3.เอกสารประกอบการบรรยาย เรขาคณิต ประจำปี พ.ศ. 2556

เอกสารประกอบการบรรยาย

โครงการส่งเสรมิ โอลิมปิกวิชาการฯ สอวน.

ศนู ย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. สาขาคณิตศาสตร์
โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

ระหว่างวนั ที่ 2 – 20 ตุลาคม พ.ศ.2556

[ คา่ ย 1 ]

เรขาคณิต (Geometry)

ช่อื -สกลุ ...........................................................โรงเรยี น........................................................

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่
กล่มุ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วชิ าการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วิชา เรขาคณติ 1

1. บทนาและความรูพ้ ื้นฐาน

1.1 ประวตั ิความเป็นมาโดยสงั เขป

เรขาคณิต (Geometry) มาจากรากศัพท์ภาษากรีกว่า Geometrein (geo หมายถึง earth และ
metrein หมายถึง to measure) แต่ความหมายของเรขาคณิตในปัจจุบันมีความแตกต่างออกไปมาก
เพราะว่าวิชาเรขาคณิตได้รับการพัฒนามาอย่างต่อเน่ืองและแตกสาขาออกไปหลายสาขา และเรขาคณิตที่
ศึกษาในระดับมัธยมศึกษาก็เป็นเพียงเรขาคณิตของยุคลิด (Euclidean Geometry) ซึ่งถือว่าเป็นพ้ืนฐานท่ี
ทาใหม้ วี วิ ัฒนาการไปสู่เรขาคณิตแบบอื่น ๆ จนเปน็ ทย่ี อมรบั กนั วา่ ยุคลิดเป็นบิดาแห่งวชิ าเรขาคณิต

เรขาคณิตสมัยกอ่ นเปน็ การศกึ ษาแบบลองผิดลองถูก อาศยั การสังเกตจากประสบการณ์ เราไม่ทราบ
ประวัติท่ีสมบูรณ์ แต่ก็พอทราบจากแผ่นศิลาจารึกว่า ชาวบาบิโลน (4000 B.C.) สามารถหาพื้นที่ของ
ส่ีเหล่ียมผืนผ้าโดยใช้ความกว้างคณู ความยาว ชาวอียิปต์ (2900 B.C.) สามารถสร้างพีรามิดได้ซึ่งถือได้ว่าเป็น
ความสาเร็จทางเรขาคณิตจนกลายเป็นส่ิงมหศั จรรย์ของโลก

การศึกษาเรขาคณิตเร่ิมชัดเจนข้ึนโดยชาวบาบิโลน (2000 B.C.) ตามด้วยชาวอียิปต์ (1650 B.C.)
ต่อมาได้พัฒนาไปสู่กรีกโดยทาลีส (Thales, 640 B.C.) ผ่านไปทางตอนใต้ของอิตาลีโดยพีทาโกรัส (Pytha-
gorus, 584 B.C.) แล้วไปสู่กรุงเอเธนส์โดยพลาโต (Plato, 400 B.C.) และก็มาถึงนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่
ยุคลิด (Euclid, 300 B.C.) ซ่ึงเขียนหนังสือ 13 เล่มในชื่อว่า Elements จนเป็นที่ยอมรับว่าเป็นตาราเรียน
เล่มแรกของโลกที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย และถือได้ว่าเป็นแบบฉบับในการเขียนตาราอ่ืน ๆ ในสมัยน้ัน และ
นวิ ตัน (Isaac Newton) กไ็ ด้เขยี นหนังสอื ที่ย่ิงใหญ่อีกเลม่ หน่งึ คือ Principia ตามแบบ Elements น้ี

หลงั จากสน้ิ สดุ ยุคของยุคลดิ โรมันเรม่ิ เรืองอานาจแต่ไมไ่ ด้พัฒนาทางคณิตศาสตร์เท่าที่ควร จนกล่าว
กันว่าเป็นยุคมืด (Dark ages) ของเรขาคณิต คณิตศาสตร์อยู่ในสภาพเกือบคงท่ีไม่เปล่ียนแปลง เพ่ิงจะมา
เจริญรุ่งเรืองอีกครั้งในศตวรรษที่ 14 ซ่ึงเน้นไปทางดาราศาสตร์ และตรีโกณมิติ อย่างไรก็ตามเรขาคณิตใน
แถบเอเชีย เช่น จีนและอินเดีย ก็มีความเจริญรุ่งเรืองเช่นกัน แต่การจารึกหลักฐานไม่ม่ันคงถาวรเหมือนทาง
ยุโรปจงึ ยากทีท่ ราบประวตั ิทชี่ ดั เจน

ในศตวรรษท่ี 17 – 18 ได้มีการนาวิชาพีชคณิต (Algebra) เข้ามาบูรณาการร่วมกัน จนได้ก่อกาเนิด
วิชาแคลคูลัส และเรขาคณิตวิเคราะห์ (Calculus and Analytic Geometry) ข้ึน โดยนักคณิตศาสตร์ที่
สาคัญในยคุ นี้ไดแ้ ก่ Descartes, Pascal, Desargues, Newton and Leibniz

ในศตวรรษท่ี 19 นักคณิตศาสตร์ได้ทาการศึกษาเรขาคณิตอย่างจริงจังอีกคร้ัง จนเกิดมีเรขาคณิตท่ี
แตกต่างจากเรขาคณิตของยุคลิด (Non-Euclidean Geometry) เช่น Hyperbolic Geometry, Elliptic
Geometry และ Spherical Geometry เป็นต้น แล้วพัฒนาไปสู่วิชา Topology ซ่ึงครอบคลุมเรขาคณิตทุก
ชนิดในปัจจุบัน โดยนักคณิตศาสตร์ท่ีสมควรกล่าวถึงคือ Saccheri, Bolyai, Lobachevsky, Gauss และ
Riemann

อย่างไรก็ตาม Euclidean Geometry ก็ยังถือว่าเป็นต้นแบบของเรขาคณิตอ่ืน ๆ และมีความ
สาคัญต่อชีวิตประจาวันเป็นอย่างมาก และเน่ืองจาก Elements เป็นตาราเล่มแรกจึงอาจมีจุดบกพร่องเป็น
ธรรมดา จนทาให้นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เห็นว่าควรจะมีการเสริมสร้างให้มีความสมบูรณ์ย่ิงขึ้น และนัก
คณิตศาสตร์ที่ได้รับการยกย่องว่าทาให้ระบบสัจพจน์ของเรขาคณิตยุคลิดมีความสมบูรณ์ขึ้นมาก็คือ David
Hilbert (1862-1943)

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วิชาการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 2

1.2 สัจพจนข์ ้อท่ี 5 ของยูคลิด

ระบบสัจพจน์ของเรขาคณิตของยุคลิด ประกอบด้วย นิยาม และสัจพจน์ คานิยามที่ได้รับการ
วิจารณ์มากเป็นพิเศษคือ นิยามของคาว่า จุด ซึ่งเขานิยามว่า หมายถึง สิ่งท่ีไม่มีความกว้าง ความยาวและ
ความหนา จนในท่ีสุดในปัจจุบันก็ให้ถือเป็นคาอนิยาม ส่วนสัจพจน์ที่ได้รับการวิพากษ์วิจารณ์มากที่สุด จน
เกดิ เป็นเรขาคณติ ชนดิ อน่ื ๆ ข้นึ มาก็คอื สจั พจน์ข้อท่ี 5 ในสัจพจนต์ ่อไปนี้

1. ลากเส้นตรงจากจุดหน่ึงไปยังอีกจุดหนึ่งได้ (A straight line can be drawn from any point
to any point)

2. ต่อเส้นตรงที่มีความยาวจากัดออกไปเร่ือย ๆ (A finite straight line can be produced
continuously in a straight line)

3. เขียนวงกลมได้เมื่อกาหนดจุดศูนย์กลางและระยะทางใด ๆ (A circle may be described with
any point as center and any distance as radius)

4. มุมฉากทุกมุมย่อมเทา่ กัน (All right angles are equal to one another)

5. ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่ง ผ่านเส้นตรง 2 เส้น ทาให้มุมภายในที่อยู่ด้านเดียวกันรวมกันน้อยกว่า 2 มุม
ฉาก แล้วเสน้ ตรงสองเส้นจะตัดกนั ทางด้านที่มมี ุมรวมกันน้อยกว่า 2 มุมฉาก ถ้าลากเส้นนั้นต่อไปเรื่อยๆ (If a
transversal falls on two lines in such a way that the interior angle on one side of the
transversal are less than two right angles, then the lines meet on that side on which the
angles are less than two right angles)

โดยใช้สัจพจน์ดังกล่าวประกอบกับนิยามและทฤษฎีบทอื่น ๆ ในเรขาคณิตของยุคลิด ท่ีไม่ได้นามา
กล่าวไว้ในท่ีนี้ เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมย่อมรวมกันได้สองมุมฉาก แต่ถ้ามีการ
เปลยี่ นแปลงสัจพจน์ข้อท่ี 5 เป็นอย่างอ่ืน เช่น Spherical Geometry กาหนดให้เส้นขนานตัดกันได้ ก็จะทา
ให้ผลบวกของมุมภายในรวมกันได้มากกว่าสองมุมฉาก ซึ่ง Spherical Geometry มีประโยชน์เป็นอย่างมาก
ในการคานวณระยะทางเก่ียวกับการเดินเรือรอบโลก โดยที่เรขาคณิตของยุคลิดสามารถคานวณได้แม่นยาใน
ระยะทางใกล้ ๆ เท่าน้ันเอง เรายกตัวอย่างน้ีข้ึนมาเพียงเล็กน้อยเพ่ือให้เห็นว่ายังมีเรขาคณิตชนิดอื่นท่ี
นอกเหนือจากเรขาคณิตของยุคลิดท่ีเรียนในระดับมธั ยมศึกษา ผทู้ ่สี นใจสามารถเลอื กเรียนได้ในระดบั ท่สี ูงข้ึน

และต่อไปน้ีเราจะกล่าวถึงเฉพาะเรขาคณิตของยุคลิดเท่าน้ัน ส่วนเนื้อหาและกิจกรรมในเอกสาร
ประกอบการอบรมคร้ังนี้โดยส่วนใหญ่จะยึดตามแนวหนังสือ เรขาคณิต ในโครงการตาราวิทยาศาสตร์และ
คณิตศาสตร์ มูลนิธิ สอวน. และเอกสารเสริมความรู้วิชาคณิตศาสตร์ (เรขาคณิต) ของสถาบันส่งเสริมการ
สอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.) จงึ ขอขอบคุณไว้ ณ โอกาสนี้

อย่างไรก็ตามผู้เขียนได้พยายามเพิ่มเติม ความรู้และประสบการณ์อื่น ๆ ท่ีได้รับมาจากการเรียน
การสอนเรขาคณิตในระดับมัธยมศึกษา และการอบรมเพิ่มเติมจากสถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์
และเทคโนโลยี (สสวท.) และมูลนิธิ สอวน. ในส่วนที่คิดว่าจะส่งเสริมความรู้ ความเข้าใจ ทักษะและ
กระบวนการทางคณติ ศาสตร์ และประสบการณ์ใหก้ บั นกั เรียนในค่ายโอลิมปิกวชิ าการ ค่าย 1 ศูนย์โรงเรียน
ขยายผล สอวน. สาขาคณิตศาสตร์ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา ตลอดจนผสู้ นใจ ได้ตามสมควร

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปิกวิชาการ ศนู ย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 3

1.3 ลกั ษณะการศึกษาวชิ าเรขาคณติ

การศึกษาวิชาเรขาคณิต มีลักษณะเด่นในเรื่องการพิสูจน์มากกว่าการคิดคานวณ ดังนั้นจึงนับว่า
เปน็ วชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร์ท่ีสาคญั โดยทวั่ ไปแล้วขอ้ ความทจี่ ะพสิ ูจนใ์ นทางเรขาคณิตจะเป็นข้อความท่ีจัด
ให้อยู่ในรูป “ถ้า……..แล้ว………..” หรืออาจจะเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ทางตรรกศาสตร์ได้เป็น
“pq” และการพิสูจน์ข้อความดังกล่าวในทางตรรกศาสตร์สามารถพิสูจน์ได้ท้ังในทางตรงและโดย
ทางออ้ ม แตใ่ นทางเรขาคณิตส่วนใหญ่เราจะพิสูจน์ในแบบทางตรง โดยถือว่า p เป็นเหตุ หรือสิ่งกาหนดให้
และ q เป็นผล หรือส่ิงท่ีต้องพิสูจน์ ส่ิงที่นามาอ้างอิงในการพิสูจน์ก็คือ อนิยาม นิยาม สัจพจน์ และ
ทฤษฎีบท ท่ีทราบมาก่อน โดยนามาวิเคราะห์ร่วมกับส่ิงท่ีกาหนดให้เพื่อนาไปสู่การประมวลผลว่า ผลหรือ
ส่ิงท่ีต้องพิสูจน์ น้ันเป็นจริง ซึ่งถือว่าเป็นทักษะทางความคิดท่ีสาคัญ และแน่นอนที่สุด ทักษะดังกล่าวจะ
ได้รับการส่งเสรมิ และพัฒนาได้ต้องอาศัยการฝกึ ฝนอยู่เปน็ ประจาด้วยใจรัก

เช่อื หรือไมว่ ่า ในตอนเปน็ เดก็ ของเล่นท่ี ไอน์สไตน์ ประทบั ใจท่สี ดุ ส่ิงแรก คือ
......เข็มทิศ............และ ลาดับตอ่ มา กค็ ือ............เรขาคณติ .........น่ีเอง

1.4 ความรู้พืน้ ฐาน

ความรู้พ้ืนฐานทางเรขาคณิตท่ีเรียนในระดับมัธยมศึกษา สรุปไว้เป็นหมวดหมู่ ในลักษณะของ
สจั พจน์ นยิ าม และทฤษฎีบท โดยนักเรยี นควรฝกึ พสิ ูจนด์ ้วยตวั เองใหไ้ ดท้ ุกทฤษฎบี ท

1.4.1 สัจพจน์

สัจพจน์ (Postulates) คือสิ่งท่ียอมรับในวิชาเรขาคณิตว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ สัจพจน์ท่ีจะ
กล่าวต่อไปนี้ ข้ึนอยู่กับการสร้างทางเรขาคณิต เมื่อเกิดการค้นพบด้วยการสร้างทางเรขาคณิต เรามักจะ
ประจักษใ์ นเร่อื งเหลา่ นน้ั ว่าเป็นจริง พจิ ารณาสจั พจนต์ อ่ ไปน้ี

1. มีเสน้ ตรงเพียงเสน้ เดยี วเท่านั้นท่ีลากผ่านจดุ สองจดุ ท่กี าหนดให้
2. ถา้ เส้นตรงสองเสน้ เดียวตดั กัน แล้วจะมีจดุ ตัดเพยี งจุดเดียวเท่าน้นั
3. ปลายทัง้ สองของส่วนของเสน้ ตรง อาจถูกต่อไปได้โดยไม่จากดั ความยาว
4. บรรดาเสน้ ทัง้ หลายทีล่ ากเช่อื มจุดสองจดุ ส่วนของเสน้ ตรงเป็นเสน้ ที่สัน้ ท่ีสดุ
5. สว่ นของเสน้ ตรงที่ลากจากจุดภายนอกมาต้ังฉากกบั เสน้ ตรงเส้นหนงึ่ ย่อมมเี ส้นเดยี ว และเป็น

สว่ นของเสน้ ตรงท่ีสน้ั ที่สุดในบรรดาส่วนของเสน้ ตรงท้ังหลายท่ลี ากจากจุดเดยี วกนั มายัง
เส้นตรงเดียวกนั
6. สว่ นของเสน้ ตรงเส้นหนึ่ง มีจดุ กึง่ กลางได้เพยี งจุดเดียวเท่านั้น
7. รูปเรขาคณติ ตา่ ง ๆ อาจทาให้เคล่อื นทไ่ี ปไดโ้ ดยรปู ลกั ษณะและขนาดคงเดิม
8. ลากเส้นขนานผ่านจุดจุดหน่งึ และขนานกบั เส้นที่กาหนดให้ไดเ้ พยี งเส้นเดยี วเทา่ นน้ั
9. ลากเสน้ แบ่งครึ่งมุมได้เพยี งเส้นเดียวเท่านั้น
10. ถ้ามุมสองมุมอยู่ในแนวเสน้ ตรงเดยี วกัน แลว้ มุมทง้ั สองน้นั เป็นมมุ ประกอบสองมุมฉาก
11. มุมที่เทา่ กนั ยอ่ มทับกนั สนทิ
12. มุมฉากทกุ มมุ มุมตรงทกุ มมุ ย่อมเท่ากัน

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปิกวิชาการ ศนู ยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณิต 4

13. มมุ รอบจุดจุดหนึ่งรวมกนั ย่อมเป็นสองเทา่ ของมุมตรง หรือเปน็ สี่เทา่ ของมมุ ฉาก
14. รัศมีของวงกลมทเี่ ทา่ กัน ยอ่ มเท่ากัน
15. เม่อื มจี ดุ หนึ่งซ่ึงถือเป็นจดุ ศนู ยก์ ลาง และส่วนของเสน้ ตรงท่ีกาหนดใหเ้ ป็นรศั มี ย่อมสร้าง

วงกลมไดเ้ พียงวงเดียวเทา่ นนั้

1.4.2 เส้นขนาน
บทนิยาม เสน้ ตรงสองเส้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ เสน้ ตรงสองเสน้ อยู่บนระนาบเดียวกัน และไม่ตัดกัน (ไม่ว่าจะ
ต่อออกไปให้ยาวเท่าไรก็ตาม)
ทฤษฎบี ท 1 ถ้าเสน้ ตรงสองเสน้ ตัดกนั แล้วขนาดของมุมตรงข้ามยอ่ มเท่ากนั

สัจพจน์ (สัจพจน์ขอ้ ท่ี 5 ของยูคลดิ ) เสน้ ตรงเส้นหนึง่ ตัดเส้นตรงคู่หน่ึง เส้นตรงคู่น้ันจะขนานกัน ก็ต่อเม่ือ
ขนาดของมมุ ภายในบนขา้ งเดยี วกันของเส้นตัดรวมกันเทา่ กบั 180 องศา

ทฤษฎบี ท 2 เม่ือเส้นตรงเสน้ หนึ่งตัดเสน้ ตรงคหู่ นงึ่ เสน้ ตรงคูน่ น้ั ขนานกนั ก็ต่อเมื่อ มมุ แย้งมีขนาดเทา่ กัน

ทฤษฎีบท 3 เมือ่ เส้นตรงเส้นหนง่ึ ตัดเสน้ ตรงคู่หนึ่ง เสน้ ตรงคู่น้นั เสน้ ขนานกนั ก็ต่อเมื่อ มมุ ภายนอกและ
ภายในท่ีอยตู่ รงข้ามบนข้างเดียวกนั ของเสน้ ตัดมีขนาดเทา่ กัน

1.4.3 รูปสามเหลี่ยม
ทฤษฎีบท 4 ขนาดของมมุ ภายในทัง้ สามมุมของรปู สามเหลย่ี มใด ๆ รวมกันเทา่ กับ 180 องศา

ทฤษฎีบท 5 ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหล่ียมใด ๆ จะเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในท่ีอยู่
ตรงขา้ มกับมุมภายนอก

สจั พจน์ รปู เรขาคณติ สามารถเคลอื่ นทไ่ี ด้

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปกิ วชิ าการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณิต 5

บทนิยาม การเคล่ือนท่ีของรูปเรขาคณิต คือ การเปลี่ยนตาแหน่งของรูปเรขาคณิตบนระนาบ โดยท่ี
ระยะหา่ งระหวา่ จุดสองจดุ ใด ๆ ของรูปน้ันไมเ่ ปลีย่ นแปลง
บทนิยาม รปู เรขาคณิตสองรูปเท่ากันทุกประการ ก็ตอ่ เม่ือ เคล่ือนท่ีรปู หน่ึงไปทบั อีกรูปหนง่ึ ไดส้ นิท
บทนิยาม รูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการ ก็ต่อเมื่อ ด้านคู่ท่ีสมนัยกันและมุมที่สมนัยกันของรูป
สามเหลย่ี มทง้ั สองรปู มขี นาดเท่ากันเปน็ คู่ ๆ

ทฤษฎีบท 6 ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีด้านยาวเท่ากันสองคู่ และมุมในระหว่างด้านคู่ที่ยาวเท่ากันมีขนาด
เทา่ กนั แล้วรปู สามเหลีย่ มสองรูปนนั้ จะเทา่ กันทุกประการ (ด.ม.ด.)

ทฤษฎีบท 7 ถ้ารูปสามเหล่ียมสองรูปมีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่ และด้านซ่ึงเป็นแขนร่วมของมุมทั้งสอง
ยาวเท่ากนั แลว้ รูปสามเหลย่ี มสองรูปนั้นจะเทา่ กันทุกประการ (ม.ด.ม.)

ทฤษฎีบท 8 ถ้ารูปสามเหล่ียมสองรูปมีมุมท่ีมีขนาดเท่ากันสองคู่ และมีด้านในลาดับเดียวกันเท่ากันด้าน
หน่ึง แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนัน้ จะเท่ากนั ทกุ ประการ (ม.ม.ด.)

ทฤษฎีบท 9 ถ้ารูปสามเหล่ียมสองรูปมีด้านยาวเท่ากันสามคู่ ด้านต่อด้าน แล้วรูปสามเหล่ียมสองรูปน้ันจะ
เท่ากันทุกประการ (ด.ด.ด.)

ทฤษฎีบท 10 ถ้ารูปสามเหล่ียมมุมฉากสองรูปมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่ากัน และด้านประกอบมุมฉาก
ยาวเทา่ กนั หนงึ่ ดา้ น แล้วรปู สามเหลี่ยมสองรูปน้นั จะเท่ากันทกุ ประการ (ฉ.ด.ด.)

บทนิยาม รูปสามเหลี่ยมใด ๆ เป็นรูปสามเหล่ียมหน้าจ่ัว ก็ต่อเมื่อ รูปสามเหลี่ยมนั้นมีด้านสองด้านยาว
เทา่ กนั

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วิชาการ ศูนย์โรงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 6

ทฤษฎีบท 11 ในรูปสามเหลยี่ มหน้าจว่ั มุมที่อยตู่ รงข้ามกบั ดา้ นท่ียาวเท่ากันย่อมกางเท่ากัน นั่นคือมุมที่ฐาน
ของรูปสามเหลี่ยมหนา้ จั่วมขี นาดเท่ากนั

ทฤษฎีบท 12 ในรูปสามเหลีย่ มหน้าจว่ั เสน้ แบง่ ครง่ึ มมุ ยอด จะแบ่งคร่ึงฐานและต้งั ฉากกับฐาน

ทฤษฎีบท 13 ในรูปสามเหล่ียมหน้าจั่ว เส้นที่ลากจากมุมยอดมาแบ่งคร่ึงฐาน จะแบ่งครึ่งมุมยอดและตั้ง
ฉากกับฐาน

ทฤษฎีบท 14 ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจ่ัว เส้นแบ่งครึ่งมุมยอด จะแบ่งรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วออกเป็นรูป
สามเหลยี่ มสองรูปที่เทา่ กันทกุ ประการ

สจั พจน์ ในรูปสามเหลย่ี มใดๆ ผลบวกของดา้ นสองดา้ น ย่อมยาวกวา่ ด้านทีส่ าม

ทฤษฎีบท 15 ในรูปสามเหล่ียมใด ๆ ด้านท่ีอยู่ตรงข้ามกับมุมท่ีมีขนาดใหญ่กว่า ย่อมยาวกว่าด้านที่อยู่ตรง
ขา้ มกบั มมุ ที่มีขนาดเล็กกวา่

ทฤษฎบี ท 16 ในรูปสามเหลย่ี มมุมฉากใด ๆ ดา้ นตรงขา้ มมุมฉากยอ่ มยาวท่สี ดุ

ทฤษฎีบท 17 ในรปู สามเหลยี่ มใด ๆ ส่วนสูงของรปู สามเหลีย่ มท้ังสามยอ่ มพบกันทีจ่ ุด ๆ หนงึ่

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปิกวชิ าการ ศูนยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณติ 7

ทฤษฎีบท 18 ในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ เส้นตรงที่ต่อจุดกึ่งกลางของด้านสองด้านย่อมขนาน และยาวเป็น
ครง่ึ หนึ่งของดา้ นที่สามของรูปสามเหลยี่ มนั้น

บทนิยาม รูปสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน ก็ต่อเม่ือ รูปสามเหลี่ยมสองรูปน้ันมีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ ๆ
สามคู่

ทฤษฎีบท 19 ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีอัตราส่วนของความยาวด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่เป็นอัตราส่วนที่
เท่ากัน แลว้ รปู สามเหลยี่ มสองรปู น้นั เป็นรูปสามเหลยี่ มทค่ี ล้ายกัน

ทฤษฎบี ท 20 ถา้ รูปสามเหลี่ยมสองรปู มีมุมเท่ากันหน่ึงคู่ และอัตราส่วนของความยาวของด้านประกอบมุม
นนั้ เป็นอตั ราสว่ นทเ่ี ท่ากนั แล้วรปู สามเหล่ียมสองรูปนั้นเปน็ รูปสามเหล่ยี มทค่ี ล้ายกัน

1.4.4 รปู ส่ีเหลยี่ มด้านขนาน
บทนยิ าม รปู สี่เหลีย่ มใด ๆ เป็นรปู สเี่ หลี่ยมดา้ นขนาน กต็ อ่ เมอ่ื รูปสเี่ หลีย่ มน้นั มีดา้ นขนานกันสองคู่

ทฤษฎบี ท 21 ถา้ รูปสีเ่ หลยี่ มรูปหน่ึงมดี า้ นตรงข้ามยาวเทา่ กันทง้ั สองคู่ แลว้ รูปสเ่ี หลี่ยมน้ันย่อมเป็นส่ีเหล่ียม
ดา้ นขนาน

ทฤษฎบี ท 22 ดา้ นและมมุ ท่อี ยู่ตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานย่อมมีขนาดเทา่ กัน

ทฤษฎบี ท 23 เสน้ ทแยงมมุ ของรูปสเี่ หลีย่ มดา้ นขนานย่อมแบง่ ครง่ึ ซึง่ กนั และกัน

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปิกวชิ าการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณติ 8
ทฤษฎีบท 24 ผลบวกของมมุ ภายในของรปู ส่เี หลีย่ มใด ๆ ยอ่ มเทา่ กับ 360 องศา

ทฤษฎบี ท 25 เส้นทแยงมมุ ของรูปสี่เหลีย่ มด้านเท่ายอ่ มต้ังฉากกัน

ทฤษฎบี ท 26 ถ้าเสน้ ขนานสามเสน้ แบง่ ส่วนของเสน้ ตดั ขวางเส้นหน่ึงเป็นระยะทางเท่ากัน แล้วเส้นขนานต
สามเส้นน้ัน จะแบง่ เส้นตดั ขวางทุกเสน้ เป็นระยะทางที่เท่ากนั

ทฤษฎบี ท 27 พื้นทข่ี องรปู สเี่ หลี่ยมผนื ผ้า เท่ากับ ความกวา้ งคณู ความยาว

ทฤษฎบี ท 28 พ้นื ทขี่ องรปู สเี่ หล่ยี มด้านขนาน เทา่ กบั ความสูงคูณความยาวฐาน

ทฤษฎีบท 29 พื้นทขี่ องรูปสามเหลย่ี ม เท่ากบั คร่ึงหนึง่ ของผลคณู ของความสงู กบั ความยาวฐาน

ทฤษฎบี ท 30 (Pythagoras Theorem) ในรปู สามเหลย่ี มมุมฉากใด ๆ พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้าม
มมุ ฉากยอ่ มเทา่ กับผลบวกของพ้นื ท่สี เี่ หลย่ี มจตั ุรสั บนดา้ นประกอบมุมฉาก

1.4.5 วงกลม
บทนิยาม วงกลม หมายถึง ทางเดินของจดุ ทกุ จุดบนระนาบซึ่งอยหู่ า่ งจากจดุ คงที่จดุ หน่งึ เป็นระยะทางคงตัว

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปิกวิชาการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 9

ทฤษฎีบท 31 ถ้าลากส่วนของเส้นตรงจากจุดศูนย์กลางของวงกลมไปตั้งฉากกับคอร์ดใด ๆ แล้วส่วนของ
เสน้ ตรงนัน้ ยอ่ มแบง่ ครึ่งคอรด์

ทฤษฎีบท 32 ถ้าลากส่วนของเส้นตรงผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมไปแบ่งครึ่งคอร์ดใด ๆ แล้วส่วนของ
เสน้ ตรงน้ันยอ่ มตัง้ ฉากกับคอรด์

ทฤษฎบี ท 33 ในวงกลมวงหนงึ่ คอร์ดท่ยี าวเทา่ กันยอ่ มอยหู่ า่ งจากจดุ ศูนยก์ ลางเปน็ ระยะทางเทา่ กนั

ทฤษฎบี ท 34 ในวงกลมวงหนึ่ง คอร์ดทอ่ี ยหู่ า่ งจากจุดศูนย์กลางเปน็ ระยะทางเท่ากัน ย่อมยาวเทา่ กัน

ทฤษฎีบท 35 มมุ ในครึง่ วงกลมเป็นมุมฉาก

ทฤษฎบี ท 36 มุมที่จดุ ศนู ย์กลางของวงกลม จะมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของมุมในส่วนโค้งของวงกลม
ทรี่ องรับด้วยส่วนโคง้ เดยี วกัน

ทฤษฎีบท 37 ในวงกลมที่เท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน ถ้ามุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาดเท่ากัน แล้วส่วนโค้งของ
วงกลมทร่ี องรบั มมุ ทจี่ ดุ ศูนยก์ ลางนั้น จะยาวเทา่ กัน

ทฤษฎีบท 38 ในวงกลมที่เท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน ถ้ามุมในส่วนโค้งของวงกลมขนาดเท่ากัน แล้วส่วน
โคง้ ของวงกลมทร่ี องรับมมุ ท้ังสองนน้ั จะยาวเทา่ กัน

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปิกวิชาการ ศนู ย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณิต 10

ทฤษฎีบท 39 ในวงกลมท่ีเท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน ถ้าส่วนโค้งของวงกลมยาวเท่ากัน แล้วมุมที่จุด
ศูนยก์ ลางที่รองรบั ด้วยส่วนโคง้ นนั้ จะมีขนาดเทา่ กัน

ทฤษฎีบท 40 ในวงกลมที่เท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน ถ้าส่วนโค้งของวงกลมยาวเท่ากัน แล้วมุมในส่วนโค้ง
ของวงกลมทรี่ องรับดว้ ยสว่ นโคง้ นนั้ จะมีขนาดเท่ากัน

ทฤษฎบี ท 41 ในวงกลมเดียวกนั มมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลมทร่ี องรับด้วยสว่ นโคง้ เดียวกนั จะมขี นาดเท่ากัน

บทนยิ าม รูปสี่เหลย่ี มแนบในวงกลม หมายถงึ รูปสีเ่ หลย่ี มที่มีจดุ ยอดอยูบ่ นเส้นรอบวงของวงกลมเดยี วกัน

ทฤษฎีบท 42 ผลบวกของขนาดของมมุ ตรงข้ามของรูปสเ่ี หลี่ยมทแี่ นบในวงกลมเทา่ กับ 180 องศา

ทฤษฎีบท 43 ถ้ารูปส่ีเหลี่ยมใด ๆ มีผลบวกของขนาดของมุมตรงข้ามเท่ากับสองมุมฉาก แล้วรูปส่ีเหล่ียม
นนั้ แนบในวงกลม

ทฤษฎีบท 44 เส้นสัมผสั ของวงกลม จะตงั้ ฉากกบั รัศมขี องวงกลมทจ่ี ุดสัมผัส

ทฤษฎีบท 45 ถ้าลากส่วนของเส้นตรงจากจุดภายนอกของวงกลมมาสัมผัสวงกลมเดียวกัน จะลากได้เพียง
สองเสน้ เส้นสมั ผัสสองเสน้ นนั้ จะยาวเท่ากัน และรองรบั มมุ ท่ีจุดศูนยก์ ลางท่มี ขี นาดเท่ากัน

ทฤษฎีบท 46 มุมทีเ่ กดิ ขึ้นจากคอร์ดและเสน้ สมั ผสั ของวงกลมที่จุดสัมผัส จะมีขนาดเท่ากับขนาดของมุมใน
ส่วนโคง้ ของวงกลมท่อี ยู่ตรงข้ามกับคอรด์ นั้น

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปิกวิชาการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณติ 11

2. การสร้าง (Construction)

การสร้างในวิชาเรขาคณิตเป็นการสร้างรูปเรขาคณิตตามเง่ือนไขที่โจทย์กาหนดมาให้ ซึ่งจะแยก
รายละเอียดของการสรา้ ง ดังน้ี
1. การสร้างเกี่ยวกับเสน้ และมุม
บทสร้าง 1.1 การสรา้ งสว่ นของเส้นตรงให้เท่ากบั สว่ นของเสน้ ตรงทก่ี าหนดให้

บทสร้าง 1.2 การสรา้ งมุมใCห้เท่ากับมุมท่กี าหนดให้ P
Y

A XB Q E R

กาหนดให้ CAˆB จะตอ้ งสรา้ ง PQˆR ให้เทา่ กับ CAˆB

วธิ ีสร้าง 1. ลาก QR

2. ใช้ A เปน็ จุดศูนย์กลางรัศมพี อสมควร เขยี นส่วนโคง้ ตัด AB และ AC ที่ X และ Y

3. ใช้ Q เปน็ จุดศูนยก์ ลางรัศมเี ท่าเดิมเขียนส่วนโค้งตดั QR ทจ่ี ดุ E

4. ใช้ E เป็นจดุ ศูนยก์ ลางรศั มี XY เขียนสว่ นโค้งตัดสว่ นโคง้ ในข้อ 3 ท่จี ุด P ลาก QP

เพราะฉะนน้ั จะได้ PQˆR เทา่ กับ CAˆB ตามต้องการ

การพิสูจน์ ลาก XY และ EP

จะได้ AXY  QEP (ด.ด.ด)

ดงั นั้น PQˆR = CAˆB

บทสรา้ ง 1.3 การแบง่ ครึ่งสว่ นของเสน้ ตรง AB เป็นส่วนของเส้นตรง
P กาหนดให้

จะตอ้ ง แบ่งครง่ึ สว่ นของเส้นตรง AB

A O วธิ ีสรา้ ง 1. ใช้ A และ B เปน็ จดุ ศนู ย์กลาง รศั มยี าวเทา่ กนั
B เขียนสว่ นโค้งตัดกนั ท้ังสองข้างของ AB ที่จุด P และ Q

2. ลาก PQ ตัด AB ที่ O

การพิสูจน์ ดังน้นั O เปน็ จุดแบง่ ครงึ่ เส้นตรงตามต้องการ
Q
ลาก PA , PB และ QA , QB

จะได้ APQ  BPQ เพราะ AP = BP , AQ = BQ , PQ = PQ (ด.ด.ด)

ฉะนัน้ APˆO = BPˆQ

ดงั นนั้ AO = BO แสดงว่า จุด O แบ่งครึง่ ส่วนของเส้นตรง AB

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปิกวชิ าการ ศนู ยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 12

บทสรา้ ง 1.4 การแบ่งครึ่งมมุ ท่กี าหนดให้ กาหนดให้ BAˆC
B จะต้อง แบง่ คร่งึ BAˆC

PO

A QC

วธิ สี ร้าง 1. ใช้ A เป็นจุดศนู ยก์ ลาง รัศมพี อสมควรเขยี นส่วนโคง้ ตดั AB ท่ี P และตดั AC ท่ี Q

2. ใช้ P และ Q ผลดั กันเปน็ จุดศนู ย์กลางเขยี นส่วนโคง้ ตัดกนั ท่จี ดุ O

3. ลาก AO

ดังนั้น AO เป็นเส้นแบง่ ครง่ึ BAˆC ตามต้องการ

การพิสจู น์ ลาก OP, OQ ใน AOP และ  AOQ

จะได้ AP = AQ รัศมขี องวงกลมเดยี วกัน

OP = OQ รศั มีของวงกลมเดยี วกัน

AO = AO ด้านรว่ ม

เพราะฉะน้นั AOP  AOQ (ด.ด.ด)
จะได้ OAˆP = OAˆQ

บทสร้าง 1.5 การสร้างเสน้ ต้ังฉากจากจุดภายในเส้นตรง

O กาหนดให้ เสน้ ตรง AB และ P เป็นจุดในเส้นตรง AB
จะต้อง ลากเส้นตรงจาก P ใหต้ ง้ั ฉากกับเส้นตรง AB

วธิ ีสรา้ ง 1. ใช้ P เปน็ จุดศนู ย์กลาง รัศมีพอสมควร

เขยี นส่วนโคง้ ตัดเส้นตรง AB ท่ี Q และ R

AQP R B 2. ใช้ Q และ R ผลดั กนั เป็นจดุ ศนู ยก์ ลาง รัศมี
เท่ากนั เขียนสว่ นโค้งตัดกันทจี่ ดุ O

3. ลาก OP ดังน้ัน OP ตั้งฉากกับเส้นตรง AB

การพิสูจน์ ลาก OQ และ OR จะได้ POQ  POR (ด.ด.ด)

ฉะน้นั OPˆQ = OPˆR ดงั นน้ั OP ตั้งฉากกบั เสน้ ตรง AB

บทสรา้ ง 1.6 การสร้างเส้นตงั้ ฉากจากจดุ ภายนอกเสน้ ตรง
P กาหนดให้ เสน้ ตรง AB และจุด P เป็นจุดนอกเสน้ ตรง AB

จะตอ้ ง ลากเสน้ ตรงจาก P ไปตัง้ ฉากกับเสน้ ตรง AB

วิธีสรา้ ง 1. ใช้ P เปน็ จุดศนู ย์กลาง รศั มียาวพอทจี่ ะเขียน

A O RB สว่ นโค้งตัดเส้นตรง AB ที่ Q และ R
Q 2. ใช้ Q และ R ผลัดกันเปน็ จดุ ศูนยก์ ลางรัศมี

เทา่ กนั เขยี นสว่ นโค้งตัดกนั ทจ่ี ดุ S ซ่ึงเปน็

S อกี ข้างหนงึ่ ของเสน้ ตรง AB ตรงข้ามกับ P
3. ลาก PS ตดั AB ท่ี O ดงั นัน้ PO ตัง้ ฉาก AB

การพสิ จู น์ แบบฝกึ หัด

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลิมปกิ วิชาการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วิชา เรขาคณติ 13
บทสร้าง 1.7 การสรา้ งเส้นตรงให้ขนานกบั เส้นตรงท่ีกาหนดให้และผ่านจดุ ท่ีกาหนดให้

Q P

A B
กาหนดให้
จะต้อง P เปน็ จดุ นอกเส้นตรง AB
วิธีสรา้ ง ลากเสน้ ผา่ นจุด P ให้ขนานกับเสน้ ตรง AB
1. ลาก AP
การพิสูจน์ 2. ท่ี P สรา้ ง APˆQ ให้เท่ากบั PAˆB
ดังนั้น เสน้ ตรง PQ ผา่ นจุด P และขนานกบั เส้นตรง AB ตามต้องการ
เนอ่ื งจาก APˆQ = PAˆB โดยการสรา้ ง
เพราะฉะนนั้ PQ // AB มมุ แยง้ ท่ีเกดิ จากเส้นตัดเสน้ ตรงคู่หน่งึ มีขนาดเท่ากัน

เสน้ ตรงคูน่ ้นั ย่อมขนานกนั

บทสร้าง 1.8 การแบง่ สว่ นของเส้นตรงออกเปน็ สว่ น ๆ เท่ากัน B
A

กาหนดให้ AB เป็นส่วนของเส้นตรง
จะต้อง แบ่งสว่ นของเสน้ ตรง AB ออกเปน็ ….. สว่ นเทา่ ๆ กัน
วธิ ีสรา้ ง

การพสิ จู น์

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปกิ วิชาการ ศนู ยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณติ 14

2. การสรา้ งเกีย่ วกบั รปู สามเหล่ียม
บทสรา้ ง 2.1 การสร้างรูปสามเหลี่ยม เม่อื กาหนดด้านมาให้สามด้าน

a
b
c

บทสร้าง 2.2 การสรา้ งรปู สามเหล่ยี ม เมือ่ กาหนดมุมหน่ึงมุม และด้านสองด้าน
a
b

k

บทสรา้ ง 2.3 การสร้างรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก เมื่อกาหนดด้านตรงข้ามมมุ ฉาก และด้านประกอบมุมฉาก
หน่งึ ดา้ น

a
b

บทสรา้ ง 2.4 การสรา้ งรูปสามเหลี่ยมหนา้ จ่วั ใหม้ มี ุมทฐี่ านมีขนาดเปน็ สองเทา่ ของมุมยอด

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปกิ วชิ าการ ศูนย์โรงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณติ 15

3. การสรา้ งเกยี่ วกับรูปส่ีเหลี่ยม
บทสร้าaง 3.1 การสร้างรูปสเ่ี หลยี่ ม เมือ่ กาหนดดา้ นส่ดี ้าน และมมุ หนึง่ มุม

b
c
d

k

บทสรา้ ง 3.2 การสร้างรูปสีเ่ หล่ียมดา้ นขนาน เม่ือกาหนดดา้ นประชดิ และมมุ ระหว่างดา้ นท้งั สอง
a
b

k

บทสร้าง 3.3 การสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรสั บนด้านทีก่ าหนดให้

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปกิ วชิ าการ ศนู ยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณิต 16

4. การสร้างเกีย่ วกบั พนื้ ที่

บทสร้าง 4.1 การสร้างรูปส่ีเหล่ียมด้านขนานให้มีพ้ืนที่เท่ากับพื้นท่ีของรูปสามเหลี่ยม โดยกาหนดมุม
ประชดิ มาให้

บทสร้าง 4.2 การสรา้ งรูปสามเหลย่ี มให้มพี น้ื ทเี่ ทา่ กบั พนื้ ท่ขี องรปู ส่เี หล่ยี มที่กาหนดให้

บทสร้าง 4.3 การสร้างรูปสีเ่ หลี่ยมด้านขนานให้มีพื้นที่เทา่ กบั พน้ื ทีข่ องรูปสเ่ี หลี่ยมท่ีกาหนดให้ และมีมุมมุม
หน่ึงเทา่ กับมมุ ทกี่ าหนดให้

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปกิ วชิ าการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 17

บทสร้าง 4.4 การสรา้ งรูปส่ีเหลี่ยมจตั รุ ัสใหม้ พี น้ื ท่เี ป็น n เท่า ของพืน้ ทร่ี ูปสเ่ี หลย่ี มจัตุรสั ที่กาหนดให้

