CD ตั้งฉากกับ AB ทจี่ ุด D และ

ดา้ น BD ยาว 16 เซนตเิ มตร จงหาพนื้ ที่รปู สามเหลีย่ ม ABC

13. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มี A เปน็ มมุ ฉาก ด้าน BC ยาว 20 นว้ิ ดา้ น AC ยาว 16 นิว้ ดา้ น
AD ตั้งฉากกบั ด้าน BC จงหา DC : AD

14. ให้ ABC เป็นรปู สามเหลีย่ มมมุ ฉาก มี A เป็นมุมฉาก ถ้าต่อ AB และ AC ออกไปทาง B และ C ถึง X
และ Y ตามลาดบั แล้วลาก BY และ CX จงพสิ จู น์วา่ XY2 + BC2 = CX2 + BY2

15. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มี A เป็นมมุ ฉาก D เปน็ จุดใด ๆ บน AC ลาก BD จงพิสูจนว์ า่
BC2 + AD2 = AC2 + BD2

16. ให้ ABC เปน็ รปู สามเหล่ียมที่ AD เป็นเสน้ ตง้ั ฉากจาก A มายงั BC จงพสิ จู นว์ า่ AB2–AC2 = BD2–DC2

17. ให้ ABC เป็นรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก มี A เปน็ มมุ ฉาก BD และ CE เปน็ เสน้ มัธยฐาน จงพสิ จู น์วา่
BC2 = 4(AD2+AE2) และ BD2 + CE2 = 5(AD2+AE2)

18. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี A เป็นมุมฉาก BD และ CE เป็นเส้นมัธยฐานที่ลากจากจุด B
และ C มายังฐาน จงพสิ ูจน์วา่ 5BC2 = 4(BD2 + CE2)

19. จงแสดงวา่ สามเท่าของจัตุรัสบนด้านหน่ึงของสามเหล่ียมด้านเท่าเท่ากับส่ีเท่าของจัตุรัสบนเส้นต้ังฉาก
เส้นหนง่ึ ท่ลี ากจากมุมยอดมายงั ฐาน

20. ในรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก จงพสิ จู นว์ ่า ผลบวกของจัตรุ ัสบนด้านประกอบมุมฉากเทา่ กับสองเท่าของ
จตั ุรสั บนเส้นตัง้ ฉากที่ลากจากมมุ ฉากไปยังด้านตรงข้าม รวมกับผลบวกของจตั ุรสั บนส่วนแบง่ ของด้าน
ตรงขา้ มมุมฉาก

21. จงพิสจู น์วา่ ผลบวกของจัตรุ สั บนเส้นทแยงมมุ ของรูปส่เี หลีย่ มขนมเปยี กปนู เทา่ กบั ผลบวกของจัตรุ ัส
บนดา้ นทง้ั สีข่ องรูปสีเ่ หล่ียมนั้น

22. รูปสามเหลี่ยม ABC มี AL , BM , CN เป็นเส้นต้ังฉาก ตัดกันที่จุด P จงพิสูจน์ว่า AN2 + BL2 + CM2
= AM2 + CL2 + BN2

23. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า โดยท่ี ADBC , E เป็นจุดกึ่งกลางของ CD ลาก AE จงพิสูจน์
วา่ AE2 = 13CE2

24. ให้ PMN เป็นรูปสามเหล่ยี มหน้าจว่ั มี PM = PN, MSPN จงพสิ ูจนว์ ่า MN2 = (PN)(NS) + (PM)(NS)
25. ให้ ABC เป็นรปู สามเหล่ยี มใด ๆ ทม่ี ี AM เป็นเสน้ มธั ยฐาน จงพสิ จู นว์ ่า AB2 + AC2 = 2BM2 + 2AM2

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วิชาการ ศนู ย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณติ 28

4. วงกลม คอร์ด และเส้นสมั ผสั

ในหัวข้อน้ีจะศึกษาพ้ืนฐานของวงกลม คอร์ดและเส้นสัมผัส รวมถึงสมบัติและทฤษฎีบทท่ีสาคัญ
เก่ียวกบั วงกลมคอรด์ และเส้นสัมผสั

สมบัตแิ ละทฤษฎีบททส่ี าคัญเกี่ยวกับวงกลม
ทฤษฎีบท 4.1 ถา้ ลากสว่ นของเส้นตรงจากจดุ ศนู ย์กลางของวงกลมไปแบ่งครึ่งคอร์ดซ่ึงไม่ผ่านจุดศูนย์กลาง
แลว้ สว่ นของเส้นตรงนน้ั จะต้องตั้งฉากกบั คอร์ด

บทกลับ ถา้ ลากส่วนของเสน้ ตรงจากจดุ ศูนยก์ ลางของวงกลมไปต้ังฉากกบั คอรด์ ซง่ึ ไม่ผา่ นจดุ ศูนย์กลาง แล้ว
สว่ นของเส้นตรงนน้ั จะแบง่ ครึง่ คอร์ด

บทแทรก สว่ นของเส้นตรงซง่ึ ลากแบ่งครึ่งคอร์ด และตง้ั ฉากกบั คอร์ด จะผา่ นจุดศูนย์กลางของวงกลม

บทแทรก เสน้ ตรงเส้นหนึ่งไม่สามารถตดั วงกลมหนงึ่ ได้มากกวา่ สองจุด

ทฤษฎบี ท 4.2 จากจุดภายในวงกลม ถ้าลากส่วนของเส้นตรงไปยังเส้นรอบวงให้ยาวเท่ากันได้มากกว่าสอง
เส้น แลว้ จุดจดุ นั้นจะเปน็ จดุ ศูนยก์ ลางของวงกลม

ทฤษฎบี ท 4.3 คอร์ดทย่ี าวเท่ากนั ยอ่ มอยหู่ ่างจากจุดศนู ยก์ ลางเป็นระยะทางทเ่ี ท่ากัน

บทกลับ คอร์ดที่อยูห่ า่ งจากจุดศูนยก์ ลางเปน็ ระยะทางที่เท่ากัน ย่อมยาวเทา่ กัน
ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลิมปิกวิชาการ ศนู ย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณติ 29
ทฤษฎบี ท 4.4 มมุ ในคร่งึ วงกลมเป็นมุมฉาก

ทฤษฎีบท 4.5 ถ้ามุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมและมุมในส่วนโค้งของวงกลมรองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน
แล้วมมุ ทจ่ี ุดศนู ยก์ ลางของวงกลมจะมขี นาดเป็นสองเท่าของมุมในส่วนโค้งของวงกลม

ทฤษฎีบท 4.6 มุมในส่วนโคง้ ของวงกลมสว่ นเดียวกัน ย่อมเทา่ กัน
ทฤษฎบี ท 4.7 เสน้ สัมผสั ทีล่ ากมาสัมผัสวงกลม จะตั้งฉากกบั รศั มีของวงกลมซง่ึ ลากมาทีจ่ ุดสัมผัส

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วิชาการ ศูนยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณติ 30

ทฤษฎบี ท 4.8 เส้นสัมผัสสองเส้นท่ีลากจากจุดภายนอกมายังวงกลมวงหนึ่งจะยาวเท่ากัน และรองรับมุมท่ี
จดุ ศนู ย์กลางเท่ากนั

ทฤษฎบี ท 4.9 มุมที่เกดิ ขนึ้ จากเสน้ สมั ผัสจดกบั ขอบยอ่ มเท่ากับมุมท่ีอยู่ในส่วนของวงกลมตรงกันข้าม

ทฤษฎีบท 4.10 คอร์ดสองคอร์ดตัดกันภายในวงกลม พื้นท่ีรูปส่ีเหล่ียมผืนผ้าท่ีประกอบด้วยส่วนตัดของ
คอร์ดยอ่ มเท่ากนั

ทฤษฎีบท 4.11 คอร์ดสองคอร์ดตัดกันภายนอกวงกลม พื้นที่รูปส่ีเหล่ียมที่ประกอบด้วยส่วนตัดของคอร์ด
ย่อมเทา่ กนั และเท่ากับพื้นทร่ี ูปสี่เหล่ียมจตั รุ สั บนเสน้ สัมผัส

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปกิ วชิ าการ ศนู ยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 31

แบบฝึกหดั เรื่อง วงกลม

1. ถ้า AB และ CD เป็นเสน้ ผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ตั้งฉากซึ่งกันและกันแล้ว จงพิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยม
ABCD เป็นรปู สี่เหล่ียมจัตุรัส

2. ถา้ AB เปน็ คอรด์ ของวงกลม O จดุ C อยู่บนเส้นรอบวงทาให้ AC = CB จงพิสจู นว์ า่ CO ตั้งฉากกบั AB

3. กาหนดให้ AB และ CD เป็นคอร์ดที่ยาวเท่ากันของวงกลม O ต่อ AB และ CD ไปพบกันท่ีจุด E จง
พิสจู นว์ า่ BE = DE

4. กาหนดให้ AB และ CD เป็นคอรด์ ท่ียาวเท่ากันของวงกลม O และคอร์ดท้ังสองตัดกนั ที่จุด E จงพิสูจน์
วา่ AE = CE

5. คอร์ดสองเสน้ ของวงกลมวงกลมวงหนงึ่ ตดั กันที่จดุ ๆ หนึ่ง ลากเส้นตรงจากจุดตัดไปยังจุดศูนย์กลาง ถ้า
เส้นตรงนที้ ามมุ กบั คอรด์ ทั้งสองเทา่ กันแลว้ จงพสิ จู นว์ ่า คอร์ดทั้งสองน้ันยาวเท่ากัน

6. วงกลม A และวงกลม B ตัดกันทีจ่ ดุ X และ Y ลาก AB และจากจุด O ซง่ึ เปน็ จดุ ก่ึงกลางของ AB ลาก
OX แลว้ ลากเสน้ ตรงให้ต้งั ฉากกบั OX ไปจดเส้นรอบวงท้ังสองท่ี P และ Q จงพสิ จู นว์ า่ PX = XQ

7. วงกลม P และวงกลม Q ตัดกันที่ A และ B ต่อ PQ ไปทาง Q ถึง R ลาก RA และ RB เลยไปพบเส้น
รอบวงของวงกลม P ท่จี ุด C และ D ตามลาดบั จงพิสูจนว์ ่า AC = BD

8. วงกลมสองวงตัดกนั และมีเสน้ ขนานคู่หนึ่ง แต่ละเส้นผา่ นจดุ ตดั ไปสุดทเี่ สน้ รอบวงทัง้ สอง จงพสิ จู นว์ ่า
เสน้ ตรงท้ังสองน้ียาวเท่ากนั

9. ถา้ AB และ BC เปน็ คอร์ดของวงกลม O ซึ่งทาให้ ABˆC เปน็ มุมแหลม จงพสิ จู นว์ า่ ABˆC +OAˆC = 90o

10. จากรูป จงพิสูจนว์ า่ BX = XC B

X O
A

C
11. วงกลม O ตดั กบั วงกลม ABC ที่ B และ C และ AO เปน็ เส้นผา่ นศูนยก์ ลางของวงกลม ABC จงพิสูจน์

วา่ BAˆC=2OBˆC

12. วงกลมสองวงตัดกันท่ี A และ B ให้ P เป็นจุดใด ๆ บนวงกลมวงหน่ึง ลาก PAC, PBD และลาก XY
สมั ผัสวงกลมที่ P จงพิสจู นว์ า่ XY ขนานกบั CD

13. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมบรรจุในวงกลม AD และ BE เป็นเส้นตั้งฉากที่ลากไปยังด้านตรงข้าม ถ้า
PQ เป็นเส้นสมั ผัสวงกลมทจ่ี ดุ C จงพสิ จู นว์ า่ PQ ขนานกบั DE

14. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมที่มี ABˆC เป็นมุมฉาก จงพิสูจน์ว่า ผลบวกของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม
ที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม ABC และวงกลมท่ีแนบในรูปสามเหลี่ยม ABC มีค่าเท่ากับ ผลบวกของด้าน
ประกอบมมุ ฉากของรูปสามเหล่ยี ม ABC

15. ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมบรรจุในวงกลม ลาก AC และ BD ตัดกันท่ี E ถ้า AD = AB จงพิสูจน์ว่า
AD เปน็ เส้นสัมผสั วงกลมซงึ่ ล้อมรอบรปู สามเหลี่ยม CDE

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลิมปิกวิชาการ ศนู ยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณติ 32

16. ให้ D เป็นจุดใด ๆ บนฐาน BC ของรูปสามเหล่ียม ABC ถ้า EB และ EC เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่
ล้อมรอบรูปสามเหล่ียม ABD และรูปสามเหล่ียม ACD ท่ีจุด B และจุด C จงพิสูจน์ว่าวงกลมผ่านจุด
A, B, E และ C ได้ และรูปสามเหลีย่ ม ABD และรปู สามเหล่ยี ม AEC มีมุมเท่ากนั มุมตอ่ มุม

17. ให้ AB และ CD เป็นคอร์ดของวงกลมซ่ึงต่อออกไปพบกนั ภายนอกที่จุด X ถา้ BD ขนานกับ AC จง
พสิ จู น์ว่า XB = XD และ XA = XC

18. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมหน้าจั่วมี BC เป็นฐาน ถ้า XY เป็นเส้นเช่ือมด้านสองด้านและขนานกับ
ฐาน จงพสิ ูจนว์ ่า B, C, X, Y อยู่บนเสน้ รอบวงของวงกลมเดยี วกนั (concyclic)

19. จากรปู จงพสิ ูจน์วา่ A, B, C, D อยบู่ นเส้นรอบวงของวงกลมเดียวกัน
D xC

A 2 1 2x B
20. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มหนา้ จ่ัว มี BC เปน็ ฐาน เสน้ ตั้งฉากจากจุด B และ C ไปยังด้านตรงข้ามตัด

กันที่ O จงพิสจู น์ว่า AO แบ่งครึง่ BAˆC
21. ให้ O เปน็ จดุ ศูนย์กลางของวงกลม AC เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด B และ CD เป็นเส้นสัมผัสวงกลม

ทจ่ี ุด D ถา้ DBˆC = 70 องศา DAˆC เท่ากับกอ่ี งศา
A

B

O

DC

22. ให้คอร์ด CD และคอร์ด AB ตัดกันท่ีจุด E ถ้า CE = 6 เซนติเมตร CD = 24 เซนติเมตร และ AE = 4

แลว้ EB และ AB เทา่ กบั กเ่ี ซนติเมตร CB
E

AD
23. ให้ O เปน็ จุดศนู ยก์ ลางของวงกลมซ่ึงมีรัศมียาว 4 เซนติเมตร ถ้า COˆA เท่ากับ 120 องศา CA ยาวกี่

เซนติเมตร
24. ให้ A, B, C, D และ E เปน็ จุดบนวงกลม AD//BC , AD CE ที่ F ถ้า CF = EF, AF = 8 เซนติเมตร

FD = 2 เซนตเิ มตร BC = 6 เซนติเมตร จงหาพื้นท่ีของรูปห้าเหล่ียม ABCDE
D

CF E

B
A

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปิกวิชาการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 33

25. จากรูป วงกลม O มีรัศมี 10 เซนติเมตร คอร์ด AB ตั้งฉากกับคอร์ด CD ที่ X ถ้า AB =16 เซนติเมตร
CD = 14 เซนตเิ มตร จงหาว่า OX ยาวกี่เซนตเิ มตร

A

CX O D

B

26. จากรูป วงกลม O แนบในรูปสามเหล่ียม ABC มี AB = 7 เซนติเมตร BC = 8 เซนติเมตร และ AC = 6
A
เซนตเิ มตร จงหาวา่ x ยาวเท่าใด

x

O

BC

27. จากรูป วงกลม A และ B มรี ศั มี 8 และ 3 นวิ้ ตามลาดับ ถ้ารูปวงกลม 2 วงนี้ห่างกัน 2 น้ิว เส้นสัมผัส
P
ร่วม PQ ยาวเท่าใด

Q

AB

28. จากรูป O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมรูปเล็ก OA เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลมรูปใหญ่ AD ตัด
วงกลมรปู เล็กที่ C และ D พรอ้ มกับตัดวงกลมรูปใหญ่ท่ี E ถ้า AC = 5 เซนติเมตร CE = 3 เซนติเมตร

จงหาว่า DE ยาวกเี่ ซนติเมตร

O

DE C A

29. จากรูป AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และ BD เป็นคอร์ดตัด AC ท่ีจุด X ถ้าให้ BCˆA = 26° และ
CAˆD = 47° จงหาค่า BAˆC และ AXˆD B

AX C

30. จากรูป O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม TB Dสัมผัสวงกลมท่ีจุด B และ AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางตัด
กบั คอร์ด DB ทจ่ี ดุ X ถ้าให้ ABˆT =40° และ DCˆA = 32° จงหา OAˆB,ABˆD และ CXˆD

DX O C
A

TB

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปิกวชิ าการ ศูนยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณติ 34

5. รูปสเี่ หลยี่ มผืนผ้ากับวงกลม

ในหัวข้อนีจ้ ะกลา่ วถึงทฤษฎบี ทและโจทย์ปญั หาตา่ ง ๆ ที่แสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างรูปส่ีเหล่ียม
รปู สามเหลย่ี ม และวงกลม

ทฤษฎีบท 5.1 ถ้าลากเส้นแบ่งครึ่งมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมมาตัดท่ีฐาน พื้นท่ีของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซ่ึง
ประกอบด้วยด้านประกอบมุมยอด จะเท่ากับพื้นท่ีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าท่ีประกอบด้วยส่วนตัดรวมกับพื้นท่ีรูป
สเี่ หล่ียมจัตรุ ัสบนเสน้ ทล่ี ากจากจดุ ยอดมายงั ฐาน

ทฤษฎีบท 5.2 ถ้าลากเส้นจากมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมมาตั้งฉากกับฐาน พ้ืนท่ีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าท่ี
ประกอบด้วยด้านประกอบมุมยอด จะเท่ากับพ้ืนท่ีรูปส่ีเหล่ียมผืนผ้าท่ีประกอบด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของ
วงกลม ซ่ึงล้อมรอบรูปสามเหลีย่ มน้ัน กับเส้นตัง้ ฉากท่ีลากมายังฐาน

ทฤษฎีบท 5.3 พื้นท่ีของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งประกอบข้ึนด้วยเส้นทแยงมุมของรูปส่ีเหล่ียมใด ๆ
(quadrilateral) ซึง่ แนบในวงกลม จะเทา่ กับผลบวกของพ้นื ท่ีรปู ส่ีเหลี่ยมผืนผ้าท่ีประกอบด้วยด้านตรงข้าม
ของรูปสี่เหลย่ี มนัน้ (Ptolemy Theorem)

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

▲ ค่ายโอลิมปกิ วิชาการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 35

ทฤษฎีบท 5.4 ถ้ารปู สี่เหลีย่ มใด ๆ แนบในวงกลม แลว้ มุมอยูต่ รงข้ามของรปู สเ่ี หลย่ี มรวมกันได้สองมมุ ฉาก

ทฤษฎบี ท 5.5 รปู สเี่ หล่ยี มคางหมูหนา้ จ่ัว เป็นรปู สเ่ี หลยี่ มที่มวี งกลมล้อมรอบได้

ทฤษฎีบท 5.6 รูปสี่เหล่ียมที่มีด้านขนานกันคู่หนึ่ง จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมท่ีมีวงกลมล้อมรอบได้ ก็ต่อเม่ือ รูป
สเี่ หลยี่ มนนั้ เปน็ รูปส่ีเหล่ยี มมมุ ฉาก หรือรูปสเ่ี หล่ียมคางหมหู นา้ จวั่

ทฤษฎีบท 5.7 รูปส่ีเหลี่ยมจะมีวงกลมแนบในได้ ก็ต่อเม่ือ ผลบวกของความยาวของด้านตรงข้ามของรูป
สเี่ หลย่ี มนนั้ มคี ่าเทา่ กัน

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปิกวิชาการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณติ 36

ทฤษฎบี ท 5.8 ส่วนของเส้นตรงท่ีแบง่ คร่ึงและต้ังฉากกับด้านทง้ั สามของรูปสามเหลี่ยม จะพบกันทีจ่ ดุ จดุ
หนึ่ง ซึ่งเปน็ จุดศูนยก์ ลางของวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลย่ี มนั้น

ทฤษฎีบท 5.9 เส้นแบ่งคร่ึงมุมยอดของรูปสามเหล่ียม จะพบกันท่ีจุดจุดหนึ่ง จุดน้ันเป็นจุดศูนย์กลางของ
วงกลมแนบในรปู สามเหลี่ยมนั้น

ทฤษฎบี ท 5.10 รัศมีของวงกลมแนบในรูปสามเหลย่ี มทีม่ ีด้านทงั้ สามยาว a, b และ c หน่วยคอื
2
r = a+b+c เม่ือ คอื พน้ื ท่ขี องรูปสามเหลี่ยมน้ี

ทฤษฎีบท 5.11 เส้นมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมจะจวบกัน (concurrence) และจะแบ่งซึ่งกันและกัน
ออกเป็นอัตราส่วน 2 : 1

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วิชาการ ศูนย์โรงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณติ 37

แบบฝกึ หัด เร่ือง รูปสเ่ี หล่ียมผนื ผ้ากบั วงกลม
1. ให้จุด P เป็นจุดภายในส่ีเหล่ียม ABCD ใด ๆ ลาก PL , PM , PN และ PK ต้ังฉากกับ BC , CD , DA

และ AB ตามลาดับ จงพสิ ูจน์วา่ AN2 + BK2 + CL2 + DM2 = AK2 + BL2 + CM2 + DN2

2. ให้รูปสี่เหล่ยี มผืนผ้า ABCD มี AM, CNBD ท่ี M, N จงพิสูจนว์ า่ BM2 + BN2 = DM2 + DN2

3. ให้ ABCD เป็นรปู สีเ่ หลยี่ มคางหมู AB // CD และเสน้ ทแยงมมุ ตัดกันท่จี ุด O จงพิสูจนว์ า่ (OA)(OD) =
OA OB
(OB)(OC) และถา้ AB = 2CD แล้ว OC = OD =2

4. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมบรรจุในวงกลม O และ D เป็นจุดกึ่งกลาง BC ลาก DO ไปพบ AC ท่ี E

จงพิสจู น์วา่ A, B, O, E เป็นจดุ ในวงกลมเดยี วกนั

5. ให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสบรรจุในวงกลม และ P เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนโค้ง CD จงพิสูจน์ว่า
PAB เป็นรปู สามเหลี่ยมหน้าจ่ัว

6. ให้ ABC เป็นรปู สามเหลย่ี มด้านเทา่ บรรจุในวงกลม ถ้า P เป็นจุดใด ๆ บนส่วนโค้ง AC ลาก AP เลยไปพบ
สว่ นตอ่ ของ BC ท่ี Q และลาก BP ตดั AC ที่ R จงพสิ จู นว์ า่ ABQ และ ABR มีมมุ เทา่ กนั มุมต่อมุม

7. ให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหลีย่ มคางหมู AB // CD, E เป็นจดุ กึ่งกลางของ CD, AC ตดั กับ BE ท่จี ุด F
และ AE ตดั กบั BD ท่จี ดุ G จงพิสูจน์ว่า GF // AB

8. ให้ ABCD เป็นรูปสเ่ี หลย่ี มดา้ นขนาน O เป็นจุดใด ๆ ในรปู ส่ีเหลี่ยม จงพสิ จู นว์ ่า ผลรวมของพนื้ ทร่ี ปู
สามเหลีย่ ม OAB กับพนื้ ทร่ี ูปสามเหลยี่ ม OCD เป็นครงึ่ หน่ึงของพน้ื ท่ีรปู สี่เหล่ียมด้านขนาน ABCD

9. ให้ ABCD เป็นรปู ส่เี หลี่ยมด้านขนาน E เปน็ จดุ บน DC และ F เป็นจุดบนสว่ นตอ่ ของ AB ทท่ี าให้
AB = BF จงพสิ จู นว์ า่ พนื้ ทรี่ ูปสามเหล่ยี ม AEF เท่ากบั พน้ื ท่ีรูปสี่เหลี่ยม ABCD

10. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมใด ๆ จุด P และ Q เป็นจุดบน AB และ AC ตามลาดับ ซึ่งทาให้ PQ //BC
จงพิสูจนว์ า่ พนื้ ทร่ี ูปสามเหลยี่ ม ABQ เทา่ กับพ้นื ที่รปู สามเหล่ียม ACP

11. ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหล่ียมด้านขนาน AC เป็นเส้นทแยงมุมและ E เป็นจุดใด ๆ บน AC จงพิสูจน์ว่า
K
พนื้ ทร่ี ูปสามเหล่ียม CDE เท่ากบั พน้ื ทร่ี ูปสามเหลี่ยม CBE

12. ให้ ABCD เป็นรูปสเี่ หลี่ยมด้านขนาน จากจุด C มีเสน้ ตรงลากไปตัดดา้ น AB ท่ี E B
และตัดดา้ น DA ที่ตอ่ ออกไปที่ F ท่จี ุด B ลากเส้นใหข้ นานกบั ดา้ น FC ตัดด้านทตี่ อ่ จาก F
DAF ท่ี K ทจ่ี ดุ D ลากเส้นใหข้ นานกับดา้ น FC ตดั ดา้ น BA ท่ีต่อออกไปที่ H
จงพิสูจน์ว่า พนื้ ทร่ี ปู สเ่ี หล่ยี ม BCFK มีพนื้ ทเ่ี ท่ากับพ้ืนท่ีส่ีเหลี่ยม DCEH H A E

DC
13. ให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหล่ียมด้านขนาน ด้าน BC ถูกแบ่งครึ่งท่ี E ลากเส้น AE แล้วต่อ AE และ DC ไป

พบกันที่ F จากจุด D ลากเส้น DG ขนานกับ FA พบส่วนต่อของเส้น AB ท่ี G จงพิสูจน์ว่า พื้นท่ี
สเ่ี หลยี่ ม AFDG เปน็ สองเทา่ ของสเี่ หล่ยี มดา้ นขนาน ABCD

G AB

E

DC F
ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลิมปกิ วิชาการ ศนู ย์โรงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 38

14. ให้ ABCD เปน็ รูปสี่เหล่ียมด้านขนาน ต่อ AB ไปถึง E โดยที่ BE = AB ลาก ED ให้ตัด BC ท่ี F ลาก
AF , EC จงพสิ จู น์ว่า พน้ื ที่รูปสามเหล่ยี ม AEF เทา่ กบั พ้ืนท่ีรูปสามเหลยี่ ม BEC

15. ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน E เป็นจุดบน DC ต่อ AE และ BC ไปพบกันที่จุด F จงพิสูจน์
ว่า พ้ืนที่รูปสามเหลี่ยม ADF เท่ากับพื้นที่รูปสามเหล่ียม ABC และพื้นที่รูปสามเหล่ียม DEF เท่ากับ

พ้ืนทรี่ ูปสามเหลีย่ ม BEC

16. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมใด ๆ ท่ีมี P เป็นจุดบน CA ทาให้ CP = 1 CA ต่อ BP ไปถึง Q ให้ AQ
3
ขนานกับ BC จงหาวา่ พน้ื ท่ีรปู สามเหลี่ยม CPQ เป็นเศษส่วนเท่าไรของพืน้ ที่รูปสามเหล่ียม ABC

AQ

P

BC

17. จากรปู ABCD และ DPQR เป็นรูปส่เี หล่ียมดา้ นขนานสองรูป จงพิสจู น์ว่ารูปสีเ่ หล่ยี มท้งั สองมีพ้ืนที่
AP
เทา่ กนั B

Q

DC

R
18. ให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหลี่ยมด้านขนานที่มีจุด P, Q, R และ S เป็นจุดกึ่งกลางของด้านท้ังสี่ จงพิสูจน์ว่า

รูปสเ่ี หล่ยี ม PQRS มีพื้นทเี่ ป็นคร่ึงหนึ่งของรปู ABCD
19. ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหล่ียมด้านขนานท่ีมีจุด P อยู่ในด้าน AB จุด Q อยู่บนด้าน BC จงพิสูจน์ว่า พื้นที่

รปู สามเหลี่ยม PCD เท่ากับ พื้นทร่ี ปู สามเหลยี่ ม AQD
20. รูปสเี่ หล่ียมดา้ นขนาน ABCD ทมี่ จี ุด P อยใู่ นดา้ น AB ที่ตอ่ ไป จุด Q อยู่บนด้าน BC จงพิสูจน์ว่า พื้นที่

รปู สามเหลย่ี ม PCD เท่ากบั พ้ืนทรี่ ูปสามเหล่ียม AQD
21. ให้ PQRS เป็นรปู ส่เี หลี่ยมคางหมูทม่ี ี X และ Y เปน็ จดุ กงึ่ กลางของดา้ นที่ขนานกัน จงพิสูจน์ว่า XY

แบง่ พน้ื ที่ของ PQRS เปน็ สองส่วนเทา่ ๆ กัน
22. ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลยี่ มดา้ นไม่เทา่ รูปหนึ่ง ซงึ่ มี X เป็นจุดกึ่งกลางของดา้ น BD จงพสิ จู นว์ า่ รปู

AXCD มีพน้ื ท่ีเปน็ ครึ่งหน่ึงของรูป ABCD
23. รปู สามเหลี่ยม ABC ทมี่ ี M เป็นจุดก่งึ กลางของด้าน BC และ P เป็นจุดบนด้าน AM จงพิสูจน์ว่า พื้นท่ี

รูปสามเหลย่ี ม ABP เท่ากบั พื้นทร่ี ปู สามเหลย่ี ม ACP
24. ถ้าต่อด้าน BC ของรูปสามเหล่ียม ABC ออกไปถึง D ทาให้ CD = BC ถ้า E เป็นจุดกึ่งกลางด้าน AB

จงพสิ จู น์วา่ พื้นทรี่ ปู สามเหลยี่ ม ABC เทา่ กบั พ้ืนทรี่ ปู สามเหลย่ี ม EBD

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปิกวิชาการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณิต 39

แบบฝกึ หัดเสรมิ เพ่ิมเติมความเข้าใจ
1. วงกลมสองวงสัมผัสกันภายในที่จุด O จุด A อยู่ภายนอกวงกลมทั้งสอง โดยที่ AO และ AP สัมผัส

วงกลมวงเล็กทจี่ ดุ O และ P ตามลาดบั ถา้ AP ตดั วงกลมวงใหญท่ จี่ ุด T และตอ่ AP ไปตัดเส้นรอบวง
ทจี่ ดุ S จงพสิ จู น์วา่ TOˆP=SOˆP

2. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมใด ๆ มี AD แบ่งพ้ืนท่ีของรูปสามเหลี่ยม ABC ออกเป็นสองส่วน ซ่ึงทาให้
พื้นที่ของรูปสามเหล่ียม ABD เป็นสองเท่าของพ้ืนท่ีของรูปสามเหลี่ยม ADC จากจุด D ลาก DE //BA
ถา้ ADˆB= 2ACˆD และ DAˆC= 30๐ จงแสดงวธิ ีหาขนาดของ AEˆD พร้อมทัง้ ใหเ้ หตุผลทุกขน้ั ตอน

3. ให้ D และ E เป็นจุดกึ่งกลางด้าน AB และ AC ของรูปสามเหลี่ยม ABC ตามลาดับ ด้าน BE และ CD
ตัดกันท่ีจุด P โดยท่ีรูปสามเหล่ียม EDP มีพื้นท่ี 4 ตารางน้ิว รูปสามเหลี่ยม PBC มีพ้ืนท่ี 9 ตารางน้ิว
จงหาพน้ื ที่ของรปู สามเหลย่ี ม ABC

4. ให้ ABC เปน็ สามเหลยี่ มแนบในวงกลมท่ีมี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง AP และ BQ เป็นเส้นแบ่งคร่ึง
BAˆC และ ABˆC ตามลาดับ PM และ QN ตั้งฉากกับ AB ที่จุด M และ N ตามลาดับ จงแสดงวิธีหา
ขนาดของ MCˆN พร้อมทงั้ ให้เหตผุ ลทกุ ขนั้ ตอน

5. ให้ F เป็นจุดบนด้าน AB ของรูปสามเหลี่ยม ABC ถ้า D เป็นจุดตัดของด้าน BC กับเส้นตรงที่ลากจาก

จุด A และขนานกบั ดา้ น FC ในทานองเดียวกนั ให้ E เป็นจดุ ตัดของดา้ น CA กับเส้นตรงท่ีลากจากจุด B
1 1 1
และขนานกบั ดา้ น FC จงพิสจู นว์ ่า CF = AD + BE

6. ให้ ABCD เป็นรปู สเ่ี หลย่ี มด้านขนาน ต่อดา้ น DA ไปทาง A ไปยังจดุ P และให้ PC ตัดด้าน AB ท่ีจุด Q
และดา้ น DB ท่ี R ถ้า PQ = 525 และ QR = 80 จงหาความยาวของ RC

7. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากโดยมี A เป็นมุมฉาก ถ้า D และ F เป็นจุดอยู่บนด้าน AC และ BC
ตามลาดบั โดยท่ี AF BC และ BD = DC = FC = 3 จงหาความยาวของ AC

8. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมที่มี Aˆ Bˆ = 90๐ และ BC + CA = 2AB ถ้า cos C = m เมื่อ
n
ห.ร.ม. (m, n) = 1 จงหา m + n

9. ใหร้ ปู สามเหล่ียมรูปหนงึ่ มีเส้นมัธยฐานยาว 3, 4 และ 5 หน่วย จงหาความยาวของดา้ นทสี่ น้ั ที่สดุ

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปิกวิชาการ ศนู ยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 40

10. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียม มีพ้ืนที่ 28 ตารางน้ิว จุด D, E และ F เป็นจุดบนด้าน AB, BC และ CA
ตามลาดบั และ AD = 3 นว้ิ DB = 4 นิ้ว ถ้ารูปสามเหล่ยี ม ABE และรูปส่ีเหลี่ยม DBEF มีพ้ืนท่ีเท่ากัน
แล้วรปู สามเหล่ียม ABE มีพ้ืนท่ีเทา่ ไร

11. ให้ ABCD เป็นรปู ส่ีเหลยี่ มใด ๆ โดยมีจดุ O เปน็ จดุ ตดั ของเสน้ ทแยงมุม AC และ BD ถ้ารปู สามเหลี่ยม
AOB, BOC และ COD มพี ้ืนท่ีเทา่ กับ 3, 6 และ 2 ตารางหน่วย ตามลาดบั จงหาพืน้ ท่ีของรูปสามเหลย่ี ม
DOA

12. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ ABˆC= 90๐โดยมี AB = BC = 4 จุด D และ E เป็นจุดบนด้าน
AB และ BC ตามลาดับ โดยที่ BD = BE = 3 ลาก AE และ CD ตัดกันท่ีจุด F จงหาพื้นที่ของรูป
สามเหลี่ยม AFC

13. ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ถ้าลากเส้นตรงจากจุดยอดไปตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก รูปสามเหลี่ยมที่
เกดิ ขึ้นทงั้ สองรปู จะคลา้ ยกัน และคล้ายกับรูปเดิมดว้ ย

14. ให้จุด P แบ่งด้าน BC ของรูปสามเหล่ียม ABC ด้วยอัตราส่วน BP : PC = 1 : 2 ถ้า ABˆC= 45๐ และ
APˆC= 60๐ จงหาขนาดของ ACˆP

15. ให้ D และ E เปน็ จุดที่อยู่บนด้าน AB และ AC ของรูปสามเหล่ียม ABC ตามลาดับ โดยมี BE และ CD
ตัดกันที่จุด P ทาให้รูปสามเหลี่ยม BPD มีพ้ืนท่ี 2 ตารางนิ้ว รูปสามเหล่ียม CPE มีพ้ืนที่ 3 ตารางน้ิว
และรปู สามเหล่ียม BCP มีพื้นท่ี 4 ตารางนว้ิ จงหาพน้ื ท่ขี องรูปส่ีเหล่ียม ADPE

16. จากรูป จงหาความยาวของ x

17. ใหแ้ สดงวิธหี าพ้ืนท่ีบริเวณทอ่ี ย่รู ะหว่างเสน้ ผ่านศูนยก์ ลางกบั คอรด์ ที่ยาวเท่ากับรศั มีของวงกลม

18. วงกลม C1 และวงกลม C2 ตัดกันท่ีจุด P และ Q ซ่ึงแตกต่างกัน ให้เส้นตรงท่ีผ่านจุด P ตัดวงกลม C1
และวงกลม C2 ที่จุด A และ B ตามลาดับ ให้ Y เป็นจุดก่ึงกลางด้าน AB และ QY ตัดวงกลม C1 และ
วงกลม C2 ท่จี ุด X และ Z ตามลาดบั จงพสิ จู น์วา่ Y เป็นจุดกง่ึ กลางด้าน XZ

19. ให้ X, Y เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมสองวงซึ่งตัดกันที่ A เส้นสัมผัสที่จุด A กับวงกลมทั้งสองพบ
วงกลมอีกครั้งหนึ่งที่ B, C ตามลาดับให้ P เป็นจุดที่ทาให้ PXAY เป็นรูปส่ีเหล่ียมด้านขนาน จงแสดง
ว่า P เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมท่ลี อ้ มรอบรปู สามเหลยี่ ม ABC

20. ให้รูปสามเหลี่ยม ABC มี O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่แนบใน โดยวงกลมน้ีสัมผัสด้าน BC, CA ท่ี
จุด D, E ตามลาดบั จงแสดงว่า ถ้า BO ตดั DE ท่ี G แล้ว AGBG

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

▲ ค่ายโอลิมปกิ วิชาการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 41

21. ให้ ABCD เป็นรูปสีเ่ หล่ียมแนบในวงกลมรัศมี 5 หน่วย และ AB = BC = 2CD = 2DA จงหาพื้นท่ีของ
รปู ส่ีเหล่ียม ABCD

22. ให้วงกลมสองวงมีจุดศูนย์กลางห่างกัน 13 หน่วย ถ้าวงกลมวงเล็กและวงใหญ่ มีรัศมี 3 และ 8 หน่วย
ตามลาดบั จงหาความยาวของเส้นสัมผัสของวงกลมทั้งสอง

23. ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม AB และ AC เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด B และ C จงพิสูจน์ว่า
AO แบง่ ครึ่งและตงั้ ฉากกับ BC

24. ให้ O เป็นจุดศนู ยก์ ลางของวงกลม E เปน็ จดุ ภายนองวงกลม ลากเส้นตรงสองเส้นจากจุด E ตัดเส้นรอบ
วงจุดแรกที่จุด B และ D และตัดเส้นรอบวงจุดท่ีสองที่ A และ C ตามลาดับ ถ้า BEˆD= 30๐ และ
BOˆD= 50๐ จงหาขนาดของมุม AOˆC

25. สร้างคร่งึ วงกลมรูปหนง่ึ บนด้าน AB ให้ X เป็นจุดใด ๆ บนด้าน AB ลากเสน้ ต้ังฉากกับด้าน AB ที่จุด X
ไปตดั กับเสน้ รอบวงท่ีจดุ M จงพิสูจน์ว่า (AX)(XB) = MX2

26. จุด A เปน็ จุดอยู่ภายนอกวงกลม ลากเส้นตรงตัดเส้นรอบวงจุดแรกท่ี B และจุดท่ีสองที่ C ถ้า AB = 5
และ BC = 8 ลาก AP สัมผัสวงกลมที่ P จงหาขนาดของ AP

27. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่แนบในวงกลมท่ีมีรัศมี 5 นิ้ว โดยมีด้าน AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง AB
เปน็ คอรด์ ทย่ี าว 6 นว้ิ และ AD เป็นคอร์ดทีแ่ บ่งคร่งึ BAˆC จงหาความยาวของ AD

28. ให้ a, b, c เป็นความยาวด้านท้ังสามของรูปสามเหลี่ยมที่มี r เป็นรัศมีของวงกลมแนบใน ra เป็นรัศมี
a+b+c
ของวงกลมแนบนอกทอี่ ยตู่ รงขา้ มมุม A ดงั นั้น rra = (s – a)(s – b) เม่อื s = 2

29. ให้ r เปน็ รัศมขี องวงกลมทแี่ นบในรปู สามเหลีย่ ม ABC ทีม่ ี a, b, c เป็นความยาวของด้านทั้งสามและมี
2K
พนื้ ที่ K จงพสิ จู นว์ ่า r = a +b+ c

30. ให้ ABC เป็นรปู สามเหล่ียมท่ีมี AB = 2, AC = 3 และ BC = 4 จงหาความยาวของรัศมีของวงกลมท่ีมี
จดุ ศนู ย์กลางอยู่ท่ีด้าน BC และสมั ผัสด้าน AB และ AC

31. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมแนบในวงกลมโดยมีด้าน AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง P และ Q อยู่บนด้าน
BC และ AC ทที่ าให้ AP และ BQ เป็นเส้นแบ่งครึ่งมุม A และมุม B ตามลาดับ ลากเส้นตรงจาก P และ
Q ตง้ั ฉากกบั ด้าน AB ทจ่ี ดุ M และ N ตามลาดบั จงหาขนาดของ MCˆN

32. ให้รูปสามเหลีย่ ม ABC แนบในวงกลมทีม่ ี O เปน็ จดุ ศนู ยก์ ลาง และดา้ น BC เป็นเสน้ ผา่ นศูนย์กลาง ถ้า
AB = 3, AC = 4 จงหา (BO)(OC)

33. ให้รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง รัศมีของวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยมยาวเป็น 3.5 เท่าของรัศมีของวงกลม
แนบในรูปสามเหลี่ยม ถ้าด้านสองด้านยาว 3 หน่วย และ 7 หน่วย และอีกด้านยาวเป็นจานวนเต็ม
หนว่ ย จงหาความยาวของด้านที่เหลอื นั้น

34. ให้รูปส่ีเหลี่ยม ABCD มีวงกลมล้อมรอบได้ เส้นแบ่งครึ่งมุม A, B, C, D ตัดกันเกิดเป็นรูปสี่เหล่ียมรูป
ใหม่ภายในรูปสี่เหลี่ยม ABCD โดยจุดยอดเป็นจุดตัดของเส้นแบ่งคร่ึงมุมแต่ละรูป จงพิสูจน์ว่า รูป
ส่ีเหลี่ยมรปู ใหม่น้ีมีวงกลมล้อมรอบได้

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปิกวิชาการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วิชา เรขาคณิต 42

35. ให้ A เปน็ พน้ื ทขี่ องรูปสเ่ี หลย่ี มใด ๆ ท่มี ีเส้นทแยงมมุ ยาว a และ b หน่วย จงพสิ ูจน์วา่ a2 + b2  4A

