1 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว เฉลย

วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน 5 เอกสารประกอบการเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา ……………… อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คุณครู.......................................................................... .....................เฉลย..................... กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียน.................................................................. สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษา.................................. ครูผู้สอน จัดทำโดย นางสาวสิรินรดา เกตุรักษ์

บทที่ 1 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 1 บทที่ 1 เรื่อง อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 1. แนะนำอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ในชีวิตประจำวัน เราจะพบเห็นป้ายที่เกี่ยวข้องกับ “การไม่เท่ากัน” อยู่บ่อยๆ เช่นคำว่า “ต่ำกว่า” “ไม่เกิน” “ขึ้นไป” “น้อยกว่า” และ “มากกว่า” เป็นคำที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ของการไม่เท่ากัน และใช้บ่งบอกปริมาณทั้งหมด ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข เช่น ป้ายจราจรที่จำกัดความเร็ว 120 กิโลเมตรต่อชั่วโมง หมายความว่า ผู้ขับขี่สามารถขับรถด้วยอัตราเร็วเท่าใดก็ได้ เช่น 80, 100 หรือ 120 กิโลเมตรต่อชั่วโมง แต่ต้องไม่มากกว่า 120 กิโลเมตรต่อชั่วโมง เนื่องจากผิดกฎจราจรและอาจ เกิดอุบัติเหตุร้ายแรงจนนำไปสู่การสูญเสียต่อชีวิตและทรัพย์สิน ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของการอ่านและความหมายของสัญลักษณ์ที่ใช้แสดงความสัมพันธ์ของจำนวน สัญลักษณ์ คำอ่าน ความหมาย x 2 x น้อยกว่า 2 x มีค่าน้อยกว่า 2 x มีค่าไม่ถึง 2 x 2 x มากกว่า 2 x มีค่ามากกว่า 2 x มีค่าเกิน 2 x 2 x ไม่เท่ากับ 2 จำนวนทุกจำนวนยกเว้น 2 x 2 x น้อยกว่าหรือเท่ากับ 2 x 2 หรือ x = 2 x มีค่าไม่เกิน 2 x มีค่าไม่มากกว่า 2 x มีค่าอย่างมาก 2 x 2 x มากกว่าหรือเท่ากับ 2 x 2 หรือ x = 2 x มีค่าไม่น้อยกว่า 2 x มีค่าอย่างน้อย 2 x มีค่าตั้งแต่ 2 ขึ้นไป 2 x 4 2 น้อยกว่า x และ x น้อยกว่า 4 x 2 และ x 4 x มากกว่า 2 และ x น้อยกว่า 4 x อยู่ระหว่าง 2 และ 4 x มากกว่า 2 แต่น้อยกว่า 4 2 x 4 2 น้อยกว่าหรือเท่ากับ x และ x น้อยกว่าหรือเท่ากับ 4 x 2 และ x 4 x มากกว่าหรือเท่ากับ 2 และ x น้อยกว่าหรือเท่ากับ 4 x มีค่าตั้งแต่ 2 ถึง 4 x มากกว่าหรือเท่ากับ 2 แต่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 4 x มีค่าตั้งแต่ 2 แต่ไม่เกิน 4 อสมการ (inequality) เป็นประโยคที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของจำนวนโดยใช้ สัญลักษณ์ ,,, หรือ แสดงความสัมพันธ์

บทที่ 1 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 2 ในอสมการอาจมีตัวแปรหรือไม่มีตัวแปรก็ได้ ถ้าอสมการมีตัวแปร ตัวแปรนั้นจะแทนจำนวน ในกรณีที่ไม่ระบุ เงื่อนไขของตัวแปร ให้ถือว่าตัวแปรนั้นแทนจำนวนจริงใดๆ อสมการที่มีตัวแปรเดียวจะเรียกว่า อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว (linear inequality with one variable) ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนข้อความเหล่านั้นเป็นประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เมื่อ x แทนจำนวนจำนวนหนึ่ง ข้อความ อสมการ 1) ผลบวกของจำนวนหนึ่งกับแปดน้อยกว่าสิบสอง x + 8 12 2) จำนวนจำนวนหนึ่งมากกว่าสิบห้า x 15 3) ห้าเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งน้อยกว่าเก้า 5 19 x 4) ผลบวกของจำนวนจำนวนหนึ่งกับสามไม่น้อยกว่าสิบ x + 3 10 5) เศษสี่ส่วนห้าของผลบวกของจำนวนจำนวนหนึ่งกับแปดไม่เท่ากับสอง ( ) 4 8 2 5 x + 6) สองเท่าของผลต่างของจำนวนจำนวนหนึ่งกับสี่ไม่เกิดหก 2 4 6 ( x − ) แบบฝึกหัดที่ 1 1. จงเขียนประโยคที่ใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์แทนแต่ละข้อความต่อไปนี้ (ให้ x แทนจำนวนจำนวนหนึ่ง) ข้อความ อสมการ 1) สามเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งไม่เกิน 18 3 18 x 2) ผลบวกของจำนวนจำนวนหนึ่งกับ 7 ไม่ถึง 25 x + 7 25 3) ผลบวกของสามเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งกับ 6 ไม่น้อยกว่า 20 3 6 20 x + 4) เศษเจ็ดส่วนสิบห้าของจำนวนจำนวนหนึ่งไม่เท่ากับ 105 7 105 15 x 5) เศษสามส่วนสี่ของผลต่างของจำนวนจำนวนหนึ่งกับ 2 มากกว่า 20 ( ) 3 2 40 4 x − หรือ ( ) 3 2 40 4 − x 6) ห้าเท่าของผลบวกของจำนวนจำนวนหนึ่งกับ 6 น้อยกว่า 30 5 6 30 ( x + ) 7) ผลบวกของสามในสี่ของจำนวนจำนวนหนึ่งกับ 8 ไม่เกิน 15 3 8 15 4 x + 8) สองเท่าของผลต่างของจำนวนจำนวนหนึ่งกับ 4 น้อยกว่าห้าเท่าของ ผลบวกของจำนวนจำนวนนั้นกับ 8 2 4 5 8 ( x x − + ) ( ) หรือ 2 4 5 8 ( − + x x ) ( ) 2. คำตอบของอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว เนื่องจากอสมการอาจมีตัวแปรหรือไม่มีตัวแปรก็ได้ สำหรับอสมการที่ไม่มีตัวแปร เราสามารถบอกได้ว่า อสมการ นั้นเป็นอสมการที่เป็นจริงหรือไม่เป็นจริง เช่น 2 5 เป็นอสมการที่เป็นจริง 7 10 เป็นอสมการที่ไม่เป็นจริง

