คู่มือการใช้หลักสูตรคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษาตอนต้น (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560)

คูม่ อื การใชห้ ลกั สตู ร ระดับมัธยมศกึ ษาตอนตน้ 51

สาระที่ 3 สถิติและความน่าจะเปน็ ตวั ชว้ี ดั และค�ำ อธิบายประกอบตวั ชว้ี ัด
สาระการเรียนรแู้ กนกลาง

สถติ ิ ■■ เข้าใจและใช้ความรู้ทางสถติ ใิ นการน�ำ เสนอและวเิ คราะห์
■■ ข้อมลู และการวิเคราะหข์ ้อมูล ขอ้ มูลจากแผนภาพกลอ่ ง และแปลความหมายผลลัพธ์
รวมทง้ั นำ�สถติ ิไปใชใ้ นชวี ิตจริงโดยใช้เทคโนโลยีท่ีเหมาะสม
▶▶ แผนภาพกล่อง เพอื่ ใหก้ ารเรียนร้ขู องนกั เรียนสอดคล้องกับตวั ช้วี ดั นี้
■■ การแปลความหมายผลลพั ธ์ ครูควรจดั ประสบการณใ์ ห้นกั เรียนไดม้ โี อกาส
■■ การนำ�สถติ ไิ ปใชใ้ นชีวิตจรงิ ◊◊ นำ�เสนอขอ้ มูลทก่ี �ำ หนดให้ในรปู แผนภาพกลอ่ ง
◊◊ วเิ คราะหแ์ ละแปลความหมายผลลพั ธท์ ไ่ี ดใ้ หส้ อดคลอ้ ง
กับบรบิ ทของขอ้ มูล
◊◊ ใชข้ อ้ มูลในการตัดสนิ ใจ คาดคะเน และสรุปผล
◊◊ ใชเ้ ทคโนโลยีในการเรียนรสู้ ถติ ิ

ความน่าจะเป็น ■■ เขา้ ใจเก่ียวกบั การทดลองสมุ่ และนำ�ผลท่ไี ดไ้ ปหา
■■ เหตกุ ารณจ์ ากการทดลองสมุ่ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
■■ ความน่าจะเป็น เพื่อใหก้ ารเรียนรู้ของนกั เรยี นสอดคล้องกบั ตัวชว้ี ดั น้ี
■■ การน�ำ ความรู้เก่ียวกบั ครูควรจดั ประสบการณใ์ หน้ ักเรยี นได้มีโอกาส
◊◊ เขา้ ใจวา่ ความนา่ จะเป็นของเหตุการณ์คอื จ�ำ นวนทีเ่ ปน็
ความน่าจะเป็นไปใช้ ไปได้ตงั้ แต่ 0 ถึง 1 ซึ่งแสดงโอกาสของเหตกุ ารณท์ ีเ่ กดิ ข้ึน
ในชวี ิตจริง ◊◊ เข้าใจความหมายของความน่าจะเปน็ ทเ่ี ทา่ กบั 0 และ
ความน่าจะเปน็ ที่เท่ากบั 1
◊◊ ประมาณความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์โดยเก็บรวบรวม
ข้อมูลให้มากพอ แลว้ สังเกตความถสี่ มั พัทธ์ของ
เหตกุ ารณ์
◊◊ หาความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์โดยใช้การเขียนแจง
กรณี ตาราง แผนภาพ หรือแผนภาพตน้ ไม ้
◊◊ นำ�ความรู้เกย่ี วกบั ความนา่ จะเปน็ ไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา

52 สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี

จำ�นวนและพีชคณติ

11 จำ�นวนและพชี คณิต

ผงั สาระการเรยี นรู้แกนกลาง ■■ จำ�นวนตรรกยะ
◊◊ จำ�นวนเต็ม
หลกั สตู รกลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ ◊◊ จ�ำ นวนตรรกยะ
(ฉบับปรบั ปรุง พ.ศ. 2560) ◊◊ เลขยกกำ�ลัง
ตามหลักสตู รแกนกลางการศกึ ษา ขัน้ พื้นฐาน
พุทธศักราช 2551 ระดบั มธั ยมศกึ ษาตอนตน้ ■■ จำ�นวนจริง
แสดงเป็นผงั เพือ่ ให้เหน็ ภาพรวมของเน้ือหา ■■ อตั ราส่วน
ในแต่ละชั้นได้ชดั เจนและเป็นรูปธรรม ดังน้ี ■■ สมการ

◊◊ สมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดียว
◊◊ สมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร
◊◊ สมการกำ�ลงั สองตัวแปรเดียว
■■ อสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดียว
■■ ระบบสมการ
■■ พหนุ าม
■■ การแยกตัวประกอบของพหนุ าม
■■ ฟงั กช์ ันก�ำ ลังสอง

คู่มือการใช้หลกั สูตร ระดับมัธยมศึกษาตอนต้น 53

การวัดและเรขาคณิต สถิตแิ ละความน่าจะเปน็

การวัดและเรขาคณติ สถติ แิ ละความนา่ จะเป็น

■■ การสรา้ งทางเรขาคณิต ■■ สถติ ิ
■■ มิตสิ มั พนั ธ์ของรูปเรขาคณติ ■■ ความนา่ จะเป็น
■■ พ้นื ท่ผี วิ
■■ ปรมิ าตร
■■ เส้นขนาน
■■ การแปลงทางเรขาคณติ
■■ ความเท่ากันทกุ ประการ
■■ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
■■ ความคล้าย
■■ อตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิ
■■ วงกลม

54 สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี

จำ�นวนและพีชคณติ

จ�ำ นวนตรรกยะ อตั ราส่วน

■■ จำ�นวนเตม็ ■■ อตั ราสว่ นของจำ�นวนหลาย ๆ จำ�นวน
■■ สมบัติของจ�ำ นวนเตม็ ■■ สัดสว่ น
■■ ทศนิยมและเศษสว่ น ■■ การน�ำ ความรเู้ กย่ี วกับอตั ราสว่ น
■■ จำ�นวนตรรกยะและสมบัติของ
สดั สว่ น และร้อยละไปใช้
จ�ำ นวนตรรกยะ
■■ เลขยกก�ำ ลังท่มี ีเลขช้ีกำ�ลงั เปน็

จำ�นวนเต็มบวก
■■ การน�ำ ความร้เู กย่ี วกบั จำ�นวนเต็ม

จ�ำ นวนตรรกยะ และเลขยกก�ำ ลงั
ไปใชใ้ นการแก้ปญั หา

สมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว สมการเชิงเส้นสองตัวแปร

■■ สมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว ■■ กราฟของความสัมพนั ธ์เชงิ เสน้
■■ การแกส้ มการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว ■■ สมการเชิงเสน้ สองตัวแปร
■■ การน�ำ ความรเู้ กีย่ วกบั การแก้สมการ ■■ การนำ�ความรเู้ กย่ี วกบั สมการเชงิ เส้น

เชิงเส้นตวั แปรเดยี วไปใชใ้ นชวี ิตจริง สองตวั แปรและกราฟของความ
สมั พันธเ์ ชงิ เสน้ ไปใชใ้ นชวี ติ จรงิ

คู่มอื การใชห้ ลักสตู ร ระดับมัธยมศกึ ษาตอนตน้ 55

การวัดและเรขาคณติ สถิตแิ ละความนา่ จะเป็น

การสรา้ งทางเรขาคณติ มติ สิ ัมพันธ์ สถติ ิ

■■ การสร้างพื้นฐานทางเรขาคณติ ■■ หนา้ ตัดของรปู เรขาคณิต ■■ การตงั้ คำ�ถามทางสถติ ิ
■■ การสรา้ งรปู เรขาคณติ สองมติ โิ ดย สามมิติ ■■ การเก็บรวบรวมขอ้ มูล
■■ การน�ำ เสนอข้อมลู
ใชก้ ารสรา้ งพน้ื ฐานทางเรขาคณติ ■■ ภาพที่ได้จากการมองด้านหนา้
■■ การน�ำ ความรเู้ กย่ี วกบั การสรา้ ง ดา้ นข้าง ด้านบนของ ▷ แผนภมู ิรปู ภาพ
รปู เรขาคณิตสามมิติ ▷ แผนภมู แิ ทง่
ทางเรขาคณติ ไปใชใ้ นชีวิตจรงิ ท่ปี ระกอบขนึ้ จากลูกบาศก์ ▷ กราฟเสน้
▷ แผนภมู ิรปู วงกลม
■■ การแปลความหมายข้อมลู
■■ การน�ำ สถติ ไิ ปใช้ในชวี ิตจรงิ

56 สถาบันสง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี

จำ�นวนและพีชคณิต

จ�ำ นวนตรรกยะ จำ�นวนจรงิ

■■ เลขยกกำ�ลงั ทมี่ ีเลขช้กี ำ�ลังเป็น ■■ จ�ำ นวนอตรรกยะ
จำ�นวนเตม็ ■■ จ�ำ นวนจริง
■■ รากที่สองและรากที่สามของ
■■ การน�ำ ความรเู้ ก่ยี วกับจำ�นวนเตม็
จ�ำ นวนตรรกยะ และเลขยกก�ำ ลัง จ�ำ นวนตรรกยะ
ไปใช้ ■■ การนำ�ความรเู้ กย่ี วกบั จ�ำ นวนจรงิ ไปใช้

พหนุ าม การแยกตวั ประกอบของพหุนาม

■■ พหนุ าม ■■ การแยกตวั ประกอบของ
■■ การบวก การลบ และการคูณ พหุนามดีกรสี อง
◊◊ สมบัตกิ ารแจกแจง
ของพหุนาม ◊◊ ก�ำ ลงั สองสมบูรณ์
■■ การหารพหนุ ามดว้ ยเอกนาม ◊◊ ผลต่างของกำ�ลังสอง

ที่มีผลหารเปน็ พหนุ าม

คู่มือการใช้หลักสตู ร ระดับมธั ยมศึกษาตอนต้น 57

การวัดและเรขาคณิต สถิตแิ ละความน่าจะเป็น

การสร้างทางเรขาคณิต พน้ื ที่ผิว ปรมิ าตร สถติ ิ

■■ การนำ�ความรเู้ กีย่ วกบั ■■ การหาพื้นท่ีผิวของปรซิ มึ ■■ การหาปริมาตรของปรซิ มึ ■■ การน�ำ เสนอและวเิ คราะห์
การสรา้ งทางเรขาคณติ ข้อมูล
ไปใช้ในชีวิตจริง และทรงกระบอก และทรงกระบอก ▷ แผนภาพจุด
▷ แผนภาพต้น – ใบ
■■ การนำ�ความรูเ้ ก่ยี วกบั ■■ การนำ�ความรูเ้ กี่ยวกบั ▷ ฮสิ โทแกรม
▷ ค่ากลางของขอ้ มูล
พ้นื ที่ผวิ ของปริซมึ และ ปริมาตรของปริซึมและ
■■ การแปลความหมาย
ทรงกระบอกไปใช้ใน ทรงกระบอกไปใช้ใน ผลลพั ธ์

การแก้ปัญหา การแก้ปญั หา ■■ การน�ำ สถติ ิไปใช้
ในชีวติ จรงิ

เส้นขนาน การแปลงทางเรขาคณิต ความเท่ากนั ทุกประการ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

■■ สมบตั เิ กี่ยวกับเส้นขนาน ■■ การเลอ่ื นขนาน ■■ ความเทา่ กันทุกประการ ■■ ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั
และรูปสามเหล่ยี ม ■■ การสะท้อน ของรปู สามเหลย่ี ม และบทกลับ
■■ การหมนุ
■■ การนำ�ความรู้เก่ยี วกบั ■■ การนำ�ความรู้เกย่ี วกบั ■■ การนำ�ความรูเ้ กย่ี วกับ
ความเท่ากนั ทุกประการ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและ
การแปลงทางเรขาคณติ ไปใชใ้ นการแก้ปญั หา บทกลบั ไปใช้ในชวี ติ จรงิ
ไปใช้ในการแกป้ ญั หา

58 สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

จำ�นวนและพีชคณิต

อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว การแยกตัวประกอบ
ของพหุนาม
■■ อสมการเชงิ เส้น
ตวั แปรเดียว ■■ การแยกตัวประกอบของ
พหุนามดกี รีสงู กว่าสอง
■■ การแกอ้ สมการเชิงเส้น
ตวั แปรเดยี ว

■■ การน�ำ ความรู้เกย่ี วกับ
การแกอ้ สมการเชิงเส้น
ตัวแปรเดียวไปใช้
ในการแกป้ ญั หา

สมการก�ำ ลงั สอง ระบบสมการ ฟังกช์ นั ก�ำ ลงั สอง

■■ สมการก�ำ ลังสอง ■■ ระบบสมการเชิงเส้น ■■ กราฟของฟังก์ชัน
ตัวแปรเดยี ว สองตวั แปร กำ�ลังสอง

■■ การแกส้ มการก�ำ ลงั สอง ■■ การแก้ระบบสมการ ■■ การน�ำ ความรูเ้ กี่ยวกับ
ตัวแปรเดียว เชงิ เสน้ สองตัวแปร ฟงั กช์ นั กำ�ลังสองไปใช้
ในการแก้ปัญหา
■■ การนำ�ความรู้เก่ียวกบั ■■ การน�ำ ความร้เู กยี่ วกับ
การแก้สมการกำ�ลังสอง การแกร้ ะบบสมการเชงิ
ตวั แปรเดยี วไปใช้ เส้นสองตวั แปรไปใช้
ในการแก้ปญั หา ในการแก้ปญั หา

ค่มู ือการใช้หลกั สตู ร ระดับมธั ยมศึกษาตอนต้น 59

การวัดและเรขาคณติ สถิตแิ ละความนา่ จะเป็น

พนื้ ทีผ่ ิว ปรมิ าตร สถติ ิ

■■ การหาพืน้ ทผี่ ิวของ ■■ การหาปริมาตรของ ■■ ขอ้ มลู และการวเิ คราะห์
พีระมิด กรวย พรี ะมดิ กรวย และ ขอ้ มลู
และทรงกลม ทรงกลม ▷ แผนภาพกลอ่ ง

■■ การนำ�ความรู้เกย่ี วกับ ■■ การนำ�ความรเู้ กี่ยวกับ ■■ การแปลความหมาย
พนื้ ท่ผี ิวของพรี ะมิด ปรมิ าตรของพรี ะมดิ ผลลัพธ์
กรวย และทรงกลมไปใช้ กรวย และทรงกลมไปใช้
ในการแก้ปญั หา ในการแก้ปัญหา ■■ การนำ�สถติ ิไปใช้
ในชีวิตจรงิ

ความคลา้ ย อตั ราสว่ นตรโี กณมิติ วงกลม ความน่าจะเป็น

■■ รูปสามเหลยี่ ม ■■ การน�ำ ค่าอตั ราสว่ น ■■ วงกลม คอรด์ และ ■■ เหตกุ ารณ์จาก
ท่ีคลา้ ยกนั ตรโี กณมิติของมมุ เสน้ สมั ผัส การทดลองสุ่ม
30 องศา 45 องศา
■■ การนำ�ความรู้เกี่ยวกับ และ 60 องศา ไปใช้ ■■ ทฤษฎบี ทเก่ยี วกับวงกลม ■■ ความนา่ จะเปน็
ความคล้ายไปใช้ ในการแกป้ ัญหา ■■ การน�ำ ความร้เู กยี่ วกับ
ในการแกป้ ัญหา
ความน่าจะเป็นไปใช้
ในชีวติ จรงิ

60 สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี

12 การวดั ผลประเมนิ ผลการเรียนรู้คณิตศาสตร์

การวัดผลประเมินผลการเรียนรู้ทางคณิตศาสตร์ในปัจจุบันนี้มุ่งเน้น
การวัดและการประเมินการปฏิบัติงานในสภาพที่เกิดข้ึนจริงหรือท่ีใกล้เคียงกับ
สภาพจริง รวมท้ังการประเมินเก่ียวกับสมรรถภาพของผู้เรียนเพิ่มเติมจากความรู้
ทไี่ ดจ้ ากการทอ่ งจ�ำ โดยใชว้ ธิ กี ารประเมนิ ทหี่ ลากหลายจากการทผ่ี เู้ รยี น ไดล้ งมอื
ปฏบิ ัตจิ รงิ ไดเ้ ผชญิ กับปญั หาจากสถานการณ์จริงหรอื สถานการณจ์ ำ�ลอง ไดแ้ ก้
ปัญหา สบื คน้ ข้อมลู และนำ�ความรูไ้ ปใช้ รวมทง้ั แสดงออกทางการคิด

การวดั ผลประเมนิ ผลดังกลา่ วมจี ดุ ประสงค์สำ�คัญดงั ตอ่ ไปนี้
1. เพื่อตรวจสอบผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนและตัดสินผลการเรียนรู้ตาม

สาระการเรียนรู้ มาตรฐานการเรียนรู้ และตัวชี้วัด เพ่ือนำ�ผลท่ีได้จาก
การตรวจสอบไปปรับปรงุ พฒั นาใหผ้ เู้ รยี นเกดิ การเรียนรูท้ ีด่ ยี งิ่ ขน้ึ
2. เพอ่ื วนิ จิ ฉยั ความรทู้ างคณติ ศาสตรแ์ ละทกั ษะทผี่ เู้ รยี นจ�ำ เปน็ ตอ้ งใชใ้ นชวี ติ
ประจำ�วัน เช่น ความสามารถในการแก้ปัญหา การสืบค้น การให้เหตุผล
การสอื่ สาร การสอื่ ความหมาย การน�ำ ความรไู้ ปใช้ การคดิ วเิ คราะห์ การคดิ
สร้างสรรค์ การควบคุมกระบวนการคิด และนำ�ผลท่ีได้จากการวินิจฉัย
ผเู้ รียนไปใชเ้ ป็นแนวทางในการจดั การเรยี นรู้ท่เี หมาะสม
3. เพอ่ื รวบรวมขอ้ มลู และจดั ท�ำ สารสนเทศดา้ นการจดั การเรยี นรู้ โดยใชข้ อ้ มลู
จากการประเมินผลท่ีได้ในการสรุปผลการเรียนของผู้เรียนและเป็นข้อมูล
ป้อนกลับแก่ผู้เรียนหรือผู้เก่ียวข้องตามความเหมาะสม รวมทั้งนำ�
สารสนเทศไปใช้วางแผนบริหารการจดั การศกึ ษาของสถานศึกษา

การก�ำ หนดจุดประสงค์ของการวดั ผลประเมินผลอย่างชดั เจน จะช่วย
ให้เลือกใช้วิธีการและเคร่ืองมือวัดผลได้อย่างมีประสิทธิภาพ สามารถวัดได้ใน
ส่งิ ทีต่ อ้ งการวดั และนำ�ผลท่ีได้ไปใชง้ านได้จริง

คู่มอื การใชห้ ลักสตู ร ระดบั มธั ยมศึกษาตอนต้น 61

แนวทางการวดั ผลประเมินผลการเรียนรู้คณติ ศาสตร์
การวัดผลประเมินผลการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์มแี นวทางทีส่ �ำ คัญดงั นี้

1. การวดั ผลประเมนิ ผลตอ้ งกระท�ำ อยา่ งตอ่ เนอ่ื ง โดยใชค้ �ำ ถามเพอ่ื ตรวจสอบ
และส่งเสริมความรู้ความเข้าใจด้านเนื้อหา ส่งเสริมให้เกิดทักษะและ
กระบวนการทางคณติ ศาสตร์ ดงั ตวั อยา่ งค�ำ ถามตอ่ ไปนี้ “นกั เรยี นแกป้ ญั หา
นไี้ ดอ้ ยา่ งไร” “ใครมวี ธิ กี ารนอกเหนอื ไปจากนบ้ี า้ ง” “นกั เรยี นคดิ อยา่ งไรกบั
วิธีการท่ีเพ่ือนเสนอ” การกระตุ้นด้วยคำ�ถามท่ีเน้นการคิดจะทำ�ให้เกิด
ปฏิสมั พันธ์ระหวา่ งผ้เู รียนด้วยกนั เองและระหว่างผู้เรียนกบั ผู้สอน ผเู้ รยี น
มีโอกาสแสดงความคิดเห็น นอกจากนี้ผู้สอนยังสามารถใช้คำ�ตอบของ
ผู้เรียนเป็นข้อมูลเพื่อตรวจสอบความรู้ความเข้าใจ และพัฒนาการด้าน
ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียนไดอ้ ีกด้วย

2. การวัดผลประเมินผลต้องสอดคล้องกับความรู้ความสามารถของผู้เรียนที่
ระบไุ วต้ ามตวั ชวี้ ดั ซง่ึ ก�ำ หนดไวใ้ นหลกั สตู รทส่ี ถานศกึ ษาใชเ้ ปน็ แนวทางใน
การจดั การเรยี นการสอน ทง้ั นผี้ สู้ อนจะตอ้ งก�ำ หนดวธิ กี ารวดั ผลประเมนิ ผล
เพอื่ ใชต้ รวจสอบวา่ ผเู้ รยี นไดบ้ รรลผุ ลการเรยี นรตู้ ามมาตรฐานทกี่ �ำ หนดไว้
และต้องแจ้งตัวชี้วัดในแต่ละเรื่องให้ผู้เรียนทราบโดยทางตรงหรือทางอ้อม
เพ่อื ให้ผเู้ รยี นได้ปรับปรุงตนเอง

3. การวัดผลประเมินผลต้องครอบคลุมด้านความรู้ ทักษะและกระบวนการ
ทางคณิตศาสตร์ และคุณลักษณะอันพึงประสงค์ โดยเน้นการเรียนรู้ด้วย
การท�ำ งานหรอื การท�ำ กจิ กรรมทส่ี ง่ เสรมิ ใหเ้ กดิ สมรรถภาพทง้ั สามดา้ น ซงึ่ งาน
หรือกจิ กรรมดังกล่าวควรมีลกั ษณะดังนี้
• สาระในงานหรอื กจิ กรรมต้องเน้นใหผ้ เู้ รียนได้ใช้การเชอื่ มโยงความรู้
หลายเร่ือง
• วิธีหรอื ทางเลือกในการด�ำ เนินงานหรือการแกป้ ญั หามหี ลากหลาย
• เงอื่ นไขหรอื สถานการณ์ของปัญหามีลกั ษณะปลายเปิด เพื่อใหผ้ เู้ รยี น
ไดม้ ีโอกาสแสดงความสามารถตามศกั ยภาพของตน
• งานหรือกิจกรรมต้องเอ้ืออำ�นวยใหผ้ เู้ รยี นได้ใชก้ ารสื่อสาร การส่ือ
ความหมายทางคณิตศาสตร์ และการน�ำ เสนอในรูปแบบต่าง ๆ
เช่น การพูด การเขียน การวาดภาพ
• งานหรือกิจกรรมควรมคี วามใกลเ้ คียงกับสถานการณท์ ่ีเกดิ ข้ึนจรงิ
เพ่อื ช่วยให้ผเู้ รยี นได้เห็นการเชอ่ื มโยงระหว่างคณิตศาสตร์กับ
ชีวิตจรงิ ซง่ึ จะก่อให้เกิดความตระหนักในคุณคา่ ของคณติ ศาสตร์

62 สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี

4. การวดั ผลประเมนิ ผลการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตรต์ อ้ งใชว้ ธิ กี ารทห่ี ลากหลายและ
เหมาะสม และใช้เครือ่ งมอื ท่มี ีคณุ ภาพเพ่อื ใหไ้ ด้ขอ้ มูลและสนเทศเกีย่ วกบั
ผู้เรียน เช่น เมื่อต้องการวัดผลประเมินผลเพื่อตัดสินผลการเรียนอาจใช้
การทดสอบ การตอบคำ�ถาม การทำ�แบบฝึกหัด การทำ�ใบกิจกรรม หรือ
การทดสอบย่อย เมื่อต้องการตรวจสอบพัฒนาการการเรียนรู้ของผู้เรียน
ด้านทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ อาจใช้การสังเกตพฤติกรรม
การเรียนรู้ การสัมภาษณ์ การจัดทำ�แฟ้มสะสมงาน หรือการทำ�โครงงาน
การเลอื กใชว้ ธิ กี ารวดั ทเ่ี หมาะสมและเครอื่ งมอื ทม่ี คี ณุ ภาพ จะท�ำ ใหส้ ามารถ
วดั ในสงิ่ ท่ตี อ้ งการวัดได้ ซึ่งจะทำ�ให้ผสู้ อนไดข้ ้อมลู และสารสนเทศเกี่ยวกับ
ผู้เรียนอย่างครบถ้วนและตรงตามวัตถุประสงค์ของการวัดผลประเมินผล
อยา่ งไรกต็ าม ผู้สอนควรตระหนักว่าเครอ่ื งมือวดั ผลประเมนิ ผลการเรยี นรู้
ทใ่ี ชใ้ นการประเมนิ ตามวตั ถปุ ระสงคห์ นง่ึ ไมค่ วรน�ำ มาใชก้ บั อกี วตั ถปุ ระสงค์
หนง่ึ เชน่ แบบทดสอบทใ่ี ชใ้ นการแขง่ ขนั หรอื การคดั เลอื กไมเ่ หมาะสมทจี่ ะ
นำ�มาใช้ตดั สนิ ผลการเรยี นรู้

5. การวดั ผลประเมนิ ผลเปน็ กระบวนการทใ่ี ชส้ ะทอ้ นความรคู้ วามสามารถของ
ผู้เรียน ช่วยให้ผู้เรียนมีข้อมูลในการปรับปรุงและพัฒนาความรู้
ความสามารถของตนเองใหด้ ขี นึ้ ในขณะทผี่ สู้ อนสามารถน�ำ ผลการประเมนิ
มาใชใ้ นการวางแผนการจดั การเรยี นรเู้ พอ่ื ปรบั ปรงุ กระบวนการเรยี นรขู้ อง
ผู้เรยี น รวมทงั้ ปรบั ปรุงการสอนของผสู้ อนให้มีประสิทธิภาพ จงึ ต้องวดั ผล
ประเมินผลอย่างสมำ่�เสมอและนำ�ผลท่ีได้มาใช้ในการพัฒนาการเรียน
การสอน ซง่ึ จะแบ่งการประเมินผลเป็น 3 ระยะ ดงั น้ี

คู่มอื การใช้หลกั สูตร ระดับมัธยมศกึ ษาตอนต้น 63

ประเมิน เป็นการประเมินความรู้พื้นฐานและทักษะจำ�เป็นท่ีผู้เรียนควรมี
ก่อนเรียน ก่อนการเรียนรายวิชา บทเรียน หรือหน่วยการเรียนใหม่ ข้อมูล
ที่ได้จากการวัดผลประเมินผลจะช่วยให้ผู้สอนนำ�ไปใช้ประโยชน์
ในการจดั การเรียนรู้ดังนี้
(1) จัดกลุ่มผู้เรียนและจัดกิจกรรมการเรียนรู้ให้ตรงตาม
ความถนัด ความสนใจ และความสามารถของผเู้ รียน
(2) วางแผนการจดั กจิ กรรมการเรยี นร ู้ โดยผสู้ อนพจิ ารณา
เลือกตวั ช้ีวดั เน้ือหาสาระ กจิ กรรม แบบฝึกหัด อปุ กรณ์ และสือ่
การเรียนรู้ต่าง ๆ ที่เหมาะสมกับความรู้พ้ืนฐานและทักษะของ
ผเู้ รยี น และสอดคล้องกบั การเรยี นรู้ทก่ี ำ�หนดไว้

ประเมิน เปน็ การประเมนิ เพอื่ วนิ จิ ฉยั ผเู้ รยี นในระหวา่ งการเรยี น ขอ้ มลู ทไี่ ด้
ระหวา่ งเรยี น จะชว่ ยใหผ้ สู้ อนสามารถดำ�เนนิ การในเรือ่ งตอ่ ไปนี้
(1) ศึกษาพัฒนาการเรียนรู้ของผู้เรียนเป็นระยะ ๆ
ว่าผู้เรียนมีพัฒนาการเพ่ิมขึ้นเพียงใด ถ้าพบว่าผู้เรียนไม่มี
พัฒนาการเพ่มิ ขึ้นผสู้ อนจะได้หาทางแก้ไขไดท้ ันท่วงที
(2) ปรับปรุงกระบวนการเรียนรู้ของผู้เรียน ถ้าพบว่า
ผู้เรียนไม่เข้าใจบทเรียนใดจะได้จัดให้เรียนซำ้� หรือผู้เรียนเรียนรู้
บทใด ได้เร็วกว่าที่กำ�หนดไว้จะได้ปรับวิธีการเรียนการสอน
นอกจากนยี้ งั ชว่ ยใหท้ ราบจดุ เดน่ และจดุ ดอ้ ยของผเู้ รยี นแตล่ ะคน

ประเมนิ เป็นการประเมินเพื่อนำ�ผลท่ีได้ไปใช้สรุปผลการเรียนรู้หรือ
หลงั เรียน เป็นการวัดผลประเมินผลแบบสรุปรวบยอดหลังจากส้ินสุด
ภาคการศึกษาหรือปีการศึกษาของผู้เรียน รวมทั้งผู้สอนสามารถ
นำ�ผลการประเมินท่ีได้ไปใช้ในการวางแผนและพัฒนาการจัด
การเรียนรใู้ หม้ ีประสิทธิภาพมากข้ึน

64 สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี

ตวั อยา่ งแนวทางการจัดกิจกรรมการเรียนรู้
และการวดั ผลประเมินผลตามตัวชี้วัด

ตวั ชวี้ ัด เข้าใจและประยกุ ตใ์ ช้อตั ราส่วน สัดส่วน และร้อยละ
ในการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์และปัญหาในชีวติ จรงิ
เพ่ือใหก้ ารเรยี นรู้ของนักเรยี นสอดคลอ้ งกบั ตวั ช้วี ดั นี้
ครูควรจดั ประสบการณใ์ หน้ ักเรยี นได้มโี อกาส
◊◊ แสดงความสัมพันธเ์ ชิงสัดส่วนระหวา่ งปรมิ าณและใช้ความสมั พันธ์

เชงิ สัดส่วนแก้ปัญหาอตั ราสว่ นและรอ้ ยละ

แนวทางการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้

1. ครใู ห้ความหมายของสดั สว่ น และเนน้ วา่ สัดส่วนประกอบด้วยจำ�นวน
4 จำ�นวน ในกรณที เ่ี ขยี นสดั สว่ นในรูป a : b = c : d อาจเรียกจ�ำ นวน
a, b, c และ d วา่ จ�ำ นวนทีห่ นึง่ จำ�นวนท่ีสอง จ�ำ นวนทส่ี าม และจำ�นวน
ท่สี ี่ของสดั ส่วนตามลำ�ดบั

2. ครคู วรเนน้ วา่ ในการเขียนสดั สว่ นจากโจทย์ปญั หาทกี่ ำ�หนดใหน้ นั้
ล�ำ ดับของจำ�นวนในแตล่ ะอตั ราสว่ นมคี วามส�ำ คัญ ตัวอย่างเชน่

ป้าทิพย์ชงกาแฟ 5 ถ้วย โดยใชอ้ ัตราส่วนของกาแฟบด 3 ช้อนโต๊ะตอ่
น้�ำ 5 ถว้ ย ถ้าปา้ ทพิ ย์ต้องการเลยี้ งกาแฟผเู้ ข้าประชุมทงั้ หมด 30 คน
คนละ 1 ถว้ ย ป้าทิพย์จะตอ้ งใช้กาแฟบดก่ชี อ้ นโตะ๊

จากโจทย์ปัญหาขา้ งต้น ลำ�ดบั ของจำ�นวนจะต้องอยู่ในรูปปริมาณ
กาแฟบดเป็นช้อนโต๊ะตอ่ ปริมาณนำ�้ เป็นถว้ ย

คมู่ อื การใช้หลกั สตู ร ระดับมัธยมศกึ ษาตอนต้น 65

ปริมาณกาแฟบด

3x

5 30

ปรมิ าณนำ้�

3. ครคู วรอธิบายให้นักเรียนใชห้ ลักการคณู ไขวใ้ นการหาคำ�ตอบของตวั แปร
ในสดั ส่วน

4. ครคู วรฝึกนกั เรยี นใหม้ ีทกั ษะในการเขียนอตั ราส่วนให้อยใู่ นรปู ร้อยละ
และเขยี นรอ้ ยละให้อย่ใู นรูปอัตราสว่ นได้อยา่ งคลอ่ งแคลว่ เพือ่ สามารถ
นำ�ความรูไ้ ปใชแ้ กป้ ญั หาเก่ียวกับร้อยละโดยใชส้ ัดส่วน

5. ครยู กตัวอยา่ งโจทย์ปญั หาในชวี ติ จริงท่ีแสดงความสมั พนั ธเ์ ชิงสัดสว่ น
ระหว่างปรมิ าณ เพือ่ ให้นกั เรยี นใช้ความสมั พันธเ์ ชิงสดั สว่ นนนั้ ๆ
แก้ปญั หาเก่ียวกบั อตั ราส่วนและรอ้ ยละ เช่น
■ ถ้าหัวใจของนักเรยี นคนหน่งึ เตน้ 6 คร้ัง ในทกุ ๆ 5 วินาท ี
อยากทราบวา่ หัวใจของนักเรยี นคนนเี้ ตน้ กี่ครัง้ ในเวลา 1 นาที
■ ทองเหลืองเป็นโลหะผสมระหว่างทองแดงกับสงั กะสี
ทองเหลืองแตล่ ะชนิดแตกต่างกันทีส่ ่วนผสมของโลหะทัง้ สองชนิดน้ี
ทองเหลอื งชนิดหน่งึ มีอตั ราส่วนของน�้ำ หนกั ทองแดงต่อน�้ำ หนัก
สังกะสเี ปน็ 7 : 3 ถา้ ต้องการทองเหลืองหนัก 350 กรัม
จะต้องใชท้ องแดงและสงั กะสผี สมกนั อยา่ งละกีก่ รมั

6. เพอ่ื ใหน้ ักเรียนเหน็ ประโยชน์ของการแกโ้ จทย์ปัญหาโดยใชส้ ดั ส่วน
ครคู วรนำ�โจทย์ปัญหาหรือสถานการณท์ เ่ี กยี่ วกบั อัตราสว่ นและร้อยละ
มาใหน้ ักเรยี นได้ฝกึ ทักษะเพ่ิมข้นึ

66 สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี

แนวทางการวัดผลประเมนิ ผล

นอกจากการจัดการเรียนร้ใู หส้ อดคลอ้ งกับตวั ชว้ี ัด สถานการณป์ ัญหา
ทใี่ ชห้ รอื การประเมนิ ผลการเรยี นรขู้ องผเู้ รยี นทม่ี สี ว่ นส�ำ คญั โดยเฉพาะอยา่ งยง่ิ
สถานการณป์ ญั หาทส่ี ง่ เสรมิ การคดิ วเิ คราะหแ์ ละเปดิ โอกาสใหน้ กั เรยี นไดแ้ สดง
ความคดิ ซงึ่ ครคู วรก�ำ หนดเกณฑใ์ นการใหค้ ะแนนเพอ่ื ใหผ้ เู้ รยี นสามารถตรวจสอบ
คุณภาพของคำ�ตอบทไ่ี ด้

ตวั อย่าง ไร่ฟ้าสวยในภาคเหนือปลูกผลไม้ฤดูหนาวไว้หลายชนิด เช่น ล้ินจี่
สถานการณ์ สตรอว์เบอร์รี บางคร้ังได้ผลผลิตต่อไร่มากและจำ�หน่ายไม่ทัน เจ้าของ
จะนำ�ผลไม้ท่ีได้มาแปรรูปเพ่ือเพิ่มมูลค่าให้กับผลผลิต เช่น ทำ�นำ้�ผลไม้
ปัญหา และท�ำ แยม แยมสตรอวเ์ บอรร์ ขี องไรฟ่ า้ สวยมชี อ่ื เสยี งในเรอ่ื งรสชาตแิ ละ
ความอร่อย สูตรในการท�ำ แยมสตรอวเ์ บอร์รี 1.6 กโิ ลกรัม เป็นดังนี้

แยมสตรอว์เบอรร์ ี
สตรอว์เบอร์รีสด 1.1 กโิ ลกรมั
น้ำ�ตาล 1 กิโลกรมั
น้�ำ มะนาว 1.2 มิลลลิ ิตร

คู่มอื การใชห้ ลักสตู ร ระดับมัธยมศึกษาตอนตน้ 67

ใหน้ ักเรยี นแสดงวิธีท�ำ เพอ่ื ตอบค�ำ ถามตอ่ ไปน้ี

1. ในการทำ�แยมสตรอวเ์ บอรร์ ีคร้ังหนง่ึ ถา้ ใชน้ ำ้�ตาล 2.5 กโิ ลกรัม
จะตอ้ งใชส้ ตรอวเ์ บอร์รีสดกีก่ ิโลกรมั (4 คะแนน)

2. ถา้ ทำ�แยม 32 กโิ ลกรัม จะตอ้ งใช้สตรอว์เบอรร์ ีสดและน�ำ้ ตาล
อย่างละกก่ี โิ ลกรัม และใช้น้ำ�มะนาว กีม่ ลิ ลิลติ ร (6 คะแนน)

3. ถ้าทำ�แยมสตรอวเ์ บอรร์ ี 1 กิโลกรมั ต้องลงทนุ 175 บาท แลว้ เจา้ ของไร่
ควรขายแยมสตรอวเ์ บอรร์ ีซ่ึงบรรจุขวดละ 4 ขีด ขวดละเทา่ ไรจึงจะได้
กำ�ไร 30% (ไมค่ ิดราคาของขวดท่ีใชบ้ รรจ)ุ (8 คะแนน)

(ก�ำ หนดเวลา 20 นาที คะแนนเตม็ 18 คะแนน)

เฉลย

1. ใหใ้ ชส้ ตรอว์เบอร์รีสด x กโิ ลกรัม เมือ่ ใช้น�ำ้ ตาล 2.5 กโิ ลกรัม
จะได้อัตราส่วนของน้ำ�หนกั สตรอว์เบอร์รสี ดตอ่ นำ้�หนกั น�ำ้ ตาล
เป็น x : 2.5

จากสงิ่ ท่กี ำ�หนดให้ ถา้ ใช้สตรอวเ์ บอรร์ สี ด 1.1 กิโลกรมั
ตอ้ งใช้น้ำ�ตาล 1 กิโลกรัม จะไดอ้ ตั ราส่วนของน�ำ้ หนัก
สตรอว์เบอร์รสี ดตอ่ น้�ำ หนักน้�ำ ตาล เปน็ 1.1 : 1
เขียนสัดสว่ นไดด้ ังนี้ x = 1.1
2.5 1
จะได ้ x × 1 = 2.5 × 1.1

ดงั นัน้ x = 2.75

นนั่ คือ จะต้องใชส้ ตรอวเ์ บอรร์ ีสด 2.75 กิโลกรมั

68 สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี

32
2. เน่ืองจากจะทำ�แยมสตรอวเ์ บอรร์ ี 32 กิโลกรมั ซึง่ เป็น 1.6
หรอื 20 เทา่ ของแยม 1.6 กโิ ลกรมั จงึ ตอ้ งใชส้ ตรอวเ์ บอรร์ สี ด

นำ้�ตาล และน�้ำ มะนาว เป็น 20 เทา่ ของทุกจำ�นวนในสูตร

การทำ�แยมสตรอว์เบอร์ร ี 1.6 กิโลกรมั

จงึ ใช้ สตรอว์เบอร์รีสด 20 × 1.1 = 22 กโิ ลกรัม

น�ำ้ ตาล 20 × 1 = 20 กโิ ลกรมั

นำ้�มะนาว 20 × 1.2 = 24 มลิ ลิลิตร

ดงั นั้น ตอ้ งใช้ สตรอว์เบอร์รสี ด 22 กิโลกรัม

น�้ำ ตาล 20 กโิ ลกรัม

นำ�้ มะนาว 24 มลิ ลลิ ิตร

3. เน่อื งจาก 1 กโิ ลกรัม มี 10 ขดี
จากโจทย ์ จะได้ต้นทนุ แยมสตรอว์เบอรร์ ีขีดละ 175 = 17.50 บาท

10
ขวดทบ่ี รรจุ 4 ขดี มีตน้ ทุนขวดละ 4 × 17.50 = 70 บาท

เจ้าของไร่ต้องการขายใหไ้ ด้ก�ำ ไร 30%

หมายความวา่ ลงทุน 100 บาท ต้องขายให้ไดก้ �ำ ไร 30 บาท

ในการลงทนุ 70 บาท สมมตใิ ห้ขายไดก้ �ำ ไร y บาท

เขียนสดั ส่วนได้เปน็ 7y0 = 13000

จะได้ y × 100 = 70 × 30

y = 701×0030

y = 21



ดังนนั้ ต้องขายใหไ้ ด้ก�ำ ไร 21 บาท

น่นั คอื ต้องขายแยมขวดละ 70 + 21 = 91 บาท

คู่มือการใช้หลักสูตร ระดบั มัธยมศกึ ษาตอนตน้ 69

เกณฑ์การใหค้ ะแนน

ข้อ รายการประเมนิ คะแนน
(คะแนนเต็ม)

1 (4) • ก�ำ หนดตัวแปรไดส้ อดคลอ้ งกับเงือ่ นไขของโจทย์ 1
• เขยี นสดั สว่ นไดถ้ ูกตอ้ ง 1
• หาค่าตวั แปรในสัดส่วนได้ถูกตอ้ ง 1
• สรุปค�ำ ตอบไดถ้ กู ตอ้ งและสอดคลอ้ งกับเงื่อนไข 1
ของโจทย์

2 (6) • แสดงแนวคิดเพื่อนำ�ไปสู่การหาสว่ นผสมที่ใช้วา่ 2
ต้องเป็น 20 เท่าของปรมิ าณของสูตรการทำ�แยม
ได้ถกู ต้อง 3
1
• แสดงวธิ หี าปรมิ าณของสตรอวเ์ บอรร์ สี ด นำ�้ ตาล
และน�ำ้ มะนาว ทถี่ ูกต้องได้ (คำ�ตอบละ 1 คะแนน)

• สรปุ ค�ำ ตอบได้ถูกตอ้ งและสอดคล้องกับเงือ่ นไข
ของโจทย์

3 (8) • แสดงแนวคดิ เพื่อนำ�ไปส่กู ารหาตน้ ทุนของแยม 2
สตรอว์เบอร์รขี วดละ 4 ขดี ไดถ้ กู ตอ้ ง
2
• ก�ำ หนดตัวแปรไดส้ อดคล้องกบั เงอ่ื นไขของโจทย์ 1
• เขยี นสดั สว่ นได้ถูกต้อง 1
• หาคา่ ตวั แปรในสดั ส่วนไดถ้ กู ตอ้ ง 2
• สรุปค�ำ ตอบได้ถูกต้องและสอดคลอ้ งกบั เงือ่ นไข

ของโจทย์

70 สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ตวั ชีว้ ัด เข้าใจและใชส้ มบตั ิของรูปสามเหลี่ยมทเ่ี ท่ากันทกุ ประการ
ในการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์และปัญหาในชีวติ จรงิ
เพ่ือให้การเรยี นรู้ของนักเรียนสอดคลอ้ งกบั ตวั ช้ีวัดนี้
ครูควรจัดประสบการณใ์ หน้ ักเรยี นไดม้ ีโอกาส
◊◊ อธิบายการสรา้ งพื้นฐานทางเรขาคณติ และรูปเรขาคณิตสองมิติ

โดยใหเ้ หตุผลประกอบ

แนวทางการจัดกจิ กรรมการเรียนรู้

1. ครทู บทวนให้นกั เรียนเหน็ ว่า การตรวจสอบความเทา่ กันทุกประการของ
รปู สามเหล่ียมสองรูป ตอ้ งตรวจสอบการเท่ากันของความยาวของดา้ นที่
สมนัยกัน 3 คู่ และการเท่ากันของขนาดของมมุ คทู่ ่สี มนัยกันอีกสามคู่ ซึ่ง
เราสามารถตรวจสอบการเท่ากันของความยาวของด้านหรอื ขนาดของมมุ
เพยี ง 3 คู่ ตามเง่ือนไขท่ีก�ำ หนด กเ็ ปน็ การเพียงพอทีจ่ ะสรุปวา่
รปู สามเหลี่ยมสองรูปนน้ั เทา่ กันทกุ ประการ ดังต่อไปนี้

■■ การทบทวนรปู สามเหล่ยี มสองรปู ทส่ี มั พนั ธ์กันแบบ ดา้ น – มุม – ด้าน
ครูควรเนน้ ยำ้�วา่
“รูปสามเหลีย่ มทัง้ สองรูปดังกล่าว มดี ้านยาวเทา่ กันสองคู่ และมุมทม่ี ี
ขนาดเท่ากันนน้ั ต้องเปน็ มุมท่ีอยใู่ นระหว่างด้านคู่ท่ียาวเทา่ กัน จึงจะเป็น
เงอื่ นไขทเี่ พยี งพอจะสรปุ วา่ รปู สามเหล่ยี มสองรปู นน้ั เทา่ กนั ทกุ ประการ”

■■ การทบทวนรปู สามเหลย่ี มสองรูปท่ีสัมพันธก์ นั แบบ มมุ – ดา้ น – มมุ
ครคู วรเน้นย�ำ้ ว่า
“รูปสามเหลี่ยมสองรูปดังกลา่ ว มขี นาดของมมุ เทา่ กนั สองคู่ และความยาว
ของดา้ นซึ่งเปน็ แขนร่วมของมมุ ทง้ั สองต้องเทา่ กนั จึงจะเป็นเงื่อนไขท่ี
เพยี งพอจะสรปุ ว่า รูปสามเหล่ยี มสองรปู นน้ั เทา่ กันทกุ ประการ”

■■ การทบทวนรปู สามเหลย่ี มสองรปู ที่สมั พนั ธก์ นั แบบ ดา้ น – ด้าน – ด้าน
ครูควรเนน้ ยำ้�วา่
“รูปสามเหลย่ี มสองรูปดงั กล่าว มดี า้ นยาวเทา่ กนั สามคู่ กเ็ ปน็ เง่อื นไขท่ี
เพยี งพอจะสรุปวา่ รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเทา่ กันทุกประการ โดยไม่ต้อง
พิจารณาขนาดของมมุ ”

คู่มอื การใช้หลกั สูตร ระดับมัธยมศกึ ษาตอนตน้ 71

2. ครูให้นกั เรยี นทำ�กิจกรรมเก่ยี วกับรปู สามเหลย่ี มหน้าจ่วั โดยครู
ยกตัวอยา่ งรูปสามเหลี่ยมหนา้ จ่วั ทีน่ ักเรยี นเคยพบเห็น เช่น หน้าจั่ว
หลงั คาโบสถ์ หรือศาลา เพอื่ นำ�เข้าสบู่ ทนิยามของรปู สามเหลีย่ มหน้าจวั่
บนระนาบทีก่ ล่าวว่า “รปู สามเหล่ียมหนา้ จ่วั คอื รูปสามเหลยี่ มทมี่ ดี ้านยาว
เท่ากันสองดา้ น”
จากนน้ั ใหน้ กั เรยี นสำ�รวจและคน้ หาสมบัตขิ องรูปสามเหลยี่ มหนา้ จวั่
ดว้ ยตนเอง โดยใชค้ �ำ ถามเปน็ กรอบในการกระตนุ้ ใหน้ กั เรยี นคน้ หาค�ำ ตอบ
และนำ�สมบัตขิ องความเท่ากันทกุ ประการมาใชใ้ นการอธิบาย ให้เหตุผล
ซึ่งคำ�ตอบที่ไดจ้ ากการส�ำ รวจเปน็ ไปตามสมบตั ขิ องรปู สามเหลยี่ มหน้าจว่ั
และน�ำ ไปใชอ้ า้ งองิ ในการพสิ จู นไ์ ด้ เช่น
■ เสน้ แบ่งครึง่ มุมยอดของรปู สามเหลีย่ มหน้าจ่วั จะแบง่ รูปสามเหล่ยี ม
หน้าจวั่ ออกเป็นรปู สามเหลยี่ มสองรูปทเ่ี ทา่ กันทกุ ประการ
■ มมุ ทฐ่ี านของรูปสามเหลย่ี มหนา้ จ่วั มขี นาดเท่ากนั

3. ครูยกตัวอย่างการสร้างเสน้ แบ่งครง่ึ มุม เพื่อแสดงการน�ำ สมบัติของ
ความเท่ากันทกุ ประการของรปู สามเหลยี่ มไปใช้ในการพิสจู นเ์ พ่อื ยืนยนั วา่
ผลจากการสรา้ งนน้ั เป็นจริง คือ เสน้ แบง่ ครึง่ มมุ ท่สี ร้างน้นั แบ่งมมุ ออกเป็น
สองมมุ ทมี่ ขี นาดเทา่ กัน

4. เพื่อให้นักเรยี นเห็นประโยชน์ของความเท่ากันทกุ ประการ ครนู ำ�โจทย์
ปญั หาหรอื สถานการณ์ท่เี ก่ียวกบั ความเท่ากนั ทุกประการมาใหน้ กั เรยี น
รว่ มกนั ฝกึ เช่น
รัมภานำ�ไมไ้ ผท่ ่มี คี วามยาว 1 เมตร และ 2.5 เมตร อย่างละสองอัน
มาเรียงเพ่ือใหเ้ ปน็ รปู สเี่ หล่ยี มผืนผ้า แลว้ วดั ความยาวของ เส้นทแยง
มุมทงั้ สองของรปู สเี่ หลย่ี ม ถา้ เส้นทแยงมุมยงั ยาวไมเ่ ท่ากัน รมั ภาก็
จัดไมไ้ ผท่ ้งั ส่ใี หม่ให้เปน็ รปู สี่เหลยี่ มทเี่ สน้ ทแยงมุมยาวเทา่ กัน แลว้
รมั ภาก็บอกว่ารปู สเ่ี หล่ียมทไี่ ดเ้ ปน็ รูปส่ีเหลย่ี มผนื ผา้ นกั เรียนคิดวา่
รูปสีเ่ หล่ียมทีร่ ัมภาสรา้ งจากไม้ไผด่ ังกลา่ วน้ี เปน็ รปู สเ่ี หลี่ยมผนื ผ้า
จรงิ หรอื ไม่ เพราะเหตุใด

5. ครูและนักเรยี นร่วมกนั น�ำ เสนอและอภิปรายถึงสถานการณ์ทีเ่ ราสามารถ
นำ�ความรู้เก่ียวกบั ความเทา่ กันทุกประการมาประยุกตใ์ ช้ได้

72 สถาบนั สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

แนวทางการวัดผลประเมนิ ผล

นอกจากการจัดการเรยี นร้ใู ห้สอดคล้องกับตัวช้ีวัด สถานการณป์ ญั หา
ทใี่ ชห้ รอื การประเมนิ ผลการเรยี นรขู้ องผเู้ รยี นทมี่ สี ว่ นส�ำ คญั โดยเฉพาะอยา่ งยงิ่
สถานการณป์ ญั หาทส่ี ง่ เสรมิ การคดิ วเิ คราะหแ์ ละเปดิ โอกาสใหน้ กั เรยี นไดแ้ สดง
ความคดิ ซงึ่ ครคู วรก�ำ หนดเกณฑใ์ นการใหค้ ะแนนเพอ่ื ใหผ้ เู้ รยี นสามารถตรวจสอบ
คณุ ภาพของคำ�ตอบที่ได้

ตวั อยา่ ง ปญั หาวา่ วหางปลา
สถานการณ์
ก�ำ หนดให้ ABCD เป็นรูปสเี่ หลี่ยมรปู วา่ ว
ปญั หา ม ี AB = AD, BC = DC และ AC เป็น
เส้นทแยงมุม ต่อ AB ถึงจดุ E และต่อ AD
ถงึ จุด F ให้ AE = AF ลาก CE และ CF

จงตอบคำ�ถามตอ่ ไปนี้

1. ABC = ADC หรอื ไม ่ เพราะเหตุใด (3 คะแนน)
2. CBE = CDF หรือไม่ เพราะเหตใุ ด (3 คะแนน)
3. BE = DF หรือไม่ เพราะเหตใุ ด (3 คะแนน)
4. Δ BCE = Δ DCF หรอื ไม่ เพราะเหตุใด (3 คะแนน)
5. CE = CF หรือไม่ เพราะเหตุใด (3 คะแนน)

(กำ�หนดเวลา 15 นาที คะแนนเตม็ 15 คะแนน)

คู่มอื การใชห้ ลกั สูตร ระดบั มธั ยมศึกษาตอนตน้ 73

เฉลย

1. เท่ากนั เพราะ

พจิ ารณา Δ ABC และ Δ ADC

เน่ืองจาก AB = AD และ BC = DC (ก�ำ หนดให)้

AC = AC ( AC เป็นดา้ นรว่ ม)

จะได ้ Δ ABC = Δ ADC (ด.ด.ด.)

ดงั น้นั ABC = ADC (มุมคู่ท่สี มนยั กันของ

รูปสามเหลี่ยมสองรปู ทเี่ ท่ากัน

ทกุ ประการ จะมีขนาดเทา่ กัน)

2. เทา่ กัน เพราะ
ABC + CBE = ADC + CDF = 180o (ขนาดของมมุ ตรงและ
สมบตั ขิ องการเท่ากนั )
แต่ ABC = ADC (ผลจากข้อ 1)
ดงั นน้ั CBE = CDF (สมบัตขิ องการเท่ากัน)

74 สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี

3. เท่ากนั เพราะ

AE = AF (ก�ำ หนดให)้

AB = AD (ก�ำ หนดให้)

จะได ้ AE – AB = AF – AD (สมบัตขิ องการเทา่ กัน)

ดงั น้ัน BE = DF

4. เทา่ กันทกุ ประการ เพราะ

BC = DC (กำ�หนดให้)

CBE = CDF (ผลจากขอ้ 2)

และ BE = DF (ผลจากข้อ 3)

จะได ้ Δ BCE = Δ DCF (ด.ม.ด.)

5. เทา่ กนั เพราะ (ผลจากขอ้ 4)
Δ BCE = Δ DCF
ดังนัน้ CE = CF (ดา้ นคู่ทีส่ มนัยกันของ

รูปสามเหลย่ี มสองรปู ท่ีเท่ากัน

ทุกประการจะยาวเทา่ กนั )

คมู่ ือการใช้หลกั สตู ร ระดับมธั ยมศึกษาตอนตน้ 75

เกณฑ์การใหค้ ะแนน

ขอ้ รายการประเมิน คะแนน
(คะแนนเต็ม)

การตรวจใหค้ ะแนนแตล่ ะขอ้ ให้ถือปฏบิ ตั ิดังน้ี
1. ถ้านักเรียนมีขอ้ บกพรอ่ งในการใชส้ ัญลักษณท์ างเรขาคณติ

ให้หกั รวม 1 คะแนน
2. ถ้านกั เรยี นมีขอ้ บกพรอ่ งในการอ้างองิ ในวงเลบ็

ใหห้ ักรวม 1 คะแนน
ทง้ั นก้ี ารหกั คะแนน ตอ้ งไมม่ ากกวา่ คะแนนทน่ี กั เรยี นไดร้ บั ในขอ้ นน้ั

1 (3) • ตอบถูกต้อง ใหเ้ หตุผลและอา้ งอิงไดถ้ ูกต้องสมบรู ณ์ 3
• ตอบถูกตอ้ ง ให้เหตุผลและอ้างองิ จนสรุปไดว้ ่า Δ ABC = Δ ADC 2
แตไ่ มไ่ ด้สรุปวา่ ABC = ADC หรอื สรุปไมถ่ ูกต้อง
• ตอบถูกต้อง ใหเ้ หตผุ ลและอา้ งอิงเพียงบางสว่ นทอ่ี าจนำ�ไปสู่ 1
การสรุปได้วา่ ABC = ADC
• ตอบถกู ตอ้ ง แตไ่ มไ่ ด้ดำ�เนนิ การในขน้ั ต่อไปหรือดำ�เนนิ การ 0.5
ในข้นั ต่อไปไม่ถูกต้อง
• ตอบไม่ถกู ตอ้ งหรือไมต่ อบ ทง้ั ไม่ได้ด�ำ เนินการในขนั้ ต่อไปหรอื 0
ด�ำ เนนิ การในขน้ั ต่อไปไม่ถกู ต้อง

76 สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน

ข้อ รายการประเมนิ คะแนน
(คะแนนเตม็ ) 3
2
2 (3) • ตอบถกู ตอ้ ง ให้เหตผุ ลและอา้ งองิ ไดถ้ กู ตอ้ งสมบูรณ์
• ตอบถูกต้อง ให้เหตุผลและอ้างองิ จนสรปุ ได้วา่ 1
ABC + CBE = ADC + CDF และ ABC = ADC แตไ่ มไ่ ด้
สรปุ ว่า CBE = CDF หรือสรปุ ไมถ่ ูกต้อง 0.5
• ตอบถกู ตอ้ ง ใหเ้ หตุผลและอ้างอิงได้เพียงว่า 0
ABC + CBE = ADC + CDF หรือ ABC = ADC
อย่างใดอยา่ งหนึ่ง
• ตอบถูกต้อง แตไ่ มไ่ ดด้ ำ�เนินการในข้นั ตอ่ ไปหรอื ดำ�เนินการ
ในขั้นตอ่ ไปไมถ่ กู ตอ้ ง
• ตอบไม่ถกู ต้องหรือไม่ตอบ ท้งั ไม่ได้ด�ำ เนินการในข้นั ต่อไป
หรือดำ�เนินการในข้นั ต่อไปไม่ถูกต้อง

3 (3) • ตอบถกู ตอ้ ง ใหเ้ หตผุ ลและอา้ งองิ ได้ถูกต้องสมบรู ณ์ 3
• ตอบถกู ต้อง ให้เหตผุ ลและอ้างองิ จนสรุปไดว้ า่ 2
AE – AB = AF – AD แตไ่ มไ่ ด้สรุปว่า BE = DF
หรอื สรปุ ไม่ถกู ต้อง 1
• ตอบถูกต้อง ให้เหตผุ ลและอา้ งองิ จนสรุปได้ว่า AE = AF และ
AB = AD แต่ไมด่ �ำ เนนิ การในข้ันตอ่ ไปหรือด�ำ เนินการใน 0.5
ขนั้ ตอ่ ไปไมถ่ กู ต้อง 0
• ตอบถกู ต้อง แต่ไม่ไดด้ �ำ เนินการในขน้ั ต่อไปหรือด�ำ เนินการ
ในขั้นตอ่ ไปไม่ถูกตอ้ ง
• ตอบไมถ่ ูกต้องหรอื ไม่ตอบ ทง้ั ไม่ได้ดำ�เนินการในขนั้ ตอ่ ไป
หรือดำ�เนินการในขั้นต่อไปไม่ถูกตอ้ ง

คมู่ อื การใช้หลักสูตร ระดับมธั ยมศึกษาตอนตน้ 77

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน

ข้อ รายการประเมนิ คะแนน
(คะแนนเต็ม)
3
4 (3) • ตอบถกู ต้อง ใหเ้ หตผุ ลและอ้างอิงได้ถูกต้องสมบูรณ์ 2
• ตอบถูกตอ้ ง ให้เหตุผลและอ้างองิ จนสรุปไดใ้ นประเดน็ ว่า
BC = DC, CBE = CDF และ BE = DF แตไ่ มไ่ ดส้ รปุ วา่ 1
Δ BCE = Δ DCF หรอื สรุปไม่ถกู ตอ้ ง 0.5
• ตอบถูกตอ้ ง แตใ่ หเ้ หตุผลและอา้ งองิ ถงึ การเท่ากนั ของ 0
ขนาดของดา้ นหรอื ขนาดของมุมไดไ้ ม่ครบท้งั สามประเดน็
• ตอบถกู ตอ้ ง แตไ่ มไ่ ดด้ ำ�เนนิ การในขั้นต่อไปหรอื ดำ�เนนิ การ
ในขนั้ ต่อไปไมถ่ ูกตอ้ ง
• ตอบไมถ่ ูกตอ้ งหรือไมต่ อบ ทง้ั ไมไ่ ดด้ �ำ เนินการในขั้นต่อไป
หรอื ดำ�เนนิ การในขัน้ ต่อไปไม่ถกู ต้อง

5 (3) • ตอบถกู ต้อง ให้เหตุผลและอา้ งองิ ไดถ้ กู ต้องสมบูรณ์ 3

• ตอบถกู ตอ้ ง ใหเ้ หตุผลและอ้างอิงจนสรปุ ได้วา่ Δ BCE = Δ DCF 2

แตไ่ มไ่ ด้สรปุ วา่ CE = CF หรอื สรุปไมถ่ กู ต้อง

• ตอบถกู ตอ้ ง แตไ่ ม่ได้ด�ำ เนินการในขนั้ ต่อไปหรอื ดำ�เนินการ 0.5

ในข้ันต่อไปไม่ถูกตอ้ ง

• ตอบไม่ถกู ตอ้ งหรือไม่ตอบ ทงั้ ไม่ไดด้ �ำ เนนิ การในข้ันต่อไป 0

หรอื ด�ำ เนนิ การในขัน้ ตอ่ ไปไม่ถูกต้อง

78 สถาบันสง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ตวั อยา่ ง ปญั หาทอ่ ส่งน�ำ้ มนั
สถานการณ์
วิศวกรต้องการวางท่อส่งน้ำ�มันลอดใต้ภูเขาเป็น
ปญั หา แนวเสน้ ตรงจาก ต�ำ แหนง่ ทจ่ี ดุ A ถงึ จดุ B หนา้ ภเู ขา
เป็นท่ีราบโล่ง วิศวกรแสดงวิธีหาความยาวของ
AB ท่อส่งน�้ำ มันใตภ้ ูเขาจากจดุ A ถึงจุด B โดยทำ�ดงั น้ี
ทร่ี าบโลง่

A B 1. สร้าง Δ ABC A B 2. ตอ่ AC ไปทาง

บนท่รี าบโล่ง จุด C ถึงจุด E

หนา้ ภูเขา ให้ CE = AC

C ตอ่ BC ไปทาง

จดุ C ถึงจุด F

ให ้ CF = BC

F E ลาก EF

วศิ วกรบอกว่าสามารถหาความยาวของ AB โดยวัดความยาวของ EF แทน
แนวคดิ ของวศิ วกรถกู ต้องหรอื ไม่ จงให้เหตุผลทางเรขาคณติ ประกอบคำ�ตอบ

(กำ�หนดเวลา 7 นาที คะแนนเต็ม 10 คะแนน)

เฉลย

แนวคดิ ของวิศวกรถูกตอ้ ง ด้วยเหตุผลดังน้ี

พิจารณา Δ ABC และ Δ EFC ซ่ึงมี

AC = EC (จากการสรา้ ง)

BC = FC (จากการสรา้ ง)

และ ACB = ECF (ถา้ เสน้ ตรงสองเสน้ ตดั กัน

แลว้ มมุ ตรงขา้ มมีขนาดเท่ากัน)

ดงั น้นั Δ ABC = Δ EFC (ด.ม.ด.)

จะได ้ AB = EF (ดา้ นคู่ทีส่ มนัยกันของรปู สามเหล่ยี ม

สองรปู ท่ีเท่ากนั ทุกประการจะยาวเทา่ กนั )

คมู่ อื การใชห้ ลักสูตร ระดบั มธั ยมศึกษาตอนตน้ 79

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน

ข้อ รายการประเมิน คะแนน
(คะแนนเตม็ )
2
(2) ปญั หาน้มี ีคะแนนเตม็ 10 คะแนน แบ่งใหค้ ะแนนเปน็ 2 สว่ น ดังนี้ 0
ส่วนทหี่ นงึ่ การตอบวา่ แนวคดิ ของวิศวกรถูกต้องหรือไม่
• ตอบถกู ตอ้ ง
• ตอบไมถ่ กู ตอ้ ง หรอื ไมต่ อบ

(8) ส่วนทสี่ อง การให้เหตผุ ลและอา้ งองิ ประกอบค�ำ ตอบ

การใหเ้ หตผุ ลและอา้ งอิง ใชเ้ กณฑก์ ารให้คะแนนโดยแบง่ เปน็ ตอน ๆ

โดยแยกการใหค้ ะแนนสว่ นท่ีเปน็ ข้อความแสดงเหตผุ ล และสว่ นของ

การอา้ งองิ ดงั รายละเอยี ดทรี่ ะบไุ วใ้ นเฉลย ซ่ึงกำ�หนดเป็นภาพรวมของ

การให้คะแนนดงั น้ี

• แสดงวา่ Δ ABC = Δ EFC และมผี ลทำ�ใหไ้ ดว้ า่ AB = EF 8

โดยระบุขอ้ ความแสดงเหตผุ ลและการอ้างองิ ได้ถกู ต้องสมบรู ณ์

• แสดงวา่ Δ ABC = Δ EFC และมีผลทำ�ใหไ้ ดว้ า่ AB = EF 5-7

โดยระบขุ อ้ ความแสดงเหตุผลไดถ้ ูกต้องแต่การอา้ งอิงไมส่ มบูรณ์

• แสดงวา่ Δ ABC = Δ EFC และมีผลท�ำ ใหไ้ ดว้ า่ AB = EF 1-4

โดยระบขุ ้อความแสดงเหตผุ ลแตเ่ พียงครา่ ว ๆ และการอา้ งองิ

ไม่สมบูรณ์

• ทำ�ไดไ้ ม่ถงึ เกณฑท์ ่กี �ำ หนดข้างตน้ หรือไม่ไดท้ �ำ 0

หมายเหตุ ในการตรวจใหค้ ะแนน ถ้านักเรยี นมขี อ้ บกพร่องในการใช้

สญั ลักษณท์ างเรขาคณิต ใหห้ กั รวม 1 คะแนน โดยการหกั คะแนน

ตอ้ งไม่มากกว่าคะแนนที่นักเรียนได้รบั

80 สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี

ตัวชี้วัด ประยกุ ต์ใชร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรในการแก้ปัญหา
คณิตศาสตร์
เพอ่ื ให้การเรียนรขู้ องนักเรยี นสอดคล้องกบั ตวั ชี้วดั นี้
ครคู วรจัดประสบการณใ์ ห้นกั เรียนได้มโี อกาส
◊◊ อธิบายลกั ษณะคำ�ตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรจาก

การสงั เกตระบบสมการหรือกราฟ
◊◊ แก้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรที่ประกอบด้วยสมการเชงิ เส้น

สองตัวแปรสองสมการโดยใชว้ ธิ ที างพชี คณติ

แนวทางการจดั กจิ กรรมการเรียนรู้

1. ครทู บทวนความหมายของสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรพร้อมทัง้ ยกตวั อย่าง
ของสมการทัง้ ในรปู แบบ ax + by + c = 0 และ y = px + q

2. ครทู บทวนการเขยี นกราฟของสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร โดยเนน้ ให้
นักเรียนหาคอู่ ันดับทเ่ี ปน็ พิกดั ของจดุ ซ่ึงสอดคล้องกับสมการมาสามจดุ
แล้วจึงเขยี นกราฟ

3. ครูให้นักเรยี นเขียนกราฟของสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรสองสมการ
โดยใช้แกนคูเ่ ดยี วกนั และให้กราฟของสมการทงั้ สองเปน็ ดงั กรณีต่อไปน้ี

กรณีท่ี 1 กราฟของสมการทัง้ สองตดั กันทจ่ี ดุ เพยี งจดุ เดยี ว
เชน่ กราฟของ 3x – y = 3 และ y = -2x + 2
กรณที ่ี 2 กราฟของสมการท้งั สองทบั กันหรอื เป็นเส้นเดียวกัน
เช่น กราฟของ x = 2y + 1 และ 4y = 2x – 2
กรณที ่ี 3 กราฟของสมการท้ังสองขนานกนั
เชน่ กราฟของ 3x = 2y – 6 และ 4y – 6x = -6

คมู่ อื การใช้หลกั สตู ร ระดบั มัธยมศึกษาตอนต้น 81

จากน้ันครูและนักเรียนร่วมกันอภิปรายเพื่อใหเ้ ข้าใจความหมายของ
ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร และความหมายของค�ำ ตอบของ
ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร ตลอดจนลักษณะค�ำ ตอบของ
ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร ซง่ึ คำ�ตอบอาจเปน็ อยา่ งใดอยา่ งหนง่ึ
ต่อไปนี้
· มีค�ำ ตอบเดยี ว (กราฟของสมการทั้งสองตดั กนั ที่จุดเพยี งจดุ เดยี ว)
· มีค�ำ ตอบมากมายไมจ่ ำ�กัด (กราฟของสมการทงั้ สองทับกนั หรือเปน็
เส้นเดยี วกนั )
· ไมม่ คี ำ�ตอบ (กราฟของสมการทง้ั สองขนานกัน)

4. จากระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรของแต่ละกรณีในข้อ 3 กลา่ วคือ
กรณีที่ 1 ระบบสมการคือ
3x – y = 3
y = -2x + 2
กรณที ี่ 2 ระบบสมการคอื
x = 2y + 1
4y = 2x – 2
กรณีที่ 3 ระบบสมการ คือ
3x = 2y – 6
4y – 6x = -6

ในแต่ละกรณีข้างตน้ ครูให้นักเรยี นจัดสมการให้อยูใ่ นรปู แบบเดียวกนั
แลว้ ใหน้ กั เรียนสังเกตสัมประสิทธข์ิ อง x และ y จากนั้นครแู ละนกั เรยี น
รว่ มกันอภปิ รายเพอื่ ให้ได้ข้อสรุปดังในตารางตอ่ ไปน้ี

82 สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี

ระบบสมการเชงิ เสน้ กราฟ สมั ประสิทธิ์ของ
สองตัวแปร x และ y

กรณที ่ี 1 Y 3x + y = 3 X จากระบบสมการทก่ี �ำ หนดให้
3x – y = 3 2x + y = 20 10 8 10 จะเหน็ วา่ สมั ประสิทธ์ขิ อง x
2x + y = 2 (1, 0) ไมเ่ ท่ากนั และสมั ประสทิ ธ์ิ
หรอื 8 246 ของ y ไมเ่ ทา่ กนั ซงึ่ เราไม่
y = 3x – 3 6 สามารถท�ำ ใหส้ ัมประสทิ ธ์ิ
y = -2x + 2 4 ของ x เทา่ กนั ไดแ้ ละ
2 ไม่สามารถท�ำ ให้สัมประสิทธ์ิ
ของ y เทา่ กนั ได้พร้อม ๆ กัน
-10 -8 -6 -4 -2 0 กรณนี ี้ ระบบสมการ
-2
-4
-6
-8
-10

กราฟของระบบสมการเป็นเส้นตรงสองเส้น มีค�ำ ตอบเพียงคำ�ตอบเดียว

ท่ตี ิดกนั เพียงจดุ เดยี ว

ดังน้ัน ระบบสมการนี้มีคำ�ตอบเพียงค�ำ ตอบเดยี ว

กรณีท่ี 2 Y
x – 2y = 1
2x – 4y = 2 10 จากระบบสมการท่ีก�ำ หนด
หรือ 8 ใหจ้ ะเห็นว่าสัมประสิทธิ์
2y = x – 1 6 2x - 4y = 2 ของ x ไม่เทา่ กัน และ
4y = 2x – 2 สัมประสทิ ธ์ขิ อง y ไม่เทา่ กนั
4 x - 2y = 1 แต่เราสามารถทำ�ให้
2 สมั ประสทิ ธข์ิ อง x เทา่ กนั ได้
ทำ�ให้สัมประสิทธิ์ของ y
-10 -8 -6 -4 -2 0 X เท่ากันได้ และท�ำ ใหค้ ่า
-2 2 4 6 8 10 คงตัวเทา่ กนั ไดพ้ รอ้ ม ๆ กนั
กรณนี ้ี ระบบสมการ
-4 มคี ำ�ตอบมากมายไม่จ�ำ กดั

-6

-8

-10

กราฟของระบบสมการเปน็ เส้นตรงสองเสน้
ทที่ ับกนั หรือเป็นเส้นตรงเดียวกัน
ดังนั้น ระบบสมการนมี้ คี �ำ ตอบมากมายไมจ่ ำ�กดั

คมู่ อื การใช้หลกั สตู ร ระดับมัธยมศึกษาตอนต้น 83

ระบบสมการเชิงเส้น กราฟ สัมประสิทธิข์ อง
สองตวั แปร x และ y

Y 3x - 2y = -6
10
กรณีท่ี 3 8 จากระบบสมการทก่ี �ำ หนดให้
3x – 2y = -6 จะเหน็ วา่ สมั ประสทิ ธข์ิ อง x
6x – 4y = 6 6 ไมเ่ ทา่ กนั และสมั ประสทิ ธ์ิ
หรอื ของ y ไมเ่ ทา่ กนั แตเ่ รา
2y = 3x + 6 4 6x - 4y = 6 สามารถท�ำ ใหส้ มั ประสทิ ธ์ิ
4y = 6x – 6 2 ของ x เทา่ กนั ได้ และท�ำ ให้
สมั ประสทิ ธข์ิ อง y เทา่ กนั ได ้
-10 -8 -6 -4 -2 0 X แตไ่ มส่ ามารถท�ำ ใหค้ า่ คงตวั
-2 2 4 6 8 10 เทา่ กนั ไดพ้ รอ้ ม ๆ กนั
กรณนี ้ี ระบบสมการไมม่ ี
-4 ค�ำ ตอบ

-6

-8

-10

กราฟของระบบสมการเปน็ เสน้ ตรงสองเสน้
ท่ขี นานกัน
ดังนน้ั ระบบสมการนี้ไมม่ ีคำ�ตอบ

5. ครใู ห้นกั เรยี นฝกึ หาวา่ ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรที่ก�ำ หนดให้
มคี �ำ ตอบเดียว มีคำ�ตอบมากมายไม่จำ�กดั หรอื ไมม่ ีค�ำ ตอบ โดยใชว้ ธิ ี
การสงั เกตสัมประสทิ ธิ์ของตัวแปรในระบบสมการและวธิ ีการเขยี นกราฟ

6. ครูทบทวนสมบัตขิ องการเทา่ กนั โดยยกตัวอยา่ งประกอบ พร้อมทั้งอธิบาย
ใหน้ ักเรียนเขา้ ใจเก่ยี วกับสัญลักษณท์ ่ีใชใ้ นข้นั ตอนการแก้ระบบสมการ
เช่น 1 + 2 และ 2 × 3 เปน็ ตน้

7. ครยู กตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร โดยใชส้ มบัตขิ อง
การเทา่ กนั ซง่ึ อาจทำ�ไดด้ ้วยการกำ�จัดตวั แปรหรอื การแทนค่าตัวแปร
เพอ่ื ท�ำ ใหไ้ ด้สมการเชงิ เสน้ ทมี่ ีตัวแปรเพยี งตัวเดียว พร้อมทัง้ ใหน้ ักเรยี น
ฝกึ ทักษะการแก้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร

84 สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี

■■ หลงั จากทนี่ ักเรยี นฝกึ การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรแลว้
ครูควรฝกึ ใหน้ ักเรยี นใช้ความรู้สึกเชงิ จำ�นวนเพ่อื พจิ ารณาความสมเหตุ
สมผลของค�ำ ตอบทีไ่ ด้ และควรยำ้�กบั นกั เรยี นวา่ ใหต้ รวจสอบคำ�ตอบ
ในกระดาษทด โดยไมต่ ้องเขยี นแสดงการตรวจสอบใหเ้ ห็น เพื่อให้
นักเรยี นเห็นประโยชน์ของระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร ครูน�ำ
โจทยป์ ญั หาหรือสถานการณท์ เี่ กีย่ วข้องกบั เรอ่ื งต่าง ๆ เชน่ จำ�นวน
อตั ราสว่ นและร้อยละ ระยะทาง อตั ราเร็ว และเวลา มาใหน้ ักเรียนรว่ มกนั
ฝกึ เขียนและแกร้ ะบบสมการ ซึง่ ถา้ แก้ปญั หาเหลา่ น้ี โดยใช้สมการเชงิ เสน้
ตวั แปรเดียวอาจทำ�ได้ย่งุ ยากกว่าหรืออาจทำ�ไมไ่ ด้ ดังตวั อยา่ งปญั หาต่อไปน้ี
■ ถา้ ครึ่งหนง่ึ ของจ�ำ นวนหนง่ึ เป็นสามเท่าของจำ�นวนอีกจำ�นวนหนึง่
และสองเท่าของผลบวกของสองจำ�นวนนัน้ เป็น 98 จงหาจำ�นวน
สองจำ�นวนนนั้
■ ปุก๊ ลกุ มเี งินเก็บอยู่ 50,000 บาท สว่ นหนึง่ น�ำ ไปฝากธนาคารเพอ่ื รบั
ดอกเบ้ยี 1.5% สว่ นที่เหลอื นำ�ไปลงทุนเพ่ือรบั เงินปันผล 4% สิ้นปีมี
รายได้จากดอกเบย้ี และเงินปันผลรวมกนั 1,800 บาท อยากทราบว่า
ปุ๊กลกุ นำ�เงนิ ไปฝากธนาคารก่ีบาท
■ หมากและมินต์ขับรถออกจากจุดเรมิ่ ตน้ เดียวกนั ไปในทิศทางตรงขา้ มกนั
โดยหมากขบั รถดว้ ยอตั ราเรว็ มากกวา่ มินตอ์ ยู่ 20 กโิ ลเมตรต่อชว่ั โมง
หลงั จากผ่านไปหนง่ึ ช่ัวโมง ท้งั สองคนอยหู่ า่ งกัน 120 กิโลเมตร
จงหาวา่ แตล่ ะคนขับรถดว้ ยอัตราเร็วเท่าไร

8. ครคู วรย้ำ�กบั นกั เรียนวา่ ในการแกโ้ จทยป์ ญั หาโดยใชร้ ะบบสมการเชิงเสน้
สองตวั แปรน้ัน เม่อื ได้ค�ำ ตอบของระบบสมการแล้ว ตอ้ งตรวจสอบด้วยว่า
ค�ำ ตอบน้ันสอดคลอ้ งกบั เงือ่ นไขในโจทย์ หรือไม่ เพราะบางคร้ังคำ�ตอบ
ทีไ่ ด้จากการแกร้ ะบบสมการอาจไมใ่ ช่ค�ำ ตอบของโจทยป์ ญั หา

คู่มือการใชห้ ลักสตู ร ระดับมธั ยมศกึ ษาตอนต้น 85

แนวทางการวดั ผลประเมนิ ผล

นอกจากการจัดการเรยี นรใู้ ห้สอดคลอ้ งกับตัวชี้วัด สถานการณป์ ัญหา
ท่ีใช้หรือการประเมินผลการเรียนรู้ของผู้เรียนที่มีส่วนสำ�คัญ โดยเฉพาะอย่าง
ยิ่งสถานการณ์ปัญหาท่ีส่งเสริมการคิดวิเคราะห์และเปิดโอกาสให้นักเรียนได้
แสดงความคดิ ซงึ่ ครูควรกำ�หนดเกณฑใ์ นการให้คะแนนเพอื่ ให้ผู้เรยี นสามารถ
ตรวจสอบคณุ ภาพของคำ�ตอบทไ่ี ด้

ตัวอย่าง ญาดาและแกว้ ตาชวนกนั ไปเดนิ เลน่ ทห่ี า้ งสรรพสนิ คา้ แหง่ หนง่ึ แลว้
สถานการณ์ แวะเข้าไปซื้อขนมในซูเปอร์มาร์เก็ต โดยญาดาซ้ือถั่วอบกรอบ 3 ถุง และ
ลกู อม 4 ถุง คิดเปน็ เงนิ 157 บาท สว่ นแก้วตาซอื้ ถัว่ อบกรอบ 4 ถุง และ
ปัญหา ลูกอม 2 ถงุ คิดเปน็ เงนิ 126 บาท ระหวา่ งทที่ ง้ั สองคนเดินทางกลบั บ้าน
เขาพบเพอื่ นสองคนคอื สมยศและอานนท์ หลงั จากทกั ทายกนั แลว้
สมยศและอานนท์เห็นว่าญาดาและแก้วตาซ้ือขนมมา จึงขอซื้อต่อในราคา
ทีซ่ ื้อมา

จงตอบคำ�ถามต่อไปนี้

1. ถา้ สมยศขอซื้อถวั่ อบกรอบ 1 ถุง และลูกอม 1 ถุง
เขาจะตอ้ งจา่ ยเงินก่ีบาท (9 คะแนน)

2. ถา้ อานนท์มีเงินเพยี ง 40 บาท และต้องการขอซื้อถ่วั อบกรอบ 1 ถุง
และลกู อม 1 ถุง เชน่ เดียวกับสมยศ เขาจะซื้อขนมไดต้ ามท่ตี อ้ งการ
หรือไม่ (1 คะแนน)

(ก�ำ หนดเวลา 10 นาที คะแนนเตม็ 10 คะแนน)

86 สถาบนั สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี

เฉลย

1. ให้ซ้ือถวั่ อบกรอบมาราคาถงุ ละ x บาท (1 คะแนน)
และซ้อื ลกู อมมาราคาถุงละ y บาท

ญาดาซ้ือถั่วอบกรอบ 3 ถุง และลูกอม 4 ถงุ คดิ เป็นเงิน 157 บาท

จะไดส้ มการเป็น 3x + 4y = 157 1 (1 คะแนน)

แก้วตาซอ้ื ถ่วั อบกรอบ 4 ถุง และลูกอม 2 ถงุ คิดเปน็ เงิน 126 บาท

จะไดส้ มการเปน็ 4x + 2y = 126 2 (1 คะแนน)

2 × 2 ; 8x + 4y = 252 3

3 – 1 ; (8x + 4y) – (3x + 4y) = 252 – 157

8x + 4y – 3x – 4y = 95

5x = 95

x = 19 (2 คะแนน)

แทน x ด้วย 19 ในสมการ 1 จะได้

3(19) + 4y = 157

4y = 157 – 57

4y = 100

y = 25 (2 คะแนน)

ดงั นน้ั ซอ้ื ถว่ั อบกรอบมาราคาถงุ ละ 19 บาท และซอ้ื ลกู อมมาราคาถงุ ละ 25 บาท

ถา้ สมยศซ้อื ถ่ัวอบกรอบ 1 ถงุ และลูกอม 1 ถงุ เขาจะตอ้ งจา่ ยเงิน

19 + 25 = 44 บาท (2 คะแนน)

2. จากข้อ 1 ทราบว่า ถัว่ อบกรอบ 1 ถงุ และลกู อม 1 ถงุ
ราคารวมกนั 44 บาท
แตอ่ านนทม์ ีเงนิ เพียง 40 บาท
ดงั น้นั เขาจะซื้อขนม ไม่ได้ ตามที่ต้องการ (1 คะแนน)

คมู่ ือการใช้หลกั สูตร ระดบั มัธยมศกึ ษาตอนตน้ 87

เกณฑ์การใหค้ ะแนน

ขอ้ รายการประเมนิ คะแนน
(คะแนนเตม็ )
1
1 (9) แบ่งให้คะแนนเปน็ สีส่ ว่ น ดงั นี้ 0
(1) สว่ นทหี่ นึ่ง

• กำ�หนดตัวแปรไดถ้ ูกตอ้ ง
• ก�ำ หนดตัวแปรไม่ถกู ต้อง หรือไม่ก�ำ หนดตวั แปร

(2) สว่ นที่สอง

• แสดงแนวคดิ เพื่อนำ�ไปสู่การเขยี นสมการและเขยี นสมการ 2

ได้ถูกต้อง (สมการละ 1 คะแนน)

• แสดงแนวคดิ เพื่อน�ำ ไปสกู่ ารเขยี นสมการ แตเ่ ขยี นสมการไม่ถูกตอ้ ง 1

หรือไมแ่ สดงแนวคิด แต่เขียนสมการได้ถูกต้อง

• เขียนไมถ่ ูกตอ้ ง หรือไม่เขยี น 0

(4) สว่ นท่สี าม 4
• แสดงการแกร้ ะบบสมการหาคา่ ตวั แปรได้ถกู ตอ้ ง
(ตวั แปรละ 2 คะแนน) 2
• แสดงการแก้ระบบสมการหาค่าตวั แปรได้ถกู ต้องบางส่วน 0
• แสดงการแก้สมการหาค่าตวั แปรไม่ถกู ต้อง หรือไมแ่ สดง
การแกส้ มการหาคา่ ตัวแปร

(2) สว่ นท่ีสี่ 2
• ตอบไดถ้ กู ตอ้ งว่า สมยศตอ้ งจา่ ยเงินก่บี าท (44 บาท) 0
• ตอบไม่ถูกต้อง หรือไมต่ อบ

2 (1) • ตอบไดถ้ ูกตอ้ งวา่ อานนท์จะซอ้ื ขนมได้ตามตอ้ งการหรือไม่ (ไม่ได้) 1
• ตอบไมถ่ ูกต้อง หรอื ไมต่ อบ 0

88 สถาบนั สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

13 ความรเู้ พ่ิมเติมสำ�หรบั ผ้สู อนคณิตศาสตร์

หลักสูตร การสอน และการวัดผลประเมินผล เป็นองค์ประกอบหลัก
ท่ีสำ�คัญในการออกแบบแนวทางการจัดการเรียนรู้ หากมีการเปล่ียนแปลง
องค์ประกอบใดองค์ประกอบหนึ่ง จะส่งผลต่อองค์ประกอบอื่นตามไปด้วย
ดังน้ัน เพ่ือความสอดคล้องและเกิดประสิทธิผลในการนำ�ไปใช้ กลุ่มสาระการ
เรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ (ฉบบั ปรบั ปรงุ พ.ศ. 2560) ตามหลกั สตู รแกนกลางการศกึ ษา
ขัน้ พ้ืนฐาน พทุ ธศักราช 2551 จึงก�ำ หนดเป้าหมายและจดุ เน้นหลายประการที่
ผสู้ อนควรตระหนกั และท�ำ ความเขา้ ใจ เพอื่ ใหก้ ารจดั การเรียนรสู้ ัมฤทธผ์ิ ลตาม
ท่ีกำ�หนดไว้ในหลักสูตร ผู้สอนควรศึกษาเพิ่มเติมในเร่ืองการสอนสถิติในระดับ
มัธยมศึกษาตอนต้น และการใช้เทคโนโลยีในการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์
ระดบั มัธยมศกึ ษาตอนต้น

การสอนสถิตใิ นระดบั มัธยมศึกษาตอนต้น

สถิติเป็นท้ังศาสตร์และศิลป์ท่ีเก่ียวข้องกับการเรียนรู้จากข้อมูล
(Agresti & Franklin, 2013) ยงิ่ ข้อมลู จำ�นวนมหาศาลในโลกปจั จุบนั ดว้ ยแลว้
การรู้เร่ืองสถิติ (statistical literacy) ถือเป็นเรื่องจำ�เป็นและสำ�คัญอย่างย่ิง
ส�ำ หรับพลเมืองในทกุ ประเทศ เพราะการตดั สนิ ใจหลาย ๆ อยา่ งในชวี ติ ประจ�ำ วนั
ล้วนแล้วแต่ต้องอาศัยข้อมูลเป็นพื้นฐาน เช่น ผลการสำ�รวจความคิดเห็นต่าง ๆ
การตดั สนิ ใจเกย่ี วกบั การลงทนุ ทางการเงนิ ความเสยี่ งในเรอื่ งสขุ ภาพจากขอ้ มลู
ทางการแพทย์ เปน็ ต้น (Franklin, Kader, Bargagliotti, Scheaffer, Case &
Spangler, 2015) หลายประเทศใหค้ วามสนใจกับการพัฒนาพลเมืองใหร้ เู้ รอื่ ง
สถิติ เพราะเชื่อว่าพลเมืองที่รู้เร่ืองสถิติจะสามารถดำ�รงชีวิตในยุคปัจจุบันได้
อย่างรเู้ ทา่ ทันเหตุการณ ์ การพฒั นาพลเมอื งใหร้ ้เู รื่องสถิตดิ ังกล่าวเกิดขึ้นอย่าง
ตอ่ เนอื่ งและสะทอ้ นไดช้ ดั เจนจากหลกั สตู รคณติ ศาสตรร์ ะดบั โรงเรยี นของหลาย ๆ
ประเทศ

คมู่ ือการใช้หลกั สตู ร ระดับมัธยมศกึ ษาตอนตน้ 89

สถิติซ่ึงเป็นส่วนหนึ่งในหลักสูตรคณิตศาสตร์มาหลายทศวรรษนั้นมัก
จะถกู มองวา่ เปน็ ศาสตรเ์ ดยี วกนั ทง้ั ทจ่ี รงิ แลว้ ศาสตรท์ ง้ั สองมคี วามแตกตา่ งกนั
ความแตกต่างที่เห็นได้อย่างชัดเจน คือ สถิติจะมีจุดเน้นที่ความผันแปร
(variability) ของข้อมูลและอาศัยบริบทของข้อมูลอย่างหลีกเล่ียงไม่ได้
โดยการผันแปรท่ีเกิดขนึ้ จากปจั จัยทีแ่ ตกต่างกนั ไป เชน่ การผนั แปรทเ่ี กิดจาก
ความแตกต่างของประชากร การผันแปรท่ีเกิดจากการทดลอง การผันแปรที่
เกดิ จากการสุ่มประชากร เปน็ ตน้ ในขณะท่คี ณติ ศาสตร์จะมงุ่ เน้นกบั การค้นหา
คำ�ตอบท่ีแน่ชัดและอาจให้ความสนใจที่บริบทข้อมูลหรือไม่ก็ได้ ดังน้ันการ
ทำ�ความเข้าใจถึงข้อแตกต่างระหว่างสถิติและคณิตศาสตร์ถือเป็นเร่ืองจำ�เป็น
เพราะจะทำ�ให้ผู้ท่ีสอนวิชาสถิติในระดับโรงเรียนสามารถพัฒนาผู้เรียนให้คิด
วเิ คราะห์อยา่ งเปน็ สถติ ิในทิศทางท่ีถูกตอ้ ง

การท�ำ ความเขา้ ใจเกยี่ วกบั ความส�ำ คญั ของสถติ ิ การบรรจใุ หส้ ถติ เิ ปน็
สว่ นหนงึ่ ในหลกั สตู รคณติ ศาสตรร์ ะดบั โรงเรยี น และความเขา้ ใจในความแตกตา่ ง
ระหว่างสถิติและคณิตศาสตร์ถือได้ว่าเป็นปัจจัยท่ีสำ�คัญในการเร่ิมต้นพัฒนา
พลเมืองให้รู้เร่ืองสถิติ นอกจากนี้กระบวนการแก้ปัญหาทางสถิติซ่ึงผู้สอนควร
สรา้ งโอกาสใหผ้ เู้ รยี นไดม้ ปี ระสบการณก์ บั กระบวนการเหลา่ นเ้ี พราะเปน็ เครอ่ื งมอื
ที่จำ�เป็นในการสร้างองค์ความรู้ทางสถิติ กระบวนการแก้ปัญหาทางสถิติตาม
แนวทางในรายงานเกยี่ วกบั แนวทางส�ำ หรบั การประเมนิ ผลและจดั การเรยี นรใู้ น
การศกึ ษาสถิติ (Guidelines for Assessment and Instruction in Statistics
Education: GAISE) ซึ่งเป็นกรอบหลักสูตรสถิติระดับโรงเรียนและที่ได้รับ
ความเห็นชอบจากสมาคมสถิติแห่งสหรัฐอเมริกา (American Statistical
Association: ASA) ประกอบดว้ ย
1. การสร้างค�ำ ถามทางสถติ ิ (formulating statistical questions)
เป็นการระบุปัญหาใกล้ตัวและการสร้างคำ�ถามที่ต้องใช้ข้อมูลช่วยในการหา
คำ�ตอบ
2. การเก็บรวบรวมขอ้ มูล (collecting data) เป็นการออกแบบและ
วางแผนในการเก็บรวบรวมข้อมูลท่ีเหมาะสมและเก็บรวบรวมข้อมูลตามแผน
ซง่ึ ไดอ้ อกแบบไว้
3. การวเิ คราะห์ข้อมูล (analyzing data) เปน็ การเลือกใช้วิธีการใน
เชิงตัวเลขหรือภาพที่เหมาะสมและใช้วิธกี ารดงั กล่าววิเคราะห์ขอ้ มลู
4. การแปลความหมายข้อมูล (interpreting data) เป็นการแปล
ความหมายผลการวิเคราะห์ที่ได้และเช่ือมโยงผลการวิเคราะห์น้ันกับคำ�ถามท่ี
สร้างไวใ้ นตอนตน้

90 สถาบันส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี

1 นอกจากประสบการณใ์ นกระบวนการแกป้ ญั หาทางสถติ ทิ น่ี กั เรยี นควร
ได้รับแล้ว ผู้สอนควรช่วยให้นักเรียนเห็นความเช่ือมโยงความคิดรวบยอดทาง
สถิติ และความเช่ือมโยงของความคิดรวบยอดทางสถิตแิ ละคณิตศาสตร์ นอกจากนี้
ผู้สอนยังควรทำ�ความเข้าใจกับนักเรียนถึงข้อผิดพลาดท่ีเกิดข้ึน เรียนรู้แนวคิด
ทห่ี ลากหลายรว่ มกบั นกั เรยี น รวมถงึ คน้ หากลยทุ ธใ์ นการสอนแตล่ ะหวั ขอ้ โดย
ในระดับมัธยมศึกษาตอนต้นคาดหวังให้นักเรียนเข้าใจเกี่ยวกับบทบาทของ
ความผนั แปรในการแกป้ ญั หาทางสถติ ิ ส�ำ รวจ สรปุ และอธบิ ายแบบรปู ในขอ้ มลู
เชิงเดี่ยวโดยใช้ข้อสรุปเชิงตัวเลขและแผนภาพ ได้แก่ ความถ่ี ความถ่ีสัมพัทธ์
ฐานนยิ ม คา่ กลาง แผนภมู แิ ทง่ แผนภาพจดุ ฮสิ โทแกรม แผนภาพกลอ่ ง รปู แบบ
ของความสัมพันธ์ สำ�รวจกระบวนการสุ่มและเข้าใจว่าความน่าจะเป็นนั้นเป็น
สง่ิ ท่บี อกผลลพั ธ์ที่ในระยะยาวและใช้ประมาณผลลัพธ์ทจ่ี ะเกิดขึ้น
นอกจากนกี้ ารวดั ผลประเมนิ ผลถอื เปน็ สงิ่ ส�ำ คญั ทช่ี ว่ ยกระตนุ้ ใหผ้ เู้ รยี น
เกิดกระบวนการคิด อย่างไรก็ตามการวัดผลประเมินผลส่วนใหญ่มักให้
ความสำ�คัญท่ีการคิดคำ�นวณเพ่ือหาค่าสถิติ ในที่นี้จะยกตัวอย่างคำ�ถามให้
กระตนุ้ ใหผ้ ู้เรยี นเกิดการคดิ วเิ คราะหท์ ่ีแตกต่างกนั 4 แบบ ได้แก่
1. คำ�ถามที่ประเมนิ สมรรถนะในเชิงการทำ�งานตามขัน้ ตอน
2. ค�ำ ถามที่ประเมนิ ความเข้าใจเชิงมโนทศั น์
3. ค�ำ ถามทป่ี ระเมินความคดิ เชิงสถิติ
4. ค�ำ ถามท่ปี ระเมนิ กระบวนการแก้ปัญหาทางสถติ ิ

ตัวอยา่ งค�ำ ถามท่ปี ระเมนิ สมรรถนะในเชิงการท�ำ งานตามข้ันตอน
(assessing procedural competency)

สไปเกอรเ์ ปน็ นกั กฬี าวอลเลยบ์ อลของโรงเรยี น จากการแข่งขนั ทง้ั หมด 7 นดั
เขาทำ�คะแนนไดด้ งั น้ี

4 12 26 18 1 17 9

มัธยฐานของคะแนนทสี่ ไปเกอรท์ ำ�ได้จากการแข่งขันคร้งั น้เี ทา่ กบั เท่าใด?
ก. 26 ข. 17
ค. 12 ง. 1

คู่มือการใช้หลกั สูตร ระดับมัธยมศกึ ษาตอนตน้ 91

จะเหน็ วา่ การตอบค�ำ ถามขา้ งตน้ หากนกั เรยี นเพยี งจดจ�ำ ไดว้ า่ ขนั้ ตอน
ในการหามธั ยฐานของขอ้ มลู นนั้ มลี �ำ ดบั อยา่ งไรกส็ ามารถหาค�ำ ตอบไดว้ า่ เทา่ กบั
12 โดยไมจ่ �ำ เปน็ ตอ้ งใหเ้ หตผุ ลหรอื ไมจ่ �ำ เปน็ ตอ้ งเขา้ ใจวา่ เพราะเหตใุ ดมธั ยฐาน
ของคะแนนจึงเหมาะสมท่ีเป็นตัวแทนของข้อมูลชุดนี้ หรือมัธยฐานของข้อมูล
ชุดนี้จะช่วยบง่ บอกประสทิ ธภิ าพการเล่นของสไปเกอร์ไดอ้ ย่างไร

2

ตัวอย่างคำ�ถามที่ประเมนิ ความเขา้ ใจเชงิ มโนทศั น์
(assessing conceptual understanding)

วินัยศึกษาข้อมูลเก่ียวกับเปอร์เซ็นต์ของพ้ืนที่ท่ีนำ้�ท่วมถึง โดยใช้
แผนภาพจุดเปรียบเทียบเมืองที่มีบริเวณติดกับมหาสมุทรและไม่ติดกับ
มหาสมทุ ร ได้ผลดังนี้

เมอื งทีม่ บี ริเวณตดิ กับมหาสมุทร

0 10 20 30 40 50

เปอรเ์ ซน็ ตข์ องพื้นท่ที น่ี �ำ้ ท่วม

เมอื งท่ไี ม่ได้มีบรเิ วณตดิ กบั มหาสมทุ ร

0 10 20 30 40 50

เปอร์เซ็นต์ของพ้ืนทที่ ีน่ �้ำ ท่วม

92 สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี

ขอ้ ใดเปน็ เหตผุ ลทสี่ นบั สนนุ วา่ การเลอื กใชม้ ธั ยฐานและพสิ ยั ของควอไทลด์ กี วา่
การใชค้ า่ เฉลย่ี เลขคณติ และสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานในการอธบิ ายขอ้ มลู ขา้ งตน้

ก. ค่าผดิ ปกติ (outliers) ส่งผลกับคา่ เฉล่ียเลขคณิตและสว่ นเบยี่ งเบน
มาตรฐานมากกว่ามัธยฐานและพสิ ัยของควอไทล์
ข. มัธยฐานและพิสัยของควอไทล์สามารถคำ�นวณได้ง่ายกว่าค่าเฉล่ีย
เลขคณติ และสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน
ค. ข้อมลู ทง้ั สองชดุ มีจำ�นวนข้อมูลไม่เท่ากนั ดงั นั้นการใชส้ ่วนเบีย่ งเบน
มาตรฐานจึงไมเ่ หมาะสม
ง. การกระจายของข้อมูลทัง้ สองชดุ มีรปู แบบท่เี หมอื นกนั

เมอื่ เปรยี บเทยี บค�ำ ถามนก้ี บั ตวั อยา่ งค�ำ ถามทปี่ ระเมนิ สมรรถนะในเชงิ
การทำ�งานตามขั้นตอนจะเห็นว่าเป็นการประเมินความเข้าใจเกี่ยวกับข้อสรุป
เชงิ ตวั เลข (numerical summary) โดยไมต่ ้องใช้การคิดคำ�นวณแต่อย่างใด แต่
ค�ำ ถามสามารถประเมนิ ความสามารถในการระบถุ งึ ความเหมาะสมของขอ้ สรปุ
เชงิ ตวั เลขของขอ้ มลู ซงึ่ มกี ารเปรยี บเทยี บลกั ษณะการกระจายของขอ้ มลู ไวด้ ว้ ยภาพ
ซ่ึงเมื่อพิจารณาจากภาพดังกล่าว นักเรียนควรจะตอบได้ว่า คำ�ตอบใน ข้อ ก.
เปน็ ค�ำ ตอบทถ่ี กู ตอ้ งเพราะคา่ ผดิ ปกตนิ นั้ มผี ลอยา่ งมากกบั คา่ เฉลย่ี เลขคณติ และ
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ส่งผลให้มัธยฐานและพิสัยของควอไทล์เป็นข้อสรุป
เชิงตัวเลขท่ีเหมาะสมในการอธิบายข้อมูลชุดน้ี การท่ีนักเรียนสามารถอธิบาย
ความเหมาะสมเกี่ยวกับข้อสรุปของข้อมูลโดยอาศัยการกระจายของข้อมูล
จะตอ้ งอาศยั ความเขา้ ใจเชงิ มโนทศั น์ มใิ ชก่ ารจดจ�ำ สตู รในการคดิ ค�ำ นวณเทา่ นน้ั

คู่มือการใชห้ ลักสูตร ระดบั มัธยมศึกษาตอนต้น 93

3

ตัวอย่างค�ำ ถามท่ีประเมินความคิดเชิงสถิติ
(assessing statistical thinking)

จากการสุ่มตัวอย่างกลุ่มผู้ใหญ่จำ�นวน 1,328 จากกลุ่มประชากรที่ได้รับ
การเฝ้าติดตามพฤติกรรมในเรื่องการสูบบุหรี่และการด่ืมกาแฟ กับการ
ประสบปัญหาโรคเส้นเลือดสมอง เปน็ เวลา 13 ปีข้อใดต่อไปนีเ้ ปน็ ค�ำ ถามท่ี
ไม่สามารถใช้ข้อมลู เหล่าน้ีในการตอบค�ำ ถามได้

ก. ผู้ท่ีด่มื กาแฟมแี นวโน้มทจ่ี ะสบู บหุ ร่ไี ดม้ ากกวา่ ผู้ที่ไม่ดืม่ กาแฟใชห่ รอื ไม่
ข. การด่ืมกาแฟชว่ ยลดการเกดิ โรคเส้นเลอื ดสมองใชห่ รือไม่
ค. ผูท้ ีด่ มื่ กาแฟเป็นโรคเสน้ เลอื ดสมองน้อยกว่าผู้ทีไ่ ม่ด่มื กาแฟใช่หรือไม่
ง. รอ้ ยละของประชากรที่ด่ืมกาแฟเปน็ เท่าใด

ในการตอบค�ำ ถามขา้ งตน้ จะเหน็ วา่ นกั เรยี นจะตอ้ งเขา้ ใจวา่ ค�ำ ถามใด
สามารถหาค�ำ ตอบได้ด้วยขอ้ มลู ซึ่งไดจ้ ากการส�ำ รวจกลุม่ ตวั อยา่ ง ซง่ึ จะเห็นวา่
คำ�ถามท่ีสามารถตอบได้ด้วยข้อมูลที่เก็บรวบรวมมาได้เป็นไปได้ทุกข้อ ยกเว้น
ค�ำ ถามในข้อ ข. ซ่งึ ค�ำ ถามในขอ้ ข. อาจตอ้ งอาศัยข้อมูลจากการทดลองในกลุ่ม
ตวั อยา่ งจึงจะเหมาะสมกว่า

94 สถาบนั สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

แมว้ า่ การคิดเชงิ สถิตมิ จี ุดเนน้ ที่ขอ้ มูล ความส�ำ คัญของการได้มาซ่ึงข้อมูล และ
ความผันแปรของข้อมูล ซึ่งมีความแตกต่างไปจากการคิดเชิงคณิตศาสตร์
แต่คำ�ถามท่ีใช้ประเมินการเรียนรู้ของนักเรียนส่วนใหญ่ยังมุ่งเน้นท่ี การคิดเชิง
คณิตศาสตร์ เช่น

กระดาษ 40 %

อืน่ ๆ 36 % แกว้
7%
พลาสติก
8%
โลหะ
9%

แผนภาพขา้ งตน้ แสดงปรมิ าณขยะโดยนำ้�หนกั ถา้ ขยะประเภทกระดาษมี 60 ตนั
ขยะทเ่ี ปน็ พลาสติกมปี ระมาณก่ีตัน
ก. 24
ข. 20
ค. 15
ง. 12

จะเห็นว่าการจะตอบคำ�ถามข้างต้นได้น้ันต้องอาศัยความคิดเชิง
คณติ ศาสตรใ์ นเรอ่ื งเปอรเ์ ซน็ ตห์ รอื อตั ราสว่ น และมคี �ำ ตอบเปน็ 12 ซง่ึ นกั เรยี น
ไม่จำ�เป็นต้องพิจารณาเหตุผลว่าทำ�ไมข้อมูลนี้จึงน่าสนใจ มีการเก็บรวบรวม
ขอ้ มลู อยา่ งไร หรอื ตวั อยา่ งขอ้ มลู ทเี่ กบ็ ไดน้ เ้ี ปน็ ตวั แทนทดี่ ขี องประชากรไดม้ าก
นอ้ ยเพยี งใด ซง่ึ หากเปรยี บเทยี บกบั ค�ำ ถามแรกจะพบวา่ ค�ำ ถามแรกนนั้ ตอ้ งการ
ประเมนิ ความคดิ ทางสถติ ิ ซง่ึ นกั เรยี นจะตอ้ งเชอื่ มโยงความรใู้ นเรอ่ื งค�ำ ถามทาง
สถิติ การเก็บรวบรวมข้อมลู และการแปลความหมายใหไ้ ด้

คู่มอื การใชห้ ลักสูตร ระดบั มธั ยมศกึ ษาตอนตน้ 95

4

ตวั อยา่ งคำ�ถามที่ประเมนิ กระบวนการแกป้ ัญหาทางสถติ ิ
(assessing statistical problem solving)

ในเมืองแห่งหน่งึ ได้จดั การแขง่ ขนั วงิ่ มาราธอนมาแล้ว 2 คร้งั นักว่งิ แตล่ ะคน
จะเลือกวิ่ง 5 กิโลเมตรหรือวิ่งฮาล์ฟมาราธอน ซ่ึงมีนักว่ิงในแต่ละรายการ
เท่ากบั 134 คน และ 224 คน ตามลำ�ดับ เวลาเฉลี่ยทนี่ กั ว่ิงแต่ละคนท�ำ ได้
ในการวิ่งใหไ้ ดร้ ะยะทาง 1.7 กโิ ลเมตรจะคำ�นวณจากระยะเวลาท่ีใช้ทัง้ หมด
จนถึงเส้นชัย หารด้วยระยะทางท่ีวิ่งท้ังหมด ฮิสโทแกรมต่อไปนี้แสดงเวลา
เฉล่ยี ของนักวิง่ ในแต่ละประเภท

เวลาเฉล่ียสำ�หรบั นักว่ิง 5 กิโลเมตร เวลาเฉลย่ี สำ�หรบั นักวิง่ ฮาล์ฟ

0.25 0.25
0.20 0.20
0.15 0.15
ความ ่ีถ ัสม ัพทธ์
ความ ่ีถ ัสมพัทธ์
0.10 0.10

0.05 0.05

0.00 0.00

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

เวลาเฉล่ีย เวลาเฉล่ยี

ก. รอนท�ำ นายวา่ เวลาเฉลยี่ ของนกั วงิ่ 5 กโิ ลเมตร จะคงเสน้ คงวากวา่ นกั วงิ่ ฮาลฟ์
มาราธอน ข้อมูลขา้ งต้นสนับสนนุ คำ�กลา่ วของรอนไดห้ รอื ไม่ เพราะเหตุใด
ข. ศิระทำ�นายว่า โดยเฉล่ียแล้ว เวลาเฉล่ียสำ�หรับนักวิ่งฮาล์ฟมาราธอนจะ
มากกว่านักว่ิง 5 กิโลเมตร ข้อมูลข้างต้นสนับสนุนคำ�กล่าวของศิระได้
หรอื ไม่ เพราะเหตุใด
ค. จากข้อมูลข้างต้นนักวิ่งแต่ละคนจะเลือกว่ิงแข่งประเภทใดประเภทหนึ่ง
เทา่ นน้ั หากใชข้ ้อมลู น้ีเพอ่ื สรุปวา่ เวลาเฉลี่ยของนกั ว่งิ แต่ละคนจะมคี า่ นอ้ ยกวา่

เม่ือวง่ิ ฮาล์ฟมาราธอน ขอ้ สรปุ ดังกล่าวสมเหตสุ มผลหรอื ไม่ จงอธิบาย

96 สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ในการตอบค�ำ ถามขา้ งตน้ จะเหน็ วา่ นกั เรยี นจะตอ้ งเขา้ ใจวา่ ค�ำ ถามใด
สามารถหาคำ�ตอบไดด้ ้วยขอ้ มูลซึ่งไดจ้ ากการส�ำ รวจกลุม่ ตัวอยา่ ง ซ่งึ จะเห็นวา่
คำ�ถามที่สามารถตอบได้ด้วยข้อมูลที่เก็บรวบรวมมาได้เป็นไปได้ทุกข้อ ยกเว้น
ค�ำ ถามในข้อ ข. ซ่งึ คำ�ถามในขอ้ ข. อาจต้องอาศยั ขอ้ มลู จากการทดลองในกลมุ่
ตัวอย่างจงึ จะเหมาะสมกว่า
จะเหน็ วา่ ค�ำ ถามในขอ้ ก. และ ข. นนั้ ตอ้ งการใหน้ กั เรยี นวเิ คราะหข์ อ้ มลู
โดยอาศยั การเปรยี บเทยี บเกย่ี วกบั เวลาเฉลย่ี และการผนั แปรของเวลาเฉลยี่ ของ
นกั วง่ิ ทงั้ สองประเภท ซง่ึ นกั เรยี นควรอธบิ ายไดว้ า่ ขอ้ มลู ทน่ี �ำ เสนอดว้ ยฮสิ โทแกรม
ไมส่ ามารถน�ำ มาใชส้ นบั สนนุ ขอ้ คาดการณข์ องรอนและศริ ะ เพราะเวลาเฉลยี่ ใน
การวงิ่ 5 กโิ ลเมตรนน้ั มคี วามผนั แปรมากกวา่ เวลาเฉลย่ี ในการวง่ิ ฮาลฟ์ มาราธอน
อยา่ งเห็นไดช้ ัด และเวลาเฉลีย่ ท่ีใชใ้ นการวิ่งฮาลฟ์ มาราธอนสั้นกว่าเวลาเฉล่ียท่ี
ใช้ในการว่ิงระยะ 5 กิโลเมตร ส่วนคำ�ถามในข้อ ค. ต้องการให้นักเรียนแปล
ความหมายของผลลัพธ์ ซึ่งจำ�เป็นต้องอาศัยการพิจารณาว่าข้อมูลที่ได้นี้มีการ
เก็บรวบรวมมาได้อย่างไร และคำ�ถามทางสถิติใดที่สามารถหาคำ�ตอบได้จาก
ขอ้ มลู น ี้ นกั เรยี นควรเขา้ ใจวา่ การทน่ี กั วง่ิ เลอื กวง่ิ ประเภทใดประเภทหนง่ึ นน้ั สง่
ผลตอ่ ขอ้ สรปุ ทไ่ี ดด้ ว้ ย กลา่ วคอื การเลอื กนนั้ จ�ำ เปน็ ตอ้ งอาศยั ความสามารถของ
นักว่ิงแตล่ ะคน ดังนนั้ จงึ ไม่ควรสรุปวา่ เวลาเฉลี่ยของนกั วิ่งแต่ละคนจะน้อยกว่า
เมอื่ เลอื กว่งิ ประเภทฮาล์ฟมาราธอน
แมว้ า่ ค�ำ ถามปลายเปดิ จะเปน็ แนวทางหนงึ่ ในการประเมนิ กระบวนการ
แก้ปัญหาทางสถิติ แต่ก็มีข้อจำ�กัดในเรื่องหัวข้อปัญหาหรือแนวทางใน
การวเิ คราะหข์ อ้ มลู การใหน้ กั เรยี นไดม้ โี อกาสท�ำ โครงงานทเ่ี นน้ กระบวนการแก้
ปัญหาทางสถิติน่าจะเป็นอีกทางเลือกหนึ่งท่ีน่าสนใจ และจะทำ�ให้ครูสามารถ
เห็นกระบวนการท่ีนักเรียนทำ�ตั้งแต่ต้นจนจบ นับต้ังแต่การเลือกหัวข้อปัญหา
การสร้างคำ�ถามทางสถิติ การเก็บรวบรวมข้อมูลท่ีเหมาะสมเพื่อตอบคำ�ถาม
การวเิ คราะหข์ อ้ มลู โดยใชแ้ ผนภาพตา่ ง ๆ และเครอ่ื งมือทางสถติ อิ ืน่ ๆ รวมถึง
การแปลความหมายขอ้ มลู ท่เี หมาะสม
เครื่องมือในการประเมินความรู้ความสามารถทางสถิติของนักเรียน
ถือว่ามีส่วนสำ�คัญอย่างมากกับการจัดการเรียนการสอน เพราะจะสะท้อน
ความเข้าใจของครูเองที่มีต่อสถิติ อีกทั้งคุณภาพของเคร่ืองมือยังช่วยส่งเสริม
และกระตุน้ ทักษะการคดิ วเิ คราะห์ใหน้ ักเรยี นได้เรยี นรู้จากข้อมลู และใชข้ อ้ มลู
ให้เกดิ ประโยชนส์ ูงสดุ

คู่มอื การใช้หลักสูตร ระดับมัธยมศกึ ษาตอนต้น 97

เครื่อง การใชเ้ ทคโนโลยีในการจดั การเรยี นร้คู ณิตศาสตร์
คิดเลข ระดับมัธยมศึกษาตอนตน้

เทคโนโลยีมีความจำ�เป็นอย่างย่ิงต่อการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์ใน
ปจั จบุ นั ดว้ ยเหตผุ ลหลายประการ อาท ิ เทคโนโลยชี ว่ ยใหเ้ นอ้ื หาทเ่ี ปน็ นามธรรม
มีความเป็นรูปธรรมมากข้ึน ช่วยจัดการกับข้อมูลและวิเคราะห์ข้อมูล ช่วยให้
การคิดคำ�นวณถูกต้องแม่นยำ� เป็นต้น ส่งผลให้รูปแบบการเรียนการสอน
เปลย่ี นแปลงไปและเพมิ่ ขดี ความสามารถในการเรยี นรขู้ องนกั เรยี น (NCTM, 2000)
ความรู้เพิ่มเติมสำ�หรับครูในหัวข้อน้ี มุ่งให้ครูได้รู้จักกับเทคโนโลยีที่
น่าสนใจ และตัวอย่างการประยุกต์ใช้ในการจัดการเรียนการสอนให้เหมาะสม
กบั นักเรียน

เครอื่ งคดิ เลขเปน็ อปุ กรณอ์ เิ ลก็ ทรอนกิ สใ์ นชวี ติ ประจ�ำ วนั
ท่ีใช้ในการคำ�นวณทางคณิตศาสตร์ ในปัจจุบันมีเคร่ืองคิดเลขให้
เลอื กใชอ้ ยา่ งหลากหลาย เชน่ เครอ่ื งคดิ เลขธรรมดา เครอ่ื งคดิ เลข
วทิ ยาศาสตร์ (scientific calculator) เคร่ืองคิดเลขกราฟิก (graphic
calculator) เปน็ ตน้ ซง่ึ ประเทศทพ่ี ฒั นาแลว้ หลายประเทศ ก�ำ หนดให้
ทกุ โรงเรยี นตอ้ งจดั ใหม้ สี �ำ หรบั นกั เรยี นในการเรยี นรู้ เพราะเครอื่ ง
คิดเลขมีราคาไม่สงู นักและสามารถพกพาได้สะดวก
การใช้งานเคร่ืองคิดเลขในการจัดการเรียนรู้อาจทำ�ได้
หลายลกั ษณะ (Kissane & Kemp, 2014) ดงั นี้
1. การใช้เครื่องคิดเลขในการส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์

(representation)
2. การใช้เคร่ืองคดิ เลขในการคดิ ค�ำ นวณ (computation)
3. การใชเ้ คร่อื งคิดเลขในการส�ำ รวจ (exploration)
4. การใช้เครือ่ งคิดเลขในการตรวจคำ�ตอบ (affirmation)
ซ่งึ ครคู วรผสมผสานการใชง้ านเครอ่ื งคดิ เลขในการจัดการเรยี นรู้

98 สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี

1 การใช้เคร่อื งคดิ เลขในการสือ่ ความหมายทางคณติ ศาสตร์
(representation)
เคร่ืองคิดเลขบางรุ่นสามารถแสดงจำ�นวนได้หลากหลาย
รปู แบบ ชว่ ยใหน้ กั เรยี นมองเหน็ รปู แบบทแ่ี ตกตา่ งกนั ของจ�ำ นวนที่
เทา่ กันหรือฟงั กช์ นั เดียวกนั ได้
ตัวอย่างการใช้เคร่ืองคิดเลขในการแสดงจำ�นวนจำ�นวนหน่ึงด้วย
เศษส่วน จำ�นวนคละ และทศนยิ ม

ครูสามารถใช้เคร่ืองคิดเลขวิทยาศาสตร์ท่ีมีคำ�สั่งนำ�เข้า
จำ�นวนและแสดงจำ�นวนที่เป็นเศษส่วนในการนำ�เสนอแนวคิดให้
นกั เรยี นเห็นวา่ จำ�นวนจำ�นวนหนง่ึ สามารถแสดงอยใู่ นรูปแบบตา่ ง ๆ
เช่น อาจจะอยใู่ นรูปของเศษส่วน จำ�นวนคละ หรอื ทศนยิ ม เปน็ ตน้
และจำ�นวนท่ีแสดงอยู่ในรูปแบบที่ต่างกันอาจจะเป็นจำ�นวนที่
เท่ากนั กไ็ ดเ้ ช่นกนั

เครอ่ื ง
คิดเลข

คมู่ ือการใชห้ ลกั สตู ร ระดับมธั ยมศกึ ษาตอนต้น 99

ครสู ามารถใชเ้ ครอ่ื งคดิ เลขวทิ ยาศาสตรท์ ม่ี คี �ำ สงั่ ในการแสดง
สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ เพื่อให้นักเรียนสังเกตการแสดงจำ�นวนท่ีมี
ค่ามาก ๆ และจำ�นวนที่มีค่าน้อย ๆ ให้อยู่ในรูป A x 10n เม่ือ
1 ≤ A < 10 ซึ่งการเขียนจ�ำ นวนในรปู แบบข้างต้น เราจะเรียกว่า
สัญกรณว์ ทิ ยาศาสตร ์

ตัวอย่างการใช้เครื่องคิดเลขในการแสดงจำ�นวนจำ�นวนหน่ึง
ดว้ ยสญั กรณ์วิทยาศาสตร์

ตวั อยา่ งการใชเ้ ครอื่ งคดิ เลขในการแสดงฟงั กช์ นั ในรปู ของสญั ลกั ษณ์
และรูปของกราฟ

ครสู ามารถใชเ้ ครอ่ื งคดิ เลขวทิ ยาศาสตรห์ รอื เครอ่ื งค�ำ นวณ
กราฟกิ ทม่ี คี �ำ สง่ั ในการแสดงกราฟเพอ่ื ใชใ้ นการเชอ่ื มโยงจากฟงั กช์ นั
ในรูปของสัญลักษณ์สู่ฟังก์ชันในรูปของกราฟ ซ่ึงในขณะสอน
ครสู ามารถใชต้ ารางในการแสดงคา่ x และ y ทสี่ อดคลอ้ งกบั ฟงั กช์ นั
และช้ใี หเ้ ห็นถึงการลงจุดจนได้กราฟของฟงั กช์ นั นั้น

เคร่ือง
คดิ เลข

100 สถาบนั สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี

2 การใชเ้ ครอ่ื งคิดเลขในการคำ�นวณ (computation)

เมอื่ ครสู อนความคดิ รวบยอดและขนั้ ตอนวธิ กี ารแกป้ ญั หา
ในเนอื้ หาทม่ี กี ารคดิ ค�ำ นวณทซี่ บั ซอ้ นหรอื มขี อ้ มลู ทใี่ ชใ้ นการค�ำ นวณ
ปริมาณมาก ครูอาจจะให้นักเรียนใช้เคร่ืองคิดเลขมาใช้ใน
การคำ�นวณหาค่าที่สนใจเพ่ือลดความผิดพลาดและลดเวลาใน
การคำ�นวณ

ตวั อยา่ งการใชเ้ ครอ่ื งคิดเลขในการนำ�เข้าขอ้ มูลที่สนใจและใชค้ ำ�ส่งั
ในการหาคา่ สถิติของขอ้ มูล

ครูสามารถใช้เคร่ืองคิดเลขวิทยาศาสตร์ที่มีคำ�สั่งทางสถิติ
ในการค�ำ นวณทางสถติ หิ ลงั จากนกั เรยี นไดเ้ รยี นรเู้ นอื้ หาแลว้ โดยน�ำ
เข้าข้อมูลเชิงปริมาณท่ีเก็บรวบรวมได้ และเลือกใช้การวิเคราะห์
ข้อมูลท่ีต้องการ เพื่อใช้ในการนำ�เสนอข้อมูลหรือแปลความหมาย
ขอ้ มูล

เครอ่ื ง
คิดเลข