เฉลยแบบฝึกทักษะ แคลคูลัสเบื้องต้น เล่มที่ 4 เรื่องปริพันธ์

รายวิชา คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เติม 5

เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะ รหัสวชิ า ค33201

คณิตศาสตร์ ม.6

แคลคลู สั เบอื้ งต้น

เล่มที่

4

เรอ่ื ง ปริพันธ์

ครูผู้สอน ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่
ตาแหนง่ ครู วิทยฐานะ ครชู านาญการ

โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา
สานกั งานเขตพืน้ ที่การศกึ ษามธั ยมศึกษา เขต 15

กระทรวงศึกษาธกิ าร

ก

คำนำ

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง แคลคูลัสเบ้ืองต้น จัดทาขึ้นเพื่อใช้ประกอบการจัดกิจกรรม
การเรียนรู้กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 รหัสวิชา ค33201 ชั้น
มัธยมศึกษาปีที่ 6 ซ่ึงสอดคล้องกับผลการเรียนรูและสาระการเรียนรูเพ่ิมเติม กลุ่มสาระการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน พุทธศักราช
2551 เป็นแบบฝึกทักษะที่ใช้ประกอบการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ท่ีส่งเสริมให้ผู้เรียนเกิดการ
เปล่ียนแปลงพฤติกรรมในการเรียนรู้ตามความสามารถของแต่ละคน เพื่อมุ่งเน้นให้ผู้เรียนมีความรู้
ความเข้าใจในบทเรียนได้ดี ส่งเสริมความก้าวหน้าทางการเรียนรู้ที่มุ่งเน้นผู้เรียนเป็นสาคัญ มุ่งพัฒนา
และส่งเสริมทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียน ซ่ึงได้แก่ ความสามารถในการ
แก้ปัญหา การให้เหตุผลความคิดริเร่ิมสร้างสรรค์ ฝึกให้ผู้เรียนทางานอย่างเป็นระบบ มีระเบียบวินัย
รอบคอบ มีความรบั ผิดชอบ ตระหนักในคณุ ค่า และมเี จตคตทิ ดี่ ีต่อวิชาคณิตศาสตร์ รวมทั้งตอบสนอง
สาระ มาตรฐานการเรยี นรู้และตวั ช้ีวดั ในรายวชิ าคณิตศาสตร์

เฉลยแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง แคลคูลัสเบ้ืองต้น เล่มนี้เป็นเฉลยเล่มที่ 4 เรื่อง ปริพันธ์
เพ่ือให้การพัฒนาทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียนเป็นไปตามเป้าหมาย ผู้เรียนควร
ปฏบิ ตั ติ ามข้นั ตอนในการใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์อย่างครบถ้วน

ผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น เล่มนี้ คงเป็น
ประโยชน์ต่อผู้เรียนในการเรียนรู้ สามารถนาผู้เรียนไปสู่จุดหมายตามศักยภาพ เป็นผู้ที่มีคุณลักษณะ
อันพึงประสงค์ นาความรู้ไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจาวันได้ และเป็นแนวทางสาหรับผู้ที่มีความสนใจ
ต่อไป

ขอขอบพระคุณผู้อานวยการโรงเรียน คณะครูกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ผู้ท่ีมีส่วน
เกีย่ วขอ้ งทุกท่าน ทไ่ี ด้อานวยความสะดวก เป็นกาลังใจ ให้ความช่วยเหลือ และให้การสนับสนุน และ
ขอขอบใจนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ทุกคนที่ให้ความร่วมมือในกิจกรรมการเรียนรู้และทาให้แบบ
ฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์เลม่ น้สี าเรจ็ ลุลว่ งด้วยดี ขอขอบคณุ เป็นอยา่ งสงู ไว้ ณ โอกาสน้ี

คุณค่าและประโยชน์ของแบบฝึกทักษะน้ี ผู้จัดทาขอมอบเป็นเคร่ืองบูชาพระคุณแด่บิดา
มารดา และบูรพาจารย์ ตลอดจนผู้มีพระคุณทุกท่าน ท่ีอบรมสั่งสอนประสิทธิ์ประสาทความรู้ทั้งปวง
แก่ผูจ้ ดั ทา

ครรชิต แซ่โฮ่
ตาแหน่ง ครู วิทยฐานะ ครชู านาญการ

สารบญั ข

เรือ่ ง หน้า

คานา ก
สารบญั ข
คาอธบิ ายรายวิชา 1
หน่วยการเรียนรู้ 2
โครงสรา้ งรายวิชา 3
ปรพิ นั ธ์ 4
4
1. ปฏยิ านพุ ันธแ์ ละปริพันธไ์ มจ่ ากดั เขต 4
1.1 ปฏิยานพุ ันธ์ 5
1.2 ปริพนั ธไ์ ม่จากัดเขต 7
แบบฝกึ หัดปรพิ ันธ์ไมจ่ ากัดเขต 9
12
2. ปรพิ นั ธ์จากัดเขต 13
แบบฝึกหดั ปริพนั ธจ์ ากัดเขต 15
18
3. พนื้ ทท่ี ่ีปิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โค้ง 22
แบบฝึกหดั พืน้ ทที่ ปี่ ิดล้อมด้วยเส้นโค้ง

4. การประยุกตป์ รพิ นั ธ์
แบบฝึกหัดการประยกุ ต์ปริพนั ธ์

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 4 เรอ่ื ง ปริพันธ์ 1

รายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พิ่มเติม 5 คาอธิบายรายวิชา รหัสวิชา ค33201
ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 6 ภาคเรียนท่ี 1 4 ช่ัวโมง/สปั ดาห์
80 ช่วั โมง/ภาคเรยี น
2.0 หน่วยกติ

ศกึ ษา พร้อมทัง้ ฝึกทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์อันได้แก่ การแกป้ ัญหา การให้เหตุผล
การส่อื สาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ การเชอ่ื มโยงความรตู้ า่ ง ๆ ทางคณติ ศาสตร์ และ
เชื่อมโยงคณิตศาสตร์กับศาสตร์อนื่ ๆ และมีความคิดริเร่มิ สร้างสรรค์ ในเน้อื หาสาระ ดังน้ี

ลาดับและอนุกรม ลาดับ ได้แก่ ความหมายของลาดับ ลาดับจากัดและลาดับอนันต์ ลาดับ
เลขคณิต ลาดับเรขาคณิตและลาดับฮาร์มอนิก ลิมิตของลาดับ อนุกรม ได้แก่ อนุกรมจากัดและอนุกรมอนันต์
อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต อนุกรมอนันต์ สัญลักษณ์แสดงการบวก และการประยุกต์ของลาดับและ
อนุกรม

แคลคูลัสเบ้ืองต้น ลิมิตของฟังก์ชัน ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน การหาอนุพันธ์ของ
ฟังก์ชันโดยใช้สูตร อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ เส้นสัมผัสเส้นโค้ง อนุพันธ์อันดับสูง การประยุกต์ของอนุพันธ์
ไดแ้ ก่ การเคลื่อนท่แี นวตรง คา่ สงู สุดและคา่ ต่าสดุ และโจทยป์ ัญหาเกย่ี วกบั ค่าสงู สดุ และคา่ ต่าสุด ปฏิยานุพันธ์และ
ปรพิ ันธ์ไมจ่ ากัดเขต ปรพิ นั ธจ์ ากัดเขต พืน้ ท่ที ป่ี ดิ ลอ้ มดว้ ยเสน้ โค้ง

โดยจัดประสบการณ์หรือสร้างสถานการณ์ที่ใกล้ตัวให้ผู้เรียนได้ศึกษาค้นคว้าโดยปฏิบัติจริง ทดลอง สรุป
รายงาน เพ่อื ใหม้ ีความรคู้ วามเข้าใจในเน้อื หา มีทักษะการแกป้ ัญหา การใหเ้ หตุผลและนาประสบการณ์ด้านความรู้
ความคิด การใช้ทักษะชีวิต กระบวนการ และการใช้เทคโนโลยีท่ีได้ไปใช้ในชีวิตประจาวันได้ตามหลักปรัชญาของ
เศรษฐกจิ พอเพียง รวมท้ังให้มีความรักชาติ ศาสน์ กษัตริย์ ซ่ือสัตย์สุจริต มีวินัย ใฝ่เรียนรู้ อยู่อย่างพอเพียง มุ่งม่ัน
ในการทางาน รักความเป็นไทยและมจี ิตสาธารณะ

การวัดและประเมินผล ใช้วิธีการที่หลากหลายตามสภาพเป็นจริงให้สอดคล้องกับเนื้อหาและทักษะที่
ตอ้ งการวัด

ผลการเรยี นรู้
1. ระบไุ ดว้ ่าลาดับทีก่ าหนดให้เป็นลาดับลเู่ ขา้ หรือลู่ออก
2. หาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ และอนุกรมเรขาคณิตได้
3. หาผลบวกของอนุกรมอนนั ต์ได้
4. เขา้ ใจและนาความรเู้ กี่ยวกับลาดบั และอนกุ รมไปใช้
5. ตรวจสอบความต่อเนื่องของฟังก์ชันท่กี าหนดให้ได้
6. หาอนพุ ันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตทกี่ าหนดให้และนาไปใช้แก้ปญั หาได้
7. หาปรพิ นั ธ์ไมจ่ ากดั เขตและจากัดเขตของฟงั กช์ ันพีชคณิตที่กาหนดให้ และนาไปใช้แกป้ ัญหาได้

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 4 เรอื่ ง ปรพิ ันธ์ 2

รายวิชาคณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม 5 หน่วยการเรยี นรู้ รหัสวิชา ค33201
ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 6 ภาคเรียนท่ี 1 4 ชวั่ โมง/สปั ดาห์
80 ชวั่ โมง/ภาคเรยี น
2.0 หน่วยกิต
ชนั้ เรยี น/ภาคเรียน สาระการเรียนรู้
จานวนชว่ั โมง
ม.6 1. ลาดบั และอนกุ รม 30
ภาคเรียนที่ 1 1.1 ลาดบั
- ความหมายของลาดบั 50
- ลาดับเลขคณติ
- ลาดบั เรขาคณิต 80
- ลาดับฮาร์มอนิก
1.2 ลมิ ิตของลาดบั อนนั ต์
1.3 อนุกรม
- อนุกรมเลขคณติ
- อนุกรมเรขาคณิต
- อนุกรมอนันต์
1.4 สัญลกั ษณแ์ สดงการบวก
1.5 การประยุกตข์ องลาดบั และอนุกรม

2. แคลคลู สั เบอื้ งตน้
2.1 ลมิ ติ ของฟงั ก์ชัน
2.2 ความตอ่ เน่ืองของฟังกช์ ัน
2.3 อนพุ นั ธ์ของฟังกช์ นั พีชคณิต
2.4 การหาอนุพนั ธข์ องฟังกช์ ันพีชคณติ โดยใชส้ ตู ร
2.5 อนุพันธ์ของฟังกช์ ันประกอบ
2.6 เสน้ สัมผสั เส้นโค้ง
2.7 อนพุ นั ธอ์ นั ดับสูง
2.8 การประยกุ ตอ์ นุพนั ธ์
2.9 ปฏบิ านุพนั ธแ์ ละปรพิ นั ธ์ไมจ่ ากัดเขต
2.10 ปรพิ นั ธ์จากดั เขต
2.11 พน้ื ท่ที ่ปี ิดล้อมด้วยเส้นโค้ง

รวม

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 4 เร่อื ง ปริพนั ธ์ 3

รายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 5 โครงสรา้ งรายวิชา รหสั วชิ า ค33201
ชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 6 ภาคเรยี นท่ี 1 4 ชวั่ โมง/สัปดาห์
80 ช่วั โมง/ภาคเรยี น
2.0 หน่วยกติ

ลาดับ ช่ือ ผลการเรยี นรู้ สาระการเรยี นรู้แกนกลาง เวลา น้าหนกั
ที่ หนว่ ยการเรยี นรู้ (ชั่วโมง) คะแนน

1 ลาดบั และอนุกรม 1. ระบุไดว้ ่าลาดบั ที่ ลาดับและอนุกรม ลาดบั ได้แก่ 30 45

อนนั ต์ กาหนดใหเ้ ปน็ ลาดบั ล่เู ข้า ความหมายของลาดับ ลาดบั จากัด

หรอื ล่อู อก และลาดับอนันต์ ลาดับ

2. หาผลบวก n พจนแ์ รก เลขคณิต ลาดับเรขาคณิตและ

ของอนกุ รมเลขคณติ และ ลาดบั ฮารม์ อนกิ ลิมิตของลาดบั

อนุกรมเรขาคณิตได้ อนุกรม ไดแ้ ก่ อนกุ รมจากดั และ

3. หาผลบวกของอนุกรม อนกุ รมอนนั ต์ อนกุ รมเลขคณิต

อนนั ต์ได้ และอนุกรมเรขาคณิต อนกุ รม

4. เข้าใจและนาความรู้ อนนั ต์ สญั ลกั ษณแ์ สดงการบวก

เก่ยี วกับลาดับและ และการประยกุ ต์ของลาดับและ

อนุกรมไปใช้ อนุกรม

2 แคลคูลสั เบือ้ งต้น 5. ตรวจสอบความต่อเนอื่ ง แคลคูลสั เบ้อื งต้น ลิมิตของ 50 55

ของฟงั ก์ชนั ท่ีกาหนดให้ ฟงั ก์ชัน ความต่อเนื่องของฟังกช์ ัน

ได้ อนพุ ันธข์ องฟงั กช์ ัน การหา

6. หาอนพุ ันธข์ องฟงั กช์ ัน อนุพันธข์ องฟังกช์ นั โดยใช้สูตร

พีชคณติ ทกี่ าหนดใหแ้ ละ อนพุ ันธ์ของฟงั กช์ ันประกอบ เสน้

นาไปใชแ้ กป้ ัญหาได้ สัมผสั เส้นโคง้ อนพุ นั ธ์อนั ดับสงู

7. หาปรพิ นั ธ์ไมจ่ ากัดเขต และการประยุกต์ของอนุพันธ์

และจากดั เขตของ ได้แก่ การเคลื่อนทีแ่ นวตรง

ฟังก์ชนั พีชคณิตที่ ค่าสูงสดุ และค่าต่าสดุ และโจทย์

กาหนดให้ และนาไปใช้ ปญั หาเกยี่ วกบั ค่าสูงสุดและค่า

แก้ปญั หาได้ ต่าสุด ปฏิยานพุ ันธ์และปรพิ นั ธไ์ ม่

จากัดเขต ปริพันธจ์ ากัดเขต พ้นื ที่

ทีป่ ิดลอ้ มด้วยเส้นโค้ง

รวมตลอดภาคเรียน 80 100

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 4 เรอ่ื ง ปริพนั ธ์ 4

ปรพิ นั ธ์

Mathematics

KANARAS

1. ปฏิยานุพันธ์และปรพิ ันธไ์ มจ่ ากดั เขต

1.1 ปฏยิ านพุ นั ธ์
ในหวั ข้อทผ่ี า่ นมาเราศกึ ษาการหาอนพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชนั ไปแลว้ ต่อไปจะกลา่ วถงึ กระบวนการกลับกัน น่ันคือ
การหาปฏยิ านพุ นั ธ์ของฟังกช์ นั กลา่ วคือ
เมอื่ กาหนดฟงั ก์ชัน f ให้ จะหาฟงั กช์ นั F ซง่ึ F(x)  f (x) และจะเรียกฟังก์ชัน F ว่าปฏิยานุพันธ์
ของฟังก์ชัน f เชน่
F(x)  x3  2x2 เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f (x)  3x2  4x เพราะ F(x)  f (x)
สังเกตว่าปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน f มิได้มีเพียงฟังก์ชันเดียว ฟังก์ชันต่อไปนี้ล้วนเป็นปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน
f (x)  3x2  4x เช่น

F1(x)  x3  2x2 1

F2 (x)  x3  2x2  5

F3(x)  x3  2x2  6

นอกจากนี้ ถา้ ให้ F(x)  x3  2x2  c เมอ่ื c เป็นคา่ คงตัวใด ๆ จะวา่ F(x)  f (x)
ถ้า f และ F เป็นฟังกช์ นั สองฟังก์ชันซึ่ง F  f จะได้ว่า f เป็นอนุพันธ์ของ F ในทางกลับกัน จะ
เรยี กฟงั กช์ นั F ว่าเป็นปฏยิ านุพันธ์ของฟังกช์ ัน f ดงั บทนิยามต่อไปนี้

บทนิยาม
ให้ f เป็นฟังก์ชนั ถ้า F เป็นฟังก์ชนั ซง่ึ F(x)  f (x) สาหรับทุก x ท่ีอยู่ในโดเมนของ f

แลว้ จะเรียกฟังกช์ ัน F ว่าเป็น ปฏิยานพุ ันธ์ (antiderivative) หนง่ึ ของฟงั กช์ นั f

จากตวั อยา่ งขา้ งต้น จะเหน็ วา่
1. ฟงั ก์ชนั ใด ๆ ทอ่ี ยูใ่ นรูป F(x)  x3  2x2  c เมอื่ c เป็นค่าคงตัวใด ๆ ต่างก็เป็นปฏิยานุพันธ์

ของฟงั ก์ชัน f (x)  3x2  4x
2. ปฏยิ านพุ ันธข์ องฟงั กช์ นั f ถงึ แม้จะมไี ดม้ ากมายหลายฟงั กช์ ัน แตฟ่ งั ก์ชันเหล่านี้จะต่างกันเพียง

พจนค์ งตัวเทา่ นน้ั

41

ตัวอย่างท่ี 1 จงแสดงว่า F(x)  6x3  3x  4 เป็นปฏยิ านพุ นั ธ์หน่งึ ของฟงั ก์ชัน f (x)  8x3  3

4

วิธที า จาก F(x)  6x3  3x  4

1

จะได้ F(x)  8x3  3
นน่ั คอื F(x)  f (x)

41

ดงั นั้น F(x)  6x3  3x  4 เป็นปฏยิ านพุ นั ธ์หน่ึงของฟงั กช์ นั f (x)  8x3  3

ตัวอย่างท่ี 2 กาหนดให้ f (x)  4x3  2x จงหาปฏยิ านพุ นั ธ์ของ f

วิธีทา ถา้ ให้ F(x)  x4  x จะได้ F(x)  4x3 1 ซงึ่ ไม่เทา่ กับฟงั กช์ ัน f

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 4 เรื่อง ปริพันธ์ 5

ถ้าให้ F(x)  x4  x2 จะได้ F(x)  4x3  2x ซ่ึงคือฟงั ก์ชนั f
ถา้ ให้ F(x)  x4  x2 1 จะได้ F(x)  4x3  2x ซง่ึ คือฟงั กช์ นั f
ดงั นั้น ปฏิยานพุ ันธ์ของฟังกช์ ัน f (x)  4x3  2x คือฟังก์ชนั ทอี่ ยใู่ นรูป F(x)  x4  x2  c
เม่อื c เปน็ ค่าคงตัวใด ๆ

1.2 ปริพันธ์ไม่จากดั เขต
จากตวั อยา่ งท่ี 2 จะเห็นวา่ ปฏยิ านุพันธข์ องฟงั ก์ชนั f มไี ดห้ ลายฟังก์ชันและจะต่างกันที่ค่าคงตัวเท่าน้ัน
เน่อื งจากการหาปฏิยานพุ ันธข์ องฟังก์ชนั f คอื การหาฟังก์ชนั F ซง่ึ F(x)  f (x) สาหรับทุก x Df ดังน้ัน

รปู ทวั่ ไปของปฏิยานพุ ันธข์ องฟงั กช์ นั f คือฟงั กช์ ัน F(x)  c เมอื่ c เปน็ ค่าคงตวั ใด ๆ

จะเขียนรูปท่ัวไปของปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน f ด้วยสัญลักษณ์  f (x)dx ซ่ึงเรียกว่าปริพันธ์ไม่จากัด

เขต (Indefinite integral) ของฟังก์ชัน f เทียบกับตัวแปร x หรือเรียกสั้น ๆ ว่าปริพันธ์ของฟังก์ชัน f
เทยี บกับตัวแปร x

ดังนั้น ถา้ F(x)  f (x)

แลว้  f (x)dx  F(x)  c เม่ือ c เปน็ คา่ คงตัวใด ๆ

กล่าวคอื ปริพันธ์ไมจ่ ากดั เขตของ f คอื รปู ทั่วไปของปฏิยานุพันธข์ องฟงั ก์ชัน f นั่นเอง

เรียกการหา  f (x)dx วา่ “การหาปรพิ นั ธ์ (Integration)”

เรยี กเครื่องหมาย “  ” เรียกวา่ เครื่องหมาย “เครอ่ื งหมายปรพิ นั ธ์ (Integral sign)”
และเรียก f (x) ว่า “ปรพิ ัทธ์ (Integrand)” หรือตัวถกู อินทเิ กรต

โดยสัญลักษณ์ dx คอื การบอกวา่ หาปริพนั ธ์นีเ้ ทยี บกบั ตัวแปร x

เครือ่ งหมายปรพิ นั ธ์

 f (x)dx  F(x)  c

ปริพทั ธ์ ปฏิยานพุ นั ธ์

สูตรต่อไปน้ีเป็นสูตรเกี่ยวกับการหาปริพันธ์ไม่จากัดเขตของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน ซึ่งจะไม่แสดงการพิสูจน์
สตู รดงั กล่าว แต่จะยกตวั อย่างแสดงการนาสูตรดงั กล่าวไปใช้

สูตรที่ 1 ถา้ k เปน็ คา่ คงตัว แลว้  kdx  kx  c เม่ือ c เปน็ ค่าคงตวั

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหา  7dx เม่ือ c เป็นค่าคงตวั
วธิ ีทา  7dx  7x  c

สตู รท่ี 2 ถ้า n เป็นจานวนจริงและ n  1 แล้ว  xndx  xn1  c เม่ือ c เป็นค่าคงตวั
n 1

ตวั อย่างที่ 4 จงหา  x2dx เม่อื c เปน็ ค่าคงตวั
วิธที า  x2dx  x21  c  x3  c

21 3

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 4 เรอื่ ง ปรพิ นั ธ์ 6

ตัวอยา่ งท่ี 5 จงหา  1 dx
วธิ ที า x4

เนื่องจาก 1  x4

x4

จะได้ 1 dx  x41  c  x3  c   1  c เมอ่ื c เป็นค่าคงตวั
x4 4 1 3 3x3

สตู รท่ี 3 ถ้า k เปน็ ค่าคงตัว แลว้  kf (x)dx  k f (x)dx

ตัวอย่างท่ี 6 จงหา  3x2dx
วิธีทา
=3 x2dx  x21  x3 เม่อื c1 เปน็ ค่าคงตวั
 3x2dx  3 2 1  c1    3c1 เมอ่ื c  3c1



= x3  c

สตู รที่ 4  f (x)  g(x)dx   f (x)dx   g(x)dx

ตัวอย่างท่ี 7 จงหา  (3x2  2x)dx
วิธีทา  (3x2  2x)dx =  3x2dx   2xdx  3 x2dx  2 xdx

=  x3   x2  c2  เมื่อ c1 และ c2 เป็นคา่ คงตวั
3 3  c1   2 2  เมือ่ c  c1  2c2
 
 

= x3  x2  c

สตู รที่ 5  f (x)  g(x)dx   f (x)dx   g(x)dx

หมายเหตุ โดยทั่วไป ในการหาปริพันธ์ไม่จากัดเขตของผลบวกหรือผลต่างของฟังก์ชัน แทนที่จะบวกค่าคงตัว
เม่ือหาปริพันธ์ไม่จากัดเขตของแต่ละฟังก์ชัน เพ่ือความสะดวกจะบวกค่าคงตัวเพียงตัวเดียวเท่านั้น
ดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี

ตัวอยา่ งที่ 8 จงหา  (2x  1
x2 )dx

วธิ ีทา  (2x  1 )dx =  2xdx   1 dx
x2 x2

= 2 xdx   x2dx

=  x2    x1   c เมื่อ c เปน็ คา่ คงตวั
2 2   1 
  


= x2  1  c

x

จากสูตรท่ี 3 สูตรที่ 4 และสูตรที่ 5 จะได้ว่า ตัวถูกอินทิเกรตอาจจะอยู่ในรูปการบวกหรือลบของพจน์ที่มากกว่า
สองพจน์ได้ กลา่ วคอื

ถ้า k1, k2, k3, ..., kn เปน็ ค่าคงตัว แลว้

   k1 f1(x)  k2 f2 (x)  ...  kn fn (x)dx  k1 f1(x)dx  k2 f2 (x)dx ...  kn fn (x)dx

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 4 เร่ือง ปริพันธ์ 7

ตวั อยา่ งที่ 9 จงหา  (7x6  3x2  2x  9)dx

วธิ ที า  (7x6  3x2  2x  9)dx = 7 x6dx  3 x2dx  2 xdx   9dx

= x7  x3  x2  9x  c เมื่อ c เป็นคา่ คงตวั

การหาปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน f เมื่อกาหนด dy  f (x) มาให้ เราสามารถใช้ความรู้เรื่องการหา

dx

ปริพันธเ์ ขา้ ชว่ ย ทาใหก้ ารหาปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันดงั กลา่ วสะดวกขึ้น ดังน้ี

จาก dy  f (x)

dx

ดงั นน้ั  dy dx   f (x)dx
dx

หรือ y   f (x)dx

ตัวอย่างท่ี 10 ถ้า dy  5x4  3x2  4 จงหา y
วธิ ีทา
dx
ตัวอย่างท่ี 11
วธิ ีทา จาก dy  5x4  3x2  4

dx

ดังนั้น y = (5x4  3x2  4)dx   x5    x3   4x  c
5 5  3 3 
 
 

= x5  x3  4x  c เมอื่ c เป็นค่าคงตวั

ถ้า f (x)  x3  4x2  x  6 จงหา f (x) ท่ีทาให้ f (0)  3

เนอื่ งจาก f (x)  x3  4x2  x  6

ดังน้ัน f (x) = (x3  4x2  x  6)dx  x4   x3   x2  6x c
4 4 3  2



= x4  4x3  x2  6x  c เม่ือ c เป็นคา่ คงตวั

432

และ f (0)  3 จะได้ f (0)  04  4(0)3  02  6(0)  c นน่ั คอื c  3

432

ดังน้ัน f (x) = x4  4x3  x2  6x  3

432

แบบฝกึ หดั
ปรพิ นั ธไ์ มจ่ ากดั เขต

1. จงแสดงวา่ F(x)  x2 1 เป็นปฏิยานุพันธ์หนงึ่ ของฟังก์ชนั f (x)  x

x2 1

1

วิธที า จาก F(x)  x2 1  (x2 1)2

จะได้ F ( x)  1 (x2 1 (2 x)  (x2 1 (x)  x
น่ันคอื x2 1
2 1) 2 1) 2

F(x)  f (x)

ดังนน้ั F(x)  x2 1 เป็นปฏิยานพุ นั ธ์หนึ่งของฟังกช์ ัน f (x)  x
x2 1

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 4 เร่อื ง ปริพันธ์ 8

2. จงหาปรพิ นั ธไ์ ม่จากดั เขตในขอ้ ต่อไปน้ี 2) (2x3  3x2  6  2x2)dx
 2 x3dx  3 x2dx   6dx  2 x2dx
1)  (x4  3x2  5x)dx

  x4dx  3 x2dx  5 xdx

 x5  x3  5x2  c  x4  x3  6x  2  c
52 2x

3)  x10  1  dx 4)  1  2  dx
 x3  x2 x4 


  x10dx  x3dx   x2dx  2 x4dx

 x11  1 c   1  2  c
11 2x2 x 3x3

5)  xdx 6)  3 2
 x2  x3  dx


1 32

  x2dx   x2dx   x3dx

3 55

 2x2  c  2x2  3x3  c
3 55

7)   1  1  dx 8)  x2(x  3)dx
 x2 2x 

x2dx  1 1   x3dx  3 x2dx
  2
x 2 dx

1 xc  x4  x3  c
x 4

9)  x(x 1)dx 10)   x2  dx
 x3 

31   x2dx  2 x3dx

  x2dx   x2dx   1  1  c
x x2
53
12)  (6 x 15)dx
 2x2  2x2  c
53 1

11)  (x2  5x 1)dx  6 x2dx  15dx
  x2dx  5 xdx  1dx
3
 x3  5x2  x  c
32  4x2 15x  c

13)  (x3  5x2  6)dx 14)   6 8 x  dx
 x 

  x3dx  5 x2dx   6dx 1 1

 x4  5x3  6x  c  6 x 2dx  8 x2dx
43
3

 12 x  16x2  c
3

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 4 เร่ือง ปริพันธ์ 9

3. ถา้ f (x)  x และ f (2)  2 แล้ว จงหา f (x)
วธิ ที า จาก f (x)  x

จะได้ f (x)   xdx  x2  c เมือ่ c เปน็ ค่าคงตัว
2

และ f (2)  2 จะได้ f (2)  22  c
นน่ั คอื 2

c0

ดังนน้ั f (x)  x2

2

4. กาหนดให้ f (x)  2 สาหรับทุก x และ f มีคา่ สูงสดุ สมั พัทธ์เป็น 2 เม่ือ x 1 จงหา f (x)

วิธีทา จาก f (x)  2

จะได้ f (x)   2dx  2x  c1 เมอ่ื c1 เป็นค่าคงตัว

เนื่องจาก f มีคา่ สงู สุดสมั พัทธ์ เม่อื x 1 จะได้ 1 เปน็ ค่าวิกฤตของ f

น่นั คือ f (1)  0 และไดว้ า่ f (1)  2(1)  c1  0

ฉะนัน้ c1  2 ดงั นน้ั f (x)  2x  2

และจะได้ f (x)  (2x  2)dx  x2  2x  c2

เนอ่ื งจาก f มคี ่าสงู สดุ สมั พทั ธเ์ ป็น 2 เมือ่ x 1 จะได้ f (1)  2

ฉะนั้น f (1)  12  2(1)  c2  2
นน่ั คอื c2  1
ดงั นน้ั
f (x)  x2  2x 1

2. ปรพิ ันธจ์ ากดั เขต

บทนิยามของอนุพันธ์ที่นักเรียนได้ศึกษาไปแล้วน้ัน มีแนวคิดมาจากการหาอัตราการเปลี่ยนแปลง
ขณะหน่ึง ส่วนบาทนิยามของปริพันธ์จากัดเขตท่ีกาลังจะศึกษาต่อไปน้ี มีแนวคิดมาจากการหาพื้นที่ ดังนั้นเพ่ือให้
งา่ ยตอ่ การทาความเข้าใจเรือ่ งปริพนั ธ์จากดั เขต จะเร่มิ ต้นด้วยตัวอย่างเกย่ี วกับการหาพนื้ ท่ี ดงั นี้

พจิ ารณาพ้ืนทบ่ี ริเวณซ่ึงปดิ ล้อมด้วยเส้นโคง้ y  x2 แกน X และเส้นตรง x 1 จะได้วา่ บรเิ วณท่ี
ต้องการหาพ้ืนท่ีคือบริเวณทแี่ รเงา ดงั รูป

Y

y = x2

1

0 1X

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 4 เร่อื ง ปรพิ นั ธ์ 10
จากกระบวนการท่ีใชใ้ นการหาพนื้ ทดี่ ังตัวอยา่ งขา้ งต้น สามารถสรปุ เป็นขน้ั ตอนได้ดังน้ี

ให้ f เป็นฟังกช์ ันต่อเน่อื งบนชว่ งปิด [a,b]
ขั้นที่ 1 แบ่งช่วงปิด [a,b] ออกเป็น n ช่วงย่อยท่ีมีความกว้างเท่ากัน จะได้ว่าแต่ละช่วงย่อยกว้าง

x ba และให้จดุ ปลายของแตล่ ะชว่ งย่อยอย่ทู ี่ a  x0  x1  x2  ...  xn  b
n

ขั้นท่ี 2 เลือกคา่ xi* ในแตล่ ะชว่ งปดิ [xi1, xi ] เม่อื i {1, 2,3,..., n} และหา Sn n f (xi*) x


i 1

ขั้นที่ 3 หาลมิ ติ lim Sn

x

ถ้า lim Sn มีค่า จะเรียก lim Sn ว่า ปริพันธ์จากัดเขต (Definite integral) ของฟังก์ชัน f

x x

b

บนช่วงปิด [a,b] และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  f (x)dx เรียก a ว่า ลิมิตล่าง (Lower limit) ของ

a

ปรพิ นั ธ์ และเรียก b ว่า ลมิ ติ บน (Upper limit) ของปริพนั ธ์
เขียนสรปุ ในรปู สัญลักษณไ์ ดด้ ังน้ี

bn
 a
f (x)dx  lim f (xi*) x
x
i 1

ดังนั้น ถ้า f เป็นฟังกช์ ันต่อเน่ืองบนช่วงปดิ [a,b] และ f (x)  0 สาหรับทุก x[a,b] แลว้

b

 f (x)dx จะเปน็ พื้นที่ท่ปี ิดล้อมด้วยเส้นโคง้ y  f (x) กบั แกน X จาก a ถึง b

a

จะเหน็ ว่าการหาปรพิ ันธจ์ ากัดเขตโดยใชข้ ั้นตอนขา้ งต้นมีความยุง่ ยาก โดยเฉพาะอย่างยง่ิ ถ้าฟังก์ชัน f มี
ความซบั ซ้อนมาก การหา Sn จะทาไดย้ ากข้ึน

ต่อไปจะแสดงการใช้ความรู้เร่ืองปฏิยานุพันธ์ในการหาค่าของปริพันธ์จากัดเขตโดยไม่ต้องหาลิมิตของ
ลาดับ Sn ซึ่งจะช่วยให้การคานวณหาพ้ืนท่ีของบริเวณที่กาหนดสามารถทาได้สะดวกรวดเร็วมากข้ึน สรุปเป็น

ทฤษฎีบทได้ดงั น้ี

ทฤษฎีบทหลกั มลู ของแคลคลู ัส (Fundamental Theorem of Calculus)
กาหนด f เปน็ ฟังก์ชนั ตอ่ เน่ืองบนช่วง ถ้า F เป็นปฏิยานุพนั ธ์ของฟงั ก์ชัน f แล้ว

b

 f (x)dx  F(b)  F(a)

a

จากทฤษฎบี ทหลักมูลของแคลคลู ัส เราจะเขยี นแทน F(b)  F(a) ด้วยสญั ลักษณ์ F(x) b
a

จะไดว้ ่า ถ้า แล้ว b

F(x)  f (x)  f (x)dx  F(x) b  F(b)  F(a)
a

a

b

การหาปริพันธจ์ ากัดเขต  f (x)dx โดยใชท้ ฤษฎบี ทหลักมลู ของแคลคูลัส ทาได้ดังนี้

a

1) หาปฏยิ านุพันธ์ F ของฟงั กช์ นั f นั่นคอื หา  f (x)dx

b

2) หา F(b)  F(a) ซง่ึ จะเปน็ คา่ ของปรพิ นั ธ์จากดั เขต  f (x)dx

a

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 4 เรอื่ ง ปริพันธ์ 11

ตัวอยา่ งที่ 1 1
วธิ ที า
จงหาคา่  x2dx

0

สังเกตวา่ f (x)  x2 เป็นฟังกช์ ันต่อเน่ืองบนชว่ ง 0,1

และเน่อื งจากปฏยิ านุพันธข์ อง f (x)  x2 คอื F(x) = x3  c เมอ่ื c เป็นค่าคงตวั

3

จะได้ 1 x2dx =  x3 1  1  c   0  c
 3  3 
0  
c

0

=1

3

คาตอบท่ีได้จากตัวอย่างที่ 1 คือพ้ืนท่ีท่ีปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y  f (x)  x2 กับแกน X จาก 0 ถึง 1

เนือ่ งจาก x2  0 สาหรับทกุ x[0,1]

ในการหาปริพันธ์จากัดเขตของฟังก์ชัน f โดยใช้ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสน้ันจะต้องแทน x ใน
F(x) ดว้ ย a และ b เพ่อื หา F(b)  F(a) ซง่ึ จะทาให้คา่ คงตัว c ลบกนั หมดไป

2

ตัวอยา่ งที่ 2 จงหาค่า  (4  x2)dx

0

วธิ ีทา เนอื่ งจาก  (4  x2 )dx = 4x  x3 c เมอ่ื c เป็นคา่ คงตวั
3

ดงั น้ัน 2 (4  x2 )dx =  4x  x3  2    23   0  0
 3  0  4(2) 3 
0    

= 8  8  16

33

คาตอบท่ีได้จากตัวอย่างที่ 2 คือพ้ืนท่ีที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y  4  x2 กับแกน X จาก 0 ถึง 2

เนือ่ งจาก 4  x2  0 สาหรบั ทกุ x[0,2]

ตัวอย่างท่ี 3 จงหาคา่ 1 1 dx
วธิ ที า x3


2

เนอื่ งจาก  1 dx =  x3dx  x2  c   1 c เมือ่ c เป็นคา่ คงตวั
x3 2 2x2

ดังนนั้ 1 1 dx =   1  1    1     1 
x3  2x2  2  2(1)2   2(2)2 
2    

=3

8

เนื่องจาก 1 0 สาหรับทุก x [2, 1] ดังน้ัน ค่าของ 1 1 จึงไม่ใช่พ้ืนท่ีท่ีปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง
x3
2 x3 dx

y  1 กับแกน X จาก 2 ถึง 1
x3

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 4 เรือ่ ง ปรพิ ันธ์ 12

ตวั อยา่ งท่ี 4 2
วิธีทา
จงหาคา่  x3dx
1

เน่อื งจาก  x3dx =  x3dx  x4 c เมื่อ c เปน็ คา่ คงตวั
4

ดงั นั้น 2 x3dx =  x4  2   24    (1)4 
 4  1  4   4 
1      

= 15

4

2

เนื่องจาก x3  0 สาหรับทุก x[1,0] ดังนั้น ค่าของ  x3dx จึงไม่ใช่พื้นท่ีท่ีปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง
1

y  x3 กบั แกน X จาก 1 ถงึ 2

แบบฝึกหัด
ปริพันธ์จากัดเขต

จงหาปรพิ นั ธ์จากดั เขตต่อไปนี้ โดยใชท้ ฤษฎีบทหลกั มูลของแคลคลู สั

4 4

1)  (x3  3)dx 2)  (x2  2x  3)dx

3 1

  x4   4   x3  x2  3x 4
 4 3x  3  3
  
 
1

  44  3(4)    34  3(3)    43  42     13  12  
 4   4   3 3(4)   3(1) 
     3
 

 187  3
4
4) 1 1 dx
1 3 x2

3)  (4x3  2x)dx  1  1  1  1 
1  x   1   3 
  x4  x2 1      
1
    14 12  (1)4  (1)2 3

0 2
3

5)4  x2  3  dx 1
2  x3 
6)  (x4  x2 1)dx
1

  x3  3  4    x5  x3  1
 3 2x2  2  5 3
   
x

 1

  43  3    23  3     15  13 1    (1)5  (1)3  (1) 
 3 2(4)2   3 2(2)2   5 3  5 3 
      

 1819   26
96 15

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 4 เร่ือง ปริพนั ธ์ 13

1 1

7)  x(x2 1)dx 8) x2 (x2 1)2 dx

0 0

  x4  x2 1  x7  2x5  x3 1
 4 2  7 5 3
  
  
0 0

  14  12   04  0 x2    17  2(1)5  13  07  2(0)5  03 
 2   4 2   7 5 3  7 5 3 
 4     


3  92
4 105

9)4  2x  x3  dx 2
1  3 
  10)  x(x2 1)2 dx

0

  x2  x4  4   x6  x4  x2  2
 12  1  6 2 2  0
   

  42  44   12  14    26  24  22    06  04  02 
 12   12   6 2 2   6 2 2 
     

  25  62
4 3

3. พน้ื ท่ีทีป่ ิดล้อมด้วยเส้นโคง้

ในหวั ขอ้ ที่ผ่านมาไดก้ ลา่ วถึงปริพันธ์จากัดเขตโดยพิจารณาจากตัวอย่างการคานวณหาพื้นท่ีที่ปิดล้อมด้วย
เส้นโค้ง y  f (x) จาก a ถึง b เม่ือ f (x)  0 สาหรับทุก x[a,b] และพบว่าพ้ืนท่ีดังกล่าวสามารถเขียน

b

ไดใ้ นรูปปรพิ นั ธ์จากดั เขต  f (x)dx ซ่ึงสามารถคานวณคา่ ได้งา่ ย โดยใชท้ ฤษฎีบทหลกั มูลของแคลคูลสั

a

ในหัวข้อน้ีจะศึกษาวิธีการหาพื้นท่ีที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y  f (x) กับแกน X โดยพิจารณาบนช่วงที่
f (x)  0 และบนช่วงที่ f (x)  0 ดงั ทฤษฎีบทตอ่ ไปนี้

ทฤษฎีบท ให้ f เปน็ ฟงั ก์ชันต่อเนื่องบนชว่ ง [a,b] และ A เปน็ พื้นท่ีที่ปดิ ล้อมดว้ ยเส้นโค้ง
y  f (x) กับแกน X จาก a ถงึ b

b

1. ถ้า f (x)  0 สาหรับทุก x[a,b] แลว้ A =  f (x)dx

a

b

2. ถ้า f (x)  0 สาหรบั ทกุ x [a,b] แลว้ A =  f (x)dx

a

รูปต่อไปน้เี ป็นตัวอยา่ งของพืน้ ที่ท่ีปิดล้อมด้วยเสน้ โคง้ ของ y  f (x) กบั แกน X จาก a ถงึ b

a 0b

A A
a 0b
รูป ข
รปู ก ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 4 เรื่อง ปรพิ ันธ์ 14

รูป ก แสดงพนื้ ทีท่ ปี่ ดิ ลอ้ มดว้ ยเสน้ โค้งของ y  f (x) กบั แกน X จาก a ถึง b เม่ือ f (x)  0 สาหรับ

b

ทกุ x[a,b] จะไดว้ ่า พืน้ ทีแ่ รเงา เทา่ กับ  f (x)dx

a

รปู ข แสดงพนื้ ทที่ ป่ี ิดล้อมดว้ ยเสน้ โคง้ ของ y  f (x) กับแกน X จาก a ถึง b เม่ือ f (x)  0 สาหรับ

b

ทุก x[a,b] จะได้วา่ พ้นื ทแ่ี รเงา เท่ากบั  f (x)dx

a

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาพืน้ ท่ที ป่ี ดิ ลอ้ มด้วยเสน้ โค้ง y  1 x2 กับแกน X จาก 1 ถงึ 2

2

วิธีทา กราฟของ y  1 x2 เป็นรูปพาราโบลาหงาย และ f (x)  0 สาหรับทกุ x[1,2] ดงั รูป

2

A

ให้ A แทน พนื้ ทีท่ ่ปี ิดล้อมดว้ ยเส้นโคง้ y  1 x2 กบั แกน X จาก 1 ถึง 2

2

เน่ืองจาก f (x)  0 สาหรับทุก x[1,2]

จะได้ A = 2 1 x2dx   x3  2   23    (1)3   9  3
1 2  6  1  6   6  6 2
     

ดังน้ัน พนื้ ทีท่ ีป่ ดิ ล้อมด้วยเสน้ โคง้ y  1 x2 กับแกน X จาก 1 ถึง 2

2

เทา่ กับ 3 ตารางหน่วย

ตวั อย่างที่ 2 จงหาพืน้ ท่ที ีป่ ิดล้อมด้วยเส้นโคง้ f (x)  x2  25 กับแกน X จาก 2 ถึง 4
วิธีทา กราฟของ f (x)  x2  25 เป็นรปู พาราโบลาหงาย และ f (x)  0 สาหรบั ทกุ x[1,2]
ดงั รูป

A

ให้ A แทน พน้ื ที่ที่ปดิ ล้อมด้วยเส้นโค้ง f (x)  x2  25 กบั แกน X จาก 2 ถึง 4

เนื่องจาก f (x)  0 สาหรบั ทกุ x[1,2] จะได้

A= 2 (x2  25)dx    x3  25x  2    23  25(2)   (1)3  25(1)   72
 3  1  3   3 
     

1

ดงั นัน้ พ้นื ทีท่ ปี่ ดิ ลอ้ มด้วยเส้นโค้ง f (x)  x2  25 กับแกน X จาก 2 ถงึ 4

เทา่ กบั 72 ตารางหนว่ ย

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 4 เรอ่ื ง ปริพนั ธ์ 15

ตวั อย่างท่ี 3 กาหนดพ้นื ทีท่ ป่ี ดิ ลอ้ มดว้ ยเส้นโค้ง y  f (x) ดังรูป ถ้า F(x)  f (x) และ F(0) 10 แล้ว
จงหา F(2) และ F(5)

วิธที า เน่อื งจาก 2

 f (x)dx  F(2)  F(0)

0

ดงั นน้ั 15  F(2) 10

นั่นคือ F(2)  24

เนือ่ งจาก 5

ดังนัน้  f (x)dx  F(5)  F(2)
นัน่ คือ
2

20  F(5)  24

F(5)  4

แบบฝึกหดั
พ้ืนทท่ี ีป่ ิดลอ้ มด้วยเส้นโคง้

1. จงหาพื้นที่ที่ปิดลอ้ มด้วยเสน้ โค้ง f กบั แกน X จาก x  a ถงึ x  b

1) f (x)  x2; a  3, b  0

วธิ ที า กราฟของ f (x)  x2 เปน็ รปู พาราโบลาหงาย และ f (x)  0 สาหรับทุก x[3,0]

ให้ A แทน พ้ืนทีท่ ่ีปิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ f (x)  x2 จาก x  3 ถงึ x  0

เนอ่ื งจาก f (x)  0 สาหรบั ทุก x[3,0] จะได้

A  0 x2dx  x3 0  0  (9)  9
33 3

ดังน้ัน พนื้ ทท่ี ป่ี ดิ ลอ้ มดว้ ยเส้นโคง้ f (x)  x2 จาก x  3 ถงึ x  0

เท่ากับ 9 ตารางหนว่ ย
2) f (x)  x 1; a  1, b 1

วธิ ีทา กราฟของ f (x)  x 1 เป็นเส้นตรง และ f (x)  0 สาหรบั ทุก x[1,1]

ให้ A แทน พื้นที่ท่ปี ดิ ล้อมด้วยเส้นโค้ง f (x)  x 1 จาก x  1 ถงึ x 1

เนอ่ื งจาก f (x)  0 สาหรับทุก x[1,1] จะได้

A1 1)dx   x2  1  3  ( 1)  2
 2 2 2
(x  
x
1
 1

ดังนนั้ พน้ื ที่ทปี่ ดิ ล้อมดว้ ยเส้นโคง้ f (x)  x 1 จาก x  1 ถงึ x 1

เท่ากับ 2 ตารางหนว่ ย

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 4 เร่อื ง ปรพิ ันธ์ 16

3) f (x)  6  x  x2; a  1, b 1
วธิ ีทา กราฟของ f (x)  6  x  x2 เป็นรูปพาราโบลาควา่ และ f (x)  0 สาหรับทุก x[1,1]

ให้ A แทน พ้ืนทท่ี ปี่ ดิ ลอ้ มดว้ ยเส้นโค้ง f (x)  6  x  x2 จาก x  1 ถึง x 1
เน่ืองจาก f (x)  0 สาหรบั ทกุ x[1,1] จะได้

A1  x  x2 )dx    x2  x3 1  37  ( 31)  34
6x 2 3 6 6 3
(6  

1  1

ดงั น้ัน พ้นื ที่ท่ีปดิ ล้อมดว้ ยเส้นโคง้ f (x)  6  x  x2 จาก x  1 ถึง x 1

เท่ากบั 34 ตารางหน่วย

3

4) f (x)  9  x2; a  3, b  3

วธิ ีทา กราฟของ f (x)  9  x2 เป็นรปู พาราโบลาควา่ และ f (x)  0 สาหรับทกุ x[3,3]

ให้ A แทน พน้ื ท่ที ป่ี ิดลอ้ มดว้ ยเส้นโค้ง f (x)  9  x2 จาก x  1 ถงึ x 1

เน่อื งจาก f (x)  0 สาหรับทกุ x[3,3] จะได้

A 3  x2 )dx    x3  3  18  (18)  36
9x 3  3
(9  

3

ดังนัน้ พ้ืนที่ทีป่ ิดล้อมด้วยเสน้ โคง้ f (x)  9  x2 จาก x  1 ถงึ x 1

เท่ากบั 36 ตารางหนว่ ย

5) f (x)  x2  25;a  1, b  3

วิธีทา กราฟของ f (x)  x2  25 เป็นรปู พาราโบลาหงาย และ f (x)  0 สาหรับทกุ x[1,3]

ให้ A แทน พ้ืนที่ทป่ี ดิ ลอ้ มดว้ ยเส้นโคง้ f (x)  x2  25 จาก x  1 ถงึ x  3

เนื่องจาก f (x)  0 สาหรบั ทกุ x[1,3] จะได้

A 3  25)dx    x3   3    66  74   272
 3 25x  1  3  3
 (x2 

1

ดงั นน้ั พ้นื ท่ีที่ปดิ ลอ้ มด้วยเสน้ โค้ง f (x)  x2  25 จาก x  1 ถึง x  3

เทา่ กับ 272 ตารางหนว่ ย

3

6) f (x)  3x2  2x 1; a 1, b  3
วิธีทา กราฟของ f (x)  3x2  2x 1 เป็นรูปพาราโบลาคว่า และ f (x)  0 สาหรับทกุ x[1,3]

ให้ A แทน พน้ื ท่ีท่ีปดิ ลอ้ มด้วยเสน้ โค้ง f (x)  3x2  2x 1 จาก x 1 ถึง x  3
เนือ่ งจาก f (x)  0 สาหรบั ทุก x[1,3] จะได้

  3 3

A  (3x2  2x 1)dx  x3  x2  x  (27  9  3)  (111)  16

1
1

ดงั น้ัน พนื้ ท่ที ่ีปิดลอ้ มด้วยเสน้ โค้ง f (x)  3x2  2x 1 จาก x 1 ถงึ x  3
เทา่ กับ 16 ตารางหน่วย

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 4 เร่ือง ปรพิ ันธ์ 17

2. กาหนดพน้ื ทีท่ ีป่ ดิ ลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ y  f (x) ดังรปู ถ้า F(x)  f (x) และ F(0) 10 แลว้
จงหา F(1) และ F(3)

1

วิธีทา เนื่องจาก  f (x)dx  F(1)  F(0)

0

ดงั นั้น 4  F(1) 10

นั่นคือ F(1)  6

เนื่องจาก 3

 f (x)dx  F(3)  F(1)

1

ดงั นั้น 12  F(3)  6

นัน่ คอื F(3) 18

3. กาหนดพื้นที่ท่ปี ิดล้อมดว้ ยเส้นโคง้ y  F(x) ดงั รปู ถ้า F(0)  3 แล้ว จงหา F(2), F(5) และ F(6)

2

วิธีทา เนอ่ื งจาก  f (x)dx  F(2)  F(0)

0

ดังนนั้ 5  F(2)  3

นั่นคือ F(2)  8

เน่ืองจาก 5

ดงั น้นั  f (x)dx  F(5)  F(2)
นนั่ คอื
2

16  F(5)  8

F(5)  8

เนอ่ื งจาก 6

ดงั น้นั  f (x)dx  F(6)  F(5)
นนั่ คอื
5

10  F(6)  (8)

F(6)  2

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 4 เรือ่ ง ปริพนั ธ์ 18
4. กาหนดกราฟของฟงั กช์ นั f ดงั รปู

ถ้า F(x)  f (x) และ F(0)  0 แลว้ จงหา F(b) เมอื่ b{1, 2,3, 4,5}

วธิ ที า เนอ่ื งจาก 1 ดงั นน้ั   1 1 2   F (1)  0
 2 
 f (x)dx  F(1)  F(0)

0

น่ันคือ F(1)  1

เนอ่ื งจาก 2 ดงั นั้น   1  (2  1) 1  F(2)  (1)
นนั่ คอื  2
 f (x)dx  F(2)  F(1)

1

F (2)   5
2

เนื่องจาก 3 ดังนนั้   1 11  F (3)  ( 5)
น่ันคือ  2 2
 f (x)dx  F(3)  F(2)

2

F(3)  3

เนื่องจาก 4 ดังน้ัน 1 11  F(4)  (3)

 f (x)dx  F(4)  F(3) 2

3

นั่นคอื F(4)   5

2

เนอ่ื งจาก 5 ดังนั้น 1 11  F(5)  ( 5)
นัน่ คอื
 f (x)dx  F(5)  F(4) 22

4

F(5)  2

4. การประยกุ ต์ปริพนั ธ์

ในการนาปริพันธ์ไม่จากัดเขตไปประยุกต์ใช้นั้น ส่วนใหญ่แล้วจะนาไปใช้หาฟังก์ชันหรือผลลัพธ์ต่าง ๆ ที่ได้
จากฟังก์ชันเม่ือทราบอนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าว ดังนั้นในการนาไปประยุกต์ใช้ เราจะต้องทราบว่าสิ่งท่ีโจทย์
กาหนดให้มาเก่ียวข้องกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างไร ข้อความใดบ่งบอกถึงลักษณะของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน และ
จากที่ได้ศกึ ษาเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟงั กช์ ันมาแลว้ จึงสามารถสรปุ ขอ้ ความที่บ่งบอกวา่ เป็นอนุพันธ์ของฟังกช์ นั ดงั นี้

ขอ้ ความที่บง่ บอกวา่ เปน็ อนุพนั ธ์อันดับท่ีหนงึ่ มดี งั นี้
1. อตั ราการเปลย่ี นแปลงของ f เทียบกบั x ขณะที่ x มีค่าใด ๆ เท่ากบั f (x)

2. ความชันของเส้นสมั ผัสเสน้ โค้งของ f ท่จี ุด P(a, f (a)) ใด ๆ เท่ากับ f (a)

3. ความชนั ของเสน้ โคง้ ของ f ทจี่ ดุ P(a, f (a)) ใด ๆ เท่ากบั f (a)

4. ความเร็วของวตั ถุ ขณะเวลา t ใด ๆ เทา่ กบั v(t)  s(t)

ขอ้ ความทีบ่ ่งบอกว่าเปน็ อนพุ ันธ์อนั ดบั ท่สี อง มดี งั นี้
1. อัตราการเปลี่ยนแปลงของความชันของเสน้ สัมผัสเสน้ โค้ง ณ จดุ (x, y) ใด ๆ เท่ากับ f (x)

2. ความเรง่ ของวัตถุ ขณะเวลา t ใด ๆ เทา่ กับ a(t)  v(t)  s(t)

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 4 เรื่อง ปรพิ ันธ์ 19

ในที่น้ีจะกล่าวถึงการประยกุ ตข์ องปริพนั ธ์ไม่จากัดเขตใน 2 ลักษณะ ดงั นี้

1. การประยกุ ตใ์ นเร่อื งเรขาคณติ
ถ้ากาหนดสมการเส้นโคง้ y  f (x) และ f (x) หาค่าได้ แลว้

f (x) เท่ากับ ความชันของเส้นโค้งของ f ทจ่ี ดุ (x, y) ใด ๆ
เท่ากบั ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโคง้ ของ f ทจ่ี ดุ (x, y) ใด ๆ

สมการเสน้ โคง้ y  f (x)

อนพุ ันธ์ ปรพิ นั ธ์

ความชันของเส้นโค้งของ f ทจ่ี ุด (x, y) คือ

dy  f (x)
dx

เน่ืองจากการหาปริพันธ์เป็นการดาเนินการที่ตรงกันข้ามกับการหาอนุพันธ์ ดังน้ัน ถ้ากาหนด f (x) มา

ให้ เราสามารถหาฟงั กช์ ัน y  f (x) ได้ โดยใช้การหาปรพิ ันธ์

การหาสมการของเส้นโคง้ เมอ่ื กาหนดความชนั dy  f (x) สามารถทาได้ดังน้ี

dx

เนื่องจาก dy  f (x)
จะได้ dx
dy  f (x)dx

และ  dy   f (x)dx

ดงั น้นั จะได้ y  f (x)  c เมอื่ c เป็นคา่ คงตวั

ตวั อย่างท่ี 1 จงหาสมการของเส้นโค้งทผ่ี ่านจุด (1,2) และมคี วามชันของเส้นโคง้ ทจ่ี ุด (x, y) ใดๆ เป็น 2x
วิธที า
เนอ่ื งจาก ความชนั ของเส้นโคง้ ทจ่ี ดุ (x, y) ใดๆ เปน็ dy

dx

ดังนัน้ dy  2x

dx

จะได้ y   (2x)dx  x2  c

ดงั น้ัน สมการของเส้นโค้ง คือ y  x2  c เมื่อ c เปน็ ค่าคงตวั

เนื่องจากเสน้ โคง้ นี้ท่ีผา่ นจุด (1,2) ดงั นน้ั เมอ่ื แทนค่า x 1 และ y  2 ในสมการของเสน้ โคง้

จะได้ว่า 2  12  c

c 1

ดังนน้ั สมการของเส้นโคง้ ที่ตอ้ งการ คือ y  x2 1

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 4 เรื่อง ปริพันธ์ 20

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาสมการของเสน้ โค้งที่ผ่านจุด (2,1) และมคี วามชันของเส้นโคง้ ทจ่ี ุด (x, y) ใดๆ เปน็

x2  3x  2

วธิ ที า เนอื่ งจาก ความชนั ของเสน้ โคง้ ทจี่ ดุ (x, y) ใดๆ เปน็ dy

dx

ดงั นน้ั dy  x2  3x  2

dx

จะได้ y  (x2  3x  2)dx  x3  3x2  2x  c
32

ดงั น้นั สมการของเส้นโคง้ คือ y  x3  3x2  2x  c เม่ือ c เป็นคา่ คงตวั
32

เนื่องจากเสน้ โค้งน้ีทผ่ี า่ นจดุ (2,1) ดงั น้ัน เมอ่ื แทนค่า x  2 และ y 1 ในสมการของเสน้ โค้ง

จะไดว้ ่า 1  23  3(2)2  2(2)  c นัน่ คอื c  1
32 3

ดังน้นั สมการของเสน้ โค้งทต่ี อ้ งการ คอื y  x3  3x2  2x  1
32 3

2. การประยุกต์ในเร่อื งการเคลอื่ นท่ีแนวตรง
เราได้พูดถึงการเคล่ือนที่ของวัตถุในแนวตรง โดยกล่าวถึง การหาความเร็ว ความเร่ง จากการหาอนุพันธ์
ของสมการการเคลื่อนท่ขี องวตั ถุ และเนื่องจากการหาปริพันธ์เป็นการดาเนินการตรงข้ามกับการหาอนุพันธ์ ดังน้ัน
ถ้ากาหนดความเร่ง เราสามารถหาความเร็วได้ และถ้ากาหนดความเร็ว เราสามารถหาสมการการเคลื่อนท่ีได้ ดัง
ความสัมพันธ์ตอ่ ไปน้ี

ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งสมการการเคล่ือนท่ี ความเร็ว และความเรง่

ปริพันธ์ ความเร็ว v(t)  ds ปรพิ นั ธ์
dt

สมการการเคล่ือนท่ี s  f (t) ความเร่ง a(t)  dv  d 2s
dt dt 2

อนุพันธ์ ความเร็ว v(t)  ds อนพุ นั ธ์
dt

ตวั อย่างท่ี 3 ณ เวลา t ใด ๆ วตั ถเุ คลอ่ื นท่ีในแนวราบด้วยความเร่ง 3t เมตรต่อวินาที2 ถ้าขณะท่ีเร่ิมต้นจับ
วิธีทา
เวลา ตาแหนง่ ของวัตถุอยูท่ ี่ 3 เมตร และวตั ถุเคล่ือนท่ดี ้วยความเรว็ 1 เมตรตอ่ วินาที จงหา
1) ความเรว็ ของวัตถขุ ณะเวลา t ใด ๆ

2) ตาแหน่งของวัตถขุ ณะเวลา t ใด ๆ
3) ระยะหา่ งของวตั ถจุ ากตาแหน่งเรม่ิ ตน้ ขณะเวลา 2 และ 4 วนิ าที
1) ให้ v(t) แทนความเรว็ ของวัตถขุ ณะเวลา t ใด ๆ

เน่อื งจาก v(t)  a(t)  3t

จะได้ v(t)  (3t)dt   3t 2  c1 เมอื่ c1 เป็นคา่ คงตวั
2

เน่ืองจากขณะท่ีเร่ิมต้นจับเวลา วตั ถุเคลอ่ื นทีด่ ว้ ยความเรว็ 1 เมตรตอ่ วนิ าที

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 4 เรือ่ ง ปรพิ นั ธ์ 21

นน่ั คอื เมอ่ื แทน t 0 และ v(0)  1 ใน v(t)   3t2  c1 จะได้ v(0)   3(0)2  c1
2 2

นั่นคอื c1 1

ดงั นน้ั ความเร็วของวตั ถขุ ณะเวลา t ใด ๆ คือ  3t2 1 เมตรตอ่ วนิ าที

2

2) ให้ s(t) แทนตาแหน่งของวตั ถุขณะเวลา t ใด ๆ

เนอ่ื งจาก s(t)  v(t)   3t2 1

2

จะได้ s(t)    3t 2   dt   t3 t  c2 เมื่อ c2 เป็นค่าคงตัว
 2 1 2
 

เนอื่ งจากขณะทเ่ี ริ่มต้นจับเวลา ตาแหน่งของวัตถอุ ยูท่ ่ี 3 เมตร

นน่ั คอื เมอ่ื แทน t 0 และ s(0)  3 ใน s(t)   t3  t  c2 จะได้ s(0)   03  0  c2
2 2

นน่ั คือ c2  3

ดงั นน้ั ตาแหนง่ ของวัตถุขณะเวลา t ใด ๆ คือ  t3  t  3 เมตร

2

3) จากข้อ 2) จะได้ ระยะห่างของวตั ถจุ ากตาแหน่งเร่มิ ต้น ขณะเวลา 2 วนิ าที คอื

| s(2)  s(0) |  4  2  3  0  0  3 | 2 | 2 เมตร

และ ระยะหา่ งของวัตถจุ ากตาแหน่งเรมิ่ ตน้ ขณะเวลา 4 วินาที คอื
| s(4)  s(0) |  32  4  3  0  0  3 | 28 | 28 เมตร

ตัวอย่างท่ี 4 เมือ่ ปล่อยวัตถุตกจากท่ีสงู แบบเสรี วัตถจุ ะเคลือ่ นทด่ี ว้ ยความเร่งโน้มถ่วงของโลก ( g ) ถ้ากาหนด
วธิ ีทา g  9.8 เมตรต่อวินาที2 และขณะท่ีเริ่มต้นจับเวลา ตาแหน่งของวัตถุอยู่ท่ี 10 เมตร และมี

ความเรว็ เป็นศูนย์ จงหา

1) ความเร็วของวตั ถุ ขณะเวลา t ใด ๆ
2) ตาแหนง่ ของวตั ถขุ ณะเวลา t ใด ๆ
1) ให้ v(t) แทนความเร็วของวตั ถขุ ณะเวลา t ใด ๆ

เนื่องจาก v(t)  a(t)  g  9.8

จะได้ v(t)   (9.8)dt  9.8t  c1 เมอ่ื c1 เป็นค่าคงตัว

เน่ืองจากขณะทีเ่ ริม่ ตน้ จับเวลา วตั ถมุ คี วามเรว็ เปน็ ศนู ย์

น่ันคือ เมอื่ แทน t  0 และ v(0)  0 ใน v(t)  9.8t  c1 เมตรตอ่ วนิ าที
จะได้ v(0)  9.8(0)  c1 นั่นคือ c1  0
ดงั นนั้ ความเรว็ ของวัตถุขณะเวลา t ใด ๆ คอื v(t)  9.8t

2) ให้ s(t) แทนตาแหนง่ ของวัตถขุ ณะเวลา t ใด ๆ เมตร
เนื่องจาก s(t)  v(t)  9.8t

จะได้ s(t)  9.8tdt  4.9t2  c2 เมอื่ c2 เป็นคา่ คงตวั

เน่อื งจากขณะทเี่ ร่มิ ตน้ จบั เวลา ตาแหน่งของวตั ถอุ ยทู่ ี่ 3 เมตร
น่ันคอื เมอ่ื แทน t  0 และ s(0) 10 ใน s(t)  4.9t2  c2

จะได้ s(0)  4.9(0)2  c2 นั่นคือ c2  10

ดงั น้ัน ตาแหน่งของวัตถุขณะเวลา t ใด ๆ คอื s(t)  4.9t2 10

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 4 เรอื่ ง ปริพนั ธ์ 22

แบบฝึกหัด
การประยกุ ต์ปรพิ ันธ์

1. จงหาสมการของเส้นโคง้ เม่อื กาหนดความชันของเสน้ โคง้ ทจ่ี ดุ (x, y) ใด ๆ และจดุ ทเี่ ส้นโค้งผ่าน ดังนี้

1) ความชันของเสน้ โค้งทจี่ ุด (x, y) ใด ๆ คือ 2x3  4x และผ่านจดุ (0,5)

วธิ ที า เนอ่ื งจาก dy  2x3  4x
dx

จะได้ y  (2x3  4x)dx  x4  2x2  c
2

ดงั นน้ั สมการของเส้นโคง้ คอื y  x4  2x2  c เม่อื c เปน็ คา่ คงตวั
2

แตเ่ ส้นโคง้ นี้ท่ีผา่ นจดุ (0,5) ดงั นน้ั เมอ่ื แทนค่า x  0 และ y  5 ในสมการของเสน้ โค้ง

จะไดว้ า่ 5  04  2(0)2  c นนั่ คือ c  5

2

ดังนน้ั สมการของเสน้ โค้งที่ตอ้ งการ คอื y  x4  2x2  5

2

2) ความชันของเส้นโค้งทจ่ี ดุ (x, y) ใด ๆ คอื 6  3x2  2x4 และผ่านจดุ (1,0)

วธิ ที า เนอ่ื งจาก dy  6  3x2  2x4
dx

จะได้ y  (6  3x2  2x4 )dx  6x  x3  2x5  c
5

ดงั น้นั สมการของเสน้ โคง้ คือ y  6x  x3  2x5  c เมือ่ c เปน็ ค่าคงตัว
5

แตเ่ ส้นโคง้ นี้ทผี่ ่านจดุ (1,0) ดังนั้น เมอื่ แทนค่า x 1 และ y  0 ในสมการของเส้นโคง้

จะไดว้ ่า 0  6(1) 13  2(1)5  c นน่ั คือ c   33

55

ดงั นั้น สมการของเสน้ โคง้ ที่ตอ้ งการ คอื y   2x5  x3  6x  33

55

3) ความชนั ของเส้นโค้งทจ่ี ดุ (x, y) ใด ๆ คือ 53 x  x3 และผา่ นจุด (4,2)

วิธที า เนอื่ งจาก dy  5  3 1
จะได้ dx
x  x3  5  3x2  x3

y  1  x3 )dx  5x 3  x4 c

(5  3x2  2x2 4

ดังน้ัน สมการของเสน้ โคง้ คือ y  5x  3  x4 c เมื่อ c เปน็ คา่ คงตัว

2x2 4

แตเ่ สน้ โค้งนี้ท่ีผา่ นจดุ (4,2) ดังน้นั เมือ่ แทนค่า x  4 และ y  2 ในสมการของเสน้ โค้ง

จะได้ว่า 2  5(4)  3  44  c น่ันคอื c  58

2(4) 2 4

ดงั นน้ั สมการของเสน้ โค้งท่ตี อ้ งการ คอื 3  x4  58
4
y  5x  2x2

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 4 เรือ่ ง ปรพิ ันธ์ 23

2. จงหาความเร็วของวัตถุ v(t) และตาแหน่งของวัตถุ s(t) ขณะเวลา t ใด ๆ เมื่อกาหนดความเร่งของวัตถุ

a(t) ความเร็วและตาแหนง่ ของวัตถุขณะเวลา t  0 ดงั นี้

1) a(t)  6  2t, 0  t  3, v(0)  5, s(0)  0

วิธีทา เนื่องจาก a(t)  v(t)  6  2t

จะได้ v(t)  (6  2t)dt  6t  t2  c1 เมื่อ c1 เป็นค่าคงตัว

เนื่องจาก v(0)  5 จะได้ v(0)  6(0)  (0)2  c1 น่ันคือ c1  5

จะได้ v(t)  6t  t2  5

เนื่องจาก s(t)  v(t)  6t  t2  5

จะได้  s(t)  2 t3 เมือ่ c2 เป็นค่าคงตวั
6t  t2  5 dt  3t  3  5t  c2

เนอ่ื งจาก s(0)  0 จะได้ s(0)  3(0)2  (0)3  5(0)  c2 นนั่ คือ c2  0
3

จะได้ s(t)  3t2  t3  5t

3

2) a(t) 120t 12t2, 0  t 10, v(0)  0, s(0)  4

วิธีทา เนื่องจาก a(t)  v(t) 120t 12t2

จะได้ v(t)  (120t 12t2 )dt  60t2  4t3  c1 เมอ่ื c1 เปน็ คา่ คงตวั

เนอ่ื งจาก v(0)  0 จะได้ v(0)  60(0)2  4(0)3  c1 นั่นคือ c1  0
จะได้ v(t)  60t2  4t3

เนื่องจาก s(t)  v(t)  60t2  4t3

จะได้  s(t)  60t2  4t3 dt  20t3 t4  c2 เมื่อ c2 เป็นค่าคงตวั

เนอ่ื งจาก s(0)  4 จะได้ s(0)  20(0)3  (0)4  c2 น่ันคอื c2  4
จะได้ s(t)  20t3  t4  4

3) a(t)  t2  5t  4, 0  t 15, v(0)  2, s(0)  3

วิธีทา เนื่องจาก a(t)  v(t)  t2  5t  4

จะได้ v(t)  (t 2  5t  4)dt  t3  5t 2  4t  c1 เมือ่ c1 เป็นค่าคงตัว
3 2

เนื่องจาก v(0)  2 จะได้ v(0)  (0)3  5(0)2  4(0)  c1 นัน่ คือ c1  2
3 2

จะได้ v(t)  t3  5t 2  4t 2
3 2

เนื่องจาก s(t)  v(t)  t3  5t2  4t  3
32

จะได้ s(t)   t3  5t 2  4t 
 3 2  2 dt



 t4  5t 3  2t 2  2t  c2 เมอ่ื c2 เปน็ ค่าคงตวั
12 6

เน่ืองจาก s(0)  3 จะได้ s(0)  (0)4  5(0)3  2(0)2  2(0)  c2 นนั่ คอื c2  3
12 6

จะได้ s(t)  t4  5t3  2t2  2t  3

12 6

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 4 เรอื่ ง ปริพนั ธ์ 24

3. โยนวัตถุช้ินหนึ่งขึ้นจากพ้ืนดินในแนวดิ่งด้วยความเร็วต้น 98 เมตรต่อวินาที ถ้ากาหนดความเร่งโน้มถ่วงของ
โลก g  9.8 เมตรตอ่ วินาที2 และขณะที่เรมิ่ ต้นจับเวลา ตาแหนง่ ของวัตถอุ ยทู่ ศ่ี ูนย์ จงหา

1) ตาแหน่งของวตั ถขุ ณะเวลา t ใด ๆ

2) เวลาท่ีวตั ถขุ ้ึนไปถึงตาแหนง่ สูงสดุ และตาแหนง่ สูงสุดของวัตถุ

3) เวลาท่ีวัตถอุ ยู่ในตาแหน่งที่สูงจากพื้นดนิ 249.9 เมตร

วิธีทา 1) ให้ s(t) เป็นความสงู ของวัตถุจากพน้ื ดิน (หนว่ ยเป็นเมตร) ณ เวลา t วินาที

v(t) เปน็ ความเรว็ ของวตั ถุ (หน่วยเปน็ เมตรต่อวนิ าที) ขณะเวลา t ใด ๆ
a(t) เปน็ ความเรง่ ของวตั ถุ (หนว่ ยเปน็ เมตรตอ่ วินาที2) ขณะเวลา t ใด ๆ

เนื่องจาก a(t)  v(t)  9.8 g  9.8 (ความเรง่ มีทศิ ลงส่พู ื้นโลก)

จะได้ v(t)   (9.8)dt  9.8t  c1 เมอ่ื c1 เปน็ ค่าคงตัว

เนื่องจาก v(0)  98 จะได้ v(0)  9.8(0)  c1 นนั่ คอื c1  98

ดังนัน้ v(t)  9.8t  98 เมตรตอ่ วนิ าที

เนื่องจาก s(t)  v(t)  9.8t  98

จะได้ s(t)   9.8t  98 dt  4.9t2  98t  c2 เมือ่ c2 เป็นคา่ คงตวั

เนื่องจาก s(0)  0 จะได้ s(0)  4.9(0)2  98(0)  c2 น่ันคอื c2  0

ดงั น้ัน s(t)  4.9t2  98t เมตร

เนอ่ื งจาก s(t)  0

จะได้ 4.9t2  98t  0

t(t  20)  0

น่นั คือ 0  t  20
ดงั น้นั s(t)  4.9t2  98t เมตร เมอื่ 0  t  20
2) เนือ่ งจาก s(t)  9.8t  98
ถา้ s(t)  0 จะได้ t 10 ดงั นัน้ คา่ วิกฤตของฟงั กช์ ัน s ในชว่ ง (0,20) คอื 10
เน่อื งจาก s(10)  4.9(10)2  98(10)  490

s(0)  4.9(0)2  98(0)  0

และ s(20)  4.9(20)2  98(20)  0

สรปุ ได้ว่า ฟังกช์ นั s มีคา่ สูงสดู สมั บูรณ์ที่ s 10 และคา่ สงู สูดสมั บรู ณ์ คือ s(10)  490

ดังนั้น วัตถุข้ึนไปถึงตาแหน่งสูงสุด เม่ือเวลาผ่านไป 10 วินาที และตาแหน่งสูงสุดของวัตถุคือ

490 เมตร

3) ตอ้ งการหา t ทท่ี าให้ s(t)  249.9

เนื่องจาก s(t)  4.9t2  98t เม่อื 0  t  20

ดังนนั้ 249.9  4.9t2  98t

น่นั คือ t2  20t  51  0

(t  3)(t 17)  0

จะได้ t  3 หรอื t 17
ดงั น้นั ต้องใช้เวลา 3 วินาที หรือ 17 วนิ าที วัตถจุ ึงอย่สู งู 249.9 เมตร จากพื้นดิน

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา