เอกสารประกอบการเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 3 วิชาคณิตศาสตรพื้นฐาน 6 ภาคเรียนที่ 2 ปการศึกษา ................. วงกลม คุณครู......................................................................... ชื่อ....................................................................ชื่อเลน........................ชั้น......................เลขที่................ กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร โรงเรียน.................................................................. สํานักงานเขตพื้นที่.................................................. ครูผูสอน จัดทําโดย นางสาวสิรินรดา เกตุรักษ
บทที่ 2 วงกลม 1 บทที่ 2 วงกลม วงกลม คือ รูปเรขาคณิตแบบปดที่มีจุดทุกจุดบนรูปเรขาคณิตนั้นหางจากจุดคงที่จุดหนึ่งเปนระยะทางที่เทากัน จุดคงที่นั้นคือ จุดกลางของวงกลม และระยะหางจากจุดคงที่ไปยังจุดบนรูปเรขาคณิตแบบปดเปนความยาวรัศมีของวงกลม คอรดของวงกลม คือ สวนของเสนตรงที่มีจุดปลายสองจุดอยูบนเสนรอบวงของวงกลม และจะแบงวงกลมออกเปน สองสวนเทากันคอรดนั้นจะเปนเสนผานศูนยกลางของวงกลม ซึ่งเปนคอรดที่ยาวที่สุด 1. มุมที่จุดศูนยกลางและมุมในสวนโคงของวงกลม เมื่อเราแบงเสนรอบวงของวงกลมออกเปน 2 สวน ในกรณีที่สวนโคงทั้งสองยาวเทากัน จะเรียกสวนโคงแตละสวน วา ครึ่งวงกลม (semicircle) แตถาหากโคงทั้งสองยาวไมเทากัน ดังรูป จะเรียกสวนโคงที่ยาวกวาวา สวนโคงใหญ (major arc) และเรียนสวนโคงที่สั้นกวาวา สวนโคงนอย (minor arc) มุมที่จุดศูนยกลาง (central angle) คือมุมที่จุดศูนยกลางวงกลมเปนจุดยอดมุม และแขนทั้งสองของมุมตัดวงกลม มุมในสวนโคงของวงกลม (inscribed angle) คือ มุมที่มีจุดยอดมุมอยูบนวงกลม และแขนทั้งสองของมุมตัด วงกลม
บทที่ 2 วงกลม 2 1.1 มุมที่จุดศูนยกลางและสวนโคงที่รองรับมุม 1.2 มุมที่จุดศูนยกลางและมุมในสวนโคงของวงกลม จะเห็นไดวา มุมในสวนโคงของวงกลมเปนครึ่งหนึ่งของขนาดของมุมที่จุดศูนยกลางที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน 1.3 มุมในสวนโคงของวงกลมและสวนโคงที่รองรับมุม ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เทากันทุกประการหรือในวงกลมเดียวกัน ถามุมที่จุดศูนยกลาง วงกลมมีขนาดเทากัน และสวนโคงที่รองรับมุมที่จุดศูนยกลางวงกลมนั้นจะยาวเทากัน ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เทากันทุกประการหรือในวงกลมเดียวกัน ถาสวนโคงยาวเทากัน และมุมที่จุดศูนยกลางที่รองรับดวยสวนโคงนั้นจะมีขนาดเทากัน ทฤษฎีบท ในวงกลมเดียวกัน มุมที่จุดศูนยกลางจะมีขนาดเปนสองเทาของขนาดของ มุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับสวนโคงเดียวกัน ทฤษฎีบท ในวงกลมเดียวกัน มุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน จะมีขนาดเทากัน
บทที่ 2 วงกลม 3 ตัวอยางที่ 1 จากวงกลม O ที่กําหนดให จงหาขนาดของ CAˆD วิธีทํา เนื่องจาก o CAD 40 ˆ = (กําหนดให) จะได O CED 40 ˆ = (มุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกันมีขนาดเทากัน) ทําใหได ( ) O o DAE 180 40 70 70 ˆ = − + = (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเปน o 180 ) O CAD DAE 180 ˆ ˆ + = (CAˆE เปนมุมตรง) ดังนั้น o CAD 180 70 110 ˆ = − = แบบฝกหัดที่ 1 1. จากวงกลม O ที่กําหนดให จงหาคา x 1) ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เทากันทุกประการหรือในวงกลมเดียวกัน ถามุมในสวนโคงของ วงกลมมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงที่รองรับมุมเหลานั้นจะยาวเทากัน ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เทากันทุกประการหรือในวงกลมเดียวกัน ถามุมในสวนโคงยาว เทากันแลวมุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเหลานั้นจะมีขนาดเทากัน จากทฤษฎีบท ในวงกลมเดียวกัน มุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวย สวนโคงเดียวกันจะมีขนาดเทากัน จะเห็นวา และ ตางเปนมุมที่ รองรับดวยสวนโคง ดังนั้น นั่นคือ
บทที่ 2 วงกลม 4 2) 3) 4) 2. จากรูป จุด O เปนจุดศูนยกลางของวงกลม และ o OAB 35 ˆ = จงหาขนาดของ ACˆB จากรูป จะเห็นวา และ ตางเปนมุม ที่รองรับดวย สวนโคง ดังนั้น เนื่องจากขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเทากับผลบวกของขนาด ของมุมภายในที่ไมใชมุมประชิดของมุมภายนอกนั้น ดังนั้น จากทฤษฎีบท ในวงกลมเดียวกัน มุมที่จุดศูนยกลางจะมีขนาดเปนสองเทา ของขนาดของมุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน จะเห็นวา มุมที่จุดศูนยกลางของวงกลม มีขนาด ดังนั้น จากทฤษฎีบทที่ ในวงกลมวงเดียว มุมที่จุดศูนยกลาง จะมีขนาด เปนสองเทาของขนาดของมุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคง เดียวกัน จะเห็นวา มุมที่จุดศูนยกลางของวงกลม มีขนาด ดังนั้น เนื่องจาก (รัศมีของวงกลมเดียวกัน) เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว (บทนิยามของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว) ดังนั้น (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาดเทากัน) (ขนาดมุมภายในรูปสามเหลี่ยมรวมกันได ) จะได ดังนั้น นั่นคือ (มุมที่จุดศูนยกลางมีขนาดเปนสองเทาของขนาดของ มุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดี่ยว
บทที่ 2 วงกลม 5 3. จากรูป กําหนดให QS ตัด RP ที่จุด o T QR QS RQS 64 ˆ = = และ RP แบงครึ่ง QRSˆจงหาขนาดของ PS ˆQ 4. จากรูป จุด O เปนจุดศูนยกลางของวงกลม และ o BAC 50 ˆ = จงหาขนาดของ BOˆC และขนาดของ OCˆB เนื่องจาก เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ( และบทนิยามของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว) จะได (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาดเทากัน) เนื่องจาก (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันได ) ดังนั้น จะได เนื่องจาก และ ( แบงครึ่ง ) จะได และจาก (มุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกันมีขนาดเทากัน) ดังนั้น วิธีทํา เนื่องจาก (กําหนดให) ดังนั้น (มุมที่จุดศูนยกลางมีขนาดเปนสองเทาของขนาดของมุม ในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน) เนื่องจาก (รัศมีของวงกลมเดียวกัน) จะได เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว (บทนิยามของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว) ดังนั้น (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาดเทากัน) เนื่องจาก (ขนาดของมุมในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเปน ) จะได ดังนั้น นั้นคือ และ
บทที่ 2 วงกลม 6 1.4 มุมในครึ่งวงกลม ตัวอยางที่ 2 จากรูป AC เปนเสนผานศูนยกลางของวงกลม O และ o CAD 42 ˆ = จงหาขนาดของ ABˆD วิธีทํา เนื่องจาก o ABC 90 ˆ = (ขนาดของมุมในครึ่งวงกลมเปน o 90 ) และ o CBD CAD 42 ˆ ˆ = = (มุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวน โคงเดียวกันมีขนาดเทากัน) ดังนั้น o ABD 90 42 48 ˆ = − = 1.5 รูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม รูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม (inscribed quadrilateral of a circle) หรือรูปสี่เหลี่ยมวงกลมลอม (cyclic quadrilateral) คือรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ที่อยูภายในวงกลม โดยที่จุดยอดทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมนั้นอยูบนวงกลม ทฤษฎีบท มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด องศาหรือหนึ่งมุมฉาก จากรูป จะเห็นวา เปนมุมที่จุดศูนยกลาง ซึ่งเปนมุมที่มีขนาด และ เปนมุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคง
บทที่ 2 วงกลม 7 ตัวอยางที่ 3 จากรูป ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม O และ o BOD 140 ˆ = จงหาขนาดของ DCˆE วิธีทํา เนื่องจาก o BOD 140 ˆ = (กําหนดให) จะได o BAD 70 ˆ = (มุมในสวนโคงของวงกลมจะมีขนาดเปนครึ่งหนึ่งของขนาดของ มุมที่จุดศูนยกลางที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน) เนื่องจาก o BCD BAD 180 ˆ ˆ + = ผลบวกของขนาดของมุมตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมแนบใน วงกลมเปน o 180 ) ดังนั้น o BCD 180 70 170 ˆ = − = o DCE BCD 180 ˆ ˆ + = (DCˆE + BCˆD = BCˆD และ BCˆE เปนมุมตรง) นั้นคือ o DCE 180 110 70 ˆ = − = แบบฝกหัดที่ 2 1.จากวงกลม O ที่กําหนดให จงหาคา X 1) ทฤษฎีบท ถารูปสี่เหลี่ยมใดๆ เปนรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม แลวผลบวกของขนาดของมุมตรง ขามจะเทากับสองมุมฉาก จากทฤษฎีบทที่วา มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด หรือหนึ่งมุมฉาก จากรูป เนื่องจากขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเปน จึงไดวา นั่นคือ
บทที่ 2 วงกลม 8 2) 2. จากรูป AB เปนเสนผานศูนยกลางของวงกลม O และ o ACO 35 ˆ = จงหาขนาดของ OBˆC 3. จากรูป ACˆB เปนมุมในครึ่งวงกลม O และ o BAC 32 ˆ = จงหาขนาดของ BCˆO จากทฤษฎีบทที่วา มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด หรือหนึ่งมุมฉาก จากรูป เนื่องจากขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเปน จึงไดวา ดังนั้น เนื่องจาก (มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด ) และ (กําหนดให) ดังนั้น และเนื่องจาก (รัศมีของวงกลมเดียวกัน) จะไดวา เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว (บทนิยามของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว) ดังนั้น (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาดเทากัน) เนื่องจาก (รัศมีของวงกลมเดียวกัน) จะได เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว (บทนิยามของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว) และจาก (กําหนดให) ดังนั้น (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาดเทากัน) เนื่องจาก (มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด ) ดังนั้น
บทที่ 2 วงกลม 9 4. จากรูป ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม O และ o ABC 100 ˆ = 1) มุมกลับ AOC 2) AOˆC 3) ADˆC 5. จากรูป ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม O มี AB เปน เสนผานศูนยกลางของวงกลม CE และ DE เปนสวนของเสนตรงที่ ลากตอจาก BC และ AD ตามลําดับ และ o BOD 100 ˆ = จงหา ขนาดของ AEˆB 6. จากรูป ABCD เปนรูปสามเหลี่ยมแนบในวงกลม O มี AC เปนเสนผาน ศูนยกลางของวงกลม o ACB 30 ˆ = และ o ABD 40 ˆ = จงหาขนาดของ CAˆD 1) มุมกลับ (มุมที่จุดศูนยกลางมีขนาดเปนสองเทาของขนาดของ มุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน) 2) มุมกลับ (มุมรอบจุดมีขนาด ) 3) (มุมที่จุดศูนยกลางมีขนาดเปนสองเทาของขนาดของ มุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน) เนื่องจาก (มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด ) (มุมที่จุดศูนยกลางมีขนาดเปนสองเทาของขนาดของ มุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน) จะได (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันได ) ดังนั้น เนื่องจาก (มุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกันมีขนาดเทากัน) และ (มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด ) ดังนั้น เนื่องจาก (มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด ) จะได ดังนั้น (มุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน)
บทที่ 2 วงกลม 10 7. จากรูป ACˆB เปนมุมในครึ่งวงกลม O OD // BC และ o BAC 18 ˆ = จงหาขนาดของ ADˆO 8. จากรูปจุด O เปนจุดศูนยกลางของวงกลม o BAO 45 ˆ = และ o CDE 115 ˆ = จงหาวา AOˆE + BOˆC เทากับกี่องศา 9. จากรูป BCDE เปนรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม BA และ EA เปนสวน ของเสนตรงที่ลากตอจาก CB และ DE ตามลําดับ จงพิจารณาวา DCAD ~∆EAB หรือไมเพราะเหตุใด (มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด ) (มุมภายในรูป รวมกันได ) เนื่องจาก (มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนที่ตัดเสนขนาน มีขนาดเทากัน) ดังนั้น (สมบัติของการเทากัน) เนื่องจาก (รัศมีของวงกลมเดียวกัน) จะไดวา เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ดังนั้น (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาดเทากัน) จาก (รัศมีของวงกลมเดียวกัน) เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ดังนั้น นั่นคือ (มุมภายในรูป รวมกันได ) เนื่องจาก มุมกลับ (มุมที่จุดศูนยกลางมีขนาดเปนสองเทาของขนาดของ มุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน) ดังนั้น (มุมกลับ ) วิธีทํา กําหนดให และ เนื่องจาก เปนรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม จึงไดวา และ และเนื่องจาก และ เปนสวนของเสนตรง ที่ลากต่อจาก และ ตามลําดับ จึงทําให และ เปนมุมตรง ดังนั้น และ พิจารณา และ เนื่องจาก (มุมรวม) (ตางมีขนาดเทากับ ) (ตางมีขนาดเทากับ ดังนั้น ~ เพราะมีมุมที่มีขนาดเทากันเปนคูๆ คู
บทที่ 2 วงกลม 11 2.คอรดของวงกลม คอรด(chord) คือ สวนของเสนตรงที่มีจุดปลายทั้งสองอยูบนวงกลมเดียวกัน คอรดแตละเสนจะแบงวงกลม ออกเปนสวนโคง 2 สวน 2.1 คอรดและสวนโคงของวงกลม 2.2 คอรดและจุดศูนยกลางของวงกลม ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เทากันทุกประการหรือในวงกลมเดียวกัน ถาคอรดสองเสนยาวเทากัน และคอรดทั้งสองจะตัดวงกลม ทําใหสวนโคงนอยยาวเทากันและสวนโคงใหญยาวเทากัน ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เทากันทุกประการหรือในวงกลมวงเดียวกัน ถาคอรดสองเสนตัดวงกลม ทําใหสวนโคงนอยยาวเทากัน แลวคอรดทั้งสองนั้นจะยาวเทากัน จากรูป วงกลม มี และ เปนคอรด โดยที่ เมื่อลากรัศมี และ จะได แบบ ด.ด.ด. ดังนั้น ทฤษฎีบท สวนของเสนตรงซึ่งผานจุดศูนยกลางของวงกลม และตัดกับคอรดที่ไมใชเสนผาน ศูนยกลางจะมีสมบัติดังนี้ 1) ถาสวนของเสนตรงแบงครึ่งคอรด แลวสวนของเสนตรงนั้นจะตั้งฉากกับคอรด 2) ถาสวนของเสนตรงตั้งฉากกับคอรด แลวสวนของเสนตรงนั้นจะแบงครึ่งคอรด ทฤษฎีบท เสนตรงที่ตั้งฉากและแบงครึ่งคอรดของวงกลม จะผานจุดศูนยกลางของวงกลมนั้น
บทที่ 2 วงกลม 12 2.3 คอรดที่ยาวเทากัน ตัวอยางที่ 4 จากรูป กําหนดให AB เปนคอรดของวงกลม O AM = BM และ o BOM 65 ˆ = จงหาขนาดของ OAˆM วิธีทํา เนื่องจาก AM = BM (กําหนดให) ดังนั้น o OMB 90 ˆ = (เสนตรงที่ลากจากจุดศูนยกลางมาแบงครึ่งคอรดจะตั้งฉากกับคอรด) จึงไดวา ( ) o OBM 180 65 90 25 ˆ = − + = (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเปน o 180 ) เนื่องจาก AO = BO (รัศมีของวงกลมเดียวกัน) จึงไดวา ∆AOB เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว (บทนิยามของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว) ดังนั้น o OAM OBM 25 ˆ = ˆ = จากรูป วงกลม มี เปนคอรด เมื่อลากรัศมี และ จะได เปนสามเหลี่ยมหนาจั่ว ลาก แบงครึ่งฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว จะไดวา ตั้งฉากกับ ตามสมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ทฤษฎีบท ในวงกลมวงเดียวกัน ถาคอรดสองเสนยาวเทากัน แลวคอรดทั้งสองนั้นอยูหางจาก จุดศูนยกลางเปนระยะเทากัน ทฤษฎีบท ในวงกลมวงเดียวกัน ถาคอรดสองเสนอยูหางจากจุดศูนยกลางเปนระยะเทากัน แลวคอรดทั้งสองนั้นจะยาวเทากัน จากรูป กําหนดให และ เปนคอรดที่ยาวเทากัน เมื่อลากรัศมี และลาก และ ไปตั้งฉากกับ และ ตามลําดับ จะได และ เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่เทากันทุกประการแบบ ฉ.ด.ด. เนื่องจาก และ เปนดานคูที่สมนัยกัน ดังนั้น
บทที่ 2 วงกลม 13 แบบฝกหัดที่ 4 1. จากวงกลมที่กําหนดจุดศูนยกลางมาให จงหาคา x และ y 1) 2) 3) จากทฤษฎีบทที่วา เสนตรงที่ลากจากจุดศูนยกลางมาแบงครึ่งคอรดจะตั้งฉากกับคอรด จากรูป จะไดวา ดังนั้น และเนื่องจากขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเปน ทําใหไดวา ดังนั้น จากทฤษฎีบทที่วา เสนตรงที่ลากจากจุดศูนยกลางมาแบงครึ่งคอรดจะ ตั้งฉากกับคอรด จากรูป จะไดวา ดังนั้น และเนื่องจากขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเปน ทําใหไดวา ดังนั้น จากทฤษฎีบทที่วา เสนตรงที่ลากจากจุดศูนยกลางมาแบงครึ่งคอรดจะ ตั้งฉากกับคอรด จากรูป จะไดวา และเนื่องจาก แบบ ด.ม.ด. ทําใหไดวา ดังนั้น เนื่องจากขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเปน ทําใหไดวา ดังนั้น
บทที่ 2 วงกลม 14 4) 5) 6) จากรูป จะไดวา และเนื่องจาก แบบ ด.ม.ด. ทําใหไดวา และ และเนื่องจากขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของสามเหลี่ยมรวมกันเปน ดังนั้น นั้นคือ และจากทฤษฎีบทที่วา มุมที่จุดศูนยกลางมีขนาดเปนสองเทาของขนาดของมุมในสวนโคงของวงกลม ที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน ทําใหไดวา ดังนั้น จากรูป จากทฤษฎีบท ถาคอรดสองเสนยาว เทากันและคอรดทั้งสองนั้นจะอยูหาง จากสุดศูนยกลางเปนระยะทางเทากัน จากรูป ดังนั้น เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา จะไดวา และ และจากทฤษฎีบท ถาคอรดสองเสนยาว เทากันและคอรดทั้งสองนั้นจะอยูหางจากจุด ศูนยกลางเปนระยะทางเทากัน จากรูป แสดงวา เปนระยะทางหางจากจุดศูนยกลางถึงคอรด จาก และ ทําให เปนระยะหางจากจุดศูนยกลางถึง คอรด ดวย ดังนั้น เนื่องจาก เปนมุม ทําให และจากมุมรอบจุด ทําให จากขนาดของมุมภายในทั้งสี่มุมของรูปสี่เหลี่ยมรวมกันเปน ทําใหไดวา นั่นคือ จากทฤษฎีบท ถาสวนโคงนอยยาวเทากัน แลวคอรดทั้งสองจะยาวเทากัน จากรูป แสดงวา เปนระยะหางจากจุดศูนยกลางถึงคอรด จาก และ ทําให เปนระยะหางจากจุดศูนยกลางถึงคอรด และ เปนระยะหางจากจุดศูนยกลางถึงคอรด ดังนั้น เนื่องจากขนาดของมุมภายในทั้งสี่มุมของรูปสี่เหลี่ยมรวมกันเปน ดังนั้น นั่นคือ
บทที่ 2 วงกลม 15 2. จากวงกลมที่กําหนดจุดศูนยกลางมาให จงหาความยาวรอบรูปของ ∆SET 1) 2) 3) 4) จากทฤษฎีบท ถาสวนโคงนอยยาวเทากันและคอรดทั้งสองจะยาวเทากัน ดังนั้น จะไดวา เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา จะไดวา หนวย นั่นคือ ความยาวรอบรูปของ เทากับ หนวย จากทฤษฎีบท เสนตรงที่ลากจากจุดศูนยกลางมาตั้งฉากกับคอรดจะแบงครึ่งคอรด ดังนั้น หนวย และทําใหไดวา แบบ ด.ม.ด. ดังนั้น จากทฤษฏีบทพีทาโกรัส จะได และ ดังนั้น ความยาวรอบรูปของ หนวย เนื่องจาก และ ตางเปนรัศมีของวงกลม ดังนั้น หนวย เนื่องจาก จากทฤษฎีบทกลับพีทาโกรัส จะได เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มี ดังนั้น ตั้งฉากกับ จากทฤษฎีบทที่วา เสนตรงที่ลากจากจุดศูนยกลางมาตั้งฉากกับคอรดจะแบงครึ่งคอรด ทําใหไดวา หนวย จากทฤษฎีบท เสนตรงที่ลากจากจุดศูนยกลางมาตั้งฉากกับคอรดจะแบงครึ่งคอรด ดังนั้น หนวย จากทฤษฏีบทพีทาโกรัส จะได เนื่องจาก และ ตางเปนรัศมีของวงกลม ดังนั้น หนวย นั่นคือ ความยาวรอบรูปของ หนวย
บทที่ 2 วงกลม 16 3. จากรูป m(AR) = m(AC) จงพิจารณาวา ∆ARC เปนรูปสามเหลี่ยมชนิดใด เพราะเหตุใด 4. จากวงกลม O มี m(RA) = m(AP) และ RAˆG = HAˆP จงพิจารณาวา HA ยาวเทากับสวนของเสนตรงใดเพราะเหตุใด 5. จากวงกลม O มี AO = BO, AO ⊥ SU, BO ⊥ SM และ o SUM 50 ˆ = จงหาขนาดของ OS ˆM เนื่องจาก (กําหนดให) จะได (ถาสวนโคงนอยยาวเทากัน และคอรดทั้งสองจะยาวเทากัน) ดังนั้น เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว (บทนิยามของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว) เนื่องจาก (กําหนดให) จะได (มุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงที่ยาวเทากัน มีขนาดเทากัน) และ (ถาสวนโคงนอยยาวเทากัน แลวคอรดทั้งสองจะยาวเทากัน) เนื่องจาก (กําหนดให) ดังนั้น (เทากันทุกประการแบบ ม.ม.ด.) นั่นคือ จะยาวเทากับ (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการจะยาว เทากัน) เนื่องจาก (กําหนดให) จะได (ถาคอรดสองคอรดอยูหางจากจุดศูนยกลางเปนระยะ เทากัน แลวคอรดสองเสนจะยาวเทากัน) ดังนั้น เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว เนื่องจาก ( เปนเสนที่ตั้งฉากกับฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว และ สมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว) และ (ดานรวม) จะได (เทากันทุกประการแบบ ด.ด.ด.) ดังนั้น และ เนื่องจาก (ขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเปน ) ดังนั้น ( และ เปนมุมเดียวกัน)
บทที่ 2 วงกลม 17 6. จากวงกลม O มี SY = 18 เซนติเมตร KY = 6 เซนติเมตร และ YO = 13 เซนติเมตร จงหาวา SK อยูหางจาก จุดศูนยกลาง O กี่เซนติเมตร 3. เสนสัมผัสวงกลม (tangent line to a circle) เสนสัมผัสวงกลม คือ เสนตรงที่ตัดวงกลมเพียงจุดเดียวเทานั้น และเรียกจุดตัดนั้นวา จุดสัมผัส จากรูป AB เปนเสนสัมผัสวงกลม โดยสัมผัสวงกลม O ที่จุด P อาจกลาวไดวา สวนหนึ่งสวนใดของ AB ที่ผานจุด P เชน AB, AB, PA หรือ PB สัมผัสวงกลม O ที่จุด P ลาก ใหตั้งฉากกับ จะไดวา เปนระยะหางระหวางจุดศูนยกลาง กับ เนื่องจาก และ (เสนตรงที่ลากจากจุดศูนยกลางมาตั้งฉากกับคอรดจะแบงครึ่งคอรด) จะได ( ) จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส นั่นคือ อยูหางจากจุดศูนยกลาง เซนติเมตร ทฤษฎีบท เสนสัมผัสวงกลมจะตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมที่จุดสัมผัส
บทที่ 2 วงกลม 18 3.1 เสนสัมผัสวงกลมและรัศมี ตัวอยางที่ 5 กําหนดใหจุด O เปนจุดศูนยกลางของวงกลม มี PA และ PB สัมผัสวงกลมที่จุด A และจุด B ตามลําดับ ACˆB เปนมุมในสวนโคงของวงกลม ดังรูป ถา o APB 60 ˆ = จงหาขนาดของ ACˆB 1) 2) 3.2 เสนสัมผัสวงกลมและคอรดของวงกลม ทฤษฎีบท เสนตรงที่ตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมที่จุดจุดหนึ่งบนวงกลมจะเปน เสนสัมผัสวงกลมที่จุดนั้น ทฤษฎีบท สวนของเสนตรง 2 เสน ที่ลากจากจุดจุดหนึ่งภายนอกวงกลมมา สัมผัสวงกลมเดียวกันจะยาวเทากัน วิธีทํา ลาก และ เนื่องจาก (เสนสัมผัสจะตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัส) ดังนั้น (ขนาดของมุมภายในทั้งสี่มุม ของรูปสี่เหลี่ยมรวมกันได ) นั้นคือ (มุมในสวนโคงของวงกลมมีขนาดเปนครึ่งหนึ่งของขนาด ของมุมที่จุดศูนยกลางที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน) วิธีทํา ให เปนจุดใดๆ บนสวนโคงใหญ จากนั้นลาก และ จะได (คํานวณไดในทํานอนตามขอ 1) (ผลบวกของขนาดของมุมตรงขามของรูปสี่เหลี่ยม แนบในวงกลมเปน ) ดังนั้น ทฤษฎีบท มุมที่เกิดจากคอรดและเสนสัมผัสวงกลม จะมีขนาดเทากับขนาดของ มุมในสวนโคงของวงกลมที่อยูตรงขามกับคอรดนั้น
บทที่ 2 วงกลม 19 ตัวอยางที่ 6 จากรูป PA และ PB สัมผัสวงกลมที่จุด A และจุด B ตามลําดับ ถา o ACB 68 ˆ = จงหาขนาดของ APˆB วิธีทํา เนื่องจาก AB เปนคอรดของวงกลม โดยมี PA และ PB เปนเสนสัมผัส จะได o BAP 68 ˆ = (มุมที่เกิดจากคอรดและเสนสัมผัสวงกลมที่จุดสัมผัส จะมีขนาด และ o ABP 68 ˆ = ของมุมในสวนโคงของวงกลมที่อยูตรงขามกับคอรดนั้น) ดังนั้น o APB 180 (2 68) 44 ˆ = − × = (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยม รวมกันเปน o 108 ) แบบฝกหัดที่ 5 1.จากวงกลม O ที่กําหนดให จงหาคา x เมื่อ 1) P เปนจุดสัมผัส 2) P และ Q เปนจุดสัมผัส เนื่องจากจุด เปนจุดสัมผัส ทําให และเนื่องจาก ดังนั้น เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว จาก จะได ดังนั้น เนื่องจาก และเนื่องจากจุด และจุด เปนจุดสัมผัส ทําให เนื่องจาก จะได ดังนั้น
บทที่ 2 วงกลม 20 3) P เปนจุดสัมผัส 4) 2. จากวงกลม O ที่กําหนดให 1) จงหา OA เมื่อ P และ Q เปนจุดสัมผัส เนื่องจาก ดังนั้น เนื่องจากจุด และจุด เปนจุดสัมผัส ทําให เนื่องจาก ดังนั้น เนื่องจาก แบบ ด.ด.ด. จะได เนื่องจาก เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ดังนั้น เนื่องจากจุด และจุด เปนจุดสัมผัส ทําให เนื่องจาก และทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได ดังนั้น หนวย
บทที่ 2 วงกลม 21 2) จงหา BC เมื่อ P เปนจุดสัมผัส 3) จงหา AQ เมื่อ P และ Q เปนจุดสัมผัส 4) จงหา AB เมื่อ P,Q, R และ S เปนจุดสัมผัสของวงกลม O ซึ่งมีรัศมียาว 1 หนวย เนื่องจาก เปนจุดสัมผัส ทําให จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได ดังนั้น หนวย เนื่องจาก และ ดังนั้น ลาก เนื่องจาก เปนจุดสัมผัส ทําให เนื่องจาก จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส ดังนั้น หนวย เนื่องจากจุด จุด จุด และจุด เปนจุดสัมผัส ทําให ดังนั้น และ เปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก เนื่องจาก จะได จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส ดังนั้น หนวย
บทที่ 2 วงกลม 22 3. จากรูป AB สัมผัสวงกลม O ที่จุด A และ o BAC 52 ˆ = จงหาขนาดของ AOˆC 4. จากรูป CD สัมผัสวงกลม O ที่จุด B และ o AOB 100 ˆ = จงหาขนาดของ ABˆD เนื่องจาก (เสนสัมผัสวงกลมจะตั้งฉากกับรัศมีที่มีจุดสัมผัส) และ จะได ดังนั้น เนื่องจาก (รัศมีของวงกลมเดียวกัน) จะได เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว (บทนิยามของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว) และ (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาดเทากัน) เนื่องจาก (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเปน ) จะได ดังนั้น เนื่องจาก (รัศมีของวงกลมเดียวกัน) จะได เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว (บทนิยามของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว) และ (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาดเทากัน) เนื่องจาก (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเปน ) จะได ดังนั้น เนื่องจาก (เสนสัมผัสวงกลมจะตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัส) ดังนั้น
บทที่ 2 วงกลม 23 5.จากรูป DE เปนเสนสัมผัสวงกลมที่จุด B o CBE 65 ˆ = และ o ABD 80 ˆ = จงหาขนาดของ BAˆC และขนาดของ ACˆB 6. จากรูป AB เปนเสนผานศูนยกลางของวงกลม O BC สัมผัสวงกลม B และ o BOD 70 ˆ = จงหาขนาดของ ACˆB เนื่องจาก (กําหนดให) ดังนั้น (มุมที่เกิดจากคอรดและเสนสัมผัสวงกลมที่จุดสัมผัสจะมีขนาดเทากับขนาดของมุมใน สวนโคงของวงกลมที่อยูตรงขามกับคอรดนั้น) เนื่องจาก (กําหนดให) ดังนั้น (มุมที่เกิดจากคอรดและเสนสัมผัสวงกลมที่จุดสัมผัสจะมีขนาดเทากับขนาดของมุมใน สวนโคงของวงกลมที่อยูตรงขามกับคอรดนั้น) เนื่องจาก (กําหนด) และ (มุมที่จุดศูนยกลางมีขนาดเปนสองเทาของขนาดของมุมในสวนโคงของวงกลมที่ รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน) จะได เนื่องจาก (เสนสัมผัสวงกลมจะตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัส) และ (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเปน ) จะได ดังนั้น
บทที่ 2 วงกลม 24 7. จากรูป AB และ AC สัมผัสวงกลมที่จุด B และจุด C ตามลําดับ และ o BDC 68 ˆ = จงหาขนาดของ BAˆC 8. จากรูป PA และ PB สัมผัสวงกลม O ที่จุด A และจุด B ตามลําดับ และมุมกลับ o AOB = 220 จงหาขนาดของ APˆB เนื่องจาก (มุมที่เกิดจากคอรดและเสนสัมผัสวงกลมที่จุดสัมผัสมีขนาดเทากับขนาด และ ของมุมในสวนโคงของวงกลมที่อยูตรงขามกับคอรดนั้น) เนื่องจาก (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเปน ) จะได ดังนั้น เนื่องจาก มุมกลับ (มุมรอบจุดมีขนาด ) จะได ดังนั้น เนื่องจาก และ (เสนสัมผัสวงกลมจะตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัส) และ (ขนาดของมุมภายในทั้งสี่มุมของรูปสี่เหลี่ยมรวมกันเปน ) จะได ดังนั้น
บทที่ 2 วงกลม 25 แบบทดสอบทายบทเรื่องวงกลม จงเลือกขอที่ถูกตองที่สุด 1. จากรูปมุม x มีขนาดกี่องศา ก. o 120 ข. o 130 ค. o 135 ง. o 140 2. จากรูปมุม x มีขนาดกี่องศา ก. o 120 ข. o 130 ค. o 140 ง. o 150 3. จากรูปมุม x มีขนาดกี่องศา ก. o 30 ข. o 42 ค. o 53 ง. o 55 4. จากรูปมุม y มีขนาดกี่องศา ก. o 70 ข. o 80 ค. o 90 ง. o 100 5. จากรูป o o ECA ADB 40 ˆ 50 , ˆ = = มุม x กางกี่องศา ก. o 35 ข. o 36 ค. o 40 ง. o 45 6. จากรูปมุม x มีขนาดกี่องศา ก. o 24 ข. o 26 ค. o 36 ง. o 42 7. จากรูปมุม x มีขนาดกี่องศา ก. o 100 ข. o 110 ค. o 140 ง. o 160 8. O เปนจุดศูนยกลางของวงกลม AB,CD เปนเสนผาน ศูนยกลาง o AOD 50 ˆ = จงหาขนาด OAˆC ก. o 25 ข. o 30 ค. o 35 ง. o 40 9.O เปนจุดศูนยกลางของวงกลม o ABO ACO 90 ˆ ˆ = = มุม x กางกี่องศา ก. o 32 ข. o 47 ค. o 61 ง. o 73 10.จากรูปขนาดของ AXˆC มีขนาดกี่องศา ก. o 40 ข. o 50 ค. o 60 ง. o 70