เอกสารประกอบการเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 3 วิชาคณิตศาสตรพื้นฐาน 6 ภาคเรียนที่ 2 ปการศึกษา ................. พีระมิด กรวย และทรงกลม คุณครู.......................................................................... ชื่อ....................................................................ชื่อเลน........................ชั้น......................เลขที่................ กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร โรงเรียน.................................................................. สํานักงานเขตพื้นที่.................................................. ครูผูสอน จัดทําโดย นางสาวสิรินรดา เกตุรักษ
บทที่ 3 พีระมิด กรวย และทรงกลม 1 บทที่ 3 พีระมิด กรวย และทรงกลม 1. ปริมาตรและพื้นที่ผิวของพีระมิด จุดศูนยกลางของฐานของพีระมิดฐานหลายเหลี่ยมเราเรียกวา เซนทรอยด (centroid) เซนทรอยด (centroid) ของรูปหลายเหลี่ยมดานเทามุมเทาสามารถหาไดจาก จุดตัดของแกนสมมาตร ของรูปหลายเหลี่ยมนั้น เราเรียกชื่อพีระมิดชนิดตางๆ ตามลักษณะของฐานของพีระมิด ในทางคณิตศาสตร รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเปนรูปเหลี่ยมใดๆ มียอดแหลมที่ไมอยูบนระนาบเดียวกับ ฐานและหนาทุกหนาเปนรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดรวมกันที่ยอดแหลมนั้น เรียกวา พีระมิด (pyramid)
บทที่ 3 พีระมิด กรวย และทรงกลม 2 แบบฝกหัดที่ 1 1.รูปคลี่ตอไปนี้เปนรูปคลี่ของพีระมิดชนิดใด 1) ตอบ พีระมิดฐานสามเหลี่ยม 2) ตอบ พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส 3) ตอบ พีระมิดสี่เหลี่ยมผืนผา 4) ตอบ พีระมิดฐานหาเหลี่ยม 5) ตอบ พีระมิดฐานหกเหลี่ยม 6) ตอบ พีระมิดฐานแปดเหลี่ยม
บทที่ 3 พีระมิด กรวย และทรงกลม 3 1.1 ปริมาตรของพีระมิด ตัวอยางที่ 1 ที่ทับกระดาษหินออนสองอันมีลักษณะเปนพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยที่ทับกระดาษอันใหญมีปริมาตรเปน แปดเทาของปริมาตรของที่ทับกระดาษอันเล็ก และความสูงของที่ทับกระดาษอันใหญเปนสองเทาของความสูงของที่ทับ กระดาษอันเล็ก ถาที่ทับกระดาษอันเล็กมีพื้นที่เทากับ 25 ตารางเซนติเมตร แลวที่ทับกระดาษอันใหญมีฐานยาวดานละเทาใด วิธีทํา ใหที่ทับกระดาษอันเล็กสูง h เซนติเมตร จะไดที่ทับกระดาษอันใหญสูง 2h เซนติเมตร ใหที่ทับกระดาษอันใหญมีฐานยาวดานละ a เซนติเมตร จากสูตร ปริมาตรของพีระมิด = × 3 1 พื้นที่ฐาน × ความสูง จะได ปริมาตรที่ทับกระดาษอันใหญ a 2h 3 1 2 = × × ลูกบาศกเซนติเมตร เนื่องจากที่ทับกระดาษอันเล็กมีพื้นที่ฐานเทากับ 25 เซนติเมตร ดังนั้น ปริมาตรของที่ทับกระดาษอันเล็ก = × 25 × h 3 1 ลูกบาศกเซนติเมตร เนื่องจากปริมาตรของที่ทับกระดาษอันใหญเปนแปดเทาของปริมาตรที่ทับกระดาษอันเล็ก ดังนั้น ปริมาตรของที่ทับกระดาษอันใหญ = 8× ปริมาตรของที่ทับกระดาษอันเล็ก 10 100 25 3 1 2 8 3 1 2 2 = = × × = × × × a a a h h นั้นคือ ที่ทับกระดาษอันใหญมีฐานยาวดานละ 10 เซนติเมตร ปริมาตรของพีระมิด พื้นที่ฐาน ความสูง
บทที่ 3 พีระมิด กรวย และทรงกลม 4 ตัวอยางที่ 2 พีระมิดแกวอันหนึ่งที่ใชศึกษากระจกสะทอนแสงมีฐานเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา กวาง 3 เซนติเมตร ยาว 4 เซนติเมตร และพีระมิดนี้สูง 5 เซนติเมตร อยากทราบวาปริมาตรของพีระมิดแกวนี้เทาใด วิธีทํา เนื่องจากฐานของพีระมิดแกวเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา กวาง 3ซม. ยาว 4 ซม. สูง 5ซม. และจากสูตร ปริมาตรของพีระมิด = × 3 1 พื้นที่ฐาน × ความสูง ดังนั้น ปริมาตรของพีระมิดแกว (3 4) 5 3 1 = × × × = 20 ลูกบาศกเซนติเมตร แบบฝกหัดที่ 2 1. กําหนดสวนตางๆ ของพีระมิดที่มีฐานเปนรูปหลายเหลี่ยมดานเทามุมเทา ดังปรากฏในตราราง จงเติมขนาดของสวนตางๆ ที่ยังไมไดระบุในชองวางใหถูกตอง ขอที่ พีระมิด ความยาวของดานของฐาน (ซม.) พื้นที่ฐาน (ซม.2 ) ความสูง (ซม.) ปริมาตร (ซม.3 ) 1) ฐานสามเหลี่ยม 10 25 3 9 75 3 2) ฐานสี่เหลี่ยม 8.2 67.24 10.5 265.34 3) ฐานหาเหลี่ยม 2.4 9.91 6 19.82 4) ฐานสี่เหลี่ยม 8 64 15 320 5) ฐานหกเหลี่ยม 6 54 3 7.5 135 3 2. พีระมิดหกเหลี่ยมดานเทามุมเทาทําดวยไมอันหนึ่งมีฐานยาวดานละ 3 เซนติเมตร สูง 10 เซนติเมตร จงหาปริมาตรของ พีระมิดนี้ วิธีทํา เนื่องจาก ฐานของพีระมิดเปนรูปหกเหลี่ยมดานเทามุมเทาที่แตละดานยาว 3 เซนติเมตร จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได 4 27 4 9 9 2 3 3 2 2 2 = − = x = − 2 3 3 4 27 x = = ดังนั้น พื้นที่ 2 3 3 3 2 1 ∆ABC = × × 4 9 3 = ตารางเซนติเมตร จากสูตร ปริมาตรของพีระมิด = × 3 1 พื้นที่ฐาน×ความสูง จะได พื้นที่ของพีระมิด 4 9 3 = 6× จะได ปริมาตรของพีระมิด 10 45 3 2 27 3 3 1 = × × = ลูกบาศกเซนติเมตร 2 27 3 = ตารางเซนติเมตร ดังนั้นปริมาตรของพีระมิดคือ 45 3 ลูกบาศกเซนติเมตร
บทที่ 3 พีระมิด กรวย และทรงกลม 5 3.จากสูตร พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมดานเทา 2 4 3 = a เมื่อ a แทนความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยม ถาตองการหลอปูน ปลาสเตอรใหเปนพีระมิดฐานสามเหลี่ยมดานเทาที่มีฐานยาวดานละ 12 เซนติเมตร สูง 20 เซนติเมตร จะตองใชปูน ปลาสเตอรอยางนอยกี่ลูกบาศกเซนติเมตร วิธีทํา จากสูตร พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมดานเทา 2 4 3 = a เมื่อ a แทนความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยม จะได พื้นที่ฐานของพีระมิด 12 36 3 4 3 2 = × = ตารางเซนติเมตร จากสูตร ปริมาตรของพีระมิด = × 3 1 พื้นที่ฐาน×ความสูง จะได ปริมาตรของพีระมิด 36 3 20 3 1 = × × = 240 3 ลูกบาศกเซนติเมตร ดังนั้น ในการหลอปูนปลาสเตอรใหเปนพีระมิดดังกลาว จะตองใชปูนปลาสเตอรอยางนอย 240 3 ลูกบาศกเซนติเมตร 4. ประติมากรรมที่มีความโดดเดนชิ้นหนึ่งในอุทยานเบญจสิริมีชื่อวา “ยอดสูงสงฐานมั่นคง” มีลักษณะเปนพีระมิดสี่เหลี่ยม จัตุรัสซึ่งมีฐานยาวดานละ 4 เมตร สูงประมาณ 6 เมตร พีระมิดนี้มีปริมาตรประมาณเทาใด วิธีทํา จากสูตร ปริมาตรของพีระมิด = × 3 1 พื้นที่ฐาน×ความสูง จะได ปริมาตรของพีระมิดนี้ (4 4) 6 3 1 = × × × = 32 ลูกบาศกเมตร 5.แกวผลึกกอนหนึ่งมีลักษณะเปนพีระมิดสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองชิ้นประกบกันและบรรจุอยูในกลองทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ยาว ดานละ 10 เซนติเมตร โดยจุดยอดทั้งหกของแกวผลึกสัมผัสกลองที่จุดกึ่งกลางของแตละหนา ดังรูปแกวผลึกนี้มีปริมาตร เทาใด วิธีทํา จากรูป พื้นที่ฐานของพีระมิด = × 2 1 ผลคูณของความยาวของเสนทแยงมุม 10 10 2 1 = × × = 50 ตารางเซนติเมตร จากสูตร ปริมาตรของพีระมิด = × 3 1 พื้นที่ฐาน×ความสูง จะได ปริมาตรของพีระมิด 50 5 3 1 = × × 3 250 = ลูกบาศกเซนติเมตร เนื่องจาก แกวผลึกมีลักษณะเปนพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองชิ้นประกบกัน ดังนั้น แกวผลึกนี้มีปริมาตร 166.67 3 250 2× ≈ ลูกบาศกเซนติเมตร
บทที่ 3 พีระมิด กรวย และทรงกลม 6 1.2 พื้นที่ผิวของพีระมิด ตัวอยางที่ 3 จงหาพื้นที่ผิวของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งมีฐานยาวดานละ 14 เซนติเมตร และสูง 24 เซนติเมตร วิธีทํา จากรูป ABCD เปนฐานของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งยาวดานละ 14 เซนติเมตร จุด O เปนยอดของพีระมิด OX เปนสวนสูงของพีระมิด และ OY เปนสวนสูงเอียงของพีระมิด เนื่องจาก ∆OXY เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มี OX = 24 เซนติเมตร และ 7 2 14 XY = = เซนติเมตร โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได 2 2 2 OY = OX + XY 25 625 24 7 2 2 = = = + OY เนื่องจาก พื้นที่ผิวขางของพีระมิดสี่เหลี่ยมจัตุรัส = × 2 1 ความยาวรอยรูปของฐาน × สวนสูงเอียง จะได พื้นที่ผิวขางของพีระมิด (4 14) 25 700 2 1 = × × × = ตารางเซนติเมตร พื้นที่ฐานของพีระมิด =14×14 =196 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่ผิวของพีระมิด = 700 +196 = 896 ตารางเซนติเมตร พื้นที่ผิวของพีระมิด = พื้นที่ผิวขางของพีระมิด + พื้นที่ฐานของพีระมิด พื้นที่ผิวขางของพีระมิดฐานหลายเหลี่ยมดานเทามุมเทา ความยาวรอบรูปของฐาน สวนสูงเอียง
บทที่ 3 พีระมิด กรวย และทรงกลม 7 ตัวอยางที่ 4 กําหนดพีระมิดสี่เหลี่ยมผืนผาที่มีฐานยาว 40 เซนติเมตร กวาง 16 เซนติเมตร และพีระมิดมีความสูง 15 เซนติเมตร จงหา 1) พื้นที่ผิวขางของพีระมิด 2) พื้นที่ผิวของพีระมิด วิธีทํา 1) จากรูปให ABCD เปนฐานของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผา จุด O เปนยอดของพีระมิด OX เปนสวนสูงของพีระมิด OE เปนสวนสูงของ ∆OAB และ OF เปนสวนสูงของ ∆OBC จากโจทย OX = 15 เซนติเมตร AC = 40 เซนติเมตร และ BC = 16 เซนติเมตร จะได 20 2 40 XF = = เซนติเมตร และ 8 2 16 XE = = เซนติเมตร โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส เนื่องจาก ∆OXE เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เนื่องจาก ∆OXF เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได 2 2 2 OE = OX + XE จะได 2 2 2 OF = OX + XF 2 2 = 15 + 8 2 2 = 15 + 20 = 289 = 625 ดังนั้น OE =17 ดังนั้น OF = 25 เนื่องจาก พื้นที่ผิวขางของพีระมิดสี่เหลี่ยม ABCE เทากับผลบวกของพื้นที่ของ DOAB,DOBC,DOCD และ DODA ดังนั้น พื้นที่ผิวขางของพีระมิด + × × = × × 16 25 2 1 40 17 2 2 1 2 = 680 + 400 =1,080 ตารางเซนติเมตร 2) จากสูตร พื้นที่ผิวของพีระมิด = พื้นที่ผิวขางของพีระมิด + พื้นที่ฐานของพีระมิด จะได พื้นที่ผิวของพีระมิด = 1,080 + (40×16) = 1,720 ตารางเซนติเมตร แนวคิด เนื่องจากพีระมิดนี้เปนพีระมิดแตไมใชพีระมิดปกติ จึงตองหาพื้น ผิวขางจากพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมแตละดาน
บทที่ 3 พีระมิด กรวย และทรงกลม 8 แบบฝกหัดที่ 3 1. จงหาพื้นที่ผิวของพีระมิดสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีฐานยาวดานละ 12 เซนติเมตร และสวนสูงเอียงยาว 12 เซนติเมตร วิธีทํา จากสูตร พื้นที่ผิวขางของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส = × 2 1 ความยาวรอบรูปของฐาน×สวนสูงเอียง จะได พื้นที่ผิวขางของพีระมิด (4 12) 12 288 2 1 = × × × = ตารางเซนติเมตร และ พื้นที่ฐานของพีระมิด = 12×12 = 144 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่ผิวของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส = 288 +144 = 432 ตารางเซนติเมตร 2. จงหาพื้นที่ผิวขางของพีระมิดฐานหาเหลี่ยมดานเทามุมเทาซึ่งมีฐานยาวดานละ 10 เซนติเมตร และสวนสูงเอียงยาว 6 เซนติเมตร วิธีทํา จากสูตร พื้นที่ผิวขางของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส = × 2 1 ความยาวรอบรูปของฐาน×สวนสูงเอียง จะได พื้นที่ผิวขางของพีระมิด (5 10) 6 2 1 = × × × =150 ตารางเซนติเมตร 3. อาคารแหงหนึ่งมีลักษณะเปนพีระมิดฐานสี่เหลี่ยม ซึ่งมีฐานยาว ดานละ 30 เมตร และมีความสูง 20 เมตร จงหาพื้นที่ ผิวขางของอาคารนี้ วิธีทํา จากรูปให ABCD เปนฐานของพีระมิดสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งยาวดานละ 30 เมตร จุด O เปนยอดของพีระมิด OX เปนสวนสูงของพีระมิด และ OY เปนสวนสูงเอียงของพีระมิด เนื่องจาก ∆OXY เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มี OX = 20 เมตร และ 15 2 30 XY = = เมตร โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได 2 2 2 OY = OX + XY 2 2 = 20 +15 = 625 ดังนั้น OY = 25 เนื่องจาก พื้นที่ผิวขางของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส = × 2 1 ความยาวรอบรูปของฐาน×สวนสูงเอียง จะได พื้นที่ผิวขางของอาคารนี้ (4 30) 25 2 1 = × × × = 1,500 ตารางเมตร
บทที่ 3 พีระมิด กรวย และทรงกลม 9 4. พีระมิดทําดวยไมอันหนึ่งมีฐานเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวดานละ 6 เซนติเมตร และพีระมิดสูง 4 เซนติเมตร ถาตองการ ทาสีพื้นผิวของพีระมิดนี้ บริเวณที่ทาสีมีพื้นที่กี่ตารางเซนติเมตร วิธีทํา จากรูปให ABCD เปนฐานของพีระมิดสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งยาวดานละ 6 เซนติเมตร จุด O เปนยอดของพีระมิด OX เปนสวนสูงของพีระมิด และ OY เปนสวนสูงเอียงของพีระมิด เนื่องจาก ∆OXY เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มี OX = 4 เซนติเมตร และ 3 2 6 XY = = เซนติเมตร โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได 2 2 2 OY = OX + XY 2 2 = 4 + 3 = 25 ดังนั้น OY = 5 เซนติเมตร เนื่องจาก พื้นที่ผิวขางของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส = × 2 1 ความยาวรอบรูปของฐาน×สวนสูงเอียง จะได พื้นที่ผิวขางของอาคารนี้ (4 6) 5 2 1 = × × × = 60 ตารางเซนติเมตร และ พื ้นที่ฐานของพีระมิด = 6× 6 = 36 ตารางเซนติเมตร ดังนั ้น บริเวณที่ต้องการทาสีมีพื ้นที่ 60 + 36 = 96 ตารางเซนติเมตร 5. พีระมิดฐานหาเหลี่ยมดานเทามุมเทาซึ่งมีฐานยาวดานละ 8 เซนติเมตร และมีพื้นที่ผิวขาง 120 ตารางเซนติเมตร จะมีสวนสูงเอียงยาวเทาใด วิธีทํา จากสูตร พื้นที่ผิวขางของพีระมิดฐานหาเหลี่ยมดานเทามุมเทา = × 2 1 ความยาวรอบรูปของฐาน×สวนสูงเอียง จะได = × (5×8)× 2 1 120 สวนสูงเอียง สวนสูงเอียง = 6 ดังนั้น สวนสูงเอียงของพีระมิดยาว 6 เซนติเมตร 6.พีระมิดฐานสิบเหลี่ยมดานเทามุมเทา วัดความยาวรอบฐานได 56 เมตร และมีพื้นที่ผิวขาง 224 ตารางเมตร สวนสูงเอียง ของพีระมิดยาวเทาใด วิธีทํา จากสูตร พื้นที่ผิวขางของพีระมิดฐานสิบเหลี่ยมดานเทามุมเทา = × 2 1 ความยาวรอบรูปของฐาน×สวนสูงเอียง จะได = ×56× 2 1 224 สวนสูงเอียง สวนสูงเอียง = 8
บทที่ 3 พีระมิด กรวย และทรงกลม 10 7. รูปจําลองของศิลาจารึกอันหนึ่งมีฐานเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยมีลักษณะและขนาดดังรูป ถารูปจําลองนี้มีปริมาตรทั้งหมด 40,200 ลูกบาศกนิ้ว จงหา 1) สวนสูงเอียงของสวนที่เปนพีระมิด 2) พื้นที่ผิวของรูปจําลองนี้ วิธีทํา 1) จากรูปให จุด O เปนยอดของพีระมิด OX เปนสวนสูงของพีระมิด และ OY เปนสวนสูงเอียงของพีระมิด เนื่องจาก รูปจําลองของศิลาจารึกนี้มีปริมาตร 40,200 ลูกบาศกนิ้ว และ ปริมาตรสวนที่เปนปริซึม = 30×30× 42 = 37,800 ลูกบาศกนิ้ว ดังนั้น ปริมาตรสวนที่เปนพีระมิด = 40,200 − 37,800 = 2,400 ลูกบาศกนิ้ว จากสูตร ปริมาตรของพีระมิด = × 3 1 พื้นที่ฐาน×ความสูง จะได = × (30×30)×OX 3 1 2,400 ดังนั้น OX = 8 เนื่องจาก ∆OXY เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี OX = 8 นิ้ว และ 15 2 30 XY = = นิ้ว โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได 2 2 2 OY = OX + XY 2 2 = 8 +15 = 289 ดังนั้น OY =17 นั่นคือ สวนสูงเอียงของสวนที่เปนพีระมิดยาว 17 นิ้ว 2) จากสูตร พื้นที่ผิวขางของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส = × 2 1 ความยาวรอบรูปของฐาน×สวนสูงเอียง จะได พื้นที่ผิวขางของพีระมิด (4 30) 17 1,020 2 1 = × × × = ตารางนิ้ว พื้นที่ผิวขางของปริซึม = 4× (30× 42) = 5,040 ตารางนิ้ว และ พื้นที่ฐานของปริซึม = 30×30 = 900 ตารางนิ้ว ดังนั้น พื้นที่ผิวของรูปจําลองนี้ = พื้นที่ผิวขางของพีระมิด + พื้นที่ผิวขางของปริซึม + พื้นที่ฐานของปริซึม =1,020 + 5,040 + 900 = 6,960 ตารางนิ้ว
บทที่ 3 พีระมิด กรวย และทรงกลม 11 2. ปริมาตรและพื้นที่ผิวของกรวย 2.1 กรวย 2.2 ปริมาตรของกรวย ตัวอยางที่ 5 นาฬิกาทรายอันหนึ่งมีลักษณะเปนกรวยสองอันที่มียอดแหลมเชื่อมตอกัน โดยมีทรายบรรจุอยู ดังรูป จงหาวาทรายในนาฬิกาทรายนี้มีปริมาตรเปนเทาใด วิธีทํา ทรายในนาฬิกาทรายมีลักษณะเปนกรวยที่มีรัศมียาว 5 2 10 = มิลลิเมตร สูง 24 มิลลิเมตร เนื่องจาก ปริมาตรของกรวย r h 2 3 1 = π ดังนั้น ปริมาตรของนาฬิกาทราย 3.14 5 24 3 1 2 ≈ × × × ≈ 628 ลูกบาศกมิลลิเมตร นั่นคือ ทรายในนาฬิกาทรายมีปริมาตรประมาณ 628 ลูกบาศกมิลลิเมตร ในทางคณิตศาสตร รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเปนรูปวงกลม มียอดแหลมที่ไมอยูบนระนาบเดียวกันกับฐาน และเสนที่ตอระหวางจุดที่เปนยอดแหลมและจุดใดๆ บนขอบของฐานเปนสวนของเสนตรง เรียกวา กรวย (cone) ปริมาตรของกรวย เมื่อ แทนรัศมีของฐานของกรวย และ แทนความสูงของกรวย
บทที่ 3 พีระมิด กรวย และทรงกลม 12 แบบฝกหัดที่ 4 1. กระโจมของชาวอินเดียแดงเผาหนึ่งมีลักษณะเปนกรวยสูง 3.25 เมตร ฐานของกระโจมมี รัศมียาว 1.75 เมตร ปริมาตรของอากาศภายในกระโจมมีอยูประมาณเทาใด วิธีทํา เนื่องจาก กระโจมมีลักษณะเปนกรวยสูง 3.25 เมตร ฐานของกระโจมมีรัศมียาว 1.75 เมตร จากสูตร ปริมาตรของกรวย r h 2 3 1 = π เมื่อ r แทนรัศมีของฐานของกรวย และ h แทนความสูงของกรวย จะได ปริมาตรของอากาศภายในกระโจม 3.14 (1.75) 3.25 3 1 2 ≈ × × × ≈ 10.42 ลูกบาศกเมตร ดังนั้น ปริมาตรของอากาศภายในกระโจมมีอยูประมาณ 10.42 ลูกบาศกเมตร 2. เทียนไขแฟนซีสองแบบ แบบแรกทําเปนทรงกระบอกมีเสนผานศูนยกลางของฐานยาว 3 เซนติเมตร และสูง 5 เซนติเมตร อีกแบบหนึ่งทําเปนกรวยสูง 6 เซนติเมตร และมีรัศมีของฐานยาว 2 เซนติเมตร นักเรียนคิดวาเทียนไขแบบใดใชเนื้อเทียนมากกวา และมากกวากันเทาใด วิธีทํา เนื่องจาก เทียนไขแบบทรงกระบอกมีรัศมีของฐานยาว 1.5 5 3 = เซนติเมตร และสูง 5 เซนติเมตร จากสูตร ปริมาตรของทรงกระบอก r h 2 = π เมื่อ r แทนรัศมีของฐาน และ h แทนความสูง จะได ปริมาตรของเทียนไขทรงกระบอก 3.14 (1.5) 5 2 ≈ × × ≈ 35.325 ลูกบาศกเซนติเมตร เนื่องจาก เทียนไขแบบกรวยมีรัศมีของฐานยาว 2 เซนติเมตร และสูง 6 เซนติเมตร จากสูตร ปริมาตรของกรวย r h 2 3 1 = π เมื่อ r แทนรัศมีของฐานของกรวย และ h แทนความสูง จะได ปริมาตรของเทียนไขแบบกรวย 3.14 2 6 3 1 2 ≈ × × × ≈ 25.12 ลูกบาศกเซนติเมตร ดังนั้น เทียนไขแบบทรงกระบอกจะใชเนื้อเทียนมากกวาเทียนไขแบบกรวย และมากกวากันอยูประมาณ 35.325 − 25.12 = 10.205 ลูกบาศกเซนติเมตร 3. จงหาความสูงของกรวยอันหนึ่งซึ่งมีปริมาตร 48π ลูกบาศกเซนติเมตร และเสนผานศูนยกลางของฐานยาว 8 เซนติเมตร วิธีทํา เนื่องจาก กรวยมีปริมาตร 48π ลูกบาศกเซนติเมตร และรัศมีของฐานยาว 4 2 8 = เซนติเมตร จากสูตร ปริมาตรของกรวย r h 2 3 1 = π เมื่อ r แทนรัศมีของฐานของกรวย และ h แทนความสูงของกรวย จะได = × × × h 2 4 3 1 48π π h = 9 ดังนั้น กรวยสูง 9 เซนติเมตร
บทที่ 3 พีระมิด กรวย และทรงกลม 13 4.ธูปหอมเปนผลิตภัณฑภูมิปญญาของชาวบาน มีขี้เลื่อยผสมผงไมหอมเปนสวนประกอบหลัก กลิ่นหอมมาจากการเติม ตะไครหอม มะลิ กฤษณา ปาริชาติ หรือลาเวนเดอร ลงในสวนผสมกอนนําไปขึ้นรูปใหมีรูปรางตามตองการ ถาชาวบานไดรับ ใบสั่งสินคาใหผลิตธูปหอมทรงกรวยขนาดสูง 1 นิ้ว เสนผานศูนยกลางของฐานยาวครึ่งนิ้ว จํานวน 50,000 ชิ้น ชาวบาน ควรเตรียมขี้เลื่อยผสมผงไมหอมเพื่อใชทําธูปหอมไวเทาใด วิธีทํา เนื่องจาก ธูปหอมทรงกรวยสูง 1 นิ้ว และรัศมีของฐานยาว 4 1 2 2 1 ÷ = นิ้ว จากสูตร ปริมาตรของกรวย r h 2 3 1 = π เมื่อ r แทนรัศมีของฐานของกรวย และ h แทนความสูงของกรวย จะได ปริมาตรของธูปหอม 1 ชิ้น 1 4 1 3.14 3 1 2 × ≈ × × ≈ 0.06542 ลูกบาศกนิ้ว ดังนั้น ธูปหอม 1 ชิ้น จะใชขี้เลื่อยผสมผงไมหอมประมาณ 0.06542 ลูกบาศกนิ้ว เนื่องจาก ตองการทําธูปหอมจํานวน 50,000 ชิ้น ดังนั้น ควรเตรียมขี้เลื่อยผสมผงไมหอมเพื่อใชทําธูปหอมไวประมาณ 50,000× 0.06542 ≈ 3,271 ลูกบาศกนิ้ว 5.ยอดของสถูปวีรชนที่อนุสรณสถาน 14 ตุลา มีลักษณะเปนกรวยกลวงโดยมีความสูงภายใน 9 เมตร และเสนผานกลาง ภายในของฐานยาว 2 เมตร จงหาวาอากาศในยอดของสถูปวีรชนมีปริมาตรประมาณเทาใด วิธีทํา ยอดของสถูปวีรชนมีลักษณะเปนกรวยกลวงที่มีความสูงภายใน 9เมตร และมีรัศมีภายในของฐานยาว 1 2 2 = เมตร จากสูตร ปริมาตรของกรวย r h 2 3 1 = π เมื่อ r แทนรัศมีของฐานของกรวย และ h แทนความสูงของกรวย จะได ปริมาตรของอากาศในยอดของสถูปวีรชน 3.14 1 9 3 1 2 ≈ × × × ≈ 9.42 ลูกบาศกเซนติเมตร ดังนั้น อากาศในยอดของสถูปวีรชนมีปริมาตรประมาณ 9.42 ลูกบาศกเมตร 6. นักเรียน 50 คน ใชกรวยกระดาษซึ่งสูง 10 เซนติเมตร และเสนผานศูนยกลางของปากกรวยยาว 8 เซนติเมตร เปน ภาชนะสําหรับดื่มน้ํา ถานักเรียนแตละคนดื่มน้ําจากกรวยกระดาษไมเกินสองครั้ง น้ําดื่ม 20 ลิตร จะเพียงพอสําหรับทุกคน หรือไม เพราะเหตุใด วิธีทํา เนื่องจาก กรวยกระดาษสูง 10 เซนติเมตร และมีรัศมีของปากกรวยยาว 4 2 8 = เซนติเมตร จากสูตร ปริมาตรของกรวย r h 2 3 1 = π เมื่อ r แทนรัศมีของฐานของกรวย และ h แทนความสูงของกรวย จะได ปริมาตรของน้ําในกรวยกระดาษ 1 อัน 3.14 4 10 3 1 2 ≈ × × × ≈ 167.4667 ลูกบาศกเซนติเมตร เนื่องจาก นักเรียน 50 คน ดื่มน้ําจากกรวยกระดาษคนละไมเกิน 2 ครั้ง ดังนั้น จะใชน้ําไมเกิน 50× 2×167.4667 = 16,746.67 ลูกบาศกเซนติเมตร นั่นคือมีน้ําดื่ม 20 ลิตร หรือ 20,000 ลูกบาศกเซนติเมตร ดังนั้นจึงเพียงพอสําหรับทุกคน
บทที่ 3 พีระมิด กรวย และทรงกลม 14 2.3 พื้นที่ผิวของกรวย ตัวอยางที่ 6 ฝาซีครอบอาหารที่สานดวยตอกไมไผมีลักษณะใกลเคียงกับกรวย ถาฝาชีอันหนึ่งมีเสนผานศูนยกลางยาว 32 เซนติเมตร จงหาวาฝาชีสูงกี่เซนติเมตร และสวนที่สานดวยตอกไมไผมีพื้นที่กี่ตารางเซนติเมตร วิธีทํา ฝาชีมีเสนผานศูนยกลางยาว 32 เซนติเมตร จะมีรัศมี 16 2 32 = เซนติเมตร และสวนสูงเอียงของฝาชียาว 20 เซนติเมตร ถาให h แทนความสูงของฝาชี จะได 20 16 144 2 2 2 h = − = h =12 ดังนั้น ฝาชีสูง 12 เซนติเมตร เนื่องจาก พื้นที่ผิวขางของกรวย = πrl เมื่อ r แทนรัศมีของฐานของกรวย และ l แทนสวนสูงเอียงของกรวย ดังนั้น สวนที่สานดวยตอกไมไผมีพื้นที่ประมาณ 3.14×16× 20 =1,004.8 ตารางเซนติเมตร พื้นที่ผิวกรวย = พื้นที่ผิวขางของกรวย + พื้นที่ฐานของกรวย พื้นที่ผิวกรวย เมื่อ แทนรัศมีของฐานของกรวย และ แทนความสูงเอียงของ ร
บทที่ 3 พีระมิด กรวย และทรงกลม 15 ตัวอยางที่ 7 ไอติมใชผาเย็บหมอนขางเด็กที่มีลักษณะคลายดินสอ ซึ่งมีสวนบนเปนกรวยและสวนลางเปนทรงกระบอกดังรูป เมื่อใสใยสังเคราะหจนเต็มหมอนขาง แลววัดความยาวรอบหมอนขางสวนที่เปนทรงกระบอกได 44 เซนติเมตร วัดความยาว จากยอดแหลมของกรวยถึงฐานของทรงกระบอกได 66.8 เซนติเมตร และวัดสวนสูงเอียงของกรวยไดยาว 18.2 เซนติเมตร จงหาวา 1) หมอนขางสวนที่เปนทรงกระบอกยาวกี่เซนติเมตร 2) ผาที่ใชเย็บหมอนขาง (ไมรวมตะเข็บผาที่เย็บ) มีพื้นที่กี่ตารางเซนติเมตร วิธีทํา 1) วัดความยาวรอบหมอนขางสวนที่เปนทรงกระบอกได 44 เซนติเมตร จากสูตร ความยาวรอบเสนรอบวงกลม = 2πr เมื่อ r แทนรัศมีของฐานของทรงกระบอก 7 44 7 22 2 2 44 ≈ × × ≈ = r r πr ดังนั้น หมอนขางสวนที่เปนทรงกระบอกมีรัศมีของฐานประมาณ 7 เซนติเมตร หมอนขางสวนที่เปนกรวยมีสวนสูงเอียงยาว 18.2 เซนติเมตร ถาใหสวนสูงของกรวยยาว d เซนติเมตร ( ) 16.8 282.24 49 331.24 49 18.2 7 2 2 2 ≈ ≈ − ≈ − ≈ − d d เนื่องจากวัดความยาวจากยอดแหลมของกรวยถึงฐานของทรงกระบอกไดยาว 66.8 เซนติเมตร ดังนั้น หมอนขางสวนที่เปนทรงกระบอกยาวประมาณ 66.8 −16.8 = 50 เซนติเมตร 2) เนื่องจาก พื้นที่ผิวของหมอนขาง = พื้นที่ผิวของกรวย + พื้นที่ผิวขางของทรงกระบอก + พื้นที่ฐานของทรงกระบอก ดังนั้น พื้นที่ผิวของหมอนขาง 2 = πrl + 2πrh + πr ( ) [ ( ) ] 2,754.4 7 18.2 2 50 7 7 22 2 ≈ ≈ × × + × + = πr l + h + r นั่นคือ ผาที่ใชเย็บหมอนขางมีพื้นที่ประมาณ 2,754.4 ตารางเซนติเมตร
บทที่ 3 พีระมิด กรวย และทรงกลม 16 แบบฝกหัดที่ 5 1. จงหาพื้นที่ผิวขางของกรวยสังกะสีอันหนึ่งที่มีเสนผานศูนยกลางของฐานยาว 10 เซนติเมตร และสูง 12 เซนติเมตร วิธีทํา เนื่องจาก กรวยสังกะสีมีรัศมีของฐานยาว 5 2 10 = เซนติเมตร และสูง 12 เซนติเมตร ให l แทนสวนสูงเอียงของกรวย จะได 2 2 2 l = 5 +12 =169 l =13 จากสูตร พื้นที่ผิวขางของกรวย = πrl เมื่อ r แทนรัศมีของฐานของกรวย จะได กรวยสังกะสีมีพื้นที่ผิวขางประมาณ 3.14×5×13 = 204.1 ตารางเซนติเมตร 2.โรงเรียนอนุบาลแหงหนึ่งทํากระโจมสําหรับใหนักเรียนเขาไปเลนซึ่งกระโจมนี้สูง 150 เซนติเมตร สวนลางเปน ทรงกระบอกสูง 120 เซนติเมตร และมีหลังคาเปนกรวย ฐานกระโจมมีรัศมียาว 80 เซนติเมตร ถาทางโรงเรียนตองการ เขียนลวดลายบนหลังคากระโจม จงหาพื้นที่ที่สามารถเขียนลวดลายได วิธีทํา เนื่องจาก กระโจมสูง 150 เซนติเมตร และสวนลางเปนทรงกระบอกสูง 120 เซนติเมตร ดังนั้น สวนหลังคาที่เปนกรวยสูง 30 เซนติเมตร เนื่องจาก รัศมีของหลังคาที่เปนกรวยยาวเทากับรัศมีของฐานกระโจมที่เปนทรงกระบอก ซึ่งยาว 80 เซนติเมตร จะได หลังคาสวนที่เปนกรวยสูง 30 เซนติเมตร และมีรัศมีของฐานยาว 80 เซนติเมตร ให l แทนสวนสูงเอียงของกรวย จะได 2 2 2 l = 30 + 80 = 7,300 l ≈ 85.44 จากสูตร พื้นที่ผิวขางของกรวย = πrl เมื่อ r แทนรัศมีของฐานของกรวย จะได พื้นที่ที่สามารถเขียนลวดลายไดบนหลังคากระโจนมีประมาณ 3.14×80×85.44 ≈ 21,462.528 ตารางเซนติเมตร
บทที่ 3 พีระมิด กรวย และทรงกลม 17 3.ลูกตุมเหล็กมีลักษณะเปนกรวยสูง 4 เซนติเมตร และมีเสนผานศูนยกลางยาว 6 เซนติเมตร ลูกตุมลูกนี้มีพื้นที่ผิวและ ปริมาตรเทาใด วิธีทํา ลูกตุมเหล็กมีลักษณะเปนกรวยสูง 4 เซนติเมตร และมีรัศมียาว 3 2 6 = เซนติเมตร ให l แทนสวนสูงเอียงของกรวย จะได 2 2 2 l = 4 + 3 = 25 l = 5 จากสูตร พื้นที่ผิวกรวย 2 = πrl + πr เมื่อ r แทนรัศมีของฐานของกรวย ดังนั้น ลูกตุมเหล็กมีพื้นที่ผิวประมาณ (3.14 3 5) (3.14 3 ) 75.36 2 × × + × = ตารางเซนติเมตร จากสูตร ปริมาตรของกรวย r h 2 3 1 = π เมื่อ h แทนความสูงของกรวย จะได ลูกตุมเหล็กมีปริมาตรประมาณ 3.14 3 4 37.68 3 1 2 × × × = ลูกบาศกเซนติเมตร 4.ตองการทําหมวกกระดาษรูปกรวยสําหรับงานเลี้ยงปใหม ใหมีความยาวรอบฐานหมวก 62.8 เซนติเมตรและสวนสูงเอียง ยาว 30 เซนติเมตร หมวกแตละใบตองใชกระดาษอยางนอยกี่ตารางเซนติเมตร วิธีทํา เนื่องจาก หมวกมีความยาวรอบฐานหมวก 62.8 เซนติเมตร จากสูตร ความยาวของเสนรอบวงของวงกลม = 2πr เมื่อ r แทนรัศมีของวงกลม จะได 62.8 = 2πr π 31.4 r = เนื่องจาก หมวกมีสวนสูงเอียงยาว 30 เซนติเมตร จากสูตร พื้นที่ผิวขางของกรวย = πrl เมื่อ r แทนรัศมีของฐานของกรวย และ l แทนสวนสูงเอียงของกรวย จะได หมวกแตละใบตองใชกระดาษอยางนอย 30 942 31.4 × × = π π ตารางเซนติเมตร 5.หมวกชาวเวียดนามมีลักษณะเปนกรวย โครงภายในหมวกทําดวยเสนไมไผเหลากลมขดเปนวงกลมยึดดวยใบลาน ถาหมวก ใบหนึ่งมีความยาวของเสนรอบวงของฐานหมวก 128 เซนติเมตร และสวนสูงเอียงยาว 27 เซนติเมตร พื้นที่ของใบลานซึ่งมี เปนผิวขางของกรวยเทากับเทาใด วิธีทํา เนื่องจาก หมวกมีความยาวของเสนรอบวงของฐานหมวก 128 เซนติเมตร จากสูตร ความยาวของเสนรอบวงของวงกลม = 2πr เมื่อ r แทนรัศมีของวงกลม จะได 128 = 2πr π 64 r = เนื่องจาก หมวกรูปกรวยมีสวนสูงเอียงยาว 27 เซนติเมตร จากสูตร พื้นที่ผิวขางของกรวย = πrl เมื่อ r แทนรัศมีของฐานของกรวย และ l แทนสวนสูงเอียงของกรวย จะได พื้นที่ของใบลานซึ่งเปนผิวขางของกรวยเทากับ 27 1,728 64 × × = π π ตารางเซนติเมตร
บทที่ 3 พีระมิด กรวย และทรงกลม 18 3.ปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกลม 3.1 ทรงกลม เมื่อตัดทรงกลมดวยระนาบผานศูนยกลางของทรงกลม จะไดหนาตัดเปนวงกลมเรียกวา วงกลมใหญ (great circle) ลูกปงปอง ลําไย ปลาปกเปา แบคทีเรียเปปโตสเตร็พโตคอกคัส ในทางคณิตศาสตร รูปเรขาคณิตสามมิติมีผิวโคงเรียบ และจุดทุกจุดบนผิวโคงอยู หางจากจุดคงที่จุดหนึ่งเปนระยะเทากัน เรียกวา ทรงกลม (sphere) จุดคงที่นั้นเรียกวา จุดศูนยกลางของทรงกลม ระยะที่เทากันนั้นเรียกวา รัศมีของทรงกลม
บทที่ 3 พีระมิด กรวย และทรงกลม 19 3.2 ปริมาตรของทรงกลม ตัวอยางที่ 8 ถาจะหลอลูกเหล็กทรงกลมตันที่มีเสนผานศูนยกลางยาว 8 มิลลิเมตร จํานวน 12 ลูก จะตองใชเหล็กในการ หลอเทาใด วิธีทํา ลูกเหล็กเปนทรงกลม มีรัศมียาว 4 2 8 = มิลลิเมตร เนื่องจาก ปริมาตรของทรงกลม 3 3 4 = πr เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลม จะได ปริมาตรของลูกเหล็ก 3 3.14 4 3 4 ≈ × × ≈ 267.95 ลูกบาศกมิลลิเมตร ดังนั้น การหลอลูกเหล็กทรงกลมตัน 12ลูก ตองใชเหล็กประมาณ 12 × 267.95 ≈ 3,215.4 ลูกบาศกมิลลิเมตร ตัวอยางที่ 9 ถังบรรจุกาซที่โรงแยกกาซธรรมชาติแหงหนึ่งเปนทรงกลมสองลูกที่มีขนาดเทากันและมีความจุรวมกัน 77,616 ลูกบาศกเมตร จงหาความยาวของเสนผานศูนยกลางภายในของถังบรรจุกาซแตละลูก วิธีทํา ถังบรรจุกาซทรงกลมแตละลูกมีความจุเทากับ 38,808 2 77,616 = ลูกบาศกเมตร เนื่องจาก ปริมาตรของทรงกลม 3 3 4 = πr เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลม 21 9,261 7 2 3 4 38,808 3 3 ≈ ≈ ≈ × × r r r นั้นคือ เสนผานศูนยกลางภายในของถังบรรจุกาซแตละลูกยาวประมาณ 42 เมตร ปริมาตรของทรงกลม เมื่อ แทนรัศมีของทรงกลม
บทที่ 3 พีระมิด กรวย และทรงกลม 20 แบบฝกหัดที่ 6 1.ลูกทุมน้ําหนักเหล็กทรงกลมลูกหนึ่ง มีเสนผานศูนยกลางยาว 18 เซนติเมตร ลูกทุมน้ําหนักนี้มีปริมาตรเทาใด วิธีทํา เนื่องจาก ลูกทุมน้ําหนักเหล็กทรงกลมมีรัศมียาว 9 2 18 = เซนติเมตร จากสูตร ปริมาตรของทรงกลม 2 3 4 = πr เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลม จะได ปริมาตรของลูกทุมน้ําหนักเหล็ก 2 3.14 9 3 4 ≈ × × ≈ 3,052.08 ลูกบาศกเซนติเมตร 2. กอนไอศกรีมมีลักษณะเปนทรงกลม ไอศกรีมชนิดเดียวกันสองกรวย กรวยแรกมีไอศกรีม 2 ลูก แตละลูกมีรัศมี 2.5 เซนติเมตร กรวยที่สองมีไอศกรีม 3 ลูก แตละลูกมีรัศมี 1.5 เซนติเมตร กรวยใดมีไอศกรีมมากกวากัน วิธีทํา เนื่องจาก กรวยแรกมีไอศกรีมที่มีลักษณะเปนทรงกลม 2 ลูก แตละลูกมีรัศมี 2.5 เซนติเมตร และกรวยที่สองมีไอศกรีมที่มีลักษณะเปนทรงกลม 3 ลูก แตละลูกมีรัศมี 1.5 เซนติเมตร จากสูตร ปริมาตรของทรงกลม 3 3 4 = πr เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลม จะได ปริมาตรของไอศกรีมในกรวยแรก ( ) ≈ × × × 3 3.14 2.5 3 4 2 ≈130.83 ลูกบาศกเซนติเมตร และ ปริมาตรของไอศกรีมในกรวยที่สอง ( ) ≈ × × × 3 3.14 1.5 3 4 3 ≈ 42.39 ลูกบาศกเซนติเมตร ดังนั้น กรวยแรกมีไอศกรีมมากกวากรวยที่สอง 3.ลูกฟุตบอลลูกหนึ่งวัดความยาวรอบวงกลมใหญได 69 เซนติเมตร ถาลูกฟุตบอลทําดวยหนังที่มีความหนา 0.5 เซนติเมตร จะจุลมไดกี่ลูกบาศกเซนติเมตร วิธีทํา เนื่องจาก ลูกฟุตบอลวัดความยาวรองวงกลมใหญได 69 เซนติเมตร จากสูตร ความยาวของเสนรอบวงกลม = 2πr เมื่อ r แทนรัศมีของวงกลม จะได ≈ × × r 7 22 69 2 r ≈11 นั่นคือ ลูกฟุตบอลมีรัศมีภายนอกยาวประมาณ 11 เซนติเมตร เนื่องจาก ลูกฟุตบอลทําดวยหนังที่มีความหนา 0.5 เซนติเมตร ดังนั้น ลูกฟุตบอลมีรัศมีภายในยาวประมาณ 11− 0.5 =10.5 เซนติเมตร จากสูตร ปริมาตรของทรงกลม 2 3 4 = πr เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลม จะได ลูกฟุตบอลจะจุลมไดประมาณ (10.5) 4,851 7 22 3 4 2 × × ≈ ลูกบาศกเซนติเมตร
บทที่ 3 พีระมิด กรวย และทรงกลม 21 4.แตงโมผลหนึ่งมีลูกใกลเคียงทรงกลมมาก ความยาวรอบวงกลมใหญเปน 55 เซนติเมตร เมื่อผาแลวพบวาเปลือกแตงโม หนา 1 เซนติเมตร เนื้อแดงของแตงโมจะมีปริมาตรกี่ลูกบาศกเซนติเมตร วิธีทํา เนื่องจาก แตงโมมีความยาวรอบวงกลมใหญ 55 เซนติเมตร จากสูตร ความยาวของเสนรอบวงของวงกลม = 2πr เมื่อ r แทนรัศมีของวงกลม จะได ≈ × × r 7 22 55 2 r ≈ 8.75 นั่นคือ แตงโมมีรัศมีภายนอกยาวประมาณ 8.75 เซนติเมตร เนื่องจาก เปลือกแตงโมหนา 1 เซนติเมตร ดังนั้น แตงโมสวนที่เปนเนื้อแดงมีรัศมียาวประมาณ 8.75 −1 = 7.75 เซนติเมตร จากสูตร ปริมาตรของทรงกลม 2 3 4 = πr เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลม จะได เนื้อแดงของแตงโมจะมีปริมาตรประมาณ 3.14 (7.75) 1,948.83 3 4 3 = × × = ลูกบาศกเซนติเมตร 5.ชาวเอสกิโมอาศัยอยูในเขตหนาวจัดทางเหนือของทวีปอเมริกา พวกเขาสรางบานพักที่เรียกวา อิกลู (igloo) ดวยกอน น้ําแข็งที่มีความหนาประมาณ 20 เซนติเมตร ลักษณะของอิกลูเปนครึ่งวงกลม และมีความสูงภายนอกประมาณ 2 เมตร จงหาปริมาตารของอากาศภายในอิกลูโดยประมาณ วิธีทํา เนื่องจาก อิกลูทําดวยกอนน้ําแข็งซึ่งมีความหนาประมาณ 20 เซนติเมตร หรือ 0.2 เมตร ดังนั้น อิกลูครึ่งทรงกลมมีรัศมีภายในประมาณ 2 − 0.2 =1.8 เมตร จากสูตร ปริมาตรของทรงกลม 3 3 4 = πr เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลม จะได ปริมาตรของอากาศภายในอิกลู ( ) ≈ × × × 3 3.14 1.8 3 4 2 1 ≈12.21 ลูกบาศกเมตร 6.ทองฟาจําลองมียอดโดมเปนครึ่งวงกลมเสนผานศูนยกลางภายในของสวนที่เปนยอดโดมยาว 20.6 เมตร ฐานโดมเปน ทรงกระบอกสูง 3 เมตร จงหาปริมาตรของอากาศภายในหองฉายดาวโดยประมาณ วิธีทํา เนื่องจาก หองฉายดาวมียอดโดมเปนครึ่งทรงกลมมีรัศมีภายในยาว 10.3 2 20.6 = เมตร และฐานโดมเปนทรงกระบอกที่มีรัศมีภายในยาว 10.3 เมตร สูง 3 เมตร จากสูตร ปริมาตรของทรงกลม 3 3 4 = πr เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลม จะได ปริมาตรของอากาศภายในยอดโดม ( ) ≈ × × × 3 3.14 10.3 3 4 2 1 ≈ 2,287.44 ลูกบาศกเมตร จากสูตร ปริมาตรของทรงกระบอก r h 2 = π จะได ปริมาตรของอากาศภายในโดม 3.14 (10.3) 3 2 ≈ × × ≈ 999.37 ลูกบาศกเมตร ดังนั้น ปริมาตรของอากาศภายในหองฉายดาว ≈ 2,287.44 + 999.37 ≈ 3,286.81 ลูกบาศกเมตร
บทที่ 3 พีระมิด กรวย และทรงกลม 22 3.3 พื้นที่ผิวของทรงกลม ตัวอยางที่ 10 เตยใชปูนซีเมนต 12,348π ลูกบาศกเซนติเมตร หลอเปนทรงกลม อยากทราบวา ทรงกลมนี้มีพื้นที่ผิว ประมาณเทาใด วิธีทํา ทรงกลมมีปริมาตร 12,348π ลูกบาศกเซนติเมตร เนื่องจาก ปริมาตรของทรงกลม 3 3 4 = πr เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลม 21 21 9,261 4 3 12,348 12,348 3 4 3 3 3 ≈ ≈ ≈ ≈ × = r r πr π จากสูตร พื้นที่ผิวของทรงกลม 2 = 4πr จะได พื้นที่ผิวของทรงกลมนี้ประมาณ 21 21 5,544 7 22 4× × × = ตารางเซนติเมตร ตัวอยางที่ 11 นุนซื้อไอศกรีมใสในกรวยขนมปงขนาดใหญ ไอศกรีมมีลักษณะเปนกอนทรงกลม เมื่อวางอยูบนกรวยจะเห็น เปนครึ่งวงกลม ดังรูป ถากรวยมีสวนสูงเอียง 7.8 เซนติเมตร และกรวยสูง 7.2 เซนติเมตร ไอศกรีมกอนนี้มีปริมาตร กี่ลูกบาศกเซนติเมตร และสวนที่เห็นเปนครึ่งทรงกลมมีพื้นที่ผิวเทาใด วิธีทํา จากรูป ให r แทนรัศมีของปากกรวย กรวยขนมปงมีสวนสูงเอียงยาว 7.8 เซนติเมตร กรวยสูง 7.2 เซนติเมตร โดย ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ( ) ( ) 3 9 7.8 7.2 2 2 2 2 = = = − r r r จากสูตร ปริมาตรของทรงกลม 3 3 4 = πr ดังนั้น ไอศกรีมกอนนี้มีปริมาตรประมาณ 3 113.1 7 22 3 4 2 × × = ลูกบาศกเซนติเมตร เนื่องจากพื้นที่ผิวของทรงกลม 2 = 4πr นั่นคือ พื้นที่ผิวของครึ่งทรงกลม 2 = 2πr ดังนั้น พื้นที่ผิวของไอศกรีมสวนที่เห็นประมาณ 3 56.6 7 22 2 2 × × = ตารางเซนติเมตร พื้นที่ผิวของทรงกลม เมื่อ แทนรัศมีของทรงกลม
บทที่ 3 พีระมิด กรวย และทรงกลม 23 แบบฝกหัดที่ 7 1. จงหาพื้นที่ผิวโดยประมาณของรูปเรขาคณิตสามมิติตอไปนี้ (กําหนดหนวยความยาวเปนเซนติเมตร) 1) เนื่องจาก พื้นที่ผิวของครึ่งทรงกลม 2 สวน = พื้นที่ผิวของทรงกลม จากรูป จะได พื้นที่ผิวของรูปเรขาคณิตสามมิติ = พื้นที่ผิวของทรงกลม + พื้นที่ผิวขางของทรงกระบอก เนื่องจาก ทรงกลมและฐานของทรงกระบอกมีรัศมียาว 6 เซนติเมตร จากสูตรพื้นที่ผิวของทรงกลม 2 = 4πr เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลม จากสูตรพื้นที่ผิวของทรงกลม 2 ≈ 4×3.14× 6 ≈ 452.16 ตารางเซนติเมตร จากสูตร พื้นที่ผิวขางของทรงกระบอก = 2πrh เมื่อ r แทนรัศมีของฐาน และ h แทนความสูง จะได พื้นที่ผิวขางของทรงกระบอก ≈ 2×3.14× 6×12 ตารางเซนติเมตร ≈ 452.16 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น รูปเรขาคณิตสามมิติมีพื้นที่ผิวประมาณ 452.16 + 452.16 = 904.32 ตารางเซนติเมตร 2) จากรูป พื้นที่ผิวของรูปเรขาคณิตสามมิติ = พื้นที่ผิวขางของกรวย + พื้นที่ผิวของครึ่งทรงกลม กรวยสูง 12 เซนติเมตร และมีสวนสูงเอียงยาว 13 เซนติเมตร ให r แทนความยาวของรัศมีของฐานของกรวยซึ่งเทากับความยาวของรัศมีของครึ่งทรงกลม จะได 2 2 2 r =13 −12 5 25 = = r ดังนั้น กรวยและครึ่งทรงกลมมีรัศมียาว 5 เซนติเมตร จากสูตร พื้นที่ผิวขางของกรวย = πrl เมื่อ l แทนสวนสูงเอียงของกรวย จะได พื้นที่ผิวขางของกรวย ≈ 3.14×5×13 ≈ 204.1 ตารางเซนติเมตร จากสูตร พื้นที่ผิวของทรงกลม 2 = 4πr จะได พื้นที่ผิวของครึ่งทรงกลม ( ) 2 4 3.14 5 2 1 ≈ × × × ≈157 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น รูปเรขาคณิตสามมิติมีพื้นที่ผิวประมาณ 204.1+157 ≈ 361.1 ตารางเซนติเมตร
บทที่ 3 พีระมิด กรวย และทรงกลม 24 3) จากรูป พื้นที่ผิวของรูปเรขาคณิตสามมิติ =พื้นที่ผิวของครึ่งทรงกลม + พื้นที่ผิวขางของกรวย ครึ่งทรงกลมมีรัศมียาว 4.5 เซนติเมตร จากสูตร พื้นที่ผิวของทรงกลม 2 = 4πr เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลม จะได พื้นที่ผิวของครึ่งทรงกลม [ ( ) ] 2 4 3.14 4.5 2 1 ≈ × × × ≈127.17 ตารางเซนติเมตร กรวยสูง 6 เซนติเมตร และรัศมีของฐานของกรวยยาว 4.5 เซนติเมตร ให l แทนสวนสูงเอียงของกรวย จะได ( ) 2 2 2 l = 6 + 4.5 = 56.25 l = 7.5 จากสูตร พื้นที่ผิวขางของกรวย = πrl เมื่อ r แทนรัศมีของฐานของกรวย จะได พื้นที่ผิวของกรวย ≈ 3.14× 4.5× 7.5 ≈105.975 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น รูปเรขาคณิตสามมิติมีพื้นที่ผิวประมาณ 127.17 +105.975 ≈ 233.145 ตารางเซนติเมตร 4) จากรูป พื้นที่ผิวของรูปเรขาคณิต =พื้นที่ฐานของทรงกระบอก + พื้นที่ผิวขางของทรงกระบอก + พื้นที่ผิวของครึ่งทรงกลม ฐานของทรงกระบอกและครึ่งทรงกลมมีรัศมียาว 5เซนติเมตร และทรงกระบอกสูง 10เซนติเมตร จากสูตร พื้นที่ของวงกลม 2 = πr เมื่อ r แทนรัศมีของวงกลม จะได พื้นที่ฐานของทรงกระบอก 2 ≈ 3.14×5 ≈ 78.5 ตารางเซนติเมตร จากสูตร พื้นที่ผิวขางของทรงกระบอก = 2πrh เมื่อ h แทนความสูง จะได พื้นที่ผิวขางของทรงกระบอก ≈ 2×3.14×5×10 ≈ 314 ตารางเซนติเมตร จากสูตร พื้นที่ผิวของทรงกลม 2 = 4πr เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลม จะได พื้นที่ผิวของครึ่งทรงกลม ( ) 2 4 3.14 5 2 1 ≈ × × × ≈157 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น รูปเรขาคณิตสามมิติมีพื้นที่ผิวประมาณ 78.5 + 314 +157 = 549.5 ตารางเซนติเมตร
บทที่ 3 พีระมิด กรวย และทรงกลม 25 2.ทรงกระบอกอันหนึ่งมีความสูงเทากับความยาวของเสนผานศูนยกลางของฐาน ซึ่งเทากับ 6 เซนติเมตร แนบในทรงกลมใส ลูกหนึ่งไดพอดี ดังรูป จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลมดังกลาว วิธีทํา จะเห็นวาเสนทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD ยาวเทากับความยาวของเสนผานศูนยกลางของทรงกลม ให x แทนความยาวของเสนผานศูนยกลางของทรงกลม จะได 2 2 2 x = 6 + 6 = 72 x = 6 2 ดังนั้น ทรงกลมมีรัศมียาว 3 2 2 6 2 = เซนติเมตร จากสูตร พื้นที่ผิวของทรงกลม 2 = 4πr เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลม จะได พื้นที่ผิวของทรงกลม ( ) 2 ≈ 4×3.14× 3 2 ≈ 226.08 ตารางเซนติเมตร จากสูตร ปริมาตรของทรงกลม 3 3 4 = πr เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลม จะได ปริมาตรของทรงกลม ( ) 3 3.14 3 2 3 4 ≈ × × ≈ 319.68 ลูกบาศกเซนติเมตร ดังนั้น ทรงกลมมีพื้นที่ผิวประมาณ 226.08 ตารางเซนติเมตร และมีปริมาตรประมาณ 319.68 ลูกบาศกเซนติเมตร
บทที่ 3 พีระมิด กรวย และทรงกลม 26 3.ทรงกลมไมลูกหนึ่งแนบในกรวยพลาสติกใสโดยที่ผิวของทรงกลมสัมผัสกับฐานและผิวขางของกรวยไดพอดี ถากําหนด ความยาวของสวนตางๆของทรงกลมและกรวย ดังรูป (หนวยเปนเซนติเมตร) จงหา 1) อัตราสวนของพื้นที่ผิวของทรงกลมตอพื้นที่ผิวของกรวย 2) อัตราสวนของปริมาตรของทรงกลมตอปริมาตรของกรวย วิธีทํา 1) จากสูตร พื้นที่ผิวของทรงกระบอก 2 = 4πr เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลม จะได พื้นที่ผิวของทรงกลม 2 = 4πa ตารางเซนติเมตร จากสูตร พื้นที่ผิวของกรวย 2 = πrl + πr เมื่อ r แทนรัศมีของฐานของกรวย และ lแทนสวนสูงเอียงของกรวย จะได พื้นที่ผิวของกรวย + × = × × 2 2 2 3 2 3 2 2 3 a a a π π 2 2 = 6πa + 3πa 2 = 9πa ตารางเซนติเมตร ดังนั้น อัตราสวนของพื้นที่ผิวของทรงกลมตอพื้นที่ผิวของกรวยเทากับ 4 : 9 4 : 9 2 2 πa πa = 2) จากสูตร ปริมาตรของทรงกลม 3 3 4 = πr จะได ปริมาตรของทรงกลม 3 3 4 = πa ลูกบาศกเซนติเมตร จากสูตร ปริมาตรของกรวย r h 2 3 1 = π เมื่อ h แทนความสูงของกรวย จะได ปริมาตรของกรวย a a 3 2 2 3 3 1 2 × = π × 3 = 3πa ลูกบาศกเซนติเมตร ดังนั้น อัตราสวนของปริมาตรของทรงกลมตอปริมาตรของกรวยเทากับ : 3 4 : 9 3 4 3 3 πa πa =
บทที่ 3 พีระมิด กรวย และทรงกลม 27 แบบทดสอบทายบทเรื่อง พีระมิด กรวย และทรงกลม จงเลือกคําตอบที่ถูกตองที่สุด 1.พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีฐานยาวดานละ 6 เซนติเมตร สันยาว 5 เซนติเมตร จะมีพื้นที่ผิวเทาใด ก. 30 ตารางเซนติเมตร ข. 64 ตารางเซนติเมตร ค. 84 ตารางเซนติเมตร ง. 108 ตารางเซนติเมตร 2. พื้นที่ผิวของทรงกระบอกที่มีเสนผานศูนยกลางยาว 14 เซนติเมตร และมีความสูง 10 เซนติเมตร มีคาเปนเทาใด ก. 2,112 ตารางเซนติเมตร ข. 880 ตารางเซนติเมตร ค. 748 ตารางเซนติเมตร ง. 440 ตารางเซนติเมตร 3. จากขอ 2 ปริมาตรของทรงกระบอกมีคาตรงกับขอใด ก. 1,540 ตารางเซนติเมตร ข. 3,210 ตารางเซนติเมตร ค. 6,160 ตารางเซนติเมตร ง. 7,240 ตารางเซนติเมตร 4. จงหา ปริมาตรของทรงกลมที่มีรัศมี 21 เซนติเมตร มีคา เทาใด ก. 25,544 ลูกบาศกเซนติเมตร ข. 38,808 ลูกบาศกเซนติเมตร ค. 42,544 ลูกบาศกเซนติเมตร ง. 52,608 ลูกบาศกเซนติเมตร 5.โลหะทรงกลมเสนผานศูนยกลาง 42 เซนติเมตร มีปริมาตร 3.5 เทาของปริมาตรกรวยซึ่งสูงตรง 24 เซนติเมตร รัศมี ของฐานกรวยเทากับกี่เซนติเมตร ก. 7 เซนติเมตร ข. 12 เซนติเมตร ค. 21 เซนติเมตร ง. 24 เซนติเมตร 6.กรวยมีฝาปดอันหนึ่ง มีรัศมีปากกราย 7 เซนติเมตร และ กรวยสูง 24 เซนติเมตร แลวปริมาตรเทาใด ก. 1,232 ลูกบาศกเซนติเมตร ข. 1,323 ลูกบาศกเซนติเมตร ค. 1,432 ลูกบาศกเซนติเมตร ง. 1,680 ลูกบาศกเซนติเมตร 7. ปริมาตรของกรวยซึ่งมีรัศมีฐานยาว 8 นิ้ว สูงเอียง 17 นิ้ว มีคาตรงกับขอใด (กําหนดπ = 3.14 ) ก. 1,125.6 ลูกบาศกนิ้ว ข. 1,200.96 ลูกบาศกนิ้ว ค. 1,137.5 ลูกบาศกนิ้ว ง. 1,004.8 ลูกบาศกนิ้ว 8.พีระมิดใหญแหงหนึ่งมีฐานเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส วัด โดยรอบฐาน 800 เมตร พีระมิดสูง 120 เมตร จะมีปริมาตร เทาใด ก. 1,500,000 ลูกบาศกเมตร ข. 1,600,000 ลูกบาศกเมตร ค. 1,700,000 ลูกบาศกเมตร ง. 1,800,000 ลูกบาศกเมจร 9.กรวยกลมมีปริมาตร 3 20 cm และมีความสูงเปน 10 เทา ของทรงกระบอก แตรัศมีเปนครึ่งหนึ่งของทรงกระบอก ดังนั้นรูปทรงกระบอกนี้มีปริมาตรกี่ลูกบาศกเซนติเมตร ก. 20 ข. 24 ค. 28 ง. 30 10. พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผาสูง 30 เซนติเมตร มีปริมาตร 6,000 ลูกบาศกเซนติเมตร ถาฐานยาว 20 เซนติเมตร ดาน กวางจะยาวเทาใด ก. 30 ข. 45 ค. 50 ง. 55