ปริซึมและทรงกระบอก เอกสารประกอบการเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน 3 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา ………….… ...............................เฉลย..................................... ชื่อ....................................................................ชื่อเล่น........................ชั้น......................เลขที่................ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียน.................................................................. สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษา.................................. ครูผู้สอน จัดทำโดย นางสาวสิรินรดา เกตุรักษ์
บทที่ 3 ปริซึมและทรงกระบอก 1 บทที่ 3 ปริซึมและทรงกระบอก 1. พื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม ภาพต่อไปนี้แสดงตัวอย่างของปริซึมตรง ซึ่งมีด้านข้างแต่ละด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก และปริซึมเอียง ซึ่งมี ด้านข้างแต่ละด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มุมแต่ละมุมไม่เป็นมุมฉาก ในบทนี้จะกล่าวถึงเฉพาะปริซึมตรงเท่านั้น จากส่วนประกอบต่างๆของปริซึมที่แสดงให้เห็นข้างต้น เราเรียกชื่อปริซึมตามหน้าตัดหรือฐานของปริซึมนั้นๆ เช่น ในทางคณิตศาสตร์ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็น รูปหลายเหลี่ยมที่ เท่ากันทุกประการ ฐานทั้งสองอยู่บนระนาบที่ขนานกัน และด้านข้างแต่ละด้านเป็นรูป สี่เหลี่ยมด้านขนาน เรียกว่า ปริซึม (prism)
บทที่ 3 ปริซึมและทรงกระบอก 2 แบบฝึกหัดที่ 1 รูปในข้อใดบ้างเป็นรูปของปริซึม ถ้าเป็น ให้ระบายสีฐานของปริซึมด้วย 1.1 พื้นที่ผิวของปริซึม ในทางคณิตศาสตร์ พื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมดของวัตถุจะเรียกว่า พื้นที่ผิว (surface area) ของวัตถุ สำหรับการ หาพื้นที่ผิวของปริซึมมีหลักการง่ายๆ คือ การหาพื้นที่ของด้านข้างทั้งหมดรวมกับพื้นที่ของฐานทั้งสอง โดยการคำนวณหา พื้นที่ผิวของปริซึมนั้น อาจร่างภาพรูปคลี่ (net) ของปริซึม เพื่อให้เห็นภาพของพื้นผิวทั้งหมดที่ต้องการคำนวณหาพื้นที่ รูปคลี่ของรูปเรขาคณิตสามมิติที่กล่าวถึงนี้จะเป็นรูปเรขาคณิตสองมิติ ที่แสดงหน้าแต่ละหน้าของรูปเรขาคณิตสามมิติที่คลี่ ออกมาจากบริเวณที่เป็นเส้นขอบ ดังตัวอย่างรูปคลี่ของกล่องทรงลูกบาศก์ต่อไปนี้ 1) 2) 3) 4) 5) 6)
บทที่ 3 ปริซึมและทรงกระบอก 3 ตัวอย่างที่ 1 จงหาพื้นที่ผิวของปริซึมที่กำหนดให้ต่อไปนี้ วิธีทำ ร่างรูปคลี่ของปริซึมที่กำหนดให้ได้ดังนี้ จากรูปคลี่จะเห็นว่าฐานของปริซึมเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จึงหาพื้นที่ฐานของปริซึม ได้ดังนี้ กำหนดให้ความสูงของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วยาว h หน่วย โดยอาศัยทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้ 2 2 2 2 10 13 h = − 12 144 169 25 = = = − h จะได้ พื้นที่ของฐานทั้งสองเท่ากับ 10 12 120 2 1 2 = หน่วย พื้นที่ของด้านข้างของปริซึมซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจำนวน 3 รูป คือ (13 20)+ (13 20)+ (10 20) = 720 ตารางหน่วย ดังนั้น พื้นที่ผิวของปริซึมที่กำหนดให้ เท่ากับ 120 + 720 = 840 ตารางหน่วย ตอบ 840 ตารางหน่วย ตัวอย่างที่ 2 ท๊อปได้รับมอบหมายงานในวิชาศิลปะให้ระบายศรีกล่องกระดาษ ซึ่งกล่องกระดาษมีความกว้าง 10 เซนติเมตรและมีความสูง 6 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ผิวของกล่องกระดาษที่ท๊อปจะต้องระบายสี โดยที่กำหนดให้ กล่องกระดาษมีลักษณะดังนี้ วิธีทำ ร่างรูปคลี่ของกล่องกระดาษที่กำหนดให้ดังนี้ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นฐานของปริซึมได้จากผลคูณของความกว้างยาว เท่ากับ 810 = 80 เซนติเมตร จะได้พื้นที่ฐานทั้งสอง 280 =160 ตารางเซนติเมตร พื้นที่ของด้านข้างของปริซึมซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า 4 รูป เท่ากับ (68)+ (610)+ (68)+ (610) = 216 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่ผิวของกล่องใบนี้เท่ากับ 160 + 216 = 376 ตารางเซนติเมตร ตอบ 376 ตารางเซนติเมตร
บทที่ 3 ปริซึมและทรงกระบอก 4 แบบฝึกหัดที่ 2 1. ให้นักเรียนคำนวณหาพื้นที่ผิวของปริซึมต่อไปนี้ 1) วิธีทำ วาดรูปคลี่ของปริซึมและกำหนดให้ x แทนความยาวของด้านที่ไม่ทราบความยาว จากรูป จะได้ 17 289 225 64 15 8 2 2 2 = = = + = + x x พื้นที่ผิวสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูป =12 12 =144 ตารางหน่วย พื้นที่ผิวสี่เหลี่ยมคางหมู รูป (36 20) 15 2 1 = + = 420 ตารางหน่วย พื้นที่ผิวสี่เหลี่ยมผืนผ้า รูป =1217 = 204 ตารางหน่วย พื้นที่ผิวสี่เหลี่ยมผืนผ้า รูป = 4 2 = 48 ตารางหน่วย ดังนั้น พื้นที่ผิวของปริซึมเท่ากับ 144 + 420 +104 + 48 = 861 ตารางหน่วย 2) วิธีทำ วาดรูปคลี่ของปริซึมและกำหนดความสูงของรูปสามเหลี่ยมรูป เท่ากับ h หน่วยดังนี้ พิจารณา จะได้ 2 2 2 h =10 − 8 ดังนั้น h = 6 หน่วย พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วรูป สองรูป 16 6 96 2 1 2 = = ตารางหน่วย พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมผืนผ้ารูป สองรูป = 2(816) = 256 ตารางหน่วย พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมผืนผ้ารูป = (10 +8+16 +8+10)40 ตารางหน่วย = 2,080 ตารางหน่วย ดังนั้น พื้นที่ผิวของปริซึมเท่ากับ 96 + 256 + 2,080 = 2,432 ตารางหน่วย
บทที่ 3 ปริซึมและทรงกระบอก 5 3) วิธีทำ วาดรูปคลี่ของปริซึม และกำหนดให้ x แทนความยาวของด้านที่ไม่ทราบความยาว จากรูป จะได้ 225 9 12 2 2 2 = x = + ดังนั้น x =15 หน่วย พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า รูป = 20(15 + 9 + 20 +12 + 20) = 20 76 =1,520 ตารางหน่วย พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า รูป สองรูป = 2(12 20) = 480 ตารางหน่วย พื้นที่รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก รูป สองรูป 12 9 180 2 1 2 = = ตารางหน่วย ดังนั้น พื้นที่ผิวของปริซึมเท่ากับ 1,520 + 480 +108 = 2,180 ตารางหน่วย 4) วิธีทำ วาดรูปคลี่ของปริซึมได้ดังนี้ พื้นที่รูปสามเหลี่ยมผืนผ้า รูป = 6(88) = 384 ตารางหน่วย พื้นที่รูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมท่ารูป สองรูป = 88 4 3 2 6 =192 3 ตารางหน่วย ดังนั้น พื้นที่ผิวของปริซึมเท่ากับ 384+192 3 หมายเหตุ เนื่องจากพื้นที่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า 3 4 = ความยาวของด้าน2 และพื้นที่รูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า = 6 พื้นที่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ดังนั้น พื้นที่รูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า 3 6 ( 4 = ความยาวของด้าน2 )
บทที่ 3 ปริซึมและทรงกระบอก 6 2. รูปเรขาคณิตสามมิติที่กำหนดให้นี้ประกอบขึ้นจากลูกบาศก์เล็กๆ จำนวนหนึ่ง ซึ่งแต่ละลูกมีขนาด 1 ลูกบาศก์เซนติเมตร จงหา 1) จำนวนลูกบาศก์ทั้งหมด 2) พื้นที่ผิวของรูปเรขาคณิตสามมิตินี้ วิธีทำ 1) จำนวนลูกบาศก์ทั้งหมด ชั้นที่ 1 (ชั้นล่าง) มีลูกบาศก์ 4 ลูก ชั้นที่ 2 มีลูกบาศก์ 2 + 2 + 2 + 2 + 4 = 12 ลูก ชั้นที่ 3 มีลูกบาศก์ 12 ลูก ชั้นที่ 4 มีลูกบาศก์ 4 ลูก ดังนั้น รูปเรขาคณิตสามมิตินี้ประกอบขึ้นจากลูกบาศก์ทั้งหมด 4 +12 +12 + 4 = 32 ลูก 2) พื้นที่ผิวของรูปเรขาคณิตสามมิตินี้ ลูกบาศก์ส่วนที่ยื่นออกมาแต่ละด้านมี 4 ลูก แต่ละลูกเห็นได้ 3 หน้า แต่ละหน้ามีพื้นที่ 1 ตารางเซนติเมตร จะได้ พื้นที่ผิวของส่วนที่ยื่นออกมาแต่ละด้านเท่ากับ (43)1=12 ตารางเซนติเมตร เนื่องจาก ลูกบาศก์ส่วนที่ยื่นออกมามีทั้งหมด 6 ด้าน ดังนั้น พื้นที่ผิวของรูปเรขาคณิตสามมิติเท่ากับ 612 = 72 ตารางเซนติเมตร 3. สระว่ายน้ำแห่งหนึ่งมีขนาดภายในยาว 30 เมตร กว้าง 15 เมตร พื้นสระเอียงลาดลงจากระดับตื้นที่สุด 1.5 เมตร ไปสู่ระดับลึกที่สุด 3 เมตร ดังรูป จงหาว่าสระนี้มีพื้นที่ผิวข้างภายในทั้งหมดเท่าใด วิธีทำ สระน้ำนี้มีลักษณะเป็นปริซึมสี่เหลี่ยมคางหมู พื้นที่ผิวข้างภายในสระ (3 1.5) 30 (1.5 15) (3 15) 2 1 2 + + = + =135+ 22.5 + 45 = 202.5 ตารางเมตร ดังนั้น สระนี้มีพื้นที่ผิวข้างภายในทั้งหมด 202.5 ตารางเมตร
บทที่ 3 ปริซึมและทรงกระบอก 7 1.2 ปริมาตรของปริซึม ตัวอย่างที่ 3 จงหาปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีขนาดดังรูปต่อไปนี้ วิธีทำ จากรูป ฐานของปริซึมเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่สูง 9 หน่วย มีด้านคู่ขนานยาว 7 หน่วย และ 13 หน่วย และความสูงของปริซึมเป็น 24 หน่วย จะได้ พื้นที่ฐานของปริซึมเท่ากับ (7 13) 9 90 2 1 + = ตารางหน่วย เนื่องจาก ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน x ความสูง ดังนั้น ปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยมคางหมู เท่ากับ 90 24 = 2,160 ลูกบาศก์หน่วย ตอบ 2,160 ลูกบาศก์หน่วย ตัวอย่างที่ 4 ท่อระบายน้ำมีหน้าตัดภายในเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาวด้านละ 2 เมตร มีน้ำไหลผ่านสูงครึ่งท่อด้วยอัตราเร็ว 1.5 เมตรต่อวินาที จงหาปริมาตรของน้ำที่ไหลออกจากท่อในเวลา 30 นาที วิธีทำ เนื่องจาก น้ำไหลผ่านท่อด้วยอัตราเร็ว 1.5 เมตรต่อวินาที ปริมาตรของน้ำซึ่งสูงครึ่งท่อที่ไหลออกจากท่อในเวลา 1 วินาที คือ ปริมาตรของน้ำในปริซึมสี่เหลี่ยมซึ่งมีพื้นที่ฐาน เท่ากับ 1 2 = 2 ตารางเมตร และยาว 1.5 เมตร เนื่องจาก ปริมาตรของน้ำที่ไหลออกในเวลา 1 วินาที เท่ากับ 21.5 = 3 ลูกบาศก์เมตร ในเวลา 30 นาที จะมีน้ำไหลออก เท่ากับ 3(3060) = 5,400 ลูกบาศก์เมตร นั่นคือ ปริมาตรของน้ำที่ไหลออกจากท่อในเวลา 30 นาที เท่ากับ 5,400 ลูกบาศก์เมตร ตอบ 5,400 ลูกบาศก์เมตร ปริมาตรของปริซึมทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก = ความกว้าง x ความยาว x ความสูง = พื้นที่ฐาน x ความสูง ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน x ความสูง
บทที่ 3 ปริซึมและทรงกระบอก 8 แบบฝึกหัดที่ 3 1. จงหาปริมาณของปริซึมต่อไปนี้ (ความยาวที่กำหนดให้มีหน่วยเป็นเซนติเมตร) 1) พื้นที่ฐาน 101.4 ตร.ซม. ปริมาตรของปริซึมแปดเหลี่ยม = พื้นที่ฐาน x ความสูง =101.411 =1,115.4 ลบ.ซม. 2) พื้นที่ฐาน 98 ตร.ซม. ปริมาตรของปริซึมสิบเหลี่ยม = พื้นที่ฐาน x ความสูง = 988 = 784 ลบ.ซม. 3) ปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉาก = พื้นที่ฐาน x ความสูง = (3.54)6 = 84 ลบ.ซม. 4) ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยม = พื้นที่ฐาน x ความสูง 3.3 1.1 3 2 1 = = 5.445 ลบ.ซม. 5) ปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยมคางหมู = พื้นที่ฐาน x ความสูง (4 12) 16 12 2 1 = + =1,536 ลบ.ซม. 6) ปริมาตรของปริซึมห้าเหลี่ยม = พื้นที่ฐาน x ความสูง 5 4 (12 7) 10 2 1 + = = 9410 = 940 ลบ.ซม. 7) ปริมาตรของปริซึมแปดเหลี่ยม = พื้นที่ฐาน x ความสูง = 2(46.5)+ (3.57)6.5 = 76.56.5 = 497.25 ลบ.ซม. 8) ปริมาตรของปริซึมหกเหลี่ยมด้าน เท่ามุมเท่า = พื้นที่ฐาน x ความสูง 8 8 8 4 3 6 = = 768 3 ลบ.ซม.
บทที่ 3 ปริซึมและทรงกระบอก 9 2. ปี๊บน้ำมันพืชทรงสี่เหลี่ยมใบหนึ่งมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 30 เซนติเมตร ปี๊บสูง 55 เซนติเมตร บรรจุ น้ำมันพืชสูง 54 เซนติเมตร อยากทราบว่า 1) ปี๊บน้ำมันพืชใบนี้มีความจุกี่ลิตร 2) ถ้าแบ่งน้ำมันพืชใส่ถุง ถุงละ 0.75 ลิตร จนหมดปี๊บเพื่อนำไปขาย จะได้น้ำมันพืชอย่างมากกี่ถุง วิธีทำ ความจุของปี๊บ = พื้นที่ฐาน x ความสูง = (3030)55 ลูกบาศก์เซนติเมตร 1) ปี๊บน้ำมันพืชใบนี้มีความจุ ( ) 49.5 1,000 30 30 55 = = ลิตร 2) น้ำมันพืชมีปริมาตร ( ) 48.6 1,000 30 30 54 = = ลิตร แบ่งน้ำมันพืชใส่ถุง ถุงละ 0.75 ลิตร จะได้น้ำมันพืช 64.8 75 4,860 0.75 48.6 = = ถุง ดังนั้น จะได้น้ำมันพืชอย่างมาก 64 ถุง 3. ถ้าอากาศ 1 ลูกบาศก์เซนติเมตร หนัก 0.0012 กรัม จงหาน้ำหนักของอากาศซึ่งอยู่ในห้องที่ยาว 26 เมตร กว้าง 16.8 เมตร ระดับน้ำจะต้องสูงจากก้อนอ่างเท่าไร วิธีทำ ความจุของห้อง = 2,6001,680550 ลูกบาศก์เซนติเมตร และอากาศ 1 ลูกบาศก์เซนติเมตร หนัก 0.0012 กรัม ดังนั้น น้ำหนักของอากาศในห้องนี้ = (2,6001,680550)0.0012 = 2,882,880 กรัม หรือ 2,882.88 กิโลกรัม ตอบ 2,882,880 กรัม หรือ 2,882.88 กิโลกรัม 4. อ่างเก็บน้ำทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากยาว 20 เมตร และกว้าง 12 เมตร ถ้าต้องการเก็บน้ำไว้ในอ่าง 1,920 ลูกบาศก์เมตร ระดับน้ำจะต้องสูงจากก้นอ่างเท่าไร วิธีทำ กำหนดให้ h แทนความสูงของระดับน้ำจากก้นอ่าง ปริมาตรของน้ำในอ่าง = พื้นที่ฐาน h 1,920 = (2012) h h = 8 เมตร ดังนั้น ระดับน้ำจะต้องสูงจากก้นอ่าง 8 เมตร ตอบ 8 เมตร
บทที่ 3 ปริซึมและทรงกระบอก 10 5. คลองส่งน้ำชลประทานมีหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ดังรูป การสร้างคลอง ยาว 12 กิโลเมตร จะต้องขุดดินออกไปคิดเป็นปริมาตร 160,000 ลูกบาศก์เมตร คลองนี้มีความลึกโดยเฉลี่ยกี่เมตร วิธีทำ กำหนดให้ d แทนความลึกโดยเฉลี่ยของคลองส่งน้ำ ปริมาตรของดินที่ขุด = พื้นที่ฐาน ความยาวของคลอง ( ) d m d d 3.33 12,000 4 160,000 3 5 12,000 2 1 160,000 = = + ดังนั้น คลองนี้มีความลึกโดยเฉลี่ยประมาณ 3.33 เมตร ตอบ ประมาณ 3.33 เมตร 6. บ่อเลี้ยงปลามีลักษณะเป็นปริซึม มีฐานเป็นรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าและ มีพื้นที่ 6 ตารางเมตร บ่อลึก 1.35 เมตรถ้าบ่อนี้ใส่น้ำไว้ 7.5 ลูกบาศก์เมตร จงหาว่าน้ำอยู่ต่ำกว่าของบนของบ่อเท่าไร วิธีทำ ในระดับน้ำในบ่อเลี้ยงปลาสูง h เมตร ปริมาตรของน้ำในบ่อ = พื้นที่ฐาน ความสูง h m h 1.25 7.5 6 = = เนื่องจากบ่อลึก 1.35 เมตร ดังนั้น ระดับน้ำอยู่ต่ำกว่าของบ่อ 1.35−1.25 = 0.1 เมตร ตอบ 0.1 เมตร 7. แม่น้ำสายหนึ่งลึก 9 เมตร กว้าง 8 เมตร โดยเฉลี่ยน้ำไหลลงทะเลด้วยอัตราเร็ว ประมาณ 4 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จงหาปริมาตรของน้ำที่ไหลลงทะเลใน 1 วินาที วิธีทำ ในเวลา 1 ชั่วโมง น้ำไหลลงทะเล = 9180 4,000 ลูกบาศก์เมตร จะได้ ในเวลา 1 วินาที จะมีน้ำไหลลงทะเล 1,800 60 60 9 180 4,000 = = ลูกบาศก์เมตร ดังนั้น ปริมาตรของน้ำที่ไหลลงทะเลในเวลา 1 วินาที เท่ากับ 1,800 ลูกบาศก์เมตร ตอบ 1,800 ลูกบาศก์เมตร
บทที่ 3 ปริซึมและทรงกระบอก 11 2. พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกระบอก ทรงกระบอกเป็นรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีรูปร่างคล้ายกระบอกไม้ไผ่ที่ตัดเป็นท่อน มีหลายสิ่งที่มีคำว่ากระบอกอยู่ใน ชื่อเพื่อบ่งบอกให้รู้ว่ามีส่วนเกี่ยวข้องกับทรงกระบอก เช่น ในทางคณิตศาสตร์ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานสองฐานเป็นวงกลมที่เท่ากันทุกประการและอยู่บน ระนาบที่ขนานกัน และเมื่อตัดรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้วจะได้หน้าตัดเป็นวงกลมที่ เท่ากันทุกประการกับฐานเสมอ เรียกรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นว่า ทรงกระบอก (cylinder)
บทที่ 3 ปริซึมและทรงกระบอก 12 ตัวอย่างที่ 5 วงแหวนโลหะมีลักษณะและขนาดดังรูป ถ้านำวงแหวนนี้ไปชุบสี พื้นที่ผิวของวงแหวน ที่เคลือบสีจะเป็นเท่าใด(กำหนด 3.14 ) วิธีทำ ให้ 1 r แทนความยาวของรัศมีภายในวงแหวน 2 r แทนความยาวของรัศมีภายนอกวงแหวน จากรูป จะได้ 2 2 4 r1 = = เซนติเมตร 3 2 6 r2 = = เซนติเมตร พื้นที่ผิวของวงแหลานที่เคลือบสีมี 4 ส่วน ส่วนที่ 1 พื้นที่ผิวหน้าตัดด้านหนึ่งซึ่งเป็นวงกลมซ้อนกันสองวงที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกัน จะได้ พื้นที่ผิว 2 1 2 2 = r −r ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 = 3 − 2 = − r r = 5 ตารางเซนติเมตร ส่วนที่ 2 พื้นที่ผิวหน้าตัดอีกด้านหนึ่งซึ่งอยู่ตรงข้ามกับส่วนที่ 1 และมีลักษณะเหมือนกันจึงมีพื้นที่ผิวเท่ากับพื้นที่ผิว ของส่วนที่ 1 จะได้พื้นที่ผิวเท่ากับ 5 ตารางเซนติเมตร ส่วนที่ 3 พื้นที่ผิวด้านข้างภายนอก จะได้ พื้นที่ผิว = 2r2 2 = 2 3 2 =12 ตารางเซนติเมตร ส่วนที่ 4 พื้นที่ผิวด้านข้างภายใน จะได้ พื้นที่ผิว = 2r1 2 = 2 2 2 = 8 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่ผิวของวงแหวนที่เคลือบสี = 5 + 5 +12 +8 = 30 303.14 94.2 ตารางเซนติเมตร ตอบ ประมาณ 94.2 ตารางเซนติเมตร
บทที่ 3 ปริซึมและทรงกระบอก 13 แบบฝึกหัดที่ 4 1. สวนสนุกแห่งหนึ่งมีสไลเดอร์พลาสติกซึ่งมีหน้าตัดเป็นวงกลมรัศมีภายนอก 1.2 เมตร ระยะทางของสไลเดอร์รวมกันทั้งหมดประมาณ 1 กิโลเมตรถ้าต้องการทาสี ภายนอกสไลเดอร์ทั้งหมด จะมีพื้นที่ที่ต้องทาสีประมาณเท่าใด ( = 3.14) วิธีทำ พื้นที่ผิวที่ต้องทาสี = ความยาวของเส้นรอบวงของหน้าตัด ความยาวของสไลเดอร์ทั้งหมด = 2r 1,000 เมื่อ r แทนความยาวของรัศมีภายนอก (เมตร) ( ) 7,536 . 2 3.14 1.2 1,000 m ดังนั้น จะมีพื้นที่ผิวที่ต้องทาสีประมาณ 7,536 ตารางเมตร ตอบ ประมาณ 7,536 ตารางเมตร 2. หลังคาผ้าใบของเต็นท์มีลักษณะเป็นทรงกระบอกผ่าครึ่ง คลุมพื้นดินได้กว้าง 5 เมตร ยาว 10 เมตร จะต้องใช้ผ้าใบทำหลังคาอย่างน้อยกี่ตารางเมตร วิธีทำ ความยาวของโค้งครึ่งวงกลม 2r 2 1 = เมื่อ r แทนรัศมีของเต้นท์ พื้นที่ของผ้าใบ = ความยาวของโค้งครึ่งวงกลม ความยาวของเต็นท์ 10 2 5 3.14 78.5 ตารางเมตร ดังนั้น จะต้องใช้ผ้าใบทำหลังคาอย่างน้อย 78.5 ตารางเมตร ตอบ 78.5 ตารางเมตร
บทที่ 3 ปริซึมและทรงกระบอก 14 2.1 ปริมาตรของทรงกระบอก จะสังเกตเห็นได้ว่ายิ่งมีจำนวนด้านมากเท่าใด รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าเหล่านั้นจะยิ่งมีรูปร่างใกล้เคียง กับวงกลมมากขึ้นตามไปด้วย ดังนั้นการหาปริมาตรของทรงกระบอกจึงหาได้ในทำนองเดียวกันกับการหาปริมาตร ของปริซึมนั่นเอง เนื่องจากพื้นที่ฐานหาได้จากพื้นที่ของวงกลมที่เป็นฐานของทรงกระบอก ซึ่งเท่ากับ 2 r ตัวอย่างที่ 6 สระน้ำพุกลางสวนสาธารณะแห่งหนึ่งมีลักษณะเป็นทรงกระบอก วัดเส้นผ่านศูนย์กลางภายในได้ 4 เมตร และ วัดความลึกจากก้นสระถึงขอบสระได้ 80 เซนติเมตร สระนี้จะจุน้ำได้เท่าใด (กำหนด 3.14 ) วิธีทำ สระน้ำพุมีรัศมีภายในเท่ากับ 2 2 4 = เมตร สระน้ำลึก 80 เซนติเมตร หรือ 0.8 เมตร เนื่องจาก ปริมาตรของทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน ความสูง ดังนั้น ความจุของสระน้ำพุ เท่ากับ (2) 0.8 2 3.14 40.8 10.05 ลูกบาศก์เมตร นั่นคือ สระนี้จุน้ำได้ประมาณ 10.05 ลูกบาศก์เมตร ตอบ ประมาณ 10.05 ลูกบาศก์เมตร ปริมาตรของทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน ความสูง ปริมาตรของทรงกระบอก r h 2 = เมื่อ r แทนรัศมีของวงกลมที่เป็นฐานของทรงกระบอก และ h แทนความสูงของทรงกระบอก
บทที่ 3 ปริซึมและทรงกระบอก 15 แบบฝึกหัดที่ 6 1. แก้วน้ำทรงกระบอกใบหนึ่งวัดเส้นผ่านศูนย์กลางภายในได้ 8 เซนติเมตร แก้วน้ำสูง 10 เซนติเมตร จะจุน้ำได้เท่าไร วิธีทำ ความจุของแก้วน้ำทรงกระบอก 3.14 4 10 2 502.4 ลูกบาศก์เซนติเมตร ดังนั้น แก้วน้ำใบนี้จะจุน้ำได้ประมาณ 502.4 ลูกบาศก์เซนติเมตร ตอบ ประมาณ 502.4 ลูกบาศก์เซนติเมตร 2. ถังน้ำเก็บน้ำฝนทรงกระบอกของโรงเรียนมัธยมศึกษาแห่งหนึ่งสูง 4 เมตร วัดเส้นรอบวงภายในของถังได้เท่ากับ 3.14 เมตร ถังใบนี้เก็บน้ำฝนได้มากที่สุดเท่าใด วิธีทำ กำหนดให้ r แทนรัศมีภายในของถัง และเนื่องจากเส้นรอบวงภายในถังยาว 3.14 เมตร จะได้ 2r = 3.14 . 2 1 2 3.14 3.14 r m r = เนื่องจาก ถังเก็บน้ำฝนทรงกระบอกสูง 4 เมตร ดังนั้น ความจุของถังเก็บน้ำฝนทรงกระบอก 4 2 1 3.14 2 ลูกบาศก์เมตร นั่นคือ ถังใบนี้เก็บน้ำฝนได้มากที่สุดประมาณ 3.14 ลูกบาศก์เมตร ตอบ ประมาณ 3.14 ลูกบาศก์เมตร 3.ปลากระป๋องบรรจุในกระป๋องทรงกระบอกสองชนิดที่มีความจุเท่ากันและมีขนาดดังรูป จงหาความสูง (h) ของกระป๋องใบเตี้ย (ความยาวที่กำหนดให้มีหน่วยเป็นเซนติเมตร) วิธีทำ ความจุของกระป๋องใบเตี้ย = ความจุของกระป๋องใบสูง 4.9 5 7 2 7 10 2 7 2 7 5 5 = = = h h h ดังนั้น ความสูงของกระป๋องใบเตี้ยเป็น 4.9 เซนติเมตร ตอบ 4.9 เซนติเมตร
บทที่ 3 ปริซึมและทรงกระบอก 16 4. ท่อระบายน้ำท่อนหนึ่งยาว 45 เซนติเมตร วัดเส้นผ่านศูนย์กลางภายในและภายนอกได้ 8 เซนติเมตร และ 11 เซนติเมตร ตามลำดับ จงหาปริมาตรของวัสดุที่ใช้ทำท่อระบายน้ำท่อนนี้ วิธีทำ เมื่อ 1 r แทนรัศมีภายนอก 2 r แทนรัศมีภายในของท่อ และ h เป็นความยาวของท่อ ปริมาตรของวัสดุที่ใช้ทำท่อระบายน้ำ ( ) 2 2 2 1 2 2 2 1 = r h −r h = h r − r 4 57 3.14 45 2 8 2 11 3.14 45 2 2 − 2,013.525 ลูกบาศก์เซนติเมตร ดังนั้น ปริมาตรของวัสดุที่ใช้ทำท่อระบายน้ำท่อนนี้ประมาณ 2,013.525 ลูกบาศก์เซนติเมตร ตอบ ประมาณ 2,013.525 ลูกบาศก์เซนติเมตร 5. บ้านของเดชามีลักษณะเป็นลูกบาศก์ ซึ่งมีความยาวด้านละ 6 เมตร เดชาต้องทาสีภายนอกบ้านโดยรอบและตั้งใจจะ ทาสีให้ได้ 2 รอบ เดชาจะต้องซื้อสีทาบ้านกี่กระป๋อง ถ้าสีทาบ้าน 1 กระป๋อง สามารถทาสีบ้านได้ 30 ตารางเมตร วิธีทำ เนื่องจากบ้านของเดชามีลักษณะเป็นลูกบาศก์ซึ่งมีความยาวด้านละ 6 เมตร ดังนั้น ถ้าเดชาต้องทาสีภายนอกบ้าน 1 รอบ จะเท่ากับทาสีผนังภายนอก 4 ด้าน จะได้ว่า พื้นที่ที่เดชาต้องทาสีภายนอกบ้าน 1 รอบ เท่ากับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 4 = (66) 4 =144 ตารางเมตร เนื่องจากเดชาต้องการทาสีภายนอกบ้าน 2 รอบ ดังนั้น เดชาจะต้องทาสีภายนอกบ้านทั้งหมด เท่ากับ 144 2 = 288 ตารางเมตร เนื่องจาก ถ้าทาสีบ้าน 30 ตารางเมตร จะต้องใช้สีทาบ้าน 1 กระป๋อง ดังนั้น ถ้าทาสีบ้าน 288 ตารางเมตร จะต้องใช้สีทาบ้าน 30 288 กระป๋อง หรือประมาณ 9.6 กระป๋อง นั่นคือ เดชาจะต้องซื้อสีมาทาบ้านทั้งหมด 10 กระป๋อง ตอบ 10 กระป๋อง
บทที่ 3 ปริซึมและทรงกระบอก 17 แบบทดสอบเรื่อปริซึมและทรงกระบอก คำชี้แจง : ให้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงข้อเดียว 1. กล่องทรงสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านยาวด้านละ 4 นิ้ว จะมีพื้นที่ผิวเท่าใด ก. 16 ตารางนิ้ว ข. 25 ตารางนิ้ว ค. 36 ตารางนิ้ว ง. 96 ตารางนิ้ว 2. แก้วแท่งหนึ่งหน้าตัดเป็นรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า มีปริมาตร 585 ลูกบาศก์เซนติเมตร แท่งแก้วยาว 18 เซนติเมตร มีพื้นที่หน้าตัดเท่าใด ก. 28.5 ตารางเซนติเมตร ข. 30.5 ตารางเซนติเมตร ค. 32.5 ตารางเซนติเมตร ง. 34.5 ตารางเซนติเมตร 3. กล่องนมสดทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ฐานเป็นรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 7 เซนติเมตร สูง 20.4 เซนติเมตร กล่องนี้จุนมได้ประมาณกี่ลิตร ก. 0.9 ลิตร ข. 1.0 ลิตร ค. 1.2 ลิตร ง. 1.5 ลิตร 4. ถังทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่ายาวด้านละ 50 เซนติเมตร จะมีพื้นที่ผิวเป็นเท่าไร ก. 15,000 ตารางเซนติเมตร ข. 17,500 ตารางเซนติเมตร ค. 18,000 ตารางเซนติเมตร ง. 21,000 ตารางเซนติเมตร 5. ปริซึมสิบเหลี่ยมด้านเท่ามีด้านยาวด้านละ 8 เซนติเมตร สูง 12 เซนติเมตร จะมีพื้นที่ผิวข้าง เท่าไร ก. 480 ตารางเซนติเมตร ข. 768 ตารางเซนติเมตร ค. 960 ตารางเซนติเมตร ง. 980 ตารางเซนติเมตร 6. สระน้ำทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากแห่งหนึ่ง กว้าง 12 เมตร ยาว 20 เมตร ถ้ามีน้ำอยู่ในสระ 1,920 ลูกบาศก์เมตร น้ำสูงจากก้นสระกี่เมตร ก. 14 เมตร ข. 12 เมตร ค. 10 เมตร ง. 8 เมตร 7. ถังน้ำทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมีฐานกว้าง 18 เซนติเมตร ยาว 22 เซนติเมตร ถ้าใส่น้ำในถังสูง 11 เซนติเมตร ปริมาตรของน้ำในถังเป็นเท่าใด ก. 4,350 ลูกบาศก์เซนติเมตร ข. 4,356 ลูกบาศก์เซนติเมตร ค. 4,450 ลูกบาศก์เซนติเมตร ง. 4,456 ลูกบาศก์เซนติเมตร 8. รถบรรทุกสามารถบรรทุกข้าวได้ 3.5 เกวียน ถ้ารถมีกระบะยาว 3.5 เมตร กว้าง 2 เมตร จะบรรจุข้าวได้สูงกี่เมตร ก. 1.8 เมตร ข. 1.5 เมตร ค. 1.2 เมตร ง. 1 เมตร 9. ลูกเต๋าลูกหนึ่งมีพื้นที่ผิวทั้งหมด 433.5 ตาราง เซนติเมตร ลูกเต๋าลูกนี้มีปริมาตรเท่าใด ก. 600.125 ลูกบาศก์เซนติเมตร ข. 604.125 ลูกบาศก์เซนติเมตร ค. 614.125 ลูกบาศก์เซนติเมตร ง. 624.125 ลูกบาศก์เซนติเมตร 10. ดินสอแท่งหนึ่งยาว 14 เซนติเมตร เส้นผ่าน ศูนย์กลางหน้าตัด 0.7 เซนติเมตร ดินสอนี้จะมี พื้นที่ผิวตรงกับข้อใด ก. 31.54 ตารางเซนติเมตร ข. 30.71 ตารางเซนติเมตร ค. 28.98 ตารางเซนติเมตร ง. 28.24 ตารางเซนติเมตร