คู่มือ การใช้แบบฝึกทักษะ ลำดับและอนุกรม เล่มที่ 6 เรื่องการประยุกต์ของลำดับและอนุกรม

ค่มู อื การใช้แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 6 เร่ือง การประยุกต์ของลาดบั และอนุกรม 41

7. ธีระฝากเงนิ จานนหนง่ึ ไว้กับธนาคารแหง่ หน่ึง เมื่อเวลาผ่านไป 10 ปี พบว่ามเี งนิ ในบัญชี
122,079.42 บาท ถา้ ธนาคารคงอัตราดอกเบ้ีย 2% ตอ่ ปี และคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทกุ
3 เดือน จงหาเงินตน้ ทธ่ี รี ะฝากไวเ้ มื่อ 10 ปี
วธิ ีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

8. ถ้าฝากเงนิ เดือนละ 1,000 บาท ทุกวันท่ี 1 ของเดือน เข้าบัญชีที่ให้ดอกเบ้ยี ร้อยละ 2.4
ตอ่ ปี โดยคิดดอกเบยี้ แบบทบตน้ ทุกเดือน จงหาเงินรวมเมื่อส้ินเดอื นที่ n
วธิ ที า ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 6 เรอ่ื ง การประยุกต์ของลาดับและอนกุ รม 42

9. หมากฝากเงินกบั ธนาคารแหง่ หน่ึงเดือนละ 2,000 บาท ทกุ สนิ้ เดือน ถา้ ธนาคารกาหนด
อัตราดอกเบยี้ ร้อยละ 3 ต่อไป โดยคิดดอกเบย้ี แบบทบตน้ ทกุ เดอื น เม่ือสนิ้ เดอื นท่ี 24
หมากจะมเี งนิ รวมเท่าใด
วธิ ีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

10. มะปรางมีรายรบั เดือนละ 20,000 บาท ถา้ มะปรางต้องการออมเงนิ ทกุ สิ้นเดือนเดอื นละ
10% ของรายรบั โดยฝากเขา้ บัญชีธนาคารท่ีกาหนดอตั ราดอกเบีย้ 12% ตอ่ ปี และคิด
ดอกเบี้ยแบบทบตน้ ทกุ เดือน เม่ือเวลาผา่ นไป 2 ปี มะปรางจะมีเงินออมทัง้ หมดเท่าใด
วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 6 เรอ่ื ง การประยุกต์ของลาดบั และอนุกรม 43

เสรมิ สมอง : e-Banking
ระบบธนาคารผ่านทางอินเตอร์เน็ต หรือ e-Banking (electronic Banking) คือการทา

ธรุ กรรมตา่ ง ๆ กับธนาคาร โดยผ่านเครือข่ายอินเตอร์เน็ต เช่น การฝากเงิน ถอนเงิน โอนเงิน หรือ
สอบถามยอดเงิน ปัจจุบันธนาคารพาณิชย์เกือบทุกแห่งเปิดให้บริการ e-Banking แล้วในชื่อต่าง ๆ
เช่น internet banking, online banking, cyber banking ซ่ึงผู้ใช้บริการสามารถทาธุรกรรมผ่าน
ทางคอมพิวเตอร์โดยไม่ต้องเดินทางไปที่ธนาคาร นอกจากน้ี ธนาคารยังเพิ่มช่องทางให้บริการทาง
โทรศพั ท์มอื ถือ (mobile banking) ซง่ึ พัฒนาขน้ึ เพ่ือรองรับการใช้งานบนสมารต์ โฟนและแท็บเลต็

11. ในวันท่ี 1 มถิ ุนายน 2561 สม้ ซ่าฝากเงิน 100,000 บาท เข้าบัญชเี งินฝากออมทรัพย์ที่ให้
อัตราดอกเบยี้ ร้อยละ 1.2 ตอ่ ปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกเดอื น ถ้าส้มซ่าโอนเงนิ ให้
น้องสาวผา่ นบรกิ าร e-Banking เดอื นละ 5,000 บาท ทุกวนั ท่ี 1 ของเดือน ตั้งแตเ่ ดือน
มิถนุ ายน 2561 โดยไมเ่ สยี ค่าธรรมเนยี มในการโอนเงิน เมื่อครบ 1 ปี ส้มซ่าจะต้องได้รับ
ดอกเบีย้ จากบัญชีเงินฝากน้เี ท่าใด
วิธที า ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 6 เรอ่ื ง การประยกุ ต์ของลาดับและอนุกรม 44

12. ยอดรกั ผอ่ นตู้เยน็ ราคา 30,000 บาท ด้วยยอดชาระเท่ากันทุกเดือนเป็นเวลา 6 เดือน โดย
ผอ่ นชาระทกุ สิน้ เดือน ถา้ อัตราดอกเบย้ี 18% ตอ่ ปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกเดือนแล้ว
ยอดรกั จะตอ้ งผ่อนชาระเดอื นละเท่าใด
วิธีทา ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 6 เร่ือง การประยุกต์ของลาดบั และอนุกรม 45

13. อนงคซ์ ื้อรถยนต์ราคา 600,000 บาท โดยตกลงจ่ายเงินดาวน์ 15% ของราคารถยนต์และ
ผ่อนชาระสว่ นทเี่ หลือเปน็ จานวนเงนิ เท่ากนั ทุกเดือน เป็นเวลา 4 ปี โดยผอ่ นชาระทุกสน้ิ
เดือน ถา้ อัตราดอกเบี้ย 6% ตอ่ ปี โดยคดิ ดอกเบย้ี แบบทบตน้ ทุกเดือนแล้ว อนงคจ์ ะตอ้ ง
ผ่อนชาระเดือนละเท่าใด และเสียดอกเบ้ียท้งั หมดเท่าใด
วธิ ที า ……………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………….

เกณฑก์ ำรให้คะแนน ขอ้ ละ 10 คะแนน คะแนนเต็ม 130 คะแนน

เขยี นแสดงวิธกี ารหาคาตอบไดถ้ กู ต้องให้ 9 คะแนน
และคาตอบถูกต้องให้ 1 คะแนน ถา้ ผ้เู รยี นทาได้ไม่ถึง 104 คะแนน

ใหผ้ ้เู รยี นกลบั ไปศึกษาใบความรทู้ ่ี 6.3 อีกครงั้

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 6 เรื่อง การประยุกต์ของลาดบั และอนุกรม 46

ใบสรุปความรู้ที่ 6.3 ข้ันตอนท่ี 3 Create : C

คำชีแ้ จง ใหผ้ ู้เรยี นเรียบเรียงและบนั ทึกความรู้ของผู้เรียนที่ได้จากการศกึ ษาใบความรู้
และจากการทาแบบฝกึ ทักษะข้างต้น โดยใชภ้ าษาทงี่ ่ายต่อการเขา้ ใจ

ใบสรปุ ความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

6.3ใบแลกเปลี่ยนเรยี นรทู้ ี่ ขั้นตอนท่ี 4 Share : S

คำชี้แจง ให้ผู้เรียนแต่ละคนแลกเปล่ียนความร้ขู องตนจากการทาแบบฝึกทกั ษะ โดยครจู ะ
สมุ่ ผู้เรยี นออกมานาเสนอการสรุปความรหู้ รือแนวคิดและวิธกี ารในการทากิจกรรม

ใบสรปุ ความรู้

…………………………………………………………………………………………………………………….
…............……………………………………………………………………………………………………….
.……………….....……………………………………………………………………………………………….
……………………….....………………………………………………………………………………………..
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….
……………………………….....…………………………………………………………………………………………….

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

คมู่ ือการใช้แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 6 เรอ่ื ง การประยกุ ต์ของลาดับและอนุกรม 47

แบบทดสอบหลงั เรยี น

เร่ือง การประยุกตข์ องลาดับและอนุกรม

คาชี้แจง
1. แบบทดสอบกอ่ นเรยี น เร่อื ง การประยุกต์ของลาดับและอนกุ รม
จานวน 10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน ใช้เวลา 15 นาที

2. การตอบแบบทดสอบให้ผู้เรียนทาเครอ่ื งหมาย x ลงใน  ใตต้ วั อักษร

ก ข ค และ ง ทีเ่ ปน็ คาตอบที่ถูกทส่ี ดุ เพยี งข้อเดียว บนกระดาษคาตอบ

1. ธนาคารแหง่ หน่งึ กาหนดอัตราดอกเบย้ี 0.5% ต่อปี โดยคิดดอกเบย้ี แบบทบต้นเป็นรายปี ถ้าฝาก
เงนิ 30,000 บาท โดยไม่มีการถอนเงิน แล้วจานวนเงินฝากในบัญชีเมอื่ ส้ินปที ี่ 5 เปน็ เทา่ ใด
ก. 30,557.54
ข. 30,657.54
ค. 30,757.54
ง. 30,857.54

2. เก่งฝากเงนิ 10,000 บาท กบั ธนาคารที่ใหอ้ ตั ราดอกเบี้ย 3% ต่อปี โดยคดิ ดอกเบ้ียแบบทบตน้
ทุกปี เมื่อฝากครบ 1 ปี เก่งมเี ท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก. 10,030
ข. 10,300
ค. 10,330
ง. 10,630

3. เกง่ ฝากเงนิ 10,000 บาท กบั ธนาคารทีใ่ ห้อัตราดอกเบย้ี 3% ต่อปี โดยคดิ ดอกเบี้ยแบบทบตน้
ทกุ ปี เม่ือฝากครบ 2 ปี เก่งมเี ท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี
ก. 10,300
ข. 10,309
ค. 10,600
ง. 10,609

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 6 เรื่อง การประยกุ ต์ของลาดับและอนุกรม 48

4. ดารงได้รบั มรดกเป็นเงนิ 94,349.42 บาท จากคณุ พ่อซึง่ ฝากเงนิ จานวนหนงึ่ ไว้กับธนาคารเมือ่
15 ปี ท่แี ล้ว โดยไม่มีการฝากและถอนเงนิ ในระหว่างน้ี ถ้าธนาคารคงอตั ราดอกเบย้ี 2% ตอ่ ปี
และคดิ ดอกเบ้ยี แบบทบตน้ ทุก 6 เดือน จงหาเงนิ ตน้ ทค่ี ณุ พ่อของดารงฝากไว้เม่ือ 15 ปกี อ่ น
ก. 70,000
ข. 71,000
ค. 71,500
ง. 72,000

5. ธนาคารแหง่ หนงึ่ กาหนดอัตราดอกเบี้ย 0.5% ตอ่ ปี โดยคิดดอกเบ้ียแบบทบต้นเปน็ รายปี ถ้าฝาก
เงิน 30,000 บาท โดยไม่มีการถอนเงิน แล้วเมื่อสนิ้ ปที ่ี 5 ดอกเบย้ี ทั้งหมดทไ่ี ด้รบั เปน็ เทา่ ใด
ก. 557.54
ข. 657.54
ค. 757.54
ง. 857.54

6. ฝากเงนิ 10,000 บาท กบั ธนาคารแห่งหน่งึ ที่ใหอ้ ัตราดอกเบย้ี 3% ตอ่ ปี โดยคดิ ดอกเบี้ยแบบ
ทบตน้ ปลี ะครั้ง จงหาเงินรวมเมอื่ ฝากครบ 10 ปี โดยท่ไี มม่ กี ารฝากและถอนเงนิ ในระหวา่ งน้ี
ก. 13,339.16
ข. 13, 439.16
ค. 13,539.16
ง. 13,639.16

7. ฝากเงนิ 10,000 บาท กับสถาบันการเงินแห่งหน่ึงท่ีให้อัตราดอกเบี้ย 3% ตอ่ ปี โดยคดิ ดอกเบ้ีย
แบบทบตน้ ทุก 6 เดือน จงหาเงินรวมเม่ือฝากครบ 10 ปี โดยที่ไม่มกี ารฝากและถอนเงินใน
ระหว่างนี้
ก. 13,368.55
ข. 13, 468.55
ค. 13,568.55
ง. 13,668.55

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 6 เรื่อง การประยุกต์ของลาดบั และอนกุ รม 49

8. เพญ็ ฝากเงนิ 100 บาท เขา้ บญั ชธี นาคารทุกต้นเดอื นเป็นเวลา 2 ปี และไดร้ บั อตั ราดอกเบ้ีย
6% ตอ่ ปี โดยคิดดอกเบ้ยี แบบทบตน้ ทกุ เดือน เม่ือส้ินปีที่ 2 เพ็ญจะได้เงนิ รวมเท่าใด
ก. 2, 255.91
ข. 2,355.91
ค. 2, 455.91
ง. 2,555.91

9. สายฟ้าฝากเงิน 100 บาท เขา้ บัญชธี นาคารทุกส้ินเดอื นเป็นเวลา 2 ปี และไดร้ ับอตั ราดอกเบีย้
6% ต่อปี โดยคิดดอกเบย้ี แบบทบต้นทกุ เดือน เม่ือสิ้นปที ่ี 2 สายฟ้าจะไดเ้ งินรวมเท่าใด
ก. 2,543.20
ข. 2, 443.20
ค. 2,343.20
ง. 2, 243.20

10. ปยุตก้เู งินจากวายจุ านวน 2 ยอด โดยยอดแรกต้องชาระ 29,291.48 บาท ในอกี 2 ปขี า้ งหน้า
สว่ นยอดที่ 2 ตอ้ งชาระ 14,859.47 บาท ในอกี 5 ปี ขา้ งหนา้ ถ้าวายุกาหนดอัตราดอกเบยี้
8% ต่อปี โดยคิดดอกเบ้ยี แบบทบต้นทกุ 3 เดือน จงหาจานวนเงินทั้งหมดท่ีปยุตกจู้ ากวายุ
ก. 32,000
ข. 33,000
ค. 34,000
ง. 35,000

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

คู่มือการใช้แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 6 เรอื่ ง การประยุกต์ของลาดับและอนุกรม 50

กระดาษคาตอบ

แบบทดสอบหลังเรยี น

เรอื่ ง การประยุกต์ของลาดบั และอนุกรม

ชอื่ – นามสกุล…………………………………………………..…….………….……………เลขท…่ี ….……….
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6/………… วนั ท…่ี …………เดอื น......................................พ.ศ...................

คาชแี้ จง ให้ผู้เรยี นทาเครอ่ื งหมาย x ลงใน  ใตต้ ัวอกั ษร ก ข ค และ ง

ท่ีเปน็ คาตอบทถ่ี กู ทสี่ ดุ เพียงข้อเดียว

ขอ้ ก ข ค ง คะแนน กอ่ นเรยี น ผลการประเมิน
1
2 เตม็ 10
3
4 ได้
5
6 เกณฑ์การประเมิน
7 13 – 15 คะแนน ระดับ 4 ดเี ย่ียม
8 10 – 12 คะแนน ระดบั 3 ดี
9 7 – 9 คะแนน ระดับ 2 พอใช้ ผา่ นเกณฑ์
10 0 – 6 คะแนน ระดบั 1 ปรับปรงุ

ลงชื่อ.................................................ผ้ตู รวจ
(..........................................................)

วนั ท.ี่ ...........เดือน............................พ.ศ.............

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

คู่มอื การใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 6 เรือ่ ง การประยกุ ต์ของลาดบั และอนกุ รม 51

แบบบนั ทึกคะแนนแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์
เลม่ ที่ 6 เร่อื ง การประยกุ ตข์ องลาดับและอนุกรม

ช่อื ……………………………………………………………………………ชน้ั ม.6/................เลขท.่ี ............

ที่ รายการ คะแนนเตม็ คะแนนทีไ่ ด้
1 แบบทดสอบกอ่ นเรียน 15 **
2 แบบฝึกทักษะท่ี 6.1 50
3 แบบฝกึ ทักษะท่ี 6.2 70
4 แบบฝึกทักษะที่ 6.3.1 40
5 แบบฝกึ ทักษะท่ี 6.3.1 130
8 แบบทดสอบหลังเรียน 10
300
คะแนนรวมท้งั หมด

** ไม่นาคะแนนมารวม บนั ทึกเพื่อเปรยี บเทียบผลสมั ฤทธท์ิ างการเรียนเทา่ นั้น (ดพู ัฒนาการ)

เกณฑก์ ารประเมิน
ร้อยละ 80 ขน้ึ ไป ผา่ นเกณฑ์ (240 คะแนน)

ผลการประเมิน  ผา่ น  ไมผ่ า่ น 2 1
ระดบั คะแนน 4 3  พอใช้  ปรับปรุง
ระดบั คณุ ภาพ  ดมี าก  ดี

ช่วงคะแนน ระดับคณุ ภาพ ระดบั คุณภาพ
240 – 300 ระดบั คะแนน ดมี าก
210 – 239 ดี
180 – 209 4 พอใช้
0 – 179 3 ปรับปรุง
2
1

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

คู่มือการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 6 เร่อื ง การประยกุ ต์ของลาดบั และอนุกรม 52

บรรณานุกรม

ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบนั . (2562). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน
คณติ ศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปที ี่ 5 ตามมาตรฐานการเรียนรแู้ ละตัวช้วี ัด กลุ่มสาระ
การเรียนร้คู ณิตศาสตร์ (ฉบับปรบั ปรุง พ.ศ.2560) ตามหลกั สูตรแกนกลางการศึกษา
ขน้ั พ้ืนฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรงุ เทพฯ : สานกั พมิ พจ์ ฬุ าลงกรณม์ หาวทิ ยาลยั .

_______. (2562). ค่มู อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร์ ช้นั มัธยมศึกษาปที ี่ 5 ตามมาตรฐาน
การเรียนรแู้ ละตวั ชว้ี ัด กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์ (ฉบับปรบั ปรุง พ.ศ.2560) ตาม
หลกั สูตรแกนกลางการศกึ ษาข้ันพ้ืนฐาน พุทธศกั ราช 2551. สืบค้นเมอื่ วันที่ 1 มถิ นุ ายน
2563 จากเว็บไซต์ http://www.scimath.org/e-books/10326/flippingbook/

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 6 เรือ่ ง การประยุกต์ของลาดบั และอนกุ รม 53

ภาคผนวก

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 6 เรอ่ื ง การประยกุ ต์ของลาดบั และอนุกรม 54

เฉลย

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์

เลม่ ท่ี



เร่อื ง การประยกุ ตข์ อง
ลาดบั และอนกุ รม

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 6 เรอ่ื ง การประยุกต์ของลาดบั และอนุกรม 55

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี น

เรอ่ื ง การประยกุ ตข์ องลาดับและอนกุ รม

1. ก
2. ง
3. ค
4. ค
5. ข
6. ข
7. ก
8. ง
9. ง
10. ก

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 6 เร่ือง การประยกุ ต์ของลาดบั และอนกุ รม 56

เฉลย....