36. ให้วงกลมแนบในรปู สเ่ี หลย่ี ม ABCD สัมผสั ด้าน AB, BC, CD, DA ท่จี ดุ P, Q, R, S ตามลาดบั
ถา้ AB = 3, DS = 4, PB = 6 และ BC = 10 จงหา DC และ RC

37. ให้รูปสี่เหล่ียม ABCD มีวงกลมล้อมรอบได้ ลาก CX ขนานกับด้าน AB ตัดเส้นทแยงมุม BD ท่ีจุด X
จงพสิ จู นว์ า่ AC เป็นเส้นสมั ผัสวงกลมทลี่ ้อมรอบรปู สามเหลีย่ ม CXD

38. ถ้ารปู ส่เี หล่ียมท่ีแนบในวงกลมมีเส้นทแยงมุมต้ังฉากซ่ึงกันและกันที่จุด P แล้วเส้นตรงที่ลากผ่านจุด P
ไปตั้งฉากกบั ด้านใดด้านหนึ่งย่อมแบง่ คร่งึ ดา้ นตรงข้าม

39. ให้ ABCD เป็นรูปสเ่ี หลยี่ มแนบในวงกลม ถ้าส่วนต่อของด้าน AB และ DC ตัดกันภายนอกวงกลมท่ีจุด
P จงพสิ จู น์วา่ (AP)(PB) = (CP)(PD)

40. ให้ ABCD เปน็ รปู ส่ีเหลี่ยมที่มีวงกลมแนบใน และสัมผสั ด้านทงั้ ส่ที จ่ี ดุ P, Q, R และ S ตามลาดบั
จงพสิ จู น์วา่ PR และ QS ต้งั ฉากซง่ึ กนั และกนั

41. วงกลมจดุ ศูนยก์ ลาง A และ B สองวงตดั กันทจี่ ุด C และ D มี M เป็นจุดก่ึงกลางของ CD จงพิสูจน์ว่า
A, B, M อย่บู นเสน้ ตรงเดยี วกัน

42. ใหค้ อร์ด AB และ CD ตัดกนั ทจี่ ดุ E จงพสิ ูจน์วา่ รปู สามเหลี่ยม ACE คลา้ ยกับรปู สามเหล่ยี ม BED

43. ให้ A, B, C, D เป็นจุดบนวงกลม และ AB ขนานกบั CD จงพสิ จู นว์ า่ AC = BD และ AD = BC

44. กาหนดให้ E, F เป็นจุดบนส่วนโคง้ คร่งึ วงกลมทม่ี ี BC เป็นเส้นผา่ นศูนย์กลาง เส้นตรงที่ผ่าน BF , CE
ตดั กันที่ A และเสน้ ตรงที่ผา่ น CE , BF ตัดกันท่ี O จงแสดงวา่ AO BC

45. กาหนดให้รูปสามเหลี่ยม ABC และรูปสามเหล่ียม DEF เป็นรูปสามเหลี่ยมคล้ายที่แนบในวงกลม
เดยี วกนั จงแสดงวา่ รปู สามเหลย่ี ม ABC และรปู สามเหลีย่ ม DEF เท่ากนั ทุกประการ

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

▲ ค่ายโอลิมปิกวิชาการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 43

บรรณานกุ รม

กมล เอกไทยเจิรญ. (มปป). คู่มือเตรียมสอบ คณิตศาสตร์ ม.2 เล่มรวม ค 203–ค 204. กรุงเทพมหานคร
: เทพเนรมติ การพมิ พ.์

กมล เอกไทยเจิรญ. (มปป). คู่มือเตรียมสอบ คณิตศาสตร์ ม.3 เล่มรวม ค 011–ค 012. กรุงเทพมหานคร
: เทพเนรมิตการพมิ พ์.

ดารง ทิพย์โยธา. (2551). คณิตศาสตร์ปรนัย เล่มที่ 32 : โลกเรขาคณิต (เสริมความรู้มุ่งสู่โอลิมปิก
คณิตศาสตร)์ . กรงุ เทพมหานคร : เทพเนรมิตการพมิ พ.์

ยุพิน พพิ ิธกลุ และอุษณยี ์ ลรี วัฒน์. (2548). เรขาคณติ โครงการตาราวทิ ยาศาสตร์และคณิตศาสตร์มลู นิธิ
สอวน. พมิ พค์ รงั้ ท่ี 2. กรงุ เทพมหานคร : บริษัท ดา่ นสุทธาการพิมพ์ จากดั .

วัฒนา เถาว์ทิพย์. เอกสารประกอบการบรรยาย โครงการส่งเสริมโอลิมปิกวิชาการฯ ศูนย์ สอวน.
มหาวิทยาลยั ขอนแก่น คา่ ย 1. (อัดสาเนา).

สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย,ี สถาบนั . (2552). หนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์
เลม่ 1 ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ขั้นพืน้ ฐาน พทุ ธศักราช 2551. กรุงเทพมหานคร : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพร้าว.

ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน. (2553). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์
เล่ม 1 ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ขน้ั พืน้ ฐาน พุทธศักราช 2551. พมิ พค์ รัง้ ที่ 2. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว.

สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, สถาบัน. (2553). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์
เลม่ 2 ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ขั้นพื้นฐาน พทุ ธศกั ราช 2551. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลย,ี สถาบนั . (2553). หนงั สือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์
เล่ม 2 ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 1 กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ขั้นพื้นฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลย,ี สถาบนั . (2554). หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐาน คณิตศาสตร์
เล่ม 1 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ขน้ั พ้นื ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551. พิมพค์ รงั้ ท่ี 2. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, สถาบนั . (2554). หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐาน คณิตศาสตร์
เลม่ 1 ชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 3 กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ข้ันพื้นฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลย,ี สถาบัน. (2554). หนงั สอื เรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์
เล่ม 2 ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 3 กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ขน้ั พน้ื ฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

อานวย เลศิ ชยันตี. (2525). เทคนิคการคิดโจทย์คณิตศาสตร์หลักสูตรใหม่ ชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น ฉบับ
พฒั นามนษุ ย์ เล่ม 2. กรุงเทพมหานคร : สานักพมิ พ์อานวยการพิมพ.์

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา