Program Linier

i

UNTUK KELAS XI SEMESTER GANJIL
MATEMATIKA WAJIB SMA NEGERI 3 BLITAR

MODUL

Disusun Sebagai Pengembangan Profesi Guru Dan Salah Satu
Syarat Pengajuan Angka Kredit

Disusun oleh :

RUDY SETIAWAN, S.Si
NIP. 198108162009011014

ii

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah Swt. Alhamdulillahi Rabbil
’Aalamin, atas limpahan rahmat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan penyusunan
modul ini. Shalawat dan salam dengan ucapan Allahumma sholli ’ala Muhammad wa ’ala ali
Muhammad penulis sampaikan untuk junjungan kita Nabi besar Muhammad Saw.

Dengan selesainya modul ini, penulis menyampaikan ucapan terimakasih kepada yang
terhormat:

1. Bapak RUDY HARTONO, S.Pd, M.Pd selaku Kepala SMA Negeri 3 Blitar yang telah
banyak membimbing, mengarahkan dan memotivasi dalam menyusun modul ini

2. Rekan – rekan guru SMA Negeri 3 Blitar yangmemberikan bantuan baik moral maupun
material

3. Siswa – siswi SMA Negeri 3 Blitar yang telah membantu dalam memperoleh referensi
yang relevan.

Penulis menyadari sepenuhnya bahwa modul ini tentu punya banyak kekurangan. Untuk itu
penulis dengan berlapang dada menerima masukan dan kritikan konstruktif dari berbagai
pihak demi kesempurnaannya di masa yang akan datang. Akhirnya kepada Allah jualah penulis
bermohon semoga semua ini menjadi amal saleh bagi penulis dan bermanfaat. Aamiin

Blitar, JULI 2020

Penulis

iii

PEDOMAN PENGGUNAAN MODUL

Pahami materi
Setiap pokok bahasan disertai materi yang

relevan

Kerjakan latihan soal masing-masing materi
Setiap pokok bahasan dilengkapi latihan soal untuk
mengetahui sejauh mana tingkat pemahaman materi

iv

DAFTAR ISI

Halaman Judul ............................................................................................................... i

Kata Pengantar ............................................................................................................. ii

Pedoman Penggunaan Modul ....................................................................................... iii

Daftar Isi ........................................................................................................................ iv

Pendahuluan .................................................................................................................. v

Glosarium ...................................................................................................................... 1

Program linier ................................................................................................................ 2

Pertidaksamaan dua variabel.................................................................................. 3
Sistem persamaan linier dua variabel ..................................................................... 5
 Daerah himpunan penyelesaian Sistem persamaan linier dua variabel ......... 5
 Mencari Sistem persamaan linier dua variabel................................................. 8
 Latihan soal ..................................................................................................... 10
 Kunci jawaban ................................................................................................. 13
Model matematika.................................................................................................. 14
 Latihan soal ..................................................................................................... 16
 Kunci jawaban ................................................................................................ ` 18
Nilai optimum ......................................................................................................... 19
 Latihan soal ..................................................................................................... 22
 Kunci jawaban ................................................................................................. 24
Aplikasi program linier (soal cerita) ........................................................................ 25
 Latihan soal ..................................................................................................... 29
 Kunci jawaban .................................................................................................. 31
Rangkuman ............................................................................................................ 32
Ulangan Harian........................................................................................................ 33
pembahasan............................................................................................................ 36
Daftar Pustaka ............................................................................................................... 43

v

PENDAHULUAN

Modul ini disusun untuk siswa kelas XI SMA Negeri 3 Blitar. Dengan tujuan dapat
digunakan sebagai pelengkap buku yang sudah ada dalam melaksanakan kegiatan belajar
mengajar di kelas maupun di luar kelas.
Materi yang ada dalam modul ini disesuaikan dengan kebutuhan siswa agar bisa dipahami
dengan mudah.

Kami berharap semoga modul ini dapat membatu siswa dalam mendalami dan
memahami materi sehingga nantinya diperoleh pengetahuan dan pengalaman belajar yang
lebih luas.

1

GLOSARIUM

Pertidaksamaan : Kalimat matematika yang menggunakan tanda “, ≤, dan ≥”

Variabel : Simbol atau lambang matematika yang digunakan untuk memudahkan

menyelesaikan suatu permasalahan nyata yang belum diketahui nilainya

dengan jelas

Koefisien : Bilangan yang memuat variable

Konstanta : Bilangan yang tidak memuat variable

Program Linier : metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan Linier

Model matematika : suatu rumusan matematika yang diperoleh dari hasil penafsiran

seseorang ketika menerjemahkan suatu masalah program Linier ke dalam

Bahasa matematika

Fungsi Obyektif/Fungsi Tujuan : Fungsi yang akan dioptimumkan (maksimum atau minimum)

Syarat/Kendala : model matematika dari suatu permasalahan program Linier untuk

memperoleh nilai optimum

2

PROGRAM LINIER

A. IDENTITAS MODUL

Mata Pelajaran : Matematika Umum

Kelas : XI

Semester : ganjil

Alokasi Waktu : 12 JP

B. KOMPETENSI DASAR
3.1 Menjelaskan program linear dua variabel dan metode penyelesaiannya dengan
menggunakan masalah kontekstual
4.1 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan program linear dua
variabel.

C. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL
1. Berdoalah sebelum mempelajari modul ini.
2. Pelajari uraian materi yang disediakan pada setiap kegiatan pembelajaran secara
berurutan.
3. Perhatikan contoh-contoh penyelesaian permasalahan yang disediakan dan kalau
memungkinkan cobalah untuk mengerjakannya kembali.
4. Kerjakan latihan soal yang disediakan, kemudian cocokkan hasil pekerjaan kalian
dengan kunci jawaban dan pembahasan pada bagian akhir modul.
5. Jika menemukan kendala dalam menyelesaikan latihan soal, cobalah untuk melihat
kembali uraian materi dan contoh soal yang ada.
6. Setelah mengerjakan latihan soal, lakukan penilaian diri sebagai bentuk refleksi
dari penguasaan kalian terhadap materi pada kegiatan pembelajaran.
7. Di bagian akhir modul disediakan soal evaluasi, silahkan mengerjakan soal
evaluasi tersebut agar kalian dapat mengukur penguasaan kalian terhadap
materiMpada modul ini. Cocokkan hasil pengerjaan kalian dengan kunci jawaban
yang tersedia.
8. Keberhasilan proses pembelajaran pada modul ini tergantung pada kesungguhan
kalian untuk memahami isi modul dan berlatih secara mandiri.

D. MATERI
Pada modul ini, akan dibahas materi barisan dan deret yang terdiri atas :
1) PERTIDAKSAMAAN LINIER DUA VARIABEL
2) SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER DUA VARIABEL
3) MODEL MATEMATIKA
4) NILAI OPTIMUM (MAKSIMUM DAN MINIMUM)
5) PENGGUNAAN DALAM KEHIDUPAN SEHARI - HARI

3

KEGIATAN PEMBELAJARAN

PROGRAM LINIER

TUJUAN PEMBELAJARAN :
Dalam pembelajaran ini diharapkan

1) Menggambar system pertidaksamaan linier dua variabel
2) Menentukan system pertidaksamaan linier dua variabel
3) Menghitung nilai optimum dari program linier

MATERI
1. PERTIDAKSAMAAN LINIER DUA VARIABEL

Pertidaksamaan linier dua variabel yaitu suatu pertidaksamaan yang memuat dua variabel
dengan pangkat tertinggi satu. Penyelesaian dari pertidaksamaa linier dua variabel ini
merupakan gambar daerah pada grafik Catesius (sumbu-XY) yang dibatasi oleh suatu garis
linier.
(Untuk Daerah Yang Diarsir Merupakan Bukan Daerah Himpunan Penyelesaian)
Langkah :

1. Mencari titik potong terhadap sumbu X
2. Menentukan titik potong terhadap sumbu Y
3. Menggambar di koordinat
4. Melakukan titik uji (semua titik selain yang dilewati garis), Menggarsir daerah yang

bukan himpunan penyelesaian

CONTOH 1.1 :
Tentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP) dari 2 + 3 ≤ 6.

Penyelesaian :
Langkah penyelesaian :
1. Menentukan titik potong dengan sumbu

2 + 3.0 = 6
2 = 6
= 3

2. Menentukan titik potong dengan sumbu
2.0 + 3 = 6
3 = 6
= 2

3. Menentukan daerah dengan titik uji.
(0,0) → 2.0 + 3.0 ≤ 6
0 ≤ 6 (memenuhi)

Titik (0,0) berada di bawah garis, jika memenuhi,maka daerah yang diarsir adalah
bukan didaerah yang berada di titik uji tersebut.