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 6.1

1. ปรดี ีฝากเงนิ 100,000 บาท กบั ธนาคารแหง่ หน่ึงทค่ี ดิ อัตราดอกเบ้ียแบบทบต้นทุกปี เปน็

เวลา 10 ปี โดยทไ่ี มม่ ีการฝากและถอนเงินในระหวา่ งน้ี เมื่อครบ 10 ปี พบว่ามีเงนิ รวม
110,462.21 บาท จงหาอตั ราดอกเบ้ยี ทธ่ี นาคารกาหนดสาหรบั เงนิ ฝากนี้

วิธีทา ในท่นี ้ี P 100,000, n 10 และเงนิ รวมเมื่อสน้ิ ปที ่ี 10 เทา่ กับ 110,462.21บาท

ใหอ้ ัตราดอกเบ้ยี ทธ่ี นาคารกาหนด คือ i% ต่อปี และ r  i
100

จากทฤษฎีบท จะได้

100, 000(1 r)10  110, 462.21

(1 r)10  1.1046221

1

1 r  (1.1046221)10

1 r  1.0099999977

r  0.01

น่นั คอื i 1
ดงั นั้น อตั ราดอกเบยี้ ทธี่ นาคารกาหนดสาหรับเงินฝากนี้ประมาณ 1%

2. ธนั วาฝากเงนิ 20,000 บาท กบั ธนาคารแห่งหนงึ่ ทค่ี ดิ ดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปเี ป็นเวลา 5

ปี โดยที่ไมม่ ีการฝากและถอนเงินในระหวา่ งนี้ เมื่อครบ 5 ปี พบวา่ มีเงนิ รวม 22,081.62

บาท จงหาอตั ราดอกเบีย้ ทธี่ นาคารกาหนดสาหรบั เงินฝากน้ี

วธิ ีทา ในท่ีนี้ P  20,000 และ n  5 เงินรวมเมื่อสน้ิ ปีท่ี 5 เทา่ กบั 22,081.62 บาท

ใหอ้ ัตราดอกเบย้ี ทธี่ นาคารกาหนด คอื i% ต่อปี และ r  i
100

จากทฤษฎีบท จะได้

20, 000(1 r)5  22, 081.62

(1 r)5  22, 081.62
20, 000

(1 r)5  1.1041

1

1 r  (1.1041)5

1 r  1.02

r  0.02

นน่ั คือ i  2

ดังนั้น อัตราดอกเบี้ยทธี่ นาคารกาหนดสาหรับเงินฝากนี้ประมาณ 2%

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 6 เร่ือง การประยกุ ต์ของลาดับและอนกุ รม 57

3. บรษิ ัทแหง่ หน่งึ กาหนดเงนิ เดอื นเริ่มตน้ สาหรับพนักงานวุฒปิ รญิ ญาตรี 15,000 บาท ซึง่

บริษทั จะเพมิ่ เงินเดือนใหท้ ุกปี โดยเงินเดือนจะเพมิ่ ขน้ึ ร้อยละ 5 ตอ่ ปี ถ้าววิ ัฒน์มีวุฒปิ ริญญา
ตรแี ละเริม่ ทางานท่ีบริษทั แห่งน้เี มื่ออายุ 22 ปี จงหา

1) เมอ่ื วิวฒั น์อายุ 35 ปี จะได้รบั เงินเดือนเท่าใด

2) ถ้าเงนิ เดือนสูงสดุ ท่ีพนกั งานวฒุ ปิ ริญญาตรจี ะไดร้ ับคอื 70,000 บาท แล้วววิ ฒั น์

จะไดร้ บั เงนิ เดอื นสูงสุดเม่อื อายเุ ทา่ ใด

วธิ ีทา จากโจทย์ สามารถใชแ้ นวคดิ เดยี วกบั การคดิ ดอกเบ้ยี แบบทบตน้ โดย P แทน
เงินเดอื นเร่มิ ต้นสาหรบั พนักงานวฒุ ปิ รญิ ญาตรี i แทนร้อยละของเงนิ เดือนที่

เพมิ่ ขึน้ ต่อปีและ r  i
100

จะได้ P 15,000 และ r  5  0.05
100

1) ในท่นี ้ี n  35 22 13 จากทฤษฎบี ท จะไดว้ า่ เม่ือววิ ัฒนอ์ ายุ 35 ปี

เขาจะไดร้ บั ประมาณ 15,000(1 0.05)13  28,284.74 บาท

2) จากโจทย์ เงนิ เดือนสงู สดุ ทีพ่ นกั งานวฒุ ิปรญิ ญาตรจี ะไดร้ ับคือ 70,000 บาท

จากทฤษฎีบท จะได้

15, 000(1 0.05)n  70, 000

(1.05)n  70, 000
15, 000

(1.05)n  4.66667

เน่อื งจาก (1.05)31  4.53804 และ (1.05)32  4.76494

จะได้ 15,000(1.05)31  68,070.60 และ 15,000(1.05)32  71, 474.10

น่นั คือ วิวัฒนท์ างานไปแลว้ 31 ปี เงินเดือนจะยังไมถ่ งึ 70,000 บาท

แต่เมอื่ ววิ ัฒนท์ างานไปแลว้ 32 ปี จึงจะไดร้ บั เงนิ เดอื นสูงสุด 70,000 บาท

ดังนัน้ ววิ ฒั น์จะไดร้ ับเงนิ เดอื นสูงสุดเมือ่ อายุ 22 32  54 ปี

4. ธนาคารแห่งหนง่ึ กาหนดอตั ราดอกเบีย้ ร้อยละ 0.75 ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปี
1) ถ้าฝากเงิน 50,000 บาท โดยไม่มีการถอนเงิน จงหาจานวนเงนิ ฝากในบญั ชีเม่ือ

ส้ินปที ี่ 10 และดอกเบ้ยี ทั้งหมดท่ไี ด้รบั
2) ถา้ ต้องการใหม้ ีเงนิ ในบญั ชเี มอ่ื สน้ิ ปีท่ี 15 เปน็ จานวนเงิน 150,000 บาท

จะตอ้ งฝากเงนิ ต้นไวอ้ ยา่ งน้อยเท่าใด

วิธที า 1) ในทีน่ ้ี P  50,000, n 10 และ r 0.75  0.0075 จากทฤษฎีบทขา้ งต้น
100

จะมจี านวนเงินฝากในบญั ชเี ม่ือส้นิ ปีที่ 10 คือ

50,000(1 0.0075)10  53,879.13 บาท

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 6 เรอื่ ง การประยุกต์ของลาดบั และอนกุ รม 58

ดังนั้น ถา้ ฝากเงนิ 50,000 บาท โดยไม่มกี ารถอนเงนิ เม่อื ส้นิ ปีท่ี 10 จะมีเงินฝาก

ประมาณ 53,879.13 บาท และดอกเบ้ยี ท้ังหมดประมาณ

53,879.13 50,000  3,879.13 บาท

2) ในทน่ี ้ี n  15, r  0.75  0.0075 และเงินรวมในบญั ชีเมอื่ สน้ิ ปที ี่ 15 เท่ากับ
100

150,000 บาท จากทฤษฎีบท จะได้

P(1 0.0075)15  150, 000

P  150, 000(1.0075)15

 134, 095.88

ดังน้นั ถา้ ต้องการให้มเี งนิ ในบัญชีเม่ือสนิ้ ปที ่ี 15 เป็นจานวน 150,000 บาท แลว้

ต้องฝากเงินอยา่ งนอ้ ยประมาณ 134,096 บาท

5. บริษัทแหง่ หน่งึ กาหนดเงินเดอื นเริ่มต้นสาหรับพนักงานวุฒิปรญิ ญาตรี 18,000 บาท โดย

เงนิ เดือนจะเพิ่มขึน้ ร้อยละ 7 ตอ่ ปี และเงินเดือนสูงสุดท่พี นักงานวฒุ ปิ ริญญาตรจี ะได้รบั คือ
80,000 บาท ถ้าสายธารมีวุฒิปริญญาตรแี ละเริ่มทางานที่บริษัทแห่งนเ้ี ม่ืออายุ 24 ปี จงหา

1) เม่อื สายธารอายุ 30 ปี จะได้รับเงินเดือนเท่าใด
2) สายธารต้องทางานกี่ปีจงึ จะได้รบั เงนิ เดือนสงู สุด

3) สายธารจะไดร้ บั เงนิ เดือนสูงสดุ เมื่ออายเุ ท่าใด

วิธีทา จากโจทย์ สามารถใชแ้ นวคิดเดียวกบั การคิดดอกเบี้ยแบบทบต้น โดย P แทน
เงนิ เดอื นเรม่ิ ต้นสาหรบั พนักงานวฒุ ปิ ริญญาตรี i แทนรอ้ ยละของเงนิ เดือนที่

เพมิ่ ขน้ึ ตอ่ ปีและ r  i

100

จะได้ P 18,000 และ r  7  0.07
100

1) ในทน่ี ี้ n  30 24  6 จากทฤษฎบี ท จะไดว้ ่า เม่อื สายธารอายุ 30 ปี

สายธารจะได้รบั เงนิ เดือนประมาณ 18,000(1 0.07)6  27,013.15 บาท

2) จากโจทย์ ต้องการได้เงนิ เดอื นเกนิ 50,000 บาท จากทฤษฎีบท จะได้วา่

18, 000(1 0.07)n  50, 000

(1 0.07)n  50, 000
18, 000

 2.7778

เนื่องจาก (1.07)15  2.7590 และ (1.07)16  2.9522

จะได้ 18,000(1.07)15  49,662.57 และ 18,000(1.07)16  53,138.95

น่นั คอื สายธารตอ้ งทางาน 16 ปี จึงจะไดร้ ับเงนิ เดือนเกนิ 50,000 บาท

3) จากโจทย์ เงินเดือนสูงสุดของพนักงานท่ีมีวุฒิปริญญาตรีจะได้รับคือ 80,000

บาท

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 6 เรื่อง การประยุกต์ของลาดบั และอนกุ รม 59

จากทฤษฎีบท จะไดว้ า่

18, 000(1 0.07)n  80, 000
(1 0.07)n  80, 000
18, 000
 4.4444

เน่อื งจาก (1.07)22  4.4304 และ (1.07)23  4.7405
จะได้ 18,000(1.07)22  79,747.23 และ 18,000(1.07)23  85,329.54
น่นั คือ เม่อื สายธารทางานไปแล้ว 22 ปี เงนิ เดือนจะยังไมถ่ ึง 80,000 บาท
แต่เมือ่ สายธารทางานไปแล้ว 23 ปี จะไดร้ ับเงนิ เดือนในอัตราสงู สุด 80,000 บาท
ดงั นน้ั สายธารจะได้รับเงินเดอื นในอตั ราสูงสดุ เม่อื อายุ 24  23  47 ปี

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 6 เร่อื ง การประยุกต์ของลาดบั และอนกุ รม 60

เฉลย....

แบบฝึกทกั ษะที่ 6.2

1. สมมตวิ า่ เริ่มฝากเงินด้วยเงินต้น 100,000 บาท ไดร้ บั อัตราดอกเบี้ย 4% ตอ่ ปี โดยคดิ
ดอกเบ้ยี แบบทบต้นทุกปี จงหา

1) จานวนเงนิ เม่ือฝากเงนิ ครบ 10 ปี
2) จานวนปที ่ีจะทาให้มีเงินเพม่ิ ขึ้นเปน็ อยา่ งนอ้ ยสามเทา่ ของเงนิ ตน้

วธิ ที า 1) ในท่ีนี้ P 10,000, k 1, n 10 และ r  0.04

จะได้ จานวนเงนิ รวม คือ 10,000(1 0.04)10 หรอื ประมาณ 148,024.43 บาท
ดังนั้น เมอื่ ฝากครบ 10 ปี จะมีเงินรวมประมาณ 148,024.43 บาท

2) ให้จานวนเงนิ รวมเพิ่มขึ้นเปน็ สามเท่าของเงินตน้ จะได้

300, 000  10, 000(1 0.04)n

(1.04)n  3

เนือ่ งจาก (1.04)28  2.9987 และ (1.04)29  3.1187

ดังน้ัน ตอ้ งฝากครบ 29 ปี จะทาให้มีเงินเพ่ิมขึ้นเปน็ อยา่ งน้อยสามเท่าของเงินตน้

2. ฝากเงินกบั ธนาคารจานวน 100,000 บาท ไดร้ บั อัตราดอกเบี้ย 3% ต่อปี จงหาจานวนเงนิ

ในบญั ชเี มอ่ื ครบปที ี่ n เมอื่
1) เมื่อธนาคารคิดดอกเบย้ี ให้ครงั้ สุดทา้ ยครั้งเดยี ว

2) ธนาคารนาดอกเบีย้ เข้าบัญชีเงินฝากทุกปี

วธิ ที า 1) ถา้ ธนาคารคดิ ดอกเบี้ยใหค้ รง้ั สดุ ทา้ ยครง้ั เดยี ว

จะได้ จานวนเงินในบัญชี เมอ่ื ครบปที ี่ n คือ

100, 000  3 (100, 000)n  100, 000  3, 000n บาท
100

2) ถ้าธนาคารนาดอกเบ้ียเข้าบัญชีเงนิ ฝากทกุ ๆ ปี

จะได้ จานวนเงนิ ในบัญชี เมือ่ ครบปีที่ n คอื

100,000(1 0.03)n 100,000(1.03)n บาท

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 6 เรอื่ ง การประยุกต์ของลาดบั และอนุกรม 61

3. สมมตวิ า่ เริ่มฝากเงนิ ด้วยเงินต้น 100,000 บาท ได้รับอตั ราดอกเบีย้ 4% ต่อปี โดยคิด
ดอกเบ้ียแบบทบตน้ ทุกไตรมาส (ทุก 3 เดือน) จงหาเงินรวมเมื่อฝากเงินครบ 10 ปี
วิธีทา ในทนี่ ้ี P 100,000, k  4, n 10 และ r  0.04

จะได้ จานวนเงนิ รวม คือ 10,000(1 0.04)40 หรอื ประมาณ 148,886.37 บาท

4

ดังนั้น เมื่อฝากครบ 10 ปี จะมีเงินรวมประมาณ 148,886.37 บาท

4. สมมติว่าเร่ิมฝากเงนิ ด้วยเงินต้น 100,000 บาท เม่ือฝากเงินครบ 10 ปี มีเงนิ ท้ังสนิ้
141,060 บาท ถ้าธนาคารคิดดอกเบีย้ แบบทบตน้ ทุกปี จงหาอัตราดอกเบีย้ แบบทบตน้ ทกุ ปี
จงหาอัตราดอกเบ้ียต่อปี
วธิ ีทา ในท่ีนี้ P 100,000, k 1 และ n 10 และมเี งินรวม 141,060 บาท
จากทฤษฎบี ท จะได้ จานวนเงนิ รวม คอื

100, 000(1 r)10  141, 060

(1 r)10  1.4106

1 r  10 1.4106

r  10 1.4106 1
r  0.035

ดังนน้ั ธนาคารแหง่ น้ใี ห้อัตราดอกเบย้ี ประมาณ 3.5% ตอ่ ปี

5. เม่ือตน้ ปปี ัญญาฝากเงิน 100,000 บาท กบั ธนาคารแห่งหนง่ึ และฝากเงนิ เพ่มิ อีก 100,000

บาท ทุกต้นปี โดยธนาคารกาหนดอัตราดอกเบี้ย 3% ต่อปี และคิดดอกเบ้ียแบบทบต้นทุกปี

จงหาเงินรวมเมื่อฝากครบ 15 ปี

วิธที า 2…

01 14 15

100,000 100,000 100,000 100,000

100, 000(1.03)
100, 000(1.03)2
100, 000(1.03)14

100, 000(1.03)15

เมื่อฝากครบ 15 ปี
เงินฝากในคร้ังแรกจะมมี ลู คา่ ในอนาคตเทา่ กบั 100,000(1.03)15 บาท
เงนิ ฝากในครั้งทีส่ องจะมีมูลค่าในอนาคตเท่ากับ 100,000(1.03)14 บาท
เงนิ ฝากในครั้งทส่ี ามจะมมี ลู ค่าในอนาคตเท่ากบั 100,000(1.03)13 บาท

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 6 เรอื่ ง การประยกุ ต์ของลาดบั และอนกุ รม 62

เงนิ ฝากในครั้งสดุ ท้าย จะมมี ูลคา่ ในอนาคตเทา่ กับ 100,000(1.03) บาท

ดังน้นั เมอ่ื สิ้นปที ่ี 15 จะไดเ้ งินรวม

100,000(1.03)15 100,000(1.03)14 100,000(1.03)13 ...100,000(1.03)

หรอื

100,000(1.03) 100,000(1.03)2 100,000(1.03)3 ...100,000(1.03)15

ซ่ึงเปน็ อนุกรมเรขาคณิตที่มี 15 พจน์ โดยพจนแ์ รก คอื 100,000(1.03) และ

อตั ราสว่ นร่วมคอื 1.03

จะได้ เงินรวม คือ 100, 000(1.03)[1 (1.03)15]  1,915, 688.13
11.03

ดังนั้น เมอ่ื ฝากเงนิ ครบ 15 ปี จะมีเงนิ รวมประมาณ 1,915,688.13 บาท

6. ราตรตี ้องการฝากเงินกับธนาคารแห่งหน่ึง ซง่ึ กาหนดอัตราดอกเบี้ย 4% ตอ่ ปี โดยคิดดอกเบ้ีย

แบบทบตน้ ทุกปี ถ้าราตรีต้องการใหม้ ีเงินในบัญชี 1,000,000 บาท ในอีก 20 ปขี า้ งหนา้

