เฉลยแบบฝึกทักษะ แคลคูลัสเบื้องต้น เล่มที่ 1 เรื่องลำดับและอนุกรมอนันต์

รายวิชา คณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ 5

เฉลยแบบฝกึ ทักษะ รหัสวิชา ค33201

คณิตศาสตร์ ม.6

แคลคูลัสเบ้ืองต้น

เลม่ ท่ี

1

เร่อื ง ลาดับและอนกุ รมอนนั ต์

ครูผู้สอน ครคู รรชติ แซ่โฮ่
ตาแหนง่ ครู วิทยฐานะ ครูชานาญการ
โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา
สานักงานเขตพื้นทก่ี ารศึกษามัธยมศกึ ษา เขต 15

กระทรวงศึกษาธิการ

ก

คำนำ

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง แคลคูลัสเบ้ืองต้น จัดทาข้ึนเพ่ือใช้ประกอบการจัดกิจกรรม
การเรียนรู้กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม 5 รหัสวิชา ค33201 ชั้น
มัธยมศึกษาปีที่ 6 ซึ่งสอดคล้องกับผลการเรียนรูและสาระการเรียนรูเพิ่มเติม กลุ่มสาระการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน พุทธศักราช
2551 เป็นแบบฝึกทักษะที่ใช้ประกอบการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ที่ส่งเสริมให้ผู้เรียนเกิดการ
เปลี่ยนแปลงพฤติกรรมในการเรียนรู้ตามความสามารถของแต่ละคน เพื่อมุ่งเน้นให้ผู้เรียนมีความรู้
ความเข้าใจในบทเรียนได้ดี ส่งเสริมความก้าวหน้าทางการเรียนรู้ที่มุ่งเน้นผู้เรียนเป็นสาคัญ มุ่งพัฒนา
และส่งเสริมทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียน ซ่ึงได้แก่ ความสามารถในการ
แก้ปัญหา การให้เหตุผลความคิดริเร่ิมสร้างสรรค์ ฝึกให้ผู้เรียนทางานอย่างเป็นระบบ มีระเบียบวินัย
รอบคอบ มีความรบั ผิดชอบ ตระหนักในคณุ ค่า และมเี จตคติทดี่ ตี ่อวชิ าคณิตศาสตร์ รวมทั้งตอบสนอง
สาระ มาตรฐานการเรยี นรู้และตัวชี้วัดในรายวชิ าคณติ ศาสตร์

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น เล่มน้ีเป็นเฉลยเล่มที่ 1 เร่ือง ลาดับ
และอนุกรมอนันต์ เพื่อให้การพัฒนาทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียนเป็นไปตาม
เปา้ หมาย ผูเ้ รียนควรปฏบิ ตั ติ ามขน้ั ตอนในการใช้แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์อยา่ งครบถ้วน

ผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง แคลคูลัสเบื้องต้น เล่มนี้ คงเป็น
ประโยชน์ต่อผู้เรียนในการเรียนรู้ สามารถนาผู้เรียนไปสู่จุดหมายตามศักยภาพ เป็นผู้ท่ีมีคุณลักษณะ
อันพึงประสงค์ นาความรู้ไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจาวันได้ และเป็นแนวทางสาหรับผู้ท่ีมีความสนใจ
ตอ่ ไป

ขอขอบพระคุณผู้อานวยการโรงเรียน คณะครูกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ผู้ท่ีมีส่วน
เกย่ี วข้องทุกท่าน ท่ีได้อานวยความสะดวก เป็นกาลังใจ ให้ความช่วยเหลือ และให้การสนับสนุน และ
ขอขอบใจนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ทุกคนที่ให้ความร่วมมือในกิจกรรมการเรียนรู้และทาให้แบบ
ฝึกทกั ษะคณติ ศาสตรเ์ ลม่ นีส้ าเร็จลลุ ่วงด้วยดี ขอขอบคุณเปน็ อยา่ งสงู ไว้ ณ โอกาสน้ี

คุณค่าและประโยชน์ของแบบฝึกทักษะน้ี ผู้จัดทาขอมอบเป็นเคร่ืองบูชาพระคุณแด่บิดา
มารดา และบูรพาจารย์ ตลอดจนผู้มีพระคุณทุกท่าน ท่ีอบรมส่ังสอนประสิทธ์ิประสาทความรู้ท้ังปวง
แก่ผจู้ ัดทา

ครรชติ แซ่โฮ่
ตาแหนง่ ครู วิทยฐานะ ครชู านาญการ

สารบัญ ข

เรอื่ ง หน้า

คานา ก
สารบญั ข
คาอธิบายรายวชิ า 1
หนว่ ยการเรียนรู้ 2
โครงสร้างรายวิชา 3
ลาดบั และอนกุ รมอนันต์ 4
4
1. ลิมติ ของลาดบั 4
กจิ กรรมการหาลิมิตของลาดับโดยการใชก้ ราฟ 7
กจิ กรรมการหาลิมิตของลาดับโดยทฤษฎีบทเก่ยี วกับลิมิต 12
แบบฝึกทกั ษะท่ี 1 ลมิ ิตของลาดับ 14
16
2. สญั ลักษณ์แสดงการบวก 12
กจิ กรรมสญั ลักษณแ์ สดงการบวก 21
แบบฝึกทกั ษะที่ 2 ลิมติ ของลาดับ 21
21
3. อนุกรมอนนั ต์และผลบวกของอนุกรมอนนั ต์ 27
กิจกรรมผลบวกอนุกรมอนนั ต์ 30
3.1 ลาดบั ของผลบวกย่อยของอนกุ รม 34
3.2 ผลบวกของอนกุ รมเลขคณติ และอนุกรมเรขาคณิต 35
แบบฝกึ ทักษะท่ี 3 ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์ 36
3.3 อนุกรมเทเลสโคป (Telescoping Series)
3.4 อนุกรมอนันต์แบบผสม
แบบฝึกทกั ษะที่ 4 อนุกรมอนันตท์ ี่น่าสนใจ

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 1 เรอื่ ง ลาดบั และอนกุ รนอนันต์ 1

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพ่มิ เตมิ 5 คาอธบิ ายรายวชิ า รหัสวิชา ค33201
ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6 ภาคเรยี นที่ 1 4 ชวั่ โมง/สัปดาห์
80 ชวั่ โมง/ภาคเรียน
2.0 หนว่ ยกิต

ศกึ ษา พรอ้ มทั้งฝึกทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์อนั ได้แก่ การแก้ปัญหา การใหเ้ หตุผล
การส่อื สาร การส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ การเชอ่ื มโยงความรู้ตา่ ง ๆ ทางคณติ ศาสตร์ และ
เช่ือมโยงคณติ ศาสตร์กบั ศาสตร์อน่ื ๆ และมีความคิดรเิ ริ่มสรา้ งสรรค์ ในเน้ือหาสาระ ดังนี้

ลาดับและอนุกรม ลาดับ ได้แก่ ความหมายของลาดับ ลาดับจากัดและลาดับอนันต์ ลาดับ
เลขคณิต ลาดับเรขาคณิตและลาดับฮาร์มอนิก ลิมิตของลาดับ อนุกรม ได้แก่ อนุกรมจากัดและอนุกรมอนันต์
อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต อนุกรมอนันต์ สัญลักษณ์แสดงการบวก และการประยุกต์ของลาดับและ
อนุกรม

แคลคูลัสเบ้ืองต้น ลิมิตของฟังก์ชัน ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน การหาอนุพันธ์ของ
ฟังก์ชันโดยใช้สูตร อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ เส้นสัมผัสเส้นโค้ง อนุพันธ์อันดับสูง การประยุกต์ของอนุพันธ์
ได้แก่ การเคล่อื นทแ่ี นวตรง ค่าสงู สดุ และคา่ ต่าสดุ และโจทยป์ ัญหาเกย่ี วกบั ค่าสูงสดุ และค่าต่าสุด ปฏิยานุพันธ์และ
ปริพันธ์ไม่จากดั เขต ปริพนั ธ์จากัดเขต พื้นทที่ ป่ี ดิ ล้อมดว้ ยเส้นโค้ง

โดยจัดประสบการณ์หรือสร้างสถานการณ์ที่ใกล้ตัวให้ผู้เรียนได้ศึกษาค้นคว้าโดยปฏิบัติจริง ทดลอง สรุป
รายงาน เพื่อให้มีความรคู้ วามเขา้ ใจในเนอ้ื หา มีทักษะการแกป้ ญั หา การใหเ้ หตุผลและนาประสบการณ์ด้านความรู้
ความคิด การใช้ทักษะชีวิต กระบวนการ และการใช้เทคโนโลยีที่ได้ไปใช้ในชีวิตประจาวันได้ตามหลักปรัชญาของ
เศรษฐกิจพอเพียง รวมทง้ั ให้มีความรักชาติ ศาสน์ กษัตริย์ ซ่ือสัตย์สุจริต มีวินัย ใฝ่เรียนรู้ อยู่อย่างพอเพียง มุ่งมั่น
ในการทางาน รกั ความเป็นไทยและมีจติ สาธารณะ

การวัดและประเมินผล ใช้วิธีการท่ีหลากหลายตามสภาพเป็นจริงให้สอดคล้องกับเน้ือหาและทักษะท่ี
ต้องการวัด

ผลการเรียนรู้
1. ระบุได้วา่ ลาดับทีก่ าหนดใหเ้ ป็นลาดบั ลเู่ ขา้ หรือลู่ออก
2. หาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิตได้
3. หาผลบวกของอนุกรมอนนั ต์ได้
4. เขา้ ใจและนาความรูเ้ ก่ียวกับลาดับและอนุกรมไปใช้
5. ตรวจสอบความต่อเน่อื งของฟังกช์ นั ทีก่ าหนดให้ได้
6. หาอนุพนั ธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตท่ีกาหนดให้และนาไปใช้แก้ปญั หาได้
7. หาปริพนั ธ์ไมจ่ ากัดเขตและจากดั เขตของฟังกช์ นั พชี คณิตท่ีกาหนดให้ และนาไปใชแ้ ก้ปัญหาได้

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 1 เร่อื ง ลาดบั และอนุกรนอนันต์ 2

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ 5 หนว่ ยการเรยี นรู้ รหัสวิชา ค33201
ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีที่ 6 ภาคเรียนท่ี 1 4 ชวั่ โมง/สปั ดาห์
80 ช่วั โมง/ภาคเรียน
2.0 หนว่ ยกติ
ชั้นเรยี น/ภาคเรยี น สาระการเรยี นรู้
จานวนชัว่ โมง
ม.6 1. ลาดับและอนกุ รม 30
ภาคเรยี นที่ 1 1.1 ลาดบั
- ความหมายของลาดับ 50
- ลาดบั เลขคณิต
- ลาดบั เรขาคณติ 80
- ลาดบั ฮารม์ อนิก
1.2 ลมิ ติ ของลาดับอนันต์
1.3 อนกุ รม
- อนุกรมเลขคณิต
- อนุกรมเรขาคณิต
- อนกุ รมอนนั ต์
1.4 สัญลักษณ์แสดงการบวก
1.5 การประยกุ ต์ของลาดบั และอนกุ รม

2. แคลคูลสั เบ้อื งตน้
2.1 ลิมิตของฟงั กช์ ัน
2.2 ความต่อเน่ืองของฟังกช์ ัน
2.3 อนพุ นั ธ์ของฟังก์ชันพีชคณติ
2.4 การหาอนุพันธ์ของฟงั กช์ นั พชี คณิตโดยใชส้ ตู ร
2.5 อนพุ นั ธ์ของฟังกช์ นั ประกอบ
2.6 เสน้ สัมผัสเส้นโคง้
2.7 อนุพนั ธอ์ ันดบั สงู
2.8 การประยุกตอ์ นุพนั ธ์
2.9 ปฏบิ านุพนั ธแ์ ละปริพันธ์ไมจ่ ากัดเขต
2.10 ปรพิ ันธ์จากัดเขต
2.11 พนื้ ท่ีทป่ี ิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โค้ง

รวม

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 1 เร่ือง ลาดับและอนุกรนอนันต์ 3

รายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เติม 5 โครงสร้างรายวิชา รหสั วิชา ค33201
ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 6 ภาคเรียนที่ 1 4 ช่ัวโมง/สัปดาห์
80 ชัว่ โมง/ภาคเรียน
2.0 หนว่ ยกิต

ลาดับ ช่ือ ผลการเรียนรู้ สาระการเรยี นรู้แกนกลาง เวลา นา้ หนกั
ท่ี หนว่ ยการเรียนรู้ (ชั่วโมง) คะแนน

1 ลาดบั และอนุกรม 1. ระบุไดว้ า่ ลาดับท่ี ลาดับและอนุกรม ลาดับ ได้แก่ 30 45

อนนั ต์ กาหนดให้เปน็ ลาดบั ลูเ่ ข้า ความหมายของลาดบั ลาดบั จากดั

หรอื ลู่ออก และลาดบั อนนั ต์ ลาดับ

2. หาผลบวก n พจน์แรก เลขคณิต ลาดบั เรขาคณิตและ

ของอนุกรมเลขคณิตและ ลาดับฮารม์ อนกิ ลิมิตของลาดบั

อนกุ รมเรขาคณติ ได้ อนกุ รม ไดแ้ ก่ อนกุ รมจากัดและ

3. หาผลบวกของอนกุ รม อนกุ รมอนนั ต์ อนกุ รมเลขคณิต

อนนั ตไ์ ด้ และอนุกรมเรขาคณิต อนกุ รม

4. เขา้ ใจและนาความรู้ อนนั ต์ สัญลักษณ์แสดงการบวก

เกย่ี วกบั ลาดับและ และการประยุกต์ของลาดับและ

อนุกรมไปใช้ อนุกรม

2 แคลคูลสั เบื้องต้น 5. ตรวจสอบความต่อเน่อื ง แคลคลู สั เบอื้ งตน้ ลิมิตของ 50 55

ของฟังก์ชนั ท่ีกาหนดให้ ฟงั กช์ ัน ความต่อเนื่องของฟงั ก์ชนั

ได้ อนพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชนั การหา

6. หาอนพุ นั ธ์ของฟังกช์ ัน อนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั โดยใช้สูตร

พชี คณิตท่กี าหนดให้และ อนพุ ันธ์ของฟังกช์ ันประกอบ เส้น

นาไปใช้แกป้ ัญหาได้ สัมผสั เสน้ โค้ง อนุพันธอ์ ันดบั สูง

7. หาปรพิ นั ธ์ไมจ่ ากดั เขต และการประยกุ ต์ของอนุพันธ์

และจากัดเขตของ ได้แก่ การเคลื่อนทแี่ นวตรง

ฟังกช์ นั พีชคณติ ที่ ค่าสูงสดุ และคา่ ตา่ สุด และโจทย์

กาหนดให้ และนาไปใช้ ปัญหาเก่ยี วกับค่าสูงสดุ และค่า

แก้ปัญหาได้ ตา่ สุด ปฏิยานพุ นั ธ์และปรพิ นั ธไ์ ม่

จากัดเขต ปริพนั ธ์จากัดเขต พืน้ ที่

ทป่ี ิดล้อมด้วยเสน้ โคง้

รวมตลอดภาคเรยี น 80 100

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรื่อง ลาดับและอนกุ รนอนันต์ 4

ลาดบั และอนุกรมอนนั ต์

Mathematics (Infinite Sequence and Infinite Series)

KANARAS

1. ลิมิตของลาดบั

บทนาลิมติ ของลาดบั
พจิ ารณาจากการทากิจกรรมต่อไปน้ี

กิจกรรม
การหาลมิ ติ ของลาดับโดยการใชก้ ราฟ

คาชแ้ี จง ใหน้ ักเรียนตอบคาถามตอ่ ไปนีใ้ ห้ถกู ต้องสมบรู ณ์

1. ใหน้ กั เรียนพิจารณากราฟของลาดับ an 1 เมื่อ n มีคา่ มากข้นึ โดยไม่มีทส่ี นิ้ สุด ดงั ต่อไปนี้
n

n 1 2345 6 7 8 …

an 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 …

an

1

1

2   

n

0 12 3 4 5 67 8

จากกราฟจะพบว่า ถ้า n มากข้ึนโดยไมม่ ีทีส่ ิน้ สดุ แลว้ an จะลดลงและเข้าใกล้ 0

2. พิจารณากราฟของลาดับ an 1 เม่ือ n มคี า่ มากขนึ้ โดยไม่มีทสี่ ้ินสดุ ดงั ต่อไปน้ี …
…
n 1 2345 6 7 8
an 1 1 1 1 1 1 1 1

an

2

1       

n

0 12 3 4 56 7 8

จากกราฟจะพบวา่ ถา้ n มากข้ึนโดยไม่มที ส่ี ้ินสดุ แลว้ an จะมีค่าเป็น 1 เสมอ

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรื่อง ลาดบั และอนกุ รนอนันต์ 5

3. พิจารณากราฟของลาดับ an  n เม่ือ n มคี า่ มากขึน้ โดยไม่มที ่สี ้ินสดุ ดังต่อไปน้ี
2n 1

n 1 2345 6 7 8 …
…
an 1/3 2/5 3/7 4/9 5/11 6/13 7/15 8/17

an

1/2    n

…
 …



0 12 3 4 56 7 8

จากกราฟจะพบวา่ ถ้า n มากข้ึนโดยไมม่ ที ี่สิ้นสุด แลว้ an จะมีเขา้ ใกล้ 1/2
4. พจิ ารณากราฟของลาดบั an  2n 1 เม่ือ n มคี า่ มากข้นึ โดยไม่มที ีส่ ิ้นสดุ ดงั ต่อไปน้ี

n 1 2345 6 7 8
an 1 3 5 7 9 11 13 15

an

15  n




10 



0 12 3 4 56 7 8

จากกราฟจะพบว่า ถ้า n มากข้ึนโดยไม่มที ีส่ ิ้นสุด แล้ว an จะมีคา่ มากข้ึนและไมเ่ ข้าใกลจ้ านวนใดจานวนหนึ่ง

5. พิจารณากราฟของลาดับ an  (1)n เมอื่ n มคี า่ มากขน้ึ โดยไม่มที ีส่ ิ้นสุด ดงั ตอ่ ไปนี้ …
…
n 1 2345 6 7 8
an -1 1 -1 1 -1 1 -1 1

an

1   

n

01 2 3 4 5 67 8

-1   

จากกราฟจะพบว่า เมื่อ n เปน็ จานวนคี่ an จะมเี ทา่ กบั -1 เม่อื n เป็นจานวนคู่ an จะมเี ท่ากับ 1
ดงั นั้น เม่ือ n มากข้นึ โดยไม่มที ่ีสิ้นสุด แล้ว an จะไมเ่ ข้าใกล้จานวนใดจานวนหนึ่ง

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เร่ือง ลาดับและอนกุ รนอนันต์ 6

บทนิยาม ลิมติ ของลาดบั (Limit of Sequence)

ให้ a1,a2,a3,...,an,... เป็นลาดับอนันต์ ถ้า n มากข้ึนโดยไม่มีท่ีส้ินสุดแล้ว an เข้าใกล้หรือเท่ากับ

จานวนจริง L เพียงจานวนเดียวเท่านั้น จะเขียนแทนด้วย lim an L (อ่านว่า ลิมิตของลาดับ an เมื่อ n มาก

n

ขึ้นโดยไม่มีที่สน้ิ สุด เท่ากับ L) และจะเรียก L ว่า ลิมิตของลาดับ (Limit of a sequence) และกล่าวว่าลาดับนี้

มีลมิ ิตเท่กับ L

เรยี กลาดบั อนนั ต์ท่ีมีลมิ ิตวา่ ลาดับลู่เข้า หรอื ลาดับคอนเวอร์เจนต์ (Convergent sequence)

และเรียกลาดับอนนั ต์ที่ไม่ใช่ลาดับลู่เข้าวา่ ลาดับล่อู อก หรือ ลาดบั ไดเวอร์เจนต์ (Divergent sequence)

การหาลมิ ติ ของลาดับต่างๆ สามารถทาได้ 2 วธิ ี คอื
1. โดยพิจารณากราฟของลาดบั หรอื ตาแหน่งของพจนท์ ่ี n ของลาดับบนเสน้ จานวน
2. โดยใช้ทฤษฎเี กย่ี วกบั ลิมิต

ทฤษฎบี ทเกี่ยวกบั ลมิ ิตของลาดับ

ทฤษฎบี ท 1 ให้ k เปน็ จานวนจรงิ บวก จะได้ว่า lim 1  0 และ lim nk ไม่มีคา่
nk
n n

ตวั อยา่ งที่ 1 (1) lim 1 =0 (2) lim 1 =0
=0 n2 =0
n n = ไม่มีค่า n = ไม่มีค่า

(3) lim 1 (4) lim 1

n n n 3

n2

(5) lim n (6) lim n2
n n

ทฤษฎบี ท 2 ให้ r เป็นจานวนจริง จะได้วา่
ถา้ r  1 แลว้ lim rn = 0

n

ถ้า r  1 แลว้ lim rn ไมม่ คี า่
n

ตัวอยา่ งท่ี 2 (1) lim  1 n =0 (2) lim 3n1 = ไม่มคี ่า
 2  n
n

(3) lim   1 n = 0 (4) lim   5 n = ไม่มีค่า
 3   4 
n n

(5) lim (2)n = ไม่มีค่า (6) lim 4n = 0
n n

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 1 เร่อื ง ลาดบั และอนกุ รนอนันต์ 7

ทฤษฎีบท 3 ลิมติ ของพีชคณิตของลาดับ

ให้ an, bn เป็นลาดับของจานวนจริง A, B เป็นจานวนจริง m เป็นจานวนเต็มที่มากกว่าหรือ

เท่ากับสอง และ c เปน็ คา่ คงตัวใด ๆ โดยที่ lim an  A และ lim bn  B จะได้วา่

n n

1. lim c =c
x

2. lim can = c lim an  cA
n
n

3. =lim
n
(an  bn ) lim an  lim bn  A B
n
n

4. =lim  lim  A
n n
(an  bn ) lim an bn B

n

5. =lim  lim  A B
n n
(an  bn ) lim an bn

n

6. lim  an  = lim an  A เมอ่ื B  0
 bn  n
n lim bn B

n

7. lim m an =m lim an m A
n
n

กิจกรรม
การหาลิมติ ของลาดบั
โดยทฤษฎบี ทเกย่ี วกบั ลิมติ

1. ให้นกั เรยี นหาลิมติ ของลาดับ เมอ่ื กาหนดลาดับ an  4  1 และ bn  1 1 1 
n 3 n 

1) lim an 2) lim bn

n n

 lim  4  1   4  lim 1 1 1   1
 n  3 n  3
n n

3) lim (an  bn ) 4) lim (an  bn )

n n

 lim an  lim bn  4 1  13  lim an  lim bn  4 1  11
n n 3 3 n n 3 3

5) lim (an  bn ) 6) lim  an 
 bn 
n n

 lim an  lim bn  4  1  4  lim an  4  12
n n 3 3
n

lim bn 1
3
n

7) lim an 8) lim bn
n n

 lim an  42  lim bn  1
3
n n

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรื่อง ลาดับและอนกุ รนอนันต์ 8

2. จงหา lim an เมอ่ื กาหนดพจนท์ ี่ an ดังตอ่ ไปน้ี

n

1) an  2 2) 2n 1, 1  n  10
an  55, n  10

lim an  2 lim an  lim 55  55

n n n

3) an  n 4) an  n3  n

lim an ไม่มีค่า lim an ไม่มีค่า

n n

5)  2 n 6)  2 2 n
 5   3 
an  an  

lim an  0 lim an  0

n n

7) an   5 n 8) an  ln 2n
 4 

lim an ไมม่ ีค่า lim an 0 เพราะ ln 2  0.69

n n

9) an  2 10) an  3(5n )
n2 1

lim an  0 lim an  0

n n

3. จงหา lim an เม่ือกาหนดพจน์ท่ี an ดังต่อไปนี้

n

1) an  1  3n2 2) an  3n  5
n2 6

lim an  lim  1  3  3 lim an  lim 3n  5 ไม่มคี ่า
 n2 n 6
n n n

3) an  5  4n 4) an  n2 1
n 4n

lim an  lim  5  4   42 lim an  lim n2 1
 n  16n2
n n n n

 lim 1  1   1  1
 16 16n2  16 4
n

5) an  3n1 6) an  2n1  3
5n2 3n2

lim an  lim 31  3 n  0 lim an  lim  21  2 n  3   0
 5   32  3  3n2 
n n 52 n n

7) an  4  3n  n2 8) an  n2  n3
2n3  3n2  5 n 1 n2  3

lim an  lim 4  3n  n2 lim an  lim  n2  n3 
2n3  3n2  5  n 
n n n n  1 n2  3 

4  3  1 0  3n2  n3 
n3 n2 n  (n 1)(n2  
 lim   0  lim    1
n 3 5 2 3)
2  n  n3 n

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เร่ือง ลาดับและอนกุ รนอนันต์ 9

ทฤษฎบี ท 4 (ลมิ ติ ของลาดบั เศษส่วนพหนุ าม)

กาหนดลาดบั an  A1n p  A2n p1  A3n p2  ... An พจิ ารณาดังนี้
B1n p  B2n p1  B3n p2  ... Bn

(1) ถา้ pq จะได้ว่า ลาดับ an จะเปน็ ลาดบั ลู่เขา้ และ lim an = A1
B1
n

(2) ถ้า pq จะได้ว่า ลาดบั an จะเป็นลาดบั ลเู่ ข้า และ lim an = 0

n

(3) ถา้ pq จะไดว้ ่า ลาดับ an จะเปน็ ลาดับลอู่ อก และ lim an ไมม่ ีค่า

n

ตัวอยา่ งท่ี 3 (1) ลาดับ an  6n  4 เปน็ ลาดับ ลเู่ ข้า และ =lim an 6 1
6n  4 เป็นลาดับ ลเู่ ขา้ 6
เปน็ ลาดบั ลเู่ ข้า n
เป็นลาดับ ลอู่ อก
(2) ลาดับ an  2n2  3n และ lim an = 2
5n  3n2 3
n

(3) ลาดับ an  4  5n และ lim an = 0
5n2  3
n

(4) ลาดับ an  4n3 1 และ lim an = ไม่มีคา่
3n2  2n
n

1. ใหน้ ักเรยี นพจิ ารณาลาดับท่ีกาหนดให้เป็นลาดับล่เู ขา้ หรือลู่ออก และหาลิมติ ของลาดับน้ัน

1) an  n 1 2) an  4n3  2
n2 5n3  4n  5

an เปน็ ลาดับลเู่ ข้า และ lim an 1 an เปน็ ลาดบั ลู่เข้า และ lim an 4
5
n n

3) an  n2 n 1 4) an  n3  n  7
 2n  5 n 1

an เปน็ ลาดบั ล่เู ขา้ และ lim an 0 an เปน็ ลาดับลู่ออก และ lim an ไม่มีค่า

n n

5) an   1n 6) an  3n2 1
10n  5n2
n

an เปน็ ลาดบั ลูเ่ ขา้ และ lim an 0 an เปน็ ลาดับลู่เข้า และ lim an   3
5
n n

7) an  4n2 1 8) an  1  1
2n  3 n3  2 n n 1

an เปน็ ลาดบั ลู่เข้า และ lim an  2 an เปน็ ลาดับลู่เขา้ และ lim an 0
3
n n

9) an  2n  5n  2 10) an  4 32n
3n  4n  3 2n 1
4

an เปน็ ลาดบั ลเู่ ข้า และ lim an  7 an เปน็ ลาดับลู่เขา้ และ lim an 2
12
n n

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรือ่ ง ลาดบั และอนุกรนอนนั ต์ 10

ทฤษฎีบท 4 (ลมิ ติ ของลาดบั ในรูปเลขยกกาลัง)

กาหนดลาดับ an  A1x1n  A2x2n  A3 x3n  ... Ak xk n เช่น an  3 2n  53n1
B1 y1n  B2 y2n  B3 y3n  ... Bh yhn 6  3n1  7  2n2  4

พจิ ารณาดังน้ี

(1) ถา้ ฐานสูงสดุ ของตัวเศษ ฐานสูงสดุ ของตัวสว่ น

จะได้วา่ ลาดับ an จะเปน็ ลาดับลเู่ ขา้ และ lim an = A1
B1
n

(2) ถา้ ฐานสงู สดุ ของตวั เศษ  ฐานสูงสุดของตวั สว่ น

จะได้วา่ ลาดับ an จะเป็นลาดับลู่เขา้ และ lim an = 0

n

(3) ถ้า ฐานสูงสดุ ของตวั เศษ ฐานสูงสุดของตัวส่วน

จะได้วา่ ลาดบั an จะเป็นลาดบั ลู่ออก และ lim an ไมม่ คี ่า

n

ตัวอยา่ งท่ี 4 (1) ลาดบั an  2n 1 เปน็ ลาดับ ล่เู ข้า และ lim an = 1
2n เปน็ ลาดับ ลเู่ ขา้
เป็นลาดับ ลเู่ ข้า n

(2) ลาดบั an  2n  3n และ lim an = 0
4n
n

(3) ลาดบั an  2n  5 3n1 และ lim an = 53  45
3n1  4 31
n

(4) ลาดับ an  5n 1 เปน็ ลาดับ ล่เู ข้า และ lim an = ไม่มีค่า
4 3n  2
n

1. ใหน้ ักเรียนพิจารณาลาดับทีก่ าหนดให้เป็นลาดับลเู่ ข้าหรือลู่ออก และหาลมิ ิตของลาดับนั้น

1) an  2n2 1 2) an  2n  5  3n1
2n  5 3n1  4

an เปน็ ลาดบั ลเู่ ขา้ และ lim an  22 4 an เป็นลาดบั ลู่เข้า และ lim an   53  45
31
n n

3) an  1  3 5n  2n1 4) an  5n  33
7n1  5n 5  2n1

an เป็นลาดับลเู่ ขา้ และ lim an 0 an เป็นลาดบั ลู่ออก และ lim an ไม่มีค่า

n n

5) an  4  5n  3n2 6) an  55  3n
5n1  6n 3n1  5

an เปน็ ลาดบั ลเู่ ขา้ และ lim an 0 an เป็นลาดบั ลเู่ ข้า และ lim an  1 3
31
n n

7) an  9n 1  2n 8) an  3n 2 16n 1
3n 1 4n 4

an เปน็ ลาดับลูเ่ ข้า และ lim an 1 an เป็นลาดับลู่เข้า และ lim an 2

n n

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 1 เรือ่ ง ลาดบั และอนกุ รนอนนั ต์ 11

ตวั อยา่ งท่ี 5 (ลมิ ิตของลาดบั ในรูปแบบไม่กาหนด ไดแ้ ก่   ,  หรือ 0 )

0

ให้นักเรียนพจิ ารณาลาดับท่ีกาหนดให้เปน็ ลาดบั ล่เู ขา้ หรือลอู่ อก และหาลมิ ิตของลาดับน้ัน

1) an  n n3 2) an  n3  n2
2 2n2  n n2  2 n  3

an  2n3  n2  2n3  n2 an  n4  3n3  n4  n2  n3 3n3  n2
2(2n2  n) 4n2  2n (n2  2)(n 3)  3n2  2n  6

 lim an 1 และ an เป็นลาดบั ลู่เขา้  lim an 3 และ an เป็นลาดบั ล่เู ข้า
4
n n

3) an  4n  6n 4) an  n 1  n
2n 1 3n 1

 12n  4n 12n  6n  an   n 1  n
an (2n 1)(3n 1) n 1  n  n 1  n 

 6n 4n  6n 1 1
 2n  3n n1 n

 lim an  1 และ an เปน็ ลาดบั ล่เู ข้า  lim an 0 และ an เป็นลาดบั ลู่เข้า

n n

5) an  n2  2n  4  n2 1 6) an  2 n4  n
n4  2n2 

an  (n2 2n4)(n2 1) an  2( n4 2n2  n4 n )
n2 2n4  n2 1 (n4 2n2 )(n4  n)

 2n3  2( n4 2n2  n4 n)
n2 2n4  n2 1 2n2 n

lim an 1 และ an เปน็ ลาดบั ลู่เข้า lim an 2 และ an เปน็ ลาดับลเู่ ขา้

n n

7) an  n 2  n1 8) an  n2 n 1
n  n 1 3n  2  3n 1

an  n2  n1 n n1 an  n2 n1  3n2  3n1
n  n1 n n1 3n2  3n1 3n2  3n1

 ( n2  n1)( n  n1)  ( n2  n1)( 3n2  3n1)
n(n1) (3n2)(3n1)

( n  n1)( n2  n1) ( n2  n1)( 3n2  3n1)
( n  n1) (n2)(n1) ( 3n2  3n1) (n2)(n1)

n2  n1 n2  n1

 ( n  n1)  3n2  3n1
n2  n1 n2  n1

lim an 1 และ an เป็นลาดับลู่เข้า lim an  3 และ an เปน็ ลาดับล่เู ข้า

n n

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 1 เร่ือง ลาดับและอนุกรนอนันต์ 12

แบบฝกึ ทักษะที่ 1
ลมิ ิตของลาดบั

1. ให้นกั เรียนพจิ ารณาลาดบั ท่ีกาหนดให้เป็นลาดับลเู่ ขา้ หรือลูอ่ อก และหาลมิ ิตของลาดับนัน้

1) an 5 6 2) an  3n2  2
3n 1 2  2n2

an เป็นลาดับลู่เขา้ และ lim an 5 an เป็นลาดับลูเ่ ขา้ และ lim an   3
2
n n

3) an  n2 3n 4) an  1 1  7n2
 2n3  2n  n3

an เป็นลาดับลู่เขา้ และ lim an 0 an เป็นลาดบั ลเู่ ข้า และ lim an 0

n n

5) an  1 1  3n  n5 6) an  n3 1
n3  3n5 1 n2  n  2

an เป็นลาดับลู่เข้า และ lim an  1 an เปน็ ลาดับลู่ออก และ lim an ไมม่ ีค่า
3
n n

7) an  4n2  2 8) an  5n3  4n  4
4  4n  4n2 4n  2n3

an เป็นลาดบั ลู่เข้า และ lim an  1 an เป็นลาดับลู่เขา้ และ lim an 5
2
n n

9) an  (n2 1)(n2  n) 10) an  n(3n 1)2
4  2n4 1 2n3

an เปน็ ลาดับลู่เขา้ และ lim an  1 an เป็นลาดับลู่เข้า และ lim an   9
2 2
n n

11) an  (3n 1)(1 n2 ) 12) an  3n4  6n2  2
(n 1)(2n2  n) (5n  4n2 )n2

an เปน็ ลาดับลเู่ ข้า และ lim an 3 an เปน็ ลาดับลเู่ ข้า และ lim an 3
2 4
n n

13) an  (n  2n2 )(n2 1) 14) an  n  53 n  2
9  5n3 n 33 n 1
2

an เปน็ ลาดับลู่ออก และ lim an ไมม่ ีค่า an เป็นลาดับลเู่ ขา้ และ lim an  1
2
n n

15) an  n  4n2  n  2 16) an  2n 1  2n 1
n 1 4n 1 1

an เป็นลาดบั ลเู่ ขา้ และ lim an 3 an เปน็ ลาดับลเู่ ขา้ และ lim an  2

n n

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรอื่ ง ลาดบั และอนกุ รนอนนั ต์ 13

17) an  1 n2 1 18) an  2n2  2n  3  2n2  n 1
n2  2n 

an  n2 2n  n2 1 an  (2n2 2n3) (2n2 n1)
(n2 2n)(n2 1) 2n2 2n3  2n2 n1

 n2 2n  n2 1  n2
2n1 2n2 2n3  2n2 n1

an เป็นลาดบั ลเู่ ข้า และ lim an 1 an เป็นลาดับล่เู ข้า และ lim an 1
22
n n

19) an  n 1 n 1 20) an  n(n  n2  2)
2n  3  2n  3

an  ( 2n3 2n3)[(n1)(n1)] an  n(n n2 2)n n2 2
( n1 n1)[(2n3)(2n3)] n n2 2

 ( 2n3 2n3)(2) an  n(n2 n2 2)
( n1 n1)(6) n n2 2

1( 2n3 2n3)  2n
3 ( n1 n1) n n2 2

an เป็นลาดับลู่เข้า และ lim an  2 an เป็นลาดับลเู่ ข้า และ lim an  1
3
n n

21) an  1  1  1  ...  1 22) an  1 2  4  8  ...  2n1 )
3 32 3n1 3(1 2  4  8  ...  (2)n1

(1) 1 1 n  (1) 2n 1
3  
  21
an an  1(2)n
1 1 
3 3 (1)

1 1 n  1(2)
3  
3   2n 1  2n 1
1(2)n 1(1)n (2)n
 2

an เปน็ ลาดับลูเ่ ขา้ และ lim an  3 an เปน็ ลาดับลู่ออก และ lim an ไม่มีค่า
2
n n

23) an  2n  6n  3n 24) an  2  22n  4n 1
2n1 1 3n1 3n

an  2n 6n 3n an  2  4n  4n 1
2n1 1 3n1 3n

an  2n 6n 216n 3n  2  4n 34n  3
2n1 1 3n1

 2n 216n 3n  5 24n
2n1 1 3n1

an เป็นลาดับลู่ออก และ lim an ไม่มคี ่า an เปน็ ลาดับลู่ออก และ lim an ไมม่ คี ่า

n n

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เร่ือง ลาดับและอนกุ รนอนันต์ 14

2. สัญลกั ษณ์แสดงการบวก

เนอ่ื งจากในเร่ืองของอนกุ รมน้ันเกี่ยวข้องกับการบวก ดังนั้นเพื่อความสะดวกในการเขียนอนุกรม จึงมีการ

กาหนดสัญลักษณ์แสดงการบวก โดยการใช้ตัวอักษรกรีกตัวพิมพ์ใหญ่  อ่านว่า ซิกมา เป็นสัญลักษณ์แสดง

การบวก กลา่ วคอื

1) อนกุ รมจากดั a1  a2  a3  ...  an เขยี นแทนด้วย n ai อ่านว่าซมั เมชัน ai เมือ่ i เทา่ กบั 1 ถงึ n


i1

2) อนกุ รมอนันต์ a1  a2  a3  ...  an  ... เขียนแทนด้วย  ai อา่ นว่าซัมเมชนั ai เมอ่ื i เทา่ กบั 1ถึง 


i1

การใช้สัญลักษณ์แทนการบวกเขียนแทนอนุกรม จะเห็นว่ามีอักษรอยู่ใต้เคร่ืองหมาย  เช่น 10

 an
n1

เรียกตวั แปร n วา่ ดัชนี(index) ซ่ึงเราอาจใชต้ วั แปรอืน่ แทน n ได้ เชน่ 10 ai หรอื 10 ak ดชั นีที่อยู่ใต้เครื่องหมาย

 
i1 k 1

 ไม่จาเปน็ ตอ้ งเริ่มจาก 1 เสมอไป อาจเริ่มจากจานวนเตม็ อ่นื กไ็ ด้ เชน่ 10

 n2  02 12  22  ... 102
n0

อนุกรมอนนั ต์ 1 1  1  ...  1  ... อาจเขียนแทนด้วยสัญลักษณแ์ ทนการบวกไดห้ ลายแบบ เช่น
2 4 2n1

  1  1
i1 2i1
i0 2i

ตวั อยา่ งที่ 1

1) 10 = (2 1)  (4 1)  (6 1) ... (20 1)

 (2n 1)
n1

2) 20 = 12  22  32  ... 202

 n2
n1

3)  = 1 2  3... n ...

n
n1

4)  1 = 1 1  1  ... 1  ...
n1 n
23 n

สมบัตขิ องสญั ลกั ษณแ์ สดงการบวก

ทฤษฎบี ท 1 ถา้ c เปน็ คา่ คงตัวใด ๆ แลว้ n = cn

c
i1

ตัวอยา่ งท่ี 2 (1) 25 = 2(25)  50
= (3)(30)  90
2
k 1

(2) 30

 (3)
k 1

ทฤษฎีบท 2 ถ้า an เปน็ พจนท์ ่ัวไปของลาดับ และ c เปน็ ค่าคงตวั แล้ว

n = n

 cai c ai
i1 i1

ตัวอย่างท่ี 3 (1) 10 = 5 10 an (2)  20 (2)an = (2) 20 an
n1 n1
 5an
n1 n1

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรอื่ ง ลาดับและอนกุ รนอนันต์ 15

ทฤษฎบี ท 3 ถ้า an และ bn เป็นพจนท์ ว่ั ไปของลาดบั แล้ว

  n (ai  bi ) =
nn

ai  bi

i1 i1 i1

ตัวอยา่ งที่ 4 กาหนดให้ 10  20, 10  30 และ 10  50
วธิ ที า
 an  bn  cn
n1 n1 n1

จงหา 10

(5an  3bn  2cn  20)
n1

10    = 10 10 10 10
5an  3bn  2cn  20
(5an  3bn  2cn  20)
n1 n1 n1 n1 n1

   = 10 10 10 10
5 an  3 bn  2 cn  20
n1 n1 n1 n1

= 5(20)  3(30)  2(50)  20(10)  90

ทฤษฎบี ท 4 ถา้ n เป็นจานวนเต็มบวก แล้ว

n i  1 2  3  ...  n  n(n 1)

i1 2

ตัวอย่างที่ 5 (1) 20 = 20(20 1)  210

i 2
i1

(2) 199 = 199(199 1)  19,900

i 2
i1

(3) 100  = 100 i  10 i  100(100 1)  10(10 1)
2 2
i
i11 i1 i1

= 5050  55  4,995

ทฤษฎบี ท 5 ถ้า n เปน็ จานวนเต็มบวก แล้ว

n i2  12  22  32  ...  n2  n(n 1)(2n 1)

i1 6

ตัวอยา่ งที่ 6 (1) 10 = 10(10 1)(2(10) 1)  385

i2 6
i1

(2) 10  i)  = 10 i2  10 i  10(10 1)(2(10) 1)  10(10 1)  385  55  440
6 2
 (i2
i1 i1 i1

ทฤษฎบี ท 6 ถ้า n เป็นจานวนเตม็ บวก แลว้

 n i3  13  23  33 n3   n 2   n(n 1) 2
 i1 i  2 
i1  
 ... 

ตวั อย่างที่ 7 (1) 10 =  10(10 1) 2  552  3, 025
 2 
i3
i1

(2) 20  =20 i3  10 i3   20(20 1) 2   10(10 1) 2  2102  552  41, 075
i1 i1  2   2 
 i3
i11

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เร่อื ง ลาดับและอนุกรนอนันต์ 16

กิจกรรม
สญั ลักษณ์แสดงการบวก

1. จงเขยี นอนุกรมจากดั และอนกุ รมอนันต์ตอ่ ไปนีใ้ นรปู ของสัญลักษณ์แทนการบวก

(1) 1 2  3...15 = 15

i
i1

(2) 1  3  5  7  ... 15 = 8 2i 1
i1 (i 1)2
4 9 16 25 81

(3) 2  4  8  16  ... 256 = 8 2i
357 9 17 i1 2i 1

(4)  1  1  1  1 ... 1 = 10 (1)i
2 6 12 20 110 i1 i(i 1)

(5) 13 2 4  35  46 ... n(n  2) ... = 

i(i  2)
i1

(6) 
1111 ... (1)n1 ... =
(1)i1

i1

(7) 2  2  2  2  ...  2  ... = 2
3 9 27 3n1 i1 3i1

(8) 1  1  1  1  ... 1  ... =  1
1 2 23 3 4 45 n(n 1) i1 i(i 1)

2. จงเขยี นแทนสัญลักษณต์ ่อไปนใี้ นรปู การบวก

(1) 10 = (3(1) 1)  (3(2) 1)  (3(3)1) ... (3(10) 1)

 (3i 1)
i1

(2) 5 = (1 2(1))  (1 2(2))  (1 2(3)) (1 2(4)) (1 2(5))

 (1 2k)
k 1

(3) 10 = (12  2)  (22  2)  (32  2)  ... (102  2)

(i2  2)

i1

(4) 100 k 1 = 11  2 1  3 1  ... 100 1
k1 k 123 100

(5) 8 = 1(1 2)  2(2  2)  3(3 2)  ... 8(8 2)

i(i  2)
i1

3. จงหาผลบวกในแต่ละข้อต่อไปน้ี

(1) 1 2  3...150

1 2  3  ... 150  150(150 1)  11,325
2

(2) 12  22  32 ...1502

12  22  32  ... 1502  150(150 1)(2(150) 1)  1,136, 275
6

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรอื่ ง ลาดับและอนุกรนอนนั ต์ 17

(3) 1 3 5 ...111

56 56 56

1 3  5  ...111   (2i 1)  2i  1
i1 i1 i1

 2  56(56 1)   56
 2 

 3,136

(4) 2  4  6 ...1000

500 500

2  4  6  ...1000   2i  2i
i1 i1

 2  500(500 1) 
 2 

 250,500

(5) 12  23 3 4 ... 3031

30 30 30 30
1 2  23  3 4  ...  3031  i(i 1)  (i2  i)  i2  i
i1 i1 i1 i1

 30(30 1)(2(30) 1)  30(30 1)
62

 9, 455  465

 9,920

(6) 20

 3k
k 1

20 20

3k  3 k

k 1 k 1

 3 20(20  1) 
2 

 630

(7) 30 k 2

k 1 5

 30 k 2  1 30 k 2

k1 5 5 k1

 1  30(30  1)(2(30)  1) 
5  6 

 1,891

(8) 10

 (k  2)2
k 1

10 10 10 10 10
 (k  2)2   (k2  4k  4)   k2  4 k   4
k 1 k 1 k 1 k 1 k 1

 10(10 1)(2(10) 1)  4 10(10 1)  4(10)
62

 385  220  40  645

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรือ่ ง ลาดับและอนกุ รนอนนั ต์ 18

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 2
ลมิ ติ ของลาดบั

1. ใหน้ ักเรียนพจิ ารณาลาดบั ท่กี าหนดให้เป็นลาดับลู่เขา้ หรือลอู่ อก และหาลมิ ิตของลาดับนนั้

1) an  2  4  6  ...  2n 2) an  3 (12  22  32  ...  n2 )
n2 n3

an  2(1  2  3  ...  n)  2  n(n 1)  an  3  n(n  1)(2n  1) 
n2 n2  2  n3  6 

 n2  n  n(n  1)(2n  1)
n2 2n3

an เปน็ ลาดับล่เู ข้า และ lim an 1 an เปน็ ลาดับลู่เข้า และ lim an 1

n n

3) an  2n4 4) an  n(1 2  3  ...  n)
1 8  27  ...  n3 12  22  32  ...  n2

 2n4 n  n(n  1) 
n(n 1)  2 
an  2 an 

 2  n(n 1)(2n 1)

 8n4 6

n(n 1)2  3n2 (n 1)
n(n 1)(2n 1)

an เป็นลาดบั ลเู่ ข้า และ lim an 8 an เปน็ ลาดบั ลเู่ ขา้ และ lim an 3

n n

5) an  n2 6) an  n(13  23  33  ...  n3)
1 2  3  ...  (n 1) (1 2  3  ...  n)2

an  n2 n  n(n  1) 2
(n 1)n  2 
an 
2  n(n 1) 2

 2n2  2 
(n 1)n
n

an เปน็ ลาดับลเู่ ข้า และ lim an 2 an เป็นลาดบั ลู่ออก และ lim an ไม่มีคา่

n n

7) an  2  4  6  ...  2n 8) an  3n 12n  27n  ...  3n3
1 3  5  ...  (2n 1) 1 8  27  ...  n3

3n  n(n 1)(2n 1) 
 
an  2(1  2  3  ...  n)  2  n(n 1)  an  6
n2 n2  2   n(n 1) 2
 2 
 n2  n
n2  2n2 (n 1)(2n 1)

n(n 1)2

an เป็นลาดบั ลูเ่ ข้า และ lim an 1 an เป็นลาดับลเู่ ขา้ และ lim an 4

n n

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เร่ือง ลาดบั และอนกุ รนอนันต์ 19

2. กาหนดผลบวกของอนุกรมเลขคณิต n พจนแ์ รกคือ n2 3n แลว้ lim an มีคาเท่าใด

n n 1

วิธที า เนื่องจาก Sn  n2 3n จะได้

an  Sn  Sn1  (n2  3n)  ((n 1)2  3(n 1))

 (n2  3n)  (n2  2n 1 3n  3)  (n2  3n)  (n2  5n  4)

 2n  4

ดังนนั้ lim an  lim 2n  4  2

n n 1 n n 1

3. กาหนดให้ an  kn 1 เมอ่ื k เปน็ ค่าคงตวั ท่ีทาให้ lim an  3 แล้ว k มคี ่าเทา่ ใด
3n 1 kn 1
n

วธิ ีทา พจิ ารณา an จะได้

  an  kn 1  3n 1 kn 1  kn 1 3n 1 kn 1

 3n 1 kn 1 3n 1 kn 1 3n 1 kn 1 (3n 1 kn 1)

      kn 1 3n 1 kn 1
kn 1 3n 1 kn 1

 3n 12  (kn 1)
3n 12  (kn 1)

นนั่ คือ lim an  k เนื่องจาก lim an  3 จะได้ k 3
3 3
n n

ดังนั้น k  27

4. กาหนดให้ an  3n  k n เมื่อ k เปน็ จานวนจริงทที่ าให้ lim an  7 แล้ว lim k n1  4n มคี ่าเท่าใด
k n1  2n 5n1  k n
n n

วธิ ที า พิจารณา an จะได้

an  3n  k n  k 3n  k  k n
k n1  2n kn  k  2n

น่นั คือ lim an  k และเนอื่ งจาก lim an  7 จะได้ k 7

n n

ดงั นน้ั lim k n1  4n  lim 7n1  4n 7
5n1  7n
n 5n1  k n n

5. กาหนดให้ an  1 (1 (2  2)  (3  3  3)  ...  (n  n  n  ...  n)) โดย k เปน็ คา่ คงตวั ท่ีทาให้
nk

lim an L เม่ือ L0 แลว้ 6(k  L) มีคา่ เท่าใด

n

วิธที า พจิ ารณา an จะได้

an  1 (12  22  32  ...  n2 )
nk

 1  n(n 1)(2n 1) 
nk  6 

นั่นคอื lim an  L และ L0 จะได้ k 3 และ L  1
3
n

ดงั นั้น 6(k  L)  6(3 1)  20

3

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรื่อง ลาดับและอนกุ รนอนนั ต์ 20

6. กาหนดให้ an เปน็ ลาดับเลขคณิตท่สี อดคล้องกบั เงือ่ นไข lim  an  a1   5
 n 
n

ถ้า a5  a9 100 แล้ว a50  a51  a52 ... a150 มีคา่ เทา่ ใด

วิธีทา เนอื่ งจาก an เปน็ ลาดบั เลขคณิตท่ีสอดคล้องกับเงอื่ นไข lim  an  a1   5
 n 
n

จะได้ lim  (n 1)d   5 นนั่ คอื d  5
 n 
n

และจาก a5  a9 100 จะได้ a1  20

ดงั น้ัน a50  a51  a52  ...  a150  1012(20)  (1011)(5)  27, 270

2

7. กาหนดให้ an  n k เมอื่ n 1, 2,3,... จงหาคา่ ของ lim 2n (6  3an )
k 1 2k n n2  5n 1

วิธที า พจิ ารณา an  nk จะได้ an  1  2  3  ... n 1  n (1)
k1 2k 21 22 23 2n1 2n (2)

1 an  1  2  3  ... n 1 n
2 22 23 24 2n 2n1

นา (1) – (2) จะได้ 1 an  1  1  1  1  ... 1  n
2 21 22 23 24 2n 2n1

1 an  1  1  1  1  ...  1  n
2 21 22 23 24 2n 2n1

 1   1 n  n
 2  2n1

นัน่ คอื an  2 2  n
2n 2n

2n (6  3an ) 2n 6  3 2  2  n  6  3n  3
2n 2n  n2  5n 1
ดงั นนั้ lim  lim  lim
n n2  5n 1 n n2  5n 1 n

8. กาหนดให้ an  (3  2n)13(5  n)2 เมอื่ n 1, 2,3,... จงหาค่าของ lim an
(1 2n)15
n

วิธที า lim an  lim (3  2n)13(5  n)2  213
(1 2n)15 (2)15
n n

 213 1
(2)(2)14 4

k (n5  n)  3n4
(n  2)5
 9. ให้  2
k เปน็ คา่ คงตวั และถ้า lim  lim n2  3n 1  n

n n

แล้ว k มีคา่ เท่ากบั เทา่ ใด

 วธิ ที า จากโจทย์จะได้ k  lim n2  3n 1  n  n2  3n 1  n
n n2  3n 1  n

 lim 3n 1 3

n n2  3n 1  n 2

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เร่ือง ลาดับและอนกุ รนอนันต์ 21

3. อนกุ รมอนันต์และผลบวกของอนุกรมอนนั ต์

ถา้ a1,a2,a3,...,an,... เป็นลาดบั อนนั ต์ จะเรยี กการเขยี นแสดงการบวกในรปู

a1  a2  a3  ...  an  ... วา่ อนกุ รมอนันต์ (Infinite series) ซึ่งเขียนแทนดว้ ย 

 an
n1

กิจกรรม
ผลบวกอนกุ รมอนันต์

พจิ ารณาอนกุ รม 1  1  1  1  ...  1  ... โดยท่ี
2 4 8 16 2n

S1  a1  1
2

S2  a1  a2  1  1  3
2 4 4

S3  a1  a2  a3  1  1  1  3  1  7
2 4 8 4 8 8

S4  a1  a2  a3  a4  1  1  1  1  7 1  15
2 4 8 16 8 16 16

Sn  a1  a2  a3  ...  an  1  1  1 1  ... 1  2n 1
2 4 8 16 2n 2n

ดงั นั้น เม่ือ n มากขนึ้ โดยไม่มที ่ีส้ินสดุ ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมนี้ จะเขา้ ใกล้ 1

พจิ ารณาอนุกรม 1 2  4 8... 2n ... โดยที่

S1  a1  1
S2  a1  a2  1 2  3
S3  a1  a2  a3  1 2  4  7
S4  a1  a2  a3  a4  1 2  4  8  15

Sn  a1  a2  a3  ...  an  1 2  4  8  ...  2n  2n 1

ดังนัน้ เมื่อ n มากข้ึนโดยไมม่ ที ี่ส้ินสุด ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม จะไม่เข้าค่าใกล้จานวนใดจานวนหนง่ึ

3.1 ลาดบั ของผลบวกย่อยของอนุกรม (Sequence of partial sums)

ถา้ กาหนดอนุกรมอนนั ต์ n  a1  a2  a3  ...  an  ... …(1)

 an
n1

และให้ Sn เปน็ ผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรม (1) นั่นคือ

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรือ่ ง ลาดบั และอนุกรนอนันต์ 22

S1  a1
S2  a1  a2
S3  a1  a2  a3
S4  a1  a2  a3  a4

Sn  a1  a2  a3  ...  an

บทนิยาม กาหนดอนุกรมอนันต์   a1  a2  a3  ...  an  ...

 an
n1

เรียก S1, S2, S3,..., Sn,... แต่ละจานวนว่า ผลบวกย่อย (partial sum) n พจน์แรก

ของอนกุ รม เม่ือ n เป็นจานวนเตม็ บวก

และเรียกลาดับอนันต์ S1, S2, S3,..., Sn,... ว่า ลาดับของผลบวกย่อยของอนุกรม

ตวั อยา่ งท่ี 1 กาหนดอนกุ รม 1  1  1  ...  1  ... จะได้
10 100 1000 10n

S1  1
10

S2  1  1  10 1  11
10 100 100 100 100

S3  1  1  1  11  1  110  1  111
10 100 1000 100 1000 1000 1000 1000
เปน็ อนกุ รมเรขาคณิตซ่งึ

Sn  1  1 1  ...  1 a1= 1/10 และ r = 1/10
10 100 1000 10n
a1(1 rn )
1    1 n  1   1 n  ใช้สูตร Sn = 1r
10 1  10   10 1   10  
       1    1 n 
9 1  10  
1 1 9  

10 10

ดงั นัน้ ลาดบั ผลบวกย่อยของอนุกรมนี้ คอื

S1, S2, S3, ..., Sn

1 , 11 , 111 , ..., 1    1 n 
10 100 1000 9 1  10  
 
เราพบข้อสังเกตบางประการ ดังตอ่ ไปน้ี

1) Sn = 1    1 n  แสดงวา่ Sn 1 สาหรับจานวนเตม็ บวก n ทกุ จานวน
9 1  10   9
 

2) เมอ่ื หาลิมิตของลาดบั น้ี จะได้ว่า lim Sn  lim 1    1 n   1
9 1  10   9
n n  

จากตัวอย่างท่ี 1 จะเห็นว่า 1 เป็นลิมติ ของลาดับผลบวกย่อยของอนุกรม

9

1  1  1  ...  1  ... เรียก 1 วา่ เป็นผลบวกของอนุกรมอนนั ต์
10 100 1000 10n 9

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรอ่ื ง ลาดับและอนุกรนอนนั ต์ 23
ตัวอยา่ งที่ 2 กาหนดอนุกรม 1111... (1)n1 ... จะได้

S1  1
S2 11  0
S3  111  1

Sn   1, n  1,3,5,...
0, n  2, 4, 6,...

ฉะนั้น ลาดบั ของผลบวกยอ่ ยของอนกุ รมนีค้ ือ 1,0,1,0,1,0,...

จะเห็นว่าลาดบั นไ้ี มม่ ลี ิมติ จงึ ถือวา่ หาผลบวกของอนกุ รมน้ีไม่ได้

ดังนน้ั จึงอาจให้นยิ ามผลบวกของอนุกรมอนนั ต์ได้ดงั น้ี

บทนิยาม ผลบวกของอนกุ รมอนันต์ใด ๆ คอื ลมิ ิตของลาดบั ผลบวกยอ่ ยของอนกุ รมนัน้
เมื่อลาดบั น้นั มีลมิ ิต

จากบทนยิ ามและความเขา้ ใจ จะเห็นไดว้ า่
การหาลิมติ ของลาดบั ผลบวกย่อยของอนุกรม ก็คือ ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์นนั้

ตวั อย่างท่ี 3 จงพิจารณาว่า อนกุ รมอนันตต์ อ่ ไปนเ้ี ปน็ อนุกรมลูเ่ ขา้ หรือไม่ ถา้ เปน็ จงหาผลบวก
วิธีทา
1 1  1  1 1  ... 1  ...
2 4 8 16 2n

ผลบวกย่อยของอนกุ รมนคี้ อื

S1  1

S2 1 1  3
2 2

S3 1 1  1  3  1  7
2 4 2 4 4

(1)   1 n   n 
1   2   1  
       1 
Sn 2  2
1 1
2

ดังนัน้ ลาดบั ผลบวกย่อยของอนกุ รมน้ี คอื

S1, S2, S3, ..., Sn

1, 3, 7, ..., 2    1 n 
2 4 1  2  
 

นน่ั คอื lim Sn  lim 1  1  1  1  1  ... 1 
2 4 8 16 2n 
n n

 lim 2    1 n   2
1  2  
n  

ดังนน้ั ผลบวกของอนกุ รมอนันต์น้ีเท่ากับ 2

แสดงวา่ อนุกรมที่กาหนดให้นีเ้ ปน็ อนกุ รมลู่เข้า และมีผลบวกเป็น 2

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 เรื่อง ลาดับและอนกุ รนอนันต์ 24

ตัวอยา่ งที่ 4 กาหนดอนุกรมเลขคณติ 1 4  7 10 ... (3n  2) ...
วธิ ีทา จงพจิ ารณาลาดบั ผลบวกย่อยของอนกุ รมน้ี
ให้ Sn แทนผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรม จะได้วา่

S1  1

S2 1 4  5

S3  1 4  7  12

Sn  n 1 3n  2  n(3n 1)
2 2

ดังนัน้ ลาดบั ผลบวกย่อยของอนุกรมน้ี คือ

S1, S2, S3, ..., Sn

1, 5, 12, ..., n(3n 1)
2
น่ันคือ

lim Sn  lim 1 4  7 10 ...  (3n  2)

n n

 lim n(3n 1) ไมม่ ีค่า

n 2

ดงั นน้ั ผลบวกของอนุกรมอนนั ตน์ ้ีเท่ากับ ไม่มคี า่

แสดงว่า อนุกรมทกี่ าหนดให้นเี้ ป็นอนุกรมลู่ออก

บทนิยาม 3 กาหนดอนุกรมอนนั ต์  an  a1  a2  a3  ... an  ... และ S1, S2, S3,..., Sn เป็น
n1
ลาดบั ผลบวกย่อยของอนุกรมน้ี

(1) ถา้ lim Sn  S หาคา่ ได้ เราจะกล่าววา่ อนุกรมอนันต์  เป็นอนกุ รมลเู่ ข้า

n  an

n1

(Convergent series) หรอื เปน็ อนกุ รมที่สามารถหาผลบวกอนนั ต์ได้

และจานวนจริง S คือผลบวกของอนุกรมอนันต์ นน่ั คือ  S

 an
n1

(2) ถ้า lim Sn ไมม่ ีค่า เราจะกลา่ ววา่  เป็นอนุกรมลู่ออก (Divergent series)

n  an

n1

หรือ เป็นอนุกรมท่ีไม่สามารถหาผลบวกอนันต์ได้

หมายเหตุ : สัญลกั ษณ์แสดงผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์

จากบทนิยาม ถ้าอนุกรม  เป็นอนกุ รมลเู่ ขา้ โดยมีผลบวกเทา่ กับ S จะไดว้ ่า

 an
n1

S      n 
lim Sn  lim a1  a2 a3  ... an lim  
n  ak 
n n
k 1

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรอื่ ง ลาดบั และอนกุ รนอนนั ต์ 25

สมบตั ิของอนุกรมลเู่ ขา้

กาหนดอนุกรมอนันต์   a1  a2  a3  ...  an  ... เป็นอนุกรมลู่เข้า โดยมีผลบวกเทา่ กับ S

 an
n1

น่ันคอื lim Sn  S โดยสมบตั ขิ องลาดบั ลเู่ ข้า จะไดว้ ่า lim Sn1  S

n n

ดงั นัน้ lim  Sn  Sn1   0 แต่เน่ืองจาก Sn  Sn1  an

n

แสดงวา่ lim an 0

n

ถ้าอนุกรม  เป็นอนุกรมล่เู ขา้ แล้ว lim an 0

 an n

n1

และทาให้ได้อีกวา่

ถ้า lim an  0 แล้ว lim Sn หาค่าไมไ่ ด้ หรืออนุกรม  เป็นอนุกรมลู่ออก

n n  an

n1

ขน้ั ตอนในการหาผลบวกของอนุกรมอนันต์

กาหนดอนุกรมอนันต์   a1  a2  a3  ...  an  ... มขี น้ั ตอนในการหาผลบวกดังนี้

 an
n1

หา lim an 0

n

lim an  0 lim an  0

n n

n  an จะเปน็ อนุกรมลู่ออกและ

หา Sn   ai 
i1 n1

หาผลบวกของอนุกรมอนันต์ไมไ่ ด้

น่นั คือ  ไม่มคี ่า

 an
n1
หา
lim Sn

n

ถ้า lim Sn S ถา้ lim Sn ไมม่ ีค่า

n n

 an จะเป็นอนุกรมลู่เขา้ และ  an จะเปน็ อนุกรมลู่ออกและ

 
n1
n1

หาผลบวกของอนกุ รมอนันตเ์ ท่ากับ S หาผลบวกของอนุกรมอนนั ต์ไม่ได้

นั่นคือ   S นัน่ คอื  ไมม่ คี า่

 an  an
n1
n1

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เร่ือง ลาดบั และอนกุ รนอนนั ต์ 26

ตวั อย่างที่ 5 กาหนด Sn แทนผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรม  จงตรวจสอบวา่ อนกุ รมนีเ้ ป็น
ตวั อยา่ งที่ 6
 an
n1

อนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก และถ้าเปน็ อนุกรมลเู่ ข้าจะมผี ลบวกของอนกุ รมเทา่ กับเทา่ ใด

1) Sn  n2  3 2) Sn  n2  3n
2n2 1 2n 1

เนอ่ื งจาก lim Sn  1 เนือ่ งจาก lim Sn ไม่มีค่า
2
n n

ดงั นนั้ อนุกรมนีเ้ ป็นอนุกรมลเู่ ขา้ และมผี ลบวกเป็น 1 ดังนน้ั อนุกรมนีเ้ ป็นอนุกรมลู่ออก
2

3) Sn  n  1  1 4) Sn  5   4 n1
n n2  3 

เนื่องจาก lim Sn 1 เน่ืองจาก lim Sn ไม่มีคา่

n n

ดงั น้ันอนกุ รมนีเ้ ป็นอนุกรมลเู่ ข้าและมีผลบวกเป็น 1 ดงั น้ันอนกุ รมนีเ้ ปน็ อนุกรมลู่ออก

กาหนดอนุกรมอนันต์ต่อไปน้ี จงตรวจสอบว่าอนุกรมดังกล่าวเป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออก

ถา้ เปน็ อนุกรมลเู่ ขา้ จงหาผลบวกของอนกุ รม

1) 1 3  5  ...  2n 1  ... 2) 1 2  22  23 ... 2n1 ...
23 n

เนื่องจาก lim 2n 1  2  0 เนอ่ื งจาก Sn  2n 1

n n

ดังนั้นอนุกรมน้ีเป็นอนุกรมลู่ออก และ lim Sn ไม่มีคา่

n

ดังนัน้ อนุกรมนี้เปน็ อนุกรมลู่ออก

3) 16 14 12 10 ... (18  2n) ... 4)  1 3n

n1 3n1

เนื่องจาก Sn  n 16 18  2n  n(17  n) เนอ่ื งจาก lim 1 3n 30
3n1
2 n

และ lim Sn ไม่มีค่า ดงั นน้ั อนุกรมนี้เปน็ อนุกรมลู่ออก

n

ดังนั้นอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก

5) log 1  log 2  log 3 ...  log n ... 6) 1 1  1  1  ... 1  ...
234 n 1 2 22 23 2n1

เน่ืองจาก เน่อื งจาก Sn  2    1 n 
1  2  
 

Sn  log 1  log 2  log 3  ...  log n และ lim Sn 2
2 3 4 n 1
n

 log 1  2  3 ... n ดังนนั้ อนกุ รมนเี้ ปน็ อนุกรมล่เู ข้า
2 3 4 n 1

 log 1  log1 log(n 1) และมผี ลบวกเปน็ 2
n 1

 log(n 1)

และ lim Sn ไม่มีคา่

n

ดงั น้ันอนกุ รมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรื่อง ลาดับและอนุกรนอนันต์ 27

3.2 ผลบวกของอนุกรมเลขคณิต และอนกุ รมเรขาคณิต

1) อนกุ รมเลขคณิตอนนั ต์

เราไดศ้ กึ ษาการหา Sn ของอนุกรมเลขคณิตไปแล้ว ดังนั้นเราจึงสามารถตรวจสอบได้ว่าอนุกรมเลขคณิต
ใดเป็นอนุกรมล่เู ขา้ และอนุกรมเลขคณติ ใดเปน็ อนุกรมลู่ออก ดังนี้

กาหนด  เป็นอนุกรมเลขคณติ อนนั ต์ กลา่ วคอื a1  (a1  d)  (a1  2d) ... (a1  (n 1)d) ...

 an
n1

จากสตู รการหา Sn จะไดว้ า่

Sn = n  a1  an  Sn = n  2a1  (n 1) d 
2 2
หรือ

จะได้วา่

 lim  n a1  an  
  2 
 n

lim Sn   ไมม่ ีค่า

n nlim  n  d
 2
2a1  (n 1)

สรุป อนุกรมเลขคณิตอนันต์  เป็นอนุกรมลู่ออกเสมอ ยกเว้น เมื่อ a1= 0 และ d = 0 ซ่ึงเป็น

 an
n1

อนกุ รมคงตวั ทุกพจน์ เทา่ กบั 0 ดังนั้น ผลบวกของอนกุ รมเท่ากบั 0

ตัวอย่างท่ี 1 1) 

5  7  9  ...  (2n  3)  ...  (2n  3)
n1

เปน็ อนกุ รมเลขคณิตทเี่ ป็นอนกุ รมลู่ ออก เพราะ a1  0 และ d  0

2) 

0  (1)  (2)  ... (1 n)  ...  (1 n)
n1

เป็นอนุกรมเลขคณิตที่เป็นอนุกรมลู่ ออก เพราะ a1  0 และ d  0

2) ผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตอนนั ต์

เราได้ศึกษาการหา Sn ของอนุกรมเรขาคณิตไปแล้ว ดังน้ันเราจึงสามารถตรวจสอบได้ว่า อนุกรม
เรขาคณิตใดเป็นอนุกรมล่เู ข้า และอนกุ รมเรขาคณติ ใดเป็นอนกุ รมลู่ออก ดังนี้

กาหนด  เป็นอนุกรมเรขาคณิตอนนั ต์ กลา่ วคือ a1  (a1r)  ( a1r2) ...  (a1rn1) ...

 an
n1

จะได้ว่า 1) ถ้า r 1 แล้ว lim Sn = lim na1 ไมม่ ีค่า

n n

ดงั น้ัน  ไมม่ ีค่า

 an
n1

2) ถ้า r  1 แลว้ lim Sn ไม่มคี า่ เพราะลาดบั ของผลบวกย่อยเปน็ a1, 0, a1, 0,...

n

ดังน้ัน  ไม่มีคา่

 an
n1

จากสูตรการหา Sn จะได้ว่า

Sn = a1(1 rn ) Sn = a1(rn 1)
1 r r 1
หรือ

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรอ่ื ง ลาดับและอนกุ รนอนนั ต์ 28

lim a1(1 rn )  a1r n 0 
n 1 r  1 r 
3) ถา้ | r | 1 แลว้ lim Sn =  lim  a1    a1
1 r 1 r
n n 

ดังนนั้  = a1
1 r
 an

n1

4) ถา้ | r | 1 แล้ว = a1(1 r n )  a1 a1r n  ไมม่ ีคา่
1 r  1 r 1 r 
lim Sn lim  lim 

n n n

ดงั นัน้  ไม่มีคา่

 an
n1

สรปุ ไดด้ ังทฤษฎีบทต่อไปน้ี

ทฤษฎีบท กาหนดอนุกรมเรขาคณิตมี a1 เปน็ พจนแ์ รก และ r เปน็ อตั ราส่วนร่วม

ถา้ | r | 1 แลว้ อนุกรมนเ้ี ปน็ อนุกรมลู่เข้าและผลบวกของอนุกรมเท่ากับ a1

1 r

ถา้ | r | 1 แลว้ อนุกรมน้ีเปน็ อนุกรมลู่ออก

ตัวอย่างที่ 2 จงตรวจสอบอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ต่อไปนี้เปน็ อนกุ รมลูเ่ ขา้ หรืออนุกรมลู่ออก
ถา้ เป็นอนุกรมลู่เขา้ จงหาผลบวกของอนุกรม

1) 1  1  1  ... และ | r | 1  1

3 9 27 3

พบว่า r  1

3

แสดงว่าอนกุ รมนเี้ ป็นอนุกรมลูเ่ ข้า โดยมีผลบวกของอนุกรมคอื 1  1  1
3 3

1  1 2 2
3 3

2) 4 1.6  0.64  0.256 ...

พบว่า r  0.4 และ | r | 0.4 1

แสดงว่าอนกุ รมนีเ้ ปน็ อนุกรมลูเ่ ขา้ โดยมีผลบวกของอนกุ รมคือ 4  4  20

1 (0.4) 1.4 7

3) 1 1 1 1  ...
1.04 1.042 1.043

พบวา่ r  1  100  25 และ | r | 25  1
1.04 104 26 26

แสดงวา่ อนกุ รมนเี้ ปน็ อนุกรมลู่เข้า โดยมผี ลบวกของอนุกรมคือ 1  1  26
1 2526 1

26

4) 2  1  1  1 ...

2 8 32

พบวา่ r  1 และ | r | 1  1

4 4

แสดงวา่ อนุกรมนเ้ี ปน็ อนุกรมลู่เข้า โดยมีผลบวกของอนุกรมคอื 2  2   8
1 1 3 3
4 4

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 1 เร่ือง ลาดบั และอนุกรนอนนั ต์ 29

ตัวอย่างที่ 3 จงตรวจสอบอนกุ รมเรขาคณิตอนันตต์ ่อไปนเี้ ป็นอนุกรมลูเ่ ขา้ หรืออนุกรมลู่ออก
ถ้าเปน็ อนุกรมลู่เข้า จงหาผลบวกของอนกุ รม

1) 1 2  4  8  ... 2) 4 1 1  1  1  ...

3 9 27 4 16 64

เนอื่ งจาก r  2 และ | r | 2 1 เนือ่ งจาก r   1 และ | r | 1 1

33 44

แสดงว่าอนกุ รมนี้เปน็ อนุกรมลู่เข้า แสดงว่าอนกุ รมนเ้ี ป็นอนุกรมลู่เขา้

โดยมีผลบวกของอนุกรมคอื 1  3 โดยมีผลบวกของอนุกรมคอื 4  16
1 23 1 1 5
4

3) 16 12  9  ... 16  3 n1  ... 4) 2  8  32  ...  22n1  ...
 4  3 9 27 3n

เน่อื งจาก r  3 และ | r | 3 1 เนื่องจาก r  4 และ | r | 4 1

44 33

แสดงว่าอนุกรมนเี้ ปน็ อนุกรมลูเ่ ข้า แสดงว่าอนกุ รมน้ีเปน็ อนุกรมลู่ออก

โดยมีผลบวกของอนกุ รมคือ 16  64
1 34

 1 2n  n  n 2n1  3n1 n n
n1 3n n1  n1  4n
  5)  1   2    6)    2  1    1 3 
3  3  n1 n1  2  n1 3  4 

แสดงวา่ อนกุ รมน้เี ป็นอนุกรมลู่เข้า แสดงว่าอนุกรมนเี้ ป็นอนุกรมลู่ออก

โดยมีผลบวกของอนุกรมคอื โดยมีผลบวกของอนุกรมคอื

1 2 1 5  21 1 3
3 3 2 2 2 3 4
   2    2 1  3
1 1 1 2 1 1  3
3 3 2 1 4

ตวั อย่างที่ 4 จงใชค้ วามรเู้ รื่องอนุกรม เขยี นจานวนในแต่ละขอ้ ให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจานวนเต็ม

1) 0.3 2) 0.9

0.3  0.3  0.03  0.03  ... 0.9  0.9  0.09  0.09  ...
 0.9  0.9
 0.3  0.3 1 0.1 0.9
1 0.1 0.9 1

1 4) 1.052
3

3) 4.24

4.2 4  4  0.24  0.0024  0.000024  ... 1.05 2  1 0.052  0.00052  0.0000052  ...

 4  0.24  4  0.24  1 0.052  1 0.052
1 0.01 0.99 1 0.01 0.99

4 8  1 26
33 495

 140  521
33 495

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรือ่ ง ลาดับและอนกุ รนอนันต์ 30

ตัวอย่างท่ี 5 ถ้าปล่อยลูกบอลลูกหน่ึงให้ตกลงมาจากจุดๆ หนึ่งซึ่งจะอยู่สูงจากพ้ืนดิน 24 2เมตร พบว่าในแต่
วิธีทา ละคร้ังท่ีลูกบอลกระทบพ้ืนดิน ลูกบอลจะลอยข้ึนไปสูงเป็นระยะทางเท่ากับ 3
ของระยะทางท่ี

ลกู บอลตกลงมา จะหาผลบวกของระยะท่ลี ูกบอลเคลอื่ นทที่ ้ังหมด

24 เมตร

2 ( 24 ) เมตร
3

2 [ 2 ( 24 )] เมตร
3 3

จากรูป ผลบวกของระยะทางทล่ี กู บอลเคลื่อนที่ได้ เทา่ กับ

24  48  2   48  2 2  48  2 3  ...  24  48  2    2 2   2 3  
3  3  3  3   3   3  ...



2
 
 24  48  3 2   24  48  2 
  
1
 3

 120

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 3
ผลบวกของอนกุ รมอนันต์

1. จงตรวจสอบอนุกรมอนนั ต์ต่อไปนเ้ี ปน็ อนุกรมลเู่ ข้าหรืออนุกรมลอู่ อก

ถา้ เป็นอนุกรมลเู่ ข้า จงหาผลบวกของอนุกรม

1) 3 1 1  ... 2) 16  4 1...

3

เนอ่ื งจาก r  1 และ | r | 1 1 เนื่องจาก r  1 และ | r | 1 1

33 44

แสดงว่าอนุกรมน้ีเป็นอนุกรมลู่เขา้ แสดงว่าอนกุ รมน้ีเป็นอนุกรมลเู่ ขา้

โดยมผี ลบวกของอนุกรมคอื 3  9 โดยมีผลบวกของอนุกรมคอื 16  64
1  1 2 1 1 3
3 4

3) 2  4  8 16 ... 4) 4  6  9 ...

เนื่องจาก r  2 และ | r | 2 1 เนื่องจาก r  6  3 และ | r | 3 1
แสดงวา่ อนกุ รมนเี้ ป็นอนุกรมลู่ออก 42 2

แสดงว่าอนุกรมนเี้ ปน็ อนุกรมลู่ออก

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เร่อื ง ลาดบั และอนุกรนอนันต์ 31

5) 2  1  1  ... 6) 60  6  0.6 ...

28

เนอ่ื งจาก r   1 และ | r | 1 1 เน่ืองจาก r  0.1 และ | r | 0.11
แสดงว่าอนุกรมน้เี ปน็ อนุกรมล่เู ขา้
44

แสดงว่าอนกุ รมนี้เปน็ อนุกรมลูเ่ ข้า

โดยมีผลบวกของอนกุ รมคือ 2  8 โดยมีผลบวกของอนุกรมคอื 60  200
5
1 1 10.1 3
4
8) 0.2  0.025  0.00025  0.0000025 ...
7) 4  4  4  ...  4  ...
7 49 7n1

เนื่องจาก r  1 และ | r | 1 1 เนื่องจาก r  0.01 และ | r | 0.011
แสดงว่าอนุกรมน้เี ป็นอนุกรมลเู่ ข้า
77

แสดงว่าอนุกรมนเ้ี ปน็ อนุกรมลู่เข้า

โดยมผี ลบวกของอนุกรมคือ 4  14 โดยมผี ลบวกของอนกุ รมคอื 0.2 0.025  223
1  1 3
7 10.01 990

9) 24 16  32  64  ...  24   2 n1  ... 10) 12  6  3  3  ... 12   1 n1  ...
3 9  3  2  2 

เนอ่ื งจาก r   2 และ | r | 2 1 เนื่องจาก r   1 และ | r | 1 1

33 22

แสดงว่าอนกุ รมน้เี ป็นอนุกรมล่เู ขา้ แสดงวา่ อนุกรมนเ้ี ปน็ อนุกรมลเู่ ขา้

โดยมผี ลบวกของอนุกรมคอื 24  72 โดยมผี ลบวกของอนกุ รมคือ 12 8

1 23 5 1 1
2

11) 4 1  8 1  16 1   2n1 1 
3n1
9 27 81

วิธที า 4 1  8 1  16 1   2n1 1 
9 27 81 3n1

  4  8  16   2n1     1  1  1   1  
 9 27 81 3n1   9 27 81 3n1 
 

41

 9  9 4193
1 2 1 1 3 6 6 2
33

1 1 1 1
2  x2 2  x2 2  x2 2  x2
     12) 2 3  n เมอ่ื x เปน็ จานวนจรงิ

วิธที า จากโจทย์ อนกุ รมท่ีกาหนดให้เปน็ อนุกรมเรขาคณติ ที่มี a1  2 1 และ r  2 1
 x2  x2

เนื่องจาก x2  0 จะได้ 2  x2  2 และ 0  1  1 1 ดงั นั้น | r | 1 1
2  x2 2 2  x2

1

จะได้ว่า อนุกรมน้ีเปน็ อนกุ รมลูเ่ ข้า และผลบวกของอนกุ รมคือ 2  x2  1
 x2
1  1 1
 x2
2

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรือ่ ง ลาดับและอนกุ รนอนนั ต์ 32

2. จงเขยี นจานวนทศนิยมไมร่ ู้จบในข้อต่อไปน้ใี ห้อยู่ในรูปเศษส่วน

1) 0.6 2) 2.9

0.6  0.6  0.06  0.06  ... 2.9  2  0.9  0.09  0.09  ...
 2  0.9  2  0.9
 0.6  0.6 1 0.1 0.9
1 0.1 0.9 3

2 4) 1.234
3

3) 0.81

0.81  0.81 0.0081 0.000081 ... 1.234  1 0.234  0.000234  ...

 0.81  0.81  1 0.234  1 0.234
1 0.01 0.99 1 0.001 0.999

 81  1 234  1 26
99 999 111

 9  137
11 111

3. ลูกปิงปองตกลงมาจากโต๊ะสูงจากพื้น 4 เมตร พบว่าในแต่ละคร้ังท่ีลูกปิงปองกระทบพ้ืน ลูกปิงปองจะลอยข้ึน
3
ไปสูงเป็นระยะทางเท่ากับ 4 ของระยะทางท่ีลูกปิงปองตกลงมา จงหาระยะทางท่ีลูกปิงปองเคล่ือนท่ีท้ังหมด

ในแนวด่ิง

วธิ ีทา จากโจทย์ ระยะทางที่ลูกปงิ ปองเคลื่อนท่ีเม่ือกระดอนขึน้ คร้ังที่ 1 จนถงึ พื้นดิน คือ

4  3   4  3   8  3 
 4   4   4 

ระยะทางที่ลกู ปิงปองเคลอ่ื นที่เมอ่ื กระดอนขึ้นคร้งั ที่ 2 จนถงึ พน้ื ดิน คอื

4  3   3   4  3   3   8  3 2
 4   4   4   4   4 

ระยะทางที่ลกู ปิงปองเคลอ่ื นที่เมือ่ กระดอนขึ้นครัง้ ต่อไปเป็นเช่นน้ีไปเรือ่ ย ๆ จะได้ระยะทางท่ลี กู

ปิงปองเคล่ือนท่ีท้งั หมดในแนวด่งิ เท่ากบั

4  8  3   8  3 2  8  3 3  ...  4  8  3    3 2   3 3  
 4   4   4  4   4   4  ...



3
 
 4  8  4 3   4  83
  
1
 4

 28

ดังนัน้ ระยะทางท่ลี ูกปงิ ปองเคลื่อนท่ที ั้งหมดในแนวดงิ่ เทา่ กับ 28 เมตร

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เร่อื ง ลาดบั และอนุกรนอนันต์ 33

4. กาหนดอนุกรม a1  a1r  a1r 2  a1r 3  ...  3 และ a1  a1r  a1r 2  a1r 3  ...  3 จงหา 
2 4
 a1r2n

n1

วิธีทา จากโจทย์ a1  a1r  a1r 2  a1r 3  ...  3
2

จะได้ a1  3

1r 2

นน่ั คือ a1  3 (1 r) (1)
2

และจาก a1  a1r  a1r 2  a1r 3  ...  3
4

จะได้ a1  3

1 r 4

น่นั คอื a1  3 (1 r) (2)
4

จาก (1) และ (2) จะได้ r  1 และ a1  1

3

  1 2n n 1
n1 3  
  ดังนน้ั     1  9  1
a1r 2n n1  9 1 1 8
n1

9

5. ถ้า x เป็นจานวนจรงิ ที่ทาให้  2 xx2 x3x4 ...  2 2 จงหา lim n   x k
k 1  3 
n

วธิ ที า จากโจทย์  2 xx2 x3x4 ...  2 13

2  222 2

จะได้ x  x2  x3  x4  ...  3

2

นนั่ คือ x  3

1 x 2

ฉะนนั้ x  3

5

ดังน้นั   lim n   x k  n   1 k     1 k 1  1   1
k 1  3  k 1  5  k 1  5  5 5 6
n 6
lim 1 1

n

55

6. ถ้า lim n2a 1  1 จงหา   ab n 
2n2b 1  2 b2 
n n1 2(a  )

วิธีทา จากโจทย์ lim n2a 1  1
2n2b 1
n

จะได้ a  1

2b

หรอื a  2b

n (2b)b n  n
ดังนน้ั       n1 
   1
n1  5 
ab  n1  2[(2b)2  b2 ]  
2(a2  b2 ) 

11

 5  5  1
1 1 4 4

55

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรื่อง ลาดบั และอนุกรนอนันต์ 34

3.3 อนุกรมเทเลสโคป (Telescoping Series)

กาหนดให้ F :  จะได้ว่า

n

F(k)  F(k 1)  F(1)  F(2)  F(2)  F(3)  F(3)  F(4) ...  F(n)  F(n 1)

k 1

 F(1)  F(n 1)

และ

n

F(k 1)  F(k)  F(2)  F(1)  F(3)  F(2)  F(4)  F(3) ...  F(n 1)  F(n)

k 1

 F(n 1)  F(1)

ถ้า lim F(n)  0 จะไดว้ ่า 
n0
F(k)  F(k 1)  F(1)

k 1

และ 

F(k 1)  F(k)  F(1)
k 1

ตวั อยา่ งท่ี 1 กาหนดอนุกรมอนันต์ในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี จงพจิ ารณาว่าเป็นอนุกรมลเู่ ข้าหรอื อนุกรมลอู่ อก

ถ้าเป็นอนุกรมลู่เข้า จงหาผลบวกของอนกุ รม

1) 1  1  1  ... 2) 1  1  1  ...

12 23 34 13 35 57

  1  1    1  1    1  1   ...  1 1  1   1  1  1   1  1  1   ...
 1 2   2 3   3 4  2  1 3  2  3 5  2  5 7 

1  1 1  1  1  1  1  1  ...  1
2  1 3 3 5 5 7 2

อนุกรมนเ้ี ป็นอนุกรมลู่เขา้ และมผี ลบวกเป็น 1 อนกุ รมนเ้ี ป็นอนกุ รมลู่เขา้ และมผี ลบวกเปน็ 1

2

3) 3  3  3  ... 4) 2  2  2  ...

1 4 4 7 7 10 58 811 1114

  1  1    1  1    1  1   ...  2  1  1    1  1    1  1   
 1 4   4 7   7 10  3  5 8   8 11   11 14  ...

1  21  2
3 5 15

อนกุ รมนเี้ ป็นอนุกรมล่เู ข้าและมผี ลบวกเปน็ 1 อนกุ รมนเ้ี ป็นอนุกรมลูเ่ ขา้ และมีผลบวกเปน็ 2

15

 5)  1  1  2n 1   1 1 
n2 n2 (n 1)2 n2  n2 (n 1)2 
  6)   
n2 n2 1 n2 (n 1)(n 1)

 1  1  1  1  ...   1  1    1  1    1  1   ...
13 24 35 46  22 32   32 42   42 52 

 1  1  1   1  1  1   1  1  1   ...  1 1
2  1 3  2  2 4  2  3 5  22 4

 1  1  1   1  3  3
2  1 2  2 2 4

อนกุ รมนเ้ี ป็นอนุกรมลเู่ ขา้ และมีผลบวกเปน็ 3 อนกุ รมนเ้ี ป็นอนุกรมลู่เข้าและมีผลบวกเป็น 1

44

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรอ่ื ง ลาดับและอนกุ รนอนนั ต์ 35

3.4 อนุกรมอนันต์แบบผสม

ถา้ a1  a2  a3 ... an ...เป็นอนุกรมเลขคณิต และ b1  b2  b3 ... bn ...เปน็ อนุกรมเรขาคณิต
ทเี่ ปน็ อนกุ รมทลี่ เู่ ข้า แล้ว อนุกรมแบบผสม a1b1  a2b2  a3b3 ... anbn ... จะเปน็ อนกุ รมทล่ี เู่ ข้าดว้ ย
ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวกของอนกุ รมแบบผสม (ถา้ ม)ี ในแต่ละข้อต่อไปนี้

1) 1  3  5  7  ...  2n 1  ...
5 52 53 54 5n

ให้ S  1  3  5  7  ... (1)
5 52 53 54

จะได้ 1S  1  3  5  7  ... (2)
5 52 53 54 55

นา (1) – (2) ได้ 4 1 2 2 2 2 1 2 25 1 1 3
5 5 52 53 54 55 5 5 10 10
S       ...   1 1  
5

ฉะน้นั S  3
8

ดังน้ัน 1  3  5  7  ...  2n 1  ...  3
5 52 53 54 5n 8

2) 5  10  15  20  ...  5n  ...
3 32 33 3n1

ให้ S  5  10  15  20  ... (1)
3 32 33

จะได้ 1S  5  10  15  20  ... (2)
3 3 32 33 34

นา (1) – (2) ได้ 2 S  5 5  5  5  5  ...  5 3  15
3 3 32 33 34 11 2

ฉะน้ัน S  45
4

ดังนน้ั 5  10  15  20  ...  5n  ...  45
3 32 33 3n1 4

3)  n2  n  2  6  12  20  30  ...
n1 2n1 20 21 22 23 24

ให้ S  2  6  12  20  30  ... (1)
20 21 22 23 24

จะได้ 1S  2  6  12  20  ... (2)
2 21 22 23 24

นา (1) – (2) ได้ 1 S  2  4  6  8  ... (3)
2 20 21 22 23

1S  2  4  6  8  ... (4)
4 21 22 23 24

นา (3) – (4) ได้ 1 S  2  2  2  2  2  ...  2 2  4
4 20 21 22 23 24 11

ฉะนนั้ S 16 ดังนัน้  n2  n  16
2n1
n1

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรื่อง ลาดบั และอนุกรนอนนั ต์ 36

แบบฝกึ ทักษะท่ี 4
อนกุ รมอนันตท์ ่ีนา่ สนใจ

1. สาหรับจานวนนบั n กาหนดให้ an  2    1 n คา่ ของ  เทา่ กับเท่าใด
4n2 1  3 
 an

n1

วธิ ีทา จาก an  2    1 n จะได้
4n2 1  3 

an  (2n 2 1)    1 n  1  1    1 n
1)(2n  3  2n 1 2n 1  3 

  1 1  1 n    1 1   1 n
 2n 1  3   n1  2n 1 2n 1 n1  3 
   ดังนั้นan         
n1  2n 1
n1

 1  1  1  1  1  1  ...  1 3
1 3 3 5 5 7 11 3

1 ( 1)  5
44

2. กาหนด a1  a2  a3  ...  an  ... มีผลบวก n พจนแ์ รกเปน็ n จงหาคา่ ของ lim n  kak 
2(n 1) k 1  k 3 
n

วธิ ีทา จาก Sn  n จะได้
2(n 1)

an  Sn  Sn1  n  n 1  n2  (n2 1)  1
2(n 1) 2n 2n(n 1) 2n(n 1)

  ดงั นัน้ n  kak    1    1  1  1 
lim k 1  k 3   2(k  1)(k  3)  k 1 4  k  1 k  3 

n k 1 

 1  1  1  1  1  1  1  ...  1  1  1  5
4  2 4 3 5 4 6 4  2 3  24

3. จงหาจานวนจริง x ทีท่ าให้ 1  3  5  ...  2n 1  ...  3
x x2 x3 xn 8

วธิ ีทา ให้ S  1  3  5  7  ... (1)
x x2 x3 x4

จะได้ 1S  1  3  5  7  ... (2)
x x2 x3 x4 x5

นา (1) – (2) ได้ (1 1)S  1  2  2  2  2  ...
x x x2 x3 x4 x5

 x 1 S  1  2 x2  1  2 (when | x | 1)
 x  x 11 x x x(x 1)

S  1 (x 2
x 1 1)2

ฉะน้ัน 1  2  3 แก้สมการได้ x   1

x 1 (x 1)2 8 3

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 1 เรื่อง ลาดับและอนกุ รนอนนั ต์ 37

4. กาหนดให้ an  n  23n เมอื่ n 1, 2,3,... ผลบวกของอนุกรม  เท่ากบั เทา่ ใด
32n1
 an

n1

เน่ืองจาก   n  23n 1 23 2 26 3 29 4  212
 วธิ ีทา  n1 32n1  33  35  37  39  ...
an

n1

ให้ S  1 23  2 26  3 29  4 212  ... (1)
33 35 37 39

จะได้ 23 S  1 26  2  29  3 212  4  215  ... (2)
32 35 37 39 311

นา (1) – (2) ได้  23   1 23  1 26  1 29  1 212  1 215  ...
1 32  S 33 35 37 39 311

8

ฉะนนั้ 1 S  27  8  9
9 1 8 27 1

9

น่ันคือ S  24

ดงั นั้น 

 an  24
n1

5. ถา้ a เป็นจานวนจริงท่ีสอดคลอ้ งกับ  n2  a  21 แลว้ คา่ ของ a เท่ากับเทา่ ใด
2
n1 3n1

วิธที า เนือ่ งจาก  n2  a  1 a  4a  9a  16  a  ...
3n1 30 31 32 33
n1

ให้ S  1 a  4a  9a  16  a  ... (1)
30 31 32 33

จะได้ 1S  1 a  4 a  9a  16  a  ... (2)
3 31 32 33 34

นา (1) – (2) ได้ 2 S 1 a  3  5  7  9  ... (3)
3 30 31 32 33 34

ให้ M  3  5  7  9  ... (4)
31 32 33 34

จะได้ 1M  3  5  7  9  ... (5)
3 32 33 34 35

นา (4) – (5) ได้ 2 M  3  2  2  2  2  ...  1 29 1 1  4
3 31 32 33 34 35 11 3 3 3

ฉะนนั้ M  2

จาก (3) และ S  21 จะได้ 2  21  1 a  2
3 2 30
2

ดังนั้น a  4

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เร่ือง ลาดับและอนกุ รนอนันต์ 38

6. จงหาจานวนจรงิ บวก x ท่ีทาให้ 1  1 6 x  (1 15  28  ...  27
  x)2 (1 x)3 4

วิธีทา ให้ r  1 จะได้ 1 6r 15r2  28r3  ...  27 (1)

1 x 4

และ r  6r2 15r3  28r4  ...  27 r (2)
4

นา (1) – (2) ได้ 1 5r  9r2 13r3  ...  27  27 r (3)
44

และ r  5r2  9r3 13r4  ...  27 r  27 r2 (4)
44

นา (3) – (4) ได้ 1 4r  4r2  4r3  ...  27  54 r  27 r2
44 4

1 4r  27  54 r  27 r2
1r 4 4 4

จัดรปู สมการได้ 27r3 81r2  93r  23  0 และแกส้ มการได้ r  1

3

ฉะนัน้ r  1  1 ดังนน้ั x  2

1 x 3

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา