5 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง เฉลย

เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน 4 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ...................................เฉลย......................................... ภาคเรียนที่ 2 ปีการศึกษา ................. ชื่อ....................................................................ชื่อเล่น........................ชั้น......................เลขที่................ การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง ครูผู้สอน กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียน............................................................... สำนักงานเขตพื้นที่............................................... จัดทำโดย นางสาวสิรินรดา เกตุรักษ์

บทที่ 5 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง 1 บทที่ 5 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง รูปแบบในการแยกตัวประกอบ 5.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้สมบัติใช้สมบัติการแจกแจง สมบัติการแจกแจง กำหนดให้ a,b และ c เป็นจำนวนจริงใดๆ จะได้ ab + ac = a(b + c) เรียก a ว่าตัวประกอบร่วมของ ab และ ac ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1) ( ) 2 5 6 5 6 xy x x y x + = + 2) 2 6 2 3 x x + = + ( ) 3) ( ) 2 5 5 5 1 x x x x + = + 4) ( ) 2 − + = − − 3 4 3 4 x x x x 5) ( ) 2 12 20 4 3 5 y z yz yz y − = − 6) ( ) 2 2 ab ab bc c ab ac bc c − + − = − + − 2 2 ( 2 ) 2 ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 a b c c b c b c a c = − + − = − + 7) 2 2 2 2 5 3 5 3 5 3 5 37 x z y yz x x z x yz − + − = − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 x z x yz y x z y z z x y = − + − = − + − = − + ab + ac = a(b + c) a + ab 2 = a(a + b) ( ) 2 a + b = 2 2 a + 2ab + b ( ) 2 a − b = 2 2 a − 2ab + b 2 2 a − b = (a −b)(a + b) 3 3 a − b = ( )( ) 2 2 a −b a + ab +b 3 3 a + b = ( )( ) 2 2 a +b a − ab +b

บทที่ 5 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง 2 แบบฝึกหัดที่ 1 1. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1) 10 4 2 5 2 x x + = + ( ) 2) 7 14 7 2 x x − = − ( ) 3) − + = − + 9 3 3 3 1 x x ( ) หรือ − − 3 3 1 ( x ) 4) − − = − − 8 12 4 2 3 x x ( ) หรือ − + 4 2 3 ( x) 5) 14 26 2 7 13 y z y z + = + ( ) 6) ( ) 2 x x x x + = + 13 13 7) ( ) 2 3 2 3 2 z z z z − = − 8) ( ) 2 5 20 5 4 y y y y − = − 9) 12 16 4 3 4 xy z z x − = − ( ) 10) ( ) 2 33 11 11 3 y yz y y z − = − 11) ( ) 2 15 5 5 3 1 x y x x xy + = + 12) ( ) 2 6 8 2 3 4 xy xy xy y − = − 13) ( ) 2 2 x x x x + = +1 14) ( ) 3 2 y y y y + = + 4 4 15) ( ) 2 2 2 2 9 6 9 6 3 3 2 y z yz y z yz yz yz − = − = − 16) ( ) 3 2 2 3 2 2 21 28 7 3 4 x y x y x y x y − = − 17) ( ) 2 3 5 2 2 − + = − + 7 63 7 9 x z xz xz x z หรือ ( ) 3 2 − − 7 9 xz x z 18) ( ) 4 2 3 3 3 2 24 18 6 4 3 x z x z x z x z + = + 19) ( ) 2 3 3 2 3 3 3 2 30 36 6 6 5 6 x y x y x y x y y x xy + − = + − 20) ( ) 2 2 3 3 4 2 2 2 24 27 9 3 8 9 3 xz x z x z xz xz x z − + = − + 2. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1) m n n n m ( + + + = + + 3 5 3 3 5 ) ( ) ( )( ) 2) ( x y z x y x y z + − + = + − ) ( ) ( )( 1) 3) 4 4 t a b s a b a b t s ( + − + = + − ) ( ) ( )( ) 4) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 4 3 6 4 3 4 3 6 y y y y y + + + = + + 5) a b c x b c b c a x ( − + − = − + 3 3 3 ) ( ) ( )( )

บทที่ 5 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง 3 6) ax by bx ay ax bx ay by + + + = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) x a b y a b a b x y = + + + = + + 7) 5 10 2 5 10 2 a x ab bx a x ab bx − + − = − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 5 2 2 2 5 a x b a x a x b = − + − = − + 8) na b nb a na nb a b + + + = + + + 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 3 3 n a b a b a b n = + + + = + + 9) xy st xt sy xy xt sy st − − + = − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) x y t s y t y t x s = − + − = − + 10) ( ) ( ) 2 2 2 2 n m n p m p n m m n p p + − − = − + − 8 8 8 8 ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 8 8 8 m n p n n m p = − + − = − + 11) ( ) ( ) 2 2 2 2 ab cb a c ab cb a c − − + = − − − 6 6 6 6 ( ) ( ) ( )( ) 2 2 6 6 b a c a c a c b = − − − = − − 12) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 14 7 2 14 7 x x x x x x − + − = − + − ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 7 2 1 2 1 7 x x x x x = − + − = − + 13) ( ) ( ) 2 3 2 3 a b a ab a b a ab − − + = − − − 2 5 10 2 5 10 ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 5 2 2 1 5 a b a a b a b a = − − − = − − 14) ( ) ( ) 3 3 2 2 3 3 2 2 x x z y z y x x z y y z − + − = − − − ( ) ( ) ( )( ) 3 2 3 2 1 1 1 x z y z z x y = − − − = − −

บทที่ 5 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง 4 5.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1) ( ) 2 4 20 4 5 x x x x − = − 2) ( ) 2 − + = − + 15 20 3 5 4 x x x x หรือ − − 3 5 4 x x ( ) ถ้าให้ m และ n เป็นจำนวนเต็มสองจำนวน ซึ่ง mn c = และ m n b + = จะได้ว่า ( )( ) 2 x bx c x m x n + + = + + ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1) ( )( ) 2 x x x x + + = + + 2 1 1 1 2) ( )( ) 2 x x x x − + = − − 10 21 3 7 3) ( )( ) 2 x x x x + − = − + 2 35 5 7 4) ( )( ) 2 x x x x − − = − + 4 12 6 2 แบบฝึกหัดที่ 2 1. ให้นักเรียนหาจำนวนเต็ม m และ n ที่ทำให้ mb c = และ m n b + = โดยที่ b และ c มีค่าตามที่กำหนดให้ต่อไปนี้ 1) b =19 และ c = 84 m n = = 7 12 หรือ m n = = 12 7 2) b =−5 และ c = −104 m n = − = 13 8 หรือ m n = = − 8 13 3) b = 2 และ c = −143 m n = = − 13 11 หรือ m n = − = 11 13 4) b = −23 และ c =126 m n = − = − 14 9 หรือ m n = − = − 9 14 5) b = 21 และ c = 90 m n = = 6 15 หรือ m n = = 15 6 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป 2 ax bx c + + เมื่อ a b =1, และ c เป็นจำนวนเต็ม และ c 0 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป 2 ax bx c + + เมื่อ a b, เป็นจำนวนเต็ม และ c = 0

บทที่ 5 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง 5 6) b = 7 และ c = −120 m n = = − 15 8 หรือ m n = − = 8 15 7) b =−8 และ c = −128 m n = − = 16 8 หรือ m n = = − 8 16 8) b = −24 และ c =108 m n = − = − 6 18 หรือ m n = − = − 18 6 9) b = 2 และ c = −388 m n = = − 21 19 หรือ m n = − = 19 21 10) b = −11 และ c = −312 m n = − = 24 13 หรือ m n = = − 13 24 2. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1) ( ) 2 x x x x − = − 5 5 2) ( ) 2 3 3 3 1 m m m m − = − 3) ( ) 2 − + = − + 2 2 y y y y หรือ − − y y (2 ) 4) ( ) 2 − − = − − 5 10 5 2 x x x x หรือ − + 5 2 x x( ) 5) ( )( ) 2 x x x x x + + + = + + 4 3 12 4 3 6) ( )( ) 2 m m m m m − + − = − + 5 2 10 5 2 7) ( )( ) 2 x x x x + + = + + 9 14 7 2 8) ( )( ) 2 n n n n + + = + + 15 14 14 1 9) ( )( ) 2 y y y y + + = + + 10 24 6 4 10) ( )( ) 2 x x x x + − = + − 7 18 9 2 11) ( )( ) 2 x x x x − + = − − 9 20 4 5 12) ( )( ) 2 a a a a − − = + − 8 9 1 9 13) ( )( ) 2 b b b b + − = + − 9 10 10 1 14) ( )( ) 2 x x x x − + = − − 10 24 4 6 15) ( )( ) 2 x x x x − + = − − 14 24 2 12 16) ( )( ) 2 a a a a + + = + + 11 18 2 9 17) ( )( ) 2 56 15 8 7 + + = + + a a a a 18) ( )( ) 2 m m m m − + = − − 13 42 6 7 19) ( )( ) 2 x x x x − − = + − 20 21 1 21

บทที่ 5 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง 6 20) ( )( ) 2 x x x x − + = − − 15 36 3 12 21) ( )( ) 2 y y y y + + = + + 13 12 12 1 22) ( )( ) 2 t t t t − + = − − 11 30 5 6 23) ( )( ) 2 a a a a − − = + − 72 8 9 24) ( )( ) 2 x x x x − + = − − 17 70 7 10 25) ( )( ) 2 y y y y − + = − − 18 81 9 9 26) ( )( ) 2 n n n n + − = + − 15 54 18 3 27) ( )( ) 2 x x x x − − = + − 30 99 3 33 28) ( )( ) 2 m m m m − + = − − 22 121 11 11 29) ( )( ) 2 x x x x − − = + − 12 85 5 17 30) ( )( ) 2 144 24 12 12 + + = + + a a a a จาก 2 ax bx c + + เรียก 2 ax ว่าพจน์หน้า bx ว่าพจน์กลาง c ว่าพจน์หลัง ตัวอย่างที่ 4 จงหาพจน์หน้า พจน์กลางและพจน์หลังของ (2 3)(3 1) x x − + หาพจน์หน้า หาพจน์หลัง หาพจน์กลาง (2 3)(3 1) x x − + นำ 2 (2 )(3 ) 6 x x x = (2 3)(3 1) x x − + นำ ( 3)(1) 3 − = − (2 3)(3 1) x x − + นำ (2 )(1) 3 3 7 x x x + − = − ( )( ) ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ 2 4 13 10 x x + + วิธีทำ ( )( ) 2 4 13 10 4 5 2 x x x x + + = + + การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป 2 ax bx c + + เมื่อ abc , , เป็นจำนวนเต็ม และ a c 1, 0

บทที่ 5 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง 7 ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของ 2 12 5 2 x x + − วิธีทำ ( )( ) 2 12 5 2 4 1 3 2 x x x x + − = − + ตัวอย่างที่ 7 จงแยกตัวประกอบของ 2 8 26 15 x x − + วิธีทำ ( )( ) 2 8 26 15 2 5 4 3 x x x x − + = − − ตัวอย่างที่ 8 จงแยกตัวประกอบของ 2 6 10 4 x x − − วิธีทำ ( )( ) 2 6 10 4 2 3 1 2 x x x x − − = + − ตัวอย่างที่ 9 จงแยกตัวประกอบของ 2 − + + 3 10 8 x x วิธีทำ ( )( ) 2 − + + = + − + 3 10 8 3 2 4 x x x x แบบฝึกหัดที่ 3 จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1. ( )( ) 2 2 2 4 2 2 1 x x x x − − = − + 2. ( )( ) 2 2 6 4 2 2 1 a a a a + + = + + 3. ( )( ) 2 3 6 9 3 3 1 x x x x − − = − + 4. ( )( ) 2 6 12 2 3 3 4 y y y y − − = − + 5. ( )( ) 2 9 6 1 3 1 3 1 y y y y − + = − − 6. ( )( ) 2 6 12 3 4 2 3 a a a a + + = − + 7. ( )( ) 2 6 17 12 3 4 2 3 a a a a + + = + + 8. ( )( ) 2 5 14 3 5 1 3 x x x x + − = − + 9. ( )( ) 2 4 16 9 2 9 2 1 x x x x + − = + − 10. ( )( ) 2 9 12 5 3 1 3 5 y y y y − − = + − 11. ( )( ) 2 5 4 1 5 1 1 x x x x + − = − + 12. ( )( ) 2 12 35 4 7 3 5 a a a a − − = − + 13. ( )( ) 2 16 8 1 4 1 4 1 y y y y − + = − −

บทที่ 5 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง 8 14. ( )( ) 2 15 8 7 1 15 7 x x x x + − = + − 15. ( )( ) 2 7 49 84 7 3 4 a a a a + + = + + 16. ( )( ) 2 35 18 8 7 2 5 4 m m m m + − = − + 17. ( )( ) 2 4 10 6 2 2 1 3 + − = − + x x x x หรือ − − + 2 2 3 1 ( x x )( ) 18. ( )( ) 2 9 42 49 3 7 3 7 − + = − − y y y y 19. ( )( ) 2 35 26 3 7 5 3 − + = − − b b b b 20. ( )( ) 2 4 28 49 2 7 2 7 z z z z − + = − − 21. ( )( ) 2 − − − = − − + 12 20 7 6 7 2 1 a a a a หรือ (6 7 2 1 a a + − − )( ) 22. ( )( ) 2 10 19 15 5 3 2 5 − − = + − x x x x 23. ( )( ) 2 6 38 56 2 3 7 4 b b b b − + = − − 24. ( )( ) 2 7 72 55 7 5 11 m m m m + − = − + 25. ( )( ) 2 20 77 18 5 18 4 1 a a a a + + = + + 26. ( )( ) 2 3 40 117 3 13 9 x x x x − + = − − 27. ( )( ) 2 − + − = − + − 10 81 45 2 15 5 3 x x x x หรือ (2 15 5 3 x x − − + )( ) 28. ( )( ) 2 13 69 54 13 9 6 y y y y + − = − + 29. ( )( ) 2 4 36 4 3 3 y y y − = − + 30. ( )( ) 2 9 64 3 8 3 8 a a a − = − + 5.3 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ตัวอย่างที่ 10 จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1) ( ) 2 2 2 x x x x − + = − + 26 169 2 13 13 2 = − ( 13) x 2) ( ) ( )( ) 2 2 2 25 20 4 5 2 5 2 2 x x x x + + = + + 2 = + (5 2) x ทฤษฎีบท (สูตรของกำลังสองสมบูรณ์) ให้ A และ B เป็นจำนวนจริงหรือตัวแปรใดๆ จะได้ว่า ( ) 2 2 2 A + B = A + 2AB + B ( ) 2 2 2 A − B = A − 2AB + B

บทที่ 5 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง 9 3) ( ) ( )( ) 2 2 2 4 12 9 2 2 2 3 3 x x x x − + = − + 2 = − (2 3) x 4) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 x x x x + + + + = + + + + 1 14 1 49 1 2 7 1 7 ( ) 2 2 ( 1 7) 8 x x = + + = + 5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 4 4 3 3 2 4 3 3 x x x x x x x x − − + − = − − + − ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 (2 ) 2 2 3 3 2 3 2 3 3 x x x x x x x x x = − − + − = − − = − + = + แบบฝึกหัดที่ 4 1.จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1) ( ) 2 2 x x x + + = + 12 36 6 2) ( ) 2 2 x x x + + = + 16 64 8 3) ( ) 2 2 x x x + + = + 34 289 17 4) ( ) 2 2 x x x + + = + 40 400 20 5) ( ) 2 2 x x x + + = + 46 529 23 6) ( ) 2 2 x x x − + = − 10 25 5 7) ( ) 2 2 x x x − + = − 28 196 14 8) ( ) 2 2 x x x − + = − 38 361 19 9) ( ) 2 2 x x x − + = − 52 676 26 10) ( ) 2 2 x x x − + = − 60 900 30 2.จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1) ( ) 2 2 9 30 25 3 5 x x x + + = + 2) ( ) 2 2 16 56 49 4 7 x x x + + = + 3) ( ) 2 2 49 42 9 7 3 x x x + + = +

บทที่ 5 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง 10 4) ( ) 2 2 100 220 121 10 11 x x x + + = + 5) ( ) 2 2 81 360 400 9 20 x x x + + = + 6) ( ) 2 2 4 36 81 2 9 x x x − + = − 7) ( ) 2 2 49 70 25 7 5 x x y − + = − 8) ( ) 2 2 64 176 121 8 11 y y y − + = − 9) ( ) 2 2 81 180 100 9 10 x x x − + = − 10) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 225 360 144 9 25 40 16 9 5 2 5 4 4 9 5 4 x x x x x x x − + = − + = − + = − 3.จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 x x x x x x − + − + = − + − + = − + = + 2 12 2 36 2 2 2 6 6 2 6 4 2) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 20 2 1 100 2 1 2 2 1 10 10 2 1 10 2 11 x x x x x x + + + + = + + + + = + + = + 3) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 x x x x x x + − + + = + − + + = + − = − 3 16 3 64 3 2 3 8 8 3 8 5 4) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 5 26 4 5 169 4 5 2 4 5 13 13 4 5 13 4 18 x x x x x x − + − + = − − − + = − − = − ( ) ( ) 2 2 = − = − 2 2 9 4 2 9 x x 5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 36 6 108 6 81 6 6 2 6 6 9 9 6 6 9 x x x x x + + + + = + + + + = + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 = + + = + = + = + 6 36 9 6 45 3 2 15 9 2 15 x x x x 6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 9 1 30 1 25 3 1 2 3 1 5 5 3 1 5 3 8 x x x x x x − − − + = − − − + = − − = − 7) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 16 8 1 1 4 2 4 1 1 4 1 5 1 x x x x x x x x x x x + + + + = + + + + = + + = + 8) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x − − − + = − − − + = − − 3 12 3 36 3 2 3 6 6 3 6 ( ) ( ) 2 2 = − − = − − x x x 3 6 5 3 หรือ ( )( ) ( ) 2 2 − + = + 1 5 3 5 3 x x 9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 49 14 1 49 14 1 1 7 2 7 1 1 x x x x x x x x x x x x + + + − = + − + − = + − + − ( ) ( ) 2 2 = + − = − 7 1 8 1 x x x 10) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x + − + + = + − + + = + − + + 2 18 2 81 2 18 2 81 2 2 2 9 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 = + − = + − = − = − = − x x x x x x x 2 9 2 9 2 8 2 1 4 4 1 4

บทที่ 5 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง 11 4. จงเติมพจน์ที่หายไปลงในช่องว่าง เพื่อให้พหุนามในรูปผลสำเร็จที่กำหนดให้ในแต่ละข้อ เป็นพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลัง สองสมบูรณ์ 1) 2 4 24 36 x x + + 2) 2 9 54 x x − +81 3) 2 100 20 x x − +1 4) 2 x x − + 18 81 5) 2 4 40 100 x x + + 6) 2 x x + + 30 225 7) 2 81 108 36 x x + + 8) 2 9 30 x x − +25 9) 2 25 150 x x + +225 10) 2 16 56 49 x x − + 5.4 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกำลังสอง ตัวอย่างที่ 11 จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1) ( ) 2 2 2 16 81 4 9 x x + = − = + − (4 9) 4 9 x x ( ) 2) ( ) 2 2 2 25 225 5 15 x x − = − ( ) ( )( )( ) ( )( ) (5 15) 5 15 5 3 5 3 25 3 3 x x x x x x = + − = + − = + − 3) ( ) ( ) ( ) 2 2 x x x x x x − − = + − − − 4 4 4 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( 4) 4 2 4 4 4 2 2 8 2 x x x x x x x = + − − + = − = − = − ทฤษฎีบท (สูตรผลต่างกำลังสอง) ให้ A และ B เป็นจำนวนจริงหรือตัวแปรใดๆ จะได้ว่า A − B = (A− B)(A+ B) 2 2

บทที่ 5 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง 12 4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 5 3 2 5 3 2 5 x x x x x x − − + = − + + − − + ( )( ) ( )( ) 3 2 5 3 2 5 4 3 2 7 x x x x x x = − + + − − − = + − 5) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 25 2 144 5 2 12 x x x x + − = + ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 5 2 12 5 2 12 5 10 12 5 10 12 17 10 7 10 x x x x x x x x x x = + + + − = + + + − = + − + ตัวอย่างที่ 12 จากรูป กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มี AB =14 หน่วย BC =15 หน่วย และ AC =13 หน่วย จงหาความสูง h วิธีทำ เนื่องจาก ACD และ BCD เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้ AD x = หน่วย จะได้ BD x = − 14 หน่วย จาก ACD จะได้ 2 2 2 13 = + h x (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) 2 2 2 h x = − 13 (สมบัติของการเท่ากัน) จาก BCD จะได้ ( ) 2 2 2 15 14 = + − h x (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) ( ) 2 2 2 h x = − − 15 14 (สมบัติของการเท่ากัน) ( ) ( ) ( )( ) 2 15 14 15 14 29 1 29 28 x x x x x x = + − − − = − + = + − จาหผลที่ได้จาก ACD และ BCD จะได้ 2 2 2 13 29 28 − = + − x x x (สมบัติขอการเท่ากัน) 169 29 28 28 140 5 x x x = + = = เนื่องจาก 2 2 2 h x = − 13 จะได้ 2 2 2 h = − 13 5 (สมบัติของการเท่ากัน) =144 ดังนั้น h =12 นั่นคือ ความสูง h เท่ากับ 12 หน่วย ตอบ 12 หน่วย

บทที่ 5 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง 13 แบบฝึกหัดที่ 5 1.จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1) ( )( ) 2 x x x − = + − 1 1 1 2) ( )( ) 2 16 4 4 − = + − x x x 3) ( )( ) 2 x x x − = + + 64 8 8 4) ( )( ) 2 x x x − = + − 144 12 12 5) ( )( ) 2 225 15 15 − = + − x x x 6) ( )( ) 2 x x x − = + − 361 19 19 7) ( )( ) 2 x x x − = + − 625 25 25 8) ( )( ) 2 x x x − = + − 900 30 30 9) ( )( ) 2 9 1 3 1 3 1 x x x − = + − 10) ( )( ) 2 4 49 2 7 2 7 x x x − = + − 11) ( )( ) 2 16 169 4 13 3 1 x x x − = + − 12) ( )( ) 2 49 81 2 7 2 7 x x x − = + − 13) ( )( ) 2 25 121 5 11 5 11 x x x − = + − 14) ( )( ) 2 196 100 4 7 5 7 5 x x x − = + − 15) ( )( ) 2 81 400 9 20 9 20 x x x − = + − 16) ( )( ) 2 64 225 8 15 8 15 x x x − = + − 17) ( )( ) 2 144 441 9 4 7 4 7 x x x − = + − 18) ( )( ) 2 1 289 1 17 1 17 − = + − x x x 19) ( )( ) 2 529 625 23 25 23 25 x x x − = + − 20) ( )( ) 2 961 900 31 30 31 30 − = + − x x x

บทที่ 5 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง 14 2.จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 a a a a a a − − = − − = − + − − = − − 2 1 2 1 2 1 2 1 1 3 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 25 1 5 1 5 1 5 1 6 4 − + = − + = + + − − = + − y y y y y y 3) ( ) ( ) 2 x x x + − = + 2 4 4 4) ( ) ( )( ) 2 x x x − − = + − 3 36 3 9 5) ( ) ( )( ) 2 81 5 14 4 − + = + − x x x 6) ( ) ( )( ) 2 2 x x x x − + = + − − 2 1 3 1 1 หรือ (− + + 1 3 1 1 )( x x )( ) 7) ( ) ( )( ) 2 2 4 2 3 2 2 x x x x − − = − + 8) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 3 2 1 7 3 3 3 x x x x + − − = + − + หรือ (− + − 3 7 3 1 )( x x )( ) 9) ( ) ( ) ( ) 2 2 x x x + − + = + 6 4 4 5 10) ( ) ( ) ( ) 2 2 x x x − − − = − − 8 5 3 2 13 11) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 3 2 1 4 1 2 3 x x x x + − − = + + 12) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 4 3 5 2 9 1 5 x x x x − − + = − − − หรือ (− − + 1 9 1 5 )( x x )( ) 13) ( ) ( )( ) 2 2 9 7 100 13 21 7 21 x x x x − − = − − − หรือ (− − + 7 13 21 3 )( x x )( ) 14) ( ) ( )( ) 2 2 144 2 3 14 3 10 3 x x x x − − = − + 15) ( ) ( )( ) 2 2 25 16 5 9 20 20 x x x x − − = − + 16) ( ) ( )( ) 2 2 5 3 121 16 3 6 3 x x x x + − = + − + หรือ (− + − 3 16 3 2 1 )( x x )( ) 3. วงกลมสองวงมีจุดศูนย์กลางร่วมกัน วงกลมวงใหญ่มีรัศมียาว 89 หน่วย วงกลมวงเล็กมีรัศมียาว 65 หน่วย วงกลมทั้ง สองมีพื้นที่ต่างกันเท่าไร (กำหนดให้ 3.14 ) แนวคิด วงกลมทั้งสองมีพื้นที่ต่างกัน ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 89 65 89 65 89 65 89 65 3.14 154 24 − = − = + − 11, 605.44 ตารางหน่วย

บทที่ 5 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง 15 4. จากรูป กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มี BC เป็นฐาน AB = 51 เซนติเมตร, AE = 38 เซนติเมตร และ BE = 25 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ของ ABC แนวคิด ให้ ED x = เซนติเมตร จะได้ AD x = + 38 เซนติเมตร จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABD จะได้ ( ) 2 2 2 BD x = − + 51 38 และจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก BDE จะได้ 2 2 2 BD x = − 25 ดังนั้น ( ) 2 2 2 51 38 25 − + = − x x ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 51 38 51 38 625 89 13 625 1,157 76 625 76 532 7 x x x x x x x x x x x + + − + = − + − = − − − = − = = แทน x ด้วย 7 ในสมการ 2 2 2 BD x = − 25 จะได้ 2 2 2 BD = − 25 7 2 BD = 576 BD = 24 เซนติเมตร เนื่องจาก BC BD = 2 จะได้ BC = = 2 24 48 เซนติเมตร เนื่องจาก AD AE ED = + จะได้ AD = + = 38 7 48 เซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่ของ 1 2 = ABC BC AD 1 48 45 2 = =1, 080 ตารางเซนติเมตร

บทที่ 5 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง 16 แบบทดสอบท้ายบท จงเลือกคำตอบที่ถูกที่สุด 1.พจน์กลางของ (5x + 8)(3x − 5) เท่ากับเท่าใด ก. 49x ข. x ค. − x ง. − 49x 2.ข้อใดเป็นพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ก. 7 12 2 x + x + ข. 2 9 5 2 x + x − ค. 3 7 20 2 x − x − ง. 4 20 25 2 x − x + 3.ข้อใดเป็นการแยกตัวประกอบของ 4 169 2 x − ก. (2x +13)(2x +13) ข. (2x +13)(2x −13) ค. (2 14 2 14 x x + + )( ) ง. (2 14 2 14 x x + − )( ) 4. ข้อใดไม่ถูกต้อง ก. 49 ( 7)( 7) 2 x − = x + x − ข. 121 ( 11)( 11) 2 x − = x + x − ค. 64 225 (8 15)(8 15) 2 x − = x + x − ง. 16 25 (4 15)(4 10) 2 2 x − y = x + x − 5. ผลคูณของจำนวนในข้อใดที่ผลบวกของสัมประสิทธิ์ของ พจน์กลางเท่ากับ 2 ก. (x +8)(x −10) ข. (x +8)(x +10) ค. (x −8)(x −10) ง. (x −8)(x +10) 6.แยกตัวประกอบของ 100 60 9 2 x − x + ได้ตามข้อใด ก. ( ) 2 10x + 3 ข. ( ) 2 10x − 3 ค. ( ) 2 −10x + 3 ง. ( ) 2 −10x − 3 7.แยกตัวประกอบของ ( ) ( ) 2 2 3x − 2 − x + 5 ได้ตามข้อใด ก. (3x + 4)(2x + 7) ข. (4x + 3)(2x − 7) ค. (3x + 4)(7x + 2) ง. (4x + 3)(2x + 7) 8.ถ้า ( ) 2 4 6 2 3 n n A n + = + และ ( ) 2 − − = + 5 15 3 m m B m สำหรับทุกค่าของ m และ n เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้ว A B มีค่าเท่าใด ก. −10 ข. 10 ค. −10mn ง. 10mn 9. ให้ x เป็นจำนวนจริงบวกและ x 4 ถ้ารูปสี่เหลี่ยมมุม ฉากรูปหนึ่งมีพื้นที่ 2 x x + − 3 4 ตารางหน่วย พหุนามในข้อใด ที่แทนความกว้างและความยาวของรูปสี่เหลี่ยมนี้ได้ ก. x x − + 1, 4 ข. x x + + 4, 1 ค. x x + − 1, 4 ง. x x − − 4, 1 10.พหุนาม ( ) 2 x z x − + − 1 1 เท่ากับพหุนามในข้อใด ก. ( x x z − + − 1 1 )( ) ข. ( x x z − + + 1 1 )( ) ค. ( x x z + + + 1 1 )( ) ง. ( x x z + + − 1 1 )( ) 11.กำหนดให้ A B, และ C เป็นค่าคงตัว และ ( )( ) 2 As Bs C s s + + = − + 6 5 7 8 แล้วค่าของ (2 2 10 A B C + + ) เป็นเท่าใด ก. 3 5 − ข. 3 5 ค. −3 ง. 3

บทที่ 5 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง 2 12.ข้อใดเป็นพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ก. 2 9 30 16 x x − + ข. 2 16 50 25 x x + + ค. 2 25 80 64 x x + + ง. 2 100 300 81 x x − + 13.ถ้ารูปสี่เหลี่ยมมุมฉากมีด้านหนึ่งยาว x + 5 หน่วย และมี พื้นที่ 2 4 17 15 x x + − ตารางหน่วย จงหาว่า อีกด้านหนึ่งของ รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากนี้ยาวกี่หน่วย ก. 4 3 x − ข. x −3 ค. 4 3 x + ง. x + 3 14. ถ้ารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่ง ยาว x + 3 หน่วย และพื้นที่ 2 2 7 3 x x + + ตารางหน่วย จงหาว่า ด้านประกอบมุมฉากอีกด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมนี้ ยาวกี่หน่วย ก. 4 2 x − ข. 5 1 x − ค. 3 3 x + ง. 4 2 x + 15. ข้อใดเป็นผลของการแยกตัวประกอบของจำนวนต่อไปนี้ ( ) ( ) 2 2 3 3 10 6 30 x x x x + − + − − ก. (4 5 5 x x − + )( ) ข. 3 5 3 14 ( x x + − )( ) ค. (4 5 5 x x + − )( ) ง. − + − 3 5 3 14 ( x x )( ) 17