DHP

4

CONTOH 1.2 :
Tentuka daerah himpunan penyelesaian (DHP) dari 4 + 5 ≥ 40.
Penyelesaian :
Langkah penyelesaian :
1. Menentukan titik potong dengan sumbu

4 + 5.0 = 40
4 = 10
= 10

2. Menentukan titik potong dengan sumbu
4.0 + 5 = 40
5 = 40
= 8

3. Menentukan daerah dengan titik uji.
(0,0) → 4.0 + 5.0 ≥ 40

0 ≥ 40 SALAH (Tidak memenuhi)
Titik (0,0) berada di bawah garis, jika tidak memenuhi,maka daerah yang diarsir
adalah didaerah yang berada di titik uji tersebut.

DHP

CONTOH 1.3 :
Tentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP) dari ≥ 0.
Penyelesaian :

DHP

CONTOH 1.4 :
Tentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP) dari ≥ 0.
Penyelesaian :

DHP

5

2. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER DUA VARIABEL
Sistem pertidakasamaan linear dua variabel adalah sistem pertidaksamaan yang
melibatkan dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel. Daerah penyelesaian dari
sistem pertidaksamaan linear dua variabel merupakan daerah yang memenuhi semua
pertidaksamaan yang ada dalam sistem. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut

a) MENGGAMBAR SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL

CONTOH 2.1 :
Tentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP) dari x + y ≤ 6 2x + y ≤ 8 , x ≥ 0 , y ≥ 0

Penyelesaian :
1. Membuat garis x + y ≤ 6

Mencari titik potong dengan sumbu – X dan sumbu-Y
X Y (x, y)
0 6 (0, 6)
6 0 (6, 0)

Titik uji (0,0) --> 0 + 0 ≤ 6
0 ≤ 6 BENAR (memenuhi )  Titik (0, 0) tidak boleh diarsir

2. Membuat garis 2x + y ≤ 8
Mencari titik potong dengan sumbu – X dan sumbu-Y
X Y (x, y)
0 8 (0, 8)
4 0 (4, 0)
Titik uji (0,0) --> 2.0 + 0 ≤ 8
0 ≤ 6 BENAR (memenuhi ) Titik (0, 0) tidak boleh diarsir

3. Garis x ≥ 0 ,
4. Garis y ≥ 0,

CONTOH 2.2 :
Tentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP) dari
3x + y ≤ 12, x + 4y≥ 16 , x ≥ 0 , y ≥ 0

Penyelesaian :
1. Membuat garis 3x + y ≤ 12

Mencari titik potong dengan sumbu – X dan sumbu-Y
X Y (x, y)
0 12 (0, 12)

6

40 (4, 0)
Titik uji (0,0) -->
3.0 + 0 ≤ 12
0 ≤ 12 BENAR (memenuhi )  Titik (0, 0) tidak boleh diarsir

2. Membuat garis x + 4y ≥ 16
Mencari titik potong dengan sumbu – X dan sumbu-Y

X Y (x, y)

0 4 (0, 4)

16 0 (16, 0)
Titik uji (0,0) --> 0 + 4.0 ≥ 16

0 ≥ 16 SALAH (TIDAK memenuhi ) Titik (0, 0) diarsir

3. Garis x ≥ 0 ,
4. Garis y ≥ 0,

CONTOH 2.3 :
Tentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP) dari
3x + y ≥ 6 , x + y ≥ 4 , x ≥ 0 , y ≥ 0

Penyelesaian :
1. Membuat garis 3x + y ≥ 6

Mencari titik potong dengan sumbu–X dan sumbu-Y
X Y (x, y)
0 6 (0, 6)
2 0 (2, 0)

Titik uji (0,0) --> 3.0 + 0 ≥ 6
0 ≥ 6 SALAH (TIDAK memenuhi )  Titik (0, 0) diarsir

2. Membuat garis x + y ≥ 4
Mencari titik potong dengan sumbu – X dan sumbu-Y
X Y (x, y)
0 4 (0, 4)
4 0 (4, 0)
Titik uji (0,0) --> 0 + 0 ≥ 4
0 ≥ 4 SALAH (TIDAK memenuhi )  Titik (0, 0) diarsir

3. Garis x ≥ 0 ,
4. Garis y ≥ 0,

7

CONTOH 2.4 :
Tentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP) dari
3x + 4y ≤ 12 , 2x - y ≥ -2 , x ≥ 0 , y ≥ 0
Penyelesaian :
1. Membuat garis 3x + 4y ≤ 12

Mencari titik potong dengan sumbu–X dan sumbu-Y
x Y (x, y)
0 3 (0, 3)
4 0 (4, 0)

Titik uji (0,0) --> 3.0 + 4.0 ≤ 12
0 ≤ 12 Benar ( memenuhi )  (0, 0) tidak diarsir

2. Membuat garis 2x - y ≥ -2
Mencari titik potong dengan sumbu – X dan sumbu-Y
X Y (x, y)
0 2 (0, 2)
-1 0 (-1, 0)
Titik uji (0,0) --> 0 + 0 ≥ -2
0 ≥ -2 benar ( memenuhi ) Titik (0, 0) tidak diarsir

3. Garis x ≥ 0 ,
4. Garis y ≥ 0,

8

b) MENENTUKAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER
Jika dalam soal yang diarsir merupakan daerah himpunan penyelesaian

CONTOH 2.5 :
Tentukan system pertidaksamaan linier dari himpunan penyelesaian berikut :

Penyelesaian :
Terdapat 4 pertidaksamaan

1. Sumbu X, y ≥ 0,
2. Sumbu Y, x ≥ 0,
3. Menentukan pertidaksamaan ke-3

8x + 4y = 8.4
8x + 4y = 32
2x + y = 8
Mengunakan titik uji (titik uji terletak pada DHP)  (0, 0)
Uji (0,0)  2. 0 + 0 ....8

0≤8
2x + y ≤ 8
4. Menentukan pertidaksamaan ke-3
6x + 6y = 6.6
6x + 6y = 36
x+y=6
Mengunakan titik uji (titik uji terletak pada DHP)  (0, 0)
Uji (0,0)  0 + 0 ....6

0≤6
x+y≤ 6

CONTOH 2.6 :
Tentukan system pertidaksamaan linier dari himpunan penyelesaian berikut :

Penyelesaian :

9

Terdapat 3 pertidaksamaan
1. Garis g, Sumbu Y, x ≥ 0,
2. Garis h

2x + 6y = 2.6
2x + 6y = 12
x + 3y = 6
Mengunakan titik uji (titik uji terletak pada DHP)  (0, 3)
Uji (0,3)  0 + 3. 3 ....6

0 + 9 ... 6
9≥6
x + 3y ≥ 6
3. Garis i
6x + 4y = 6.4
6x + 4y = 24
3x + 2y = 12
Mengunakan titik uji (titik uji terletak pada DHP)  (0, 3)
Uji (0,3)  3. 0 + 2.3 .... 12
0 + 6 .... 12
6 ≤ 12
3x + 2y ≤ 12

CONTOH 2.7 :
Tentukan system pertidaksamaan linier dari himpunan penyelesaian berikut :

Penyelesaian :
Terdapat 4 pertidaksamaan

1. Garis a  Sumbu X, y ≥ 0,
2. Garis b  Sumbu Y, x ≥ 0,
3. Garis c

5x + 2y = 5.2
5x + 2y = 10
Mengunakan titik uji (titik uji terletak pada DHP)  (0, 0)
Uji (0,0)  5. 0 + 2.0 .... 10

0 ≤ 10
5x + 2y ≤ 10
4. Garis d
3x + (-2)y = 3.(-2)
3x - 2y = -6
Mengunakan titik uji (titik uji terletak pada DHP)  (0, 0)
Uji (0,0)  3.0 – 2.0 .... -6

0 ≥ -6
5x - 2y ≥ -6

10

LATIHAN SOAL

1. Daerah yang memenuhi pertidaksamaan; x + y ≤ 5, x + 4y  8, 8x + y  8, x  0, y  0

A. I

B. II 8
C. III

D. IV 5
E. V I

2 II III

IV V

1 58

2. daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah himpunan sistem pertidaksamaan
...

(0,10)

(4,0) (6,0)
(0, -2)

A. 5x + 3y  30 ; x – 2y  4; x  0; y  0
B. 5x + 3y  30 ; x – 2y  4; x  0; y  0
C. 5x + 3y  30 ; 2x – y  4; x  0; y  0
D. 5x + 3y  30 ; 2x – y  4; x  0; y  0
E. 5x + 3y  30 ; x – 2y  4; x  0; y  0

3. Daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan: 5x + 6y  30; 3x - 2y
 - 6, x  0 ; y  0, yang ditunjukkan pada gambar di samping dengan nomor ....
A. I
B. II
C. III
D. IV
E. V

4. Daerah yang memenuhi pertidaksamaan; x + 10y  10, 4x + y ≤12, 2x + y ≤ 8, x  0,
y 0

A. V
B. IV
C. III
D. II
E. I

11

5. Daerah yang diarsir merupakan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan ....
(0,4)

(2,0) (6,0)
(0,-3)

A. 2x + 3y  12; -3x + 2y  -6; x  0 ; y  0
B. 2x + 3y  12; -3x + 2y  -6; x  0 ; y  0
C. 2x + 3y  12; -3x + 2y  -6; x  0 ; y  0
D. 2x + 3y  12; -3x + 2y  -6; x  0 ; y  0
E. -2x + 3y  12; 3x + 2y  -6; x  0 ; y  0

6. Daerah yang memenuhi sistem persamaan linier 3x + y ≤ 9 ; x + 5y ≥ 10; x ≥ 0; y ≥ 0
adalah....
A. I
B. II
C. III
D. IV
E. V

7. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah merupakan grafik himpunan penyelesaian
sistem pertidaksamaan ....

4

26

-6

A. 3x + 2y  12, x - 3y  6, x  0, y  0
B. 3x + 2y  12, x - 3y  6, x  0, y  0
C. 2x + 3y  12, x - 3y  6, x  0, y  0
D. 2x + 3y  12, 3x - y  6, x  0, y  0
E. 2x + 3y  12, 3x - y  6, x  0, y  0

8. Daerah yang merupakan himpunan penyelesaian system pertidaksamaan 8 + 6y ≤ 48,
-2 + y ≥ -2, x ≥ 0 ; y ≥ 0 pada gambar ditunjukkan oleh nomor ….
A. I
B. II
C. III
D. IV
E. V

12

9. Daerah yang memenuhi pertidaksamaan; x  0, y  0, x + 2y  6, 7x + 2y  14,

5x + 4y ≤ 20,
A. I
B. II
C. III
D. IV
E. V

10. Daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan: 5x + 6y  30; 3x - 2y
 - 6, x  0 ; y  0, yang ditunjukkan pada gambar di samping dengan nomor ....
A. I
B. II
C. III
D. IV
E. V

13

KUNCI JAWABAN

NO KUNCI JAWABAN SKOR
1. B 10
2. B 10
3. D 10
4. D 10
5. B 10
6. B 10
7. D 10
8. C 10
9. B 10
10. D 10
100
JUMLAH SKOR

Untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian, cocokkan jawaban kalian dengan kunci
jawaban. Hitung jawaban benar kalian, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk
mengetahui tingkat penguasaan kalian terhadap materi kegiatan pembelajaran ini.

Kriteria

90% – 100% = baik sekali

80% – 89% = baik

70% – 79% = cukup

< 70% = kurang

Jika tingkat penguasaan kalian cukup atau kurang, maka kalian harus mengulang kembali

seluruh pembelajaran.

14

3. MODEL MATEMATIKA
Program linear adalah salah satu bagian dari matematika terapan yang digunakan untuk
memecahkan masalah pengoptimalan (memaksimalkan atau meminimalkan suatu
tujuan), seperti mencari keuntungan maksimum dari penjualan suatu produk.
Dalam memecahkan masalah pengoptimalan dengan program linear, terdapat kendala-
kendala atau batasan-batasan yang harus diterjemahkanke dalam suatu sistem
pertidaksamaan linear disebut pemodelan matematika, dan sistem pertidaksamaan linear
yang terbentuk disebut model matematika

CONTOH 3.1
Untuk membuat roti A diperlukan 200 gram tepung dan 25 gram mentega. Sedangkan
untuk roti B diperlukan 100 gram tepung dan 50 gram mentega. Tepung yang tersedia
hanya 4 kg dan mentega yang ada hanya 1,2 kg. Buatlah model matematikanya!

Penyelesaian :
1) Tuliskan semua hal yang dianggap penting

Roti (A) : Memerlukan 200 gram tepung dan 25 gram mentega
Roti (B) : Memerlukan 100 gram tepung dan 50 gram mentega
Persediaan Tepung : 4kg = 4.000gram
Persediaan Mentega : 1,2kg = 1.200gram

2) Tentukan variabel yang diketahui
Misalkan banyaknya Roti (A) = x dan banyaknya Roti (B) = y menjadi variabel utama,
berarti variabel yang lainnya adalah tepung dan mentega.

3) semua hal yang dikatahui dan yang sudah menjadi variabel ke dalam sebuah tabel

pada langkah yang ini kita akan membuat sebuah tabel dari hal yang diketahui dan

yang sudah tertentukan variabelnya, maka tabel model matematikanya adalah

sebagai berikut :

Variabel Tepung Mentega

Roti A (x) 200 gram 25 gram

Roti B (y) 100 gram 50 gram

Persediaan 4.000 gram 1.200 gram

4) model matematika dari tabel

Karena terigu dan mentega paling banyak tersedia adalah 4.000 gram dan 1.200

gram, jadi tanda pertidaksamaannya adalah <.

Kalimat matematika 1 :
200 x + 100 y < 4.000  2x + y < 40

Kalimat Matematika 2 :

25x + 50y < 1.200  x + 2y < 48

Kalimat matematika 3 :

≥ 0, ≥ 0

CONTOH 3.2
Suatu jenis makanan ternak membutuhkan 5 kg daging dan 3 kg tepung. Makanan ternak
jenis lain membutuhkan 6 kg daging dan 8 kg tepung. Jika tersedia daging 60 kg dan
tepung 48 kg, sedangkan bahan yang lain cukup tersedia, maka model matematikanya
adalah …

Penyelesaian : x = banyaknya makanan ternak jenis pertama
Misalkan y = banyaknya makanan ternak jenis kedua

15

maka model matemaikanya dapat ditentukan dengan bantuan tabel

Variabel Daging Tepung

Ternak 1 (x) 5 kg 3 kg

Ternak 2 (y) 6 kg 8 kg

Persediaan 60 kg 48 kg

Dari tabel di atas dapat disusun kendala, yakni :

5x + 6y ≤ 60

3x + 8y ≤ 48

x≥0

y≥0

CONTOH 3.3
Harga per bungkus lilin A Rp. 2000,00 dan lilin B Rp. 1.000,00. Jika pedagang hanya
mempunyai modal Rp. 800.000,00 dan kiosnya hanya menampung 500 bungkus lilin. Maka
model matematikanya adalah ....

Penyelesaian :

Misalkan x = lilin A

y = lilin B

maka model matematikanya dapat ditentukan dengan bantuan tabel

Variabel Harga beli Jumlah

Lilin A (x) Rp. 2.000,- 1

Liniln B (y) Rp. 1.000,- 1

Batasan Rp. 800.000,- 500

2.000 x + 1.000 y ≤ 800.000  2x + y ≤ 800

x + y ≤ 500

x≥0

y≥0

CONTOH 3.4
Seorang pasien dianjurkan untuk memakan makanan yang mengandung paling sedikit 18
gr vitamin A dan 24 gr vitamin B tiap hari. Suatu takaran obat mengandung 6 gr vitamin A
dan 4 gr vitamin B Sedangkan takaran obat jenis lain mengandung 3 gr vitamin A dan 6 gr
vitamin B. Jika pasien itu ingin mencampurkan obat tersebut, maka tentukanlah model
matematikanya untuk mendapatkan biaya yang semurah-murahnya

Penyelesaian :

Misalkan x = banyaknya obat jenis pertama

y = banyaknya obat jenis kedua

maka model matematikanya dapat ditentukan dengan bantuan tabel

Variabel Vit A Vit B

Obat jenis 1 (x) 6 gr 4 gr

Obat jenis 2 (y) 3 gr 6 gr

Batasan 18 gr 24 gr

6x + 3y ≥ 18

4x + 6y ≥ 24

x≥0

y ≥ 0 Jika disederhanakan menjadi : 2x + y ≥ 6 , 2x + 3y ≥ 12, x ≥ 0 , y ≥ 0

16

LATIHAN SOAL

1. Sebuah lahan parkir paling banyak menampung 50 kendaraan. Tarif parkir sebuah
sepeda Rp. 500,00 dan tarif parkir sepeda motor Rp. 1.000,00. Penghasilan yang
diperoleh tidak lebih dari Rp. 25.000,00. Misal banyaknya sepeda dan sepeda motor
adalah x dan y. Model matematika permasalahan di atas adalah ....
A. x + y  50; x + 2y  50; x  0 ; y  0
B. x + y  50; x + 2y  50; x  0 ; y  0
C. x + y  50; x + 2y  50; x  0 ; y  0
D. x + y  50; x + 2y  50; x  0 ; y  0
E. x + y  50; x + 2y  50; x  0 ; y  0

2. Seorang pengusaha mebel akan memproduksi meja dan kursiyang menggunakan
bahan dari papan- papan kayudengan ukuran tertentu. Satu meja memerlukan bahan
10 potong dan satu kursi memerlukan 5 potong papan. Papan yang tersedia ada 500
potong papan. Biaya pembuatan 1 meja Rp. 100.000,00 dan biaya pembuatan satu kursi
adalah Rp. 40.000,00. Anggaran yang tersedia Rp. 1.000.000,00. Model matematika
persoalan tesebut adalah ...

A. x + 2y  100, 5x + 2y  50, x  0 , y  0
B. x + 2y  100, 2x + 5y  50, x  0 , y  0
C. 2x + y  100, 2x + 5y  50, x  0 , y  0
D. 2x + y  100, 5x + 2y  50, x  0 , y  0
E. 2x + y  100, 5x + 2y  50, x  0 , y  0

3. Pedagang teh mempunyai lemari yang hanya cukup ditempati 40 boks teh. Teh aroma
melati dibeli dengan harga Rp. 6.000,00 tiap boks dan teh aroma vanila dibeli dengan
harga Rp. 8.000,00 untuk tiap boks. Jika pedagang mempunyai modal Rp. 300.000,00
maka model matematikanya adalah ...

A. 3x + 4y  150, x + y  40, x  0, y  0
B. 3x + 4y  150, x + y  40, x  0, y  0
C. 3x + 4y  150, x + y  40, x  0, y  0
D. 4x + 3y  300, x + y  40, x  0, y  0
E. 8x + 6y  300, x + y  40, x  0, y  0

4. Sebuah lahan parkir paling banyak menampung 50 kendaraan. Tarif parkir sebuah
sepeda Rp. 500,00 dan tarif parkir sepeda motor Rp. 1.000,00. Penghasilan yang
diperoleh tidak lebih dari Rp. 25.000,00. Misal banyaknya sepeda dan sepeda motor
adalah x dan y. Model matematika permasalahan di atas adalah ....
A. x + y  50; x + 2y  50; x  0 ; y  0
B. x + y  50; x + 2y  50; x  0 ; y  0
C. x + y  50; x + 2y  50; x  0 ; y  0
D. x + y  50; x + 2y  50; x  0 ; y  0
E. x + y  50; x + 2y  50; x  0 ; y  0

5. Seorang pedagang buah – buahan asongan menjajakan jeruk dan salak. Setiap harinya
ia menjajakan tidak lebih dari 10 kg. Suatu hari ia memiliki modal Rp. 120.000,00 untuk
belanja jeruk dan salak. Harga beli jeruk dan salak berturut – turut Rp. 15.000,00 dan
Rp. 18.000,00 per kg. Jika banyaknya jeruk dan salak berturut – turut adalah x dan y.
Maka model matematikanya adalah ...
A. x + y  10; 15x + 18y  120; x  0 ; y  0
B. x + y  10; 15x + 18y  120; x  0 ; y  0
C. x + y  10; 15x + 18y  120; x  0 ; y  0
D. x + y  10; 15x + 18y  120; x  0 ; y  0
E. x + y  10; 15x + 18y > 120; x  0 ; y  0

17

6. Untuk membuat barang A diperlukan waktu 6 jam pada mesin pertama dan 4 jam pada
mesin kedua, sedangkan membuat barang jenis B memerlukan waku 2 jam pada mesin
pertama dan 8 jam pada mesin kedua. Dalam setiap hari mesin A dan mesin B
beroperasi maksimal 18 jam per hari. Maka model matematika dari permasalahan di
atas adalah….
A. 2x + 3y ≤ 9; 4x + y ≤ 9 ; x ≥ 0; y ≥ 0
B. 3x + 2y ≤ 9; 2x + 4y ≤ 9 ; x ≥ 0; y ≥ 0
C. 3x + y ≤ 9; 2x + 4y ≤ 9 ; x ≥ 0; y ≥ 0
D. 3x + y ≤ 9; 4x + 2y ≤ 9 ; x ≥ 0; y ≥ 0
E. 4x + 3y ≤ 9; x + 2y ≤ 9 ; x ≥ 0; y ≥ 0

7. Sebuah lahan parkir paling banyak menampung 50 kendaraan. Tarif parkir sebuah
sepeda Rp. 500,00 dan tarif parkir sepeda motor Rp. 1.000,00. Penghasilan yang
diperoleh tidak lebih dari Rp. 25.000,00. Misal banyaknya sepeda dan sepeda motor
adalah x dan y. Model matematika permasalahan di atas adalah ....
A. x + y  50; x + 2y  50; x  0 ; y  0
B. x + y  50; x + 2y  50; x  0 ; y  0
C. x + y  50; x + 2y  50; x  0 ; y  0
D. x + y  50; x + 2y  50; x  0 ; y  0
E. x + y  50; x + 2y  50; x  0 ; y  0

8. Seorang penjahit membuat dua jenis pakaian. Pakaian jenis I memerlukan 2,5 m kain
polos dan 1 m kain garis. Sedangkan Pakaian jenis II memerlukan 2 m kain polos dan 1,5
m kain garis. Kain polos yang tersedia 70 m, dan kain garis 45 m. Jika dimisalkan pakain
jenis I adalah x dan jenis II adalah y. Maka model matematika dari permasalahan di atas
adalah….
A. 5x + 4y ≤ 140; 2x + 3y ≤ 90 ; x ≥ 0; y ≥ 0
B. 5x + 4y ≥ 140; 2x + 3y ≥ 90; x ≥ 0; y ≥ 0
C. 4x + 5y ≥ 140; 2x + 3y ≤ 90 ; x ≥ 0; y ≥ 0
D. 4x + 5y ≥ 140; 3x + 2y ≤ 90 ; x ≥ 0; y ≥ 0
E. 4x + 5y ≤ 140; 3x + 2y ≤ 90 ; x ≥ 0; y ≥ 0

9. Harga per bungkus lilin A Rp. 2000,00 dan lilin B Rp. 1.000,00. Jika pdaganga hanya
mempunyai modal Rp. 800.000,00 dan kiosnya hanya menampung 500 bungkus lilin.
Maka model matematikanya adalah ....
A. x + y ≥ 500 ; 2x + y ≥ 800; x ≥ 0; y ≥ 0
B. x + y ≤ 500 ; 2x + y ≤ 800; x ≥ 0; y ≥ 0
C. x + y ≤ 500 ; 2x + y ≤ 800; x ≤ 0; y ≤ 0
D. x + y ≥ 500 ; 2x + y ≥ 800; x ≤ 0; y ≤ 0
E. x + y ≤ 500 ; 2x + y ≥ 800; x ≥ 0; y ≥ 0

10. Gatot memiliki sebuah almari yang bisa menampung tidak lebih dari 60 boks sabun.
Sabun beraroma melati dibeli dengan harga Rp6.000,00 dan sabun beraroma anggur
dibeli dengan harga Rp4.000,00 tiap boks. Jika Gatot mempunyai modal Rp300.000,00
untuk membeli x boks sabun beraroma melati dan y boks beraroma anggur, maka
model matematikanya adalah .....
A. 3x + 2y ≥ 150 ; x + y ≥ 60; x ≥ 0; y ≥ 0
B. 3x + 2y ≥ 150 ; x + y ≤ 60; x ≥ 0; y ≥ 0
C. 3x + 2y ≤ 150 ; x + y ≤ 60; x ≥ 0; y ≥ 0
D. 6x + 4y ≤ 150 ; x + y ≥ 60; x ≥ 0; y ≥ 0
E. 4x + 6y ≤ 150 ; x + y ≤ 60; x ≥ 0; y ≥ 0

18

KUNCI JAWABAN

NO KUNCI JAWABAN SKOR
1. D 10
2. D 10
3. C 10
4. D 10
5. C 10
6. C 10
7. D 10
8. A 10
9. B 10
10. C 10
100
JUMLAH SKOR

Untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian, cocokkan jawaban kalian dengan kunci
jawaban. Hitung jawaban benar kalian, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk
mengetahui tingkat penguasaan kalian terhadap materi kegiatan pembelajaran ini.

Kriteria

90% – 100% = baik sekali

80% – 89% = baik

70% – 79% = cukup

< 70% = kurang

Jika tingkat penguasaan kalian cukup atau kurang, maka kalian harus mengulang kembali

seluruh pembelajaran.

19

4. NILAI OPTIMUM (MAKSIMUM DAN MINIMUM)
Menentukan nilai optimum :
Langkah-langkah menyelesaikan soal yang berhubungan dengan program linear :
1. Tentukan model matematika (bila berbentuk soal cerita)
2. Gambar grafik dari model tersebut
3. Tentukan daerah fisibel (daerah himpunan penyelesaian)
4. Tentukan titik-titik verteks (titik pojok)

CONTOH 4.1
Nilai maksimum fungsi sasaran Z = 8x + 6y dengan syarat : 2x + y ≤ 8, x + y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0
adalah ....

Penyelesaian :
1. Membuat garis 2x + y ≤ 8
Mencari titik potong dengan sumbu–X dan sumbu-Y
X Y (x, y)
0 8 (0, 8)
4 0 (4, 0)
2. Membuat garis x + y ≤ 6
Mencari titik potong dengan sumbu–X dan sumbu-Y
X Y (x, y)
0 6 (0, 6)
6 0 (6, 0)

Titik potong

2x + y = 8

x +y=6

x=2

x+y=6
2+y=6 y=4

Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni Z = 8x + 6y,

sehingga diperoleh
 Z = 8.0 + 6. 0 = 0
A(0, 0)  Z = 8. 4 + 6 .0 = 32

B(4, 0)  Z = 8. 2 + 6. 4 = 16 + 24 = 40

C(2, 4)  Z =8. 0 + 6. 6 = 36

D(0, 6)

Nilai maksimumnya adalah 40.

20

CONTOH 4.2
Nilai minimum fungsi sasaran Z = 5x + 2y dengan syarat : 4x + y ≥ 12, x + y ≥ 6, x ≥ 0, y ≥ 0
adalah ....

Penyelesaian :
1. Membuat garis 4x + y ≥ 12
Mencari titik potong dengan sumbu–X dan sumbu-Y
X Y (x, y)
0 12 (0, 12)
3 0 (3, 0)

2. Membuat garis x + y ≥ 6
Mencari titik potong dengan sumbu–X dan sumbu-Y
X Y (x, y)
0 6 (0, 6)
6 0 (6, 0)

3. Titik potong
4x + y = 12
x +y=6
3x = 6  x = 2
x+y=6
2+y=6 y=4

4. Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni

Z = 5x + 2y, sehingga diperoleh:
 Z = 5.6 + 2. 0 = 30
A(6, 0)  Z = 5. 2 + 2. 4 = 10 + 8 = 18

B(2, 4)  Z =5. 0 + 2. 6 = 12

C(0, 6)

Nilai MINIMUMnya adalah 12

21

CONTOH 4.3
Nilai maksimum dari F(x, y) = 5x + 2y

Penyelesaian :

1. Menentukan garis 1

10 x + 10 y = 10.10

x + y = 10

2. Menentukan garis 2

12x + 8 y = 12. 8

3x + 2y = 24

3. Eliminasi persaman (1) dan (2)

3x + 2y = 24 |.1| 3x + 2y = 24

x + y = 10 |.2| 2x + 2y = 20

x=4
4 + y = 10  y = 6

4. Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni

f(x, y) = 5x + 2y, sehingga diperoleh
 f(0,0) = 5.0 + 2.0 = 0+ 0 = 0
A(0,0)  f(8, 0) = 5.8 + 2.0 = 40

B(8,0)  f(4, 6) = 5.4 + 2.6 = 32

C(4,6)  f(0, 10) = 5.0 + 2.10 = 20

D(0,10)

Nilai maksimumnya 40

22

LATIHAN SOAL

1. Nilai maximum dari f(x, y) = 20x + 30y dengan syarat x + y ≤ 40, x + 3y ≤ 90, x ≥ 0; y ≥ 0
adalah ….
A. 950
B. 1.000
C. 1.050
D. 1.100
E. 1.150

2. Nilai Maximum untuk f(x, y) = 2x + y dengan syarat 2x + 3y  18, x + y  7, x  0, y  0

adalah ....
A. 5
B. 7
C. 12
D. 14
E. 8

3. Lihat grafik di bawah ini!

Nilai minimum f(x,y) = 2x + 3y untuk x,y di daerah yang diarsir adalah ...
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
E. 14

4. Suatu sistem ditunjukkan seperti gambar di bawah ini.

Nilai maksimum f(x,y) = 3x + 4y pada daerah yang diarsir adalah ...

A. 4

B. 5

C. 6

D. 4 1
2
1
E. 6 2

23

5. Nilai minimum dari z = 3x + 6y yang memenuhi syarat: 4x + y  20, x + y  20, x + y
 10, x  0, y  0
adalah...
A. 50
B. 40
C. 30
D. 20
E. 10

6. Jika diketahui P = x + y dan Q = 5x + y, maka nilai maksimum dari P dan Q pada sistem
pertidaksamaan x ≥ 0; y ≥ 0; x + 2y ≤ 12; 2x + y ≤ 12 adalah ....
A. 8 dan 30
B. 8 dan 6
C. 4 dan 6
D. 6 dan 24
E. 8 dan 24

7. Jika diketahui model matematika sebagai berikut x + 2y ≤ 8; 0 ≤ x ≤ 7; 1 ≤ y ≤ 4, maka
nilai minimum yang dihasilkan oleh fungsi sasaran f(x, y)= 5x + 10y adalah ....
A. 0
B. 5
C. 8
D. 10
E. 20

8. Nilai maksimum dari z = -3x + 2y yang memenuhi syarat 3x + y ≤ 9, 5x + 4y ≥ 20, x ≥ 0
adalah ....
A. 10
B. 14
C. 18
D. 20
E. 24

9. Nilai minimum dari fungsi f = x + y pada daerah yang dibatasi 4x + y ≥ 12, 2x + y ≤ 12, x –
2y ≤ -6, x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah ....
A. 0
B. 3
C. 6
D. 8
E. 12

10. Nilai maksimum dari f = 2x + 3y daerah 3x – y ≥ 9, 3x – 2y ≤ 12, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah ....
A. 6
B. 12
C. 13
D. 18
E. 27

24

KUNCI JAWABAN

NO KUNCI JAWABAN SKOR
1. C 10
2. D 10
3. A 10
4. B 10
5. C 10
6. A 10
7. C 10
8. C 10
9. C 10
10. C 10
100
JUMLAH SKOR

Untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian, cocokkan jawaban kalian dengan kunci
jawaban. Hitung jawaban benar kalian, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk
mengetahui tingkat penguasaan kalian terhadap materi kegiatan pembelajaran ini.

Kriteria

90% – 100% = baik sekali

80% – 89% = baik

70% – 79% = cukup

< 70% = kurang

Jika tingkat penguasaan kalian cukup atau kurang, maka kalian harus mengulang kembali

seluruh pembelajaran.

25

5. APLIKASI PROGRAM LINIER DALAM KEHIDUPAN SEHARI – HARI
Sehingga untuk menyelesaikan program linier lengkap, hendaknya mengikuti langkah-
langkah sebagai berikut :
1) Menyusun model matematika yang terdiri dari kendala (sistem pertidaksamaan
linier) dan fungsi sasaran
2) Melukis grafik daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier tersebut serta
menentukan titik-titik ujinya
3) Menentukan nilai optimum suatu fungsi sasaran dengan cara mensubstitusikan titik-
titik uji ke dalam fungsi sasaran

CONTOH 5.1 :
Sebuah kapal penyeberangan mempunyai 70 tempat duduk. Setiap penumpang kelas
utama bagasinya disediakan 100 kg dan setiap penumpang kelas ekonomi 50 kg. Kapal itu
hanya dapat menampung bagasi maksimum 5.000 kg. jika tiket untuk kelas utama Rp.
600.000 dan untuk kelas ekonomi Rp. 300.000 maka tentukanlah besarnya pendapatan
maksimum untuk sekali jalan ...

Penyelesaian :

Misalkan x = banyaknya penumpang kelas utama

y = banyaknya penumpang kelas ekonomi

Variabel Bagasi Jumlah Harga tiket
Rp. 600.000,-
Utama (x) 100 kg 1 Rp. 300.000,-

Ekonomi (y) 50 kg 1

Persediaan 5.000 kg 70
100 x + 50 y ≤ 5.000  2x + y ≤ 100

x + y ≤ 70

x≥0,y≥0

nilai optimum f(x, y) = 600.000 x + 300.000y

1. Membuat garis 2x + y ≤ 100

Mencari titik potong dengan sumbu–X dan sumbu-Y

X Y (x, y)

0 100 (0, 100)

50 0 (50, 0)

2. Membuat garis x + y ≤ 70

Mencari titik potong dengan sumbu–X dan sumbu-Y

X Y (x, y)

0 70 (0, 70)

70 0 (70, 0)

26

3. Titik potong
2x + y = 100
x + y = 70
x = 30
x + y = 70
30 + y = 70  y = 40

4. Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni

Z = 600.000x + 300.000y, sehingga diperoleh:
 Z = 600.000(0) + 300.000(0) = 0
A(0, 0)  Z = 600.000(50) + 300.000(0) = 30.000.000

B(50,0)  Z = 600.000(30) + 300.000(40) = 40.000.000

C(30, 40)  Z = 600.000(0) + 300.000(70) = 21.000.000

D(0, 70)

Nilai pendapatan maksimumnya adalah Rp. 40.000.000,-

CONTOH 5.2 :
Seorang anak diharuskan memakan dua jenis tablet tiap hari. Tablet pertama
mengandung 2 unit vitamin A dan 2 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung
3 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari anak itu memerlukan paling sedikit 12
unit vitamin A dan 8 unit vitamin B. Jika harga tablet pertama Rp. 1.000,- perbutir dan
tablet kedua Rp. 2.000,- perbutir maka agar pengeluaran minimum banyak tablet pertama
yang harus dibeli adalah

Penyelesaian :

Misalkan x = Tablet pertama

y = Tablet kedua

Variabel Vitamin A Vitamin B Harga
Rp. 1.000,-
Tablet Pertama (x) 2 2 Rp. 2.000,-

Tablet Kedua (y) 3 1

Persediaan 12 8

2x + 3 y ≥ 12

2x + y ≥ 8

x≥0

y≥0

nilai optimum f(x, y) = 1.000 x + 2.000y

1. Membuat garis 2x + 3 y ≥ 12

Mencari titik potong dengan sumbu–X dan sumbu-Y

X Y (x, y)

0 4 (0, 4)

6 0 (6, 0)

2. Membuat garis 2x + y ≥ 8

Mencari titik potong dengan sumbu–X dan sumbu-Y

X Y (x, y)

0 8 (0, 8)

4 0 (4, 0)

27

3. Titik potong

2x + 3y = 12

2x + y = 8 y=2

2y = 4

2x + y = 8
2x + 2 = 8  x = 3

4. Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni

Z = 1.000x + 2.000y, sehingga diperoleh:
 Z = 1.000(6) + 2.000(0) = 6.000
P(6, 0)  Z = 1.000(3) + 2.000(2) = 7.000

Q(3, 2)  Z = 1.000(0) + 2.000(8) = 16.000

R(0, 8)

Nilai pengeluaran minimumnya adalah Rp. 6.000,-

CONTOH 5.3 :
Seorang pedagang minuman menjual dua jenis minuman ringan pada suatu tempat yang
dapat menampung 500 botol minuman. Harga beli minuman jenis A dan jenis B masing-
masing Rp. 4.000,- dan Rp 8.000,- per botol. Jika ia memiliki modal Rp. 3.200.000,- serta
akan memperoleh laba perbuah Rp. 1.600,- untuk minuman jenis A dan Rp. 1.200,- untuk
minuman jenis B, maka berapakah banyaknya minuman jenis A dan B agar diperoleh laba
maksimum ?

Penyelesaian :

Misalkan x = minuman jenis A

y = minuman jenis B

Variabel Harga beli Jumlah Laba
1 Rp. 1.600,-
Minuman jenis A (x) Rp. 4.000,- 1 Rp. 1.200,-

Minuman jenis B (y) Rp. 8.000,- 500

Persediaan Rp. 3.200.000,-

4.000 x + 8.000 y ≤ 3.200.000  x + 2y ≤ 800

x + y ≤ 500

x≥0,y≥0

nilai optimum f(x, y) = 1.600 x + 1.200 y

1. Membuat garis x + 2y ≤ 800
Mencari titik potong dengan sumbu–X dan sumbu-Y
X Y (x, y)
0 400 (0, 400)
800 0 (800, 0)

28

2. Membuat garis x + y ≤ 500
Mencari titik potong dengan sumbu–X dan sumbu-Y
X Y (x, y)
0 500 (0, 500)
500 0 (500, 0)

3. Titik potong
x + 2y = 800
x + y = 500
y = 300
x + y = 500
x + 300 = 500  x = 200

4. Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni

Z = 1.600x + 1.200 y, sehingga diperoleh:
 Z = 1.600(0) + 1.200(0) = 0
A(0, 0)  Z = 1.600(500) + 1.200(0) = 800.000

B(500, 0)  Z = 1.600(200) + 1.200(300) =680.000

C(200, 300)  Z = 1.600(0) + 1.200(400) = 480.000

D(0, 400)

Nilai pendapatan maksimumnya adalah Rp. 800.000,-. diperoleh jika dijual minuman

jenis A saja sebanyak 500 botol

29

LATIHAN SOAL

1. Sebuah butik memiliki 4 m kain satin dan 5 m kain prada. Dari bahan tersebut akan di
buat dua baju pesta. Baju pesta I memerlukan 2 m kain satin dan 1 m kain prada. Baju
jenis II memerlukan 1 m kain satin dan 2 m kain prada. Jika harga jual baju pesta I sebesar
Rp. 500.000,00 dan Baju pesta II sebesar Rp. 400.000,00 maka hasil penjualan
maksimum butik tersebut adalah ...
A. Rp. 800.000,00
B. Rp. 1.000.000,00
C. Rp. 1.300.000,00
D. Rp. 1.400.000,00
E. Rp. 2.000.000,00

2. Kapasitas tempat duduk suatu pesawat 100 kursi, terdiri dari penumpang kelas
ekonomi dan bisnis. Penumpang kelas ekonomi dan bisnis masing – masing dengan
bagasi maksimal 20 kg dan 30 kg. kapasitas maksimal bagasi adalah 2.200 kg. harga
tiket kelas ekonomi Rp. 1.000.000, 00 dan bisnis Rp. 1.500.000,00. Hasil penjualan
harga tiket maksimum adalah …
A. Rp. 90.000.000,00
B. Rp. 100.000.000,00
C. Rp. 110.000.000,00
D. Rp. 120.000.000,00
E. Rp. 125.000.000,00

3. Sebuah toko sepeda menjual sepeda anak dan sepeda dewasa. Penjual tersebut
membeli sepeda anak dengan harga Rp. 400.000,00 dan sepeda dewasa Rp.
900.000,00. Penjual tersebut memiliki modal Rp. 56.000.000,00 dan tempat dimana
dia menjual mempunyai daya tampung 100 unit. Jika keuntungan sepeda anak sebesar
Rp. 50.000,00 dan keuntungan sepeda dewasa sebesar Rp. 100.000,00 maka hasil
penjualan maksimum butik tersebut adalah ...
A. Rp. 5.400.000,00
B. Rp. 6.600.000,00
C. Rp. 7.200.000,00
D. Rp. 8.500.000,00
E. Rp. 9.600.000,00

4. Pedagang buah menjual jeruk dan mangga. Harga beli jeruk Rp. 5.000,00/kg dan
mangga Rp. 6.000,00/kg. Jika modal pedagang buah Rp. 600.000,00 dan kiosnya hanya
mampu menampung 110 kg buah – buahan. Jika laba mangga Rp. 1.500,00/kg dan jeruk
Rp. 2.000.00/kg maka laba maksimum adalah …
A. Rp. 165.000,00
B. Rp. 190.000,00
C. Rp. 200.000,00
D. Rp. 220.000,00
E. Rp. 300.000,00

5. Kapasitas tempat duduk suatu pesawat 100 kursi, terdiri dari penumpang kelas
ekonomi dan bisnis. Penumpang kelas ekonomi dan bisnis masing – masing dengan
bagasi maksimal 20 kg dan 30 kg. kapasitas maksimal bagasi adalah 2.200 kg. harga
tiket kelas ekonomi Rp. 1.000.000, 00 dan bisnis Rp. 1.500.000,00. Hasil penjualan
harga tiket maksimum adalah …
A. Rp. 90.000.000,00
B. Rp. 100.000.000,00
C. Rp. 110.000.000,00

30

D. Rp. 120.000.000,00
E. Rp. 125.000.000,00

6. penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas utama boleh
membawa bagasi 60 kg sedang kelas ekonomi 20 kg. Pesawat hanya dapat membawa
bagasi 1440 kg. harga tiket kelas utama Rp150.000,00 dan kelas ekonomi
Rp100.000,00. Supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat pesawat penuh
mencapai maksimum, jumlah tempat duduk kelas utama haruslah ....
A. 12
B. 20
C. 24
D. 26
E. 30

7. Rokok A yang harga belinya Rp1.000,00 dijual dengan harga Rp1.100,00 per bungkus
sedangkan rokok B yang harga belinya Rp1.500,00 dijual dengan harga Rp1.700,00 per
bungkus. Seorang pedagang rokok yang mempunyai modal Rp300.000,00 dan kiosnya
dapat menampung paling banyak 250 bungkus rokok akan mendapat keuntungan
maksimum jika membeli ....
A. 150 bungkus rokok A dan 100 bungkus rokok B
B. 100 bungkus rokok A dan 150 bungkus rokok B
C. 250 bungkus rokok A dan 200 bungkus rokok B
D. 250 bungkus rokok A saja
E. 200 bungkus rokok B saja

8. Tempat parkir seluas 600 m2 hanya mampu menampung 58 bus dan mobil. Tiap mobil
membutuhkan tempat 6 m2 dan bus 24 m2. Biaya parker tiap mobil Rp500,00 dan bus
Rp750,00. Jika tempat parker itu penuh, hasil dari biaya parker maksimum adalah ....
A. Rp18.750,00
B. Rp29.000,00
C. Rp32.500,00
D. Rp43.500,00
E. Rp72.500,00

9. Seorang pedagang khusus menjual produk A dan produk B. Produk A adalah dibeli
seharga Rp2.000,00 per unit, dijual dengan laba Rp800,00. Produk B dibeli seharga
Rp4.00,00 per unit, dijual dengan laba Rp600,00. Jika ia mempunyai modal
Rp1.600.000,00 dan gudangnya mampu menampung paling banyak 500 unit, maka
keuntungan terbesar diperoleh bila ia membeli ....
A. 300 unit produk A dan 200 produk B
B. 200 unit produk A dan 300 produk B
C. 300 unit produk A dan 300 produk B
D. 500 unit produk A saja
E. 400 unit produk B saja

10. Rokok A seharga Rp200,00/bungkus dijual dengan laba Rp40,00/bungkus sedangkan
rokok B seharga Rp100,00/bungkus dijual dengan laba Rp30,00/bungkus. Seorang
pedagang rokok mempunyai modal Rp80.000,00 dan kios yang dapat menampung 500
bungkus rokok. Ia akan memperoleh keuntungan jika ia membeli ....
A. 300 rokok A dan 200 rokok B
B. 200 rokok A dan 300 rokok B
C. 250 rokok A dan 250 rokok B
D. 100 rokok A dan 400 rokok B
E. 500 Rokok A saja

31

KUNCI JAWABAN

NO KUNCI JAWABAN SKOR
1. C 10
2. C 10
3. B 10
4. C 10
5. C 10
6. A 10
7. E 10
8. C 10
9. D 10
10. B 10
100
JUMLAH SKOR

Untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian, cocokkan jawaban kalian dengan kunci
jawaban. Hitung jawaban benar kalian, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk
mengetahui tingkat penguasaan kalian terhadap materi kegiatan pembelajaran ini.

Kriteria

90% – 100% = baik sekali

80% – 89% = baik

70% – 79% = cukup

< 70% = kurang

Jika tingkat penguasaan kalian cukup atau kurang, maka kalian harus mengulang kembali

seluruh pembelajaran.

32

RANGKUMAN

Program linear adalah salah satu bagian dari matematika terapan yang digunakan untuk
memecahkan masalah pengoptimalan (memaksimalkan atau meminimalkan suatu tujuan),
seperti mencari keuntungan maksimum dari penjualan suatu produk.

Dalam memecahkan masalah pengoptimalan dengan program linear, terdapat kendala-
kendala atau batasan-batasan yang harus diterjemahkanke dalam suatu sistem
pertidaksamaan linear disebut pemodelan matematika, dan sistem pertidaksamaan linear
yang terbentuk disebut model matematika

Menentukan nilai optimum :
Langkah-langkah menyelesaikan soal yang berhubungan dengan program linear :

1. Tentukan model matematika (bila berbentuk soal cerita)
2. Gambar grafik dari model tersebut
3. Tentukan daerah fisibel (daerah himpunan penyelesaian)

Tentukan titik-titik verteks (titik pojok)

33

ULANGAN HARIAN

1. Daerah yang memenuhi penyelesaian dari x + y ≥ 6, 2x – y ≤ 3, x – 2y +6 ≥ 0 adalah…

A. l
B. ll
C. lll
D. lV
E. V
2. Sistem pertidaksamaan yang sesuai daerah arasiran adalah....

A. x + y ≥ 5; x + 2y ≥ 6; x ≥ 0
B. x + y ≤ 5; x + 2y ≥ 6; x ≥ 0
C. x + y ≤ 5; x + 2y ≤ 6; x ≥ 0
D. x + y ≤ 5; 2x + y ≥ 6; x ≥ 0
E. x + y ≤ 5; 2x + y ≤ 6; x ≥ 0
3. Suatu tempat parkir seluas 200 m2 tidak dapat menampung lebih dari 12 mobil dan bus.
Untuk memarkir sebuah mobil rata-rata diperlukan tempat seluas 10 m2. Jika di tempat
parkir itu akan diparkir x mobil dan y bus, maka x dan y harus memenuhi syarat-syarat
...
A. x + y ≤ 12; x + 2y ≤ 20; x ≥ 0; y ≤ 0
B. x + y ≤ 12; x + 2y ≤ 20; x ≥ 0; y ≥ 0
C. x + y ≤ 12; x + 2y ≤ 20; x ≤ 0; y ≤ 0
D. x + y ≤ 12; x + 2y ≥ 20; x ≥ 0; y ≥ 0
E. x + y ≥ 12; x + 2y ≥ 20; x ≥ 0; y ≥ 0
4. Nilai maksimum f(x, y) = 5x + 6y pada sistem pertidaksamaan x + y ≤ 5; 2x + 3y ≤ 12; x
≥ 0 dan y ≥ 0 adalah....
A. 18
B. 21
C. 24

34

D. 25
E. 27

5. Nilai maksimum fungsi objektif f(x,y) = 4x + 3y yang memenuhi sistem pertidaksamaan
x + y ≥ 3; x + y ≤ 7; x – y ≥ -5; x ≥ 0; dan y ≥ 2 adalah…..
A. 10
B. 15
C. 22
D. 26
E. 28

6. Perhatikan gambar berikut.

Nilai minimum f(x,y) = 4x + 5y pada daerah arsiran adalah...
A. 21
B. 23
C. 25
D. 30
E. 32

7. Sebuah pabrik sepatu akan memproduksi dua jenis sepatu, yaitu sepatu bola dan
sepatu futsal. Harga jual sepasang sepatu bola Rp250.000,00 dan harga jual sepasang
sepatu futsal Rp125.000,00. Dan penjualan kedua jenis sepatu ini diperoleh keuntungan
Rp50.000,00 dari sepasang sepatu bola dan Rp30.000,00 dari sepasang sepatu futsal.
Jika kapasitas produksi sebulan 5.000 pasang dan modal yang disediakan 1 miliar
rupiah, keuntungan maksimum pabrik tersebut....
A. Rp120.000.000,00
B. Rp150.000.000,00
C. Rp200.000.000,00
D. Rp210.000.000,00
E. Rp240.000.000,00

8. Sebuah perusahaan mempunyai dua tempat penambangan. Tempat penambangan A
menghasilkan 1 ton bijih kadar tinggi, 4 ton bijih menenggah, dan 12 ton bijih kadar
rendah setiap hari. Tempat penambangan B menghasilkan 2 ton bijih kadar tinggi, 3 ton
bijih kadar menengah, dan 5 ton bijih kadar rendah setiap hari. Perusahaan memerlukan
minimal 80 ton bijih kadar tinggi, 240 ton bijih kadar menengah, dan 480 ton bijih kadar
rendah. Biaya pengoprasian setiap penambangan sebesar Rp.2.000.000,00 per hari.
Agar biaya pengeluaran minimum, lama pengoprasian tambang A dan tambang B
berturut-turut adalah…
A. 30 hari dan 40 hari
B. 40 hari dan 30 hari
C. 40 hari dan 48 hari
D. 48 hari dan 16 hari

35

E. 48 hari dan 32 hari

9. Seorang pedagang fornitur akan mengirim 1.200 kursi dan 600 meja pada
pelanggannya. Untuk keperluan itu, ia akan menyewa dua jenis truk. Diketahui truk
jenis A dapat mengangkut 20 kursi dan 20 meja, sedangkan truk jenis B dapat
mengangkut 40 kursi dan 10 meja. Ongkos sewa sebuah truk jenis A dan B berturut-
turut sebesar Rp600.000,00 dan Rp500.000,00. Ongkos pengiriman minimumnya
sebesar....
A. Rp15.000.000,00
B. Rp16.800.000,00
C. Rp18.400.000,00
D. Rp22.000.000,00
E. Rp24.000.000,00

10. Agar fungsi f(x,y) = ax + 10y dengan kendala 2x + y ≥ 12, x + y ≥ 10, x ≥ 0, y ≥ 0 mencapai
minimum hanya di titik (2,8), maka konstanta a memenuhi . . .
A. -20 ≤ a ≤ -10
B. -20 ≤ a ≤ 10
C. 10 ≤ a ≤ 20
D. 10 < a ≤ 20
E. 10 < a < 20

36 PEMBAHASAN SKO
R
PEMBAHASAN
10
N
O
1.

2. 1) x ≥ 0 10
10
2) Menentukan pertidaksamaan ke-2

3x + 6y = 3.6

3x + 6y = 18

x + 2y = 6
Mengunakan titik uji (titik uji terletak pada DHP)  (0, 4)
Uji (0,4)  0 + 2.4 .... 6

8≥6
x + 2y ≥ 6

3) Menentukan pertidaksamaan ke-3

6x + 5y = 6.5

6x + 5y = 30
Mengunakan titik uji (titik uji terletak pada DHP)  (0, 4)
Uji (0,4) 6. 0 + 5.4 .... 30

20 ≤30
6x + 5y ≤ 30

3. Pembahasan :

Diperlukan Banyak

Mobil 10 X

Bus 20 Y

Tersedia 200 12

10x + 20y ≤ 200
x + 2y ≤ 20
x + y ≤ 12
x≥0;y≥0

37 10
4.

f(x, y) = 5x + 6Y

titik potong

x + y = 5 | . 2| 2x + 2y = 10

2x + 3y = 12 |. 1 | 2x + 3y = 12

-y = - 2

y=2

x+y=5

x+2=5

x=3

Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi

optimum yakni Z = 5x + 6y, sehingga diperoleh:
 Z = 5(0) + 6(0) = 0
A(0, 0)  Z = 5(5) + 6(0) = 30

B(5, 0)  Z = 5(3) + 6(2) = 27

C(3, 2)  Z = 5(0) + 6(4) = 24

D(0, 4)

Maksimumnya 30

5. 10

P:x+y≥3
Q:x+y≤7
R : x – y ≥ -5
S:y≥2
Titik A

Titik potong garis P dan S
y = 2 dan x + y = 3
x+2=3
x=1
(1, 2)
Titik B
Titik potong garis Q dan S

38

y = 2 dan x + y = 7

x+2=7

x=5

(5, 2)

Titik C

Titik potong garis Q dan R

x+y=7

x – y = -5

2y = 12

y=6

x+y=7

x+6=7

x=1

(1, 6)

Titik D (0, 5)

Titik E (0, 3)

Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi

optimum yakni Z = 4x + 3y, sehingga diperoleh:
 Z = 4(1) + 3(2) = 10
A(1, 2)  Z = 4(5) + 3(2) = 32

B(5, 2)  Z = 4(1) + 3(6) = 22

C(1, 6)  Z = 4(0) + 3(5) = 15

D(0, 5)  Z = 4(0) + 3(3) = 9

E(0, 3)

NILAI MAKSIMUMNYA : 32

6. 1) Garis 1 10
6x + 4y = 6.4
6x + 4y = 24
3x + 2y = 12

2) Garis 2
4x + 8y = 4. 8
4x + 8y = 32
x + 2y = 8

3) Titik potong garis 1 dan garis 2
3x + 2y = 12
x + 2y = 8
2x = 4
x=2
x + 2y = 8
2 + 2y = 8
2y = 6
y=3

4) Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum

yakni Z = 4x + 5y, sehingga diperoleh:
A(8, 0)  Z = 4(8) + 5(0) = 32
B(2, 3)  Z = 4(2) + 5(3) = 23
C(0, 6)  Z = 4(0) + 5(6) = 30

Minimumnya 23

7. Misalkan x = sepatu bola 10
y = sepatu futsal

39

Variabel Harga beli Jumlah Laba
Rp. 50.000,-
Sepatu bola (x) Rp. 250.000,- 1 Rp. 30.000,-

Sepatu futsal (y) Rp. 125.000,- 1

Persediaan Rp. 1.000.000.000,- 5000

250.000 x + 125.000 y ≤ 1.000.000.000  2x + y ≤ 8000

x + y ≤ 5000

x≥0,y≥0

nilai optimum f(x, y) = 50.000 x + 30.000 y

1) Membuat garis 2x + y ≤ 8.000

Mencari titik potong dengan sumbu–X dan sumbu-Y

XY (x, y)

0 8.000 (0, 8.000)

4.000 0 (4.000, 0)

2) Membuat garis x + y ≤ 5.000
Mencari titik potong dengan sumbu–X dan sumbu-Y
X Y (x, y)
0 5000 (0, 5000)
5000 0 (5000, 0)

3) Titik potong
2x + y = 8.000
x + y = 5.000
x = 3.000
x + y = 5.000
3.000 + y = 5.000  y = 2.000

4) Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi

optimum yakni Z = 50.000x + 30.000 y, sehingga diperoleh:
 Z = 50.000(0) + 30.000 (0) = 0
A(0, 0)  Z = 50.000(4.000) + 30.000 (0) = 200.000.000

B(4.000, 0)
C(3.000, 2.000)  Z = 50.000(3.000) + 30.000 (2.000)

D(0, 5.000) = 210.000.000
 Z = 50.000(0) + 30.000 (5.000) = 150.000.000

Nilai laba maksimumnya adalah Rp. 210.000.000,-

40

8. Misalkan x = tempat tambang A 10

y = tempat tambang B

Variabel Tinggi Menegah Rendah Biaya

Tempat 1 4 12 Rp. 2.000.000,-

tambang A (x)

Tempat 2 3 5 Rp. 2.000.000,-

tambang B (y)

Persediaan 80 240 480

x + 2 y ≤ 80

4x + 3y ≤ 240

12x + 5y ≤ 480

x≥0,y≥0

nilai optimum f(x, y) = 2.000.000 x + 2.000.000 y

1) Membuat garis e : x + 2y ≤ 80

Mencari titik potong dengan sumbu–X dan sumbu-Y

XY (x, y)

0 40 (0, 40)

80 0 (80, 0)

2) Membuat garis h : 4x + 3y ≤ 240

Mencari titik potong dengan sumbu–X dan sumbu-Y

X Y (x, y)

0 80 (0, 80)

60 0 (60, 0)

3) Membuat garis i : 12x + 5y ≤ 480

Mencari titik potong dengan sumbu–X dan sumbu-Y

X Y (x, y)

0 96 (0, 96)

40 0 (40, 0)

4) Titik potong garis e dan i
x + 2y = 80
5x + 2y = 230
4x = 150
x + = 5.000
3.000 + y = 5.000  y = 2.000

41

5) Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi

optimum yakni Z = 2.000.000x + 2.000.000 y, sehingga diperoleh:

A(0, 0)  Z = 2.000.000(0) + 2.000.000(0)

B(4.000, 0) =0
 Z = 2.000.000(0) + 2.000.000(0)

=0
C(3.000, 2.000)  Z = 2.000.000(0) + 2.000.000(0)

D(0, 5.000) =0
 Z = 2.000.000(0) + 2.000.000(0)

=0

Nilai laba maksimumnya adalah

9. Misalkan x = Truk A 10

y = Truk B

Variabel Kursi Meja Biaya sewa

Truk A (x) 20 20 Rp. 600.000,-

Truk B (y) 40 10 Rp. 500.000,-

Persediaan 1200 600

20x + 40y ≥ 1200  x + 2y ≥ 60
20x + 10y ≥ 400  2x + y ≥ 60

x≥0

y≥0

nilai optimum f(x, y) = 600.000 x + 500.000y

1. Membuat garis x + 2y ≥ 60

Mencari titik potong dengan sumbu–X dan sumbu-Y

X Y (x, y)

0 30 (0, 30)

60 0 (60, 0)

2. Membuat garis 2x + y ≥ 60

Mencari titik potong dengan sumbu–X dan sumbu-Y

X Y (x, y)

0 60 (0, 60)

30 0 (30, 0)

3. Titik potong
x + 2y = 60 |.2 | 2x + 4y = 120
2x + y = 60 |.1 | 2x + y = 60
3y = 60  y = 20

42

x + 2y = 60
x + 40 = 60  x = 20

4. Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi
optimum yakni Z = 600.000x + 500.000y, sehingga diperoleh:
P(60, 0)  Z = 600.000(60) + 500.000(0) = 36.000.000
Q(20, 20)  Z = 600.000(20) + 500.000(20) = 22.000.000
R(0, 60)  Z = Z = 600.000(0) + 500.000(60) = 30.000.000
Nilai pengeluaran minimumnya adalah Rp. 6.000,-

10. f(x,y) = ax + 10y 10
A(10,0) = 10a + 10(0) = 10a 100
B(2,8) = 2a + 80
C(0,12) = 0 +120

Agar f(x,y) minimum di B

2a + 80 < 10a dan 2a + 80 < 120

80 < 8a 2a < 40

a > 10 a < 20

Jadi, 10 < a < 20

Jawaban : E

JUMLAH SKOR

Untuk mengetahui tingkat penguasaan kalian, cocokkan jawaban kalian dengan kunci
jawaban. Hitung jawaban benar kalian, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk
mengetahui tingkat penguasaan kalian terhadap materi kegiatan pembelajaran ini.

Kriteria

90% – 100% = baik sekali

80% – 89% = baik

70% – 79% = cukup

< 70% = kurang

Jika tingkat penguasaan kalian cukup atau kurang, maka kalian harus mengulang kembali

seluruh pembelajaran.

43

DAFTAR PUSTAKA

Depdiknas. 2006. Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP). Jakarta: Departemen
Pendidikan Nasional.

Depdiknas. 2008. Panduan Pengembangan Bahan Ajar. Direktorat Jenderal Manajemen
Pendidikan Dasar dan Menengah. Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Atas.
Jakarta. BSNP.

Sukino, 2013, Matematika Jilid 2b, Untuk Sma/Ma/Kelas Xi Semester 2, Pt Gelora Aksara
Pratama

Kemendikbud, 2017 Buku Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Kurikulum 2103 Edisi
Revisi