แบบฝึกทักษะ แคลคูลัสเบื้องต้น เล่มที่ 1 เรื่องลำดับและอนุกรมอนันต์ ปีการศึกษา 2563

แบบฝกึ ทกั ษะ รายวิชา คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เติม 5
รหสั วิชา ค33201

คณิตศาสตร์ ม.6

แคลคลู ัสเบอื้ งต้น

เล่มที่

1

เรอ่ื ง ลาดับและอนกุ รมอนนั ต์

ชอ่ื ………………………………………..……….ชั้น ม.6/………เลขที่………

ครผู ู้สอน ครคู รรชิต แซ่โฮ่
ตาแหนง่ ครู วิทยฐานะ ครูชานาญการ

โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา
สานักงานเขตพืน้ ท่ีการศกึ ษามธั ยมศกึ ษา เขต 15

กระทรวงศึกษาธกิ าร

ก

คำนำ

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น จัดทาขึ้นเพื่อใช้ประกอบการจัดกิจกรรม
การเรียนรู้กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 รหัสวิชา ค33201 ช้ัน
มัธยมศึกษาปีท่ี 6 ซ่ึงสอดคล้องกับผลการเรียนรูและสาระการเรียนรูเพ่ิมเติม กลุ่มสาระการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช
2551 เป็นแบบฝึกทักษะท่ีใช้ประกอบการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ที่ส่งเสริมให้ผู้เรียนเกิดการ
เปล่ียนแปลงพฤติกรรมในการเรียนรู้ตามความสามารถของแต่ละคน เพื่อมุ่งเน้นให้ผู้เรียนมีความรู้
ความเขา้ ใจในบทเรียนได้ดี ส่งเสริมความก้าวหน้าทางการเรียนรู้ที่มุ่งเน้นผู้เรียนเป็นสาคัญ มุ่งพัฒนา
และส่งเสริมทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียน ซ่ึงได้แก่ ความสามารถในการ
แก้ปัญหา การให้เหตุผลความคิดริเร่ิมสร้างสรรค์ ฝึกให้ผู้เรียนทางานอย่างเป็นระบบ มีระเบียบวินัย
รอบคอบ มคี วามรับผดิ ชอบ ตระหนกั ในคณุ คา่ และมีเจตคติทด่ี ีต่อวชิ าคณิตศาสตร์ รวมทั้งตอบสนอง
สาระ มาตรฐานการเรียนรู้และตวั ชี้วัดในรายวิชาคณติ ศาสตร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น เล่มนี้เป็นเล่มท่ี 1 เร่ือง ลาดับและอนุกรม
อนันต์ เพ่ือให้การพัฒนาทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียนเป็นไปตามเป้าหมาย
ผเู้ รียนควรปฏบิ ัตติ ามขั้นตอนในการใชแ้ บบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์อยา่ งครบถ้วน

ผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น เล่มนี้ คงเป็น
ประโยชน์ต่อผู้เรียนในการเรียนรู้ สามารถนาผู้เรียนไปสู่จุดหมายตามศักยภาพ เป็นผู้ที่มีคุณลักษณะ
อันพึงประสงค์ นาความรู้ไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจาวันได้ และเป็นแนวทางสาหรับผู้ที่มีความสนใจ
ต่อไป

ขอขอบพระคุณผู้อานวยการโรงเรียน คณะครูกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ผู้ท่ีมีส่วน
เกย่ี วข้องทุกท่าน ทไี่ ดอ้ านวยความสะดวก เป็นกาลังใจ ให้ความช่วยเหลือ และให้การสนับสนุน และ
ขอขอบใจนักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 6 ทุกคนที่ให้ความร่วมมือในกิจกรรมการเรียนรู้และทาให้แบบ
ฝกึ ทักษะคณิตศาสตรเ์ ลม่ นสี้ าเร็จลลุ ว่ งดว้ ยดี ขอขอบคุณเปน็ อยา่ งสงู ไว้ ณ โอกาสน้ี

คุณค่าและประโยชน์ของแบบฝึกทักษะนี้ ผู้จัดทาขอมอบเป็นเคร่ืองบูชาพระคุณแด่บิดา
มารดา และบูรพาจารย์ ตลอดจนผู้มีพระคุณทุกท่าน ท่ีอบรมส่ังสอนประสิทธ์ิประสาทความรู้ท้ังปวง
แกผ่ จู้ ดั ทา

ครรชิต แซ่โฮ่
ตาแหนง่ ครู วิทยฐานะ ครูชานาญการ

สารบัญ ข

เรอื่ ง หน้า

คานา ก
สารบญั ข
คาอธิบายรายวชิ า 1
หนว่ ยการเรียนรู้ 2
โครงสร้างรายวิชา 3
ลาดบั และอนกุ รมอนันต์ 4
4
1. ลิมติ ของลาดบั 4
กจิ กรรมการหาลิมิตของลาดบั โดยการใชก้ ราฟ 7
กจิ กรรมการหาลิมิตของลาดบั โดยทฤษฎีบทเก่ยี วกับลิมิต 12
แบบฝึกทกั ษะท่ี 1 ลมิ ิตของลาดับ 14
16
2. สญั ลักษณ์แสดงการบวก 12
กจิ กรรมสญั ลักษณแ์ สดงการบวก 21
แบบฝึกทกั ษะที่ 2 ลิมติ ของลาดับ 21
21
3. อนุกรมอนนั ต์และผลบวกของอนุกรมอนนั ต์ 27
กิจกรรมผลบวกอนุกรมอนันต์ 30
3.1 ลาดบั ของผลบวกย่อยของอนกุ รม 34
3.2 ผลบวกของอนกุ รมเลขคณติ และอนุกรมเรขาคณิต 35
แบบฝกึ ทักษะท่ี 3 ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์ 36
3.3 อนุกรมเทเลสโคป (Telescoping Series)
3.4 อนุกรมอนันต์แบบผสม
แบบฝึกทกั ษะที่ 4 อนุกรมอนันตท์ ี่น่าสนใจ

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เร่อื ง ลาดบั และอนกุ รนอนนั ต์ 1

รายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 5 คาอธบิ ายรายวิชา รหสั วชิ า ค33201
ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6 ภาคเรยี นท่ี 1 4 ช่วั โมง/สัปดาห์
80 ชั่วโมง/ภาคเรียน
2.0 หนว่ ยกิต

ศึกษา พร้อมทั้งฝกึ ทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์อนั ได้แก่ การแก้ปัญหา การให้เหตผุ ล
การสือ่ สาร การส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ การเชอ่ื มโยงความรู้ต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ และ
เชอื่ มโยงคณติ ศาสตรก์ ับศาสตร์อ่นื ๆ และมีความคิดรเิ รม่ิ สร้างสรรค์ ในเนอื้ หาสาระ ดังนี้

ลาดับและอนุกรม ลาดับ ได้แก่ ความหมายของลาดับ ลาดับจากัดและลาดับอนันต์ ลาดับ
เลขคณิต ลาดับเรขาคณิตและลาดับฮาร์มอนิก ลิมิตของลาดับ อนุกรม ได้แก่ อนุกรมจากัดและอนุกรมอนันต์
อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต อนุกรมอนันต์ สัญลักษณ์แสดงการบวก และการประยุกต์ของลาดับและ
อนุกรม

แคลคูลัสเบ้ืองต้น ลิมิตของฟังก์ชัน ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน การหาอนุพันธ์ของ
ฟังก์ชันโดยใช้สูตร อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ เส้นสัมผัสเส้นโค้ง อนุพันธ์อันดับสูง การประยุกต์ของอนุพันธ์
ได้แก่ การเคลอื่ นทแ่ี นวตรง ค่าสูงสุดและค่าตา่ สดุ และโจทย์ปัญหาเกี่ยวกบั ค่าสงู สดุ และค่าต่าสุด ปฏิยานุพันธ์และ
ปรพิ ันธ์ไมจ่ ากัดเขต ปริพนั ธจ์ ากดั เขต พนื้ ท่ที ป่ี ดิ ลอ้ มด้วยเส้นโคง้

โดยจัดประสบการณ์หรือสร้างสถานการณ์ท่ีใกล้ตัวให้ผู้เรียนได้ศึกษาค้นคว้าโดยปฏิบัติจริง ทดลอง สรุป
รายงาน เพอ่ื ใหม้ ีความรคู้ วามเขา้ ใจในเนอื้ หา มที ักษะการแกป้ ัญหา การใหเ้ หตุผลและนาประสบการณ์ด้านความรู้
ความคิด การใช้ทักษะชีวิต กระบวนการ และการใช้เทคโนโลยีที่ได้ไปใช้ในชีวิตประจาวันได้ตามหลักปรัชญาของ
เศรษฐกิจพอเพยี ง รวมทง้ั ให้มีความรักชาติ ศาสน์ กษัตริย์ ซ่ือสัตย์สุจริต มีวินัย ใฝ่เรียนรู้ อยู่อย่างพอเพียง มุ่งม่ัน
ในการทางาน รักความเป็นไทยและมีจติ สาธารณะ

การวัดและประเมินผล ใช้วิธีการท่ีหลากหลายตามสภาพเป็นจริงให้สอดคล้องกับเน้ือหาและทักษะท่ี
ตอ้ งการวัด

ผลการเรยี นรู้
1. ระบไุ ด้ว่าลาดบั ทกี่ าหนดใหเ้ ป็นลาดบั ลเู่ ขา้ หรอื ลอู่ อก
2. หาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ และอนุกรมเรขาคณติ ได้
3. หาผลบวกของอนุกรมอนันต์ได้
4. เข้าใจและนาความรู้เกี่ยวกับลาดับและอนุกรมไปใช้
5. ตรวจสอบความตอ่ เนอ่ื งของฟังก์ชนั ทกี่ าหนดให้ได้
6. หาอนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชนั พีชคณิตที่กาหนดให้และนาไปใช้แก้ปญั หาได้
7. หาปริพนั ธไ์ ม่จากดั เขตและจากัดเขตของฟังก์ชนั พชี คณิตท่ีกาหนดให้ และนาไปใช้แก้ปัญหาได้

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรือ่ ง ลาดับและอนกุ รนอนนั ต์ 2

รายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ 5 หน่วยการเรยี นรู้ รหสั วิชา ค33201
ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 6 ภาคเรียนที่ 1 4 ชว่ั โมง/สัปดาห์
80 ช่วั โมง/ภาคเรียน
2.0 หนว่ ยกิต
ชั้นเรียน/ภาคเรยี น สาระการเรยี นรู้
จานวนชัว่ โมง
ม.6 1. ลาดบั และอนุกรม 30
ภาคเรียนที่ 1 1.1 ลาดับ
- ความหมายของลาดับ 50
- ลาดับเลขคณติ
- ลาดับเรขาคณิต 80
- ลาดับฮารม์ อนิก
1.2 ลิมิตของลาดบั อนันต์
1.3 อนุกรม
- อนุกรมเลขคณติ
- อนุกรมเรขาคณิต
- อนุกรมอนนั ต์
1.4 สัญลกั ษณ์แสดงการบวก
1.5 การประยุกตข์ องลาดบั และอนกุ รม

2. แคลคลู สั เบ้อื งตน้
2.1 ลิมิตของฟังก์ชนั
2.2 ความตอ่ เน่ืองของฟงั กช์ ัน
2.3 อนพุ ันธ์ของฟังก์ชนั พีชคณิต
2.4 การหาอนุพันธ์ของฟงั ก์ชนั พีชคณติ โดยใช้สตู ร
2.5 อนพุ นั ธ์ของฟังกช์ ันประกอบ
2.6 เส้นสัมผสั เส้นโค้ง
2.7 อนพุ ันธอ์ ันดับสูง
2.8 การประยกุ ต์อนุพันธ์
2.9 ปฏบิ านพุ ันธแ์ ละปริพันธ์ไม่จากัดเขต
2.10 ปรพิ ันธจ์ ากดั เขต
2.11 พนื้ ทีท่ ป่ี ิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้

รวม

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เร่ือง ลาดบั และอนกุ รนอนันต์ 3

รายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เตมิ 5 โครงสรา้ งรายวชิ า รหัสวิชา ค33201
ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 6 ภาคเรียนท่ี 1 4 ช่ัวโมง/สัปดาห์
80 ชวั่ โมง/ภาคเรียน
2.0 หน่วยกติ

ลาดับ ช่อื ผลการเรียนรู้ สาระการเรียนรแู้ กนกลาง เวลา นา้ หนกั
ท่ี หนว่ ยการเรยี นรู้ (ชว่ั โมง) คะแนน

1 ลาดบั และอนุกรม 1. ระบไุ ดว้ ่าลาดับท่ี ลาดับและอนุกรม ลาดับ ได้แก่ 30 45

อนันต์ กาหนดใหเ้ ปน็ ลาดับลูเ่ ข้า ความหมายของลาดับ ลาดบั จากดั

หรอื ลู่ออก และลาดับอนันต์ ลาดบั

2. หาผลบวก n พจนแ์ รก เลขคณิต ลาดบั เรขาคณิตและ

ของอนุกรมเลขคณิตและ ลาดบั ฮารม์ อนกิ ลมิ ิตของลาดับ

อนุกรมเรขาคณติ ได้ อนุกรม ได้แก่ อนกุ รมจากัดและ

3. หาผลบวกของอนุกรม อนกุ รมอนนั ต์ อนกุ รมเลขคณิต

อนันตไ์ ด้ และอนุกรมเรขาคณิต อนุกรม

4. เข้าใจและนาความรู้ อนนั ต์ สญั ลกั ษณแ์ สดงการบวก

เกี่ยวกบั ลาดบั และ และการประยุกต์ของลาดับและ

อนุกรมไปใช้ อนุกรม

2 แคลคูลสั เบ้ืองต้น 5. ตรวจสอบความตอ่ เน่ือง แคลคลู ัสเบอื้ งตน้ ลิมิตของ 50 55

ของฟังกช์ ันท่ีกาหนดให้ ฟงั ก์ชนั ความต่อเน่ืองของฟังกช์ นั

ได้ อนุพนั ธ์ของฟงั กช์ ัน การหา

6. หาอนพุ ันธ์ของฟังกช์ นั อนุพนั ธ์ของฟังก์ชนั โดยใชส้ ตู ร

พีชคณิตท่ีกาหนดใหแ้ ละ อนุพันธข์ องฟงั ก์ชันประกอบ เส้น

นาไปใชแ้ ก้ปัญหาได้ สมั ผัสเส้นโค้ง อนพุ ันธ์อนั ดบั สงู

7. หาปรพิ นั ธ์ไมจ่ ากดั เขต และการประยุกต์ของอนุพันธ์

และจากัดเขตของ ไดแ้ ก่ การเคล่ือนทแี่ นวตรง

ฟงั ก์ชันพีชคณติ ที่ ค่าสูงสดุ และค่าตา่ สดุ และโจทย์

กาหนดให้ และนาไปใช้ ปญั หาเก่ยี วกับค่าสงู สดุ และค่า

แก้ปัญหาได้ ตา่ สดุ ปฏยิ านพุ นั ธแ์ ละปริพนั ธไ์ ม่

จากัดเขต ปริพนั ธจ์ ากดั เขต พน้ื ท่ี

ทปี่ ดิ ลอ้ มด้วยเส้นโคง้

รวมตลอดภาคเรยี น 80 100

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรื่อง ลาดับและอนกุ รนอนนั ต์ 4

ลาดบั และอนุกรมอนนั ต์

Mathematics (Infinite Sequence and Infinite Series)

KANARAS

1. ลิมิตของลาดบั

บทนาลิมิตของลาดบั
พิจารณาจากการทากจิ กรรมต่อไปน้ี

กิจกรรม
การหาลิมิตของลาดับโดยการใชก้ ราฟ

คาชแ้ี จง ใหน้ ักเรียนตอบคาถามต่อไปนีใ้ หถ้ ูกต้องสมบูรณ์

1. ใหน้ กั เรยี นพิจารณากราฟของลาดบั an 1 เมอื่ n มีคา่ มากขึ้นโดยไมม่ ีที่ส้ินสุด ดังต่อไปนี้
n

n 1 2345 6 7 8 …

an …

an

1

1
2

n

0 12 3 4 5 67 8

จากกราฟจะพบวา่ ถา้ n มากขึ้นโดยไม่มที ่สี ิน้ สดุ แล้ว an จะลดลงและเข้าใกล้....................

2. พจิ ารณากราฟของลาดับ an 1 เมื่อ n มีคา่ มากขน้ึ โดยไม่มที สี่ ิ้นสดุ ดงั ต่อไปนี้ …
…
n 1 2345 6 7 8
an

an

2

1

n

0 12 3 4 56 7 8

จากกราฟจะพบวา่ ถา้ n มากขึ้นโดยไม่มีทส่ี นิ้ สุด แล้ว an จะมีคา่ เป็น....................เสมอ

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรอื่ ง ลาดับและอนุกรนอนันต์ 5

3. พิจารณากราฟของลาดับ an  n เมอ่ื n มคี ่ามากขน้ึ โดยไม่มที ่สี ้ินสุด ดังต่อไปนี้
2n 1

n 1 2345 6 7 8 …
…
an

an

2

1

n

0 12 3 4 56 7 8

จากกราฟจะพบว่า ถ้า n มากข้ึนโดยไม่มีท่ีสิ้นสุด แล้ว an จะมีเข้าใกล.้ ...................

4. พิจารณากราฟของลาดับ an  2n 1 เม่อื n มีค่ามากขน้ึ โดยไม่มที ่สี ิ้นสุด ดงั ตอ่ ไปนี้ …
…
n 1 2345 6 7 8
an

an

20

10

n

0 12 3 4 56 7 8

จากกราฟจะพบวา่ ถา้ n มากข้ึนโดยไมม่ ที ่ีสนิ้ สุด แล้ว an จะมีค่า............................................................

5. พิจารณากราฟของลาดับ an  (1)n เมอ่ื n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีทีส่ ิ้นสุด ดังต่อไปนี้ …
…
n 1 2345 6 7 8
an

an

1

n

01 2 3 4 5 67 8

-1

จากกราฟจะพบวา่ เม่ือ n เปน็ จานวนค่ี an จะมีเทา่ กับ........เมอ่ื n เปน็ จานวนคู่ an จะมีเท่ากับ........
ดงั นั้น เม่อื n มากข้นึ โดยไมม่ ที ่ีสนิ้ สุด แล้ว an จะ.....................................................................................

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรอ่ื ง ลาดับและอนุกรนอนนั ต์ 6

บทนิยาม ลมิ ิตของลาดบั (Limit of Sequence)

ให้ a1,a2,a3,...,an,... เป็นลาดับอนันต์ ถ้า n มากขึ้นโดยไม่มีท่ีส้ินสุดแล้ว an เข้าใกล้หรือเท่ากับ

จานวนจริง L เพียงจานวนเดียวเท่าน้ัน จะเขียนแทนด้วย lim an L (อ่านว่า ลิมิตของลาดับ an เม่ือ n มาก

n

ขึ้นโดยไม่มีทส่ี นิ้ สดุ เท่ากับ L) และจะเรียก L ว่า ลิมิตของลาดับ (Limit of a sequence) และกล่าวว่าลาดับนี้

มลี มิ ิตเทก่ บั L

เรียกลาดบั อนนั ต์ที่มลี มิ ิตว่า ลาดับลู่เข้า หรอื ลาดับคอนเวอร์เจนต์ (Convergent sequence)

และเรยี กลาดบั อนันต์ที่ไม่ใชล่ าดบั ลู่เขา้ วา่ ลาดับล่อู อก หรือ ลาดับไดเวอรเ์ จนต์ (Divergent sequence)

การหาลมิ ิตของลาดบั ต่างๆ สามารถทาได้ 2 วิธี คอื
1. โดยพิจารณากราฟของลาดับหรือตาแหน่งของพจน์ที่ n ของลาดับบนเส้นจานวน
2. โดยใช้ทฤษฎเี กยี่ วกบั ลมิ ิต

ทฤษฎีบทเกยี่ วกับลมิ ิตของลาดับ

ทฤษฎบี ท 1 ให้ k เปน็ จานวนจริงบวก จะไดว้ ่า lim 1  .............. และ lim nk  .....................

n nk n

ตวั อย่างที่ 1 (1) lim 1 = ………………… (2) lim 1 = …………………
= ………………… n2 = …………………
n n = ………………… n = …………………

(3) lim 1 (4) lim 1

n n n 3

n2

(5) lim n (6) lim n2
n n

ทฤษฎีบท 2 ให้ r เปน็ จานวนจรงิ จะได้วา่
ถา้ r  1 แล้ว lim r2 = …………………

n

ถา้ r  1 แลว้ lim r2 = …………………
n

ตัวอย่างที่ 2 (1) lim  1 n = ………………… (2) lim 3n1 = …………………
 2  n
n

(3) lim   1 n = ………………… (4) lim   5 n = …………………
 3   4 
n n

(5) lim (2)n = ………………… (6) lim 4n = …………………
n n

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เร่ือง ลาดับและอนกุ รนอนนั ต์ 7

ทฤษฎีบท 3 ลิมิตของพชี คณิตของลาดับ

ให้ an, bn เป็นลาดับของจานวนจริง A, B เป็นจานวนจริง m เป็นจานวนเต็มท่ีมากกว่าหรือ

เท่ากับสอง และ c เป็นค่าคงตวั ใด ๆ โดยท่ี lim an  A และ lim bn  B จะได้วา่

n n

1. lim c = ………………………………………………………………….
x

2. lim can = ………………………………………………………………….

n

3. lim (an  bn ) = ………………………………………………………………….

n

4. lim (an  bn ) = ………………………………………………………………….

n

5. lim (an  bn ) = ………………………………………………………………….

n

6. lim  an  = ………………………………………………………………….
 bn  = ………………………………………………………………….
n

7. lim m an
n

กิจกรรม
การหาลมิ ิตของลาดับ
โดยทฤษฎบี ทเกีย่ วกับลิมติ

1. ใหน้ ักเรียนหาลิมติ ของลาดับ เมื่อกาหนดลาดับ an  4  1 และ bn  1 1 1 
n 3 n 

1) lim an 2) lim bn

n n

............................................................................................................................. .......................................................

............................................................................................................................... .....................................................

3) lim (an  bn ) 4) lim (an  bn )

n n

........................................................................................................................................................... .........................

.......................................................................................................... ..........................................................................

5) lim (an  bn ) 6) lim  an 
 bn 
n n

.................................................................................................................... ................................................................

............................................................................................................................. .......................................................

7) lim an 8) lim bn
n n

............................................................................................................................. .......................................................

.................................................................................................................................................. ..................................

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรอ่ื ง ลาดับและอนกุ รนอนนั ต์ 8

2. จงหา lim an เมอื่ กาหนดพจน์ท่ี an ดงั ตอ่ ไปน้ี

n

1) an  2 2) 2n 1, 1  n  10
an  55, n  10

............................................................................................................................. .......................................................

........................................................................................................................................ ............................................

3) an  n 4) an  n3  n

................................................................................................................................................. ...................................

................................................................................................ ....................................................................................

5)  2 n 6)  2 2 n
 5   3 
an  an  

......................................................................................................... ...........................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

7) an   5 n 8) an  ln 2n
 4 

............................................................................................................................. .......................................................

....................................................................................................................................... .............................................

9) an  2 10) an  3(5n )
n2 1

............................................................................................................................................... .....................................

.............................................................................................. ......................................................................................

3. จงหา lim an เมื่อกาหนดพจนท์ ่ี an ดังตอ่ ไปน้ี

n

1) an  1  3n2 2) an  3n  5
n2 6

...................................................................................................................................... ..............................................

....................................................................................................................................................................................

3) an  5  4n 4) an  n2 1
n 4n

............................................................................................... .....................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

5) an  3n1 6) an  2n1  3
5n2 3n2

............................................................................................................................. .......................................................

....................................................................................................................................................................................

7) an  4  3n  n2 8) an  n2  n3
2n3  3n2  5 n 1 n2  3

....................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรอ่ื ง ลาดบั และอนุกรนอนันต์ 9

ทฤษฎบี ท 4 (ลมิ ิตของลาดับเศษส่วนพหุนาม)

กาหนดลาดับ an  A1n p  A2n p1  A3n p2  ... An พจิ ารณาดังน้ี
B1n p  B2n p1  B3n p2  ... Bn

(1) ถา้ pq จะได้วา่ ลาดับ an จะเป็นลาดบั ลเู่ ขา้ และ lim an = ………………..

n

(2) ถา้ pq จะไดว้ ่า ลาดบั an จะเป็นลาดับล่เู ข้า และ lim an = ………………..

n

(3) ถา้ pq จะได้วา่ ลาดับ an จะเปน็ ลาดับลู่ออก และ lim an ………………..

n

ตวั อย่างท่ี 3 (1) ลาดับ an  6n  4 เป็นลาดบั ……………………. และ lim an = …………………….
6n  4
n

(2) ลาดบั an  2n2  3n เป็นลาดับ……………………. และ lim an = …………………….
5n  3n2
n

(3) ลาดบั an  4  5n เป็นลาดบั ……………………. และ lim an = …………………….
5n2  3
n

(4) ลาดับ an  4n3 1 เป็นลาดบั ……………………. และ lim an = …………………….
3n2  2n
n

1. ให้นกั เรยี นพิจารณาลาดับท่กี าหนดให้เป็นลาดับลเู่ ข้าหรือลู่ออก และหาลิมติ ของลาดับน้ัน

1) an  n 1 2) an  4n3  2
n2 5n3  4n  5

............................................................................................................................. .......................................................

..................................................................................................................................... ...............................................

3) an  n2 n 1 4) an  n3  n  7
 2n  5 n 1

............................................................................................................................................... .....................................

.............................................................................................. ......................................................................................

5) an   1n 6) an  3n2 1
10n  5n2
n

....................................................................................................... .............................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

7) an  4n2 1 8) an  1  1
2n  3 n3  2 n n 1

............................................................................................................................. .......................................................

...................................................................................................................................... ..............................................

9) an  2n  5n  2 10) an  4 32n
3n  4n  3 2n 1
4

................................................................................................................................................ ....................................

............................................................................................... .....................................................................................

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรอื่ ง ลาดบั และอนุกรนอนนั ต์ 10

ทฤษฎบี ท 4 (ลิมติ ของลาดับในรปู เลขยกกาลงั )

กาหนดลาดับ an  A1x1n  A2x2n  A3 x3n  ... Ak xk n เช่น an  3 2n  53n1
B1 y1n  B2 y2n  B3 y3n  ... Bh yhn 6  3n1  7  2n2  4

พิจารณาดังนี้

(1) ถ้า ฐานสูงสุดของตวั เศษ ฐานสงู สุดของตวั สว่ น

จะไดว้ ่า ลาดับ an จะเป็นลาดับลูเ่ ข้า และ lim an = ………………..

n

(2) ถ้า ฐานสงู สุดของตวั เศษ  ฐานสงู สุดของตัวส่วน

จะได้ว่า ลาดับ an จะเป็นลาดบั ล่เู ขา้ และ lim an = ………………..

n

(3) ถ้า ฐานสงู สุดของตวั เศษ ฐานสูงสุดของตวั ส่วน

จะไดว้ า่ ลาดับ an จะเป็นลาดบั ลอู่ อก และ lim an ………………..

n

ตัวอยา่ งที่ 4 (1) ลาดับ an  2n 1 เป็นลาดับ……………………. และ lim an = …………………….
2n
n

(2) ลาดับ an  2n  3n เป็นลาดบั ……………………. และ lim an = …………………….
4n
n

(3) ลาดบั an  2n  5 3n1 เปน็ ลาดับ……………………. และ lim an = …………………….
3n1  4
n

(4) ลาดบั an  5n 1 เปน็ ลาดับ……………………. และ lim an = …………………….
4 3n  2
n

1. ให้นักเรยี นพิจารณาลาดับทกี่ าหนดให้เปน็ ลาดับล่เู ขา้ หรือลูอ่ อก และหาลิมติ ของลาดับนั้น

1) an  2n2 1 2) an  2n  5  3n1
2n  5 3n1  4

............................................................................................................................. .......................................................

...................................................................................................................................... ..............................................

3) an  1  3 5n  2n1 4) an  5n  33
7n1  5n 5  2n1

................................................................................................................................................. ...................................

................................................................................................ ....................................................................................

5) an  4  5n  3n2 6) an  55  3n
5n1  6n 3n1  5

.......................................................................................................... ..........................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

7) an  9n 1  2n 8) an  3n 2 16n 1
3n 1 4n 4

............................................................................................................................. .......................................................

......................................................................................................................................... ...........................................

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรอ่ื ง ลาดับและอนกุ รนอนันต์ 11

ตวั อย่างท่ี 5 (ลิมิตของลาดบั ในรปู แบบไม่กาหนด ไดแ้ ก่   ,  หรือ 0 )

0

ให้นกั เรียนพจิ ารณาลาดับที่กาหนดให้เป็นลาดบั ลเู่ ขา้ หรือล่อู อก และหาลิมิตของลาดับน้ัน

1) an  n n3 2) an  n3  n2
2 2n2  n n2  2 n  3

............................................................................................................................. .......................................................

....................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. .......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

................................................................................................................................................................... .................

.................................................................................................................. ..................................................................

3) an  4n 1  6n 4) an  n 1  n
2n  3n 1

............................................................................................................................ ........................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

................................................................................................................................................ ....................................

............................................................................................... .....................................................................................

............................................................................................................................. .......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

....................................................................................................................................................................................

5) an  n2  2n  4  n2 1 6) an  2 n4  n
n4  2n2 

....................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

............................................................................................................................. .......................................................

............................................................................................................................................................................. .......

........................................................................................................................... .........................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

............................................................................................................................................... .....................................

.............................................................................................. ......................................................................................

7) an  n 2  n1 8) an  n2 n 1
n  n 1 3n  2  3n 1

......................................................................................................... ...........................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

............................................................................................................................. .......................................................

....................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. .......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

........................................................................................................................................................................... .........

.......................................................................................................................... ..........................................................

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 เรอื่ ง ลาดบั และอนกุ รนอนันต์ 12

แบบฝึกทกั ษะท่ี 1
ลมิ ิตของลาดบั

1. ใหน้ ักเรียนพจิ ารณาลาดับทก่ี าหนดให้เปน็ ลาดับลู่เขา้ หรือลูอ่ อก และหาลมิ ติ ของลาดับน้นั

1) an 5 6 2) an  3n2  2
3n 1 2  2n2

........................................................................................................... .........................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

3) an  n2 3n 4) an  1 7n2
 2n3 1 2n  n3

............................................................................................................................. .......................................................

.......................................................................................................................................... ..........................................

5) an  1  3n  n5 6) an  n3 1
n3 1 3n5 1 n2  n  2

..................................................................................................................................................... ...............................

.................................................................................................... ................................................................................

7) an  4n2  2 8) an  5n3  4n  4
4  4n  4n2 4n  2n3

.............................................................................................................. ......................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

9) an  (n2 1)(n2  n) 10) an  n(3n 1)2
4  2n4 1 2n3

............................................................................................................................. .......................................................

............................................................................................................................................. .......................................

11) an  (3n 1)(1 n2 ) 12) an  3n4  6n2 2
(n 1)(2n2  n) (5n  4n2 )n2

...................................................................................................................................................... ..............................

..................................................................................................... ...............................................................................

13) an  (n  2n2 )(n2 1) 14) an  n  53 n  2
9  5n3 n 33 n 1
2

.............................................................................................................. ......................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

15) an  n  4n2  n  2 16) an  2n 1  2n 1
n 1 4n 1 1

............................................................................................................................. .......................................................

............................................................................................................................................ ........................................

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรื่อง ลาดับและอนกุ รนอนนั ต์ 13

17) an  1 n2 1 18) an  2n2  2n  3  2n2  n 1
n2  2n 

.................................................................................................................................................. ..................................

................................................................................................. ...................................................................................

............................................................................................................................. .......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

....................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

............................................................................................................................. .......................................................

................................................................................................................................................................... .................

19) an  n 1 n 1 20) an  n(n  n2  2)
2n  3  2n  3

............................................................................................................................................................................ ........

........................................................................................................................... .........................................................

............................................................................................................................. .......................................................

............................................................................................................................................... .....................................

............................................................................................. .......................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

............................................................................................................................. .......................................................

....................................................................................................................................................................................

21) an  1 1  1  ...  1 22) an  1 2  4  8  ...  2n1 )
3 32 3n1 3(1 2  4  8  ...  (2)n1

....................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

............................................................................................................................. .......................................................

......................................................................................................................................................................... ...........

....................................................................................................................... .............................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

........................................................................................................................................... .........................................

....................................................................................................................................................................................

23) an  2n  6n  3n 24) an  2  22n  4n 1
2n1 1 3n1 3n

.................................................................................................. ..................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

............................................................................................................................. .......................................................

....................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. .......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรอ่ื ง ลาดับและอนุกรนอนนั ต์ 14

2. สัญลักษณแ์ สดงการบวก

เนอ่ื งจากในเร่ืองของอนุกรมนน้ั เกี่ยวขอ้ งกับการบวก ดังน้ันเพื่อความสะดวกในการเขียนอนุกรม จึงมีการ

กาหนดสัญลักษณ์แสดงการบวก โดยการใช้ตัวอักษรกรีกตัวพิมพ์ใหญ่  อ่านว่า……………….. เป็นสัญลักษณ์

แสดงการบวก กล่าวคอื

1) อนุกรมจากดั a1  a2  a3 ... an เขยี นแทนด้วย………………อา่ นวา่ …………………………………………..
2) อนกุ รมอนันต์ a1  a2  a3 ... an ... เขยี นแทนด้วย………………อา่ นวา่ ……………………………………

การใช้สัญลักษณ์แทนการบวกเขียนแทนอนุกรม จะเห็นว่ามีอักษรอยู่ใต้เคร่ืองหมาย  เช่น 10

 an
n1

เรียกตัวแปร n ว่า………………ซึ่งเราอาจใช้ตัวแปรอื่นแทน n ได้ เช่น 10 ai หรือ 10 ak ดัชนีที่อยู่ใต้เคร่ืองหมาย

 
i1 k 1

 ไมจ่ าเปน็ ต้องเรม่ิ จาก 1 เสมอไป อาจเรมิ่ จากจานวนเต็มอนื่ ก็ได้ เช่น 10 n2 =…………………………………………


n0

อนกุ รมอนนั ต์ 1 1  1  ...  1  ... อาจเขยี นแทนดว้ ยสญั ลักษณแ์ ทนการบวกได้หลายแบบ เชน่
2 4 2n1

……………………………………………………………………………………….…………….

ตัวอยา่ งที่ 1

1) 10 = ……………………………………………………………………………….

 (2n 1)
n1

2) 20 = ……………………………………………………………………………….

 n2
n1

3)  = ……………………………………………………………………………….
= ……………………………………………………………………………….
n
n1

4)  1


n1 n

สมบตั ขิ องสัญลักษณแ์ สดงการบวก

ทฤษฎบี ท 1 ถา้ c เป็นค่าคงตวั ใด ๆ แล้ว n = …………………………

c
i1

ตัวอยา่ งที่ 2 (1) 25 =……………………………………………………………………………….
=……………………………………………………………………………….
2
k 1

(2) 30

 (3)
k 1

ทฤษฎบี ท 2 ถ้า an เปน็ พจน์ทั่วไปของลาดับ และ c เป็นค่าคงตัว แล้ว

n = …………………………

 cai
i1

ตัวอย่างที่ 3 (1) 10 = ……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
 5an
n1

(2) 20 (2)an =
n1

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 1 เรอ่ื ง ลาดับและอนุกรนอนนั ต์ 15

ทฤษฎีบท 3 ถา้ an และ bn เป็นพจนท์ ว่ั ไปของลาดับ แล้ว

n  bi ) = ……………………………………………………

 (ai
i1

ตวั อย่างที่ 4 กาหนดให้ 10  20, 10  30 และ 10  50
วิธที า
 an  bn  cn
n1 n1 n1

จงหา 10

(5an  3bn  2cn  20)
n1

10 = …………………………………………………………………

(5an  3bn  2cn  20)
n1

= …………………………………………………………………

= …………………………………………………………………

ทฤษฎบี ท 4 ถ้า n เป็นจานวนเตม็ บวก แลว้

n  1 2  3  ...  n  …………………………………

i
i1

ตวั อย่างท่ี 5 (1) 20 = ……………………………………………………………………………….

i
i1

(2) 199 = ……………………………………………………………………………….

i
i1

(3) 100 = ……………………………………………………………………………….

i
i11

= ……………………………………………………………………………….

ทฤษฎบี ท 5 ถา้ n เปน็ จานวนเต็มบวก แลว้

n  12  22  32  ...  n2  …………………………………

i2
i1

ตวั อยา่ งท่ี 6 (1) 10 = ……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………….
i2
i1

(2) 10  i) =

 (i2
i1

ทฤษฎีบท 6 ถา้ n เปน็ จานวนเตม็ บวก แล้ว

n  13  23  33  ...  n3  …………………………………

i3
i1

ตัวอย่างท่ี 7 (1) 10 = ……………………………………………………………………………….

i3
i1

(2) 20 = ……………………………………………………………………………….

 i3
i11

= ……………………………………………………………………………….

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรอื่ ง ลาดับและอนกุ รนอนนั ต์ 16

กิจกรรม
สัญลักษณ์แสดงการบวก

1. จงเขยี นอนุกรมจากัดและอนุกรมอนันต์ต่อไปน้ใี นรูปของสญั ลักษณแ์ ทนการบวก

(1) 1 2 3...15 = …………………………………………………………………………………………………………

(2) 1  3  5  7 ... 15 = ……………………………………………………………………………………………..

4 9 16 25 81

(3) 2  4  8  16 ... 256 = …………………………………………………………………………………………….
357 9 17

(4)  1  1  1  1 ... 1 = ………………………………………………………………………………………..

2 6 12 20 110

(5) 13 24  35 46 ... n(n  2) ... = …………………………………………………………………………..
(6) 1111... (1)n1 ... = ……………………………………………………………………………………………..

(7) 2 2  2  2  ... 2  ... = ………………………………………………………………………………………..
3 9 27 3n1

(8) 1  1  1  1 ... 1 ... = ………………………………………………………………...

1 2 23 3 4 45 n(n 1)

2. จงเขียนแทนสัญลักษณต์ ่อไปนี้ในรูปการบวก

(1) 10 = ………………………………………………………………………………………………

 (3i 1)
i1

(2) 5 = ………………………………………………………………………………………………

 (1 2k)
k 1

(3) 10 = ………………………………………………………………………………………………

 (i2  2)
i1

(4) 100 k 1 = ………………………………………………………………………………………………
k1 k
8
(5) 8 i(i  2) i1 i( i  2) = ………………………………………………………………………………………………



i1

3. จงหาผลบวกในแต่ละข้อต่อไปน้ี
(1) 1 2  3...150
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
(2) 12  22  32 ...1502
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรื่อง ลาดบั และอนกุ รนอนนั ต์ 17

(3) 1 3 5 ...111
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
(4) 2  4  6 ...1000
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
(5) 12  23 3 4 ... 3031
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(6) 20

 3k
k 1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(7) 30 k 2

k 1 5

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(8) 10

 (k  2)2
k 1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เร่อื ง ลาดับและอนกุ รนอนันต์ 18

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 2
ลมิ ติ ของลาดับ

1. ใหน้ ักเรียนพจิ ารณาลาดับทก่ี าหนดให้เปน็ ลาดับลู่เข้าหรือล่อู อก และหาลิมติ ของลาดับน้ัน

1) an  2  4  6  ...  2n 2) an  3 (12  22  32  ...  n2 )
n2 n3

............................................................................................................ ........................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................
................................................................................................................................ ....................................................

....................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. .......................................................
.............................................................................................................................. ......................................................

3) an  2n4 4) an  n(1 2  3  ...  n)
1 8  27  ...  n3 12  22  32  ...  n2

............................................................................................................................. .......................................................

....................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. .......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

........................................................................................................................................................... .........................

.......................................................................................................... ..........................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

5) an  n2 6) an  n(13  23  33  ...  n3)
1 2  3  ...  (n 1) (1 2  3  ...  n)2

............................................................................................................................. .......................................................

......................................................................................................................................... ...........................................

....................................................................................... .............................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

............................................................................................................................. .......................................................

....................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

7) an  2  4  6  ...  2n 8) an  3n 12n  27n  ...  3n3
1 3  5  ...  (2n 1) 1 8  27  ...  n3

............................................................................................................................. .......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

.................................................................................................................................................................... ................

................................................................................................................... .................................................................

............................................................................................................................. .......................................................

....................................................................................................................................... .............................................

....................................................................................................................................................................................

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มที่ 1 เร่อื ง ลาดับและอนกุ รนอนนั ต์ 19

2. กาหนดผลบวกของอนุกรมเลขคณติ n พจนแ์ รกคือ n2 3n แลว้ lim an มีคาเท่าใด

n n 1

...................................................................................................................... ..............................................................
.............................................................................................................................. ......................................................
......................................................................................................................................... ...........................................
....................................................................................... .............................................................................................
............................................................................................................................. .......................................................
.............................................................................................................................. ......................................................
....................................................................................................................................................................................

3. กาหนดให้ an  kn 1 เมือ่ k เปน็ ค่าคงตัวทีท่ าให้ lim an  3 แล้ว k มคี ่าเทา่ ใด
3n 1 kn 1
n

............................................................................................................................. .......................................................

................................................................................................................................................................... .................

................................................................................................................. ...................................................................
.............................................................................................................................. ......................................................

.................................................................................................................................... ................................................

....................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

4. กาหนดให้ an  3n  k n เมือ่ k เป็นจานวนจริงทีท่ าให้ lim an  7 แลว้ lim k n1  4n มคี า่ เท่าใด
k n1  2n 5n1  k n
n n

....................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

............................................................................................................................. .......................................................

............................................................................................................................................................. .......................
........................................................................................................... .........................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

....................................................................................................................................................................................

5. กาหนดให้ an  1 (1 (2  2)  (3  3  3)  ...  (n  n  n  ...  n)) โดย k เปน็ ค่าคงตัวทท่ี าให้
nk

lim an L เมอ่ื L0 แลว้ 6(k  L) มีค่าเทา่ ใด

n

....................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

............................................................................................................................. .......................................................

......................................................................................................................................................... ...........................

....................................................................................................... .............................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................
.............................................................................................................................. ......................................................

....................................................................................................................................................................................

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรอ่ื ง ลาดบั และอนุกรนอนันต์ 20

6. กาหนดให้ an เปน็ ลาดับเลขคณติ ท่สี อดคล้องกบั เงือ่ นไข lim  an  a1   5
 n 
n

ถา้ a5  a9 100 แลว้ a50  a51  a52 ... a150 มคี า่ เทา่ ใด

....................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

............................................................................................................................. .......................................................

........................................................................................................................................................................ ............

...................................................................................................................... ..............................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

......................................................................................................................................... ...........................................

7. กาหนดให้ an  n k เมอื่ n 1, 2,3,... จงหาคา่ ของ lim 2n (6  3an)
k 1 2k n2  5n 1
n

............................................................................................................................. .......................................................

............................................................................................................................................................................. .......

........................................................................................................................... .........................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

.............................................................................................................................................. ......................................

............................................................................................ ........................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

8. กาหนดให้ an  (3  2n)13(5  n)2 เมือ่ n 1, 2,3,... จงหาคา่ ของ lim an
(1 2n)15
n

............................................................................................................................. .......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

.................................................................................................................................................................... ................

.................................................................................................................. ..................................................................

............................................................................................................................. .......................................................

k (n5  n)  3n4
(n  2)5
 9. ให้  2
k เปน็ ค่าคงตัว และถ้า lim  lim n2  3n 1  n

n n

แลว้ k มคี า่ เทา่ กบั เท่าใด

............................................................................................................................. .......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

.................................................................................................................................................. ..................................

................................................................................................ ....................................................................................

............................................................................................................................. .......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................
....................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

.............................................................................................................................. ......................................................

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรอ่ื ง ลาดับและอนุกรนอนันต์ 21

3. อนุกรมอนนั ตแ์ ละผลบวกของอนกุ รมอนันต์

ถ้า a1,a2,a3,...,an,... เป็นลาดบั อนันต์ จะเรยี กการเขยี นแสดงการบวกในรูป

a1  a2  a3  ...  an  ... วา่ อนุกรมอนนั ต์ (Infinite series) ซง่ึ เขียนแทนด้วย 

 an
n1

กจิ กรรม
ผลบวกอนุกรมอนนั ต์

พจิ ารณาอนกุ รม 1  1  1  1  ...  1  ... โดยที่
2 4 8 16 2n

S1  a1  1  ...................................................................................................
2

S2  a1  a2  1  1  .....................................................................................
2 4

S3  a1  a2  a3  1  1  1  ........................................................................
2 4 8

S4  a1  a2  a3  a4  1  1  1  1  .........................................................
2 4 8 16

Sn  a1  a2  a3  ...  an  1 1 1 1  ...  1  ......................................
2 4 8 16 2n

ดังนนั้ เม่ือ n มากขน้ึ โดยไม่มีท่ีสน้ิ สดุ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมนี้ จะเข้าใกล้………….

พจิ ารณาอนุกรม 1 2  4 8... 2n ... โดยท่ี

S1  a1  1  ...................................................................................................
S2  a1  a2  1 2  ......................................................................................
S3  a1  a2  a3  1 2  4  ..........................................................................
S4  a1  a2  a3  a4  1 2  4 16  ...........................................................

Sn  a1  a2  a3  ...  an  1 2  4 16  ...  2n  .......................................

ดงั นน้ั เมือ่ n มากขึน้ โดยไมม่ ที ี่ส้ินสดุ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรม จะเขา้ ใกล้………….

3.1 ลาดบั ของผลบวกย่อยของอนกุ รม (Sequence of partial sums)

ถา้ กาหนดอนกุ รมอนนั ต์ n  a1  a2  a3  ...  an  ... …(1)

 an
n1

และให้ Sn เปน็ ผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรม (1) นัน่ คือ

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรอ่ื ง ลาดับและอนกุ รนอนันต์ 22

S1  a1
S2  a1  a2
S3  a1  a2  a3
S4  a1  a2  a3  a4

Sn  a1  a2  a3  ...  an

บทนิยาม กาหนดอนุกรมอนันต์   a1  a2  a3  ...  an  ...
ตวั อยา่ งท่ี 1
 an
n1

เรียก S1, S2, S3,..., Sn,... แต่ละจานวนว่า ผลบวกย่อย (partial sum) n พจน์แรก

ของอนุกรม เม่อื n เป็นจานวนเตม็ บวก

และเรียกลาดบั อนนั ต์ S1, S2, S3,..., Sn,... วา่ ลาดบั ของผลบวกยอ่ ยของอนุกรม

กาหนดอนกุ รม 1  1  1  ...  1  ... จะได้
10 100 1000 10n

S1  1  ...................................................................................................
10

S2  1  1  ........................................................................................
10 100

S3  1  1  1  ............................................................................
10 100 1000
เปน็ อนกุ รมเรขาคณติ ซง่ึ

Sn  .1ล.1.0า..ด..ับ.1.ผ.0.1.ล0..บ..ว..ก1..ย0.1.อ่ 0..ย0..ข..อ..ง...อ...น...ุก1..ร01.ม.n..น..้ี .ค....ือ.....................................................................................aใ..ช.1..=.้ส...…ตู....ร.…....S.....n..แ...=.ล.ะa1r(r=rn …1…1…)



ดงั นน้ั

S1, S2, S3, ..., Sn

......................................................

เราพบข้อสังเกตบางประการ ดังต่อไปนี้

1) Sn =………………………………………แสดงวา่ Sn  ........ สาหรับจานวนเต็มบวก n ทกุ จานวน
2) เมอ่ื หาลิมิตของลาดับน้ี จะได้ว่า …………………………………………………………………….

จากตวั อยา่ งที่ 1 จะเหน็ ว่า …………. เป็นลมิ ติ ของลาดบั ผลบวกย่อยของอนกุ รม

1 1 1  ...  1  ... เรียก …………… ว่าเปน็ ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์
10 100 1000 10n

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรื่อง ลาดบั และอนุกรนอนนั ต์ 23
ตัวอย่างท่ี 2 กาหนดอนกุ รม 1111... (1)n1 ... จะได้

S1  ...................................................................................................
S2  ...................................................................................................
S3  ...................................................................................................

Sn  ...................................................................................................

ฉะน้นั ลาดบั ของผลบวกย่อยของอนุกรมนี้คอื ……………………………………………..
จะเห็นวา่ ลาดบั นี้ไมม่ ลี ิมติ จงึ ถอื วา่ หาผลบวกของอนกุ รมนี้ไม่ได้

ดังนน้ั จึงอาจใหน้ ิยามผลบวกของอนุกรมอนันต์ได้ดงั น้ี

บทนยิ าม ผลบวกของอนุกรมอนนั ตใ์ ด คอื ลิมติ ของลาดบั ผลบวกยอ่ ยของอนกุ รมน้นั
เมอื่ ลาดบั นน้ั มีลมิ ิต

จากบทนยิ ามและความเข้าใจ จะเหน็ ไดว้ ่า
การหาลมิ ติ ของลาดับผลบวกยอ่ ยของอนกุ รม ก็คอื …………………………………………………………….

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงพิจารณาวา่ อนกุ รมอนันต์ตอ่ ไปน้เี ป็นอนุกรมลเู่ ขา้ หรือไม่ ถ้าเปน็ จงหาผลบวก
วธิ ีทา
1 1  1  1 1  ... 1  ...
2 4 8 16 2n

ผลบวกยอ่ ยของอนกุ รมนคี้ ือ

S1  ...................................................................................................
S2  ...................................................................................................
S3  ...................................................................................................

Sn  ...................................................................................................

ดงั นน้ั ลาดบั ผลบวกย่อยของอนกุ รมน้ี คือ

S1, S2, S3, ..., Sn

......................................................

นัน่ คือ

lim Sn  lim 1  1  1  1 1  ...  1 
2 4 8 16 2n 
n n

 .....................................................

 .....................................................

ดังนนั้ ผลบวกของอนุกรมอนนั ตน์ ้เี ท่ากับ……………….
แสดงวา่ อนกุ รมทก่ี าหนดใหน้ ้ีเป็นอนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกเปน็ ……………….

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เร่อื ง ลาดบั และอนุกรนอนนั ต์ 24

ตวั อยา่ งท่ี 4 กาหนดอนุกรมเลขคณติ 1 4  7 10 ... (3n  2) ...
วิธที า จงพจิ ารณาลาดับผลบวกย่อยของอนกุ รมน้ี
ให้ Sn แทนผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรม จะได้ว่า

S1  ...................................................................................................

S2  ...................................................................................................

S3  ...................................................................................................

Sn  ...................................................................................................

ดังน้ัน ลาดบั ผลบวกยอ่ ยของอนกุ รมน้ี คือ

S1, S2, S3, ..., Sn

......................................................

นน่ั คอื

lim Sn  lim 1 4 7 10  ...  (3n  2)

n n

 .....................................................

 .....................................................

ดงั นนั้ ผลบวกของอนกุ รมอนันต์นีเ้ ทา่ กบั ……………….
แสดงว่า อนุกรมทกี่ าหนดให้นเ้ี ปน็ อนกุ รมลูเ่ ข้า และมผี ลบวกเปน็ ……………….

บทนิยาม 3 กาหนดอนุกรมอนนั ต์  an  a1  a2  a3  ... an  ... และ S1, S2, S3,..., Sn เป็น
n1
ลาดับผลบวกยอ่ ยของอนุกรมนี้

(1) ถา้ lim Sn  S หาค่าได้ เราจะกลา่ ววา่ อนกุ รมอนนั ต์  เป็นอนุกรมลู่เข้า

n  an

n1

(Convergent series) หรือ เป็นอนกุ รมที่สามารถหาผลบวกอนนั ต์ได้

และจานวนจริง S คือผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์ น่ันคือ  S

 an
n1

(2) ถา้ lim Sn ไมม่ ีค่า เราจะกล่าววา่  เป็นอนกุ รมลู่ออก (Divergent series)

n  an

n1

หรือ เป็นอนกุ รมท่ีไม่สามารถหาผลบวกอนันต์ได้

หมายเหตุ : สญั ลักษณแ์ สดงผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์

จากบทนยิ าม ถ้าอนุกรม  เป็นอนุกรมลเู่ ขา้ โดยมีผลบวกเทา่ กับ S จะได้ว่า

 an
n1

S        n 
lim Sn lim a1 a2 a3  ... an lim  
n  ak 
n n
k 1

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรอ่ื ง ลาดบั และอนุกรนอนันต์ 25

สมบตั ิของอนกุ รมลเู่ ข้า

กาหนดอนุกรมอนันต์   a1  a2  a3  ...  an  ... เป็นอนกุ รมล่เู ขา้ โดยมผี ลบวกเทา่ กับ S

 an
n1

นัน่ คอื lim Sn  S โดยสมบัติของลาดับล่เู ขา้ จะไดว้ า่ lim Sn1  S

n n

ดงั นน้ั lim  Sn  Sn1   0 แตเ่ นื่องจาก Sn  Sn1  an

n

แสดงว่า lim an 0

n

ถา้ อนุกรม  เป็นอนุกรมลูเ่ ข้า แลว้ lim an 0

 an n

n1

และทาให้ได้อีกว่า

ถ้า lim an  0 แลว้ lim Sn หาคา่ ไม่ได้ หรืออนุกรม  เป็นอนุกรมลู่ออก

n n  an

n1

ขนั้ ตอนในการหาผลบวกของอนกุ รมอนันต์

กาหนดอนุกรมอนันต์   a1  a2  a3  ...  an  ... มีขนั้ ตอนในการหาผลบวกดังนี้

 an
n1

หา lim an 0

n

lim an  0 lim an  0

n n

n  an จะเปน็ อนุกรมลู่ออกและ

หา Sn   ai 
i1 n1

หาผลบวกของอนุกรมอนนั ต์ไม่ได้

นั่นคอื  ไม่มคี ่า

 an
n1
หา
lim Sn

n

ถ้า lim Sn S ถา้ lim Sn หาค่าไมไ่ ด้

n n

 an จะเป็นอนุกรมลู่เขา้ และ  an จะเป็นอนุกรมลู่ออกและ

 
n1
n1

หาผลบวกของอนกุ รมอนนั ตเ์ ทา่ กับ S หาผลบวกของอนุกรมอนันต์ไมไ่ ด้

นัน่ คอื   S น่นั คอื  ไมม่ คี ่า

 an  an
n1
n1

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรอื่ ง ลาดบั และอนุกรนอนันต์ 26

ตวั อยา่ งที่ 5 กาหนด Sn แทนผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรม  จงตรวจสอบวา่ อนกุ รมนเ้ี ป็น

 an
n1

อนุกรมลเู่ ขา้ หรอื ลู่ออก และถ้าเป็นอนกุ รมลเู่ ขา้ จะมีผลบวกของอนกุ รมเท่ากับเท่าใด

1) Sn  n2  3 2) Sn  n2  3n
2n2 1 2n 1

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

3) Sn  n  1  1 4) Sn  5   4 n1
n n2  3 

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

ตัวอย่างที่ 6 กาหนดอนุกรมอนันต์ต่อไปนี้ จงตรวจสอบว่าอนุกรมดังกล่าวเป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออก

ถา้ เป็นอนุกรมลู่เข้า จงหาผลบวกของอนุกรม

1) 1 3  5  ...  2n 1  ... 2) 1 2  22  23 ... 2n1 ...
23 n

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

3) 16 14 12 10 ... (18  2n) ... 4)  1 3n

n1 3n1

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

5) log 1  log 2  log 3 ...  log n ... 6) 1 1  1  1  ... 1  ...
234 n 1 2 22 23 2n1

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรือ่ ง ลาดับและอนุกรนอนันต์ 27

3.2 ผลบวกของอนุกรมเลขคณิต และอนุกรมเรขาคณติ

1) อนกุ รมเลขคณติ อนันต์

เราไดศ้ ึกษาการหา Sn ของอนุกรมเลขคณิตไปแล้ว ดังน้ันเราจึงสามารถตรวจสอบได้ว่าอนุกรมเลขคณิต
ใดเป็นอนุกรมลเู่ ข้า และอนุกรมเลขคณิตใดเปน็ อนกุ รมลู่ออก ดังน้ี

กาหนด  เป็นอนุกรมเลขคณติ อนันต์ กล่าวคือ a1  (a1  d)  (a1  2d) ... (a1  (n 1)d) ...

 an
n1

จากสูตรการหา Sn จะได้วา่

Sn = Sn =
จะไดว้ า่ หรือ

.....................................................................................................

lim Sn  
.....................................................................................................
n

สรปุ อนุกรมเลขคณิตอนนั ต์  เป็นอนุกรมลู่ออกเสมอ ยกเว้น เมื่อ a1=…….. และ d =…….. ซึ่งเป็น

 an
n1

อนกุ รมคงตัวทกุ พจน์ เท่ากับ ………….. ดงั นน้ั ผลบวกของอนกุ รมเทา่ กบั …………..

ตวั อยา่ งท่ี 1 1) 

5  7  9  ...  (2n  3)  ...  .................
n1

เป็นอนุกรมเลขคณิตท่ีเปน็ อนกุ รมลู่...................เพราะ................................................

2) 

0  (1)  (2)  ...  (1 n)  ...  .................
n1

เปน็ อนกุ รมเลขคณิตท่ีเป็นอนุกรมลู่...................เพราะ................................................

2) ผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตอนันต์
เราได้ศึกษาการหา Sn ของอนุกรมเรขาคณิตไปแล้ว ดังน้ันเราจึงสามารถตรวจสอบได้ว่า อนุกรม

เรขาคณิตใดเป็นอนกุ รมลู่เขา้ และอนุกรมเรขาคณิตใดเปน็ อนกุ รมลู่ออก ดงั นี้

กาหนด  เป็นอนุกรมเรขาคณิตอนนั ต์ กล่าวคอื a1  (a1r)  ( a1r2) ...  (a1rn1) ...

 an
n1

จะไดว้ า่ 1) ถา้ r 1 แลว้ lim Sn = …………………………………………..

n

ดงั น้ัน  = …………………………………………..

 an
n1

2) ถ้า r  1 แลว้ lim Sn = …………………………………………..

n

ดงั นั้น  = …………………………………………..

 an
n1

จากสูตรการหา Sn จะไดว้ า่

Sn = Sn =
หรอื

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรือ่ ง ลาดับและอนุกรนอนันต์ 28

3) ถ้า |r| 1 แล้ว lim Sn = …………………………………………..

n

ดงั น้นั  = …………………………………………..

 an
n1

4) ถา้ |r| 1 แลว้ lim Sn = …………………………………………..

n

ดังนัน้  = …………………………………………..

 an
n1

สรปุ ได้ดงั ทฤษฎีบทต่อไปน้ี

ทฤษฎีบท กาหนดอนุกรมเรขาคณิตมี a1 เป็นพจนแ์ รก และ r เป็นอัตราส่วนร่วม
ถา้ | r | 1 แล้ว อนุกรมนีเ้ ปน็ อนกุ รมลู่เข้าและผลบวกของอนุกรมเท่ากับ.....................................
ถ้า | r | 1 แล้ว อนกุ รมนเ้ี ปน็ อนุกรมลูอ่ อก

ตัวอย่างท่ี 2 จงตรวจสอบอนกุ รมเรขาคณิตอนันต์ต่อไปนี้เป็นอนุกรมล่เู ขา้ หรืออนกุ รมลู่ออก
ถ้าเปน็ อนกุ รมลเู่ ข้า จงหาผลบวกของอนกุ รม

1) 1  1  1  ...

3 9 27

พบวา่ r  ……………….. และ | r |………………..

แสดงวา่ อนุกรมนเี้ ป็นอนุกรมล่เู ขา้ โดยมผี ลบวกของอนุกรมคอื …………………………………………..
………………..………………..………………………………………………………………………………………………..

2) 4 1.6  0.64  0.256 ... และ | r | ………………..
พบวา่ r  ………………..

แสดงว่าอนกุ รมนเ้ี ปน็ อนุกรมลูเ่ ขา้ โดยมีผลบวกของอนุกรมคอื …………………………………………..
………………..………………..………………………………………………………………………………………………..

3) 1 1 1 1  ...
1.04 1.042 1.043

พบวา่ r  ……………….. และ | r | ………………..

แสดงว่าอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่เขา้ โดยมีผลบวกของอนุกรมคือ…………………………………………..
………………..………………..………………………………………………………………………………………………..

4) 2  1  1  1 ... และ | r | ………………..

2 8 32

พบว่า r  ………………..

แสดงว่าอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลูเ่ ข้า โดยมผี ลบวกของอนุกรมคอื …………………………………………..
………………..………………..………………………………………………………………………………………………..

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เรอื่ ง ลาดบั และอนุกรนอนนั ต์ 29

ตวั อยา่ งที่ 3 จงตรวจสอบอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ต่อไปนเ้ี ปน็ อนุกรมลู่เข้าหรอื อนกุ รมลู่ออก
ถา้ เป็นอนุกรมลเู่ ขา้ จงหาผลบวกของอนกุ รม

1) 1 2  4  8  ... 2) 4 1 1  1  1  ...

3 9 27 4 16 64

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

3) 16 12  9  ... 16 3 n1  ... 4) 2  8  32  ...  22n1  ...
4  3 9 27 3n

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

5)  1 2n 6)  2n1  3n1

n1 3n n1 4n

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

ตัวอยา่ งที่ 4 จงใชค้ วามรเู้ ร่อื งอนกุ รม เขียนจานวนในแตล่ ะข้อให้อยู่ในรปู เศษส่วนของจานวนเตม็

1) 0.3 2) 0.9

………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………

3) 4.24 4) 1.052

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เร่ือง ลาดับและอนุกรนอนนั ต์ 30

ตวั อยา่ งที่ 5 ถ้าปล่อยลูกบอลลูกหน่ึงให้ตกลงมาจากจุดๆ หนึ่งซ่ึงจะอยู่สูงจากพ้ืนดิน 24 2เมตร พบว่าในแต่
วธิ ีทา ละครั้งท่ีลูกบอลกระทบพื้นดิน ลูกบอลจะลอยข้ึนไปสูงเป็นระยะทางเท่ากับ 3
ของระยะทางท่ี

ลูกบอลตกลงมา จะหาผลบวกของระยะที่ลูกบอลเคล่อื นทที่ งั้ หมด

24 เมตร

2 ( 24 ) เมตร
3

2 [ 2 ( 24 )] เมตร
3 3

จากรูป ผลบวกของระยะทางที่ลูกบอลเคล่อื นที่ได้ เท่ากับ

………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกึ ทักษะที่ 3
ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์

1. จงตรวจสอบอนุกรมอนันต์ต่อไปนเ้ี ปน็ อนุกรมลเู่ ข้าหรืออนุกรมลู่ออก

ถา้ เปน็ อนุกรมล่เู ขา้ จงหาผลบวกของอนุกรม

1) 3 1 1  ... 2) 16  4 1...
3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3) 2  4  8 16 ... 4) 4  6  9 ...

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เร่อื ง ลาดับและอนกุ รนอนนั ต์ 31

5) 2  1  1  ... 6) 60  6  0.6 ...

28

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7) 4  4  4  ...  4  ... 8) 0.2  0.025  0.00025  0.0000025 ...
7 49 7n1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

9) 24 16  32  64  ...  24   2 n1  ... 10) 12  6  3  3  ... 12   1 n1  ...
3 9  3  2  2 

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

11) 4 1  8 1  16 1   2n1 1 
3n1
9 27 81

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1 1 1 1 เมื่อ x เปน็ จานวนจรงิ
2  x2 2  x2 2  x2 2  x2
     12) 2 3  n

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 1 เร่ือง ลาดับและอนกุ รนอนันต์ 32

2. จงเขยี นจานวนทศนิยมไม่รู้จบในข้อต่อไปนใ้ี หอ้ ยู่ในรูปเศษส่วน

1) 0.6 2) 2.9

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3) 0.81 4) 1.234

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ลูกปิงปองตกลงมาจากโต๊ะสูงจากพ้ืน 4 เมตร พบว่าในแต่ละคร้ังที่ลูกปิงปองกระทบพื้น ลูกปิงปองจะลอยข้ึน
3
ไปสูงเป็นระยะทางเท่ากับ 4 ของระยะทางที่ลูกปิงปองตกลงมา จงหาระยะทางที่ลูกปิงปองเคล่ือนท่ีท้ังหมด

ในแนวดงิ่

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 1 เรอ่ื ง ลาดบั และอนุกรนอนันต์ 33

4. กาหนดอนกุ รม a1  a1r  a1r 2  a1r 3  ...  3 และ a1  a1r  a1r 2  a1r 3  ...  3 จงหา 
2 4
 a1r2n

n1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. ถา้ x เปน็ จานวนจริงท่ที าให้  2 xx2 x3x4 ...  2 2 จงหา lim n   x k
k 1  3 
n

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. ถา้ lim n2a 1  1 จงหา   ab n 
2n2b 1  2 b2 
n n1 2(a  )

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มท่ี 1 เร่ือง ลาดับและอนกุ รนอนนั ต์ 34

3.3 อนกุ รมเทเลสโคป (Telescoping Series)

กาหนดให้ F :  จะได้ว่า

n

F(k)  F(k 1)  F(1)  F(2)  F(2)  F(3)  F(3)  F(4) ...  F(n)  F(n 1)

k 1

 F(1)  F(n 1)

และ

n

F(k 1)  F(k)  F(2)  F(1)  F(3)  F(2)  F(4)  F(3) ...  F(n 1)  F(n)

k 1

 F(n 1)  F(1)

ถา้ lim F(n)  0 จะได้วา่
n0



F(k)  F(k 1)  F(1)
k 1

และ 

F(k 1)  F(k)  F(1)
k 1

ตัวอย่างที่ 1 กาหนดอนุกรมอนนั ต์ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี จงพจิ ารณาวา่ เป็นอนุกรมลูเ่ ขา้ หรอื อนุกรมลู่ออก

ถา้ เป็นอนุกรมลู่เข้า จงหาผลบวกของอนุกรม

1) 1  1  1  ... 2) 1  1  1  ...

12 23 34 13 35 57

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

3) 3  3  3  ... 4) 2  2  2  ...
1 4 4 7 7 10 58 811 1114

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

5)  1 6)  2n 1
n2 n2 1 n2 n2 (n 1)2

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 1 เรอื่ ง ลาดับและอนุกรนอนนั ต์ 35

3.4 อนุกรมอนันตแ์ บบผสม

ถ้า a1  a2  a3 ... an ... เป็นอนกุ รมเลขคณติ และ b1  b2  b3 ... bn ... เปน็ อนุกรม

เรขาคณติ ทเี่ ป็นอนุกรมทล่ี ่เู ข้า แล้ว อนกุ รมแบบผสม
a1b1  a2b2  a3b3 ... anbn ... จะเปน็ อนุกรมทล่ี เู่ ข้าดว้ ย

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหาผลบวกของอนกุ รมแบบผสม (ถา้ ม)ี ในแต่ละข้อต่อไปน้ี

1) 1 3 5 7  ...  2n 1  ...
5 52 53 54 5n

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

2) 5  10  15  20  ...  5n  ...
3 32 33 3n1

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

………………………………………………….………………………………………………….………………………………

3)  n2  n

n1 2n1

………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………
………………………………………………….………………………………………………….………………………………

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ท่ี 1 เร่ือง ลาดับและอนุกรนอนันต์ 36

แบบฝกึ ทักษะท่ี 4
อนกุ รมอนันต์ที่น่าสนใจ

1. สาหรบั จานวนนบั n กาหนดให้ an  2    1 n ค่าของ  เท่ากบั เทา่ ใด
4n2 1  3 
 an

n1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. กาหนด a1  a2  a3  ...  an  ... มผี ลบวก n พจนแ์ รกเปน็ n จงหาค่าของ lim n  kak 
2(n 1) k 1  k 3 
n

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. จงหาจานวนจรงิ x ทที่ าให้ 1  3  5  ...  2n 1  ...  3
x x2 x3 xn 8

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 เรอ่ื ง ลาดบั และอนุกรนอนนั ต์ 37

4. กาหนดให้ an  n  23n เมอื่ n 1, 2,3,... ผลบวกของอนุกรม  เทา่ กับเทา่ ใด
32n1
 an

n1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. ถา้ a เป็นจานวนจริงท่ีสอดคลอ้ งกับ  n2  a  21 แลว้ คา่ ของ a เทา่ กับเท่าใด
2
n1 3n1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. จงหาจานวนจรงิ บวก x ทีท่ าให้ 1  1 6 x  (1 15  (1 28  ...  27
  x)2  x)3 4

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา