เอกสารประกอบการเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 2 ปีการศึกษา ................. เส้นขนาน .....................................เฉลย....................................... ชื่อ....................................................................ชื่อเล่น........................ชั้น......................เลขที่................ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน 4 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียน............................................................... สำนักงานเขตพื้นที่............................................... ครูผู้สอน จัดทำโดย นางสาวสิรินรดา เกตุรักษ์
บทที่ 3 เส้นขนาน 1 บทที่ 3 เส้นขนาน 3.1 เส้นขนานและมุมภายใน สําหรับเส้นขนานคู่หนึ่ง ระยะระหว่างเส้นขนานจะเท่ากันเสมอ (ระยะห่างระหว่างเส้น ที่ขนานกัน จะต้องวัดทํามุมฉากกัน กับเส้นคู่ขนาน) โดยใช้สัญลักษณ์ // แสดงการขนานกัน เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ AB CD / / หรือ CD AB / / 3.1.1 ระยะห่างระหว่างเส้นขนาน ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน แล้วระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่นั้นจะเท่ากันเสมอ และในทางกลับกัน ถ้าเส้นตรงสอง เส้นมีระยะห่างระหว่างเส้นตรงเท่ากันเสมอ แล้วเส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน ไม่ขนานกัน ขนานกัน บทนิยาม เส้นตรงสองเส้นที่อยู่บนระนาบเดียวกัน ขนานกัน ก็ต่อเมื่อ เส้นตรงทั้งสองเส้นนั้นไม่ตัดกัน PQ RS / / KL MN / / AB CD / / ST XY //
บทที่ 3 เส้นขนาน 2 3.1.2 มุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด จากรูป กําหนดให้ AB //CD มี XY ลากตัดกับเส้นตรง AB และ CD เรียก เส้นตรง XY ว่า “เส้นตัดขวาง (Transversal Line)” เรียก 3 ˆ 2, ˆ 1, ˆ และ 4 ˆ ว่า “มุมภายใน (Interior Angles)” เรียก 1 ˆ และ 3 ˆ ว่า มุมภายในที่อยู่ข้างเดียวกันของเส้นตัด XY เรียก 2 ˆ และ 4 ˆ ว่า มุมภายในที่อยู่ข้างเดียวกันของเส้นตัด XY สมบัติของเส้นขนาน หรือ ตัวอย่างที่ 1 ข้อใดมีเส้นตรงขนานกัน 1) 2) วิธีทำ o o o 90 + 80 = 170 วิธีทำ o o o 110 + 70 = 180 AB ไม่ขนานกับ CD AB ขนานกับ CD 1. ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน และมีเส้นตรงเส้นหนึ่งมาตัดขวางแล้ว ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตรงรวมกันเท่ากับ 180 องศา 2. ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทําให้เกิดของมุมภายในที่อยู่ข้างเดียวกัน ของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศาแล้ว เส้นตรงคู่นี้จะขนานกัน เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา
บทที่ 3 เส้นขนาน 3 ตัวอย่างที่ 2 จากรูป จงหาค่า x ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ AB CD / / จงหาค่าของ x ตัวอย่างที่ 4 จากรูป กำหนดให้ PQ PS / / และมี PR เป็นเส้นตัด จงพิสูจน์ ˆ ˆ 1 3 = กำหนดให้ PQ PS / / และมี PR เป็นเส้นตัด ต้องการพิสูจน์ว่า ˆ ˆ 1 3 = พิสูจน์ PQ PS / / และมี PR เป็นเส้นตัด (กำหนดให้) ˆ ˆ 2 3 180o + = (ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด ที่ตัดเส้นขนานรวมกันเท่ากับ 180 องศา) ˆ ˆ 2 1 180o + = (ขนาดของมุมตรง) จะได้ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 2 3 + = + (สมบัติของการเท่ากัน) ดังนั้น ˆ ˆ 1 3 = (สมบัติของการเท่ากัน) 75 180 180 75 105 o o o o o x x x + = = − = วิธีทำ เนื่องจาก AB CD / / จะได้ (2 8 72 180 x − + = ) (ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด ที่ตัดเส้นขนานรวมกันเท่ากับ 180 องศา) 2 64 180 2 116 x x + = = ดังนั้น x = 58
บทที่ 3 เส้นขนาน 4 แบบฝึกหัดที่ 1 1. เส้นตรงแต่ละคู่ต่อไปนี้ ขนานกับหรือไม่ เพราะเหตุใด 1) 2) แนวคิด 117 63 180 o o o + = แนวคิด 134 47 181 o o o + = AB ขนานกับ CD AB ไม่ขนานกับ CD 3) 4) แนวคิด ˆ 180 91 89 o o o DYX = − = แนวคิด ข้อมูลไม่เพียงพอ นั่นคือ 90 89 179 o o o − = AB ไม่ขนานกับ CD 2. จงหาค่าของ x ในแต่ละข้อต่อไปนี้ เมื่อกำหนดให้ PQ RS / / 1) 2) ตอบ 79 ตอบ 88
บทที่ 3 เส้นขนาน 5 3) 4) ตอบ 60 ตอบ 75 5) 6) ตอบ 5 หรือ −5 ตอบ 20 3. จากรูป กำหนดให้ AB CD / / จงหาค่าของ 2x y − เนื่องจาก AB CD / / จะได้ x + = 90 180 (ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดที่ตัด เส้นขนานรวมกันเท่ากับ 180o ) ดังนั้น x = 90 (สมบัติของการเท่ากัน) และ y + = 60 180 (ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดที่ตัด เส้นขนานรวมกันเท่ากับ 180o ) ดังนั้น y =120 (สมบัติของการเท่ากัน) นั่นคือ 2 2 90 120 60 x y − = − = ( )
บทที่ 3 เส้นขนาน 6 4. จากรูป กำหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู มีด้าน AB ขนานกับด้าน CD ดังนั้น จงหาขนาดของ ADC ˆ และ DCB ˆ เนื่องจาก ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู มีด้าน AB ขนานกับด้าน CD จะได้ ˆ ADC + = 53 180 (ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดที่ตัด เส้นขนานรวมกันเท่ากับ 180o ) ดังนั้น ˆ 127o ADC = (สมบัติของการเท่ากัน) และ ˆ DCB + = 71 180 (ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดที่ตัด เส้นขนานรวมกันเท่ากับ 180o ) ดังนั้น ˆ 109o DCB = (สมบัติของการเท่ากัน) 5. จากรูป กำหนดให้ PL MN / / จงพิสูจน์ว่า BMN AKP ˆ ˆ = กำหนดให้ PL MN / / และมี AB เป็นเส้นตัด ตัด PL และ MN จุด K และ M ตามลำดับ ต้องการพิสูจน์ว่า BMN AKP ˆ ˆ = พิสูจน์ เนื่องจาก PL MN / / มี AB เป็นเส้นตัด (กำหนดให้) จะได้ ˆ ˆ 180o MKL KMN + = (ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด ที่ตัดเส้นขนานรวมกันเท่ากับ 180 องศา) เนื่องจาก ˆ ˆ 180o BMN KMN + = (ขนาดของมุมตรง) จะได้ BMN KMN MKL KMN ˆ ˆ ˆ ˆ + = + (สมบัติของการเท่ากัน) ดังนั้น BMN MKL ˆ ˆ = (สมบัติของการเท่ากัน) เนื่องจาก MKL AKP ˆ ˆ = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น BMN AKP ˆ ˆ = (สมบัติของการเท่ากัน)
บทที่ 3 เส้นขนาน 7 3.2 เส้นขนานและมุมแย้ง จากรูป เรียก ˆ 1 และ ˆ 4 ว่าเป็นมุมแย้งกัน และ เรียก ˆ 2 และ ˆ 3 ว่าเป็นมุมแย้งกัน ตัวอย่างที่ 5 กำหนดให้ AB CD / / และมี XY เป็นเส้นตัด ดังรูป จงอธิบายว่ามุมคู่ใดมีขนาดเท่ากันบ้าง วิธีทำ เนื่องจาก AB CD / / มี XY เป็นเส้นตัด จะได้มุมแย้งมีขนาดเท่ากันคือ ˆ ˆ 3 6 = และ ˆ ˆ 4 5 = เนื่องจาก XY ตัดกับ AB และ CD จะได้มุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากันคือ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 4, 2 3, 5 8 = = = และ ˆ ˆ 6 7 = โดยสมบัติของการเท่ากัน สรุปได้ว่ามีมุมที่มีขนาดเท่ากันอยู่ 2 ชุด ดังนี้ 1) ˆ ˆ ˆ ˆ 1 4 5 8 = = = 2) ˆ ˆ ˆ ˆ 2 3 6 7 = = = ทฤษฎีบท ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน สรุปได้ดังนี้ 1. มุมที่สมนัยกัน จะมีขนาดเท่ากัน 2. มุมที่แย้งซึ่งกันและกัน จะมีขนาดเท่ากัน 3. มุมภายในข้างเดียวกันของเส้นตัด รวมกันได้ 180 4. มุมภายนอกและมุมภายในข้างเดียวกันของเส้นตัดจะเท่ากัน
บทที่ 3 เส้นขนาน 8 ตัวอย่างที่ 6 จากรูป กำหนดให้ FN SB FB / / , ตัดกับ SN จุด U จุด FU BU = จงพิสูจน์ว่า FN BS = กำหนดให้ FN SB FB / / , ตัดกับ SN ที่จุด U และ FU BU = ต้องการพิสูจน์ว่า FN BS = พิสูจน์ พิจารณา FUN และ BUS FN SB // และมี FB เป็นเส้นตัด NFU SBU ˆ ˆ = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) FU BU = (กำหนดให้) FUN BUS ˆ ˆ = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น FUN BUS (ด.ม.ด.) จะได้ FN BS = (ด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ จะยาวเท่ากัน) ตัวอย่างที่ 7 จากรูป กำหนดให้ AB CD EF / / / / ถ้า ˆ 37o APQ = และ ˆ 52o QRE = จงหาขนาดของ PQR ˆ วิธีทำ เนื่องจาก AB CD / / จะได้ ˆ 37o PQD = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) เนื่องจาก CD EF / / จะได้ ˆ 52o DQR = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) เนื่องจาก PQR PQD DQR ˆ ˆ ˆ = + จะได้ ˆ 37 52 89o PQR =+= ตอบ 89o
บทที่ 3 เส้นขนาน 9 แบบฝึกหัดที่ 2 1. จากรูป กำหนดให้ BN MF / / จงหาว่า MAB ˆ มีขนาดเท่ากับขนาดของมุมใด เพราะเหตุใด 2. จากรูป กำหนดให้ EM KY / / จงหาว่า MEA ˆ มีขนาดเทากับขนาดของมุมใด เพราะเหตุใด 3. จากรูป กำหนดให้ CD BE // และ ˆ 54o AOC = จงหาขนาดของ OBE ˆ 4.จากรูป กำหนดให้ BA CD // ถ้า ˆ 55o ABE = และ ˆ 76o BAC = จงหาขนาดของ ACE ˆ แนวคิด MEA EAK ˆ = ˆ ( EM KY / / และ BN เป็นเส้นตัด ทำให้มุมแย้ง มีขนาดเท่ากัน) EAK YAN ˆ ˆ = ( BN ตัดกับ KY ทำให้มุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน) จะได้ MEA YAN ˆ ˆ = (สมบัติของการเท่ากัน) ดังนั้น MEA EAK YAN ˆ ˆ ˆ = = (สมบัติของการเท่ากัน) แนวคิด MAB ABN ˆ = ˆ เพราะว่า BN MF / / และมี AB เป็นเส้นตัด ทำให้มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน แนวคิด เนื่องจาก ˆ ˆ 180o AOC COB + = (ขนาดของมุมตรง) จะได้ ˆ 180 54 126o COB = − = ( ˆ 54o AOC = ) ดังนั้น ˆ 126o OBE = ( CD BE // และมี AB เป็นเส้นตัด ทำให้มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) เนื่องจาก ˆ 55 180 + = BCD (ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกัน ของเส้นตัดที่ตัดเส้นขนานรวมกันเท่ากับ 180o ) จะได้ ˆ 125o BCD = (สมบัติของการเท่ากัน) เนื่องจาก ˆ 125 180 + = DCE (สมบัติของมุมตรง) จะได้ ˆ 55o DCE = (สมบัติของการเท่ากัน) เนื่องจาก ˆ 76o ACE = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น ˆ ˆ ˆ 76 55 131o ACE ACD DCE = + = + =
บทที่ 3 เส้นขนาน 10 5. จากรูป กำหนดให้ BA DE // ถ้า ˆ 115o ABC = และ ˆ 105o BCD = จงหาขนาดของ CDE ˆ ลาก CF ให้ขนานกับ BA จะได้ CF ขนานกับ DE ด้วย (สมบัติถ่ายทอดของการขนาน) เนื่องจาก ˆ BCF + = 115 180 (ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดที่ตัดเส้นขนานรวมกัน เท่ากับ 180o ) ดังนั้น ˆ 65o BCD = (สมบัติของการเท่ากัน) เนื่องจาก ˆ ˆ 105o BCF FCD + = (กำหนดให้) จะได้ ˆ 65 105 + = FCD (สมบัติของการเท่ากัน) ˆ 40o FCD = (สมบัติของการเท่ากัน) เนื่องจาก FCD CDE ˆ = ˆ (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) นั่นคือ ˆ 40o CDE = (สมบัติของการเท่ากัน) 6. กำหนดให้ AB CD / / และ BC DE / / จงพิสูจน์ว่า ABC CDE ˆ ˆ = กำหนดให้ AB CD / / และ BC DE / / ต้องการพิสูจน์ว่า ABC CDE ˆ ˆ = พิสูจน์ เนื่องจาก AB CD / / (กำหนดให้) จะได้ ABC BCD ˆ ˆ = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) เนื่องจาก BC DE / / (กำหนดให้) จะได้ BCD CDE ˆ = ˆ (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น ABD CDE ˆ ˆ = (สมบัติของการเท่ากัน)
บทที่ 3 เส้นขนาน 11 7. จากรูป กำหนดให้ PQ RS / / จงพิสูจน์ว่า PAC RBC ˆ = ˆ กำหนดให้ PQ RS / / โดยมี AC ตัด PQ และ RS ที่จุด A และจุด B ตามลำดับ ต้องการพิสูจน์ว่า PAC RBC ˆ = ˆ พิสูจน์ เนื่องจาก PQ RS / / (กำหนดให้) จะได้ PAC ABS ˆ = ˆ (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) เนื่องจาก ABS RBC ˆ ˆ = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น PAC RBC ˆ = ˆ (สมบัติของการเท่ากัน) 8. จากรูป กำหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน E เป็นจุดกึ่งกลางของ AB ส่วนต่อของทั้ง DE และ CB ตัดกันที่จุด F จงพิสูจน์ว่า DE FE = กำหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน E เป็นจุดกึ่งกลางของ AB และส่วนต่อของทั้ง DE และ CB ตัดกันที่จุด F ต้องการพิสูจน์ว่า DE FE = พิสูจน์ พิจารณา AED และ BEF เนื่องจาก AD BC / / (ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ขนานกัน) จะได้ DAE FBE ˆ = ˆ (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัดกัน แล้วมุมแย้งมีขนาดเทากัน) AE BE = ( E เป็นจุดกึ่งกลางของ AB ) AED BEF ˆ ˆ = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น AED BEF (ม.ด.ด.) จะได้ DE FE = (ด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการจะยาวเท่ากัน)
บทที่ 3 เส้นขนาน 12 ตัวอย่างที่ 8 กำหนดให้ ABCD มี AB CD = และ AD CB = จงพิสูจน์ว่า AB CD / / กำหนดให้ ABCD มี AB CD = และ AD CB = ต้องการพิสูจน์ว่า AB CD / / พิสูจน์ ลาก BD พิจารณา ABC และ CDB AB CD = (กำหนดให้) AD CB = (กำหนดให้) BD DB = ( BD เป็นด้านร่วม) ดังนั้น ABD CDB (ด.ด.ด.) จะได้ ABD CDB ˆ ˆ = (มุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ จะมีขนาดเท่ากัน) และเนื่องจาก ABC และ CDB เป็นมุมแย้งกัน ดังนั้น AB CD / / (ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้มุมแย้งมีขนาด เท่ากันแล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน) ทฤษฎีบท ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นคู่หนึ่ง ทำให้มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ทฤษฎีบท เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน
บทที่ 3 เส้นขนาน 13 แบบฝึกหัดที่ 3 1. จากรูปที่กำหนดให้ จงหาว่าเส้นตรง รังสี หรือส่วนของเส้นตรงคู่ใดขนานกัน พร้อมทั้งให้เหตุผล 1) 2) 3) 4) เนื่องจาก EAC ACB ˆ ˆ = (กำหนดให้) และ EAC ˆ และ ACB ˆ เป็นมุมแย้งกัน ดังนั้น AE BC / / (ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้มุมแย้ง มีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน) เนื่องจาก ADC BCN ˆ ˆ = (กำหนดให้) และ BCN DCM ˆ ˆ = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้าม มีขนาดเท่ากัน) จะได้ ADC DCM ˆ ˆ = (สมบัติของการเท่ากัน) และเนื่องจาก ADC ˆ และ DCM ˆ เป็นมุมแย้งกัน ดังนั้น AD BM / / (ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้มุมแย้ง มีขนาดเท่ากันแล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน) เนื่องจาก SR และ PQ มี SP เป็นเส้นตัด ทำให้มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน คือ 110o ดังนั้น SR PQ / / เนื่องจาก SR และ PQ มี RQ เป็นเส้นตัด ทำให้มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน คือ 100o ดังนั้น SR PQ / / มีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน) ไม่มีส่วนของเส้นตรงคู่ใดขนานกัน เพราะไม่มีมุมแย้งคู่ใดมีขนาดเท่ากัน
บทที่ 3 เส้นขนาน 14 2. จากรูป จงหาค่าของ x และ y เนื่องจาก ˆ ˆ 38o AEC ECF = = (กำหนดให้) ดังนั้น AB CD / / (ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน) จะได้ x + = 82 180 (ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดที่ตัดเส้นขนาน รวมกันเท่ากับ 180o ) ดังนั้น x = 98 (สมบัติของการเท่ากัน) เนื่องจาก 38 82 180 + + = y (ขนาดของมุมตรง) จะได้ y = 60 (สมบัติของการเท่ากัน) 3.จากรูป กำหนดให้ AB และ CD แบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน ที่จุด O จงพิสูจน์ว่า AB BC = และ AD BC / / กำหนดให้ AB และ CD แบ่งครึ่งซึ่งกันและกันที่จุด O ต้องการพิสูจน์ว่า AD BC = และ AD BC / / พิสูจน์ พิจารณา AOD และ BOC AO BO = ( AB และ CD แบ่งครั้งซึ่งกันและกันที่จุด O ) AOD BOC ˆ ˆ = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน) DO CO = ( AB และ CD แบ่งครึ่งซึ่งกันและกันที่จุด O ) ดังนั้น AOD BOC (ด.ม.ด.) จะได้ AD BC = (ด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ จะยาวเท่ากัน) และจะได้ ADO BCO ˆ = ˆ (มุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ จะมีขนาดเท่ากัน) เนื่องจาก ADO ˆ และ BCO ˆ เป็นมุมแย้งกัน ดังนั้น AC BC / / (ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน)
บทที่ 3 เส้นขนาน 15 3.3 เส้นขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน จากรูป เรียก ˆ ˆ ˆ 1, 2, 7 และ ˆ 8 ว่า มุมภายนอก เรียก ˆ ˆ ˆ 3, 4, 5 และ ˆ 6 ว่า มุมภายใน เรียก ˆ 1 และ ˆ 5 ว่าเป็น มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด ในทำนองเดียวกัน จะเรียก ˆ 2 และ ˆ ˆ 6, 7 และ ˆ ˆ 3,8 และ ˆ 4 แต่ละคู่ว่าเป็น มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบน ข้างเดียวกันของเส้นตัด ด้วย ตัวอย่างที่ 9 กำหนดให้ CD EF / / และมี AB เป็นเส้นตัด จงอธิบายว่า ACD ˆ มีขนาดเท่ากับขนาดของมุมใด ตัวอย่างที่ 10 กำหนดให้ PQ RS / / และ AB เป็นเส้นตัด ดังรูป จงหาค่าของ x ทฤษฎีบท ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอก และมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด มีขนานเท่ากัน วิธีทำ เนื่องจาก CD EF / / และมี AB เป็นเส้นตัด จะได้ ACD ˆ และ CBF ˆ เป็นมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้าง เดียวกันของเส้นที่ตัดเส้นขนาน ดังนั้น ACD CBF ˆ = ˆ ตอบ CBF ˆ วิธีทำ เนื่องจาก PQ RS / / และมี AB เป็นเส้นตัด จะได้ BPQ PRS ˆ ˆ = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอก และมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมี ขนาดเท่ากัน) ดังนั้น 2 3 65 x + = (แทน BPQ ˆ ด้วย 2 3 x + และ PRS ˆ ด้วย 65 ) นั่นคือ x = 31 ตอบ
บทที่ 3 เส้นขนาน 16 แบบฝึกหัดที่ 4 1. กำหนดให้ PQ RS / / และมี AB เป็นเส้นตัด จงหามุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน พร้อมทั้งบอกเหตุผล 2. จากรูป กำหนดให้ MN KL / / และ PQ เป็นเส้นตัด NST ˆ มีขนาดเท่ากับขนาดของมุมใดบ้าง เพราะเหตุใด เนื่องจาก MN KL / / และ PQ เป็นเส้นตัด ทำให้มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของ เส้นตัดมีขนาดเท่ากัน จะได้ NST LTP ˆ = ˆ เนื่องจาก MN KL / / และ PQ เป็นเส้นตัด ทำให้มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน จะได้ NST STK ˆ = ˆ เนื่องจาก MN ตัดกับ PQ ทำให้มุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน จะได้ NST QSM ˆ ˆ = ดังนั้น NST LTP STK QSM ˆ ˆ = = = ˆ ˆ 3. จากรูป กำหนดให้ CD EF / / และมี AB เป็นเส้นตัด ถ้า ˆ 118o AXD = และ ˆ 66o DYF = จงหาขนาดของ XYD ˆ เนื่องจาก CD EF / / และมี AB เป็นเส้นตัด จะได้ ˆ 118 66 = + XYD (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและมุมภายใน ที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น ˆ 52o XYD = (สมบัติของการเท่ากัน) วิธีทำ เนื่องจาก PQ RS / / และมี AB เป็นเส้นตัด ทำให้มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาด เท่ากัน) จะได้ APQ ARS ˆ ˆ = และ BRS BPQ ˆ ˆ =
บทที่ 3 เส้นขนาน 17 4.จากรูป กำหนดให้ AB CD / / ถ้า ˆ 52o BAF = และ ˆ 104o AEC = จงหาขนาดของ ECD ˆ ลาก EH ขนานกับ AB จะได้ EH CD / / ด้วย (สมบัติถ่ายทอดของการขนาน) เนื่องจาก AB EH / / และมี EF เป็นเส้นตัด จะได้ ˆ 52o AEH = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและ มุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน) เนื่องจาก ˆ 104o AEC = (กำหนดให้) จะได้ ˆ 104 52 52o HEC = − = (สมบัติของการเท่ากัน) เนื่องจาก EH CD / / และมี EC เป็นเส้นตัด จะได้ ˆ ˆ 180o HEC ECD + = (ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดที่ตัดเส้นขนานรวมกัน เท่ากับ 180o ) ดังนั้น ˆ 180 52 128o ECD = − = (สมบัติของการเท่ากัน) 5. จากรูป ABCD กำหนดให้ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานถ้ามุมภายนอก ˆ 133o EAD = จงหาขนาดของมุม แต่ละมุมของ ABCD เนื่องจาก ˆ DAB + = 133 180 (ขนาดของมุมตรง) จะได้ ˆ 47o DAB = (สมบัติของการเท่ากัน) เนื่องจาก AD BC / / (ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ขนานกัน) จะได้ ˆ 133o ABC = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและมุมภายใน ที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดกันมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น ˆ 47o BCD = และ ˆ 133o CDA = (มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน มีขนาดเท่ากัน)
บทที่ 3 เส้นขนาน 18 ตัวอย่างที่ 11 จากรูป กำหนดให้ AB CD AB CD / / , = และ C จุด เป็นจุดกึ่งกลางของ AE จงแสดงว่า BC DE / / วิธีทำ พิจารณา ABC และ CDE เนื่องจาก AB CD / / จะได้ BAC DCE ˆ ˆ = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด มีขนาดเท่ากัน) AB CD = (กำหนดให้) AC CE = (จุด C เป็นจุดกึ่งกลางของ AE ) ดังนั้น ABC CDE (ด.ม.ด.) จะได้ ACB CED ˆ = ˆ (มุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ จะมีขนาดเท่ากัน) นั่นคือ BC DE / / (ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่งทำให้มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรง ข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด มีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้น ขนานกัน) ทฤษฎีบท ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้มุมภายนอกและ มุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด มีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ทฤษฎีบท เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้าง เดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน
บทที่ 3 เส้นขนาน 19 แบบฝึกหัดที่ 5 1.จากรูปต่อไปนี้ จงหาว่าส่วนของเส้นตรง รังสี หรือเส้นตรงคู่ใดขนานกัน เพราะเหตุใด 1) เนื่องจาก DF และ BC มี BE เป็นเส้นตัด แล้วทำให้ EAD ˆ และ ABC ˆ ซึ่งเป็นมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด มีขนาดเท่ากัน ดังนั้น DF BC / / 2) เนื่องจาก AB และ MN มี BC เป็นเส้นตัด แล้วทำให้ MNC ˆ และ ABC ˆ ซึ่งเป็นมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด มีขนาดเท่ากัน ดังนั้น AB MN / / 3) เนื่องจาก AB และ CD มี PD เป็นเส้นตัด แล้วทำให้ PBA ˆ และ BDC ˆ ซึ่งเป็นมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด มีขนาดเท่ากัน ดังนั้น AB CD / /
บทที่ 3 เส้นขนาน 20 4) เนื่องจาก ˆ NBC + = 130 180 (ขนาดของมุมตรง) จะได้ ˆ 50o NBC = (สมบัติของการเท่ากัน) เนื่องจาก MN และ PQ มี AF เป็นเส้นตัด และ QDE NBC ˆ ˆ = จะได้ MN PQ / / (ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน เนื่องจาก ˆ NCD + = 84 180 (ขนาดของมุมตรง) จะได้ ˆ 96o NCD = (สมบัติของการเท่ากัน) เนื่องจาก NP และ QR มี AF เป็นเส้นตัด และ QEF NCD ˆ ˆ = จะได้ NP QR / / (ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน) 2. จากรูป กำหนดให้ YM QR / / และ XYM PQR ˆ ˆ = จงแสดงว่า YX QP / / เนื่องจาก YM QR / / (กำหนดให้) จะได้ PAM PQR ˆ ˆ = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด มีขนาดเท่ากัน) เนื่องจาก XYM PQR ˆ ˆ = (กำนดให้) จะได้ PAM XYM ˆ = ˆ (สมบัติของการเท่ากัน) ดังนั้น YX QP / / (ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน)
บทที่ 3 เส้นขนาน 21 3.4 เส้นขนานและรูปสามเหลี่ยม ตัวอย่างที่ 12 จากรูป กำหนดให้ ABE และ DCF เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มี ˆ ˆ AEB DFC AB CD = , / / และ AB CD = จงพิสูจน์ว่า AE DF = กำหนดให้ ABE และ DCF เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มี ˆ ˆ AEB DFC AB CD = , / / และ AB CD = ต้องการพิสูจน์ว่า AE DF = พิสูจน์ เนื่องจาก AB CD / / (กำหนดให้) จะได้ ABE DCF ˆ ˆ = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) AEB DFC ˆ ˆ = (กำหนดให้) AB CD = (กำหนดให้) ดังนั้น ABE DCF (ม.ม.ด.) นั่นคือ AE DF = (ด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ จะยาวเท่ากัน) ตัวอย่างที่ 13 จากรูป กำหนดให้ AB CD / / มี AC ตัด BD ที่จุด ˆ , 120o O AOD = และ ˆ 36o DCO = จงหาค่าของ x วิธีทำ เนื่องจาก AOD ˆ เป็นมุมภายนอกของ COD ดังนั้น AOD DCO CDO ˆ ˆ = + ˆ (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลบวกของ ขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น) จะได้ ˆ 120 36 = +CDO ˆ 84o CDO = เนื่องจาก ˆ x CDO + =180 (ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดที่ตัดเส้นขนานรวมกันเท่ากับ 180o ) จะได้ x + = 84 180 x = 96 ตอบ 96 ทฤษฎีบท ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกัน เท่ากับ 180 องศา ทฤษฎีบท ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสัมพันธ์กันแบบ มุม – มุม - ด้าน (ม.ม.ด.) กล่าวคือ มีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่ และด้านคู่ที่อยู่ตรงข้ามกับมุมคู่ที่มีขนาด เท่ากัน ยาวเท่ากันหนึ่งคู่ แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ
บทที่ 3 เส้นขนาน 22 แบบฝึกหัดที่ 6 1. จากรูป กำหนดให้ BA CE // จงหาค่าของ x 2. จากรูป กำหนดให้ ˆ 128o BCF = และ ˆ 81o CEF = จงหาขนาดของ CFE ˆ เนื่องจาก ˆ ˆ 128o ABE BCF = = (กำหนดให้) จะได้ BE CF / / (ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบน ข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากันแล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน) เนื่องจาก ˆ 81o CEF = (กำหนดให้) จะได้ ˆ CFE + + = 46 81 180 (ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดที่ตัดเส้นขนานรวมกันเท่ากับ 180o ) ดังนั้น ˆ 53o CFE = (สมบัติของการเท่ากัน) 3. จากรูป กำหนดให้ AB CD / / มี ACE ˆ และ CEB ˆ เป็นมุมฉาก จงหาขนาดของ x y + พิจารณา CDE จะได้ 106 90 = +y (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลบวกของขนาดของ มุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น) ดังนั้น y =16 (สมบัติของการเท่ากัน) จะได้ ˆ 90 90 16 74o ACD y = − = − = (สมบัติของการเท่ากัน) จะได้ x = 74 (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น x y + = + = 74 16 78 เนื่องจาก BA CE // และมี BC เป็นเส้นตัด จะได้ 64 68 180 + + = ( x ) (ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้น ตัดที่ตัดเส้นขนานรวมกันเท่ากับ 180o ) ดังนั้น x = 48 (สมบัติของการเท่ากัน)
บทที่ 3 เส้นขนาน 23 4. จากรูป จงหาค่าของ x และ y เนื่องจาก ˆ DAE + = 130 180 (ขนาดของมุมตรง) จะได้ ˆ 50o DAE = (สมบัติการเท่ากัน) พิจารณา ABC จะได้ 120 50 = +y (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลบวกของขนาด ของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น) ดังนั้น y = 70 (สมบัติของการเท่ากัน) เนื่องจาก ˆ 100o ADE = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน) พิจารณา ABC จะได้ x = + = 100 50 150 (ขนาดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลบวกของขนาด ของมุมในที่ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น) 5. จากรูป กำหนดให้ DG AC / / จงหาค่าของ 2 ( ) x y − เนื่องจาก DG AC / / และมี EC เป็นเส้นตัด (กำหนดให้) จะได้ x = 54 (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัดแล้วมุมภายนอก และมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน) เนื่องจาก ˆ ˆ 48o ABD FBG = = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน) และ 54 48 180 + + = y (ขนาดของมุมตรง) จะได้ y = 78 (สมบัติของการเท่ากัน) ดังนั้น ( ) ( ) 2 2 x y − = − = 54 78 576
บทที่ 3 เส้นขนาน 24 6.จากรูป EAB เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มี ˆ , 44o AE BE AEB = = และ XY AB / / 1) จงบอกชื่อมุมทุกมุมที่มีขนาดเท่ากับขนาดของ EAB ˆ เนื่องจาก EAB เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จะได้ ˆ ˆ 1 2 = (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีขนาดเท่ากัน) เนื่องจาก XY AB / / มี AE เป็นเส้นตัด (กำหนดให้) จะได้ ˆ ˆ 1 3 = และ ˆ ˆ 2 5 = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) และ ˆ ˆ 1 4 = และ ˆ ˆ 2 6 = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและมุมภายใน ที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 2 3 4 5 6 = = = = = (สมบัติการเท่ากัน) หรือ EAB ABE ACX ECD BDY CDE ˆ ˆ ˆ = = = = = ˆ ˆ ˆ (สมบัติการเท่ากัน) 2) EAB ˆ มีขนาดเท่าไร เนื่องจาก ˆ ˆ 1 2 44 180 + + = (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180o ) และ ˆ ˆ 1 2 = (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีขนาดเท่ากัน) จะได้ ˆ 2(1) 44 180 + = (สมบัติของการเท่ากัน) ดังนั้น ˆ 1 68o = (สมบัติของการเท่ากัน หรือ ˆ 68o EAB = (สมบัติของการเท่ากัน) 7. จากรูป จงหาว่า PQ BD / / หรือไม่ เพราะเหตุใด เนื่องจาก ˆ BAC + + = 28 32 180 (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180o ) จะได้ ˆ 120o BAC = (สมบัติของการเท่ากัน) ดังนั้น ˆ 120o PAD = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน) เนื่องจาก ˆ 120o EPQ = (กำหนดให้) จะได้ EPQ PAD ˆ ˆ = (สมบัติของการเท่ากัน) ดังนั้น PQ BD / / (ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดตรงคู่หนึ่ง ทำให้มุมภายนอกและมุมภายในที่ อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากันแล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน)
บทที่ 3 เส้นขนาน 25 8. จากรูป ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มีด้าน BC เป็นฐาน ให้ EF BC / / จงแสดงว่า BAE CAF ˆ ˆ = เนื่องจาก เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (กำหนดให้) จะได้ ˆ ˆ 3 4 = (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีขนาดเท่ากัน) เนื่องจาก EF BC / / (กำหนดให้) จะได้ ˆ ˆ 3 1 = และ ˆ ˆ 4 2 = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น ˆ ˆ 1 2 = (สมบัติของการเท่ากัน) นั่นคือ BAE CAF ˆ ˆ = (สมบัติของการเท่ากัน) 9.จากรูป กำหนดให้ CG DH AB EF / / , = และ BC FD = จงพิสูจน์ว่า AC DE / / กำหนดให้ CG DH AB EF / / , = และ BC FD = ต้องการพิสูจน์ AC DE / / พิสูจน์พิจารณา ABC และ EFD เนื่องจาก AB EF = (กำหนดให้) และ CG DH / / (กำหนดให้) จะได้ ˆ ˆ 1 2 = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอกและมุมภายใน ที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน) เนื่องจาก ˆ ˆ 1 3 = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน) จะได้ ˆ ˆ 2 3 = (สมบัติของการเท่ากัน) เนื่องจาก BC FD = (กำหนดให้) ดังนั้น ABC EFD (ด.ม.ด.) จะได้ ˆ ˆ 4 5 = (มุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการจะมีขนาดเท่ากัน) ดังนั้น AC DE / / (ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่งทำให้มุมแย้งมีขนาดเท่ากันแล้ว เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน)
บทที่ 3 เส้นขนาน 26 แบบทดสอบท้ายบท จงเลือกคำตอบที่ถูกที่สุด 1. กำหนดให้ AB CD / / และ CD EF / / โดยมีระยะห่าง ระหว่าง AB EF / / เท่ากับ 20 เซนติเมตร และมีระยะห่าง ระหว่าง CD และ EF เท่ากับ 15 เซนติเมตร จงหา ระยะห่างระหว่าง AB และ CD ก. 5 เซนติเมตร, 35 เซนติเมตร ข. 10 เซนติเมตร, 40 เซนติเมตร ค. 15 เซนติเมตร, 45 เซนติเมตร ง. 20 เซนติเมตร, 50 เซนติเมตร 2. ให้นักเรียนพิจารณารูปและข้อความต่อไปนี้ ให้ AB XZ / / และ AE CD / / (1) BCY EXY ˆ = ˆ (2) CAX XYC ˆ = ˆ (3) CBZ YZD ˆ ˆ = (4) BCD CDE ˆ = ˆ จากข้อความข้างต้น ข้อความใดเป็นจริง ก. (1) (2) และ (4) ข. (1) (3) และ (4) ค. (1) (2) และ (3) ง. (2) (3) และ (4) 3. ให้นักเรียนพิจารณารูปและข้อความต่อไปนี้ ให้ AD GB / / และ DC EF / / (1) ˆ ˆ 2 7 = (2) ˆ ˆ 5 8 = (3) ˆ ˆ 3 8 = (4) ˆ ˆ 3 5 = (5) ˆ ˆ 1 4 = จากข้อความข้างต้น ข้อความใดเป็นจริง ก. (1) และ (2) ข. (3) และ (4) ค. (3) และ (5) ง. (4) และ (5) 4. จากรูป กำหนดให้ ˆ / / , 27o AB QE PQR = และ ˆ 58o PRQ = จงหาค่า a ก. 55 ข. 65 ค. 75 ง. 85 5. จากรูป กำหนดให้ AC BC = และ BC DE / / ถ้า x = 65 แล้ว y เท่ากับเท่าไร ก. 30 ข. 40 ค. 50 ง. 60 6. จากรูป กำหนดให้ ˆ / / , 74o DE BC BAD = และ ˆ 41o ABC = จงหาค่า x ก. 100 ข. 115 ค. 120 ง. 135 7. จากรูป กำหนดให้ AB EF / / จงหาค่าของ a b + ก. 177 ข. 188 ค. 199 ง. 222 8. จากรูป กำหนดให้ PQ RS RS MN / / , / / และ TR MQ / / จงหาค่าของ x y z + + ก. 250 ข. 270 ค. 350 ง. 370
บทที่ 3 เส้นขนาน 1 9. จากรูป กำหนดให้ XYZ มี XY XZ = และ W เป็นจุดอยู่บนด้าน XZ โดยที่ WZ ZY = ถ้า ˆ 52o YWZ = แล้วค่าของ b a −เท่ากับเท่าไร ก. 3 ข. 4 ค. 5 ง. 6 10. จากรูป กำหนดให้ PA QB / / และ QC RD / / จงหาค่าของ a b + ก. 20 ข. 30 ค. 40 ง. 50 11. จากรูป ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จงหาขนาดของ EHB ˆ ก. 95o ข. 110o ค. 115o ง. 117o 12. จากรูป กำหนดให้ AB DF / / และ AC DE / / จงหาค่าของ a และ b ก. a b = = 130, 150 ข. a b = = 135, 155 ค. a b = = 140, 160 ง. a b = = 135, 165 13.กำหนดให้ AB //CD ถ้า o BFG 150 ˆ = และ o CGE 80 ˆ = จงหาค่าของ x − y ก. o 30 ข. o 40 ค. o 50 ง. o 70 14.กำหนดให้ QR ขนานกับ ST ถ้า o PST 48 ˆ = และ o SOQ 120 ˆ = จงหาขนาดของมุม x ก. o 72 ข. o 88 ค. o 92 ง. o 108 27