ราตรีต้องการฝากเงินต้นไว้อย่างน้อยเท่าใด โดยที่

1) ราตรีไมฝ่ ากเงินเพ่ิมอีก

2) ราตรีฝากเงนิ เพิม่ อีกปลี ะ 2,000 บาท

วธิ ที า 1) ในท่ีนี้ S 1,000,000, r  0.04, n  20 และ k  1

จะได้ มลู ค่าปัจจบุ ันของเงนิ รวม 1,000,000 บาท คอื

P  1, 000, 000(1 0.04)20

 456,386.95

ดงั นั้น ราตรตี ้องฝากเงินต้นไว้อย่างน้อย 456,386.95 บาท
2) ให้ P เป็นเงนิ ฝาก
เม่ือครบ 1 ปี จะมเี งนิ รวม P  P(0.04)  P(1.04) บาท
และฝากเงนิ เพ่มิ อีก 2,000 บาท น่ันคอื จะมเี งนิ รวม 2,000  P(1.04) บาท
เม่อื ครบ 2 ปี จะมีเงนิ รวม 2,000  P(1.04)  2,000  P(1.04)(0.04)

 2,000(1.04)  P(1.04)2

และฝากเงนิ เพ่ิมอกี 2,000 บาท นน่ั คอื จะมเี งนิ รวม
2,000  2,000(1.04)  P(1.04)2 บาท

เมอื่ ครบ 3 ปี จะมเี งินรวม

 2, 000  2, 000(1.04)  P(1.04)2  2, 000  2, 000(1.04)  P(1.04)2 (0.04)

 2, 000(1.04)  2, 000(1.04)2  P(1.04)3

น่นั คอื เม่ือสน้ิ ปีที่ 20 จะมเี งินรวม

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 6 เร่ือง การประยกุ ต์ของลาดับและอนุกรม 63

2,000(1.04)  2,000(1.04)2 ...  2,000(1.04)19  P(1.04)20 บาท

พิจารณาอนกุ รม 2,000(1.04)  2,000(1.04)2 ... 2,000(1.04)19 ซึง่ เปน็

อนกุ รมเรขาคณิตที่มี 19 พจน์ โดยพจน์แรก คือ 2,000(1.04) และอัตราส่วนร่วม

คือ 1.04

จะได้ ผลบวกของอนุกรมนี้ เทา่ กบั 2,000(1.04)[1 (1.04)19]

11.04

นั่นคือ เมื่อส้ินปีท่ี 20 ปี จะมเี งินรวม 2, 000(1.04)[1 (1.04)19 ]  P(1.04)20
11.04

บาทจะได้

1, 000, 000  2, 000(1.04)[1 (1.04)19 ]  P(1.04)20
11.04

P  430,119.07

ดังนนั้ ราตรีต้องการฝากเงนิ ตน้ ไว้อย่างน้อย 430,119.07 บาท

7. อนนั ตก์ ู้เงินจากวเิ ชียรจานวน 2 ยอด โดยยอดแรกต้องชาระ 12,682.42 บาท ในอีก 3 ปี

ข้างหนา้ สว่ นยอดท่ี 2 ต้องชาระ 26,111.36 บาท ในอีก 7 ปขี ้างหนา้ ถ้าวเิ ชยี รกาหนด

อตั ราดอกเบีย้ 8% ตอ่ ปี โดยคิดดอกเบีย้ แบบทบต้นทุก 3 เดือน จงหาจานวนเงินท้ังหมดท่ี
อนนั ตก์ ู้จากวเิ ชียร

วิธีทา เนือ่ งจากอนนั ต์มีกาหนดชาระหนี้ 2 งวด ดงั นน้ั จะต้องหามูลค่าปจั จุบันของเงิน
แตล่ ะงวดแลว้ จงึ นามารวมกนั

งวดที่ 1 ในทนี่ ้ี S 12,682.42, k  4, n  3 และ r  0.08

จะได้ มูลค่าปจั จบุ ันของเงนิ 12,682.42 บาท คือ

งวดที่ 2 12, 682.42(1 0.08)12  10, 000 บาท

4

ในทน่ี ี้ S  26,111.36, k  4, n  7 และ r  0.08

จะได้ มลู ค่าปจั จุบันของเงนิ 26,111.36 บาท คอื

26,111.36(1 0.08)28  15, 000 บาท

4

ดงั น้นั อนนั ตก์ ูเ้ งินจากวเิ ชียรประมาณ 10,000 15,000  25,000 บาท

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 6 เร่อื ง การประยุกต์ของลาดับและอนุกรม 64

เฉลย....

แบบฝึกทักษะที่ 6.3.1

1. สดุ าฝากเงนิ 2,000 บาท เข้าบัญชีธนาคารทุกต้นเดอื น ได้รบั ดอกเบีย้ 3% ต่อปี โดยคิด

ดอกเบี้ยแบบทบต้นทกุ เดือน เมือ่ สน้ิ ปที ี่ 5 สดุ าจะได้เงินรวมเทา่ ใด

วิธีทา สดุ าฝากเงนิ ตอนต้นงวดทกุ เดือนเปน็ เวลา 5 ปี

ในท่นี ้ี R  2, 000, i  3  0.25, n  60 และ r  0.25  0.0025
12 100

0 1… 58 59 60
2,000 2,000 2,000
2, 000(1.0025)
2, 000(1.0025)2

2, 000(1.0025)59

2, 000(1.0025)60

ดังนน้ั เมื่อส้ินปีท่ี 5 เงนิ รวมของสุดา คอื

2,000(1.0025)  2,000(1.0025)2 ... 2,000(1.0025)60 บาท

ซง่ึ เปน็ อนุกรมเรขาคณิตทีม่ ี 60 พจน์ โดยพจนแ์ รก คือ 2,000(1.0025) และ

อตั ราส่วนรว่ มคอื 1.0025 จะได้ เงนิ รวม คือ

2, 000(1.0025)[1 (1.0025)60]  2, 000(1.0025)[(1.0025)60 1]
11.0025 1.0025 1

หรือประมาณ 129,616.66 บาท

ดงั นั้น เม่อื ส้นิ ปีท่ี 5 สดุ าจะได้เงนิ รวมประมาณ 129,616.66 บาท

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 6 เร่อื ง การประยกุ ต์ของลาดบั และอนกุ รม 65

2. ทอแสงฝากเงิน 3,000 บาท เขา้ บัญชีธนาคารทกุ ส้ินไตรมาส (1 ไตรมาส เทา่ กับ 3 เดือน)

ได้รบั ดอกเบี้ย 6% ตอ่ ปี โดยคดิ ดอกเบย้ี แบบทบต้นทุกเดือน เมอ่ื สน้ิ ปีท่ี 4 ทอแสงจะได้

เงนิ รวมเทา่ ใด

วธิ ีทา ทอแสงฝากเงนิ ตอนส้ินงวดทุกเดือนเปน็ เวลา 4 ปี

ในทีน่ ี้ R  3, 000, i 6  1.5, n  16 และ r  1.5  0.015
4 100

0 1 … 14 15 16

3,000 3,000 3,000 3,000

3, 000(1.015)
3, 000(1.015)2

3, 000(1.015)15

ดงั นัน้ เม่ือส้นิ ปีท่ี 4 เงนิ รวมของทอแสง คือ

3,000  3,000(1.015)  3,000(1.015)2 ... 3,000(1.015)15 บาท

ซึง่ เปน็ อนุกรมเรขาคณิตทม่ี ี 16 พจน์ โดยพจน์แรก คือ 3,000

และอัตราสว่ นรว่ มคือ 1.015

จะได้ เงินรวม คือ 3, 000[1 (1.015)16 ]  3, 000[(1.015)16 1]
11.015 1.015 1

หรือประมาณ 53,797.11บาท

ดังนั้น เม่อื สิ้นปที ี่ 4 ทอแสงจะได้เงนิ รวมประมาณ 53,797.11 บาท

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 6 เร่อื ง การประยุกต์ของลาดับและอนุกรม 66

3. ใบเตยซื้อรถยนต์ราคา 700,000 บาท โดยตกลงจ่ายเงินดาวน์ 200,000 บาท และผอ่ น

ชาระส่วนที่เหลือเป็นจานวนเงินเท่ากันทกุ เดือน เปน็ เวลา 5 ปี โดยผ่อนชาระทกุ ส้นิ เดือน
ถา้ อัตราดอกเบ้ยี 3% ตอ่ ปี โดยคิดดอกเบย้ี แบบทบต้นทุกเดือนแล้ว ใบเตยจะต้องผอ่ น
ชาระเดือนละเท่าใด

วธิ ที า ให้ R แทนคา่ งวดท่ีใบเตยต้องผ่อนชาระทุกสน้ิ เดือน

ในท่นี ้ี i  3  0.25 และ r  0.25  0.0025
12 100

0 1 2 3 … 59 60

RRR RR

R(1.0025)-1
R(1.0025)-2
R(1.0025)-3

R(1.0025)-59

R(1.0025)-60

เน่ืองจากใบเตยจ่ายเงินดาวน์ 200,000 บาท ทาใหเ้ หลอื เงินที่ต้องชาระอีก
500,000 บาท โดยใบเตยจะผ่อนชาระทกุ ส้นิ เดือนเปน็ เวลา 60 เดือน
ดงั นนั้ จะตอ้ งหามูลคา่ ปัจจุบันของเงินผ่อนแตล่ ะงวด แล้วจงึ นามารวมกัน
จากแผนภาพ จะได้ มลู ค่าปัจจุบนั ของเงินผ่อนงวดท่ี 1, 2, .... ,60 คือ

R(1.0025)1, R(1.0025)2, ..., R(1.0025)60 ตามลาดับ
นัน่ คือ ผลรวมของมูลคา่ ปจั จุบันของเงินผอ่ นแตล่ ะงวด คือ

R(1.0025)1  R(1.0025)2  ...  R(1.0025)60

ซ่งึ เปน็ อนุกรมเรขาคณิตทม่ี ี 60 พจน์ พจน์แรก คือ R(1.0025)1
และอตั ราสว่ นรว่ ม คือ (1.0025)1
ดังน้นั ผลรวมของมลู ค่าปัจจุบนั ของเงินผ่อนทั้งหกสิบงวด คอื

R(1.0025)1(1 (1.0025)6 )
1 (1.0025)1

เนือ่ งจากใบเตยเหลอื เงินทตี่ ้องชาระอีก 500,000 บาท จะไดว้ า่

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 6 เรอ่ื ง การประยุกต์ของลาดับและอนุกรม 67

R(1.0025)1(1 (1.0025)6 )  500, 000
1 (1.0025)1

R  500, 000(1 (1.0025)1)
(1.0025)1(1 (1.0025)6 )

 8,984.35

ดังนน้ั ใบเตยจะต้องผอ่ นชาระเดอื นละประมาณ 8,984.35 บาท

4. วัชระฝากเงิน 10,000 บาท เขา้ บัญชีธนาคารทุกต้นเดือน เปน็ เวลา 4 ปี และไดร้ บั อัตรา

ดอกเบย้ี 3.6% ตอ่ ปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกเดือน เม่ือสิ้นปีที่ 4 วัชระจะได้รบั เงิน
รวมเท่าใด

วิธีทา วชั ระฝากเงินตอนตน้ งวดทกุ เดอื นเปน็ เวลา 4 ปี

ในที่นี้ R  10, 000, i 3.6  0.3, n  48 และ r  0.3  0.003
12 100

ดังนั้น เม่ือสิ้นปที ี่ 4 เงินรวมของวัชระ คอื

10,000(1.003) 10,000(1.003)2  ...10,000(1.003)48 บาท

ซ่งึ เป็นอนุกรมเรขาคณิตทม่ี ี 48 พจน์ โดยพจนแ์ รก คอื 10,000(1.003)

และอัตราสว่ นร่วมคือ 1.003
จะได้ เงนิ รวม คือ

10, 000(1.003)[1 (1.003)48 ]  310, 000(1.003)[(1.003)48 1]
11.003 1.003 1

หรือประมาณ 516,996.95บาท

ดังน้ัน เมื่อสิ้นปที ี่ 4 วัชระจะได้เงนิ รวมประมาณ 516,996.95 บาท

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 6 เรอ่ื ง การประยกุ ต์ของลาดับและอนุกรม 68

เฉลย....

แบบฝกึ ทักษะที่ 6.3.2

1. ฝากเงินกับธนาคารแหง่ หนง่ึ จานวน 5,000 บาท ไดร้ ับดอกเบย้ี ร้อยละ 1.5 ตอ่ ปี โดยคิด

ดอกเบ้ยี แบบทบตน้ ทุก 3 เดือน จงหาจานวนเงินในบัญชี เมื่อฝากเงนิ ครบ 3 ปี

วธิ ที า ในท่ีนี้ P  5,000, k  4, n  3และ r  1.5  0.015
100

จะได้ จานวนเงินรวม คือ 5,000(1 0.015)12  5, 229.70 บาท

4

ดงั นนั้ เมื่อฝากครบ 3 ปี จะมีเงินในบญั ชีประมาณ 5,229.70 บาท

2. ฝากเงนิ กับธนาคารแห่งหนง่ึ จานวน 18,600 บาท ไดร้ บั ดอกเบย้ี ร้อยละ 4 ต่อปี โดยคดิ

ดอกเบยี้ แบบทบตน้ ทุก 6 เดือน จงหาจานวนเงินในบญั ชี เมื่อฝากเงนิ ครบ 15 ปี

วธิ ที า ในทน่ี ี้ P 18,600, k  2, n 15 และ r  4  0.04
100

จะได้ จานวนเงินรวม คือ 18,600(1 0.04)30  33,691.33 บาท

2

ดังน้ัน เมอ่ื ฝากครบ 15 ปี จะมเี งินในบญั ชปี ระมาณ 33,691.33 บาท

3. แม่ของสทุ ศั น์ขายท่ดี ินไดเ้ งนิ 10,000,000 บาท และต้องการนาเงนิ ไปฝากธนาคารเพื่อเกบ็

ไว้เปน็ ทนุ การศึกษาของสุทัศนใ์ นอกี 10 ปขี า้ งหน้า โดยแมข่ องสุทศั นไ์ ด้ขอ้ มูลจากธนาคาร

2 แหง่ ดังน้ี

 ธนาคาร A กาหนดอตั ราดอกเบี้ย 12% ต่อปี โดยคิดดอกเบีย้ แบบทบต้นทกุ สิ้นเดอื น
 ธนาคาร B กาหนดอตั ราดอกเบยี้ 12.5% ต่อปี โดยคดิ ดอกเบีย้ แบบทบต้นทกุ สนิ้ ปี

แมข่ องสุทัศน์ควรเลอื กฝากเงนิ กับธนาคารใด จึงจะไดเ้ งนิ รวมมากท่ีสุด และจะได้เงินรวมเมื่อ

ส้ินปีที่ 10 เท่าใด

วิธที า พจิ ารณา ธนาคาร A

ในท่ีน้ี P 10,000,000, k  12, n 10 และ r  12  0.12
100

จะได้ จานวนเงนิ รวม คือ 10,000,000(1 0.12)120  33,003,868.95 บาท

12

พิจารณา ธนาคาร B

ในท่นี ้ี P  10, 000, 000, k  1, n 10 และ r  12.5  0.125
100

จะได้ จานวนเงนิ รวม คือ 10,000,000(1 0.125)10  32,473,210.25 บาท

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 6 เร่ือง การประยุกต์ของลาดบั และอนกุ รม 69

ดงั นั้น แมข่ องสทุ ัศน์ควรเลอื กฝากเงนิ กับธนาคาร A จึงจะไดเ้ งินรวมมากทีส่ ุด
และ เมอื่ สน้ิ ปีท่ี 10 จะไดเ้ งนิ รวมประมาณ 33,003,868.95 บาท

4. เอกฝากเงนิ 100,000 บาท กบั ธนาคารแหง่ หนึง่ โดยธนาคารคิดดอกเบีย้ แบบทบตน้ ทุก 6
เดือน เม่ือฝากเงินครบ 10 ปี เขาพบว่ามีเงินในบัญชปี ระมาณ 148,595 บาท จงหาอัตรา
ดอกเบย้ี ต่อปีทีธ่ นาคารกาหนด ถ้าอัตราดอกเบย้ี คงทต่ี ลอดระยะเวลาที่ฝากเงิน
วธิ ที า ในทีน่ ี้ P 100,000, k  2 และ n 10
จะได้ จานวนเงนิ รวม คือ

100, 000(1 r )20  148,595
2

(1 r )20  1.48595
2
1 r  20 1.48595
2
r  2(20 1.48595 1)
 0.04

ดังน้นั ธนาคารแหง่ นี้กาหนดอตั ราดอกเบย้ี ประมาณ 4% ตอ่ ปี

เสรมิ สมอง : อตั ราดอกเบ้ียเงนิ กยู้ ืมตามกฎหมาย
บุคคลใดให้ผู้อื่นยืมเงินโดยเรียกดอกเบ้ียเกินอัตราท่ีกฎหมายกาหนดไว้ กล่าวคือ ร้อยละ

15 ตอ่ ปี ตามที่บัญญัตไิ วใ้ นมาตรา 654 แห่งประมวลกฎหมายแพ่งและพาณิชย์ พ.ศ. 2535 จะมี
ความผิดตามพระราชบัญญัติห้ามเรียกดอกเบี้ยเกินอัตรา พ.ศ. 2560 ต้องระวางโทษจาคุกไม่เกิน
สองปี หรือปรับไมเ่ กนิ สองแสนบาท หรอื ทั้งจาท้งั ปรบั

5. ต้นตระการกู้เงินจากวิทวัสเพื่อเป็นค่าผ่าตัดแม่จานวน 200,000 บาท โดยกาหนดชาระหนี้
ท้ังหมดในอีก 2 ปีข้างหน้า เป็นเงิน 300,000 บาท จงหาว่าดอกเบ้ียที่วิทวัสเรียกเก็บคิดเป็น
อัตราดอกเบี้ยต่อปีเท่าใด ถ้าคิดดอกเบ้ียแบบทบต้นทุกปี และอัตราดอกเบ้ียดังกล่าวเป็นไป
ตามทก่ี ฎหมายกาหนดไว้หรือไม่ (อัตราดอกเบยี้ เงินกูย้ ืมตามกฎหมายไม่เกินร้อยละ 15 ตอ่ ป)ี
วิธีทา ตน้ ตระการจะต้องชาระดอกเบีย้ ให้วทิ วสั เป็นเงนิ 5,000522  520,000 บาท
น่นั คอื เมื่อครบ 2 ปี ต้นตระการจะต้องจ่ายเงินใหว้ ิทวัสทัง้ หมด 720,000 บาท
ในท่นี ้ี P  200,000, k  52 และ n  2 จะได้

200, 000(1 r )104  720, 000
52

(1 r )104  3.6
52
1 r  104 3.6
52

r  52(104 3.6 1)
 1.82

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 6 เร่อื ง การประยกุ ต์ของลาดบั และอนุกรม 70