บทที่ 1 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 3 ส่วนอสมการที่มีตัวแปรนั้น เรายังไม่สามารถบอกได้เสมอไปว่า เป็นจริงหรือไม่เป็นจริง เช่น อสมการ x − 2 5 เรายังบอกไม่ได้ว่า อสมการนี้เป็นอสมการที่เป็นจริงหรือไม่จริง เพราะขึ้นอยู่กับค่าของ x ตัวอย่างที่ 2 จงหาคำตอบของอสมการ x −3 วิธีทำ เนื่องจาก เมื่อแทน x ด้วยจำนวนจริงทุกจำนวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ − 3 ในอสมการ x 3 แล้วจะทำให้ได้อสมการที่เป็นจริง ดังนั้น คำตอบของอสมการ x −3 คือ จำนวนจริงทุกจำนวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ − 3 ตัวอย่างที่ 3 จงหาคำตอบของอสมการ a 25 วิธีทำ เนื่องจาก เมื่อแทน a ด้วยจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่เท่ากับ 25 ในอสมการ a 25 แล้วจะทำให้ได้อสมการที่เป็นจริง ดังนั้น คำตอบของอสมการ a 25 คือ จำนวนจริงทุกจำนวนยกเว้น 25 ตัวอย่างที่ 4 จงหาคำตอบของอสมการ m +1 m + 2 วิธีทำ เนื่องจาก เมื่อแทน m ด้วยจำนวนจริงใดๆ ในอสมการ m +1 m + 2 แล้วจะทำให้ได้อสมการที่เป็นจริงเสมอ ดังนั้น คำตอบของอสมการ m +1 m + 2 คือ จำนวนจริงทุกจำนวน ตัวอย่างที่ 5 จงเขียนกราฟแสดงคำตอบของอสมการต่อไปนี้ 1) x 20 2) 2 1 y ตัวอย่างที่ 6 จงหาว่ากราฟแสดงคำตอบในแต่ละข้อต่อไปนี้แสดงจำนวนใดบ้าง 1) ตอบ จำนวนจริงทุกจำนวนที่น้อยกว่า 40 2) ตอบ จำนวนจริงทุกจำนวนที่มีมากกว่าหรือเท่ากับ −5 3) ตอบ จำนวนจริงทุกจำนวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ −60 แต่น้อยกกว่า 20 คำตอบของอสมการ (solution of an inequality) คือ จำนวนที่แทนตัวแปร ในอสมการ แล้วทำให้ได้อสมการที่เป็นจริง

บทที่ 1 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 4 แบบฝึกหัดที่ 2 1. จงเขียนกราฟแสดงคำตอบของอสมการในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) x 18 2) a −3 3) n 12 4) x 20 5) − 9 x 9 6) 18 x 24 2.จงหาว่ากราฟแสดงคำตอบในแต่ละข้อต่อไปนี้แสดงจำนวนใดบ้าง 1) ตอบ จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกว่า -2 2) ตอบ จํานวนจริงทุกจํานวนที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 8 3) ตอบ จํานวนจริงทุกจํานวนที่น้อยกว่า 15 4) ตอบ จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ 3 5) ตอบ จํานวนจริงทุกจํานวนยกเว้น -6 6) ตอบ จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกว่า 10 แต่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 30

บทที่ 1 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 5 7) ตอบ จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ -150 แต่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 50 8) ตอบ จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ -1 แต่น้อยกว่า 5 3.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว การแก้อสมการคือ การหาคำตอบทั้งหมดของอสมการ เพื่อความรวดเร็วในการแก้อสมการ เราจะใช้สมบัติของ การไม่เท่ากัน (properties of inequality) ในการหาคำตอบ เช่น สมบัติการบวกของการไม่เท่ากัน และสมบัติการคูณ ของการไม่เท่ากัน ตัวอย่างที่ 7 จงแก้สมการ x −14 2 และเขียนกราฟแสดงคำตอบ วิธีทำ จาก x −14 2 จะได้ x − + + 14 14 2 14 ดังนั้น x 16 นั่นคือ คำตอบของอสมการ x −14 2 คือ จำนวนจริงทุกจำนวนที่มากกว่า 16 และเขียนกราฟแสดงคำตอบได้ดังนี้ ตัวอย่างที่ 8 จงแก้สมการ 7 + x 20 และเขียนกราฟแสดงคำตอบ วิธีทำ จาก 7 + x 20 จะได้ x − 20 7 ดังนั้น x 13 นั่นคือ คำตอบของอสมการ 7 + x 20 คือ จำนวนจริงทุกจำนวนที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 13 และเขียนกราฟแสดงคำตอบได้ดังนี้ สมบัติการบวกของการไม่เท่ากัน ให้ a, b และ c แทนจำนวนจริงใดๆ 1) ถ้า a b แล้ว a + c b + c 2) ถ้า a b แล้ว a + c b + c สมบัติการบวกของการไม่เท่ากัน ให้ a, b และ c แทนจำนวนจริงใดๆ 1) ถ้า a b แล้ว a + c b + c 2) ถ้า a b แล้ว a + c b + c

บทที่ 1 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 6 ตัวอย่างที่ 9 จงแก้อสมการ 3x − 6 −18 และเขียนกราฟแสดงคำตอบ วิธีทำ จาก 3x − 6 −18 จะได้ 3 6 6 18 6 x − + − + ดังนั้น 3 12 x − จะได้ ( ) ( ) 1 1 3 12 3 3 − x ดังนั้น x −4 นั่นคือ คำตอบของอสมการ 3x − 6 −18 คือ จำนวนจริงทุกจำนวนที่−4 และเขียนกราฟแสดงคำตอบได้ดังนี้ ตัวอย่างที่ 10 จงแก้อสมการ 7 − 3x 3x + 37 และเขียนกราฟแสดงคำตอบ วิธีทำ จาก 7 − 3x 3x + 37 จะได้ − + 3 3 30 x x − 6 30 x x −5 นั่นคือ คำตอบของอสมการ 7 − 3x 3x + 37 คือ จำนวนจริงทุกจำนวนที่น้อยกว่า −5 และเขียนกราฟแสดงคำตอบได้ดังนี้ สมบัติการคูณของการไม่เท่ากัน ให้ a, b และ c แทนจำนวนจริงใดๆ 1. ถ้า a b และ c เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว ac bc 2. ถ้า a b และ c เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว ac bc 3. ถ้า a b และ c เป็นจำนวนจริงลบ แล้ว ac bc 4. ถ้า a b และ c เป็นจำนวนจริงลบ แล้ว ac bc สมบัติการคูณของการไม่เท่ากัน ให้ a, b และ c แทนจำนวนจริงใดๆ 1. ถ้า a b และ c เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว ac bc 2. ถ้า a b และ c เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว ac bc 3. ถ้า a b และ c เป็นจำนวนจริงลบ แล้ว ac bc 4. ถ้า a b และ c เป็นจำนวนจริงลบ แล้ว ac bc

บทที่ 1 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 7 ตัวอย่างที่ 11 จงแก้อสมการ 5(x + 4) 6(2x − 6) และเขียนกราฟแสดงคำตอบ วิธีทำ จาก 5(x + 4) 6(2x − 6) จะได้ 5 20 12 36 x x + − 5 12 56 x x − − − 7 56 x x 8 นั่นคือ คำตอบของอสมการ 5(x + 4) 6(2x − 6) คือ จำนวนจริงทุกจำนวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ 8 ตัวอย่างที่ 12 จงแก้อสมการ x +15 36 และเขียนกราฟแสดงคำตอบ วิธีทำ พิจารณา x +15 = 36 จะได้ x = 21 ดังนั้น 21 เป็นคำตอบของสมการ x + = 15 36 นั่นคือ คำตอบของอสมการ x +15 36 คือ จำนวนจริงทุกจำนวนยกเว้น 21 และเขียนกราฟแสดงคำตอบได้ดังนี้ แบบฝึกหัดที่ 3 1.จงแก้สมการต่อไปนี้ และเขียนกราฟแสดงคำตอบ 1) x + 5 12 วิธีทำ จาก x + 5 12 จะได้ x 12 − 5 x 7 ดังนั้น คำตอบของอสมการ คือจำนวนจริงทุกจำนวนที่ มากกว่าหรือเท่ากับ 7 2 ) 10 − a 8 วิธีทำ จาก 10 − a 8 จะได้ 2 a ดังนั้น คำตอบของอสมการ คือจำนวนจริงทุกจำนวนที่ น้อยกว่า 2 และเขียนกราฟแสดงคำตอบได้ดังนี้

บทที่ 1 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 8 3) 1 5 2 − c วิธีทำ จาก 1 5 2 c − จะได้ 6 2 c c 12 ดังนั้น คำตอบของอสมการ คือจำนวนจริงทุกจำนวนที่ น้อยกว่าหรือเท่ากับ 12 และเขียนกราฟแสดงคำตอบได้ ดังนี้ 4) 2 3 3 − + − x วิธีทำ จาก 2 3 3 x − + − จะได้ 5 3 x − − x 15 ดังนั้น คำตอบของอสมการ คือจำนวนจริงทุกจำนวนที่ มากกว่า 15 และเขียนกราฟแสดงคำตอบได้ดังนี้ 5) 2 3 4 + x วิธีทำ จาก 2 3 4 x + = จะได้ 1 4 x = x = 4 ดังนั้น คำตอบของอสมการ 2 3 4 + x คือจำนวนจริงทุก จำนวนที่ยกเว้น 4 และเขียนกราฟแสดงคำตอบได้ดังนี้ 6) 3(m −1) 18 วิธีทำ จาก 3(m −1) 18 จะได้ m− 1 6 m 7 ดังนั้น คำตอบของอสมการ คือจำนวนจริงทุกจำนวนที่ น้อยกว่า 7 และเขียนกราฟแสดงคำตอบได้ดังนี้ 7) 7 2 1 x + วิธีทำ จาก 7 2 1 x + จะได้ x +114 x 13 ดังนั้น คำตอบของอสมการ คือจำนวนจริงทุกจำนวนที่ มากกว่าหรือเท่ากับ 13 และเขียนกราฟแสดงคำตอบได้ดังนี้ 8) 14 8 1 x + วิธีทำ จาก 1 14 8 x + = จะได้ x + =1 112 x =111 ดังนั้น คำตอบของอสมการ คือจำนวนจริงทุกจำนวนยกเว้น 111 และเขียนกราฟแสดงคำตอบได้ดังนี้

บทที่ 1 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 9 9) b + 4 2b −1 วิธีทำ จาก b + 4 2b −1 จะได้ 5 b ดังนั้น คำตอบของอสมการ คือจำนวนจริงทุกจำนวนที่ มากกว่า 5 และเขียนกราฟแสดงคำตอบได้ดังนี้ 10) 0.7a 0.3a + 2 วิธีทำ จาก 0.7 0.3 2 a a = + จะได้ 0.4 2 a = a = 5 ดังนั้น คำตอบของอสมการ คือจำนวนจริงทุกจำนวนยกเว้น 5 และเขียนกราฟแสดงคำตอบได้ดังนี้ 11 ) 4x − 3 6x + 6 วิธีทำ จาก 4x − 3 6x + 6 จะได้ − 9 2x 1 4 2 − x ดังนั้น คำตอบของอสมการ คือจำนวนจริงทุกจำนวนที่ มากกว่า 1 4 2 −และเขียนกราฟแสดงคำตอบได้ดังนี้ 12) 2 3 1 5n − 3 n + วิธีทำ จาก 2 3 1 5n − 3 n + จะได้ 15 9 6 n n − + 1 14 1 14 n 1 1 14 n ดังนั้น คำตอบของอสมการ คือจำนวนจริงทุกจำนวนที่ มากกว่า 1 1 14 และเขียนกราฟแสดงคำตอบได้ดังนี้ 2. จงแก้สมการต่อไปนี้ 1) 2x − 7 45 วิธีทำ จาก 2x − 7 45 จะได้ 2x 52 x 26 ดังนั้น คำตอบของอสมการ คือ จำนวนจริงทุกจำนวนที่ มากกว่า 26 2 ) − 2x −10 5x + 4 วิธีทำ จาก − 2x −10 5x + 4 จะได้ − 7 14 x x −2 ดังนั้น คำตอบของอสมการ คือ จำนวนจริงทุกจำนวนที่น้อย กว่า −2 3) 24x − 4.5 15(x + 0.3) วิธีทำ จาก 24x − 4.5 15(x + 0.3) จะได้ 24 4.5 15 4.5 x x − + 9 9 x x 1 ดังนั้น คำตอบของอสมการ คือ จำนวนจริงทุกจำนวนที่ น้อยกว่า 1 4) 2(x −15) −(3x + 5) วิธีทำ จาก 2(x −15) −(3x + 5) จะได้ 2 30 3 5 x x − − − 5 25 x x 5 ดังนั้น คำตอบของอสมการ คือ จำนวนจริงทุกจำนวนที่ น้อยกว่าหรือเท่ากับ 5

บทที่ 1 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 10 5) 5 3 2 − x x + วิธีทำ จาก 2 5 3 − + x x จะได้ 5 5 3 − x x −3 ดังนั้น คำตอบของอสมการ คือ จำนวนจริงทุกจำนวนที่ น้อยกว่าหรือเท่ากับ −3 6) 5 2 3 2 8 3 x + x + วิธีทำ จาก 3 3 2 5 8 2 x x + = + จะได้ 3 16 12 40 x x + = + − = 9 24 x 8 3 x = − ดังนั้น คำตอบของอสมการ 5 2 3 2 8 3 x + x + คือ จำนวน จริงทุกจำนวนยกเว้น 8 3 −หรือ 2 2 3 − 7) 1 8 2 4 x x + − วิธีทำ จาก 1 8 2 4 x x + − จะได้ x x + − 1 32 8 9 31 x 31 9 x ดังนั้น คำตอบของอสมการ คือ จำนวนจริงทุกจำนวนที่ มากกว่าหรือเท่ากับ 31 9 หรือ 4 3 9 8) ( ) ( ) 2 1 2 1 10 3 3 6 x x + − วิธีทำ จาก ( ) ( ) 2 1 2 1 10 3 3 6 x x + − จะได้ 8 4 10 3 x x + − − − 2 7 x 7 2 x ดังนั้น คำตอบของอสมการ คือ จำนวนจริงทุกจำนวนที่ มากกว่าหรือเท่ากับ 7 2 หรือ 1 3 2 4.โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว นักเรียนเคยแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวมาแล้ว ในการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิง เส้นตัวแปรเดียวก็สามารถทำได้ในทำนองเดียวกัน โดยมีขั้นตอนดังนี้ ขั้นที่ 1 วิเคราะห์โจทย์เพื่อหาว่าโจทย์กำหนดอะไรมาให้และให้อะไร ขั้นที่ 2 กำหนดตัวแปรแทนสิ่งที่โจทย์ให้หาหรือแทนสิ่งที่เกี่ยวข้องกับสิ่งที่โจทย์ให้หา ขั้นที่ 3 เขียนอสมการตามเงื่อนไขในโจทย์ ขั้นที่ 4 แก้อสมการเพื่อหาคำตอบที่โจทย์ต้องการ ขั้นที่ 5 ตรวจสอบคำตอบที่ได้กับเงื่อนไขในโจทย์

บทที่ 1 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 11 ตัวอย่างที่ 13 เพนนีมีเงินสะสมอยู่จำนวนหนึ่ง วันหนึ่งพ่อให้เงินเพนนีเป็นพิเศษ 600 บาท วันรุ่งขึ้นเพนนีซื้ออาหารให้ แมวและนกที่เลี้ยงไว้เป็นเงิน 420 บาท เพนนีรู้ว่ายังเหลือเงินอยู่ไม่น้อยกว่าครึ่งหนึ่งของเงินของเพนนีและเงินที่พ่อให้ รวมกัน จงหาว่าเดิมเพนนีมีเงินสะสมอยู่อย่างน้อยกี่บาท วิธีทำ ให้เดิมเพนนีมีเงินสะสมอยู่ x บาท พ่อให้เงินเพนนี 600 บาท เพนนีจึงมีเงินรวมทั้งสิ้น x + 600 บาท หลังจากเพนนีซื้ออาหารให้แมวและนก 420 บาท จะเหลือเงิน ( x + − 600 420 ) บาท เนื่องจาก เพนนีเหลือเงินอยู่ไม่น้อยกว่าครึ่งหนึ่งของ x + 600 จะได้อสมการเป็น ( ) ( ) 1 600 420 600 2 1 180 300 2 1 240 2 240 x x x x x x + − + + + ดังนั้น เดิมเพนนีมีเงินสะสมอยู่อย่างน้อย 240 บาท ตัวอย่างที่ 14 สามเท่าของจำนวนเต็มบวกจำนวนหนึ่งมากกว่า 15 อยู่ไม่เกิน 9 จำนวนเต็มบวกนั้นเป็นจำนวนใดบ้าง วิธีทำ ให้ x แทนจำนวนเต็มบวกนั้น สามเท่าของจำนวนเต็มบวกนั้นคือ 3x เนื่องจาก สามเท่าของจำนวนเต็มบวกนั้นมากกว่า 15 อยู่ไม่เกิน 9 จะได้อสมการเป็น 3 15 9 x − 3 24 8 x x และเนื่องจากโจทย์กำหนดให้ สามเท่าของจำนวนเต็มบวกนั้นมากกว่า 15 จึงได้อีกอสมการหนึ่งเป็น 3 15 x x 5 จาก x 8 และ x 5 อาจเขียนได้เป็น 5 8 x ดังนั้น จำนวนเต็มบวกเหล่านั้นคือ 6, 7 และ 8

บทที่ 1 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 12 แบบฝึกหัดที่ 4 1. มาวินอ่านหนังสือเล่มหนึ่ง วันแรกอ่านได้ 5 2 ของเล่ม วันต่อมาอ่านได้อีก 25 หน้า รวมสองวันอ่านได้มากกว่าครึ่งเล่ม จงหาว่าหนังสือเล่มนี้มีจำนวนหน้าอย่างมากกี่หน้า วิธีทำ ให้หนังสือเล่มนี้มีจำนวนหน้า x หน้า มาวินอ่านหนังสือวันแรกได้ 5 2 ของเล่ม คิดเป็น 2 5 x หน้า วันต่อมาอ่านได้อีก 25 หน้า รวมเป็น 2 25 5 x + หน้า เนื่องจาก รวมสองวัน มาวินอ่านได้มากกว่าครึ่งเล่ม จะได้อสมการเป็น 2 1 25 5 2 x x + x 250 เนื่องจาก x เป็นจำนวนหน้าของหนังสือ ซึ่งเป็นจำนวนนับ จะได้ว่า จำนวนนับที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 250 คือ 249 ดังนั้น หนังสือเล่มนี้มีจำนวนหน้าอย่างมาก 249 หน้า 2. ปัญญามีเหรียญบาทและเหรียญห้าบาทอยู่ในกระป๋องออมสินจำนวนหนึ่ง เมื่อเหรียญเต็มกระป๋อง เขาเทออกมานับ พบว่ามีเหรียญบาทมากกว่าเหรียญห้าบาทอยู่ 12 เหรียญ และนับเป็นเงินได้ไม่น้อยกว่า 300 บาท จงหาว่ามีเหรียญห้า บาทอยู่อย่างน้อยกี่เหรียญ วิธีทำ ในปัญญามีเหรียญห้าบาทจำนวน x เหรียญ คิดเป็นเงิน 5x บาท มีเหรียญบาทมากกว่าเหรียญห้าบาทอยู่ 12 เหรียญ ดังนั้น มีเหรียญบาท x +12 เหรียญ คิดเป็นเงิน x +12 บาท เนื่องจาก นับเป็นจำนวนเงินทั้งหมดไม่น้อยกว่า 300 บาท จะได้อสมการเป็น 5 12 300 x x + + ( ) จะได้ x 48 ดังนั้น ปัญญามีเหรียญห้าบาทอยู่อย่างน้อย 48 เหรียญ ตรวจสอบกับเงื่อนไขในโจทย์ ถ้าหนังสือนี้มีมากกว่า 249 หน้า วันแรกมาวินจะอ่านหนังสือได้ ( ) 2 249 99.6 5 = หน้า วันที่สองอ่านได้อีก 25 หน้า รวมเป็น 25 99.6 124.6 + = หน้า ครั้งหนึ่งของจำนวนหน้าทั้งหมดของหนังสือเล่มนี้คือ 249 124.5 2 = หน้า ตรวจสอบกับเงื่อนไขในโจทย์ ถ้าปัญญามีเหรียญอย่างน้อย 48 เหรียญ จะมีเหรียญบาทอย่างน้อย 48 12 60 + = เหรียญ คิดเป็นเงินอย่างน้อย 5 48 60 240 60 300 ( ) + = + = บาท แสดงว่าปัญญามีเงินทั้งหมดไม่น้อยกว่า 300 บาท ซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์

บทที่ 1 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 13 3. ถ้าสองเท่าของจำนวนเต็มบวกจำนวนหนึ่งมากกว่า 20 อยู่ 6 จำนวนดังกล่าวเป็นจำนวนใดได้บ้าง วิธีทำ ให้ x แทนจํานวนเต็มบวกจํานวนหนึ่ง สองเท่าของจํานวนเต็มบวกจํานวนนี้คือ 2x เนื่องจาก สองเท่าของจํานวนเต็มบวกจํานวนนี้มากกว่า 20 อยู่ไม่ถึง 6 จะได้อสมการเป็น 2 20 6 x − จะได้ x 13 และเนื่องจากโจทย์กําหนดให้ สองเท่าของจํานวนเต็มบวกจํานวนนี้มากกว่า 20 จึงได้อีกอสมการหนึ่งเป็น 2 20 x x 10 จาก x 13 และ x 10 อาจเขียนได้เป็น 10 13 x เนื่องจาก x เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น จํานวนเต็มบวกดังกล่าวเป็น 11 และ 12 4.รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งมีอัตราส่วนของความกว้างต่อความยาวเป็น 3: 5 และมีความยาวรอบรูปไม่น้อยกว่า 48 เซนติเมตร รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปนี้มีพื้นที่อย่างน้อยเท่าไร วิธีทำ รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งมีอัตราส่วนของความกว้างต่อความยาวเป็น 3: 5 ถ้ารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีความกว้างด้านละ 3x เซนติเมตร แล้วรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะมีความยาวด้านละ 5x เซนติเมตร จากความสัมพันธ์ ความยาวรอบรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า = 2 (ความกว้าง + ความยาว) และเนื่องจาก รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีความยาวรอบรูปไม่น้อยกว่า 48 เซนติเมตร จะได้อสมการเป็น 2 3 5 48 ( x x + ) จะได้ x 3 นั่นคือ รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีความกว้างไม่น้อยกว่าด้านละ 3 3 9 ( ) = เซนติเมตร และ รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะมีความยาวไม่น้อยกว่าด้านละ 5 3 15 ( ) = เซนติเมตร ดังนั้น รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีพื้นที่อย่างน้อย 9 15 135 = ตรวจสอบกับเงื่อนไขในโจทย์ ถ้าจํานวนเต็มบวกคือ 11 จะได้ สองเท่าของจํานวนเต็มบวกเป็น 2 11 22 ( ) = และ 22 มากกว่า 20 อยู่ไม่ถึง 6 ซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์ ถ้าจำนวนเต็มบวกคือ 12 จะได้ สองเท่าของจํานวนเต็มบวกเป็น 2 12 24 ( ) = และ มากกว่า อยู่ไม่ถึง ซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไข ในโจทย์ ตรวจสอบกับเงื่อนไขในโจทย์ ถ้ารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีความกว้างไม่น้อยกว่าด้านละ 9 เซนติเมตร และมีความยาวไม่น้อยกว่าด้านละ 15 เซนติเมตร จะได้ อัตราส่วนของความกว้างต่อความยาวเป็น 9: 5 หรือ 3: 5 และมีความยาวรอบรูปไม่น้อยกว่า 2 9 15 48 ( + =) เซนติเมตร ซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์

บทที่ 1 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 14 5. จำนวนจำนวนหนึ่งรวมกับ 1 3 ของผลบวกของจำนวนนั้นกับ 5 แล้วยังน้อยกว่า 7 จงหาว่าจำนวนดังกล่าวเป็นจำนวน ใดได้บ้าง ถ้า 1) จำนวนนั้นเป็นจำนวนนับ 2) จำนวนนั้นเป็นจำนวนเต็ม วิธีทำ ให้ x แทนจํานวนจํานวนหนึ่ง จํานวนจํานวนหนึ่งรวมกับ 1 3 ของผลบวกของจํานวนนั้นกับ 5 คือ ( ) 1 5 3 x x + + เนื่องจาก ผลรวมดังกล่าวน้อยกว่า 7 จะได้อสมการเป็น ( ) 1 5 7 3 x x + + x 4 ดังนั้น 1) ถ้า x เป็นจํานวนนับ จะได้ว่า จํานวนนั้น คือ 1, 2 หรือ 3 2) ถ้า x เป็นจํานวนเต็ม จะได้ว่า จํานวนนั้น คือ จํานวนเต็มที่ไม่เกิน 3 6.อาทิตย์สอบได้คะแนนวิชาวิทยาศาสตร์ครั้งที่ 1 ครั้งที่ 2 และครั้งที่ 3 เป็น 69, 75 และ 72 คะแนนตามลำดับ จากคะแนนเต็ม 100 คะแนน จงหาว่า อาทิตย์จะต้องได้คะแนนสอบครั้งที่ 4 อย่างน้อยเท่าไรจากคะแนนเต็ม 100 คะแนน จึงจะทำให้คะแนนเฉลี่ยของการสอบทั้งสี่ครั้งเป็น 75 คะแนนขึ้นไป วิธีทำ ให้อาทิตย์ได้คะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตร์ครั้งที่ 4 เป็น x คะแนน อาทิตย์สอบได้คะแนนวิชาวิทยาศาสตร์ครั้งที่ 1 ครั้งที่ 2 และครั้งที่ 3 เป็น 69, 75 และ 72 คะแนนตามลำดับ เนื่องจาก เขาต้องได้คะแนนเฉลี่ยของการสอบทั้งสี่ครั้งเป็น 75 คะแนนขึ้นไป จะได้อสมการเป็น 69 75 72 75 4 + + + x จะได้ x 84 ดังนั้น อาทิตย์ต้องได้คะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตร์ครั้งที่ 4 อย่างน้อย 84 คะแนน จึงจะได้ คะแนนเฉลี่ย 75 คะแนนขึ้นไป ตรวจสอบกับเงื่อนไขในโจทย์ ถ้า x เท่ากับ 3 จะได้ ( ) 1 17 3 3 5 5.67 3 3 + + = จะได้ 5.67 น้อยกว่า 7 ซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์ และเนื่องจาก 3 เป็นคําตอบที่เป็นจํานวนเต็มที่มากที่สุด จึงไม่จําเป็นต้องตรวจสอบคําตอบอื่นที่เป็นจำนวนเต็มที่น้อยกว่า 3 ตรวจสอบกับเงื่อนไขในโจทย์ ถ้าอาทิตย์สอบครั้งที่ 4 ได้คะแนนอย่างน้อย 84 คะแนน จะได้ คะแนนเฉลี่ยอย่างน้อย 69 75 72 84 75 4 + + + = คะแนน ซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์

บทที่ 1 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 15 7.แม่ค้าต้องการบรรจุมะม่วงใส่ลังไม้ ซึ่งลังเปล่าแต่ละใบหนัก 2.5 กิโลกรัม มะม่วงแต่ละผลมีขนาดใกล้เคียงกัน หนัก ผลละ 0.3 กิโลกรัม เพื่อเป็นการประหยัดค่าใช้จ่ายในการขนส่งจึงต้อง บรรจุมะม่วงให้ได้มากที่สุด แต่ต้องไม่หนักเกินไป จนเป็นปัญหา ในการเคลื่อนย้าย จากประสบการณ์แม่ค้าพบว่า ถ้าจะให้คุ้ม ค่าขนส่งโดยมะม่วงไม่เสียหาย ต้องบรรจุ มะม่วงให้แต่ละลังมี น้ำหนักของมะม่วงรวมกับน้ำหนักของลังแล้วไม่น้อยกว่า 19 กิโลกรัม แต่ไม่เกิน 25 กิโลกรัม จงหาว่าแม่ค้าควรบรรจุมะม่วง ใส่ลังอย่างน้อยลังละกี่ผล และอย่างมากลังละกี่ผล วิธีทำ ให้แม่ค้าบรรจุมะม่วงใส่ลัง ลังละ x ผล มะม่วงแต่ละผลมีขนาดใกล้เคียงกันและหนักผลละ 0.3 กิโลกรัม จะได้ น้ำหนักของมะม่วงแต่ละลังเป็น 0.3x กิโลกรัม เนื่องจาก ลังไม้เปล่าแต่ละใบหนัก 2.5 กิโลกรัม ดังนั้น น้ำหนักมะม่วงและน้ำหนักลังรวมกันเป็น 0.3 2.5 x + กิโลกรัม เนื่องจาก ถ้าจะให้คุ้มค่าขนส่งโดยมะม่วงไม่เสียหาย ต้องบรรจุมะม่วงให้แต่ละลังมีน้ำหนักของ มะม่วงรวมกับน้ำหนักของลังรวมกันแล้วไม่น้อยกว่า 19 กิโลกรัม แต่ไม่เกิน 25 กิโลกรัม จะได้อสมการเป็น 0.3 2.5 19 x + และ 0.3 2.5 25 x + จะได้ x 55 และ x 75 จาก x 55 และ x 75 อาจเขียนได้เป็น 55 75 x ดังนั้น แม่ค้าควรบรรจุมะม่วงใส่ลังอย่างน้อยลังละ 55 ผล และอย่างมากลังละ 75 ผล ตรวจสอบกับเงื่อนไขในโจทย์ ถ้าแม่ค้าบรรจุมะม่วงอย่างน้อยลังละ 55 ผล จะได้ น้ำหนักมะม่วงและลังรวมกันไม่น้อยกว่า 0.3 55 2.5 19 ( ) + = กิโลกรัม ถ้าแม่ค้าบรรจุมะม่วงอย่างมากลังละ 75 ผล จะได้ น้ำหนักมะม่วงและลังรวมกันไม่เกิน 0.3 75 2.5 25 ( ) + = กิโลกรัม ซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์

บทที่ 1 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 16 แนวข้อสอบหลังเรียนเรื่องอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คำชี้แจง ให้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงข้อเดียว 1.ให้ a และ b แทนจำนวนใดๆโดยที่ a b ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง 1) b a − − 9 9 2) a b − − 1 1 3) 3 3 + + a b 4) − + − 4 4 b a ก. ถูกทั้งสี่ข้อ ข. 1), 2), 3) ค. 2), 3), 4) ง. 1), 3), 4) 2. จากกราฟข้อใดถูกต้อง ก. − 2 4 x ข. − 2 4 x ค. − 2 4 x ง. − 2 4 x 3. x + − 3 1 จากอสมการ ข้อใดเขียนกราฟแสดงคำตอบ ได้ถูกต้อง ก. ข. ค. ง. 4. ข้อใดเป็นคำตอบที่ถูกต้องของอสมการ 3 2 7 + − t ก. t −10 ข. t −5 ค. t 5 ง. t 8 5. ข้อใดเป็นคำตอบที่ถูกต้องของอสมการ 2 3 5 6 + − t t ก. t 8 ข. t 4 ค. t 8 ง. t 4 6. ข้อใดเป็นคำตอบที่ถูกต้องของอสมการ − − − + 1 8 2 5 t y ก. y −3 ข. y −1 ค. y −3 ง. y −1 7. ข้อใดเป็นคำตอบที่ถูกต้องของอสมการ 5 2 2 2 4 ( x x − + − ) ( ) ก. 8 3 x − ข. 4 3 x − ค. x 0 ง. 4 3 x 8. ผลบวกของจำนวนจำนวนหนึ่งกับสามไม่น้อยกว่าสี่เท่าของ จำนวนนั้นลบด้วยห้า เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ตรงกับข้อใด ก. a a + − 3 4 5 ( ) ข. a a + − 3 4 5 ( ) ค. a a + − 3 4 5 ( ) ง. a a + − 3 4 5 ( ) 9. สุภรณ์มีอายุแก่กว่าน้องสาว 5 ปี อีก 7 ปีข้างหน้า ทั้งสอง คนมีอายุรวมกันมากกว่า 40 ปี อยากทราบว่าอายุของสุภรณ์ เป็นอย่างไร ก. สุภรณ์มีอายุ 16 ปี ข. สุภรณ์มีอายุมากกว่า 16 ปี ค. สุภรณ์มีอายุตั้งแต่ 16 ปีขึ้นไป ง. มีคำตอบถูกมากกว่า 1 ข้อ 10. สุพจน์มีเหรียญอยู่ในกระเป๋าจำนวนหนึ่งเป็นเหรียญ ห้าบาท น้อยกว่าเหรียญบาทอยู่ 15 เหรียญ คิดเป็นจำนวนเงินมีเงิน ทั้งหมด มากกว่า 75 บาท อยากทราบว่ามีเหรียญห้าบาทใน ข้อใดถูกต้อง ก. มากกว่า 10 เหรียญ ข. มากกว่า 11 เหรียญ ค. น้อยกว่า 9 เหรียญ ง. น้อยกว่า 10 เหรียญ l l l l l l l l l l l -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 l l l l l l l l l l l -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 l l l l l l l l l l l -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 l l l l l l l l l l l -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 l l l l l l l l l l l -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5