….…………………..เฉลย……………………… กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียน…………………………………………………………...… สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษา………………………….……… เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน 5 ชื่อ....................................................................ชื่อเล่น........................ชั้น......................เลขที่................ ครูผู้สอน จัดทำโดย นางสาวสิรินรดา เกตุรักษ์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา ……………… ความคล้าย
บทที่ 4 ความคล้าย 1 บทที่ 4 เรื่อง ความคล้าย 1. รูปเรขาคณิตที่คล้ายกัน คือ รูปเรขาคณิตสองรูปที่มีรูปร่างเหมือนกันแต่อาจมีขนาดเล็กกว่าหรือใหญ่กว่ากันก็ได้ รูปเรขาคณิตสองรูปเป็นรูปที่คล้ายกัน เมื่อรูปเรขาคณิตทั้งสองนั้นมีรูปร่างเหมือนกัน รูปเรขาคณิตที่คล้ายกันอาจมีขนาด เท่ากันหรือแตกต่างกันก็ได้ เมื่อรูปเรขาคณิต A และ B เป็นรูปที่คล้ายกัน จะเขียนว่า รูปเรขาคณิต A ∼ รูปเรขาคณิต B อ่านว่ารูปเรขาคณิต รูปเรขาคณิต A คล้ายกับรูปเรขาคณิต B ภาพที่มีขนาดเท่ากับรูปต้นแบบ ภาพย่อ ภาพขยาย รูปต้นแบบ สมบัติของความคล้าย (กำหนดให้ A และ B เป็นรูปเรขาคณิต) 1. สมบัติสะท้อน : A ∼ A 2. สมบัติการสมมาตร : A ∼ B แล้ว B ∼ A 3. สมบัติถ่ายทอด : ถ้า A ∼ B แล้ว B ∼ C แล้ว A ∼ C
บทที่ 4 ความคล้าย 2 1.1 รูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน คือ รูปเหลี่ยมสองรูปใดๆที่มีจำนวนมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ เช่น เมื่อกล่าวถึงรูปหลายเหลี่ยมสองรูปที่คล้ายกัน เราจะเขียนจุดยอดที่สมนัยกันให้อยู่ในลำดับเดียวกัน เช่น รูปห้าเหลี่ยมรูป 1 คล้ายกับรูปห้าเหลี่ยม รูป 2 ดังรูป เราจะเขียนว่า รูป ABCDE ∼ รูป PQRST ซึ่งหมายความว่า 1.มุมคู่ที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆทุกคู่ตามลำดับ คือ A ˆ = P ˆ , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ B Q C R D S = = = , , และ E T ˆ ˆ = 2. อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน คือ AB BC CD DE EA OQ QR RS ST TP = = = = การเขียนว่า รูป ABCDE ∼รูป PQRST เป็นการแสดงการจับคู่ระหว่างมุมและด้านที่สมนัยกัน ดังนี้ A ˆ สมนัยกับ P ˆ และ AB สมนัยกับ PQ B ˆ สมนัยกับ Q ˆ BC สมนัยกับ QR C ˆ สมนัยกับ R ˆ CD สมนัยกับ RS D ˆ สมนัยกับ ˆ S DE สมนัยกับ ST E ˆ สมนัยกับ T ˆ EA สมนัยกับ TP บทนิยาม รูปหลายเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อ รูปหลายเหลี่ยมสองรูปนั้นมี 1. ขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆทุกๆคู่ 2. อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน รูปที่ 1 รูปที่ 2
บทที่ 4 ความคล้าย 3 ตัวอย่างที่ 1 จากรูป จงแสดงว่ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน DUCK และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน FISH เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่ คล้ายกัน วิธีทำ เนื่องจาก DUCK เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จะได้ ˆ ˆ 60o D C= = (มุมที่อยู่ตรงข้ามกันของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน มีขนาดเท่ากัน) ˆ 180 60 120o U = − = (ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดที่ตัดเส้นขนาน รวมกันเท่ากับ 180o ) ดังนั้น ˆ ˆ 120o K U= = (มุมที่อยู่ตรงข้ามกันของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน มีขนาดเท่ากัน) DU CK = = 6 (ด้านที่อยู่ตรงข้ามกันของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานยาวเท่ากัน) และ UC KD = = 4 (ด้านที่อยู่ตรงข้ามกันของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานยาวเท่ากัน) ในทำนองเดียวกัน จากรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน FISH จะได้ ˆ ˆ 120o I H= = ˆ ˆ 60o F S = = และ IS HF = = 6 SH FI = = 9 ดังนั้น สามารถจับคู่จุดยอดที่ทำให้ได้ 1. มุมคู่ที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆ ทุกคู่ คือ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ D F U I C S = = = , , และ K H ˆ ˆ = 2. อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน คือ 9 2 6 3 4 2 6 3 DU CK FI SH UC KD IS HF = = = = = = หรือ DU UC CK KD FI IS SH HF = = = นั่นคือ DUCK ∼ FISH
บทที่ 4 ความคล้าย 4 ตัวอย่างที่ 2 จากรูป กำหนดให้รูป BROWN คล้ายกับรูป FLASH จงหาขนาดของ R W N F A ˆ , ˆ , ˆ , ˆ , ˆ และ H ˆ วิธีทำ เนื่องจาก รูป BROWN ∼รูป FLASH ดังนั้น o B F 140 ˆ = ˆ = ˆ ˆ 110 ˆ ˆ 50 ˆ ˆ 150 o o o R L O A W S = = = = = = เนื่องจากผลรวมของขนาดของมุมภายในทั้งห้ามุมของรูปห้าเหลี่ยมเท่ากับ 540o ผลรวมของมุมภายในทั้งสี่มุมที่เราทราบแล้วเท่ากับ 140 110 50 150 450o + + + = จะได้ ขนาดของมุมที่เหลือคือ ˆ ˆ 540 450 90o N H= = − = ดังนั้น ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 110 , 150 , 90 , 140 , 50 o o o o o R W N F A = = = = = และ ˆ 90o H = ตัวอย่างที่ 3 จากรูป กำหนดให้รูปสามเหลี่ยม ABCD คล้ายกับรูปสามเหลี่ยม KLMN จงหา วิธีทำ เนื่องจาก ABCD ~ KLMN จะได้ 1) อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันของ ABCD และ KLMN เท่ากัน คือ 10 20 5 24 40 32 8 x y z = = = = 2) จากข้อ 1) ทำให้ได้ว่า 5 24 8 x = จะได้ 8 5 24 x = ดังนั้น x =15 5 40 8 y = จะได้ 8 5 40 y = ดังนั้น y = 25 10 5 z 8 = จะได้ 10 8 5 = z ดังนั้น z =16 3) ความยาวรอบรูปของ ABCD เท่ากับ 15 20 25 10 70 + + + = หน่วย ความยาวรอบรูปของ KLMN เท่ากับ 24 32 40 16 112 + + + = หน่วย 4) อัตราส่วนของความยาวรอบรูปของ ABCD ต่อความยาวรอยรูปของ KLMN เป็น 70 5 112 8 = 1) อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกัน 2) ค่า x, y และ z 3) ความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมทั้งสองรูป 4) อัตราส่วนของความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมทั้งสองรูป
บทที่ 4 ความคล้าย 5 แบบฝึกหัดที่ 1 1. รูปสี่เหลี่ยมในแต่ละข้อต่อไปนี้เป็นรูปที่คล้ายกันหรือไม่ เพราะเหตุใด 1) 2) ลองคิด นำกระเบื้อง และ มาวางเรียงกัน ดังรูป 1. จงหาว่า มีรูปสี่เหลี่ยมที่คล้ายกับ 12 รูป 2. จงหาว่า มีรูปสี่เหลี่ยมที่คล้ายกับ 11 รูป ABCD คล้ายกับ WXYZ เพราะ มีมุมที่มีขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆ ทุกคู่คือ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A W B X C Y === , , และ D Z ˆ ˆ = และอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน คือ 6 3 4 2 AB BC CD DA WX XY YZ ZW = = = = = LONG ไม่คล้ายกับ BACK เพราะ แม้ว่าจะมีมุมที่มีขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆ ทุกคู่ แต่มีอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันบางคู่ไม่เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน เช่น 7 8 LO BA = แต่ 5 6 LG BK =
บทที่ 4 ความคล้าย 6 2. รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสองรูปใดๆ เป็นรูปที่คล้ายกันหรือไม่ เพราะเหตุใด ตอบ คล้ายกันเพราะมีมุมที่มีขนาดเท่ากันเป็นคู่ ๆ ทุกคู่ และอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่เป็น อัตราส่วนที่เท่ากัน 3. รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วสองรูปใด ๆ เป็นรูปที่คล้ายกันหรือไม่ เพราะเหตุใด ตอบ อาจไม่เป็นรูปที่คล้ายกัน เพราะรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วสองรูปใด ๆ อาจมีมุมที่มีขนาดไม่เท่ากันเป็นคู่ ๆ ทุกคู่ๆ 4. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปใด ๆ เป็นรูปที่คล้ายกันหรือไม่ เพราะเหตุใด ตอบ คล้ายกัน เพราะมีมุมที่มีขนาดเท่ากันเป็นคู่ ๆ ทุกคู่ และอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่เป็น อัตราส่วนที่เท่ากัน 5. รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสองรูปใด ๆ เป็นรูปที่คล้ายกันหรือไม่ เพราะเหตุใด ตอบ อาจไม่เป็นรูปที่คล้ายกัน เพราะรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสองรูปใด ๆ อาจมีมุมที่มีขนาดไม่เท่ากันเป็นคู่ ๆ ทุกคู่ 6. รูปหกเหลี่ยมด้านเท่าสองรูปใด ๆ เป็นรูปที่คล้ายกันหรือไม่ เพราะเหตุใด ตอบ อาจไม่เป็นรูปที่คล้ายกัน เพราะรูปหกเหลี่ยมด้านเท่าสองรูปใด ๆ อาจมีมุมที่มีขนาดไม่เท่ากันเป็นคู่ ๆ ทุกคู่ 7. รูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าสองรูปใด ๆ เป็นรูปที่คล้ายกันหรือไม่ เพราะเหตุใด ตอบ คล้ายกันเพราะมีมุมที่มีขนาดเท่ากันเป็นคู่ ๆ ทุกคู่ และอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่เป็น อัตราส่วนที่เท่ากัน 8. รูปสี่เหลี่ยมสองรูปที่มีความยาวของเส้นรอบรูปเท่ากัน เป็นรูปที่คล้ายกันหรือไม่ เพราะเหตุใด ตอบ อาจไม่เป็นรูปที่คล้ายกัน เพราะรูปสี่เหลี่ยมสองรูปที่มีความยาวของเส้นรอบรูปเท่ากันอาจมีมุมที่มีขนาดไม่เท่ากัน เป็นคู่ ๆ ทุกคู่ 9. รูปสามเหลี่ยมสองรูปใด ๆ ที่มีพื้นที่เท่ากัน เป็นรูปที่คล้ายกันหรือไม่ เพราะเหตุใด ตอบ อาจไม่เป็นรูปที่คล้ายกัน เพราะรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีพื้นที่เท่ากันอาจมีมุมที่มีขนาดไม่เท่ากันเป็นคู่ ๆ ทุกคู่ 10. จากรูป กำหนดให้ RICH ~ BANK จงหาขนาดของมุมทุกมุมที่ไม่ได้ระบุไว้ในรูป ˆ ˆ ˆ 65 , 120 , 95 ˆ ˆ 80 , 95 o o o o o I C H B K = = = = =
บทที่ 4 ความคล้าย 7 11. จากรูป กำหนดให้ COLD ~ WARM จงหา 1) ขนาดของ C ˆ กับ A ˆ แนวคิด ˆ ˆ 90o C W= = และ ˆ ˆ 70o A O= = 2) ความยาวของด้าน LD และความยาวของด้าน MW แนวคิด เนื่องจาก COLD ~ WARM จะได้อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันเท่ากัน คือ CO OL LD DC WA AR RM MW = = = จาก LD CO RM WA = จาก DC CO MW WA = 12 6 8 LD = 15 12 MW 8 = LD = 9 หน่วย MW =10 หน่วย ดังนั้น ความยาวของด้าน LD และความยาวของด้าน MW เท่ากับ 9 หน่วย และ 10 หน่วย 3) อัตราส่วนของความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมทั้งสองรูป แนวคิด เนื่องจาก อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันของ COLD และ WARM เท่ากัน คือเท่ากับ 12 3 8 2 CO WA = = ดังนั้น 3 2 OL = เนื่องจาก ความยาวรอบรูปของ COLD เท่ากับ 12 15 9 36 + + + = + OL OL หน่วย และความยาวรอบรูปของ WARM เท่ากับ 8 10 6 24 + + + = + AR AR หน่วย จะได้ อัตราส่วนของความยาวรอบรูปของ COLD ต่อความยาวรอบรูป WARM เป็น 3 36 36 2 24 24 AR OL AR AR + + = + + ( ) 3 24 2 24 3 2 AR AR + = + = นั่นคือ ความยาวรอบรูปของ COLD ความยาวรอบรูปของ WARM = 3 2
บทที่ 4 ความคล้าย 8 2.รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน จากบทนิยามของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ABC~DEF 1. ˆ ˆ ˆ ˆ A D B E = = , และ C F ˆ = ˆ 2. AB BC CA DE EF FD = = ตัวอย่างที่ 4 จากรูป จงหาค่า x และ y วิธีทำ พิจารณา ABC และ PQR ˆ ˆ ˆ 180o A B C + + = และ ˆ ˆ ˆ 180o P Q R + + = (ขนาดของมุมภายในรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180o ) A P ˆ = ˆ (กำหนดให้) B Q ˆ ˆ = (กำหนดให้) จะได้ C R ˆ = ˆ (สมบัติของการเท่ากัน) ดังนั้น ABC~PQR (มีมุมที่มีขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆสามคู่) จะได้ AC BC PR QR = หรือ 9 10 6 x = 6 90 15 x x = = จะได้ AB BC PQ QR = หรือ 12 9 y 6 = 72 9 8 y y = = นั่นคือ x =15 และ y = 8 บทนิยาม รูปสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อ รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้น มีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ สามคู่
บทที่ 4 ความคล้าย 9 ตัวอย่างที่ 5 จากรูป จงหาค่า x และ y วิธีทำ พิจารณา SIT และ SEA ˆ ˆ SIT SEA = (กำหนดให้) ˆ ˆ IST ESA = (กำหนดให้) ˆ ˆ STI SAE = (ขนาดของมุมภายในรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180o มุมสองคู่เท่ากันมุมที่เหลือเท่ากัน) ดังนั้น SIT ~SEA (มีมุมที่มีขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆ สามคู่) จะได้ IT SI EA SE = หรือ 10 27 15 x = 15 270 18 x x = = และจะได้ SA SE ST SI = หรือ 14 15 14 10 + y = 140 10 270 10 70 7 y y y + = = = นั่นคือ x =18 และ y = 7 แบบฝึกหัดที่1 1. รูปสามเหลี่ยมแต่ละคู่ต่อไปนี้คล้ายกันหรือไม่ เพราะเหตุใด 1) 2) คล้ายกัน ไม่คล้ายกัน
บทที่ 4 ความคล้าย 10 3) 4) คล้ายกัน คล้ายกัน 5) 6) ไม่คล้ายกัน คล้ายกัน 2. จากรูป จงหาค่า x และ y 1) เนื่องจาก MBO กับ FRO มี ˆ ˆ ˆ ˆ BMO RFO MBO FRO = = , และ MOB FOR ˆ ˆ = จะได้ MBO~ FRO ดังนั้น BO BM MO RO RF FO = = จะได้ 15 4 5 6 x y = = จะได้ 15 4 6 x = นั่นคือ 15 4 10 6 x = = จะได้ 15 5 6 y = นั่นคือ 15 5 12.5 6 y = = 2) เนื่องจาก QPS กับ PRS มี ˆ ˆ ˆ ˆ PQS RPS PSQ RSP = = , และ QPS PRS ˆ ˆ = จะได้ QPS ~ PRS ดังนั้น PQ SQ PS RP SP RS = = จะได้ 16 4 8 2 8 4 y x + = = = จะได้ 16 2 x = นั่นคือ 16 8 2 x = = จะได้ 4 2 8 y + = นั่นคือ y = − = (8 2 4 12 )
บทที่ 4 ความคล้าย 11 3) เนื่องจาก PQR กับ TQS มี ˆ ˆ ˆ ˆ PQR TQS PRQ TSQ = = , และ QPR QTS ˆ ˆ = จะได้ PQR~ TQS ดังนั้น PR QR PQ TS QS TQ = = จะได้ 9 21 7 6 12 9 3 x y + = = = จะได้ 7 6 3 x = นั่นคือ 7 6 14 3 x = = จะได้ 9 7 12 3 y + = นั่นคือ 12 7 9 19 3 y = − = 4) เนื่องจาก MPQ กับ MNO มี ˆ ˆ ˆ ˆ MPQ MNO PMQ NMO = = , และ MQP MON ˆ ˆ = จะได้ MPQ ~ MNO ดังนั้น MQ PQ MP MO NO MN = = จะได้ 28 7 15 30 40 10 x y x = = = + จะได้ 7 15 10 x x = + นั่นคือ 10 7 15 x x = + ( ) 10 7 105 x x = + 105 35 3 x = = จะได้ 7 30 10 y = นั่นคือ 7 30 21 10 y = = 5) เนื่องจาก SUN กับ TUE มี ˆ ˆ ˆ ˆ SUN TUE NSU ETU = = , และ ˆ ˆ SNU TEU = จะได้ SUN ~ TUE ดังนั้น SN NU SU TE EU TU = = จะได้ 15 32 8 25 20 5 x Y = = = จะได้ 8 25 5 x = นั่นคือ 8 25 40 5 x = = จะได้ 15 8 y 5 = นั่นคือ 15 5 9.375 8 y = =
บทที่ 4 ความคล้าย 12 6) เนื่องจาก ACR กับ BDQ มี ˆ ˆ ˆ ˆ ACR BDQ CAR DBQ = = , และ ARC BQD ˆ ˆ = จะได้ ACR~ BDQ ดังนั้น 42 7 60 10 AR BQ = = จะได้ 24 7 48 10 x x + = + 10 24 7 48 ( ) ( ) 10 240 7 336 3 96 32 x x x x x x + = + + = + = = เนื่องจาก BDQ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี DBQ ˆ เป็นมุมฉาก จะได้ 2 2 2 DQ BQ BD = + ( ) ( ) 2 2 2 2 28 80 60 28 10, 000 28 100 y y y + = + + = + = 3. กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี AD ตั้งฉากกับ BC ที่จุด D 1) จงบอกชื่อรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดที่คล้ายกันพร้อมอธิบายเหตุผล DBA~ ABC เพราะ ˆ ˆ ˆ ˆ BDA BAC DBA ABC = = , และ DAB ACB ˆ ˆ = DAC ~ ABC เพราะ ˆ ˆ ˆ ˆ CDA CAB DCA ACB = = , และ DAC ABC ˆ = ˆ DBA~ DAC เพราะ ˆ ˆ ˆ ˆ BDA ADC DAB DCA = = , และ ABD CAD ˆ ˆ = 2) จงหาค่า x และ y เนื่องจาก DAC ~ ABC ดังนั้น x = 45 ดังนั้น AC AD CD BC BA CA = = จาก 27 60 y x = เมื่อแทน x = 45 จะได้ 27 60 45 y = จะได้ 27 75 60 x y x = = y = 36 จาก 27 75 x x = นั่นคือ x = 45 และ y = 36 จะได้ 2 x = 75 27 แต่ y +8 เป็นความยาว จึงมีค่าเป็นจำนวน ลบไม่ได้ จะได้ y + = 8 100 y = 72 นั้นคือ x = 32 และ y = 72
บทที่ 4 ความคล้าย 13 4. กำหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู AC และ BD ตัดกันที่จุด E มีรูปสามเหลี่ยมคู่ใดบ้างที่คล้ายกัน เพราะเหตุใด ABE ~CDE เพราะ EAB ECD ˆ ˆ = และ ABE CDE ˆ ˆ = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน และมีเส้นตัด แล้วมุมแย้ง มีขนาดเท่ากัน) และ AEB CED ˆ ˆ = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมี ขนาดเท่ากัน) 5. กำหนดให้ ABC~DEF จงแสดงว่า , AB DE BC EF BC EF CA FD = = และ CA FD AB DE = วิธีทำ เนื่องจากกำหนดวให้ ABC~DEF จะได้ AB BC CA DE EF FD = = จาก CA AB FD DE = จาก AB BC DE EF = จะได้ CA DE FD AB = จะได้ AB EF DE BC = ดังนั้น CA FD AB DE = ดังนั้น AB DE BC EF = นั่นคือ , AB DE BC EF BC EF CA FD = = และ CA FD AB DE = จาก BC CA CA FD = จะได้ BC FD EF CA = ดังนั้น BC EF CA FD =
บทที่ 4 ความคล้าย 14 6.จากรูป กำหนดให้ CAT ~DEF ถ้า CA AT : 2: 5 = และ OX ยาว 12 เซนติเมตร จงหาความยาวของ FO วิธีทำ เนื่องจากกำหนดให้ CAT ~DEF จะได้ CA FO AT OX = แต่ CA AT : 2: 5 = และ OX =12 จะได้ 2 5 12 FO = ดังนั้น FO = 4.8 นั่นคือ FO ยาว 4.8 เซนติเมตร 7.รูปสามเหลี่ยมใดๆ จงพิสูจน์ว่าส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดกึ่งกลางของด้านด้านหนึ่งให้ขนานกับด้านอีกด้านหนึ่ง และ ไปพบกับด้านที่สามจะยาวเป็นครึ่งหนึ่งของด้านที่สอง วิธีทำ กำหนดให้ ABC มีจุด M เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน AC และลาก MN AB / / ตัด BC ที่จุด N ต้องการพิสูจน์ว่า 1 2 MN AB = พิสูจน์ พิจารณา MNC และ ABC เนื่องจาก MN AB / / (กำหนดให้) จะได้ CMN CAB ˆ ˆ = (ถ้าเส้นตรงของเส้นขนานกันและมีเส้นตัด และมุมภายนอกและมุมภายในที่ CNM CBA ˆ ˆ = อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน) และ MCN ACB ˆ ˆ = ( C ˆ เป็นมุมร่วม) ดังนั้น MNC ~ ABC (มีมุมที่มีขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆ สามคู่) จะได้ MN CM AB CA = (ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน และอัตราส่วนของความยาวของ ด้านคู่สมนัยกันเท่ากัน) 2 MN CM AB CM = ( CA CM = 2 เพราะ M เป็นจุดกึ่งกลางของ CA ) 1 2 MN AB = ดังนั้น 1 2 MN AB = นั่นคือ ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดกึ่งกลางของด้านด้านหนึ่งให้ขนานกับด้านอีกด้านหนึ่งและไปพบกับด้านที่สาม จะยาวเป็นครึ่งหนึ่งของด้านที่สอง
บทที่ 4 ความคล้าย 15 ตัวอย่างที่ 6 จากรูป รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่กำหนดให้ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันหรือไม่ จงอธิบาย วิธีทำ เนื่องจาก 7 4 14 8 = = RQ AC 12 4 21 7 16 4 28 7 AB RP BC PQ = = = = ดังนั้น ABC~RPQ ตัวอย่างที่ 7 จากรูป รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่กำหนดให้เป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันหรือไม่ จงอธิบาย วิธีทำ เนื่องจาก 10 5 12 6 DF NL = = 15 5 18 6 18 6 21 7 EF ML DE NM = = = = จะเห็นว่า อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สั้นที่สุด ไม่เท่ากับอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่ยาวที่สุด ดังนั้น DEF และ NML ไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ตัวอย่างที่ 8 จากรูป รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่กำหนดให้ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันหรือไม่ และจงหาขนาดของมุม ที่เหลือทุกมุม วิธีทำ เนื่องจาก 2 3 8 12 = = SU QR 15 3 10 2 RP UT = = และ 16.5 1.5 3 11 1 2 PQ TS = = = ดังนั้น PQR~TSU จะได้ ˆ ˆ 46o P T = = ˆ ˆ 54o Q S = = และ ( ) ˆ ˆ 180 46 54 80o R U= = − + = ดังนั้น ˆ ˆ ˆ 54 , 80 , 46 ooo Q R T = = = และ ˆ 80o U = ทฤษฎีบท ถ้าอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่ของรูปสามเหลี่ยมสองรูป เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน
บทที่ 4 ความคล้าย 16 แบบฝึกหัดที่2 1. รูปสามเหลี่ยมสองรูปในแต่ละข้อต่อไปนี้ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันหรือไม่ เพราะเหตุใด 1) 2) 3) แนวคิด เนื่องจาก 4 1 8 2 DO BO = = 5 1 10 2 6 1 12 2 OG OY GD YB = = = = จะเห็นว่า อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่ของ DOG และ BOY เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน ซึ่งเท่ากับ 1: 2 ดังนั้น DOG ~BOY แนวคิด เนื่องจาก 12 3 20 5 EA NU = = 15 3 25 5 18 3 30 5 AT UT TE TN = = = = จะเห็นว่า อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่ของ EAT และ NUT เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน ซึ่งเท่ากับ 3: 5 ดังนั้น EAT ~NUT แนวคิด เนื่องจาก 12 2 18 3 AB DC = = 16 2 24 3 24 2 36 3 BC CA CA AD = = = = จะเห็นว่า อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่ของ ABC และ DCA เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน ซึ่งเท่ากับ 2: 3 ดังนั้น ABC ~DCA
บทที่ 4 ความคล้าย 17 4) 2. จากรูป จงหาขนาดของมุมที่เหลือทุกมุม แนวคิด พิจารณา ABC และ ACD เนื่องจาก 9 900 4 11.25 1,125 5 BC CD = = = 12 4 15 5 15 1,500 4 18.75 1,875 5 AB AC CA DA = = = = = จะเห็นว่า อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่ของ ABC และ ACD เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน ซึ่งเท่ากับ 4: 5 ดังนั้น ABC ~ACD จะได้ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 90 , 37 , o o ABC ACD BAC CAD BCA CDA = = = = = เนื่องจากขนาดของมุมภายในทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180o จะได้ ( ) ˆ BCA = − + = 180 37 90 53 องศา ดังนั้น ˆ ˆ 53o BCA CDA = = นั่นคือ ˆ ˆ 37 , 53 o o BAC BCA = = และ ˆ 53o CDA = 3. จากรูป กำหนดให้ FD DE EF PR PQ QR = = จงพิสูจน์ว่า D P ˆ ˆ = เนื่องจาก FD DE EF PR PQ QR = = (กำหนดให้) จะได้ FDE ~RPQ (อัตราส่วนของความยาวของด้าน คู่ที่สมนัยกันเท่ากันทุกคู่) ดังนั้น D P ˆ ˆ = (มุมที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม ที่คล้ายกัน มีขนาดเท่ากัน) แนวคิด พิจารณา BDA และ ADC เนื่องจาก 9 3 12 4 BD AD = = 12 3 16 4 14 7 22 11 DA DC AB CA = = = = จะเห็นว่า อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สั้นที่สุดไม่เท่ากับอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่ยาวที่สุด ดังนั้น BDA และ ADC ไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน
บทที่ 4 ความคล้าย 18 4. โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ตัวอย่างที่ 9 ภัทรต้องการประมาณความสูงของต้นไม้โดยใช้เงา เขาวัดเงาของต้นไม้ยาว 8 เมตร และวัดเงาของตนเองได้ ยาว 2 เมตร ถ้าภัทรสูง 150 เซนติเมตร ต้นไม้สูงเท่าไร วิธีทำ จากข้อมูลในโจทย์ เขียนแผนภาพได้ดังนี้ ให้ ต้นไม้สูงเท่ากับ BT x = เมตร OT แทนความยาวของเงาต้นไม้ เท่ากับ 8 เมตร AS แทนความสูงของภัทร เท่ากับ 150 เซนติเมตร หรือ 1.5 เมตร OS แทนความยาวของเงาของภัทร เท่ากับ 2 เมตร เนื่องจาก ˆ ˆ 90o ASO BTO = = AOS BOT ˆ ˆ = ( O ˆ เป็นมุมร่วม) จะได้ OAS OBT ˆ = ˆ (ขนาดของมุมภายในรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180o ) ดังนั้น AOS ~BOT (มีมุมที่มีขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆ สามคู่) จะได้ AS OS BT OT = หรือ 1.5 2 x 8 = 2 12 x = จะได้ x = 6 นั่นคือ ต้นไม้สูง 6 เมตร
บทที่ 4 ความคล้าย 19 ตัวอย่างที่ 10 ริสาทํากล้องรูเข็มง่าย ๆ จากกระป๋องทรงกระบอกเพื่อนําไปใช้หาความกว้างของแม่น้ำ ริสายืนอยู่ริมฝั่ง หนึ่งของแม่น้ำ และใช้กล้องรูเข็มส่องดูตึกซึ่งอยู่ริมแม่น้ำ ฝั่งตรงข้าม โดยถือกล้องรูเข็มให้ขนานกับพื้นดิน ริสา ทราบว่าตึก สูงประมาณ 40 เมตร ช่องรูเข็มอยู่ห่างจาก ฉากรับภาพ 30 เซนติเมตร และมองเห็นภาพหัวกลับ บนฉากรับภาพสูง 4 เซนติเมตร จากข้อมูลข้างต้น ริสาเขียนแผนภาพได้ ดังนี้ โดยให้แม่น้ำกว้างเท่ากับ QO x = เซนติเมตร AB แทนความสูงของภาพที่ปรากฏบนฉากรับภาพ เท่ากับ 4 เซนติเมตร PO แทนระยะจากฉากรับภาพถึงช่องรูเข็ม เท่ากับ 30 เซนติเมตร CD แทนความสูงของตึกประมาณ 40 เมตร หรือ 4, 000 เซนติเมตร อยากทราบว่า ริสาหาความกว้างของแม่น้ำได้ประมาณกี่เมตร วิธีทำ จากรูป 4 2 2 2 AB AP BP = = = = เซนติเมตร 40 20 2 2 CD DQ CQ = = = = เมตร หรือ 2, 000 เซนติเมตร เนื่องจาก AB CD / / จะได้ PAO QDO ˆ = ˆ (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) ˆ ˆ 90o APO DQO = = และ AOP DOQ ˆ ˆ = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น APO ~DQO (มีมุมที่ขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆ สามคู่) จะได้ AP PO DQ QO = หรือ 2 30 2,000 x = 2 2, 000 30 x = ดังนั้น x = 30, 000 นั่นคือ แม่น้ำกว้างประมาณ 30, 000 เซนติเมตร หรือ 300 เมตร
บทที่ 4 ความคล้าย 20 แบบฝึกหัดที่ 3 1. นนท์สูง 1.6 เมตร ในขณะที่เงาของตึกหลังหนึ่งยาว 15 เมตร เขาวัดความยาวของเงาของเขาที่ทอดไปตามพื้นได้ยาว 1.2 เมตร จงหาความสูงของตึก วิธีทำ ให้ AB แทนความสูงของตึกเท่ากับ x เมตร BC แทนความยาวของเงาของตึกเท่ากับ 15 เมตร PQ แทนความสูงของนนท์เท่ากับ 1.6 เมตร QR แทนความยาวของเงาของนนท์เท่ากับ 1.2 เมตร เนื่องจาก ˆ ˆ 90o ABC PQR = = และลำแสงของดวงอาทิตย์จะขนานกันทำให้มุมที่ลำแสงทำกับพื้นดินมีขนาดเท่ากัน จะได้ ACB PRQ ˆ = ˆ และ BAC QPR ˆ = ˆ (ขนาดของมุมภายในทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180o ) ดังนั้น ABC~PQR (มีมุมที่มีขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆ สามคู่) จะได้ AB BC PQ QR = หรือ 15 1.6 1.2 x = ดังนั้น x = 20 นั่นคือ ความสูงของตึกเท่ากับ 20 เมตร 2. จากรูป จงหาความกว้างของแม่น้ำระหว่างจุด P และจุด R (ความยาวที่กำหนดมีหน่วยเป็นเมตร) วิธีทำ ให้ PR แทนความกว้างของแม่น้ำ เท่ากับ x เมตร เนื่องจาก ˆ ˆ 90o LMN PRN = = และ LNM PNR ˆ ˆ = (เส้นตรงสองเส้นตัดกัน มุมตรงข้ามเท่ากัน) จะได้ MLN PRN ˆ ˆ = (ขนาดมุมภายในรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180o ) ดังนั้น LMN ~PRN (มีมุมที่มีขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆ สามคู่) จะได้ LM MN PR RN = หรือ 25 30 x 120 = ดังนั้น x =100 นั่นคือ ความกว้างของแม่น้ำเท่ากับ 100 เมตร
บทที่ 4 ความคล้าย 21 3. ปริญต้องการทราบความสูงของตึกหลังหนึ่ง จึงสร้างอุปกรณ์และสำรวจหาข้อมูลโดยตัดกระดาษแข็งเป็นรูปสามเหลี่ยม มุมฉากที่มีขนาดดังรูปสามเหลี่ยม PQR และใช้กระดาษแข็งนี้เล็งหาจุดยอดของตึก จากการสำรวจพบว่า ความสูงจาก เท้าถึงตาของปริญวัดได้ 1.5 เมตร จุดที่ยืนเล็งดูยอดตึกห่างจากตึก 20 เมตร จงหาว่าตึกนี้สูงกี่เมตร วิธีทำ ให้ SU แทนความสูงของตึกเท่ากับ ST TU x + = +1.5 เมตร PT แทนระยะระหว่างปริญกับตึกเท่ากับ 20 เมตร TU แทนความสูงจากตาถึงเท้าของปริญเท่ากับ 1.5 เมตร PR QR = = 30 เซนติเมตร หรือ 0.3 เมตร เนื่องจาก ˆ ˆ 90o PRQ PTS = = และ QPR SPT ˆ ˆ = ( P ˆ เป็นมุมร่วม) จะได้ PQR PST ˆ ˆ = (ขนาดของมุมภายในทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมีขนาดรวมกันเท่ากับ 180o ) ดังนั้น PQR~PST (มีมุมที่มีขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆ สามคู่) จะได้ PR QR PT ST = หรือ 0.3 0.3 20 x = ดังนั้น x = 20 นั่นคือ ตึกสูง 20 1.5 21.5 + = เมตร
บทที่ 4 ความคล้าย 22 4. บันไดยาว 4 เมตร พาดอยู่กับผนังตึก เมื่อช่างทาสีขึ้นบันไดไปได้ 2 ใน 3 ของความยาวบันได เขาทำแปรงตก ถ้าจุด ที่แปรงตกลงมาถูกพื้นดินห่างจากผนังตึก 0.3 เมตร ดังรูป จงหาว่าเชิงบันไดอยู่ห่างจากผนังตึกเท่าไร วิธีทำ ให้ AB แทนระยะจากเชิงบันได้ถึงผนังตึกเท่ากับ x เมตร FB แทนระยะระหว่างจุดที่แปรงตกลงมาถูกพื้นดินกับผนังตึกเท่ากับ 0.3 เมตร จะได้ DE FB = = 0.3 เมตร AC แทนความยาวของบันไดเท่ากับ 4 เมตร AD แทนระยะจากเชิงบันไดถึงจุดที่ช่างทาสีแปรงตกเท่ากับ 2 8 4 3 3 = เมตร จะได้ 8 4 4 3 3 DC AC AD = − = − = เมตร เนื่องจาก ˆ ˆ 90o ABC DEC = = ACB DCE ˆ ˆ = ( C ˆ เป็นมุมร่วม) CAB CDE ˆ = ˆ (ขนาดของมุมภายในรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180o ) ดังนั้น ABC~DEC (มีมุมที่มีขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆสามคู่) จะได้ AB AC DE DC = หรือ 4 0.3 4 3 x = ดังนั้น x = 0.9 นั่นคือ เชิงบันไดอยู่ห่างจากผนังตึก 0.9 เมตร
บทที่ 4 ความคล้าย 23 แบบทดสอบหลังเรียนเรื่องความคล้าย จงเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงคำตอบเดียว 1.จากรูปให้ AB DE / / ข้อใดสรุปไม่ถูกต้อง ก. AB BC ED DC = ข. AC AB EC ED = ค. AB AC ED DC = ง. AC BC EC DC = 2. จากรูป ให้ AE BD / / ข้อใดสรุปไม่ถูกต้อง ก. EC BC DC EC = ข. AE EC BD DC = ค. BD BC AE AC = ง. AC EC BC DC = 3. จากรูป ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก EF BD / / ข้อใดสรุปไม่ถูกต้อง ก. AFE ∼ABC ข. DEF ∼BDE ค. มีรูปสามเหลี่ยม 1 คู่ ที่ไม่คล้ายกัน ง. BDFE ∼EBCD 4.จากรูป ให้ AE EF / / ข้อใดสรุปถูกต้อง ก. FED ABC ˆ ˆ ข. FE AC AB FD = ค. ED DC BC AD = ง. FD ED AC BC = 5.ให้ AEDF เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน และ AB BC CD = = ข้อใดสรุปไม่ถูกต้อง ก.ACF ∼DBE ข.CDF ∼BAE ค.AFD ∼DEA ง. CF CD BE AE = 6.กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มี AD EB = ข้อใดสรุปถูกต้อง ก. AC CF BC AF = ข. CE ED CD DF = ค. AD CD BE CE = ง. DF CD FE CE =
บทที่ 4 ความคล้าย 2 7. จากรูป จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ADE ∼GFB ข. ABC∼GBF ผลสรุปใดเป็นจริง ก. ก ถูก ข ถูก ข. ก ถูก ข ผิด ค. ก ผิด ข ถูก ค. ก ผิด ข ผิด 8. ให้ DF EG CB FG / / / / , 2 = หน่วย BG = 3 หน่วย จงหาว่า EC ยาวกี่หน่วย ก. 4.2 หน่วย ข. 4.5 หน่วย ค. 5 หน่วย ง. 6 หน่วย 9.จากรูป กำหนดให้ ˆ ˆ BAC DEC CF EF AC = ⊥ = , , 4 หน่วย, DC = 6 หน่วย และ BC = 8 หน่วย พื้นที่ของ CEF เป็นเท่าไร ก. 5 หน่วย ข. 5 หน่วย ค. 6 หน่วย ง. 6 หน่วย 10.กำหนดให้ AX =12 หน่วย, CZ = 6 หน่วย จงหาว่า AE ยาวกี่หน่วย ก. 20 หน่วย ข. 24 หน่วย ค. 28 หน่วย ง. 32 หน่วย 24