บทสรา้ ง 4.5 การสร้างรูปสเ่ี หล่ยี มจัตุรัสใหม้ พี ้ืนเท่ากับพนื้ ทร่ี ูปส่ีเหลย่ี มผนื ผา้ ที่กาหนดให้

บทสร้าง 4.6 การแบ่งส่วนของเส้นตรงท่ีกาหนดให้ โดยพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าท่ีประกอบด้วยส่วนทั้งหมด
และส่วนแบง่ สว่ นหนง่ึ เทา่ กบั พ้นื ที่รปู ส่เี หลี่ยมจัตุรสั บนส่วนแบ่งอีกส่วนหนง่ึ

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปกิ วิชาการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณติ 18

5. การสร้างเกี่ยวกับวงกลม

บทสรา้ ง 5.1 การหาจดุ ศนู ย์กลางของวงกลม เม่อื กาหนดวงกลมวงหน่ึง หรือส่วนโค้งของวงกลม
บทสร้าง 5.2 การแบ่งคร่ึงส่วนโคง้ ที่กาหนดให้
บทสร้าง 5.3 การลากเสน้ สัมผสั วงกลมจากจุดภายนอกวงกลม
บทสรา้ ง 5.4 การลากเสน้ สัมผสั ร่วม ใหส้ ัมผัสวงกลมสองวง
บทสรา้ ง 5.5 การสร้างสว่ นของวงกลมบนเส้นตรงที่กาหนดให้ และมมี ุมมุมหนง่ึ เท่ากับมมุ ทก่ี าหนดให้
บทสร้าง 5.6 การสร้างวงกลมแนบนอกรปู สามเหลี่ยมทก่ี าหนดให้
บทสรา้ ง 5.7 การสร้างวงกลมแนบในรูปสามเหลีย่ มท่กี าหนดให้
บทสร้าง 5.8 การสรา้ งวงกลมแนบนอกรูปสามเหลี่ยมทีก่ าหนดให้
บทสรา้ ง 5.9 การสรา้ งรปู สามเหลี่ยมแนบในวงกลม ใหม้ ีมุมเท่ากับมุมของรปู สามเหล่ยี มที่กาหนดให้
บทสร้าง 5.10 การสรา้ งรปู สามเหลีย่ มแนบนอกวงกลม ใหม้ มี ุมเท่ากับมุมของรูปสามเหลยี่ มที่กาหนดให้
บทสรา้ ง 5.11 การสรา้ งรูปหลายเหล่ียมปกติ (Regular polygon) แนบในและแนบนอกวงกลมท่ีกาหนดให้
บทสร้าง 5.12 การสรา้ งรูปวงกลมแนบในและแนบนอกรูปหลายเหลย่ี มปกตทิ ่ีกาหนดให้

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปิกวิชาการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณติ 19

แบบฝกึ หัด เรื่อง การสร้าง

1. กาหนด AB เป็นส่วนของเส้นตรงใด ๆ จงแบ่ง AB เป็นสองส่วนท่ีจุด P โดยให้ AP = (2/3)AB และ
เขยี นวธิ สี ร้าง

2. จงใช้วงเวียนและสันตรงสร้างรูปสามเหลี่ยม ABC ให้ AB = a, BAˆC = 52.5 และ ABˆC = 45 และ
เขียนวิธีสรา้ ง

3. จงใชว้ งเวยี นและสนั ตรงสรา้ งรปู ส่ีเหล่ียมด้านขนานให้ฐานยาว a เซนติเมตร สูง b เซนติเมตร และมุมท่ี
ฐานมุมหน่ึงมีขนาดเท่ากับ 75

4. กาหนด สว่ นของเส้นตรง a, b และมมุ k จงสร้างรปู สามเหลีย่ มทีม่ ีมุมมุมหนงึ่ มขี นาดเท่ากบั ครึ่งหน่ึงของ
ขนาดมุม k ดา้ นท่ีประชิดมุมทส่ี รา้ งยาวเท่ากับ a หน่วย และ b หน่วยตามลาดับ

5. กาหนดขนาดของมุม k จงสร้างรูปสามเหลี่ยม ABC ที่ ABˆC = k จุด E อยู่บน AC โดย BE แบ่งคร่ึง
ABˆC , BE = a หนว่ ย และ AB = b หนว่ ย

6. กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC จงสรา้ งรปู สามเหลย่ี ม XYZ ให้มี XY=AB+BC, XYˆZ = 2(ABˆC) และ YZ=BC
7. กาหนดรูปสามเหล่ียมมุมฉาก PQR จงสร้างรูปสามเหลี่ยมหน้าจ่ัวที่มีด้านประกอบมุมยอดเท่ากับ PR

และฐานยาวเปน็ สองเท่าของ QR
8. จงสร้างรูปสามเหล่ียมมุมแหลม ABC ท่ีมี AB เป็นฐาน BAˆC = k มัธยฐานท่ีลากจากจุด C มายัง AB

ยาว a หนว่ ย และมีความสูง b หนว่ ย
9. กาหนดใหเ้ ส้นตรง a, b และมมุ k จงสร้างรปู ส่ีเหล่ยี มดา้ นขนาน ABCD ใหม้ ี AB = a, BC = b และ Aˆ = Kˆ
10. จงสร้างรูปสเี่ หลยี่ มด้านขนาน ABCD ให้ AB = a เส้นทแยงมุม AC = b เสน้ ทแยงมมุ BD = c
11. จงสร้างรูปสี่เหลย่ี มขนมเปียกปนู ABCD ใหเ้ ส้นทแยงมุม AC = p เสน้ ทแยงมุม BD = q
12. จงสรา้ งรปู สเ่ี หล่ยี มคางหมู ABCD ให้ AB // CD, Bˆ = Kˆ , AB = a, BC = b, CD = c
13. จงสร้างรูปห้าเหลย่ี มให้มีพื้นท่ีเทา่ กับพ้นื ท่ขี องรูปหกเหลย่ี ม ABCDEF ทก่ี าหนดให้
14. จงสรา้ งรูปสามเหลยี่ มให้มีพ้ืนทเ่ี ทา่ กบั พนื้ ท่ขี องรูปหา้ เหล่ยี ม ABCDE ท่กี าหนดให้
15. จงสร้างรปู สเี่ หล่ียมผนื ผ้าให้มพี ืน้ ทเี่ ท่ากบั พ้นื ทีข่ องรปู สเี่ หล่ยี ม ABCD ท่ีกาหนดให้
16. จงสรา้ งรูปสามเหลย่ี มให้มพี น้ื ทเ่ี ทา่ กับพ้นื ท่ีของรูปหกเหลี่ยม ABCDEF ทกี่ าหนดให้
17. จงสรา้ งรปู ส่เี หลีย่ มผนื ผา้ ให้มพี น้ื ทเ่ี ท่ากบั พ้นื ท่ขี องรูปหกเหล่ียม ABCDEF ที่กาหนดให้
18. จงสร้างรูปสเ่ี หลีย่ มดา้ นขนานให้มีพื้นทีเ่ ปน็ สองในสามของพนื้ ทขี่ องรปู สามเหลยี่ ม ABC ทก่ี าหนดให้

19. จงสร้างรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซ่ึงมีด้านหน่ึงเท่ากับเส้นตรงที่กาหนดให้ มีมุมมุมหน่ึงเท่ากับมุมท่ี
กาหนดให้และมีพื้นท่เี ท่ากับพน้ื ทีข่ องสามเหล่ียมท่กี าหนดให้

20. จงสร้างรูปสเ่ี หล่ยี มดา้ นขนานให้มพี น้ื ทเ่ี ท่ากับรปู ห้าเหลีย่ มท่กี าหนดให้และมีมมุ มุมหนึ่งเท่ากบั มมุ ท่ี
กาหนดให้

21. จงสร้างรปู สามเหล่ียมทบี่ รรจภุ ายในวงกลมใหม้ มี มุ เท่ากับรปู สามเหลยี่ มท่กี าหนดให้
22. จงสร้างรปู สามเหล่ยี มลอ้ มรอบวงกลมให้มีมมุ เท่ากับรปู สามเหล่ยี มที่กาหนดให้
23. จงสรา้ งรูปสามเหล่ียมหน้าจว่ั ให้มีพ้ืนทีเ่ ท่ากับรปู สามเหล่ียมท่ีกาหนดให้ ฐานอยใู่ นแนวเส้นตรงเดียวกัน

กับฐานของรูปสามเหล่ยี มทกี่ าหนดใหแ้ ละจุดยอดอยู่ที่จดุ จดุ หนึ่ง
24. จงสร้างรปู สเ่ี หลยี่ มด้านขนานซงึ่ มีดา้ นหนึ่งเทา่ กับเสน้ ตรงทีก่ าหนดให้ และมีพ้ืนทเ่ี ท่ากับพื้นที่ของรปู

สามเหล่ียมทกี่ าหนดให้
25. จงสรา้ งรูปสเ่ี หลย่ี มดา้ นขนานให้มีพ้นื ท่ีเทา่ กบั พืน้ ท่ีของรปู ห้าเหลี่ยมท่กี าหนดให้ และมีมมุ มมุ หนง่ึ เทา่ กับ

มุมท่ีกาหนดให้

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลิมปกิ วชิ าการ ศูนย์โรงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณติ 20

3. รปู สามเหลย่ี มและความคล้าย

รูปสามเหลี่ยมถือว่าเป็นพ้ืนฐานในการศึกษารูปหลายเหลี่ยมอื่น ๆ เช่นการหาผลบวกของมุม
ภายใน และพื้นท่ีของรูปหลายเหลี่ยม เราสามารถหาได้โดยการลากเส้นทแยงมุมที่ไม่ตัดกันเพ่ือแบ่งย่อย
เป็นรูปสามเหล่ียม แล้วก็สามารถแก้ปัญหาได้ นอกจากนั้นปัญหาต่าง ๆ ในทางธรรมชาติก็เกี่ยวข้องกับรูป
สามเหล่ยี มมากมาย เช่น ทฤษฎีบทของพีทาโกรัส การหาจุดรวมมวลและอ่ืน ๆ ในหัวข้อน้ีเราจะเน้นศึกษา
สมบัตพิ นื้ ฐานของรปู สามเหลย่ี ม ส่วนปญั หาตา่ ง ๆ ทีก่ าลังเป็นทีส่ นใจในปจั จบุ ันจะศกึ ษาในค่าย 2 ต่อไป

สมบตั ิและทฤษฎบี ททีส่ าคญั เก่ยี วกบั รูปสามเหลี่ยม
ทฤษฎีบท 3.1 ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลบวก
ของพน้ื ทีร่ ปู ส่เี หลี่ยมจตั รุ ัสบนด้านประกอบมุมฉาก (ทฤษฎีบทของพที าโกรัส)

ทฤษฎบี ทของพีทาโกรัส ถือได้ว่าเป็นทฤษฎีบทท่ีมีชื่อเสียงท่ีสุดทฤษฎีหน่ึงในวิชาเรขาคณิต และมี
ผูเ้ สนอวิธกี ารพสิ ูจน์มากมาย แต่ในทนี่ ี้เราจะนามากลา่ วพอสงั เขป
การพสิ ูจน์ (1)

การพสิ จู น์ (2)
ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปิกวชิ าการ ศูนย์โรงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วิชา เรขาคณติ 21

ทฤษฎีบท 3.2 ในรูปสามเหล่ียมใด ๆ ถ้าพ้ืนที่รูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลบวกของ
พนื้ ท่ีรปู สีเ่ หล่ยี มจัตรุ ัสบนดา้ นประกอบมุมฉากแล้ว รูปสามเหล่ียมรูปนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (บทกลับ
ทฤษฎบี ทของพีทาโกรัส)

ทฤษฎบี ท 3.3 ในรูปสามเหลย่ี มมมุ ป้าน พื้นที่รูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมป้าน เท่ากับผลบวกของ
พืน้ ท่ีรปู สเ่ี หลย่ี มจตั ุรัสบนด้านที่ประกอบมุมป้าน กับสองเท่าของพ้ืนท่ีรูปส่ีเหล่ียมผืนผ้าที่ประกอบด้วยด้าน
หน่งึ ด้านใดในสองดา้ นน้ีกบั ภาพฉาย (projection) ของอกี ด้านหนงึ่

ทฤษฎีบท 3.4 ในรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม พื้นที่รูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมแหลม เท่ากับผลบวก
ของพื้นท่ีรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสบนด้านท่ีประกอบมุมแหลม ลบด้วยสองเท่าของพื้นที่รูปส่ีเหลี่ยมผืนผ้า ท่ี
ประกอบดว้ ยดา้ นหนึง่ ด้านใดในสองดา้ นน้ี กบั ภาพฉายของอกี ด้านหนึง่

ทฤษฎบี ท 3.5 ในรปู สามเหลยี่ มใด ๆ ผลบวกของพ้นื ท่ีรูปสีเ่ หลย่ี มจตั ุรสั บนดา้ นสองดา้ นเทา่ กับสองเท่าของ
พน้ื ที่รปู สี่เหล่ยี มจัตรุ สั บนครงึ่ หนึง่ ของด้านที่สามรวมกับสองเทา่ ของพืน้ ท่ีรูปสี่เหลีย่ มจัตรุ สั บนเสน้ มัธยฐาน

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

▲ ค่ายโอลิมปิกวชิ าการ ศูนย์โรงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วิชา เรขาคณิต 22

ทฤษฎบี ทเกี่ยวกับสัดส่วน
ทฤษฎีบท 3.5 ส่วนของเส้นตรงซึ่งลากขนานกับด้านด้านหน่ึงของรูปสามเหลี่ยม จะแบ่งด้านที่เหลือ
ออกเปน็ สดั ส่วนกัน

ทฤษฎีบท 3.6 ถ้าส่วนของเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดด้านสองด้านของรูปสามเหล่ียมรูปหนึ่งออกเป็นสัดส่วนกัน
แล้ว สว่ นของเสน้ ตรงน้ันจะขนานกับดา้ นที่สาม (บทกลบั ทฤษฎีบท 3.5)

ทฤษฎีบท 3.7 ส่วนของเส้นตรงซ่ึงลากแบ่งครึ่งมุมภายในหรือมุมภายนอกของรูปสามเหล่ียมที่ลากมาพบ
ฐานภายในหรอื ฐานภายนอก จะแบ่งฐานออกเปน็ อตั ราสว่ นทเ่ี ท่ากบั อัตราส่วนของด้านท่เี หลืออีกสองดา้ น

ทฤษฎีบท 3.8 สาหรับรปู สามเหลีย่ ม ABC ถา้ แบง่ ดา้ น BC ภายในหรอื ภายนอกที่จุด X โดยทาให้
BX : XC = BA : AC แล้ว BAˆX = XAˆC (บทกลบั ทฤษฎีบท 3.7)

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วชิ าการ ศูนยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณติ 23

ความคล้าย
บทนิยาม รูปสามเหลี่ยมสองรูปคลา้ ยกนั ก็ต่อเมื่อ รปู สามเหลย่ี มสองรปู นน้ั มีขนาดของมุมเทา่ กนั เปน็ คู่ ๆ
สามคู่
ทฤษฎีบท 3.9 ถ้ารปู สามเหลี่ยมสองรปู มีมุมสามมมุ เท่ากนั มุมต่อมมุ แลว้ ด้านที่สมนยั กันเปน็ สดั สว่ นกนั

ทฤษฎีบท 3.10 ถ้ารูปสามเหลย่ี มสองรูปมดี า้ นท่สี มนัยกันเปน็ สัดสว่ นกัน แลว้ รูปสามเหลยี่ มคู่น้ันจะมีมุมท่ี
อยตู่ รงข้ามด้านทส่ี มนยั กนั เท่ากนั มุมต่อมุม

ทฤษฎีบท 3.11 ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมมุมหนึ่งเท่ากันและด้านประกอบมุมเท่าเป็นสัดส่วนกัน แล้ว
รปู สามเหลย่ี มสองรูปนคี้ ล้ายกัน

ทฤษฎีบท 3.12 ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมเท่ากันมุมหนึ่ง และด้านประกอบมุมอีกมุมหนึ่งท่ีสมนัยกัน
เปน็ สัดส่วนกัน แล้วมมุ ท่ีสามจะเท่ากนั หรือเป็นมุมประกอบมมุ ฉาก (ในกรณแี รกรูปสามเหลี่ยมจะคลา้ ยกัน)

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปกิ วิชาการ ศนู ยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 24

ทฤษฎีบท 3.13 ในรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ถ้าลากส่วนของเส้นตรงจากจุดยอดไปต้ังฉากกับด้านตรงข้าม
มมุ ฉาก แลว้ รปู สามเหล่ียมทเ่ี กดิ ข้นึ ทัง้ สองรูปคล้ายกันและคลา้ ยกับรปู เดิมดว้ ย

ทฤษฎีบท 3.14 ถ้ารูปสามเหล่ียมสองรูปมีมุมหนึ่งเท่ากัน แล้วพื้นท่ีรูปสามเหลี่ยมคู่น้ีจะเป็นสัดส่วนกับ
พน้ื ท่รี ปู สเี่ หล่ียมผืนผ้าท่ีประกอบด้วยด้านสองดา้ นท่ีประกอบมุมเท่านั้น

ทฤษฎบี ท 3.15 พ้นื ท่รี ปู สามเหล่ียมคลา้ ยเปน็ สัดสว่ นกบั พน้ื ท่รี ูปสีเ่ หลี่ยมจัตุรัสบนด้านทีส่ มนยั กนั

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วชิ าการ ศูนยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณติ 25

แบบฝกึ หัด เรอื่ ง รปู สามเหลี่ยมและความคล้าย

1. จากรปู ท่ีกาหนดให้ ADˆB = ACˆD และ AD = DC

C ดา้ นท่เี ทา่ กันอีกคู่คอื .................................
#
AC = AB และ ABD = AD2
B AD ADC
A #D

2. จากรูปทีก่ าหนดให้ NM ขนาน BC และ NL ขนานกับ AC จงพิสจู นว์ า่ ANM  NBL
AN 2
กาหนดให้ NB = 3 จงหา A

ก. อัตราส่วนพืน้ ทขี่ อง ANM : NBL N
NM X M
ข. BC

ค. อตั ราส่วนพื้นทข่ี อง BNMC :  ABC B LC
NX
ง. MC

3. จากรูปท่ีกาหนดให้ DAˆB= CBˆA =90° ตอ่ CB ไปถงึ จุด F โดยท่ี BC = BF ลาก DF ตดั AB ทจี่ ดุ E
D
ถา้ EC = 5 เซนติเมตร และ ED = 10 เซนตเิ มตร

ก. จงหาความยาวของ DF

ข. ถ้ากาหนดให้ CED = 12.5 ตารางเซนตเิ มตร จงแสดงว่า DEˆC = 30 C

ค. จาก ข. จงหาความยาวของ CD

ง. จงพิสูจนว์ ่า DAE CBE A EB
จ. จงหาอตั ราส่วนพ้ืนท่ีของ CBE : DAE และ CDE : CDF

F
4. กาหนดให้ AX เป็นเสน้ มัธยฐานของรูปสามเหล่ียม ABC และ D, E เป็นจุดบนด้าน AB, AC ตามลาดับ

และ DE ขนานกบั ด้าน BC และ AX ตัดกบั DE ที่จดุ Y จงแสดงว่า DY = YE

5. จากรปู QR //ST และอัตราสว่ นพ้นื ท่ีของ PQR : PST = 9 : 64 จงหา P
PQ
ก. PS

ข. ถา้ กาหนดให้พื้นท่ี PQR = 36 ตารางเซนติเมตร Q R

จงหาพ้นื ที่ QRTS S T

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปกิ วิชาการ ศนู ยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 26

6. จากรูป AXB, WYB, XYZD และ AWZC ตา่ งก็เป็นจดุ ทอ่ี ยู่บนเสน้ ตรงเดียวกัน AB//DC และ

XD//BC , XY = 6 เซนติเมตร YZ = 8 เซนติเมตร ZD = 10 เซนติเมตรและ ZC = 9 เซนติเมตร จงหา
A
ก. รปู สามเหลยี่ มทีค่ ลา้ ยกับ ABC

ข. ค่าของ AZ XY W D
Z
ค. รปู สามเหลย่ี มท่คี ล้ายกับ WYZ
ง. คา่ ของ WZ

7. จากรปู AH = BD, HK = HB และ HK //BD B C

A ก. จงหารปู สามเหล่ียมทเี่ ท่ากนั ทกุ ประการกับรปู สามเหลี่ยม AHK

ข. จงพสิ ูจนว์ า่ AHL DCL

ค. ถา้ กาหนดให้ AH = 9 เซนติเมตร HL = 3 เซนตเิ มตร และ

CD = 5 เซนติเมตร

HK 1) จงหาค่าของ CL
L 2) ให้ HK = x เซนติเมตร จงหาสมการกาลงั สองทีท่ าใหไ้ ด้คา่ x

BC D

8. จากรูป P เปน็ จดุ บนด้าน AC โดยที่ AP = 2PC และ R เป็นจดุ บนดา้ น BP โดยท่ี BR = 3RP และ
QR // AC กาหนดให้พืน้ ที่ BPA = 32 ตารางเซนตเิ มตร จงหา C

ก. พืน้ ท่ี BPC RP
ข. พ้นื ที่ BRQ

B Q A

9. จากรปู LPM อยบู่ นเสน้ ตรงเดยี วกันและ LPˆN = LNˆM N
ก. จงหามุมทเ่ี ทา่ กบั LNˆP
ข. กาหนดให้ LP = 6 เซนตเิ มตร PN = 4 เซนตเิ มตร PM
และ NM = 5 เซนตเิ มตร จงหาความยาวของ LN

L

10. จากรูป ABˆC=BDˆC=90° กาหนดให้ AC = 10 เซนตเิ มตร และ BC = 7 เซนตเิ มตร

จงหาความยาวของดา้ น CD B

A DC
ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลิมปิกวชิ าการ ศูนย์โรงเรียนขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณติ 27

11. จากรูป DF // AG, DE // AB, DC = 8, CG = 6, DE = 10 และ AB = 15 จงหา AD และ FG
C

FG
DE

AB
12. รูปสามเหลีย่ ม ABC มี C เป็นมมุ ฉาก ด้าน AC ยาว 15 เซนตเิ มตร CD ตั้งฉากกับ AB ทจี่ ุด D และ

ดา้ น BD ยาว 16 เซนตเิ มตร จงหาพนื้ ที่รปู สามเหลีย่ ม ABC

13. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มี A เปน็ มุมฉาก ด้าน BC ยาว 20 นว้ิ ดา้ น AC ยาว 16 นิ้ว ดา้ น
AD ตั้งฉากกบั ด้าน BC จงหา DC : AD

14. ให้ ABC เป็นรปู สามเหลีย่ มมมุ ฉาก มี A เป็นมุมฉาก ถ้าต่อ AB และ AC ออกไปทาง B และ C ถึง X
และ Y ตามลาดบั แลว้ ลาก BY และ CX จงพสิ จู น์วา่ XY2 + BC2 = CX2 + BY2

15. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลยี่ มมุมฉาก มี A เป็นมมุ ฉาก D เปน็ จุดใด ๆ บน AC ลาก BD จงพิสูจน์วา่
BC2 + AD2 = AC2 + BD2

16. ให้ ABC เปน็ รปู สามเหล่ียมที่ AD เปน็ เสน้ ตง้ั ฉากจาก A มายงั BC จงพิสจู นว์ า่ AB2–AC2 = BD2–DC2

17. ให้ ABC เป็นรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก มี A เปน็ มมุ ฉาก BD และ CE เปน็ เสน้ มัธยฐาน จงพสิ จู น์ว่า
BC2 = 4(AD2+AE2) และ BD2 + CE2 = 5(AD2+AE2)

18. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี A เป็นมุมฉาก BD และ CE เป็นเส้นมัธยฐานที่ลากจากจุด B
และ C มายังฐาน จงพสิ ูจน์วา่ 5BC2 = 4(BD2 + CE2)

19. จงแสดงวา่ สามเท่าของจัตุรัสบนด้านหนึ่งของสามเหล่ียมด้านเท่าเท่ากับส่ีเท่าของจัตุรัสบนเส้นต้ังฉาก
เส้นหนง่ึ ท่ลี ากจากมุมยอดมายงั ฐาน

20. ในรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก จงพสิ จู นว์ ่า ผลบวกของจัตรุ ัสบนด้านประกอบมุมฉากเทา่ กับสองเท่าของ
จตั ุรสั บนเส้นตัง้ ฉากที่ลากจากมมุ ฉากไปยังด้านตรงข้าม รวมกับผลบวกของจตั ุรสั บนส่วนแบง่ ของด้าน
ตรงขา้ มมุมฉาก

21. จงพิสจู น์วา่ ผลบวกของจัตรุ สั บนเส้นทแยงมมุ ของรูปส่เี หลี่ยมขนมเปยี กปนู เทา่ กับผลบวกของจัตุรัส
บนดา้ นทง้ั สีข่ องรูปสีเ่ หล่ียมนั้น

22. รูปสามเหลี่ยม ABC มี AL , BM , CN เป็นเส้นต้ังฉาก ตัดกันที่จุด P จงพิสูจน์ว่า AN2 + BL2 + CM2
= AM2 + CL2 + BN2

23. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า โดยท่ี ADBC , E เป็นจุดกึ่งกลางของ CD ลาก AE จงพิสูจน์
วา่ AE2 = 13CE2

24. ให้ PMN เป็นรูปสามเหล่ยี มหน้าจว่ั มี PM = PN, MSPN จงพสิ ูจนว์ ่า MN2 = (PN)(NS) + (PM)(NS)
25. ให้ ABC เป็นรปู สามเหล่ยี มใด ๆ ทม่ี ี AM เป็นเสน้ มธั ยฐาน จงพสิ จู นว์ ่า AB2 + AC2 = 2BM2 + 2AM2

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปกิ วิชาการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณติ 28

4. วงกลม คอร์ด และเส้นสมั ผสั

ในหัวข้อน้ีจะศึกษาพื้นฐานของวงกลม คอร์ดและเส้นสัมผัส รวมถึงสมบัติและทฤษฎีบทท่ีสาคัญ
เก่ียวกับวงกลมคอรด์ และเส้นสมั ผสั

สมบัตแิ ละทฤษฎีบททส่ี าคัญเกี่ยวกับวงกลม
ทฤษฎบี ท 4.1 ถา้ ลากสว่ นของเส้นตรงจากจดุ ศนู ย์กลางของวงกลมไปแบ่งครึ่งคอร์ดซ่ึงไม่ผ่านจุดศูนย์กลาง
แลว้ สว่ นของเส้นตรงนน้ั จะต้องตั้งฉากกบั คอร์ด

บทกลบั ถา้ ลากส่วนของเสน้ ตรงจากจดุ ศูนยก์ ลางของวงกลมไปต้ังฉากกบั คอรด์ ซง่ึ ไม่ผา่ นจดุ ศูนย์กลาง แล้ว
สว่ นของเส้นตรงนน้ั จะแบ่งครึง่ คอร์ด

บทแทรก สว่ นของเส้นตรงซ่งึ ลากแบ่งครึ่งคอร์ด และตงั้ ฉากกับคอร์ด จะผา่ นจุดศูนย์กลางของวงกลม

บทแทรก เสน้ ตรงเส้นหน่ึงไม่สามารถตดั วงกลมหนงึ่ ได้มากกวา่ สองจุด

ทฤษฎบี ท 4.2 จากจุดภายในวงกลม ถ้าลากส่วนของเส้นตรงไปยังเส้นรอบวงให้ยาวเท่ากันได้มากกว่าสอง
เส้น แลว้ จุดจดุ นั้นจะเปน็ จดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลม

ทฤษฎบี ท 4.3 คอร์ดทย่ี าวเท่ากนั ยอ่ มอยหู่ ่างจากจุดศนู ยก์ ลางเป็นระยะทางทเ่ี ท่ากัน

บทกลับ คอร์ดที่อยูห่ า่ งจากจุดศูนยก์ ลางเปน็ ระยะทางที่เท่ากัน ย่อมยาวเทา่ กัน
ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลิมปิกวิชาการ ศนู ย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณติ 29
ทฤษฎบี ท 4.4 มมุ ในคร่งึ วงกลมเป็นมุมฉาก

ทฤษฎีบท 4.5 ถ้ามุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมและมุมในส่วนโค้งของวงกลมรองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน
แล้วมมุ ทจ่ี ุดศนู ยก์ ลางของวงกลมจะมขี นาดเป็นสองเท่าของมุมในส่วนโค้งของวงกลม

ทฤษฎีบท 4.6 มุมในส่วนโคง้ ของวงกลมสว่ นเดียวกัน ย่อมเทา่ กัน
ทฤษฎบี ท 4.7 เสน้ สัมผสั ทีล่ ากมาสัมผัสวงกลม จะตั้งฉากกบั รศั มีของวงกลมซง่ึ ลากมาทีจ่ ุดสัมผัส

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วิชาการ ศูนยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณติ 30

ทฤษฎีบท 4.8 เส้นสัมผัสสองเส้นท่ีลากจากจุดภายนอกมายังวงกลมวงหนึ่งจะยาวเท่ากัน และรองรับมุมท่ี
จดุ ศนู ย์กลางเท่ากนั

ทฤษฎบี ท 4.9 มุมที่เกดิ ขนึ้ จากเสน้ สมั ผัสจดกับขอบยอ่ มเท่ากับมุมท่ีอยู่ในส่วนของวงกลมตรงกันข้าม

ทฤษฎีบท 4.10 คอร์ดสองคอร์ดตัดกันภายในวงกลม พื้นท่ีรูปส่ีเหล่ียมผืนผ้าท่ีประกอบด้วยส่วนตัดของ
คอร์ดยอ่ มเท่ากนั

ทฤษฎีบท 4.11 คอร์ดสองคอร์ดตัดกันภายนอกวงกลม พื้นที่รูปส่ีเหล่ียมที่ประกอบด้วยส่วนตัดของคอร์ด
ย่อมเทา่ กนั และเท่ากับพื้นทร่ี ูปสี่เหล่ียมจตั รุ ัสบนเสน้ สัมผัส

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปิกวิชาการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 31

แบบฝึกหดั เรื่อง วงกลม

1. ถา้ AB และ CD เป็นเสน้ ผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ตั้งฉากซึ่งกันและกันแล้ว จงพิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยม
ABCD เป็นรูปสีเ่ หลี่ยมจตั ุรัส

2. ถ้า AB เปน็ คอรด์ ของวงกลม O จดุ C อยู่บนเส้นรอบวงทาให้ AC = CB จงพิสจู นว์ ่า CO ตั้งฉากกบั AB

3. กาหนดให้ AB และ CD เป็นคอร์ดที่ยาวเท่ากันของวงกลม O ต่อ AB และ CD ไปพบกันท่ีจุด E จง
พสิ ูจน์วา่ BE = DE

4. กาหนดให้ AB และ CD เปน็ คอรด์ ท่ียาวเท่ากันของวงกลม O และคอร์ดทัง้ สองตดั กนั ที่จุด E จงพิสูจน์
ว่า AE = CE

5. คอร์ดสองเสน้ ของวงกลมวงกลมวงหนงึ่ ตดั กันทีจ่ ดุ ๆ หนึ่ง ลากเส้นตรงจากจุดตัดไปยังจุดศูนย์กลาง ถ้า
เสน้ ตรงนที้ ามุมกบั คอรด์ ท้ังสองเทา่ กันแลว้ จงพสิ จู นว์ ่า คอร์ดทั้งสองน้ันยาวเทา่ กัน

6. วงกลม A และวงกลม B ตัดกันทีจ่ ดุ X และ Y ลาก AB และจากจุด O ซ่งึ เปน็ จดุ ก่ึงกลางของ AB ลาก
OX แล้วลากเส้นตรงให้ต้งั ฉากกบั OX ไปจดเส้นรอบวงท้ังสองท่ี P และ Q จงพิสจู นว์ า่ PX = XQ

7. วงกลม P และวงกลม Q ตัดกันที่ A และ B ต่อ PQ ไปทาง Q ถึง R ลาก RA และ RB เลยไปพบเส้น
รอบวงของวงกลม P ทจ่ี ดุ C และ D ตามลาดบั จงพิสูจนว์ ่า AC = BD

8. วงกลมสองวงตดั กนั และมีเสน้ ขนานคู่หนึ่ง แต่ละเส้นผา่ นจดุ ตดั ไปสุดทเี่ สน้ รอบวงทง้ั สอง จงพสิ จู นว์ า่
เสน้ ตรงทง้ั สองน้ยี าวเทา่ กัน

9. ถ้า AB และ BC เป็นคอรด์ ของวงกลม O ซึ่งทาให้ ABˆC เปน็ มุมแหลม จงพิสจู นว์ า่ ABˆC +OAˆC = 90o

10. จากรูป จงพิสจู นว์ ่า BX = XC B

X O
A

C
11. วงกลม O ตดั กบั วงกลม ABC ที่ B และ C และ AO เปน็ เส้นผา่ นศนู ยก์ ลางของวงกลม ABC จงพิสูจน์

วา่ BAˆC = 2OBˆC

12. วงกลมสองวงตัดกันที่ A และ B ให้ P เป็นจุดใด ๆ บนวงกลมวงหน่ึง ลาก PAC, PBD และลาก XY
สัมผสั วงกลมที่ P จงพสิ จู น์วา่ XY ขนานกบั CD

13. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมบรรจุในวงกลม AD และ BE เป็นเส้นตั้งฉากที่ลากไปยังด้านตรงข้าม ถ้า
PQ เปน็ เส้นสมั ผสั วงกลมทีจ่ ุด C จงพสิ จู นว์ า่ PQ ขนานกบั DE

14. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มี ABˆC เป็นมุมฉาก จงพิสูจน์ว่า ผลบวกของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม
ท่ีล้อมรอบรูปสามเหล่ียม ABC และวงกลมท่ีแนบในรูปสามเหลี่ยม ABC มีค่าเท่ากับ ผลบวกของด้าน
ประกอบมมุ ฉากของรูปสามเหลีย่ ม ABC

15. ให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหลี่ยมบรรจุในวงกลม ลาก AC และ BD ตัดกันท่ี E ถ้า AD = AB จงพิสูจน์ว่า
AD เป็นเส้นสัมผสั วงกลมซ่ึงลอ้ มรอบรปู สามเหลี่ยม CDE

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลิมปิกวิชาการ ศนู ยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณติ 32

16. ให้ D เป็นจุดใด ๆ บนฐาน BC ของรูปสามเหลี่ยม ABC ถ้า EB และ EC เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่
ล้อมรอบรูปสามเหล่ียม ABD และรูปสามเหล่ียม ACD ที่จุด B และจุด C จงพิสูจน์ว่าวงกลมผ่านจุด
A, B, E และ C ได้ และรูปสามเหลยี่ ม ABD และรปู สามเหลีย่ ม AEC มมี มุ เทา่ กนั มุมตอ่ มุม

17. ให้ AB และ CD เป็นคอร์ดของวงกลมซ่ึงต่อออกไปพบกนั ภายนอกท่จี ุด X ถ้า BD ขนานกับ AC จง
พสิ จู น์ว่า XB = XD และ XA = XC

18. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมหน้าจั่วมี BC เป็นฐาน ถ้า XY เป็นเส้นเช่ือมด้านสองด้านและขนานกับ
ฐาน จงพสิ จู นว์ ่า B, C, X, Y อยู่บนเสน้ รอบวงของวงกลมเดยี วกัน (concyclic)

19. จากรปู จงพสิ ูจน์วา่ A, B, C, D อยบู่ นเส้นรอบวงของวงกลมเดียวกนั
D xC

A 2 1 2x B
20. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มหนา้ จ่ัว มี BC เปน็ ฐาน เส้นตัง้ ฉากจากจุด B และ C ไปยังด้านตรงข้ามตัด

กันที่ O จงพสิ จู น์ว่า AO แบ่งครึง่ BAˆC
21. ให้ O เปน็ จดุ ศูนย์กลางของวงกลม AC เป็นเส้นสัมผัสวงกลมท่ีจุด B และ CD เป็นเส้นสัมผัสวงกลม

ทจ่ี ุด D ถา้ DBˆC = 70 องศา DAˆC เท่ากับกอ่ี งศา
A

B

O

DC

22. ให้คอร์ด CD และคอร์ด AB ตัดกันท่ีจุด E ถ้า CE = 6 เซนติเมตร CD = 24 เซนติเมตร และ AE = 4

แลว้ EB และ AB เทา่ กบั กเ่ี ซนติเมตร CB
E

AD
23. ให้ O เปน็ จุดศนู ยก์ ลางของวงกลมซ่ึงมีรัศมียาว 4 เซนติเมตร ถ้า COˆA เท่ากับ 120 องศา CA ยาวกี่

เซนติเมตร
24. ให้ A, B, C, D และ E เปน็ จดุ บนวงกลม AD//BC , AD CE ที่ F ถ้า CF = EF, AF = 8 เซนติเมตร

FD = 2 เซนตเิ มตร BC = 6 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ของรปู หา้ เหลย่ี ม ABCDE
D

CF E

B
A

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จังหวัดยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปิกวิชาการ ศูนยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 33

25. จากรูป วงกลม O มีรัศมี 10 เซนติเมตร คอร์ด AB ตั้งฉากกับคอร์ด CD ที่ X ถ้า AB =16 เซนติเมตร
CD = 14 เซนตเิ มตร จงหาวา่ OX ยาวกเี่ ซนตเิ มตร

A

CX O D

B

26. จากรูป วงกลม O แนบในรูปสามเหล่ียม ABC มี AB = 7 เซนติเมตร BC = 8 เซนติเมตร และ AC = 6
A
เซนตเิ มตร จงหาวา่ x ยาวเทา่ ใด

x

O

BC

27. จากรูป วงกลม A และ B มรี ัศมี 8 และ 3 นวิ้ ตามลาดับ ถ้ารูปวงกลม 2 วงนี้ห่างกัน 2 น้ิว เส้นสัมผัส
P
ร่วม PQ ยาวเท่าใด

Q

AB

28. จากรูป O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมรูปเล็ก OA เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลมรูปใหญ่ AD ตัด
วงกลมรปู เล็กที่ C และ D พร้อมกับตัดวงกลมรูปใหญ่ท่ี E ถ้า AC = 5 เซนติเมตร CE = 3 เซนติเมตร
จงหาว่า DE ยาวกเี่ ซนติเมตร

O

DE C A

29. จากรูป AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และ BD เป็นคอร์ดตัด AC ท่ีจุด X ถ้าให้ BCˆA = 26° และ
CAˆD = 47° จงหาคา่ BAˆC และ AXˆD B

AX C

30. จากรูป O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม TB Dสัมผัสวงกลมท่ีจุด B และ AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางตัด
กบั คอร์ด DB ทจ่ี ดุ X ถ้าให้ ABˆT = 40° และ DCˆA = 32° จงหา OAˆB,ABˆD และ CXˆD

DX O C
A

TB

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปิกวชิ าการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณติ 34

5. รูปสเี่ หลย่ี มผืนผา้ กับวงกลม

ในหัวข้อนีจ้ ะกลา่ วถึงทฤษฎบี ทและโจทยป์ ญั หาตา่ ง ๆ ที่แสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างรูปสี่เหลี่ยม
รปู สามเหลย่ี ม และวงกลม

ทฤษฎีบท 5.1 ถ้าลากเส้นแบ่งคร่ึงมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมมาตัดท่ีฐาน พื้นท่ีของรูปส่ีเหล่ียมผืนผ้าซ่ึง
ประกอบด้วยด้านประกอบมุมยอด จะเท่ากับพื้นท่ีรูปสี่เหล่ียมผืนผ้าที่ประกอบด้วยส่วนตัดรวมกับพื้นท่ีรูป
สเี่ หล่ียมจัตรุ ัสบนเสน้ ทล่ี ากจากจดุ ยอดมายงั ฐาน

ทฤษฎีบท 5.2 ถ้าลากเส้นจากมุมยอดของรูปสามเหล่ียมมาต้ังฉากกับฐาน พ้ืนท่ีรูปสี่เหล่ียมผืนผ้าที่
ประกอบด้วยด้านประกอบมุมยอด จะเท่ากับพื้นท่ีรูปสี่เหล่ียมผืนผ้าท่ีประกอบด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของ
วงกลม ซ่ึงล้อมรอบรูปสามเหลีย่ มน้นั กับเส้นต้งั ฉากทีล่ ากมายงั ฐาน

ทฤษฎีบท 5.3 พื้นท่ีของรูปสี่เหล่ียมผืนผ้า ซึ่งประกอบข้ึนด้วยเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ
(quadrilateral) ซึง่ แนบในวงกลม จะเทา่ กบั ผลบวกของพ้นื ท่รี ปู ส่ีเหล่ียมผืนผ้าที่ประกอบด้วยด้านตรงข้าม
ของรูปสี่เหลย่ี มนัน้ (Ptolemy Theorem)

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลิมปกิ วิชาการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 35

ทฤษฎีบท 5.4 ถ้ารปู สี่เหลีย่ มใด ๆ แนบในวงกลม แลว้ มุมอยูต่ รงข้ามของรปู สเ่ี หลย่ี มรวมกันได้สองมมุ ฉาก

ทฤษฎบี ท 5.5 รปู สเี่ หล่ยี มคางหมูหนา้ จ่ัว เป็นรปู สเ่ี หลยี่ มที่มวี งกลมล้อมรอบได้

ทฤษฎีบท 5.6 รูปสี่เหล่ียมที่มีด้านขนานกันคู่หนึ่ง จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมท่ีมีวงกลมล้อมรอบได้ ก็ต่อเม่ือ รูป
สเี่ หลยี่ มนั้นเปน็ รูปส่ีเหล่ยี มมมุ ฉาก หรือรูปสเ่ี หล่ียมคางหมหู นา้ จวั่

ทฤษฎีบท 5.7 รูปส่ีเหลี่ยมจะมีวงกลมแนบในได้ ก็ต่อเม่ือ ผลบวกของความยาวของด้านตรงข้ามของรูป
สเี่ หลย่ี มนนั้ มคี ่าเทา่ กัน

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปิกวิชาการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วิชา เรขาคณติ 36

ทฤษฎบี ท 5.8 ส่วนของเส้นตรงทแ่ี บง่ คร่ึงและตั้งฉากกบั ด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม จะพบกันทีจ่ ดุ จดุ
หนึ่ง ซึ่งเปน็ จุดศูนยก์ ลางของวงกลมล้อมรอบรปู สามเหลย่ี มนน้ั

ทฤษฎีบท 5.9 เส้นแบ่งคร่ึงมุมยอดของรูปสามเหลี่ยม จะพบกันท่ีจุดจุดหนึ่ง จุดน้ันเป็นจุดศูนย์กลางของ
วงกลมแนบในรปู สามเหลี่ยมนั้น

ทฤษฎบี ท 5.10 รัศมีของวงกลมแนบในรูปสามเหลีย่ มทีม่ ีด้านทั้งสามยาว a, b และ c หน่วยคอื
2
r = a+b+c เมือ่ คอื พน้ื ทขี่ องรูปสามเหลี่ยมน้ี

ทฤษฎีบท 5.11 เส้นมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมจะจวบกัน (concurrence) และจะแบ่งซึ่งกันและกัน
ออกเป็นอัตราส่วน 2 : 1

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วิชาการ ศูนย์โรงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณติ 37

แบบฝึกหดั เรอ่ื ง รปู สเ่ี หลีย่ มผนื ผ้ากับวงกลม

1. ให้จุด P เป็นจุดภายในสี่เหล่ียม ABCD ใด ๆ ลาก PL , PM , PN และ PK ต้ังฉากกับ BC , CD , DA
และ AB ตามลาดับ จงพสิ จู นว์ ่า AN2 + BK2 + CL2 + DM2 = AK2 + BL2 + CM2 + DN2

2. ให้รูปสี่เหล่ยี มผืนผ้า ABCD มี AM , CN BD ที่ M, N จงพิสูจนว์ ่า BM2 + BN2 = DM2 + DN2

3. ให้ ABCD เป็นรปู สีเ่ หลยี่ มคางหมู AB // CD และเส้นทแยงมุมตดั กันท่จี ุด O จงพิสูจนว์ า่ (OA)(OD) =
OA OB
(OB)(OC) และถา้ AB = 2CD แล้ว OC = OD = 2

4. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมบรรจุในวงกลม O และ D เป็นจุดกึ่งกลาง BC ลาก DO ไปพบ AC ท่ี E

จงพิสจู น์วา่ A, B, O, E เป็นจดุ ในวงกลมเดยี วกนั

5. ให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสบรรจุในวงกลม และ P เป็นจุดก่ึงกลางของส่วนโค้ง CD จงพิสูจน์ว่า
PAB เป็นรปู สามเหลี่ยมหน้าจว่ั

6. ให้ ABC เป็นรปู สามเหล่ียมดา้ นเท่าบรรจุในวงกลม ถ้า P เป็นจุดใด ๆ บนส่วนโค้ง AC ลาก AP เลยไปพบ
สว่ นตอ่ ของ BC ท่ี Q และลาก BP ตดั AC ที่ R จงพิสูจนว์ ่า ABQ และ ABR มีมมุ เทา่ กนั มุมต่อมุม

7. ให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหล่ยี มคางหมู AB // CD , E เป็นจุดกง่ึ กลางของ CD , AC ตดั กับ BE ท่จี ุด F
และ AE ตดั กบั BD ทจ่ี ดุ G จงพสิ จู น์ว่า GF // AB

8. ให้ ABCD เป็นรูปสเ่ี หลยี่ มด้านขนาน O เป็นจดุ ใด ๆ ในรปู ส่ีเหลี่ยม จงพสิ จู น์ว่า ผลรวมของพนื้ ทร่ี ปู
สามเหลีย่ ม OAB กับพนื้ ท่ีรูปสามเหลี่ยม OCD เป็นครง่ึ หนึ่งของพ้นื ท่ีรปู สี่เหล่ียมด้านขนาน ABCD

9. ให้ ABCD เป็นรปู ส่เี หลี่ยมด้านขนาน E เปน็ จดุ บน DC และ F เปน็ จุดบนสว่ นตอ่ ของ AB ทท่ี าให้
AB = BF จงพสิ จู นว์ า่ พนื้ ทรี่ ปู สามเหลยี่ ม AEF เท่ากบั พนื้ ท่ีรูปส่ีเหลีย่ ม ABCD

10. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมใด ๆ จุด P และ Q เป็นจุดบน AB และ AC ตามลาดับ ซึ่งทาให้ PQ //BC
จงพิสูจนว์ า่ พนื้ ทร่ี ูปสามเหลย่ี ม ABQ เท่ากบั พน้ื ที่รูปสามเหลีย่ ม ACP

11. ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหล่ียมด้านขนาน AC เป็นเส้นทแยงมุมและ E เป็นจุดใด ๆ บน AC จงพิสูจน์ว่า
K
พนื้ ทร่ี ูปสามเหล่ียม CDE เทา่ กบั พน้ื ทรี่ ปู สามเหลยี่ ม CBE

12. ให้ ABCD เป็นรูปสเี่ หลยี่ มดา้ นขนาน จากจดุ C มเี ส้นตรงลากไปตัดดา้ น AB ท่ี E B
และตัดดา้ น DA ที่ตอ่ ออกไปที่ F ท่ีจุด B ลากเสน้ ให้ขนานกับดา้ น FC ตัดด้านทตี่ อ่ จาก F
DAF ท่ี K ทจ่ี ดุ D ลากเส้นใหข้ นานกับดา้ น FC ตดั ดา้ น BA ที่ตอ่ ออกไปที่ H
จงพิสูจน์ว่า พนื้ ทร่ี ปู ส่ีเหลีย่ ม BCFK มพี น้ื ที่เทา่ กบั พนื้ ทส่ี ่เี หลย่ี ม DCEH H A E

DC
13. ให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหล่ียมด้านขนาน ด้าน BC ถูกแบ่งคร่ึงที่ E ลากเส้น AE แล้วต่อ AE และ DC ไป

พบกันที่ F จากจุด D ลากเส้น DG ขนานกับ FA พบส่วนต่อของเส้น AB ท่ี G จงพิสูจน์ว่า พื้นท่ี
สเ่ี หลยี่ ม AFDG เปน็ สองเทา่ ของสี่เหลีย่ มดา้ นขนาน ABCD

G AB

E

DC F
ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปิกวิชาการ ศูนย์โรงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณติ 38

14. ให้ ABCD เปน็ รูปสเ่ี หล่ียมด้านขนาน ต่อ AB ไปถึง E โดยที่ BE = AB ลาก ED ให้ตัด BC ที่ F ลาก
AF , EC จงพสิ ูจนว์ ่า พ้ืนทรี่ ปู สามเหลย่ี ม AEF เทา่ กบั พืน้ ที่รปู สามเหลย่ี ม BEC

15. ให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหลี่ยมด้านขนาน E เป็นจุดบน DC ต่อ AE และ BC ไปพบกันที่จุด F จงพิสูจน์
ว่า พื้นท่ีรูปสามเหล่ียม ADF เท่ากับพ้ืนที่รูปสามเหลี่ยม ABC และพ้ืนท่ีรูปสามเหล่ียม DEF เท่ากับ
พ้ืนทร่ี ูปสามเหลยี่ ม BEC

16. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ที่มี P เป็นจุดบน CA ทาให้ CP = 1 CA ต่อ BP ไปถึง Q ให้ AQ
3
ขนานกับ BC จงหาวา่ พืน้ ที่รปู สามเหล่ยี ม CPQ เปน็ เศษสว่ นเท่าไรของพ้ืนท่ีรูปสามเหล่ียม ABC

AQ

P

BC

17. จากรูป ABCD และ DPQR เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานสองรูป จงพิสูจน์ว่ารูปส่ีเหล่ียมท้ังสองมีพ้ืนท่ี
AP
เท่ากัน B

Q

DC

R
18. ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานท่ีมีจุด P, Q, R และ S เป็นจุดกึ่งกลางของด้านท้ังสี่ จงพิสูจน์ว่า

รปู สีเ่ หลีย่ ม PQRS มีพนื้ ทีเ่ ปน็ คร่ึงหนง่ึ ของรปู ABCD
19. ให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหล่ียมด้านขนานท่ีมีจุด P อยู่ในด้าน AB จุด Q อยู่บนด้าน BC จงพิสูจน์ว่า พ้ืนท่ี

รปู สามเหล่ยี ม PCD เท่ากับ พื้นทรี่ ูปสามเหลย่ี ม AQD
20. รปู สีเ่ หล่ียมดา้ นขนาน ABCD ทม่ี ีจุด P อยใู่ นด้าน AB ทต่ี อ่ ไป จุด Q อยู่บนด้าน BC จงพิสูจน์ว่า พ้ืนท่ี

รูปสามเหลี่ยม PCD เท่ากับ พืน้ ทรี่ ปู สามเหลี่ยม AQD
21. ให้ PQRS เป็นรูปส่ีเหล่ียมคางหมูที่มี X และ Y เป็นจุดก่ึงกลางของด้านที่ขนานกัน จงพิสูจน์ว่า XY

แบง่ พ้นื ทขี่ อง PQRS เปน็ สองส่วนเทา่ ๆ กัน
22. ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหล่ียมด้านไม่เท่ารูปหนึ่ง ซ่ึงมี X เป็นจุดก่ึงกลางของด้าน BD จงพิสูจน์ว่า รูป

AXCD มีพื้นทีเ่ ป็นคร่งึ หนง่ึ ของรูป ABCD
23. รูปสามเหลีย่ ม ABC ทม่ี ี M เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน BC และ P เป็นจุดบนด้าน AM จงพิสูจน์ว่า พื้นที่

รปู สามเหลย่ี ม ABP เทา่ กบั พ้ืนทร่ี ูปสามเหลีย่ ม ACP
24. ถ้าต่อด้าน BC ของรูปสามเหล่ียม ABC ออกไปถึง D ทาให้ CD = BC ถ้า E เป็นจุดก่ึงกลางด้าน AB

จงพสิ จู น์วา่ พน้ื ทรี่ ปู สามเหลี่ยม ABC เท่ากบั พ้นื ทรี่ ูปสามเหลีย่ ม EBD

ครูครรชติ แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปกิ วชิ าการ ศูนยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วิชา เรขาคณิต 39

แบบฝกึ หัดเสรมิ เพ่ิมเติมความเข้าใจ
1. วงกลมสองวงสัมผัสกันภายในที่จุด O จุด A อยู่ภายนอกวงกลมทั้งสอง โดยที่ AO และ AP สัมผัส

วงกลมวงเลก็ ทจี่ ดุ O และ P ตามลาดบั ถา้ AP ตดั วงกลมวงใหญท่ จี่ ุด T และตอ่ AP ไปตัดเส้นรอบวง
ทจี่ ดุ S จงพิสูจน์วา่ TOˆP= SOˆP

2. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมใด ๆ มี AD แบ่งพ้ืนท่ีของรูปสามเหลี่ยม ABC ออกเป็นสองส่วน ซ่ึงทาให้
พื้นที่ของรูปสามเหล่ียม ABD เป็นสองเท่าของพ้ืนท่ีของรูปสามเหลี่ยม ADC จากจุด D ลาก DE //BA
ถา้ ADˆB= 2ACˆD และ DAˆC = 30๐ จงแสดงวธิ ีหาขนาดของ AEˆD พร้อมทัง้ ใหเ้ หตุผลทุกขน้ั ตอน

3. ให้ D และ E เป็นจุดกึ่งกลางด้าน AB และ AC ของรูปสามเหลี่ยม ABC ตามลาดับ ด้าน BE และ CD
ตัดกันท่ีจุด P โดยท่ีรูปสามเหล่ียม EDP มีพื้นท่ี 4 ตารางน้ิว รูปสามเหลี่ยม PBC มีพ้ืนท่ี 9 ตารางน้ิว
จงหาพน้ื ทขี่ องรปู สามเหลย่ี ม ABC

4. ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมแนบในวงกลมท่ีมี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง AP และ BQ เป็นเส้นแบ่งคร่ึง
BAˆC และ ABˆC ตามลาดับ PM และ QN ตั้งฉากกับ AB ที่จุด M และ N ตามลาดับ จงแสดงวิธีหา
ขนาดของ MCˆN พร้อมทงั้ ให้เหตผุ ลทกุ ขนั้ ตอน

5. ให้ F เป็นจุดบนด้าน AB ของรูปสามเหลี่ยม ABC ถ้า D เป็นจุดตัดของด้าน BC กับเส้นตรงท่ีลากจาก

จุด A และขนานกับดา้ น FC ในทานองเดียวกนั ให้ E เป็นจดุ ตัดของดา้ น CA กับเส้นตรงท่ีลากจากจุด B
1 1 1
และขนานกับดา้ น FC จงพิสจู นว์ ่า CF = AD + BE

6. ให้ ABCD เป็นรปู ส่เี หลย่ี มด้านขนาน ต่อดา้ น DA ไปทาง A ไปยังจดุ P และให้ PC ตัดด้าน AB ท่ีจุด Q
และดา้ น DB ที่ R ถ้า PQ = 525 และ QR = 80 จงหาความยาวของ RC

7. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากโดยมี A เป็นมุมฉาก ถ้า D และ F เป็นจุดอยู่บนด้าน AC และ BC
ตามลาดบั โดยท่ี AF BC และ BD = DC = FC = 3 จงหาความยาวของ AC

8. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมที่มี Aˆ Bˆ = 90๐ และ BC + CA = 2AB ถ้า cos C = m เมื่อ
n
ห.ร.ม. (m, n) = 1 จงหา m + n

9. ใหร้ ปู สามเหลย่ี มรปู หนงึ่ มีเส้นมัธยฐานยาว 3, 4 และ 5 หน่วย จงหาความยาวของด้านทสี่ น้ั ที่สดุ

ครูครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา

▲ คา่ ยโอลิมปิกวิชาการ ศนู ยโ์ รงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณติ 40

10. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียม มีพ้ืนที่ 28 ตารางน้ิว จุด D, E และ F เป็นจุดบนด้าน AB, BC และ CA
ตามลาดบั และ AD = 3 นว้ิ DB = 4 นิ้ว ถ้ารูปสามเหล่ยี ม ABE และรูปสี่เหล่ียม DBEF มีพ้ืนท่ีเท่ากัน
แล้วรปู สามเหล่ียม ABE มีพ้ืนท่ีเทา่ ไร

11. ให้ ABCD เป็นรปู ส่ีเหลยี่ มใด ๆ โดยมีจดุ O เปน็ จดุ ตดั ของเสน้ ทแยงมุม AC และ BD ถ้ารูปสามเหลี่ยม
AOB, BOC และ COD มพี ้ืนท่ีเทา่ กับ 3, 6 และ 2 ตารางหน่วย ตามลาดบั จงหาพืน้ ท่ขี องรูปสามเหลีย่ ม
DOA

12. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ ABˆC = 90๐ โดยมี AB = BC = 4 จุด D และ E เป็นจุดบนด้าน
AB และ BC ตามลาดับ โดยที่ BD = BE = 3 ลาก AE และ CD ตัดกันที่จุด F จงหาพ้ืนที่ของรูป
สามเหลี่ยม AFC

13. ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ถ้าลากเส้นตรงจากจุดยอดไปตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก รูปสามเหลี่ยมที่
เกดิ ขึ้นทงั้ สองรปู จะคลา้ ยกัน และคล้ายกับรูปเดมิ ดว้ ย

14. ให้จุด P แบ่งด้าน BC ของรูปสามเหล่ียม ABC ด้วยอัตราส่วน BP : PC = 1 : 2 ถ้า ABˆC = 45๐ และ
APˆC = 60๐ จงหาขนาดของ ACˆP

15. ให้ D และ E เปน็ จุดที่อยู่บนด้าน AB และ AC ของรูปสามเหล่ียม ABC ตามลาดับ โดยมี BE และ CD
ตัดกันที่จุด P ทาให้รูปสามเหลี่ยม BPD มีพ้ืนท่ี 2 ตารางนิ้ว รูปสามเหล่ียม CPE มีพ้ืนท่ี 3 ตารางนิ้ว
และรปู สามเหล่ียม BCP มีพื้นท่ี 4 ตารางนว้ิ จงหาพน้ื ท่ขี องรปู ส่ีเหล่ียม ADPE

16. จากรูป จงหาความยาวของ x

17. ใหแ้ สดงวิธหี าพ้ืนท่ีบริเวณทอ่ี ย่รู ะหว่างเสน้ ผ่านศนู ยก์ ลางกบั คอรด์ ทยี่ าวเท่ากับรศั มีของวงกลม

18. วงกลม C1 และวงกลม C2 ตัดกันท่ีจุด P และ Q ซ่ึงแตกต่างกัน ให้เส้นตรงท่ีผ่านจุด P ตัดวงกลม C1
และวงกลม C2 ที่จุด A และ B ตามลาดับ ให้ Y เป็นจุดกึ่งกลางด้าน AB และ QY ตัดวงกลม C1 และ
วงกลม C2 ท่จี ุด X และ Z ตามลาดบั จงพสิ จู น์วา่ Y เป็นจุดกง่ึ กลางด้าน XZ

19. ให้ X, Y เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมสองวงซึ่งตัดกันที่ A เส้นสัมผัสท่ีจุด A กับวงกลมทั้งสองพบ
วงกลมอีกครั้งหนึ่งที่ B, C ตามลาดับให้ P เป็นจุดที่ทาให้ PXAY เป็นรูปส่ีเหลี่ยมด้านขนาน จงแสดง
ว่า P เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมท่ลี อ้ มรอบรปู สามเหลยี่ ม ABC

20. ให้รูปสามเหลี่ยม ABC มี O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่แนบใน โดยวงกลมน้ีสัมผัสด้าน BC, CA ท่ี
จุด D, E ตามลาดบั จงแสดงว่า ถ้า BO ตดั DE ที่ G แลว้ AG BG

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารุง จังหวดั ยะลา

▲ ค่ายโอลิมปกิ วิชาการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วชิ า เรขาคณติ 41

21. ให้ ABCD เป็นรูปส่เี หล่ียมแนบในวงกลมรัศมี 5 หน่วย และ AB = BC = 2CD = 2DA จงหาพ้ืนท่ีของ
รปู ส่ีเหล่ียม ABCD

22. ให้วงกลมสองวงมีจุดศูนย์กลางห่างกัน 13 หน่วย ถ้าวงกลมวงเล็กและวงใหญ่ มีรัศมี 3 และ 8 หน่วย
ตามลาดบั จงหาความยาวของเส้นสมั ผสั ของวงกลมท้งั สอง

23. ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม AB และ AC เป็นเส้นสัมผัสวงกลมท่ีจุด B และ C จงพิสูจน์ว่า
AO แบง่ ครึ่งและตั้งฉากกับ BC

24. ให้ O เป็นจุดศนู ยก์ ลางของวงกลม E เปน็ จดุ ภายนองวงกลม ลากเส้นตรงสองเส้นจากจุด E ตัดเส้นรอบ
วงจุดแรกที่จุด B และ D และตัดเส้นรอบวงจุดที่สองท่ี A และ C ตามลาดับ ถ้า BEˆD = 30๐ และ
BOˆD = 50๐ จงหาขนาดของมุม AOˆC

25. สร้างคร่งึ วงกลมรูปหน่ึงบนด้าน AB ให้ X เป็นจุดใด ๆ บนด้าน AB ลากเส้นตั้งฉากกับด้าน AB ท่ีจุด X
ไปตดั กับเสน้ รอบวงท่จี ดุ M จงพสิ จู นว์ า่ (AX)(XB) = MX2

26. จุด A เปน็ จุดอยู่ภายนอกวงกลม ลากเส้นตรงตัดเส้นรอบวงจุดแรกท่ี B และจุดที่สองท่ี C ถ้า AB = 5
และ BC = 8 ลาก AP สัมผัสวงกลมท่ี P จงหาขนาดของ AP

27. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่แนบในวงกลมที่มีรัศมี 5 นิ้ว โดยมีด้าน AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง AB
เปน็ คอรด์ ทย่ี าว 6 น้วิ และ AD เป็นคอร์ดท่ีแบ่งครงึ่ BAˆC จงหาความยาวของ AD

28. ให้ a, b, c เป็นความยาวด้านท้ังสามของรูปสามเหลี่ยมท่ีมี r เป็นรัศมีของวงกลมแนบใน ra เป็นรัศมี
ของวงกลมแนบนอกทีอ่ ยตู่ รงขา้ มมุม A ดงั น้นั rra = (s – a)(s – b) เมอ่ื s = (a + b + c)/2

29. ให้ r เปน็ รัศมขี องวงกลมท่แี นบในรปู สามเหลี่ยม ABC ทม่ี ี a, b, c เปน็ ความยาวของดา้ นทั้งสามและมี
2K
พนื้ ที่ K จงพสิ จู นว์ ่า r = a +b+ c

30. ให้ ABC เป็นรปู สามเหล่ยี มท่ีมี AB = 2, AC = 3 และ BC = 4 จงหาความยาวของรัศมีของวงกลมที่มี
จดุ ศนู ย์กลางอยู่ท่ีดา้ น BC และสมั ผสั ดา้ น AB และ AC

31. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมแนบในวงกลมโดยมีด้าน AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง P และ Q อยู่บนด้าน
BC และ AC ทที่ าให้ AP และ BQ เป็นเส้นแบ่งครึ่งมุม A และมุม B ตามลาดับ ลากเส้นตรงจาก P และ
Q ตง้ั ฉากกบั ด้าน AB ท่จี ุด M และ N ตามลาดบั จงหาขนาดของ MCˆN

32. ให้รูปสามเหลีย่ ม ABC แนบในวงกลมท่มี ี O เป็นจดุ ศูนย์กลาง และดา้ น BC เปน็ เส้นผ่านศูนย์กลาง ถ้า
AB = 3, AC = 4 จงหา (BO)(OC)

33. ให้รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง รัศมีของวงกลมล้อมรอบรูปสามเหล่ียมยาวเป็น 3.5 เท่าของรัศมีของวงกลม
แนบในรูปสามเหลี่ยม ถ้าด้านสองด้านยาว 3 หน่วย และ 7 หน่วย และอีกด้านยาวเป็นจานวนเต็ม
หนว่ ย จงหาความยาวของด้านทเี่ หลือนัน้

34. ให้รูปส่ีเหลี่ยม ABCD มีวงกลมล้อมรอบได้ เส้นแบ่งครึ่งมุม A, B, C, D ตัดกันเกิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมรูป
ใหม่ภายในรูปสี่เหลี่ยม ABCD โดยจุดยอดเป็นจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งมุมแต่ละรูป จงพิสูจน์ว่า รูป
ส่ีเหลี่ยมรปู ใหม่น้ีมีวงกลมล้อมรอบได้

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จงั หวัดยะลา

▲ ค่ายโอลมิ ปิกวิชาการ ศูนย์โรงเรยี นขยายผล สอวน. คา่ ย 1 ● วิชา เรขาคณิต 42

35. ให้ A เปน็ พน้ื ทขี่ องรูปสเ่ี หลย่ี มใด ๆ ท่มี ีเส้นทแยงมมุ ยาว a และ b หน่วย จงพสิ ูจน์วา่ a2 + b2  4A

36. ให้วงกลมแนบในรปู สเ่ี หลย่ี ม ABCD สัมผสั ดา้ น AB, BC, CD, DA ท่จี ดุ P, Q, R, S ตามลาดบั
ถา้ AB = 3, DS = 4, PB = 6 และ BC = 10 จงหา DC และ RC

37. ให้รูปสี่เหล่ียม ABCD มีวงกลมล้อมรอบได้ ลาก CX ขนานกับด้าน AB ตัดเส้นทแยงมุม BD ท่ีจุด X
จงพสิ จู น์วา่ AC เป็นเส้นสมั ผัสวงกลมทลี่ อ้ มรอบรปู สามเหลีย่ ม CXD

38. ถ้ารูปส่เี หล่ียมท่ีแนบในวงกลมมีเส้นทแยงมุมตั้งฉากซ่ึงกันและกันที่จุด P แล้วเส้นตรงที่ลากผ่านจุด P
ไปตั้งฉากกบั ด้านใดด้านหนึ่งย่อมแบง่ คร่งึ ดา้ นตรงข้าม

39. ให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหลยี่ มแนบในวงกลม ถ้าส่วนต่อของด้าน AB และ DC ตัดกันภายนอกวงกลมท่ีจุด
P จงพสิ จู น์วา่ (AP)(PB) = (CP)(PD)

40. ให้ ABCD เปน็ รปู สเ่ี หลี่ยมที่มีวงกลมแนบใน และสัมผสั ด้านทงั้ ส่ที จ่ี ดุ P, Q, R และ S ตามลาดบั
จงพสิ จู น์ว่า PR และ QS ต้งั ฉากซง่ึ กนั และกนั

41. วงกลมจดุ ศูนยก์ ลาง A และ B สองวงตดั กันทจี่ ดุ C และ D มี M เป็นจุดก่ึงกลางของ CD จงพิสูจน์ว่า
A, B, M อย่บู นเส้นตรงเดยี วกัน

42. ใหค้ อร์ด AB และ CD ตัดกนั ทจี่ ดุ E จงพสิ ูจน์วา่ รปู สามเหลยี่ ม ACE คลา้ ยกับรปู สามเหล่ยี ม BED

43. ให้ A, B, C, D เป็นจุดบนวงกลม และ AB ขนานกบั CD จงพสิ จู นว์ า่ AC = BD และ AD = BC

44. กาหนดให้ E, F เป็นจุดบนส่วนโคง้ คร่งึ วงกลมที่มี BC เป็นเส้นผา่ นศูนย์กลาง เส้นตรงที่ผ่าน BF , CE
ตดั กันที่ A และเสน้ ตรงที่ผา่ น CE , BF ตดั กันท่ี O จงแสดงวา่ AO BC

45. กาหนดให้รูปสามเหลี่ยม ABC และรูปสามเหล่ียม DEF เป็นรูปสามเหลี่ยมคล้ายที่แนบในวงกลม
เดยี วกนั จงแสดงว่า รปู สามเหลย่ี ม ABC และรูปสามเหลีย่ ม DEF เท่ากนั ทุกประการ

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรยี นคณะราษฎรบารงุ จังหวัดยะลา

▲ คา่ ยโอลมิ ปิกวิชาการ ศนู ยโ์ รงเรียนขยายผล สอวน. ค่าย 1 ● วชิ า เรขาคณิต 43

บรรณานกุ รม

กมล เอกไทยเจิรญ. (มปป). คู่มือเตรียมสอบ คณิตศาสตร์ ม.2 เล่มรวม ค 203–ค 204. กรุงเทพมหานคร
: เทพเนรมติ การพมิ พ์.

กมล เอกไทยเจิรญ. (มปป). คู่มือเตรียมสอบ คณิตศาสตร์ ม.3 เล่มรวม ค 011–ค 012. กรุงเทพมหานคร
: เทพเนรมิตการพิมพ.์

ดารง ทิพย์โยธา. (2551). คณิตศาสตร์ปรนัย เล่มที่ 32 : โลกเรขาคณิต (เสริมความรู้มุ่งสู่โอลิมปิก
คณิตศาสตร์). กรงุ เทพมหานคร : เทพเนรมิตการพมิ พ.์

ยุพิน พพิ ิธกลุ และอุษณีย์ ลรี วัฒน.์ (2548). เรขาคณติ โครงการตาราวทิ ยาศาสตร์และคณิตศาสตร์มลู นิธิ
สอวน. พมิ พ์ครัง้ ที่ 2. กรุงเทพมหานคร : บริษัท ดา่ นสุทธาการพิมพ์ จากดั .

วัฒนา เถาว์ทิพย์. เอกสารประกอบการบรรยาย โครงการส่งเสริมโอลิมปิกวิชาการฯ ศูนย์ สอวน.
มหาวิทยาลยั ขอนแก่น คา่ ย 1. (อดั สาเนา).

สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, สถาบัน. (2552). หนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์
เลม่ 1 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 1 กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ขั้นพืน้ ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551. กรงุ เทพมหานคร : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพร้าว.

ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลย,ี สถาบนั . (2553). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์
เล่ม 1 ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 1 กลุม่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ขน้ั พืน้ ฐาน พุทธศักราช 2551. พิมพค์ รัง้ ท่ี 2. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว.

สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, สถาบนั . (2553). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์
เลม่ 2 ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ขั้นพื้นฐาน พทุ ธศักราช 2551. กรงุ เทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, สถาบนั . (2553). หนงั สือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์
เล่ม 2 ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 1 กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ขั้นพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551. กรงุ เทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลย,ี สถาบัน. (2554). หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐาน คณิตศาสตร์
เล่ม 1 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ขน้ั พน้ื ฐาน พทุ ธศักราช 2551. พิมพค์ รงั้ ที่ 2. กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี, สถาบนั . (2554). หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐาน คณิตศาสตร์
เลม่ 1 ชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 3 กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ข้ันพื้นฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรงุ เทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบนั . (2554). หนงั สอื เรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์
เล่ม 2 ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 3 กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ขน้ั พน้ื ฐาน พุทธศักราช 2551. กรงุ เทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

อานวย เลิศชยันตี. (2525). เทคนิคการคิดโจทย์คณิตศาสตร์หลักสูตรใหม่ ชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น ฉบับ
พฒั นามนษุ ย์ เล่ม 2. กรงุ เทพมหานคร : สานักพมิ พ์อานวยการพมิ พ.์

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ โรงเรียนคณะราษฎรบารุง จงั หวัดยะลา