6 พหุนาม เฉลย

เอกสารประกอบการเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน 3 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา …………… พหุนาม …………………………………เฉลย…………………………………. กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียน.................................................................. สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษา.................................. ชื่อ....................................................................ชื่อเล่น........................ชั้น......................เลขที่................ ครูผู้สอน จัดทำโดย นางสาวสิรินรดา เกตุรักษ์

บทที่ 6 พหุนาม 1 บทที่ 6 พหุนาม เอกนาม คือนิพจน์ที่เขียนอยู่ในรูปการคูณของค่าคงที่กับตัวแปรตั้งแต่ 1 ตัวขึ้นไป โดยเลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวต้อง เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์เท่านั้น เช่น 3 , , , , 10 2 2 2 2 3 4 − b a x y a b c สัมประสิทธิ์ของเอกนาม คือค่าคงที่ที่คูณอยู่หน้าตัวแปร ดีกรีของเอกนาม คือผลบวกของเลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวในเอกนามนั้น เช่น 3 4 2x y มีสัมประสิทธิ์ของเอกนามเท่ากับ 2 และมีดีกรีเท่ากับ 7 2 4 3 2 x y มีสัมประสิทธิ์ของเอกนามเท่ากับ 2 3 และมีดีกรีเท่ากับ 6 1.2abcdef มีสัมประสิทธิ์ของเอกนามเท่ากับ 1.2 และมีดีกรีเท่ากับ 6 0 2a มีสัมประสิทธิ์ของเอกนามเท่ากับ 2 และมีดีกรีเท่ากับ 0 7.8 มีสัมประสิทธิ์ของเอกนามเท่ากับ 7.8 และมีดีกรีเท่ากับ 0 0 มีสัมประสิทธิ์ของเอกนามเท่ากับ 0 และมีดีกรีเท่ากับ หาไม่ได้ ข้อสังเกต 1. จำนวนจริงทุกจำนวนเป็นเอกนาม 2. จำนวนจริงที่ไม่เท่ากับ 0 ทุกจำนวนเป็นเอกนามดีกรี 0 ตัวอย่างของเอกนามที่คล้ายกัน ตัวอย่างของเอกนามที่คล้ายกัน x คล้ายกันกับ 10x 1 2 2 − x y คล้ายกันกับ 2 −4x y 4 2 −2ab c คล้ายกันกับ 4 2 3ab c 7s ไม่คล้ายกันกับ 7t 2 4 24x y ไม่คล้ายกันกับ 2 16x y 2 3 3s t ไม่คล้ายกันกับ 3 2 −4s t นิพจน์ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของเอกนาม 4 7 3 1 2 , 0.5 , 3 , , 7 5 x x z xy − นิพจน์ต่อไปนี้ไม่เป็นเอกนาม 1 2 4 7 , , 2 5 , 2 5 x x x x y z y − − + + เอกนามที่คล้ายกัน 1. เอกนามเหล่านั้นมีตัวแปรชุดเดียวกัน และ 2. เลขชี้กำลังของตัวแปรตัวเดียวกันในแต่ละเอกนามเท่ากัน

บทที่ 6 พหุนาม 2 แบบฝึกหัดที่ 1 1. จงบอกสัมประสิทธิ์ของเอกนามต่อไปนี้ 1) −5x สัมประสิทธิ์คือ −5 2) 3 x − สัมประสิทธิ์คือ 1 3 − 3) 2 2yz สัมประสิทธิ์คือ 2 4) 2 −t y สัมประสิทธิ์คือ −1 5) 2 7 2 3 y z สัมประสิทธิ์คือ 2 3 หรือ 9 6) 3 2 4 7 − x y สัมประสิทธิ์คือ 3 7 − 7) 13 3 4 6 s t สัมประสิทธิ์คือ 13 6 8) 3 3 −4x y สัมประสิทธิ์คือ −4 9) 7 3 qr สัมประสิทธิ์คือ 7 3 10) 3 3 2 x − −สัมประสิทธิ์คือ 3 2 − −หรือ 1 8 − 2. จงบอกว่าเอกนามที่กำหนดให้แต่ละคู่คล้ายกันหรือไม่ 1) 4x กับ −9x เป็นเอกนามที่คล้ายกัน 2) 8x กับ 8y เป็นเอกนามที่ไม่คล้ายกัน 3) 2 3x y กับ 2 2yx เป็นเอกนามที่คล้ายกัน 4) 5yz กับ 2 −2yz เป็นเอกนามที่ไม่คล้ายกัน 5) 2 2x y กับ 2 xy เป็นเอกนามที่ไม่คล้ายกัน 6) 5 2y กับ 5 2y เป็นเอกนามที่คล้ายกัน 7) 4 −7x y กับ 4 −7xy เป็นเอกนามที่ไม่คล้ายกัน 8) 3 −4tx กับ 3 3tx เป็นเอกนามที่คล้ายกัน 1.การบวกและการลบเอกนาม 1.1 การบวกเอกนาม ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวกของ 1) ( ) 2 2 2 2 7 2 7 2 9 xy xy xy xy + = + = 2) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 s t s t s t s t + − = + − = − 5 1 5 4 3) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 − + + − = − + + − = − 3 3 3 2 3 3 2 y y y y y ผลบวกของเอกนามที่คล้ายกัน = (ผลบวกของสัมประสิทธิ์) (ส่วนที่อยู่ในรูปของตัวแปรหรือการคูณกันของตัวแปร)

บทที่ 6 พหุนาม 3 1.2 การลบเอกนาม ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลลัพธ์ต่อไปนี้ 1) − − − − = − − + = − 9 4 8 9 4 8 5 x x x x x ( ) ( ) 2) 6 10 5 6 10 5 1 0 0 mn mn mn mn mn mn + − − − + − = − + − = = ( ) ( ) ( ) ( ) แบบฝึกหัดที่ 2 1.จงหาผลบวกและผลลบของเอกนามแต่ละคู่ต่อไปนี้ สำหรับหาผลลบให้ใช้เอกนามแรกเป็นตัวตั้ง โจทย์ ผลบวก ผลลบ โจทย์ ผลบวก ผลลบ 1) 4x กับ −9x −5x 13x 2) 8y กับ 10y 18y −2y 3) 6x กับ 6 y 6 6 x y + 6 6 x y − 4) −12 กับ 35 23 −47 5) 2 3x กับ 2 2x 2 5x 2 x 6) 5yz กับ −2yz 3yz 7 yz 7) 2 2x y กับ 2 xy 2 2 2x y xy + 2 2 2x y xy − 8) 5 2y กับ 5 2y 5 4y 0 9) 4 −7x y กับ 4 −7xy 4 4 − − 7 7 x y xy 4 4 − + 7 7 x y xy 10) 3 −4tx กับ 3 3tx 3 −tx 3 −7tx 2. จงหาผลลัพธ์ 1) 15 12 3 15 12 3 6 x x x x x + − + = + − + = ( ) ( ) 2) − + − + − = − + − + − = − 4 8 6 4 8 6 18 y y y y y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3) − + + = − + + = 12 5 13 12 5 13 6 u u u u u ( ) 4) ( ) 2 2 2 2 − + + = − + + = 7 3 4 7 3 4 0 w w w w 5) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 17 2 3 17 2 3 12 r s r s r s r s r s + − + − = + − + − = 6) 2 3 2 3 2 3 2 3 0 x x x x x + − + − + = + − + − + = ( ) ( ) ( ) ( ) 7) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 6 2 3 6 5 x x x x x + − + = + − + = 8) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 8 12 10 8 1 12 13 s t s t s t s t s t s t + − + − + = + − + − + = ผลลบของเอกนามที่คล้ายกัน = (ผลลบของสัมประสิทธิ์) (ส่วนที่อยู่ในรูปของตัวแปรหรือการคูณกันของตัวแปร)

บทที่ 6 พหุนาม 4 3.จงหาผลลัพธ์ 1) 10 9 5 10 9 5 4 mn mn mn mn mn − − = − − = − 2) 3 3 3 3 3 a a a a a − − = − − = − 9 7 1 9 7 15 3) − − − = − − − = − 15 20 3 15 20 3 38 xyz xyz xyz xyz xyz 4) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 12 7 3 12 7 3 12 7 3 8 xy xy xy xy xy xy − − − = − − − = − + = 5) − − − − − = − − − − − = − + + = b b b b b b ( 5 8 1 5 8 1 5 8 12 ) ( ) ( ) ( ) 6) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 5 5 5 7 4 3 7 4 3 7 4 3 7 4 3 8 x x x x x x x − − − = − − − = − − − = + − = 7) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 − − − − − = − − − − − = − − − + = − 6 4 6 4 1 1 6 4 1 1 10 y y y y y y y 8) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 6 12 15 3 6 12 15 3 6 12 15 12 a b a b a b a b a b a b a b − − − − − = − − − − − = + − + = 4.จงหาผลลัพธ์1) 5 8 3 5 8 3 0 x x x x − + = − + = 2) − + − = − + − = 7 9 2 7 9 2 0 y y y y 3) 10 4 10 4 1 13 z z z z z + − = + − = 4) 2 2 2 2 2 14 8 7 14 8 7 13 y y y y y − + = − + = 5) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 6 2 3 6 2 3 x x x x x + − − = + − − = 6) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 z z z z z z − − + = − − + = + + = 5 6 1 5 6 1 5 6 12 7) 3 3 3 3 3 − − + = − − + = 3 5 9 3 5 9 s s s s s 8) 16 7 9 16 7 9 14 uv uv uv uv uv + − = + − = 9) 24 10 8 24 10 8 6 xy xy xy xy xy − + − = − + − = ( ) ( ) 10) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 3 4 3 1 4 3 1 8 xy xy xy xy xy xy − − + = − − + = + + = 11) 5 15 5 15 5 15 24 4 6 6 4 4 4 4 4 4 4 4 yz yz yz yz yz yz yz + − = + − = + − = − = − 12) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 − + − + − = − + − + − = − 12 4 13 8 12 4 13 8 29 s t s t s t s t s t s t 13) 2 2 2 2 1 1 1 5 3 1 3 2 2 2 2 2 2 a a a a a a a a − + − = − + − + = + 14) 4 4 3 4 3 4 3 − − − + + = − − + − + + = − + + 7 2 11 6 7 11 2 6 18 4 x y yx yx yx yx yx yx

บทที่ 6 พหุนาม 5 2. การบวกและการลบพหุนาม 2.1 พหุนาม ข้อสังเกต พจน์คือ จำนวนแต่ละจำนวนในพหุนามที่คั่นด้วยเครื่องหมายบวกหรือลบ พหุนามในรูปผลสำเร็จ คือ พหุนามที่ไม่มีพจน์ที่คล้ายกันเลย ตัวอย่างที่ 3 จงเขียนพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้ให้เป็นพหุนามในรูปผลสำเร็จ 1) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 7 9 5 2 6 7 5 9 2 6 2 7 6 x x x x x x x x x x + − − + = − + − + = + + ตอบ พหุนามในรูปผลสำเร็จคือ 2 2 7 6 x x + + 2) 4 8 10 4 8 10 4 10 xy xy x y xy xy x y xy x y − − − = − − − = − − − ( ) ตอบ พหุนามในรูปผลสำเร็จคือ − − − 4 10 xy x y แบบฝึกหัดที่ 3 1. จงเขียนพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้ให้เป็นพหุนามในรูปผลสำเร็จ 1) − + + − = − + + − = − 5 1 7 11 5 7 1 11 2 10 x x x x x ( ) ( ) 2) ( ) 2 2 2 2 2 4 18 4 18 3 18 z z z z z z z z + − − = − + − = + − 3) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 3 2 2 3 2 6 2 3 5 6 3 2 5 3 3 x x x x x x x x x x − − + = − + − + = + 4) x xy x xy x x xy xy x xy − + + − = + + − − + = − + 4 3 3 4 2 4 4 ( ) ( ) 5) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 9 2 3 9 3 6 x y y x y x y x y y x y y + − + + = + + + − + = + + 2. จงหาพจน์ที่หายไป ข้อ พหุนาม พหุนามในรูปผลสำเร็จ 1) 4 5x + 4 5x − + 3 2 x x 4 10x x − 2) 2 6x y + + 2 2y 2 2 − + + 3 5 2 x y y 2 2 3 7 3 x y y + + 3) −11xy 2 + − + − + 10 7 5 12 xy x yx x xy 2 xy xy x + − 4 19 4) 1 9 3 − + + a ab 2 12 3 ab − + + 4 5 b ab a b −+− 9 4 7 5) − − + 6 3a 1 2 a − − + + + 6 4 3 c b c 3 2 b 5 5 5 3 2 2 − − − − a b c 6) ( 5 5 3 4 4 2 5 m m m + − + 5 2m 5 +7 ) m 5 3 60 20 m m − นิพจน์ที่อยู่ในรูปเอกนาม หรือเขียนอยู่ในรูปการณ์บวกกันของเอกนาม ตั้งแต่สองเอกนามขึ้นไป เรียกว่า พหุนาม (polynomial) ดีกรีของพหุนาม เท่ากับ ดีกรีสูงสุดของ พจน์ของพหุนามในรูป ผลสำเร็จ

บทที่ 6 พหุนาม 6 2.2 การบวกพหุนาม ตัวอย่างที่ 4 จงหาผลบวกของ 2 6 10 x + และ 2 − − + 5 1 x x วิธีทำ ( ) ( ) 2 2 2 2 6 10 5 1 6 10 5 1 x x x x x x + + − − + = + − − + ( ) ( ) 2 2 2 6 5 10 1 11 x x x x x = − − + + = − + ตัวอย่างที่ 5 จงหาผลบวกของ 2 8 1, 9 x x x − − −และ 2 x + 4 วิธีทำ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 8 1 9 4 8 1 9 4 x x x x x x x x − + − − + + = − − − + + ( ) ( ) ( ) 2 2 8 9 1 4 3 x x x x x = − + + − + − + = − + แบบฝึกหัดที่ 4 1. จงหาผลบวกของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) − + 12 15 x และ 5x แนวคิด (− + + = − + 12 15 5 7 15 x x x ) 2) −8 และ x − 6 แนวคิด − + − = − 8 6 14 ( x x ) 3) 9 4 y −และ − + 5 2 y แนวคิด (9 4 5 2 4 2 y y y − + − + = − ) ( ) 4) 2 3z และ 2 4 3 10 z z + − แนวคิด ( ) 2 2 2 3 4 3 10 7 3 10 z z z z z + + − = + − 5) 12 1 x −และ 2 6x แนวคิด ( ) ( ) 2 2 12 1 6 6 12 1 x x x x − + = + − 6) 3 5 s st + และ − − 9 3 s st แนวคิด (3 5 9 3 6 2 s st s st s st + + − − = − + ) ( ) 7) 7xy st −และ − + 10 3 st xy แนวคิด (7 10 3 10 11 xy st st xy xy st − + − + = − ) ( ) 8) 2 2 3 7 x x − + และ 2 − + − x x 8 แนวคิด ( ) ( ) 2 2 2 2 3 7 8 2 1 x x x x x x − + + − + − = − − 9) 13 2 2 r t s − −และ − + − 14 11 7 r s t แนวคิด (13 2 2 14 11 7 9 9 r t s r s t r s t − − + − + − = − + − ) ( ) 10) 3 9 15 x y + − และ 2 8 + −y z แนวคิด (3 9 15 2 8 3 17 13 x y y z x y z + − + + − = + − − ) ( ) การหาผลบวกของพหุนาม ทำได้โดยนำพหุนามมาเขียนในรูปการณ์บวก และถ้ามี พจน์ที่คล้ายกัน ให้บวกพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกัน

บทที่ 6 พหุนาม 7 2. จงหาความยาวรอบรูปของรูปเรขาคณิตต่อไปนี้ 1) ความยาวรอบรูป = − + + + − + + (3 5 2 1 3 5 2 1 x x x x ) ( ) ( ) ( ) = − 10 8 x หน่วย 2) ความยาวรอบรูป ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + + + + + − + + + + + + + − 9 4 7 1 7 1 5 5 7 1 9 4 7 1 5 5 x x x x x x x x 2 = + 56 2 x หน่วย 3) ความยาวรอบรูป ( ) ( ) ( ) 2 2 = + − + + + − 2 2 2 2 2 5 4 3 2 a a a a 2 = + − 6 16 2 a a หน่วย

บทที่ 6 พหุนาม 8 4) ความยาวรอบรูป ( ) ( ) ( ) 2 = + + + + − 2 3 2 3 2 2 2 b ab ab ab 2 = + 2 14 b ab หน่วย 5) ความยาวรอบรูป ( ) ( ) 2 = − + − + + 2 8 4 3 3 2 2 4 y x y x 2 = − + + 16 4 6 2 y x y หน่วย 6) ความยาวรอบรูป ( ) ( ) ( ) 2 = + − + − + − 2 9 2 9 27 6 1 x x x x 2 = + − 2 26 78 x x หน่วย

บทที่ 6 พหุนาม 9 2.3 การลบพหุนาม ตัวอย่างที่ 6 จงหาผลลบ ( ) ( ) 2 15 2 12 6 x x x + − + − วิธีทำ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 15 2 12 6 15 2 12 6 x x x x x x + − + − = + + − + − + 2 2 15 2 12 6 3 8 x x x x x = + − − + = − + + ตัวอย่างที่ 7 จงหาผลลบ ( ) ( ) 2 2 3 5 10 3 14 15 x x x x − − − − − วิธีทำ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 5 10 3 14 15 3 5 10 3 14 15 x x x x x x x x − − − − − = − − + − + + = + 9 5 x ตัวอย่างที่ 8 จงหาผลลบ ( ) ( ) 2 2 4 7 12 5 6 11 x x x x + − − − + วิธีทำ ( ) ( ) 2 2 2 2 4 7 12 5 6 11 4 7 12 5 6 11 x x x x x x x x + − − − + = + − − + − 2 = − + − x x 13 23 แบบฝึกหัดที่ 5 1. จงหาผลลบต่อไปนี้ 1) 6 4 7 6 4 7 2 7 x x x x x − + = − − = − ( ) 2) (− − − − = − − − + = − + 14 1 6 12 14 1 6 12 20 11 x x x x x ) ( ) 3) (18 2 18 2 18 2 18 2 0 x x x x − − − = − − + = ) ( ) 4) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 5 8 9 3 5 8 9 7 14 3 + + − − = + + − + = − + + x x x x x x x x x x 5) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 − + − − + + = − + − − − − = − − − x x x x x x x x x x 1 3 9 1 3 9 2 2 10 6) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 7 8 11 2 10 1 7 8 11 2 10 1 9 18 10 x x x x x x x x x x − − − − + − = − − + − + = − − การลบพหุนามด้วยพหุนาม ทำได้โดยบวกพหุนามตัวตั้ง ด้วยพจน์ตรงข้ามของแต่ละพจน์ของพหุนามตัวลบ พหุนามตัวตั้ง - พหุนามตัวลบ = พหุนามตัวตั้ง + พหุนามตรงข้ามของพหุนามตัวลบ

บทที่ 6 พหุนาม 10 2.จงหาผลบวกและผลลบของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้โดยใช้พหุนามแรกที่กำหนดเป็นตัวตั้ง โจทย์ การบวก การลบ 1) − + 15 2 xy y กับ 3 8 x xy y + − − + + 7 3 xy x y − − + 23 3 3 xy x y 2) 2 4 7 5 z z + − กับ 9 1 z + 2 4 16 4 z z + − 2 4 2 6 z z − − 3) 2 x x − 6 กับ 2 − + − x x4 21 − − 2 21 x 2 2 10 21 x x − + 4) 13 8 s t −กับ 6 3 2 r s t + − 6 16 10 r s t + − − + − 6 10 6 r s t 5) 2 5 6 4 x x + − กับ 2 3 12 1 x x − − 2 8 6 5 x x − − 2 2 18 3 x x + − 6) 2 2 2 3 x x − + กับ 1 2 10 2 x x − + 3 5 2 12 2 3 x x − + 1 1 2 8 2 3 x x + − 3. กำหนดให้ A แทนพหุนาม 2 2 8 x x + − B แทนพหุนาม 2 − − + 8 3 6 x x C แทนพหุนาม 2 7 9 12 x x − − จะได้ ( ) ( ) 2 2 A B x x x x + = + − + − − + 2 8 8 3 6 2 2 2 2 8 8 3 6 6 2 2 x x x x x x = + − − − + = − − − จงหาพหุนามต่อไปนี้ 1) 2 B A x x + = − − − 6 2 2 2) ( ) ( ) 2 2 B C x x x x + = − − + + − − 8 3 6 7 9 12 2 = − − − x x 12 6 3) ( ) ( ) 2 2 A C x x x x − = + − − − − 2 8 7 9 12 2 = − + + 5 10 4 x x 4) ( ) ( ) 2 2 C A x x x x − = − − − + − 7 9 12 2 8 2 = − − 5 10 4 x x 5) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 A C B x x x x x x − + = + − − − − + − − + 2 8 7 9 12 8 3 6 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 8 7 9 12 8 3 6 5 10 4 8 3 6 13 7 10 x x x x x x x x x x x x = + − − + + + − − + = − + + + − − + = − + + 6) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 A B C x x x x x x − − = + − − − − + − − − 2 8 8 3 6 7 9 12 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 8 3 6 7 9 12 2 8 15 6 18 2 8 15 6 18 17 5 26 x x x x x x x x x x x x x x x x = + − − − − + − + + = + − − − + + = + − + − − = − −

บทที่ 6 พหุนาม 11 3. การคูณพหุนาม 3.1 การคูณระหว่างเอกนามกับเอกนาม ตัวอย่างที่ 9 จงหาผลคูณระหว่างเอกนามกับเอกนาม 1) (2 5 10 )( x x ) = 2) ( )( ) 2 − = − 4 7 28 x x x 3) ( )( ) 2 6 6 xy y xy = 4) ( )( ) 2 3 2 − − = x y xy x y 10 10 5) (− = − 3 9 27 )( x y xy )( ) 3.2 การคูณระหว่างเอกนามกับพหุนาม ตัวอย่างที่ 10 จงหาผลคูณระหว่างเอกนามกับพหุนาม 1) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 3 2 7 3 2 3 7 x x x x x x x − = − 3 2 = − 6 21 x x 2) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 − + − = − + − − − 4 8 5 6 4 8 4 5 4 6 x x x x x x x x 4 3 2 = − − + 32 20 24 x x x 3.3 การคูณระหว่างพหุนามกับพหุนาม ตัวอย่างที่ 11 จงหาผลคูณระหว่างพหุนามกับพหุนาม 1) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 x x x x x x x x x + − = − + − 4 3 3 4 3 4 3 2 2 3 2 3 12 4 3 11 4 x x x x x x x = − + − = + − 2) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 3 2 x x x x x x x x x x − + − = + − − − + 3 2 5 2 5 3 3 2 3 5 3 2 2 3 2 2 5 3 6 15 11 15 x x x x x x x x = + − − − + = − − + การหาผลคูณของพหุนามกับพหุนาม ทำได้โดยคูณแต่ละพจน์ของพหุนามหนึ่ง กับทุกๆ พจน์ของอีกพหุนามหนึ่ง แล้วนำผลคูณเหล่านั้นมาบวกกัน

บทที่ 6 พหุนาม 12 แบบฝึกหัดที่ 6 1. จงหาผลคูณต่อไปนี้ 1) ( )( ) 2 2 3 6 x x x = 2) (− − = x y xy )( ) 3) (9 3 27 xy xy )( ) = 4) ( ) 1 2 3 8 4 2 x x x = 5) ( )( ) 2 − − = 2 2 xy y xy 6) ( )( ) 2 0 12 0 xz = 7) ( )( ) 2 − − = 4 13 52 x xy x y 8) ( )( ) 2 2 3 − = − 9 11 99 xy xy x y 9) ( )( ) 3 4 − = − 3 4 12 xy x x y 10) ( )( ) 2 2 3 3 10 6 60 x y xy x y − = − 11) ( )( ) 2 2 3 2 − = − 14 2 28 y yz y z 12) ( )( ) 2 2 2 2 4 4 8 7 56 y z y z y z − = − 2. จงหาผลคูณต่อไปนี้ 1) 6 5 2 30 12 ( x x + = + ) 2) ( ) 1 4 6 2 3 2 x x + = + 3) ( ) 2 x x x x − = − 1 4) ( )( ) 2 − − + = − 7 8 9 56 63 x x x x 5) ( )( ) 2 10 9 2 20 18 x x x x + = + 6) ( )( ) 2 2 − − = − + 4 6 4 24 x x x x 7) ( )( ) 2 3 − + = − − 5 8 5 40 x x x x 8) ( )( ) 2 2 4 3 − + − = − 7 10 7 10 x x x x x 9) ( ) 3 2 2 3 4 7 6 8 14 x x x x − − = − − 10) ( )( ) 2 3 2 9 2 3 9 18 27 x x x x x x + − = + − 11) ( )( ) 3 4 2 − − + = − + − 3 2 6 6 3 18 x x x x x x 12) ( )( ) 3 2 4 3 2 8 6 5 11 48 40 88 x x x x x x x − + − = − + − 3. จงหาผลคูณ 1) ( )( ) 2 x x x x + + = + + 3 6 9 18 2) ( )( ) 2 x x x x + + = + + 7 1 8 7 3) ( )( ) 2 x x x x + + = + + 5 2 7 10 4) ( )( ) 2 x x x x + + = + + 4 4 8 16 5) ( )( ) 2 x x x x + − = + − 4 3 12 6) ( )( ) 2 x x x x + − = − − 2 6 4 12 7) ( )( ) 2 x x x x + − = − − 7 8 56 8) ( )( ) 2 x x x + − = − 5 5 25 9) ( )( ) 2 x x x x − + = − − 9 4 5 36 10) ( )( ) 2 x x x x − + = + − 2 3 6 11) ( )( ) 2 x x x x − + = + − 1 4 3 4

บทที่ 6 พหุนาม 13 12) ( )( ) 2 x x x − + = − 3 3 9 13) ( )( ) 2 x x x x − − = − + 8 2 10 16 14) ( )( ) 2 x x x x − − = − + 6 5 11 30 15) ( )( ) 2 x x x x − − = − + 7 4 11 28 16) ( )( ) 2 x x x x − − = − + 9 8 16 64 4. จงหาผลลัพธ์ 1) ( )2 2 x x x − = − + 1 2 1 2) ( )2 2 x x x − = − + 5 10 25 3) ( )2 2 x x x + = + + 7 14 49 4) ( )2 2 x x x + = + + 10 20 100 5) ( )2 2 2 1 4 4 1 x x x + = + + 6) ( )2 2 3 5 9 30 25 x x x + = + + 7) ( )2 2 7 3 49 42 9 x x x − = − + 8) ( )2 2 4 1 16 8 1 x x x − = − + 9) ( )2 2 2 5 25 10 x y x xy y + = + + 10) ( )2 2 2 3 4 9 24 16 x y x xy y + = + + 11) ( )2 2 2 7 49 14 x y x xy y − = − + 12) ( )2 2 2 4 8 16 64 64 x y x xy y − = − + 13) ( )( ) 2 x x x x − − = − + 2 2 1 2 5 2 14) ( )( ) 2 3 4 5 3 11 20 x x x x − + = + − 15) ( )( ) 2 7 1 3 2 21 17 2 x x x x + + = + + 16) ( )( ) 2 4 1 2 3 8 10 3 x x x x + − = − − 17) ( )( ) 2 2 3 1 5 2 7 15 − + = + − x x x x 18) ( )( ) 2 4 7 3 2 8 26 21 x x x x − − = − + − 19) ( )( ) 2 3 2 x x x x x + + = + + + 2 7 4 7 14 4 8 20) ( )( ) 2 3 2 x x x x x − − = − − + 1 1 1

บทที่ 6 พหุนาม 14 5. จงหาพื้นที่ของส่วนที่แรเงาต่อไปนี้ 1) พื้นที่ส่วนที่แรเงา = พื้นที่ ABGK + พื้นที่ NOMC + พื้นที่ LMKE + พื้นที่ JHI = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 12 6 4 5 4 4 4 2 a b b b b b a b b + + + + = 2 14 52 ab b + ตารางหน่วย 2) พื้นที่ส่วนที่แรเงา = พื้นที่ ABE + พื้นที่ EBCD = ( )( ) ( ) ( ) 1 1 4 3 4 4 2 2 2 x y x x y y + + − = 2 10xy y −ตารางหน่วย

บทที่ 6 พหุนาม 15 3) พื้นที่ส่วนที่แรเงา = พื้นที่ ABNM + 2(พื้นที่ MJKL ) + พื้นที่ IFGH = ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 3 3 3 3 3 4 15 2 2 3 5 6 m m m m m m + + = 6 102m ตารางหน่วย 4) พื้นที่ส่วนที่แรเงา = 2(พื้นที่ ABCH ) + พื้นที่ HCDG = ( ) ( ) ( )( ) 1 2 4 2 2 2 1 4 2 2 2 b a b a b a + + + − + + = 2 2 − + + + + + 2 8 8 4 8 2 a ab b a b ตารางหน่วย

บทที่ 6 พหุนาม 16 5) พื้นที่ส่วนที่แรเงา = 3 4 (พื้นที่วงกลม O ) + พื้นที่ ABCD = ( ) 2 3 2 2 2 4 r r − = 3 3 2 2 4 2 r r −ตารางหน่วย 6) พื้นที่ส่วนที่แรเงารูปที่ 2 = 1 2 (พื้นที่วงกลม P ) - พื้นที่ AOB = ( )( ) 1 1 2 2 2 2 r r r − = 1 2 2 2 r r −ตารางหน่วย จะได้ พื้นที่แรเงา รูปที่ 1 = 1 2 2 4 2 r r − = 2 2 2 4 r r −ตารางหน่วย

บทที่ 6 พหุนาม 17 4. การหารพหุนามด้วยเอกนาม 4.1 การหารเอกนามด้วยเอกนาม ตัวอย่างที่ 12 จงหาผลหารต่อไปนี้ 1) 10 10 3 7 3 2 2 2 1 x x x x − = = 2) 4 2 4 2 2 1 2 2 18 18 9 10 10 5 x y x y x y x y − − = − = − − 4.2 การหารพหุนามด้วยเอกนาม ตัวอย่างที่ 13 จงหาผลหารต่อไปนี้ 1) จงหาร 3 2 15 24 x x −ด้วย −3x วิธีทำ 3 2 3 2 15 24 15 24 3 3 3 x x x x x x x − = − − − − 2 = − + 5 8 x x 2) จงหาร 4 2 348 2 x y x y xy xy − + วิธีทำ 4 2 4 2 3 4 8 3 4 8 2 2 2 2 x y x y xy x y x y xy xy xy xy xy − + =−+ 3 3 2 4 2 = − + x x ตัวหาร x ผลหาร = ตัวตั้ง

บทที่ 6 พหุนาม 18 แบบฝึกหัดที่ 7 1. จงหาผลหารต่อไปนี้ 1) 10 2 5 x x − = − 2) 2 10 5 2 a a a = 3) 2 1 3 3 b b b = 4) 4 2 2 8 1 16 2 y y y = 5) 20 4 5 xy y x = 6) 2 3 3 2 2 xy xy y = 7) 2 12 2 4 3 x y x y = − − 8) 2 2 27 3 9 m n mn mn − = − 9) 3 15 5 2 12 4 x y x xy = 10) 4 3 2 2 2 x y x y x y − = − 11) 3 4 2 3 2 6 6 x y y x y = 12) 4 3 2 2 2 4 1 8 2 p q p q p q = 2. จงหาผลหารต่อไปนี้ 1) 5 3 5 3 4 4 4 x x − = − 2) 2 18 36 2 2 4 9 a a − − = + − 3) 2 4 4 1 5 5 5 y y y y − = − 4) 3 15 12 2 5 4 3 x x x x − + = − − 5) 3 21 49 2 3 7 7 x x x x + = − − − 6) 3 2 2 8 3 8 3 z z z z − = − 7) 3 2 2 18 24 3 4 6 x x x x − + = − + 8) 2 3 2 3 1 3 x x x x + = − − − 9) 6 3 12 10 6 5 2 6 5 3 2 a b a b ab a a ab − + − = − + − 10) 3 3 2 4 2 2 2 2 4 6 8 3 2 4 2 x y x y xy x y xy xy − − = − −

บทที่ 6 พหุนาม 19 3. จงหาตัวตั้งซึ่งมีตัวหารและผลหาร ดังตาราง ข้อ ตัวหาร ผลหาร ตัวตั้ง 1) 4x x −1 2 4 4 x x − 2) −a − + 3 7 a 2 3 7 a a − 3) 2x 2 5 2 − x 3 10 4 x x − 4) 2 3b − − 6 8 b 3 2 − − 18 24 b b 5) 7x 2 − + x x4 3 2 − + 7 28 x x 6) −5x 2 3 6 x x − + 3 2 − + − 15 5 30 x x x

บทที่ 6 พหุนาม 20 แบบทดสอบเรื่อง พหุนาม คำชี้แจง : ให้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงข้อเดียว 1.ข้อใดไม่ถูกต้อง ก. ดีกรีสูงสุดของพหุนาม 2 2 2 3 3 5 2 x xy x y + + มีค่าเท่ากับ 5 ข. ดีกรีสูงสุดของพหุนาม ( ) 5 3 3 2 8 13 a m n + − + มีค่าเท่ากับ 6 ค. พจน์ที่มีดีกรีสูงสุดในพหุนาม ( ) 2 3 3 5 a b x y + − + คือ 2 3a b ง. พจน์ที่มีดีกรีสูงสุดในพหุนาม ( ) 2 3 5 9 3 mn x y + + − คือ 3 9x y 2. ข้อใดถูกต้อง ก. ( ) 5 3 5 11 3 9 3 x y x + − + + มีดีกรีเท่ากับ 5 ข. ( ) 4 3 4 3 15 12 3 a b a b + − + มีดีกรีเท่ากับ 6 ค. ( ) 2 2 13 5 14 5 m n xy m n + + − + มีดีกรีเท่ากับ 5 ง. ( ) 4 4 2 9 6 3 2 st st s t + − + + มีดีกรีเท่ากับ 6 3.ผลบวกของพหุนามในข้อใดมีค่าเท่ากับ 3 2 − + + m m m 3 5 ก. ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 10 4 5 5 m m m m m m − + + − + − ข. ( ) ( ) 3 2 3 m m m m + + + + + 2 4 5 1 ค. ( ) ( ) 3 2 3 − + + + + m m m m m5 ง. ( ) ( ) 3 2 3 m m m m m m + + + − + 8 5 3 4.ผลบวก ( ) ( ) 2 2 4 5 4 , 3 4 m m m + + + และ 2 2 5 m + ตรงกับข้อใด ก. 3 2 9 9 9 m m + + ข. 3 9 9 9 m m + + ค. 2 9 9 9 m m + + ง. 2 9 9 m m + 5. ( ) ( ) 2 3 3 2 2 3 3 2 3 4 2 5 9 7 15 a b b c c d e a b b c c d e − + − + − − + − ตรงกับข้อใด ก. 3 3 2 2 2 2 13 9 20 a b b c c d e − + − ข. 3 3 4 2 2 13 9 20 ab b c c d e − + − ค. 2 3 3 5 2 2 13 9 20 a b b c c d e − + − ง. 2 3 3 2 2 13 9 20 a b b c c d e − + − 6.ผลคูณของเอกนามในข้อใดมีค่าเท่ากับ 2 3 −12x yz ก. ( )( ) 2 −2 6 xyz yz ข. (− − 3 4 xy xz )( ) ค. ( )( ) 2 2 6 x yz xyz − ง. ( )( ) 2 −3 4 xyz xz 7.ข้อใดไม่ถูกต้อง ก. ( )( ) 2 3 3 4 − − = a b ab a b 2 2 ข. ( )( ) 4 2 5 3 9 3 3 9 ab a b a b − = − ค. ( )( ) 3 4 6 5 9 9 − − = − 2 2 a b a b a b ง. ( )( ) 2 4 2 5 4 − = − ab a b a b 4 4 8.จงหาผลลัพธ์ ( )( ) 2 2 − − + − xy x y x 2 3 5 ก. 3 3 2 2 2 2 3 5 x y x y xy − + ข. 3 3 2 2 2 x y x y xy − + ค. 2 3 5 xy xy xy − + ง. 3 3 2 2 2 x y x y xy − + 3 5 9.จงหาผลลัพธ์ ( x x − + 2 5 )( ) ก. 2 x x − − 3 10 ข. 2 x x + − 10 3 ค. 2 x x + − 3 10 ง. 2 x x + + 3 10

บทที่ 6 พหุนาม 2 10. ( ) 2 2 3 1 x x − + เกิดจากผลคูณของพหุนามในข้อใด ก. (2 1 1 x x + − )( ) ข. ( ) 2 2 3 1 x x − + ค. ( )( ) 2 2 x x + − 3 2 1 ง. (2 1 1 x x − − )( ) 11. ( )( ) ( )( ) 2 2 x x x x + + − + 3 2 2 มีค่าตรงกับข้อใด ก. 4 2 − + − x x4 4 ข. 4 2 x x − − 4 4 ค. 4 2 x x + − 4 4 ง. 4 2 x x + + 4 4 12.( )( ) ( )( ) 2 2 x x x x x + − − + − 9 3 3 1 มีค่าตรงกับข้อใด ก. 3 2 2 4 26 x x x − − ข. 3 2 − + + 2 4 26 x x x ค. 3 2 2 4 26 x x x + − ง. 3 2 − + − 2 4 26 x x x 13. ผลหารของ 2 2 36 3 − x y y ตรงกับข้อใด ก. 2 −108x ข. 2 −54x ค. 2 54x ง. 2 108x 14. 5 4 3 2 3 144 12 x y z − xy z มีค่าตรงกับข้อใด ก. 4 2 12x y ข. 4 3 12x y ค. 4 2 −12x y ง. 4 3 −12x y 15.ข้อใดไม่ถูกต้อง ก. 6 3 4 2 2 64 8 8 a b a b a b − = − ข. 3 4 7 2 3 4 3 169 13 13 a b c a b c abc = − ค. 9 3 2 5 7 2 4 2 36 18 18 9 2 m n m n m n n m n − − = − − ง. 3 5 7 4 6 9 4 6 2 5 8 2 49 35 7 5 7 x y z x y z xy z x y z x yz + = + 16. 3 4 4 5 5 7 2 3 2 81 36 64 9 4 x y x y x y x y y + − มีค่าตรงกับข้อใด ก. 2 2 5 5 − + − 9 4 16 xy x y x y ข. 2 2 5 5 − − − 9 4 16 xy x y x y ค. 2 2 5 5 9 4 16 xy x y x y + + ง. 2 2 5 5 9 4 16 xy x y x y + − 17.ข้อใดคือผลสำเร็จของ 5(x + y)− 3(x − y)+ 5x − 4y ก. 7x + 4y ข. 7x + 2y ค. 5x + 4y ง. 5x + 2y 18.ข้อใดไม่เป็นเอกนาม ก. 5 ข. 2 4x ค. 1 2 4 − x x ง. z x 2 7 19.ข้อใดต่อไปนี้เป็นพหุนาม ก. 2 3x ข. 2 2 1 3 5 − x y + yx + x z ค. 1 2 4 5 − + x x y ง. มีคำตอบมากกว่า 1 ข้อ 20. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 8 2 5 2 3 3 m m m m m + − + − + มีค่า ตรงกับข้อใด ก. 4 3 2 21 18 3 m m m + + ข. 4 3 2 21 18 3 m m m − + ค. 4 3 21 18 3 m m m + + ง. 4 3 21 18 3 m m m − − 21