ดังน้ัน ดอกเบ้ียท่ีวิทวสั เรียกเกบ็ สามารถคิดเป็นอัตราดอกเบ้ียร้อยละ 182 ซ่ึงอัตรา
ดอกเบ้ยี ดงั กล่าวไม่เปน็ ไปตามทีก่ ฎหมายกาหนดไวห้ รือไม่

6. วิชยั ต้องการฝากเงนิ กบั ธนาคารแห่งหน่งึ ซ่งึ กาหนดอตั ราดอกเบย้ี 5% ต่อปี โดยคิดดอกเบ้ยี
แบบทบตน้ ทุกปี ถ้าวชิ ัยตอ้ งการใหม้ เี งนิ ในบัญชปี ระมาณ 250,000 บาท ในเวลา 10 ปี

เขาตอ้ งการฝากเงินตน้ ไว้อยา่ งน้อยเท่าใด

วธิ ที า ในท่ีนี้ S  250,000, k  1, n 10 และ r  5  0.05
100

จะได้ มูลคา่ ปจั จบุ นั ของเงินรวม 250,000 บาท คอื

P  250,000(1 0.05)10 153, 478.31 บาท

ดังน้นั วิชัยต้องฝากเงินตน้ ไว้อย่างน้อย 153,478.31 บาท

7. ธรี ะฝากเงนิ จานนหนึ่งไวก้ บั ธนาคารแห่งหนึ่ง เม่ือเวลาผา่ นไป 10 ปี พบวา่ มีเงินในบญั ชี
122,079.42 บาท ถ้าธนาคารคงอัตราดอกเบย้ี 2% ตอ่ ปี และคิดดอกเบีย้ แบบทบตน้ ทกุ

3 เดือน จงหาเงินตน้ ที่ธรี ะฝากไวเ้ มอ่ื 10 ปี

วธิ ที า ในที่นี้ S  122, 079.42, k  4, n 10 และ r 2  0.02
100

จะได้ มลู ค่าปจั จบุ นั ของเงินรวม 122,079.42 บาท คอื

P  122, 079.42(1 0.02 )40  100, 000 บาท
4

ดงั น้ัน ธรี ะต้องฝากเงินไว้อย่างน้อย 100,000 บาท

8. ถา้ ฝากเงนิ เดือนละ 1,000 บาท ทกุ วนั ท่ี 1 ของเดือน เข้าบัญชที ี่ให้ดอกเบ้ียร้อยละ 2.4

ตอ่ ปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกเดือน จงหาเงินรวมเม่ือสนิ้ เดอื นที่ n
วธิ ที า ฝากเงนิ ตอนตน้ งวดทุกเดือนเป็นเงิน 1,000 บาท

ในทีน่ ี้ R  1, 000, i  2.4  0.2 และ r  0.2  0.002
12 100

ดงั นั้น เงินรวมหลงั จากการฝากครงั้ ที่ n คือ

1,000(1.002) 1,000(1.002)2 ...1,000(1.002)n บาท

ซ่งึ เป็นอนุกรมเรขาคณติ ทม่ี ี n พจน์ โดยพจน์แรก คือ 1,000(1.002)
และอตั ราส่วนร่วมคือ 1.002

จะได้ เงินรวม คือ 1, 000(1.002)[1 (1.002)n ]  501, 000[(1.002)n 1] บาท
11.002

ดงั นั้น เงนิ รวมหลงั จากการฝากครั้งที่ n คือ 501,000[(1.002)n 1] บาท

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 6 เรอื่ ง การประยกุ ต์ของลาดบั และอนกุ รม 71

9. หมากฝากเงินกับธนาคารแห่งหนึ่งเดอื นละ 2,000 บาท ทุกสน้ิ เดือน ถา้ ธนาคารกาหนด

อัตราดอกเบ้ยี ร้อยละ 3 ตอ่ ไป โดยคดิ ดอกเบ้ยี แบบทบต้นทุกเดอื น เมื่อสนิ้ เดือนท่ี 24

หมากจะมเี งินรวมเท่าใด

วิธที า หมากฝากเงินตอนส้นิ งวดทุกเดอื นทั้งหมด 24 ครัง้

ในท่นี ี้ R  2, 000, i 3  0.25, n  24 และ r  0.25  0.0025
12 100

0 1 … 22 23 24

2,000 2,000 2,000 2,000

2, 000(1.0025)
2, 000(1.0025)2

2, 000(1.0025)23

ดังนน้ั เมือ่ ฝากครบ 24 คร้งั เงนิ รวมของหมาก คือ
2,000  2,000(1.0025)  2,000(1.0025)2 ...  2,000(1.0025)23 บาท

ซึง่ เปน็ อนุกรมเรขาคณติ ที่มี 24 พจน์ โดยพจน์แรก คอื 2,000

และอตั ราสว่ นร่วมคือ 1.0025
จะได้ เงนิ รวม คือ

2, 000[1 (1.0025)24]  2, 000[(1.0025)24 1]  49, 405.64 บาท
11.0025 1.0025 1

ดังนั้น เม่อื ฝากครบ 24 ครงั้ หมากจะมีเงนิ รวมประมาณ 49,405.64 บาท

10. มะปรางมีรายรับเดือนละ 20,000 บาท ถา้ มะปรางต้องการออมเงินทกุ ส้ินเดือนเดอื นละ

10% ของรายรบั โดยฝากเข้าบญั ชีธนาคารที่กาหนดอัตราดอกเบี้ย 12% ตอ่ ปี และคิด
ดอกเบ้ยี แบบทบตน้ ทุกเดือน เม่ือเวลาผ่านไป 2 ปี มะปรางจะมีเงนิ ออมท้ังหมดเท่าใด
วิธีทา มะปรางฝากเงนิ ตอนสิน้ งวดทุกเดอื นเปน็ เวลา 2 ปี

เนอ่ื งจากมะปรางมีรายรับเดือนละ 20,000 บาท และจะออมเงินเดือนละ 10%

ของรายรบั

จะไดว้ ่า มะปรางออมเงนิ เดือนละ 10 (20, 000)  2, 000 บาท
100

ในท่นี ี้ R  2, 000, i  12  1, n  24 และ r  1  0.01
12 100

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 6 เรอื่ ง การประยุกต์ของลาดบั และอนกุ รม 72

0 1 … 22 23 24

2,000 2,000 2,000 2,000

2, 000(1.01)
2, 000(1.01)2

2, 000(1.01)23

ดังนน้ั เมือ่ เวลาผ่านไป 2 ปี เงนิ รวมของมะปราง คอื
2,000  2,000(1.01)  2,000(1.01)2 ... 2,000(1.01)23 บาท

ซง่ึ เป็นอนุกรมเรขาคณติ ที่มี 24 พจน์ โดยพจน์แรก คือ 2,000

และอัตราส่วนรว่ มคือ 1.01
จะได้ เงนิ ออม คือ

2, 000[1 (1.01)24 ]  2, 000[(1.01)24 1]  53,946.93 บาท
11.01 1.011

ดงั นน้ั เมอ่ื เวลาผา่ นไป 2 ปี มะปรางจะมีเงินออมประมาณ 53,946.93 บาท

เสริมสมอง : e-Banking
ระบบธนาคารผ่านทางอินเตอร์เน็ต หรือ e-Banking (electronic Banking) คือการทา

ธรุ กรรมตา่ ง ๆ กับธนาคาร โดยผ่านเครือข่ายอินเตอร์เน็ต เช่น การฝากเงิน ถอนเงิน โอนเงิน หรือ
สอบถามยอดเงิน ปัจจุบันธนาคารพาณิชย์เกือบทุกแห่งเปิดให้บริการ e-Banking แล้วในชื่อต่าง ๆ
เช่น internet banking, online banking, cyber banking ซ่ึงผู้ใช้บริการสามารถทาธุรกรรมผ่าน
ทางคอมพิวเตอร์โดยไม่ต้องเดินทางไปท่ีธนาคาร นอกจากน้ี ธนาคารยังเพิ่มช่องทางให้บริการทาง
โทรศัพท์มอื ถอื (mobile banking) ซึง่ พฒั นาข้นึ เพ่ือรองรับการใช้งานบนสมาร์ตโฟนและแท็บเล็ต

11. ในวนั ท่ี 1 มิถุนายน 2561 ส้มซ่าฝากเงนิ 100,000 บาท เขา้ บัญชีเงินฝากออมทรัพยท์ ี่ให้

อัตราดอกเบย้ี ร้อยละ 1.2 ต่อปี โดยคดิ ดอกเบย้ี แบบทบตน้ ทุกเดือน ถ้าสม้ ซ่าโอนเงินให้

น้องสาวผา่ นบริการ e-Banking เดือนละ 5,000 บาท ทกุ วันท่ี 1 ของเดือน ต้ังแต่เดือน

มิถนุ ายน 2561 โดยไม่เสยี คา่ ธรรมเนียมในการโอนเงิน เมือ่ ครบ 1 ปี ส้มซา่ จะต้องไดร้ ับ

ดอกเบย้ี จากบัญชีเงนิ ฝากนี้เท่าใด

วิธีทา ขั้นแรก หาจานวนเงินท่ีเหลอื ในบัญชขี องส้มซา่ เมื่อฝากธนาคารครบ 1 ปี

เนือ่ งจากส้มซา่ ได้รบั อัตราดอกเบีย้ ร้อยละ 1.2 ต่อปี

น่ันคอื สม้ ซา่ ได้รับอัตราดอกเบย้ี รอ้ ยละ 1.2  0.1 ต่อเดือน
12

ถา้ ไม่มีการถอนเงนิ เลย เมอื่ ครบ 1 ปี สม้ ซา่ จะมเี งนิ ในบัญชที งั้ หมด

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 6 เร่อื ง การประยกุ ต์ของลาดับและอนกุ รม 73

100,000(1.001)12 บาท

แต่เม่ือตน้ เดือนที่ 1 สม้ ซา่ ถอนเงนิ ไป 5,000 บาท

ทาใหเ้ มื่อครบ 1 ปี เงนิ ก้อนนท้ี ่ีถอนไปจะทาให้เงินในบัญชลี ดลง
5,000(1.001)12 บาท

เม่ือตน้ เดือนที่ 2 ส้มซ่าถอนเงินไป 5,000 บาท

ทาให้เมื่อครบ 1 ปี เงินกอ้ นนี้ที่ถอนไปจะทาใหเ้ งินในบัญชลี ดลง
5,000(1.001)11 บาท

เมอ่ื ตน้ เดือนท่ี 3 ส้มซา่ ถอนเงินไป 5,000 บาท

ทาให้เมื่อครบ 1 ปี เงนิ ก้อนนท้ี ี่ถอนไปจะทาใหเ้ งนิ ในบัญชลี ดลง
5,000(1.001)10 บาท

เป็นเชน่ นีท้ ุกเดือน จนถงึ เดือนที่ 12
นั่นคอื เม่ือครบ 1 ปี ส้มซ่าจะมีเงนิ เหลือในบญั ชี

 100, 000(1.001)12  5, 000(1.001)12  5, 000(1.001)11  ...  5, 000(1.001)

 100, 000(1.001)12  5, 000(1.001)((1.001)12 1)
1.001  1

 101, 206.62  60,391.43

 40,815.19

ขน้ั ต่อไป คานวณหาดอกเบ้ยี ทส่ี ม้ ซ่าไดร้ บั จากธนาคารเมือ่ ฝากธนาคารครบ 1 ปี

เน่อื งจากส้มซา่ ถอนเงินออกจากบญั ชเี ดอื นละ 5,000 บาท เปน็ เวลา 12 เดอื น

น่ันคือ เมื่อครบ 1 ปี หากไม่นาดอกเบี้ยจากธนาคารมาคานวณ ส้มซ่าจะเหลือเงิน

100,000 12(5,000)  40,000

แต่เงินทเี่ หลือในบญั ชขี องส้มซ่าเม่ือครบ 1 ปี มีคา่ เทา่ กบั 40,815.19 บาท

ดงั นั้น เมื่อครบ 1 ปี ส้มซา่ จะได้รับดอกเบี้ยจากบัญชเี งินฝาก เทา่ กับ
40,815.19  40,000  815.19 บาท

12. ยอดรกั ผ่อนต้เู ย็นราคา 30,000 บาท ดว้ ยยอดชาระเท่ากนั ทุกเดือนเปน็ เวลา 6 เดือน โดย

ผ่อนชาระทุกส้ินเดือน ถ้าอตั ราดอกเบ้ยี 18% ตอ่ ปี โดยคดิ ดอกเบ้ยี แบบทบต้นทุกเดือนแล้ว

ยอดรกั จะตอ้ งผ่อนชาระเดอื นละเทา่ ใด

วธิ ีทา ให้ R แทนค่างวดที่ยอดรักต้องผ่อนชาระทุกสนิ้ เดือน

ในทนี่ ี้ i  18  1.5 และ r  0.015
12

ยอดรกั จะผอ่ นชาระทกุ สน้ิ เดือนเปน็ เวลา 6 เดอื น ดังน้นั จะตอ้ งหามลู ค่าปัจจุบัน

ของเงนิ ผ่อนแตล่ ะงวด แลว้ จงึ นามารวมกนั

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 6 เรอ่ื ง การประยุกต์ของลาดบั และอนกุ รม 74

012345 6
R
RR RRR

R(1.015)-1
R(1.015)-2
R(1.015)-3
R(1.015)-4
R(1.015)-5

R(1.01)-6

จากแผนภาพ จะได้ มลู ค่าปัจจบุ นั ของเงนิ ผ่อนงวดที่ 1, 2, .... ,6 คอื

R(1.015)1, R(1.015)2, ..., R(1.015)6 ตามลาดับ

น่ันคอื ผลรวมของมลู ค่าปัจจุบนั ของเงนิ ผอ่ นท้ังหกงวด คือ

R(1.015)1  R(1.015)2  ...  R(1.015)6

ซึง่ เป็นอนุกรมเรขาคณติ ที่มี 6 พจน์ พจนแ์ รก คอื R(1.015)1

และอตั ราส่วนรว่ ม คือ (1.015)1

ดังนนั้ ผลรวมของมลู ค่าปัจจุบันของเงนิ ผอ่ นท้ังหกงวด คือ

R(1.015)1(1 (1.015)6)

1 (1.015)1

เนื่องจากยอดรักตอ้ งผอ่ นต้เู ย็นราคา 30,000 บาท จะไดว้ ่า

R(1.015)1(1 (1.015)6 )  30, 000
1 (1.015)1

R  30, 000(1 (1.015)1)
(1.015)1(1 (1.015)6 )

 5, 265.76

ดังน้ัน ยอดรกั จะต้องผอ่ นชาระเดอื นละประมาณ 5,265.76 บาท

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 6 เรื่อง การประยกุ ต์ของลาดบั และอนกุ รม 75

13. อนงคซ์ ้ือรถยนต์ราคา 600,000 บาท โดยตกลงจ่ายเงนิ ดาวน์ 15% ของราคารถยนต์และ

ผ่อนชาระส่วนท่เี หลอื เป็นจานวนเงนิ เท่ากนั ทุกเดือน เปน็ เวลา 4 ปี โดยผ่อนชาระทกุ สนิ้
เดอื น ถา้ อตั ราดอกเบ้ยี 6% ตอ่ ปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกเดอื นแลว้ อนงค์จะตอ้ ง
ผอ่ นชาระเดือนละเท่าใด และเสียดอกเบย้ี ท้ังหมดเทา่ ใด
วิธีทา ให้ R แทนค่างวดท่ีอนงคต์ ้องผ่อนชาระทุกสนิ้ เดือน

ในท่ีนี้ i 6  0.5 และ r  0.005
12

เนือ่ งจากอนงค์จา่ ยเงินดาวน์ 15 (600, 000)  90, 000 บาท ทาใหเ้ หลือเงินอีก
100

510,000 บาท โดยอนงคจ์ ะผ่อนชาระทุกส้นิ เดือนเปน็ เวลา 4 ปี หรอื 48 เดอื น

ดังนั้น จะตอ้ งหามลู ค่าปจั จบุ ันของเงินผ่อนแตล่ ะงวด แลว้ จงึ นามารวมกัน

0 1 2 3 … 47 48

RRR RR

R(1.005)-1
R(1.005)-2
R(1.005)-3

R(1.005)-47

R(1.005)-48

จากแผนภาพ จะได้ มูลค่าปจั จุบนั ของเงนิ ผ่อนงวดที่ 1, 2, .... ,48 คอื
R(1.005)1, R(1.005)2, ..., R(1.005)48 ตามลาดบั

น่ันคอื ผลรวมของมูลคา่ ปจั จุบันของเงินผอ่ นทั้ง 48 งวด คือ

R(1.005)1  R(1.005)2  ...  R(1.005)48

ซงึ่ เป็นอนุกรมเรขาคณติ ที่มี 48 พจน์ พจนแ์ รก คือ R(1.005)1
และอัตราส่วนรว่ ม คือ (1.005)1
ดังนัน้ ผลรวมของมลู ค่าปจั จุบันของเงนิ ผ่อนทั้ง 48 งวด คือ

R(1.005)1(1 (1.005)48)
1 (1.005)1

เนือ่ งจากอนงคเ์ หลือเงินท่ีต้องชาระอีก 510,000 บาท จะได้ว่า

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

ค่มู ือการใช้แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 6 เรอ่ื ง การประยกุ ต์ของลาดบั และอนกุ รม 76

R(1.005)1(1 (1.005)48 )  510, 000
1 (1.005)1

R  510, 000(1 (1.005)1)
(1.005)1(1 (1.005)48 )

 11,977.36

ดงั นนั้ อนงคจ์ ะต้องผอ่ นชาระเดอื นละประมาณ 11,977.36 บาท

จะได้ว่า อนงค์ผ่อนชาระท้งั 48 งวด เป็นเงิน

4811,977.36  574,913.28 บาท

น่ันคอื อนงคเ์ สยี ดอกเบยี้ ท้งั หมด 574,913.28510,000  64,913.28 บาท

ดังน้ัน อนงคจ์ ะต้องผ่อนชาระเดือนละ 11,977.36 บาท

และเสียดอกเบยี้ ทงั้ หมด 64,913.28 บาท

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

ค่มู อื การใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 6 เรอ่ื ง การประยุกต์ของลาดบั และอนุกรม 77

เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น

เรอื่ ง การประยุกต์ของลาดับและอนกุ รม

1. ค
2. ก
3. ง
4. ก
5. ค
6. ข
7. ข
8. ง
9. ก
10. ง

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา