15.เอกสารประกอบการบรรยาย ตรรกศาสตร์และระเบียบวิธีพิสูจน์ ประจำปี พ.ศ. 2562

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบียบวิธพี สิ จู น์ 50

ทฤษฎีบท 2.6 ให้ S เป็นเซตย่อยของจานวนเตม็ บวก ซง่ึ
ถา้ 1.) 1  S

2.) k  , [ k  S  k  1  S ]

แลว้ S 

พิสูจน์ สมมตวิ า่ S เป็นเซตยอ่ ยของจานวนเตม็ บวก ซง่ึ สอดคลอ้ งกบั ขอ้ 1.) และ ขอ้ 2.) 
ตอ้ งการพสิ จู น์ว่า S  โดยใช้ PSI
เน่อื งจาก k  , [{1, 2, ..., k}  S  k  S] และจะเหน็ ไดโ้ ดยงา่ ยวา่

k  , [{1, 2, ..., k}  S  k  S]  k  S  k  1  S

จะไดว้ ่า k  , [{1, 2, ..., k}  S  k  1  S] นนั ่ คอื S สอดคลอ้ งสมมตฐิ านของ PSI
ดงั นนั้ ได้ S 

ทฤษฎีบท 2.7 ขอ้ ความต่อไปน้สี มมลู กนั

1. PMI 2. WOP 3. PSI

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 51

แบบฝึ กหดั 2.4

1. จงใชห้ ลกั การอปุ นยั เชงิ คณิตศาสตรพ์ สิ จู น์ขอ้ ความต่อไปน้เี ป็นจรงิ ทกุ จานวนเตม็ บวก n
1.1 1  3  5  ...  2n  1  n2

12  32  52  ...  2n  1 2  n(2n  1)(2n  1)
 1.2 3

1.3 12  22  ...  n2  nn  12n  1

6

1.4 13  23  33  ...  n3  n(n  1)2
 2 

1.5 1  r  r2  ...  rn  1  rn1 เมอ่ื r  1
1r

   1.6 1 7 n1
2  70  2  7  2  72  ...  2 7 n  4

1.7 1  1  1  ...  1 1  n
3 15 35 4n2  2n  1

1.8 1  1!  2  2!  ...  n  n!  (n  1)!  1

1.9 1  2  ...  n n 1!  1  n 1 1!
2! 3!  

1.10 2  6  10  14  ...  4n  2  2n!

n!

1.11 11 หาร 8102n 6102n1  9 ลงตวั

1.12 ให้ x และ y เป็นจานวนเตม็ บวกทต่ี ่างกนั จงพสิ จู น์วา่ x – y หาร xn  yn ลงตวั

1.13 2n  2n

1.14 1  2  3  ...  n  2  n
2 22 23 2n 2n

1.15 1 1  1  ...  1  2  1
22 32 n2 n

n (1)i i2 1 (1)n
2
1.16  n(n  1)

i1
n
1
1.17 i(i  1)  3 n(n  1)(n  2)

i1
n1
1.18 n
i1 (2i  1)(2i  1)  2n  1
n
1 n
1.19 (3i  2)(3i  1)  3n  1
i1

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบียบวิธพี สิ จู น์ 52

2. จงพสิ จู น์ โดยใชห้ ลกั การจดั อนั ดบั อย่างดี

2.1 n  , 6 (n3  n) 2.2 2 เป็นจานวนอตรรกยะ

2.3 ให้ n เป็นจานวนเตม็ บวกใด ๆ จะไดว้ า่

n = 1 หรอื n เป็นจานวนเฉพาะ หรอื n เป็นผลคณู ของจานวนเฉพาะ
n
3. จงหาคา่ m ซง่ึ ทาให้ n  , n  m, n2  3 แลว้ พสิ จู น์คาตอบดว้ ย
2

4. ให้ m และ n เป็นจานวนเตม็ บวกใด ๆ จงพสิ จู น์วา่

4.1 n  5, n2  2n 4.2 n  4, 2n  n !

4.3 n  10, n3  2n 4.4 n  4, n2  n !

4.5 n  13, n2   3 n 4.6 m  2, n  , mn  n
 
 2 

5. ให้ a1  3 และ an  3an1 จงพสิ จู น์วา่ an  3n ทกุ n  2

6. ให้ a1  0, a2  6 และ an  5an1  6an2
จงพสิ จู น์วา่ an  3  2n  2  3n ทกุ n  3

7. ให้ a1  4, a2  12 และ an  4an1  2an2

จงพสิ จู น์วา่ an  2  2 n1  2  2 n1 ทกุ n  3

8. ให้ a1  3, a2  3, a3  9 และ an  an1  4an2  4an3
จงพสิ จู น์ว่า an  1   2n ทกุ n  4

9. ให้ a1  3, a2  10, a3  21 และ an  3an1  3an2  an3
จงพสิ จู น์ว่า an  n  2n2 ทุก n  4

10. เชื่อหรอื ไม่ : n  , n  783, 3n4  15n  7 เป็นจานวนคู่

พิสจู น์ ถา้ n = 783 ได้

3(783)4 + 15(783) – 7 = 1,127,634,377,502 ซง่ึ เป็นเลขคู่
สมมตใิ ห้ k  783 และ 3k4  15k  7 เป็นเลขคู่
จะมี m   ซง่ึ 3k4  15k  7  2m

 ดงั นนั้ ได้ 3k  14  15k  1  7  3 k4  4k3  6k2  4k  1  15k  15  7

 3k4  15k  7  12k3  18k2  12k  18

  2 m  6k3  9k2  6k  9 ซง่ึ เป็นเลขคู่ 

ตวั อยา่ งค้าน เม่อื n = 1000 ไดว้ า่ 3n4  15n  7 เป็นเลขค่ี 
เพราะเหน็ ไดช้ ดั ว่า 3n4  15n หารดว้ ย 1000 ลงตวั
ดงั นนั้ เมอ่ื ลบออกดว้ ย 7 ผลทไ่ี ดจ้ งึ เป็นเลขค่ี

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 53

บรรณานุกรม

1. กรรณกิ า กวกั ไพฑรู ย,์ หลกั คณิตศาสตร,์ ภาควชิ าคณติ ศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์
จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั , โรงพมิ พแ์ ห่งจฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั , พ.ศ. 2541.

2. พฒั นี อุดมกะวานิช, หลกั คณิตศาสตร,์ ภาควชิ าคณติ ศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์
จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั , หา้ งหนุ้ สว่ นจากดั พทิ กั ษก์ ารพมิ พ,์ พ.ศ. 2541.

3. พมิ พเ์ พญ็ เวชชาชวี ะ, เอกสารประกอบการบรรยายเรื่อง How to read and do
Proofs, โครงการโอลมิ ปิกวชิ าการ พฒั นามาตรฐานวทิ ยาศาสตร์ คณติ ศาสตรศ์ กึ ษา
ศูนยก์ รงุ เทพมหานคร ณ โรงเรยี นสวนกุหลาบวทิ ยาลยั , พ.ศ. 2552.

4. สภุ า สจุ รติ พงศ์, โครงสรา้ งของระบบจานวน, ภาควชิ าคณติ ศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์
จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั , สานกั พมิ พจ์ ฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั , พ.ศ. 2523.

5. Kurtz, D. C., Foundation of Abstract Analysis, Addison – Wesley
Publishing Company, Inc., 1966.

6. O’Leary, M. L., The Structure of Proof with Logic and Set Theory,
Prentice – Hall, Inc. 2002.

7. Rodgers, N., Learning to Reason An Introduction To Logic, Sets, and
Relations, John Wiley & Sons, Inc., 2000.

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบียบวิธีพิสจู น์

ฝึ กหดั ทา จงพสิ จู น์ว่า x, y   [ (x  y)  (3x2  10xy  3y2  0)  ( y  x  2)]
y  x

พิสจู น์ จะแสดงวา่ y x
y x
x, y   [ (x  y)  (3x2  10xy  3y2  0)  (   2)]


ให้ x, y   สมมตวิ า่ x  y และ 3x2  10xy  3y2  0 จะไดว้ า่

(3x  y)(x  3y)  0 ดงั นนั้ x  y หรอื x  3y
3

เน่อื งจาก 1  1 จะได้ y  y และจาก x  y จะไดว้ ่า x  y ดงั นนั้
3 3 3

yx y  y 3y  y 4y
yx 3 2y
  3  2 
y 3y  y
y  3
3

ตวั อยา่ ง 1.15 จงพสิ จู น์วา่  x  , x4 10x3  26x2 10x  1  0
พรอ้ มหาคา่ x ทงั้ หมด

พิสจู น์ หารตลอดสมการทก่ี าหนดดว้ ย x2 โดยท่ี x  0 ดงั นนั้ ได้

x2  10x  26  10  1 0
x x2

 x2  1   10  x  1   26  0 ……… (1)
 x2   x 

ให้ y  x  1 จะไดว้ ่า y2   x  1 2  x2  2  1
x  x  x2

ดงั นนั้ y2  2  x2  1
x2

จากสมการ (1) ได้  y2 2 10y  26  0

y2 10y  24  0

(y  4)(y  6)  0

y  4, 6

ถา้ y  4 ดงั นนั้ x  1  4
x

x2  4x 1  0

x  4 16  4(1)(1)  4  12  2 3
2 2

ดงั นนั้ เลอื ก x  2  3 จะไดว้ ่า x4 10x3  26x2 10x 1  0

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบียบวิธพี สิ จู น์ 2

ต่อไปจะหาคา่ x ทงั้ หมด โดยพจิ ารณากรณี y  6

ถา้ y  6 ดงั นนั้ x  1  6
x

x2  6x 1  0

x  6 36  4(1)(1)  6  32  32 2
2 2

ดงั นนั้ x  2  3, 3  2 2 

ตวั อยา่ ง 1.17 จงพจิ ารณาว่า ทุกจานวนจรงิ บวก x จะทาให้ x  x  1  1  1
x x

เป็นจรงิ หรอื ไม่พรอ้ มพสิ จู น์คาตอบ

พิสจู น์ เขยี นอยใู่ นรปู สญั ลกั ษณ์ไดเ้ ป็น x  , x x  1  1  1 จะแสดงวา่ เป็นเทจ็
x x

โดยการแสดงวา่  x  , x x 1  1  1 เป็นจรงิ
x x

พจิ ารณาหา x จากสมการ x x  1  1  1
x x

ยา้ ยขา้ งจดั รปู ใหม่จะไดว้ ่า x x  1  1  1
x x

แลว้ ยกกาลงั สองทงั้ สองขา้ งได้ x2  2x x  1  x  1  1  1
x x x

x2  2x x  1 x  1
x

หารตลอดดว้ ย x ทเ่ี ป็นจานวนจรงิ บวก จะไดว้ า่ x 2 x  1 1  1
x x

เพราะฉะนนั้  x  1   2 x  1 1 0 หรอื  x 1 2 0
 x  x  x  1
 

ดงั นนั้ x  1 1
x

ยกกาลงั สองทงั้ สองขา้ งได้ x  1  1 จดั รปู ใหม่ได้ x2  1  1
x x

จะไดว้ า่ x2  1  x หรอื x2  x  1  0

ดงั นนั้ ได้ x  1 1  4(1)(1)  1 5
2(1) 2

แต่ x  1 5   ดงั นนั้ x  1 5  
2 2

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 3

จะไดว้ า่  x  1  5 , x x  1  1  1
2 x x

นนั่ คอื x  , x x  1  1  1 จะแสดงวา่ เป็นเทจ็ 
x x

การพิสจู น์ประพจน์บ่งปริมาณที่มีตวั แปรมากกว่าหนึ่งตวั

ตวั อยา่ ง 1.19 จงหาค่าความจรงิ ของประพจน์บง่ ปรมิ าณต่อไปน้พี รอ้ มทงั้ พสิ จู น์คาตอบ

1. x y, x2  3xy  2y2  0

ตอ้ งการแสดงว่า x y, x2  3xy  2y2  0 เป็นจรงิ

พิสจู น์ ให้ x เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ
เลอื ก y  x จะได้ x  y  0 ดงั นนั้

x2  3xy  2y2  (x  y)(x  2y)  0

2. x, y  , x  y  x2  y2

ตอ้ งการแสดงว่า x, y  , x  y  x2  y2 เป็นเทจ็

โดยจะแสดงว่า x, y  , (x  y)  (x2  y2) เป็นจรงิ
พิสูจน์ เลอื ก x  3 และ y  1 จะเหน็ ไดโ้ ดยง่ายวา่

x  y และ x2  (3)2  9  1  12  y2
ดงั นนั้ ได้ x, y , (x  y)  (x2  y2) เป็นจรงิ

3. สาหรบั ทกุ x, y + ถา้ x  y  1 แลว้ จะไดว้ ่า

3.1 0  xy  1
4

3.2 x2  y2  1
2

3.3 x4  y4  1
8

3.4  x  1 2   y  1 2  25
    2
 x   y 

โดยไมใ่ ชค้ วามรเู้ รอ่ื ง A.M. และ G.M [RMO Delhi 1993, INMO 1989]

พิสูจน์ 3.1 เน่อื งจาก (x  y)2  0

x2  2xy  y2  0

บวก 4xy ทงั้ สองขา้ งได้ x2  2xy  y2  4xy

(x  y)2  4xy จาก x  y  1
1  4xy

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบียบวธิ พี สิ จู น์ 4

xy  1
4

เน่อื งจาก x  0, y  0 จะไดว้ ่า 0  xy

ดงั นนั้ 0  xy  1 ……. (1)
3.2 เน่อื งจาก 4

x2  y2  (x2  y2  2xy)  2xy

 (x  y)2  2xy

 1  2xy

min(1  2xy)  1  2 max(xy)  1  2  1   1 จาก (1)
 4  2
 

ดงั นนั้ ได้ 1  2xy 1 นนั่ คอื x2  y2  1 ……. (2)
2 2

3.3 x4  y4  (x2)2  (y2)2

 (x2)2  (y2)2  2x2y2  2x2y2

 (x2  y2)2  2x2y2

x4  y4  (x2  y2)2  (2x2y2)

เน่อื งจาก x2  y2  1 จะไดว้ า่
2

(x2  y2)2  1 ……. (3)
4

เน่อื งจาก xy  1 จะไดว้ ่า
4

x2y2  1 ……. (4)
16

หรอื 2x2y2   1 ……. (5)
8

จาก (3) และ (5) ไดว้ ่า (x2  y2)2  2x2y2  1  1  1
4 8 8

ดงั นนั้ x4  y4  1
8

3.4  x  1 2   y  1 2  x2  y2  1  1  4  (x2  y2 )   x2  y2   4
    x2 y2  x2y2 
 x   y   

จาก (4) ไดว้ า่ x2y2  1 ดงั นนั้ 1  16
16 x2y2

จาก (2) ไดว้ า่ x2  y2  1 ดงั นนั้ ได้ x2  y2  8
2 x2y2

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 5
เพราะฉะนนั้
นนั่ คอื (x2  y2 )   x2  y2   4  1  8  4
 x2y2  2
 

 x  1 2   y  1 2  25
    2
 x   y 

4.   0   0 x  [ 1    x  1    5    2x  3  5   ]

พิสูจน์ จะแสดงว่า
  0   0 x  [ 1    x  1    5    2x  3  5   ] เป็นจรงิ

ให้  เป็นจานวนจรงิ บวกใด ๆ เลอื ก    และ x เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ จะไดว้ ่า
2
 
ถา้ 1 x 1 แลว้ 1  2  x  1  2

จะไดว้ า่    x 1  
2 2

เพราะฉะนนั้    2x  2  

จะไดว้ ่า 5    2x  3  5  

ดงั นนั้ 5    2x  3  5  

5. ทกุ จานวนเตม็ บวก n ใดๆ จะมจี านวนเตม็ x, y และ z ซง่ึ ทาให้

x2  y2  z2  n

วิธีคิด เขยี นแทนขอ้ ความขา้ งบนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ได้

n  + x, y, z , x2  y2  z2  n

ตอ้ งการแสดงวา่ ขอ้ ความน้ีเป็นเทจ็ นนั่ คอื เราตอ้ งแสดงว่าขอ้ ความ
n  +  x, y, z , x2  y2  z2  n เป็นจรงิ
ถา้ n  1 ได้ 1  12  02  02
ถา้ n  2 ได้ 2  12  12  02
ถา้ n  3 ได้ 3  12  12  12
ถา้ n  4 ได้ 4  22  02  02
ถา้ n  5 ได้ 5  22  12  02
ถา้ n  6 ได้ 61  22  12  12
ดงั นนั้ เราจะเลอื ก n = 1, 2, 3, … , 6 ไม่ได้
เราจะพจิ ารณา n = 7 เป็นตวั อยา่ งคา้ น ดงั น้ี

พิสูจน์ เลอื ก n = 7 ให้ x, y และ z เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ
จะไดว้ า่ ตอ้ งการเขยี น 7 อย่ใู นรปู x2  y2  z2

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบียบวธิ พี สิ จู น์ 6

ถา้ x, y และ z เป็นจานวนทอ่ี ย่ใู นเซต

{-2, -1, 0, 1, 2}

ซง่ึ จะเหน็ วา่ ไมม่ กี รณใี ดเลยทจ่ี ะได้

x2  y2  z2  7

ถา้ x, y และ z เป็นจานวนทไ่ี ม่อยใู่ นเซต

{-2, -1, 0, 1, 2}

พจิ ารณาจานวน 3 จะได้  32  9 ซง่ึ มากกวา่ 7
ดงั นนั้ 7  x2  y2  z2 ทกุ x, y, z  I
สรปุ ไดว้ า่ n  +  x, y, z , x2  y2  z2  n
นนั ่ คอื n  + x, y, z , x2  y2  z2  n เป็นเทจ็

6. e   x    y   [(x  e  e  x  x)  (x  y  y  x  e)]

นิยาม ab  ab สาหรบั ทกุ a, b  
2
พิสูจน์ จะแสดงว่า

e   x    y   [(x  e  e  x  x)  (x  y  y  x  e)] เป็นจรงิ

เลอื ก e  2 จะไดว้ า่ e  

ให้ x เป็นจานวนตรรกยะบวกใด ๆ เลอื ก y 4 จะไดว้ า่ y  ซง่ึ ทาให้
x

xe  x 2  x(2)  x และ ex  2x  2x  x
2 2

4 x  4  4  4  x
x  x  x  x 
xy  x      2 และ yx   x     2

2 2



ตวั อยา่ ง 1.20 โดยไมใ่ ชค้ วามรเู้ ร่อื ง A.M. และ G.M จงพสิ จู น์ว่า ทุกจานวนจรงิ a, b และ c

1. a2  b2  1 (a  b)
ab 2

2. a2  b2  b2  c2  c2  a2  abc [RMO 1991]
a b bc ca

3. a2  b2  c2  ab  bc  ca

4. a4  b4  b4  c4  c4  a4  ab  bc  ca
a2  b2 b2  c2 c2  a2

พิสูจน์ ให้ a, b และ c เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 7

1. เน่อื งจาก (a  b)2  0 จะไดว้ ่า a2  b2  2ab  0

a2  b2  2ab หรอื a2  b2  a2  b2  2ab  a2  b2

2a2  2b2  2ab  a2  b2 หรอื 2(a2  b2)  (a  b)2

a2  b2  (a  b)2 หรอื a2  b2  ab
2 ab 2

2. จากขอ้ 1. ได้ a2  b2  ab ………… (1)
ab 2

b2  c2  bc ………… (2)
bc 2

c2  a2  ca ………… (3)
ca 2

บวกอสมการ (1), (2) และ (3) ได้

a2  b2  b2  c2  c2  a2  a  b  b  c  c  a
a b bc ca 2 2 2

a2  b2  b2  c2  c2  a2  abc
a b bc ca

3. เน่อื งจาก (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2  0

(a2  2ab  b2)  (b2  2bc  c2)  (c2  2ca  a2)  0
2a2  2b2  2c2  2ab  2bc  2ca  0
2a2  2b2  2c2  2ab  2bc  2ca
a2  b2  c2  ab  bc  ca

4. จากขอ้ 2. ได้ a4  b4  a2  b2 ………… (1)
a2  b2 2 ………… (2)
………… (3)
b4  c4  b2  c2
b2  c2 2  a2  b2  c2

c4  a4  c2  a2
c2  a2 2

บวกอสมการ (1), (2) และ (3) ได้

a4  b4  b4  c4  c4  a4
a2  b2 b2  c2 c2  a2

เน่อื งจาก a2  b2  c2  ab  bc  ca ดงั นนั้ ได้

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบียบวิธพี สิ จู น์ 8

a4  b4  b4  c4  c4  a4  ab  bc  ca
a2  b2 b2  c2 c2  a2

ตวั อยา่ ง 1.22 จงพสิ จู น์วา่ ทุกจานวนจรงิ x ถา้ x  2 แลว้ จะมจี านวนจรงิ y เพยี งจานวนเดยี ว

เท่านนั้ ซง่ึ สอดคลอ้ งสมการ x  2y
1 y

พิสจู น์ ขอ้ ความทต่ี อ้ งการพสิ ูจนว์ ่าเป็นจรงิ เขยี นอยใู่ นรปู สญั ลกั ษณ์ไดเ้ ป็น

x  x  2  ! y  , x  2y 
 
1  y 

ให้ x  สมมตวิ า่ x  2

ตอนที่ 1 ตอ้ งการพสิ จู น์ว่า  y  , x  2y
1 y

เลอื ก y  2 x x จะไดว้ า่ y และ


2x 2x 2x

2y  2x  2x  2x  2x x
1 y 2xx 2 2
1  x
2  x 2x 2x

ตอนท่ี 2 ตอ้ งการแสดงวา่ y1, y2  , x  2y1  x  2y2
1  y1 1  y2

ให้ y1, y2  ทท่ี าให้ x  2y1 และ x  2y2 จะไดว้ า่
1  y1 1  y2

2y1  2y2
1  y1 1  y2

2y1(1  y2)  2y2(1  y1)

2y1  2y1y2  2y2  2y1y2

2y1  2y2

y1  y2 

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 9

ตวั อยา่ ง 2.4 ให้ m และ n เป็นจานวนเตม็ ค่ี

จงพสิ จู น์วา่ ถา้ m และ n หารดว้ ย 4 เหลอื เศษ 1 แลว้ mn หารดว้ ย 4 เหลอื เศษ 1
พิสจู น์ สมมตใิ ห้ m และ n หารดว้ ย 4 เหลอื เศษ 1

จะมบี างจานวนเตม็ k และ j ซง่ึ

m = 4k + 1 และ n = 4j + 1 [บทนิยาม 2.2 ]

ดงั นนั้ ได้ mn = (4k + 1)(4j + 1)

= 16kj + 4k + 4j + 1

= 4(4kj + k + j) + 1

และ 4kj + k + j เป็นจานวนเตม็

ดงั นนั้ ได้ mn หารดว้ ย 4 เหลอื เศษ 1 [บทนยิ าม 2.2 ] 

ตวั อยา่ ง 2.6 กาหนดให้ m เป็นจานวนเตม็
จงพสิ จู น์วา่ ถา้ m2 เป็นจานวนคู่ แลว้ m จะเป็นจานวนคู่

พิสูจน์ สมมตใิ ห้ m เป็นจานวนค่ี

จะมบี างจานวนเตม็ k ซง่ึ m = 2k + 1 [บทนิยาม 2.1 ขอ้ (2)]
[บทนยิ าม 2.1 ขอ้ (2)]
เน่อื งจาก m2 = (2k  1)2

= 4k2  4k  1

= 2(2k2  2k)  1

และ 2k2  2k เป็นจานวนเตม็

ดงั นนั้ ได้ m2 เป็นจานวนค่ี 

ฝึ กหดั พิสูจน์ จงพสิ จู น์วา่ x, y  x y 
  {0} x x y xy 
 y  2   0



พิสูจน์ จะแสดงว่า x, y    {0}  0 x y 
 x  y  xy     x  2 
 y
 

ให้ x, y   {0} สมมตวิ ่า x  y และ xy  0

จาก x  0 และ y  0 ดงั นนั้ xy  0

เน่อื งจาก x  y จะไดว้ ่า (x  y)2  0 ดงั นนั้

x2  2xy  y2  0 หรอื x  2  y  0 นนั่ คอื x  y  2
y x y x

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบียบวิธพี สิ จู น์ 10

ตวั อยา่ ง 2.9 กาหนดให้ m และ n เป็นจานวนเตม็
จงพสิ จู นว์ า่ ถา้ m และ n เป็นจานวนค่ี แลว้  m  n2 จะเป็นจานวนคู่

พิสจู น์ สมมตใิ ห้ (m  n)2 เป็นจานวนค่ี
เน่อื งจาก m และ n เป็นจานวนค่ี จะมบี างจานวนเตม็ k และ j ซง่ึ
m = 2k + 1 และ n = 2j + 1
จะไดว้ ่า (m  n)2 = [(2k  1)  (2j  1)]2 = (2k  2j  2)2

= 2(k  j  1)2

และ (k  j  1)2 เป็นจานวนเตม็
ดงั นนั้ ได้ (m  n)2 จะเป็นจานวนคู่ ซง่ึ ขดั แยง้ กบั สมมตฐิ าน
นนั่ คอื ถา้ m และ n เป็นจานวนค่ี แลว้  m  n2 จะเป็นจานวนคู่

บทนิยาม จานวนเตม็ บวก n จะเรยี กว่า จานวนสามเหลี่ยม กต็ ่อเม่อื มจี านวนเตม็ บวก k ทท่ี าให้

n  123k

ตวั อยา่ ง เน่อื งจาก

1 1
3  12
6  123


55  1  2  3    10


276  1  2  3  4    23

ดงั นนั้ ได้ 1, 3, 6,..., 55,...,276,... เป็นจานวนสามเหลย่ี ม

ฝึ กหดั พิสจู น์ จงพสิ จู น์วา่ ถา้ n เป็นจานวนสามเหลย่ี ม แลว้ 9n  1 เป็นจานวนสามเหลย่ี ม

พิสจู น์ โดยวธิ ตี รง

สมมตใิ ห้ n เป็นจานวนสามเหลย่ี ม

โดยบทนยิ าม จะมจี านวนเตม็ บวก k ทท่ี าให้

n  1 2  3  k  k(k  1)
2

ดงั นนั้ 9n  1  9  k(k  1)  1
 2 

 9k2  9k  2  (3k  1)(3k  2)
2 2

 (3k  1)((3k  1)  1)  1  2  3    (3k  1)
2

และ 3k  1 เป็นจานวนเตม็ นนั่ คอื 9n  1 เป็นจานวนสามเหลย่ี ม 

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 11

ฝึ กหดั พิสจู น์ จงพสิ จู น์ว่า ถา้ n เป็นจานวนเตม็ บวกทท่ี าให้ n4 20n2  4 เป็นจานวนเตม็ บวกท่ี
มากกว่า 1 แลว้ n4 20n2  4 ไมเ่ ป็นจานวนเฉพาะ

พิสูจน์ โดยวธิ อี อ้ ม

สมมตใิ ห้ n4 20n2  4 เป็นจานวนเฉพาะ

เน่อื งจาก n4  20n2  4  (n4  4n2  4) 16n2

 (n2  2)2 16n2
 (n2  2)2 16n2

 (n2  4n  2)(n2  4n  2)

จะไดว้ ่า n2  4n 2  1 หรอื n2  4n 2  1

1. กรณี n2  4n 2  1 จะไดว้ ่า n2  4n  3  0

ดงั นนั้ n  4 16  4(1)(3)  4  28  42 7  2 7
2 2 2

2. กรณี n2  4n 2  1 จะไดว้ า่ n2  4n 1  0

ดงั นนั้ n  4 16  4(1)(1)  4  20  42 5  2 5
2 2 2

3. กรณี n2  4n 2  1 จะไดว้ ่า n2  4n  3  0

ดงั นนั้ n  4  16  4(1)(3)  4  28  4  2 7  2 7
2 2 2

4. กรณี n2  4n 2  1 จะไดว้ า่ n2  4n 1  0

ดงั นนั้ n 4  16  4(1)(1)  4  20  4  2 5  2 5
2 2 2

จากทงั้ สก่ี รณจี ะเหน็ วา่ n ไม่เป็นจานวนเตม็ 
ดงั นัน้ n4 20n2  4 ไมเ่ ป็ นจานวนเฉพาะ

ตวั อยา่ ง 2.11 ให้ m, n และ p เป็นจานวนเตม็ จงพสิ จู น์ว่า m  n, n  pหรอื m  p อย่างน้อยหนง่ึ
จานวนเป็นจานวนคู่

พิสูจน์ สมมตใิ ห้ m + n และ n + p เป็นจานวนค่ี 
โดยตวั อย่าง 2.7 จะไดว้ ่า
(m + n) + (n + p) = (m + p) + 2n เป็นจานวนคู่
ดงั นนั้ มจี านวนเตม็ k ซง่ึ (m + p) + 2n = 2k
เน่อื งจาก (m + p) = 2(k – n) และ k – n เป็นจานวนเตม็
นนั่ คอื m + p เป็นจานวนคู่

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบยี บวิธพี สิ จู น์ 12

ฝึ กหดั พิสจู น์ จงพสิ จู น์วา่ x, y  x y 
  {0}  x  2  x  y xy  0 
 y


พิสจู น์ จะแสดงว่า x, y    {0}  x  y  xy  0   x  y  2 
  y x 
  

ให้ x, y   {0} สมมตวิ ่า x  y และ xy  0

จาก x  0 และ y  0 ดงั นนั้ xy  0

เน่อื งจาก x  y จะไดว้ ่า (x  y)2  0 ดงั นนั้

x2  2xy  y2  0 หรอื x  2  y  0 นนั่ คอื x  y  2 
y x y x

ตวั อยา่ ง 2.16 จงพสิ จู น์วา่
ถา้ x เป็นจานวนตรรกยะ และ y เป็นจานวนอตรรกยะ แลว้ x + y เป็นจานวนอตรรกยะ

พิสจู น์ สมมตใิ ห้ x, y เป็นจานวนตรรกยะ และ y เป็นจานวนอตรรกยะ

โดยบทนิยาม 2.3 ไดว้ ่ามจี านวนเตม็ a, b, c, d ซง่ึ b  0, d  0 ทท่ี าให้

x  a และ xy  c
b d

จะไดว้ ่า y  (x  y)  x  c  a  bc  ad
d b bd

และ bc  ad, bd เป็นจานวนเตม็ ซง่ึ bd  0

โดยบทนยิ าม 2.3 ไดว้ ่า y เป็นจานวนตรรกยะ ซง่ึ ขดั แยง้ กบั สมมตฐิ านทว่ี า่ y เป็นจานวนอตรรกยะ
นนั่ คอื ถา้ x เป็นจานวนตรรกยะ และ y เป็นจานวนอตรรกยะ แลว้ x + y เป็นจานวนอตรรกยะ
หรอื อาจกลา่ วไดอ้ กี แบบว่า ผลบวกของจานวนตรรกยะกบั จานวนอตรรกยะเป็นจานวนอตรรกยะ 

ตวั อยา่ ง 2.17 เกมโชวร์ ายการหน่งึ ทไ่ี ดร้ บั ความนยิ ม รายการน้ไี ดต้ งั้ กตกิ าไวส้ าหรบั การแขง่ ขนั รอบ
แจกพอ็ ตวา่ บุคคลแรกทส่ี ามารถนาจานวนเตม็ บวกตงั้ แต่ 1 ถงึ 36 ตดิ ลงในช่องวงลอ้ กลมทม่ี ี 36 ชอ่ ง ๆ ละ
จานวน โดยใหผ้ ลบวกของจานวนใน 3 ชอ่ งทเ่ี รยี งตดิ กนั ใด ๆ ตอ้ งน้อยกวา่ 55 บุคคลนนั้ จะไดร้ บั เงนิ
รางวลั จานวน 30 ลา้ นบาท ทา่ นคดิ ว่าเกมโชวน์ ห้ี ลอกลวงหรอื ไม่ พรอ้ มพสิ จู น์คาตอบของทา่ น

พิสจู น์ สมมตวิ ่าเกมโชวน์ ้ไี มห่ ลอกลวง

a35 a36 a1 a2
a34 a3

ใหต้ วั เลขทต่ี ดิ ในช่องท่ี 1 ถงึ 36 เป็น a1, a2, a3, ..., a36 ตามลาดบั โดยท่ี ai  {1, 2, 3,..., 36}

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 13

จะไดว้ า่ a1  a2  a3  55
a2  a3  a4  55
a3  a4  a5  55

ดงั นนั้ ได้ a34  a35  a36  55
a35  a36  a1  55
a36  a1  a2  55
3(a1  a2  ...  a36)  36(55)
a1  a2  ...  a36  12(55)
a1  a2  ...  a36  660
1  2  ...  36  660

36(37)  660
2

666  660 ซง่ึ เป็นไปไมไ่ ด้

นนั่ คอื ไม่สามารถทาตามกตกิ าขา้ งตน้ ได้ เกมโชวน์ ้หี ลอกลวง 

ตวั อยา่ ง 2.18 จงพสิ จู น์วา่ ไมม่ จี านวนเฉพาะ a, b และ c ใดเลย ทท่ี าให้

a3  b3  c3

พิสูจน์ ให้  แทนเซตของจานวนเฉพาะ เขยี นแทนขอ้ ความขา้ งบนอยใู่ นรปู สญั ลกั ษณ์ ไดด้ งั น้ี

~ [ a, b, c  , a3  b3  c3 ]

ตอ้ งการแสดงวา่ ขอ้ ความน้เี ป็นจรงิ โดยใชว้ ธิ หี าขอ้ ขดั แยง้
สมมตวิ า่ มเี ป็นจานวนเฉพาะ a, b และ c ทท่ี าให้

a3  b3  c3 หรอื a3  c3  b3

สมมติวา่ a เป็นจานวนคู่ ดงั นนั้ a  2

จะไดว้ ่า a3  23  8
และ c3  b3  (c  b)(c2  cb  b2)  8

ดงั นนั้ c  b  0 และ c2  cb  b2  0

เน่อื งจาก a, b และ c เป็นจานวนเฉพาะ
ดงั นนั้ a, b และ c เป็นจานวนทม่ี คี า่ มากกวา่ หรอื เท่ากบั 2
เพราะฉะนนั้ c2  cb  b2  4  4  4  12
จะได้ c  b  0 และ c2  cb  b2  0

ดงั นนั้ ได้ 8  c3  b3  (c  b)(c2  cb  b2)  (c  d)(12)  12

ซง่ึ ขดั แยง้ กนั ดงั นนั้ ทส่ี มมตวิ ่า a เป็นจานวนคู่ จงึ เป็นเทจ็
จะได้วา่ a เป็นจานวนคี่

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบียบวธิ พี สิ จู น์ 14

ในทานองเดยี วกนั สามารถแสดงไดว้ า่ b เป็นจานวนค่ี
โดยแบบฝึกหดั 2.1 ขอ้ 1.7 [ถา้ a เป็นจานวนคแ่ี ลว้ a3 เป็นจานวนค]่ี
ดงั นนั้ ได้ a3 และ b3 เป็นจานวนค่ี
โดยแบบฝึกหดั 2.1 ขอ้ 1.2 [จานวนคบ่ี วกจานวนค่ี จะไดจ้ านวนค่]ู
เพราะฉะนนั้ ได้ a3  b3 เป็นจานวนคู่
จาก a3  b3  c3 จะได้ c3 เป็นจานวนคู่
โดยขอ้ ความแยง้ สลบั ทข่ี องแบบฝึกหดั 2.1 ขอ้ 1.7
จะไดว้ ่า c เป็นจานวนคู่ แต่ c เป็นจานวนเฉพาะ ดงั นนั้ c  2
เน่อื งจาก a และ b เป็นจานวนเฉพาะค่ี จะได้ a และ b มากกวา่ 2
ดงั นนั้ a3  b3  23  c3 ซง่ึ ขดั แยง้ กบั สมมตฐิ าน a3  b3  c3
สรปุ ไดว้ า่ ไมม่ จี านวนเฉพาะ a, b และ c ใดเลย ทท่ี าให้

a3  b3  c3

ตวั อยา่ ง 2.19 จงพสิ จู น์วา่ ถา้ a เป็นจานวนเตม็ แลว้ 3 a(a + 1)(a + 2)

พิสจู น์ ในตวั อยา่ งน้ี สาหรบั จานวนเตม็ a ใด ๆ สามารถแยกกรณไี ดเ้ ป็น
3 หาร a ลงตวั หรอื เหลอื เศษ 1 หรอื เหลอื เศษ 2

ดงั นนั้ มจี านวนเตม็ k บางจานวน ซง่ึ ทาให้
a  3k หรอื a  3k  1 หรอื a  3k  2

ขอ้ ความทต่ี อ้ งการพสิ จู น์อยใู่ นรปู
ถา้ ( a  3k หรอื a  3k  1 หรอื a  3k  2 ) แลว้ 3 a(a + 1)(a + 2)

แบ่งการพสิ จู น์เป็น 3 กรณี คอื
กรณีท่ี 1 ถา้ a  3k แลว้ 3 a(a + 1)(a + 2)
กรณีท่ี 2 ถา้ a  3k  1 แลว้ 3 a(a + 1)(a + 2)
กรณที ่ี 3 ถา้ a  3k  2 แลว้ 3 a(a + 1)(a + 2)

พิสจู น์กรณีท่ี 1 สมมตใิ ห้ a  3k
จะไดว้ ่า

a(a  1)(a  2)  3k(3k  1)(3k  2)

 3[k(3k  1)(3k  2)]

และ k(3k  1)(3k  2) เป็นจานวนเตม็
นนั ่ คอื 3 a(a + 1)(a + 2)

กรณีที่เหลอื พิสจู น์ในทานองเดียวกนั

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 15

12. ให้ a, b และ c เป็นจานวนจรงิ ทแ่ี ตกต่างกนั โดยไมใ่ ชค้ วามรเู้ รอ่ื ง A.M. และ G.M

จงพสิ จู นว์ า่  2a  b 2   2b  c 2   2c  a 2  5
     
 a  b   bc   ca 

พิสจู น์ ให้ a, b และ c เป็นจานวนจรงิ ทแ่ี ตกต่างกนั

จะแสดงวา่  2a  b 2   2b  c 2   2c  a 2  5
     
 a b   bc   c a 

สมมตวิ ่า x  a a , y  b c และ z  c c a จะไดว้ ่า
 b b 

1 x  1  a a b  aba  2a  b
 ab ab

ในทานองเดยี วกนั ไดว้ ่า 1 y  2b  c และ 1  z  2c  a และยงั ไดว้ า่
bc ca

(x  1)(y  1)(z  1)   a  1 b  1  c  1
      a 
 a b  b  c  c

 a a bbbccca   b  c  a 
         
 ab  bc  ca   a  b   b  c   c  a 

  a  b  c   xyz
     
 a  b   b  c   c  a 

ดงั นนั้ (x  1)(y  1)(z  1)  xyz จะไดว้ า่

(xy  x  y  1)(z  1)  xyz
xyz  xz  yz  z  xy  x  y  1  xyz
x  y  z  xy  yz  xz  1

และ (x  y  z)2  (x  y  z)(x  y  z)

 x2  xy  xz  xy  y2  yz  xz  yz  z2

 x2  y2  z2  2(xy  yz  xz)

 2a  b 2  2b  c 2  2c  a 2 1x 2  1y 2  1z 2
     จะไดว้ า่        
 ab   bc   ca 

 1  2x  x2  1  2y  y2  1  2z  z2

 3  x2  y2  z2  2(x  y  z)

 3  x2  y2  z2  2(xy  yz  xz  1)

 5  x2  y2  z2  2(xy  yz  xz)

 5  x2  y2  z2  2(xy  yz  xz)  5  (x  y  z)2

เน่อื งจาก (x  y  z)2  0 ดงั นนั้  2a  b 2   2b  c 2   2c  a 2  5 
     
 a b   b  c   c  a 

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบยี บวิธพี สิ จู น์ 16

13. ให้ a, b และ c เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ โดยไมใ่ ชค้ วามรเู้ ร่อื ง A.M. และ G.M
จงพสิ จู น์วา่

13.1 a2  b2  c2  ab  bc  ca

13.2 a4  b4  c4  a2b2  b2c2  c2a2  abc (a  b  c)

13.3 ab  bc  ac  a b c
13.4 c a b

พิสูจน์ 13.1  a  b  c 2  1 (ab  bc  ca)
 3
 3 

เน่อื งจาก (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2  0

(a2  2ab  b2)  (b2  2bc  c2)  (c2  2ca  a2)  0

2a2  2b2  2c2  2ab  2bc  2ca  0

2a2  2b2  2c2  2ab  2bc  2ca

a2  b2  c2  ab  bc  ca

13.2 ให้ u  a2, v  b2, w  c2
13.3 ให้ u  ab, v  bc, w  ca

13.4 เน่อื งจาก a2  b2  c2  ab  bc  ca จะไดว้ ่า

(a  b  c)2  2ab  2bc  2ca  ab  bc  ca

(a  b  c)2  3(ab  bc  ca) หารดว้ ย 9 ตลอดได้

 a  b  c 2  1 (ab  bc  ca)
 3
 3 

14. ให้ y  1 โดยท่ี x0 จงหาคา่ ymax, ymin

x  1  5
x

พิสจู น์ ymax  1 โดยท่ี x > 0

min  x  1  5 
 x 
 

min  x  1  5   min  x  1   5
 x   x 
   

 25  7 เพราะ x  1 2 (ตวั อย่าง 1.14)
x

ymax  1
7

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 17

นนั่ คอื y  1
7

ymin  1 โดยท่ี x < 0

max  x  1  5 
 x 
 

max  x  1  5   max  x  1   5
 x   x 
   

 25  3 เพราะ x  1  2 (ตวั อย่าง 1.14)
x

ymin  1
3

นนั่ คอื y  1 page 141 ตอบ ymax  1, ymin  1
3 7 3

ฝึ กหดั พิสูจน์ จงพสิ จู น์วา่

   2  70  2  7  2  72  ...  2 1 7 n1
7 n  4 ทกุ จานวนเตม็ บวก n

   2  70  2  7  2  72  ...  2 1 7 n1
พิสูจน์ ให้ P(n) แทนขอ้ ความ 7 n  4

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบยี บวิธพี สิ จู น์ 18

ขนั้ ท่ี 1 P(1) แทนขอ้ ความ 2  70  2  7   1  7 11 ซง่ึ เป็นจรงิ เพราะต่างกเ็ ท่ากบั 12

4

ขนั้ ที่ 2 ให้ k เป็นจานวนเตม็ บวกใดๆ สมมตใิ ห้ P(k) เป็นจรงิ

   2  70  2  7  2  72  ...  2 1 7 k1
จะไดว้ า่ 7 k  4 --------- (*)

7 k1
4 2
       2  70  2  7  ...  2 1 7 k1
จาก (*) ได้ 7 k  2 7 k1 

   1  7 k1  8 7 k1  1  7 7 k1
 4 4

 1  (7) 7 k1  1  7 k2  1  7 (k1)1

4 4 4

ดงั นนั้ ได้ P(k + 1) เป็นจรงิ โดยหลกั การอปุ นยั เชงิ คณิตศาสตร์ ไดว้ า่

   2  70  2  7  2  72  ...  2 1 7 n1
7 n  4 ทกุ จานวนเตม็ บวก n 

ตวั อยา่ ง 2.23 จงพสิ จู น์ว่า 3 หาร 7n  4n ลงตวั ทกุ จานวนเตม็ บวก n

พิสจู น์ ให้ P(n) แทนขอ้ ความ 3 หาร 7n  4n ลงตวั 
ขนั้ ที่ 1 ถา้ n = 1 ได้ P(1) แทนขอ้ ความ 3 หาร 71  41 ลงตวั
ซง่ึ เป็นจรงิ
ขนั้ ที่ 2 ให้ k เป็นจานวนเตม็ บวกใดๆ สมมตใิ ห้ P(k) เป็นจรงิ
ดงั นนั้ ได้ 3 หาร 7k  4k ลงตวั
เพราะฉะนนั้ 7k  4k  3m สาหรบั บางจานวนเตม็ m
ตอ้ งการแสดงว่า P(k + 1) เป็นจรงิ
นนั่ คอื ตอ้ งการแสดงวา่ 3 หาร 7k1  4k1 ลงตวั

   เน่อื งจาก 7k1  4k1  7k1  7  4k  7  4k  4  4k
  7 7k  4k  3  4k
  73m  3  4k  3 7m  4k

และ 7m + 4k เป็นจานวนเตม็
ดงั นนั้ 3 หาร 7k1  4k1 ลงตวั นนั ่ คอื P(k + 1) เป็นจรงิ
โดยหลกั การอุปนยั เชงิ คณติ ศาสตรไ์ ดว้ า่ P(n) เป็นจรงิ ทุกจานวนเตม็ บวก n
นนั่ คอื 3 หาร 7n  4n ลงตวั ทกุ จานวนเตม็ บวก n

หมายเหตุ ในการพสิ จู น์โดยใชห้ ลกั การอปุ นยั เชงิ คณติ ศาสตร์ เราอาจละการเขยี น P(n) ดงั ตวั อย่าง

ฝึ กหดั พิสจู น์ จงพสิ จู น์ว่า n  , 1  21  22  ...  2n  2

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 19

พิสจู น์ ขนั้ ที่ 1 ถา้ n = 1 แลว้ 1 1  2 ซง่ึ เป็นจรงิ
2

ขนั้ ที่ 2 ให้ k เป็นจานวนเตม็ บวกใดๆ

สมมตใิ ห้

1  21  22  ...  2k  2 --------- (2.3)

ตอ้ งการแสดงว่า 1  21  22  ...  2k  2k1  2

จากอสมการ (2.3) คณู ดว้ ย 1 ทงั้ สองขา้ งได้
2
 1  212
1 21  22  ...  2k
2

21  22  23  ...  2k1  1

บวกดว้ ย 1 เขา้ ไปทงั้ สองขา้ งได้

 1  21  22  23  ...  2k1  1  1  2

โดยอปุ นยั เชงิ คณติ ศาสตรไ์ ดว้ า่ 
1  21  22  ...  2n  2 ทกุ จานวนเตม็ บวก n

ตวั อยา่ ง 2.26 ลาดบั 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … เรยี กว่า ลาดบั ฟิ โบนักซี (Fibonacci

sequence) โดยกาหนด u1  1, u2  2 และ un  un1  un2 เมอ่ื n  3

จงพสิ จู นว์ า่ un   7 n สาหรบั ทุกจานวนเตม็ บวก n
4

พิสูจน์ ในตวั อยา่ งน้ี เราจะแสดงวา่ un   7 n สาหรบั ทุกจานวนเตม็ บวก n
4

โดยแยกแสดงในกรณีท่ี n  1 และ n  2 ดงั น้ี
n
ให้ P(n) แทนขอ้ ความ un   7 จะไดว้ า่
4

P(1) แทนขอ้ ความ u1   7 1 ซง่ึ เป็นจรงิ เพราะ 1 7
4 4

และ P(2) แทนขอ้ ความ u2   7 2 ซง่ึ เป็นจรงิ เพราะ 2 49
4 16

สาหรบั กรณที ่ี n  3 จะแสดงโดยใชห้ ลกั การอปุ นยั เชงิ คณติ ศาสตรอ์ ยา่ งเขม้

ขนั้ ท่ี 1 P(3) แทนขอ้ ความ u3   7 3 ซง่ึ เป็นจรงิ เพราะ 3 343
4 64

ขนั้ ที่ 2 ให้ k เป็นจานวนเตม็ บวกใด ๆ ซง่ึ k  3

สมมตใิ ห้ P3  P4  ...  Pk เป็นจรงิ จะไดว้ า่

u3  7 3 u4  7 4 u k 1  7 k 1 uk  7 k
4 4 4 4
 ,  , …,  , 

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบียบวธิ พี สิ จู น์ 20

ตอ้ งแสดงใหไ้ ดว้ ่า uk1   7 k 1
4

เน่อื งจาก

uk1  uk  uk1   7 k   7  k 1 (จากสมมตฐิ าน)
4 4

 7 1 7 k1  11  7 k 1 (กฎการแจกแจง)
4 4 4 4
  

  11  7 k 1 7 2  4 2
4 4 4 7

  44  7  k 1   7  k 1 (เพราะ 44  1)
49 4 4 49

ดงั นนั้ ได้

uk1   7  k 1
4

ดงั นนั้ P(k + 1) เป็นจรงิ

จากขนั้ ท่ี 1 และ 2 โดยหลกั การอปุ นยั เชงิ คณติ ศาสตรอ์ ยา่ งเขม้ ได้
n
un   7 ทกุ จานวนเตม็ บวก n  3
4

เน่อื งจาก P(1) และ P(2) เป็นจรงิ
n
ดงั นนั้ ได้ un   7 ทกุ จานวนเตม็ บวก n
4

ฝึ กหดั พิสูจน์ โดยใช้หลกั การอปุ นัยเชิงคณิตศาสตร์

 1. จงพสิ จู น์ว่า n  , 8 n2  1 เม่อื แทนเซตของจานวนเตม็ คบ่ี วก

2. จงพสิ จู น์วา่ n  N, n  2 , 1  1  1  ...  1  n
23 n

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 21

3. ในการจดั ขายสนิ คา้ งานหน่งึ ใหใ้ ชค้ ปู องในการซอ้ื ไดเ้ ทา่ นนั้ โดยคปู องมรี าคา 3 และ 5 บาท
ในการซอ้ื จะไมม่ กี ารทอนคปู อง อยากทราบวา่ พอ่ คา้ สามารถตงั้ ราคาสนิ คา้ ไดเ้ ทา่ ใดบา้ ง
พรอ้ มพสิ จู น์คาตอบ

 พิสูจน์ 1. จงพสิ จู น์ว่า n  , 8 n2  1 เมอ่ื แทนเซตของจานวนเตม็ คบ่ี วก

 ตอ้ งการแสดงวา่ n  , 8 n2  1

ให้ n เป็นจานวนเตม็ คบ่ี วกใดๆ จะมี m  ซง่ึ n  2m  1

   ดงั นนั้ จะพสิ จู น์วา่ m  N, 8 (2m  1)2  1 หรอื m  N, 8 4m2  4m

 ให้ P(m) แทนขอ้ ความ 8 4m2  4m

 ขนั้ ที่ 1 P(1) แทนขอ้ ความ 8 4(1)2  4(1) ซง่ึ เป็นจรงิ เพราะ 8 8

ขนั้ ท่ี 2 ให้ k เป็นจานวนเตม็ บวกใดๆ สมมตใิ ห้ P(k) เป็นจรงิ

ดงั นนั้ ได้  8 4k2  4k ……….. (*)

เพราะฉะนนั้ 4k2  4k  8j สาหรบั บางจานวนเตม็ j ตอ้ งการแสดงว่า P(k + 1) เป็นจรงิ

 นนั่ คอื ตอ้ งการแสดงว่า 8 4(k  1)2  4(k  1)

เน่อื งจาก 4(k  1)2  4(k  1)  4(k2  2k  1)  4k  4

 4k2  8k  4  4k  4

 (4k2  4k)  (8k  8)  8j  8(k  1)

 8(j  k  1) 

 และ j  k  1  ดงั นนั้ 8 4(k  1)2  4(k  1) นนั ่ คอื P(k + 1) เป็นจรงิ
 โดยหลกั การอุปนยั เชงิ คณิตศาสตรไ์ ดว้ ่า 8 4m2  4m ทุกจานวนเตม็ บวก m

2. จงพสิ จู น์วา่ n  N, n  2 , 1  1  1  ...  1  n
23 n

ให้ P(n) แทนขอ้ ความ 1  1  1  ...  1  n
23 n

ขนั้ ที่ 1 P(2) แทนขอ้ ความ 1  1  2 ซง่ึ เป็นจรงิ เพราะ 1.71 > 1.41

2

ขนั้ ท่ี 2 ให้ k เป็นจานวนเตม็ บวกใดๆ ซง่ึ k  2 สมมตใิ ห้ P(k) เป็นจรงิ

ดงั นนั้ ได้ 1  1  1  ...  1  k ……….. (*)
23 k

ตอ้ งการแสดงว่า 1  1  1  ...  1  k  1
23 k 1

ตรรกศาสตรแ์ ละระเบยี บวิธพี สิ จู น์ 22

จาก (*) ไดว้ ่า 1  1  1  ...  1  1  k 1
23 k k1 k 1

เหลอื เพยี งแสดงวา่ k  1  k  1 หรอื k  1  k1  0
k1
k1

k  1  k  1  k k  1  1  (k  1)  k k  1  k
k1 k 1 k1

 k k  1  k

 0
k 1

ดงั นนั้ 1  1  1  ...  1  k  1 นนั ่ คอื P(k + 1) เป็นจรงิ
23 k 1

โดยหลกั การอปุ นยั เชงิ คณติ ศาสตรไ์ ดว้ ่า n  N, n  2 , 1  1  1  ...  1  n 
23 n

รศ.นงนชุ สขุ วารี ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ 23

3. ในการจดั ขายสนิ คา้ งานหน่งึ ใหใ้ ชค้ ปู องในการซอ้ื ไดเ้ ทา่ นนั้ โดยคปู องมรี าคา 3 และ 5 บาท

ในการซอ้ื จะไม่มกี ารทอนคปู อง อยากทราบว่าพอ่ คา้ สามารถตงั้ ราคาสนิ คา้ ไดเ้ ท่าใดบา้ ง พรอ้ มพสิ ูจน์คาตอบ
วิธีคิด พอ่ คา้ สามารถตงั้ ราคาได้ ดงั น้ี

3= 3 5=5 6 = 3+3

8 = 3+5 9 = 3+3 10 = 5 + 5

11 = 3 + 3 + 5 12 = 3 + 3 + 3 + 3 13 = 3 + 5 + 5

…

พ่อคา้ สามารถตงั้ ราคาสนิ คา้ ไดท้ กุ จานวนนบั n ซง่ึ n  8
พิสจู น์ ตอ้ งการพสิ จู น์วา่ a   {0} b   {0} , n  3a  5b ทุกจานวนนบั n ซง่ึ n  8

ให้ P(n) แทนขอ้ ความ a   {0} b   {0} , n  3a  5b

ขนั้ ที่ 1 P(8) เป็นจรงิ เพราะ 8 = 3(1) + 5(1) และยงั ไดว้ ่า p(9) และ P(10) เป็นจรงิ เพราะ

9 = 3(2) + 5(0) และ 10 = 3(0) + 5(2) ตามลาดบั
ขนั้ ที่ 2 ให้ k เป็นจานวนเตม็ บวก ซง่ึ k  10 สมตใิ ห้ P(8) , P(9) , … , P(k) เป็นจรงิ
เน่อื งจาก k  2  10  2  8 และจากสมมตฐิ าน
จะไดว้ ่า a   {0} b   {0} ซง่ึ ทาให้ k  2  3a  5b

ดงั นนั้ k  1  (k  2)  3  (3a  5b)  3  3(a  1)  5b 
จะไดว้ า่ P(k+1) เป็นจรงิ โดยอุปนยั เชงิ คณติ ศาสตร์ ไดว้ า่ P(n) เป็นจรงิ ทุก n  8
นนั่ คอื พอ่ คา้ สามารถตงั้ ราคาสนิ คา้ ได้ ในราคา 3, 5 , 6 และทกุ จานวนนบั n ใด ๆ ซง่ึ n  8