7.เอกสารประกอบการบรรยาย เรขาคณิต ประจำปี พ.ศ. 2558

เอกสารประกอบการบรรยาย

โครงการส่งเสรมิ โอลิมปิกวิชาการฯ สอวน.

ศนู ย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. สาขาคณิตศาสตร์
โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ระหวา่ งวนั ที่ 4 – 22 ตุลาคม พ.ศ.2558

[ คา่ ย 1 ]

เรขาคณติ (Geometry)

ช่อื -สกลุ ...........................................................โรงเรยี น........................................................

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่
กล่มุ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปกิ วชิ าการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ■ วิชา เรขาคณิต 1

1. บทนาและความรพู้ ื้นฐาน

1.1 ประวัตคิ วามเปน็ มาโดยสงั เขป

เรขาคณิต (Geometry) มาจากรากศัพท์ภาษากรีกว่า Geometrein (geo หมายถึง earth และ
metrein หมายถึง to measure) แต่ความหมายของเรขาคณิตในปัจจุบันมีความแตกต่างออกไปมาก
เพราะว่าวิชาเรขาคณิตได้รับการพัฒนามาอย่างต่อเนื่องและแตกสาขาออกไปหลายสาขา และเรขาคณิตที่
ศึกษาในระดับมัธยมศึกษาก็เป็นเพียงเรขาคณิตของยุคลิด (Euclidean Geometry) ซ่ึงถือว่าเป็นพื้นฐานที่
ทาให้มวี ิวัฒนาการไปสู่เรขาคณติ แบบอืน่ ๆ จนเปน็ ท่ียอมรับกนั วา่ ยุคลดิ เปน็ บิดาแห่งวชิ าเรขาคณิต

เรขาคณิตสมัยกอ่ นเปน็ การศกึ ษาแบบลองผิดลองถูก อาศัยการสังเกตจากประสบการณ์ เราไม่ทราบ
ประวัติที่สมบูรณ์ แต่ก็พอทราบจากแผ่นศิลาจารึกว่า ชาวบาบิโลน (4000 B.C.) สามารถหาพ้ืนที่ของ
รูปสี่เหล่ียมผืนผ้าโดยใช้ความกว้างคูณความยาว ชาวอียิปต์ (2900 B.C.) สามารถสร้างพีรามิดได้ซึ่งถือได้ว่า
เปน็ ความสาเรจ็ ทางเรขาคณิตจนกลายเปน็ สิ่งมหัศจรรยข์ องโลก

การศึกษาเรขาคณิตเร่ิมชัดเจนขึ้นโดยชาวบาบิโลน (2000 B.C.) ตามด้วยชาวอียิปต์ (1650 B.C.)
ต่อมาได้พัฒนาไปสู่กรีกโดยทาลีส (Thales, 640 B.C.) ผ่านไปทางตอนใต้ของอิตาลีโดยพีทาโกรัส
(Pythagorus, 584 B.C.) แล้วไปสู่กรุงเอเธนส์โดยพลาโต (Plato, 400 B.C.) และก็มาถึงนักคณิตศาสตร์ผู้
ย่งิ ใหญ่ ยุคลิด (Euclid, 300 B.C.) ซึ่งเขยี นหนงั สือ 13 เล่มในช่ือว่า Elements จนเป็นท่ียอมรับว่าเป็นตารา
เรียนเล่มแรกของโลกท่ีใช้กันอย่างแพร่หลาย และถือได้ว่าเป็นแบบฉบับในการเขียนตาราอื่น ๆ ในสมัยนั้น
และ นวิ ตนั (Isaac Newton) ก็ไดเ้ ขียนหนงั สือทย่ี ิง่ ใหญอ่ ีกเล่มหนง่ึ คือ Principia ตามแบบ Elements น้ี

หลงั จากสน้ิ สุดยุคของยุคลดิ โรมันเร่ิมเรืองอานาจแต่ไม่ไดพ้ ัฒนาทางคณิตศาสตร์เท่าท่ีควร จนกล่าว
กันว่าเป็นยุคมืด (Dark ages) ของเรขาคณิต คณิตศาสตร์อยู่ในสภาพเกือบคงที่ไม่เปล่ียนแปลง เพ่ิงจะมา
เจริญรุ่งเรืองอีกครั้งในศตวรรษท่ี 14 ซึ่งเน้นไปทางดาราศาสตร์ และตรีโกณมิติ อย่างไรก็ตามเรขาคณิต
ในแถบเอเชีย เช่น จีนและอินเดีย ก็มีความเจริญรุ่งเรืองเช่นกัน แต่การจารึกหลักฐานไม่มั่นคงถาวรเหมือน
ทางยุโรปจงึ ยากทีท่ ราบประวตั ทิ ่ีชัดเจน

ในศตวรรษที่ 17 – 18 ได้มีการนาวิชาพีชคณิต (Algebra) เข้ามาบูรณาการร่วมกัน จนได้ก่อกาเนิด
วิชาแคลคูลัส และเรขาคณิตวิเคราะห์ (Calculus and Analytic Geometry) ขึ้น โดยนักคณิตศาสตร์ที่
สาคญั ในยุคนไ้ี ดแ้ ก่ Descartes, Pascal, Desargues, Newton and Leibniz

ในศตวรรษท่ี 19 นักคณิตศาสตร์ได้ทาการศึกษาเรขาคณิตอย่างจริงจังอีกครั้ง จนเกิดมีเรขาคณิตท่ี
แตกต่างจากเรขาคณิตของยุคลิด (Non-Euclidean Geometry) เช่น Hyperbolic Geometry, Elliptic
Geometry และ Spherical Geometry เป็นต้น แล้วพัฒนาไปสู่วิชา Topology ซึ่งครอบคลุมเรขาคณิตทุก
ชนิดในปัจจุบัน โดยนักคณิตศาสตร์ท่ีสมควรกล่าวถึงคือ Saccheri, Bolyai, Lobachevsky, Gauss และ
Riemann

อยา่ งไรก็ตาม Euclidean Geometry ก็ยังถือว่าเป็นต้นแบบของเรขาคณิตอ่ืน ๆ และมีความสาคัญ
ต่อชีวิตประจาวันเปน็ อย่างมาก และเน่อื งจาก Elements เป็นตาราเล่มแรกจึงอาจมีจุดบกพร่องเป็นธรรมดา
จนทาให้นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เห็นว่าควรจะมีการเสริมสร้างให้มีความสมบูรณ์ย่ิงข้ึน และนักคณิตศาสตร์
ที่ได้รับการยกย่องว่าทาให้ระบบสัจพจน์ของเรขาคณิตยุคลิดมีความสมบูรณ์ขึ้นมาก็คือ David Hilbert
(1862-1943)

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วชิ าการ ศนู ยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ■ วิชา เรขาคณิต 2

1.2 สจั พจนข์ ้อท่ี 5 ของยูคลดิ

ระบบสจั พจนข์ องเรขาคณิตของยุคลดิ ประกอบด้วยนิยาม และสัจพจน์ คานิยามท่ีได้รับการวิจารณ์
มากเป็นพิเศษคือ นิยามของคาว่า จุด ซึ่งเขานิยามว่า หมายถึง ส่ิงที่ไม่มีความกว้าง ความยาวและความ
หนา จนในท่สี ดุ ในปจั จบุ นั กใ็ ห้ถือเป็นคาอนยิ าม สว่ นสัจพจน์ที่ได้รับการวิพากษ์วิจารณ์มากท่ีสุด จนเกิดเป็น
เรขาคณติ ชนิดอน่ื ๆ ขึน้ มากค็ อื สจั พจน์ข้อที่ 5 ในสจั พจน์ต่อไปน้ี

1. ลากเส้นตรงจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งได้ (A straight line can be drawn from any point
to any point)

2. ต่อเส้นตรงที่มีความยาวจากัดออกไปเร่ือย ๆ (A finite straight line can be produced
continuously in a straight line)

3. เขียนวงกลมได้เม่ือกาหนดจุดศูนย์กลางและระยะทางใด ๆ (A circle may be described with
any point as center and any distance as radius)

4. มมุ ฉากทุกมุมย่อมเทา่ กนั (All right angles are equal to one another)

5. ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่ง ผ่านเส้นตรง 2 เส้น ทาให้มุมภายในท่ีอยู่ด้านเดียวกันรวมกันน้อยกว่า 2 มุม
ฉาก แล้วเส้นตรงสองเสน้ จะตดั กนั ทางดา้ นท่ีมีมมุ รวมกันน้อยกว่า 2 มุมฉาก ถ้าลากเส้นนั้นต่อไปเรื่อยๆ (If a
transversal falls on two lines in such a way that the interior angle on one side of the
transversal are less than two right angles, then the lines meet on that side on which the
angles are less than two right angles)

โดยใช้สัจพจน์ดังกล่าวประกอบกับนิยามและทฤษฎีบทอื่น ๆ ในเรขาคณิตของยุคลิด ท่ีไม่ได้นามา
กล่าวไว้ในที่นี้ เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า มุมภายในของรูปสามเหล่ียมย่อมรวมกันได้สองมุมฉาก แต่ถ้ามีการ
เปลย่ี นแปลงสัจพจน์ข้อท่ี 5 เป็นอย่างอื่น เช่น Spherical Geometry กาหนดให้เส้นขนานตัดกันได้ ก็จะทา
ให้ผลบวกของมุมภายในรวมกันได้มากกว่าสองมุมฉาก ซึ่ง Spherical Geometry มีประโยชน์เป็นอย่างมาก
ในการคานวณระยะทางเกี่ยวกับการเดินเรือรอบโลก โดยที่เรขาคณิตของยุคลิดสามารถคานวณได้แม่นยาใน
ระยะทางใกล้ ๆ เท่าน้ันเอง เรายกตัวอย่างน้ีข้ึนมาเพียงเล็กน้อยเพื่อให้เห็นว่ายังมีเรขาคณิตชนิดอ่ืนท่ี
นอกเหนือจากเรขาคณติ ของยุคลดิ ทเ่ี รยี นในระดบั มธั ยมศึกษา ผทู้ ี่สนใจสามารถเลอื กเรียนได้ในระดับทีส่ งู ข้นึ

และต่อไปน้ีเราจะกล่าวถึงเฉพาะเรขาคณิตของยุคลิดเท่านั้น ส่วนเน้ือหาและกิจกรรมในเอกสาร
ประกอบการอบรมครั้งนี้โดยส่วนใหญ่จะยึดตามแนวหนังสือ เรขาคณิต ในโครงการตาราวิทยาศาสตร์และ
คณิตศาสตร์ มูลนิธิ สอวน. และเอกสารเสริมความรู้วิชาคณิตศาสตร์ (เรขาคณิต) ของสถาบันส่งเสริมการ
สอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.) จึงขอขอบคณุ ไว้ ณ โอกาสน้ี

อย่างไรก็ตามผู้เขียนได้พยายามเพ่ิมเติม ความรู้และประสบการณ์อ่ืน ๆ ท่ีได้รับมาจากการเรียน
การสอนเรขาคณิตในระดับมัธยมศึกษา และการอบรมเพิ่มเติมจากสถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์
และเทคโนโลยี (สสวท.) และมูลนิธิ สอวน. ในส่วนท่ีคิดว่าจะส่งเสริมความรู้ ความเข้าใจ ทักษะและ
กระบวนการทางคณติ ศาสตร์ และประสบการณ์ให้กบั นักเรยี นในคา่ ยโอลมิ ปิกวิชาการ ค่าย 1 ศูนย์โรงเรียน
ขยายผล สอวน. สาขาคณติ ศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา ตลอดจนผ้สู นใจ ได้ตามสมควร

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปิกวชิ าการ ศนู ย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ■ วิชา เรขาคณิต 3

1.3 ลักษณะการศกึ ษาวิชาเรขาคณิต

การศึกษาวิชาเรขาคณิต มีลักษณะเด่นในเร่ืองการพิสูจน์มากกว่าการคิดคานวณ ดังน้ันจึงนับว่า
เป็นวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตรท์ ่ีสาคญั โดยท่วั ไปแลว้ ข้อความทจ่ี ะพสิ ูจนใ์ นทางเรขาคณิตจะเป็นข้อความที่จัด
ให้อยู่ในรูป “ถ้า……..แล้ว………..” หรืออาจจะเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ทางตรรกศาสตร์ได้เป็น
“pq” และการพิสูจน์ข้อความดังกล่าวในทางตรรกศาสตร์สามารถพิสูจน์ได้ทั้งในทางตรงและโดย
ทางอ้อม แตใ่ นทางเรขาคณติ ส่วนใหญ่เราจะพสิ ูจน์ในแบบทางตรง โดยถือว่า p เป็นเหตุ หรือสิ่งกาหนดให้
และ q เป็นผล หรือส่ิงท่ีต้องพิสูจน์ สิ่งท่ีนามาอ้างอิงในการพิสูจน์ก็คือ อนิยาม นิยาม สัจพจน์ และ
ทฤษฎีบท ท่ีทราบมาก่อน โดยนามาวิเคราะห์ร่วมกับสิ่งที่กาหนดให้เพื่อนาไปสู่การประมวลผลว่า ผลหรือ
ส่ิงที่ต้องพิสูจน์ นั้นเป็นจริง ซ่ึงถือว่าเป็นทักษะทางความคิดที่สาคัญ และแน่นอนท่ีสุด ทักษะดังกล่าวจะ
ได้รับการส่งเสริมและพัฒนาไดต้ ้องอาศยั การฝกึ ฝนอยูเ่ ป็นประจาด้วยใจรัก

เชอื่ หรือไม่วา่ ในตอนเป็นเด็กของเลน่ ที่ ไอน์สไตน์ ประทับใจทสี่ ุด สิ่งแรก คอื
......เขม็ ทศิ ............และ ลาดับต่อมา กค็ ือ............เรขาคณติ .........นีเ่ อง

1.4 ความรู้พืน้ ฐาน

ความรู้พ้ืนฐานทางเรขาคณิตที่เรียนในระดับมัธยมศึกษา สรุปไว้เป็นหมวดหมู่ ในลักษณะของ
สจั พจน์ นยิ าม และทฤษฎบี ท โดยนักเรียนควรฝึกพิสจู นด์ ว้ ยตัวเองให้ไดท้ ุกทฤษฎีบท

1.4.1 สัจพจน์

สัจพจน์ (Postulates) คือสิ่งท่ียอมรับในวิชาเรขาคณิตว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ สัจพจน์ที่จะ
กล่าวต่อไปน้ี ข้ึนอยู่กับการสร้างทางเรขาคณิต เม่ือเกิดการค้นพบด้วยการสร้างทางเรขาคณิต เรามักจะ
ประจกั ษ์ในเร่ืองเหล่านั้นวา่ เปน็ จรงิ พิจารณาสัจพจนต์ อ่ ไปน้ี

1. มีเสน้ ตรงเพียงเส้นเดียวเท่านนั้ ที่ลากผา่ นจดุ สองจดุ ท่ีกาหนดให้
2. ถา้ เส้นตรงสองเส้นตดั กนั แล้วจะมจี ดุ ตัดเพียงจุดเดียวเท่านัน้
3. ปลายท้งั สองของสว่ นของเสน้ ตรง อาจถูกต่อไปได้โดยไม่จากดั ความยาว
4. บรรดาเส้นท้งั หลายที่ลากเช่อื มจดุ สองจุด ส่วนของเส้นตรงเปน็ เส้นทสี่ ั้นทีส่ ดุ
5. ส่วนของเสน้ ตรงทีล่ ากจากจุดภายนอกมาตัง้ ฉากกับเส้นตรงเส้นหนึง่ ยอ่ มมีเสน้ เดยี ว และเป็น

สว่ นของเสน้ ตรงท่ีส้ันที่สดุ ในบรรดาสว่ นของเสน้ ตรงท้ังหลายที่ลากจากจดุ เดยี วกนั มายัง
เส้นตรงเดยี วกนั
6. ส่วนของเสน้ ตรงเส้นหนึ่ง มจี ุดกงึ่ กลางไดเ้ พยี งจดุ เดียวเท่าน้นั
7. รปู เรขาคณิตต่าง ๆ อาจทาให้เคลือ่ นทไ่ี ปได้โดยรูปลักษณะและขนาดคงเดิม
8. ลากเส้นขนานผา่ นจดุ จุดหนงึ่ และขนานกับเส้นที่กาหนดใหไ้ ดเ้ พียงเส้นเดียวเทา่ น้ัน
9. ลากเส้นแบง่ ครง่ึ มุมได้เพยี งเส้นเดียวเท่าน้ัน
10. ถ้ามุมสองมุมอยใู่ นแนวเส้นตรงเดยี วกัน แลว้ มมุ ทงั้ สองน้นั เปน็ มมุ ประกอบสองมมุ ฉาก
11. มุมที่เท่ากนั ย่อมทบั กันสนทิ
12. มมุ ฉากทุกมมุ มุมตรงทกุ มุม ยอ่ มเท่ากนั

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปกิ วชิ าการ ศนู ย์โรงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ■ วิชา เรขาคณติ 4

13. มมุ รอบจุดจดุ หนงึ่ รวมกนั ยอ่ มเป็นสองเท่าของมุมตรง หรอื เป็นสีเ่ ท่าของมมุ ฉาก
14. รัศมีของวงกลมทีเ่ ท่ากนั ยอ่ มเทา่ กนั
15. เมอื่ มีจุดหนงึ่ ซงึ่ ถือเป็นจุดศนู ยก์ ลาง และสว่ นของเส้นตรงทีก่ าหนดให้เป็นรศั มี ย่อมสรา้ ง

วงกลมได้เพียงวงเดยี วเทา่ น้นั

1.4.2 เสน้ ขนาน
บทนิยาม เส้นตรงสองเส้นขนานกนั ก็ต่อเม่อื เส้นตรงสองเส้นอยบู่ นระนาบเดียวกัน และไม่ตัดกัน (ไม่ว่าจะ
ต่อออกไปให้ยาวเท่าไรกต็ าม)
ทฤษฎีบท 1 ถ้าเสน้ ตรงสองเสน้ ตัดกนั แลว้ ขนาดของมมุ ตรงขา้ มยอ่ มเท่ากัน

สจั พจน์ (สจั พจนข์ อ้ ที่ 5 ของยคู ลิด) เส้นตรงเสน้ หน่งึ ตดั เส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่น้ันจะขนานกัน ก็ต่อเม่ือ
ขนาดของมมุ ภายในบนขา้ งเดียวกนั ของเส้นตดั รวมกนั เท่ากับ 180 องศา

ทฤษฎบี ท 2 เม่อื เส้นตรงเส้นหนง่ึ ตัดเส้นตรงค่หู นง่ึ เสน้ ตรงคู่นั้นขนานกนั ก็ต่อเม่ือ มุมแยง้ มีขนาดเท่ากนั

ทฤษฎบี ท 3 เมอ่ื เส้นตรงเสน้ หนึง่ ตัดเสน้ ตรงคหู่ นึ่ง เสน้ ตรงคู่นัน้ ขนานกนั กต็ ่อเม่ือ มุมภายนอกและภายใน
ทอี่ ยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเสน้ ตัดมีขนาดเท่ากัน

1.4.3 รูปสามเหลี่ยม
ทฤษฎีบท 4 ขนาดของมุมภายในท้งั สามมุมของรปู สามเหลี่ยมใด ๆ รวมกันเท่ากับ 180 องศา

ทฤษฎบี ท 5 ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ จะเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในท่ีอยู่
ตรงข้ามกับมุมภายนอก

สัจพจน์ รูปเรขาคณิตสามารถเคลอ่ื นทไ่ี ด้

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วิชาการ ศนู ยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ■ วิชา เรขาคณติ 5

บทนิยาม การเคลื่อนที่ของรูปเรขาคณิต คือ การเปลี่ยนตาแหน่งของรูปเรขาคณิตบนระนาบ โดยที่
ระยะห่างระหวา่ จดุ สองจุดใด ๆ ของรปู นัน้ ไมเ่ ปลีย่ นแปลง
บทนิยาม รปู เรขาคณิตสองรูปเท่ากันทกุ ประการ กต็ ่อเมอ่ื เคล่อื นทรี่ ปู หนงึ่ ไปทับอกี รูปหนึง่ ไดส้ นิท
บทนิยาม รูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการ ก็ต่อเม่ือ ด้านคู่ที่สมนัยกันและมุมท่ีสมนัยกันของรูป
สามเหล่ยี มทั้งสองรปู มขี นาดเทา่ กนั เปน็ คู่ ๆ

ทฤษฎีบท 6 ถ้ารูปสามเหล่ียมสองรูปมีด้านยาวเท่ากันสองคู่ และมุมในระหว่างด้านคู่ที่ยาวเท่ากันมีขนาด
เท่ากัน แลว้ รูปสามเหลีย่ มสองรปู นั้นจะเทา่ กันทกุ ประการ (ด.ม.ด.)

ทฤษฎีบท 7 ถ้ารูปสามเหล่ียมสองรูปมีมุมท่ีมีขนาดเท่ากันสองคู่ และด้านซ่ึงเป็นแขนร่วมของมุมท้ังสอง
ยาวเท่ากนั แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนนั้ จะเทา่ กันทุกประการ (ม.ด.ม.)

ทฤษฎบี ท 8 ถ้ารูปสามเหลีย่ มสองรูปมีมุมท่ีมขี นาดเทา่ กันสองคู่ และมดี า้ นในลาดับเดยี วกันเท่ากันดา้ นหน่ึง
แลว้ รูปสามเหลยี่ มสองรูปน้นั จะเท่ากนั ทกุ ประการ (ม.ม.ด.)

ทฤษฎีบท 9 ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีด้านยาวเท่ากันสามคู่ ด้านต่อด้าน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปน้ันจะ
เท่ากันทกุ ประการ (ด.ด.ด.)

ทฤษฎีบท 10 ถ้ารูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่ากัน และด้านประกอบมุมฉาก
ยาวเทา่ กนั หนึง่ ด้าน แลว้ รปู สามเหลี่ยมสองรูปน้ันจะเทา่ กันทุกประการ (ฉ.ด.ด.)

บทนิยาม รูปสามเหล่ียมใด ๆ เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจ่ัว ก็ต่อเมื่อ รูปสามเหล่ียมน้ันมีด้านสองด้านยาว
เท่ากนั

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วิชาการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ■ วิชา เรขาคณติ 6

ทฤษฎีบท 11 ในรูปสามเหลยี่ มหน้าจัว่ มมุ ทอ่ี ยู่ตรงข้ามกับดา้ นท่ยี าวเท่ากันย่อมกางเท่ากัน น่ันคือมุมที่ฐาน
ของรูปสามเหลี่ยมหนา้ จ่ัวมขี นาดเท่ากนั

ทฤษฎบี ท 12 ในรูปสามเหลยี่ มหน้าจ่วั เส้นแบ่งคร่งึ มมุ ยอด จะแบ่งคร่ึงฐานและตงั้ ฉากกับฐาน

ทฤษฎีบท 13 ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจ่ัว เส้นท่ีลากจากมุมยอดมาแบ่งครึ่งฐาน จะแบ่งคร่ึงมุมยอดและตั้ง
ฉากกับฐาน

ทฤษฎีบท 14 ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจ่ัว เส้นแบ่งคร่ึงมุมยอด จะแบ่งรูปสามเหลี่ยมหน้าจ่ัวออกเป็นรูป
สามเหลยี่ มสองรูปที่เทา่ กันทุกประการ

สจั พจน์ ในรูปสามเหลีย่ มใดๆ ผลบวกของด้านสองดา้ น ยอ่ มยาวกวา่ ด้านทสี่ าม

ทฤษฎีบท 15 ในรูปสามเหล่ียมใด ๆ ด้านท่ีอยู่ตรงข้ามกับมุมที่มีขนาดใหญ่กว่า ย่อมยาวกว่าด้านที่อยู่ตรง
ขา้ มกบั มมุ ที่มีขนาดเล็กกวา่

ทฤษฎบี ท 16 ในรูปสามเหล่ียมมุมฉากใด ๆ ดา้ นตรงข้ามมมุ ฉากยอ่ มยาวทีส่ ุด

ทฤษฎีบท 17 ในรปู สามเหลย่ี มใด ๆ สว่ นสูงของรูปสามเหลี่ยมทง้ั สามย่อมพบกันท่จี ดุ ๆ หน่ึง

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปิกวชิ าการ ศูนยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ■ วิชา เรขาคณิต 7

ทฤษฎีบท 18 ในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ เส้นตรงท่ีต่อจุดกึ่งกลางของด้านสองด้านย่อมขนาน และยาวเป็น
ครง่ึ หนึ่งของดา้ นที่สามของรูปสามเหล่ยี มนัน้

บทนิยาม รูปสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อ รูปสามเหล่ียมสองรูปนั้นมีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ ๆ
สามคู่

ทฤษฎีบท 19 ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีอัตราส่วนของความยาวด้านคู่ท่ีสมนัยกันทุกคู่เป็นอัตราส่วนที่
เท่ากัน แลว้ รปู สามเหลยี่ มสองรปู น้นั เปน็ รูปสามเหลยี่ มทค่ี ล้ายกนั

ทฤษฎบี ท 20 ถา้ รูปสามเหลี่ยมสองรปู มีมุมเท่ากันหนึ่งคู่ และอัตราส่วนของความยาวของด้านประกอบมุม
นนั้ เป็นอตั ราสว่ นทเ่ี ท่ากนั แล้วรปู สามเหล่ียมสองรูปนัน้ เป็นรูปสามเหลยี่ มทคี่ ล้ายกัน

1.4.4 รปู ส่ีเหลยี่ มด้านขนาน
บทนยิ าม รปู สี่เหลีย่ มใด ๆ เป็นรปู สเี่ หล่ยี มดา้ นขนาน กต็ อ่ เมอื่ รูปส่ีเหลยี่ มนั้นมดี ้านขนานกันสองคู่

ทฤษฎบี ท 21 ถา้ รูปสีเ่ หลยี่ มรูปหน่ึงมีด้านตรงข้ามยาวเทา่ กนั ท้ังสองคู่ แลว้ รูปสี่เหลี่ยมน้ันย่อมเป็นสี่เหล่ียม
ดา้ นขนาน

ทฤษฎบี ท 22 ดา้ นและมมุ ท่อี ยู่ตรงข้ามของรปู สเ่ี หลีย่ มด้านขนานย่อมมีขนาดเท่ากนั

ทฤษฎบี ท 23 เสน้ ทแยงมมุ ของรูปสเี่ หลี่ยมดา้ นขนานย่อมแบง่ ครงึ่ ซึง่ กันและกนั

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วชิ าการ ศนู ยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ■ วิชา เรขาคณติ 8

ทฤษฎบี ท 24 ผลบวกของมมุ ภายในของรปู สี่เหลี่ยมใด ๆ ย่อมเทา่ กบั 360 องศา

ทฤษฎีบท 25 เส้นทแยงมมุ ของรปู ส่เี หลีย่ มดา้ นเทา่ ย่อมตัง้ ฉากกนั

ทฤษฎีบท 26 ถ้าเส้นขนานสามเส้นแบ่งส่วนของเส้นตัดขวางเส้นหน่ึงเป็นระยะทางเท่ากัน แล้วเส้นขนาน
สามเส้นนนั้ จะแบง่ เส้นตัดขวางทุกเสน้ เป็นระยะทางที่เท่ากัน

ทฤษฎบี ท 27 พื้นทขี่ องรปู ส่เี หล่ยี มผืนผ้า เท่ากับ ความกว้างคูณความยาว

ทฤษฎบี ท 28 พ้ืนทข่ี องรปู สเี่ หลย่ี มดา้ นขนาน เท่ากบั ความสงู คณู ความยาวฐาน

ทฤษฎบี ท 29 พ้ืนทข่ี องรปู สามเหล่ยี ม เท่ากบั คร่ึงหนึง่ ของผลคณู ของความสูงกับความยาวฐาน

ทฤษฎบี ท 30 (Pythagoras Theorem) ในรูปสามเหลีย่ มมุมฉากใด ๆ พ้ืนท่ีส่ีเหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้าม
มุมฉากยอ่ มเทา่ กบั ผลบวกของพื้นท่สี ่เี หลย่ี มจตั ุรสั บนดา้ นประกอบมุมฉาก

1.4.5 วงกลม
บทนยิ าม วงกลม หมายถึง ทางเดินของจดุ ทกุ จดุ บนระนาบซ่ึงอย่หู ่างจากจดุ คงทีจ่ ดุ หน่ึงเปน็ ระยะทางคงตัว

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปิกวิชาการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ■ วิชา เรขาคณติ 9

ทฤษฎีบท 31 ถ้าลากส่วนของเส้นตรงจากจุดศูนย์กลางของวงกลมไปตั้งฉากกับคอร์ดใด ๆ แล้วส่วนของ
เสน้ ตรงนัน้ ยอ่ มแบง่ ครึ่งคอรด์

ทฤษฎีบท 32 ถ้าลากส่วนของเส้นตรงผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมไปแบ่งครึ่งคอร์ดใด ๆ แล้วส่วนของ
เสน้ ตรงน้ันยอ่ มตัง้ ฉากกับคอรด์

ทฤษฎบี ท 33 ในวงกลมวงหนงึ่ คอร์ดท่ยี าวเทา่ กันย่อมอย่หู า่ งจากจดุ ศูนย์กลางเปน็ ระยะทางเท่ากนั

ทฤษฎบี ท 34 ในวงกลมวงหนึ่ง คอร์ดทอ่ี ยหู่ า่ งจากจุดศูนยก์ ลางเป็นระยะทางเท่ากัน ย่อมยาวเทา่ กัน

ทฤษฎีบท 35 มมุ ในครึง่ วงกลมเป็นมมุ ฉาก

ทฤษฎบี ท 36 มุมที่จดุ ศนู ย์กลางของวงกลม จะมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของมุมในส่วนโค้งของวงกลม
ทรี่ องรับด้วยสว่ นโคง้ เดียวกัน

ทฤษฎีบท 37 ในวงกลมที่เท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน ถ้ามุมท่ีจุดศูนย์กลางมีขนาดเท่ากัน แล้วส่วนโค้งของ
วงกลมท่ีรองรบั มมุ ทจี่ ดุ ศูนยก์ ลางนั้น จะยาวเทา่ กัน

ทฤษฎีบท 38 ในวงกลมที่เท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน ถ้ามุมในส่วนโค้งของวงกลมขนาดเท่ากัน แล้วส่วน
โคง้ ของวงกลมทร่ี องรับมมุ ท้ังสองนน้ั จะยาวเทา่ กัน

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปิกวิชาการ ศนู ย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ■ วิชา เรขาคณิต 10

ทฤษฎีบท 39 ในวงกลมท่ีเท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน ถ้าส่วนโค้งของวงกลมยาวเท่ากัน แล้วมุมท่ีจุด
ศูนยก์ ลางที่รองรบั ด้วยส่วนโคง้ นนั้ จะมีขนาดเทา่ กัน

ทฤษฎีบท 40 ในวงกลมที่เท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน ถ้าส่วนโค้งของวงกลมยาวเท่ากัน แล้วมุมในส่วนโค้ง
ของวงกลมทรี่ องรับดว้ ยสว่ นโคง้ นนั้ จะมีขนาดเท่ากัน

ทฤษฎบี ท 41 ในวงกลมเดียวกนั มมุ ในส่วนโคง้ ของวงกลมทร่ี องรบั ด้วยสว่ นโค้งเดียวกนั จะมขี นาดเทา่ กนั

บทนยิ าม รูปสี่เหลย่ี มแนบในวงกลม หมายถงึ รูปสีเ่ หลย่ี มที่มีจดุ ยอดอยู่บนเสน้ รอบวงของวงกลมเดียวกัน

ทฤษฎีบท 42 ผลบวกของขนาดของมมุ ตรงข้ามของรูปสีเ่ หลย่ี มทแี่ นบในวงกลมเท่ากับ 180 องศา

ทฤษฎีบท 43 ถ้ารูปส่ีเหลี่ยมใด ๆ มีผลบวกของขนาดของมุมตรงข้ามเท่ากับสองมุมฉาก แล้วรูปส่ีเหล่ียม
นนั้ แนบในวงกลม

ทฤษฎีบท 44 เส้นสัมผสั ของวงกลม จะตงั้ ฉากกบั รัศมขี องวงกลมทจี่ ุดสัมผสั

ทฤษฎีบท 45 ถ้าลากส่วนของเส้นตรงจากจุดภายนอกของวงกลมมาสัมผัสวงกลมเดียวกัน จะลากได้เพียง
สองเสน้ เส้นสมั ผัสสองเสน้ นนั้ จะยาวเท่ากัน และรองรบั มุมทจ่ี ุดศูนย์กลางที่มีขนาดเท่ากนั

ทฤษฎีบท 46 มุมทีเ่ กดิ ขึ้นจากคอร์ดและเสน้ สมั ผสั ของวงกลมที่จุดสัมผัส จะมีขนาดเท่ากับขนาดของมุมใน
ส่วนโคง้ ของวงกลมท่อี ยู่ตรงข้ามกับคอรด์ นั้น

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปกิ วิชาการ ศนู ยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ■ วิชา เรขาคณติ 11

2. การสรา้ ง (Construction)

การสร้างในวิชาเรขาคณิตเป็นการสร้างรูปเรขาคณิตตามเง่ือนไขที่โจทย์กาหนดมาให้ ซึ่งจะแยก
รายละเอียดของการสร้าง ดังนี้
1. การสร้างเกย่ี วกับเสน้ และมมุ
บทสร้าง 1.1 การสร้างส่วนของเสน้ ตรงให้เทา่ กบั ส่วนของเส้นตรงที่กาหนดให้

บทสร้าง 1.2 การสรา้ งมุมใCห้เท่ากบั มุมทีก่ าหนดให้ P
Y

A XB Q E R

กาหนดให้ CAˆB จะต้องสรา้ ง PQˆR ใหเ้ ทา่ กบั CAˆB

วธิ ีสรา้ ง 1. ลาก QR

2. ใช้ A เป็นจดุ ศนู ยก์ ลางรัศมพี อสมควร เขยี นสว่ นโค้งตัด AB และ AC ที่ X และ Y

3. ใช้ Q เปน็ จุดศนู ยก์ ลางรัศมเี ทา่ เดิมเขยี นสว่ นโค้งตดั QR ท่จี ดุ E

4. ใช้ E เปน็ จดุ ศูนยก์ ลางรศั มี XY เขยี นส่วนโค้งตัดส่วนโคง้ ในข้อ 3 ทีจ่ ดุ P ลาก QP

เพราะฉะน้ัน จะได้ PQˆR เท่ากับ CAˆB ตามต้องการ

การพิสจู น์ ลาก XY และ EP

จะได้ AXY  QEP (ด.ด.ด)

ดงั น้ัน PQˆR = CAˆB

บทสร้าง 1.3 การแบ่งคร่ึงส่วนของเส้นตรง AB เป็นส่วนของเสน้ ตรง
P กาหนดให้

จะต้อง แบ่งครึง่ สว่ นของเสน้ ตรง AB

A O วธิ ีสร้าง 1. ใช้ A และ B เป็นจดุ ศนู ยก์ ลาง รศั มยี าวเท่ากัน
B เขียนสว่ นโคง้ ตดั กันทั้งสองข้างของ AB ท่ีจุด P และ Q

2. ลาก PQ ตัด AB ท่ี O

การพสิ จู น์ ดังนน้ั O เปน็ จดุ แบ่งครง่ึ เส้นตรงตามต้องการ
Q
ลาก PA , PB และ QA , QB

จะได้ APQ  BPQ เพราะ AP = BP , AQ = BQ , PQ = PQ (ด.ด.ด)

ฉะนั้น APˆO = BPˆQ

ดังน้นั AO = BO แสดงวา่ จุด O แบง่ ครึง่ สว่ นของเส้นตรง AB

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปกิ วิชาการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ■ วิชา เรขาคณติ 12

บทสรา้ ง 1.4 การแบ่งครึง่ มมุ ทีก่ าหนดให้ กาหนดให้ BAˆC
B จะต้อง แบ่งครึ่ง BAˆC

PO

A QC

วิธสี รา้ ง 1. ใช้ A เป็นจดุ ศูนย์กลาง รัศมีพอสมควรเขยี นส่วนโค้งตดั AB ที่ P และตดั AC ที่ Q

2. ใช้ P และ Q ผลดั กนั เปน็ จดุ ศูนย์กลางเขยี นสว่ นโค้งตดั กันทจี่ ดุ O

3. ลาก AO

ดังนัน้ AO เป็นเสน้ แบ่งครึ่ง BAˆC ตามต้องการ

การพิสจู น์ ลาก OP, OQ ใน AOP และ  AOQ

จะได้ AP = AQ รัศมขี องวงกลมเดยี วกนั

OP = OQ รศั มีของวงกลมเดียวกนั

AO = AO ดา้ นรว่ ม

เพราะฉะน้ัน AOP  AOQ (ด.ด.ด)
จะได้ OAˆP = OAˆQ

บทสร้าง 1.5 การสรา้ งเส้นต้ังฉากจากจดุ ภายในเส้นตรง

O กาหนดให้ เสน้ ตรง AB และ P เป็นจุดในเสน้ ตรง AB
จะตอ้ ง ลากเส้นตรงจาก P ให้ต้งั ฉากกับเสน้ ตรง AB

วิธีสรา้ ง 1. ใช้ P เป็นจดุ ศูนยก์ ลาง รศั มพี อสมควร

เขียนสว่ นโค้งตดั เส้นตรง AB ท่ี Q และ R

AQ P R B 2. ใช้ Q และ R ผลัดกันเป็นจดุ ศูนย์กลาง รศั มี
เท่ากัน เขียนส่วนโค้งตดั กนั ท่จี ุด O

3. ลาก OP ดังน้ัน OP ตั้งฉากกับเสน้ ตรง AB

การพสิ จู น์ ลาก OQ และ OR จะได้ POQ  POR (ด.ด.ด)

ฉะนนั้ OPˆQ = OPˆR ดังน้ัน OP ต้งั ฉากกับเส้นตรง AB

บทสรา้ ง 1.6 การสร้างเส้นต้ังฉากจากจุดภายนอกเส้นตรง

P กาหนดให้ เสน้ ตรง AB และจดุ P เป็นจุดนอกเสน้ ตรง AB

จะตอ้ ง ลากเส้นตรงจาก P ไปตั้งฉากกบั เสน้ ตรง AB

วิธีสร้าง 1. ใช้ P เป็นจุดศนู ย์กลาง รัศมียาวพอทจี่ ะเขยี น

AQ O RB สว่ นโค้งตัดเส้นตรง AB ที่ Q และ R
Q 2. ใช้ Q และ R ผลัดกันเป็นจดุ ศนู ยก์ ลางรัศมี

เทา่ กนั เขยี นสว่ นโค้งตดั กันท่จี ุด S ซ่ึงเปน็

อกี ข้างหน่งึ ของเสน้ ตรง AB ตรงข้ามกับ P
S 3. ลาก PS ตดั AB ท่ี O ดังนั้น PO ต้งั ฉาก AB

การพิสจู น์ แบบฝึกหดั

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

▲ ค่ายโอลิมปกิ วิชาการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ■ วิชา เรขาคณิต 13

บทสร้าง 1.7 การสรา้ งเส้นตรงให้ขนานกบั เส้นตรงทก่ี าหนดให้และผา่ นจุดท่ีกาหนดให้
Q P

A B
กาหนดให้
จะต้อง P เปน็ จดุ นอกเส้นตรง AB
วิธีสรา้ ง ลากเสน้ ผา่ นจุด P ให้ขนานกบั เสน้ ตรง AB
1. ลาก AP
การพิสูจน์ 2. ท่ี P สรา้ ง APˆQ ให้เท่ากับ PAˆB
ดังนั้น เสน้ ตรง PQ ผา่ นจุด P และขนานกับเสน้ ตรง AB ตามต้องการ
เนอ่ื งจาก APˆQ = PAˆB โดยการสรา้ ง
เพราะฉะนนั้ PQ // AB มุมแยง้ ท่ีเกิดจากเส้นตดั เสน้ ตรงคูห่ นึ่งมขี นาดเทา่ กัน

เส้นตรงคู่นน้ั ยอ่ มขนานกนั

บทสร้าง 1.8 การแบง่ สว่ นของเส้นตรงออกเป็นส่วน ๆ เทา่ กัน B
A

กาหนดให้ AB เป็นส่วนของเส้นตรง
จะต้อง แบ่งสว่ นของเสน้ ตรง AB ออกเป็น ….. ส่วนเทา่ ๆ กัน
วธิ ีสรา้ ง

การพสิ จู น์

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปกิ วิชาการ ศนู ยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ■ วิชา เรขาคณติ 14

2. การสรา้ งเกีย่ วกบั รปู สามเหล่ียม
บทสรา้ ง 2.1 การสร้างรูปสามเหลี่ยม เม่อื กาหนดด้านมาให้สามด้าน

a
b
c

บทสร้าง 2.2 การสรา้ งรปู สามเหล่ยี ม เมือ่ กาหนดมุมหน่ึงมุม และด้านสองด้าน
a
b

k

บทสรา้ ง 2.3 การสร้างรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก เมื่อกาหนดด้านตรงข้ามมมุ ฉาก และด้านประกอบมมุ ฉาก
หน่งึ ดา้ น

a
b

บทสรา้ ง 2.4 การสรา้ งรูปสามเหลี่ยมหนา้ จ่วั ใหม้ มี ุมทฐี่ านมีขนาดเปน็ สองเทา่ ของมมุ ยอด

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปกิ วชิ าการ ศูนย์โรงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ■ วิชา เรขาคณิต 15

3. การสรา้ งเกยี่ วกับรูปส่ีเหลี่ยม
บทสร้าaง 3.1 การสร้างรูปสเ่ี หลยี่ ม เมือ่ กาหนดดา้ นส่ดี ้าน และมุมหนงึ่ มมุ

b

c
d

k

บทสรา้ ง 3.2 การสร้างรูปสีเ่ หล่ียมดา้ นขนาน เม่ือกาหนดดา้ นประชดิ และมมุ ระหวา่ งดา้ นท้งั สอง
a
b

k

บทสร้าง 3.3 การสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรสั บนด้านทีก่ าหนดให้

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปิกวชิ าการ ศนู ยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ■ วิชา เรขาคณติ 16

4. การสร้างเกยี่ วกบั พ้ืนที่
บทสร้าง 4.1 การสร้างรปู สี่เหล่ยี มดา้ นขนานใหม้ ีพ้ืนทเ่ี ทา่ กบั พื้นท่ขี องรปู สามเหลย่ี ม โดยกาหนดมุมมาให้

บทสร้าง 4.2 การสรา้ งรปู สามเหลี่ยมให้มีพ้ืนที่เทา่ กับพื้นที่ของรูปสี่เหลย่ี มที่กาหนดให้

บทสร้าง 4.3 การสรา้ งรูปสเี่ หล่ยี มด้านขนานใหม้ พี นื้ ทเี่ ทา่ กบั พน้ื ท่ีของรปู สี่เหลี่ยมท่ีกาหนดให้ และมีมุมมุม
หนึ่งเทา่ กบั มุมทีก่ าหนดให้

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปกิ วชิ าการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ■ วิชา เรขาคณิต 17

บทสร้าง 4.4 การสรา้ งรูปส่ีเหลยี่ มจัตุรสั ใหม้ พี น้ื ที่เปน็ n เทา่ ของพ้นื ทร่ี ปู สเ่ี หล่ียมจตั ุรสั ท่กี าหนดให้

บทสรา้ ง 4.5 การสร้างรูปสเ่ี หล่ยี มจตั ุรสั ใหม้ ีพ้ืนเท่ากับพื้นที่รูปสี่เหล่ยี มผนื ผา้ ทีก่ าหนดให้

บทสร้าง 4.6 การแบ่งส่วนของเส้นตรงท่ีกาหนดให้ โดยพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ประกอบด้วยส่วนท้ังหมด
และส่วนแบง่ สว่ นหนง่ึ เทา่ กบั พน้ื ท่ีรูปสี่เหลย่ี มจตั ุรัสบนส่วนแบง่ อกี ส่วนหนง่ึ

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วิชาการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ■ วิชา เรขาคณิต 18

5. การสร้างเกี่ยวกับวงกลม

บทสร้าง 5.1 การหาจดุ ศนู ย์กลางของวงกลม เม่อื กาหนดวงกลมวงหนงึ่ หรือสว่ นโค้งของวงกลม
บทสร้าง 5.2 การแบ่งคร่ึงส่วนโคง้ ที่กาหนดให้
บทสรา้ ง 5.3 การลากเสน้ สัมผสั วงกลมจากจุดภายนอกวงกลม
บทสร้าง 5.4 การลากเสน้ สัมผสั ร่วม ใหส้ ัมผัสวงกลมสองวง
บทสรา้ ง 5.5 การสร้างสว่ นของวงกลมบนเส้นตรงที่กาหนดให้ และมมี ุมมุมหนง่ึ เท่ากับมุมทกี่ าหนดให้
บทสร้าง 5.6 การสร้างวงกลมแนบนอกรปู สามเหลี่ยมทก่ี าหนดให้
บทสร้าง 5.7 การสร้างวงกลมแนบในรูปสามเหลีย่ มท่กี าหนดให้
บทสร้าง 5.8 การสรา้ งวงกลมแนบนอกรูปสามเหลี่ยมทีก่ าหนดให้
บทสรา้ ง 5.9 การสรา้ งรปู สามเหลี่ยมแนบในวงกลม ใหม้ ีมุมเท่ากับมุมของรูปสามเหลี่ยมท่กี าหนดให้
บทสรา้ ง 5.10 การสรา้ งรปู สามเหลีย่ มแนบนอกวงกลม ใหม้ มี มุ เทา่ กบั มมุ ของรูปสามเหลี่ยมที่กาหนดให้
บทสรา้ ง 5.11 การสรา้ งรปู หลายเหล่ียมปกติ (Regular polygon) แนบในและแนบนอกวงกลมท่ีกาหนดให้
บทสร้าง 5.12 การสรา้ งรูปวงกลมแนบในและแนบนอกรูปหลายเหล่ียมปกตทิ ่ีกาหนดให้

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปิกวชิ าการ ศนู ยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ■ วิชา เรขาคณิต 19

แบบฝึกหดั เรอื่ ง การสร้าง

1. กาหนด AB เป็นส่วนของเส้นตรงใด ๆ จงแบ่ง AB เป็นสองส่วนท่ีจุด P โดยให้ AP = (2/3)AB และ
เขียนวิธสี รา้ ง

2. จงใช้วงเวียนและสันตรงสร้างรูปสามเหล่ียม ABC ให้ AB = a, BAˆC = 52.5 และ ABˆC = 45 และ
เขียนวิธีสรา้ ง

3. จงใช้วงเวียนและสนั ตรงสรา้ งรปู สเ่ี หล่ียมด้านขนานให้ฐานยาว a เซนติเมตร สูง b เซนติเมตร และมุมที่
ฐานมุมหน่ึงมีขนาดเท่ากบั 75

4. กาหนด ส่วนของเสน้ ตรง a, b และมุม k จงสร้างรูปสามเหลีย่ มท่ีมมี มุ มุมหน่ึงมขี นาดเทา่ กับครึ่งหนึ่งของ
ขนาดมุม k ด้านท่ีประชิดมมุ ทส่ี รา้ งยาวเทา่ กบั a หนว่ ย และ b หนว่ ยตามลาดบั

5. กาหนดขนาดของมุม k จงสร้างรูปสามเหล่ียม ABC ที่ ABˆC = k จุด E อยู่บน AC โดย BE แบ่งคร่ึง
ABˆC , BE = a หนว่ ย และ AB = b หน่วย

6. กาหนดรปู สามเหล่ยี ม ABC จงสรา้ งรูปสามเหลย่ี ม XYZ ให้มี XY=AB+BC, XYˆZ = 2(ABˆC) และ YZ=BC
7. กาหนดรูปสามเหล่ียมมุมฉาก PQR จงสร้างรูปสามเหลี่ยมหน้าจ่ัวท่ีมีด้านประกอบมุมยอดเท่ากับ PR

และฐานยาวเป็นสองเท่าของ QR
8. จงสร้างรูปสามเหล่ียมมุมแหลม ABC ท่ีมี AB เป็นฐาน BAˆC = k มัธยฐานที่ลากจากจุด C มายัง AB

ยาว a หน่วย และมคี วามสูง b หนว่ ย
9. กาหนดใหเ้ ส้นตรง a, b และมมุ k จงสรา้ งรปู สเ่ี หลีย่ มดา้ นขนาน ABCD ใหม้ ี AB = a, BC = b และ Aˆ = Kˆ
10. จงสร้างรูปสเี่ หลย่ี มด้านขนาน ABCD ให้ AB = a เสน้ ทแยงมมุ AC = b เสน้ ทแยงมุม BD = c
11. จงสรา้ งรูปส่ีเหลี่ยมขนมเปียกปูน ABCD ให้เสน้ ทแยงมุม AC = p เส้นทแยงมมุ BD = q
12. จงสร้างรูปส่ีเหลยี่ มคางหมู ABCD ให้ AB // CD, Bˆ = Kˆ , AB = a, BC = b, CD = c
13. จงสร้างรูปหา้ เหลยี่ มให้มพี ืน้ ที่เทา่ กับพนื้ ทีข่ องรปู หกเหลี่ยม ABCDEF ท่กี าหนดให้
14. จงสร้างรปู สามเหลย่ี มให้มีพ้ืนทเ่ี ท่ากบั พ้ืนทีข่ องรปู ห้าเหล่ียม ABCDE ท่ีกาหนดให้
15. จงสร้างรปู ส่ีเหลีย่ มผนื ผา้ ให้มีพืน้ ทเ่ี ท่ากับพื้นทข่ี องรปู สเ่ี หล่ียม ABCD ทก่ี าหนดให้
16. จงสรา้ งรปู สามเหลย่ี มให้มีพ้ืนทเี่ ท่ากับพน้ื ที่ของรูปหกเหลีย่ ม ABCDEF ที่กาหนดให้
17. จงสรา้ งรูปสีเ่ หลีย่ มผนื ผา้ ให้มพี ้ืนทเี่ ทา่ กบั พ้นื ท่ีของรูปหกเหล่ียม ABCDEF ที่กาหนดให้
18. จงสร้างรูปสี่เหลีย่ มด้านขนานใหม้ ีพื้นท่เี ป็นสองในสามของพน้ื ทีข่ องรูปสามเหล่ียม ABC ที่กาหนดให้

19. จงสรา้ งรูปสามเหล่ียมทบี่ รรจุภายในวงกลมให้มมี มุ เท่ากบั รปู สามเหล่ยี มที่กาหนดให้
20. จงสร้างรปู สามเหล่ียมล้อมรอบวงกลมให้มีมมุ เทา่ กับรูปสามเหล่ยี มท่ีกาหนดให้
21. จงสร้างรูปสามเหล่ียมหนา้ จวั่ ให้มพี น้ื ทีเ่ ท่ากบั รูปสามเหล่ียมที่กาหนดให้ ฐานอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน

กับฐานของรปู สามเหลีย่ มทก่ี าหนดให้และจดุ ยอดอยู่ทีจ่ ุดจดุ หน่งึ
22. จงสรา้ งรปู ส่เี หลีย่ มด้านขนานซ่ึงมีดา้ นหน่ึงเทา่ กับสว่ นของเส้นตรงท่ีกาหนดให้ และมีพน้ื ทเี่ ทา่ กบั พืน้ ท่ี

ของรปู สามเหลย่ี มทกี่ าหนดให้
23. จงสร้างรปู สเี่ หล่ยี มด้านขนานให้มีพื้นท่ีเท่ากับพ้นื ที่ของรปู ห้าเหล่ียมท่ีกาหนดให้ และมีมุมมุมหนงึ่ เทา่ กับ

มุมท่ีกาหนดให้

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลิมปิกวิชาการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ■ วิชา เรขาคณติ 20

3. รปู สามเหลี่ยมและความคลา้ ย

รูปสามเหล่ียมถือว่าเป็นพื้นฐานในการศึกษารูปหลายเหล่ียมอ่ืน ๆ เช่นการหาผลบวกของมุม
ภายใน และพ้ืนท่ีของรูปหลายเหลี่ยม เราสามารถหาได้โดยการลากเส้นทแยงมุมที่ไม่ตัดกันเพื่อแบ่งย่อย
เป็นรูปสามเหลี่ยม แล้วก็สามารถแก้ปัญหาได้ นอกจากน้ันปัญหาต่าง ๆ ในทางธรรมชาติก็เก่ียวข้องกับรูป
สามเหล่ยี มมากมาย เชน่ ทฤษฎีบทของพีทาโกรัส การหาจุดรวมมวลและอ่ืน ๆ ในหัวข้อน้ีเราจะเน้นศึกษา
สมบัตพิ นื้ ฐานของรปู สามเหลยี่ ม ส่วนปัญหาตา่ ง ๆ ทกี่ าลงั เป็นทส่ี นใจในปจั จบุ ันจะศึกษาในคา่ ย 2 ต่อไป

สมบัตแิ ละทฤษฎีบททส่ี าคญั เกีย่ วกบั รูปสามเหลีย่ ม
ทฤษฎีบท 3.1 ในรูปสามเหล่ียมมุมฉากใด ๆ พ้ืนที่รูปสี่เหล่ียมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลบวก
ของพน้ื ทีร่ ปู ส่เี หลยี่ มจัตุรัสบนดา้ นประกอบมมุ ฉาก (ทฤษฎีบทของพีทาโกรสั )

ทฤษฎบี ทของพีทาโกรัส ถือได้ว่าเป็นทฤษฎีบทท่ีมีช่ือเสียงท่ีสุดทฤษฎีหน่ึงในวิชาเรขาคณิต และมี
ผูเ้ สนอวิธกี ารพิสจู น์มากมาย แต่ในทน่ี เ้ี ราจะนามากล่าวพอสังเขป
การพสิ ูจน์ (1)

การพสิ จู น์ (2)
ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปิกวชิ าการ ศนู ยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ■ วิชา เรขาคณิต 21

ทฤษฎีบท 3.2 ในรูปสามเหล่ียมใด ๆ ถ้าพ้ืนที่รูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลบวกของ
พนื้ ท่ีรปู สีเ่ หล่ยี มจัตรุ ัสบนดา้ นประกอบมุมฉากแล้ว รูปสามเหล่ียมรูปน้ันเป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก (บทกลับ
ทฤษฎบี ทของพีทาโกรัส)

ทฤษฎบี ท 3.3 ในรูปสามเหล่ียมมมุ ป้าน พ้ืนที่รูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมป้าน เท่ากับผลบวกของ
พืน้ ท่ีรปู สเ่ี หลย่ี มจตั ุรัสบนด้านทีป่ ระกอบมมุ ป้าน กับสองเท่าของพ้ืนที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าท่ีประกอบด้วยด้าน
หน่งึ ด้านใดในสองดา้ นน้ีกบั ภาพฉาย (projection) ของอีกด้านหนงึ่

ทฤษฎีบท 3.4 ในรูปสามเหล่ียมมุมแหลม พื้นท่ีรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมแหลม เท่ากับผลบวก
ของพื้นท่ีรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสบนด้านท่ีประกอบมุมแหลม ลบด้วยสองเท่าของพ้ืนท่ีรูปส่ีเหล่ียมผืนผ้า ท่ี
ประกอบดว้ ยดา้ นหนึง่ ดา้ นใดในสองด้านน้ี กบั ภาพฉายของอกี ดา้ นหน่ึง

ทฤษฎบี ท 3.5 ในรปู สามเหลี่ยมใด ๆ ผลบวกของพื้นท่ีรูปสีเ่ หลี่ยมจตั ุรัสบนดา้ นสองดา้ นเท่ากับสองเท่าของ
พน้ื ที่รปู สี่เหล่ยี มจัตรุ สั บนครึง่ หน่งึ ของด้านที่สามรวมกับสองเทา่ ของพนื้ ทร่ี ปู สีเ่ หลี่ยมจัตรุ สั บนเสน้ มธั ยฐาน

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลิมปิกวิชาการ ศนู ย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ■ วิชา เรขาคณติ 22

ทฤษฎบี ทเก่ียวกับสดั ส่วน
ทฤษฎีบท 3.5 ส่วนของเส้นตรงซึ่งลากขนานกับด้านด้านหน่ึงของรูปสามเหล่ียม จะแบ่งด้านที่เหลือ
ออกเปน็ สดั ส่วนกนั

ทฤษฎีบท 3.6 ถ้าส่วนของเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งออกเป็นสัดส่วนกัน
แล้ว สว่ นของเสน้ ตรงน้ันจะขนานกบั ด้านท่สี าม (บทกลบั ทฤษฎบี ท 3.5)

ทฤษฎีบท 3.7 ส่วนของเส้นตรงซ่ึงลากแบ่งคร่ึงมุมภายในหรือมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมท่ีลากมาพบ
ฐานภายในหรอื ฐานภายนอก จะแบง่ ฐานออกเป็นอตั ราส่วนทีเ่ ท่ากับอตั ราส่วนของด้านที่เหลืออีกสองดา้ น

ทฤษฎีบท 3.8 สาหรบั รูปสามเหลย่ี ม ABC ถ้าแบ่งดา้ น BC ภายในหรอื ภายนอกทจี่ ุด X โดยทาให้
BX : XC = BA : AC แลว้ BAˆX = XAˆC (บทกลบั ทฤษฎีบท 3.7)

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลิมปิกวิชาการ ศูนย์โรงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ■ วิชา เรขาคณิต 23

ความคล้าย
บทนยิ าม รปู สามเหล่ียมสองรูปคลา้ ยกนั กต็ ่อเมื่อ รปู สามเหลี่ยมสองรูปนน้ั มขี นาดของมุมเท่ากนั เป็นคู่ ๆ
สามคู่
ทฤษฎบี ท 3.9 ถ้ารปู สามเหลี่ยมสองรูปมีมมุ สามมุมเทา่ กนั มุมต่อมมุ แลว้ ดา้ นที่สมนยั กันเปน็ สัดส่วนกนั

ทฤษฎีบท 3.10 ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรปู มีด้านท่ีสมนัยกันเปน็ สดั สว่ นกัน แล้วรูปสามเหลย่ี มคูน่ ้นั จะมีมมุ ท่ี
อยตู่ รงข้ามด้านทส่ี มนัยกันเท่ากันมมุ ต่อมุม

ทฤษฎีบท 3.11 ถ้ารูปสามเหล่ียมสองรูปมีมุมมุมหน่ึงเท่ากันและด้านประกอบมุมเท่าเป็นสัดส่วนกัน แล้ว
รูปสามเหลีย่ มสองรปู น้คี ล้ายกัน

ทฤษฎีบท 3.12 ถ้ารปู สามเหลยี่ มสองรูปมีมุมเท่ากันมุมหนึ่ง และด้านประกอบมุมอีกมุมหนึ่งท่ีสมนัยกันเป็น
สดั สว่ นกนั แล้วมุมทส่ี ามจะเท่ากนั หรือเป็นมุมประกอบสองมุมฉาก (ในกรณีแรกรูปสามเหลยี่ มจะคล้ายกนั )

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

▲ ค่ายโอลิมปิกวชิ าการ ศนู ยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ■ วิชา เรขาคณิต 24

ทฤษฎีบท 3.13 ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ถ้าลากส่วนของเส้นตรงจากจุดยอดไปต้ังฉากกับด้านตรงข้าม
มมุ ฉาก แล้วรปู สามเหล่ียมทีเ่ กดิ ข้ึนทง้ั สองรปู คลา้ ยกนั และคล้ายกับรูปเดิมด้วย

ทฤษฎีบท 3.14 ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมหนึ่งเท่ากัน แล้วพื้นท่ีรูปสามเหล่ียมคู่นี้จะเป็นสัดส่วนกับ
พน้ื ทร่ี ูปส่เี หลี่ยมผนื ผ้าท่ีประกอบดว้ ยด้านสองดา้ นท่ีประกอบมุมเท่าน้ัน

ทฤษฎบี ท 3.15 พื้นท่รี ปู สามเหลีย่ มคล้ายเป็นสัดสว่ นกับพ้ืนท่รี ปู สีเ่ หลี่ยมจัตุรัสบนดา้ นที่สมนัยกนั

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วชิ าการ ศูนยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ■ วิชา เรขาคณติ 25

แบบฝกึ หัด เรอื่ ง รปู สามเหลี่ยมและความคลา้ ย

1. จากรปู ท่ีกาหนดให้ ADˆB = ACˆD และ AD = DC

C ดา้ นท่เี ทา่ กันอีกคู่คอื .................................
#
AC = AB และ ABD = AD2
B AD ADC
A #D

2. จากรูปทีก่ าหนดให้ NM ขนาน BC และ NL ขนานกับ AC จงพิสจู นว์ ่า ANM  NBL
AN 2
กาหนดให้ NB = 3 จงหา A

ก. อัตราส่วนพืน้ ทขี่ อง ANM : NBL N
NM X M
ข. BC

ค. อตั ราส่วนพื้นทข่ี อง BNMC :  ABC B LC
NX
ง. MC

3. จากรูปท่ีกาหนดให้ DAˆB= CBˆA =90° ตอ่ CB ไปถงึ จุด F โดยท่ี BC = BF ลาก DF ตดั AB ทจี่ ุด E
D
ถา้ EC = 5 เซนติเมตร และ ED = 10 เซนตเิ มตร

ก. จงหาความยาวของ DF

ข. ถ้ากาหนดให้ CED = 12.5 ตารางเซนตเิ มตร จงแสดงว่า DEˆC = 30 C

ค. จาก ข. จงหาความยาวของ CD

ง. จงพิสูจนว์ ่า DAE CBE A EB
จ. จงหาอตั ราส่วนพน้ื ท่ีของ CBE : DAE และ CDE : CDF

F
4. กาหนดให้ AX เป็นเสน้ มัธยฐานของรูปสามเหล่ียม ABC และ D, E เป็นจุดบนด้าน AB, AC ตามลาดับ

และ DE ขนานกบั ด้าน BC และ AX ตัดกบั DE ที่จดุ Y จงแสดงวา่ DY = YE

5. จากรปู QR //ST และอัตราสว่ นพ้นื ท่ีของ PQR : PST = 9 : 64 จงหา P
PQ
ก. PS

ข. ถา้ กาหนดให้พื้นท่ี PQR = 36 ตารางเซนติเมตร Q R

จงหาพ้นื ที่ QRTS S T

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปกิ วิชาการ ศนู ยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ■ วิชา เรขาคณิต 26

6. จากรูป AXB, WYB, XYZD และ AWZC ตา่ งกเ็ ป็นจุดท่อี ยู่บนเส้นตรงเดยี วกัน AB//DC และ

XD//BC , XY = 6 เซนติเมตร YZ = 8 เซนติเมตร ZD = 10 เซนติเมตรและ ZC = 9 เซนติเมตร จงหา
A
ก. รปู สามเหลยี่ มทีค่ ลา้ ยกับ ABC

ข. ค่าของ AZ XY W D
Z
ค. รปู สามเหลย่ี มท่คี ล้ายกับ WYZ
ง. คา่ ของ WZ

7. จากรปู AH = BD, HK = HB และ HK //BD B C

A ก. จงหารปู สามเหลยี่ มทเี่ ท่ากันทกุ ประการกบั รูปสามเหลยี่ ม AHK

ข. จงพสิ ูจนว์ า่ AHL DCL

ค. ถา้ กาหนดให้ AH = 9 เซนติเมตร HL = 3 เซนตเิ มตร และ

CD = 5 เซนตเิ มตร

HK 1) จงหาค่าของ CL
L 2) ให้ HK = x เซนตเิ มตร จงหาสมการกาลังสองทีท่ าใหไ้ ดค้ า่ x

BC D

8. จากรูป P เปน็ จดุ บนด้าน AC โดยที่ AP = 2PC และ R เปน็ จดุ บนด้าน BP โดยท่ี BR = 3RP และ
QR // AC กาหนดให้พืน้ ที่ BPA = 32 ตารางเซนตเิ มตร จงหา C

ก. พืน้ ท่ี BPC RP
ข. พ้นื ที่ BRQ

B Q A

9. จากรปู LPM อยบู่ นเสน้ ตรงเดยี วกันและ LPˆN = LNˆM N
ก. จงหามุมทเ่ี ทา่ กบั LNˆP
ข. กาหนดให้ LP = 6 เซนตเิ มตร PN = 4 เซนติเมตร PM
และ NM = 5 เซนตเิ มตร จงหาความยาวของ LN

L

10. จากรูป ABˆC=BDˆC=90° กาหนดให้ AC = 10 เซนตเิ มตร และ BC = 7 เซนตเิ มตร

จงหาความยาวของดา้ น CD B

A DC
ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

▲ ค่ายโอลิมปิกวชิ าการ ศนู ย์โรงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ■ วิชา เรขาคณติ 27

11. จากรูป DF // AG, DE // AB, DC = 8, CG = 6, DE = 10 และ AB = 15 จงหา AD และ FG
C

FG
DE

AB
12. รูปสามเหลีย่ ม ABC มี C เป็นมมุ ฉาก ด้าน AC ยาว 15 เซนตเิ มตร CD ตั้งฉากกบั AB ทจี่ ดุ D และ

ดา้ น BD ยาว 16 เซนติเมตร จงหาพนื้ ที่รปู สามเหลีย่ ม ABC

13. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มี A เปน็ มมุ ฉาก ด้าน BC ยาว 20 นิ้ว ดา้ น AC ยาว 16 น้วิ ดา้ น
AD ตั้งฉากกบั ด้าน BC จงหา DC : AD

14. ให้ ABC เป็นรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก มี A เป็นมุมฉาก ถ้าต่อ AB และ AC ออกไปทาง B และ C ถึง X
และ Y ตามลาดบั แลว้ ลาก BY และ CX จงพสิ จู นว์ า่ XY2 + BC2 = CX2 + BY2

15. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก มี A เป็นมมุ ฉาก D เปน็ จดุ ใด ๆ บน AC ลาก BD จงพิสูจนว์ ่า
BC2 + AD2 = AC2 + BD2

16. ให้ ABC เปน็ รปู สามเหลย่ี มที่ AD เปน็ เสน้ ตง้ั ฉากจาก A มายงั BC จงพสิ ูจน์ว่า AB2–AC2 = BD2–DC2

17. ให้ ABC เป็นรปู สามเหลีย่ มมมุ ฉาก มี A เปน็ มมุ ฉาก BD และ CE เป็นเส้นมธั ยฐาน จงพสิ จู น์วา่
BC2 = 4(AD2+AE2) และ BD2 + CE2 = 5(AD2+AE2)

18. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี A เป็นมุมฉาก BD และ CE เป็นเส้นมัธยฐานท่ีลากจากจุด B
และ C มายังฐาน จงพสิ ูจน์วา่ 5BC2 = 4(BD2 + CE2)

19. จงแสดงวา่ สามเท่าของจัตุรัสบนด้านหนึ่งของสามเหล่ียมด้านเท่าเท่ากับสี่เท่าของจัตุรัสบนเส้นตั้งฉาก
เส้นหนง่ึ ท่ลี ากจากมุมยอดมายงั ฐาน

20. ในรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก จงพสิ จู นว์ า่ ผลบวกของจัตรุ ัสบนดา้ นประกอบมุมฉากเท่ากบั สองเท่าของ
จตั ุรสั บนเส้นตัง้ ฉากที่ลากจากมมุ ฉากไปยังด้านตรงข้าม รวมกบั ผลบวกของจัตุรสั บนส่วนแบ่งของด้าน
ตรงขา้ มมุมฉาก

21. จงพิสจู น์วา่ ผลบวกของจัตรุ สั บนเสน้ ทแยงมมุ ของรูปสี่เหลยี่ มขนมเปียกปูนเทา่ กบั ผลบวกของจตั ุรัส
บนดา้ นทง้ั สีข่ องรูปสี่เหลี่ยมนั้น

22. รูปสามเหลี่ยม ABC มี AL , BM , CN เป็นเส้นต้ังฉาก ตัดกันท่ีจุด P จงพิสูจน์ว่า AN2 + BL2 + CM2
= AM2 + CL2 + BN2

23. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า โดยท่ี ADBC , E เป็นจุดกึ่งกลางของ CD ลาก AE จงพิสูจน์
วา่ AE2 = 13CE2

24. ให้ PMN เป็นรูปสามเหลย่ี มหน้าจว่ั มี PM = PN, MSPN จงพสิ จู นว์ า่ MN2 = (PN)(NS) + (PM)(NS)
25. ให้ ABC เป็นรปู สามเหลยี่ มใด ๆ ทม่ี ี AM เป็นเสน้ มธั ยฐาน จงพิสจู น์วา่ AB2 + AC2 = 2BM2 + 2AM2

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปกิ วิชาการ ศูนยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ■ วิชา เรขาคณติ 28

4. วงกลม คอรด์ และเส้นสัมผสั

ในหัวข้อน้ีจะศึกษาพื้นฐานของวงกลม คอร์ดและเส้นสัมผัส รวมถึงสมบัติและทฤษฎีบทที่สาคัญ
เกยี่ วกบั วงกลมคอรด์ และเส้นสมั ผสั

สมบตั ิและทฤษฎบี ทท่ีสาคัญเกย่ี วกับวงกลม
ทฤษฎีบท 4.1 ถา้ ลากส่วนของเสน้ ตรงจากจดุ ศูนยก์ ลางของวงกลมไปแบ่งคร่ึงคอร์ดซึ่งไม่ผ่านจุดศูนย์กลาง
แลว้ ส่วนของเสน้ ตรงน้นั จะต้องต้ังฉากกับคอรด์

บทกลับ ถ้าลากสว่ นของเส้นตรงจากจดุ ศูนยก์ ลางของวงกลมไปตง้ั ฉากกับคอร์ดซ่ึงไมผ่ ่านจดุ ศูนย์กลาง แล้ว
ส่วนของเสน้ ตรงนั้นจะแบง่ ครง่ึ คอร์ด

บทแทรก สว่ นของเส้นตรงซ่งึ ลากแบ่งคร่ึงคอร์ด และต้ังฉากกบั คอรด์ จะผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม

บทแทรก เสน้ ตรงเสน้ หน่ึงไม่สามารถตดั วงกลมหนึง่ ไดม้ ากกวา่ สองจดุ

ทฤษฎบี ท 4.2 จากจุดภายในวงกลม ถ้าลากส่วนของเส้นตรงไปยังเส้นรอบวงให้ยาวเท่ากันได้มากกว่าสอง
เสน้ แลว้ จดุ จดุ นน้ั จะเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม

ทฤษฎีบท 4.3 คอรด์ ทีย่ าวเทา่ กัน ย่อมอยหู่ ่างจากจดุ ศูนย์กลางเป็นระยะทางที่เท่ากัน

บทกลบั คอร์ดที่อยหู่ า่ งจากจุดศนู ยก์ ลางเป็นระยะทางท่ีเท่ากัน ยอ่ มยาวเท่ากัน
ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วิชาการ ศูนยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ■ วิชา เรขาคณติ 29
ทฤษฎีบท 4.4 มมุ ในครง่ึ วงกลมเป็นมุมฉาก

ทฤษฎีบท 4.5 ถ้ามุมท่ีจุดศูนย์กลางของวงกลมและมุมในส่วนโค้งของวงกลมรองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน
แลว้ มุมทจี่ ุดศูนย์กลางของวงกลมจะมีขนาดเป็นสองเทา่ ของมมุ ในส่วนโคง้ ของวงกลม

ทฤษฎบี ท 4.6 มมุ ในสว่ นโค้งของวงกลมส่วนเดยี วกัน ยอ่ มเท่ากัน
ทฤษฎบี ท 4.7 เสน้ สมั ผัสที่ลากมาสัมผัสวงกลม จะตงั้ ฉากกับรศั มีของวงกลมซง่ึ ลากมาที่จดุ สัมผัส

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วิชาการ ศูนยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ■ วิชา เรขาคณิต 30

ทฤษฎบี ท 4.8 เส้นสัมผัสสองเส้นท่ีลากจากจุดภายนอกมายังวงกลมวงหน่ึงจะยาวเท่ากัน และรองรับมุมท่ี
จดุ ศนู ย์กลางเท่ากนั

ทฤษฎีบท 4.9 มุมที่เกดิ ขนึ้ จากเสน้ สมั ผัสจดกับขอบยอ่ มเท่ากับมุมท่ีอยู่ในสว่ นของวงกลมตรงกนั ข้าม

ทฤษฎีบท 4.10 คอร์ดสองคอร์ดตัดกันภายในวงกลม พื้นท่ีรูปส่ีเหล่ียมผืนผ้าท่ีประกอบด้วยส่วนตัดของ
คอร์ดยอ่ มเท่ากนั

ทฤษฎีบท 4.11 คอร์ดสองคอร์ดตัดกันภายนอกวงกลม พื้นที่รูปส่ีเหล่ียมท่ีประกอบด้วยส่วนตัดของคอร์ด
ย่อมเทา่ กนั และเท่ากับพื้นทร่ี ูปสี่เหล่ียมจตั รุ ัสบนเสน้ สัมผัส

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปิกวิชาการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ■ วิชา เรขาคณิต 31

แบบฝึกหัด เรื่อง วงกลม

1. ถา้ AC และ BD เป็นเสน้ ผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ตั้งฉากซ่ึงกันและกันแล้ว จงพิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยม
ABCD เป็นรูปสีเ่ หลี่ยมจตั ุรัส

2. ถ้า AB เป็นคอรด์ ของวงกลม O จดุ C อยู่บนเส้นรอบวงทาให้ AC = CB จงพสิ ูจน์ว่า CO ตั้งฉากกบั AB

3. กาหนดให้ AB และ CD เป็นคอร์ดที่ยาวเท่ากันของวงกลม O ต่อ AB และ CD ไปพบกันที่จุด E จง
พสิ ูจน์วา่ BE = DE

4. กาหนดให้ AB และ CD เปน็ คอรด์ ท่ียาวเท่ากันของวงกลม O และคอร์ดทง้ั สองตดั กันท่ีจุด E จงพิสูจน์
ว่า AE = CE

5. คอร์ดสองเสน้ ของวงกลมวงกลมวงหนงึ่ ตดั กันท่ีจดุ ๆ หนึ่ง ลากเส้นตรงจากจุดตัดไปยังจุดศูนย์กลาง ถ้า
เสน้ ตรงนท้ี ามุมกบั คอรด์ ท้ังสองเทา่ กันแลว้ จงพสิ จู นว์ ่า คอร์ดทัง้ สองนน้ั ยาวเท่ากนั

6. วงกลม A และวงกลม B ตัดกันทีจ่ ดุ X และ Y ลาก AB และจากจดุ O ซ่งึ เป็นจดุ ก่ึงกลางของ AB ลาก
OX แลว้ ลากเส้นตรงให้ต้งั ฉากกบั OX ไปจดเส้นรอบวงท้ังสองที่ P และ Q จงพสิ จู น์ว่า PX = XQ

7. วงกลม P และวงกลม Q ตัดกันที่ A และ B ต่อ PQ ไปทาง Q ถึง R ลาก RA และ RB เลยไปพบเส้น
รอบวงของวงกลม P ทจ่ี ดุ C และ D ตามลาดบั จงพิสูจนว์ ่า AC = BD

8. วงกลมสองวงตดั กนั และมีเสน้ ขนานคู่หนึ่ง แต่ละเส้นผา่ นจดุ ตัดไปสดุ ท่ีเสน้ รอบวงท้งั สอง จงพิสจู น์วา่
เสน้ ตรงทั้งสองน้ยี าวเทา่ กัน

9. ถ้า AB และ BC เป็นคอรด์ ของวงกลม O ซึ่งทาให้ ABˆC เปน็ มุมแหลม จงพสิ ูจนว์ ่า ABˆC +OAˆC = 90o

10. จากรูป จงพิสจู นว์ ่า BX = XC B

X O
A

C
11. วงกลม O ตดั กบั วงกลม ABC ที่ B และ C และ AO เป็นเส้นผ่านศนู ยก์ ลางของวงกลม ABC จงพิสูจน์

วา่ BAˆC = 2OBˆC

12. วงกลมสองวงตัดกันที่ A และ B ให้ P เป็นจุดใด ๆ บนวงกลมวงหนึ่ง ลาก PAC, PBD และลาก XY
สัมผสั วงกลมที่ P จงพสิ จู น์วา่ XY ขนานกบั CD

13. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมบรรจุในวงกลม AD และ BE เป็นเส้นตั้งฉากท่ีลากไปยังด้านตรงข้าม ถ้า
PQ เปน็ เส้นสมั ผสั วงกลมทีจ่ ุด C จงพสิ จู นว์ า่ PQ ขนานกบั DE

14. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มี ABˆC เป็นมุมฉาก จงพิสูจน์ว่า ผลบวกของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม
ท่ีล้อมรอบรูปสามเหล่ียม ABC และวงกลมท่ีแนบในรูปสามเหลี่ยม ABC มีค่าเท่ากับ ผลบวกของด้าน
ประกอบมุมฉากของรูปสามเหลีย่ ม ABC

15. ให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหลี่ยมบรรจุในวงกลม ลาก AC และ BD ตัดกันท่ี E ถ้า AD = AB จงพิสูจน์ว่า
AD เป็นเส้นสัมผสั วงกลมซ่ึงลอ้ มรอบรปู สามเหลี่ยม CDE

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลิมปิกวิชาการ ศนู ยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ■ วิชา เรขาคณติ 32

16. ให้ D เป็นจุดใด ๆ บนฐาน BC ของรูปสามเหลี่ยม ABC ถ้า EB และ EC เป็นเส้นสัมผัสวงกลมท่ี
ล้อมรอบรูปสามเหล่ียม ABD และรูปสามเหล่ียม ACD ท่ีจุด B และจุด C จงพิสูจน์ว่าวงกลมผ่านจุด
A, B, E และ C ได้ และรูปสามเหลีย่ ม ABD และรูปสามเหลยี่ ม AEC มีมุมเท่ากัน มมุ ตอ่ มมุ

17. ให้ AB และ CD เป็นคอร์ดของวงกลมซ่ึงต่อออกไปพบกันภายนอกทจี่ ดุ X ถา้ BD ขนานกับ AC จง
พสิ จู น์ว่า XB = XD และ XA = XC

18. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมหน้าจั่วมี BC เป็นฐาน ถ้า XY เป็นเส้นเช่ือมด้านสองด้านและขนานกับ
ฐาน จงพสิ จู นว์ ่า B, C, X, Y อยู่บนเสน้ รอบวงของวงกลมเดียวกนั (concyclic)

19. จากรปู จงพสิ ูจน์วา่ A, B, C, D อยบู่ นเส้นรอบวงของวงกลมเดียวกนั
D xC

A 2 1 2x B
20. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มหนา้ จ่ัว มี BC เปน็ ฐาน เสน้ ตง้ั ฉากจากจุด B และ C ไปยังด้านตรงข้ามตัด

กันที่ O จงพสิ จู น์ว่า AO แบ่งครึง่ BAˆC
21. ให้ O เปน็ จดุ ศูนย์กลางของวงกลม AC เป็นเส้นสัมผัสวงกลมท่ีจุด B และ CD เป็นเส้นสัมผัสวงกลม

ทจ่ี ุด D ถา้ DBˆC = 70 องศา DAˆC เท่ากับกอ่ี งศา
A

B

O

DC

22. ให้คอร์ด CD และคอร์ด AB ตัดกันท่ีจุด E ถ้า CE = 6 เซนติเมตร CD = 24 เซนติเมตร และ AE = 4

แลว้ EB และ AB เทา่ กบั กเ่ี ซนติเมตร CB
E

AD
23. ให้ O เปน็ จุดศนู ยก์ ลางของวงกลมซ่ึงมีรัศมียาว 4 เซนติเมตร ถ้า COˆA เท่ากับ 120 องศา CA ยาวกี่

เซนติเมตร
24. ให้ A, B, C, D และ E เปน็ จดุ บนวงกลม AD//BC , AD CE ท่ี F ถ้า CF = EF, AF = 8 เซนติเมตร

FD = 2 เซนตเิ มตร BC = 6 เซนติเมตร จงหาพื้นท่ีของรูปห้าเหลย่ี ม ABCDE
D

CF E

B
A

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลิมปิกวิชาการ ศูนยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ■ วิชา เรขาคณิต 33

25. จากรูป วงกลม O มีรัศมี 10 เซนติเมตร คอร์ด AB ตั้งฉากกับคอร์ด CD ท่ี X ถ้า AB =16 เซนติเมตร
CD = 14 เซนตเิ มตร แลว้ OX ยาวกี่เซนตเิ มตร

A

CX O D

B

26. จากรูป วงกลม O แนบในรปู สามเหล่ียม ABC มี AB = 7 เซนติเมตร BC = 8 เซนติเมตร และ AC = 6
A
เซนตเิ มตร จงหาวา่ x ยาวเทา่ ใด

x

O

BC

27. จากรปู วงกลม A และ B มีรัศมี 8 และ 3 น้วิ ตามลาดับ ถ้ารูปวงกลม 2 วงน้ีห่างกัน 2 น้ิว เส้นสัมผัส
P
รว่ ม PQ ยาวเทา่ ใด

Q

AB

28. จากรูป O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมรูปเล็ก OA เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลมรูปใหญ่ AD ตัด
วงกลมรปู เล็กท่ี C และ D พร้อมกับตัดวงกลมรูปใหญ่ที่ E ถ้า AC = 5 เซนติเมตร CE = 3 เซนติเมตร
จงหาว่า DE ยาวก่ีเซนตเิ มตร

O

DE C A

29. จากรูป AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และ BD เป็นคอร์ดตัด AC ท่ีจุด X ถ้าให้ BCˆA = 26° และ
CAˆD = 47° จงหาค่า BAˆC และ AXˆD B

AX C

30. จากรูป O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม TB Dสัมผัสวงกลมท่ีจุด B และ AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางตัด
กับคอร์ด DB ทจี่ ดุ X ถ้าให้ ABˆT = 40° และ DCˆA = 32° จงหา OAˆB,ABˆD และ CXˆD

DX O C
A

TB

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปิกวชิ าการ ศูนยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ■ วิชา เรขาคณติ 34

5. รูปสเี่ หลยี่ มผืนผ้ากับวงกลม

ในหัวข้อนีจ้ ะกลา่ วถึงทฤษฎบี ทและโจทย์ปญั หาตา่ ง ๆ ที่แสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างรูปส่ีเหลี่ยม
รปู สามเหลย่ี ม และวงกลม

ทฤษฎีบท 5.1 ถ้าลากเส้นแบ่งครึ่งมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมมาตัดที่ฐาน พ้ืนที่ของรูปส่ีเหล่ียมผืนผ้าซ่ึง
ประกอบด้วยด้านประกอบมุมยอด จะเท่ากับพื้นท่ีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าท่ีประกอบด้วยส่วนตัดรวมกับพื้นท่ีรูป
สเี่ หล่ียมจัตรุ ัสบนเสน้ ทล่ี ากจากจดุ ยอดมายงั ฐาน

ทฤษฎีบท 5.2 ถ้าลากเส้นจากมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมมาตั้งฉากกับฐาน พ้ืนที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่
ประกอบด้วยด้านประกอบมุมยอด จะเท่ากับพ้ืนท่ีรูปส่ีเหล่ียมผืนผ้าที่ประกอบด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของ
วงกลม ซ่ึงล้อมรอบรูปสามเหล่ยี มน้ัน กับเส้นตัง้ ฉากท่ีลากมายังฐาน

ทฤษฎีบท 5.3 พื้นท่ีของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งประกอบข้ึนด้วยเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหล่ียมใด ๆ
(quadrilateral) ซึง่ แนบในวงกลม จะเทา่ กับผลบวกของพ้นื ท่ีรปู สี่เหล่ียมผืนผ้าท่ีประกอบด้วยด้านตรงข้าม
ของรูปสี่เหลย่ี มนัน้ (Ptolemy Theorem)

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปิกวชิ าการ ศนู ยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ■ วิชา เรขาคณติ 35

ทฤษฎบี ท 5.4 รูปสี่เหลีย่ มใด ๆ แนบในวงกลม ก็ต่อเมอื่ มมุ อยู่ตรงขา้ มของรปู สี่เหลีย่ มรวมกันได้สองมมุ ฉาก

ทฤษฎบี ท 5.5 รปู สเ่ี หลี่ยมคางหมูหน้าจ่ัว เปน็ รูปสี่เหล่ยี มที่มวี งกลมลอ้ มรอบได้

ทฤษฎีบท 5.6 รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกันคู่หนึ่ง จะเป็นรูปสี่เหล่ียมท่ีมีวงกลมล้อมรอบได้ ก็ต่อเมื่อ รูป
ส่ีเหลีย่ มนั้นเปน็ รปู สเี่ หลีย่ มมุมฉาก หรือรปู สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจวั่

ทฤษฎีบท 5.7 รูปส่ีเหล่ียมจะมีวงกลมแนบในได้ ก็ต่อเมื่อ ผลบวกของความยาวของด้านตรงข้ามของรูป
ส่เี หล่ยี มน้ันมคี ่าเทา่ กนั

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปิกวิชาการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ■ วิชา เรขาคณิต 36

ทฤษฎบี ท 5.8 ส่วนของเสน้ ตรงทีแ่ บ่งคร่ึงและตั้งฉากกบั ดา้ นทงั้ สามของรปู สามเหล่ยี ม จะพบกนั ทจี่ ุดจดุ
หนึ่ง ซึ่งเปน็ จุดศูนยก์ ลางของวงกลมล้อมรอบรปู สามเหลย่ี มนั้น

ทฤษฎีบท 5.9 เส้นแบ่งคร่ึงมุมยอดของรูปสามเหล่ียม จะพบกันท่ีจุดจุดหน่ึง จุดน้ันเป็นจุดศูนย์กลางของ
วงกลมแนบในรปู สามเหลี่ยมน้ัน

ทฤษฎบี ท 5.10 รัศมีของวงกลมแนบในรปู สามเหลีย่ มที่มดี ้านทง้ั สามยาว a, b และ c หน่วยคอื
2
r = a+b+c เมอ่ื คือพนื้ ท่ีของรูปสามเหลี่ยมน้ี

ทฤษฎีบท 5.11 เส้นมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมจะจวบกัน (concurrence) และจะแบ่งซึ่งกันและกัน
ออกเป็นอัตราส่วน 2 : 1

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

▲ ค่ายโอลิมปกิ วชิ าการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ■ วิชา เรขาคณิต 37

แบบฝึกหดั เรื่อง รปู สี่เหล่ยี มผืนผ้ากบั วงกลม

1. ให้จุด P เป็นจุดภายในรูปส่ีเหล่ียม ABCD ใด ๆ ลาก PL , PM , PN และ PK ตั้งฉากกับ BC , CD ,
DA และ AB ตามลาดบั จงพิสูจนว์ า่ AN2 + BK2 + CL2 + DM2 = AK2 + BL2 + CM2 + DN2

2. ให้รูปสีเ่ หลี่ยมผนื ผ้า ABCD มี AM , CN BD ท่ี M, N จงพสิ จู นว์ ่า BM2 + BN2 = DM2 + DN2

3. ให้ ABCD เป็นรูปสเ่ี หล่ยี มคางหมู AB // CD และเสน้ ทแยงมุมตดั กนั ทีจ่ ดุ O จงพสิ ูจน์วา่ (OA)(OD) =
OA OB
(OB)(OC) และถา้ AB = 2CD แล้ว OC = OD = 2

4. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมบรรจุในวงกลม O และ D เป็นจุดก่ึงกลาง BC ลาก DO ไปพบ AC ท่ี E

จงพิสจู น์ว่า A, B, O, E เปน็ จดุ ในวงกลมเดยี วกัน

5. ให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสบรรจุในวงกลม และ P เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนโค้ง CD จงพิสูจน์ว่า
PAB เป็นรูปสามเหลยี่ มหนา้ จ่วั

6. ให้ ABC เปน็ รูปสามเหลี่ยมดา้ นเท่าบรรจุในวงกลม ถ้า P เป็นจุดใด ๆ บนส่วนโค้ง AC ลาก AP เลยไปพบ
ส่วนต่อของ BC ที่ Q และลาก BP ตดั AC ท่ี R จงพสิ จู น์ว่า ABQ และ ABR มีมมุ เทา่ กัน มุมตอ่ มุม

7. ให้ ABCD เป็นรปู ส่ีเหลย่ี มคางหมู AB // CD , E เป็นจุดกึง่ กลางของ CD , AC ตดั กับ BE ทจี่ ดุ F
และ AE ตัดกบั BD ทจ่ี ดุ G จงพิสจู น์ว่า GF // AB

8. ให้ ABCD เป็นรปู สี่เหล่ียมด้านขนาน O เป็นจุดใด ๆ ในรูปส่ีเหล่ียม จงพิสูจน์ว่า ผลรวมของพน้ื ทรี่ ูป
สามเหล่ียม OAB กบั พน้ื ท่ีรูปสามเหล่ยี ม OCD เปน็ คร่งึ หนึ่งของพ้นื ที่รูปสเี่ หลี่ยมด้านขนาน ABCD

9. ให้ ABCD เป็นรปู สี่เหลี่ยมดา้ นขนาน E เปน็ จดุ บน DC และ F เปน็ จุดบนส่วนต่อของ AB ทท่ี าให้
AB = BF จงพสิ จู นว์ ่า พนื้ ทร่ี ปู สามเหลย่ี ม AEF เทา่ กับพน้ื ท่รี ูปสเี่ หลย่ี ม ABCD

10. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมใด ๆ จุด P และ Q เป็นจุดบน AB และ AC ตามลาดับ ซึ่งทาให้ PQ //BC
จงพสิ จู น์ว่า พนื้ ทรี่ ปู สามเหลยี่ ม ABQ เท่ากับพื้นทร่ี ปู สามเหลี่ยม ACP

11. ให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหล่ียมด้านขนาน AC เป็นเส้นทแยงมุมและ E เป็นจุดใด ๆ บน AC จงพิสูจน์ว่า
K
พน้ื ทรี่ ปู สามเหลี่ยม CDE เทา่ กบั พนื้ ทร่ี ปู สามเหลย่ี ม CBE

12. ให้ ABCD เป็นรปู ส่เี หล่ยี มดา้ นขนาน จากจุด C มเี สน้ ตรงลากไปตดั ดา้ น AB ที่ E B
และตดั ด้าน DA ท่ีต่อออกไปท่ี F ท่ีจดุ B ลากเสน้ ให้ขนานกับดา้ น FC ตัดดา้ นท่ีต่อจาก F
DAF ท่ี K ทจี่ ุด D ลากเส้นใหข้ นานกับดา้ น FC ตดั ดา้ น BA ทต่ี อ่ ออกไปที่ H
จงพสิ จู น์ว่า พ้ืนทรี่ ปู ส่เี หลีย่ ม BCFK มีพ้ืนท่เี ท่ากบั พ้ืนที่รปู ส่ีเหลี่ยม DCEH H A E

DC
13. ให้ ABCD เป็นรปู ส่เี หลี่ยมด้านขนาน ด้าน BC ถูกแบ่งคร่ึงที่ E ลากเส้น AE แล้วต่อ AE และ DC ไปพบ

กันท่ี F จากจดุ D ลากเส้น DG ขนานกบั FA พบส่วนตอ่ ของเส้น AB ที่ G จงพิสูจน์ว่า พ้ืนที่รูปสี่เหลี่ยม
AFDG เป็นสองเทา่ ของพน้ื ท่รี ูปสี่เหลีย่ มด้านขนาน ABCD

G AB

E

DC F
ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วิชาการ ศูนยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ■ วิชา เรขาคณิต 38

14. ให้ ABCD เป็นรปู สเี่ หลี่ยมด้านขนาน ต่อ AB ไปถึง E โดยท่ี BE = AB ลาก ED ให้ตัด BC ที่ F ลาก
AF , EC จงพสิ จู น์วา่ พื้นที่รูปสามเหลี่ยม AEF เทา่ กับพ้ืนที่รูปสามเหลีย่ ม BEC

15. ให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหลี่ยมด้านขนาน E เป็นจุดบน DC ต่อ AE และ BC ไปพบกันที่จุด F จงพิสูจน์
ว่า พื้นที่รูปสามเหลี่ยม ADF เท่ากับพ้ืนท่ีรูปสามเหล่ียม ABC และพ้ืนที่รูปสามเหลี่ยม DEF เท่ากับ
พ้ืนทร่ี ปู สามเหลี่ยม BEC

16. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมใด ๆ ที่มี P เป็นจุดบน CA ทาให้ CP = 1 CA ต่อ BP ไปถึง Q ให้ AQ
3
ขนานกับ BC จงหาว่าพ้ืนท่ีรูปสามเหลย่ี ม CPQ เปน็ เศษสว่ นเท่าไรของพนื้ ที่รปู สามเหลีย่ ม ABC

AQ

P

BC

17. ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหล่ียมด้านขนานท่ีมีจุด P, Q, R และ S เป็นจุดก่ึงกลางของด้านทั้งส่ี จงพิสูจน์ว่า
รปู ส่ีเหลย่ี ม PQRS มพี ้ืนท่ีเป็นคร่ึงหน่งึ ของรปู ABCD

18. ให้ PQRS เป็นรูปส่เี หล่ียมคางหมูท่มี ี X และ Y เปน็ จุดกึ่งกลางของด้านท่ีขนานกัน จงพสิ จู นว์ า่ XY
แบ่งพืน้ ท่ีของ PQRS เป็นสองส่วนเทา่ ๆ กัน

19. รปู สามเหลยี่ ม ABC ทม่ี ี M เปน็ จดุ ก่งึ กลางของด้าน BC และ P เป็นจุดบนด้าน AM จงพิสูจน์ว่า พ้ืนท่ี
รูปสามเหลี่ยม ABP เทา่ กับ พ้ืนทรี่ ปู สามเหลีย่ ม ACP

20. ถ้าต่อด้าน BC ของรูปสามเหลี่ยม ABC ออกไปถึง D ทาให้ CD = BC ถ้า E เป็นจุดกึ่งกลางด้าน AB
จงพสิ จู น์ว่า พ้นื ทรี่ ูปสามเหลี่ยม ABC เทา่ กับ พื้นทร่ี ูปสามเหลย่ี ม EBD

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วชิ าการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ■ วิชา เรขาคณิต 39

แบบฝกึ หัดเสรมิ เพ่ิมเติมความเขา้ ใจ
1. วงกลมสองวงสัมผัสกันภายในที่จุด O จุด A อยู่ภายนอกวงกลมทั้งสอง โดยท่ี AO และ AP สัมผัส

วงกลมวงเลก็ ทจี่ ดุ O และ P ตามลาดบั ถา้ AP ตดั วงกลมวงใหญ่ท่ีจุด T และต่อ AP ไปตัดเส้นรอบวง
ทจี่ ดุ S จงพิสูจน์วา่ TOˆP= SOˆP

2. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมใด ๆ มี AD แบ่งพ้ืนท่ีของรูปสามเหล่ียม ABC ออกเป็นสองส่วน ซ่ึงทาให้
พื้นที่ของรูปสามเหล่ียม ABD เป็นสองเท่าของพ้ืนท่ีของรูปสามเหล่ียม ADC จากจุด D ลาก DE //BA
ถา้ ADˆB= 2ACˆD และ DAˆC = 30๐ จงแสดงวธิ ีหาขนาดของ AEˆD พร้อมทง้ั ใหเ้ หตุผลทุกข้ันตอน

3. ให้ D และ E เป็นจุดกึ่งกลางด้าน AB และ AC ของรูปสามเหล่ียม ABC ตามลาดับ ด้าน BE และ CD
ตัดกันท่ีจุด P โดยท่ีรูปสามเหล่ียม EDP มีพื้นท่ี 4 ตารางน้ิว รูปสามเหล่ียม PBC มีพ้ืนที่ 9 ตารางน้ิว
จงหาพน้ื ทขี่ องรปู สามเหลย่ี ม ABC

4. ให้ ABC เป็นสามเหลยี่ มแนบในวงกลมท่ีมี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง AP และ BQ เป็นเส้นแบ่งคร่ึง
BAˆC และ ABˆC ตามลาดับ PM และ QN ตั้งฉากกับ AB ที่จุด M และ N ตามลาดับ จงแสดงวิธีหา
ขนาดของ MCˆN พร้อมทงั้ ให้เหตผุ ลทกุ ขนั้ ตอน

5. ให้ F เป็นจุดบนด้าน AB ของรูปสามเหลี่ยม ABC ถ้า D เป็นจุดตัดของด้าน BC กับเส้นตรงท่ีลากจาก

จุด A และขนานกับดา้ น FC ในทานองเดียวกนั ให้ E เป็นจดุ ตดั ของดา้ น CA กับเส้นตรงที่ลากจากจุด B
1 1 1
และขนานกับดา้ น FC จงพิสจู นว์ ่า CF = AD + BE

6. ให้ ABCD เป็นรูปส่เี หลย่ี มด้านขนาน ต่อดา้ น DA ไปทาง A ไปยังจุด P และให้ PC ตัดด้าน AB ท่ีจุด Q
และดา้ น DB ที่ R ถ้า PQ = 525 และ QR = 80 จงหาความยาวของ RC

7. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากโดยมี A เป็นมุมฉาก ถ้า D และ F เป็นจุดอยู่บนด้าน AC และ BC
ตามลาดบั โดยท่ี AF BC และ BD = DC = FC = 3 จงหาความยาวของ AC

8. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมที่มี Aˆ Bˆ = 90๐ และ BC + CA = 2AB ถ้า cos C = m เมื่อ
n
ห.ร.ม. (m, n) = 1 จงหา m + n

9. ใหร้ ปู สามเหลย่ี มรปู หนงึ่ มีเส้นมัธยฐานยาว 3, 4 และ 5 หนว่ ย จงหาความยาวของด้านที่ส้นั ท่สี ดุ

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปิกวิชาการ ศนู ยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ■ วิชา เรขาคณติ 40

10. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียม มีพ้ืนที่ 28 ตารางน้ิว จุด D, E และ F เป็นจุดบนด้าน AB, BC และ CA
ตามลาดบั และ AD = 3 นว้ิ DB = 4 นิ้ว ถ้ารูปสามเหล่ียม ABE และรูปส่ีเหล่ียม DBEF มีพ้ืนท่ีเท่ากัน
แล้วรปู สามเหล่ียม ABE มีพ้ืนท่ีเทา่ ไร

11. ให้ ABCD เป็นรปู ส่ีเหลยี่ มใด ๆ โดยมีจดุ O เปน็ จดุ ตดั ของเสน้ ทแยงมุม AC และ BD ถ้ารูปสามเหล่ียม
AOB, BOC และ COD มพี ้ืนท่ีเทา่ กับ 3, 6 และ 2 ตารางหน่วย ตามลาดบั จงหาพนื้ ท่ีของรูปสามเหลยี่ ม
DOA

12. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ ABˆC = 90๐ โดยมี AB = BC = 4 จุด D และ E เป็นจุดบนด้าน
AB และ BC ตามลาดับ โดยที่ BD = BE = 3 ลาก AE และ CD ตัดกันท่ีจุด F จงหาพื้นท่ีของรูป
สามเหลี่ยม AFC

13. ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ถ้าลากเส้นตรงจากจุดยอดไปตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก รูปสามเหล่ียมท่ี
เกดิ ขึ้นทงั้ สองรปู จะคลา้ ยกัน และคล้ายกับรูปเดมิ ดว้ ย

14. ให้จุด P แบ่งด้าน BC ของรูปสามเหล่ียม ABC ด้วยอัตราส่วน BP : PC = 1 : 2 ถ้า ABˆC = 45๐ และ
APˆC = 60๐ จงหาขนาดของ ACˆP

15. ให้ D และ E เปน็ จุดที่อยู่บนด้าน AB และ AC ของรูปสามเหล่ียม ABC ตามลาดับ โดยมี BE และ CD
ตัดกันที่จุด P ทาให้รูปสามเหลี่ยม BPD มีพ้ืนท่ี 2 ตารางนิ้ว รูปสามเหล่ียม CPE มีพื้นท่ี 3 ตารางน้ิว
และรปู สามเหล่ียม BCP มีพื้นท่ี 4 ตารางนว้ิ จงหาพน้ื ท่ขี องรปู ส่ีเหล่ยี ม ADPE

16. จากรูป จงหาความยาวของ x

17. ใหแ้ สดงวิธหี าพ้ืนท่ีบริเวณทอ่ี ย่รู ะหว่างเสน้ ผ่านศนู ยก์ ลางกบั คอรด์ ทย่ี าวเท่ากบั รัศมีของวงกลม

18. วงกลม C1 และวงกลม C2 ตัดกันท่ีจุด P และ Q ซ่ึงแตกต่างกัน ให้เส้นตรงท่ีผ่านจุด P ตัดวงกลม C1
และวงกลม C2 ที่จุด A และ B ตามลาดับ ให้ Y เป็นจุดกึ่งกลางด้าน AB และ QY ตัดวงกลม C1 และ
วงกลม C2 ท่จี ุด X และ Z ตามลาดบั จงพสิ จู น์วา่ Y เป็นจุดกง่ึ กลางด้าน XZ

19. ให้ X, Y เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมสองวงซึ่งตัดกันที่ A เส้นสัมผัสท่ีจุด A กับวงกลมท้ังสองพบ
วงกลมอีกครั้งหนึ่งที่ B, C ตามลาดับให้ P เป็นจุดที่ทาให้ PXAY เป็นรูปส่ีเหลี่ยมด้านขนาน จงแสดง
ว่า P เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมท่ลี อ้ มรอบรปู สามเหลยี่ ม ABC

20. ให้รูปสามเหลี่ยม ABC มี O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่แนบใน โดยวงกลมนี้สัมผัสด้าน BC, CA ท่ี
จุด D, E ตามลาดบั จงแสดงว่า ถ้า BO ตดั DE ที่ G แลว้ AG BG

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลิมปกิ วิชาการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ■ วิชา เรขาคณิต 41

21. ให้ ABCD เป็นรูปสเี่ หลี่ยมแนบในวงกลมรัศมี 5 หน่วย และ AB = BC = 2CD = 2DA จงหาพื้นที่ของ
รปู ส่ีเหล่ียม ABCD

22. ให้วงกลมสองวงมีจุดศูนย์กลางห่างกัน 13 หน่วย ถ้าวงกลมวงเล็กและวงใหญ่ มีรัศมี 3 และ 8 หน่วย
ตามลาดบั จงหาความยาวของเส้นสมั ผัสของวงกลมท้ังสอง

23. ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม AB และ AC เป็นเส้นสัมผัสวงกลมท่ีจุด B และ C จงพิสูจน์ว่า
AO แบง่ ครึ่งและตั้งฉากกบั BC

24. ให้ O เป็นจุดศนู ยก์ ลางของวงกลม E เปน็ จุดภายนองวงกลม ลากเส้นตรงสองเส้นจากจุด E ตัดเส้นรอบ
วงจุดแรกที่จุด B และ D และตัดเส้นรอบวงจุดที่สองท่ี A และ C ตามลาดับ ถ้า BEˆD = 30๐ และ
BOˆD = 50๐ จงหาขนาดของมุม AOˆC

25. สร้างคร่งึ วงกลมรูปหน่ึงบนด้าน AB ให้ X เป็นจดุ ใด ๆ บนดา้ น AB ลากเส้นต้ังฉากกับด้าน AB ที่จุด X
ไปตดั กับเสน้ รอบวงทจ่ี ุด M จงพิสจู นว์ า่ (AX)(XB) = MX2

26. จุด A เปน็ จุดอยู่ภายนอกวงกลม ลากเส้นตรงตัดเส้นรอบวงจุดแรกท่ี B และจุดท่ีสองที่ C ถ้า AB = 5
และ BC = 8 ลาก AP สัมผัสวงกลมที่ P จงหาขนาดของ AP

27. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมท่ีแนบในวงกลมท่ีมีรัศมี 5 น้ิว โดยมีด้าน AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง AB
เปน็ คอรด์ ทย่ี าว 6 น้ิว และ AD เป็นคอร์ดที่แบง่ คร่งึ BAˆC จงหาความยาวของ AD

28. ให้ a, b, c เป็นความยาวด้านท้ังสามของรูปสามเหลี่ยมท่ีมี r เป็นรัศมีของวงกลมแนบใน ra เป็นรัศมี
a+b+c
ของวงกลมแนบนอกที่อยตู่ รงขา้ มมุม A ดงั น้นั rra = (s – a)(s – b) เมอ่ื s = 2

29. ให้ r เปน็ รัศมขี องวงกลมท่แี นบในรปู สามเหล่ยี ม ABC ทีม่ ี a, b, c เปน็ ความยาวของด้านทั้งสามและมี
2K
พนื้ ที่ K จงพสิ จู นว์ ่า r = a +b+ c

30. ให้ ABC เป็นรปู สามเหล่ียมที่มี AB = 2, AC = 3 และ BC = 4 จงหาความยาวของรัศมีของวงกลมที่มี
จดุ ศนู ย์กลางอยู่ท่ีด้าน BC และสมั ผัสด้าน AB และ AC

31. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมแนบในวงกลมโดยมีด้าน AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง P และ Q อยู่บนด้าน
BC และ AC ทที่ าให้ AP และ BQ เป็นเส้นแบ่งคร่ึงมุม A และมุม B ตามลาดับ ลากเส้นตรงจาก P และ
Q ตง้ั ฉากกบั ด้าน AB ท่จี ุด M และ N ตามลาดบั จงหาขนาดของ MCˆN

32. ให้รูปสามเหลีย่ ม ABC แนบในวงกลมทีม่ ี O เปน็ จุดศูนย์กลาง และดา้ น BC เปน็ เสน้ ผ่านศูนย์กลาง ถ้า
AB = 3, AC = 4 จงหา (BO)(OC)

33. ให้รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง รัศมีของวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยมยาวเป็น 3.5 เท่าของรัศมีของวงกลม
แนบในรูปสามเหลี่ยม ถ้าด้านสองด้านยาว 3 หน่วย และ 7 หน่วย และอีกด้านยาวเป็นจานวนเต็ม
หนว่ ย จงหาความยาวของดา้ นทเ่ี หลือน้นั

34. ให้รูปส่ีเหลี่ยม ABCD มีวงกลมล้อมรอบได้ เส้นแบ่งครึ่งมุม A, B, C, D ตัดกันเกิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมรูป
ใหม่ภายในรูปสี่เหลี่ยม ABCD โดยจุดยอดเป็นจุดตัดของเส้นแบ่งคร่ึงมุมแต่ละรูป จงพิสูจน์ว่า รูป
ส่ีเหลี่ยมรปู ใหม่น้ีมวี งกลมลอ้ มรอบได้

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปิกวิชาการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ■ วิชา เรขาคณติ 42

35. ให้ A เปน็ พน้ื ทข่ี องรูปสเี่ หลย่ี มใด ๆ ทมี่ เี ส้นทแยงมมุ ยาว a และ b หนว่ ย จงพสิ ูจน์ว่า a2 + b2  4A

36. ให้วงกลมแนบในรปู สเ่ี หล่ียม ABCD สัมผัสด้าน AB, BC, CD, DA ทจ่ี ุด P, Q, R, S ตามลาดบั
ถา้ AB = 3, DS = 4, PB = 6 และ BC = 10 จงหา DC และ RC

37. ให้รูปสี่เหล่ียม ABCD มีวงกลมล้อมรอบได้ ลาก CX ขนานกับด้าน AB ตัดเส้นทแยงมุม BD ที่จุด X
จงพสิ จู นว์ า่ AC เป็นเส้นสมั ผัสวงกลมท่ลี ้อมรอบรปู สามเหลย่ี ม CXD

38. ถ้ารปู ส่เี หล่ียมที่แนบในวงกลมมีเส้นทแยงมุมตั้งฉากซ่ึงกันและกันที่จุด P แล้วเส้นตรงที่ลากผ่านจุด P
ไปตั้งฉากกบั ด้านใดด้านหนง่ึ ย่อมแบ่งครง่ึ ดา้ นตรงข้าม

39. ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม ถ้าส่วนต่อของด้าน AB และ DC ตัดกันภายนอกวงกลมท่ีจุด
P จงพสิ จู น์วา่ (AP)(PB) = (CP)(PD)

40. ให้ ABCD เปน็ รูปสี่เหลย่ี มท่ีมวี งกลมแนบใน และสัมผสั ด้านทง้ั ส่ที จี่ ุด P, Q, R และ S ตามลาดบั
จงพสิ จู น์วา่ PR และ QS ตั้งฉากซ่งึ กนั และกนั

41. วงกลมจดุ ศูนย์กลาง A และ B สองวงตดั กนั ท่ีจดุ C และ D มี M เป็นจุดกึ่งกลางของ CD จงพิสูจน์ว่า
A, B, M อย่บู นเส้นตรงเดียวกนั

42. ใหค้ อร์ด AB และ CD ตดั กนั ทจ่ี ดุ E จงพิสจู นว์ ่า รูปสามเหลี่ยม ACE คล้ายกับรูปสามเหล่ียม BED

43. ให้ A, B, C, D เปน็ จุดบนวงกลม และ AB ขนานกับ CD จงพิสจู นว์ ่า AC = BD และ AD = BC

44. กาหนดให้ E, F เป็นจดุ บนส่วนโค้งคร่งึ วงกลมที่มี BC เปน็ เส้นผ่านศูนย์กลาง เส้นตรงที่ผ่าน BF , CE
ตดั กันที่ A และเสน้ ตรงท่ีผา่ น CE , BF ตดั กนั ท่ี O จงแสดงว่า AO BC

45. กาหนดให้รูปสามเหลี่ยม ABC และรูปสามเหล่ียม DEF เป็นรูปสามเหล่ียมคล้ายท่ีแนบในวงกลม
เดยี วกนั จงแสดงวา่ รปู สามเหล่ยี ม ABC และรปู สามเหลี่ยม DEF เท่ากนั ทุกประการ

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปิกวิชาการ ศนู ย์โรงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ■ วิชา เรขาคณิต 43

บรรณานุกรม

กมล เอกไทยเจิรญ. (มปป). คู่มือเตรียมสอบ คณิตศาสตร์ ม.2 เล่มรวม ค 203–ค 204. กรุงเทพมหานคร
: เทพเนรมิตการพิมพ์.

กมล เอกไทยเจิรญ. (มปป). คู่มือเตรียมสอบ คณิตศาสตร์ ม.3 เล่มรวม ค 011–ค 012. กรุงเทพมหานคร
: เทพเนรมติ การพิมพ.์

ดารง ทิพย์โยธา. (2551). คณิตศาสตร์ปรนัย เล่มที่ 32 : โลกเรขาคณิต (เสริมความรู้มุ่งสู่โอลิมปิก
คณติ ศาสตร)์ . กรุงเทพมหานคร : เทพเนรมติ การพมิ พ.์

ยุพิน พิพธิ กลุ และอษุ ณยี ์ ลีรวัฒน์. (2548). เรขาคณิต โครงการตาราวิทยาศาสตร์และคณติ ศาสตรม์ ลู นิธิ
สอวน. พมิ พค์ รงั้ ที่ 2. กรุงเทพมหานคร : บริษัท ดา่ นสุทธาการพิมพ์ จากัด.

วัฒนา เถาว์ทิพย์. เอกสารประกอบการบรรยาย โครงการส่งเสริมโอลิมปิกวิชาการฯ ศูนย์ สอวน.
มหาวิทยาลยั ขอนแก่น ค่าย 1. (อัดสาเนา).

ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบนั . (2552). หนงั สือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์
เล่ม 1 ช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 1 กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรุงเทพมหานคร : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย,ี สถาบนั . (2553). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์
เล่ม 1 ชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 1 กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ขนั้ พน้ื ฐาน พุทธศกั ราช 2551. พิมพค์ รง้ั ที่ 2. กรงุ เทพมหานคร : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพร้าว.

ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย,ี สถาบนั . (2553). หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐาน คณิตศาสตร์
เล่ม 2 ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ข้นั พน้ื ฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรุงเทพมหานคร : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพร้าว.

สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, สถาบนั . (2553). หนังสอื เรยี นรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์
เล่ม 2 ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ขั้นพน้ื ฐาน พุทธศักราช 2551. กรงุ เทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย,ี สถาบัน. (2554). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์
เล่ม 1 ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ขั้นพื้นฐาน พทุ ธศกั ราช 2551. พมิ พ์ครัง้ ท่ี 2. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย,ี สถาบนั . (2554). หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐาน คณิตศาสตร์
เล่ม 1 ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 3 กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ขั้นพื้นฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรงุ เทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว.

สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย,ี สถาบนั . (2554). หนังสือเรยี นรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์
เลม่ 2 ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 3 กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ข้นั พน้ื ฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพมหานคร : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

อานวย เลศิ ชยันตี. (2525). เทคนิคการคิดโจทย์คณิตศาสตร์หลักสูตรใหม่ ช้ันมัธยมศึกษาตอนต้น ฉบับ
พฒั นามนษุ ย์ เลม่ 2. กรงุ เทพมหานคร : สานกั พิมพ์อานวยการพมิ พ.์

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา